polinomis i fraccions algebraiques - textos · pdf filemcd i mcm de polinomis. 5. fraccions...

$: POLINOMIS i FRACCIONS ALGEBRAIQUES - textos · PDF fileMCD i MCM de polinomis. 5. Fraccions algebraiques. 5.1. Definició de fracció algebraica. Conceptes bàsics . 5.2. Valor numèric$
1

POLINOMIS i FRACCIONS ALGEBRAIQUES

1. Polinomis: introducció.

1.1 Definició de polinomi.

1.2 Termes d’un polinomi.

1.3 Grau d’un polinomi.

1.4 Polinomi reduït.

1.5 Polinomi ordenat.

1.6 Polinomi complet.

1.7 Polinomi oposat.

1.8 Valor numèric d’un polinomi.

2. Operacions amb polinomis.

2.1. Suma i resta.

2.2. Producte.

2.2.1. Producte d’un monomi per un polinomi.

2.2.2. Producte de polinomis.

2.2.3. Productes notables.

2.3. Factor comú.

2.4. Divisió.

3. Regla de Ruffini.

3.1. Divisió de polinomis utilitzant la regla de Ruffini.

3.2. Arrels d’un polinomi.

3.3. Factorització de polinomis.

3.4. Teorema del residu.

4. MCD i MCM de polinomis.

5. Fraccions algebraiques.

5.1. Definició de fracció algebraica. Conceptes bàsics .

5.2. Valor numèric d’una fracció algebraica.

5.3. Suma i resta de fraccions algebraiques.

5.4. Producte de fraccions algebraiques.

5.5. Divisió de fraccions algebraiques.

5.6. Simplificació de fraccions algebraiques.

2

1.- POLINOMIS: INTRODUCCIÓ.

1.1.- Definició de polinomi.

Els polinomis són expressions algebraiques formades per sumes i restes de

monomis NO semblants.

Cadascun d’aquests monomis no semblants està format per un nombre, que

s’anomena coeficient, i per una o més lletres, cadascuna de les quals amb el

corresponent exponent; les lletres i els seus exponents reben el nom de part

literal; tot i que habitualment ens referim a les diferents lletres que apareixen

en el polinomi amb el nom de variables.

Exemples:

P(x) = 3x3 + 2x2 – 8x + 1

Q(x) = 2x2y3 + 5x2y – 11xy

ACTIVITATS PROPOSADES:

1.- Expressa com un polinomi:

a) 3x + x2 – 2x – x2 + 3 d) 2 – x + x3 – 5x + x3 –5x2 + 3x2 + 5

b) x – x2 + x + 1 – 3x + 5x2 – 7 e) 2·(x – 3 + x2) – (6x – 5 – 3x2) + 3

c) –6x2 + 3x – 4x + x2 – 1 f) 5x + 3·(2x2 – 3x) – (x2 + 3 – 2x)

1.2.- Termes d’un polinomis.

Anomenem termes d’un polinomi a cadascun dels monomis no semblants

que formen un polinomi.

Els termes de grau zero d’un polinomi s’anomenen termes independents.

3

Exemples:

P(x) = 3x3 + 2x2 – 8x + 1 polinomi

Q(x) = 3x3 + 2x2 – 8x3 + 1 expressió algebraica que no és un polinomi,

perquè es poden operar alguns monomis (3x3 i – 8x3).

Els polinomis que tenen dos termes reben el nom de binomis, els que tenen

tres termes trinomis, i a la resta se’ls anomena amb el nom genèric de

polinomis.


1.- Escriu per separat els termes de cada polinomi, escrivint també quin és el

coeficient i la part literal de cada polinomi:

a) x – x5 – 3x2 + 21

b) –2ab3 – 4a2b + 5ab2

c) 5

8x3x

3

1x

5

2 32

d) yx3 – 7x2y5 + 11y3x – 5xy

1.3.- Grau d’un polinomi.

El grau d’un polinomi és el grau del monomi de grau més gran, és a dir,

l’exponent més gran (si hi ha una sola variable) o la suma més gran

d’exponents (si hi ha més d’una variable) dels termes que formen aquell

polinomi.

Exemples:

P(x) = 3x3 + 2x2 – 8x + 1

Q(x) = 2x2y3 + 5x2y – 11xy

El grau del polinomi P(x) és 3, i el de Q(x) és 5.

4


1.- Determina el grau dels polinomis següents:

a) A(x) = 6 – 7x + 8x3 – 3x5

b) B(x) = 4x3 + 5x2 + 11x – 2 – x2

c) C(x) = –3y2x4 – 7xy5 + 11y3x6

d) D(x) = 9 – 4x – xy + 8y

1.4.- Polinomi reduït.

Anomenem polinomi reduït a aquell que no té monomis semblants.

De fet, és el mateix parlar de polinomi que de polinomi reduït, ja que en cas

que tinguem un “polinomi” format per termes semblants (que es poden operar

entre ells), caldria parlar pròpiament d’una expressió algebraica i no pas d’un

polinomi.

Exemples:

P(x) = 3x3 + 2x2 – 8x + 1 polinomi

Q(x) = 3x3 + 2x2 – 8x3 + 1 expressió algebraica que no és un polinomi,

perquè es poden operar alguns monomis (3x3 i – 8x3).


1.- Expressa com un polinomi:

a) 5x + 2x2 – x –3 x2 + 4x d) – x + x3 –x + x3 –x2 + x2 + 1

b) 5 – 3x2 + 2x – 3x + x2 – 6 e) 3·(2x – 4 + 3x2) – (4x – 8 – x2) + 2

c) –3x2 + 5x – 7x + 2x2 – 3 f) –6 + 2·(5x2 – 3x) – (3x2 + 2 – 5x)

5

1.5.- Polinomi ordenat.

