7. 1. 2015 1

Pokročilá fyzika C803fIIp_04

Elektrická vodivost v polovodičích

Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029

http://stein.upce.cz/msfIIp14.html

http://stein.upce.cz/fIIp/fIIp_04.ppt

7. 1. 2015 2

Hlavní body• Kvalitativní důsledky kvantové mechaniky

• Rozlišitelnost částic, Pauliho princip

• Závěry Fermi-Diracova rozdělení• Hustota stavů

• Fermiho energie

• Vlastnosti čistých a dopovaných polovodičů

• Přechod P-N a jeho usměrňovací účinky

• Principy diody LED, fotodiody a tranzistoru

• Vodivost v elektrolytech a v plynech

7. 1. 2015 3

Soustřeďte se na tyto otázky• Co jsou to rozlišitelné a nerozlišitelné částice a

bosony a fermiony a jak se liší jejich chování?• Jaký je princip vlastní vodivosti polovodičů a jak se

mění s teplotou?• Co je to polovodič typu N?• Co je to polovodič typu P?• Jak funguje přechod P-N?• Co a jak popisuje Faradayův zákon pro elektrolýzu?

7. 1. 2015 4

Důsledky KM I• Kvantová mechanika je zatím nejlepší teorie, popisující z

našeho pohledu neobvyklé chování mikrosvěta, kterou lidstvo vyvinulo.

• KM je tedy prostředek, který nám umožňuje do mikrosvěta nahlížet. Přímá pozorování totiž možná nejsou.

• Úvod do KM probereme podrobněji na konci semestru. Zde se pokusíme symbolicky a kvalitativně vysvětlit její závěry o základních principech chování mikrosvěta.

• Více než na přesnost se soustředíme na základní myšlenky.

• Ty by nám měly umožnit hlubší pochopení chování některých druhů látek, hlavně vodičů a polovodičů.

7. 1. 2015 5

Důsledky KM IIMezi hlavní vlastnosti kvantově mechanického popisu a současně chování mikrosvěta patří jeho

• pravděpodobnostní charakter• Stavy nebo děje v mikrosvětě jsme principiálně schopni

popsat jen pomocí pravděpodobností P, které jsou dále funkcemi skrytých amplitud pravděpodobností AP. Ty tedy nejsou ani principiálně přímo měřitelné.

• dualismus vln a částic• Hovoříme-li o částicích, hovoříme současně o jistém

druhu záření a naopak.

7. 1. 2015 6

Důsledky KM III• Mějme

• zdroj Z, emitující z určité vzdálenosti jisté částice na rovinu s dvojicí štěrbin 1 a 2 a

• detektor D, který umožňuje měřit počet částic, dopadajících do určitého místa detekční roviny v jisté vzdálenosti za rovinou štěrbin.

• Experiment ukazuje, že rozdělení počtu částic v detekční rovině v případě, že prochází oběmi štěrbinami nemusí být obecně součtem situací, při nichž by byla postupně otevřena napřed jedna a potom druhá štěrbina. Závisí na charakteru částic (laser dá jiný výsledek než dělo na tenisové míčky i než baterka) a na tom zda je principiálně možné zjistit, kterým otvorem jednotlivé částice prošly.

7. 1. 2015 7

Důsledky KM IV• Podrobnější rozbor ukazuje tři principy:

• Pravděpodobnosti P jsou druhou mocninou modulu komplexních amplitud pravděpodobnosti AP: P = AP.AP*

• AP složených dějů neinteragujících částic je součinem AP jednotlivých dějů.

• Může-li děj probíhat několika nerozlišitelnými cestami, je celková AP součtem AP pro jednotlivé cesty

7. 1. 2015 8

Důsledky KM V• Označme amplitudu pravděpodobnosti (AP) například toho,

že částice opustí zdroj, projde štěrbinou 1 do detektoru

<Z|1> <1|D>

• Může-li částice projít libovolnou ze štěrbin a nelze ani principiálně zjistit kterou, je výsledná intenzita podobná interferenčnímu obrazu, který by nastal například při použití monochromatického světla. Je to proto, že celková AP toho, že částice opustila zdroj a byla zachycena detektorem je součtem AP obou možností, tedy

<Z|D> = <Z|1><1|D> + <Z|2><2|D>

7. 1. 2015 9

Důsledky KM VI• Mějme nyní částici a, která se po jisté interakci

dostane do detektoru 1 a částici b, která se po jiné interakci nezávisle na tom dostane do detektoru 2.

