pns_doi

Corneliu Rusu

Prelucrarea Numerica a Semnalelor

Editia a doua revazuta

Cluj-Napoca, 2002

Prefata

Prefata la editia a doua

Intervalul de timp foarte scurt la care aceasta editie urmeaza primei editii nu a ingaduit sa

luam ın considerare toate ımbunatatirile ce s-ar fi putut aduce la redactarea si prezentarea

materialului din aceasta carte.

Cu toate acestea, am procedat la unele modificari pe care le-am crezut absolut necesare

pentru mai buna ıntelegere a problemelor de prelucrarea numerica a semnalelor prezentate.

In afara de o realizare mai compacta, s-au mai adus de-a lungul ıntregului curs unele

mici ındreptari pe care nu le mai enumeram aici. Toate adaugirile si chiar suprimarile

facute cu scopul ameliorarii atat a formei, cat si a continutului nu modifica linia generala

a manualului.

De aceea ne mentinem rugamintea catre studentii din Universitatea Tehnica din Cluj-

Napoca, colegii nostri de specialitate si catre toti cititorii de a ne semnala erorile eventuale

scapate si de a ne trimite toate observatiile susceptibile de a contribui la si o mai buna

prezentare.

Corneliu Rusu

Cluj-Napoca, februarie, 2002

Prefata la editia ıntai

Cartea este destinata ın primul rand studentilor din anul IV de la sectiile de Electronica

Aplicata si Comunicatii care au disciplina de Prelucrarea Numerica a Semnalelor ın Planul

de Invatamant. Consider ca aceasta lucrare poate fi utila atat studentilor de la alte

facultati, cat si absolventilor interesati de domeniu.

Primul capitol abordeaza aspectele fundamentale ale prelucrarii numerice a semnalelor.

Urmeaza trei capitole distincte, fiecare asociat unui anumit tip de analiza a sistemelor dis-

iii

iv Prefata

crete, cu referire ındeosebi la sistemele liniare si invariante ın timp. Este vorba de analiza

ın domeniul timp, analiza ın domeniul frecventa si analiza cu ajutorul transformatei ın z.

Pentru fiecare caz se evidentiaza importanta caracterizarii sistemelor cu ajutorul secventei

pondere, raspunsului la frecventa si al functiei de sistem. De asemenea este subliniat rolul

operatiilor si al operatorilor asociati fiecarui tip de analiza: suma de convolutie, transfor-

mata Fourier si ın z.

Vreau sa multumesc pe aceasta cale dascalilor mei: Prof. dr. ing. Monica Borda,

Prof. dr. ing. Lelia Festila, Prof. dr. ing. Costin Miron si Prof. dr. ing. Radu Munteanu

pentru sprijinul moral oferit ın timpul dezvoltarii manuscrisului. De asemenea as dori sa

multumesc ing. Radu Bilcu pentru ajutorul dat ın elaborarea acestui material.

Corneliu Rusu

Cluj-Napoca, iunie, 2000

Cuprins

Prefata iii

Cuprins iv

Lista figurilor vii

Lista tabelelor xi

Abrevieri ın limba engleza xiii

Notatii xv

1 Semnale si sisteme discrete ın timp 1

1.1 Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Semnale si sisteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Clasificarea semnalelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Frecventa discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Secvente ın relatie armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Conversia analog-digitala si digital-analogica . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.1 Esantionarea semnalelor analogice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.2 Cuantizarea semnalelor analogice ın amplitudine . . . . . . . . . . . 16

1.7 Semnale discrete ın timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.1 Clasificarea semnalelor discrete ın timp . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.2 Operatii simple cu secvente discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8 Sisteme discrete ın timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8.1 Clasificarea sistemelor discrete ın timp . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8.2 Conectarea sistemelor discrete ın timp . . . . . . . . . . . . . . . . 34

v

vi Cuprins

2 Analiza ın domeniul timp 37

2.1 Relatii de intrare - iesire pentru sisteme LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Convolutia secventelor. Secventa pondere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 Calculul sumei de convolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.2 Proprietatile sumei de convolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Stabilitatea sistemelor liniare si invariante ın timp . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4 Sisteme FIR si IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5 Sisteme recursive si nerecursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.6 Rezolvarea ecuatiei cu diferente finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.7 Raspunsul la impuls al sistemelor recursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.8 Corelatia semnalelor discrete ın timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.8.1 Intercorelatia dintre intrarea si iesirea unui sistem . . . . . . . . . . 73

3 Analiza ın domeniul frecventa 75

3.1 Analiza semnalelor analogice ın domeniul frecventa . . . . . . . . . . . . . 76

3.1.1 Semnale periodice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.1.2 Semnale aperiodice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2 Analiza secventelor periodice ın domeniul frecventa . . . . . . . . . . . . . 82

3.2.1 Seria Fourier a secventelor periodice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2.2 Spectrul secventelor periodice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2.3 Spectrul de putere al secventelor periodice . . . . . . . . . . . . . . 88

3.3 Analiza secventelor aperiodice ın domeniul frecventa . . . . . . . . . . . . . 89

3.3.1 Transformata Fourier a secventelor aperiodice . . . . . . . . . . . . 89

3.3.2 Convergenta transformatei Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3.3 Spectrul secventelor aperiodice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3.4 Densitatea spectrala de energie a secventelor aperiodice . . . . . . . 95

3.3.5 Proprietatile transformatei Fourier pentru secvente aperiodice . . . 97

3.4 Caracterizarea ın domeniul frecventa a sistemelor LTI . . . . . . . . . . . . 109

3.4.1 Raspunsul la frecventa al sistemelor liniare si invariante ın timp . . 109

3.4.2 Determinarea secventei raspuns cu ajutorul raspunsului la frecventa 113

4 Aplicatiile transformatei ın z la analiza sistemelor LTI 119

4.1 Transformata ın z bilaterala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.1.1 Transformata ın z directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.1.2 Convergenta transformatei ın z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.1.3 Transformata ın z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Cuprins vii

4.1.4 Relatia dintre transformata Fourier si transformata ın z . . . . . . . 126

4.1.5 Proprietatile transformatei ın z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.2 Functii de sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.3 Functii rationale ın z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.4 Calculul inversei transformatei ın z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.4.1 Calculul cu ajutorul relatiei de la definitia transformatei ın z inversa 141