Un polinomi ordenat és un polinomi que té els seus termes escrits seguint un

ordre segons el grau de les seves variables.

Existeixen dos tipus d’ordenació: creixent i decreixent. Un polinomi ordenat de

forma creixent és aquell que comença pel grau més baix i acaba pel grau més alt.

En canvi, un polinomi ordenat de forma decreixent és aquell que comença pel

grau més alt i acaba pel grau més baix.

La forma més habitual en què trobem els polinomis és seguint una ordenació

decreixent.

A banda dels polinomis ordenats, ja siguin de forma creixent o bé decreixent,

també existeixen els polinomis desordenats, que són aquells en què l’ordre dels

termes no té relació amb l’exponent de la variable.

Exemples:

CREIXENT p(x) = 3 + x – 2x2 + 5x3

DECREIXENT q(x) = 4x3 – 2x + 1


1.- Escriu com un polinomi ordenat, de forma creixent:

a) 3x + x2 – 5x4 + 4 – 7x3 c) – x + x3 + x9 + 18 – x6 + x2

b) –5 – 3x2 + 2x3 – 5x4 d) –6x2 + 2x7 – x4 + x3 + 13 – x6

2.- Escriu com un polinomi ordenat, de forma decreixent:

a) 3x + x2 – 5x4 + 4 – 7x3 c) – x + x3 + x9 + 18 – x6 + x2

b) –5 – 3x2 + 2x3 – 5x4 d) –6x2 + 2x7 – x4 + x3 + 13 – x6

1.6.- Polinomi complet.

Un polinomi complet és aquell polinomi que té tots els termes, des del de grau

zero fins al de grau més gran.

Si un polinomi no és complet, llavors s’anomena polinomi incomplet.

6

Exemples:

COMPLET M(x) = 2x4 – 3x3 + 6x2 – 8x – 7

INCOMPLET N(x) = 4x3 – 2x + 1 no té tots els termes.


1.- Digues quin d’aquests és un polinomi complet:

a) 3x + x2 – 5x4 + 4 – 7x3 c) – x + x3 + x4 + 18 – x5 + x2

b) –5 – 3x2 + 2x3 – 5x4 d) –6x2 + 2x7 – x4 + x3 + 13 – x6

1.7.- Polinomi oposat.

Donat un polinomi P(x), un polinomi oposat a P(x) és un altre polinomi Q(x)

tal que es compleix que P(x) + Q(x) = 0. És a dir, que els coeficients de P(x) i

Q(x) són els mateixos, però canviats de signe.

Exemple:

P(x) = 2x3 – 3x2 + 1

Q(x) = –2x3 + 3x2 – 1

P(x) + Q(x) = 0

El polinomi 0 es coneix amb el nom de polinomi nul.


1.- Escriu el polinomi oposat a cadascun d’aquests polinomis:

a) A(x) = 6 – 7x + 8x3 – 3x5

b) B(x) = 4x3 + 5x2 + 11x – 2 – x2

c) C(x) = –3y2x4 – 7xy5 + 11y3x6

d) D(x) = 9 – 4x – xy + 8y

7

1.8.- Valor numèric d’un polinomi.

El valor numèric d’un polinomi és el valor que s’obté quan es substitueix la

variable del polinomi pel seu valor.

Exemple: p(x) = 3x3 + 2x2 – 8x + 1 calcula el valor numèric del

polinomi p(x) quan x = 2

p(x) = 3x3 + 2x2 – 8x + 1 p(2) = 3(2)3 + 2(2)2 – 8(2) + 1

p(2) = 24 + 8 – 16 + 1 p(2) = 17

El valor numèric del polinomi p(x) quan x = 2 és 17, és a dir, direm que

p(2) val 17.


1.- Calcula el valor numèric d’aquests polinomis:

a) x4 – x3 + x2 – x + 1 quan x = 0, quan x = 4 i quan x = –4

b) 4x2 + x + 1 quan x = 0, quan x = 3 i quan x = –3

c) 2x3 – x2 + 3 quan x = 0, quan x = 2 i quan x = –2

d) x4 + 3x3 – 4x2 – 5x + 2 quan x = 0, quan x = 1 i quan x = –1

2.- Quin valor ha de tenir “k” perquè el valor numèric, quan x = 2 , del polinomi

x4 – 2x2 + 5x + k sigui 6?

8

13x3x5x

5x6x x2

8x3x4x

23

23

23

2.- OPERACIONS AMB POLINOMIS.

2.1.- Suma i resta de polinomis.

Per sumar (o restar) polinomis cal sumar (o restar) els termes que tenen el

mateix grau.

Exemple: P(x) = x3 + 4x2 – 3x + 8 ; Q(x) = 2x3 – x2 – 6x – 5

P(x) + Q(x)

3x9x3x3

5x6 x x2

8x3x4x

23

23

23

P(x) – Q(x) 5x6 x x2

8x3x4x

23

23


1.- Donats els polinomis:

P(x) = –2x4 – 6x3 + 5x2 – 7x + 3

Q(x) = 3x4 – 5x3 – 9x + 4

R(x) = 5x4 + 2x3 – 3x2 + 8x – 11

Calcula:

a) P(x) + Q(x) = e) R(x) + P(x) – Q(x) =

b) Q(x) – R(x) = f) Q(x) – P(x)=

c) P(x) – Q(x) = g) R(x) – P(x) + Q(x)=

d) P(x) + R(x) = h) Q(x) – P(x) – R(x) =

9

x8x21x7x6

x24x9x6

x8x3x2

xx3

8x3x2

234

234

23

2

2

2.2.- PRODUCTE DE POLINOMIS.