• AP toho, že se toto stane současně bude

<a|1><b|2>

• Uvažujme, že každý z detektorů může zachytit každou z částic a označme <a|1> = a1, <b|2> = b2, <a|2> = a2 a <b|1> = b1.

7. 1. 2015 10

Důsledky KM VII• Předpokládejme, jsme schopni principiálně

rozlišit, kterou částici zachytil který detektor. Pak je pravděpodobnost současné detekce jakékoli jedné částice každým z detektorůsoučtem pravděpodobností obou možností, tedy

RP ab->12 = |a1|2|b2|2 + |a2|2|b1|2

• Budou-li výsledné stavy téměř totožné, bude platit a1 a2 a a b1 b2 b a tedy

RP ab->1 = 2|a|2|b|2

7. 1. 2015 11

Důsledky KM VIII• Nyní předpokládejme, že částice jsou identické

bosony. Tedy nemůžeme je rozlišit ani principiálně, ale nesplňují Pauliho vylučovací princip. Potom je AP současné detekce jakékoli jedné částice každým detektorem součtem AP pro oba možné případy

<a|1><b|2> + <a|2><b|1> • a pravděpodobnost

BPab->12 = |a1b2 + a2b1|2

7. 1. 2015 12

Důsledky KM IX• Pro totožné (blízké) konečné stavy bude platit

BP ab->1 = 4|a|2|b|2 = 2 RP2 (!)

• Bosony tedy mají tendenci se vyskytovat v totožných stavech. Lze ukázat, že pro N bosonů

BPN = N! RPN

• Na tomto faktu je například založena existence supratekutosti nebo laserů.

• Tedy: principiální rozlišitelnost mikročástic je důležitá vlastnost, ovlivňující jejich makroskopické chování.

7. 1. 2015 13

Důsledky KM X• Nyní dále předpokládejme, že částice jsou

identické fermiony. Tedy opět je nemůžeme ani principiálně rozlišit a navíc splňují Pauliho vylučovací princip. Zde experiment ukazuje, že AP současné detekce jakékoli jedné částice každým detektorem je rozdíl AP jednotlivých případů

<a|1><b|2> <a|2><b|1> • a tedy pravděpodobnost

FP ab->12 = |a1b2 a2b1|2

7. 1. 2015 14

Důsledky KM XI• Zjevně pro totožné konečné stavy zde bude AP i

pravděpodobnost nulová : FP ab->1 = |ab ab|2 = 0 • Dva fermiony tedy nemohou zaujmout stejný kvantový

stav.• U elektronů v obalu atomu nebo energetickém pásu

musíme uvažovat i spin, což zatím neděláme.• Tento fakt má dalekosáhlé důsledky pro existenci

hmoty tak, jak ji známe.• Kdyby neplatil, vypadaly by atomy počínaje lithiem

zcela jinak než vypadají. Podobně by nemohly existovat molekuly ani kondenzovaný stav ani pásová struktura.

7. 1. 2015 15

Energetické pásy I• Nyní bychom měli hlouběji chápat, že je-li v

krystalu N (~1024) atomů, rozštěpí se překrývající se energetické hladiny elektronů na pásy, které obsahují N velmi blízkých energetických stavů. Ty jsou potom obsazovány v souladu s Pauliho principem.

• Pro vodivost je důležitý poslední zcela obsazený valenční pás a pás vodivostní první obsazený částečně nebo neobsazený vůbec. Mezi těmito pásy je pás zakázaných energií, charakterizovaný svou šířkou EG.

7. 1. 2015 16

Vodiče a izolátory I

• Má-li se elektron v krystalu pohybovat s jistou kinetickou energií, musí mít k dispozici příslušný vyšší energetický stav, který nesmí být obsazen.

• Izolátory mají vodivostní pás prázdný a široký zakázaný pás.

• Vodiče mají vodivostní pás zaplněn jen částečně a elektrony mají k dispozici velké množství blízkých energetických stavů.

7. 1. 2015 17

Hustota stavů• Protože elektrony mají k dispozici obrovské

množství energetických stavů, neexistuje jiná elegantní možnost, než je popsat statisticky.

