1. Introducción

1.1 Motivación

Una manera en la cual la familia, amigos y conocidos pueden pasar un

buen rato reunidos de manera entretenida es mediante juegos de estrategia,

en la cual los competidores pueden mostrar sus habilidades al tomar

decisiones acertadas al realizar sus jugadas para llegar a la victoria. Los

juegos de estrategia son una buena opción para “matar el tiempo”, mientras

demuestras tus capacidades analíticas. Una decisión es el producto final del

proceso mental de un individuo o un grupo de personas, el cual se denomina

toma de decisiones. Este proceso tiene como finalidad realizar una elección

entre las alternativas o formas para resolver diferentes situaciones de la

vida. Se necesita hacer uso del razonamiento y pensamiento para elegir una

decisión a un problema. Por más simple que parezca el problema, para que

haya una decisión, tienen que haber alternativas. No importa la naturaleza

del problema, se debe de conocer, comprender y analizar para poder darle

solución.

1.2 Justificación y relevancia

En este proyecto creativo, estaré discutiendo el juego de puntitos, el

cual está clasificado como un juego de estrategia. Para este tipo de juego, el

factor de la inteligencia, habilidades técnicas, planificación y despliegue,

1

pueden hacer predominar o impulsar al jugador hacia la victoria del juego.

Se calcularán las probabilidades a partir de la tercera jugada para decidir

cual jugador tiene más probabilidad de ganar a partir de cada una de sus

jugadas. Se hará de esta manera ya que los competidores utilizan decisiones

mejores pensadas en las últimas jugadas. Para esto, se empleará el método

del árbol de juegos, en donde se mostrará un ejemplo, en el cual presentaré

todos caminos por los cuales el jugador pueda obtener la victoria a partir de

la tercera jugada.

2

2. Reseña histórica

2.1 Análisis de decisiones

El análisis de decisiones tiene poco más de cuatro décadas. Del 1970

al 1980 aparecen publicaciones directamente haciendo referencia al análisis

de decisiones y luego, en el 1990 aparecen referencias relevantes. Algunos

métodos del análisis de decisión se movieron de la búsqueda de estrategias

a las aplicaciones o se comenzaron a reorganizar más ampliamente. Se

desarrollaron programas informáticos del análisis de decisiones y, se crearon

paquetes de software que utilizan el árbol de decisiones y diagramas de

influencia. Del 1992 al 1994, Kenney discute los roles de valor en la toma de

decisiones y Kenney & Mc Danuls ilustra las aplicaciones de este tipo de

“pensamiento centrado en el valor”. En 1992 Edwards revisó ambas teorías y

las aplicaciones asociadas utilizando el valor esperado y en el 1994 se

discute el uso de 3 puntos de aproximación para simplificar el cálculo de la

distribución de la probabilidad continua cuando la actitud hacia la asunción

de riesgo es importante en una decisión. En el 1995 Corner & Corner

resumió las características de las aplicaciones del análisis de decisiones

encuestadas por Corner y Kirkwood. Luego, en el 1997- Kirkwood revisó los

3

métodos del análisis de decisiones con múltiples objetivos en conflicto,

incluyendo procedimientos con hojas de cálculo para implementar estos

métodos. En el 1998 Hazen revisó el método del árbol de decisiones y en el

1999 Perdue discutió el método usando ambas técnicas de fijaciones de

precios y las herramientas del análisis de decisiones en la búsqueda de la

planificación del desarrollo. Mc Cardle proporcionó un tutorial de

introducción con métodos de fijación de precios y su potencial de integración

con el método de análisis de decisiones, con un enfoque en las

investigaciones de evaluación del aceite y gas. Matheson & Matheson

discutieron el uso de un “outside-in” en el enfoque para tener una mejor

cuenta de compañías externas en el exterior durante la estrategia del

análisis de decisiones.

Actualmente el análisis de decisiones es una disciplina

consolidada, y a la vez dinámica, que se enseña en las principales

universidades del mundo y se aplica en situaciones de gran trascendencia.

2.2 Teoría de juegos

La primera discusión conocida de la teoría de juegos aparece en una

carta escrita por James Waldegrave en 1713. En esta carta, Waldegrave

proporciona una solución minimax de estrategia mixta a una versión para

dos personas del juego de cartas le Her. Sin embargo no se publicó un

análisis teórico de teoría de juegos en general hasta la publicación de

Recherches sur les príncipes mathématiques de la théorie des richesses, de

4

Antoine Augustin Cournot en 1838. En este trabajo, Cournot considera un

duopolio y presenta una solución que es una versión restringida del equilibrio

de Nash.

