poglavlje-složeno-opterećenje

10. SLOŽENO OPTEREĆENJE ŠTAPOVA 1

10. SLOŽENO OPTEREĆENJE ŠTAPOVA 10.1. METODA SUPERPOZICIJE OPTEREĆENJA Do sada su analizirana naprezanja i deformacije za osnovna opterećenja štapa kod kojih su se unutarnje sile reducirale na samo jednu komponentu: osno opterećenje, smicanje, uvijanje i savijanje.

Ako u presjeku štapa djeluje istodobno nekoliko komponenti unutarnjih sila, radi se o složenom opterećenju štapa. Za linearno-elastične konstrukcije u području malih pomaka, tj. za konstrukcije kojima su pomaci linearno i jednoznačno ovisni o opterećenju, smije se primijeniti princip superpozicije. Prvo se odrede komponente naprezanja pojedinačno od svakog opterećenja, a zatim se pripadne komponente zbroje. Pri tom se sve komponente naprezanja moraju odnositi na isti koordinatni sustav, tj. zbrajanje se vrši prema pravilu tenzorske algebre, tj.:

...+′′+′= xxx σσσ , ...+′′+′= yxyxyx τττ ,

...+′′+′= yyy σσσ , ...+′′+′= zyzyzy τττ ,

...+′′+′= zzz σσσ , ...+′′+′= xzxzxz τττ .

Nakon određivanja svih komponenti rezultirajućeg tenzora naprezanja, odrede se glavna naprezanja i s pomoću njih ekvivalentno naprezanje prema jednoj od teorija čvrstoće. Ekvivalentno naprezanje zatim se uspoređuje s dopuštenim naprezanjem, tj. treba uvijek biti ispunjen uvjet čvrstoće:

dopekv σσ ≤ .

Za primjenu u tehnici posebno su zanimljivi istodobno savijanje i osno opterećenje, te savijanje i uvijanje okruglih štapova (kružni poprečni presjek).

10.2. SAVIJANJE I OSNO OPTEREĆENJE ŠTAPA Štap na slici, u presjeku A – A istodobno je opterećen uzdužnom silom N i momentom savijanja My. Naprezanje σx u presjeku analizirano je za simetrični i nesimetrični presjek štapa, kao i za materijale jednake i različite čvrstoće na vlak i tlak. Najveće vrijednosti naprezanja σx u presjeku A – A štapa iznose:

od osnog opterećenja: AN

=vσ , od savijanja: y

y

WM

±=sσ .


A

x

Fl

A

h

U presjeku A-A jest:

N = F, My = F⋅l.

a) simetrični presjek štapa

S

zb

y

A

h

σv =N/A

+

σx max = σv +σs

σx

+

+

−

σs = −My/Wy

=

σs = My/Wy

−

+

σx min

Nakon zbrajanja komponenata ekstremne vrijednosti normalnog naprezanja u poprečnom presjeku štapa su:

y

yx W

MAN

+=maxσ , y

yx W

MAN

−=minσ .

Uvjet čvrstoće štapa od materijala jednake čvrstoće na vlak i tlak jest, da najveće normalno naprezanje po apsolutnom iznosu (naprezanja od osnog opterećenja i savijanja se zbrajaju) bude manje od dopuštenog naprezanja, tj.:

dopmax σσ ≤+=y

yx W

MAN

.

Uvjet čvrstoće štapa od materijala različite čvrstoće na vlak i tlak jest:

dop vmax σσ ≤x i dopt min σσ ≤x .

b) Najveće vrijednosti komponenata naprezanja u nesimetričnom presjeku su:

y

z

σx

S

h2

h1

σv =N/A

++

+

−

σx max = σv +σs A

=

σs A= My/W1y

σx min = σv +σs Bσs B= −My/W2y

+

−

B

Aod osnog opterećenja:

AN

=vσ ,

od savijanja:

y

y

y

y

WM

WM

2Bs

1As , −== σσ .

Ovdje su aksijalni momenti otpora nesimetričnog presjeka:

22

11 ,

hI

WhI

W yy

yy == .


Nakon zbrajanja komponenata, ekstremne vrijednosti normalnog naprezanja u točkama A i B poprečnog presjeka štapa su:

y

yxx W

MAN

1AsvAmax +=+== σσσσ ,

y

yxx W

MAN

2BsvBmin −=+== σσσσ .

