poglavlje-teorije-cvrstoće

9. TEORIJE ČVRSTOĆE 1

9. TEORIJE ČVRSTOĆE 9.0. Uvodne napomene

Svojstva čvrstoće i elastičnosti tehničkih materijala određuju se pokusima rastezanja, sabijanja ili čistog smicanja. a) Jednoosno stanje naprezanja

Kod opterećenja štapa: - uzdužnom silom na rastezanje ili sabijanje (na vlak ili tlak), na čisto savijanje: ⇒ naprezanje maxxσ ,

- na uvijanje, na smicanje ⇒ posmično naprezanje maxτ . Provjera čvrstoće ⇒ maksimalno naprezanje u štapu uspoređuje se s kritičnim naprezanjem određenim na epruveti pokusom rastezanja, sabijanja ili smica-nja. Uvjet čvrstoće glasi:

dopmax σσ ≤x , odnosno dopmax ττ ≤ .

Dopušteno naprezanje materijala, uz faktor sigurnosti S (S = 1,2 ÷ 10) jest: - za krhke materijale:

SR /mdop =σ ,

gdje je Rm – vlačna ili tlačna čvrstoća, odnosno

S/Mdop ττ = ,

gdje je τM – lomna smična čvrstoća materijala, - za elastoplastične (duktilne, rastezljive) materijale:

SR /edop =σ ,

gdje je Re – naprezanje tečenja, a dopušteno posmično naprezanje:

dopdop )65,05,0( στ ÷= .

b) Višeosno stanje naprezanja Kod dvoosnog i troosnog stanja naprezanja ⇒ opasno stanje u materijalu

elementa ovisi o vrijednostima glavnih naprezanja 321 i, σσσ , odnosno o nji-hovoj kombinaciji 321 :: σσσ ⇒ teško (skupo) je ispitati sve moguće kombina-cije kod složenog opterećenja elementa konstrukcije.

Teorije čvrstoće (kriteriji loma) nastoje predvidjeti pojavu kritičnog stanja (lom, odnosno tečenje) materijala na temelju podataka dobivenih pri jednoos-


nom rastezanju epruvete na kidalici. U tehničkoj praksi postoji više teorija čvrstoće. Nijedna nije sveobuhvatna, tj. nije upotrebljiva za sve vrste materija-la. Ekvivalentno naprezanje ekvσ je takvo jednoosno naprezanje koje izaziva is-to stanje kao složeno stanje naprezanja u elementu konstrukcije.

Uvjet čvrstoće kod svih teorija čvrstoće glasi: dopekv σσ ≤ .

UVJETČVRSTOĆE:

dopekv σσ ≤

Ri

Ri

F

F

F

p

Mt

Ri = Rm ili Re ili Rp0,2

TEORIJAČVRSTOĆE

F

Mtp

ISPITIVANJEEPRUVETE

σekv

σekv

τmax σx

σy

σdop = Ri/S

σ1


U slučaju troosnog stanja naprezanja uvjet čvrstoće prikazuje se površi-nom čvrstoće u koordinatnom sustavu 0σ1σ2σ3.

U slučaju dvoosnog stanja naprezanja uvjeti čvrstoće prikazuju se pomoću krivulja čvrstoće u koordinatnom sustavu 0σ1σ2.

9.1. Teorija najvećeg normalnog naprezanja (teorija σmax) Opasnost od loma nastaje kad najveće normalno naprezanje postigne kritič-

nu vrijednost (Galilei,1638.; Rankine, 1861.).

a) Uvjet čvrstoće za troosno stanje naprezanja materijala jednake čvrstoće na vlak i tlak glasi:

( ) dop321maxekv ,,max σσσσσσ ≤== .

Površina čvrstoće je površina kocke bridova duljine 2σdop, slika a).

