1. Electrostática1.1. La carga eléctrica y sus propiedades.

Las cargas eléctricas son partículas que ejercen fuerzas atractivas y repulsivas entre ellas.Propiedades de la carga eléctrica:

La carga se conserva La carga esta cuantizada Existen dos tipos de carga en la naturaleza positivas y negativas

Carga:es cualquier cuerpo que posea electricidad.1ª Existen dos tipos de cargas :

Positivas(+), protones. Negativas(-), electrones.2ª Objetos que contienen el mismo signo, se repelen, y objetos

de cargas contrarias se atraen.3ª La carga se mantiene. En la electrificacion no se esta creando carga, solo se esta transportando, de un lugar a otromanteniendo la carga total.

electrificacion: es la perdida o ganancia de electrones de un objeto. todos los cuerpos son neutros, contienen cargas iguales de los dos tipos. Cuando se frotan, la carga es transferida de un cuerpo a otro.

1.2. Aislantes, conductores y semiconductores

Los conductores son materiales en los cuales las cargas eléctricas se mueven con facilidad. Los aisladores son materiales en los que las cargas eléctricas se mueven con dificultad. Los semiconductores son materiales cuyas propiedades se encuentran entre la de los aisladores y conductores.

 Conductores Cualquier material que ofrezca poca resistencia al flujo de electricidad. Un buen conductor de electricidad, como la platao el cobre, puede tener una conductividad mil millones de veces superior a la de un buen aislante, como el vidrio o lamicaAislantesSon materiales en los que las cargas se mueven con mucha dificultad y ofrecen una elevada resistencia al paso de laelectricidad. Materiales: lana de madera, fibra de vidrio, yeso, caucho, lucita, ebonita, porcelana y algunos polímeros.SemiconductoresLos semiconductores son elementos que tienen una conductividad eléctrica inferior a la de un conductor metálico perosuperior a la de un buen aislante. El semiconductor más utilizado es el silicio,que es el elemento más abundante en la naturaleza, después del oxígeno. Otros semiconductores son el germanio y elselenio.1.3. Ley Coulomb.

Coulomb fue el primero que estudio las fuerzas eléctricas, y llegó a a la conclusión:

La fuerza de repulsión o atracción de dos cuerpos con carga eléctrica diminuía con el cuadrado de las distancia.

Esta fuerza, defendía de la cantidad de carga eléctrica de los cuerpos y del medio donde se encontraban.

- La fuerza con que se repelen o atraen dos cargas en reposo es igual al producto de las cargas dividido entre el cuadrado de la distancia que hay entre ellas, todo multiplicado por la constante del medio en que se encuentre.

F es el valor de la repulsión o atracción de las dos cargas. Su unidad es el newton(N)

K es la constante variable del medio. Si se trata del vacío. - d se refiere a la distancia entre las q. Su unidad es el metro ( m )En

culombios, los valores de electrón y protón son:-

1.4. Campo eléctrico

Denominamos campo eléctrico, a la región del espacio en la que una carga electrizada situada en un punto de ese espacio experimenta una fuerza eléctrica.

- La intensidad de un campo eléctrico lo resumimos como la fuerza ( F ) que experimenta la unidad de cargapositiva (+) si se sitúa en el campo eléctrico

1.5. Ley de Gauss para el campo eléctrico.

La ley de Gauss deriva del concepto de flujo del campo eléctrico.E l f l u j o d e l c a m p o e l é c t r i c o s e d e f i n e d e m a n e r a a n á l o g a a l f l u j o d e masa. El flujo de masa a través de una superficie se define como lacantidad de masa que atraviesa dicha superficie por unidad de tiempo.

El campo eléctrico puede representarse mediante unas líneasimaginarias denominadas líneas de campo y, por analogía con el flujo de masa, puede calcularse el número de líneas de campo que atraviesa nuna determinada superficie. Una superficie puede ser representada mediante un vector dS de módulo el área de la superficie, dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de la curvatura. El flujo del campo eléctrico es una magnitud escalar que se define mediante el producto escalar

1.6. Potencial eléctrico.

potencial eléctrico al trabajo que un campo electrostático tiene que llevar a cabo para movilizar una carga positiva unitaria de un punto hacia otro. Puede decirse, por lo tanto, que el trabajo a concretar por una fuerza externa para mover una carga desde un punto referente hasta otro es el potencial eléctrico. 1.7. Capacitancia.

la capacitancia o capacidad eléctrica es la propiedad que tienen los cuerpos para mantener una carga eléctrica

2. Electrodinámica 2.1. Carga, Corriente, voltaje y potencia.

Carga Eléctrica

Corriente (símbolo I)Se define como el desplazamiento de electrones sobre un material conductor (o alambre de cobre). Que fluye a través de un circuito cerrado, su unidad de medición es el Amperio (A) en honor del científico francés André Marie Ampere (1775 – 1836).