Aunque el análisis de Cournot es más general que el de Waldegrave, la

teoría de juegos fue desarrollada inicialmente en 1937 por el gran

matemático húngaro John von Neumann. Años más tarde su propio creador

Neumann, Oskar Morgenstern, John Nash, A.W. Tucker entre otros hicieron

grandes contribuciones para ampliar dicha teoría. Experimentó un

crecimiento sustancial y se formalizó por primera vez antes y durante la

Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar, en

particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desde los

setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo

el desarrollo de las especies por la selección natural.

3. Definiciones

3.1. Alternativa de decisión- Evento o variable no controlable.

3.2. Árbol de decisiones- Es un diagrama que representan en

forma secuencial condiciones y acciones. Muestra qué

5

condiciones se consideran en primer lugar, en segundo lugar y

así sucesivamente.

3.3. Árbol de escenarios- Tiene por objetivo definir un estado

futuro de un sistema conocido actualmente e indicar los distintos

procesos que permiten pasar del estado presente a la imagen

futura.

3.4. Árbol de juegos- Es una aplicación de un árbol de decisión,

puesto que se genera el árbol de acuerdo al nivel de previsión y

cada jugador va diciendo que jugada le conviene más de acuerdo

a la evaluación de una determinada posición.

6

3.5. Combinaciones- Una combinación es una selección de

objetos en donde no importa el orden sino la pertenencia al

grupo. El número de formas en que r objetos pueden elegirse de

un conjunto de n objetos distintos es

3.6. Estado de naturaleza- Eventos que pueden ocurrir como

resultado de cada.

3.7. Método de poda- Mecanismo para mejorar precisión del

árbol sobre datos objetivos.

Ejemplo:

Árbol sin podar

Árbol obtenido de podar el anterior

7

3.8. Método de revisión rollback- Es un algoritmo de

retroceso que comienza en los nodos terminales del árbol y

trabaja hacia atrás hasta el nodo de decisión inicial.

3.9. Nodo- Es un punto de unión.

3.10. Nodo de oportunidad o chance- Se desprenden ramas

que representan posibles estados de la naturaleza.

3.11. Nodos de decisión- De ellos salen las ramas de decisión y

se representan con o .

3.12. Nodos de incertidumbre o estados de naturaleza- De

ellos salen las ramas de los eventos y se representan con ¡ .

Representa el momento en que se produce un evento incierto.

De un nodo de estado de la naturaleza salen ramas de estado de

la naturaleza.

8

3.13. Nodo inicial- Puede o no representar un evento.

3.14. Probabilidad condicional- Es la probabilidad de que

ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B.

La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la

probabilidad de A dado B. la probabilidad condicional de A dado

B está definida como:

3.15. Probabilidad marginal- Es la probabilidad de un evento

simple A, es decir un evento de una sola característica y se

puede definir como P(A)

3.16. Ramas- Es un arco conector. Se representan con líneas y

une a dos nodos.

3.17. Ramas de decisión- Son las decisiones posibles.

3.18. Ramas de estado de la naturaleza – Son los posibles

resultados provenientes de eventos inciertos sobre los cuales no

se tiene control.

3.19. Teorema de Bayes- Es el resultado que da la distribución

de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en

términos de la distribución de probabilidad condicional del

9

evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de

sólo A.

3.20 Teorema del binomio- Es un resultado que proporciona el

desarrollo de la potencia de una suma.Este teorema establece

que el coeficiente de xkyn − k en el desarrollo de (x + y)n es ,

donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa

el número de formas de escoger k elementos a partir de un

conjunto con n elementos. Se expresa de la siguiente manera:

3.21 Valor esperado- Es la media de la distribución de

probabilidad. Se calcula como:

10

E( x )=∑i=1

m

X i p(X i)