2.2.1.- Producte d’un monomi per un polinomi.

Es multiplica cada terme del polinomi pel monomi.

Exemple: 5x2 . (3x2 – 5x + 8) = 15x4 – 25x3 + 40x2


1.- Calcula aquests productes de monomis per polinomis:

a) (4x3 + 6x2 – 6x + 8). (–7x) = c) (2x3 + 4x2 + 3x – 5). (–9x4) =

b) (–5x3). (7x4 + x3 –8x + 12) = d) (x5 – 4x3 – 5 x3 – 8x). (–6x2) =

2.2.2.- Producte de polinomis.

Es multipliquen tots els termes d’un polinomi per tots els termes de l’altre

polinomi, i llavors es redueixen els termes semblants.

Exemple: P(x) = 2x2 – 3x + 8 Q(x) = 3x2 + x

P(x) . Q(x)

10


1.- Calcula els productes de polinomis següents:

a) (7 + 2x – x2) . (5 – 3x) = c) (6 + 5x – 3). (2x2 + 4x – 7) =

b) (2x2 + x – 3) . (–5x2 – 4x + 8) = d) (2x2 – 5x – 6). (3x3 – 6x + 9) =


P(x) = –2x4 + 5x3 – 3x2 – x + 7 R(x) = –8x4 – 5x3 + 3x2 – 6x + 12

Q(x) = 5x5 – 7x3 – 10x – 2 S(x) = x5 – x4 – 10x2 – 2

Calcula: a) 5· P(x) c) 4·P(x) – 5·R(x)

b) –3·R(x) d) 2·P(x) – 3·Q(x) + 5·R(x) – 4·S(x)

2.2.3.- Productes notables.

Cal recordar que alguns productes entre polinomis, concretament entre

binomis, corresponen a les fórmules de les igualtats o productes notables.

Recordem les fórmules corresponents a grau dos:

- Quadrat de la suma: (a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2

- Quadrat de la diferència: (a – b)2 = a2 – 2 . a . b + b2

- Suma per diferència: (a + b) . (a – b) = a2 – b2

Existeixen els productes notables de grau 3, grau 4, etc. Aquests es

calculen utilitzant la fórmula del binomi de Newton.

11


1.- Desenvolupa els productes notables següents:

a) (x + 5)2 = e) (x + 11) . (x – 11) =

b) (x – 4) 2 = f) (6x5 – 2) . (6x5 + 2) =

c) (4x – 7)2 = g)

8'0

9

x78'0

9

x7 55

d) (5x2 + 8y4) 2 = h)

22

3

x217

=

2.- Expressa en forma de producte de binomis:

a) x2 + 22x + 121 = e) 169 x2 – 81x8 =

b) x2 – 12x + 36 = f) 36y6z10 – 144x4=

c) 16a6 + 40a3·b+ 25b2 = g) 16

1yy16 4 =

d) 9y2 – 42y + 49 h) 81'064

x25 12

=

2.3.- Factor comú.

Consisteix a treure un factor que està repetit en una sèrie de sumands, i posar-lo

davant (o darrera) d’aquests multiplicant.

Exemples:

• 21 + 14 + 35 = 3 . 7 + 7 . 2 + 5 . 7 = 7 . (3 + 2 + 5)

• 3x3 + 5x2 + 8x = x . (3x2 + 5x + 8)

• 5x – 15x3 = 5x . (1 – 3x2)


1.- Treu factor comú:

a) 105x8 – 30x6 + 45x3 =

b) 81y7 – 48y3 + 30y2 – 24y =

c) 112a3b4 + 64a4b3 + 80a5b4 – 192a4b5 =

12

1

2x2

3x2

2-3x x3x3

1- x3x5x3

2

2

2.4.- Divisió de polinomis.

Per poder dividir polinomis s’ha de donar una condició: que el grau del polinomi

dividend sigui més gran o igual que el grau del polinomi divisor.

Llavors es divideix el terme de major grau del dividend pel de major grau del

divisor; el resultat d’aquesta divisió es multiplica pel divisor, i el producte obtingut

es suma, canviat de signe, amb el dividend.

I així successivament es va procedint, fins que el grau del polinomi dividend sigui

més petit que el grau del polinomi divisor.

Exemple:

Igual que en la divisió de nombres, a la divisió de polinomis es pot fer la prova,

que consisteix a multiplicar el quocient pel divisor i, després sumar-li el residu. El

resultat d’aquest producte ha de coincidir amb el dividend:

P (x) x – a

r(x) q(x) P(x) = q(x) . (x – a) + r(x)

Així: P(x) r(x)

q(x)x a x a

Veiem que en els polinomis passa el mateix que en les

divisions entre nombres reals, ja que en les fraccions també

podem escriure:

bc

d b a a

c c

13

3x5x3

1

2x5x3

x2x3

2x3

1x

2x3

2

2

2

PROVA (de l’exemple):


1.- Fes les divisions de polinomis següents:

a) (45x3 – 25x + 10) : (9x + 6) = c) (4x3 – 2x2 – x + 4) : (x – 6) =

b) (22x3 – 10x + 8) : (6x + 4) = d) (x3 – 3x2 – 6x + 1) : (3x + 2) =

2.- Realitza aquestes divisions de polinomis. Fes també la prova:

a) (4x2 + 4x – 9) : (x – 1/3) = c) (5x3+ 6x4 + 1 – 8x2) : (3x + 1) =

b) (2x3 – 5x + 7) : (x + 24) = d) (5x2 – 7x + 3 – 2x3 + 3x5) : (6x2 + 2) =

3.- Determina el valor de “k” perquè en dividir p(x) = 3x3 + 4x2 + kx + 12 per

(x + 3) doni un residu igual al terme independent.

