Piedras del Neolítico. La figura muestra los restos arqueológicos másantiguos, de los que tenemos noticia, en los que aparecen figuraspoliedrales geométricas. Se trata de unas piedras talladas del neo-lítico (aprox. 2000 a. C.) encontradas en Escocia.

José Ignacio Extremiana Aldana, Luis Javier Hernández Paricio y María Teresa Rivas Rodríguez

POLIEDROS: Arte y vida

Intarsia, 1520. La fi-gura muestra uno delos hermosos trabajosde marquetería rea-lizados por Fra Gio-vanni da Verona enlos que aparecen al-gunos poliedros cuyodiseño está inspiradoen los dibujos deLeonardo.

Modelo cósmico de Kepler. Esta figura muestra unode los modelos construidos por Kepler para explicarsus teorías cosmológicas. En él aparecen los cuerposplatónicos, separados por esferas, representandosucesivamente un primer grupo de planetas fuera dela órbita de la Tierra (el cubo a Saturno, el tetraedroa Júpiter y el dodecaedro a Marte) y un segundogrupo dentro de ella (el icosaedro a Venus y eloctaedro a Mercurio).

Circulación en oblicuo contres vacíos Malevich, 1958.Como en otras de susesculturas, Jorge de Oteizaelige la figura geométrica delcubo como elemento básicocon el que simbolizar larelación metafísica del hom-bre con el cosmos. Intentarecuperar en su obra el sig-nificado esencial que paralos pueblos primitivos teníael arte: ser el vínculo entre elindividuo y el resto del uni-verso.

Un mundo, 1929.En el cuadro quemuestra la figura,Ángeles Santos de-cide pintar el mundocuadrado y no re-dondo para expresarsu diversidad, susesquinas, sus muta-ciones. Para la ar-tista era importantepintarlo todo: lagente dentro y fuerade sus casas, lomaterial y lo espiri-tual; la multipli-cidad de la vida y dela muerte.

Mosaicos vivos. Estos ejemplos muestran la presencia de estructuras poliedrales en la naturaleza. En muchos casos puede apreciarse cómo elnúmero de lados de los polígonos que forman la teselación cambia atendiendo a que la curvatura sea positiva, nula o negativa.

Estrellas de mar

Armadillo

Áspid

Boca ventral de una raya

Colonia de heliozoos

Radiolario

Pez cofre

Virus. Los virus son microorganismos formados por asociacionesorganizadas de macromoléculas, que se caracterizan por poseersolamente un tipo de ácido nucleico, ADN o ARN, pero no amboscomo ocurre en formas superiores de vida. El ácido nucleico quecontiene el material genético está protegido por una capa proteicaque se llama cápside, la cuál está compuesta de numerosassubunidades proteicas sujetas a ciertas simetrías que determinanque la cápside adquiera una estructura poliedral, que varía de unosvirus a otros, lo suficientemente eficaz como para formar un sellocapaz de envolver al ácido. La mayor parte de los virus corres-ponden a dos grupos morfológicos diferenciados: Los de simetríahelicoidal y los de simetría icosaedral.

Las imágenes que aparecen corresponden a un virus denominado con las siglas CCMV (Cowpea Chlorotic Mottle Virus) cuya estructura poliedral es igual a la de un balón de fútbol. La cápside del CCVM consta de 180 subunidades proteicas que tienen una composi ción química idéntica pero la proteína que las forma no adopta la misma conformación geométrica. Matemáticamente, la unidad generadora de la estructura poliedral sería el trímero ABC, que se esquematiza como un triángulo dividido en tres regiones equival entes A, B y C, coloreadas en azul, rojo y verde respectivamente.

