politecnico di milano dipartimento di matematica

Politecnico di Milano Via Bonardi, 9 20133 Milano Partita Iva: 04376620151 Dipartimento di Matematica Tel. 02 2399 4505 - Fax 02 2399 4568 Codice fiscale: 80057930150 www.mate.polimi.it

Milano, 4 Novembre 2019

Politecnico di Milano Dipartimento di Matematica

“Progetto formativo di Educazione Finanziaria per le Scuole secondarie di secondo grado”

L’esperienza della crisi economica di questi ultimi anni ha mostrato come l’esigenza di accrescere la cultura finanziaria sia molto diffusa nel nostro paese. La Scuola risulta essere un ambiente ideale per l’accrescimento delle competenze di Educazione Finanziaria in quanto coinvolge tutti i ceti sociali e riguarda un periodo della vita degli individui che rende più proficua l’acquisizione di conoscenze. Per questo motivo, il MIUR ha promosso, in questi ultimi anni, numerose iniziative per le Scuole secondarie di secondo grado con l’obiettivo di introdurre tematiche di Economia, Finanza e Matematica Finanziaria nei curricula scolastici. Il Laboratorio QFinLab del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano, sotto la guida del Prof. Emilio Barucci, ha sviluppato un progetto formativo per promuovere l’interesse e la conoscenza di temi di Matematica Finanziaria tra gli studenti delle Scuole secondarie di secondo grado. Il progetto formativo di Educazione Finanziaria del Politecnico di Milano è ispirato a una didattica per competenze e prevede che i Docenti affrontino temi di Educazione Finanziaria sia in classe sia proponendo tematiche ed esercizi da svolgere a casa, utilizzando materiale di diversa natura (esercizi, case study, giochi, video, quiz, fogli di calcolo), con l’obiettivo di favorire il coinvolgimento e l’immedesimazione degli studenti in situazioni di vita quotidiana, mettendoli a confronto con le conseguenze pratiche delle loro scelte. I percorsi proposti sono integrabili nell’apprendimento curricolare di matematica o di materie economiche. Il progetto di Educazione Finanziaria può essere anche svolto all’interno del percorso formativo per l’alternanza Scuola-Lavoro degli studenti delle scuole superiori. Il progetto può inoltre essere collocato tra le competenze fondamentali del curriculum di cittadinanza che lo studente deve intraprendere nel suo percorso di studi e che dovrà esporre in sede di esame di stato. Entrando più nello specifico, il Politecnico di Milano è in grado di proporre

Dipartimento di Matematica

Politecnico di Milano Via Bonardi, 9 20133 Milano Partita Iva: 04376620151 Dipartimento di Matematica Tel. 02 2399 4502 - Fax 02 2399 4568 Codice fiscale: 80057930150 [email protected] www.mate.polimi.it

un progetto formativo strutturato su due ambiti di progettazione: un progetto di “Flipped Classroom” (“classe rovesciata”) costituita da tre percorsi didattici (base, intermedio e avanzato, imperniati rispettivamente sulle tematiche del calcolo degli interessi, degli investimenti e della comprensione del rischio) e il gioco a squadre “Labirinto delle Finanze”. I due progetti tendono a far conoscere i principi di base del funzionamento della finanza presso le giovani generazioni e, in particolare, presso gli studenti della Scuola secondaria di secondo grado. Il progetto prende come riferimento l’esperienza quotidiana degli studenti alle prese con l’apertura di un conto corrente bancario, con l’acquisto di un oggetto con un piccolo prestito o con la decisione su come investire i propri risparmi. I progetti, totalmente gratuiti, consistono in percorsi didattici predisposti dal Politecnico di Milano dopo una attenta sperimentazione e richiedono un impegno limitato da parte dei Docenti nella loro progettazione/organizzazione.

FLIPPED CLASSROOM La Flipped Classroom, o ‘‘classe rovesciata’’, è un innovativo metodo di insegnamento grazie al quale è possibile potenziare la fase di apprendimento degli studenti. Questa modalità di didattica innovativa prevede che gli studenti svolgano un percorso guidato preparato dal Docente, avvalendosi di strumenti laboratoriali come, ad esempio, video, case-study, team working. L’obiettivo è di rafforzare il loro coinvolgimento andando oltre i sistemi tradizionali di insegnamento, raggiungendo migliori risultati in termini di apprendimento dello studente. Nel caso specifico, lo studente lavorerà su tematiche di Educazione Finanziaria, come le leggi di capitalizzazione, l’onerosità di un prestito, i benefici della diversificazione dell’investimento, il profilo rischio-rendimento dell’investimento. In fase di attuazione del percorso e di verifica, i Docenti saranno supportati dal gruppo di lavoro del Politecnico di Milano che fornisce il materiale ‘‘chiavi in mano’’ per lo sviluppo delle attività. Il progetto si articola in tre diversi percorsi:

Flipped Classroom 1 - Percorso “base” • ENTE PROPONENTE: Politecnico di Milano – Dipartimento di

Matematica (QFinLab). • DESTINATARI: studenti delle Scuole secondarie di secondo grado,

statali e paritarie, di qualunque indirizzo scolastico nell’ambito dei

corsi di matematica e/o di materie economiche.

• AMBITO TERRITORIALE DI RIFERIMENTO: tutto il territorio nazionale

in collaborazione con gli Uffici Scolastici Regionali.

• MODALITÀ: il percorso, basato su una didattica per competenze, si


struttura in sessioni svolte dai Docenti in classe e in sessioni svolte

dagli studenti a casa; si articola su moduli didattici flessibili,

interscambiabili e autonomi per venire incontro alle specifiche

esigenze dei Docenti.

• TEMPO DI SVOLGIMENTO: 4 sessioni, ciascuna delle quali suddivise

in 2 ore in classe e 2 ore a casa (il Docente può anche optare per

svolgere una parte del percorso).

• ARGOMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA: scelta del conto

corrente, capitalizzazione semplice e composta, tassi di usura,

onerosità di un prestito.

• STRUMENTI DI MATEMATICA: risoluzione di equazioni e

disequazioni, studi di funzione (lineari e esponenziali), risoluzioni di

equazioni polinomiali, studio di espressioni letterali per risolvere un

problema.

• STRUMENTI DIDATTICI: ai Docenti e agli studenti vengono forniti

testi, esercizi svolti, quiz e strumenti didattici innovativi, come video

e materiali multimediali. Come supporto allo studio dello studente, il

Politecnico di Milano offre la possibilità di utilizzare il sito

www.imparalafinanza.it che consente di approfondire le varie

tematiche affrontare nel percorso.

Flipped Classroom 2 - Percorso “intermedio” • ENTE PROPONENTE: Politecnico di Milano – Dipartimento di



corsi di matematica e/o di materie economiche.



• MODALITÀ: il progetto, basato su una didattica per competenze, si








• ARGOMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA: rendimento di un

investimento in un titolo, prezzo di un’obbligazione, mutui a tasso

fisso/variabile, rendite.

• STRUMENTI DI MATEMATICA: risoluzione di equazioni, studi di

funzione (lineari e esponenziali), studio di espressioni letterali per


risolvere un problema, problemi definiti per ricorrenza.







Flipped Classroom 3 - Percorso ‘‘avanzato” • ENTE PROPONENTE: Politecnico di Milano – Dipartimento di



corsi di Matematica.



• MODALITÀ: il progetto, basato su una didattica per competenze, si








• ARGOMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA: impostazione

frequentista, stima media/varianza, benefici diversificazione in

finanza, criterio media-varianza, scelte di investimento.







LABIRINTO DELLE FINANZE

Il Labirinto delle Finanze è una gara a squadre in cui gli studenti sono chiamati a risolvere problemi di Matematica Finanziaria su tematiche simili a quelle della Flipped Classroom, con l’ausilio di video e materiali multimediali già elaborati dal Politecnico. La gara può essere svolta in circa due/tre ore e prevede alcune tappe virtuali, come l’Aula, la Banca, la Casa, il Negozio, ecc. Questa gara può essere proposta sia come attività isolata, per avvicinare gli studenti alle tematiche legate all’Educazione Finanziaria, sia


come attività conclusiva di verifica e confronto finale del percorso di lezioni della Flipped Classroom. L’attività è pensata per essere organizzata all’interno degli istituti scolastici.

• ENTE PROPONENTE: Politecnico di Milano – Dipartimento di



corsi di matematica e/o materie economiche.



• MODALITÀ: il progetto si struttura in una ‘‘caccia al tesoro’’

finanziaria, articolata in più tappe a seconda alle specifiche esigenze

dei Docenti. Il Politecnico fornisce tutta la strumentazione necessaria

per lo svolgimento del Labirinto: quesiti di natura finanziaria, video,

materiale esplicativo, suggerimenti/enigmi per gli indizi che

consentono alle squadre di giungere alla tappa successiva.

• TEMPO DI SVOLGIMENTO: Il Labirinto delle Finanze richiede un

tempo che può variare in funzione del numero delle tappe;

orientativamente, con 8/10 tappe il tempo necessario per lo

svolgimento della gara è di circa tre ore.

• ARGOMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA: scelta del conto

corrente, capitalizzazione semplice e composta, tassi di usura,

onerosità di un prestito, rendimento di un investimento in un titolo,

prezzo di un’obbligazione, mutui a tasso fisso/variabile, benefici

diversificazione in finanza, criterio media-varianza.

• STRUMENTI DI MATEMATICA: risoluzione di equazioni e

disequazioni, studi di funzione (lineari ed esponenziali), risoluzioni

di equazioni polinomiali, studio di espressioni letterali per risolvere

un problema, problemi definiti per ricorrenza. • STRUMENTI DIDATTICI: agli studenti vengono forniti gli strumenti

per lo svolgimento della prova (materiale esplicativo, video a cui si

collegano tramite un codice QR e altri multimediali).

Proposte di Educazione Finanziaria

Flipped Classroom - Classica

QFinLab

Politecnico di Milano

[email protected]

Perché educazione finanziaria?

Al giorno d’oggi è sempre più sentito il bisogno di una solida conoscenza in materia finanziaria.

Alcuni eventi recenti (la crisi finanziaria, il bail-in delle banche, le difficoltà economiche delle

famiglie) hanno infatti mostrato come vi sia un deficit di competenze tra la popolazione che rende

impellente la necessità di svolgere un’azione efficace in materia di educazione finanziaria con

l’obiettivo di permettere ai cittadini di conoscere e comprendere i rischi della finanza e di

confrontarsi con la propria banca o con il proprio consulente “parlando la stessa lingua”.

La necessità di conoscere i principi di base della finanza coinvolge le giovani generazioni e, in

particolare, gli studenti degli ultimi anni della scuola secondaria di II grado. E’ oramai condiviso

infatti che l’educazione finanziaria debba far parte del bagaglio di competenze dei giovani che

sono chiamati a confrontarsi con i primi problemi finanziari, come aprire un conto corrente e

acquistare un oggetto a rate.

Perché educazione finanziaria nelle ore di matematica?

Scopo di questo percorso è presentare l’educazione finanziaria nell’ambito dell’applicazione delle

conoscenze impartite nei corsi di matematica. Le attività svolte all’interno della proposta didattica

sono in linea con le Indicazioni Nazionali per il curriculum di matematica della scuola secondaria di

II grado. In particolare:

- per quanto riguarda gli obiettivi specifici di apprendimento relativi all’aritmetica, il percorso

didattico permette di approfondire e potenziare alcuni aspetti relativi al calcolo aritmetico, come il

calcolo mentale e strumentale, ma anche di affrontare il tema dell’approssimazione;

- per quanto riguarda gli aspetti algebrici, l’introduzione e l’utilizzo di formule, dirette e inverse,

potenzia la comprensione del calcolo letterale applicato ad un contesto reale, per risolvere

problemi reali (e non solo realistici);

- per quanto riguarda l'ambito delle relazioni e funzioni, vengono forniti gli strumenti per produrre

e interpretare semplici rappresentazioni (grafiche, tabulari, sotto forma di formule) di fenomeni,

permettendo di introdurre i primi rudimenti di modellizzazione matematica con una particolare

attenzione ai modelli di crescita lineare ed esponenziale;

- infine, per quanto riguarda le competenze trasversali, il percorso didattico permette agli studenti

di: a) potenziare le capacità di risoluzione di alcuni problemi, mantenendo il controllo non solo sul

procedimento ma anche sulla validazione dei risultati; b) sviluppare le competenze per passare

agevolmente da un registro di rappresentazione ad un altro (numerico, grafico, analitico); c)

acquisire sia competenze per l’utilizzo di strumenti informatici per la rappresentazione dei dati che

capacità di riflessione sulle diverse rappresentazioni per saper scegliere le più idonee.

Perché usare la flipped classroom o “classe rovesciata”?

Lo scopo di questa metodologia didattica, validato anche da ricerche in materia di didattica della

matematica, è quello di promuovere un apprendimento attivo e autonomo da parte dello

studente.

La lezione è divisa in due parti: la prima da svolgere autonomamente dallo studente (solitamente a

casa) e la seconda realizzata in classe, sotto la guida dell’insegnante. Nella prima parte, gli studenti

svolgono attività con l’ausilio di materiali (video, testi scritti, esercizi, quiz) al fine di prepararsi alla

fase successiva. Nella seconda parte della lezione, l’insegnante dedica tempo ai concetti più difficili

e propone attività che permettano agli studenti di approfondire quanto già appreso nella prima

parte, consolidando l’apprendimento.

La proposta

Questo percorso, articolato in quattro moduli (M1-M4), è pensato per tutti gli studenti delle

scuole secondarie di II grado. Il percorso è da svolgere sotto la guida del docente di matematica o

di scienze economiche. Non sono necessari prerequisiti di conoscenze in ambito finanziario; i

prerequisiti matematici essenziali riguardano le competenze già acquisite dagli studenti al termine

della scuola secondaria di I grado.