4.4.2 Inversa transformatei ın z prin dezvoltarea ın serii de termeni uti-

lizand variabilele z si z−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.4.3 Inversa transformatei ın z prin dezvoltarea ın fractii simple si uti-

lizarea tabelelor cu formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.5 Descompunerea functiilor rationale ın z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.6 Transformata ın z unilaterala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.6.1 Rezolvarea ecuatiilor cu diferente finite si cu coeficienti constanti . 151

4.7 Analiza sistemelor liniare si invariante ın timp ın domeniul z . . . . . . . . 152

4.7.1 Raspunsul sistemelor liniare, invariante ın timp si relaxate . . . . . 152

4.7.2 Raspunsul sistemelor cu conditii initiale nenule . . . . . . . . . . . 155

4.7.3 Raspuns tranzitoriu si raspuns permanent . . . . . . . . . . . . . . 157

4.8 Stabilitatea sistemelor liniare si invariante ın timp . . . . . . . . . . . . . . 158

4.8.1 Criteriul de stabilitate Schur-Cohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.8.2 Stabilitatea sistemelor de ordinul doi . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Bibliografie 165

viii Cuprins

Lista figurilor

1.1 Prelucrarea analogica de semnal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Prelucrarea digitala de semnal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Secventa sinusoidala pentru f = −14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Secventa sinusoidala pentru f = 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Secventa sinusoidala pentru f = 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Secventa impuls unitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7 Secventa treapta unitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8 Secventa rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9 Secventa exponentiala pentru a = 0, 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10 Secventa exponentiala pentru a = 1, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.11 Secventa exponentiala pentru a = −0, 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.12 Secventa exponentiala pentru a = −1, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.13 Partea reala a secventei exponentiale pentru a = 1+j√2

. . . . . . . . . . . . 24

1.14 Partea imaginara a secventei exponentiale pentru a = 1+j√2. . . . . . . . . . 24

1.15 Translatia ın timp pentru k = 4 a secventei exponentiale din figura 1.9 . . 27

1.16 Translatia ın timp pentru k = −4 a secventei exponentiale din figura 1.9 . 27

1.17 Subesantionarea cu 2 a secventei exponentiale din figura 1.9 . . . . . . . . 28

1.18 Reprezentarea sistemelor discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.19 Elemente de baza din diagramele bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.20 Exemple de sisteme discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.21 Conexiunea cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.22 Conexiunea paralel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.23 Conexiunea cascada a sistemului identitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.24 Conexiunea paralel a sistemului mediator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1 Secventa raspuns de la Exemplul 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ix

x LISTA FIGURILOR

2.2 Descompunerea secventei de la Exemplul 7 ın suma ponderata de impulsuri

unitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Calculul sumei de convolutie pentru n0 = 1 (Exemplul 8) . . . . . . . . . . 44

2.4 Calculul sumei de convolutie pentru n0 = 2 (Exemplul 8) . . . . . . . . . . 45

2.5 Calculul sumei de convolutie pentru n0 = −1 (Exemplul 8) . . . . . . . . . 47

2.6 Calculul sumei de convolutie pentru n0 = −2 (Exemplul 8) . . . . . . . . . 48

2.7 Comutativitatea convolutiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.8 Asociativitatea convolutiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.9 Asociativitatea si comutativitatea convolutiei . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.10 Distributia convolutiei fata de adunare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.11 Sistem nerecursiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.12 Sistem recursiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.13 Calculul intercorelatiei pentru l = 0 (Exemplul 14) . . . . . . . . . . . . . 69

2.14 Calculul intercorelatiei pentru l = −1 (Exemplul 14) . . . . . . . . . . . . 70

2.15 Calculul intercorelatiei pentru l = −2 (Exemplul 14) . . . . . . . . . . . . 70

3.1 Impulsul rectangular de la Exemplul 16, modulul si faza functiei sale de

densitate spectrala ımpreuna cu densitatea spectrala de energie . . . . . . 81

3.2 Spectrul secventei x2(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3 Spectrul secventei x3(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4 Secventa x1(n) si spectrul sau de amplitudini si de faze . . . . . . . . . . . 95

3.5 Secventa x2(n) si spectrul sau de amplitudini si de faze . . . . . . . . . . . 96

3.6 Secventa x(n) si spectrul sau de amplitudini si de faze . . . . . . . . . . . 101

3.7 Caracterizarea ın domeniul frecventa a sistemelor liniare si invariante ın timp109

3.8 Modulul si faza raspunsului la frecventa a sistemului mediator cu cinci

termeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.9 Raspunsul la frecventa pentru secvente aperiodice . . . . . . . . . . . . . . 113

3.10 Raspunsul la frecventa si excitatia cosinusoidala (h(k) ∈ R) . . . . . . . . . 115

3.11 Raspunsul la frecventa si excitatia sinusoidala (h(k) ∈ R) . . . . . . . . . . 115

3.12 Raspunsul la frecventa si suma de excitatii sinusoidale (h(k) ∈ R) . . . . . 116

4.1 Regiunea de convergenta pentru prima serie . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2 Regiunea de convergenta pentru a doua serie . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.3 Regiunea de convergenta r2 < r < r1 pentru X(z) . . . . . . . . . . . . . . 125