Un circuito es una trayectoria cerrada o camino cerrado entre la fuente de voltaje y la resistencia que permite el movimiento de cargas eléctricas, es decir, de la corriente. Se debe de tener presente que en un circuito abierto no fluye corriente. Existen dos clases de corrientes: Corriente directa el cual es generado por los voltajes directos.

Corriente directa que fluye por el circuito cerrado.

Porotra parte la Corriente alterna es generada por los voltajes alternos.

Corriente alterna que fluye por el circuito cerrado.

Voltaje (símbolo V)Unidad de diferencia de potencial (V). El potencial se refiere a la posibilidad de realizar un trabajo, cualquier carga eléctrica tiene potencial para hacer trabajo al mover otra carga, ya sea por atracción o repulsión. Existen dos clases de voltajes: Voltaje directo (DC) el cual lo podemos encontrar en las baterías o pilas normales y alcalinas.

Símbolo para fuente de voltaje directo.

Por otra parte el Voltaje alterno (AC), lo podemos encontrar en los toma corrientes de tres tomas de pared, en una casa o edificio.

Símbolo para fuente de voltaje alterno. La unidad de medición del voltaje alterno o voltaje directo es el Voltio (V), en honor del científico italiano Alessandro Volta (1745 – 1827).

Potencia (símbolo P) Es la rapidez para realizar un trabajo, el trabajo es igual a la fuerza aplicada para mover un objeto multiplicada por la distancia a la que el objeto se desplaza en la dirección de la fuerza. La potencia mide la rapidez con que se realiza ese trabajo. En términos matemáticos, la potencia es igual al trabajo realizado dividido entre el intervalo de tiempo a lo largo del cual se efectúa dicho trabajo. El concepto de potencia no se aplica exclusivamente a situaciones en las que se desplazan objetos mecánicamente. También resulta útil, por ejemplo, en electricidad. Imaginemos un circuito eléctrico con una resistencia. Hay que realizar una determinada cantidad de trabajo para mover las cargas eléctricas a través de la resistencia. Para moverlas más rápidamente en otras palabras, para aumentar la corriente que fluye por la resistencia se necesita más potencia. Existe en la electricidad la llamada potencia real, la cual es una clase de potencia que se caracteriza por la disipación de calor en la resistencia de un circuito. Esta clase de disipación térmica se mide en la unidad de vatios (W).

2.2. Resistencia

Resistencia (símbolo R): Es la oposición de un material o sustancia química al flujo de electrones en un material conductor o alambre de cobre. La resistencia se mide en la unidad

de Ohmios (Ω) en honor del científico alemán Georg Simon Ohm (1787 – 1854)

Símbolo para la resistencia, con algunos ejemplos de sus valores. Internacionalmente se ha adoptado un sistema de colores para la identificación de estos

elementos de forma fácil y precisa, estos colores son colocados sobre la resistencia en cuatro franjas que forman un sistema de identificación ordenado por (1ª cifra, 2ª cifra, Multiplicador

decimal, Tolerancias). Por ejemplo se tiene una resistencia con los colores (Rojo, Naranja, Rojo, Dorado), la cual con el código de colores se puede interpretar como (2, 3, X100, 5 %) es decir, 23 X 100 @ mas o menos el 5% de error, lo cual es en conclusión 2300 Ω teóricos, con un margen de que entrega el fabricante desde 2185 Ω hasta 2415 Ω ( el error es de + ó - 115

Ω o sea el 5 % de 2300 Ω).

Distribución del código de colores en una resistencia.

Color Cifra Multiplicador Tolerancia (%)

Negro 0 1 20Café 1 10 1Rojo 2 100 2

Naranja 3 1000 3Amarillo 4 10.000 4Verde 5 100.000 5Azul 6 1.000.000 6

Violeta 7 10.000.000 7Gris 8 100.000.000 8

Blanco 9 1.000.000.000 9Dorado 0.1 5Plata 0.01 10

Sin color 20

2.3. Ley de Ohm.

La ley de Ohm expresa la relación que existe entre la diferencia de potencial que aplicamos a los extremos de un receptor y la corriente que circula por éste.

