poldirektni produkt grup - university of...

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

LUCIJA ZNIDARIC

POLDIREKTNI PRODUKT GRUP

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA 2014

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

Univerzitetni studijski program 1. stopnje: Dvopredmetni ucitelj

LUCIJA ZNIDARIC

MENTOR: doc. dr. PRIMOZ SPARL

POLDIREKTNI PRODUKT GRUP

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA 2014

Mentorju doc. dr. Primozu Sparlu

Hvala za vodenje, dragocene nasvete in strokovno pomoc pri nastajanjudiplomskega dela.

Druzini in prijateljem

Hvala za vso podporo in razumevanje v casu studija.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Grupe 32.1 Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Podgrupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Direktni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Preslikave grup 103.1 Homomorfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Izomorfizmi in avtomorfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Delovanje grup 144.1 Delovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Delovanje grupe na grupah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Poldirektni produkt grup 185.1 Zunanji poldirektni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Notranji poldirektni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3 Direktni in poldirektni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Poldirektni produkt ciklicnih grup 24

7 Zakljucek 33

Literatura 34

Tabele

6.1 Zaporedja redov grup Z8 oψ Z10. . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Zaporedja redov nekomutativnih grup reda 80. . . . . . . . . . . 286.3 Zaporedja redov grup Z15 oψ Z4. . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.4 Zaporedja redov grup Z15 oψ Z2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Slike

6.1 Posploseni Petersenov graf GP(15,4) . . . . . . . . . . . . . . . 31

Povzetek

V diplomskem delu obravnavamo konstrukcijo grup, imenovano poldirektniprodukt grup. Gre za posplositev direktnega produkta, ki omogoca konstruk-cije precej vecjega nabora grup.

Poiscemo kriterij, kdaj je dana grupa poldirektni produkt grup, in prikazemorazliko med direktnim in poldirektnim produktom. Ogledamo si konkretnezglede poldirektnih produktov grup, osredotocimo se predvsem na poldirektneprodukte ciklicnih grup. Pokazemo tudi, da se poldirektni produkti pojavljajokot grupe simetrij kombinatoricnih objektov, kot so grafi in da je lahko danagrupa izomorfna vecim poldirektnim produktom.

MSC (2010) klasifikacija: 20B25, 20D40, 20F28, 20K25

Kljucne besede: grupa, ciklicna grupa, direktni produkt grup, poldirektniprodukt grup

Abstract

In this BSc thesis we consider a construction of groups called semidirect pro-duct, which is a generalization of direct products. Semidirect products providea much larger collection of groups than direct products.

We find a criterion, which enables us to determine whether a group is iso-morphic to a semidirect product and discuss the difference between direct andsemidirect products. We construct various examples of semidirect productsand in particular semidirect products of cyclic groups. We exemplify that se-midirect group products also take a role as symmetry groups of combinatorialobjects such as graphs.

MSC (2010) classification: 20B25, 20D40, 20F28, 20K25

Key words: group, cyclic group, direct product of groups, semidirect productof groups

Poglavje 1

Uvod

Teorija grup je del abstraktne algebre, ki se ukvarja s proucevanjem algebrskihstruktur, imenovanih grupe. O grupi govorimo, kadar imamo mnozico elemen-tov in na njej definirano dvocleno operacijo, ki ustreza dolocenim lastnostim.Grupe so zanimive ze same po sebi, pomembne so pa tudi zato, ker so sestavnidel bolj kompleksnih algebrskih struktur, kot so kolobarji, polja, vektorski pro-stori, algebre, itd. Njeni rezultati segajo tudi izven okvirov algebre, saj lahkona primer z grupami opisemo tudi simetrije razlicnih matematicnih struktur,kot so geometrijski objekti ali grafi, pojavlja pa se tudi na podrocju topolo-gije, teorije stevil, itd. Studij teorije grup je zaradi tega se posebej zanimiv,saj le-ta na abstraktnem nivoju zdruzi razlicne veje matematike.

Grupe so tako ene izmed najpomembnejsih abstraktnih algebrskih struktur.Pri njihovem proucevanju nas zanimajo njihove lastnosti in struktura. Mate-matiki se ze precej casa ukvarjajo s problemom, kako klasificirati vse koncnegrupe, klasifikacija enostavnih koncnih grup pa je danes ze kompletna, kar po-meni, da poznamo vse enostavne grupe, iz katerih lahko konstruiramo koncnegrupe [1]. Ta problem je torej precej zahteven, zato se vcasih zadovoljimo zes tem, da znamo iz ze znanih grup na nek nacin konstruirati nove. Bazicnakonstrukcija grup izhaja iz njihovega direktnega produkta, ki zajame le ozjidel bogate zbirke grup. V diplomskem delu bomo zato predstavili poldirektniprodukt grup, ki je posplositev direktnega produkta in omogoca konstrukcijocele vrste novih grup, poiskali bomo kriterij za ugotavljanje, kdaj je moc nekodano grupo dobiti kot poldirektni produkt dveh manjsih grup. Nadalje bomopokazali razliko med direktnim in poldirektnim produktom in si ogledali kon-kretne zglede poldirektnih produktov, ki bodo povzeli njegovo bistvo.

Struktura diplomskega dela temelji na petih pomembnejsih sklopih, ki zaob-jamejo njegovo bistvo. V drugem poglavju tako najprej na kratko definiramoosnovne pojme teorije grup, spoznamo strukturo grup ter njihov direktni pro-dukt in s tem postavimo temelje, na katerih bomo gradili novo konstrukcijogrup. Nadalje si v tretjem poglavju ogledamo pojem homomorfizma, izomor-fizma in avtomorfizma grup. Predvsem slednji so izjemnega pomena za poldi-rektni produkt grup. V cetrtem poglavju se posvetimo delovanjem grup.

1

2 POGLAVJE 1. UVOD

V petem poglavju nato vpeljemo pojem poldirektnega produkta in poiscemokriterij za ugotavljanje, kdaj je neka grupa izomorfna poldirektnemu produktudveh manjsih grup. V sestem poglavju poldirektni produkt grup podrobnejepredstavimo na manjsi mnozici grup, to so ciklicne grupe, in pokazemo konkre-tne zglede poldirektnih produktov ciklicnih grup ter njihovo uporabo v teorijigrafov.

Poglavje 2

Grupe

Raznolikost grup se odraza skozi njihovo strukturo in bazicne lastnosti. Vzelji, da bi jih karseda dobro spoznali, bomo najprej definirali osnovne pojme,ki dolocajo te abstraktne algebrske strukture in predstavili njihove kljucneznacilnosti. Spoznali bomo pojem podgrupe in edinke ter predstavili nekajrezultatov, ki bodo bistveni pri razumevanju poldirektnega produkta grup.Na koncu tega poglavja bomo predstavili tudi osnovno konstrukcijo grup, toje direktni produkt grup. Trditve in izreke, ki so morda manj znani, bomodokazali, standardne osnovne rezultate pa bomo prepustili bralcu. Snov tegarazdelka, kot tudi vseh ostalih, je povzeta po [3],[4], [7].

2.1 Osnovni pojmi

Sodobni pristop k abstraktni algebri se pricne z abstraktno definicijo grupe.

Definicija. Grupa je urejeni par (G, ?), kjer je G neprazna mnozica in ? bi-narna (dvoclena) operacija na G, to je, g1 ? g2 ∈ G za vsak g1, g2 ∈ G, ce velja:

1. operacija ? je asociativna na G, to je:(g1 ? g2) ? g3 = g1 ? (g2 ? g3) za vsak g1, g2, g3 ∈ G,

2. obstaja nevtralni element e ∈ G tako, da:g ? e = e ? g = g za vsak g ∈ G,

3. za vsak g ∈ G obstaja inverz g′ ∈ G tako, da:g ? g′ = g′ ? g = e.

Ce je dodatno operacija ? komutativna, to je, ce za vsaka g1, g2 ∈ G veljag1 ? g2 = g2 ? g1, pravimo, da je grupa (G, ?) komutativna.

Opomba. Red grupe G je kardinalno stevilo mnozice G in ga oznacimo z |G|.Kadar je G koncna mnozica, je (G, ?) koncna grupa. Obicajno bomo namesto(G, ?), ce ne bo moznosti za nesporazum, govorili kar o grupi G. Tudi namestog1 ? g2 bomo obicajno pisali kar g1g2.

3

4 POGLAVJE 2. GRUPE

Trditev 2.1 Naj bo G grupa. Tedaj velja:

1. v G obstaja natanko en nevtralni element e ∈ G,

2. za vsak g ∈ G obstaja natanko en inverz g′ ∈ G,

3. (g′)′ = g za vsak g ∈ G,

4. (g1g2)′ = (g2)

′(g1)′,

5. v G veljata pravili krajsanja z leve in z desne, to je:

g1g2 = g1g3 ⇒ g2 = g3 in

g2g1 = g3g1 ⇒ g2 = g3 za vsak g1, g2, g3 ∈ G.

Lahko se torej dogovorimo, da bomo enolicno doloceni inverz elementa g vG oznacili z g−1, enolicno doloceni nevtralni element grupe G pa z e. Ka-dar bomo govorili o vec grupah hkrati, bomo nevtralnemu elementu dodali seoznako grupe tako, da bo na primer nevtralni element grupe G imel oznakoeG, nevtralni element grupe H pa oznako eH .

Definicija. Naj bo S podmnozica grupe G tako, da lahko vsak g ∈ G zapisemokot koncni produkt elementov iz S in njihovih inverzov. Potem pravimo, daje S mnozica generatorjev grupe G, ali drugace, da S generira G, in pisemoG = 〈S〉.

Definicija. Naj bo G grupa in g ∈ G. Red elementa g je najmanjse naravnostevilo n (ce obstaja) tako, da velja gn = e. Oznacimo ga z |g| in pravimo, daje g element reda n. Kadar taksno naravno stevilo n ne obstaja, pravimo, daje g neskoncnega reda, kar oznacimo z |g| =∞.

Definicija. Naj bo G grupa. Ce obstaja g ∈ G, za katerega velja 〈g〉 = G,pravimo, da je G ciklicna grupa. Koncno ciklicno grupo reda n oznacimo s Cn.

