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EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES _________________________________________ 12
Introducción ___________________________________________________________________ 12
Conjunto de los números reales ____________________________________________________ 12
Conjunto de los números naturales _________________________________________________ 12
Conjunto de los números enteros __________________________________________________ 13
Conjunto de los números racionales ________________________________________________ 13
Conjunto de los números reales ____________________________________________________ 13
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES _______________________________________ 14
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL ________________________________________ 15
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS __________________________________ 18
Propiedad conmutativa. _______________________________________________________ 18
Propiedad Anti conmutativa ________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
Ejemplos _____________________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
Propiedad distributiva. __________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
Divisores del cero _______________________________________________________________ 19
Elementos distinguidos _______________________________________________________ 19
Elemento neutro ________________________________________________________________ 19
Elemento involutivo _______________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
Elemento absorbente ______________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
Operación inversa _________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
POTENCIACION Y RADICACION ________________________________________________ 20
POTENCIACION ____________________________________________________________ 20
Propiedades de la potenciación ____________________________________________________ 21
Potencia de potencia ____________________________________________________________________ 21
Multiplicación de potencias de igual base ___________________________________________________ 21
División de potencias de igual base _________________________________________________________ 21
Propiedad distributiva ____________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
Propiedad conmutativa ___________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
Potencia de exponente 0 __________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
Potencia de exponente 1 __________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
Potencia de base 10 ______________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
RADICACIÓN ________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
Raíz cuadrada ____________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN. ______ 21
SUMA: ________________________________________________________________________ 21
RESTA: __________________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
MULTIPLICACIÓN: _________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
DIVISION: ________________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
División entre fracciones __________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
División de polinomios entre monomios. _____________________________ ¡Error! Marcador no definido.
División entre polinomios. _________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
PRODUCTOS NOTABLES _____________________________________________________ 27
Otros casos de productos notables (o especiales): _____________________________________ 29
Cubo de una suma ______________________________________________________________ 31
Cubo de una diferencia ___________________________________________________________ 32
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS _______________ ¡Error! Marcador no definido.
Aplicaciones del m.c.m. __________________________________________________________ 34
1. Reducir fracciones a común denominador. ________________________________________________ 34
2. Resolver problemas de la vida práctica. ___________________________________________________ 34
Aplicaciones del m.c.d. ___________________________________________________________ 35
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible. _______________________________________________ 35
2. Resolver problemas de la vida práctica. ___________________________________________________ 35
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN __________________ 37
Descripción: ____________________________________________________________________ 37
Ecuaciones de primer grado __________________________________________________ 39
Ecuaciones literales de primer grado ___________________________________________ 39
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS) _____________________________ 42
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita ________________________________________ 42
Solución de ecuaciones cuadráticas ___________________________________________________ 42
Solución por completación de cuadrados ____________________________________________ 44
Solución por la fórmula general ____________________________________________________ 47
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES ________________________ 48
Inverso aditivo _________________________________________________________________ 48
Propiedad del doble negativo _____________________________________________________ 48
Operaciones con los números Reales _______________________________________________________ 49
1. Sumar números reales _______________________________________________________________ 49
Restar números reales _________________________________________________________________ 50
Multiplicar números reales _____________________________________________________________ 50
Propiedades de los números reales. ________________________________________________ 51
APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES _______________________________________ 51
Ecuaciones lineales de primer grado ________________________________________________ 54
a) ecuaciones lineales propiamente tales ____________________________________________________ 54
b) ecuaciones fraccionarias _______________________________________________________________ 55
c) ecuaciones literales ___________________________________________________________________ 55
Sistemas de ecuaciones lineales _______________________________________________ 56
Sistema compatible indeterminado _________________________________________________ 56
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas ____________________________________ 56
CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ________________ 57
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales _________________ 60
Método de reducción ____________________________________________________________ 60
Ejemplo ______________________________________________________________________________ 61
Ejemplo ______________________________________________________________________________ 62
Método de sustitución _________________________________________________________ 63
Ejemplo ______________________________________________________________________________ 63
Método de Gauss _____________________________________________________________ 64
Ejemplo ______________________________________________________________________________ 64
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ___________________________________________ 66
10 Ejemplos de Términos Semejantes: _________________________________________ 67
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA ________________________________ 67
MONOMIO. ____________________________________________________________________ 67
BINOMIO ______________________________________________________________________ 67
TRINOMIO. ____________________________________________________________________ 67
POLINOMIO. ___________________________________________________________________ 68
GRADO DE UN MONOMIOS __________________________________________________ 68
GRADO DE UN POLINOMIO ___________________________________________________ 68
ORDENAR UN POLINOMIO ___________________________________________________ 68
NOMENCLATURA ALGEBRAICA ________________________________________________ 71
DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL _____________________________________________________ 73
Métodos para la factorización de polinomios _________________________________________ 73
Binomios ______________________________________________________________________________ 73
Trinomios _____________________________________________________________________________ 73
Polinomios ____________________________________________________________________________ 73
Factorizar un monomio __________________________________________________________________ 73
Factorizar un polinomio __________________________________________________________________ 73
Factor común. __________________________________________________________________ 74
Factor común de un polinomio _____________________________________________________ 74
Factor común por agrupación de términos ___________________________________________ 75
Trinomio cuadrado perfecto _______________________________________________________ 75
Raíz cuadrada de un monomio _____________________________________________________ 75
Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto _______________________ 76
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto ___________________________ 76
Trinomios de la forma x2 + px + q __________________________________________________________ 77
Regla práctica para factorizar el trinomio _______________________________________ 77
Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1) _______________________________________________ 78
CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M ________________________________________ 79
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios _________________________ 79
Ejercicios ____________________________________________________________________ 81
OPERACIONES CON FRACCIONES ______________________________________________ 84
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES ___________________________________________ 84
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS _________________________________ 88
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ________________________________________ 89
ECUACIONES CUADRATICAS __________________________________________________ 90
Factorización: __________________________________________________________________ 91
Raíz cuadrada: _________________________________________________________________________ 91
Completando el cuadrado: ________________________________________________________ 92
Fórmula cuadrática: _____________________________________________________________ 92
Clasificación ____________________________________________________________________ 93
Completa _____________________________________________________________________ 93
Completa General ____________________________________________________________________ 94
Completa Particular __________________________________________________________________ 94
Incompleta ___________________________________________________________________ 94
Incompleta Binomial _________________________________________________________________ 94
Incompleta Pura ______________________________________________________________________ 94
Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas _____________________ 94
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS ______________________________________ 96
Propiedades de la suma de números enteros _________________________________________________ 96
Multiplicación de números enteros ________________________________________________________ 97
Regla de los signos ______________________________________________________________________ 97
Propiedades de la multiplicación de números enteros _________________________________________ 97
Propiedades de la división de números enteros _______________________________________________ 98
Potencia de números enteros _____________________________________________ 99
Propiedades: ________________________________________________________________________ 99
Potencias de exponente entero negativo ____________________________________________ 99
RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO ______________ 101
Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado ____________ 104
Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar ___________________________ 105
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS _______________________________ 106
ANEXOS: NOTAS DE CLASE __________________________________________________ 108
EVALUACIONES ______________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
___________________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
Bibliografia _________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Introducción
El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el
llamado sistema de los números reales.
Números tales como 1, 3,√
, π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en
mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno
de ellos comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los
números naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de
una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los
números reales1.
En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números
reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de
propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.
En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto R de los
números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los
números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo
más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se
van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático
del mismo.
Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.
Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:
Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z
corrientemente se presenta así:
N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los
sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta
así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es
x = –2.
Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente
manera
{
}
La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la
ecuación
ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.
Conjunto de los números reales
Se define como. ℜ= ∪
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y
multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas
también axiomas de campo). (Peano, 1889)
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numérico a partir de los números naturales. En cada una de las ampliaciones se
avanza y mejora respecto de la anterior.