Su expresión matemática es la siguiente: V = I · R Donde: V = diferencia de potencial (V) I = intensidad de corriente (A) R = resistencia eléctrica ( ) Existen otras dos expresiones de esta ley que se obtienen despejando de la ecuación anterior:

2.4 Leyes de Gustav Robert Kirchhoff

Ley de la corriente de Kirchhoff: La suma algebraica de las corrientes que entran y salen de un nodo es igual a cero. Es decir, la suma de las corrientes que se dirigen hacia cualquier punto de un circuito, es igual a la suma algebraica de las corrientes que se alejan de este punto. Por ejemplo si la corriente A es igual a 2 Amperios y la corriente B es igual a 5 amperios, la corriente total seria de 7 Amperios.

Las corrientes A y B que entran al nodo se suman en una Corriente Total.

Ley de voltaje de Kirchhoff: La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero. Es decir, la suma de los voltajes en cada resistencia del circuito es igual al voltaje de la fuente. Esto se puede apreciar en el siguiente circuito:

Voltaje de la Fuente = A la suma de los todos los voltajes de las Resistencias

Voltaje de la fuente = VR1 + VR2 + VR3 + VR4 + VR5

Divisor de voltaje: Es una herramienta matemática que sirve para encontrar el voltaje en cada resistencia de un circuito serie, sin la necesidad de hallar o conocer previamente el valor numérico de la corriente.

2.5. Energía Eléctrica y Potencia

Se denomina energía eléctrica a la energía que poseen las cargas (los electrones) cuando se desplazan por un conductor.

Se representa mediante la letra E.

La unidad de energía eléctrica es el julio (en honor al físico británico James P. Joule). Se representa con la letra J.

Matemáticamente su expresión es: E = Q·V Donde: E = energía eléctrica (J) Q = carga transportada ( C) V = diferencia de potencial (V) Como la carga transportada es difícil de medir, es más frecuente expresar el valor de la energía eléctrica en función de la intensidad:

E = I · t · V Donde: E = energía eléctrica (J) I = intensidad de corriente (A) t = tiempo (s) V = diferencia de potencial (V) Otra expresión para calcular la energía eléctrica se obtiene partiendo de la ley de Ohm:

E = I2 · R · t Donde: E = energía eléctrica (J) I = intensidad de corriente (A) R = resistencia () t = tiempo (s) Si queremos expresar la energía eléctrica en calorías,

E = 0,24 ·I2 · R · t

POTENCIA ELÉCTRICA.- Se denomina potencia eléctrica a la cantidad de energía desarrollada o consumida por un aparato en la unidad de tiempo.

Se representa mediante la letra P.

La unidad de potencia eléctrica es el vatio (en honor al ingeniero británico James Watt). Se representa con la letra W.

Según su definición su expresión matemática será:

Donde: P = potencia eléctrica (W) I = intensidad de corriente (A) V = diferencia de potencial (V) Nota: Según la definición de potencia obtenemos una nueva fórmula para calcular la energía eléctrica:

E = P · tDonde: E = energía eléctrica (Kwh) P = Potencia (Kw) t = Tiempo (h) Así, la energía consumida por un aparato eléctrico puede medirse simplemente multiplicando la potencia del receptor (medida en kilovatios) por el tiempo de funcionamiento (medido en horas).

3. Campo magnético3.1. Magnetismo y campo magnético.

Un electrón en movimiento es el imán más pequeño que existe y también tiene su polos norte y sur inseparables. Un átomo, al tener electrones, es un diminuto imán llamado dipolo magnético. Estos dipolos surgen debido al movimeinto orbital de los electrones y al movimiento de rotación de los electrones mismos (spín). Un material cualquiera está formado por átomos, luego está formado por infinidad de dipolos magnéticos, cada uno con su polo norte y su polo sur. Por tanto, cualquier material debería presentar características magnéticas. ¿Por qué no ocurre más que en determinados materiales. La mayor parte de los cuerpos tienen sus dipolos orientados al azar, de manera que el campo magnético total de cuerpo se anula (figura a). En una sustancia magnética, ya sea natural o artificial, sus dipolos están orientados en el mismo sentido, ofreciendo globalmente un polo norte y y polo sur (figura b).

