portafolio de algebra lomas

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Author: edgarcito-imbaquingo

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  • 1. EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES _________________________________________ 12 Introduccin ___________________________________________________________________12 Conjunto de los nmeros reales____________________________________________________12 Conjunto de los nmeros naturales_________________________________________________12 Conjunto de los nmeros enteros __________________________________________________13 Conjunto de los nmeros racionales ________________________________________________13 Conjunto de los nmeros reales____________________________________________________13 EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES _______________________________________ 14 LOS NMEROS REALES Y LA RECTA REAL________________________________________ 15 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS __________________________________ 18 Propiedad conmutativa. _______________________________________________________18 Propiedad Anti conmutativa ________________________________Error! Marcador no definido. Ejemplos _____________________________________________________Error! Marcador no definido. Propiedad distributiva. __________________________________Error! Marcador no definido. Divisores del cero _______________________________________________________________19 Elementos distinguidos _______________________________________________________19 Elemento neutro________________________________________________________________19 Elemento involutivo _______________________________________Error! Marcador no definido. Elemento absorbente ______________________________________Error! Marcador no definido. Operacin inversa_________________________________________Error! Marcador no definido. POTENCIACION Y RADICACION________________________________________________ 20 POTENCIACION ____________________________________________________________ 20 Propiedades de la potenciacin ____________________________________________________21 Potencia de potencia ____________________________________________________________________21 Multiplicacin de potencias de igual base ___________________________________________________21 Divisin de potencias de igual base_________________________________________________________21 Propiedad distributiva ____________________________________________Error! Marcador no definido. Propiedad conmutativa ___________________________________________Error! Marcador no definido. Potencia de exponente 0 __________________________________________Error! Marcador no definido. Potencia de exponente 1 __________________________________________Error! Marcador no definido. Potencia de base 10 ______________________________________________Error! Marcador no definido.

2. RADICACIN ________________________________________ Error! Marcador no definido. Raz cuadrada ____________________________________________Error! Marcador no definido. OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN Y DIVISIN.______ 21 SUMA: ________________________________________________________________________21 RESTA: __________________________________________________Error! Marcador no definido. MULTIPLICACIN: _________________________________________Error! Marcador no definido. DIVISION:________________________________________________Error! Marcador no definido. Divisin entre fracciones __________________________________________Error! Marcador no definido. Divisin de polinomios entre monomios. _____________________________Error! Marcador no definido. Divisin entre polinomios. _________________________________________Error! Marcador no definido. PRODUCTOS NOTABLES _____________________________________________________ 27 Otros casos de productos notables (o especiales): _____________________________________29 Cubo de una suma ______________________________________________________________31 Cubo de una diferencia___________________________________________________________32 MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS_______________ Error! Marcador no definido. Aplicaciones del m.c.m. __________________________________________________________34 1. Reducir fracciones a comn denominador. ________________________________________________34 2. Resolver problemas de la vida prctica. ___________________________________________________34 Aplicaciones del m.c.d. ___________________________________________________________35 1. Simplificar una fraccin hasta su irreducible. _______________________________________________35 2. Resolver problemas de la vida prctica. ___________________________________________________35 RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICAS POR FACTORIZACIN __________________ 37 Descripcin:____________________________________________________________________37 Ecuaciones de primer grado __________________________________________________ 39 Ecuaciones literales de primer grado ___________________________________________ 39 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRTICAS) _____________________________ 42 Ecuaciones de segundo grado y una incgnita ________________________________________42 Solucin de ecuaciones cuadrticas___________________________________________________42 Solucin por completacin de cuadrados ____________________________________________44 Solucin por la frmula general ____________________________________________________47 PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NMEROS REALES ________________________ 48 Inverso aditivo _________________________________________________________________48 3. Propiedad del doble negativo _____________________________________________________48 Operaciones con los nmeros Reales _______________________________________________________49 1. Sumar nmeros reales_______________________________________________________________49 Restar nmeros reales_________________________________________________________________50 Multiplicar nmeros reales _____________________________________________________________50 Propiedades de los nmeros reales. ________________________________________________51 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES _______________________________________ 51 Ecuaciones lineales de primer grado ________________________________________________54 a) ecuaciones lineales propiamente tales ____________________________________________________54 b) ecuaciones fraccionarias _______________________________________________________________55 c) ecuaciones literales ___________________________________________________________________55 Sistemas de ecuaciones lineales _______________________________________________56 Sistema compatible indeterminado _________________________________________________56 Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitas____________________________________56 CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ________________ 57 Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales _________________ 60 Mtodo de reduccin ____________________________________________________________60 Ejemplo ______________________________________________________________________________61 Ejemplo ______________________________________________________________________________62 Mtodo de sustitucin_________________________________________________________63 Ejemplo ______________________________________________________________________________63 Mtodo de Gauss _____________________________________________________________64 Ejemplo ______________________________________________________________________________64 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ___________________________________________ 66 10 Ejemplos de Trminos Semejantes: _________________________________________67 CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA________________________________ 67 MONOMIO. ____________________________________________________________________67 BINOMIO______________________________________________________________________67 TRINOMIO. ____________________________________________________________________67 POLINOMIO. ___________________________________________________________________68 GRADO DE UN MONOMIOS __________________________________________________ 68 GRADO DE UN POLINOMIO___________________________________________________ 68 ORDENAR UN POLINOMIO ___________________________________________________ 68 4. NOMENCLATURA ALGEBRAICA________________________________________________ 71 DESCOMPOSICIN FACTORIAL_____________________________________________________73 Mtodos para la factorizacin de polinomios _________________________________________73 Binomios______________________________________________________________________________73 Trinomios _____________________________________________________________________________73 Polinomios ____________________________________________________________________________73 Factorizar un monomio __________________________________________________________________73 Factorizar un polinomio__________________________________________________________________73 Factor comn. __________________________________________________________________74 Factor comn de un polinomio_____________________________________________________74 Factor comn por agrupacin de trminos ___________________________________________75 Trinomio cuadrado perfecto_______________________________________________________75 Raz cuadrada de un monomio_____________________________________________________75 Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto _______________________76 Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto ___________________________76 Trinomios de la forma x2 + px + q __________________________________________________________77 Regla prctica para factorizar el trinomio _______________________________________77 Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m 1)_______________________________________________78 CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M ________________________________________ 79 Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.) entre polinomios _________________________ 79 Ejercicios ____________________________________________________________________81 OPERACIONES CON FRACCIONES ______________________________________________ 84 SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES ___________________________________________ 84 MULTIPLICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS _________________________________ 88 DIVISIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ________________________________________ 89 ECUACIONES CUADRATICAS __________________________________________________ 90 Factorizacin: __________________________________________________________________91 Raz cuadrada: _________________________________________________________________________91 Completando el cuadrado: ________________________________________________________92 Frmula cuadrtica: _____________________________________________________________92 Clasificacin____________________________________________________________________93 Completa_____________________________________________________________________93 5. Completa General ____________________________________________________________________94 Completa Particular __________________________________________________________________94 Incompleta ___________________________________________________________________94 Incompleta Binomial _________________________________________________________________94 Incompleta Pura______________________________________________________________________94 Frmula general para resolver ecuaciones cuadrticas _____________________ 94 PROPIEDADES DE LOS NMEROS ENTEROS______________________________________ 96 Propiedades de la suma de nmeros enteros_________________________________________________96 Multiplicacin de nmeros enteros ________________________________________________________97 Regla de los signos ______________________________________________________________________97 Propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros _________________________________________97 Propiedades de la divisin de nmeros enteros_______________________________________________98 Potencia de nmeros enteros _____________________________________________ 99 Propiedades: ________________________________________________________________________99 Potencias de exponente entero negativo ____________________________________________99 RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO ______________ 101 Solucin de ecuaciones cuadrticas por completacin del cuadrado ____________104 Resolver ecuaciones cuadrticas en forma estndar ___________________________105 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRTICAS _______________________________ 106 ANEXOS: NOTAS DE CLASE __________________________________________________ 108 EVALUACIONES ______________________________________ Error! Marcador no definido. 6. ___________________________________________________ Error! Marcador no definido. Bibliografia _________________________________________ Error! Marcador no definido. 7. EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES Introduccin El ente bsico de la parte de la matemtica conocida como anlisis lo constituye el llamado sistema de los nmeros reales. Nmeros tales como 1, 3, , , e, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas. Existen dos mtodos principales para estudiar el sistema de los nmeros reales. Uno de ellos comienza con un sistema ms primitivo tal como el conjunto de los nmeros naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de l, por medio de una secuencia lgica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los nmeros reales1. En el segundo mtodo se hace una descripcin formal del sistema de los nmeros reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades. En esta primera parte se har una presentacin intuitiva del conjunto R de los nmeros reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los nmeros naturales y se efectan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo ms a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solucin, que a un desarrollo axiomtico del mismo. Conjunto de los nmeros reales El conjunto de los nmeros reales est constituido por diferentes clases de nmeros. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto de los nmeros naturales El conjunto de los nmeros naturales, que se denota por N o tambin por Z corrientemente se presenta as: 8. N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. La notacin de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carcter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numricos y lleva principalmente a la consideracin de los nmeros reales. Conjunto de los nmeros enteros El conjunto de los nmeros enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta as: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. En el conjunto de los nmeros enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en N, como sucede por ejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuya solucin es x = 2. Puede notarse que N Z. Conjunto de los nmeros racionales El conjunto de los nmeros racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera { } La introduccin de los nmeros racionales responde al problema de resolver la ecuacin ax = b, con a, b Z, a 0. sta slo tiene solucin en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b. Conjunto de los nmeros reales Se define como. = En el conjunto de los nmeros reales estn definidas dos operaciones: adicin (+) y multiplicacin (), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas tambin axiomas de campo). (Peano, 1889) 9. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES Al conjunto de los nmeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numrico a partir de los nmeros naturales. En cada una de las ampliaciones se avanza y mejora respecto de la anterior. Con los nmeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar (a- b) si a < b. Se definen as los nmeros negativos o enteros negativos que al unirse con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nmeros enteros (Z). Con los nmeros enteros (Z) se puede sumar, restar, multiplicar pero no dividir si a no es mltiplo de b. Se definen as los nmeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de los nmeros racionales. Todo nmero racional se puede expresar como un nmero decimal exacto o como un nmero decimal peridico, es decir con infinitas cifras decimales que se repiten Con los nmeros racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir ( si b 0). Si bien el conjunto de los nmeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar las diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de l ( , , p , entre otros). Surgen los nmeros irracionales para dar respuesta a estas instancias. Los nmeros irracionales se pueden expresar como nmeros decimales de infinitas cifras decimales no peridicas. Los nmeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los nmeros reales (R). 10. Los nmeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoras: propiedades algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades algebraicas establecen que los nmeros reales pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos (excepto por cero) obtenindose otro nmero real. LOS NMEROS REALES Y LA RECTA REAL En la geometra analtica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los nmeros reales y los puntos de la recta. Existe una condicin que cumplen los nmeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunvoca (uno a uno) entre el conjunto de los nmeros reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada nmero real le corresponde un nico punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un nico nmero real. Como se observa en el grfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona adems una unidad de longitud para medir distancias. Se elige tambin un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada nmero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente: Se asocia al origen el nmero 0, Se asocia a cada nmero positivo p un punto que est a una distancia de p unidades del origen en la direccin positiva, 11. Se asocia a cada nmero negativo - p el punto que est a p unidades de distancia del origen en la direccin negativa. Los puntos en la recta se identifican con los nmeros que representan. El nmero real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numrica o recta de los nmeros reales. Tambin se la conoce como eje coordenado o eje real. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Ejemplo. Orden Los nmeros reales estn ordenados cumpliendo slo una de las afirmaciones siguientes: dados dos nmeros reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b. Puede observarse en la recta que a < b si y slo si el punto que representa al nmeroa est a la izquierda del punto que representa al nmero b. Anlogamente, a > b s y slo s el punto que representa al nmero a se halla a la derecha del que representa a b. 12. Si a = b, los puntos se superponen. La relacin de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b si el nmero real a es menor que el nmero real b (a < b).([email protected], s.f.) 13. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS En lgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones de A x A en A: son las de mayor inters, porque se utilizan tanto en los sistemas numricos o, ms abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatizacin de los diversos sistemas matemticos Propiedad conmutativa. Dado un conjunto no vaco A, en el que se ha definido una ley de composicin interna *: se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple: Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a. Del mismo modo podemos decir que la ley de composicin interna *, no es conmutativa en A si: Si existe algn a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de operar b con a. La adicin en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales, reales y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b elementos de mismo cualquier conjunto indicado La multiplicacin es asociativa en cualquiera de los conjuntos 14. La divisin en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b b:a, salvo para 1 y -1. El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo. El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB BxA. Divisores del cero . Sea el conjunto A y la operacin * , siendo a 0, b 0 se deduce que a*b = 0 , se dice que a y b son divisores del 0. Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0. En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos mdulo 6 con la multiplicacin * de restos, resulta 2*3=0. Sean las funciones reales: f / f(x) =0 si x0 y f(x)=1 en otro caso, g(x)= 1 si x0 y g(x) =0 en otro caso; tanto f y g no son nulas pero s su producto (x) = 0 para todo x real. Sea el conjunto Z[4] = {0,1,2,3} de los restos mdulo 4; con la adicin tenemos que en este caso 2+2 = 0. De modo que no siempre "dos ms dos dan cuatro". Elementos distinguidos Elemento neutro Si se tiene el conjunto A, no vaco, provisto de una operacin binaria *, que indicaremos: (A,*), Diremos que el elemento es el elemento neutro por la derecha si: Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda e', tal que e'*a = a, e = e'; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro. Ejemplo: En los sistemas aditivos Z, Q, R de los enteros, racionales y reales el 0 cero es el elemento neutro aditivo. Esto es a+0= 0+ a =a. 15. POTENCIACION Y RADICACION POTENCIACION ROF. Jos Luis Gallardo La potenciacin es una nueva forma de escribir el producto de un nmero por l mismo. Es muy prctica, elegante, til y fcil. Fjate que la base es el nmero que multiplicas varias veces por s mismo, el exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado. As por ejemplo: Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por s mismo y obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125. Cuando un nmero se multiplica por s mismo una cantidad definida de veces es una potenciacin. Por ejemplo, si se multiplica ocho por s mismo cinco veces se tendr 8 X 8 X 8 X 8 X 8. Si se escribe en forma exponencial se anota, 85 . En este caso, al nmero ocho se lo llama base (nmero que se va a multiplicar por s mismo) y al cinco se le denomina exponente (nmero de veces que se va a multiplicar al ocho por s mismo). De acuerdo con lo anterior, se puede decir que: 85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768 Elevar a una potencia el nmero 10 Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el nmero 10. Por ejemplo lo elevamos a la cuarta: 104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000 16. Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros. As se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones (100.000.000)... Propiedades de la potenciacin Las propiedades de la potenciacin son las siguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicacin de los primeros exponentes. Multiplicacin de potencias de igual base La multiplicacin de dos o ms potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes. Divisin de potencias de igual base La divisin de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN Y DIVISIN. SUMA: Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre s los coeficientes de los trminos del mismo grado El resultado de sumar dos trminos del mismo grado, es otro trmino del mismo grado. Si falta algn trmino de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se complet con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los trminos de igual grado. Tambin se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIN de cada ejercicio lo mostrar resuelto de las dos maneras. EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x 17. B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3 2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) + -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros trminos con ceros. As, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado trmino a trmino con el otro polinomio. EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2) B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (grado 3) 0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo) + 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ 4x3 - 8x2 + 7x - 3 A + B = 4x3 - 8x2 + 7x 3 La suma de los trminos de grado 2 di 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los trminos con coeficiente cero. EJEMPLO 3: (Uno de los trminos del resultado es cero) A = 9 + 5x3 - 4x2 + x B = 4x2 - 3 - 2x 5x3 - 4x2 + x + 9 + 18. 0x3 + 4x2 - 2x - 3 ____________________ 5x3 + 0x2 - x + 6 A + B = 5x3 - x + 6 Se llama trminos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay trminos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos trminos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sum cero, por no tener otro trmino semejante. EJEMPLO 4: (No hay trminos semejantes) A = 4x3 + 5 B = -2x + x2 4x3 + 0x2 + 0x + 5 + 0x3 + x2 - 2x + 0 ____________________ 4x3 + x2 - 2x + 5 A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5 Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los trminos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es prctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. As que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los trminos de igual parte literal. EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y 19. A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y) = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y = -3xy2 - 6x2 y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 EJEMPLO 3: (Multiplicacin de polinomios incompletos y desordenados, completndolos y ordenndolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado) X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado) ______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. As es ms fcil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recin aprende el tema, pero luego cuando se tiene ms prctica se 20. preferir no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicacin sin completar los polinomios. En el resultado final ya no se ponen los trminos con 0. EJEMPLO 4: (Multiplicacin de polinomios incompletos; sin completarlos, pero s ordenndolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 - 9x2 + x (polinomio A incompleto pero ordenado) X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado) _____________________ 15x4 - 27x2 + 3x -10x6 + 18x4 - 2x3 ____________________________ -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x En el resultado de multiplicar por el 3 no hay trmino con grado 3. Y en el resultado de multiplicar por -2x2, no hay trmino de grado 2. Eso obliga a que, para que queden encolumnados los trminos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en dnde ubicar cada trmino. En ese caso es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3: completar y ordenar a los dos polinomios para que todos los trminos vayan saliendo en orden y no haya qu pensar en dnde ponerlos. 21. EJEMPLO 5: (Multiplicacin de polinomios de varias letras) A = -3x2 y3 + 4 - 7x2 y2 - 6x3 y3 B = 5x4 y + 8x - 2x3 y - 10 A x B = (-3x2 y3 + 4 - 7x2 y2 - 6x3 y3 ).(5x4 y + 8x - 2x3 y - 10) = -15x6 y4 - 24x3 y3 + 6x5 y4 + 30x2 y3 + 20x4 y + 32x - 8x3 y - 40 - 35x6 y3 - 56x3 y2 + 14x5 y3 + 70x2 y2 - 30x7 y4 - 48x4 y3 + 12x6 y4 + 60x3 y3 = -15x6 y4 + 12x6 y4 - 24x3 y3 + 60x3 y3 + 6x5 y4 + 30x2 y3 + 20x4 y + 32x - 8x3 y - 40 - 35x6 y3 - 56x3 y2 + 14x5 y3 + 70x2 y2 - 30x7 y4 - 48x4 y3 + 12x6 y4 = -3x6 y4 + 36x3 y3 + 6x5 y4 + 30x2 y3 + 20x4 y + 32x - 8x3 y - 40 - 35x6 y3 - 56x3 y2 + 28x5 y3 + 70x2 y2 - 30x7 y4 - 48x4 y3 + 12x6 y4 Cuando los polinomios tienen varias letras, no es prctico usar el procedimiento de ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo rengln" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicacin de los trminos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los trminos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo dos trminos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los dems quedan como estn. EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 22. 5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado) X -2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado) ______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0 -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del - 27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el trmino de grado x. Todo lo dems PRODUCTOS NOTABLES Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicacin. Tambin sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (tambin productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuacin veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable). Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado 23. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, ms el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad. Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (a + b)2 Nota: Se recomienda volver al tema factorizacin para reforzar su comprensin. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades a2 2ab + b2 = (a b)2 El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad. Demostracin: 24. Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a2 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (a b)2 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados) (a + b) (a b) = a2 b2 El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma (a + b) (a b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como a2 b2 Otros casos de productos notables (o especiales): Producto de dos binomios con un trmino comn, de la forma x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) Demostracin: 25. Veamos un ejemplo explicativo: Tenemos la expresin algebraica x2 + 9 x + 14 Obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 ) Cmo llegamos a la expresin? a) El cuadrado del trmino comn es (x)(x) = x2 b) La suma de trminos no comunes multiplicada por el trmino comn es (2 + 7)x = 9x c) El producto de los trminos no comunes es (2)(7) = 14 As, tenemos: x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 ) Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (x + a) (x + b) Producto de dos binomios con un trmino comn, de la forma x2 + (a b)x ab = (x + a) (x b) Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma x2 + (a b)x ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (x + a) (x b). 