Uvjet čvrstoće štapa od materijala jednake čvrstoće na vlak i tlak jest, da najveće normalno naprezanje po apsolutnom iznosu (naprezanje od osnog opterećenja i maksimalno naprezanje od savijanja se zbrajaju) bude manje od dopuštenog naprezanja, tj.:

dopmin

max σσ ≤+=y

yx W

MAN

.

Uvjet čvrstoće štapa od materijala različite čvrstoće na vlak i tlak jest:

dop vmax σσ ≤x i dopt min σσ ≤x .

Za presjek jednake čvrstoće treba postići vrijednosti naprezanja na oba kraja presjeka jednake vrijednostima dopuštenih naprezanja σv dop i σt dop, tj. treba postići omjer:

dopt

dop v

min

max

σσ

σσ

=x

x.

10.3. SAVIJANJE I UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA

Štap na slici a) istodobno je opterećen momentima savijanja My i Mz, momentom uvijanja Mt, a kružnog je poprečnog presjeka (krug ili kružni vijenac), od materijala jednake vlačne i tlačne čvrstoće. Raspodjele komponenata posmičnog i normalnog naprezanja u poprečnom presjeku dane su na slici b). a)

Mz

Mt

xz

yS

My

S

Ms

B

A

A

Rezultirajući moment savijanja u presjeku kod savijanja u dvije ravnine jest:

22s zy MMM += .

Aksijalni i polarni momenti otpora poprečnog presjeka štapa su:

yWW = , yp WW 2= .


Najveća posmična i normalna naprezanja javljaju se na obodu presjeka u točkama A i B, tj. na pravcu okomitom na vektor sM

v.

Oznake za iznose maksimalnih naprezanja u presjeku su:

minmax xx σσσ == , maxττ = .

σx max= Ms/W

A

B

S

−

+

Ms

Mt

σx min= −Ms/W

τ max= Mt/Wp

τ maxb)τ

τσx

Komponente naprezanja na elementima A i B presjeka su:

σA

τ

x σB

τ

x

Element A Element B

Glavna naprezanja u točki A iznose (σ2 = 0):

[ ] [ ]223

221 4

21,4

21 τσσστσσσ +−−=++−= ,

odnosno u točki B (σ2 = 0):

[ ] [ ]223

221 4

21,4

21 τσσστσσσ +−=++= ,

gdje su σ i τ apsolutne vrijednosti najvećeg normalnog naprezanja od savijanja i posmičnog naprezanja od uvijanja, a čije su vrijednosti dane izrazima:

WM s=σ ,

WM

WM

p 2tt ==τ .

Glavna naprezanja mogu se izraziti i u obliku (npr. za točku B):

[ ]2t

2ss3,1 2

1 MMMW

+±=σ .

Provjera čvrstoće provest će se u točki B pomoću sve četiri navedene teorije čvrstoće, a za koje uvjet čvrstoće glasi:

dopekv

ekv σσ ≤=W

M,

gdje je Mekv ekvivalentni moment savijanja prema primijenjenoj teoriji čvrstoće.


a) Teorija najvećeg normalnog naprezanja Ekvivalentno naprezanje po toj teoriji iznosi:

( ) dop22

1ekv 421 στσσσσ ≤++== .

Nakon uvrštenja izraza za σ i τ slijedi izraz za ekvivalentni moment savijanja:

( )W

MMMMW

ekv2t

2ssekv 2

1=++=σ ⇒ ( )2

t2ssekv 2

1 MMMM ++= .

b) Teorija najveće duljinske deformacije Ekvivalentno naprezanje po toj teoriji iznosi:

dop31ekv σσνσσ ≤⋅−= .


WMMMM

Wekv2

t2ssekv 2

12

11=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

−=

ννσ .

Ako se uzme, npr. za čelik ν ≈ 0,3, bit će ekvivalentni moment savijanja: 2t

2ssekv 65,035,0 MMMM ++= .

c) Teorija najvećeg posmičnog naprezanja Ekvivalentno naprezanje po toj teoriji iznosi:

dop22

31ekv 4 στσσσσ ≤+=−= .


WMMM

Wekv2

t2sekv

1=+=σ ⇒ 2

t2sekv MMM += .

d) Teorija najveće gustoće distorzijske energije (energijska teorija HMH) Ekvivalentno naprezanje po toj teoriji iznosi:

3123

21ekv σσσσσ −+= ⇒ dop

22ekv 3 στσσ ≤+= .