Con los números naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a- b) si a < b. Se definen así los números negativos o enteros negativos que al
unirse con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los números enteros
(Z). Con los números enteros (Z) se puede sumar, restar, multiplicar pero no
dividir si a no es múltiplo de b.
Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los números racionales.
Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto
o como un número decimal periódico, es decir con infinitas cifras
decimales que se repiten
Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir ( si b ¹ 0).
Si bien el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para
realizar las diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden
considerar dentro de él ( , , p , entre otros). Surgen los números irracionales
para dar respuesta a estas instancias.
Los números irracionales se pueden expresar como números decimales de infinitas
cifras decimales no periódicas.
Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
números reales (R).
Los números reales cumplen propiedades comprendidas en tres categorías:
propiedades algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades
algebraicas establecen que los números reales pueden ser sumados, restados,
multiplicados y divididos (excepto por cero) obteniéndose otro número real.
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia
entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen
los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una
correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el
conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único
punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número
real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre
la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud
para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se
llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real
entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:
Se asocia al origen el número 0,
Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p
unidades del origen en la dirección positiva,
Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de
distancia del origen en la dirección negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número
real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa
del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica
o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje
real.
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
Ejemplo.
Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones
siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea
mayor que b o a sea igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al
númeroa está a la izquierda del punto que representa al número b.
Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la
derecha del que representa a b.
Si a = b, los puntos se superponen.
La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el número real a es menor que el número real b
(a < b).([email protected], s.f.)
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS
En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones
de A x A en A:
son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o,
más abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de
ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos
sistemas matemáticos
Propiedad conmutativa.
Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición
interna *:
se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de
operar b con a.
Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es
conmutativa en A si:
Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto
de operar b con a.
La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales,
reales y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b
elementos de mismo cualquier conjunto indicado
La multiplicación es asociativa en cualquiera de los conjuntos
La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b≠ b:a, salvo para
1 y -1.
El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo.
El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB ≠ BxA.
Divisores del cero
.
Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se
dice que a y b son divisores del 0.
Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0.
En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la multiplicación * de
restos, resulta 2*3=0.
Sean las funciones reales: f / f(x) =0 si x≥0 y f(x)=1 en otro caso, g(x)= 1 si x≥0 y g(x)
=0 en otro caso; tanto f y g no son nulas pero sí su producto θ(x) = 0 para todo x real.
Sea el conjunto Z[4] = {0,1,2,3} de los restos módulo 4; con la adición tenemos que
en este caso 2+2 = 0. De modo que no siempre "dos más dos dan cuatro".
Elementos distinguidos
Elemento neutro
Si se tiene el conjunto A, no vacío, provisto de una operación binaria *, que
indicaremos: (A,*),
Diremos que el elemento es el elemento neutro por la derecha si:
Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda e', tal que e'*a = a, e =
e'; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro. Ejemplo:
En los sistemas aditivos Z, Q, R de los enteros, racionales y reales el 0 cero es el
elemento neutro aditivo. Esto es a+0= 0+ a =a.
POTENCIACION Y RADICACION
POTENCIACION
ROF. José Luis Gallardo
La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él
mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil.
Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el
exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.
Así por ejemplo:
Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y
obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.
Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces
es una potenciación.
Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X
8.
Si se escribe en forma exponencial se anota, 85.
En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a
multiplicar por sí mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces
que se va a multiplicar al ocho por sí mismo).
De acuerdo con lo anterior, se puede decir que:
85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768
Elevar a una potencia el número 10
Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10.
Por ejemplo lo elevamos a la cuarta:
104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000
Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros.
Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones
(100.000.000)...
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de
base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.
SUMA:
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos
del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro
término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede
completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2.
Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden
los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la
EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.
EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x
B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3
2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
+
-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con
ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios,
para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.
EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)
A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2)
B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (grado 3)
0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)
+
4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
4x3 - 8x2 + 7x - 3
A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3
La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se
ponen los términos con coeficiente cero.
EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)
A = 9 + 5x3 - 4x2 + x
B = 4x2 - 3 - 2x
5x3 - 4x2 + x + 9
+
0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
5x3 + 0x2 - x + 6
A + B = 5x3 - x + 6
Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios
con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes.
Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos
polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener
otro término semejante.
EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)
A = 4x3 + 5
B = -2x + x2
4x3 + 0x2 + 0x + 5
+
0x3 + x2 - 2x + 0
____________________
4x3 + x2 - 2x + 5
A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que
son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte
literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias
entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar"
los términos de igual parte literal.
EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)
A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy
B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y
A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =
-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =
-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =
-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2
EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados,
completándolos y ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es
más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque
todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo
polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir
cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se
preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha
esta misma multiplicación sin completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.
EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí
ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 - 9x2 + x (polinomio A incompleto pero ordenado)
X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado)
_____________________
15x4 - 27x2 + 3x
-10x6 + 18x4 - 2x3
____________________________
-10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado
de multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que
queden encolumnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas,
borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes
prefieren no tener que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término. En ese caso
es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3: completar y ordenar a los dos
polinomios para que todos los términos vayan saliendo en orden y no haya qué
pensar en dónde ponerlos.
EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)
A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3
B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10
A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =
-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3
- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 =
-15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x
- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3
+ 12x6y4 =
-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 +
28x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4
Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el
mismo renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los
términos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la
Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los términos
semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo
dos términos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan como están.
EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no
completando el segundo)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X -2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -
27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás
PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También
sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran
frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin
necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente
porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la
igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el
cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el
cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como (a – b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos
binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como a2 – b2
Otros casos de productos notables (o especiales):
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x +
b)
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2 + 9 x + 14
Obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es
(2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factoriza la como (x + a) (x + b)
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x –
b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factoriza la como (x + a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x –
b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx +
a) (nx + b)
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada
binomio (mx y nx).
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma mnx2 + ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).
Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (a + b)3.
Cubo de una diferencia
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2
Factorizando las expresiones dadas:
–> 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2)
–> 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) ( Para ambas expresiones se aplicó el
Caso I)
Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 3x^2y(2x -2) y 3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y
por lo tanto el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y y 9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y <–
Solución.
_________________________________________________________
3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3
Faxctorizando las expresiones dadas:
–> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) (Para ambas expresiones se aplicó el
Caso I)
Factor común de 4a^2b^2(3b) y 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2
Por lo tanto el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2 <–
Solución.
__________________________________________________________
4) Hallar el m.c.d. de ab +b y a^2 +a
Factorizando las expresiones dadas:
–> ab +b = b(a +1)
–> a^2 +a = a(a +1) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Factor común de b(a +1) y a(a +1) es = (a +1)
Por lo tanto el m.c.d. de ab +b y a^2 +a es = a +1 <– Solución.
___________________________________________________________
5) Hallar el m.c.d. de x^2 -x y x^3 -x^2
Factorizando las expresiones dadas:
–> x^2 -x = x(x -1)
–> x^3 -x^2 = x^2(x -1) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Factor común de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1)
Por lo tanto el m.c.d. de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1) <– Solución.
___________________________________________________________
6) Hallar el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2
Factorizando las expresiones dadas:
–> 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)
–> 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplicó el Caso I
Factor común de (3)(5)(x)(x)(2a -x) y (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x
Por lo tanto el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 es = 5x <–
Solución.
___________________________________________________________
7) Hallar el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4
Factorizando las expresiones dadas:
–> 18a^2x^3y^4 = 6a^2xy^4(3x^2)
–> 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 = 6a^2xy^4(x -3) Se aplicó el Caso I para ambas
expresiones.
Factor común para 6a^2xy^4(3x^2) y 6a^2xy^4(x -3) es = 6a^2xy^4
Por lo tanto el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 es =
6a^2xy^4 <– Solución.