26. Producto de dos binomios con un trmino comn, de la forma x2 (a + b)x + ab = (x a) (x b) Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma x2 (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x a) (x b). Producto de dos binomios con un trmino comn, de la forma mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b) En este caso, vemos que el trmino comn (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx). Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma mnx2 + ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b). Cubo de una suma a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 27. Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3 . Cubo de una diferencia a3 3a2 b + 3ab2 b3 = (a b)3 2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2 Factorizando las expresiones dadas: > 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2) > 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) ( Para ambas expresiones se aplic el Caso I) Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de 3x^2y(2x -2) y 3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y por lo tanto el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y y 9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y < Solucin. _________________________________________________________ 3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 Faxctorizando las expresiones dadas: > 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) > 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) (Para ambas expresiones se aplic el Caso I) Factor comn de 4a^2b^2(3b) y 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2 Por lo tanto el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2 < Solucin. __________________________________________________________ 4) Hallar el m.c.d. de ab +b y a^2 +a Factorizando las expresiones dadas: 28. > ab +b = b(a +1) > a^2 +a = a(a +1) (Para ambas expresiones se aplic el Caso I) Factor comn de b(a +1) y a(a +1) es = (a +1) Por lo tanto el m.c.d. de ab +b y a^2 +a es = a +1 < Solucin. ___________________________________________________________ 5) Hallar el m.c.d. de x^2 -x y x^3 -x^2 Factorizando las expresiones dadas: > x^2 -x = x(x -1) > x^3 -x^2 = x^2(x -1) (Para ambas expresiones se aplic el Caso I) Factor comn de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1) Por lo tanto el m.c.d. de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1) < Solucin. ___________________________________________________________ 6) Hallar el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 Factorizando las expresiones dadas: > 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x) > 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplic el Caso I Factor comn de (3)(5)(x)(x)(2a -x) y (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x Por lo tanto el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 es = 5x < Solucin. ___________________________________________________________ 7) Hallar el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 Factorizando las expresiones dadas: > 18a^2x^3y^4 = 6a^2xy^4(3x^2) > 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 = 6a^2xy^4(x -3) Se aplic el Caso I para ambas expresiones. Factor comn para 6a^2xy^4(3x^2) y 6a^2xy^4(x -3) es = 6a^2xy^4 29. Por lo tanto el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 es = 6a^2xy^4 < Solucin. ___________________________________________________________ 8) Hallar el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2 Factorizando las expresiones dadas: > 5a^2 -15a = 5a(a -3) > a^3 -3a^2 = a^2(a -3) Se aplic el Caso I, para ambas expresiones. Factor comn de 5a(a -3) y a^2(a -3) es = a(a-3) Por lo tanto el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2 es = a(a -3) < Solucin. Aplicaciones del m.c.m. 1. Reducir fracciones a comn denominador. Ejemplo: Reducir a comn denominador las siguientes fracciones: Factor izamos los denominadores: 12 = 22 x 3 9 = 32 18 = 2 x 32 Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22 32 = 4 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador. 2. Resolver problemas de la vida prctica. Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro faro aparece cada 12 segundos. Habr algn momento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Si es as, cada cuntos segundos coincidirn los dos? Solucin: Buscamos una cantidad de segundos que sea mltiplo de 8 y de 12 y que a la vez sea el ms cercano. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12). Factorizamos 8 y 12: 8 = 23 12 = 22 x 3 Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, y calculamos el mnimo comn mltiplo. m.c.m. (8, 12) = 23 3 = 8 3 = 24. 30. Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se vern al mismo tiempo cada 24 segundos. Aplicaciones del m.c.d. 1. Simplificar una fraccin hasta su irreducible. Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fraccin: Hallamos el M.C.D. (360, 336). Para ello factorizamos el numerador y el denominador. 360 = 23 x 32 x 5 336 = 24 x 3 x 7 Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que: M.C.D. (360, 336) = 23 3 = 8 3 = 24. Dividimos el numerador y el denominador entre 24 360 = 360 : 24 = 15 336 336 : 24 14 y obtenemos la fraccin equivalente irreducible: 2. Resolver problemas de la vida prctica. Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. De qu tamao tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y sean lo ms grande posible? Cuntas baldosas tengo que comprar? Solucin: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor comn de 270 y 180, y el ms grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el mximo comn divisor de 270 y 180. Factorizamos 270 y 180: 270 = 2 x 33 x 5 180 = 22 x 33 x 5 Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que: M.C.D. (270,180) = 2 32 5 = 2 9 5 = 90. Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuntas necesitamos: 270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo. 31. 180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho. Respuesta: Necesitamos 6 baldosas. 32. RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICAS POR FACTORIZACI N Descripcin: La funcin cuadrtica es una funcin de los reales en los reales cuya regla de correspondencia est dada por f(x) = ax 2 + bx + c (a0) y cuyo dominio incluye todos los nmeros reales. Para resolver ecuaciones cuadrticas utilizamos principalmente el mtodo de factorizacin. Ejemplos: 1) Resuelva x 32x 1 9 . Solucin: Lo primero es lograr que la ecuacin se iguale a cero. Para esto, primero multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Despus factorizaremos la ecuacin resultante para obtener la solucin final. Es conveniente verificar la solucin final en la ecuacin original. x 32x 1 9 2x 2 x 6x 3 9 2x 2 5x 3 9 0 2x 2 5x 12 0 2x 3x 4 0 2x 3 0 2x 3 x 3/2 33. x 4 0 x 4 2) Halle las soluciones de x 3 8x 2 16x 0. Solucin: Como la ecuacin ya est igualada a cero solamente hay que factorizar e igualar sus factores a cero y resolver en trminos de x . xx 2 8x 16 0 xx 4x 4 0 x 0 x 4 0 x 4 34. Ecuaciones de primer grado Una ecuacin de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incgnita cuyo valor est relacionado a travs de operaciones aritmticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incgnita es uno. Para resolver una ecuacin de primer grado se deben traspasar los trminos de un lado a otro de la ecuacin, de manera que todos los trminos que tengan la incgnita queden a un lado y los dems al otro, teniendo la precaucin de mantener la igualdad de la expresin. Por eso, cada vez que trasponemos un trmino se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuacin: (x + 3)2 (x - 1)2 = 3x (x 4) a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresin x2 + 6x + 9 (x2 2x + 1) = 3x x + 4 x2 + 6x + 9 x2 + 2x 1 = 3x x + 4 b) Trasponemos los trminos: x2 + 6x x2 + 2x 3x + x = 4 9 + 1; c) Reducimos trminos semejantes: 6x = -4 ; d) Dividimos por 6: x = -4/6 e) Simplificamos por 2: x = -2/3 Ecuaciones literales de primer grado Una ecuacin de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales adems de la incgnita. Por convencin, se identifica como incgnitas a las ltimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efecta el mismo procedimiento aplicado en la ecuacin del ejemplo anterior. La variante es 35. que cuando tengamos todas las incgnitas a un lado de la ecuacin, factorizaremos por ella para poder despejarla. Desarrollemos un ejemplo: ax b(x 1) = 3(x + a) Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos trminos semejantes y trasponemos trminos: a) Resolvemos las operaciones ax bx + b = 3x + 3a b) Reducimos trminos semejantes y trasponemos trminos: ax bx 3x = 3a b c) Factorizamos al lado izquierdo por la incgnita: x(a b 3) = 3a b d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a b 3): (Por qu se divide? Porque el factor de la incgnita es diferente de 1) Ejemplos de planteo de ecuaciones: Ejemplo 1: Encuentra dos nmeros consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9. Sean x y x + 1 los nmeros. Entonces, segn el enunciado dado: (x + 1)2 x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos: x2 + 2x + 1 x2 = 9 2x + 1 = 9 x = 4; Por lo tanto los nmeros son 4 y 5. Ejemplo 2: Sergio tiene un ao ms que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman 97. Qu edad tiene el menor? Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuacin: 36. x + 2x + 1 = 97 3x = 96 x = 32 Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65. Respuesta: la edad del menor es 32. Ejemplo: 1.-Resolucin de la ecuacin 2x - 3 = 2 1 paso: Se suma a los dos miembros 3. 2x -3 + 3 = 2 + 3 2x = 5 2 pas. Se divide los dos miembros por 2. 2x /2 = 5/2 2.- Resolucin de la ecuacin 3x -2 = x + 5 1 paso: Restamos x a los dos miembros. 3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5 2 pas. Sumamos 2 a los dos miembros. 2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7 3 pas. Dividimos por 2, el coeficiente de la x 2x/2 = 7/2 SOLUCIN: x = 7 / 2 3.- Resolucin de la ecuacin 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5 1 paso: Se simplifica los dos miembros. 