4.4 Regiunea de convergenta r2 < r < r1 pentru X(z) . . . . . . . . . . . . . . 126

4.5 Echivalenta dintre secventa pondere si functia de sistem . . . . . . . . . . . 137

4.6 Configuratia poli-zerouri pentru transformata ın z de la Exemplul 39 . . . 140

Lista figurilor xi

4.7 Triunghiul stabilitatii sistemelor de gradul doi . . . . . . . . . . . . . . . . 163

xii Lista figurilor

Lista tabelelor

2.1 Solutii particulare pentru ecuatia cu diferente finite . . . . . . . . . . . . . 61

3.1 Analiza si sinteza semnalelor periodice cu ajutorul seriilor Fourier . . . . . 78

3.2 Analiza si sinteza semnalelor aperiodice cu ajutorul transformatei Fourier . 80

3.3 Analiza si sinteza secventelor periodice cu ajutorul seriei Fourier . . . . . . 84

3.4 Analiza si sinteza semnalelor aperiodice cu ajutorul transformatei Fourier . 91

3.5 Cateva semnale discrete ın timp ımpreuna cu transformatele lor Fourier . . 109

4.1 Semnale discrete ın timp si cauzale ımpreuna cu transformatele lor ın z . . 135

4.2 Semnale discrete ın timp si anticauzale ımpreuna cu transformatele lor ın z 136

4.3 Secvente sinusoidale cauzale ımpreuna cu transformatele lor ın z . . . . . . 136

xiii

Abrevieri ın limba engleza

ADCs Analogue Digital Converter, 4

ADC Analog Digital Conversion, 2

ARMAAutoregressive Moving Average, 138

AR Autoregressive, 138

ASPs Analog Signal Processor, 4

ASP Analog Signal Processing, 1

BIBO Bounded Input Bounded Output, 34

DACs Digital Analogue Converter, 5

DAC Digital Analog Conversion, 5

DSPs Digital Signal Processor, 4

DSP Digital Signal Processing, 1

ECG Electrocardiogram, 3

EEG Electroencephalogram, 4

FIR Finite Impulse Response, 54

IDS Input Digital Signal, 4

IIR Infinite Impulse Response, 54

LTI Linear Time Invariant, 37

MA Moving Average, 138

ODS Output Digital Signal, 4

ROC Region of Convergence, 121

STFT Short Time Fourier Transform, 3

xiv

Notatii

N multimea numerelor naturale

Z multimea numerelor ıntregi

R multimea numerelor reale

R+ multimea numerelor reale pozitive

C multimea numerelor complexe

sgn functia signum

ln functia logaritm natural (ın baza e)

x(n) secventa discreta (considerata uneori excitatia sistemului)

xa(t) semnal analogic

T perioada semnalului analogic sau perioada de esantionare

F frecventa semnalului analogic

Ω frecventa (pulsatia) semnalului analogic

ω frecventa (pulsatia) discreta

n indexul esantionului

ϕ faza ın radiani

f frecventa discreta

Ck coeficientii seriei Fourier pentru semnale analogice periodice

ck coeficientii seriei Fourier pentru secvente periodice

ǫq(n) eroarea de cuantizare

Fs frecventa de esantionare

B banda semnalului analogic

Q operatorul de cuantizare

∆ rezolutia cuantizarii

L numarul nivelelor de cuantizare

SQNR raportul semnal-zgomot de cuantizare

Px puterea semnalului util

Pq puterea erorii de cuantizare

xv

xvi Notatii

b numarul de biti folositi ın cuantizare

r(n) secventa rampa

δ(n) secventa impuls unitate

u(n) secventa treapta unitate

| | modulul unui numar complex (uneori notat si cu r)

∠ argumentul unui numar complex

P puterea unei secvente discrete

E energia unei secvente discrete

EN energia partiala a unei secvente discrete

H transformarea (operatorul) sistemului

h(n) secventa pondere

y(n) secventa discreta (considerata de obicei raspunsul sistemului)

P (λ) polinomul caracteristic al sistemului

λi radacinile ecuatiei caracteristice

yh(n) solutia ecuatiei omogene

yp(n) solutia particulara a ecuatiei cu diferente finite

rxy(l) secventa de intercorelatie

rxx(l) secventa de autocorelatie

ρxy(l) gradul de intercorelatie

ρxx(l) gradul de autocorelatie

X(F ) transformata Fourier sau functia de densitate spectrala a semnalelor analogice

Sxx(F ) densitatea spectrala de energie a semnalelor analogice

|ck|2 densitatea spectrala de putere a secventei periodice

X(ω) transformata Fourier sau functia de densitate spectrala a secventei aperiodice

Sxx(ω) densitatea spectrala de energie a unei secvente aperiodice

XR(ω) partea reala a transformatei Fourier

XI(ω) partea imaginara a transformatei Fourier

xR(n) partea reala a secventei x(n)

xI(n) partea imaginara a secventei x(n)

H(ω) raspunsul la frecventa

X(z) transformata ın z

X+(z) transformata ın z unilaterla

H(z) functia de sistem

zk zerourile functiei de sistem

pk polii functiei de sistem

Km coeficienti de reflexie

Capitolul 1

Semnale si sisteme discrete ın timp

1.1 Notiuni introductive

Universul ın care traim sau pe care ın ultima instanta ıl percepem este unul alcatuit din

semnale si sisteme. Sistemele interactioneaza ıntre ele, unele sunt chiar ın stransa legatura

cu noi, iar semnalele nu sunt altceva decat o reprezentare a informatiei care circula ıntre

aceste sisteme.

Nu ne propunem o clasificare generala a informatiilor. In ceea ce ne priveste ne vom

multumi sa reamintim punctul de vedere tehnic unanim recunoscut: informatia poate fi

data, text, sunet si imagine [1]. In prezent operatiile pe care le executam asupra acestor

tipuri de informatii sunt: achizitie, memorare, prelucrare si transmisie. De fapt, prelu-

crarea semnalului poate aparea direct sau indirect ın decursul oricarei operatii amintite

anterior.

Mult timp suprematia prelucrarilor de semnal a fost cea a tehnicilor analogice. Cu o

dezvoltare rapida ın ultimii treizeci de ani, prelucrarea numerica (digitala) a semnalelor

(Digital Signal Processing - DSP) s-a impus ca si solutia avantajoasa ın majoritatea im-

plementarilor. Desigur ca acest fapt este ın ultima instanta si rezultatul unor progrese

tehnologice ın domeniul circuitelor integrate digitale (volum redus, pret de cost scazut).

Acestea au dus la dezvoltarea calculatoarelor dedicate acestor tipuri de aplicatii, calcula-

toare care sunt tot mai puternice, mai rapide si mai ieftine. Cu ajutorul lor este posibila

constructia unor sisteme digitale suficient de sofisticate, mai fiabile, capabile sa realizeze

functii si sarcini specifice de prelucrare numerica a semnalelor, dificil de realizat sau prea

scumpe prin prelucrarea analogica a semnalelor (Analog Signal Processing - ASP).

Desigur ca prelucrarea numerica a semnalelor nu este solutia obligatorie, unica, pen-

tru toate problemele de prelucrare a semnalelor. De exemplu, pentru aplicatii specifice

1

2 Semnale si sisteme discrete ın timp

semnalelor de banda larga, la care prelucrarea ın timp real este o necesitate, tehnicile ana-

logice sau optice pot fi singurele posibilitati. Dar, daca exista circuite integrate digitale

disponibile si viteza lor este suficienta pentru aplicatia data, atunci utilizarea lor este de

preferat.

Sistemele cu prelucrarea numerica a semnalelor au urmatoarele avantaje:

1. In primul rand ele ne permit realizarea unor operatii programabile. Prin soft se pot

modifica mult mai usor functiile de prelucrare realizate de hard. In cazul circuitelor

analogice aceasta ar ınseamna parcurgerea din nou a ciclurilor de proiectare, testare,

verificare, adica foarte multi bani si efort ın plus.