___________________________________________________________
8) Hallar el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2
Factorizando las expresiones dadas:
–> 5a^2 -15a = 5a(a -3)
–> a^3 -3a^2 = a^2(a -3) Se aplicó el Caso I, para ambas expresiones.
Factor común de 5a(a -3) y a^2(a -3) es = a(a-3)
Por lo tanto el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2 es = a(a -3) <– Solución.
Aplicaciones del m.c.m.
1. Reducir fracciones a común denominador.
Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:
Factor izamos los denominadores:
12 = 22 x 3
9 = 32
18 = 2 x 32
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor
exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22 • 32 = 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo
denominador.
2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el
destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro
faro aparece cada 12 segundos. ¿Habrá algún momento en el que pueda ver el
destello de ambos faros a la vez? Si es así, ¿cada cuántos segundos coincidirán los
dos?
Solución: Buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12 y que a
la vez sea el más cercano. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12).
Factorizamos
8 y 12:
8 = 23
12 = 22 x 3
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor
exponente, y calculamos el mínimo común múltiplo.
m.c.m. (8, 12) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo
cada 24 segundos.
Aplicaciones del m.c.d.
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.
Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:
Hallamos el M.C.D. (360, 336).
Para ello factorizamos el numerador y el denominador.
360 = 23 x 32 x 5
336 = 24 x 3 x 7
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
M.C.D. (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Dividimos el numerador y el denominador entre 24
360 = 360 : 24 = 15
336 336 : 24 14
y obtenemos la fracción equivalente irreducible:
2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas
cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño
tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas
dimensiones y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar?
Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180,
y el más grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de
270 y 180.
Factorizamos 270 y 180:
270 = 2 x 33 x 5
180 = 22 x 33 x 5
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
M.C.D. (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90.
Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina
sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:
270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.
180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho.
Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACI
ÓN
Descripción:
La función cuadrática es una función de los reales en los reales
cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax2 + bx + c (a0) y cuyo
dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas
utilizamos principalmente el método de factorización.
Ejemplos:
1) Resuelva x 32x 1 9 .
Solución:
Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero
multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después
factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es
conveniente verificar la solución final en la ecuación original.
x 32x 1 9
2x2 x 6x 3 9
2x2 5x 3 9 0
2x2 5x 12 0
2x 3x 4 0
2x 3 0
2x 3
x 3/2
ó x 4 0 x 4
2) Halle las soluciones de x3 8x
2 16x 0 .
Solución:
Como la ecuación ya está igualada a cero solamente hay que factorizar e
igualar sus factores a cero y resolver en términos de x .
xx 2
8x 16 0
xx 4x 4 0
x 0 ó
x 4
0
x 4
Ecuaciones de primer grado Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno.
Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión.
Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación:
(x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4)
a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión
x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4
x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4
b) Trasponemos los términos:
x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;
c) Reducimos términos semejantes:
6x = -4 ;
d) Dividimos por 6:
x = -4/6
e) Simplificamos por 2:
x = -2/3
Ecuaciones literales de primer grado Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales
además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas
letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales
se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efectúa el
mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es
que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos
por ella para poder despejarla.
Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)
Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos
semejantes y trasponemos términos:
a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a
b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b
c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b
d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):
(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)
Ejemplos de planteo de ecuaciones:
Ejemplo 1:
Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.
Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:
(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:
x2 + 2x + 1 – x2 = 9
2x + 1 = 9
x = 4;
Por lo tanto los números son 4 y 5.
Ejemplo 2:
Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman
97. ¿Qué edad tiene el menor?
Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que
la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:
x + 2x + 1 = 97
3x = 96
x = 32
Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65.
Respuesta: la edad del menor es 32.
Ejemplo:
1.-Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2
1º paso: Se suma a los dos miembros 3.
2x -3 + 3 = 2 + 3
2x = 5
2º pasó. Se divide los dos miembros por 2.
2x /2 = 5/2
2.- Resolución de la ecuación 3x -2 = x + 5
1º paso: Restamos x a los dos miembros.
3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5
2º pasó. Sumamos 2 a los dos miembros.
2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7
3º pasó. Dividimos por 2, el coeficiente de la x
2x/2 = 7/2
SOLUCIÓN: x = 7 / 2
3.- Resolución de la ecuación 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5
1º paso: Se simplifica los dos miembros.
6x - 4 = 12 - 3x
2º paso: Sumamos 3x a los dos miembros.
6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12
3º paso. Sumamos 4 a los dos miembros.
9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16
4º paso: Dividimos por 9
SOLUCIÓN: x = 16 / 9
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras.
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra,
llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por
la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo
tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es
una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas),
que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una
sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la
siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales
que corresponda en cada caso particular.
Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c
= 0, donde a, b, y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de
las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo
grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda
factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos
a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus
multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las
incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2 + 5x − 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 − 12 = − 5x
2) Halle las soluciones de
La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en términos de x:
Ahora, si
x = 0
o si
x− 4 = 0
x = 4
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un
cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar
operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma
de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2 + bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar
el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2 + 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto,
ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como
en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término
corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos
miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x2 + 8x + 16 = 48 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la
ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un
binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x2 + 6x − 16 = 0
Hacemos
x2 + 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos
obtener una expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).
Para encontrar el término que falta hacemos
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2
el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la
ecuación:
x2 + 6x = 16
x2 + 6x + 9 = 16 + 9
x2 + 6x + 9 = 25
factorizamos, y queda
(x +3) (x + 3) = 25
(x + 3)2 = 25
La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este
caso (x + 3)2, y así la ecuación se resuelve con facilidad:
Extraemos raíz cuadrada
y queda
x + 3 = 5 y x + 3 = −5
(pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5
Entonces
x = 5 − 3
x = 2
Y
x = − 5 − 3
x = − 8
La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.
Solución por la fórmula general
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que
es la siguiente:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el
signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se
limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener
buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –
Así es que las soluciones son
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES
Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir
números Reales.
Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en
direcciones opuestas se denominan:
Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.
3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3
El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.
La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).
Inverso aditivo
Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.
Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número
debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del
doble negativo.
Propiedad del doble negativo
Para cualquier número real a, -(-a) = a
Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9
Valor absoluto
El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el
valor absoluto de 0 es 0.
Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.
La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no
negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso
aditivo (opuesto9 del número.
El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por
ejemplo.
Operaciones con los números Reales
1. Sumar números reales
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos
números negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un
signo negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro
negativo)
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo
del número con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o
cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor
absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor
absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor
absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto
mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar números reales
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por
medio de la regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicar números reales
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos
negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista
un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un
número par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
Dividir números reales
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida
sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común
reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el
hecho siguiente.
Propiedades de los números reales.
Propiedades de los números reales.
APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para la solución de problemas: 1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras. 2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta. 3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x. 4. Expresar las demás cantidades en términos de x. 5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x. 6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados. 7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible. 8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.
Ejemplos
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte.
¿Cuántos estudiantes practican deporte?
Solución:
Como
, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por
0,2, es decir: 240 · 0,2 = 48.
Ejemplo
Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.
En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres
aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos
aprobaron el examen?
Solución:
Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60
Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33
Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)
Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91
Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124
Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces
Ejemplos
La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo
el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco
cada uno?
Solución
Laurita=x
Pedro=2x (dos veces más que Laura)
juanita=5x (cinco veces más que Laurita)
x+2x+5x=160
8x=160
x=160/8
x=20
con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a
pedro 40 y a juanita 100 millones..
Ejemplos
Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros
que pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán
invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la
inversión total?
Solución: Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a invertir al 6%. Establecemos: (Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total Sustituimos los valores (9%) P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000) Resolvemos para P: .09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000) .09P + 1,080 − .06P = 1,440 .09P − .06P = 1,440 − 1,080 .15P = 360 P = (360) / (.15) P = 2,400 Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 = $15,600 al 6%.