Las imágenes que aparecen corresponden a un virus denominadocon las siglas CCMV (Cowpea Chlorotic Mottle Virus) cuyaestructura poliedral es igual a la de un balón de fútbol. La cápsidedel CCVM consta de 180 subunidades proteicas que tienen unacomposición química idéntica pero la proteína que las forma noadopta la misma conformación geométrica. Matemáticamente, launidad generadora de la estructura poliedral sería el trímero ABC,que se esquematiza como un triángulo dividido en tres regionesequivalentes A, B y C, coloreadas en azul, rojo y verde respec-tivamente.Los virus con simetría icosaedraltienen forma esférica y constansiempre de 60T subunidades deestructura formando la cápside. Lamorfología de ésta puede presen-tarse como 60T monómeros o pre-sentarse como 30T dímeros, 20Ttrímeros o conformando 10(T-1)hexámeros y exactamente 12 pen-támeros. Recordemos que el grupode isometrías que preservan laorientación del icosaedro tiene 60elementos y los grupos de isotropíade los vértices, puntos medios delas aristas y centros de las carasson subgrupos cíclidos de orden 5,2, y 3 respectivamente. En el casoconcreto del virus CCMV se tieneque T=3 y aparecen 32 capsómeros(abultamientos o unidades morfo-lógicas de la cápside) que co-rresponden a 12 pentámeros y 20hexámeros, dando lugar exacta-mente a la estructura poliedral deun icosaedro truncado.

Por otra parte, respecto al ácido envuelto por lacápside de los virus (u otro tipo de ácido genético)existen actualmente trabajos encaminados alanálisis de los anudamientos o enlaces topológicosque presenta y sus posibles modificaciones enfenómenos de replicación o en experimentos demanipulación genética. Así, en el estudio mate-mático de los virus se suelen considerar dosestructuras poliedrales: la externa (poliedro de lacápside) y la interna (grafo del ácido) que puedenser analizadas geométrica y topológicamente.

Virus CCMV

Trímero ABC

Estructura geométrica del CCMV

Anudamiento de un ADN

Poliedros. En este trabajo, las palabras poliedro o estructura poliedral se utilizan en un sentido matemático más general que el que habitualmente tienen en geometría,denominando así también a objetos que pueden construirse de un modo menos rígido con piezas sencillas (copias topológicas de discos) de diversas dimensiones. Estospoliedros geométricos o topológicos están presentes en la naturaleza, en el arte y en la ciencia, mostrándose de modo evidente muchas veces y ocultos en otras ocasiones. Subelleza y propiedades los convierten en unos objetos matemáticos fascinantes capaces de inspirar, representar, analizar o desarrollar aspectos importantes de la vida.

Sólidos Platónicos. Los cinco sólidosregulares se denominan así por la aso-ciación que Platón establece en el “Timeo”entre ellos y los elementos fun-damentalesque según los griegos componían eluniverso. En la figura mos-tramos losdibujos de Kepler basados en estaasociación. Los átomos de fuego sontetraedros, los de tierra son cubos, los deaire octaedros y los de agua icosaedros,reservando la única combinación restante,el dodecaedro, para el universo.

Ideas Platónicas. Las ideas expresadas en el diálogo “Timeo”contienen, en nuestra opinión, tres principios que tienen una granimportancia en el desarrollo de la ciencia: La unión de ciencia ybelleza, la aplicación de objetos y reglas matemáticas conocidos aentidades o procesos desconocidos, y la construcción de lacomplejidad a partir de elementos simples.

Melancolía. La fi-gura representa ungrabado de Durero(1471-1528). Estaobra de arte es, anuestro entender, unsímbolo de la uniónentre belleza y cien-cia.

Dalí desnudo en contemplación ante cincocuerpos regulares metamorfoseados en cor-púsculos, en los que apacere repentinamente laLeda de Leonardo cromosomatizada por elrostro de Gala, 1954. Según el propio Dalí, estecuadro plasma su actitud contemplativa ante losmisterios revelados del Universo y su intenciónde desmaterializar plásticamente la materia yespiritualizarla para lograr crear la energía.

Niña con barco (Maya Picasso), 1938. Como enotras obras cubistas predomina el contraste delos objetos y la descomposición poliedral de lasformas, que aquí son deliberadamente simplespara expresar la ingenuidad infantil, contra-pesando con ello el dolor que manifiestan otrascreaciones de Picasso de esta época. Es notablela elección del pentágono, cuyo contenido aúreosimboliza la belleza, para perfilar el rostro de suhija.

Gala mirando el mar Medi-e-rráneoque a veinte metros se transforma enel retrato de Abraham Lincoln,1976. Una te-selación cúbica delespacio permite a Dalí un juego dedistancias que sustenta las suge-rentes imágenes de este cuadro.