4. Marco teórico:

Un árbol de decisión es un modelo de predicción construidos a partir

de la descripción de la narrativa de un problema. Ellos proveen una visión

gráfica de la toma de decisión necesaria, especifican las variables que son

evaluadas, qué acciones deben ser tomadas y el orden en la cual la toma de

decisión será efectuada. Dada una base de datos se construyen diagramas

de construcciones lógicas, muy similares a los sistemas de predicción

basados en reglas, que sirven para representar y categorizar una serie de

condiciones que ocurren de forma sucesiva, para la resolución de un

problema. Tiene unas entradas las cuales pueden ser un objeto o una

situación descrita por medio de un conjunto de atributos y a partir de esto

devuelve una respuesta la cual en últimas es una decisión que es tomada a

11

partir de las entradas. Los valores que pueden tomar las entradas y las

salidas pueden ser valores discretos o continuos. Se utilizan más los valores

discretos por simplicidad, cuando se utilizan valores discretos en las

funciones de una aplicación se denomina clasificación y cuando se utilizan

los continuos se denomina regresión. Un árbol de decisión lleva a cabo un

test a medida que este se recorre hacia las hojas para alcanzar así una

decisión. El árbol de decisión suele contener nodos internos, nodos de

probabilidad, nodos hojas y arcos. Un nodo interno contiene un test sobre

algún valor de una de las propiedades. Un nodo de probabilidad indica que

debe ocurrir un evento aleatorio de acuerdo a la naturaleza del problema,

este tipo de nodos es redondo, los demás son cuadrados. Un nodo hoja

representa el valor que devolverá el árbol de decisión y finalmente las ramas

brindan los posibles caminos que se tienen de acuerdo a la decisión tomada.

Refiriéndonos al ámbito empresarial, podemos decir que los árboles de

decisión son diagramas de decisiones secuenciales nos muestran sus

posibles resultados. Éstos ayudan a las empresas a determinar cuáles son

sus opciones al mostrarles las distintas decisiones y sus resultados. La

opción que evita una pérdida o produce un beneficio extra tiene un valor. La

habilidad de crear una opción, por lo tanto, tiene un valor que puede ser

comprado o vendido.

Véase el siguiente ejemplo para comprender como se construye un

árbol de decisiones. Supóngase el caso en el que un cliente lleva una

12

microcomputadora a reparar con el menor gasto de dinero. Una de las cuatro

partes es la que probablemente falló. Estas son A, B, C, y D, con un costo de

reemplazo de 100, 200, 30, y 80, respectivamente. Se utilizarán desde la

letra A hasta la D para representar los eventos que pudieron haber causado

la falla de cada una de las cuatro partes. La letra E se utilizará para el caso

en el que el evento de la falla de la computadora sea distinto al de las cuatro

partes. Están disponibles tres pruebas, X, Y, y Z, para ayudar a localizar la

pieza dañada, con un gasto de $50, $70 y $80, respectivamente. De ser el

caso E, o si se decide no realizarse la prueba, el “motherboard” se puede

reemplazar con un costo de $500. El objetivo del análisis es de llevar a cabo

la estrategia óptima de mantenimiento con un costo mínimo.

A continuación, se construirá un árbol de decisiones que describa en

detalle el proceso de decisión. El árbol de decisiones es un modelo de una

decisión. Se construirá el árbol en pasos comenzando por la primera decisión

del reparador.

El reparador puede primero reparar la maquina reemplazando el

“motherboard” con un costo de $500 o usar la prueba X para obtener una

mejor idea que esta dañado. Esto representa la primera decisión del proceso,

a ver si se puede comenzar con el proceso. En la siguiente figura se

comienza a construir el árbol de decisiones. La primera decisión es indicada

por un nodo rectangular etiquetado con un 1. El símbolo interior D1 del nodo

identifica la decisión. Los dos arcos que salen del nodo indican las 2 posibles

13

decisiones disponibles. En este punto la primera decisión tiene 2 resultados:

reemplazar el “motherboard” o realizar la prueba X. Las etiquetas en el arco

1 y 2 corresponden a esas 2 posibilidades. El costo asociado con la prueba

(50) es presentada adyacentemente para el arco entrando el nodo 3. Para

esto y para los siguientes nodos de decisión se permite solo la decisión

específica de la prueba.

Nodo terminal

En la figura de la decisión de reemplazar el “motherboard” conduce

hacia el nodo terminal presentado con un círculo negro etiquetado nodo 2.

En el nodo terminal el proceso se detiene y el costo asociado con el estado

terminal puede ser evaluado. El número adyacente del nodo (500) es el

costo asociado en alcanzar el nodo, esto es, el costo de reemplazar el

“motherboard”.