Ako materijal ima različitu vlačnu i tlačnu čvrstoću uvjet čvrstoće je:

dopv1ekv σσσ ≤= (za 01 >σ )

i dopt3ekv σσσ ≤= (za 03 <σ ).

b) Za dvoosno stanje naprezanja ( 0=3σ ) uvjet čvrstoće glasi:

( ) dop21maxekv ,max σσσσσ ≤== .

Krivulja čvrstoće je kvadrat stranica duljine 2σdop, slika b).


dopv1ekv σσσ ≤= (za 01 >σ ) i dopt2ekv σσσ ≤= (za 02 <σ ).

Krivulja čvrstoće prikazana je kvadratom stranica duljine )doptdopv σ(σ + ,slika c.

σ dop

σ dop

σ2

σdopσdop

σ3

σdop

σdop

a)

σ1

O

σdop σdop

σ dop

σ dop

σ2

σ1O

b)

T

σ1

σ2

σt dop σv dop

σ t d

opσ v

dop

σ2

σ1O

c)


Mogućnost primjene ⇒ samo za krhke materijale u području vlačnih napreza-nja!

9.2. Teorija najveće duljinske deformacije (teorija εmax) Opasnost od loma nastaje kad jedna od duljinskih deformacija postigne kriti-

čnu vrijednost (Saint Venant):

( )Edop

dop321max ,,maxσ

εεεεε =≤= ,

gdje je maxε najveća apsolutna vrijednost duljinske deformacije. a) Uvjet čvrstoće za troosno stanje naprezanja ( 321 σσσ >> ) glasi:

za :31 σσ > [ ]EEdop

3211max )(1 σσσνσεε ≤+−== ,

odnosno: dop321ekv )( σσσνσσ ≤+−= ,

za :13 σσ > [ ]

EEdop

2133max )(1 σσσνσεε ≤+−== ,

odnosno: dop213ekv )( σσσνσσ ≤+−= .


dop v321 )( σσσνσ ≤+− i dopt 213 )( σσσνσ ≤+− .

b) Za dvoosno stanje naprezanja ( 0=3σ ) uvjeti čvrstoće glase:

dop21ekv σνσσσ ≤−= , dop12ekv σνσσσ ≤−= .

σdop σdop

σ dop

σ dop

σ2

σ1

α

tan α = ν

45o

45oOPodručjesigurnosti

Rezultati se ne podudaraju s pokusima, pa se danas rijetko upotrebljava.


9.3. Teorija najvećeg posmičnog naprezanja (teorija τmax) Opasnost od loma nastaje kad najveće posmično naprezanje maxτ dostigne

kritičnu vrijednost dopτ , (Coulomb,1773.; Tresca, 1868.; Guest, 1900.):

22dop

dop31

maxσ

τσσ

τ =≤−

= .

b) Uvjet čvrstoće za troosno stanje naprezanja ( 321 σσσ >> ) glasi:

dop31ekv σσσσ ≤−= .

U općem je slučaju površina čvrstoće (površina tečenja) šesterostrana priz-ma čija je os jednako nagnuta prema koordinatnim osima 321 ,, σ σσ , tj. pravac

321 σσσ == (hidrostatička os) čini s njima kut od α = 54,7o.

Uvjeti čvrstoće su:

dop21 σσσ ≤− ,

dop32 σσσ ≤− ,

dop13 σσσ ≤− .

σ3

σ2

σ1

O Presjek ravninom Oσ1σ2α

αα

Površinatečenja

Pravac σ1=σ2=σ3

c) Kod dvoosnog stanja naprezanja ( 0=3σ ) razlikuju se tri slučaja određiva-nja maksimalnog posmičnog naprezanja, slike a), b) i c), te uvjeti čvrstoće glase:

τmax=σ1/2

O

σ1

σ1 σ1σ2

σ2σ2

σ3=0 σ3=0 σσσ

τ ττ

τmax τmax τmax

τmax= σ2 /2τmax=(σ1− σ2)/2

OO

a) Oba glavna naprezanja veća su od nule ( 01 >σ , 02 >σ ):



b) Oba glavna naprezanja manja su od nule ( 01 <σ , 02 <σ ):


c) Glavna naprezanja imaju suprotan predznak ( 0=3σ ):

dop21minmaxekv σσσσσσ ≤−=−= .