Trditev 2.2 Naj bo Cn ciklicna grupa reda n in g ∈ Cn. Ce je Cn = 〈g〉, torejg je element reda n, potem za poljuben r velja, da je Cn = 〈gr〉 natanko tedaj,ko je D(n, r) = 1, to je, ko je gr reda n.

Eulerjeva funkcija ϕ(n) nam da stevilo naravnih stevil, ki so manjsa od narav-nega stevila n in njemu tuja. Velja

ϕ(n) = n(1− p−11 )(1− p−12 ) · · · (1− p−1k ),

kjer so p1, p2, . . . , pk vsi razlicni prastevilski delitelji stevila n, to je n =pr11 p

r22 . . . p

rkk , za r1, r2, . . . , rk ∈ N.

Zgled. Grupa Z∗n je mnozica vseh elementov iz Zn, ki so tuji z n, operacija vgrupi pa je mnozenje po modulu n. Red te grupe je ϕ(n).

2.2. PODGRUPE 5

Zgled. Oglejmo si sedaj nekaj osnovnih standardnih druzin grup.

Ciklicna grupa ZnZn je komutativna grupa, katere elementi so ostanki pri deljenju z n, ki jihsestevamo po modulu n. Red grupe Zn je n.

Tako na primer v grupi Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} velja 5 + 4 = 2.

Dolocili smo, da ciklicno grupo reda n oznacimo s Cn, vendar na tem me-stu uporabljamo drugacno oznako, saj je tokrat operacija v grupi sestevanje, vabstraktni ciklicni pa je operacija multiplikativna. Kar se tice same strukturegrupe pa gre za eno in isto grupo.

Simetricna grupa SASA je mnozica vseh permutacij (bijekcij nase) mnozice A. Kadar je A ={1, 2, 3, . . . , n}, simetricno grupo mnozice A oznacimo s Sn. Operacija v grupije seveda komponiranje preslikav. Grupa Sn je reda n!.

Tako je na primer S3 = {id, (12), (13), (23), (123), (132)}. Dogovorimose, da preslikave vedno komponiramo iz desne proti levi. Tako je na primer(123)(23) = (12).

Diedrska grupa Dn

Diedrsko grupo Dn tvorijo vse simetrije pravilnega n-kotnika, to so rotacije inzrcaljenja, in kompozitumi le-teh. Grupa Dn je podmnozica simetricne grupeSn in je reda 2n. Najznacilnejsa prezentacija diedrske grupe je

Dn = 〈r, z | rn = z2 = e, zrz−1 = r−1〉.

Grupo D4 lahko zato predstavimo kot D4 = 〈r, z | r4 = z2 = e, zrz−1 =r−1〉, torej D4 = {e, r, r2, r3, z, zr, zr2, zr3}, kjer na primer velja (zr)(zr2) =(r3z)(zr2) = (r3zzr2) = r5 = r.

Bralca opozorimo, da je nevtralni element v grupi Zn enak 0, nevtralni elementgrupe Sn, torej identicno preslikavo, pa najveckrat oznacimo z id.

2.2 Podgrupe

Vsaka grupa je v prvi vrsti mnozica, zato vsebuje razlicne podmnozice elemen-tov. V tem razdelku bomo spoznali podmnozice grup, ki imajo se posebej lepeznacilnosti in sicer, da so tudi same zase grupe. Ugotovili bomo, kdaj je nekapodmnozica podgrupa in spoznali nekatere pomembne posebne podgrupe, kijih lahko najdemo v grupi.

6 POGLAVJE 2. GRUPE

Definicija. Naj bo G grupa in H njena neprazna podmnozica. Potem je Hpodgrupa grupe G, kar oznacimo s H ≤ G, ce je grupa za podedovano operacijoiz G.

Trditev 2.3 Neprazna podmnozica H grupe G je njena podgrupa natanko te-daj, kadar za vsak h1, h2 ∈ H velja h1h

−12 ∈ H.

Definicija. Naj bo G grupa, H njena podgrupa in g ∈ G. Mnozico gH ={gh | h ∈ H} imenujemo levi odsek grupe G po podgrupi H. Podobno jeHg = {hg | h ∈ H} desni odsek grupe G po podgrupi H. Mnozico vsehlevih (desnih) odsekov grupe G po podgrupi H imenujemo kvocientna mnozica.Oznacimo jo z G/H. Njeno kardinalnost, torej stevilo levih (desnih) odsekovgrupe G po podgrupi H, oznacimo z [G : H].

Izrek 2.4 (Lagrangeev izrek) Naj bo G koncna grupa in H njena podgrupa.Tedaj velja, da red H deli red G in da je

[G : H] =|G||H|

.

Posledica 2.5 Naj bo G koncna grupa in x ∈ G. Potem red elementa x delired grupe G. Nadalje velja x|G| = e za vsak x ∈ G.

Izrek 2.6 (Cauchyjev izrek). Naj bo G koncna grupa in naj bo p prastevilo,ki deli njen red. Tedaj v G obstaja element reda p.

Trditev 2.7 Naj bo H podgrupa grupe G in naj bosta g1, g2 ∈ G. Mnozicavseh levih (desnih) odsekov grupe G po podgrupi H tvori particijo mnozice G.Nadalje je g1H = g2H natanko tedaj, ko je g−11 g2 ∈ H. V tem primeru stag1 in g2 predstavnika istega odseka. Dva leva (desna) odseka sta bodisi enakabodisi disjunktna.

Definicija. Naj bosta H in K podgrupi grupe G. Definiramo

CH(K) = {h ∈ H | hkh−1 = k, ∀ k ∈ K}.

Mnozico CH(K) imenujemo centralizator podgrupe K v podgrupi H. Kadarje H = G, je

CG(K) = {g ∈ G | gkg−1 = k, ∀ k ∈ K}.

Ker lahko pogoj gkg−1 = k prevedemo na gk = kg, je CG(K) mnozica tistihelementov iz G, ki komutirajo z vsakim elementom iz K. Kadar je tudi K = G,mnozico CG(G) imenujemo center grupe G in jo posebej oznacimo kot Z(G).Torej,

Z(G) = {g ∈ G | gx = xg, ∀x ∈ G}

je mnozica vseh elementov iz G, ki komutirajo z vsemi elementi v G.

Center grupe, Z(G), je podgrupa grupe G, v kar se bo bralec zlahka preprical.Se vec, kadar je G komutativna, je Z(G) = G.

2.2. PODGRUPE 7

Definicija. Naj bo H podgrupa grupe G. Mnozico NG(H) definiramo kotNG(H) = {g ∈ G | gHg−1 = H}, kjer je gHg−1 = {ghg−1 | h ∈ H} in joimenujemo normalizator podgrupe H v grupi G.

Bralec se bo preprical, da je tudi normalizator podgrupe, NG(H), podgrupagrupe G.

Definicija. Naj bo H podgrupa grupe G. Kadar za vsak g ∈ G veljagHg−1 = H, to je, ko velja NG(H) = G, podgrupo H imenujemo edinkagrupe G in pisemo H EG.

Trditev 2.8 Naj bo N podgrupa grupe G. Naslednje trditve so ekvivalentne.

1. N EG

2. gN = Ng za vsak g ∈ G

3. G/N je grupa za operacijo g1Ng2N = g1g2N , kjer g1, g2 ∈ G

Oglejmo si sedaj, kaj lahko povemo o mnozici, ki sestoji iz vseh produktov podveh elementov dveh podgrup poljubne koncne grupe.

Definicija. Naj bosta H in K podgrupi grupe G. Oznacimo

HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K}.

Trditev 2.9 Naj bosta H in K koncni podgrupi grupe G. Potem velja

|HK| = |H||K||H ∩K|

.

Dokaz: HK je unija levih odsekov grupe G po podgrupi K, namrec HK =∪h∈H hK. Ker vsak odsek po K vsebuje |K| elementov, lahko ugotovimo,koliksno je stevilo razlicnih levih odsekov oblike hK, h ∈ H. Torej:

h1K = h2K ⇔ h−12 h1 ∈ H ∩K ⇔ h1(H ∩K) = h2(H ∩K).

Posledicno je stevilo razlicnih odsekov oblike hK enako stevilu razlicnih odse-kov h(H ∩K) za h ∈ H. Po Lagrangeevem izreku je to stevilo enako |H|

|H∩K| .

Zato HK sestavlja |H||H∩K| razlicnih odsekov grupe G po podgrupi K (reda |K|)

in trditev sledi. �

Trditev 2.10 Naj bosta H in K podgrupi grupe G. Velja HK ≤ G natankotedaj, ko HK = KH.

8 POGLAVJE 2. GRUPE

Dokaz: Denimo najprej, da velja HK = KH in naj bosta a, b ∈ HK.Pokazimo, da velja ab−1 ∈ HK in s tem posledicno, HK ≤ G (po trditvi2.3). Naj bo a = h1k1 in b = h2k2, za neke h1, h2 ∈ H, k1, k2 ∈ K. Torej jeb−1 = k−12 h−12 in zato ab−1 = h1k1k

−12 h−12 .

Oznacimo k3 = k1k−12 ∈ K in h3 = h−12 ∈ H. Torej ab−1 = h1k3h3. Po predpo-

stavki velja HK = KH in tako je k3h3 = h4k4 za neka h4 ∈ H, k4 ∈ K. Torejab−1 = h1h4k4 in ker je h1h4 ∈ H, k4 ∈ K, vidimo, da res velja ab−1 ∈ HK,kot smo zeleli.

Pokazimo sedaj se obrat. Predpostavimo, da je HK ≤ G. Ker velja tudi K ≤HK in H ≤ HK, zaradi zaprtosti podgrupe za operacijo velja KH ⊆ HK.Naj bo hk ∈ HK. Ker je HK po predpostavki podgrupa grupe G, lahkopisemo hk = a−1 za nek a ∈ HK. Ce je a = h1k1, potem

hk = (h1k1)−1 = k−1h−1 ∈ KH,

od koder sledi HK ⊆ KH in zato res HK = KH. �

Trditev 2.11 Naj bosta H in K podgrupi grupe G in H ≤ NG(K). Potem jeHK podgrupa grupe G. Ce je torej K EG, je HK ≤ G za vsak H ≤ G.