6x - 4 = 12 - 3x 2 paso: Sumamos 3x a los dos miembros. 37. 6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12 3 paso. Sumamos 4 a los dos miembros. 9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16 4 paso: Dividimos por 9 SOLUCIN: x = 16 / 9 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRTICAS) Ecuaciones de segundo grado y una incgnita Sabemos que una ecuacin es una relacin matemtica entre nmeros y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que slo hay una letra, llamada incgnita, que suele ser la x. Resolver la ecuacin consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incgnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solucin de la ecuacin. Ejemplo: Resolver la ecuacin x 1 = 0 El nmero que hace que esa ecuacin sea cierta es el 1, ya que 1 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solucin de la ecuacin. Si en la ecuacin la incgnita est elevada al cuadrado, decimos que es una ecuacin de segundo grado (llamadas tambin ecuaciones cuadrticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque tambin una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuacin de segundo grado o cuadrtica se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parmetros que habr que sustituir por los nmeros reales que corresponda en cada caso particular. Solucin de ecuaciones cuadrticas Hemos visto que una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son nmeros reales. 38. Pero este tipo de ecuacin puede presentarse de diferentes formas: Ejemplos: 9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 9x + 0 = 0 a = 3, b = 9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no est) 6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe) Para resolver la ecuacin cuadrtica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes mtodos: Solucin por factorizacin En toda ecuacin cuadrtica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero. Ejemplos 1) Resolver (x + 3)(2x 1) = 9 Lo primero es igualar la ecuacin a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios: Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero: Ahora podemos factorizar esta ecuacin: (2x 3)(x + 4) = 0 Ahora podemos igualar a cero cada trmino del producto para resolver las incgnitas: 39. Si 2x 3 = 0 2x = 3 Si x + 4 = 0 x = 4 Esta misma ecuacin pudo haberse presentado de varias formas: (x + 3)(2x 1) = 9 2x2 + 5x 12 = 0 2x2 + 5x = 12 2x2 12 = 5x 2) Halle las soluciones de La ecuacin ya est igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en trminos de x: Ahora, si x = 0 o si x 4 = 0 x = 4 Solucin por completacin de cuadrados Se llama mtodo de la completacin de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geomtricamente, y porque en la ecuacin cuadrtica se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuacin del tipo: (ax + b)2 = n en la cual el primer miembro de la ecuacin (ax + b)2 , es el cuadrado de la suma de un binomio. Partiendo de una ecuacin del tipo 40. x2 + bx + c = 0 por ejemplo, la ecuacin x2 + 8x = 48, que tambin puede escribirse x2 + 8x 48 = 0 Al primer miembro de la ecuacin (x2 + 8x) le falta un trmino para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo (ax + b)2 Que es lo mismo que (ax + b) (ax + b) Que es lo mismo que ax2 + 2axb + b2 En nuestro ejemplo x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo nmero del binomio, por lo tanto, ese nmero debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2 ) el tercer trmino corresponde al cuadrado del segundo trmino (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuacin por 16, as tenemos x2 + 8x + 16 = 48 + 16 x2 + 8x + 16 = 64 la cual, factorizando, podemos escribir como sigue: (x + 4) (x + 4) = 64 Que es igual a (x + 4)2 = 64 Extraemos raz cuadrada de ambos miembros y tenemos Nos queda x + 4 = 8 Entonces x = 8 4 x = 4 41. Se dice que "se complet un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuacin se logr obtener la expresin (x + 4)2 , que es el cuadrado perfecto de un binomio. Veamos otro ejemplo: Partamos con la ecuacin x2 + 6x 16 = 0 Hacemos x2 + 6x = 16 Luego, a partir de la expresin x2 + 6x (primer miembro de la ecuacin) debemos obtener una expresin de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio). Para encontrar el trmino que falta hacemos (Para encontrar dicho trmino en cualquier ecuacin siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo trmino y el resultado elevarlo al cuadrado). Ahora, para obtener la expresin completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuacin: x2 + 6x = 16 x2 + 6x + 9 = 16 + 9 x2 + 6x + 9 = 25 factorizamos, y queda (x +3) (x + 3) = 25 (x + 3)2 = 25 La expresin x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2 , y as la ecuacin se resuelve con facilidad: Extraemos raz cuadrada y queda x + 3 = 5 y x + 3 = 5 (pues 52 = 5 y tambin (5)2 = 5 Entonces 42. x = 5 3 x = 2 Y x = 5 3 x = 8 La ecuacin 1 da x = 2 y la ecuacin 2 da x = 8. Solucin por la frmula general Existe una frmula que permite resolver cualquier ecuacin de segundo grado, que es la siguiente: La frmula genera dos respuestas: Una con el signo ms (+) y otra con el signo menos () antes de la raz. Solucionar una ecuacin de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la frmula. La frmula general para resolver una ecuacin de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuacin de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las tcnicas de factorizacin. Resolver la ecuacin 2x2 + 3x 5 = 0 Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = 5, as es que: Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el As es que las soluciones son 43. PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NMEROS REALES Para tener xito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir nmeros Reales. Dos nmeros, en la recta numrica, que estn a la misma distancia del cero pero en direcciones opuestas se denominan: Inversos aditivos, opuestos o simtricos uno del otro. Por ejemplo. 3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3 El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo. La suma de un nmero y su inverso aditivo es 0 (cero). Inverso aditivo Para cualquier nmero real de a, su inverso aditivo es a. Considere el nmero -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este nmero debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. ste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo. Propiedad del doble negativo Para cualquier nmero real a, -(-a) = a Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9 Valor absoluto El valor de cualquier nmero distinto del cero siempre ser un nuero positivo, y el valor absoluto de 0 es 0. Para determinar el valor absoluto de un nmero real, use la definicin siguiente. La definicin de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier nmero no negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier nmero negativo es el inverso aditivo (opuesto9 del nmero. 44. El valor absoluto de un nmero puede determinarse por medio de la definicin. Por ejemplo. Operaciones con los nmeros Reales 1. Sumar nmeros reales Para sumar dos nmeros con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo comn antes de la suma. La suma de dos nmeros positivos ser un nmero positivo, y la suma de dos nmeros negativos ser un nmero negativo. Ejemplo. -5 + (-9) Solucin: Como ambos nmeros que se suman son negativos, la suma ser negativa. Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos nmeros y coloque un signo negativo antes del valor. Para sumar dos nmeros con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del nmero con el valor absoluto ms grande. La suma de un nmero positivo y un nmero negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta ser el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto. Ejemplo. 3 + (-8) Como los nmeros que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto ms pequeo del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto. 45. Ahora determinamos la diferencia, 8 3 = 5. El nmero -8 tiene un valor absoluto mayor que el nmero 3, por lo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5 Restar nmeros reales Todo problema de sustraccin puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente. a b = a + (-b) Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5 (+8). Para restar 5 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 8 = 5 + (-8) = -3 Multiplicar nmeros reales Para multiplicar dos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para multiplicar dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplo Cuando multiplicamos ms de dos nmeros, el producto ser negativo cuando exista un nmero impar de nmeros negativos. El producto ser positivo cuando exista un nmero par de nmeros negativos. Propiedad del cero en la multiplicacin Para cualquier nmero a, Dividir nmeros reales Para dividir dos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplos. Cuando el denominador de una fraccin es un numero negativo, por lo comn reescribimos la fraccin con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente. 46. Propiedades de los nmeros reales. Propiedades de los nmeros reales. APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES Pasos para la solucin de problemas: 1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras. 2. Identificar la informacin disponible y qu es lo que se pregunta. 3. Representar la incgnita con un smbolo algebraico, como x. 4. Expresar las dems cantidades en trminos de x. 5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x. 6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los mtodos adecuados. 7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible. 8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje comn. Ejemplos El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. Cuntos estudiantes practican deporte? 