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  • POLY-PREPASCentre de Prparation aux Concours Paramdicaux

    - Section i-Prpa -

  • Chapitre 10 : Oscillateurs mcaniques (II)

    5. Oscillateur mcanique libre amorti :

    En prsence de frottements, il ny a plus conservation de lEm , celle-ci se dissipe sous forme dechaleur.

    a) Rgime pseudo-priodique :

    Dans le cas o les frottements sont faibles ( , la priode reste sensiblement la mme quecelle de loscillateur libre amorti, lamortissement influe uniquement sur lamplitude.

    Plus les frottements augmentent, plus les oscillations sont amorties : on observe alors galement uneinfluence sur la priode, elle devient lgrement suprieure

    Modlisation :

    Systme : {le dispositif solide-ressort}Rfrentiel : terrestre considr comme galilenBilan des forces : ,2me Loi de Newton :

    Projection sur :

    Les solutions sont de la forme :

    ou

  • Avec :

    Aspect nergtique :

    LEnergie Mcanique nest plus conserve au cours des oscillations, elle est dissipe par lesfrottements sous forme de chaleur.

  • b) Rgime critique et apriodique :

    Encas de frottements trs importants (forte viscosit du fluide), le solide revient sa positiondquilibre sans mme osciller une fois.

    Lamortissement critique correspond la dure la plus courte pour que le systme revienne lquilibre sans osciller.

    Lamortissement critique est une phase intermdiaire entre le rgime pseudo-priodique et lergime apriodique. ( rgime intermdiaire entre encore une oscillation et plus aucuneoscillation ).

    Rgime apriodique : le systme neffectue plus aucune oscillation, selon lintensit desfrottements, il met plus ou moins de temps pour revenir lquilibre (systme au-dessus deslourdes portes des btiments publics pour viter quelles ne claquent)

  • Rsum

    6. Oscillations forces ; rgime entretenu

    On part dun oscillateur amorti. Si on le laisse libre dosciller, progressivement il va perdre delnergie et les oscillations vont diminuer jusqu devenir nulles.Pour compenser les pertes dEnergie Mcanique occasionne par les frottements, on peut entretenir lesoscillations par un agent extrieur compos dun moteur de frquence rglable : celui-ci applique uneforce motrice priodique de la forme t)

    Lamplitude des oscillations du systme appel rsonateur dpend alors de la frquence de rotationde lexcitateur.

  • Lorsque la frquence de lexcitateur est voisine de la frquence propre du rsonateur , celui-ci oscilleavec une amplitude maximale : on dit que le systme se trouve la rsonance

    Pour un faible amortissement, la courbe de rsonance est aige (rsonance pointue).Pour un fort amortissement, la courbe est plus aplatie, la rsonance est dite floue et lon constateque la frquence de rsonance est plus faible que la frquence propre du rsonateur.Pour des amortissements trs levs, il est impossible lexcitateur de faire entrer le rsonateur enrsonance.

  • II. Pendule simple :

    Un pendule simple est constitu dun solide de petites dimensions, de masse m, suspendu un pointfixe O par une tige ou un fil inextensible l de masse ngligeable.Ecart de sa position dquilibre, il oscille dans le champ de pesanteur terrestre g.

    Oscillations libres car le pendule cart de sa position dquilibre est abandonn lui-mme.

    : abscisse angulaire

    Etude du mouvement :

    En labscence de frottements, le systme est conservatif, donc

    or, si

    avec = mgh + mv = mgl (1 cos + mv

    :

  • angulaire des oscillations du pendule pesant

    Cette quation diffrentielle est de la forme dun oscillateur harmonique,dexpression gnrale :

    Do, ici, lexpression de la pulsation propre :

    Priode propre du pendule pesant simple :

    exemple :

    a) quelle est, sur Terre o g = 9,81 m/s, la longueur dun pendule battant la seconde ?

    b) Quelle serait la priode de ce mme pendule sur la Lune (

  • Loi des masses : la priode ne dpend aucunement de la masse qui

    lui est accroche

    Loi disochronisme : pour des petites oscillations ( la priode est constante ; quelque soitlangle duquel on lche le pendule, la priode restera la mme ( condition que cet angle soit petit, c--d < 20)

    Conclusion : la priode dun pendule pesant simple est indpendante de la masse et de langle delcher (avec

  • Enonc des exercices sur Oscillateurs Mcaniques (II)

    exercice 1 : Energies dun systme {solide ressort}

    On dispose d'un systme solide-ressort constitu d'un mobile de masse m = 250 g accroch l'extrmit d'un ressort spires non jointives, de masse ngligeable et de raideur k = 10 N.m-l.Le mobile assimil son centre d'inertie G peut osciller horizontalement sur une tige paralllement l'axe Ox (figure 1).On tudie son mouvement dans le rfrentiel terrestre suppos galilen. Le point O concide avec laposition de G lorsque le ressort est au repos.

    Partie A : Dans un premier temps, on nglige les frottements du mobile sur son rail de guidage.

    1. Faire l'inventaire des forces exerces sur le mobile ; sur la figure 1 sur la copie et reprsenterles diffrents vecteurs forces sans souci d'chelle.