Gli argomenti dei quattro moduli sono i seguenti:

M1 I costi del conto corrente

Argomenti Matematica in gioco

Come scegliere il conto corrente (c/c)

L’Indicatore Sintetico di Costo (ISC)

Valutare la differenza tra costi fissi e

costi variabili di un contratto di c/c

Utilizzo di equazioni e disequazioni per rappresentare e

risolvere un problema

Studio di funzioni lineari e di funzioni lineari a tratti

Rappresentazioni di rette nel piano cartesiano

Risoluzioni di equazioni con strumenti grafici e algebrici

M2 Le leggi di capitalizzazione


Legge di capitalizzazione semplice

Legge di capitalizzazione composta

Utilizzo delle formule inverse per il

calcolo del capitale, del tasso di

interesse o della durata

dell’investimento

Approssimazione dei risultati numerici

Studio di espressioni letterali per risolvere un problema

Costruzione di un’equazione per descrivere un problema

Gestione di diversi registri di rappresentazione

Utilizzo di fogli di calcolo e software per la rappresentazione e

il confronto tra grafici di funzioni

Studio della funzione esponenziale

M3 Tassi equivalenti


Legge di capitalizzazione con diversi

orizzonti temporali

Tassi equivalenti

Reato di usura




Gestione di diversi registri di rappresentazioni

Utilizzo di fogli di calcolo e software per la rappresentazione

dei grafici

M4 Le condizioni dei prestiti


Tasso interno di rendimento di

un’operazione finanziaria (TIR)

Come calcolare il TIR

Sigle dei prestiti: TAN e TAEG

Descrizione di un problema utilizzando un’equazione non

lineare

Risolvere equazioni di grado superiore al primo

Utilizzare software per la risoluzione di equazioni

La proposta è completata da alcuni esercizi aggiuntivi di ripasso e approfondimento e da una

proposta di verifica conclusiva per l’insegnante.

Tra gli allegati a questa proposta ci sono le schede con il materiale didattico da utilizzare con gli

studenti (schede per il lavoro a casa, copia cartacea dei quiz, esercizi per il lavoro a gruppi, testo

della verifica).

Modulo 0: Prima di iniziare

Quiz introduttivo

Sottoporre agli studenti un quiz per valutare le loro conoscenze pregresse. Il test iniziale può

essere corretto al termine del percorso di educazione finanziaria, facendolo correggere

direttamente agli studenti o riproponendolo come verifica delle conoscenze apprese.

Quiz introduttivo1

1. Vuoi aprire un conto corrente in banca. L'offerta della banca A prevede un canone fisso di 20 € al

mese e operazioni illimitate gratuite, mentre l'offerta della banca B non ha un canone fisso, ma il

costo per ogni operazione (bonifici, MAV, bollette, F24) è di 1,5 €. Quali di queste affermazioni è

corretta?

a. L'offerta della banca A è la più conveniente

b. L'offerta della banca B è la più conveniente

c. L'offerta della banca A è la più conveniente se faccio poche operazioni

d. L'offerta della banca B è la più conveniente se faccio poche operazioni

e. Non so

[d]

2. Investi 100 € a un tasso di interesse annuo del 5%. Dopo 5 anni, il tuo capitale

a. Sarà inferiore a 105 €

b. Sarà uguale a 105 €

c. Sarà molto superiore a 105 €

d. Sarà poco superiore a 105 €

e. Non so

[c]

3. L’indicatore migliore per confrontare due finanziamenti è

a. Lo spread del tasso di interesse, perché tiene conto dell’andamento dell’economia

b. Il TAN, perché non tiene conto di tutte le spese

c. Il TAEG, perché tiene conto di tutte le spese

d. Non so

[c]

4. Nel fare un investimento in un regime di capitalizzazione composta, quale di queste affermazioni è

corretta?

a. Il tasso 1% annuale è equivalente a un tasso semestrale dello 0,5%

b. Il tasso 1% annuale è più vantaggioso di un tasso semestrale dello 0,5%

c. Il tasso 1% annuale è meno vantaggioso di un tasso semestrale dello 0,5%

d. Non so

[c]

1 I quiz possono essere somministrati online utilizzando software gratuiti (come Google Form, Kahoot, Socrative…) in

cui gli studenti rispondono usando il loro smartphone. Il vantaggio è che con questa modelaità può essere inserita la

correzione che diviene quindi automatica e il docente può controllare immediatamente i risultati della classe e fare

una correzione mirata rispetto alle risposte fornite.

Per chi non potesse utilizzare questa modalità, tra gli allegati alla proposta sono presenti delle schede cartacee con la

copia dei quiz.

Introduzione:2

- Condividere con gli studenti gli obiettivi della nuova metodologia didattica, spiegando

l’importanza della fase di preparazione (da svolgere a casa o in classe, ma in autonomia)

per poter comprendere il lavoro che verrà svolto nella lezione in classe.

- Mostrare come iscriversi alla piattaforma www.pok.polimi.it e al corso “Finanza per Tutti”3

- Vedere insieme il video introduttivo4: “Introduzione al corso”

https://youtu.be/Hwl1DsE7s6k?list=PLmKUwJ0KJQnW0eqrDPPc5_PnpSGJOEUM-

- Vedere insieme agli studenti il video della prima lezione mostrando tutte le potenzialità del

poter seguire una “lezione” via video: interrompere, prendere appunti, rivedere,

velocizzare, rallentare, rifare i conti presentati…

2 Questi suggerimenti sono soprattutto per le classi in cui non è mai stata utilizzata la flipped classroom in cui gli

studenti non hanno confidenza con il lavoro online e a casa 3 Le edizioni del corso rimangono aperte alcuni mesi; terminata una edizione ne viene aperta una successiva dopo

pochi giorni in modo che il corso sia sempre accessibile. In homepage è possibile controllare la durata dell’edizione

attuale e la data di chiusura, per non perdere il lavoro svolto in piattaforma. 4 E’ possibile seguire i video anche senza registrarsi alla piattaforma e accedendo direttamente dai link di YouTube.

L’iscrizione alla piattaforma, gratuita, permette però di avere una visione più strutturata del corso (quiz, forum, ordine

dei video), oltre che la possibilità di vedere quali siano gli altri corsi disponibili per approfondimenti personali o futuri

progetti in classe.

Modulo 1: I costi del conto corrente

In questa lezione


Come scegliere il conto corrente (c/c)

L’Indicatore Sintetico di Costo (ISC)

Valutare la differenza tra costi fissi e

costi variabili di un contratto di c/c

Utilizzo di equazioni e disequazioni per rappresentare e

risolvere un problema

Studio di funzioni lineari e di funzioni lineari a tratti

Rappresentazioni di rette nel piano cartesiano

Risoluzioni di equazioni con strumenti grafici e algebrici

In questa lezione vengono affrontati problemi di scelta dove è necessario fare confronti tra diverse offerte

con costi fissi e costi variabili. L’argomento finanziario affrontato è la scelta di un conto corrente e la

valutazione dei costi, mentre dal punto di vista matematico si affrontano equazioni e disequazioni di

primo grado, l’equazione della retta e i grafici delle funzioni lineari a tratti.

Nell’esercizio da svolgere nella fase di preparazione, gli studenti devono seguire l’esempio visto nel video

per effettuare i calcoli con diversi valori numerici. Nel lavoro in aula l’esercizio viene ripreso per

generalizzare il confronto tra i costi con la rappresentazione analitica e grafica delle funzioni di costo.

Essendo la prima lezione del percorso, le attività “in preparazione” possono essere svolte durante una

lezione per mostrare agli studenti come guardare i video e come utilizzarli per studiare, prendere appunti

e svolgere gli esercizi assegnati.

In preparazione:

- Guardare il video: Scegliere il conto corrente (week 1, modulo 1, video 1)

- Svolgere l’esercizio 1

Esercizio 1

Calcola l’Indicatore Sintetico di Costo (ISC) di questi prodotti per i profili di famiglie a bassa,

media e alta operatività, con rispettivamente 201, 228 e 253 operazioni annue.

Quale conto corrente è più conveniente per ciascuna tipologia di famiglia?

Operazioni gratuite

annuali

Costo operazioni

aggiuntive Canone fisso

Conto A 200 1 a operazione 1,50 al mese

Conto B 150 € 0,50 a operazione € 6 all’anno

Svolgimento

Per una famiglia a bassa operatività, secondo la stima di Banca d’Italia, il numero di

operazioni annuali è di 201, quindi il costo annuale dei due prodotti è

Conto A: �201 − 200� ⋅ 1 + 1,50 ⋅ 12 = 19€

Conto B: �201 − 150� ⋅ 0,50 + 6 = 31,5 €

Per una famiglia a media operatività il numero di operazioni annuali è stimato essere pari a

228, quindi il costo annuale dei due prodotti è

Conto A: �228 � 200� ⋅ 1 � 1,50 ⋅ 12 � 46 €

Conto B: �228 � 150� ⋅ 0,50 � 6 � 45 €

Per una famiglia ad alta operatività il numero di operazioni annuali è stimato essere pari a

253, quindi il costo annuale dei due prodotti è

Conto A: �253 � 200� ⋅ 1 � 1,50 ⋅ 12 � 71 €

Conto B: �253 � 150� ⋅ 0,50 � 6 � 57,5 €

In classe:

- Correzione dell’esercizio 1

- Discussione a partire dalla domanda “Quante operazioni devono essere fatte all’anno

perché il conto A risulti meno conveniente del conto B?”

- Definizione delle funzioni lineari a tratti, rappresentazioni delle funzioni di costo dei due

conti correnti al variare del numero di operazioni, confronto tra le funzioni.

Modulo 2: Le leggi di capitalizzazione

In questa lezione


Legge di capitalizzazione semplice

Legge di capitalizzazione composta

Utilizzo delle formule inverse per il

calcolo del capitale, del tasso di

interesse o della durata

dell’investimento




Gestione di diversi registri di rappresentazione

Utilizzo di fogli di calcolo e software per la rappresentazione e

il confronto tra grafici di funzioni

Studio della funzione esponenziale

L’obiettivo di questa lezione è quello di introdurre le formule delle leggi di capitalizzazione semplice e

composta, mostrando agli studenti le differenze dal punto di vista analitico, grafico e concettuale.

Nel lavoro in aula è previsto un quiz sulla verifica dei contenuti ed esercizi con l’applicazione delle formule

per consolidare l’apprendimento e confrontare le due leggi utilizzando strumenti di calcolo, come la

calcolatrice o i fogli elettronici.

La legge di capitalizzazione composta può essere ricavata in modo ricorsivo anche dagli studenti che non

hanno ancora affrontato la funzione esponenziale.

Se questo modulo viene utilizzato invece proprio per introdurre la funzione esponenziale a partire da un

problema concreto, è possibile approfondire l’attività introducendo l’inversione della formula e la

funzione logaritmica.

In preparazione:

- Guardare il video: Lo scorrere del tempo e gli interessi: le leggi di capitalizzazione (week 1,

modulo 1, video 2)

- Individuare e trascrivere le formule della legge di capitalizzazione semplice e di

capitalizzazione composta.5

In classe:

- Quiz per verificare i contenuti del video

- Correzione del quiz e discussione in classe

- Svolgimento a dell’esercizio 2

- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 3

5 Tra i documenti allegati è presente una scheda per lo svolgimento di questo lavoro a casa.

Quiz: le leggi di capitalizzazione

1. Se investi un capitale di 200 € al tasso di interesse del 2% annuo, in

capitalizzazione semplice, a quanto ammonterà la tua ricchezza dopo 2 anni?

a. 204 €

b. 204,04 €

c. 208 €

d. 208,08 €

[c]

2. Se investi un capitale di 200 € al tasso di interesse del 2% annuo, in

capitalizzazione composta, a quanto ammonterà la tua ricchezza dopo 2 anni?

a. 204 €

b. 204,04 €

c. 208 €

d. 208,08 €

[d]

3. Quanto tempo deve trascorrere perché un investimento di 100 € in

capitalizzazione semplice al tasso del 3% annuo valga 109 €?

a. Meno di 3 anni

b. 3 anni esatti

c. Più di 3 anni

d. Dipende dall’andamento dei mercati

[b]

4. Quanto tempo deve trascorrere perché un investimento di 100 € in

capitalizzazione composta al tasso del 3% annuo valga 109 €?

a. Meno di 2 anni

b. Poco meno di 3 anni

c. 3 anni esatti

d. Più di 3 anni

[b]

5. A parità di tasso di interesse, quale regime di capitalizzazione fa crescere più

velocemente il capitale investito per periodi di tempo superiori all’anno?

a. La capitalizzazione semplice

b. La capitalizzazione composta

c. Sono equivalenti

d. Dipende dalla cifra investita

[b]

Esercizio 2

Utilizzando un foglio di calcolo (ad esempio Excel) calcolare ricorsivamente il montante, cioè

il valore finale, di un investimento di 1.000 € in capitalizzazione composta dopo 10 anni con

un tasso di interesse annuo del 5%.

Svolgimento

Costruire i valori del montante applicando il tasso di interesse al valore ottenuto nell’anno

precedente (utilizzando il “trascinamento” della formula nel foglio di calcolo).

Generalizzare la formula fino ad arrivare a definire nuovamente la formula della

capitalizzazione composta.

Esercizio 3

Immaginando di investire un capitale iniziale di 10.000 € con un tasso del 3% annuo,

confronta i valori del montante dopo 3, 6, 9, 12 mesi in capitalizzazione semplice e

composta.

Ripeti il confronto dei due regimi di capitalizzazione dopo 1, 2, 3, 4, 5 anni.

Suggerimento: Confronta sia i risultati numerici che il comportamento del grafico delle due

funzioni.

Svolgimento

Un esempio di rappresentazione con Excel (in arancio la capitalizzazione semplice, in blu

quella composta) per il primo caso, cioè dopo 3,6,9,12 mesi.

