podstawy mechaniki kwantowej - jagiellonian universitylojewska/wyklady/wyklady/14.pdf · 2010. 1....

1

Jak opisać świat w małej skali?

Podstawy mechaniki kwantowej

2

Promieniowanie elektromagnetyczne

10-12 10-10 10-8 4 x 10-7

Gammarays

X rays Ultraviolet Infrared Microwaves Radio waves

FM Shortwave AM

4 x 10-7

Wavelength in meters

5 x 10-7 6 x 10-7 7 x 10-7

7 x 10-7 10-4 10-2 1 102 104

Visi

ble

gamma X ultrafioletwidzialne

podczerwień mikrofale radiowe

Film_fala elektromagnetyczma.MOV

4

1 secondλ1

ν1 = 4 cycles/second = 4 hertz


λ2

λ3



[ ]sm

Tc νλλ

⋅==

[ ]HzT s == 11ν

λ− długość fali, mν − częstość, 1/sΤ− okres, sc – prędkość światła, m/s

5

Przykład 1 Wyznaczenie częstości światła z długości faliJaka jest częstość promieniowania podczerwonego stosowanego w dalmierzu (autofocus) aparatu fotograficznego, jeżeli długość fali tego promieniowania wynosi 1.00 µm?

pamiętając, że λ ⋅ ν = c i przeliczając długość fali na metry, tak aby c i λ były wyrażone w tych samych jednostkach, długość fali wynosi:

λ = 1.00 µm ⋅ = 1.00⋅10-6 m10-6

1µm

ν = = 3.00⋅1014 1/s3.00⋅108 m/s1.00⋅10-6 m

3.00⋅1014 Hz


⇒=λ

ν c

6

1. Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego

2. Efekt fotoelektryczny3. Efekt Comptona4. Widma atomowe5. Okresowość

Fakty eksperymentalne

7


1. Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego

νhE =

Max Planck 1900

sJh ⋅⋅= −3410626.6

kwanty energii

http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/applets/Blackbody/frame.html

8


2. Efekt fotoelektrycznyAlbert Einstein 1905

me – masa elektronuv – prędkośćν – częstość Φ – praca wyjścia

bilans energiiehν

Φ+=

Φ+=2

21

..

ve

elwyjsciapracaelkinetycznakwantu

mh

EE

ν

9

Przykład 2 Wyznaczenie energii fotonówJaka jest energia (w kilodżulach na mol) fotonów światła żółtego o częstości 5.2⋅1014 Hz?

Każdy foton ma energię, która odpowiada częstości światła, zgodniez równaniem E=hν. Z równania tego należy obliczyć tą energię, a następnie pomnożyć ją przez stałą Avogadra, by wyznaczyć energięna mol fotonów (w kilodżulach na mol 1kJ = 103 J, 1Hz = 1/s).

E = hν = (6.63⋅10-34 J⋅s) ⋅ (5.2⋅1014 1/s) = 6.63 ⋅ 5.2 ⋅ 10-20 J

(6.63 ⋅ 5.2 ⋅ 10-20 J) ⋅ (6.022⋅1023/mol) ⋅ (1 kJ/103J) = 2.1⋅102 kJ/mol


10

równanie de Broglie’a

λhp =


3. Efekt Comptonazasada zachowania pędu

pi

ps θpe

pi

esi ppp rrr+=

psi

hhhλλλ

+= θλλ cos=

s

i

θcos=i

s

ppr

r

( )θλλ cos1−= ei

11

Przypuśćmy, że elektron w atomie porusza się z prędkością 2.2⋅106 m/s. Jaka jest długość fali de Broglie’a elektronu?

Równanie λ = h/mυ podaje zależność między długością fali a masą i prędkością obiektu. Aby z niego skorzystaćmusimy znać masę elektronu i wartość h (jednostki: kilogram, metr, sekunda).

me= 9.109 ⋅ 10-28 g = 9.109 ⋅ 10-31 kg

6.63⋅10-34 J⋅s(9.109⋅10-31 kg) ⋅ (2.2⋅106 m/s)λ = = 3.3 ⋅ 10-10 m

1J = 1kg ⋅ m2/s2 ; 330 pm

Przykład 3 Obliczenie długości fali obiektu


eee m

hυ

λ⋅

=Fala de Broglie

12

Jaką masę mają fotony pochodzące ze światła o długości fali 500 nm?

