poissonova jednadžbae

Vjerojatnost i statistika

Graevinski fakultet, Sveuilite J.J. Strossmayera u Osijeku

9. vjebe: Poissonova sluajna varijabla. Numerike karakteristike

neprekidne sluajne varijable. Vane parametarske familije

neprekidnih sluajnih varijabli.

10. prosinca 2014.

VISGFOS (ak. god. 2014./2015.) 10. prosinca 2014. 1 / 21

Numerike karakteristike diskretne sluajne varijable Poissonova sluajna varijabla

Sluajna varijabla ija realizacija predstavlja broj "uspjeha" u nekom

jedininom intervalu (vremena, mase, volumena, . . . ) naziva se

Poissonovom sluajnom varijablom.

Sluajan pokus iz kojeg proizlazi koncept sluajne varijable ovakvog

tipa mora zadovoljavati slijedee uvjete:

vjerojatnost da se pojavi uspjeh ne ovisi o tome u kojem e se

jedininom intervalu dogoditi,

broj uspjeha u jednom vremenskom intervalu neovisan je o broju

uspjeha u nekom drugom intervalu,

oekivani broja uspjeha je isti za sve jedinine intervale i dan je

pozitivnim realnim brojem .



Denicija 1.

Sluajna varijable X ima Poissonovu distribuciju s parametrom > 0 akoprima vrijednosti iz skupa {0, 1, 2, . . . } s vjerojatnostima:

P(X = i) =i

i !e.



Teorem 1.

Numerike karakteristike Poissonove sluajne varijable (X P()):

- Matematiko oekivanje: EX = ;- Varijanca: Var X = .



Napomena 1.

Poissonovu distribuciju moemo promatrati kao granini sluaj binomne s

parametrima n i p, kada n tei u beskonano, a p u nulu, tako da produktnp ostaje konstantan. Uzmemo li da je

pi (n) =

(n

i

)piqni , = np,

moe se pokazati da je

lim

n pi (n) =1

i !ie.

U praktinim primjerima binomna se moe aproksimirati Poissonovom kada

je p < 1/n ili p > 1 1/n i n > 10.



Zadatak 1.

Podaci o poslovanju dostavne slube jedne poznate osjeke pizzerije

podupiru tvrdnju da je oekivani broj poziva koje ta sluba primi tijekom

jednog sata 240. Odredite vjerojatnost da tijekom jedne minute:

1

ne bude primljena niti jedna narudba;

2

budu primljene barem dvije narudbe.



Zadatak 2.

[DZ ] Podaci o radu neke telefonske centrale podupiru tvrdnju da tacentrala tijekom jednog sata primi 120 poziva. Zbog iznenadnog kvara

pozivi nisu primani jednu minutu. Kolika je vjerojatnost da u tom periodu

centrali nije bilo upueno vie od 4 poziva?



Zadatak 3.

[DZ ] Jedno kazalite godinje ima 1095 predstava. Odredite sljedeevjerojatnosti:

a) da se u jednom danu izvedu 4 predstave,

b) da se u jednom danu ne izvede vie od 2 predstave.



Zadatak 4.

Pretpostavimo da je 1% od svih tranzistora koje proizvodi neka tvrtkaneispravno. Za novi model raunala potrebno je 100 takvih tranzistora i

svih 100 ih je odabrano s proizvodne trake spomenute tvrtke. Odredite

vjerojatnost da su meu odabranim tranzistorima:

a) tono tri

b) manje od tri

c) barem tri

neispravna tranzistora, koritenjem binomne i Poissonove distribucije.


Numerike karakteristike neprekidne sluajne varijable

Denicija 2.

Neka je X neprekidna sluajna varijabla s funkcijom gustoe f . Ako jeintegral

|x |f (x) dx


Denicija 3.

Za strogo pozitivan realan broj r deniramo:

r -ti moment r : E [Xr ] =

x r f (x) dx , ukoliko E [X r ] postoji.

r -ti centralni moment mr : E [(X E [X ])r ] =

(x E [X ])r f (x) dx ,

ukoliko je spomenuti integral konaan.



Denicija 4.

Varijanca (drugi centralni moment) neprekidne sluajne varijable X safunkcijom gustoe f denirana je na sljedei nain:

Var X =

(x E [X ])2f (x)dx .

Denicija 5.

Drugi korijen iz varijance zove se standardna devijacija neprekidne sluajne

varijable X , u oznaci :

X = :=VarX .



Napomena 2.

Svojstva (linearnost, monotonost, . . . ) matematikog oekivanja

spomenuta kod oekivanja diskretnih sluajnih varijabli vrijede i kod

oekivanja neprekidnih sluajnih varijabli.



Zadatak 5.

Sluajna varijabla X zadana je funkcijom gustoe:

f (x) =

x + 1 , 1 x < 01 x , 0 x < 10 , inae.

Odredite funkciju distribucije sluajne varijable X , te izraunajte njezinomatematiko oekivanje i varijancu.

[Rj. EX = 0, Var X = 1/6]



Zadatak 6.

Sluajna varijabla X zadana funkcijom gustoe

f (x) =

1

b a , x a, b0 , x / a, b

zove se uniformna sluajna varijabla s parametrima a i b, a < b. Odreditefunkciju distribucije sluajne varijable X , te izraunajte njezinomatematiko oekivanje i varijancu.


Vane parametarske familije neprekidnih sluajnih varijabli


f (x) =

1

b a , x a, b0 , x / a, b

zove se uniformna sluajna varijabla s parametrima a i b, a < b.Numerike karakteristike uniformne sluajne varijable:

- Matematiko oekivanje: EX = a+b2

;

- Varijanca: Var X = (ba)2

12

.



Zadatak 7.

Zadana je eksponencijalna sluajna varijabla X s parametrom = 2.Odredite vjerojatnost da sluajna varijabla X

a) poprimi vrijednost u intervalu (1, 4],b) poprimi vrijednost veu od 2.5,

c) poprimi vrijednost manju od 2.




f (x) =1

2pi

e(x)222 ,

gdje je R, 0,+, zove se normalna sluajna varijabla sparametrima i 2, u oznaci X N (, 2). Numerikekarakteristike normalne sluajne varijable:

- Matematiko oekivanje: EX = ;- Varijanca: Var X = 2.



Napomena 3.

Normalna sluajna varijabli s oekivanjem EX = 0 i varijancom Var X = 1zove se standardna normalna sluajna varijabla, u oznaci X N (0, 1).



Zadatak 8.

Zadana je standardna normalna sluajna varijabla X . Odredite vjerojatnostda sluajna varijabla X

a) poprimi vrijednost u intervalu (3, 3],b) poprimi vrijednost veu od 3,

c) poprimi vrijednost manju od 3.[Rj. koristiti Microsoft Excel: Formulas More Functions Statistical NORMSDIST (funkcija distribucije je cumulative distribution function)]



Zadatak 9.

Zadana je normalna sluajna varijabla X s oekivanjem = EX = 5 ivarijancom 2 = 0.25. Odredite vjerojatnost

a) X (3.9, 5.8],b) X < 3.8,

c) X > 4.7,

d) 2 < X + 2,e) 3 < X + 3.

[Rj. koristiti Microsoft Excel: Formulas More Functions Statistical NORMDIST (funkcija distribucije je cumulative distribution function)]


Numericke karakteristike diskretne slucajne varijablePoissonova slucajna varijabla

Numericke karakteristike neprekidne slucajne varijableVane parametarske familije neprekidnih slucajnih varijabli

poissonova jednadžbae

Documents