Poliedros moleculares. El uso de estructuras poliedrales, más o menos complejas, es cada día más frecuente en el estudio de fenómenos moleculares. Lasimágenes muestran algunos ejemplos concretos.

Otra familia interesante es la de las zeolitas, que tienen importantes aplicaciones industriales yuna elaborada arquitectura microscópica que comentamos a continuación tomando comoejemplo la sílice de fórmula SiO2. Un poliedro asociado se podría formar bajo el criterio deconsiderar como vértices los átomos y como aristas los enlaces. Otro criterio para formararistas y caras es considerar átomos del mismo elemento que sean próximos y coplanarios yque expandan un polígono convexo. De este modo se puede asociar un tetraedro a cada catiónSi++++ y colocar un anión O-- en cada vértice. Si cada uno de estos vértices incide con dostetraedros se obtiene una familia de tetraedros que comparten vértices; esta familia nodetermina una teselación del espacio y una amplia serie de pasillos o canales queda vacía.Retomando el primer criterio (como vértices átomos y como aristas los enlaces), puesto que eloxígeno incide con dos aristas, se elimina, dejando únicamente aristas que conecten átomos desilicio. Aparece así una geometría fantástica en estas zeolitas, que se puede abordar desdediversos puntos de vista. Por ejemplo, considerando teselaciones del espacio por bolas, cuyosbordes son reunión de polígonos de distinto tipo, y se comunican entre sí a través decanalizaciones microscópicas cuyas paredes forman superficies cuyo género tiende al infinito.

Perovskita

Zeolita

Perovskitas y Zeolitas. El grupo de las pe-rovskitas tiene fórmula general ABX3, donde Ay B son cationes y X es un anión (generalmenteoxígeno). Los cationes A ocupan los vérticesde una teselación cúbica del 3-espacio euclídeo.Los baricentros de estos cubos están ocupadospor cationes B. Los aniones X se sitúan en loscentros de las caras; de este modo, en cada cuboéstos expanden un octaedro cuyos vértices sonde tipo X, de manera que en su interior estácontenido un catión B. Es interesante observarque el cubo y el octaedro son poliedros duales,así como la coherencia de la teselación con lafórmula. Si los cationes A son de radio grande,se producen entonces traslaciones horizontalesy verticales que desplazan los aniones de loscentros de las caras, generándose planos alter-nados de cationes y aniones que determinan unapolarización magnética de la perovskita. Encambio, cuando los cationes de tipo A sonpequeños, el octaedro interno puede moverseun poco, lo que permite alcanzar un equilibriomagnético.

Fullerenos. Son compuestos de moléculas de carbonopuro formadas con diferente número de átomos. Suestudio se inició con el descubrimiento en 1985 de lamolécula C60, hecho por el cuál Kroto, Smalley yCurl recibieron el Premio Nobel de Química en 1996.La nueva forma de carbono puro en que cristaliza elC60, diferente de los conocidos diamante o grafito, esexactamente la de un icosaedro truncado; por ello, susdescubridores la llamaron Buckminsterfullereno, enhonor del arquitecto R.B. Fuller, famoso creador denumerosas cúpulas poliedrales. La investigación ac-tual en fullerenos es especialmente rica debido alenorme potencial de aplicación que tienen. La aso-ciación de estructuras poliedrales a estos compuestos,hace que para el estudio de las propiedades de los yasintetizados, e incluso para la predicción de otros, cadadía se utilicen más técnicas matemáticas de tipogeométrico o topológico.

Fullereno C60

R. B. Fuller

Enlace topológico de un fullereno

Una versión más amplia de los contenidos de este póster puede verse en el artículo “Poliedros” que ha sido publicado en el libro “Margarita Mathematica en Memoria de José Javier (Chicho) Guadalupe Hernández”,Servicio de Publicaciones de la Universidad de La Rioja, 2001. También se pueden obtener versiones en color (pdf y html) en http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/index.html.Direcciones electrónicas: jextremi@dmc.unirioja.es, luis-javier.hernandez@dmc.unirioja.es, maria-teresa.rivas@dmc.unirioja.es

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y COMPUTACIÓN

DE LA UNIVERSIDAD DE LA RIOJA