Dokaz: Pokazimo, da velja HK = KH. Naj bo h ∈ H in k ∈ K. Ker jeH ≤ NG(K), velja hkh−1 ∈ K, zato hk = (hkh−1)h ∈ KH, torej HK ⊆ KH.Podobno je kh = h(h−1kh) ∈ HK, zato KH ⊆ HK.Sledi HK = KH. Ce je K EG, potem velja NG(K) = G in trditev sledi. �

Trditev 2.12 Naj bosta H in K podgrupi grupe G in H ∩K = {e}. Potemlahko vsak element mnozice HK na enolicen nacin zapisemo kot produkt hk,kjer je h ∈ H in k ∈ K.

Dokaz: Naj bosta h1, h2 ∈ H in k1, k2 ∈ K. Ce velja h1k1 = h2k2, jeh−12 h1 = k2k

−11 ∈ H ∩K. Po predpostavki je torej h2 = h1 in k2 = k1. �

2.3 Direktni produkt grup

Sedaj, ko smo definirali osnovne pojme in lastnosti grup, se brz vprasamo, alilahko iz ze znanih grup konstruiramo nove. Odgovor je seveda da. V temrazdelku tako predstavimo osnovno konstrukcijo grup, to je direktni produktgrup, ki je prvi bistveni korak k razumevanju poldirektnega produkta.

Trditev 2.13 Naj bosta (G, ?) in (H, •) grupi. Mnozica urejenih parov kar-tezicnega produkta G×H = {(g, h) | g ∈ G, h ∈ H} je za operacijo (g1, h1)(g2, h2)= (g1 ? g2, h1 • h2) grupa.

Definicija. Naj bosta G in H grupi. Grupo, kot smo jo opisali v zgornjitrditvi, imenujemo direktni produkt grupe G in grupe H in ga oznacimo zG×H.

2.3. DIREKTNI PRODUKT 9

Trditev 2.14 Naj bodo G1, G2, . . . Gn koncne grupe. Potem je direktni produktG1 ×G2 × · · · ×Gn grupa reda |G1||G2| · · · |Gn|.

Trditev 2.15 Naj bosta H in K podgrupi grupe G tako, da velja

1. H EG in K EG,

2. H ∩K = e.

Tedaj je grupa HK izomorfna grupi H ×K.

Opomba. Pojem izomorfizma bomo definirali v naslednjem poglavju. Neko-liko poenostavljeno povedano gre, do poimenovanja natancno, za eno in istogrupo.

Definicija. Naj bosta H in K edinki grupe G s trivialnim presekom. Tedajgrupo HK imenujemo notranji direktni produkt grup H in K, grupi H×K papravimo zunanji direktni produkt grup H in K.

Opomba. Kadar govorimo o zunanjem direktnem produktu, mislimo grupo,ki jo konstruiramo iz dveh danih (znanih) grup, medtem ko z notranjim di-rektnim produktom ugotovimo, da je nasa grupa izomorfna grupi, ki jo lahkokonstruiramo kot direktni produkt. Razlika med zunanjim in notranjim direk-tnim produktom je sicer le v notaciji. Elementi notranjega direktnega produktaso tako oblike hk, medtem ko elemente zunanjega direktnega produkta pisemokot urejene pare (h,k), kjer je h ∈ H, k ∈ K.

Zgled. Oglejmo si direktni produkt grup D4 in Z3, torej D4 × Z3.Grupa D4 × Z3 vsebuje 24 elementov oblike (zirj, k), kjer je i ∈ {0, 1}, j ∈ Z4

in k ∈ Z3. Na prvi komponenti urejenega para imamo tako vse elemente grupeD4, na drugi komponenti pa vse elemente grupe Z3. Nevtralni element grupeje (e, 0). Operaciji iz grup D4 in Z3 se v grupo D4 × Z3 “preneseta” po kom-ponentah. Tako je na primer (zr, 2)(zr2, 0) = (zrzr2, 2 + 0) = (r, 2).

Poglavje 3

Preslikave grup

Pri proucevanju grup se takoj, ko jih bolje spoznamo, vprasamo, kdaj reci,da sta dve na videz razlicni grupi pravzaprav enaki. V tem poglavju bomospoznali razlicne preslikave grup ter definirali, kdaj sta za nas dve grupi enaki.Zanimale nas bodo tudi tovrstne preslikave grup samih nase, saj le-te, kot se boizkazalo, zase tvorijo novo grupo, ki bo v nadaljevanju za nas igrala pomembnovlogo.

3.1 Homomorfizmi grup

Definicija. Naj bosta (G, ?) in (H, ◦) grupi. Preslikavo ψ : G→ H , za katerovelja

ψ(x ? y) = ψ(x) ◦ ψ(y) za vse x, y ∈ G,

imenujemo homomorfizem grup.

V skladu z nasim dogovorom, da pri splosnih grupah znak za operacijo spuscamo,se enakost iz zgornje definicije prevede v

ψ(xy) = ψ(x)ψ(y).

Definicija. Naj bo ψ : G → H homomorfizem grup. Jedro homomorfizma ψ(oznaka Ker(ψ)) je mnozica Ker(ψ) = {g ∈ G | ψ(g) = eH}. Slika homomor-fizma ψ (oznaka Im(ψ)) je mnozica Im(ψ) = {h ∈ H | h = ψ(g) za nek g ∈G}.

Trditev 3.1 Naj bosta G in H grupi in ψ : G → H homomorfizem grup.Tedaj velja naslednje:

1. ψ(eG) = eH ,

2. ψ(g−1) = ψ(g)−1 za vsak g ∈ G,

3. ψ(gn) = ψ(g)n za vsak n ∈ Z,

4. Ker(ψ)EG in Im(ψ) ≤ H.

10

3.2. IZOMORFIZMI IN AVTOMORFIZMI 11

Trditev 3.2 Naj bosta G in H grupi. Potem je preslikava ψ : G → H, zakatero velja ψ(g) = eH za vsak g ∈ G, homomorfizem grup.

Opomba. Homomorfizem, kot smo ga opisali v zgornji trditvi, imenujemotrivialni homomorfizem grup.

Trditev 3.3 Naj bo ψ : G → H homomorfizem grup. Ce je x ∈ G koncnegareda, potem je tudi ψ(x) koncnega reda in red elementa ψ(x) ∈ H deli redelementa x.

Dokaz: Naj bo |x| = r. Potem je xr = e, od koder po trditvi 3.1 slediψ(x)r = ψ(xr) = ψ(e) = e. Torej je tudi ψ(x) koncnega reda in po posledici2.5 deli red elementa x.

3.2 Izomorfizmi in avtomorfizmi grup

Kot smo ze omenili, se brz, ko grupe bolje spoznamo, vprasamo, kdaj reci, dasta dve na videz razlicni grupi pravzaprav enaki. To doloca pojem izomorfizmagrup.

Definicija. Naj bosta G in H grupi. Preslikava ψ : G → H je izomorfizemgrup, kadar velja:

1. ψ je homomorfizem grup, to je, ψ(xy) = ψ(x)ψ(y) za vsak x, y ∈ G in

2. ψ je bijekcija.

Opomba. Kadar obstaja izomorfizem grup ψ : G→ H, pravimo, da sta grupiG in H izomorfni, kar oznacimo z G ∼= H. Grupe najveckat proucujemo doizomorfizma natancno.

Izrek 3.4 (Izrek o izomorfizmu). Naj bo ψ : G → H homomorfizem grup.Potem je G/Ker(ψ) ∼= Im(ψ).

Oglejmo si sedaj posebno vrsto izomorfizmov grup, namrec taksnih, ko izo-morfizem preslika grupo samo nase.

Definicija. Naj bo G grupa. Izomorfizem ψ : G → G, ki preslika grupo Gsamo vase, imenujemo avtomorfizem grupe G.

Trditev 3.5 Mnozica vseh avtomorfizmov grupe G, Aut(G), je za operacijokompozituma preslikav grupa.

Definicija. Grupo, opisano v zgornji trditvi, imenujemo grupa avtomorfizmovgrupe G.

Dokaz: Ker je vsak avtomorfizem grupe G bijekcija na G, gre za permutacijena G, torej je Aut(G) podmnozica simetricne grupe SG. Zato je dovolj pre-veriti, da je Aut(G) ≤ SG. Naj bosta ψ, φ : G → G avtomorfizma grupe G.

12 POGLAVJE 3. PRESLIKAVE GRUP

Jasno je, da je kompozitum bijekcij bijekcija, zato je tudi ψ ◦ φ bijekcija. Kerza vsak g, h ∈ G velja

(ψ ◦ φ)(gh) = ψ(φ(gh))

= ψ(φ(g)φ(h))

= ψ(φ(g))ψ(φ(h))

= (ψ ◦ φ)(g)(ψ ◦ φ)(h),

je ψ◦φ homomorfizem grupe G. Torej je tudi ψ◦φ avtomorfizem grupe G. Kerje ψ avtomorfizem, je tudi bijekcija in zato obstaja inverzna preslikava ψ−1, kije ravno tako bijekcija. Prepricati se moramo le se, da je ψ−1 homomorfizem,in s tem avtomorfizem grupe G. Naj bosta x, y ∈ G, za katera velja, da jex = ψ−1(g) in y = ψ−1(h) za poljubna elementa g, h ∈ G. Od tod sledi, da jeψ(x) = g in ψ(y) = h. Torej ψ−1(gh) = ψ−1(ψ(x)ψ(y)) = ψ−1(ψ(xy)) = xy =ψ−1(g)ψ−1(h), od koder sledi, da je ψ−1 ∈ Aut(G). �

Za konec tega razdelka si oglejmo za nas se posebej zanimiv primer grupe av-tomorfizmov.

Trditev 3.6 Grupa avtomorfizmov ciklicne grupe Zn je izomorfna multiplika-tivni grupi Z∗n reda ϕ(n), kjer je ϕ Eulerjeva funkcija.

Dokaz: Naj bo ψ ∈ Aut(Zn). Tedaj je ψ(1) = a za nek a ∈ Zn. Ker je ψhomomorfizem, velja

ψ(i) = ψ(1) + ψ(1) + · · ·+ ψ(1)︸︷︷︸i

= ia.