2. Pe langa gradul mare de flexibilitate ın proiectare, sistemele digitale au o alta mare

calitate: repetabilitatea. Un experiment realizat cu sisteme analogice va da atatea

rezultate diferite cate sisteme avem. Daca sistemele digitale functioneaza corect,

rezultatele experimentului trebuie sa coincida.

3. Comparativ cu circuitele analogice sau sistemele analogice, cele digitale au ın general

precizie mai mare, avand o marja de eroare mult inferioara.

4. In sfarsit, semnalele digitale se pot pastra pe medii magnetice, desi aceasta este posi-

bil ın definitiv si pentru semnale analogice. Diferenta consta ın faptul ca informatia

binara memorata se altereaza mult mai greu decat cea analogica. Rezulta o fidelitate

si o transportabilitate ın timp mai buna.

Desigur ca utilizand prelucrarea numerica a semnalelor putem avea si destule deza-

vantaje, pe care le vom aborda succint ın cele ce urmeaza:

1. Conversia analog-numerica (Analog Digital Conversion - ADC) se realizeaza prin

esantionarea semnalului si ulterior prin cuantizarea esantioanelor. Aceasta distor-

sioneaza semnalul ın asa masura ıncat ımpiedica reconstituirea exacta a semnalului

analogic initial din esantioanele cuantizate. Deci inevitabil pierdem din informatie.

Dar, ın majoritatea cazurilor stim cat este aceasta pierdere. In mod obisnuit, con-

trolul erorii se realizeaza printr-o alegere adecvata a vitezei de esantionare si a

preciziei cuantizarii.

2. Alte dezavantaje sunt legate de precizia limitata a prelucrarii esantioanelor cuanti-

zate. In ultima instanta acestea nu sunt altceva decat date discrete si prelucrarea

lor este de fapt calcul numeric. Pot apare instabilitati, depasiri etc.

1.2 Semnale si sisteme 3

3. Totusi cel mai mare dezavantaj al sistemelor digitale ramane viteza limitata. Aici sis-

temele analogice sunt superioare si viteza reprezinta o posibila justificare a reevaluarii

ponderii lor ın viitor.

Sa amintim si cateva dintre aplicatiile specifice prelucrarii numerice a semnalelor:

prelucrarea semnalului vocal, transmisii de date pe canale telefonice, prelucrarea si trans-

miterea imaginii, ın seismologie si geofizica, prospectii petrol, detectie explozii nucleare si

la detectia si prelucrarea semnalelor din Univers.

1.2 Semnale si sisteme

Definitia 1 .Vom considera ca fiind semnal orice cantitate fizica sau marime care este functie de timp,

spatiu sau orice alte variabile.

Astfel avem semnale precis definite si simplu descrise analitic, de exemplu evolutia

unui obiect lasat liber de la 10 metri ınaltime: s1(t) = 10 − 4, 9t2 (t fiind timpul de la

ınceputul caderii) sau imaginea statica a unei elipse: s(x, y) = 3x2 + 10y2 (x si y sunt

coordonatele alese ın plan).

Exista cazuri ın care o astfel de relatie functionala nu exista sau e prea complicata

pentru a o utiliza practic. Astfel este bine cunoscut exemplul semnalului vocal, dificil de

exprimat sub forma de functii elementare, mai degraba preferandu-se o suma de sinusoide,

cu amplitudini si frecvente variabile ın timp:

∑

i∈IAi(t) sin[Ωi(t)t+ ϕi(t)],

unde Ai(t), Ωi(t), ϕi(t) sunt multimile de valori ale amplitudinilor, frecventelor1 si respec-

tiv a fazelor sinusoidelor. O modalitate de a analiza informatia continuta ıntr-un semnal

vocal este masurarea amplitudinii, frecventei si fazei continute ıntr-o portiune de timp a

semnalului. Acest tip de analiza este cunoscuta sub numele de analiza Fourier pe termen

scurt (Short Time Fourier Transform - STFT).

Majoritatea semnalelor care fac obiectul prelucrarii numerice a semnalelor sunt de

tipul anterior. Astfel si semnalul de electrocardiograma (Electrocardiogram - ECG) care

1In teoria circuitelor Ω este utilizata sub denumirea de pulsatie sau frecventa complexa.

In cele ce urmeaza noi vom folosi si pentru aceasta termenul de frecventa, asa cum se

foloseste ın toate cartile de prelucrarea numerica a semnalelor. Desigur din context este

usor de ınteles cand este vorba de frecventa propriu-zisa si cand este vorba de pulsatie.


xa(t) ASPs

ya(t)

Figura 1.1: Prelucrarea analogica de semnal

contine informatii despre cum functioneaza inima pacientului, si semnalul de electroence-

falograma (Electroencephalogram - EEG) care descrie activitatea creierului sunt alte doua

exemple de semnale functii doar de timp, greu descriptibile analitic. In aceeasi masura

semnalul imagine de televiziune alb-negru este dificil de exprimat, acesta fiind functie de

timp si de coordonate.

In teoria generala a circuitelor s-a considerat ca fiind sistem un circuit fizic care

efectueaza o operatie asupra semnalului, cele mai cunoscute dintre acestea fiind filtrele.

Astfel cand un semnal trecea printr-un sistem, spuneam si ca am prelucrat semnalul

respectiv. De asemenea sistemul mai era caracterizat si prin tipul operatiei realizate

asupra semnalului. Astfel daca operatia era liniara, sistemul era liniar; daca operatia

era neliniara, sistemul ıl numeam neliniar. Pentru scopurile noastre este convenabil ca

notiunea de sistem sa nu o restrangem doar la circuitul fizic, deoarece acesta ar trebui sa

ınglobeze de exemplu si operatiile soft. Deci prin sistem vom ıntelege atat un circuit fizic,

cat si un program sau o secventa de operatii matematice sau un algoritm, toate avand

efect ın prelucrarea semnalului (vezi si Definitia 11).

Majoritatea semnalelor din natura sunt sau cel putin par a fi ın aparenta semnale

analogice, adica atat ın timp continuu cat si ın spatiu continuu. Acestea sunt definite

ıntr-un domeniu continuu de valori si de asemenea iau valori ıntr-un domeniu continuu de

valori. Desigur ca acestea pot fi prelucrate direct ın forma lor analogica cu ajutorul unui

procesor analogic de semnal (Analog Signal Processor - ASPs), conform figurii 1.1.