Ecuaciones lineales de primer grado
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra
solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas
a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar
como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es
igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el
otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes. Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
b) ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
c) ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:
Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas
ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente
Sistema compatible indeterminado
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
Se puede ver:
Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres
da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones
independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.
Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:
CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES a) 2 x + y = 6 2
x - y = 2
a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 1, y = 4; x = 2, y = 2
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y= 0; x = 2, y = 2
Las rectas se cortan en un punto que será la solución:x = 2, y = 2. Por tanto,
el sistema será compatible determinado. Vemos la representación más
abajo
.x + y = 3 2
x + 2 y = 6
b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 0, y = 3; x = 3, y = 0
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1
Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas
soluciones). Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la
representación más abajo
b) x + y = 3
x + y = - 1
c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 0,y = 3; x = 3,y = 0
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 0, y =-1; x = -2, y = 1
Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema
no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la
representación siguiente:
Graficas
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número
de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de
la ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro
derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las
ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las
ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida,
se obtiene
Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son
expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en ,
entonces la ecuación
No contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar
a una ecuación con solo una incógnita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución
en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en
dichas ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones
Es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la
izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer
sistema.
Del segundo sistema se deduce que
Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera,
para obtener la ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.
Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.
Ejemplo
Intentemos resolver
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
Sustituyendo por en
Se tiene que
Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida
obtenemos una ecuación de una sola incógnita
Cuya solución es .
Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un
GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.
Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones
elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o
inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy
fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir
las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una
misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Es:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación
la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la
siguiente matriz triangular superior:
Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocupación para obtener :
En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera
ecuación ( ), para obtener:
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que
resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por
1 ( ). Esto nos da una ecuación en :
Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de
una o más operaciones algebraicas.
TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son
cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus
factores literales.
GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de
dicha letra.
CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el
término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que
no tiene radical, e irracional el que tiene radical.
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.
TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.
TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma
parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:
1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2
= y2x)
3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb
4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.
5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
7. 5ty es semejante a 3ty
8. 5kl4 es semejante a -2kl4
9. 68lky5 es semejante a -96lky5
10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.
BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.
TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.
POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.
GRADO DE UN MONOMIOS
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El
monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.
El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado
respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.
GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:
9.5 ¿Cuál es el grado de: ?
9.6 ¿Cuál es el grado de: ?
ORDENAR UN POLINOMIO
Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en
cuenta su grado:
9.8 Ordena el polinomio:
Respuesta:
ORDENAR UN POLINOMIO RESPECTO A UNA LETRA
Si hay dos o más letras se deben indicar respecto a que letra se ordena.
Ejemplo:
9.9 Ordena respecto a ‘x’, el polinomio:
Respuesta:
9.10 Ordena con respecto a ‘z’:
Respuesta:
9.11 Escribe un trinomio ordenado de quinto grado (los números y letras los que
prefieras)
Respuesta: (con respecto a ‘c’) :
9.12 ¿De qué grado son las expresiones:
Respuestas:
1) Primer grado
2) Quinto grado
GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO. Es el grado de su término de mayor
grado.
GRADO DE UN POLINOMIO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el mayor
exponente de dicha letra en el polinomio.
CLASES DE POLINOMIOS. Un polinomio es entero cuando ninguno de sus término
tiene denominador literal; fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en
el denominador; racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene
radical; homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto;
heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado.
POLINOMIO COMPLETO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el que contiene
todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que
tenga dicha letra en el polinomio.
POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el
cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando
o disminuyendo.
ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus términos de modo que los exponentes
de una letra escogida come letra ordenatriz queden en orden descendente o
ascendente.
NOMENCLATURA ALGEBRAICA 1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o
no denominador y a si tienen o no radical:
S o l u c i ó n :
2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes:
S o l u c i ó n :
3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores
literales:
4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre
hetereogéneos
S o l u c i ó n :
5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y
racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales
S o l u c i ó n :
6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado,
quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado
S o l u c i ó n :
7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación
a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y;
otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b
S o l u c i ó n :
DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL
- Factores
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene:
a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15
Métodos para la factorización de polinomios
Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios
Diferencia de Cuadrados
Suma o diferencia de Cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
Factor común
Factorizar un monomio
Se descompone el término en el producto de factores primos.
Ejemplo:
Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más
factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números
primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay
expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en
consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no
puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a +
b y por la unidad.
A continuación diferentes casos de descomposición factorial.
Caso I: Factor común
Factor común.
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
a) Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente
de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de
efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya
Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)
b) Factorizar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque
siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común
es b ya que se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor
exponente. El factor común será 10b
Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)
c) Descomponer en factores:
10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)
Factor común de un polinomio
a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)
Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se
escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben
los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).
Factorizando se obtiene:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
Obteniendo:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by
Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y
luego se extrae el factor común de cada uno.
Ejemplos
a) Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor
común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos
también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es
positivo se obtiene:
ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)
ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes
ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el mismo resultado.
Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
Asi, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.
En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es la raíz cuadrada de 16a2.
Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su
coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es
el producto de dos binomios iguales.
Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
Por tanto:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer
y tercer término son cuadrados perfectos (o tienen la raíz cuadrada exacta) y
positivos, y el segundo término equivale al doble del producto de éstas raíces
cuadradas.
Ejemplo:
a) a2 - 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque:
Raíz cuadrada de a2 = a
Raíz cuadrada de 4b2 = 2b
Doble producto de estas raíces 2 x a x 2b = 4ab
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplo:
a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que:
raíz cuadrada de a2 = a raíz cuadrada de 16b2 = 4b
Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab
Trinomios de la forma x2 + px + q
En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un
trinomio de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q
Por tanto:
Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos
factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma
algebraica sea p y cuyo producto sea q
Regla práctica para factorizar el trinomio
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, es
decir, la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del
trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de
multiplicar el signo del 2do término del trinomio y el signo del tercer término del
trinomio.
3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos
números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los
segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos
números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y
cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de
estos números es el primer término del primer binomio, y el menor, es el segundo
término del segundo binomio.
Ejemplos:
Descomponer en factores:
a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20
b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12
c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28
Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1)
Observemos que el producto:
(ax + b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + db
= acx2 + (ad + bc)x + db, es de la forma mx2 + px + q (haciendo m = ac, p = ad + bc y q = bd).
Luego, siempre que sea posible hallar a, b, c, d, será posible factorizar
¿Cómo determinar estos números?
a) Se selecciona una descomposición factorial de m y otra de q:
m = ac y q = bd
b) Se calculan los productos cruzados ad y bc, y se adicionan estos productos:
c) Si bc + ad = p, entonces los factores del trinomio dado son (ax+b) y (cx+d). En caso contrario se ensaya con otra combinación de factores para m y para q
Ejemplos:
a) 2x2 +11x + 12 m = 2 = 2 x 1 q = 12 = 3 x 4
Luego 2x2 +11x + 12 = (2x + 3)(x + 4)
Si no se obtiene el coeficiente p, entonces se ensaya con otras factorizaciones.
Por ejemplo: 2 = 1 · 2, 12 = 6 · 2, 12 = 1 · 12, 12 = 4 · 3, 12 = 2 · 6
También puede que ambos factores sean negativos, pues el resultado es positivo:
2 = (-1) · (-2) , 12 = (-6) · (-2)
CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios
Recordemos primero con un ejemplo cómo se calculaba el mínimo común múltiplo
entre números enteros:
Hallar el mínimo común múltiplo entre 120 y 36.
Primero había que "factorizar" o descomponer a los números. Así:
Luego, en el m.c.m. había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos
"factores" (los números que aparecen en la columna derecha de la factorización), y
había que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un
número o en el otro.
Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos números primos
m.c.m. = 23.32.5
Porque:
Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay
que ponerlos todos.