Nodo de oportunidad

En la decisión para presentar la prueba Z le sigue al próximo paso para el

nodo 3. Esto es un nodo de oportunidad porque el resultado de la prueba es

incierto. Este tipo de nodo es presentado con un círculo blanco. La prueba

14

puede reunir con tres indicaciones: un fallo probable dado que A o B (arco 3),

un fallo probable dado que C o D (arco 4) o una indicación para reemplazar

el “motherboard” (arco 5).

La figura muestra los tres posibles eventos asociados con el

experimento como arcos dejando el nodo de oportunidad. El número en los

arcos dejando el nodo son las probabilidades de los resultados de las tres

pruebas. Los arcos terminales en el nodo representan una decisión adicional

de los eventos terminales.

Segunda ronda de decisiones

Si la prueba x presenta el primer resultado, el reparador puede utilizar la

prueba Y o reemplazar el “motherboard”. Si la prueba presenta el segundo

resultado, se puede usar la prueba Z o reemplazar en “motherboard”.

15

La figura muestra el detalle asociado con una segunda ronda de

decisión. Co el primer resultado de la prueba X, el reemplazo puede

continuar con la falla aislada del proceso con la prueba, o puede reemplazar

el “motherboard”. Esto está presentado como decisión D2. El costo de la

prueba es de $70. Note que solo esas dos acciones son permitidas. Ella no

puede reemplazar los componentes individualmente.

Si la prueba X resulta en n segundo resultado, ella puede continuar con

la prueba Z o reemplazar el “motherboard”. Esta es la decisión d3. El costo

de la prueba Z es $80. En ambos casos, el costo del reemplazo del

“motherboard” es $500.

Resultado de las pruebas Y y Z

16

Se asume para el ejemplo en el que la prueba Y puede correctamente

identificar la causa de la falla si esto es dado para el componente A o B. Si

alguno de esos indicadores se observa, la falla del componente es reparada.

Todas las otras causas (C , D o E) son agrupadas en la tercera categoría. Si la

prueba no indica A o B el “motherboard” es reemplazado.

Similarmente, la prueba Z correctamente identifica las fallas, esto si es

dado para C o D. Si en la prueba no se indica C o D, la falla puede ser en A, B

o E. Mientras continúan las pruebas, el “motherboard” es reemplazado. Los

resultados de la prueba con las probabilidades apropiadas y el costo están

presentados en la figura:

17

El árbol completo se muestra en la siguiente figura. El árbol es el

modelo de proceso de decisión. Esto consiste en nodos y arcos enumerados.

Para la estructura del árbol, el número de nodos es siempre uno más que el

número de arcos.

El árbol de decisiones es ampliamente utilizado como base para el

control de calidad del mercado de decisiones. Ha sido criticado porque

requiere muchos cálculos, lo cual puede resultar ineficiente. Existen

modificaciones del árbol de decisiones que reducen sustancialmente el

número de cálculos requeridos para resolver problemas de decisión. Estas

modificaciones pueden reducir los cálculos en un 75% que los que se

requieren en el árbol tradicional de decisiones.

18

El bayesiano árbol de decisiones fue fundado en 1944 in la teoría de

decisión de van Neumann y Morgenstern. Se describen todas las posibles

combinaciones de decisiones y el estado de naturaleza. Las variables de

decisión son representadas por rectángulos llamados nodos de decisión, y

las variables aleatorias son representadas por círculos llamados nodos de

oportunidad. Las flechas que apuntan hacia la variable de decisión, llamadas

nodos de decisión, muestran la información disponible en el momento en

que decisión es hecha, y las flechas apuntan a la variable aleatoria (nodo de

oportunidad) muestran la existencia de la distribución de la probabilidad

condicional de la variable aleatoria.

El proceso de solución del árbol de decisiones permite para el proceso

computacional de una decisión óptima usar el método tradicional de revisión

“rollback” o los procesos del promediar y repliegue de Raiffa (1968). Las

probabilidades conjuntas y marginales son obtenidas y usadas con el

Teorema de Bayes para obtener las probabilidades condicionadas. El proceso

óptimo de decisión y el valor esperado son obtenidos por el método de

revisión “rollback”. Para esto, se comienza por las hojas (los extremos del

árbol) al azar y las decisiones de las variables (nodos) se suprimen

recursivamente. Los nodos al azar son suprimidos por el cálculo promedio

del procedimiento, tomando el promedio de las ganancias al final de sus

bordes con la probabilidad de los nodos usados como sus bordes.