Krivulja čvrstoće omeđuje "šesterokut" na slici: σ2

σ1

σ dop

σdop σdop

O

σ dop

M

Područjesigurnosti

σ2

σ1

Uvijanje,čisto smicanje

45o

Mogućnost primjene ⇒ za elastoplastične (duktilne) materijale. Nedostaci teorije: - za krhke materijale ne daje zadovoljavajuće rezultate, - ne uzima u obzir utjecaj srednjeg po iznosu glavnog naprezanja na čvrstoću materijala.

9.4. Energijske teorije čvrstoće 9.4.1. Teorija najveće gustoće energije deformacija

Opasno stanje materijala nastaje kad gustoća energije deformacija oU dos-tigne kritičnu vrijednost dop oU , (Beltrami, 1885.; Haigh, 1921.).

Gustoća energije deformacija pri troosnom stanju naprezanja iznosi:

[ ])(221

13322123

22

21o σσσσσσνσσσ ⋅+⋅+⋅−++=

EU .

Pri jednoosnom stanju naprezanja je kritična gustoća energije deformacija:

2dopdopo 2

1σ

EU = .


Iz uvjeta čvrstoće slijedi izraz:

dop13322123

22

21ekv )(2 σσσσσσσνσσσσ ≤⋅+⋅+⋅−++= .

Ova teorija nije eksperimentalno potvrđena i rijetko se primjenjuje.

9.4.2. Teorija najveće gustoće distorzijske energije deformacija (energijska teorija HMH)

Opasno stanje materijala nastaje kad gustoća distorzijske energije (energija promjene oblika) d oU dostigne kritičnu vrijednost ,dop d oU (Maxwell, 1856.;Huber,1904.; von Mises, 1913.; Henckey, 1924.), tj. uvjet čvrstoće glasi:

dop d od o UU ≤ .

Gustoća distorzijske energije pri troosnom stanju naprezanja iznosi:

[ ]213

232

221d o )()()(

61

σσσσσσν

−+−+−+

=E

U .

Pri jednoosnom stanju naprezanja dopuštena je gustoća distorzijske energije:

2dopdop d o 3

1σ

νE

U += .

Iz uvjeta čvrstoće slijedi izraz:

[ ] dop2

132

322

21ekv )()()(21

σσσσσσσσ ≤−+−+−= .

U općem slučaju je površina čvrstoće (površina tečenja) valjak polumjera dop3/2 σ=r , čija je os jednako nagnuta prema koordinatnim osima

321 ,, σ σσ , tj. pravac 321 σσσ == (hidrostatička os), slika a).

d) Kod dvoosnog stanja naprezanja ( 03 =σ ) vrijedi izraz:

dop2122

21ekv σσσσσσ ≤⋅−+= .

Taj se izraz može napisati u obliku:

1dop

2

dop

2

dop

1

dop

1 ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22

σσ

+σσ

σσ

−σσ

.

Krivulja čvrstoće je elipsa s poluoosima: dopdop 3/2,2 σσ == ba , slika b).


Devijatorska ravninaokomita na pravac

σ1 = σ2 = σ3

Krivulja čvrstoće

σ3

σ2

σ1

pravacσ1 = σ2 = σ3

O

r

αα

α

Površina čvrstoće

α = 54,7o

0 σ1

σ2

45o

45o

b

a

σ dop

σ dop

σdop σdop

b

a

Područjesigurnosti

Uvijanje,čisto smicanje

O

9.5. Usporedba teorija čvrstoće Usporedba krivulja čvrstoće prema svim teorijama čvrstoće dana je na slici.

Područje sigurnosti prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja nalazi se unutar područja sigurnosti svih ostalih teorija. To znači da teorija τmax za rav-ninsko stanje naprezanja daje najveću sigurnost, te se zbog jednostavnosti ra-čunanja σekv mnogo primjenjuje.