Torej je avtomorfizem ψ z vrednostjo ψ(1) natanko dolocen. Ker je ψ avtomor-fizem, po trditvi 3.1 ohranja rede elementov, torej je |1| = |ψ(1)| = n. Tako je〈ψ(1)〉 = Zn, od koder po trditvi 2.2 sledi D(ψ(1), n) = 1 in zato ψ(1) ∈ Z∗n.Pokazimo, da je τ : Aut(Zn) → Z∗n, kjer je τ(ψ) = ψ(1), izomorfizem grup. τje homomorfizem grup, saj za ψ, φ ∈ Aut(Zn), kjer ψ(1) = a in φ(1) = b, velja

τ(ψ ◦ φ) = (ψ ◦ φ)(1)

= ψ(φ(1))

= ψ(b)

= ψ(1) + ψ(1) + . . . ψ(1)︸︷︷︸b

= ab

= ψ(1)φ(1)

= τ(ψ)τ(φ).

Preslikava τ je injektivna, kajti

τ(ψ) = τ(φ) ⇒ ψ(1) = φ(1)

⇒ ψ(i) = iψ(1) = iφ(1) = φ(i)

⇒ ψ = φ.

3.2. IZOMORFIZMI IN AVTOMORFIZMI 13

Pokazimo sedaj se, da je τ tudi surjektivna preslikava. Naj bo a ∈ Z∗n. Defini-rajmo ψ : Zn → Zn tako, da velja i 7→ ai in pokazimo, da je ψ avtomorfizem.ψ(i + j) = a(i + j) = ai + aj = ψ(i) + psi(j), torej je ψ homomorfizem grup.Da je ψ injektiven, sledi iz dejstva D(a, n) = 1. Torej je ψ tudi surjektivenin zato ψ ∈ Aut(Zn). Ker je τ(ψ) = a, je τ surjektivna preslikava in trditevsledi. �

Poglavje 4

Delovanje grup

Grupe lahko manipulirajo z razlicnimi mnozicami. Manipulaciji, ki poteka poddolocenimi pogoji, pravimo delovanje. V drugem poglavju smo ze omenili, dadiedrsko grupo Dn tvorijo simetrije pravilnega n-kotnika. Z drugimi besedamipovedano, grupa Dn deluje na pravilni n-kotnik tako, da vsak element grupepremika njegova vozlisca in s tem implicira simetrije. V tem razdelku bomodelovanje grup spoznali v sposnem. Nadalje si bomo ogledali tudi, na kaksennacin lahko grupa naravno deluje sama na sebi, obravnavali pa bomo tudipomemben zgled delovanja ene grupe na drugi, ki bo igralo kljucno vlogo vnaslednjem poglavju.

4.1 Delovanje

Definicija: Delovanje grupe G na mnozici A je preslikava · : G×A→ A (kjernamesto ·(g, a) pisemo g · a), ki zadosca naslednjima pogojema:

1. e · a = a za vsak a ∈ A,

2. g1 · (g2 · a) = (g1g2) · a za vsak g1, g2 ∈ G in vsak a ∈ A.

Opomba. Bralca velja opomniti, da je delovanje, kot smo ga opisali zgoraj,v bistvu levo delovanje grupe na mnozici. Grupa lahko na neki mnozici delujetudi z desne strani, kar imenujemo desno delovanje grupe in ga definiramopodobno kot levo delovanje. Mi se bomo v nadaljevanju opredelili na levodelovanje.

Trditev 4.1 Naj grupa G deluje na mnozici A. Potem za vsak g ∈ G velja:

1. preslikava σg : A→ A, kjer je σg(a) = g · a, je bijekcija in

2. preslikava ψ : G→ SA, definirana kot ψ(g) = σg, je homomorfizem grup.

14

4.2. DELOVANJE GRUPE NA GRUPAH 15

Dokaz: Da se prepricamo, da je σg bijekcija mnozice A, je dovolj, ce pokazemo,da ima preslikava obojestranski inverz σg−1 . Za vsak a ∈ A velja

(σg−1 ◦ σg)(a) = σg−1(σg(a))

= g−1 · (g · a)

= (g−1g) · a= e · a = a.

Vidimo, da je (σg−1 ◦ σg) trivialna preslikava A→ A. Ker je g poljuben, lahkovlogi g in g−1 zamenjamo in se tako zlahka prepricamo, da je tudi (σg ◦ σg−1)trivialna preslikava na A. Sledi, da ima σg obojestranski inverz, zato je bijekcijana A.Oglejmo si sedaj se preslikavo ψ : G → SA, kjer je ψ(g) = σg. Po prvitocki je σg ∈ SA. Pokazimo, da je ψ homomorfizem grup, to je, da veljaψ(g1g2) = ψ(g1) ◦ ψ(g2). Pri tem se spomnimo, da je operacija v grupi SAkomponiranje preslikav.Torej za vsak a ∈ A velja

(ψ(g1g2))(a) = σg1g2(a)

= (g1g2) · a= g1 · (g2 · a)

= σg1(σg2(a))

= (σg1 ◦ σg2)(a)

= (ψ(g1) ◦ ψ(g2))(a).

Torej je ψ res homomorfizem grup. �

Trditev 4.2 Preslikava G × A → A, definirana kot g · a = a za vsak g ∈ G,a ∈ A, je delovanje grupe G na mnozici A.

Da je tako definirana preslikava res delovanje, se bo preprical bralec sam.

Definicija. Naj grupa G deluje na neprazni mnozici A tako, da g · a = a zavsak g ∈ G, a ∈ A. Taksno delovanje imenujemo trivialno delovanje, oziromapravimo, da G na A deluje trivialno.

4.2 Delovanje grupe na grupah

Grupa lahko podobno kot na poljubno mnozico, naravno deluje tudi samanase. Eno izmed taksnih delovanj je konjugiranje v grupi, ki si ga bomo sedajpoblize ogledali.

Trditev 4.3 Naj bo G grupa. Konjugiranje v G je delovanje grupe G samenase. To je, ce za vsak g, a ∈ G definiramo g · a = gag−1, smo s tem definiralidelovanje grupe G na mnozici G.

16 POGLAVJE 4. DELOVANJE GRUP

Dokaz: Prepricajmo se, da predpis g · a = gag−1 res doloca delovanje grupeG na mnozici G. Velja

e · a = eae−1 = a

in

g1 · (g2 · a) = g1 · (g2ag−12 ) = g1(g2ag−12 )g−11 = (g1g2)a(g1g2)

−1 = (g1g2) · a

za vsak g1, g2, a ∈ G in trditev sledi. �

Izrek 4.4 Naj bo N edinka in H podgrupa grupe G. Tedaj H naravno delujena N s konjugiranjem, kjer za vsak h ∈ H in n ∈ N definiramo

h · n = hnh−1.

Za vsak h ∈ H je konjugiranje s h avtomorfizem edinke N in tako nam to de-lovanje porodi homomorfizem iz podgrupe H v grupo Aut(N) z jedrom CH(N).Nadalje je kvocientna grupa G/CH(N) izomorfna podgrupi grupe Aut(N).

Dokaz: Ker je N edinka v grupi G, je h · n ∈ N za vsak h ∈ H, n ∈ N . Dazgornji predpis definira delovanje podgrupe H na edinki N , se sedaj dokazepovsem podobno, kot v dokazu trditve 4.3. Po trditvi 4.1 je preslikava σh :N → N , kjer je σh(n) = h · n, bijekcija. Vsak σh je homomorfizem N → N ,saj za vsak n1, n2 ∈ N velja

σh(n1n2) = h(n1n2)h−1

= hn1(h−1h)n2h

−1

= (hn1h−1)(hn2h

−1)

= σh(n1)σh(n2).

Torej je σh avtomorfizem edinke N . Po trditvi 4.1 je ψ : H → SN , definirankot ψ(h) = σh, homomorfizem grup. Po prejsnji opazki je slika preslikave ψvsebovana v podgrupi Aut(N) grupe SN . Koncno,

Ker(ψ) = {h ∈ H | σh = id}= {h ∈ H | hnh−1 = n ∀n ∈ N}= CH(N).

Po izreku o izomorfizmu potem neposredno sledi, da je kvocientna grupaG/CH(N) izomorfna podgrupi grupe Aut(N). �

Zgled. Naj bo N = 〈r〉 E D9 = 〈r, z | r9 = z2 = e, zrz−1 = r−1〉 inH = 〈r3, z〉 ≤ D9. Oglejmo si delovanje podgrupe H na edinko N s konjugira-njem, to je h · n = hnh−1 za vsak h ∈ H, n ∈ N . To delovanje nam po trditvi4.4 doloca homomorfizem iz H v grupo Aut(N), oznacimo ga s ψ. Ker jeN ∼= C9, je Aut(N) ∼= Z∗9 ∼= Z6. Jedro homomorfizma ψ : H → Aut(N)je CH(N) = {h ∈ H | hnh−1 = n ∀n ∈ N} = {e, r3, r6}. Potem jeH/CH(N) = {CH(N), zCH(N)} ∼= Z2. Res, vsak h ∈ CH(N) na N delujetrivialno in zato ψ(n) = n za vsak n ∈ N . Vsak h ∈ zCH(N) = {z, zr3, zr6}

4.2. DELOVANJE GRUPE NA GRUPAH 17

pa deluje na N tako, da hnh−1 = n−1 in zato ψ(n) = n−1 za vsak n ∈ N .

Naslednja trditev je za nas najpomembnejsi rezultat tega poglavja, saj je bi-stvenega pomena za razumevanje poldirektnega produkta grup, ki ga bomospoznali v naslednjem poglavju.

Trditev 4.5 Naj bosta H in N grupi in naj bo ψ : H → Aut(N) homomor-fizem grup. Tedaj lahko definiramo delovanje H na N s predpisom h · n =(ψ(h))(n) za vsak h ∈ H, n ∈ N .

Dokaz: Ker je ψ homomorfizem grup, je h · n = (ψ(h))(n) ∈ N . Nadaljeje po trditvi 3.1 e · n = (ψ(e))(n) = n za vsak n ∈ N . Ker velja se, da jeh1 · (h2 · n) = h1 · ((ψ(h2))(n)) = (ψ(h1))((ψ(h2))(n)) = ((ψ(h1)ψ(h2))(n) =((ψ(h1h2))(n) = (h1h2) · n za vsak h1, h2 ∈ H in vsak n ∈ N , je to res delova-nje. �

Definicija. V primeru iz trditve 4.5 bomo rekli, da gre za naravno levo delo-vanje grupe H na grupi N .