El 2: El exponente más alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2
está tres veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 está
menos veces (dos veces). En el m.c.m, entonces, al 2 hay que ponerlo
elevado a la tercera: 23 (Aclaremos, por la dudas, que el exponente que se le
pone a un factor es igual a la cantidad de veces que aparece en la
descomposición de un número, en la columna de la derecha).
El 3: El exponente más alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3
está dos veces", en cambio en el 120 el 3 está una sola vez. Por eso en el
m.c.m. al 3 hay que ponerlo elevado a la potencia segunda: 32.
El 5: El 5 aparece solamente en la descomposición del 120. Y aparece una
sola vez, lo que significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 =
51. En el m.c.m hay que poner el 5. Y el 5 hay que ponerlo así, sin exponente
(o con el 1), porque obviamente es el mayor exponente con que aparece
(porque otro 5 no hay).
Más sobre el MCM entre números en: CALCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
(MCM)
Bueno, para hallar el mínimo común múltiplo entre polinomios, hay que hacer
exactamente lo mismo. Con la diferencia de que los que se "factorizan" ya no son
números, sino polinomios. Y los factores son también polinomios. Ya no se factoriza
dividiendo, con las 2 columnas, sino que para factorizar los polinomios se usan los
Casos de Factoreo. Los siguientes son ejemplos donde se busca el m.c.m. Por
practicidad, para algunos de esos ejemplos uso polinomios que ya están
factorizados.
Ejercicios
Hallar el M.C.M. de:
* Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 4)3(x – 7)2(x + 6)8(x + 7)3 F(x) = (x + 6)2(x – 7)3(x + 7)4(x – 6)2 S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2 a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8 b) (x + 7)4(x + 6)8 c) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x – 7)3(x – 6)2(x + 2)3 d) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x – 7)3(x – 6)2 e) (x + 7)4(x + 4)8(x – 7)3(x – 6)2(x + 2)3
Hallar el MCM de los polinomios:
F(x) = (x + 5)4(x – 6)2(x + 9)3(x – 1)4
S(x) = (x + 5)2(x – 6)4(x + 7)2(x – 1)3
a) (x +5)(x – 6)(x – 1)
b) (x + 5)2(x – 6)2(x – 1)3
c) (x + 5)4(x – 6)4(x – 1)4(x + 9)3(x + 7)2
d) (x + 1)(x – 2)(x + 9)
e) (x – 1)3(x – 6)4
1
6 12
18
24
30
36
42
48
(Baldor, 2013)
OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES
Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se
resuelven las sumas y las restas cuando tenemos fracciones.
En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones tienen igual denominador, y cuando tienen distintos denominadores. En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual denominador, es una fracción que tendrá el mismo denominador que las fracciones dadas y su numerador será la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas.
En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por dos caminos. Uno de ellos, implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual será el denominador de la fracción resultado, en tanto que el numerador será la suma algebraica de números que surgen de dividir el mínimo común múltiplo que hemos determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y al resultado de cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya está.
El otro camino implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, y
después, expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos
denominadores serán el mínimo común múltiplo que se ha determinado, con lo cual
se consigue transformar una suma algebraica de fracciones de distinto denominador
en una suma algebraica de igual denominador, que se resuelve como ya hemos
visto.
Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones algebraicas fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresión con igual denominador, se mantiene el denominador y se suman o restan sus denominadores según sea el caso.
Por otra parte, cuando se tienen expresiones de distinto denominador, la cuestión se complica un poco. Primero hay que determinar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los polinomios que están en el denominador, y después debemos optar por el
camino de dividir este m.c.m. por cada denominador para después multiplicar por los numeradores, o bien transformar esta suma de distinto denominador en una de igual denominador usando fracciones equivalentes, si quieres liarte con divisiones y multiplicaciones de polinomios.
Lo primero que hay que hacer es hallar el m.c.m., para lo cual hay que factorar todos los denominadores. El m.c.m. estará formado por todos los factores que hemos hallado, pero si alguno se repite, este se pone una sola vez, y si algún factor que se repite aparece con distinto exponente, debe ir con el mayor de los exponentes. Veamos un par de ejemplos:
* Ejemplo 1:
* Ejemplo 2:
Una vez que tenemos el m.c.m. de los denominadores, se procede de la siguiente manera: Se determina que factores faltan en cada denominador para obtener el m.cm. ; y una vez que se tienen estos factores, se multiplican por el denominador y numerador de cada fracción. Al hacer esto, se ha transformado, la suma de fracciones de distinto denominador, en una de igual denominador, la que se resuelve del modo que se ha explicado previamente. Para terminar. Veamos un ejemplo numérico:
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los
denominadores entre sí.
Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los
polinomios que están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se multiplican
entre sí los polinomios que están en los denominadores.
En la práctica, procederemos de la siguiente manera:
1) Factoramos todos los polinomios.
2) Simplificamos lo que se pueda.
3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.
Veamos un ejemplo:
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto
cruzado entre los numeradores y los denominadores.
Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda.
(Traducción: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la
división en una multiplicación, y se resuelve el ejercicio como un producto).
Desarrollando por el segundo método.
Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es
decir hay que invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación.
Formula:
En la práctica, procederemos de la siguiente manera:
1) Factoramos todos los polinomios.
2) Invertimos la segunda fracción y simplificamos lo que se pueda.
3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.
ECUACIONES CUADRATICAS
Definicion
Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son
ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas
de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.
Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0
donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.
Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0
La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que
exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las
ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática
depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso
estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el
cuadrado y la fórmula cuadrática.
Factorización:
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego
expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores.
Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.
Ejemplos
1) x2 - 4x = 0
2) x2 - 4x = 12
3) 12x2 - 17x + 6 = 0
Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización
porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que
conocer otros métodos.
Raíz cuadrada:
Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.
Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es
equivalente a :
Ejemplos
1) x2 - 9 = 0
2) 2x2 - 1 = 0
3) (x - 3)2 = -8
Completando el cuadrado:
Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado
perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:
x2 + bx + ?
Regla para hallar el último término de x2 + bx +?: El último término de un trinomio
cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término
del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son
x2 + bx es :
Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio
cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que
completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.
Ejemplos
1) x2 + 6x + 7 = 0
2) x2 – 10x + 5 = 0
3) 2x2 - 3x - 4 = 0
Fórmula cuadrática:
La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la
fórmula cuadrática:
La expresión:
Conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La
tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de
solución de acuerdo con el valor del discriminante.
Valor de:
Tipo de solución
positivo dos soluciones reales
cero una solución real
negativo dos soluciones
imaginarias
Ejemplos
1) x2 + 8x + 6 = 0
2) 9x2 + 6x + 1 = 0
3) 5x2 - 4x + 1 = 0
Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula
cuadrática.
1) x2 - x - 20 = 0 (por factorización)
2) x2 - 8 = 0 (por raíz cuadrada)
3) x2 - 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado)
4) 9x2 + 6x = 1 (fórmula cuadrática)
Clasificación
Completa
Una ecuación cuadrática se denomina completa si sus coeficientes son no nulos.
Completa General
Es C.general porque es más de 1 es decir como ej: aX2=2X2 o 5X2 u otros que
sean mayor a 1...
ax²+bx+c=0
ej: 3x²+5x+7
Completa Particular
Una ecuación de segundo grado es completa particular si el coeficiente a es igual a
1 (a=1) ejemplo: x² + 3x + 1 = 0
Incompleta
Una ecuación cuadrática se llama incompleta si carece del término de primer grado,
término libre o ambos.
Incompleta Binomial
Si el término libre es cero (aX"2" es al cuadrado) aX2 +bX +c=0 ------> C=0
ej: 4X2 -5x=0
Incompleta Pura
¿Si el coeficiente de x es cero. por ejemplo ax2(el 2 significa al cuadrado)entonces:
ax2+c = 0?
bx=0
ej: 5x2-1=0
Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas
Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que
tiene la forma: .
Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de que cumplen con
la expresión, si es que existen.
Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la
primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios
números hasta "atinarle" (ya sea porque nos sonría la buena fortuna, o por
aproximación).
Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la
"Fuerza Bruta").
Después, conforme nos vamos enfrentando a más problemas que involucran
ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros
que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica
correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que
abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro
método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión
cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos
expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen
que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).
Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se
garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución
"Real").
El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la
"Fórmula General".
Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:
Si es menor que los resultados de X serán dos valores con parte real
y parte imaginaria. Es decir, el resultado será un número complejo.
Si es mayor que obtendremos dos valores distintos de X reales.
Y si es igual que obtendremos dos valores de X reales e iguales.
Al término se le llama discriminante.
Tomando en cuenta el orden de los términos: "a", "b" y "c"=x²-6x+9
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Propiedades de la suma de números enteros
1. Interna:
a + b
3 + (−5)
2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0 = 0
3. Conmutativa:
a + b = b + a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
4. Elemento neutro:
a + 0 = a
(−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
− (−5) = 5
Propiedades de la resta de números enteros
1. Interna:
a − b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa:
a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Interna:
a · b
2 · (−5)
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
3. Conmutativa:
a · b = b · a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
(−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
6. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna:
(−2): 6
2. No es Conmutativo:
a: b ≠ b : a
6: (−2) ≠ (−2): 6
Potencia de números enteros
La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:
1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
Propiedades:
a0 = 1 ·
a1 = a
am · a n = am+n
(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128
am : a n = am - n
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8
(am)n = am · n
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
an · b n = (a · b) n
(−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216
an : b n = (a : b) n
(−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8
Potencias de exponente entero negativo
Raíz cuadrada de un número entero
Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.
El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número. (ditutor)
ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS
1. Las ecuaciones que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de la forma: ax2n+bxn+c=0, con a 0; mediante el cambio de variable z=xn se pueden expresar como una ecuación de segundo grado así: az2+bz+c=0
Una vez resuelta esta ecuación, las soluciones de la ecuación original se determinan
resolviendo x= . Entre estas ecuaciones se hallan las bicuadradas, ecuaciones de cuarto grado en las que no aparecen términos de tercero ni de primer grado.
Ejemplos: x4 - 5x2 +4 = 0 ; x4 - 4 = x2 - 1
Para resolver este tipo de ecuaciones se procede inicialmente igual que para las de segundo grado, es decir, operar hasta que no haya denominadores y expresar la ecuación con el segundo miembro igualado a 0.
Gráficamente se pueden resolver como en el caso de las de segundo grado, representando la gráfica correspondiente al primer miembro de la ecuación una vez igualado a 0. . (recursostic.educacion)
Ejemplo, resuelve x4 - 5x2 + 4 = 0
1. realizamos un cambio de variable, x2 = z, y reescribimos la ecuación: z2 - 5z + 4 = 0
2. resolvemos esta ecuación, z1 = 1 y z2 = 4 3. las soluciones de la ecuación inicial son:
B) Ejemplo, resuelve
1. aislamos la raíz,
2. elevamos al cuadrado, 3. desarrollamos y resolvemos, 36x2+4x-11=0, cuyas soluciones son
4. hacemos la comprobación en la ecuación inicial y sólo la primera de las
raíces es solución de la ecuación original, la segunda no.
RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO
CUADRADO
En este tipo de expresión, hace falta un término cuadrático, para transformar a la
expresión original en un trinomio cuadrado perfecto.
Dicho término cuadrático se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que en
realidad estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresión
básica en nada.
La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la expresión
básica que necesitaba esa adición para transformar dicha parte básica en un
trinomio cuadrado perfecto. La parte negativa queda agregada al final de todo.
Se factoriza la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado
perfecto.
Ahora se tendrá una diferencia de cuadrados, en la cual el primer término es el
trinomio cuadrado perfecto factorizado, y la otra es la parte negativa de las dos
expresiones cuadráticas que se agregaron.
Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a factorizar, como tal, y deja la expresión
original totalmente factorizada, mediante la completación de un trinomio cuadrado
perfecto y de llevar todo a una diferencia de cuadrados.
Cuando mencionamos el caso cinco es porque un autor decidió enumerar los casos,
para nosotros es conocido como completación del trinomio cuadrado perfecto,
entonces para hacerlo recordemos que es el trinomio cuadrado perfecto.
Recordemos que sabíamos que era un trinomio cuadrado perfecto si tomábamos las
raíces y encontrábamos el doble producto. En este caso la factorización es muy
simple, pongamos las raíces en un paréntesis y pongamos entre ellas el signo del
doble producto y elevemos al cuadrado, esa es la factorización del trinomio
cuadrado perfecto. Pero vamos a ver ahora trinomios donde no encontramos ese
doble producto pero haciendo un artilugio matemático podemos lograrlo para luego
volver esa expresión en una diferencia de cuadrados que es otro caso distinto. Para
averiguar si es cuadrado perfecto tomamos las raíces siempre de los que estén
solos. El problema de las matemáticas es que si yo sumo algo también se lo debo
restar porque al restarlo no afectó la expresión. Luego de eso si se puede factorizar.
Aunque hagamos la completación y obtuvimos un trinomio, simplemente tuve una
diferencia y para factorizar se deben obtener productos. Entonces se debe hacer
una diferencia de cuadrados porque lo bueno del trinomio cuadrado perfecto es que
cuando yo lo factorizo siempre se me genera un cuadrado y si la expresión que
sume y reste no me queda al cuadrado entonces el caso no aplica, o sea que no
podemos usar el caso cinco. Siempre que haya completación tengo que darme
cuenta que lo que vaya a sumar o restar tenga raíz. Al tener las dos raíces y el doble
producto ya puedo empezar a factorizar, poniendo entre paréntesis las raíces, el
signo de la mitad que en este caso si importa. Con esto dejamos por explicado como
se resuelven trinomios y binomios utilizando la completación del trinomio cuadrado
perfecto.
2 Comentarios en: factorización por completación del trinomio cuadrado perfecto
Paola Arteaga dice:
19/02/2013 at 11:34 PM
En el minuto 11:30, al momento de desarrollar el trinomio, la solución debería ser
(a↑2+2b↑2)↑2, puesto que colocaste como raíz de 4b↑4 = b↑2; así que el resultado
sería (a↑2+2b↑2+2ab)(a↑2+2b↑2-2ab).
Espero pronto tu rta para saber si estoy en lo correcto o no, gracias
Tareasplus dice:
20/02/2013 at 10:21 AM
Nos quedó faltando el 2 que acompaña a b^2. Vamos a tener una anotación en el
video para corregirlo. Muchas gracias por el comentario.
Recuerda que igual tenemos una mejor versión de este tema que puedes ver en:
EJERCICIOS
2
X + 6X + 9 es un T.C.P.
si es un TCP factorizado:
1°) X y 9 son cuadrados por lo tanto:
2°) doble producto: 2 x Xx 3 = 6X
2
3°) factorando: X + 6X + 9 = (X + 3)
Para resolver una ecuación de segundo grado por la competición de cuadrados se
siguen los siguientes pasos:
1) se forma la mitad del coeficiente de X: b., luego se eleva al
2 2
cuadrado b
2
2) se adiciona a ambos lados de la igualdad
3) se factoriza
4) se hallan las raices (X1 , X2 )
Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado
Demostremos el método de completación del cuadrado con un ejemplo.
Ejemplo 3
Resolver la siguiente ecuación cuadrática .
Solución
El método de completación de cuadrados es como se muestra a continuación.
1. Reescribir como
2. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto al lado derecho necesitamos
añadir la constante . Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación.
3. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar el lado derecho de la
ecuación.
4. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados.
Respuesta y
Si el coeficiente del término no es uno, debemos dividir toda la expresión por este
número antes de completar el cuadrado.