• Hustota stavů g(E) je definována tak, že g(E)dE je celkový počet stavů, které jsou k dispozici a mají energii v intervalu E, E+dE na jednotkový objem. Platí

212

3

3

28)( E

hm

Eg

7. 1. 2015 18

*Fermiho energie• Při teplotě 0 K jsou obsazeny všechny nejnižší

stavy, které jsou k dispozici. Tedy :

• Pro tímto definovanou nejvyšší obsazenou tzv. Fermiho energii tedy platí :

• Pro střední energii potom platí :

FE

dEEgVN

0

)(

32

)3

(8

2

VN

mh

EF

FEE 53

7. 1. 2015 19

*FermiDiracovo rozdělení• Klasicky by obsazení energií při nenulové teplotě

T bylo dáno Boltzmanovým faktorem :

• Elektronový plyn však je systém nerozlišitelných fermionů. Pro ně platí FermiDiracovo rozdělení s pravděpodobností :

1)(

exp

1)(

kTEE

EfF

FD

kTE

exp

7. 1. 2015 20

*BoseEinsteinovo rozdělení• Pro systém nerozlišitelných bosonů platí

BoseEinsteiovo rozdělení s pravděpodobností :

• Pro velmi vysoké teploty konvergují obě rozdělení k rozdělení Boltzmanovu, ale pro teploty nízké se výrazně liší.

1exp

1)(

kTE

EfBE

kTE

exp

7. 1. 2015 21

Hustota obsazených stavů• Při nenulové teplotě T je hustota obsazených stavů

dána :

• Při rostoucí teplotě tedy přibývá počet neobsazených hladin pod EF a obsazených hladin nad EF.

• U vodičů je EF uvnitř vodivostního pásu u polovodičů a izolátorů uprostřed zakázaného pásu.

1)(

exp

28)()()(

21

23

30

kTEE

Eh

mEfEgEn

F

FD

7. 1. 2015 22

Polovodiče I• Polovodiče mají při teplotě blízké 0 K vodivostní

pás také prázdný, ale jejich zakázaný pás je relativně úzký, takže již za běžných teplot je vysoká pravděpodobnost přeskoku elektronů do vodivostního pásu.

• Přeskočí-li elektron do vodivostního pásu, zůstává po něm v pásu valenčním takzvaná díra, která se chová jako částice s kladným (elementárním) nábojem. K celkové vodivosti polovodičů přispívají současně elektrony i díry.

7. 1. 2015 23

Polovodiče IISrovnejme typický vodič s typickým polovodičem :

n[m-3] [m] [K-1]

Cu 9 1028 1.64 10-8 0.0068

Si 1 1016 3 103 -0.07*

Polovodiče mají o mnoho řádů nižší hustotu nosičů náboje a vodivost. S teplotou však obě tyto veličiny výrazně rostou, ale nikdy ani zdaleka nedosahují hodnot, které mají vodiče.

7. 1. 2015 24

Polovodiče III• Užitečnost polovodičů lze výrazně zvýšit použitím

příměsí, které spočívá v záměně jednoho z řádově 107 atomů původního čtyřmocného polovodiče (Si, Ge)

• buď pětimocným prvkem – donorem (P, As), kdy vznikne polovodič typu n s dominantní elektronovou vodivostí

• nebo trojmocným – akceptorem (Al, Ga), kdy vznikne polovodič typu p s vodivostí děrovou.

7. 1. 2015 25

Polovodiče typu n• Pětimocné atomy příměsi, přítomné ve velmi

nízké koncentraci, se zabudují do původní mřížky, aniž by ji dokázaly narušit. Nevázané elektrony vytvářejí donorové lokalizované hladiny, které jsou velmi blízko vodivostního pásu Ed~0.05eV << Eg. Elektrony se tedy dostávají snadno do vodivostního pásu a jejich počet výrazně převažuje počet děr, v pásu valenčním, které zůstávají minoritními nosiči.

7. 1. 2015 26

Polovodiče typu p

• Trojmocné příměsové atomy, přítomné ve velmi nízké koncentraci, se též zabudují do původní mřížky, aniž by ji dokázaly narušit. Nevyužité vazby tvářejí akceptorové lokalizované hladiny, které jsou velmi blízko valenčního pásu Ea~0.05eV << Eg. Elektrony se do těchto hladin snadno dostávají a ve valenčním pásu po nich zůstávají díry, které se stávají dominantními nosiči náboje. I zde existují minoritní nosiče – elektrony.