Zgled. Oglejmo si sedaj naravno levo delovanje grupe Z4 na grupi Z3.Naj bo ψ : Z4 → Aut(Z3) homomorfizem grup. Tedaj lahko definiramo de-lovanje grupe Z4 na grupi Z3 s predpisom j · i = (ψ(j))(i) za vsak j ∈ Z4,i ∈ Z3. Po trditvi 3.6 vemo, da je Aut(Z3) ∼= Z∗3 ∼= Z2. Edini netrivialnihomomorfizem ψ je tedaj podan s predpisom (ψ(j))(i) = (−1)j · i, pripadajocenaravno delovanje Z4 na Z3 pa je j · i = (−1)ji.

Poglavje 5

Poldirektni produkt grup

Spoznali smo ze najosnovnejso konstrukcijo grup, ki iz danih grup konstruiranove, namrec direktni produkt, vendar nam ta se zdalec ne omogoca sirsegavpogleda v celotno zbirko grup. Poldirektni produkt grup je posplositev direk-tnega produkta in nam omogoca konstrukcijo grup, ki jih zgolj s konstrukcijodirektnega produkta ne dobimo. V tem poglavju bomo tako najprej predstavilizunanji poldirektni produkt grup, katerega izhodisce sta dve dani grupi, iz ka-terih konstruiramo novo grupo, nato pa bomo besedo namenili se notranjemupoldirektnemu produktu, ki nam v bistvu pove, kdaj je dana grupa poldirektniprodukt dveh grup. V splosnem sta notranji in zunanji produkt ekvivalentna,velja namrec podobno kot smo omenili ze pri direktnem produktu, in ju lahkoskupaj poimenujemo poldirektni produkt grup. Na koncu tega poglavja bomopokazali tudi, kaksna je razlika med direktnim in poldirektnim produktomgrup.

5.1 Zunanji poldirektni produkt grup

Oglejmo si najprej, kako iz dveh danih grup konstruiramo njun poldirektniprodukt.

Izrek 5.1 Naj bosta N in H grupi in ψ homomorfizem grup, ki slika iz grupeH v grupo Aut(N) avtomorfizmov grupe N . Naj · oznacuje naravno levo de-lovanje grupe H na grupi N , doloceno s ψ. Naj bo G mnozica urejenih parov(n, h), kjer je n ∈ N in h ∈ H, to je G = N × H. Definirajmo operacijomnozenja v G takole:

(n1, h1)(n2, h2) = (n1 (h1 · n2), h1h2).

Potem velja:

1. G je za definirano operacijo mnozenja grupa reda |G| = |N ||H|.

2. Mnozici N = {(n, e) | n ∈ N} in H = {(e, h) | h ∈ H} sta podgrupigrupe G. Preslikavi n 7→ (n, e) za n ∈ N in h 7→ (e, h) za h ∈ H sta

izomorfizma teh podgrup z grupama N in H, to je N ∼= N in H ∼= H.

18

5.1. ZUNANJI POLDIREKTNI PRODUKT 19

3. N EG in N ∩ H = {(e, e)}.

4. Za vsak n = (n, e) ∈ N in h = (e, h) ∈ H velja hnh−1 = (h · n, e) =((ψ(h))(n), e).

Dokaz:Najprej pokazimo, da je G za dano operacijo mnozenja, pri cemer upostevamo,da · oznacuje levo delovanje grupe H na grupi N , doloceno s ψ, res grupa.

Grupa G je zaprta za dano operacijo, saj za poljubna (n1, h1) in (n2, h2) velja

(n1, h1)(n2, h2) = (n1 (h1 · n2), h1h2) = (n1((ψ(h1))(n2)), h1h2) ∈ N ×H,ker je ((ψ(h1))(n2)) ∈ N in h1h2 ∈ H.

Operacija je asociativna:Za poljubne (n1, h1), (n2, h2), (n3, h3) ∈ G velja sledece:

((n1, h1)(n2, h2))(n3, h3) = (n1(h1 · n2), h1h2)(n3, h3)

= (n1(h1 · n2)((h1h2) · n3), h1h2h3)

= (n1(h1 · n2)(h1 · (h2 · n3)), h1h2h3)

= (n1((ψ(h1))(n2)((ψ(h1))(h2 · n3))), h1h2h3)

= (n1((ψ(h1))(n2(h2 · n3))), h1h2h3)

= (n1(h1 · (n2(h2 · n3))), h1h2h3)

(n1, h1)((n2, h2)(n3, h3)) = (n1, h1)(n2(h2 · n3), h2h3)

= (n1(h1 · (n2(h2 · n3))), h1h2h3)

Sledi: ((n1, h1)(n2, h2))(n3, h3) = (n1, h1)((n2, h2)(n3, h3)).

Obstoj nevtralnega elementa v G:Za vsak (n, h) ∈ G velja:

(n, h)(e, e) = (n(h · e), he) = (n(ψ(h))(e), h) = (ne, h) = (n, h)

(e, e)(n, h) = (e(e · n), eh) = (en, h) = (n, h)

Sledi, da je (e, e) ∈ G nevtralni element v G.

Obstoj inverznih elementov v G:Za vsak element (n, h) ∈ G obstaja njegov obrat (n, h)−1 ∈ G, kjer je (n, h)−1 =(h−1 · n−1, h−1), saj

(n, h)(h−1 · n−1, h−1) = (n(h · (h−1 · n−1)), hh−1)= (n((hh−1) · n−1)), e)= (n(e · n−1)), e)= (nn−1, e)

= (e, e)

20 POGLAVJE 5. POLDIREKTNI PRODUKT GRUP

in

(h−1 · n−1, h−1)(n, h) = ((h−1 · n−1)(h−1 · n), h−1h)

= ((ψ(h−1))(n−1n), e)

= ((ψ(h−1))(e), e)

= (e, e)

Torej je (n, h)−1 = (h−1 · n−1, h−1) ∈ G res obrat za (n, h) ∈ G.Pokazali smo, da je G za definirano operacijo res grupa. Da velja |G| = |N ||G|sledi neposredno iz G = N ×H. S tem je prva tocka dokazana.

Za vsaka (n1, e), (n2, e) ∈ N in (e, h1), (e, h2) ∈ H velja

(n1, e)(n2, e) = (n1(e · n2), ee) = (n1n2, e) ∈ N

(e, h1)(e, h2) = (e(h1 · e), h1h2) = (e, h1h2) ∈ H.

Tako vidimo, da je ocitno, da sta N in H podgrupi grupe G in da sta preslikavin 7→ (n, e) za n ∈ N in h 7→ (e, h) za h ∈ H izomorfizma grup.

Trivialnost preseka N ∩ H sledi neposredno iz definicije (N = {(n, e) | n ∈N} in H = {(e, h) | h ∈ H}). Oglejmo si sedaj, cemu je enak produkt

(e, h)(n, e)(e, h)−1, kjer (n, e) ∈ N in (e, h), (e, h)−1 = (e, h−1) ∈ H.

(e, h)(n, e)(e, h)−1 = (h · n, h)(e, h−1)

= ((h · n)(h · e), hh−1)= (h · n, e)= ((ψ(h))(n), e) ∈ N .

Pokazali smo, da je H ≤ NG(N). Hkrati vemo, da velja G = NH in N ≤NG(N). Torej je NG(N) = G in zato je N EG. �

Definicija. Naj bosta N in H grupi in naj bo ψ homomorfizem iz grupe H vgrupo Aut(N). Grupo G, kot smo jo opisali v izreku 5.1, imenujemo (zunanji)poldirektni produkt grup N in H, dolocen s ψ. Oznacimo ga z N oψ H (kadarni nevarnosti, da bi prislo do zmede, ga oznacimo kar z N oH).

Zgled. Oglejmo si poldirektni produkt grup Z3oψZ4, kjer je edini ψ netrivialnihomomorfizem iz zgleda v razdelku 4.2. Dobimo torej grupo reda 12, ki nikomutativna, saj na primer (1, 1)(1, 2) = (1 + (−1), 3) = (0, 3) 6= (2, 3) =(1, 2)(1, 1). Po izreku 5.1 iz [8] sledi, da je Z3 oψ Z4 izomorfna grupi T .

5.2. NOTRANJI POLDIREKTNI PRODUKT 21

5.2 Notranji poldirektni produkt grup

V prejsnjem razdelku smo videli, kako iz danih grup konstruiramo njun pol-direktni produkt, sedaj pa nas zanima se, kako ugotovimo, ali je dana grupaizomorfna kaksnemu poldirektnemu produktu.

Izrek 5.2 Naj bo G grupa in naj bosta N ter H njeni podgrupi tako, da velja:

1. N EG in

2. N ∩H = 1.

Naj bo ψ : H → Aut(N) homomorfizem grup, ki je definiran tako, da pre-slika element h ∈ H v avtomorfizem grupe N , podan z levim konjugiranjemh na N , to je (ψ(h))(n) = hnh−1. Potem je NH podgrupa grupe G in veljaNH ∼= N oϕ H. Ce je torej G = NH, je G (notranji) poldirektni produkt Nin H.

Dokaz: Po izreku 5.1 lahko formiramo poldirektni produkt NoψH. Po trditvi2.11 je NH ≤ G. Pokazimo, da sta grupi NH in N oψ H izomorfni.Ker je N ∩ H = 1, lahko, po trditvi 2.12, vsak element grupe NH zapisemona en sam nacin v obliki nh, kjer je n ∈ N in h ∈ H. Torej obstaja naravnabijekcija, oznacimo jo s τ , med NH in zbirko urejenih parov (n, h) ∈ N oψH,podana z nh 7→ (n, h) tako, da lahko N vidimo kot mnozico elementov oblike(n, e) in H kot mnozico elementov oblike (e, h). Prepricajmo se, da je bijekcijaτ : NH → N oψ H homomorfizem grup (torej izomorfizem grup). Naj bostan1h1, n2h2 ∈ NH. Tedaj njun produkt v G zapisemo kot

(n1h1)(n2h2) = n1h1n2(h−11 h1)h2

= n1(h1n2h−11 )h1h2

= n3h3,

kjer je n3 = n1(h1n2h−11 ) in h3 = h1h2. Ker je N EG, velja h1n2h

−11 ∈ N , zato

n3 ∈ N in h3 ∈ H. Upostevamo, da ψ doloca levo delovanje H na N , to je,h · n = hnh−1, od koder sledi

(n1h1)(n2h2) = (n1(h1 · n2))(h1h2).