4.- Troba “m” perquè en dividir P(x) = –2x3 – 3x2 + 5x – m per (x – 2) el residu

sigui 6.

14

3.- REGLA DE RUFFINI.

3.1.- Factor comú.

Divisió de polinomis utilitzant la regla de Ruffini.

La regla de Ruffini és un procediment més ràpid per dividir un polinomi P(x) entre

un binomi del tipus (x – a), on “a” és un nombre real.

S’utilitzen els coeficients del polinomi (si falta algun terme cal col·locar-hi un zero).

Llavors es divideix usant el terme independent del binomi, com s’aprecia en

l’exemple:

(3x2 – 5x + 3) : (x – 1) =

Si el binomi és (x – 1) a l’hora de dividir utilitzarem el valor canviat

de signe, és a dir, x = 1.

3 –5 3

1 ↓ 3 –2

3 –2 1

Quocient : q(x) = 3x – 2 (es disminueix un grau) ; Residu: r(x) = 1

En aquest cas, òbviament, també es pot fer la prova de la divisió, i per tant es

compleix que P(x) = q(x) . (x – a) + r(x)


1.- Fes les divisions de polinomis següents, utilitzant el mètode de Ruffini:

a) (2x3 – 3x2 – 5x + 2) : (x + 1) = c) (5x3 + x2 – 4) : (x – 3)

b) (x3 – 5x2 + x – 6) : (x + 2) = d) (–2x3 + 2x2 – 9) : (x – 1) =

2.- Calcula “m” perquè en dividir p(x) = 2x4 – mx2 + 4mx + 4 per (x – 1)

s’obtingui un residu igual al terme independent del polinomi p(x).

3.- Troba “m” perquè en dividir P(x) = 2x3 + 3x2 – 8x + m per (x + 4) el residu

sigui 11.

15

3.2.- Arrels d’un polinomi.

Les arrels d’un polinomi, també anomenades ZEROS o SOLUCIONS, són aquells

valors de la variable “x” que fan que el valor numèric del polinomi sigui zero, és a

dir, que el residu de la divisió doni zero.

La manera habitual de buscar les arrels d’un polinomi és a través del mètode de

Ruffini, tot i que és un procediment que només serveix per buscar arrels que

siguin nombres enters. En general, els nombres candidats a ser arrels del

polinomi són els divisors del terme independent del polinomi, amb signe positiu o

negatiu.

Un polinomi pot tenir, com a màxim, tantes arrels com el grau que té.

Exemple: troba totes les arrels del polinomi p(x) = x2 – 5x + 6

buscarem, utilitzant el mètode de Ruffini, possibles arrels:

1 –5 6

2 ↓ 2 –6

1 –3 0

3 ↓ 3

1 0

Els valors x=2 i x=3 són arrels de p(x). És a dir, que p(2) = 0 i p(3)= 0.


1.- Busca les arrels (o zeros o solucions) de:

a) 3x2 + 24x +3 c) 8x2 – 32x + 32

b) 6x2 – 4x +2 d) 9x6 – 49x4

2.- Busca les arrels del polinomi P(x) = 2x4 + 2x3 – 82x2 – 210x

3.- Determina “k” de manera que el polinomi Q(x) = x3 – kx2 + 2x – 6 tingui per

arrel el valor x = –3.

4.- Calcula “k” per tal que el polinomi 4x3 – 2x2 + kx + 10 tingui x = 2 com

16

una de les seves arrels.

17

3.3.- Factorització de polinomis.

Factoritzar un polinomi vol dir expressar-lo com un producte de factors. Els factors

són nombres o polinomis del grau més petit possible.

En primer lloc, cal trobar les arrels del polinomi que permeten obtenir els factors.

Si una arrel és x = a, el factor corresponent és (x – a).

Exemple: factoritza el polinomi p(x) = x2 – 5x + 6 com que les seves

arrels són x=2 i x=3 , generarà els factors (x – 2) i (x – 3). Per tant, el polinomi

p(x) factoritzat s’escriu així: p(x) = (x – 2).(x – 3)

Exemple: factoritza el polinomi q(x) = 3x2 – 15x + 18 si les seves arrels

són x=2 i x=3 , generarà els factors (x – 2) i (x – 3). Cal tenir en compte (és

molt fàcil oblidar-se’n) de posar el 3, que és el coeficient de la x2, com a factor

multiplicant els altres factors. Per tant, el polinomi p(x) factoritzat s’escriu així:

q(x) = 3.(x – 2).(x – 3)

Hi ha diversos procediments per factoritzar polinomis:

Treure factor comú.

Utilitzar les fórmules dels productes notables.

Utilitzar una calculadora que resolgui equacions (si es tracta d’un polinomi

de segon grau, es pot aplicar la fórmula de les equacions de segon grau).

Utilitzar el mètode de Ruffini.


1.- Factoritza aquests polinomis:

a) 16x28x8x7x3 234 c) 18x33x20x4 23

b) 6x17x11x2 23 d) 28x 32x 32

2.- Factoritza el polinomi P(x) = 2x4 + 2x3 – 82x2 – 210x

3.- Troba “m” en el polinomi p(x) = –5x3 – 3x2 – mx + 9 per tal que, en

factoritzar-lo, un dels seus factors sigui (x + 1).