47. Solucin: Como , entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2, es decir: 240 0,2 = 48. Ejemplo Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte. En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, qu porcentaje de alumnos aprobaron el examen? Solucin: Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60 Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33 Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podra haber hecho 200 60 = 140) Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91 Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124 Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces Ejemplos La ta Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces ms que Laura a cunto le toco cada uno? Solucin Laurita=x Pedro=2x (dos veces ms que Laura) 48. juanita=5x (cinco veces ms que Laurita) x+2x+5x=160 8x=160 x=160/8 x=20 con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y a juanita 100 millones.. Ejemplos Los miembros de una fundacin desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. Cunto debern invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que producira al 8% de la inversin total? Solucin: Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 P) ser la cantidad a invertir al 6%. Establecemos: (Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total Sustituimos los valores (9%) P + (6%)($18,000 P) = (8%)*($18,000) Resolvemos para P: .09P + .06 (18,000 P) = .08*(18,000) .09P + 1,080 .06P = 1,440 .09P .06P = 1,440 1,080 .15P = 360 P = (360) / (.15) P = 2,400 Los miembros de la fundacin deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 $2,400 = $15,600 al 6%. 49. Ecuaciones lineales de primer grado Sabemos que una ecuacin lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales: a) ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuacin el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fraccin, aunque el resultado s puede serlo). Para proceder a la resolucin se debe: Eliminar parntesis. Dejar todos los trminos que contengan a "x" en un miembro y los nmeros en el otro. Luego despejar "x" reduciendo trminos semejantes. Ejemplo: 4x 2(6x 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x 12x 3x 24x = 192 10 35x = 182 50. b) ecuaciones fraccionarias En este tipo de ecuacin lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fraccin). Para proceder a la resolucin se debe: Llevar a ecuacin lineal (eliminar la fraccin) multiplicando la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12 c) ecuaciones literales Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir trminos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo: 51. Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas tiene la siguiente la forma: Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuacin de una recta. Determinar la solucin del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas. Grficamente, la situacin es la siguiente Sistema compatible indeterminado Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitas 52. Se puede ver: Con lo que podemos decir que la primera ecuacin multiplicada por tres da la segunda ecuacin, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuacin. Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos: CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a) 2 x + y = 6 2 x - y = 2 a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: 53. x = 1, y = 4; x = 2, y = 2 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 1, y= 0; x = 2, y = 2 Las rectas se cortan en un punto que ser la solucin:x = 2, y = 2. Por tanto, el sistema ser compatible determinado. Vemos la representacin ms abajo .x + y = 3 2 x + 2 y = 6 b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: x = 0, y = 3; x = 3, y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 1, y = 2; x = 2, y = 1 Las rectas coinciden, toda la recta es solucin del sistema (infinitas soluciones). Por tanto, el sistema ser compatible indeterminado. Vemos la representacin ms abajo b) x + y = 3 x + y = - 1 c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: x = 0,y = 3; x = 3,y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 0, y =-1; x = -2, y = 1 54. Las rectas son paralelas, no tienen ningn punto en comn, luego el sistema no tiene solucin. Por tanto, el sistema ser incompatible. Vemos la representacin siguiente: 55. Graficas Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales Mtodo de reduccin Consiste en multiplicar ecuaciones por nmeros y sumarlas para reducir el nmero de incgnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incgnita. 56. Multiplicar una ecuacin por un nmero consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuacin por dicho nmero. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuacin cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las ecuaciones que se suman. Ejemplo Multiplicando la primera ecuacin por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuacin Que es una ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es La eleccin de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones. Sustituyendo por uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene Que es otra ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es . Mtodo de igualacin 57. El mtodo de igualacin consiste en lo siguiente: Supongamos que tenemos dos ecuaciones: Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ). De las dos igualdades anteriores se deduce que Si resulta que una incgnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuacin No contendra dicha incgnita. Este proceso de eliminacin de incgnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuacin con solo una incgnita, digamos . Una vez que se obtiene la solucin de esta ecuacin se sustituye por su solucin en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el nmero de incgnitas en dichas ecuaciones. Ejemplo El sistema de ecuaciones Es equivalente a este otro 58. El segundo sistema lo he obtenido pasando los trminos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema. Del segundo sistema se deduce que Que es una ecuacin con una sola incgnita cuya solucin es . Sustituyendo por 1 en la primera ecuacin del sistema de partida se tiene que Que es una ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es . Mtodo de sustitucin Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma Entonces podemos despejar en la segunda ecuacin y sustituirla en la primera, para obtener la ecuacin: Lo que se busca es que esta ecuacin dependa de menos incgnitas que las de partida. Aqu y son expresiones algebraicas de las incgnitas del sistema. Ejemplo Intentemos resolver La primera ecuacin se puede reescribir de la forma Por otra parte, de la segunda ecuacin del sistema se deduce que 59. Sustituyendo por en Se tiene que Que es una ecuacin con solo una incgnita y cuya solucin es . Sustituyendo por uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuacin de una sola incgnita Cuya solucin es . Mtodo de Gauss Gauss es uno de los matemticos ms importantes de todos los tiempos. Fue un GENIO! El mtodo de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fcil de resolver. Es esencialmente el mtodo de reduccin. En el mtodo de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el mtodo de reduccin, pero uno se ahorra el escribir las incgnitas porque al ir los coeficientes de una misma incgnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incgnita a la que multiplican. Ejemplo La matriz ampliada del sistema de ecuaciones: 60. Es: Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos: Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuacin la primera. Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior: Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Que es equivalente al inicial. Solucionamos la tercera ocupacin para obtener : En la primera y segunda ecuacin, sustituimos por la solucin de la tercera ecuacin ( ), para obtener: 61. La segunda ecuacin es ahora una ecuacin con una sola incgnita, , que resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuacin, por 1 ( ). Esto nos da una ecuacin en : Que al resolverla termina de darnos la solucin del sistema de ecuaciones inicial: EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIN ALGEBRAICA. Es la representacin de un smbolo algebraico o de una o ms operaciones algebraicas. TRMINO. Es una expresin algebraica que consta de un solo smbolo o de varios smbolos no separados entre s por el signo + o -. Los elementos de un trmino son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. GRADO ABSOLUTO DE UN TRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores literales. GRADO DE UN TRMINO CON RELACIN A UNA LETRA. Es el exponente de dicha letra. CLASES DE TRMINOS. El trmino entero es el que no tiene denominador literal, el trmino fraccionario es el que tiene denominador literal. El trmino racional es el que no tiene radical, e irracional el que tiene radical. TRMINOS HOMOGNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto. TRMINOS HETEROGNEOS. Son los de distinto grado absoluto. TRMINOS SEMEJANTES. Dos trminos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. 62. 10 Ejemplos de Trminos Semejantes: 1. x es semejante con 3x ya que ambos trminos tienen la misma literal (x). 2. xy2 es un trmino semejante a -3y2 x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2 x) 3. 5xyrb es un trmino semejante con xyrb 4. 4bx2 no es semejante a 4b2 x ya que el literal bx2 no es igual al b2 x. 5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk) 6. 4(jk)3 es semejante a 9j3 k3 porque (jk)3 = j3 k3 7. 5ty es semejante a 3ty 8. 5kl4 es semejante a -2kl4 9. 68lky5 es semejante a -96lky5 10.378ab3 c2 no es semejante a 378a2 b3 c CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA MONOMIO. Es una expresin algebraica que consta de un solo trmino. BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos trminos. TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres trminos. 63. POLINOMIO. Es una expresin algebraica que consta de ms de un trmino. GRADO DE UN MONOMIOS Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6 grado. El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1. GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio: 9.5 Cul es el grado de: ? 