Ejemplo 4
Resolver la siguiente ecuación cuadrática .
Solución:
1. Dividir todos los términos por el coeficiente del término .
2. Reescribir como
3. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto en el lado derecho necesitamos
añadir la constante . Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación.
4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.
5. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados.
Respuesta y
Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar
Una ecuación en forma estándar se escribe como . Para resolver
una ecuación en esta forma primero movemos el término constante al lado derecho
de la ecuación.
Ejemplo 5
Resolver la siguiente ecuación cuadrática .
Solución
El método de completación de cuadrados se aplica como sigue:
1. Mover la constante al otro lado de la ecuación.
2. Reescribir como
3. Sumar la constante a ambos lados de la ecuación
4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.
5. Sacar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
Respuesta y
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son
ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con
forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar
de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores
parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las
funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios,
graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores
mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los
carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado
funciones cuadráticas para su diseño.
Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se
multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando
trabajamos con un área. Si ambas dimensiones están escritas en términos de la
misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Porque la cantidad de un producto
vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática
para representar las ganancias como un producto del precio y de la cantidad
vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la
gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en
un puente suspendido.
Ejemplos:
Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
x 2 + 4 x - 12 = 0
Paso 2: Factorizar
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-6
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( -
6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -12 = 0 36 -
24 - 12 = 0 0 = 0
Verificar x=2
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) -
12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0
Ejemplo 2:
Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 3 = 5 x
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
2 x 2 - 5 x - 3 = 0
Paso 2: Factorizar
2 x 2 - 5 x - 3 = 0 ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 0
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
2 x + 1 = 0 2 x = - 1 x = - 1 2 x - 3 = 0 x = 3
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-1/2
2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( - 1 2 ) 2 - 3 = 5 ( -
1 2 ) 2( 1 4 ) - 3 = 5 ( - 1 2 ) 1 2 -
3 = - 5 2 - 5 2 =- 5 2
Verificar x=3
2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( 3 ) 2 -
3 = 5 (3 ) 2 ( 9 ) - 3 = 15 18 -
3 = 15 15= 15
ANEXOS:
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
NOMBRE: Vinicio Imbaquingo
CURSO: Primero “A”
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones
numéricas.
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la
que numerador y denominador son polinomios.
Son fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones
numéricas.
El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y
denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son
frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.
Operaciones con fracciones algebraicas
SIMPLIFICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se
simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el
denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para
simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.
Por ejemplo, simplificar:
Otro ejemplo, simplificar la fracción
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla
a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo
hasta un cierto nivel).
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con
fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta
de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de
distinto denominador.
Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:
Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción,
que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en
las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se
anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los
signos.
Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando
delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda
Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON DISTINTO DENOMINADOR
Veamos el siguiente ejemplo:
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando
el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se
transforman en fracciones equivalentes con denominador común.
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que
llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).
Para calcular el m.c.m. factorizamos
5ab a2 15b2 a
5b a 15b2 a
5b 1 15b2 b
5 1 15b b
5 1 15 5
1 1 3 3
1 1 1
Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo mismo
que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones
involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los
denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada
uno de los numeradores, y lo hacemos así:
Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también
hay otra, como la siguiente:
Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como
denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo
siguiente:
Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso
anterior.
Un ejemplo más:
Sumar
El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)
Hacemos
¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos
el numerador:
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con
fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de
multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra ,
entonces:
EJEMPLOS DE MULTIPLICACIÓN (PRODUCTO) DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Multiplicar
Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
Simplificamos antes de efectuar el producto:
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
Ejemplos desarrollados
a)
b)
c)
Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso
dominar la factorización de productos notables.
Cociente o división de fracciones algebraicas
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones,
haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de
multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:
EJEMPLOS DE DIVISIÓN (COCIENTE) DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Dividir
Anotamos haciendo el producto cruzado:
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
Ejemplos desarrollados
a)
b)
c)
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las
fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria
principal es la que se halla frente al signo igual (=).
d)
Fracciones algebraicas compuestas
En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial:
las fracciones compuestas.
Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el
numerador y/o denominador.
La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las
fracciones simples que la componen.
Ejemplos:
1)
2)
3)
Bibliografía linea, p. e. (01 de 08 de 2013). http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra_Fracciones.html.
Obtenido de http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra_Fracciones.html.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
Tema: Ecuaciones Lineales
AUTOR: Edgar Vinicio Imbquingo Ayala
ASESOR: Msc: Oscar Lomas
TULCÁN - ECUADOR
AÑO: 2013
118
ECUACIONES LINEALES
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes. Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
b) ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
119
Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
b) ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:
120
EJERCICIOS
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.
Los números reales se denominan coeficientes y los xi
se denominan incógnitas (o números a
determinar) y b
Se denominan términos independientes.
En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2
, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3
pero esto es indiferente a la hora de resolver el
sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones
del sistema simultáneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones Sistemas de
ecuaciones lineales
121
Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un sistema
equivalente.
Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo.
Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.
De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no equivalente) eliminando
ecuaciones.
Discutir los siguientes sistemas y resolverlos en caso de que proceda:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
122
3x +2y + z = 1
5x +3y +4z = 2
x + y - z = 1
Se considera el sistema:
Determina si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de forma que el sistema que resulte
sea equivalente al anterior.
Clasificar y resolver el sistema:
Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Clasificar y resolver el sistema:
Clasificar y resolver el sistema:
Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del
sistema para ese valor de m.
123
Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del
sistema para ese valor de m.
Discutir el sistema según los valores del parámetro a.
Estudiar la compatibilidad del sistema según los valores de los parámetros a y b.
Determinar para qué valores de k, el siguiente sistema tiene infinitas soluciones.
(linea P. e., 2013)
Bibliografía imagenes. (01 de Agosto de 2013).
http://www.google.com.ec/search?q=graficas+lineales&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X
&ei=vmf6UaqtA4G49QSymYGgBA&sqi=2&ved=0CCoQsAQ&biw=988&bih=619#facrc=0%3Bgr
aficas%20lineales%20simples&imgdii=_&imgrc=_. Obtenido de
http://www.google.com.ec/search?q=graficas+lineales&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=
X&ei=vmf6UaqtA4G49QSymYGgBA&sqi=2&ved=0CCoQsAQ&biw=988&bih=619#facrc=0%3B
graficas%20lineales%20simples&imgdii=_&imgrc=_.
linea, P. e. (01 de Agosto de 2013).
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html. Obtenido de
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html.
124
sauce. (01 de Agosto de 2013). http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T07.pdf.
Obtenido de http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T07.pdf.
vitutor. (01 de Agosto de 2013). http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/sg_e.html. Obtenido
de http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/sg_e.html.
Universidad Politécnica Estatal del
Carchi
Desarrollo Integral Agropecuario
Módulo de Algebra
Ing. Oscar Lomas
125
Nombre: Anabel Montenegro
01-Agosto-2013
SISTEMA DE ECUACIONES
Definición
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como
sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones
lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado),
definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de
ecuaciones sería el siguiente:
Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
Posibles soluciones de un sistema 2x2.
Sistema determinado
* La solución es un par ordenado, es decir existe una solución única.
* El par ordenado es la coordenada del punto de intersección.
Sistema inconsistente
126
* Ambas lí neas tienen la misma inclinación por lo tanto no hay intersección entre ellas,
decimos que son lí neas paralelas.
* Este sistema no tiene solución.
Sistema dependiente
Este sistema consta de dos ecuaciones equivalentes por lo que el conjunto solución es un
conjunto infinito de la forma { (x,y)| ax + by + c = 0 }
Ejemplo de graficas de Sistemas de Ecuaciones
EJERCICIOS
127
128
GRAFICA DE OFERTA
129
GRAFICA DEMANDA
130
Bibliografía Alex. (01 de Agosto de 2013). profe-alexz.blogspot.com. Obtenido de profe-alexz.blogspot.com.
cecy98. (2013 de Agosto de 2013). virtual.uaeh.edu.mx/. Obtenido de virtual.uaeh.edu.mx/.