Primjer eksperimentalne provjere teorija čvrstoće pokazan je na epruveti, slika a), na kojoj se mogu ostvariti različite kombinacije dvoosnog stanja naprezanja ( 21, σσ ).To je tanka kružna cijev, koja se može istodobno opteretiti unutarnjim tlakom p, uzdužnom silom F i momentom uvijanja M. Rezultati eksperimenata za različite kombinacije opterećenja p, F i M pokazani su na slici b). a)

FM

Mp

F

σ2

σ1

+++

+++

+ + ++++

++

++++

+ +++++

+++ +

O

σmax

τmax HMH

b)


Usporedba krivulja čvrstoće prema osnovnim teorijama čvrstoće:

O

σmax

σdop

−σdop

−σdop

σ1

σ2

45o

45o

εmaxα

HMH

τmax

σdop

uvijanje, čistosmicanje

tan α = ν

Primjer primjene teorija čvrstoće kod čistog smicanja ili uvijanja:

Glavna naprezanja su: τσσ =−= 21 .

Uvjet čvrstoće jest: dopττ ≤ .

Dopuštena vrijednost posmičnog naprezanja dopτ prema teorijama čvrstoće je:

1. Teorija najvećih normalnih naprezanja: dopdop στ = ,

2. Teorija najvećih normalnih deformacija, za ν = 0,3: dopdop 77,0 στ =

3. Teorija najvećih posmičnih naprezanja: dopdop 5,0 στ =

4. Teorija najveće gustoće distorzijske energije (HMH): dopdop 577,0 στ =

Usporedba s eksperimentalnim rezultatima daje najbolje slaganje: - za elastoplastične (duktilne) materijale ⇒ teorija najveće gustoće distorzijske energije (HMH), - za krhke materijale kod rastezanja ⇒ teorija najvećih normalnih naprezanja. Osnovni primjera stanja naprezanja na konstrukcijskim elementima:


sferna posuda pod unutarnjim tlakom

σ1

σ2

45o

12

1 −=σ

σ

12

1 =σ

σ

sferna posuda pod vanjskim tlakom

uvijanje, čisto smicanje

22

1 =σ

σ

cilindrična posuda pod unutarnjim tlakom

45o

cilindrična posuda pod vanjskim tlakom

savijanje silama (σx > 0)

osno opterećenje, tlak

osno opterećenje, vlak

osno opt. (σx < 0) +uvijanje ( σ2 >> σ1)

O

45o

osno opt. (σx > 0) +uvijanje (σ1 >> σ2 )

savijanje silama (σx < 0) Primjeri opterećenja elemenata u ravninskom stanju naprezanja: 1) osno opterećenje štapa:

a) rastezanje, vlak: 0,0 21 => σσ ,

b) sabijanje, tlak: 0,0 21 <= σσ ,

2) sferna posuda: pod unutarnjim tlakom: ,021 >= σσ

pod vanjskim tlakom: ,021 <= σσ

3) cilindrična posuda (plašt): pod unutarnjim tlakom: ,02 21 >= σσ

pod vanjskim tlakom: ,02 21 <= σσ

4) uvijanje, čisto smicanje: ,, 21 τστσ −==

5) osno opterećenje + smicanje (ili uvijanje), poprečno savijanje:

glavna naprezanja su: 2τσσ

σ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±=

2

2,1 22xx ,


pri tom glavna su naprezanja 21 σσ i uvijek različitog predznaka, tj. u slučaju kada je: a) 0>xσ ⇒ 1σ >> 2σ ,

b) 0<xσ ⇒ 2σ >> 1σ .

poglavlje-teorije-cvrstoće

Documents