Równanie mυ = h/λ podaje zależność między masą i prędkością obiektu a długością fali.

me=9 ⋅10-31 kg

Przykład 3 Obliczenie masy fotonu


kg

smm

Jsm

chm

f

f

37

87-

34-

104103105

106.63 −⋅=⋅⋅⋅

⋅=

⋅=

λ

13

07_97

Prism

Slit

Continuousspectrum

Electric arc(white lightsource)

(a)

Prism

Slit

Detector(photographic plate)

Hydrogen gas

(b)

Highvoltage

410 nm434 nm 486 nm 656 nm

Detector(photographic plate)

Arc

VI BGYOR+

-

+

-


4. Widma atomowe

21211

22 >⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= n

nRoλ

14


5. Okresowość02_29

1H

3Li

11Na

19K

37Rb

55Cs

87Fr

4Be

12Mg

20Ca

38Sr

56Ba

88Ra

21Sc

39Y

57La*

89Ac†

22Ti

40Zr

72Hf

104Unq

23V

41Nb

73Ta

105Unp

24Cr

42Mo

74W

106Unh

25Mn

43Tc

75Re

107Uns

26Fe

44Ru

76Os

108Uno

27Co

45Rh

77Ir

109Une

110Uun

111Uuu

28Ni

46Pd

78Pt

29Cu

47Ag

79Au

30Zn

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

48Cd

80Hg

31Ga

49In

81Tl

5B

13Al

32Ge

50Sn

82Pb

6C

14Si

33As

51Sb

83Bi

7N

15P

34Se

52Te

84Po

8O

16S

9F

17Cl

35Br

53I

85At

10Ne

18Ar

36Kr

54Xe

86Rn

2He

58Ce

90Th

59Pr

91Pa

60Nd

92U

61Pm

93Np

62Sm

94Pu

63Eu

95Am

64Gd

96Cm

65Tb

97Bk

66Dy

98Cf

67Ho

99Es

68Er

100Fm

69Tm

101Md

70Yb

102No

71Lu

103Lr

1A

2A

Transition metals

3A 4A 5A 6A 7A

8A1

2 13 14 15 16 17

18

Alka

li m

etal

s

Alkalineearth metals Halogens

Noblegases

*Lanthanides

† Actinides

15

1. Kwantowanie energii2. Dualizm korpuskularno-falowy3. Nieoznaczoność położenia i pędu (Heisenberga)

Osobliwości świata w małej skali

16

dyfrakcja interferencja

dyfrakcjainterferencja

falowe

promieniowanie katodowepromieniowanie beta

efekt Comptonaefekt fotoelektryczny

korpuskularne

elektronyświatłowłasności

Dualizm korpuskularno-falowy

http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/MicroWorld1_E

Przykład: proces fotograficzny

Które efekty dominują i dlaczego?

Fala de Broglie’a

eee m

hυ

λ⋅

=

17

Dyfrakcja i interferencja elektronów

18

Zgodnie z relacją de Broglie’a cząstka o określonej prędkości jest falą, której długość określa równanie:

eee m

hυ

λ⋅

=

Gdzie zatem znajduje się elektron?

Fala rozciąga się w przestrzeni, jest wszędzie.

Jednak elektrony są jednocześnie falą i materią

Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Elektrony


cechy fali i cząstki

19

energia

masa

pęd

hh -- stała Plancka = 6.62 stała Plancka = 6.62 .. 1010--3434 JJ..ss

νν –– częstość, sczęstość, s--11

λλ -- długość fali, mdługość fali, m

cc –– prędkość światła 3prędkość światła 3..101088 m/s m/s

λν hc

hp f ==

νhE f =

2chm f

ν=

Światło cechy fali i cząstki


20

jeżeli znamy prędkość cząstki, to nie możemy określić jej położeniagdy znamy położenie cząstki, wówczas nie wiemy nic o jej prędkościtzn. znając położenie cząsteczki, nie możemy opisać jej jako fali o określonej długości

hpx ≥∆⋅∆Czy są sytuacje, że zasada nieoznaczoności nie działa?

nie, w opisie makroskopowym świata falowe właściwości materii nie odgrywają praktycznie roli i można je zaniedbać

Zasada nieoznaczoności Heisenberga

21

Kwantowy opis atomu

1. Kwantowanie energiiinterpretacja efektu fotoelektrycznego i rozkładu widma ciała doskonale czarnego

νhE =2. Dualizm korpuskularno-falowy

każda poruszająca się cząstka (foton, elektron) emituje falę o długości:

ph

=λ

3. Zasada nieoznaczonościnie można dokładnie ustalić położenia i pędu cząstki

hpx ≥∆⋅∆

22

5. Gęstość prawdopodobieństwamożna natomiast ustalić prawdopodobieństwo P przebywania cząstki w określonej objętości dV. Prawdopodobieństwo w danej objętości definiujemy jako gęstość prawdopodobieństwa Ψ2:

dVP

=2ψgdzie Ψ oznacza funkcję falową.