19

Matemáticamente, la probabilidad del estado de naturaleza (si) es

denotada por P(si) y la probabilidad de la señal yk dado si es denotada por

P( yk /si). Las probabilidades conjuntas, marginales y condicionales están

dadas respectivamente por:

P (si , yk )=P ( si ,)∗P( yksi ), (1)

P ( yk )=∑i

❑

P ( s i ,)∗P( yk / si),(2)

P (si / yk )=P ( y k ,si )/P ( yk ) (3)

El valor esperado del proceso óptimo es calculado por:

EV=∑k

¿¿

donde w (si , d j) son las ganancias asociadas con el estado si y acción d j y la

probabilidad condicional P(si / yk ) es obtenido por la ecuación 3.

El árbol de decisiones puede clasificarse en simétrico, si cada camino

desde el nodo raíz a un nodo hoja incluye la misma variable aleatoria y

variable de decisión, o no simétrica. Los árboles de decisiones también

pueden clasificarse en como nivel 1 ó multiniveles. Es considerado de un

nivel cuando un solo nivel de señales es asumido. Los árboles de decisiones

multi-niveles envuelven múltiples niveles de señal y son muy comunes en

muchas decisiones de la vida real. Los árboles simétricos tradicionales

permiten la utilización del procedimiento de fusión que reduce el número de

20

operaciones necesarias para encontrar la solución, sin afectar el número de

operaciones necesarias para procesar de nuevo las posibilidades. El árbol

tradicional de decisiones es caracterizado por requerir muchos cálculos, lo

cual puede ser ineficiente. El análisis del árbol tradicional de decisiones

puede ser simplificado y el número de cálculos puede ser sustancialmente

reducido. Algunas fuentes han propuesto la modificación del árbol de

decisiones, incluyendo los arboles de juegos “Game trees” [Shenoy, 1993b],

y los arboles de escenarios “Scenario tree” [Shenoy, 1994b], los cuales

preservan las ventajas del árbol tradicional de decisiones, mientras mejora la

eficiencia de la solución. El análisis simplificado puede ser derivado como

sigue. Sustituyendo (3) en (4) resulta en:

EV=∑k

¿¿

La ecuación (5) pude simplificarse como:

EV=∑k

¿¿

Usando (2) en (6) resulta en la siguiente ecuación simplificada del cálculo del

valor esperado:

EV=∑k

¿¿

en donde w (si , d i), P (si ), y P( yksi ) ya fueron definidas anteriormente.

21

De las ecuaciones sugeridas anteriormente, el modelo propuesto

requiere el cálculo de solamente las probabilidades conjuntas, y elimina la

necesidad de calcular las probabilidades conjuntas y combinadas. El modelo

propuesto reduce la necesidad de procesar las probabilidades requeridas por

el árbol tradicional de decisiones. Este análisis puede ser utilizado en el caso

de árboles de nivel 1 y multi- niveles. También, puede ser aplicado para

problemas de decisión simétrico y no simétrico. En el caso de problemas

simétricos, como el análisis tradicional, el modelo propuesto anteriormente

puede ser utilizado para el proceso de coalescencia.

Matemáticamente, el número de cálculos necesario para el método

tradicional puede ser calculado como sigue. Toma a n = número de estado, j

= número de señal, y m = número de decisión. El número de operaciones

necesarias para obtener la probabilidad condicional (denotada A) y el

número de operaciones necesarias para obtener la solución óptima

(denotada B), está dada por:

A (Old )= jn+ j (n−1 )+ jn(8)

¿3 jn−i

B (Old )= jm (2n−1 )+ j (m−1 )+ (2 j−1 )(9)

=2 jmn+i−1

22

donde, jn = operaciones para obtener las probabilidades conjuntas, j(n−1) =

operaciones para obtener las probabilidades marginales, jn = operaciones

para obtener las probabilidades revisadas, jm (2n−1) = operaciones para

calcular el valor esperado de todas las decisiones y señales, j(m−1) =

operaciones para obtener el valor máximo de todas las señales, y (2 j−1)=

operaciones para obtener el valor esperado del proceso de decisión óptimo.