Prelucrarea digitala de semnal (figura 1.2) furnizeaza o alternativa pentru prelucrarea

semnalului analogic xa(t). Se observa ın primul rand ca este necesara o interfata ıntre

semnalul analogic si procesorul digital: convertorul analog-digital (Analogue Digital Con-

verter - ADCs). Iesirea convertorului analog-digital este x(n) care este un semnal digital

de intrare (Input Digital Signal - IDS) ın procesor.

Urmeaza procesorul digital de semnal (Digital Signal Processor - DSPs) care poate fi

un calculator programabil sau un echipament numeric mai simplu.

In final semnalul digital y(n) de la iesirea (Output Digital Signal - ODS) procesorului

1.3 Clasificarea semnalelor 5

xa(t) ADCs

x(n)

DSPs

y(n)

DACs

ya(t)

Figura 1.2: Prelucrarea digitala de semnal

este convertit ın semnal analogic de iesire cu ajutorul convertorului digital-analogic (Digi-

tal Analogue Converter - DACs). Operatia se numeste conversie digital analogica (Digital

Analog Conversion - DAC). Exista situatii ın care aceasta ultima conversie nu mai este

necesara, de exemplu cand situatiile de iesire se tiparesc sub forma alfanumerica.

1.3 Clasificarea semnalelor

Exista mai multe criterii de clasificare ale semnalelor. Vom ıncerca sa amintim cateva

dintre ele.

In primul rand luand ın considerare multimea valorilor functiei, ın general semnalele

pot avea valori reale sau complexe, rezultand semnale de numere reale sau complexe:

• Semnale reale si semnale complexe

Din punct de vedere al variabilelor componente care compun semnalul avem:

• Semnale monocanale si semnale multidimensionale

Suntem obisnuiti ındeosebi cu semnale scalare. Acestea mai pot fi numite si semnale

monocanal. In practica ıntalnim surse multiple sau senzori multipli care la randul lor

fiecare genereaza ın mod obisnuit semnale scalare. Desi astfel de semnale nu sunt vectori

din punct de vedere fizic, de multe ori le tratam ımpreuna, ca si un vector, utilizand

conventiile si relatiile matematice. Astfel ın cazul semnalului ECG, daca notam cu s1(t),

s2(t) si s3(t) cele trei semnale (care nu sunt neaparat variabile independente) obtinute la

iesirea traductorilor, rezulta semnalul multicanal:

ECG(t) =

s1(t)

s2(t)

s3(t)

.


Definitia 2 .Daca variabila independenta este unica, atunci avem un semnal unidimensional.

Daca semnalul este o functie de M variabile independente, vom spune ca avem un semnal

M-dimensional.

O imagine statica bidimensionala este functie doar de coordonate I(x, y). Imaginea

TV alb-negru este o functie si de timp I(x, y, t), iar imaginea TV color poate fi considerata

ca un semnal tridimensional, pe trei canale:

I(x, y, t) =

Ir(x, y, t)

Ig(x, y, t)

Ib(x, y, t)

.

In aceasta carte ne vom ocupa doar de semnale unidimensionale, de variabila t, desi

unele proprietati sunt valabile si pentru semnale multicanal/multidimensionale.

Dupa domeniul de definitie al semnalelor, acestea pot fi continue ın timp (analogice)

sau discrete ın timp (secvente).

• Semnale analogice si secvente discrete

Astfel semnalele continue ın timp sunt definite pentru orice valoare t, deci domeniul

lor de definitie este ıntr-un interval (a, b) (sau reuniune de astfel de intervale), unde a

poate fi −∞ sau b poate fi +∞. De obicei se utilizeaza t ca si variabila ın definirea valorii

functiei corespunzatoare, e.g. x(t) = 2t2.

Semnalele discrete ın timp sunt definite numai pentru valori discrete de timp, care

pot fi echidistante sau nu. In mod obisnuit se iau la distante egale pe axa timpului, ceea

ce simplifica lucrurile din punct de vedere matematic. In acest caz, se poate utiliza ca

si variabila indexul n, adica numarul esantionului, subliniindu-se astfel caracterul discret

ın timp al semnalului. Se utilizeaza de obicei notatia x(n), uneori x(nT ), proprietatile

semnalelor esantionate rezultand prin operatii simple din cele ale semnalului esantionat

la interval unitate. In ceea ce ne priveste vom folosi atat denumirea de secventa discreta,

cat si cea de semnal discret ın timp.

In general semnalele discrete ın timp apar ın aplicatii ın doua moduri:

1. Selectand valorile unui semnal analogic la momente discrete de timp.

Este cazul tipic de proces de esantionare. Majoritatea instrumentelor de masura

procedeaza astfel, prin masurari la intervale regulate de timp;

2. Prin adunarea valorilor unei variabile pe un interval de timp.

Un astfel de exemplu este numarul de masini care trec pe o strada data ıntr-o ora.

1.4 Frecventa discreta 7

Discretizarea se poate face si ın domeniul ın care semnalul ia valori. Astfel avem:

• Semnal digital si semnal discret ın timp

Daca un semnal initial este analogic, atunci prin esantionare obtinem un semnal discret

ın timp, iar ın continuare prin cuantizare obtinem un semnal digital. Cuantizarea este

un proces de conversie a unui semnal cu set de valori continue, ıntr-un semnal cu valori

discrete. Este un proces de aproximare, care poate fi realizat prin rotunjire sau prin

trunchiere. Prin urmare semnalul digital este un semnal discret ın timp avand un set

discret de valori. Pentru ca un semnal sa fie considerat digital si pentru ca el sa poata

fi prelucrat numeric, acesta trebuie sa fie discret ın timp si discret ın domeniul valorilor.

Ne vom concentra ın aceasta carte mai mult asupra cazului general al semnalelor discrete

ın timp, cateva dintre efectele cuantizarii fiind amintite.

• Semnale deterministe si semnale aleatoare

Suntem obisnuiti ca pentru o analiza a semnalelor sa avem la dispozitie descrierea matem-

atica a semnalului, numita uneori si modelul semnalului. Daca semnalul poate fi descris

printr-o expresie matematica explicita, printr-un tabel de valori sau o regula precisa ıl

vom numi semnal determinist. Acest termen este folosit pentru a arata faptul ca valo-

rile trecute, prezente si viitoare ale semnalului sunt cunoscute precis, fara incertitudine.