9.6 Cul es el grado de: ? ORDENAR UN POLINOMIO Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en cuenta su grado: 9.8 Ordena el polinomio: 64. Respuesta: ORDENAR UN POLINOMIO RESPECTO A UNA LETRA Si hay dos o ms letras se deben indicar respecto a que letra se ordena. Ejemplo: 9.9 Ordena respecto a x, el polinomio: Respuesta: 9.10 Ordena con respecto a z: Respuesta: 9.11 Escribe un trinomio ordenado de quinto grado (los nmeros y letras los que prefieras) Respuesta: (con respecto a c) : 9.12 De qu grado son las expresiones: 65. Respuestas: 1) Primer grado 2) Quinto grado GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO. Es el grado de su trmino de mayor grado. GRADO DE UN POLINOMIO CON RELACIN A UNA LETRA. Es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. CLASES DE POLINOMIOS. Un polinomio es entero cuando ninguno de sus trmino tiene denominador literal; fraccionario cuando alguno de sus trminos tiene letras en el denominador; racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene radical; homogneo cuando todos sus trminos son del mismo grado absoluto; heterogneo cuando sus trminos no son del mismo grado. POLINOMIO COMPLETO CON RELACIN A UNA LETRA. Es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el ms alto al ms bajo que tenga dicha letra en el polinomio. POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo. ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus trminos de modo que los exponentes de una letra escogida come letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente. 66. NOMENCLATURA ALGEBRAICA 1. Dgase qu clase de trminos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical: S o l u c i n : 2. Dgase el grado absoluto de los trminos seguientes: S o l u c i n : 3. Dgase el grado de los trminos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales: 67. 4. De los trminos siguientes escoger cuatro que sean homogneos y tre hetereogneos S o l u c i n : 5. Escribir tres trminos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales S o l u c i n : 6. Escribir un trmino de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto grado, undcimo grado, dcimo quinto grado, vigsimo grado S o l u c i n : 7. Escribir un trmino de dos factores literales que sea de cuarto grado con relacin a la x; otro de cuatro factores literales que sea de sptimo grado con relacin a la y; otro de cinco factores literales que sea de dcimo grado con relacin a la b S o l u c i n : 68. DESCOMPOSICIN FACTORIAL - Factores Se llaman factores o divisores de una expresin algebraica a los que el producto entre s (de estos factores) nos da la expresin primitiva. As, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene: a y abe, cuyo producto entre s dan la expresin a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que: (X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15 Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15 Mtodos para la factorizacin de polinomios Todo Polinomio se puede factorizar utilizando nmeros reales, si se consideran los nmeros complejos. Existen mtodos de factorizacin, para algunos casos especiales. Binomios Diferencia de Cuadrados Suma o diferencia de Cubos Suma o diferencia de potencias impares iguales Trinomios Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma x+bx+c Trinomio de la forma ax+bx+c Polinomios Factor comn Factorizar un monomio Se descompone el trmino en el producto de factores primos. Ejemplo: Factorizar un polinomio No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o ms factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmtica, hay nmeros primos que slo son divisibles por la unidad y por s mismos, en Algebra, hay 69. expresiones algebraicas que slo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. As a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque slo es divisible por a + b y por la unidad. A continuacin diferentes casos de descomposicin factorial. Caso I: Factor comn Factor comn. Cuando todos los trminos de un polinomio tienen un factor comn. Ejemplos: a) Descomponer en factores a2 + 2a a2 y 2a contienen el factor comn a. Se escribe este factor comn como coeficiente de un parntesis, dentro de este parntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2) b) Factorizar 10b - 40ab2 Los coeficientes numricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se escoge el mayor factor comn. De las variables, el nico factor comn es b ya que se haya en los dos trminos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor comn ser 10b Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab) c) Descomponer en factores: 10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2) Factor comn de un polinomio a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b) Los dos trminos de la expresin tienen como factor comn (a+b). Se escribe (a+b) como coeficiente de un parntesis, dentro del parntesis se escriben los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b). Factorizando se obtiene: 70. x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by Obteniendo: x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by Factor comn por agrupacin de trminos Se agrupan los trminos que tengan factor comn, asocindolos entre parntesis y luego se extrae el factor comn de cada uno. Ejemplos a) Factorizar ax + by +ay + by Los dos primeros trminos tienen el factor comn x, y los dos ltimos tienen el factor comn y, asociando los dos primeros trminos en un parntesis y los dos ltimos tambin en un parntesis precedido de un signo + ya que el tercer trmino es positivo se obtiene: ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by) ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando Nota: La asociacin de trminos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendr el mismo resultado. Trinomio cuadrado perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales. Asi, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a. En efecto (4a2 ) = 4a x 4a = 16a2 , 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2 , 4a es la raz cuadrada de 16a2 . Sin embargo (-4a2 ) = (-4a)((-4a) = 16a2 , luego (-4a) es tambin raz de 16a2 , por lo que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-). Raz cuadrada de un monomio Para extraer la raz cuadrada de un monomio, se saca la raz cuadrada de su coeficiente numrico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2. 71. Ejemplo: La raz cuadrada de 25a2 b4 es 5ab2 Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el producto de dos binomios iguales. As, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b Por tanto: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto Un trinomio ordenado con relacin a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer trmino son cuadrados perfectos (o tienen la raz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo trmino equivale al doble del producto de stas races cuadradas. Ejemplo: a) a2 - 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque: Raz cuadrada de a2 = a Raz cuadrada de 4b2 = 2b Doble producto de estas races 2 x a x 2b = 4ab Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trmino del trinomio y se separan estas races por el signo del segundo trmino. El binomio ya formado, que es la raz cuadrada del trinomio, se multiplica por s mismo o se eleva al cuadrado. Ejemplo: a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que: raz cuadrada de a2 = a raz cuadrada de 16b2 = 4b Doble producto de las races: 2 x a x 4b = 8ab 72. Trinomios de la forma x2 + px + q En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un trinomio de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q Por tanto: Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos nmeros a y b cuya suma algebraica sea p y cuyo producto sea q Regla prctica para factorizar el trinomio 1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer trmino es x, es decir, la raz cuadrada del primer trmino del trinomio. 2) En el primer factor, despus de x se escribe el signo del segundo trmino del trinomio, y en el segundo factor, despus de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do trmino del trinomio y el signo del tercer trmino del trinomio. 3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos nmeros cuya suma sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trmino del trinomio. Estos nmeros son los segundos trminos de los binomios. 4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos nmeros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trmino del trinomio. El mayor de estos nmeros es el primer trmino del primer binomio, y el menor, es el segundo trmino del segundo binomio. Ejemplos: Descomponer en factores: a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20 b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12 c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28 73. Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m 1) Observemos que el producto: (ax + b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + db = acx2 + (ad + bc)x + db, es de la forma mx2 + px + q (haciendo m = ac, p = ad + bc y q = bd). Luego, siempre que sea posible hallar a, b, c, d, ser posible factorizar Cmo determinar estos nmeros? a) Se selecciona una descomposicin factorial de m y otra de q: m = ac y q = bd b) Se calculan los productos cruzados ad y bc, y se adicionan estos productos: c) Si bc + ad = p, entonces los factores del trinomio dado son (ax+b) y (cx+d). En caso contrario se ensaya con otra combinacin de factores para m y para q Ejemplos: a) 2x2 +11x + 12 m = 2 = 2 x 1 q = 12 = 3 x 4 Luego 2x2 +11x + 12 = (2x + 3)(x + 4) Si no se obtiene el coeficiente p, entonces se ensaya con otras factorizaciones. Por ejemplo: 2 = 1 2, 12 = 6 2, 12 = 1 12, 12 = 4 3, 12 = 2 6 Tambin puede que ambos factores sean negativos, pues el resultado es positivo: 2 = (-1) (-2) , 12 = (-6) (-2) 74. CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.) entre polinomios Recordemos primero con un ejemplo cmo se calculaba el mnimo comn mltiplo entre nmeros enteros: Hallar el mnimo comn mltiplo entre 120 y 36. Primero haba que "factorizar" o descomponer a los nmeros. As: 75. Luego, en el m.c.m. haba que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores" (los nmeros que aparecen en la columna derecha de la factorizacin), y haba que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un nmero o en el otro. Habra que aclarar que los factores tienen que ser todos nmeros primos