4.- Quines són les arrels enteres del polinomi P(x) = x4 – 1 ? Raona la resposta.

Té alguna arrel entera el polinomi P(x) = x4 + 1 ? Per què?

18

3.4.- Teorema del residu.

El residu de dividir un polinomi p(x) per (x – a) es correspon amb el valor

numèric del polinomi p(x) quan x = a.

Exemple:

p(x) = 3x2 – 5x + 3 p(x) : (x – 1) és la divisió que hem fet com a

exemple de la divisió de polinomis, que després també hem resolt aplicant

el mètode de Ruffini; el residu, fent servir qualsevol dels dos mètodes, dóna

1. Ara anem a veure si el valor numèric del polinomi p(x) quan x = 1

també dóna 1:

p(x) = 3x2 – 5x + 3

p(1) = 3.(1)2 – 5.(1) + 3

p(1) = 3 – 5 + 3 = 1

p(1) = 1 dóna el mateix que el residu, tal com s’esperava.

El teorema del residu es compleix sempre: no té excepcions.


1.- Comprova que es compleix el teorema del residu en els polinomis següents:

a) x4 – 4x3 + 5x2 – 2x – 5 quan x = 2.

b) 5x2 – 4x – 7 quan x = 1/3.

c) –2x3 + 3x2 –x + 17 quan x = –3

2.- Comprova que es compleix el teorema del residu en el polinomi –x4 –x3 – 3x2 – 3x + 8 quan x = 2 i també quan x = –2. 3.- Troba “m” en el polinomi p(x) = –2x3 – 4x2 + 2mx + 12 per tal que el seu valor numèric quan x = –3 sigui 0. Comprova que es compleix el teorema del residu.

19

4.- MCD i MCM de POLINOMIS.

El càlcul del MCD (Màxim Comú Divisor) i el MCM (Mínim Comú Múltiple) de

polinomis segueix els mateixos criteris que en el cas dels nombres enters, si bé

aquí els factors no són nombres, sinó polinomis.

El MCD d’uns polinomis és el divisor comú a tots ells més gran que existeix, i es

calcula com el producte dels factors comuns amb l’exponent més petit. Si no hi ha

cap factor comú el MCD és la unitat (MCD = 1).

El MCM d’uns polinomis és el múltiple comú a tots ells més petit que existeix, i es

calcula com el producte dels factors comuns i no comuns amb l’exponent més

gran.

Exemple:

Calcula el MCD i el MCM de p(x)= x2 – 5x + 6 i q(x)= x3 – 3x2 + 4.

Primer cal factoritzar els polinomis, i llavors calcular el MCD i el MCM:

p(x) = 2x2 – 10x + 12 = 2.(x – 2).(x – 3) MCD = x – 2

q (x) = x3 – 3x2 + 4 = (x – 2)2.(x + 1) MCM = 2.(x – 2)2.(x – 3).(x + 1)


1.- Troba el MCD i el MCM de: a) p(x) = x2 + 4x + 4 q(x) = x3 + 3x2 – 4 r (x) = x3 + 2x2 – 4x – 8

b) p(x) = x3 – 5x2 + 12x – 8 q(x) = x3 – 4x2 +5x – 2 r (x) = x3 – 4x

c) p(x) = x3 – 2x2 –13x – 10 q(x) = x3 – 3x2 + 4

d) p(x) = x2 – 8x + 16 q(x) = x3 – 13x – 12 r(x) = x2 – 16

e) p(x) = 81x4 – x8 q(x) = 6x2 + 2x3 r(x) = 9x2 + 6x3 + x4

20

5.- FRACCIONS ALGEBRAIQUES.

5.1.- Definició de fracció algebraica. Conceptes bàsics.

Una fracció algebraica o algèbrica és el quocient indicat entre dos polinomis:

)x(Q

)x(P

Exemples: 12x10x2

7x11x2

3

3x

1

Anomenem fraccions equivalents a dues fraccions algebraiques que multiplicant

en creu els seus termes donen el mateix resultat. També podem saber si dues

fraccions algebraiques són equivalents si a partir d’una de les dues s’obté l’altra

per simplificació, o bé si en simplificar-les ambdues donen la mateixa fracció.

Les operacions bàsiques amb les fraccions algebraiques (la suma, la resta, la

multiplicació i la divisió) segueixen les mateixes normes que les operacions amb

fraccions numèriques (si bé cal tenir en compte que numerador i denominador no

són nombres enters, sinó polinomis). La jerarquia d’operacions també continua

essent la mateixa:

1) Si hi ha parèntesis, cal resoldre’ls primerament.

2) Potències i arrels.

3) Multiplicacions i divisions.

4) Sumes i restes.

Pel que fa a la suma i a la resta, cal recordar que s’haurà de reduir les fraccions

que es volen sumar i/o restar a comú denominador, i per tant caldrà calcular

prèviament el MCM dels denominadors.

Moltes vegades caldrà simplificar fraccions algebraiques, i per fer-ho s’haurà de

factoritzar els polinomis; de manera que utilitzarem el mètode de Ruffini, el factor

comú i les fórmules de les igualtats notables.

Exemple: 2

1

)3x).(2x.(2

)3x).(2x(

12x10x2

6x5x

)x(q

)x(p2

2

21


1.- Comprova si són equivalents les parelles de fraccions algebraiques

següents:

a) 32

3

xx

x2x2

i

6x2

4x4

c)

x50x20x2

25x10x23

2

i

x3x

9x32

b) 15xx2

15x62

i

36x3x3

12x32

d)

1x

6

i

2x2x

8x4

5.2.- Valor numèric d’una fracció algebraica.