Total (Old )=3 jn+2 jmn−1(10)

El número de operaciones necesarias para la modificación del análisis puede

ser calculado de manera similar. El número de operaciones necesarias para

el proceso de probabilidades (A) y las operaciones necesarias para obtener la

solución óptima (B) están dadas, respectivamente, por:

A (New )= jn(11)

B (New )= jm (2n−1 )+ j (m−1 )+( j−1 )(12)

¿2 jmn−1

“donde, jn = operaciones para obtener las probabilidades conjuntas,

jm (2n−1) y j(m−1)son los definidos anteriormente, y ( j−1) = operaciones

para calcular el valor esperado del procedimiento óptimo de decisión. Así, el

número total de operaciones necesarias para en nuevo modelo están dadas

por:

Total (New )= jn+2 jmn−1(13)

23

El enfoque propuesto requiere el cálculo de solo probabilidades conjuntas jn,

y elimina la necesidad de calcular j(n−1) y jn probabilidades marginales y

conjuntas. Esto resulta en:

Savings= j (n−1 )+ jn (14 )

¿2 jn− j

El modelo también ahorra las operaciones j en el cálculo del valor esperado

del procedimiento de decisión óptimo. El total de operaciones ahorradas

están dadas por:

Total Saving (New−Old )=(2 jn− j )+ j(15)

¿2 jn .

El árbol de escenario es diferente al tradicional árbol de decisiones.

Mientras que el árbol de decisiones calcula las probabilidades para cada

borde del nodo de oportunidad, el árbol de escenarios calcula

probabilidades, llamadas ruta de probabilidades, para cada ruta de un nodo

raíz a un nodo hoja. Una vez que las probabilidades de ruta son calculadas,

se multiplican por los pagos para obtener ganancias ponderadas para cada

ruta. Las ganancias ponderadas son entonces utilizadas para podar los nodos

de oportunidad y de decisión, y obtener el proceso de decisión óptimo. Las

ganancias ponderadas obtenidas después de todos los nodos de decisión son

podadas en el valor esperado del proceso de decisión óptimo.

24

El árbol de juego es un grafo dirigido de tipo árbol en que cada nodo

representa una posible elección para uno de los jugadores. Cualquier

sucesión de jugadas puede representarse por un camino conexo dentro del

árbol de juego. Si el juego acaba siempre después de un número finito de

pasos, entonces el árbol tiene un número finito de nodos. Los arboles de

juegos son similares al tradicional árbol de decisiones. Sin embargo, difieren

en su secuencia de nodos de oprtunidad y decisión sobre las rutas de los

nodos de raíz a los nodos de hoja. La solución del árbol de juego es una

modificación de la versión del tradicional método “rollback” usado en el

árbol tradicional de decisiones. El nuevo método de poda, sugerido para

árboles de escenario fue usado con el análisis del árbol de juegos y resultó

en una solución más efectiva que la solución obtenida usando la

modificación del proceso “rollback”. Para demostrar la eficiencia del abol de

juegos y del árbol de escenarios con el árbol tradicional de decisiones, se

comparó el análisis del árbol tradicional de decisiones (sin fusión), el análisis

del árbol tradicional (con fusión), el árbol de juegos (con el método del

“rollback”), el árbol de juegos (con el nuevo método de poda), y árbol de

escenarios. Se comparó el número de cálculos requeridos por las cinco

técnicas para obtener el proceso óptimo de decisión para un ejemplo que

envuelve un problema de diagnóstico médico. El número de cálculos

requeridos por el tradicional árbol de decisiones (sin fusión) y en tradicional

árbol (con fusión) fue de 71 y 59, respectivamente. El número de cálculos

requerido por el árbol de juegos (con el método tradicional “roolback”), árbol

25

de juegos (con el nuevo método de fusión) y el árbol de escenarios fueron:

63, 49, y 43, respectivamente. Así, el ahorro de reemplazar el tradicional

árbol (con fusión) por el árbol de juegos (con el nuevo método de fusión) y

el árbol de escenarios fueron 10 y 16. Sin embargo, árbol de juegos (con el

método tradicional rollback) es menos eficiente que el tradicional árbol (con

fusión). Aplicando la modificación del análisis del árbol de decisión al

problema del diagnóstico médico, el número total de operaciones necesarias

para el proceso de probabilidades y para obtener la política óptima de

decisión fueron 43 operaciones sin fusión y solo 31 operaciones cuando el

proceso de fusión es usado porque el árbol es simétrico.