Sunt cazuri cand aceasta nu este posibil sau, pur si simplu, nu este practic. Este cazul

semnalelor pe care le vom numi ın continuare semnale aleatoare. Un exemplu este dat

de semnalele obtinute de la un generator de semnale pseudo-aleatoare. Considerand un

esantion dintr-un astfel de proces, ne vom da seama ca fiecare dintre respectivele sem-

nale nu seamana, dar au proprietati statistice asemanatoare (histograme, medii, dispersii

etc.). Sa mai precizam ca distinctia semnal determinist - semnal aleator depinde si de

experimentul realizat. Acelasi semnal poate fi un semnal determinist pentru un proces si

poate fi considerat un semnal aleator pentru un alt proces.

1.4 Frecventa discreta

Conceptul de frecventa a fost introdus la miscarea armonica, fiind o masura legata de

perioada acesteia, de fapt marimea frecventei este chiar inversul perioadei de timp. S-a

definit frecventa pozitiva ca fiind numarul de perioade ıntr-un interval de timp, frecventa

negativa introducandu-se din punct de vedere matematic cu ajutorul formulei:

XF (t) = cos(2πFt+ ϕ) =1

2ej(Ft+ϕ) +

1

2e−j(Ft+ϕ),


deci frecventa negativa corespunzand unei miscari invers trigonometrice [14]. Prin urmare

natura timpului (continuu sau discret) afecteaza si natura frecventei. Vom analiza pe rand

cele doua cazuri selectand de fiecare data semnalele reprezentative. Astfel pentru semnalul

continuu sinusoidal:

xF (t) = cos(2πFt+ ϕ), t ∈ R,

avem urmatoarele proprietati:

C1. Pentru orice valoare fixa F 6=0 semnalul xF (t) este periodic, adica:

∃T =1

F: xF (t+ T ) = x(t), ∀t ∈ R.

C2. Semnalele sinusoidale continue, de frecvente diferite, sunt distincte, adica:

F1 6= F2 ⇒ xF1 6= xF2 .

C3. Daca F creste, viteza de oscilatie a semnalului continuu sinusoidal creste, ın sensul

ca ıntr-un interval sunt mai multe perioade ale semnalului.

Semnalele sinusoidale discrete ın timp, numite si secvente sinusoidale discrete sunt de

forma:

xf (n) = cos(ωn+ ϕ) = cos(2πfn+ ϕ), n ∈ Z. (1.1)

In aceasta formula:

• ω este frecventa (pulsatia) discreta masurata ın radiani pe esantion;

• n este numarul esantionului;

• ϕ este faza ın radiani;

• f este frecventa discreta masurata ın perioade pe esantion.

Exemplul 1 .In figurile 1.3, 1.4 si respectiv 1.5 sunt desenate secventele sinusoidale pentru f = −1

4, 12, 34.

Pentru secventele discrete avem de asemenea urmatoarele proprietati:

D1. Un semnal sinusoidal discret ın timp este periodic daca si numai daca frecventa sa

f este un numar rational.


−10 −5 0 5 10 15 20−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 1.3: Secventa sinusoidala pentru f = −14

Pare surprinzator, nu? In primul rand perioada trebuie sa apartina mutimii domeniului

de definitie al functiei respective, deci perioada trebuie sa fie un numar ıntreg nenul, de

obicei strict pozitiv:

∃N ∈ N∗ : x(n+N) = x(n), ∀ ∈ Z. (1.2)

Putem deci enunta urmatoarea definitie:

Definitia 3 .Cel mai mic ıntreg N > 0 care respecta conditia (1.2) se numeste perioada fundamentala.

Si acum sa trecem la demonstratia proprietatii anterioare:

Demonstratie:

Sa ınlocuim ın relatia anterioara expresia din (1.1):

cos[2πf(n+N) + ϕ] = cos[2πfN + ϕ].

Rezulta ca avem:

2πfN = 2kπ (k ∈ Z),

deci

f =k

N∈ Q,

adica ceea ce trebuia dovedit.


−10 −5 0 5 10 15 20−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 1.4: Secventa sinusoidala pentru f = 12

Cum determinam practic perioada fundamentala? Simplu, dupa ce-l aflam pe f ,

simplificam numitorul si numaratorul pana cand sunt relativi primi (k,N) = 1. Perioada

fundamentala este chiar constanta N .

Trebuie remarcat ca o mica schimbare ın frecventa poate altera perioada foarte mult:

f1 =21

40⇒ N1 = 40; f2 =

20

40⇒ N2 = 2.

D2. Sinusoidele discrete ın timp a caror frecventa difera printr-un numar ıntreg sunt

identice:

cos[2π(f + 1)n+ ϕ] = cos[2πfn+ ϕ].

Prin urmare, daca

f0 ∈ [−1

2,1

2),

atunci toate secventele de sinusoide:

xk(n) = cos(2πfkn+ ϕ),

unde

fk = f0 + k, k ∈ Z,

sunt identice.


−10 −5 0 5 10 15 20−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 1.5: Secventa sinusoidala pentru f = 34

Pe de alta parte secventele asociate oricarui semnal sinusoidal discret ın timp cu

frecvente ıntre −12si 1

2sunt distincte. Demonstratia nu este atat de dificila si lasam

placerea cititorului sa o faca.

Mai mult chiar, orice secventa sinusoidala de frecventa fk este identica cu o secventa

sinusoidala avand frecventa f0 (−12≤ f < 1

2).

Definitia 4 .Sinusoida cu frecventa fk 6∈ [−1

2, 12) este un alias al sinusoidei corespunzatoare frecventei

f0 ∈ [−12, 12) daca fk − f0 ∈ Z.

D3. Secventa sinusoidala cu cea mai mare viteza de oscilatie se obtine pentru pentru

fk = ±k 12(respectiv ωk = ±kπ).

Orice interval pe axa frecventei de lungime unitate contine toate sinusoidele discrete ın

timp de faza data. Dintre toate acestea, vom considera intervalul de frecventa f ∈ [−12, 12)

ca fiind intervalul fundamental. In mod corespunzator pentru variabila ω vom avea ca si

interval fundamental multimea ω ∈ [−π, π).Se remarca deja cateva deosebiri importante ıntre semnalele sinusoidale continue ın

timp si secventele sinusoidale. Aceasta ne arata ca trebuie sa fim prevazatori cand inter-

pretam rezultatele obtinute printr-un proces de discretizare.