WMMM

Wekv2

t2sekv 75,01

=+=σ ⇒ 2t

2sekv 75,0 MMM += .


Kod dimenzioniranja presjeka koristi se izraz: dop

ekv

σMW ≥ .

Za puni kružni presjek promjer d štapa, odnosno za kružni vijenac, uz omjer

unutarnjeg i vanjskog promjera Ddk u /= , vanjski promjer D štapa jest:

d

3dop

ekv32σπMd ≥ , d D 3

dop4

ekv

)1(32

σπ kMD

−≥

Vanjski promjer štapa treba zaokružiti na veći standardni promjer, npr. s korakom od 5 mm ( …, 70 mm, 75 mm, 80 mm, 85 mm, …).

10.4. OSNO OPTEREĆENJE, SAVIJANJE I UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG PRESJEKA

Štap kružnog presjeka na slici istodobno je opterećen uzdužnom silom N, rezultirajućim momentom savijanja Ms i momentom uvijanja Mt.

Maksimalno normalno naprezanje je zbroj apsolutnih vrijednosti normalnih naprezanja od uzdužne sile i od rezultirajućeg momenta savijanja, tj. vrijedi izraz:

WM

AN

xs

maxsvmax +=+== σσσσ .

Maksimalno posmično naprezanje u presjeku jest:

WM2

tmax == ττ .

Mz

Mt

xz

yS

My

S

Ms

B

AN

A

Provjera čvrstoće štapa jest:a) prema teoriji τ max:

dop22

ekv 4 στσσ ≤+= ,

c) prema energijskoj teoriji HMH:

dop22

ekv 3 στσσ ≤+= .

Kod dimenzioniranja presjeka zanemaruje se utjecaj uzdužne sile, a izračunati promjer zaokružuje se na veću standardnu vrijednost.


Za dimenzioniranja poprečnog presjeka štapa rabe se izrazi:

2t

2sekv MMM += ⇒

dop

ekv

σMW ≥ .

Nakon odabira većeg standardnog promjera potrebno je izračunati geometrijske značajke poprečnog presjeka A i W s odabranim promjerom, te prema ranije danim izrazima izračunati vrijednosti maksimalnih naprezanja

maxσ i maxτ . Zatim treba ponovno provjeriti čvrstoću štapa prema odabranoj teoriji čvrstoće uspoređivanjem ekvivalentnog naprezanja s dopuštenim naprezanjem materijala štapa, tj. uvijek mora biti zadovoljen uvjet čvrstoće:

dopekv σσ ≤ .

U primjerima štapa s pojavom koncentracije naprezanja, potrebno je iz odgovarajućeg priručnika očitati vrijednosti faktora koncentracije naprezanja za dotični oblik i dimenzije geometrijskog diskontinuiteta (otvor, bočni utor, nagli prijelaz presjeka ili dr.) te za vrstu opterećenja elementa (osno opterećenje, savijanje ili uvijanje).

U općem se primjeru iznosi maksimalnih normalnih i posmičnih naprezanja izračunavaju prema izrazima:

yWM

KAN

K ssnmaxsvmax ⋅+⋅=+== σσσσ ,

WM

K2

tτmax ⋅== ττ ,

gdje su za određeni geometrijski diskontinuitet štapa: Kn - faktor koncentracije kod osnog opterećenja,

Ks - faktor koncentracije kod opterećenja na savijanje,

Kτ - faktor koncentracije kod opterećenja na uvijanje.

Za provjeru čvrstoće vratila najčešće se rabi teorija najveće gustoće distorzijske energije deformiranja (teorija HMH):

dop2max

2maxekv 3 στσσ ≤+= .

Kod dinamičkog opterećenja vratila treba računati s istovremenim opterećenjima na savijanje i uvijanje, te se čvrstoća provjerava prema izrazu:

( ) .3 dop2

max02maxekv στασσ ≤⋅+=


Faktor 0α očitava se iz dijagrama ili tablica u priručnicima, npr. u Decker: Maschinenelemente, ovisno o oblicima opterećenja (istosmjerno ili izmjenično). Tako je npr. za promjenjivo opterećenje štapa: - izmjenično savijanje i mirno uvijanje: faktor ≈0α 0,7 - izmjenično savijanje i pulsirajuće uvijanje: faktor ≈0α 0,85,

itd.

Primjer za proračun koljenastog štapa ⇒ iz Vježbenice!

poglavlje-složeno-opterećenje

Documents