m.c.m. = 23.32.5 Porque: Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay que ponerlos todos. El 2: El exponente ms alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2 est tres veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 est menos veces (dos veces). En el m.c.m, entonces, al 2 hay que ponerlo elevado a la tercera: 23 (Aclaremos, por la dudas, que el exponente que se le pone a un factor es igual a la cantidad de veces que aparece en la descomposicin de un nmero, en la columna de la derecha). El 3: El exponente ms alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3 est dos veces", en cambio en el 120 el 3 est una sola vez. Por eso en el m.c.m. al 3 hay que ponerlo elevado a la potencia segunda: 32. El 5: El 5 aparece solamente en la descomposicin del 120. Y aparece una sola vez, lo que significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 = 51. En el m.c.m hay que poner el 5. Y el 5 hay que ponerlo as, sin exponente 76. (o con el 1), porque obviamente es el mayor exponente con que aparece (porque otro 5 no hay). Ms sobre el MCM entre nmeros en: CALCULO DEL MNIMO COMN MLTIPLO (MCM) Bueno, para hallar el mnimo comn mltiplo entre polinomios, hay que hacer exactamente lo mismo. Con la diferencia de que los que se "factorizan" ya no son nmeros, sino polinomios. Y los factores son tambin polinomios. Ya no se factoriza dividiendo, con las 2 columnas, sino que para factorizar los polinomios se usan los Casos de Factoreo. Los siguientes son ejemplos donde se busca el m.c.m. Por practicidad, para algunos de esos ejemplos uso polinomios que ya estn factorizados. Ejercicios Hallar el M.C.M. de: * Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 4)3 (x 7)2 (x + 6)8(x + 7)3 F(x) = (x + 6)2 (x 7)3 (x + 7)4(x 6)2 S(x) = (x + 2)3 (x + 6)4 (x + 4)8(x + 7)2 a) (x + 7)4 (x + 6)8 (x + 4)8 b) (x + 7)4 (x + 6)8 c) (x + 7)4 (x + 6)8 (x + 4)8 (x 7)3 (x 6)2 (x + 2)3 d) (x + 7)4 (x + 6)8 (x + 4)8 (x 7)3 (x 6)2 e) (x + 7)4 (x + 4)8 (x 7)3 (x 6)2 (x + 2)3 Hallar el MCM de los polinomios: F(x) = (x + 5)4 (x 6)2 (x + 9)3 (x 1)4 S(x) = (x + 5)2 (x 6)4 (x + 7)2 (x 1)3 a) (x +5)(x 6)(x 1) b) (x + 5)2 (x 6)2 (x 1)3 c) (x + 5)4 (x 6)4 (x 1)4 (x + 9)3 (x + 7)2 d) (x + 1)(x 2)(x + 9) e) (x 1)3 (x 6)4 1 77. 6 12 18 24 78. 30 36 42 79. 48 (Baldor, 2013) OPERACIONES CON FRACCIONES SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se resuelven las sumas y las restas cuando tenemos fracciones. En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones tienen igual denominador, y cuando tienen distintos denominadores. En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual denominador, es una fraccin que tendr el mismo denominador que las fracciones dadas y su numerador ser la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas. En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por dos caminos. Uno de ellos, implica determinar el mnimo comn mltiplo de los denominadores, el cual ser el denominador de la fraccin resultado, en tanto que el numerador ser la suma algebraica de nmeros que surgen de dividir el mnimo comn mltiplo que hemos determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y al resultado de cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya est. 80. El otro camino implica determinar el mnimo comn mltiplo de los denominadores, y despus, expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos denominadores sern el mnimo comn mltiplo que se ha determinado, con lo cual se consigue transformar una suma algebraica de fracciones de distinto denominador en una suma algebraica de igual denominador, que se resuelve como ya hemos visto. 81. Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones algebraicas fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresin con igual denominador, se mantiene el denominador y se suman o restan sus denominadores segn sea el caso. Por otra parte, cuando se tienen expresiones de distinto denominador, la cuestin se complica un poco. Primero hay que determinar el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de los polinomios que estn en el denominador, y despus debemos optar por el 82. camino de dividir este m.c.m. por cada denominador para despus multiplicar por los numeradores, o bien transformar esta suma de distinto denominador en una de igual denominador usando fracciones equivalentes, si quieres liarte con divisiones y multiplicaciones de polinomios. Lo primero que hay que hacer es hallar el m.c.m., para lo cual hay que factorar todos los denominadores. El m.c.m. estar formado por todos los factores que hemos hallado, pero si alguno se repite, este se pone una sola vez, y si algn factor que se repite aparece con distinto exponente, debe ir con el mayor de los exponentes. Veamos un par de ejemplos: * Ejemplo 1: * Ejemplo 2: Una vez que tenemos el m.c.m. de los denominadores, se procede de la siguiente manera: Se determina que factores faltan en cada denominador para obtener el m.cm. ; y una vez que se tienen estos factores, se multiplican por el denominador y numerador de cada fraccin. Al hacer esto, se ha transformado, la suma de fracciones de distinto denominador, en una de igual denominador, la que se resuelve del modo que se ha explicado previamente. Para terminar. Veamos un ejemplo numrico: 83. MULTIPLICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los denominadores entre s. Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los polinomios que estn en los numeradores, entre s, y de igual manera se multiplican entre s los polinomios que estn en los denominadores. En la prctica, procederemos de la siguiente manera: 1) Factoramos todos los polinomios. 2) Simplificamos lo que se pueda. 3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron. Veamos un ejemplo: 84. DIVISIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS La divisin de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto cruzado entre los numeradores y los denominadores. Caso contrario, se multiplica la primera por la recproca de la segunda. (Traduccin: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la divisin en una multiplicacin, y se resuelve el ejercicio como un producto). Desarrollando por el segundo mtodo. Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es decir hay que invertir la segunda fraccin y resolverla como una multiplicacin. Formula: 85. En la prctica, procederemos de la siguiente manera: 1) Factoramos todos los polinomios. 2) Invertimos la segunda fraccin y simplificamos lo que se pueda. 3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron. ECUACIONES CUADRATICAS Definicion Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinmicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinmicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadrticas. Definicin: Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son nmeros reales y a es un nmero diferente de cero. Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0 La condicin de que a es un nmero diferente de cero en la definicin asegura que exista el trmino x2 en la ecuacin. Existen varios mtodos para resolver las ecuaciones cuadrticas. El mtodo apropiado para resolver una ecuacin cuadrtica depende del tipo de ecuacin cuadrtica que se va a resolver. En este curso 86. estudiaremos los siguientes mtodos: factorizacin, raz cuadrada, completando el cuadrado y la frmula cuadrtica. Factorizacin: Para utilizar este mtodo la ecuacin cuadrtica debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuacin que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Ejemplos 1) x2 - 4x = 0 2) x2 - 4x = 12 3) 12x2 - 17x + 6 = 0 Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadrticas por factorizacin porque este mtodo est limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros mtodos. Raz cuadrada: Este mtodo requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuacin. Propiedad de la raz cuadrada: Para cualquier nmero real k, la ecuacin x2 = k es equivalente a : Ejemplos 1) x2 - 9 = 0 2) 2x2 - 1 = 0 3) (x - 3)2 = -8 87. Completando el cuadrado: Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer trmino de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: x2 + bx + ? Regla para hallar el ltimo trmino de x2 + bx +?: El ltimo trmino de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del trmino del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros trminos son x2 + bx es : Al completar el cuadrado queremos una ecuacin equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuacin equivalente el nmero que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuacin. Ejemplos 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0 Frmula cuadrtica: La solucin de una ecuacin ax2 + bx + c con a diferente de cero est dada por la frmula cuadrtica: La expresin: 88. Conocida como el discriminante determina el nmero y el tipo de soluciones. La tabla a continuacin muestra la informacin del nmero de soluciones y el tipo de solucin de acuerdo con el valor del discriminante. Valor de: Tipo de solucin positivo dos soluciones reales cero una solucin real negativo dos soluciones imaginarias Ejemplos 1) x2 + 8x + 6 = 0 2) 9x2 + 6x + 1 = 0 3) 5x2 - 4x + 1 = 0 Nota: Cualquier ecuacin cuadrtica puede resolverse utilizando la frmula cuadrtica. 1) x2 - x - 20 = 0 (por factorizacin) 2) x2 - 8 = 0 (por raz cuadrada) 3) x2 - 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado) 4) 9x2 + 6x = 1 (frmula cuadrtica) Clasificacin Completa Una ecuacin cuadrtica se denomina completa si sus coeficientes son no nulos. 89. Completa General Es C.general porque es ms de 1 es decir como ej: aX2=2X2 o 5X2 u otros que sean mayor a 1... ax+bx+c=0 ej: 3x+5x+7 Completa Particular Una ecuacin de segundo grado es completa particular si el coeficiente a es igual a 1 (a=1) ejemplo: x + 3x + 1 = 0 Incompleta Una ecuacin cuadrtica se llama incompleta si carece del trmino de primer grado, trmino libre o ambos. Incompleta Binomial Si el trmino libre es cero (aX"2" es al cuadrado) aX2 +bX +c=0 ------> C=0 ej: 4X2 -5x=0 Incompleta Pura Si el coeficiente de x es cero. por ejemplo ax2(el 2 significa al cuadrado)entonces: ax2+c = 0? bx=0 ej: 5x2-1=0 Frmula general para resolver ecuaciones cuadrticas