7. 1. 2015 27

Přechod p-n I• Vytvoříme-li rozhraní polovodičů p a n, budou

elektrony jako majoritní nosiče difundovat z oblasti n do oblasti p. Podobně budou díry difundovat z oblasti p do oblasti n. V oblasti n blízko rozhraní potom zůstávají kladné ionty donorů tentokrát nevykompenzované elektrony, protože ty přeběhly do oblasti p. Tam ale snadno rekombinují u akceptorových atomů, vytvářeje záporný lokalizovaný náboj. Přechodová oblast neobsahuje žádné volné náboje.

7. 1. 2015 28

Přechod p-n II• Difůze děr je obdobná a má stejný výsledný efekt.

• V přechodové oblasti tedy vzniká spád potenciálu od oblasti n do oblasti p. Jeho velikost odpovídá rovnováze difúzních a odpudivých elektrostatických sil. Ty způsobují driftový proud, který vrací další majoritní nosiče. Nosičům minoritním tento spád také vyhovuje a tyto spoluvytvářejí driftový proud. Napětí na přechodu tedy odpovídá rovnováze difúzních a driftových proudů.

7. 1. 2015 29

Přechod p-n III

• Vlastnosti proudu, protékajícího přes takový přechod závisí zjevně na směru.

• Když bude na oblast n připojen záporný pól přechodová oblast se zúží a proud teče. Do n totiž například mohou difúzí proudit další majoritní díry.

• Když je na oblast n připojen kladný pól, přechodová oblast se rozšíří a proud neteče, až na zbytkový proud přenášený minoritními nosiči. Ten je obvykle nepatrný ale roste např. exponenciálně s teplotou.

7. 1. 2015 30

Svítící diody LED I• Když, pár elektron-díra rekombinuje, tedy elektron

spadne z vodivostního pásu do díry v pásu valenčním, je uvolněna energie Eg, obvykle jako teplo. Může být však vyzářen i foton.

• Je nutné, aby Eg byla dostatečná a zářivý přechod byl pravděpodobný. To zvyšuje světelnou účinnost

• V praxi je též potřeba, aby docházelo k velkému počtu rekombinací a tedy musí existovat velké množství vodivostních elektronů i děr.

7. 1. 2015 31

Svítící diody LED II• Fotony viditelného světla mají energii v rozpětí

1.8 – 3.2 eV.

• Polovodiče, které mají srovnatelnou EG, např. Si ( 1.14 eV) světlo absorbují a jsou neprůsvitné. Jiné, s EG větší, např. ZnS (3.6 eV) jsou průsvitné.

• LED jsou konstruovány na bázi Ga-As-P. Mají EG ve viditelné oblasti a velký počet děr a elektronů k rekombinaci.

7. 1. 2015 32

Tranzistory I• V elektrotechnice a elektronice jsou kromě

pasivních komponent, jako odpory, kondenzátory, cívky, a podobně, potřeba součástky aktivní, které jsou schopny obecně zesilovat výkon.

• Nestačí tedy zvýšit jen napětí nebo jen proud. Na to by stačil transformátor. Je potřeba zařízení, schopné malým výkonem ovládat výkon větší. Něco, podobného, jako je v hydrodynamice ventil.

• Tuto funkci plní zvláště různé druhy tranzistorů.

7. 1. 2015 33

Tranzistory II

• Tranzistory jsou obecně trojpóly, u kterých se proudem nebo napětím na řídící elektrodě ovládá proud mezi dalšími dvěmi elektrodami.

• V současné době se používají některé ze dvou typů tranzistorů bipolárních (BJT) a pěti typů tranzistorů řízených polem (FET).

7. 1. 2015 34

Bipolární tranzistory I

• Bipolární tranzistory existují v uspořádáních NPN a PNP. U NPN je mezi dvěma elektrodami typu n, kolektorem a emitorem, tenká vrstva typu p, báze, která je řídící elektrodou. Jedná se tedy o dva p-n přechody zapojené proti sobě. U typu PNP je majoritní vodivost oblastí obrácená.

• Připojme k tranzistoru NPN obvod kladnou částí ke kolektoru a zápornou k emitoru. Je-li báze odpojena, protéká jen nepatrný zbytkový proud minoritních nosičů. Tranzistor je zavřený.