$ 10.000,00

$ 10.050,00

$ 10.100,00

$ 10.150,00

$ 10.200,00

$ 10.250,00

$ 10.300,00

0 0,25 0,5 0,75 1

Investimento mensile

Capitalizzazione Composta Capitalizzazione Semplice

Far notare che graficamente è difficile osservare una differenza tra le due curve, ma

considerando i risultati numerici la capitalizzazione semplice è (leggermente) più conveniente

di quella composta per periodi di tempo inferiori all’anno.

Un esempio di rappresentazione con Excel (in arancio la capitalizzazione semplice, in blu

quella composta) per il secondo caso: dopo 1,2,3,4,5 anni.

Far notare che sia graficamente che numericamente la differenza è più visibile e che in questo

caso la capitalizzazione composta è più conveniente di quella semplice.

Proporre un confronto generale tra la funzione che rappresenta la capitalizzazione

dell’interesse composto � ⋅ �1 + �� con la capitalizzazione semplice � ⋅ �1 +� ⋅��.

Provare a cambiare i valori del capitale e del tasso di interesse per fare ulteriori confronti con

i grafici.

Per approfondire

- Guardare il materiale: https://www.imparalafinanza.it/tassi-di-interesse-e-

capitalizzazione/

- Rispondere ai quiz: https://www.imparalafinanza.it/quiz-tassi-interesse-e-capitalizzazione/

- Esercizi aggiuntivi

$ 10.000,00

$ 10.200,00

$ 10.400,00

$ 10.600,00

$ 10.800,00

$ 11.000,00

$ 11.200,00

$ 11.400,00

$ 11.600,00

0 1 2 3 4 5

Investimento annuale

Capitalizzazione Composta Capitalizzazione Semplice

Modulo 3: Tassi equivalenti

In questa lezione


Legge di capitalizzazione con diversi

orizzonti temporali

Tassi equivalenti

Reato di usura




Gestione di diversi registri di rappresentazioni

Utilizzo di fogli di calcolo e software per la rappresentazione

dei grafici

In questo modulo vengono riprese le leggi di capitalizzazione, con una particolare attenzione alla legge di

capitalizzazione composta utilizzata con tassi di interesse riferiti a orizzonti temporali diversi da un anno.

Il lavoro previsto per gli studenti sono un esercizio per introdurre l’argomento, un quiz di verifica dei

contenuti presentati nel video e un lavoro a gruppi, tutto sul confronto tra tassi di interesse relativi a

intervalli temporali diversi. Con la correzione del lavoro svolto a gruppi, viene introdotta la formula per

calcolare il tasso annuale equivalente a un tasso di interesse non annuale.

In preparazione:

- Guardare il video: Tassi di interesse e orizzonte temporale (week 1, modulo 1, video 3)

- Svolgere l’esercizio 4.

Esercizio 4

Utilizzando la legge di capitalizzazione composta è più conveniente un tasso di interesse del

3% semestrale o uno del 6% annuale? Perché?

Svolgimento

Il tasso del 3% semestrale è più conveniente perché gli interessi vengono applicati ogni sei

mesi sul capitale maturato nei mesi precedenti.

Ad esempio immaginando che il capitale sia 100 con il 3% semestrale otterremmo 106,09 €

dopo un anno, mentre con il 6% annuale dopo un anno otterremmo 106 €.

In classe:


- Discussione sulla differenza tra capitalizzazione semplice e composta nel caso di tassi di

interesse con diversi periodi di riferimento temporale.

- Quiz sui tassi equivalenti. Correzione del quiz, riflessione con la classe sulle relazioni tra

tassi di interesse su orizzonti temporali diversi.

- Svolgimento dell’esercizio 5 a gruppi, correzione e discussione.

Quiz: tassi equivalenti

1. Nell’ottica di fare un investimento, quale di queste affermazioni risulta essere corretta in

capitalizzazione composta?

a. Il tasso 1% annuale è equivalente allo 0,5% semestrale

b. Il tasso 1% annuale è più vantaggioso dello 0,5% semestrale

c. Il tasso 1% annuale è meno vantaggioso dello 0,5% semestrale

[c]

2. Quale di questi tassi in capitalizzazione composta è più vantaggioso, nel caso in cui ti

trovassi a contrarre un debito?

a. Il 2% mensile

b. Il 2% trimestrale

c. Il 2% quadrimestrale

d. Il 2% annuale

[d]

3. Un investimento in regime di capitalizzazione composta con un tasso trimestrale del 3%

è

a. Equivalente ad un investimento con un tasso annuale del 12%

b. Meno conveniente di un investimento con un tasso annuale del 12%

c. Più conveniente di un investimento con un tasso annuale del 12%

d. Il confronto con un investimento al tasso annuale del 12% dipende dalla cifra

investita

[c]

4. In un regime in capitalizzazione composta, quali di questi tassi ti sembra essere più

vantaggioso per investire i tuoi risparmi?

a. Un tasso annuale dell’1%

b. Un tasso semestrale dell’1%

c. Un tasso trimestrale dell’1%

d. Un tasso mensile dello 0,01%

[c]

Esercizio 5

L’usura è un prestito a un tasso di interesse notevolmente superiore a quello medio di

mercato: l’usura è un reato. Ipotizziamo che il tasso sopra il quale si parla di usura oggi sia il

15% annuo. Immagina di aver bisogno di un prestito di 1.000 € da restituire tra un anno:

Andrea ti può fornire il denaro che ti serve al 4,5% quadrimestrale, Marco al 4% trimestrale.

Le due condizioni di prestito sono legali o rientrano nell’ambito del reato di usura?

Svolgimento

La cifra da restituire tra un anno ad Andrea sarebbe 1.141,17 € mentre quella da restituire a

Marco sarebbe 1.169,86 €.

Le condizioni offerte da Marco sono da usura, visto che la cifra da restituire supera i

1.150,00 € che sarebbe la cifra da restituire applicando il 15% annuo.

Una strategia risolutiva differente per rispondere alla domanda è quella di confrontare i due

tassi quadrimestrale e trimestrale con quello annuale riportandoli al tasso (equivalente)

annuale.

Dopo aver svolto l’esercizio è possibile esplicitare la formula per trovare il tasso annuale

equivalente ad un tasso con un riferimento temporale diverso. Se �� è un tasso di interesse

che fa riferimento a k parti d’anno (nel caso di tasso mensile k=12), l’interesse annuale �

equivalente a �� è quel tasso tale per cui dopo un anno avremo lo stesso capitale a partire

dal capitale iniziale C, cioè

��1 � �� 1 � ��

da cui il tasso equivalente annuale si ottiene

� � �1 �� 1

Per approfondire:

- Guardare il materiale: https://www.imparalafinanza.it/tassi-e-usura/

- Rispondere ai quiz: https://www.imparalafinanza.it/quiz-tassi-e-usura/


Modulo 4: Le condizioni dei prestiti

In questa lezione


Tasso interno di rendimento di

un’operazione finanziaria (TIR)

Come calcolare il TIR

Sigle dei prestiti: TAN e TAEG

Descrizione di un problema utilizzando un’equazione non

lineare

Risolvere equazioni di grado superiore al primo

Utilizzare software per la risoluzione di equazioni

L’obiettivo di questo ultimo modulo è quello di introdurre il significato delle sigle di TIR, TAN e TAEG. In

particolare, la lezione si concentra sul significato del TIR, il Tasso Interno di Rendimento, di una

operazione finanziaria. Per il calcolo del TIR è necessario risolvere delle equazioni non lineari, utilizzando

software specifici o facendo delle stime, ad esempio con fogli di calcolo o rappresentazioni grafiche.

Gli esercizi proposti nel modulo affrontano però solo alcuni casi semplici in cui sono da risolvere equazioni

riconducibili a equazioni di secondo grado.

In preparazione:

- Guardare il video: Quanto costa un finanziamento? TIR, TAN, TAEG (week 1, modulo 3,

video 1)

- Riflettere su quale sia la differenza tra investimento e finanziamento, riprendere le

definizioni delle sigle presenti nel video6. Cercare un programma online che permetta il

calcolo del Tasso Interno di Rendimento (TIR) e verificare i conti svolti nel video.

In classe:

- Correzione dei compiti riprendendo le definizioni di TIR, TAEG e TAN, mostrando la

rappresentazione del flusso di denaro su una retta e le formule per il calcolo del TIR.

- Svolgere insieme l’esercizio 6. Discutere come sia possibile calcolare il TIR in casi più

complessi, presentare un software che permetta di calcolare il TIR7 o come fare delle

simulazioni tramite i fogli di calcolo.

- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 6 e 7.

6 Tra i documenti allegati è presente una scheda per lo svolgimento di questo lavoro a casa.

7 Si può trovare un simulatore per il calcolo del TIR all’indirizzo https://www.calkoo.com/

Esercizio 6

Nel video viene calcolato il TIR, pari a 1,49% di questa operazione finanziaria:

- Acquisto di una obbligazione che pagherà 2 € tra un anno e 102 € tra due anni, al

prezzo di 101 €.

Come varia il TIR dell’operazione in questi casi?

a. Tra un anno riceverò una cedola di 1 €, invece di 2 €

b. Tra due anni riceverò 104 €, invece di 102 €

c. Il prezzo oggi è pari a 103 €, invece di 101 €

Esercizio 7

Confronta il TIR dei seguenti investimenti per stabilire quale dei due sia il più conveniente.

a) Investimento iniziale di 10.000 €, incassando 5.300 € fra due anni e 5.600 € fra

quattro anni.

b) Investimento iniziale di 20.000 €, incassando 15.000 € fra tre anni e 6.500 € fra sei

anni.

Svolgimento

Il TIR del primo investimento si ottiene risolvendo l’equazione

10000 �5300

�1 � ��

5600

�1 � ��

da cui � � 2,9013%.

L’equazione per ottenere il TIR del secondo investimento è data da

20000 �15000

�1 � ��

6500

�1 � ��

da cui � � 1,8768%.

Il primo investimento è più vantaggioso.

Per approfondire

- Guardare il materiale presente su https://www.imparalafinanza.it/tan-e-taeg/

- Rispondere ai quiz presenti all’indirizzo https://www.imparalafinanza.it/quiz-tan-e-taeg/

- Discutere il problema del calcolo del TIR e della risoluzione di equazioni non lineari

- Realizzare un programma per calcolare il TIR di investimenti e finanziamenti

- Guardare il video Come orientarsi nel mondo del credito a consumo (week 1, modulo 3,

video 2)

Svolgimento

101 �1

1 � ��

102

�1 � ��

101 �2

1 � ��

104

�1 � ��

103 �2

1 � ��

102

�1 � ��

Nel primo caso l’equazione da risolvere è

da cui � � 0,99%.

Nel secondo caso si ha

da cui � � 2,47%.

Nel terzo caso si ha

da cui � � 0,49%.

Riflettere con la classe su come varia il TIR a seconda di quali siano i valori che cambiano.

Esercizi Aggiuntivi

A. Considera le seguenti condizioni di due offerte di conti correnti e rispondi alle domande

Operazioni

gratuite annuali

Costo operazioni

aggiuntive

Canone fisso

Conto A 200 1,50 € a operazione 0,50 € al mese

Conto B 160 0,40 € a operazione 8 €al anno

1. Quanto vale l’ISC del conto A per il profilo giovani, per cui sono stimate 164

operazioni annue?

2. Quale dei due conti è più conveniente per il profilo giovani?

3. Quante operazioni è necessario fare all’anno perché il conto corrente A sia più

conveniente del B?

[6 €; il conto A; meno di 217 operazioni all’anno]

B. I nonni di Marco depositarono 5 anni e 3 mesi fa la somma di 1.000 € su un conto intestato

al nipote, al tasso di interesse dell’1,8% annuo con un regime di capitalizzazione mista.

Oggi Marco vuole ritirare tutta la somma per pagarsi una vacanza che costa 1.100 €. Sono

sufficienti i soldi presenti sul conto per pagare la vacanza? In caso negativo, quanto gli

serve aggiungere? In caso positivo, quanto gli avanza?

[Marco sul C/C ha 1098,22 € ]

C. Dieci anni fa ho investito 20.000 € al tasso di interesse annuo in capitalizzazione composta

dello 0,5%. Quattro anni fa ho prelevato il capitale iniziale e ho investito soltanto gli

interessi maturati fino a quell’istante al tasso di interesse annuo in capitalizzazione

composta pari all’1,2%: quanto ho ottenuto ad oggi da quest’ultimo investimento?

[637,24 €]

D. La somma di 3.700 € viene investita per sei anni ad un tasso di interesse composto dello

0,75%. Quale tasso annuo dovrebbe essere applicato per avere lo stesso montante, sullo

stesso arco temporale, qualora l'investimento fosse effettuato secondo la legge in

capitalizzazione dell’interesse semplice?

[0,76%]

E. Utilizzando la legge di capitalizzazione composta, a quanto ammonta il debito fra un anno

prendendo in prestito 1.000 € alle seguenti condizioni:

1. 2% annuale

2. 2% semestrale

3. 2% trimestrale?

[1.020 €; 1.040,40 €; 1.082,43 €]

F. Maurizio vuole investire 45.000 €, può scegliere tra

1. ricevere tra 3 anni 48.500 €

2. ricevere 17.000 € tra 2 anni e 32.000 € tra 4 anni

Calcola il TIR delle due alternative. Qual è l’offerta più conveniente?