Campo magnético ① Definición

3.2. Ley Biot – Savart.

a ley de Biot-Savart establece que la intensidad diferencial de campo magnético dH. producida en un punto P por el elemento diferencial de corriente I di, como se muestra en la figura 3.1, es proporcional al producto de / di y el seno del ángulo a entre el elemento y la línea que une a P con el elemento e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia R entre P y el elemento.

Es decir, (3.1) o (3.2)

donde k es la constante de proporcionalidad. En unidades del Sistema internacional (SI), k

= 1/4- ,de modo que la ecuación (3.2) se convierte en(3.3)

De la definición del producto cruz en la ecuación (E.21) se desprende fácilmente la conveniencia de expresar la ecuación (3.3) en forma vectorial

(3.4)

donde R = |R| y as = R/R. Así. la dirección de dH. puede determinarse con la regla de la mano derecha, si el pulgar apunta en la dirección de la corriente, los dedos rodearán el alambre en la dirección de dH. como se indica en la figura 3.2(a), o con la regla del tornillo de rosca derecha, si el tornillo se coloca a lo largo del alambre y apuntando en la dirección del flujo de corriente, la dirección de su avance será la dirección de dH. como se muestra en la figura 3.2(b).

Figura 3.1. Campo magnético dH. en P debido al elemento de corriente / di.

Figura 3.2. Determinación de la dirección de mediante (a) la regla de la mano derecha, (b) regla del tornillo de rosca derecha.

La dirección de la intensidad de campo magnético H (o de la corriente I) suele representarse mediante un punto o una cruz dentro de un pequeño círculo, dependiendo de si aquélla sigue un curso hacia fuera o hacia dentro de la página, como se ilustra en la figura 3.3.Así como existen diferentes configuraciones de carga (fig. 3.5), también existen diferentes distribuciones de comente: corriente de línea, corriente superficial y corriente volu-métrica, como se advierte en la figura 3.4. Si se define K como la densidad de corriente superficial (en amperes/metro) y J como la densidad de corriente volumétrica (en amperes/metro cuadrado), los elementos de origen se relacionan de la manera siguiente:

De esta forma, en términos de las fuentes de corriente distribuida, la ley de Biot-Savart en la ecuación (3.4) se convierte en

(corriente de línea) (corriente superficial) (corriente volumétrica)

Como ejemplo, apliquemos la ecuación (3.6) para determinar el campo debido a un conductor filamentoso recto portador de comente de longitud finita AB, como se muestra en la figura 3.5. Supongamos que este conductor sigue la dirección del eje z y que sus

extremos superior e inferior subtienden respectivamente los ángulos 2 y 1 en P, el punto

3.3. Fuerza magnética sobre una carga.

Fuerza magnética sobre una carga eléctricaEs conocido que un conductor por el que circula una corriente sufre una fuerza en presencia de un campo magnético. Puesto que la corriente está constituída por cargas eléctricas en movimiento, empezaremos por estudiar la fuerza sobre una única carga.Fuerza de LorentzAl observar experimentalmente cómo es la fuerza que un campo B ejerce sobre una carga eléctrica q se cumple que:Si la carga está en reposo, el campo B no ejerce ninguna fuerza sobre ella.La fuerza es máxima cuando la velocidad de la carga v y el campo B son perpendiculares y es nula cuando son paralelos.La fuerza es perpendicular al plano formado por v y B.La fuerza es proporcional al valor de la carga q y a la velocidad v.Si la carga cambia de signo, la fuerza cambia de sentidoResumiendo todos estos hechos, se concluye que la fuerza que un campo B ejerce sobre una carga eléctrica q que se mueve con una velocidad v viene dada por la expresión:

La fuerza electrostática es tangente en cada punto a las líneas de campo eléctrico, sin embargo, para el campo magnético se cumple que:.

La fuerza magnética es perpendicular a las líneas de campo B

Si la carga q se encuentra además bajo la acción de un campo eléctrico E, la fuerza resultante que actúa sobre ella es:

conocida como la fuerza de Lorentz.

3.4. Líneas campo magnético y flujo magnético.

Líneas del Campo MagnéticoCuando los investigadores trazan el flujo tridimensional de un río alrededor del pilar de un puente o del viento alrededor del ala de un aeroplano (ver foto), lo modelizan usando líneas de flujo dinámico, unas líneas que trazan el flujo de las partículas de agua o aire.