Por otro lado, la teoría de juegos es una herramienta que permite

examinar el comportamiento estratégico de los participantes los cuales

actúan motivados por la maximización de sus utilidades, y suponen que los

otros participantes son racionales. En la teoría de juegos se toma en cuenta

el comportamiento esperado de otros y se considera el reconocimiento

mutuo de la interdependencia. Como se ha dicho anteriormente, el árbol de

juegos es una representación gráfica que describe la estructura total de un

juego. Está compuesto por nodos, los cuales representan los posibles

movimientos en el juego y son asignados cada uno a un sólo jugador y las

acciones (ramas) disponibles para los jugadores en cada uno de sus nodos.

El primer movimiento del juego se identifica con un nodo distintivo que se

llama la raíz del juego. Una jugada consiste en una cadena de ramas

conectadas que comienza en la raíz del árbol y termina, si el juego es finito,

26

en el nodo terminal. Las ramas que parten de los nodos representan las

elecciones o acciones disponibles en cada movimiento. A cada nodo distinto

del nodo terminal se le asigna el nombre de un jugador con el fin de

distinguir quién hace la elección en cada movimiento. Los nodos terminal

informa sobre las consecuencias para cada jugador si el juego termina en

ese nodo.

27

5. Parte creativa aplicada

5.1 Descripción general del estudio

Imagínese que va a jugar el siguiente juego de los Puntitos con un

oponente. El juego consiste en que cada jugador tendrá entre cada turno la

oportunidad de seleccionar hasta un máximo de tres puntitos. El jugador que

realice la última jugada será el perdedor. El método consiste en que cada

jugador debe pensar la manera en la cual el oponente se vea obligado a

seleccionar el último puntito. Al comenzar el juego, las jugadas se hacen al

azar, ya que es más difícil realizar una jugada pensando en las

probabilidades, dado a que faltarían muchas jugadas por ejecutar. Ya

avanzadas algunas jugadas, los jugadores tendrán que pensar con más

precisión sus jugadas para poder ganar. Exactamente, las probabilidades

para que un jugador gane, dada la primera jugada, se puede calcular

utilizándose el “Game tree decisión”.

5.2 Metodología

El tamaño de la pirámide de puntitos se puede realizar del tamaño que

se desee. Regularmente, el tamaño clásico de la pirámide para este juego es

el siguiente:

28

A continuación se muestra un ejemplo de una jugada.

El número representa el orden de las jugadas. Se utilizó el óvalo para

representar las jugadas del primer competidor y el rectangulo representa las

del segundo. Para una pirámide de puntitos de ese tamaño, el número de

jugadas que se pueden realizar en un principio son 61. En la medida que se

van realizando las jugadas se eliminan los eventos que contienen la posision

de las jugadas realizadas. En el caso anterior, la probabilidad de realizar

diferentes jugadas disminuye en la medida en que se van eliminando

puntitos.

Este árbol de juegos para este juego de dicho tamaño se realizó

manualmente, pero su tamaño quedó muy enorme, por lo que se analizará

29

este en proyecto este juego, pero utilizando un número menor de puntitos

como se muestra a continuación:

Para esto, nombremos a cada uno de los puntitos para poder referirnos

a su posicion:

Las probabilidades de realizar una primera jugada de 1 a 3 puntitos

que contenga a an son:

P(a1)=5/30

P(a2)=5/30

P(a3)=5/30

P(a4)=5/30

P(a5)=5/30

P(a6)=5/30

De los 30 eventos anteriores, 24 de ellos son permutaciones y los otros

6 representan jugadas con un solo puntito. Por lo tanto, tendremos en

consideración las combinaciones de los eventos. Los eventos para el juego

30

de puntitos, de seleccionar 1 a 3 puntitos, el donde cada numero representa

la posición de ellos son:

{1}, {1,2}, {1,3}, {1,2,4}, {1,3,6} {2}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3}, {3,5},

{3,6}, {4}, {4,5}, {4,5,6} {5}, {5,6}, {6}

Las probabilidades de seleccionar 1, 2 o 3 puntitos es la siguiente:

P(1 puntito)=6/18

P(2 puntitos)=9/18

P(3 puntitos)=3/18

Los eventos y la probabilidad de realizar una jugada que contenga la

posición anes la siguiente:

P(realizar una jugada seleccionando la posición 1)=5/18 [{1}, {1,2}, {1,3},

{1,2,4}, {1,3,6}]

P(realizar una jugada seleccionando la posición 2)=6/18 {2}, {2,3}, {2,4},

{2,5}, {1,2}, {1,2,4}

P(realizar una jugada seleccionando la posición 3)=5/18 {3}, {3,5}, {3,6},

{1,3}, {1,3,6}

P(realizar una jugada seleccionando la posición 4)=5/18 {4}, {4,5},

{4,5,6},{2,4}, {1,2,4}

31

P(realizar una jugada seleccionando la posición 5)=6/18 {5}, {5,6}, {2,5},

{3,5},{4,5},{4,5,6}

P(realizar una jugada seleccionando la posición 6)= 5/18 {6},{3,6},

{1,3,6},{4,5,6},{5,6}

Para calcular las probabilidades de las jugadas, se debe de restar la

probabilidad de los eventos de las jugadas de seleccionar puntitos en la

posición an que se vayan realizando, pero a medida que se vayan eliminando

puntitos se debe de tener en consideración los que ya se eliminaron en la

posición an de las jugadas anteriores.

5.3 Descripción, análisis y presentación de los datos

A continuación se muestra el árbol de decisiones que se obtiene al

realizar una jugada en donde el primer jugador selecciona el puntito de la

posición 1 y luego, el segundo jugador selecciona el puntito de la posición 3.

A partir de la tercera jugada se comienzan a formar el árbol de juegos. El

primer jugador que se representa con un círculo y el segundo jugador se

representa con un cuadro.

32

Para representar las jugadas que muestran los caminos incorrectos, es

decir, los que muestren la derrota para cierto jugador, vamos a trazar una

línea. Por ejemplo, a continuación se muestran las decisiones correctas para

ganar que debe de seguir el segundo jugador.

Si utilizamos el método de poda para analizar una jugada en particular

a partir de tercer turno, obtenemos lo siguiente:

33

En esta jugada, el segundo competidor tiene más probabilidad de

ganar, ya que puede realizar más jugadas que su oponente. Las

probabilidades para cada nodo de decisión se muestran a continuación:

De igual manera, los demás nodos de decisión para este juego se

pueden analizar mostrando las probabilidades para cada jugada. La idea es

que el jugador cree este tipo de conexiones internamente para que pueda

analizar la jugada que más le conviene. Este método sugiere el análisis

34

práctico del juego de puntitos, pero de igual manera se puede emplear en

otros juegos más elaborados para realizar jugadas que conlleven a la

victoria.

35

6 Conclusiones

Los árboles de decisión proveen un método efectivo para la toma de

decisiones debido a que claramente cuando se plantea el problema resulta

útil para que todas las opciones sean analizadas. Además, permiten analizar

totalmente las posibles consecuencias de tomar una decisión. Proveen un

esquema para cuantificar el costo de un resultado y la probabilidad de que

suceda y nos ayuda a realizar las mejores decisiones sobre la base de la

información existente y de las mejores suposiciones.

Por otro lado, se puede concluir que los árboles de decisión no siempre

son la mejor herramienta para el análisis de decisiones, ya que como se vio

en el ejemplo de la pirámide de 15 puntitos la construcción de la misma no

se pudo llevar a cabo por su inmenso tamaño. El árbol de decisiones de un

sistema complejo con muchas secuencias de pasos y combinaciones de

condiciones puede tener un tamaño considerable. El gran número de ramas

que pertenecen a varias trayectorias constituye más un problema que una

ayuda para el análisis en algunos casos, pero en general, podemos decir que

es de gran ayuda para otros casos. Este problema se pudo corregir

empleando el método de poda, en donde se hizo posible un análisis más

exhaustivo de la jugada. Un jugador profesional puede utilizar este método

para analizar sus jugadas, al igual que un empresario puede hacer uso del

árbol de decisiones para garantizar el éxito de su compañía. Sin lugar a

36

dudas, el árbol de decisiones es una buena opción para cuando se requiera

formular decisiones o tomar acciones.

7 Referencias

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