Per tal de calcular el valor numèric d’una fracció algebraica primerament cal

simplificar-la al màxim (aconseguir que sigui una fracció algebraica

irreductible).

El valor numèric d’una fracció algebraica irreductible és el valor que s’obté

quan es substitueix la variable per un valor donat i es realitzen les

corresponents operacions aritmètiques.

Exemple: calcula el valor numèric de 2x

4x 2

quan x = 2.

Primerament cal simplificar: 2x

4x 2

=

2x

2x2x

= x + 2

si x = 2 (2) + 2 = 4 El valor numèric val 4.


1.- Determina el valor numèric d’aquestes fraccions algebraiques quan: x = 1,

x = 2, x = 3, x = – 1, x = – 2 i x = – 3.

a) x4x

5x2x23

2

b)

2x2x3

2

1x

c) 11x4x3

7x3x2

2

22

5.3.- Suma i resta de fraccions algebraiques.

Es procedeix com en les sumes i restes amb fraccions numèriques: primer cal

reduir a comú denominador, llavors calcular els nous numeradors i per últim

operar els numeradors. Finalment cal veure si la fracció algebraica resultant es

pot simplificar.

És recomanable factoritzar els polinomis dels denominadors abans de calcular el

MCM a l’hora de reduir a comú denominador.

Exemple:

2x

5x2

x2x

3x

x

1x32

=

= 2x

5x2

2xx

3x

x

1x3

=

2xx

x5x2

2xx

3x

2xx

2x1x3

=

= 2xx

x5x23x2x7x3 22

=

2xx

1x3x5 2

el numerador no es pot factoritzar


1.- Efectua les operacions i simplifica el resultat, si és possible:

a)

6xx

x62

2x

5x

3x

1x22

b)

2x

1x

4x

3x2

2x

x22

c)

3x4x

5x

6xx

3x2

2xx

1x3222

23

2.- Opera i simplifica al màxim:

a)

4x4x

3

1x2x

2x

2xx

1x222

c)

1x

4

1x

x

1x

32

b)

4x

2x

)2x(

4x3

2x

3

2x

1x22

d)

1x

1x

2x

3

2xx

x 2

2

2


a)

)1x).(2x(

3x

)1x).(2x(

1x

)1x).(4x(

2x 2

22

b)

x5

1x

1x

1x44

2

c)

1x

3x

2x

5

3x2x

3x2

5.4.- Producte de fraccions algebraiques

Es procedeix com en el producte de fraccions numèriques: es multipliquen els

numeradors entre ells i els denominadors entre ells:

)x(S)x(Q

)x(R)x(P

)x(S

)x(R

)x(Q

)x(P

És recomanable factoritzar numeradors i denominadors abans de multiplicar,

ja que a vegades es pot simplificar, de manera que així l’operació esdevé més

fàcil.

Exemple:

4x

16x8x

x32x8

x4x

4x

x4 2

3

2

=

=

4x

4x

4xx8

4xx

4x

x42

2

=

4x

4x

4x4xx8

4xx

4x

x42

=

24

=

22

22

4x4xx8

4x4xx4

=

4x2

x

↔

8x2

x



a)

1x

2x2

2xx

xx22

2

b)

x8x6x

x3

x21

16x23

22

c)

1x

2x3x

1xx

1x2

2

2

3


a)

3x3

8x2

2x

1x2x 22

b)

2x

xx4

1x

2xx31

2

2

2

c)

1xx

1x

2xx

2x2

3

2


a)

16x8x

xx3

1x

1xx32

3

2

2

c)

49x144

x

64x32x4

36x4

81x92

2

2

2

b)

144x48x4

169x78x9

49x9

324

x

2

2

2

2

d)

16x42

x

25x30x9

644

x9

53

x5

2

2

2

25

26

5.5.- Divisió de fraccions algebraiques.

Es fa com en el quocient de fraccions numèriques (multiplicant en creu):

)x(R)x(Q

)x(S)x(P

)x(S

)x(R

)x(Q

)x(P

És recomanable factoritzar numeradors i denominadors abans de dividir, ja

que a vegades es pot simplificar, de manera que així l’operació esdevé més

fàcil.

Exemple:

1x

xx2x

1x2x

1x2

23

2

=

=

1x1x

1xx

1x

1x2

2

=

221x1xx

1x1x1x

=

=

22

2

1x1xx

1x1x

=

1xx

1

↔

xx

12


1.- Efectua les operacions i simplifica el resultat, si és possible:

a)

3

1x

2xx3

xx

2x2

2

2 c)

4x

1x

2x

3x

2

b)

2x

2xx

1xx

1x 2

2

3

d)

3

2

22 x

1x

x1

x2

1x

x

x1

x2


a)

2x2

5x5

x16x8x

xx223

3

c)

15x8x

10x7x

9x

4x2

2

2

2

27

b)

64x16x

25x10x

64x

25x2

2

2

2

d)

16x

3x

16x8x

9x6x22

2

5.6.- Simplificació de fraccions algebraiques.

Una fracció algebraica es pot simplificar quan el numerador i el denominador

es poden dividir per un mateix polinomi de grau més gran o igual que u.

Si es vol trobar la fracció algebraica irreductible cal dividir el numerador i el

denominador d’una determinada fracció algebraica pel seu MCD.

Per tal de simplificar fraccions algebraiques primerament és molt recomanable

factoritzar els polinomis; de manera que utilitzarem el mètode de Ruffini, el

factor comú i les fórmules de les igualtats notables.