    2. Etablir l'quation diffrentielle du mouvement.

    3. Vrifier que x = xMk

    cos .m

    t j

    +

    est solution de cette quation diffrentielle quelles que

    soient les valeurs des constantes xM et j.4. Le mobile est cart de sa position d'quilibre et lch l'instant t = 0 s, sans vitesse initiale,

    de la position x0 = + 2,0 cm, et xM > 0. Dterminer numriquement xM et j.5. Calculer la priode propre T0 du mouvement.

    Partie B : On suppose maintenant que les frottements ne sont plus ngligeables et peuvent tremodliss par une force dont la valeur est proportionnelle celle de la vitesse et dont le sens estoppos celui du mouvement : (m > 0).Un dispositif d'acquisition de donnes permet de connatre chaque instant la position du mobile .(figure 2).Un logiciel de traitement fournit les courbes de variation, en fonction du temps, de l'nergiemcanique (Em) , de l'nergie cintique (Ec) et de l'nergie potentielle lastique (Ep) du systme solide-ressort (figure 3).

    1. l' aide de la figure 2, dterminer la pseudo-priode T du mouvement. Comparer sa valeur celle de la priode propre calcule Partie A.

    2. Identifier par leur lettre (A ou B) les courbes Ec(t) et Ep(t) de la figure 3 en justifiant lesrponses.

    3. Pourquoi l'nergie mcanique du systme diminue-t-elle au cours du temps ?4. Sur les figures 2 et 3 de l'annexe sont reprs deux instants particuliers nots t1 et t2.

    mG

    O

    Figure 1ir x

  • En utilisant la figure 2 et en justifiant la rponse, indiquer auquel de ces instants la valeur dela vitesse du mobile est :

    a) maximaleb) nulle

    5. Que peut-on en conclure quant la valeur de la force de frottement chacun de ces instants ?

    (s)t

    0,6 1,2 1,8

    x (103 m)

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    0,40,2 0,8 1,0 1,4 1,6

    t2t1

    Figure 2

    1,2

    Ec,

    0,5

    1,0

    1,5

    2,0 Ep, Em(mJ)

    (s)t

    0,6 1,80

    0,40,2 0,8 1,0 1,4 1,6t2t1

    Em(t)

    B

    A

    Figure 3

  • exercice 2 :

    Un palet P1 de masse m1 est propuls le long d'une piste coussin d'air. La piste comporte une rampeAB de longueur L incline d'un angle a sur l'horizontale, suivie d'un trou T afin de recevoir ce palet.Le palet P1 est propuls grce un choc avec un palet P2, de masse m2 = 4 m1.

    Le palet P2 est lui mme reli un ressort R horizontal, de masse ngligeable et de constante deraideur k. L'autre extrmit du ressort est fixe en O. A l'quilibre, la position du centre d'inertie dupalet P2 est note G0 telle que OG0 = l0.

    Donnes : m1 = 50 g ; m2 = 200 g ; k = 20 N/m ; l0 = 24 cm ; g = 10 m/s ; a = 30.Tous les frottements sont ngligs ; le ressort exerce une force proportionnelle sa dformation.

    I. Etude du mouvement du palet P2 :

    Un joueur comprime le ressort : la nouvelle position du centre d'inertie G2 du palet devient G1 telleque OG1 = 0,25 l0 = . Puis ce mme joueur le lche un instant pris comme origine des dates, sans

    communiquer de vitesse initiale P2.

    1. Etablir l'quation diffrentielle du mouvement du centre d'inertie du palet P2. L'origine surl'axe x'x est G0.

    2. L'quation du mouvement de G2 est : x(t) = A sin (w0t + f) o x est l'abscisse de G2 sur [G0x)

    a) Quelle est la nature du mouvement de G2 ?b) Prciser la signification physique de A, w0, f.c) Dterminer les valeurs des constantes A et f.d) Etablir l'expression littrale de w0, de la priode T0 ; faire lapplication numriquee) En dduire numriquement l'quation horaire x(t)

    3. a) Donner l'expression littrale et numrique de la vitesse v(t) de G2.b) A quel instant t0, le centre d'inertie G2 du palet passe-t-il en G0 ?

  • c) Dterminer la valeur de la vitesse lors du passage en G0.

    4. Exprimer l'nergie mcanique du systme ressort et palet un instant t quelconque enfonction de A et k ; la calculer

    a) Que vaut cette nergie l'instant t0 ?b) En dduire de manire littrale puis numrique la vitesse v0 du palet l'instant t0 ;

    cette valeur est-elle en accord avec celle trouve en 3 ?

    II. Etude du mouvement du palet P1

    Le choc entre les palets a lieu lorsque le centre d'inertie G2 du palet P2 passe en G0. Lors du choc, onconsidre que le palet P2 transmet intgralement son nergie cintique au palet P1 ;

    1. Calculer la vitesse v1 acquise par du le centre d'inertie G1 du palet P1 au moment du choc.2. En dduire la vitesse vA du centre d'inertie G1 du palet P1 au passage en A.3. Calculer la vitesse vB au passage au sommet de la rampe, sachant que B est situ une

    hauteur hB = 25 cm au dessus du plan horizontal passant par A.4. Quelle doit tre la longueur minimale Lmin de la rampe