S tem smo pokazali, da je omenjena bijekcija τ homomorfizem, saj

τ((n1h1)(n2h2)) = τ((n1(h1 · n2))(h1h2))

= (n1(h1 · n2), h1h2)

= (n1, h1)(n2, h2)

= τ(n1h1)τ(n2h2).

Sledi NH ∼= N oψ H. �

22 POGLAVJE 5. POLDIREKTNI PRODUKT GRUP

Zgled. Oglejmo si sedaj grupo A4.Bralec bo preveril, da jeN = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ∼= Z2×Z2 edinkav A4. Ker je H = 〈(123)〉 ∼= Z3, je po Lagrangevem izreku N ∩ H = {id} inpo trditvi 2.9 je A4 = NH. Po izreku 5.2 sledi, da je A4

∼= (Z2 × Z2) o Z3.

5.3 Direktni in poldirektni produkt grup

V tem razdelku bomo razresili vprasanje o tem, kdaj je poldirektni produktdveh grup kar njun direktni produkt.

Trditev 5.3 Na bosta N in H grupi in ψ : H → Aut(N) homomorfizem grup.Potem so naslednje trditve ekvivalentne.

1. Identicna preslikava med N oψ H in N ×H je izomorfizem grup.

2. ψ je trivialni homomorfizem.

3. H EN oψ H, kjer je H = {(e, h) | h ∈ H}.

Dokaz:1 .⇒ 2 .Po definiciji je operacija v grupi N oψ H enaka

(n1, h1)(n2, h2) = (n1(h1 · n2), h1h2)

za vsak n1, n2 ∈ N in vsak h1, h2 ∈ H. Po predpostavki 1. velja

(n1, h1)(n2, h2) = (n1n2, h1h2),

zato (n1(h1 · n2), h1h2) = (n1n2, h1h2), od koder sledi, da velja h1 · n2 = n2

za vsak n2 ∈ N in vsak h1 ∈ H. Torej H deluje na N trivialno, od koderneposredno sledi 2.2 .⇒ 3 .Ce je ψ trivialni homomorfizem, potem je delovanje H na N trivialno in takopo definiciji mnozenja v N oψH elementi podgrup N = {(n, e) | n ∈ N} in H

med seboj komutirajo. Tako N ocitno normalizira H, od koder H EN oψ H.3 .⇒ 1 .Po predpostavki je H EN oψ H. Element nhn−1 je po definiciji enak

(n(ψ(h))(n−1), h), po drugi strani pa je to v H (ker je slednja edinka). Takomora biti nhn−1 enako (e, h) = h, to je, h in n komutirata. Zato je operacijav poldirektnem produktu enaka operaciji v direktnem produktu grup N in H.Od tod sledi 1., s cimer je trditev dokazana. �

Definicija. Poldirektni produkt grup, pri katerem velja ena in zato vse tritocka zgornje trditve 5.3, imenujemo trivialni poldirektni produkt, za vse ostalepa recemo, da so netrivialni poldirektni produkti.

Posledica 5.4 Netrivialni poldirektni produkt dveh grup je nekomutativna grupa.

5.3. DIREKTNI IN POLDIREKTNI PRODUKT 23

Dokaz: Naj bosta N,H grupi in N oψ H njun poldirektni produkt, kjer jeψ : H → Aut(N) nek netrivialni homomorfizem grup. Ce je N oψ H komuta-

tivna grupa, potem so vse njene podgrupe edinke, torej je tudi H edinka. Potrditvi 5.3 sledi, da je ψ trivialni homomorfizem grup, kar je v protislovju spredpostavko. �

Zgled. Edini poldirektni produkt grup (Z2 × Z2) o Z5 je direktni produkt(Z2×Z2)×Z5. Bralec bo preveril, da je namrec Aut(Z2×Z2) ∼= S3, po izrekuo izomorfizmu pa ne obstaja noben netrivialni homomorfizem, ki slika iz Z5 vS3.

Poglavje 6

Poldirektni produkt ciklicnihgrup

V tem poglavju, katerega glavni cilj je prikazati konkretno uporabo poldi-rektnega produkta, se bomo v celoti posvetili poldirektnemu produktu dvehciklicnih grup. Pokazali bomo, kako ze s pomocjo poldirektnega produktaciklicnih grup najdemo nove grupe, ki ne pripadajo kaksni osnovni standar-dni druzini grup ali direktnemu produktu in jih hkrati ne moremo dobiti kotdirektni produkt taksnih grup. Spoznali bomo, kdaj je poldirektni produktgrup izomorfen diedrski grupi, predstavili pa bomo tudi, kako lahko poldirek-tni produkt nastopa kot grupa simetrij objekta. Za zacetek si oglejmo, kaksniso potrebni pogoji, da lahko iz dveh ciklicnih grup kot poldirektni produktkonstruiramo neko nekomutativno grupo.

Trditev 6.1 Naj bosta n,m ∈ N. Tedaj obstaja netrivialni poldirektni produktZn o Zm natanko tedaj, ko je D(m,ϕ(n)) > 1.

Dokaz: Po trditvi 5.3 obstaja netrivialni poldirektni produkt ZnoZm natankotedaj, ko obstaja netrivialni homomorfizem grup ψ : Zm → Aut(Zn). Naj box generator grupe Zm.Predpostavimo najprej, da je ψ : Zm → Aut(Zn) netrivialni homomorfizem.Potem velja ψ(x) 6= 1Aut(Zn) in posledicno |ψ(x)| > 1. Ker je ψ homomorfi-zem grup, po trditvi 3.3, |ψ(x)| deli |x|. Hkrati po Lagrangeevem izreku velja,da |ψ(x)| deli |Aut(Zn)|. Zaradi 〈x〉 = Zm, je |x| = m. Po trditvi 3.6 je|Aut(Zn)| = ϕ(n), kjer je ϕ Eulerjeva funkcija. Torej |ψ(x)| > 1 deli m inϕ(n), od koder sledi D(m,ϕ(n)) > 1.

Obratno sedaj predpostavimo, da velja D(m,ϕ(n)) > 1. Potem obstajaprastevilo p, ki deli D(m,ϕ(n)) > 1. Posledicno p deli m (torej p deli |Zm|) inp deli ϕ(n) (torej p deli |Aut(Zn)|). Po Cauchyjevem izreku tedaj v Aut(Zn)obstaja element α, ki je reda p. Torej obstaja netrivialni homomorfizem grupψ : Zm → Aut(Zn) tako, da ψ : 1 7→ α. Po izreku o izomorfizmu sledi, da jeZm/Ker(ψ) ∼= Zp. Ker(ψ) je tedaj seveda ciklicna podgrupa reda m/p, ki jeedinka grupe Zm. �

24

25

Trditev 6.2 Naj bo n ≥ 3 in ψ : Z2 → Aut(Zn) tisti homomorfizem grup,za katerega je (ψ(1))(i) = −i za vsak i ∈ Zn. Potem je poldirektni produktZn oψ Z2 izomorfen grupi Dn.

Dokaz: Naj bo 〈r〉EDn edinka indeksa 2 in 〈z〉 ≤ Dn podgrupa reda 2. Po-tem je 〈r〉 ∼= Zn in 〈z〉 ∼= Z2. Po izreku 5.2 sledi, da je Dn

∼= Zn oψ Z2. Ker jezrz = r−1, konjugiranje z elementi iz 〈z〉 na 〈r〉 ocitno porodi homomorfizemiz trditve. �

V naslednjem zgledu bomo pokazali konkretno konstrukcijo poldirektnega pro-dukta dveh ciklicnih grup in nato primerjali na novo dobljene grupe z ze zna-nimi nekomutativnimi grupami ter ugotovili, kako ze poldirektni produkt dvehciklicnih grup razsiri zbirko grup, ki smo jo do sedaj poznali.

Zgled. Oglejmo si vse mozne poldirektne produkte grup Z8 in Z10 oblikeZ8 oψ Z10.Naj bo ψ : Z10 → Aut(Z8) homomorfizem grup. Najprej ugotovimo, kaksen jelahko ψ, zato nas v prvi vrsti zanima, kam lahko preslikamo elemente grupeZ10, to je, kaj je ψ(1). Po trditvi 3.6 je Aut(Z8) ∼= Z∗8 = {1, 3, 5, 7}, torej tagrupa vsebuje en element reda 1 in tri elemente reda 2. Ker redi vseh elemen-tov iz Aut(Z8) delijo red generatorja grupe Z10, lahko 1 ∈ Z10 preslikamo vkaterega koli izmed njih. Od tod ni tezko videti, kako Z10 deluje na Z8. Vskladu z zapisanim obstajajo stirje homomorfizmi ψ, in sicer

ψ1 : 1 7→ 1 ⇒ ψ1(j) = 1⇒ j · i = i

ψ2 : 1 7→ 3 ⇒ ψ2(j) = 3j ⇒ j · i = 3ji

ψ3 : 1 7→ 5 ⇒ ψ3(j) = 5j = (−3)j ⇒ j · i = 5ji = (−3)ji

ψ4 : 1 7→ 7 ⇒ ψ4(j) = 7j = (−1)j ⇒ j · i = 7ji = (−1)ji

za vsak j ∈ Z10 in vsak i ∈ Z8. Poglejmo sedaj, kaksna je struktura poldirek-tnih produktov, ki jih porodijo posamezni homomorfizmi.Naj bosta (i, j), (k, l) ∈ Z8 oψ Z10, kjer je i, k ∈ Z8 in j, l ∈ Z10. Operacija vZ8 oψ Z10, je tedaj

(i, j)(k, l) = (i+ (j · k), j + l)

in

(j · k) = ψ(j)k.