[Il TIR della prima operazione è 2,5282%,

quello della seconda operazione è 2,6187%

E’ più conveniente la seconda operazione di investimento]

G. Calcola il TIR dell’operazione rappresentata dal seguente flusso di denaro

[0,9886%]

-1000 + 510 +520

Oggi 2 anni 4 anni

Verifica conclusiva

Esercizio 1: Calcola il montante per un capitale di 100 € investito ad un tasso annuale del 3%

Capitalizzazione

semplice

Capitalizzazione

composta

Dopo 1 anno 103,00 € 103,00 €

Dopo 1 anno e mezzo 104,50 € 104,53 €

Dopo 3 anni 109,00 € 109,27 €

Esercizio 2: Questa tabella riassume le condizioni di tre conti correnti

Operazioni

gratuite annuali

Costo operazioni

aggiuntive Canone fisso

Conto A 200 2 € a operazione 10 € annuo

Conto B 130 1 € a operazione 1 € a bimestre

Conto C 150 1 € a operazione 1,50 € a trimestre

a) Calcola l’ISC, l’indicatore sintetico di costo, per ciascuno dei tre conti per il profilo giovani

(164 operazioni all’anno). Conto A = 10 € all’anno

Conto B = 40 € all’anno

Conto C = 20 € all’anno

b) Quante operazioni all’anno devi fare perché il conto corrente A risulti più conveniente del

conto corrente C? Conto A è più conveniente del C se il numero di

operazioni annuali è compreso tra 154 e 246

Esercizio 3: Due capitali di 10.000 € e 10.500 € sono stati investiti in regime di capitalizzazione

composta per lo stesso periodo di tempo e hanno prodotto lo stesso montante. Sapendo che il

primo capitale è stato investito al tasso di interesse annuo del 0,6% e il secondo al tasso annuo del

0,13%, per quanto tempo sono stati investiti?

10 anni e 5 mesi

Esercizio 4: Calcola il tasso annuale equivalente ai seguenti tassi di interesse utilizzati in regime di

capitalizzazione composta

Tasso Tasso annuale equivalente

1% mensile 12,86%

2,5% trimestrale 10,38%

4% semestrale 8,16%

Esercizio 5: Con un investimento iniziale di 20.000 €, Marta incassa 10.500 € fra due anni e 10.800

€ fra quattro anni. Rappresenta il flusso di denaro rispetto al tempo e determina il TIR.

2,1188%


Flipped Classroom – Operazioni finanziarie

QFinLab


[email protected]





impellente la necessità di svolgere un’azione efficace in materia di educazione finanziaria con






sono chiamati a confrontarsi con i primi problemi finanziari come aprire un conto corrente e



Scopo di questo percorso è proseguire il percorso di educazione finanziaria nell’ambito del corso

di matematica con un approfondimento riguardo alle operazioni finanziarie. Le attività svolte

all’interno della proposta didattica sono in linea con le Indicazioni Nazionali per il curriculum di

matematica della scuola secondaria di secondo grado e sono pensate come naturale prosecuzione

di quanto già affrontato nel percorso classico. In particolare:

- per quanto riguarda gli obiettivi specifici di apprendimento relativi all’aritmetica, il percorso

didattico permette di approfondire e potenziare alcuni aspetti relativi al calcolo aritmetico, come il

calcolo mentale e strumentale, ma anche di affrontare il tema dell’approssimazione;

- per quanto riguarda gli aspetti algebrici, l’introduzione e l’utilizzo di formule, dirette e inverse,

potenzia la comprensione del calcolo letterale applicato ad un contesto reale, per risolvere

problemi reali (e non solo realistici);

- per quanto riguarda l'ambito delle relazioni e funzioni, vengono forniti gli strumenti per produrre

e interpretare semplici rappresentazioni (grafiche, tabulari, sotto forma di formule) di fenomeni,

permettendo di introdurre i primi rudimenti di modellizzazione matematica con una particolare

attenzione ai modelli di crescita lineare e esponenziale;


di potenziare le capacità di: a) risoluzione di alcuni problemi, mantenendo il controllo non solo sul

procedimento ma anche sulla validazione dei risultati; b) sviluppare le competenze per passare

agevolmente da un registro di rappresentazione ad un altro (numerico, grafico, analitico); c)

acquisire sia competenze per l’utilizzo di strumenti informatici per la rappresentazione dei dati che

capacità di riflessione sulle diverse rappresentazioni per saper scegliere le più idonee.


In continuità con l’approccio seguito nel percorso classico, anche qui viene proposto di utilizzare la

metodologia di flipped classroom per promuovere un apprendimento attivo e autonomo da parte

dello studente.



svolgono attività con l’ausilio di materiali (video, testi scritti, esercizi) al fine di prepararsi alla fase

successiva. Nella seconda parte della lezione, l’insegnante dedica tempo ai concetti più difficili e

propone attività che permettano agli studenti di approfondire quanto già appreso nella prima

parte consolidando l’apprendimento.

La proposta

Questo percorso è articolato in cinque moduli ed è pensato per gli studenti delle scuole

secondarie di secondo grado. L’attività è da svolgere sotto la guida del docente di matematica o di

discipline economiche. Il percorso può essere interpretato come un approfondimento rispetto al

percorso base o come attività complementare alle lezioni di matematica finanziaria.

Prima di proporre questo percorso è necessario che gli studenti conoscano almeno la legge di

capitalizzazione composta, argomento affrontato nel Modulo 2 del percorso base. E’ opportuno

anche aver svolto gli argomenti presenti nel Modulo 4 del percorso base che riguardano TIR, TAN e

TAEG.

Gli argomenti dei cinque moduli sono i seguenti:

M1 I titoli azionari


Differenza tra obbligazioni e titoli

azionari

Dividendi

Tasso di rendimento di un titolo

Rappresentazione dei numeri come percentuali e come

numeri decimali; le operazioni tra numeri decimali

Gestione di diversi registri di rappresentazione: numerici,

grafici, funzionali

M2 Le obbligazioni


Obbligazioni

Tassi di mercato


numeri decimali; le operazioni tra i numeri decimali


grafici, funzionali. Utilizzo di fogli di calcolo software

M3 Rischio di tasso


Calcolo del prezzo di un titolo

obbligazionario

Variare del prezzo di un’obbligazione al

variare del tasso

Studio di espressioni letterali per risolvere un problema;

costruzione di un’equazione per descrivere un problema


grafici, funzionali. Utilizzo di fogli di calcolo e software

M4 Piani di ammortamento


Piani di ammortamento

Come calcolare la rata di un mutuo o di

un finanziamento


numeri decimali; le operazioni tra i numeri decimali

Affrontare alcuni esempi di modelli matematici in diversi

ambiti. Utilizzo di fogli di calcolo

M5 Rendite


Rendite immediate e posticipate

Calcolo del valore attuale

Calcolo del montante


ambiti

Familiarizzare con gli strumenti informatici per manipolare

oggetti matematici; studiare le modalità di rappresentazione

dei dati elementari, testuali e multimediali

La proposta è completata da alcuni esercizi aggiuntivi di ripasso e approfondimento e da una




della verifica).


Quiz introduttivo:

Sottoporre agli studenti un quiz per valutare le loro conoscenze pregresse. Il test iniziale può

essere corretto al termine del percorso di educazione finanziaria, facendolo correggere


Quiz introduttivo1

1. Marco ha comprato un’azione nel 2015 pagandola 36 €, la vuole rivendere oggi al prezzo di 34 €,

nel periodo in cui ha detenuto il titolo non ha ricevuto dividendi. Com’è il rendimento di questa

operazione finanziaria?

a. Negativo

b. Positivo

c. Dipende da quanto valeva l’azione nel 2016 e nel 2017

d. Non ci sono informazioni sufficienti per rispondere

e. Non so

[a]

2. Vuoi richiedere un prestito e ti rechi presso due diverse banche. La banca A ti propone un

finanziamento con TAN 3,9% e TAEG 4,3%, mentre la banca B un finanziamento con TAN 3,2% e

TAEG 4,5%. Qual è l’offerta migliore?

a. L’offerta della banca A perché il TAN è più alto

b. L’offerta della banca B perché il TAN è più basso

c. L’offerta della banca A perché il TAEG è più basso

d. L’offerta della banca B perché il TAEG è più alto

e. Non so

[c]

3. Immagina di avere un mutuo a tasso fisso pari all’1%, ti viene offerto di passare ad un mutuo a

tasso variabile con un tasso inziale pari al 3%. Ti conviene in questo momento accettare?

a. Sì, perché è più conveniente il tasso del 3% di quello dell’1%

b. Sì, perché il tasso variabile è sempre più conveniente di quello fisso

c. No, perché il tasso dell’1% è più conveniente di quello del 3%

d. No, perché il tasso fisso è sempre più conveniente

e. Non so

[c]

Introduzione:2

1I quiz possono essere somministrati online utilizzando software gratuiti (come Google Form, Kahoot, Socrative…) in

cui gli studenti rispondono usando il loro smartphone. Il vantaggio è che con questa modalità può essere inserita la

correzione che diviene quindi automatica: il docente può così controllare immediatamente i risultati della classe e fare


Per chi non potesse utilizzare questa modalità, tra gli allegati alla proposta sono presenti alcune schede cartacee con

la copia dei quiz.







- Vedere insieme agli studenti il video della prima lezione mostrando tutte le potenzialità del

poter seguire una “lezione” via video: interrompere, prendere appunti, rivedere,


2 Questi suggerimenti sono soprattutto per le classi in cui non è mai stata utilizzata la flipped classroom, in cui gli






progetti in classe.

Modulo 1: I titoli azionari

In questa lezione


Differenza tra obbligazioni e titoli

azionari

Dividendi

Tasso di rendimento di un titolo

Rappresentazione dei numeri come percentuali e come numeri

decimali; le operazioni tra numeri decimali

Gestione di diversi registri di rappresentazioni: numerici,

grafici, funzionali

L’obiettivo della lezione è introdurre la differenza tra obbligazioni e titoli azionari e la formula per il

calcolo del rendimento di un titolo azionario.

Gli esercizi si concentrano sull’utilizzo della formula per il calcolo del rendimento in diversi scenari,

valutando come varia il rendimento in funzione dei diversi parametri (prezzo di acquisto, prezzo di

vendita, eventuali dividendi). Nel lavoro in classe è previsto un quiz di verifica dei contenuti del video e un

lavoro a gruppi in cui è necessario utilizzare la formula inversa del calcolo del rendimento e la lettura di

un grafico per ricavare i dati del problema.

In preparazione:

- Guardare il video: Mercati finanziari, azioni (week 1, modulo 2, video 1)

- Individuare nel video il significato di questi termini: azione, dividendo, tasso di rendimento,

capital gain.


Esercizio 1

Calcolare il tasso di rendimento per una azione acquistata a 70 € per cui è stato ricevuto un

dividendo di 2 €, nei casi in cui l’azione venga rivenduta a:

a. 68 €

b. 70 €

c. 75 €

Svolgimento

Il tasso di rendimento è dato da

� � �� – ��

In questo caso:

� � 2 �� 7070

dove � è il prezzo di vendita. Per ottenere il tasso di rendimento in percentuale, il valore di

� va moltiplicato per 100. Quindi, nei tre diversi casi i tassi di rendimento sono

a. 0%

b. 2,86%

c. 10%

le formule non sono corrette (vedi revisione precedente): ricontrollare

In classe:

- Quiz di verifica sui contenuti del video

- Correzione dell’esercizio 1 e ripasso della formula per il tasso di rendimento

- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 2, correzione e discussione in classe

Quiz: titoli azionari

1. Nel caso in cui una azienda decidesse di distribuire dei dividendi, chi avrebbe

diritto a riceverli?

a. I soci fondatori dell’azienda

b. Tutte le persone che detengono delle azioni dell’azienda

c. Tutte le persone che detengono una certa percentuale di azioni dell’azienda

d. I dipendenti dell’azienda

[b]

2. Quale informazione non è utilizzata per il calcolo del rendimento di una azione?

a. Il prezzo di acquisto

b. Il prezzo di vendita

c. La durata dell’investimento

d. I dividendi ricevuti

[c]

3. Immagina di aver acquistato e rivenduto una azione senza aver ricevuto dei

dividendi. In quale caso il rendimento di questa operazione è stato positivo?

a. Se il prezzo di vendita è minore di quello di acquisto

b. Se il prezzo di vendita è uguale a quello di acquisto

c. Se il prezzo di vendita è maggiore di quello di acquisto

d. Se il prezzo di vendita è almeno il 90% del prezzo di acquisto

[c]

4. Qual è il rendimento di una azione acquistata al prezzo di 70 €, che ha consegnato

un dividendo di 2 € e che è stata rivenduta a 75 €?

a. 2%

b. 5%

c. 7%

d. 10%

[d]

Per approfondire:

- Esercizi A, B degli esercizi aggiuntivi

Esercizio 2

Questo grafico rappresenta il prezzo di due titoli azionari negli ultimi anni:

Matteo ha acquistato una azione del titolo A nel 2014 e una azione del titolo B nel 2015.

Rivendendo nel 2018 le due azioni, quale dei due investimenti è stato più vantaggioso?

Alice invece ha avuto un rendimento del 10% comprando e rivendendo dopo alcuni anni una

azione, ma non si ricorda quale dei due titoli fosse e in quali anni abbia realizzato questa

operazione. Quale azione potrebbe aver acquistato e in quali anni?

Svolgimento

475 � 5,33% ! 473 � 5,48%

73 0,7 � 6767 � 10%

Il titolo A nel 2014 valeva 75 €, mentre il titolo B nel 2015 valeva 73 €. Nel 2018 il titolo A è

stato rivenduto a 79 € e il titolo B a 77 €. Il capital gain, cioè la differenza tra il prezzo di

acquisto e quello di vendita, è pari a 4 € in entrambi i casi.

L’acquisto del titolo B è però più vantaggioso, visto che il prezzo di acquisto è stato minore

(73 < 75) e quindi il tasso di rendimento dell’operazione è maggiore:

Una possibile soluzione è che Alice abbia comprato il titolo B nel 2012, pagandolo 70 €, e lo

abbia rivenduto a 77 € nel 2017, senza ricevere alcun dividendo.

Nel caso in cui Alice avesse ricevuto dei dividendi dall’azienda, sono possibili più

combinazioni: ad esempio se avesse acquistato il titolo A nel 2013 a 67 €, poi lo avesse

rivenduto nel 2015 a 73 € ricevendo nel frattempo un dividendo di 0,70 € si avrebbe un

rendimento pari al 10%:

65

67

69

71

73

75

77

79

81

2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

PR

EZ

ZO

DE

LLE

AZ

ION

I

Titolo A Titolo B

Modulo 2: Le obbligazioni

In questa lezione


Obbligazioni

Tassi di mercato

Rappresentazione dei numeri come percentuali e come numeri

decimali; le operazioni tra i numeri decimali


grafici, funzionali. Utilizzo di fogli di calcolo software

L’obiettivo della lezione è approfondire la conoscenza delle obbligazioni e dei tassi di mercato.