Exemple:

)3x).(2x.(x3

)2x(x

x18x15x3

x4x4x

)x(q

)x(p 2

23

23

= 3x3

2x

↔

9x3

2x


1.- Simplifica les fraccions algebraiques següents:

a)

4x2xx

2xxxx34

234

b)

15x10x2x2x

x3x2x234

234

c)

x12x16x7x

16x8x234

24

28

29

2.- Opera i simplifica tant com puguis:

a

22

2

yx

2

yx

k)

1x9

1x32

b)

yx.yx

yxyx

yxyx

yx22

l)

2x5xy10

xy2

c)

2222

44

ba

ab

ba

ba

m)

22

22

ba

ab2ba

d)

yx

yx

yxy2x

yx22

22

n)

1x2x

1x2

2

e)

xy2yx

xy

)yx.(5

y25x2522

22

o)

33

44

xy3yx3

yx

f)

2

2

2ba

cbxb2

bab

cbx2

p)

2

22

yxxy

yxyx

g)

1a

1

1a

a42

q)

xb9abx12xa4

bx3ax222

h)

yx

yx1

1yx

yx

r)

1x

27xx27x4

23

i)

22

23

yx

xyx

s)

4xy4xy

12x3y4xy

j)

6xx

xx

3x

x232

2

t)

22

22

yx

xyyx

30

COL·LECCIÓ DE PROBLEMES

1.- Escriu aquestes expressions algebraiques en forma de polinomi reduït:

a) 5x + 2x2 – 3x – 5x2 + 8 c) 3 – 2x + 4x3 – x + 3x3 –x2 + 2x2 + 9

b) 3x – 2x2 + x + 18 – 5x + 5x2 – 11 d) 5·(2x – 4 + 2x2) – (x – 5 – x2) + 2

2.- Escriu aquestes expressions algebraiques en forma de polinomi ordenat, primer en forma creixent i després en forma decreixent: a) 9x3 – 2x + 2x2 – 1 c) –5x6 – 5x + 5x2 + 5x3 + 5

b) x – x3 + 5x2 – 3 – x4 d) x – 6 + x3 + 5x5 – x4

3.- Són complets els polinomis de l’exercici anterior?

4.- Digues de quin grau són els polinomis següents:

a) x – x5 – 3x2 + 21

b) –2ab3 – 4a2b + 5ab2

c) 5

8x3x

3

1x

5

2 32

d) yx3 – 7x2y5 + 11y3x – 5xy

5.- Calcula el valor numèric d’aquests polinomis:

a) –2x3 + 3x2 –5x quan x = 0, quan x = 1 i quan x = –1

b) –x3 + x – 7 quan x = 0, quan x = 2 i quan x = –2

c) –2x3 + x2 + 3x – 2 quan x = 0, quan x = 3 i quan x = –3

6.- Quin valor ha de tenir “m” perquè el valor numèric, quan x = –1 , del polinomi

x4 – 2mx3 + x2 – 4mx + 9 sigui –7?


P(x) = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 ; Q(x) = –2x2 + 2 + 3x5 i R(x) = x3 –x5 + 3x2,

calcula:

a) P(x) + Q(x) d) P(x) – Q(x) – R(x)

b) P(x) – Q(x) e) R(x) + P(x) – Q(x)

c) P(x) + Q(x) + R(x) f) P(x) – R(x) + Q(x)

31

8.- Realitza les operacions següents:

a) (8x2 – 2x + 1) – (3x2 + 5x – 8) =

b) (2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) =

c) (7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 + 5 – 8x + 2x3) =

d)

232234

3

2

3

232

3

2

6

11231

6

7

4

1xxxxxxxxx

e) (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x –1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5) =

f) (xy2 –3x2 – y2 + x2y) – (x2y + 5x2) + (3xy2 – y2 – 5x2) =


P(x) = –2x4 + 5x3 – 3x2 – x + 7 Q(x) = 5x5 – 7x3 – 10x – 2

R(x) = –8x4 – 5x3 + 3x2 – 6x + 12 S(x) = x5 – x4 – 10x2 – 2

Calcula:

a) P(x) + Q(x) =

b) P(x) + Q(x) =

c) P(x) – Q(x) + R(x) – S(x) =


P(x) = –5x6 + 12x4 – x2 – 3x + 8

Q(x) = x6 – 7x4 – 10x2 – 2x

R(x) = –4x4 – 3x3 + 38x2 – 6x – 15

S(x) = –9x5 – 2x4 – 12x3 + 3x – 2

236

1

3

2

2

1)( 345 xxxxxT

5

2

5

1

20

1

5

2

4

3)( 345 xxxxxU

Calcula: a) P(x) + R(x) – S(x) =

b) P(x) – 2·Q(x) + 3·R(x) – S(x) =

c) P(x) – Q(x) + 3·T(x) – U(x) =

d) P(x) – 2·Q(x) + 3·R(x) – 4·S(x) + 5·T(x) – 6·U(x) =

e) )()(3

2)(

2

1xTxRxP

f) )(3

2)()( xRxUxT

g) 2·P(x) – 3·Q(x) + 6·T(x) – 20·U(x) =

32

11.- Fes les multiplicacions de polinomis següents:

a) (x3 + 5x2 – x – 7) ·(2x + 1) = c) (x4 + 4x3 – 6x2 – 6) ·(–4x3 + 3) =

b) (x4 – 7x3 + x – 3) ·(5x2 – 5) = d) (–5x3 + x – 1) ·(5x2 – 2x – 1) =


P(x) = 5x4 + x2 – 1 Q(x) = 5x2 – 2x – 1 R(x) = x – 1 ,

Calcula:

a) P(x)·Q(x) + R(x) =

b) P(x)·[Q(x) + R(x)] =

c) Q(x)·P(x) – R(x) =

13.- Desenvolupa els productes notables següents:

a) (2x + 3)2 = e) (x + 13) . (x – 13) =

b) (3x – 5) 2 = f) (3x2 – 5) . (3x2 + 5) =

c) (–x – 4)2 = g)