Las líneas del campo magnético describen de forma similar la estructura del campo magnético en tres dimensiones. Se definen como sigue. Si en cualquier punto de dicha línea colocamos una aguja de compás ideal, libre para girar en cualquier dirección (diferente a la aguja normal que permanece horizontal --estas agujas existen, vea al final de la página), la aguja siempre apuntará a lo largo de la línea de campo (dibujo inferior).

Las líneas de campo convergen donde la fuerza magnética es mayor y se separan donde es más débil. Por ejemplo, en una barra imantada compacta o "dipolo", las líneas de campo se separan a partir de un polo y convergen en el otro y la fuerza magnética es mayor cerca de los polos donde se reúnen. El comportamiento de las líneas en el campo magnético terrestre es muy similar.

3.5. Ley de Gauss para campo magnético.

El flujo del campo magnético se define de manera análoga al flujo del campo eléctrico.

Flujo del campo magnético

El flujo del campo magnético Φm a través de una superficie se define:

donde dS es un vector perpendicular a la superficie en cada punto.

Como las líneas del campo magnético son cerradas (no existen monopolos), el flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo:

Por tanto, al contrario de lo que ocurría con la ley de Gauss, el flujo del campo magnético no puede emplearse para calcular campos magnéticos.

3.6. Ley de Ampere.

La ley que nos permite calcular campos magnéticos a partir de las corrientes eléctricas es la Ley de Ampère. Fue descubierta por André - Marie Ampère en 1826 y se enuncia:

La integral del primer miembro es la circulación o integral de línea del campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada, y:

μ0 es la permeabilidad del vacío

dl es un vector tangente a la trayectoria elegida en cada punto

IT es la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por la trayectoria, yserá positiva o negativa según el sentido con el que atraviese a la superficie.

Campo magnético creado por un hilo infinito

Como aplicación de la ley de Ampère, a continuación se calcula el campo creado por un hilo infinito por el que circula una corriente I a una distancia r del mismo. Las líneas del campo magnético tendrán el sentido dado por la regla de la mano derecha para la expresión general del campo creado por una corriente, por lo que sus líneas de campo serán circunferencias centradas en el hilo, como se muestra en la parte izquierda de la siguiente figura.

Para aplicar la ley de Ampère se utiliza por tanto una circunferencia centrada en el hilo de radio r. Los vectores y dl son paralelos en todos los puntos de la misma, y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de la trayectoria. La integral de línea queda:

Empleando la ley de Ampère puede calcularse el campo creado por distintos tipos de corriente. Dos ejemplos clásicos son el del toroide circular y el del solenoide ideal (*), cuyos campos se muestran en la siguiente tabla.

Toroide circular Solenoide ideal*

(*) Un solenoide ideal es una bobina de longitud grande cuyas espiras están muy juntas. En la expresión del campo magnético que crea, n es el número de espiras por unidad de longitud.

4. Electromagnetismo 4.1. Fuerza electromotriz inducida.

En la imagen anterior:

F: Fuerza electromotriz inducida. B: Campo magnético. V: Velocidad.

Por lo tanto, diremos que la fuerza magnética (F), que actúa sobre una carga (q), que se mueve a una velocidad (v)dentro de un campo magnético (B), es:

positiva si, según la regla de la mano izquierda, la fuerza (pulgar) es hacia arriba y, negativa si la fuerza (pulgar) es hacia abajo.

Matemáticamente, esto lo podemos expresar de la siguiente forma:

4.2. Ley de Faraday.

La Ley de Faraday establece que la corriente inducida en un circuito es directamente proporcional a larapidez con que cambia el flujo magnético que lo atraviesa.La inducción electromagnética fue descubierta casi simultáneamente y de formaindependiente por Michael Faraday y Joseph Henry en 1830. La inducción electromagnéticaes el principio sobre el que se basa el funcionamiento del generador eléctrico, eltransformador y muchos otros dispositivos.Supongamos que se coloca un conductor eléctrico en forma de circuito en una región en laque hay un campo magnético. Si el flujo F a través del circuito varía con el tiempo, se puedeobservar una corriente en el circuito (mientras el flujo está variando). Midiendo la feminducida se encuentra que depende de la rapidez de variación del flujo del campo magnéticocon el tiempo.

4.3. Ley de Lenz

.