Per questo modulo sono previsti due video, uno da vedere in preparazione alla lezione, e uno, più

complesso, da guardare in aula insieme agli studenti. Dopo aver visto il video è previsto un quiz per

consolidare i contenuti e un lavoro a gruppi in cui calcolare il valore di un investimento rispetto a una

ipotetica curva dei tassi.

In preparazione:

- Guardare il video: Obbligazioni e rating (week 1, modulo 2, video 2)

- Trascrivere le definizioni di BOT, BTP, CCT e quale sia la differenza tra il mercato primario e

il mercato secondario.

In classe:

- Visione in classe del video: Tassi di interesse e di mercato (week 1, modulo 2, video 3)

- Quiz per verificare i contenuti dei video

- Correzione del quiz e discussione in classe


Quiz: Obbligazioni

1. Cos’è una obbligazione?

a. Un titolo di debito emesso da uno Stato o da una azienda

b. Un titolo di credito emesso dallo Stato

c. Un titolo di debito emesso da un privato

d. Un titolo che rappresenta una quota di una azienda

[a]

2. Quali di queste non è una caratteristica dei BOT?

a. Sono titoli di Stato italiani

b. Danno diritto a ricevere una cedola ogni sei mesi

c. Hanno durata inferiore o uguale ad un anno

d. Hanno valore nominale fissato a priori

[b]

3. Considera un BTP con valore nominale di 100 € e tasso cedolare del 3%. Com’è la

sua cedola?

a. Semestrale e del valore di 3 €

b. Annuale e del valore di 3 €

c. Semestrale e del valore di 1,50 €

d. Quadrimestrale e del valore di 1 €

[c]

4. Immagina che una obbligazione abbia un tasso di interesse negativo. Cosa significa?

a. Nel corso della vita del titolo, l’emittente dell’obbligazione consegna meno

soldi a chi lo possiede di quelli che ha ricevuto al momento dell’emissione.

b. Nel corso della vita del titolo, l’emittente dell’obbligazione consegna più

soldi a chi lo possiede di quelli che ha ricevuto al momento dell’emissione.

c. Ambedue le affermazioni precedenti.

d. Nessuna delle precedenti affermazioni.

[a]

5. Perché la curva dei tassi di interesse è solitamente crescente?

a. Perché il valore del denaro aumenta nel corso del tempo.

b. Perché di solito per prestare denaro per più tempo si chiedono interessi più

elevati.

c. Perché per prestare molto denaro si chiedono interessi più elevati.

d. Perché per periodi di tempo più lunghi si chiedono minori garanzie.

[b]

6. Un’azienda riceve un rating basso dalle agenzie di valutazione. Quale affermazione è

corretta?

a. Le obbligazioni emesse dalla azienda avranno dei tassi di rendimento molto

elevati, perché è molto alta anche la probabilità che l’azienda fallisca, non

ripagando le obbligazioni emesse.

b. Le obbligazioni emesse dalla azienda avranno dei tassi di rendimento molto

elevati, perché è molto bassa la probabilità che l’azienda fallisca e quindi

ripagherà sicuramente le obbligazioni emesse.

c. Le obbligazioni emesse dalla azienda avranno dei tassi di rendimento molto

bassi, perché è molto alta la probabilità che l’azienda fallisca, non ripagando

le obbligazioni emesse.

d. Le obbligazioni emesse dalla azienda avranno dei tassi di rendimento molto

bassi, perché è molto bassa la probabilità che l’azienda fallisca e quindi

ripagherà sicuramente le obbligazioni emesse.

[a]

Esercizio 3

Immagina che questo grafico rappresenti la curva dei tassi di interesse per i prossimi dieci

anni

Prestando oggi la cifra di 100 €, quanto otterrai tra 1 anno? E tra 8 anni?

Quale cifra devi prestare oggi per ottenere tra 10 anni 1000 €?

Svolgimento

Tra un anno avrai 100(1+0,0033)= 100,0033 €.

Tra otto anni invece avrai 100 ∗ �1 0,0123�& � 110,27€. Per avere 1000 € tra 10 anni bisogna trovare l’ammontare di denaro C tale che )�1 0,0123�*+ � 1000 per cui ) � 884,93€.

Questo esercizio può essere utilizzato anche per introdurre l’argomento della lezione

successiva: l’attualizzazione.

Per approfondire

- Guardare il materiale: https://www.imparalafinanza.it/obbligazioni/


0,330%

0,55%0,65%

0,80%

1,00%1,10%

1,15%1,23%

1,28% 1,30%

1 anno 2 anni 3 anni 4 anni 5 anni 6 anni 7 anni 8 anni 9 anni 10 anni

Modulo 3: Rischio di tasso

In questa lezione


Calcolo del prezzo di un titolo

obbligazionario

Variare del prezzo di un’obbligazione al

variare del tasso

Studio di espressioni letterali per risolvere un problema;

costruzione di un’equazione per descrivere un problema


grafici, funzionali. Utilizzo di fogli di calcolo e software

L’obiettivo della lezione è utilizzare la legge di capitalizzazione composta per il calcolo del prezzo di una

obbligazione e valutare come cambi il prezzo al variare dei tassi di interesse e della scadenza del titolo.

Argomento centrale del lavoro in preparazione e in aula è il concetto di attualizzazione di una somma di

denaro, cioè stabilire quale sia oggi il valore di flussi di denaro che si riceveranno in futuro.

Nel video da guardare in preparazione alla lezione viene anche definito lo spread tra Italia e Germania:

questa lezione quindi offre anche la possibilità di fare collegamenti con l’attualità, approfondendo il

significato di spread, controllando quale sia il valore attuale dello spread e discutendo come sia variato

negli ultimi anni.

In preparazione:

- Guardare il video: Spread e prezzo delle obbligazioni (week 1, modulo 2, video 4)

- Svolgere l’esercizio 4.

Esercizio 4

Consideriamo un BOT con valore nominale 100 €, tasso di interesse 0,5% e scadenza tra un

anno. Qual è il suo prezzo oggi?

Svolgimento

Il BOT ha valore nominale di 100 €, quindi il suo prezzo P è tale che 100 � P�1 0,005� Da cui � � 99,50 €.

In classe:

- Discussione a partire dalla domanda “Cosa vuol dire attualizzare una somma di denaro?”


- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 5 e dell’esercizio 6, correzione.

Esercizio 5

Immagina di aver acquistato oggi il BOT dell’esercizio 4, cioè un BOT con scadenza tra un

anno, valore nominale di 100 €, prezzo di acquisto di 99,50 € e quindi tasso di interesse

0,5%.

Tra 3 mesi, in quali di questi casi sarebbe conveniente rivendere il BOT?

a. i tassi a nove mesi su base annuale saranno rimasti invariati (sempre 0,5%);

b. i tassi a nove mesi su base annuale saranno aumentati e saranno pari a 1%;

c. i tassi a nove mesi su base annuale saranno diminuiti e pari allo 0,1%.

Svolgimento

Decidendo di rivendere il BOT tra tre mesi devi calcolare il prezzo del titolo che avrà ancora

una vita di 9 mesi (quindi 0,75 anni).

A questo fine devi attualizzare il valore nominale del titolo (al momento del rimborso) e

utilizzare la legge dell’interesse composto per ciascuno dei tre tassi di interesse.

Il prezzo del BOT nei tre casi sarà dunque

a. 100 = C�1,005�+,/0 ovvero ) � *++�*,++0�1,23 da cui C � 99,63 €

b. C � *++�*,+*�1,23 � 99,26 €

c. C � *++�*,++*�1,23 � 99,93 €

Nel secondo caso, in cui il tasso è aumentato, il prezzo di vendita è inferiore rispetto al

prezzo di acquisto, mentre nel primo e nel terzo caso, in cui il tasso di interesse è rimasto

invariato o è diminuito, i prezzi di vendita dopo tre mesi sono maggiori rispetto al prezzo di

acquisto.

Esercizio 6

I dati della curva dei tassi di mercato delle obbligazioni di un emittente sono riportati

nella seguente tabella:

Determina il prezzo oggi di un’obbligazione, del valore nominale di 100 €, che verrà

rimborsata tra 4 anni e che stacca ogni anno una cedola pari a 2 €.

Svolgimento

1,00%

1,20%

1,40%

1,60%

1,80%

2,00%

2,20%

2,40%

2,60%

2,80%

3,00%

3,20%

3,40%

1 anno 2 anni 3 anni 4 anni 5 anni

Tasso

Per calcolare il prezzo dell’obbligazione oggi è necessario attualizzare ad oggi il valore

nominale, che si riceverà tra 4 anni, e le cedole, che si riceveranno con cadenza annuale.

Il prezzo dell’obbligazione è dato quindi da

� � 2�1 0,013� 2�1 0,018�4 2�1 0,025�5 2�1 0,03�6 100�1 0,03�0

cioè � � 96,34 €

Per approfondire:

- Guardare il materiale: https://www.imparalafinanza.it/obbligazioni/

- Discutere il significato di Spread, cercarne il valore attuale su internet.

- Esercizio C degli esercizi aggiuntivi

Modulo 4: Piani di ammortamento

In questa lezione


Piani di ammortamento

Come calcolare la rata di un mutuo o di

un finanziamento


numeri decimali; le operazioni tra i numeri decimali.


ambiti. Utilizzo di fogli di calcolo.

L’argomento di questo modulo è la costruzione di un piano di ammortamento confrontando le differenze

tra i piani di ammortamento a rata costante o a quota capitale costante e comprendendo come viene

utilizzato il TAN per il calcolo della rata.

Per agevolare il calcolo delle rate si può utilizzare un foglio di calcolo o preparare un semplice

programma che effettui il calcolo e costruisca il piano di ammortamento. In aula è previsto un quiz di

verifica dei contenuti e un esercizio da svolgere a gruppi in cui, oltre a riprendere i contenuti matematici

della lezione, è possibile aprire una discussione con gli studenti su come prendere decisioni e quali fattori

personali possano influenzare la scelta tra due diverse proposte di finanziamento.

In preparazione:

- Guardare il video: Un po’ di tecnica: ammortamento italiano e francese (week 1, modulo

3, video 4)

- Svolgere l’esercizio 7 utilizzando le formule presenti nel video e un foglio di calcolo.

Esercizio 7

Immagina di ricevere un finanziamento per due anni, con rate quadrimestrali e TAN = 0,9%.

Trova il piano di ammortamento a rata costante e a quota capitale costante se la cifra presa

in prestito è pari a 1.000 €.

Svolgimento

Il piano di ammortamento a rata costante è riassunto in questa tabella:

Numero

rata Rata

Quota

Interessi

Quota

Capitale

Debito

Residuo

0 1000,00

1 168,42 3,00 165,42 834,58

2 168,42 2,50 165,92 668,66

3 168,42 2,01 166,42 502,25

4 168,42 1,51 166,91 335,33

5 168,42 1,01 167,42 167,92

6 168,42 0,50 167,92 0,00

Invece il piano di ammortamento a quota capitale costante è dato da:

Numero

rata Rata

Quota

Interessi

Quota

Capitale

Debito

Residuo

0 1000,00

1 169,67 3,00 166,67 833,33

2 169,17 2,50 166,67 666,67

3 168,67 2,00 166,67 500,00

4 168,17 1,50 166,67 333,33

5 167,67 1,00 166,67 166,67

6 167,17 0,50 166,67 0,00

In classe

- Correzione dell’esercizio 7.

- Quiz di verifica sui contenuti del video, correzione e discussione.

- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 8 (con un supporto informatico).

Quiz: Piani di ammortamento

1. Cos’è un piano di ammortamento?

a. Un piano che indica solo quali siano il TAN e il TAEG di un prestito.

b. Un piano che indica quali e quante siano le rate da pagare per estinguere un

prestito.

c. Un piano che indica quando siano le scadenze delle rate di un prestito

d. Nessuna delle precedenti .

[b]

2. Che cos’è il debito residuo?

a. La differenza tra il denaro preso in prestito e le quote interesse versate.

b. La somma degli interessi che devono ancora essere pagati.

c. La differenza tra il denaro preso in prestito e le quote capitale versate.

d. La differenza tra la somma delle rate pagate e la cifra presa in prestito.

[c]

3. Considera un ammortamento alla francese, cioè a rata costante. Quale di queste

affermazioni è corretta?

a. La quota capitale aumenta nel tempo, mentre la quota interessi diminuisce.

b. La quota capitale diminuisce nel tempo, mentre la quota interessi aumenta.

c. Sia la quota capitale che quella interessi diminuiscono nel tempo.

d. Sia la quota capitale che quella interessi aumentano nel tempo.

[a]

4. Considera un ammortamento italiano, cioè a quota capitale costante. Quale di

queste affermazioni è corretta?

a. La rata aumenta nel tempo, perché la quota interessi aumenta.

b. La rata rimane costante nel tempo, perché anche la quota interessi è

costante.

c. La rata diminuisce nel tempo, perché la quota interessi diminuisce.

d. La rata diminuisce nel tempo, nonostante la quota interessi aumenti.

[c]

Esercizio 8

Giorgia e Matteo hanno chiesto un mutuo di 100.000 € per acquistare casa. Le condizioni

proposte dalla loro banca sono di aprire un mutuo di durata ventennale con TAN fisso di

1,3% e rate mensili.

Giorgia preferirebbe un piano d’ammortamento a rata costante, per pagare sempre la stessa

cifra. Matteo invece sostiene che sia meglio un piano a quota capitale costante poiché la

cifra sarà più alta all’inizio ma diminuirà nel corso del tempo. Per convincere Giorgia, Matteo

afferma: “Con un piano d’ammortamento a quota capitale costante tra cinque anni

pagheremo una rata già inferiore rispetto alla rata che pagheremmo con un ammortamento

francese.”