Kwantowy opis atomu

4. Równanie Schrödingerafunkcję Ψ znajdujemy rozwiązując równanie różniczkowe:

ψψ EH =ˆ

23

Co to jest funkcja falowa?

xy

z P – prawdopodobieństwoΨ– funkcja falowaρ – gęstość prawdopodobieństwa

),,(),,,( zyxtzyxdVP ρρρ ≈==

Definicje

12

2

=

=

∫ψ

ρψ

Kwantowy opis atomu

24

DefinicjeCo to jest operator w matematyce?

dowolna operacja matematyczna, jak na przykład:

sindxd

×+

fgfG ⋅=ˆ

Co to jest zagadnienie własne?jeżeli w wyniku działania jakiegoś operatora G na funkcję f otrzymamy tą samą funkcję przemnożoną przez liczbę g:

wówczas liczbę g nazywamy wartością własną operatora G

^

^

Kwantowy opis atomu

25

VTH ˆˆˆ +=

Równanie Schrödingera

m – masa cząstkih – stała Plancka

zasada zachowania energii

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++− 2

2

2

2

2

22

2 dzd

dyd

dxd

mh

reZ

0

2

4πε⋅

−

Z – ładunek jądraE – ładunek elektronu

energia przyciągania ładunków (Coulomba)jądro-elektron, elektron-elektron, jądro-jądro

energia kinetyczna elektronów i jąder

ε0 – stała dielektryczna próżnir – promień

operator energii potencjalnejoperator energii kinetycznej

Energia w atomie - bilans

Kwantowy opis atomu

26


2

22

2ˆ

dxd

mhH −=

jeżeli cząstka porusza się w jednym wymiarze x to operator Hamiltona ma postać w stanie nieważkości:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= 2

2

2

2

2

22

2ˆ

dzd

dyd

dxd

mhH

a w trzech wymiarach x, y, z:

m – masa cząstkih – stała Plancka

Mechanika kwantowa

27


Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się funkcje falowe i odpowiadające im wartości energii E. O poprawności rozwiązania świadczy jego zgodność z wartościami E wyznaczonymi doświadczalnie.

Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się funkcje falowe i odpowiadające im wartości energii E. O poprawności rozwiązania świadczy jego zgodność z wartościami E wyznaczonymi doświadczalnie.

Mechanika kwantowa

28

Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)

xx=0 x=L

)()(2 2

22

xExdxd

mh ψψ =−

równanie Schrödingera ma postać:

Mechanika kwantowa

29

)Ψ(Ψ 2 2

22

xEdx

dm

h=−

E – energia cząstki

A, B – stałe całkowania

kxBkxAx cossin)Ψ( +=


rozwiązanie równania ma postać ogólną:

gdzie

π2h

=h21

)2(h

mEk = i

Mechanika kwantowa

30

Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)Uwzględniając warunki brzegowe cząstki w pudle dla:

x=0 to Ψ=0 i x=L to Ψ=0bo cząstka nie przebywa na ściankach pudła.

Podstawiając x=0 do równania ogólnego otrzymamy:

Ψ(x=0)=Asin (k⋅0)+Bcos(k⋅0)=0

zauważmy, że: sinkx=0 i coskx=1wówczas B=0

Podstawiając x=L do równania ogólnego otrzymamy:

Ψ(x=L)=Asin (k⋅L)=0wówczas A=0 lub sin (k⋅L)=0

jednak A=0 wykluczamy, bo cząstka istnieje (Y(x)= 0 dla 0 < x< L)

Mechanika kwantowa

31

Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)Zatem dalej:

sin (k⋅L)=0

wtedy i tylko wtedy, gdy

k=n⋅π i n jest liczbą naturalną

Podstawmy do wzoru na k

Z tego otrzymamy wzór na energię E

π 2π 3π

...2,1)2( 21

=== nnmEk πh

...218 2

22

,nmL

hnE ==Energia cząstki jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej n

Mechanika kwantowa

32


...218 2

22

,nmL

hnE ==

Mechanika kwantowa

12

3

4

5

14

9

16

25

nn2E

poziomy energetyczne cząstki

0

energia

33

dla stanu podstawowegodla stanu podstawowego n = 1

dla stanu wzbudzonego n > 1

można wykazać, że z warunku

określający funkcję własną dla n-tego poziomu energetycznego

∫ =ΨL

dxx0

2 1)(

Lxn

Lxn

πsin2)(21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ψ


Mechanika kwantowa

funkcja falowa

34


Mechanika kwantowa

funkcja falowa i energia

Lxn

Lxn

πsin2)(21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ψ

2

22

8mLhnE =

x=0 x=L

1

2

3

1

4

9

nn2E

0

ψ

35


Mechanika kwantowa

funkcja falowa

Lxn

Lxn

πsin2)(21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ψ

2

22

8mLhnE =

22 sin2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Ψ

Lxn

Lxn

πgęstość prawdopodobieństwa

i energia

ψ

x=0 x=L

1

2

3

1

4

9

nn2E

0

ψ2

podstawy mechaniki kwantowej - jagiellonian universitylojewska/wyklady/wyklady/14.pdf · 2010. 1....

Documents