7. 1. 2015 35

Bipolární tranzistory II

• Připojí-li se k bázi kladné napětí větší než diodový skok (u Si 0.6 V), protéká přechodem B-E proud. Elektrony, které jsou majoritními nosiči v emitoru, přecházejí do báze, kde jsou nosiči minoritními. Protože báze je velmi tenká, pokračuje většina elektronů do kolektoru, zatímco do báze jich teče jen nepatrně, přestože proud bází děj ovládá. Tranzistor je otevřený.

7. 1. 2015 36

Bipolární tranzistory III

• U otevřeného tranzistoru platí IC = h21eIB

• Elektrody jsou nazvány z hlediska skutečného pohybu nosičů náboje nikoli konvenčního proudu.

• Vlastnosti tranzistorů NPN a PNP závisí na vlastnostech, jako pohyblivosti a době života majoritních nosičů náboje. Proto nejsou úplně symetrické. To je problém např. u dvojčinných zapojení.

7. 1. 2015 37

Tranzistory FET I

• U polem řízených tranzistorů se napětí na řídící elektrodě, zvané gate, ovládá proud mezi elektrodami drain (D~C) a source (S~E), přičemž řídící proud je nepatrný.

• Nejběžnější typy jsou JFET (semiconductor junction) a MOSFET (metal oxide semiconductor), jinak zvané též IGFET (insulated gate).

7. 1. 2015 38

Tranzistory FET II

• U všech typů je mezi elektrodami D-S tenký vodivý kanál typu n nebo p, jehož vodivost se ovládá elektrickým polem vytvořeným napětím přiloženým na řídící elektrodu G.

• Podle míry dopování může být kanál při nulovém poli buď nevodivý (enhancement) nebo vodivý (depletion) a tranzistor tedy buď zavřený nebo otevřený .

7. 1. 2015 39

Tranzistory FET III

• Jako příklad popišme činnost tranzistoru MOSFET s vodivým kanálem typu n.

• Základem je substrát z polovodiče typu p, málo nadopovaného. V něm jsou dvě více nadopované vrstvy typu n, spojené tenkým kanálem. Na obě jsou přes metalickou vrstvu připojeny vývody. Kanál je pokryt nevodivou vrstvou SiO2 (sklem). Ta odděluje metalickou vrstvu, která tvoří řídící elektrodu, na kterou je též připojen vývod.

7. 1. 2015 40

Tranzistory FET IV

• Je-li G odpojena a k D připojen obvod kladnou částí a k S zápornou, v depletion modu proud poteče v enhancement nepoteče.

• Přiložení kladného napětí na G proud zvýší respektive zapne. Přiložení napětí záporného proud sníží až vypne. Je to způsobeno zatlačením majoritních nosičů náboje v kanále do substrátu.

7. 1. 2015 41

Tranzistory FET V

• Hlavní výhody tranzistorů MOSFET :• velký vstupní odpor řídící elektrody, až 1014 • řídící elektroda vydrží napětí až 20 V

• tranzistor může být velmi malý ~ 500 nm, což je výhodné při výrobě integrovaných obvodů

• Jednou z mála nevýhod je, že se tranzistor snadno zničí statickou elektřinou.

7. 1. 2015 42

Tranzistory FET VI

• U tranzistorů JFET je řídící elektroda z polovodiře opačné vodivosti než kanál a není od něj elektricky oddělena, nýbrž tvoří přechod p-n. Tranzistor ale pracuje v takovém režimu, kdy je tento přechod v závěrném směru a tranzistor je skutečně řízen elektrickým polem.

• JFET mají menší kapacitu mezi elektrodami.

• Elektrody jsou opět pojmenovány z hlediska skutečného toku nosičů náboje.

7. 1. 2015 43

Přenos elektrického náboje v kapalinách – elektrolyty.

Vodivost je vyvolána disociací molekul heteropolárních sloučenin: HCl, NaCl, CuSO4, H2SO4, atd., při vložení napětí na elektrody probíhá elektrolýza

kladný iontzáporný iont

7. 1. 2015 44

Zákony elektrolýzy• Hmotnost látky vyloučené na elektrodách je úměrná

prošlému náboji, tj.

m = A.I.t = A.Q

• A je látkové množství vyloučené jedním coulombem. Závisí na molární hmotnosti M a mocenství látky z. Pro všechny látky je chemicky ekvivalentní, tedy :

tIzqN

Mm

zqN

M

zF

MA

eAeA

.

zde F = 9,648. 104 C/mol je Faradayova konstanta, celkový náboj jednoho molu elementárních nábojů.