Giorgia invece sostiene che un piano a rata costante sia più vantaggioso anche perché il

totale pagato, al termine dei vent’anni, sarà minore rispetto all’altro caso.

Queste argomentazioni sono corrette?

Trova i piani di ammortamento nei due casi per verificare chi dei due abbia ragione.

Svolgimento

Nessuno dei due ha ragione.

Il piano di ammortamento italiano prevede una rata di 473,40 € e il totale pagato, dopo

venti anni di rate mensili, è di 113.616,55 €.

La rata dell’ammortamento francese è invece pari a 525,00 € all’inizio, dopo cinque anni è

pari a 498,37 € e diventa minore della rata costante solo dopo la 116esima rata, cioè dopo

quasi dieci anni. Il totale pagato però è di 113.054,20 €.

Dopo la risoluzione numerica di questo problema, con la costruzione del piano

d’ammortamento, è possibile guidare la classe su una discussione più generale riguardo al

fatto che non esista un piano “migliore” dell’altro ma che considerazioni personali possono

portare a preferire una rata costante o una rata decrescente nel tempo.

Ricordare agli studenti che in questo caso non stiamo considerando alcun tipo di spese, ma

solo i soldi utilizzati per ripagare il prestito.

Per approfondire

- Guardare i video: A cosa stare attenti nel fare un mutuo? (week 1, modulo 3, video 3)

Mutui a tasso fisso o variabile? (week 1, modulo 3, video 5)

- Guardare il materiale: https://www.imparalafinanza.it/mutui/

- Rispondere ai quiz presenti: https://www.imparalafinanza.it/quiz-mutui/

- Esercizi D, E degli esercizi aggiuntivi

Modulo 5: Le rendite

In questa lezione


Rendite immediate e posticipate

Calcolo del valore attuale

Calcolo del montante


ambiti; familiarizzare con gli strumenti informatici per

manipolare oggetti matematici e studiare le modalità di

rappresentazione dei dati elementari testuali e multimediali

L’obiettivo di questa lezione è portare gli studenti a ricavare le formule per il calcolo del montante e del

valore attuale di rendite immediate e posticipiate, utilizzando la somma finita della serie geometrica.

In preparazione:

- Svolgere l’esercizio 9 utilizzando la seguente formula:

1 ��4 �5 ⋯�� 1 ��8*1 �� ∗� - Cercare una dimostrazione

5 della precedente relazione

Esercizio 9

Andrea deposita al termine di ogni mese il suo stipendio di 1.000 € in un conto corrente

bancario dove riceve un tasso di interesse del 0,03% mensile.

Quanto denaro ci sarà sul conto a fine anno, dopo che Andrea avrà versato 12 mensilità?

Prova a generalizzare il risultato precedente. Immagina che Andrea versi una cifra pari a R,

per n periodi di tempo equidistanti e riceva un interesse pari a i sull’intervallo di tempo di

riferimento. Quale formula ti permette di calcolare il montante al termine dei versamenti?

Svolgimento

Il versamento di Andrea rappresenta una rendita posticipata:

Il primo versamento rimarrà sul conto corrente per 11 mesi, il secondo per 10 mesi, il terzo

per 9 mesi e così via. Quindi la cifra a disposizione di Andrea al termine dopo 12 mesi sarà

uguale a 9 � 1.000 ⋅ �1 0,0003�** 1.000 ⋅ �1 0,0003�*+ ⋯ 1.000 ⋅ �1 0,0003�* 1.000 � 1.000 ⋅ ��1,0003� �1,0003�4 �1,0003�5 ⋯�1,0003�**� Usando la formula suggerita nel testo si ha 9 � 1000 ⋅ *;*,+++5<=*;*,+++5 � 12.019,82€

5 Ad esempio può essere utilizzata la pagina di Wikipedia in cui sono presenti tre diverse dimostrazioni elementari:

http://goo.gl/n73Lk2

X X X X X X X X X X X X

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

In generale, il valore finale (montante) associato al versamento alla fine di ogni periodo di

una cifra pari a R (rendita R posticipata) con un tasso di interesse i per il periodo di

riferimento per n periodi di tempo è uguale a

� � � ⋅ �1 �� 1�

In classe:

- Correzione dell’esercizio 9, con introduzione del concetto di rendita

- Dimostrazione della formula

> ��

�

�?+ � 1 ��8*1 �� - Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 10, correzione e discussione in classe.

Esercizio 10

Nell’esercizio 9 hai calcolato il montante di una rendita, ovvero il valore finale delle cifre

versate. Un’altra informazione che possiamo individuare è il valore attuale della rendita,

cioè quanto vale oggi il versamento per n periodi di tempo di una cifra R al tasso di

interesse i per il periodo di riferimento.

Trova la formula per calcolare il valore attuale.

Utilizza la formula trovata per calcolare il valore attuale di una rendita di posticipata di 500 €

per i prossimi 6 anni, valutata al 2,5% annuo.

Svolgimento

Per ottenere il valore attuale è necessario attualizzare ad oggi il flusso di denaro.

Il primo versamento oggi vale ��1 ��;*,

il secondo versamento oggi vale ��1 ��;4,

e così via, fino all’ultimo versamento (l’n-esimo) che oggi vale ��1 ��;�.

Sommando questi valori si ha

� � � ⋅ @ 11 � 1�1 ��4 ⋯ 1�1 ��A Utilizzando la formula (*) vista ad inizio lezione ottieni:

� � � ⋅ B1 � C **8�D�8*1 **8�� 1E

Semplificando l’espressione precedente ottieni

� � � ⋅ 1 � �1 ��;��

Il valore attuale della rendita è dato da

� � 500 ⋅ 1 � �1 0,025�;F0,025 � 2.754,06€

Per approfondire:

- Introduzione di rendite anticipate, differite, perpetue

- Esercizio F degli esercizi aggiuntivi

Esercizi Aggiuntivi

A. Se ho comprato un’azione della società “Prendi i soldi e scappa” a 80 € nel 2010, e l’ho

rivenduta a 74 € dopo 2 anni, in quali di questi casi ho avuto un rendimento positivo?

a. Se la società non ha pagato dividendi

b. Se la società ha pagato un dividendo di 10 € nel 2013

c. Se la società ha pagato un dividendo di 6 € nel 2011

d. Se la società ha pagato un dividendo di 7 € nel 2011.

[Solo nell’ultimo caso]

B. Un’azione acquistata nel 2015 a 70 €, nel 2016 ha maturato un dividendo di 1,50 €. A quanto

è stata rivenduta nel 2017, se il tasso di rendimento è stato del 5%?

[72 €]

C. I dati delle curve dei tassi di mercato delle obbligazioni di due diversi emittenti sono riportati

nella seguente tabella:

1 anno 2 anni 3 anni

obbligazione A 1,3 % 1,7 % 2,1 %

obbligazione B 1,5 % 2 % //

Le obbligazioni hanno ognuna un valore nominale di 100 € e vengono rimborsate la

prima tra 3 anni, staccando alla fine di ogni anno una cedola pari a 2 €, la seconda tra 2

anni, staccando alla fine di ogni anno una cedola pari a 3 €.

Quale delle due obbligazioni ha oggi un prezzo meno elevato?

[il prezzo dell’obbligazione A è 99,74 €

Il prezzo dell’obbligazione B è 101,96 €]

D. Considera le proposte di queste due agenzie per un prestito di 10.000 €:

a. Star Agency: TAN = 7,28 %, rata mensile, durata pari a 3 anni;

b. Rapid Money: TAN = 7,03%, rata mensile, durata pari a 5 anni.

Nel caso in cui entrambe le agenzie ti offrano un piano d’ammortamento a rata costante,

quale delle due offerte avrebbe una rata minore?

[Star Agency 310,05 €; Rapid Money 198,15 €]

E. Andrea ha ottenuto un finanziamento di due anni, con rate bimestrali. Il piano di

ammortamento è a quota capitale costante e la prima rata è di 181,67 €, di cui 15,00 €

rappresentano la quota interesse.

Riesci con solo queste informazioni a determinare l’importo richiesto in prestito e il TAN del

finanziamento?

[Il prestito è di 2.000 € e il TAN è pari a 4,5%]

F. Carla si impegna a versare a partire da oggi, presso una banca che applica il tasso di interesse

annuo del 5%, 2.000 € ogni anno. Carla vorrebbe prima o poi avere a disposizione la cifra di

15.000 €: dopo quanti anni potrà averla?

[Dopo 7 anni]

Verifica conclusiva

Esercizio 1: Considera l’andamento di una azione rappresentato da questo grafico e rispondi alle

domande.

Immagina che tre amiche Chiara, Daniela e Elena abbiano acquistato questa azione ma Chiara l’ha

acquistata nel 2011, Daniela nel 2012 e Elena nel 2013.

a. Quale delle tre guadagnerebbe di più da questo investimento se Chiara, Daniela ed Elena

dovessero rivendere oggi la loro azione? Perché?

b. In quali anni rivendendo la sua azione, Chiara avrebbe avuto un rendimento negativo?

c. Se Elena avesse rivenduto la sua azione nel 2017, quale sarebbe stato il tasso di

rendimento del suo investimento nel caso il titolo non avesse mai distribuito dividendi?

d. Immagina che nel 2014 la società abbia pagato dei dividendi ai suoi azionisti e che Daniela

abbia rivenduto l’azione nel 2015 e il suo tasso di rendimento sia stato del 15%. A quanto

ammontava il dividendo che Daniela ha ricevuto?

[Daniela guadagnerà di più avendola acquistata al prezzo inferiore,

Chiara avrebbe avuto un rendimento negativo rivendendo la sua azione prima del 2015,

il rendimento di Elena è 12,99%,

il dividendo ricevuto da Daniela è di 3 €]

Esercizio 2: I dati della curva dei tassi di mercato delle obbligazioni di

un emittente sono quelli in tabella.

L’obbligazione ha un valore nominale di 100 € e viene rimborsata tra

2 anni, staccando ogni anno una cedola di 2 €. Qual è oggi il prezzo dell’obbligazione?

[98,10 €]

1 anno 2 anni

tasso 2,5 % 3%

Esercizio 3: Marco ha aperto un mutuo, chiedendo alla banca 80.000 € che restituirà nei prossimi

dieci anni, con rate mensili, pagando un tasso fisso di 2,4%.

Completa le prime righe del suo piano d’ammortamento nel caso sia a rata costante o a quota

capitale costante.

Ammortamento a rata costante

Numero

rata Rata

Quota

Interessi

Quota

Capitale

Debito

Residuo

0 80.000,00

1 750,53 160,00 590,53 79.409,47

2 750,53 158,82 591,71 78.817,77

Ammortamento a quota capitale costante

Numero

rata Rata

Quota

Interessi

Quota

Capitale

Debito

Residuo

0 80.000,00

1 826,67 160,00 666,67 79.333,33

2 825,33 158,67 666,67 78.666,67

Esercizio 4: Calcola il valore attuale e il montante di una rendita posticipata in cui vengono versati

ogni mese 200 € per 10 mesi al tasso del 1,5% mensile.

[Il valore attuale è 1983,60 €,

il montante è 2013,55 €]


Flipped Classroom – Rischio e investimenti

QFinLab


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impellente la necessità di svolgere un’azione efficace in materia di educazione finanziaria, con






sono chiamati a confrontarsi con i primi problemi finanziari come aprire un conto corrente e



Scopo di questo percorso è presentare l’educazione finanziaria nell’ambito dell’applicazione delle

conoscenze impartite nei corsi di matematica. Le attività svolte all’interno della proposta didattica

sono in linea con le Indicazioni Nazionali per il curriculum di matematica della scuola secondaria di

secondo grado, soprattutto degli ultimi anni del percorso scolastico.

In particolare:

- per quanto riguarda l'ambito delle relazioni e funzioni, vengono forniti gli strumenti per

produrre e interpretare rappresentazioni (grafiche, tabulari, sotto forma di formule) di fenomeni,

introducendo i primi rudimenti di modellizzazione matematica;

- per quanto riguarda le conoscenze in ambito statistico, vengono proposte diverse

rappresentazioni di insiemi di dati e introdotti i concetti di media, varianza e correlazione per

effettuare semplici analisi su insiemi di dati, anche con il sostegno di software e strumenti

informatici;


di potenziare le capacità di risoluzione dei problemi, mantenendo il controllo non solo sul

procedimento ma anche sulla validazione dei risultati, di sviluppare le competenze per passare

agevolmente da un registro di rappresentazione ad un altro (numerico, grafico, analitico).


Lo scopo di questa metodologia didattica, validata anche da ricerche in materia di didattica della

matematica, è quello di promuovere un apprendimento attivo e autonomo da parte dello

studente.



svolgono attività con l’ausilio di materiali (video, testi scritti, esercizi) al fine di prepararsi alla fase

successiva. Nella seconda parte della lezione, l’insegnante dedica tempo ai concetti più difficili e

propone attività che permettano agli studenti di approfondire quanto già appreso nella prima

parte consolidando l’apprendimento.

La proposta

Questo percorso, articolato in quattro moduli, è pensato per gli studenti degli ultimi due anni delle

scuole secondarie di secondo grado. Il percorso è da svolgere sotto la guida del docente di

matematica o di scienze economiche, come approfondimento rispetto al tema degli investimenti e

delle scelte in condizioni di incertezza.

Gli argomenti dei moduli sono i seguenti:

M1 Introduzione


Concetti di media e di varianza di un

insieme di dati

Studiare le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle

misure di variabilità

M2 Stima media varianza


Analisi di serie storiche di prezzi di

azioni

Calcolo della media e della varianza

Rappresentare e analizzare in diversi modi (anche utilizzando

strumenti informatici) un insieme di dati, scegliendo le

rappresentazioni più idonee

Usare strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per

analizzare raccolte di dati e serie statistiche

M3 Diversificare gli investimenti


Confronto tra i rendimenti di due titoli

azionari

Correlazione tra i titoli (positiva o

negativa)


oggetti matematici e studiare le modalità di rappresentazione

dei dati elementari testuali e multimediali

Apprendere i concetti di deviazione standard, dipendenza,

correlazioni e di campione

M4 Come diversificare?