1.5 Secvente ın relatie armonica

Definitia 5 .Peste multimea functiilor periodice doua functii sunt ın relatie armonica daca frecventele

lor fundamentale sunt un multiplu al unei frecvente date pozitive.

In cazul semnalelor exponentiale continue ın timp si periodice cu perioada T = 1F0,

pornim de la setul de functii care este baza seriei Fourier:

sk(t) = ej2πkF0t, k ∈ Z.

Astfel toate semnalele care admit o dezvoltare de forma:

x(t) =∞∑

k=−∞Cke

j2πkF0t

vom spune ca sunt ın relatie armonica.

La semnalele discrete ın timp baza seriei Fourier va fi sistemul de functii:

sk(n) = ej2πknN , k = 0, N − 1.

In plus, spre deosebire de cazul continuu, dupa cum s-a constatat deja avem discretizare

atat ın domeniul timp, cat si ın domeniul frecventa.

Daca f0 = 1/N , atunci sk+N(n) = sk(n), rezultand ca avem numai N exponentiale

periodice distincte. De asemenea toate aceste exponentiale au perioada de N esantioane.

Deci putem alege oricare N exponentiale consecutive, de la n0 la n0+N − 1 (n0 ∈ Z),

si vom forma un set de secvente ın relatie armonica cu frecventa fundamentala f0 = 1/N .

Dar de obicei se alege n0 = 0 si obtinem setul fundamental:

sk(n) = ej2πknN , k = 0, N − 1.

Se poate demonstra (de exemplu folosind un rationament similar cu cel de la Sectiunea

3.2.1) ca pe multimea secventelor periodice de perioada N acest set este un set complet.

Prin urmare orice semnal periodic cu perioada fundamentala N se poate reprezenta sub

forma:

x(n) =N−1∑

k=0

ckej2πknN ,

relatia anterioara fiind seria Fourier pentru o secventa periodica de perioada N . De

asemenea vom spune ca cksk(n) este armonica a k-a a semnalului discret ın timp x(n).

1.6 Conversia analog-digitala si digital-analogica 13

1.6 Conversia analog-digitala si digital-analogica

Majoritatea semnalelor primare (semnalul vocal, semnalele biologice, semnalul radar etc.)

sunt analogice. Este necesar pentru a ne atinge scopul nostru de a le prelucra numeric ca

acestea sa fie convertite ın forma digitala. Acest lucru se realizeaza ın mai multe etape.

In primul rand are loc esantionarea, care consta ın conversia unui semnal continuu

ın timp ıntr-un semnal discret ın timp, luand cate un esantion din semnalul continuu la

intervale de timp discrete. Astfel, daca T este durata intervalului de esantionare2 si daca

xa(t) este intrarea blocului de esantionare, la iesirea lui vom avea:

x(n) ≡ xa(nT ). (1.3)

Urmeaza cuantizarea care face conversia semnalului discret ın timp cu domeniu de

valori continue, ın semnal discret ın timp cu domeniu de valori discrete. Valoarea fiecarui

esantion cuantizat se alege dintr-un set finit de valori. Diferenta dintre esantionul x(n) si

iesirea cuantizata xq(n) se numeste eroare de cuantizare:

ǫq(n) ≡ x(n)− xq(n).

In final avem procesul de codare, ın care fiecare valoare discreta se reprezinta printr-o

secventa binara de b biti.

Desi conversia analog digitala are trei parti (un bloc de esantionare urmat de un

cuantizor si un codor), ın practica este realizata ıntr-un singur circuit care preia x(t) si

genereaza un cod binar. Operatiile de esantionare si cuantizare pot fi realizate ın orice

ordine, dar de obicei, esantionarea este realizata ınaintea cuantizarii. In anumite conditii

si daca este realizata cu grija, esantionarea nu pierde informatie. In schimb cuantizarea

este proces neinversabil si deci ireversibil. Acuratetea reprezentarii cuantizate creste cu

numarul de biti, dar de asemenea ın acest caz creste si costul achizitiei. Acelasi lucru se

ıntampla si daca se mareste viteza de esantionare.

Majoritatea aplicatiilor de interes practic impun si conversia semnalelor digitale ın

semnale analogice. Aceasta este conversia digital-analogica si consta de fapt ıntr-o interpo-

lare sau o aproximare ın trepte, aproximare liniarizata pe portiuni, aproximare patratica,

aproximare spline etc.

1.6.1 Esantionarea semnalelor analogice

Esantionarea semnalelor analogice poate fi uniforma cand luam esantioane la fiecare T

secunde (1.3) si neuniforma cand intervalul de esantionare nu este constant. Ne vom

2T se numeste perioada de esantionare sau interval de esantionare.


ocupa ın cele ce urmeaza doar de esantionare uniforma. Aceasta permite stabilirea unei

relatii ıntre variabilele de timp t si n, corespunzatoare semnalelor continue si respectiv

celor discrete ın timp. Ele sunt legate liniar prin perioada de esantionare T sau prin viteza

de esantionare3 Fs, astfel:

t ↔ nT =n

Fs

, (1.4)

deci exista o relatie ıntre frecventa F (sau Ω) a semnalelor analogice si frecventa normata

f (sau ω) a semnalelor discrete ın timp. Pentru a stabili aceasta relatie, reconsideram

semnalul analogic sinusoidal de forma:

xa(t) = cos(2πFt+ ϕ)

care esantionat periodic cu Fs = 1/T ne da secventa sinusoidala:

x(n) ≡ xa(nT ) = cos(2πFnT + ϕ) = cos(2πF

Fs

n+ ϕ),

si pe care o comparam cu relatia:

x(n) = cos(2πfn+ ϕ).

Rezulta relatiile de legatura dintre frecventa relativa sau normalizata si frecventele sem-

nalului analogic:

f =F

Fs

. (1.5)

Deci daca ıntr-o aplicatie data cunoastem f si frecventa de esantionare Fs, atunci putem

determina F ın Hz cu relatia (1.5). Echivalent cu ecuatia anterioara avem si relatia ıntre

pulsatii:

ω = ΩT.

Intr-adevar, avem urmatoarele egalitati:

x(n) = cos(ωn+ ϕ) = cos(Ωt+ ϕ)|t=nT = cos(ΩTn+ ϕ).

Reamintim ca domeniul frecventei si pulsatiei semnalelor analogice este −∞ < F <∞si respectiv −∞ < Ω < ∞, si ca pentru semnale discrete ın timp intervalul fundamental

al frecventei (pulsatiei) normate (relative) este f ∈ [−12, 12), respectiv ω ∈ [−π, π). Sa

ınlocuim relatiile (1.5) ın intervalul fundamental:

F ∈ [− 1

2T,1

2T), Ω ∈ [−π

T,π

T).