12'0

5

x312'0

5

x3 33

d) (–2x3 + 3y5) 2 = h)

24

4

5x23

=

14.- Expressa en forma de producte de binomis:

x2 + 8x + 16 = 25x2 – 20x + 4 = 16x2 – 25 =

49x2 + 14x + 1 = 4x2 – 8x + 4 = 16 – 100x2=

36x2 – 48x + 16 = 4x2 – 1 = 16x4 – 40x3 + 25x2=

49x2 – 8x + 16 = 16 – 4x + x2 = 25x6 – 20x3 + 4 =

121x2 – 144 = 64x2 – 56x + 49 = 16x10 + 8x5 – 25 =

9x2 + 42x + 49 = 25x2y2 – 4 = x4 – 10x3 + 25x2=

15.- Calcula m perquè P(x) = x3 + mx2 – 6x + 8 sigui múltiple de (x + 2).

33

16.- Calcula k perquè Q(x) = x3 – 5x2 + kx – 12 sigui múltiple de (x + 2). 17.- En una divisió exacta, el dividend és x5 – 1, i el quocient x4 + x3 + x2 + 1. Calcula’n el divisor. 18.- Determina quin és el residu sense efectuar la divisió. Justifica la resposta: (x9 + 1) : (x + 1) = 19.-Sabent que la divisió (x3 – ax2 + ax – 6) : (x + 1) és exacta, calcula el valor del paràmetre “a”. 20.- Troba un polinomi tal que en multiplicar-lo per x2 – 2 doni x6 – 3x4 + 2x2. 21.- Sense fer cap divisió, però justificant les respostes, esbrina si:

a) P(x) = –3x3 + 4x2 – 5x + 10 és múltiple de Q(x) = x – 2.

b) el binomi (x + 1) és divisor del polinomi R(x) = x4 + 5x2 – 3x + 1.

22.- Troba el quocient i el residu de les divisions que segueixen, i fes la prova:

a) (4x4 – 5x3 + x2 + 6x – 1) : (x2 + 3x – 2) =

b) (2x3 + 3x2 – 4x + 1) : (x2 – 2x + 3) =

23.- Troba, utilitzant la regla de Ruffini, el quocient i el residu de les divisions següents:

a) (x5 – 3x4 + 9x2 – 8x + 12) : (x – 3) =

b) (x3 + x2 – 9x – 44) : (x – 4) =

c) (x4 – 16) : (x + 2) =

d) (x5 + x2 + 2) : (x + 1) =

24.- Troba el valor de “K” perquè en dividir el polinomi x4 – 2Kx3 + x2 – 4Kx + 9 entre (x – 1), doni –7 de residu. 25.- Troba totes les arrels dels polinomis següents:

a) A(x) = 3x – 6

b) B(x) = x2 – 4

c) C(x) = 2x2 + 8x – 42

d) B(x) = x3 – 1

26.- Factoritza el polinomi següent i expressa les seves arrels:

A(x) = 3x4 – 27x3 + 39x2 + 27x – 42

27.- Descompon en factors el polinomi P(x) = x4 – 4x3 + 7x2 – 12x + 12 28.- Escriu un polinomi que tingui com a arrels x = –3 i x = 7.

34

29.- Troba “m” per tal que x = 3 sigui una arrel del polinomi P(x) = x3– 3mx + 6 30.- Resol les equacions següents mitjançant la seva factorització:

a) x3 – 3x2 – 6x + 8 = 0

b) x4 – 10x3 + 35x2 – 50x + 24 = 0

31.- Quines són les arrels enteres del polinomi P(x) = x4 – 16 ? Raona la

resposta. Té alguna arrel entera el polinomi P(x) = x4 + 16 ? Per què?

32.- Comprova si són equivalents les parelles de fraccions algebraiques següents:

a) 24

2

88

33

xx

xx

i

xx

x

1212

30102

b)

2234

5

2510

x

xxx i

24

2

3

186

xx

xx

33.- Determina el valor numèric d’aquestes fraccions algebraiques quan: x = 2,

, x = 3, x = – 1 i x = – 2.

a)

3

2

2

523

xx

xx

b)

325

3

1

xx

x

34.- Calcula i simplifica tant com et sigui possible:

a)

1x

xx3

b)

2

2

2

x51x

3x

c)

2x

x23

x

x22

d)

1x

4

x1

6

x1

22

e)

3x4x

5x

x3x

6x222

35

35.- Opera i simplifica el resultat si és possible:

a)

1x

x3

xx

x12

2

e)

1x

x2x:

3x3

x2

23

b)

4x

3x

9x6x

2x22

f)

2x

16x16x4:

x3

8x2 22

c)

28x7

x15

10x5

12x12x32

2

g)

2

2

x1010

x3x3:

5x5

x6

d)

4x

12xx

18x12x2

16x4 2

2

2

h)

1x

6x3:

1x

8x6x2

2

36.- Simplifica les fraccions algèbriques següents:

a)

502

1072

2

x

xx c)

652

4323

23

xxx

xx

b)

133

4523

3

xxx

xx d)

xx

xxx

22

322

23

polinomis i fraccions algebraiques - textos · pdf filemcd i mcm de polinomis. 5. fraccions...

Documents