Costruzione di un portafoglio tra due

titoli azionari

Calcolo di media e varianza di un

portafoglio di titoli

Analizzare sia graficamente che analiticamente le principali

funzioni e operare su funzioni composte e inverse

Approfondire il concetto di modello matematico

Di seguito sono descritti i piani delle lezioni per ciascun modulo, con le attività da svolgere in

preparazione alla lezione e in aula sotto la guida dell’insegnante. La proposta è completata da

alcuni esercizi aggiuntivi di approfondimento sugli argomenti affrontati nei moduli e da una




della verifica).


Quiz introduttivo:

Sottoporre agli studenti un quiz per valutare le loro eventuali conoscenze pregresse. Il test iniziale

può essere corretto al termine del percorso di educazione finanziaria, facendolo correggere


Quiz introduttivo1

1. Quali tra questi strumenti finanziari ha storicamente mostrato maggiori fluttuazioni nel suo valore

nel corso del tempo?

a. Indice di borsa

b. Titoli di Stato

c. Obbligazioni di società industriali

d. Valore del conto corrente

e. Non so

[d]

2. Uno strumento finanziario, che ha avuto storicamente un rendimento elevato, ha generalmente

avuto anche una variabilità elevata?

a. Vero

b. Falso

c. Non so

[a]

3. Devi investire 100 euro: puoi investire in due titoli azionari appartenenti a due settori distinti che

però hanno avuto rendimento medio simile negli ultimi anni. Ti conviene:

a. investire in un solo titolo

b. investire in ambedue i titoli

c. non so

[b]

1I quiz possono essere somministrati online utilizzando software gratuiti (come Google Form, Kahoot, Socrative…), in

cui gli studenti rispondono usando il loro smartphone. Il vantaggio è che con questa modalità può essere inserita la

correzione che diviene quindi automatica; il docente può così controllare immediatamente i risultati della classe e fare


Per chi non potesse utilizzare questa modalità, tra gli allegati alla proposta sono presenti delle schede cartacee con la

copia dei quiz.

Introduzione:2







- Vedere insieme agli studenti il video della prima lezione, mostrando tutte le potenzialità

del poter seguire una “lezione” via video: interrompere, prendere appunti, rivedere,


2 Questi suggerimenti sono soprattutto per le classi in cui non è mai stata utilizzata la flipped classroom, in cui gli






progetti in classe.

Modulo 1: Introduzione

In questa lezione


Concetti di media e di varianza di un

insieme di dati

Studiare le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle

misure di variabilità

L’obiettivo di questa lezione è introdurre gli indici statistici elementari di un insieme di dati come media,

moda, varianza, deviazione standard. Nel video in preparazione alla lezione vengono presentate le

definizioni di questi termini con alcuni semplici esempi; gli studenti hanno poi occasione di consolidare le

loro conoscenze con l’esercizio 1 e il quiz svolto in aula. In classe il docente può correggere il quiz e il

lavoro a gruppi riprendendo le definizioni fondamentali, in modo da assicurarsi che tutta la classe abbia

non solo capito il significato di media, moda, varianza ma sappia anche come calcolarli su un insieme di

dati poco numerosi.

In preparazione:

- Guardare il video: Elementi di statistica5


Esercizio 1

In una classe di 32 studenti è stato proposto un test di matematica. Questi sono i risultati

Numero studenti Voto

2 Assenti

5 5

7 6

12 7

5 8

1 10

Calcola la media, la varianza e la deviazione standard di questo insieme di dati.

Svolgimento

La media è 6,7

La varianza è 1,27

La deviazione standard è 1,12

L’esercizio è svolto nel video Media, Varianza, Deviazione Standard

In classe:

5 I video utilizzati in questa lezione sono tratti dal Mooc “Introduzione alla matematica per l’università: PreCalculus”.

Come quelli del corso “Finanza per Tutti”, i video sono accessibili gratuitamente sulla piattaforma pok.polimi.it e su

YouTube.

- Quiz sui contenuti del video Elementi di statistica

- Correzione dell’esercizio 1, guardando insieme il video Media, Varianza, Deviazione

Standard


Quiz: media e varianza

1. Quale di queste formule permette di calcolare la media di un insieme di dati

��,��, … ,��

a. � ⋅ �� ⋯�� b.

�� ⋯��

c.

�� ⋯��

d. Nessuna delle precedenti

[b]

2. Dato un insieme di dati ��,��, … ,�� con media �� quale di queste formule permette

di calcolare la varianza?

a.

�� ⋅ �� ⋯��

b. �� ⋯� ��

c. �� ⋯� ��

d.

�� ⋯� ��

[c]

3. Ecco i voti presi da Andrea in questo quadrimestre: 6, 4, 7, 5, 6, 8. Quale di queste

affermazione è corretta?

a. La media dei voti è 6

b. La mediana dei voti è 6

c. La moda dei voti è 6

d. Tutte le precedenti

[d]

4. Alice ha preso due 7 in italiano, che voto deve prendere perché la media sia uguale a 8?

a. 8

b. 9

c. 10

d. Nessuno dei precedenti

[c]

5. Confronta i voti presi da Andrea e da Alice in questo quadrimestre:

Andrea: 6,4,7,5,6,8

Alice: 7,6,5,6,6,7.

Quale dei due insiemi avrà una varianza maggiore?

a. I voti di Andrea

b. I voti di Alice

c. La varianza è uguale per entrambi

d. Non ci sono dati sufficienti per rispondere

[a]

6. La deviazione standard è

a. La radice quadrata della varianza

b. La radice quadrata della media

c. Il quadrato della varianza

d. Il quadrato della media

[a]

Esercizio 2

Considera la situazione dell’Esercizio 1.

In una classe di 32 studenti è stato proposto un test di matematica. Questi sono i risultati

Immaginando che i due studenti abbiano l’occasione di recuperare il test in un giorno

successivo, che voti dovrebbero prendere per far sì che la media della classe aumenti?

E’ possibile che la media dei voti diventi uguale alla moda dei voti?

Numero studenti Voto

2 Assenti

5 5

7 6

12 7

5 8

1 10

Svolgimento

Intuitivamente, perché la media aumenti è necessario che entrambi gli studenti prendano

un voto più alto della media precedente, cioè almeno 7.

Volendo risolvere algebricamente: se � è la somma dei voti dei due studenti assenti,

perché la media sia maggiore di 6,7 deve valere 201 ��32 � 6,7

Da cui � � 13,4.

La moda dei voti è 7. Non è possibile che aggiungendo due nuovi voti la media diventi

uguale a 7, infatti anche se entrambi gli studenti prendessero il voto più alto possibile, cioè

10 la media sarebbe �� 6,9

Per approfondire:

- Esercizio A dagli esercizi aggiuntivi

Modulo 2: Stima media-varianza

In questa lezione


Analisi di serie storiche di prezzi di azioni

Calcolo della media e della varianza

Rappresentare e analizzare in diversi modi (anche utilizzando

strumenti informatici) un insieme di dati, scegliendo le

rappresentazioni più idonee

Usare strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per

analizzare raccolte di dati e serie statistiche

Scopo di questa lezione è riprendere i concetti introdotti nel modulo precedente applicandoli all’analisi

dei rendimenti di serie storiche di titoli azionari. Nel video in preparazione alla lezione gli studenti

avranno modo di ripassare i concetti di rendimento, media e varianza vedendo alcuni esempi di serie

storiche di titoli azionari. Le serie storiche da utilizzare per gli esempi in aula si trovano seguendo i link

indicati.

Durante la lezione l’insegnante deve riprendere i concetti fondamentali e poi guidare gli studenti

nell’analisi di alcuni dati storici utilizzando strumenti informatici, come i fogli di calcolo.

Il modulo si conclude con un lavoro a gruppi che introduce l’argomento della lezione successiva.

In preparazione:

- Guardare il video: Misurare il rischio (week 2, modulo 2, video 1)

- Trascrivere la definizione di rendimento, di rendimento medio giornaliero e di volatilità

In classe:

- Svolgimento alla lavagna dell’esercizio 3 riprendendo i concetti introdotti nel video


Esercizio 3

Considera il prezzo giornaliero dell’azione del titolo A nel 2016 che puoi scaricare qui:

https://www.imparalafinanza.it/wp-content/uploads/2019/07/3-B_Educazione-

finanziaria_dati-per-esercizi.xlsx

Utilizza un grafico per rappresentare sia il prezzo dell’azione che il rendimento giornaliero di

questo titolo. Calcola poi il rendimento medio giornaliero e la varianza di questo titolo.

Attenzione: i dati presenti non sono 365 perché la Borsa non è aperta tutti i giorni dell’anno,

quindi non c’è un prezzo per ciascun giorno.

Svolgimento

Innanzitutto è necessario calcolare il rendimento giornaliero in percentuale utilizzando la

formula

�% � ��

Per calcolare il rendimento medio e la varianza è poi sufficiente utilizzare le apposite funzioni

del foglio di calcolo utilizzato.

Il rendimento medio è 0,000473 mentre la varianza è 0,00021.

L’andamento del prezzo del titolo è rappresentato da questo grafico:

Esercizio 4

Considera oltre ai valori del titolo A nel 2016 anche i prezzi del titolo B.

Trovi i dati al link: https://www.imparalafinanza.it/wp-content/uploads/2019/07/3-

B_Educazione-finanziaria_dati-per-esercizi.xlsx

Quale dei due titoli ha avuto il rendimento maggiore? E quale dei due titoli ha avuto la

volatilità più bassa?

Se avessi dovuto fare un investimento alla fine del 2016 su uno dei due titoli, quale avresti

scelto? Perché?

85

90

95

100

105

110

115

120

TITOLO A

Svolgimento

Il confronto tra i due titoli è riassunto in questa tabella:

Titolo A Titolo B

Rendimento Medio 0,000473 0,000542

Varianza 0,00021 0,000835

Il confronto tra i rendimenti giornalieri dei due titoli è invece rappresentato nel grafico:

Il rendimento del titolo B è leggermente più elevato rispetto a quello del titolo A, la varianza

del titolo B è significativamente più elevata rispetto a quella del titolo A per cui il titolo B

rappresenta un investimento più rischioso.

Per approfondire:

- Guardare il materiale presente su https://www.imparalafinanza.it/frontiera-dei-portafogli/

- Cercare l’andamento di alcuni titoli azionari online (ad esempio utilizzando

https://www.google.com/finance), confrontare graficamente l’andamento di due o più

titoli

- Esercizio B dagli esercizi aggiuntivi.

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

Rendimenti giornalieri dei titoli A e B

Rendimento Titolo A

Rendimento Titolo B

Modulo 3: Diversificare gli investimenti

In questa lezione


Confronto tra i rendimenti di due titoli

azionari

Correlazione tra i titoli (positiva o

negativa)


oggetti matematici e studiare le modalità di rappresentazione

dei dati elementari testuali e multimediali

Apprendere i concetti di deviazione standard, dipendenza,

correlazioni e di campione

Il video in preparazione a questa lezione contiene alcuni concetti chiave: la correlazione tra titoli, il

principio varianza-rendimento, la diversificazione di un investimento… Vista la densità degli argomenti

affrontati nella lezione, qui di seguito sono proposte una serie di domande aperte da svolgere insieme

alla visione del video per riprendere e fissare le idee principali.

Durante il lavoro in aula il compito dell’insegnante è correggere le risposte guidando una discussione di

classe, riprendendo eventualmente alcuni brani dal video per poi formalizzare il concetto di correlazione e

introducendo le definizioni di covarianza e correlazione statistica. Gli studenti avranno occasione di

consolidare questi concetti con lo svolgimento a piccoli gruppi di due esercizi, da svolgere utilizzando

degli strumenti informatici, come fogli di calcolo o calcolatrici scientifiche.

In preparazione:

- Guardare il video: I pregi della diversificazione (week 2, modulo 2, video 2)

- Rispondere alle domande della scheda.

Domande: diversificare gli investimenti

1. Cosa significa diversificare il proprio investimento?

Investire in più di un titolo

2. Qual è il vantaggio della diversificazione?

Diminuire la rischiosità di un investimento

3. A cosa fa riferimento l’espressione “non mettere mai tutte le uova nello stesso paniere”

presente nel video?

Al consiglio di investire i propri risparmi non su un unico titolo,

ma su diversi titoli o diversi tipi di investimento

4. Cosa significa che due titoli sono correlati?

L’andamento dei due titoli non è indipendente ma i loro andamenti sono legati tra di loro

5. Cosa succede se due titoli sono correlati positivamente o negativamente?

Se due titoli sono correlati positivamente c’è un’alta probabilità

che entrambi aumentino o diminuiscano negli stessi giorni.

Viceversa, se i titoli sono correlati negativamente è probabile che

all’aumentare del primo titolo il secondo diminuisca e viceversa.

6. A cosa fa riferimento l’espressione “non c’è un pasto gratis” presente nel video?

L’espressione fa riferimento al fatto che non è possibile ottenere un alto

rendimento da un investimento senza assumersi anche dei rischi.

In generale, titoli con rendimenti molto elevati avranno anche una volatilità

molto alta e saranno quindi più rischiosi di titoli con rendimenti più bassi.

In classe:

- Correzione delle domande e discussione in aula

- Introduzione delle definizioni di covarianza e correlazione6

- Svolgimento a piccoli gruppi degli esercizi 5 e 6. Correzione

Esercizio 5

Questa tabella riporta i prezzi degli ultimi 7 giorni delle azioni dell’azienda Cola, produttrice

di bevande, e dell’azienda Sweet, esportatrice di zucchero.