Ze zgoraj smo ugotovili, da je ψ1 trivialni homomorfizem, zato po trditvi 5.3velja Z8 oψ1 Z10

∼= Z8 × Z10.Ostali homomorfizmi so netrivialni, zato za vsakega pogledamo, koliko elemen-tov posameznega reda grupa Z8oψZ10 vsebuje in nato preverimo, ali je mordaizomorfna kaksni ze znani grupi. Ker bomo pri vsaki grupi proucevali redeelementov, si je najprej smiselno ogledati, kaksna je, v skladu z delovanjem ψ,potenca posameznega elementa (i, j) ∈ Z8 oψ Z10.

(i, j)2 = (i, j)(i, j) = (i+ ψ(j)i, 2j)

26 POGLAVJE 6. POLDIREKTNI PRODUKT CIKLICNIH GRUP

(i, j)3 = (i+ ψ(j)i, 2j)(i, j) = (i+ ψ(j)i+ ψ(j)2i, 3j)

...

(i, j)m = (i(m−1∑s=0

ψ(j)s),mj)

Poglejmo sedaj strukture preostalih grup oblike Z8 oψ Z10.Ker je |Z8 oψ Z10| = 80, so mozni redi elementov 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 in80.

Z8 oψ2 Z10

Elementi reda 2:

(i, j)2 = (i(1 + 3j), 2j) = (0, 0)⇔ i(1 + 3j) ≡ 0(mod 8) ∧ 2j ≡ 0(mod 10)

⇒ j ∈ {0, 5}j = 0 ⇒ 2i ≡ 0(mod 8)⇒ i ∈ {0, 4}j = 5 ⇒ 4i ≡ 0(mod 8)⇒ i ∈ {0, 2, 4, 6}

Torej dobimo 5 elementov reda 2, ki jih dolocajo pari (i, j) ∈ {(4, 0), (0, 5),(2, 5), (4, 5)(6, 5)}. (i, j) = (0, 0) je seveda reda 1.

Elementi reda 4:

(i, j)4 = (0, 0)⇔ i(1 + 3j + 32j + 33j) ≡ 0(mod 8) ∧ 4j ≡ 0(mod 10)

⇒ j ∈ {0, 5}j = 0 ⇒ i4 ≡ 0(mod 8)⇒ i ∈ {0, 2, 4, 6}j = 5 ⇒ i(1 + 35 + 310 + 315) ≡ 0(mod 8)⇒ i ∈ Z8

Bralca spomnimo, da si lahko pri racunanju potenc pomaga z Eulerjevim iz-rekom, ki pravi, da je za tuji si stevili n ∈ N in a ∈ Z, aϕ(n) ≡ 1 (mod n), kjerje ϕ Eulerjeva funkcija.Tem pogojem ustreza 12 elementov, ki pa niso vsi reda 4. Namrec, element(0,0) je, kot ze vemo, reda 1. Podobno smo ze ugotovili, da so elementi(4,0),(0,5),(2,5),(4,5),(6,5) reda 2. Torej dobimo 6 elementov reda 4, to so(2, 0), (6, 0), (1, 5), (3, 5), (5, 5), (7, 5).

Elementi reda 5:

(i, j)5 = (0, 0)⇔ i(1 + 3j + 32j + 33j + 34j) ≡ 0(mod 8) ∧ 5j ≡ 0(mod 10)

⇒ j ∈ {0, 2, 4, 6, 8}j = 0 ⇒ i5 ≡ 0(mod 8)⇒ i = 0

j = 2 ⇒ i(1 + 32 + 34 + 36 + 38) ≡ i5 ≡ 0(mod 8)⇒ i = 0

j = 4 ⇒ i(1 + 32 + 38 + 312 + 316) ≡ i5 ≡ 0(mod 8)⇒ i = 0

j = 6 ⇒ i(1 + 32 + 312 + 318 + 324) ≡ i5 ≡ 0(mod 8)⇒ i = 0

j = 8 ⇒ i(1 + 32 + 316 + 324 + 332) ≡ i5 ≡ 0(mod 8)⇒ i = 0

27

Po podobnem premisleku kot prej dobimo 4 elemente reda 5 in sicer (0, 2), (0, 4),(0, 6) in (0, 8).

Na enak nacin izracunamo rede preostalih elementov v grupi Z8 oψ2 Z10.Racunanje redov elementov v grupah Z8oψ3Z10 in Z8oψ4Z10 se od pokazanegabistveno ne razlikuje. Upostevati je potrebno le, kaksno delovanje porodita ho-morfizma ψ3 in ψ4.Tako je potenca posameznega elementa v Z8 oψ3 Z10 enaka

(i, j)m = (i(m−1∑s=0

5sj),mj),

v grupi Z8 oψ4 Z10 pa

(i, j)m = (i(m−1∑s=0

7sj),mj).

Stevilo elementov po posameznih redih za vsako grupo predstavimo v spodnjitabeli.

Grupa \ Red elta. 1 2 4 5 8 10 16 20 40

Z8 × Z10 1 3 4 4 8 12 16 32Z8 oψ2 Z10 1 5 6 4 4 20 24 16Z8 oψ3 Z10 1 3 4 4 8 12 16 32Z8 oψ4 Z10 1 9 2 4 4 36 8 16

Tabela 6.1: Zaporedja redov grup Z8 oψ Z10.

Primerjajmo sedaj zaporedja redov netrivialnih poldirektnih produktov Z8oψ

Z10 z zaporedji redov, nam doslej ze znanih nekomutativnih grup reda 80, kiso podana v naslednji tabeli.


Grupa \ Red elta. 1 2 4 5 8 10 16 20 40 80

D40 1 41 2 4 4 4 8 16D20 × Z2 1 43 4 4 12 16D10 × Z4 1 23 24 4 12 16

D10 × Z2 × Z2 1 47 4 28D8 × Z5 1 9 2 4 4 36 8 16D5 × Z8 1 11 12 4 24 4 8 16D5 ×D4 1 35 12 4 20 8D5 ×Q8 1 11 36 4 4 24Q8 × Z10 1 3 12 4 12 48D4 × Z10 1 11 4 4 44 16

Tabela 6.2: Zaporedja redov nekomutativnih grup reda 80.

Bralca opomnimo, da je v tabeli predstavljena grupa Q8 znana kvaternionskagrupa reda 8. Sedaj opazimo, da imata isto zaporedje redov le grupi Z8oψ4Z10

in D8×Z5. Premislimo, ali sta grupi izomorfni. Pri Z8 oψ4 Z10 se Z10 preslikav element reda 2 v grupi Z∗8. Element reda 5 grupe Z10 komutira z elementigrupe Z8 in jih tako rekoc ne spreminja, element reda 2 v Z10 pa na Z8 de-luje tako, da vsak element preslika v njegov inverz, od koder lahko nekolikoohlapno recemo, da je po trditvi 6.2 Z8 oψ4 Z2 ravno grupa D8. Od tod slediZ8 oψ4 Z10

∼= D8 × Z5.

Tako smo torej s pomocjo poldirektnega produkta nasli tri nove, nekomuta-tivne grupe reda 80, ki jih do sedaj nismo poznali. Seveda s tem se zdalecnismo nasli vseh. S pomocjo programskega okolja Magma [2] lahko preverimo,da je sicer vseh nekomutativnih grup reda 80, do izomorfizma natancno, 47.

V naslednjem zgledu bomo konstruirali se nekaj poldirektnih produktov dvehciklicnih grup, ki bodo ilustrirali dejstvo, da lahko razlicni poldirektni produktipredstavljajo isto grupo.

Zgled. Oglejmo si poldirektne produkte grup Z15 in Z4 oblike Z15 oψ Z4.Naj bo ψ : Z4 → Aut(Z15) homomorfizem grup. Podobno kot pri prejsnjemzgledu moramo najprej ugotoviti, kaksen je lahko ψ, zato nas za zacetek za-nima, kam lahko preslikamo elemente grupe Z4, torej, kaj je ψ(1). Po trditvi3.6 je Aut(Z15) ∼= Z∗15 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} ∼= Z4 × Z2, torej vsebuje enelement reda 1, tri elemente reda 2 in stiri elemente reda 4. Ker redi vsehelementov iz Aut(Z15) delijo red generatorja grupe Z4, lahko 1 preslikamo vkaterega koli izmed njih. Poglejmo sedaj, kako Z4 deluje na Z15. V skladu zzapisanim obstaja osem homomorfizmov ψ, in sicer

ψ1 : 1 7→ 1 ⇒ ψ1(j) = 1⇒ j · i = i

ψ2 : 1 7→ 2 ⇒ ψ2(j) = 2j ⇒ j · i = 2ji

ψ3 : 1 7→ 4 ⇒ ψ3(j) = 4j ⇒ j · i = 4ji

29

ψ4 : 1 7→ 7 ⇒ ψ4(j) = 7j ⇒ j · i = 7ji

ψ5 : 1 7→ 8 ⇒ ψ5(j) = 8j = (−7)j ⇒ j · i = (−7)ji

ψ6 : 1 7→ 11 ⇒ ψ6(j) = 11j = (−4)j ⇒ j · i = (−4)ji

ψ7 : 1 7→ 13 ⇒ ψ7(j) = 13j = (−2)j ⇒ j · i = (−2)ji

ψ8 : 1 7→ 14 ⇒ ψ8(j) = 14j = (−1)j ⇒ j · i = (−1)ji

za vsak j ∈ Z4 in vsak i ∈ Z15. Strukturo poldirektnih produktov, ki jihimplicirajo posamezni homomorfizmi, bomo dolocili na podoben nacin, kot vprejsnjem zgledu. Tudi tukaj je za (i, j), (k, l) ∈ Z15 oψ Z4, kjer je i, k ∈ Z15

in j, l ∈ Z4, operacija v Z15 oψ Z4 podana s predpisom

(i, j)(k, l) = (i+ (j · k), j + l)

in

(j · k) = ψ(j)k.

Od tod po analognem premisleku kot v prejsnjem zgledu predstavimo struk-turo posameznih poldirektnih produktov s pomocjo zaporedja redov v naslednjitabeli.