Davila, P. E. (01 de Agosto de 2013). tenido de
as com istema+ e+ c aciones+ x .
Murrias, M. (1 de Agosto de 2013). http://ponce.inter.edu/. Obtenido de http://ponce.inter.edu/.
Universidad Politécnica Estatal del Carchi
Desarrollo Integral Agropecuario
Módulo de Algebra
EJERCICIOS DE ECUACIONES
CUADRATICAS
Ing. Oscar Lomas
131
Nombre: Anabel Montenegro
01-Agosto-2013
EJERCICIOS DE ECUACIONES CUADRATICAS
Introducción
Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente
usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede
describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden
ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los
platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir
ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir
en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy
en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no
hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño.
Usando la Parábola
Una aplicación muy común y fácil de entender de una función cuadrática es la trayectoria
seguida por objetos lanzados hacia arriba y con cierto ángulo. En estos casos, la parábola
representa el camino de la pelota (o roca, o flecha, o lo que se haya lanzado). Si graficamos
la distancia en el eje x y la altura en el eje y, la distancia que del lanzamiento será el valor
de x cuando y es cero. Este valor es una de las raíces de una ecuación cuadrática,
o intersecciones en x, de la parábola. Sabemos cómo encontrar las raíces de una ecuación
cuadrática — ya sea factorizando, completando el cuadrado, o aplicando la fórmula
cuadrática.
Consideremos el tiro hecho por un lanzador de peso. Nota que x = 0 cuando el lanzador
tiene el tiro (una bola de metal pesada= en su mano — el tiro aún no ha salido. El lanzador
usualmente comienza con el tiro en su hombro, entonces y (la altura) no es 0 cuando x = 0:
132
Ejemplo
Problema Un lanzador de peso puede ser modelado
usando la ecuación , donde x es la distancia recorrida (en pies) y yes la altura (también en pies). ¿Qué tan largo es el tiro?
El lanzamiento termina cuando el tiro cae a tierra. La altura y en esa posición es 0, entonces igualamos la ecuación a 0.
Esta ecuación es difícil de
factorizar o de completar el cuadrado, por lo que la resolveremos usando la fórmula
133
cuadrática,
Simplificar
o
Encontrar ambas raíces
x ≈ 46.4 o -4.9
¿Tienen sentido las raíces? La parábola descrita por la función cuadrática tiene dos intersecciones en x. Pero el tiro sólo viajó sobre parte de esa curva. Una solución, -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es un número negativo La otra solución, 46.4 pies, debe ser la distancia del lanzamiento
Solución Aproximadamente 46.4 pies
Aquí está la gráfica de la función de la ganancia mostrando el vértice:
134
En la aplicación siguiente, dejar la velocidad inicial y el ángulo inicial en 60 y oprimir el botón
lanzar. La trayectoria del proyectil es una parábola y el proyectil está en la tierra (y = 0)
cuando x = 0 (al comienzo) y x = 318.13 (al final).
EJERCICIOS
Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la
variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas:
135
La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla
con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se
comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma
cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con una función
cuadrática:
x y = x2
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Ahora dibujamos una curva suave conectando los puntos.
Una función cuadrática resulta en una gráfica con forma de U, llamada parábola. Los valores
de la función cambian suavemente, por lo que la curva debe ser suave también. Ahora que
podemos ver la naturaleza de la parábola (forma de U), veamos su forma en detalle.
136
137
GRAFICAS
138
Bibliografía Alex. (01 de Agosto de 2013). profe-alexz.blogspot.com. Obtenido de profe-alexz.blogspot.com.
cecy98. (2013 de Agosto de 2013). virtual.uaeh.edu.mx/. Obtenido de virtual.uaeh.edu.mx/.
levis. (1 de Agosto de 2014). http://www.montereyinstitute.org/. Obtenido de
http://www.montereyinstitute.org/.
Profalex. (1 de Agosto de 2013). http://quiz.uprm.edu/. Obtenido de http://quiz.uprm.edu/.
Universidad Politécnica Estatal del Carchi
Desarrollo Integral Agropecuario
Módulo de Algebra
EJERCICIOS DE ECUACIONES
CUADRATICAS
139
Ing. Oscar Lomas
Nombre: Anabel Montenegro
01-Agosto-2013
EJERCICIOS DE ECUACIONES CUADRATICAS
Introducción
Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente
usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede
describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden
ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los
platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir
ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir
en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy
en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no
hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño.
Usando la Parábola
Una aplicación muy común y fácil de entender de una función cuadrática es la trayectoria
seguida por objetos lanzados hacia arriba y con cierto ángulo. En estos casos, la parábola
140
representa el camino de la pelota (o roca, o flecha, o lo que se haya lanzado). Si graficamos
la distancia en el eje x y la altura en el eje y, la distancia que del lanzamiento será el valor
de x cuando y es cero. Este valor es una de las raíces de una ecuación cuadrática,
o intersecciones en x, de la parábola. Sabemos cómo encontrar las raíces de una ecuación
cuadrática — ya sea factorizando, completando el cuadrado, o aplicando la fórmula
cuadrática.
Consideremos el tiro hecho por un lanzador de peso. Nota que x = 0 cuando el lanzador
tiene el tiro (una bola de metal pesada= en su mano — el tiro aún no ha salido. El lanzador
usualmente comienza con el tiro en su hombro, entonces y (la altura) no es 0 cuando x = 0:
Ejemplo
Problema Un lanzador de peso puede ser modelado
usando la ecuación , donde x es la distancia recorrida (en pies) y yes la altura (también en pies). ¿Qué tan largo es el tiro?
141
El lanzamiento termina cuando el tiro cae a tierra. La altura y en esa posición es 0, entonces igualamos la ecuación a 0.
Esta ecuación es difícil de factorizar o de completar el cuadrado, por lo que la resolveremos usando la fórmula
cuadrática,
Simplificar
o
Encontrar ambas raíces
x ≈ 46.4 o -4.9
¿Tienen sentido las raíces? La parábola descrita por la función cuadrática tiene dos intersecciones en x. Pero el tiro sólo viajó sobre parte de esa curva. Una solución, -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es un número negativo La otra solución, 46.4 pies, debe ser la distancia del lanzamiento
142
Solución Aproximadamente 46.4 pies
Aquí está la gráfica de la función de la ganancia mostrando el vértice:
En la aplicación siguiente, dejar la velocidad inicial y el ángulo inicial en 60 y oprimir el botón
lanzar. La trayectoria del proyectil es una parábola y el proyectil está en la tierra (y = 0)
cuando x = 0 (al comienzo) y x = 318.13 (al final).
EJERCICIOS
Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la
variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas:
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La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla
con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se
comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma
cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con una función
cuadrática:
x y = x2
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Ahora dibujamos una curva suave conectando los puntos.
144
Una función cuadrática resulta en una gráfica con forma de U, llamada parábola. Los valores
de la función cambian suavemente, por lo que la curva debe ser suave también. Ahora que
podemos ver la naturaleza de la parábola (forma de U), veamos su forma en detalle.
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GRAFICAS
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Bibliografía Alex. (01 de Agosto de 2013). profe-alexz.blogspot.com. Obtenido de profe-alexz.blogspot.com.
cecy98. (2013 de Agosto de 2013). virtual.uaeh.edu.mx/. Obtenido de virtual.uaeh.edu.mx/.
levis. (1 de Agosto de 2014). http://www.montereyinstitute.org/. Obtenido de
http://www.montereyinstitute.org/.
Profalex. (1 de Agosto de 2013). http://quiz.uprm.edu/. Obtenido de http://quiz.uprm.edu/.
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