Giorno 1 2 3 4 5 6 7

Cola 52 55 49 53 52 55 54

Sweet 28 27 23 26 24 26 25

Calcola i rendimenti giornalieri e il rendimento medio. Pensi che i rendimenti giornalieri dei

due titoli siano correlati? Se sì, sono correlati positivamente o negativamente?

Verifica le tue ipotesi calcolando l’indice di correlazione.

Svolgimento

I rendimenti dei due titoli sono

Cola 0,0577 -0,1091 0,0816 -0,0189 0,0577 -0,0182

Sweet -0,0357 -0,1481 0,1304 -0,0769 0,0833 -0,0385

Il rendimento medio del titolo Cola è 0,0085 mentre del titolo Sweet è -0,0143

I due titoli sono correlati positivamente, l’indice di correlazione �� tra i loro rendimenti è

infatti uguale a 0,879.

�� si può calcolare sia utilizzando le funzioni predefinite dei fogli di calcolo sia

direttamente utilizzando la sua definizione. Innanzitutto, si calcola la varianza di ciascuna

delle due serie di dati, �� e ��

� , e la covarianza tra i due titoli ��:

�� 0,0577 � 0,0085� �⋯��0,0182 � 0,0085�6 � 0,0042

�� 0,0357 � 0,0143� �⋯��0,0385 � 0,0143�6 � 0,0089

6 E’ possibile chiedere agli studenti di fare una ricerca online per recuperare le definizioni di questi due termini. Tra i

numerosi link disponibili si trovano con spiegazioni chiare e essenziali la pagina di Wikipedia

https://it.wikipedia.org/wiki/Covarianza_(probabilit%C3%A0)#Statistica e dell’enciclopedia Treccani:

http://www.treccani.it/enciclopedia/covarianza_%28Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica%29/

�� 16 �0,0577 ⋅ ��0,0357 � ��0,1091 ⋅ ��0,1481 � ⋯� ��0,0182⋅ ��0,0385� � �0,0085 ⋅ ��0,0143 � 0,0054

La correlazione è infine uguale a

�� ⋅�� 0,879

Esercizio 6

Scarica il file che trovi qui: https://www.imparalafinanza.it/wp-

content/uploads/2019/07/3-B_Educazione-finanziaria_dati-per-esercizi.xlsx e considera i

rendimenti dei titoli X, Y e Z nel 2018, il cui grafico è il seguente

Se dovessi fare un investimento su solo due di questi titoli, quali sceglieresti? Perché?

Immagina di comprare un pacchetto di 100 azioni, investendone la metà in ciascuno dei

due titoli che hai scelto.

Qual è il rendimento medio di questo investimento?

Svolgimento

-0,1

-0,075

-0,05

-0,025

0

0,025

0,05

0,075

0,1

0,125

I rendimenti dei tre titoli

Rendimento Titolo X Rendimento TitoloY Rendimento Titolo Z

Per valutare su quali titoli investire è opportuno capire quali siano i rendimenti medi, la

volatilità e se siano correlati tra di loro.

Tutte queste informazioni sono riassunte nelle tabelle:

Titolo Rendimento medio (�) Varianza (�� X 0,00495 0,00130

Y -0,00120 0,00034

Z -0,00156 0,00037

Correlazioni X Y Z

X 1 -0,57476 -0,55248

Y -0,57476 1 0,81859

Z -0,55248 0,81859 1

L’investimento più interessante è utilizzando le coppie di titoli X e Z o X e Y, in quanto i titoli

sono correlati negativamente tra di loro.

Il rendimento medio di questo investimento è dato dalla media, pesata, dei rendimenti

medi.

L’investimento è perfettamente diversificato (cioè metà viene investito sul primo titolo e

metà sul secondo), quindi se si scelgono i titoli X e Z il rendimento medio sarà uguale a 0,5 ⋅�� 0,5 ⋅�� 0,001698

Mentre scegliendo X e Y si avrà 0,5 ⋅�� 0,5 ⋅�� 0,001878

Il secondo caso ha un rendimento medio maggiore del primo, per cui sembra essere

preferibile scegliere la coppia X e Y. Attenzione però: per poter confrontare i due investimenti

è necessario valutarne anche la volatilità, l’argomento verrà affrontato nel dettaglio nel

modulo successivo ma può essere lasciato come spunto di riflessione agli studenti per la

lezione successiva.

Per approfondire:

- Guardare le pagine: https://www.imparalafinanza.it/frontiera-dei-portafogli/

- Guardare i video:

� Investire secondo la logica dei compartimenti stagni (week 2, modulo 2, video 3)

� Dalla teoria alla pratica: gli errori più comuni (week 2, modulo 2, video 4)

- Esercizio C degli esercizi aggiuntivi

Modulo 4: Come diversificare?

In questa lezione


Costruzione di un portafoglio tra due

titoli azionari

Calcolo di media e varianza di un

portafoglio di titoli

Analizzare sia graficamente che analiticamente le principali

funzioni e operare su funzioni composte e inverse

Approfondire il concetto di modello matematico

Il modulo conclusivo di questo percorso approfondisce gli argomenti affrontati nella lezione precedente

per arrivare a definire cosa sia un portafoglio tra due (o più) titoli azionari, come si calcoli il rendimento

atteso e la varianza di un portafoglio tra due titoli e quali siano i criteri da utilizzare per costruire il

portafoglio ottimale. Le competenze matematiche sviluppate da questo modulo riguardano soprattutto

le funzioni e la rappresentazione di curve nel piano cartesiano, per ricavare informazioni e risolvere

equazioni e disequazioni.

Tra gli approfondimenti e gli esercizi aggiuntivi c’è la proposta di creare dei nuovi simulatori (con l’utilizzo

di GeoGebra o di altri software) per poter trovare il portafoglio ottimale tra due titoli qualsiasi.

In preparazione:

- Guardare le pagine online:

� https://www.imparalafinanza.it/portafoglio-di-titoli/

� https://www.imparalafinanza.it/titoli-correlati/

� https://www.imparalafinanza.it/prova-tu/

- Utilizzare i simulatori presenti sul sito per svolgere l’esercizio 7

Esercizio 7

Considera i titoli Astra e Betha i cui dati sono riassunti in questa tabella

Titolo Astra Titolo Betha

Rendimento medio 0,058 % 0,135 %

Varianza 0,02 % 0,06 %

Immaginando che i due titoli non siano correlati, questo grafico rappresenta tutti i possibili

portafogli tra i due titoli https://www.geogebra.org/m/jEJqa7UV. Utilizza questa app per

rispondere a queste domande

a. Qual è il valore di � per cui si ottiene il portafoglio con varianza minima?

Quanto vale il rendimento medio in quel caso?

b. Se � � 0,9 quanto valgono rendimento medio e varianza del portafoglio?

Esiste un altro portafoglio che abbia la stessa varianza ma un rendimento medio

più elevato? Se sì, per quale valore di �?

c. Quale dei due portafogli trovati nel caso precedente ti sembra più conveniente?

Perché?

d. Esistono dei portafogli che non sceglieresti mai? Perché?

Svolgimento

a. Il portafoglio con varianza minima si ha per � � 0,75, il rendimento è 0,8 % mentre

la varianza è 0,015 %

b. Se � � 0,9 il rendimento medio è 0,068 % e la varianza 0,0168 %.

Esiste un altro portafoglio che ha la stessa varianza ma un rendimento medio

maggiore: per � � 0,6 si ottiene infatti varianza uguale a 0,0168 % e un

rendimento medio pari a 0,092 %.

c. Il portafoglio che ha un rendimento medio maggiore a parità di varianza è quello più

conveniente perché presenta dei rischi minori. Quindi tra i due portafogli del punto

b quello per cui � � 0,6 è preferibile

d. Tutti i portafogli per 0,75 � ! 1 non sono ottimali: per ciascuno di loro è infatti

possibile costruire un altro portafoglio che ha la stessa varianza ma un rendimento

medio maggiore. Questo significa che esiste un altro portafoglio con lo stesso rischio

(varianza) ma un rendimento medio più elevato!

L’insieme dei portafogli per cui � " 0,75 è detta “frontiera efficiente” perché rappresenta gli

investimenti per cui si ottiene il rendimento medio più elevato possibile dato il valore della

varianza.

In classe

- Correzione dell’esercizio 7 e discussione in classe con esempi su come utilizzare la

applicazione di Geogebra

- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 8, correzione.

Esercizio 8

Considera i titoli Astra e Betha, già utilizzati nell’esercizio 7, i cui rendimenti medi e varianze

sono riassunti in questa tabella. Ipotizza che che i due titoli siano correlati.

Titolo Astra Titolo Betha

Rendimento medio 0,058 % 0,135 %

Varianza 0,02 % 0,06 %

Questo grafico rappresenta tutti i possibili portafogli tra i due titoli al variare del loro indice

di correlazione https://www.geogebra.org/m/T5Bbvwy2.

Utilizza la app per rispondere a queste domande

a. Quanto è il rendimento medio e la varianza del portafoglio se � � 0,25 e

� � 0,35?

b. Per quali valori di �e � è possibile avere un portafoglio con varianza 0,0402 %

e rendimento medio 0,12 %?

c. Qual è il valore di � per cui si ottiene il portafoglio con la varianza minore

possibile? Quanto è il rendimento medio in quel caso?

d. Trova per quali valori di � è possibile avere un portafoglio perfettamente

diversificato con rendimento medio uguale a 0,1 %. Quanto vale la varianza?

Svolgimento

a. Per � � 0,25 e � � 0,35 si ottiene il punto (0,03174; 0,112)

b. E’ possibile avere un portafoglio con questi valori se � � 0,4 e � � 0,25?

c. Se i titoli sono perfettamente correlati negativamente, cioè se � � �1 è possibile

costruire un portafoglio privo di rischio se � � 0,63 (varianza nulla) e rendimento

medio 0,0896 %.

d. Un portafoglio è perfettamente diversificato se � � 0,5. Per questo valore è

possibile avere un rendimento medio uguale a 0,1 % per qualsiasi valore della

correlazione �. A seconda della correlazione tra i due titoli la varianza del

portafoglio varia tra 0,00268 % e 0,03732 %.

La parte di curva non compresa tra i punti Astra e Betha rappresenta i portafogli per cui

� ∉ �0,1� in cui è possibile la “vendita allo scoperto”7 di uno dei due titoli.

Per approfondire

- Costruire la frontiera del portafoglio per due titoli qualsiasi (utilizzando Geogebra o altri

software per disegnare funzioni).

- Esercizio D degli esercizi aggiuntivi.

7 https://it.wikipedia.org/wiki/Vendita_allo_scoperto

Esercizi aggiuntivi

Gli esercizi proposti in questa pagina forniscono delle applicazioni a casi reali o degli ulteriori

approfondimenti rispetto agli esercizi affrontati nei moduli. Data la complessità delle attività

proposte, questi esercizi possono anche essere utilizzati come progetti da svolgere in piccoli gruppi

al termine del percorso e essere poi utilizzati per valutare gli studenti (al posto della verifica

conclusiva).

A. Qual è la materia in cui andate meglio? Calcola media, moda, mediana e deviazione standard

dei vostri voti nelle diverse materie e di tutta la classe. Confronta i risultati per trovare la

materia in cui ogni studente va meglio e quella in cui la classe nel suo insieme ha risultati

migliori.

B. Ripetere gli esercizi 3 e 4 utilizzando solo i dati di alcuni mesi e non di tutto l’anno. I risultati

sono gli stessi o sono cambiati?

C. Inventa il prezzo delle azioni di due aziende per dieci giorni in modo che

a. La correlazione sia uguale a 1

b. La correlazione sia negativa

c. La correlazione sia più vicina allo zero possibile

D. Utilizzando i dati forniti nell’esercizio 6, trova quale sia il portafoglio con la varianza minima nel

caso in cui si faccia un investimento tra i titoli X e Y oppure tra i titoli X e Z.

Con queste nuove informazioni, su quale coppia di titoli investiresti?

Verifica conclusiva

Esercizio 1: Questa tabella riassume i voti di un gruppo di amici all’esame di Matematica del primo

anno di Università.

Nome Voto Nome Voto

Maria 12 Sara 25

Giorgio 14 Luigi 28

Paola 10 Marta 24

Carlo 30 Guido 27

Giulia 24 Andrea 18

Calcola la media, la moda, la mediana, la varianza e la deviazione standard di questo insieme di

dati.

[Media= 21,2 Moda = 24 Mediana = 24

Varianza = 45,69 Deviazione Standard = 6,78]

Esercizio 2: Considera i titoli rappresentati in questo grafico varianza-rendimento medio e rispondi

alle domande

a. Quale titolo ha il rendimento medio maggiore?

b. Quale titolo rappresenta l’investimento più sicuro? Perché?

c. Quale titolo rappresenta l’investimento più rischioso? Perché?

[Il titolo con il rendimento medio maggiore è il titolo B;

l’investimento più sicuro è il titolo D perché ha una varianza minore degli altri;

l’investimento più rischioso è il titolo B perché ha una varianza maggiore]

D

A

B

C

E

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045

Re

nd

ime

nto

me

dio

Varianza

Esercizio 3: Marco crea un portafoglio tra i titoli A e B investendo il 20% nel titolo A e il 80% nel

titolo B. Utilizzando le informazioni presenti in tabella calcola il rendimento medio di questo

portafoglio e la sua varianza

Titolo A Titolo B

Rendimento Medio 0,42 0,15

Varianza �� 0,06 0,03

Correlazione A e B �� 0,25 0,25

Ricorda che la varianza di un portafoglio di due titoli A e B è data da

�� 1 �� 2��1 ��

Il rendimento medio è r=0,204

La varianza è �� 0,02499

Esercizio 4: Disegna un grafico che mostri un possibile andamento di tre titoli X, Y, Z nell’ultimo

anno in modo che i titoli X e Y siano correlati negativamente, mentre la correlazione tra i primi due

titoli e il titolo Z sia molto bassa.

Spiega quali sono i criteri che hai scelto per disegnare il grafico.

politecnico di milano dipartimento di matematica

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