Grupa \ Red elta. 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60

Z15 × Z4 1 1 2 2 4 2 4 4 8 8 8 16Z15 oψ2 Z4 1 5 2 30 4 10 8Z15 oψ3 Z4 1 1 2 10 4 2 4 20 8 8Z15 oψ4 Z4 1 5 2 10 4 10 20 8Z15 oψ5 Z4 1 5 2 30 4 10 8Z15 oψ6 Z4 1 1 2 6 4 2 4 8 24 8Z15 oψ7 Z4 1 5 2 10 4 10 20 8Z15 oψ8 Z4 1 1 2 30 4 2 4 8 8


Izkaze se, da je Z15 oψ2 Z4∼= Z15 oψ5 Z4 in Z15 oψ4 Z4

∼= Z15 oψ7 Z4. Naslismo torej kar dve grupi, ki ju lahko vidimo kot vsaj dva razlicna poldirektnaprodukta grup. Tako obstaja le sest paroma neizomorfnih poldirektnih pro-duktov grup Z15 o Z4.

Za konec tega razdelka si oglejmo se en zgled, ki bo ilustriral, kako se poldi-rektni produkt pojavlja tudi v drugih teorijah, kot bo v nasem primeru teorijagrafov. Ker bo teorija grafov tukaj sluzila zgolj kot orodje, s pomocjo kate-rega bomo pojem poldirektnega produkta prikazali se iz drugega zornega kota,bomo obsirnejso razlago tega podrocja izpustili. Bralca vabimo, da si vec oteoriji grafov prebere v [6].


Zgled. Za zacetek si oglejmo poldirektne produkte Z15 oψ Z2.Naj bo ψ : Z2 → Aut(Z15) homomorfizem grup. Iz prejsnjega zgleda vemo, dav Aut(Z15) obstaja en element reda 1 in trije elementi reda 2, v katere lahkopreslikamo generator grupe Z2. Tako obstajajo natanko stirje homomorfizmiψ, in sicer:

ψ1 : 1 7→ 1 ⇒ ψ1(j) = 1⇒ j · i = i

ψ2 : 1 7→ 4 ⇒ ψ3(j) = 4j ⇒ j · i = 4ji

ψ3 : 1 7→ −4 ⇒ ψ6(j) = (−4)j ⇒ j · i = (−4)ji

ψ4 : 1 7→ −1 ⇒ ψ8(j) = (−1)j ⇒ j · i = (−1)ji

za vsak j ∈ Z2 in vsak i ∈ Z15. Po trditvi 5.3 je Z15 oψ1 Z2∼= Z15 ×Z2

∼= Z30,po trditvi 6.2 pa vemo, da je Z15 oψ4 Z2

∼= D15.Povsem podobno kot v prejsnjih zgledih predstavimo strukturo posameznihpoldirektnih produktov s pomocjo zaporedja redov v naslednji tabeli.

Grupa \ Red elta. 1 2 3 5 6 10 15

Z15 × Z2 1 1 2 4 2 4 16Z15 oψ2 Z2 1 5 2 4 10 8Z15 oψ3 Z2 1 3 2 4 12 8Z15 oψ4 Z2 1 15 2 4 8


Izkaze se, da sta Z15 oψ2 Z2 in Z15 oψ3 Z2 poldirektna produkta, ki se razli-kujeta od vseh ostalih. Tako smo dobili stiri razlicne grupe reda 30. Bralecse lahko z rezultati teorije grup, natancneje s pomocjo Cauchyjevega izreka inizrekov Sylowa (ki jih najde v [3]), preprica, da do izomorfizma natancno ob-stajajo stiri grupe reda 30. Torej smo v tem primeru s pomocjo poldirektnegaprodukta grup uspeli dolociti kar vse grupe tega reda.

Pokazimo sedaj, da je moc vse tri izmed zgornjih nekomutativnih poldirektnihproduktov reda 30 najti kot grupe simetrij nekega grafa. Najprej pa namenimonekaj besed teoriji grafov.Graf G je urejeni par (V (G), E(G)), dolocen z neprazno mnozico vozlisc V (G)in mnozico povezav E(G), ki je podmnozica mnozice neurejenih parov vozlisc.V nadaljevanju nas bodo zanimale simetrije (avtomorfizmi) grafa, torej permu-tacije mnozice vozlisc, ki ohranjajo sosednost. Ugotovili bomo, da lahko le-teopisemo s poldirektnimi produkti grup. Mnozica vseh avtomorfizmov grafa jegrupa za komponiranje preslikav. Oznacimo jo z Aut(G). Pokazali bomo, daje grupa avtomorfizmov posplosenega Petersenovega grafa GP(15,4) izomorfnapoldirektnemu produktu grup in da v njej najdemo podgrupe, izomorfne vsemtrem nekomutativnim poldirektnim produktom Z15 oψ Z2.

31

Naslednje je povzeto po [5]. Posploseni Petersenov graf GP(15,4), ki je pri-kazan na sliki 6.1, ima mnozico vozlisc V = {u0, u1, . . . , u14, v0, v1, . . . , v14} inmnozico povezav E = {{ui, ui+1}, {ui, vi}, {vi, vi+4} | i ∈ Z, ui, vi ∈ V }.

Slika 6.1: Posploseni Petersenov graf GP(15,4)

Grupo avtomorfizmov grafa GP (15, 4) generirajo avtomorfizmi σ, τ in ρ, zakatere velja:

σ(ui) = ui+1 σ(vi) = vi+1

τ(ui) = u−i τ(vi) = v−i

ρ(ui) = v4i ρ(vi) = u4i.

Oglejmo si rede opisanih avtomorfizmov in njihovo obnasanje v grupi A =Aut(GP (15, 4)).Preprosto je preveriti, da je |σ| = 15, |τ | = 2, τρ = ρτ , τστ = σ−1, ρσρ = σ4

in posledicno se τρστρ = σ−4.Tako sledi, da je 〈σ, τ〉 ∼= D15, saj σ15 = τ 2 = id in τστ = σ−1 ter 〈τ, ρ〉 ∼=Z2 × Z2, saj τ 2 = ρ2 = id in τρ = ρτ .

Od tod ni tezko videti, da je:

〈σ, τ〉 ∼= Z15 oψ4 Z2

〈σ, ρ〉 ∼= Z15 oψ2 Z2

〈σ, τρ〉 ∼= Z15 oψ3 Z2.

Poleg tega velja opaziti tudi, da je |A| = 60, |〈σ, τ〉| = 30 in zato [G : 〈σ, τ〉]=2,


od koder sledi, da je 〈σ, τ〉E A.

Ker je |〈ρ〉| = 2 in 〈ρ〉∩〈σ, τ〉 = {id}, po izreku 5.2 sledi, da je A ∼= 〈σ, τ〉o〈ρ〉,torej je A ∼= D15 o Z2. Opazimo tudi, da je 〈σ〉 E A, saj jo normaliza takoτ kot tudi ρ. Hkrati velja 〈σ〉 ∩ 〈τ, ρ〉 = {id} in zato po izreku 5.2 velja tudiA ∼= 〈σ〉o 〈τ, ρ〉 in tako A ∼= Z15 o (Z2 × Z2). Po podobnem premisleku ugo-tovimo, da velja tudi A ∼= 〈σ, ρ〉o 〈τ〉 ∼= 〈σ, τρ〉o 〈τ〉.

Sklenemo lahko, da torej ta zgled ni zanimiv samo zato, ker pokaze, da se pol-direktni produkti pojavljajo tudi kot grupe simetrij kombinatoricnih objektov,ampak tudi zato, ker pokaze, da je lahko dana grupa izomorfna vecim poldi-rektnim produktom.

Poglavje 7

Zakljucek

V diplomskem delu smo vpeljali in na konkretnih primerih tudi predstavilikonstrukcijo grup, imenovano poldirektni produkt.

Sklenemo lahko, da poznavanje in razumevanje poldirektnega produkta grupzahteva celostno poznavanje osnov teorije grup, njihove notranje strukture,delovanja in celo njihovih grup avtomorfizmov. Videli smo, da lahko s pomocjopoldirektnega produkta konstruiramo grupe, ki ne pripadajo nobeni standardnidruzini grup, niti niso konstruktibilne kot direktni produkti takih grup. Sevec, eno samo grupo lahko predstavlja vrsta razlicnih poldirektnih produktovgrup. Tako nam razumevanje poldirektnega produkta grup razsiri vpogled vraznolikost grup.

Cilj tega diplomskega dela je bil spoznati in razumeti poldirektni produkt grup.Tako smo tukaj predstavili predispozicije, potrebne za njegovo razumevanje innjegovo bistvo. Pomembno je, da se zavedamo, da obseg predstavljenega v temdiplomskem delu ne dosega celotnega znanja o poldirektnem produktu grup,saj je moc o tej konstrukciji povedati se veliko vec. Naj torej to diplomskodelo predstavlja temelj in hkrati izziv za nadaljnje raziskovanje poldirektnegaprodukta ter cudovite teorije grup.

33

Literatura

[1] Aschbacher, Michael, 2004: The Status of the Classification of the FiniteSimple Groups. Notices of the AMS. 51. 7.

[2] Bosma, Wieb, Cannon, John, Playoust, Catherine, 1997: The MagmaAlgebra System I: The User Language. Journal of Symbolic Computation.24. 235–265.

[3] Dummit, David S., Foote, Richard M., 2004: Abstract Algebra. 3rd ed.Hoboken: Wiley and sons.

[4] Fraleigh, John B., 2002: A First Course in Abstract Algebra. 7th ed. Mas-sachusetts: Addison-Wesley.

[5] Frucht, Roberto, Graver, Jack E., Watkins, Mark E., 1971: The groupsof the generalized Petersen graphs. Proceedings of Cambridge PhilosophicalSociety. 70. 212–218.

[6] Godsil, Chris, Royle Gordon, 2001: Algebraic Graph Theory. New York:Springer.

[7] Rose, John S., 1994: A Course on Group Theory. New York: Dover Publi-cations.

[8] Smrtnik, Anja, 2013: Klasifikacija grup majhnih redov. Diplomsko delo.Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Pedagoska fakulteta, Fakulteta za mate-matiko in fiziko.

34

Izjava o avtorstvu

Spodaj podpisana Lucija Znidaric, z vpisno stevilko 01010570, izjavljam, daje diplomsko delo z naslovom

POLDIREKTNI PRODUKT GRUP,

ki sem ga napisala pod mentorstvom doc. dr. Primoza Sparla, avtorsko deloin da so uporabljeni viri ter literatura korektno navedeni.

Podpis studentke:

Ljubljana, september 2014

poldirektni produkt grup - university of...

Documents