polinomios. a es el coeficiente (un número real) x, y, …, z se denomina variables observa, que...
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POLINOMIOS
POLINOMIOS
a es el COEFICIENTE
(un número real)
x, y, … , z se denomina VARIABLES
. ...n m pa x y z Observa, que como todo número real a, se puede poner como:
Los números reales son monomios de grado cero..
Una expresión algebraica, es una expresión que contiene operaciones de
letras y números.
Un MONOMIO, es una expresión algebraica que solamente contiene
productos (y por tanto divisiones) de potencias de letras y números.
El GRADO del MONOMIO es n+m+…+ p . (n, m, … , p son Números naturales).
0a a x
REPASO DE OPERACIONES CON MONOMIOS.
SUMA O RESTA (SOLAMENTE SI SON SEMEJANTES):
Ejemplos: 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
7 3 9
4 2 2
x x x x
p q p q p q
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN:
Ejemplos:
2 2 3 2 2 3
2 3 2 2
5 3 15
12 : 4
2
x y z x y z
p q p q q
POLINOMIOS.
Un POLINOMIO, esta compuesto por sumas o restas de MONOMIOS.
Un POLINOMIO DE VARIABLE x, y de grado n es de la forma:
Ejemplos3 2 2( ) 7 3 9; 4 2 1P x x x S z z
Habitualmente, solemos representar los polinomios mediante una letra
mayúscula, y entre paréntesis las variables, o abusando de notación
solamente por una letra mayúscula :
1 2 11 2 1 0....n n n
n n na x a x a x a x a
A los coeficientes (números) de cada monomio, se les denomina
TÉRMINOS, siendo a n el TÉRMINO PRINCIPAL (el término del
monomio de mayor grado), y a 0 el TÉRMINO INDEPENDIENTE (el
término del monomio de grado cero),.
POLINOMIOS.
Un POLINOMIO, decimos que esta ordenado y es completo, cuando
los monomios que lo componen están ordenados de mayor a menor
grado, y ningún término es cero
Ejemplos
3 2
2 4
( ) 7 3 9; es ordenado y completo
4 2 1; ni esta ordenado ni es completo
P x x x x
S x z z
Ejemplo: 2 2Si 5 2,para x = 3, 3 5 3 2 47P x x P
Se denomina VALOR NUMÉRICO de un polinomio, al valor que toma
dicho polinomio cuando se sustituyen las variables por números:
Si P(x) es un polinomio de variable x, y r es un número tal que P(r) = 0,
decimos que r es una RAÍZ del polinomio P(x):
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.
SUMA O RESTA: (se suman o restan monomios semejantes):
Ejemplo:
2 5
2 5
5 2
5 2
2 3; 3 1;
2 3 3 1
2 3 3 1
5 2
Si P x x x Q x x x
P x Q x x x x x
x x x
x x x
7 6 53x x x 3 3 3 9x x x
2 2 3x x
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS.
MULTIPLICACIÓN: (se multiplica cada uno de los monomios por
los monomios del polinomio a multiplicar. Y se suman):
Ejemplo: 2 52 3; 3 1;Si P x x x Q x x x
2 52 3 3 1P x Q x x x x x
2
5
2 3
3 1
x x
x x
7 6 5 3 23 3 7 3x x x x x x
7 6 5 3 23 3 7 3x x x x x x
IDENTIDADES NOTABLES DE MONOMIOS.
Teniendo en cuenta que una POTENCIA enésima de un polinomio es un
producto de n veces, podemos deducir (“multiplicando”) las siguientes
igualdades (“denominadas IDENTIDADES NOTABLES”):
( A(x) + B(x) ) ² = A(x) ² + 2. A(x).B (x) + B(x) ²
( A(x) - B(x) ) ² = A(x) ² - 2. A(x).B (x) + B(x) ²
( A(x) + B(x) ) . ( A(x) - B(x) ) = A(x) ² - B(x) ²
Ejemplos:
2 2 2
2
3 2 9 12 4 ;
2 2 4
x y x xy y
x x x
DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
DIVISIÓN: (se divide el polinomio por cada uno de los monomios
del polinomio a dividir):
Ejemplo: 3 24 1; 1;Si P x x x Q x x x
3 2: 4 1 : 1P x Q x x x x x
3 2 4 1 1x x x x
x
1 ; con resto x+2x
3 2x x x 2 1x x
2 1x x
2x
DIVIDENDO
DIVISOR
COCIENTE
RESTO
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
Si Efectuamos una división de polinomios P(x) : Q(x), resultando de
cociente C(x) y de resto R(x), se cumple:
P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)
Ejemplo:
3 24 1; 1;Si P x x x Q x x x
3 2Como : 4 1 : 1P x Q x x x x x
3 2Se cumple: 4 1 1 1 4 2x x x x x x
1 ; con resto 2x x
REGLA DE RUFFINI. EL TEOREMA DEL RESTO.
Si P(x) es un polinomio, para efectuar la división: P(x) : (x-a), podemos
aplicar la Regla de Ruffini.
TEOREMA DEL RESTO.- el resto de la división P(x) / (x-a) es igual a
P(a)
Ejemplo:
4 3 21. 4 0 6 1 : 3x x x x x
1 4 0 6
3
3 2 21 cuyo RESTO es 170x x x
1
- 3
- 7
21
21
- 63
- 57
171
170
Ejemplo:
4 3 2El resto de la división 1. 4 0 6 1 : 3x x x x x
4 3 2Es: P 3 1. 3 4 3 0 3 6 3 1 170
CÁLCULO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO.
Cualquier raíz entera a de un polinomio P(x) es divisor del término
independiente.
Por tanto, para buscar las raíces enteras de un polinomio P(x), aplicaremos
el teorema del Resto, a todos los divisores del termino independiente
Ejemplo:
3 2Si P x 4x x x Si tiene raíces enteras serán divisores de -4, es decir será alguno de los
números -4, -2, -1, 1, 2, 4Como:
P(-4) = -100 , P(-2) = -24, P(-1) = -10, P(1) = 0, P(2) = 8, P(4) = 60
Se tiene que la única raíz entera de P(x) es 1
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.
Para factorizar un polinomio de grado 2, de la forma:
1) Si la ecuación de P(x) = 0 , no tiene raíces no se puede factorizar.
2) Si la ecuación de P(x) = 0 , tiene r como raíz única P(x) = a.(x-r)2.
3) Si la ecuación de P(x) = 0 , tiene r y s como raíces P(x) = a.(x-r).(x-s).
Ejemplo: 3 2Si P x 2x x x
2P x ax bx c
Para factorizar un polinomio de grado mayor que 2, podemos intentar
factorizar el polinomio aplicando la regla de Ruffini, utilizando divisores
(enteros o algún fraccionario) del término independiente, por lo menos
hasta llegar a un factor de grado 2, y aplicar el punto anterior.
2P x 1 2 1 2 2x x x x x
Aplicando Ruffini para x = 1
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de GAUSS del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/m
atematicas.htm)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/
msadaall/geogebra/)
En la siguiente diapósitiva