7. 1. 2015 45

Určení elementárního náboje pomocí elektrolýzy

Faradayova konstanta představuje náboj, potřebný k vyloučení 1 molu jednomocné látky. 1 mol vodíkových iontů H+ je tedy uvolněn nábojem Q = 9,648.104 C. Potom :

C10.602,110.023,6

10.648,9 1923

4

AN

Fe

7. 1. 2015 46

Přenos elektrického náboje v plynech I

Základní podmínka vedení proudu: ionizace plynu (UV záření, RTG záření, paprsky, urychlené elektrony a ionty, kosmické záření)

I

U

1

2

3

7. 1. 2015 47

• Oblast 1: Se vzrůstajícím napětím vzrůstá počet iontů, které dorazí k elektrodám bez rekombinace. V této oblasti platí Ohmův zákon.

• Oblast 2: Nasycená oblast – bez rekombinace; vzrůstající napětí nemá vliv na velikost proudu. Velikost nasyceného proudu je úměrná rychlosti, s jakou jsou ionty vytvářeny.

• Oblast 3: Vznikající ionty a především elektrony získávají takovou energii, že vyvolávají nárazovou lavinovitou ionizaci. Této oblasti využívají detektory záření.

Přenos elektrického náboje v plynech II

7. 1. 2015 48

• Vliv tlaku: Se snižováním tlaku roste střední volná dráha iontů = ionty získávají v elektrickém poli vyšší kinetickou energii = větší produkce iontů.

• Vliv teploty: S rostoucí teplotou roste koncentrace iontů v plynu,a při teplotách nad 5000 K ~1% plynu ionizováno; při řádově ještě vyšších teplotách ionizace úplná = plazma (čtvrté skupenství hmoty)

Přenos elektrického náboje v plynech III

Diamant za pokojové teploty

• Má-li zakázaný pás u diamantu šířku 5.5 eV, bude za pokojové teploty 300 K exponent :

• Poměr populace Nx elektronů s energií Ex k populaci N0 elektronů s energií E0 je dán : )exp( 0

0 kTEE

NN xx

213)300)(/1062.8(

5.55 KKeV

eVkT

Eg

• I u diamantu velikého jako Země by byla pravděpodobnost přeskoku do vodivostního pásu zanedbatelná :

931030

NN x

^

Si a Ge za pokojové teploty• Za teploty 300 K má zakázaný pás u Si a Ge šířku 1.11 eV

resp. 0.67 eV. Jaká je pravděpodobnost přeskoku elektronu do vodivostního pásu? Pro exponenty postupně platí :

26)300)(/1062.8(

67.05 KKeV

eVkT

Eg

• Nezdá se to velký rozdíl, ale pravděpodobnost přeskoku je nyní velká i u vzorků běžných rozměrů :

19107.2)(0

SiNN x

^

43)300)(/1062.8(

106.15 KKeV

eVkT

Eg

12106.5)(0

GeNN x

Počet stavů v Cu• Odhadněte počet stavů v intervalu 5.0 až 5.5 eV v Cu

krychli o hraně 1cm.?

• Z definice hustoty stavů platí

• Informaci o typu kovu jsme nepotřebovali!

^

211936

19

)1063.6(

)109(28

108)/106.1)(5.0)(10(

)/106.1)(25.5(

)(

334

23

31

eVJeVmx

xeVJeV

EEVgN

Js

Fermiho hladina u Cu I• Jaká je Fermiho energie, střední energie a Fermiho rychlost,

tedy rychlost elektronů, majících Fermiho energii, u Cu?

• Pro hustotu volného náboje u Cu platí :

^

28623

104.85.63

1095.8106 M

NVN A

Fermiho hladina u Cu II• Fermiho energie je :

• A Fermiho rychlost :

^

eVm

kgJs

VN

mh

EF

0.7106.11

])104.8(3

[)101.9(8)1063.6(

)3

(8

19

328

31

234

2

32

32

• Střední energie tedy je : eVEE F 2.453

16106.12 msmE

v FF