4.4. Ecuaciones de Maxwell.

1 Forma de las ecuaciones

Las Ecuaciones de Maxwell surgen de la teoría electromagnética y son el resumen esta teoría desde un punto de vista macroscópico. Esas ecuaciones tienen la forma más general:

Y son, por tanto, un total de ocho ecuaciones escalares (tres para cada uno de los rotacionales de los campos eléctrico y magnético y una para las divergencias).

2 Parámetros presentes

Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Maxwell son los siguientes:

- Campo eléctrico existente en el espacio, creado por las cargas. - Campo dieléctrico que resume los efectos eléctricos de la materia. - Campo magnético existente en el espacio, creado por las corrientes. - Campo magnético que resume los efectos magnéticos de la materia.

- Densidad de cargas existentes en el espacio.

- Densidad de corriente, mide el flujo de cargas por unidad de tiempo y

superfície y es igual a . - Permitividad eléctrica, característica de los materiales dieléctricos.

- Permeabilidad magnética, característica de los materiales paramagnéticos.

3 Significado físico

Cuando Maxwell resumió la teoría electromagnética de su época en sus ecuaciones escribió las siguientes ecuaciones:

que no es nada más que la ley de Gauss, que se reduce a la ley de Coulomb para cargas puntuales.

que no tiene nombre y expresa la inexistencia de monopolos magnéticos en la naturaleza, es decir, esta es la explicación de que al romper un imán obtengamos dos imanes, y no dos medio-imanes.

que es la expresión diferencial de la ley de Faraday.

que es la ley de Ampère. Sin embargo encontró que esta última ecuación, juntamente con la ley de Faraday conducían a un resultado que violaba el principio de conservación de la carga, con lo cual decidió modificarla para que no violase este principio dándole la forma

que ahora se conoce como ley de Ampère modificada. El término introducido recibe el nombre de corriente de desplazamiento.

Sin embargo estas ocho ecuaciones no son suficientes para resumir todo el conocimiento de la electrodinámica clásica, nos hace falta una ecuación más, esa es la expresión de la fuerza de Lorentz:

4 Soluciones de las ecuaciones

4.1 Las ecuaciones en función de dos campos

En ocasiones es conveniente expresar esas ecuaciones en función de sólo dos campos (uno eléctrico y otro magnético) relacionando los campos mediante las ecuaciones constitutivas (aquí se dan para medios isotrópicos homogéneos lineales):

con lo que podemos transformar las ecuaciones de Maxwell a la forma siguiente:

4.2 Electrostática y magnetostática

Cuando consideramos que los campos eléctrico y magnético no dependen del tiempo las ecuaciones de Maxwell se nos quedan en:

De sacamos que el campo eléctrico se deriva del gradiente de un potencial,

es decir, , como se desprende de la ley de Coulomb.

De deducimos que el campo magnético es el rotacional de un potencial vector,

es decir, , obteniendo el mismo resultado que a partir de la ley de Biot-Savart.

4.3 Ecuaciones de Maxwell en el vacío

Cuando estamos en el vacío podemos suponer que no existen fuentes (es decir,

que y ) y las ecuaciones de Maxwell nos quedan de la forma:

En este caso se puede demostrar que tanto el campo como el campo toman la

forma de una ecuación de ondas con una velocidad igual a la velocidad de la luz, de donde Maxwell extrajo la hipótesis de que la luz no eran más que ondas electromagnéticas propagándose en el vacío, hipótesis verificada esperimentalmente por Hertz algunos años después de la muerte de Maxwell.

A partir de estas cuatro ecuaciones (dos de ellas vectoriales, con lo que en realidad son ocho ecuaciones escalares) se deduce la óptica electromagnética.

4.4 Caso general

El caso más general se obtiene cuando se consideran campos dependientes del tiempo y con fuentes tanto escalares como vectoriales. En ese caso resulta muy práctico obtener

una expresión que nos exprese el campo electromagnético como derivación de potenciales.

De la ecuación podemos extraer, de la teoría elemental de campos,

que . Si sustituímos esto en la ecuación del rotacional del campo eléctrico obtenemos:

Con lo cual ya tenemos dos expresiones que nos dan la forma de los campos y en

función de dos potenciales y . Sin embargo estos potenciales presentan cierta libertad a la hora de escogerlos lo que les hace poseer una importante característica: una simetría gauge. En efecto, si tomamos un campo escalar y redifinimos los potenciales

como y obtenemos el mismo campo electromagnético (que al fin y al cabo es nuestro observable).