3Fs = 1/T se numeste viteza sau frecventa de esantionare.


Relatia precedenta ne sugereaza ca ar fi bine ca frecventa semnalului continuu ın timp

sa nu depaseasca jumatatea frecventei de esantionare, fiindca altfel s-ar putea sa avem

neplaceri, de exemplu la reconstituirea semnalului.

Bineınteles ca nimeni nu ne opreste sa esantionam un semnal a carui frecventa sa fie

mai mare decat jumatatea frecventei de esantionare, de exemplu F = 34Fs. Secventa

sinusoidala de faza nula astfel obtinuta este reprezentata grafic ın figura 1.5.

Sa calculam secventa corespunzatoare frecventei F = −14Fs. De fapt reprezentarea sa

grafica este deja aratata ın figura 1.3. Constatam ca sunt identice cele doua desene. Mai

mult chiar, pentru orice frecventa de forma F = (−14+ k)Fs (k ∈ Z) secventa sinusoidala

de faza nula rezultata prin esantionare cu Fs are aceeasi forma. Un observator care

analizeaza desenul secventelor nu poate sa ısi dea seama caruia dintre semnalele analogice

esantionate ıi corespunde secventa respectiva si ar putea fi derutat.

Aceasta ambiguitate se numeste efectul alias.

De obicei cel mai simplu pentru un observator este sa asocieze ın astfel de cazuri

frecventa corespunzatoare intervalului fundamental. Daca acesta este cazul dorit, se uti-

lizeaza ınaintea esantionarii un filtru trece-jos, de preferinta cat mai aproape de caracter-

istica ideala, filtru numit si filtru antialias.

Am stabilit pana acum relatia dintre frecventa continua si frecventa discreta si am

pus ın evidenta efectul alias care poate apare ın cazul esantionarii semnalelor de banda

nelimitata. In cazul semnalelor de banda limitata, printr-o alegere adecvata a frecventei

de esantionare este posibil (din punct de vedere teoretic) reconstituirea semnalului initial.

Mai precis, enuntam teorema esantionarii ideale (o demonstratie se gaseste ın [19]):

Teorema 1 .Daca un semnal analogic x(t) este de banda limitata (Fmax = B) si este esantionat cu o

frecventa Fs > 2Fmax = 2B, acesta poate fi reconstituit exact astfel:

x(t) =∞∑

n=−∞x(

n

Fs

) ·sin[2πB(t− n

Fs

)]

2πB(t− n

Fs

).

Se observa ca reconstituirea este complicata, fiind o suma ponderata de functii de

interpolare translatate. De asemenea necesita un numar infinit de esantioane. Deoarece

ponderea esantioanelor departate este mica, ın cazuri practice se iau doar un numar finit

de esantioane.

Exemplul 2 .Sa consideram ın cele ce urmeaza cazul unui semnal analog:

xa(t) = 10 cos 200πt+ 5 sin 600πt+ 3 cos 1200πt,


si ne propunem sa aflam pentru acest semnal frecventa Nyquist, secventa rezultanta dupa

esantionarea sa cu Fs = 500 esantioane pe secunda si semnalul analogic obtinut prin

reconstituire ideala.

Frecventele existente ın spectrul semnalului analogic sunt: F1 = 100 Hz, F2 = 300 Hz

si respectiv F3 = 600 Hz. Frecventa maxima din spectru este Fmax = 600 Hz, si conform

teoremei esantionarii avem:

Fs > 2Fmax,

deci frecventa Nyquist este FN = 1, 2 kHz. Secventa rezultanta dupa esantionare este:

x(n) = xa(n

Fs

) = 10 cos 2π1

5n+ 5 sin 2π

3

5n+ 3 cos 2π

6

5n,

si daca luam ın considerare doar frecventele din intervalul fundamental avem:

x(n) = 13 cos 2π1

5n− 5 sin 2π

2

5n.

Semnalul analogic obtinut prin reconstituire ideala rezulta utilizand invers schimbarea de

variabila din relatia (1.4):

ya(t) = x(tFs) = 13 cos 200πt− 5 sin 400πt.

Constatam ca semnalul reconstituit este diferit de cel initial. Aceasta se explica prin

faptul ca am esantionat sub frecventa Nyquist si astfel a aparut efectul alias.

1.6.2 Cuantizarea semnalelor analogice ın amplitudine

Dupa esantionare, de regula semnalele esantionate sunt cuantizate, cuantizarea fiind nece-

sara deoarece sistemele digitale nu pot reprezenta decat numere sub forma binara. Din

punct de vedere matematic cuantizarea poate fi considerata ca si cum am aplica semnalu-

lui esantionat un operator de cuantizare Q:

Q[x(n)] = xq(n),

eroarea de cuantizare fiind:

ǫq(n) ≡ x(n)− xq(n).

In mod obisnuit cuantizarea se realizeaza prin trunchiere sau prin rotunjire, cele doua

operatii cunoscute din ciclu primar.


Definitia 6 .Valorile permise semnalului digital se numesc nivele de cuantizare, iar distanta ∆ dintre

doua astfel de nivele se numeste pas de cuantizare sau rezolutie.

Rezulta:

−∆

2≤ ǫq(n) ≤

∆

2.

Secventa discreta are de fapt un numar finit de esantioane, deci exista:

xmin = minx(n), xmax = maxx(n),

si putem introduce:

Definitia 7 .Marimea xmax − xmin se numeste domeniul dinamic al valorilor secventei.

Daca L este numarul nivelelor de cuantizare, rezolutia cuantizarii se calculeaza cu

relatia:

∆ =xmax − xmin

L− 1. (1.6)

O prima deosebire clara dintre esantionare si cuantizare este faptul ca din punct de

vedere teoretic, cuantizarea implica neaparat pierdere de informatie, adica cuantizarea

este nerecuperabila. Atunci care este totusi avantajul sistemelor digitale? Avem o masura

a erorii. Sa ıncercam sa o estimam.

Eroarea de cuantizare apare ın echipamentul nostru electronic ca si ceva nedorit, ın

ultima instanta o putem considera o perturbatie. Exista ın electronica si telecomunicatii

o masura specifica a performantelor pentru astfel de cazuri: raportul semnal-zgomot de

cuantizare:

SQNR =Px

Pq

,

unde Px este puterea semnalului util, iar Pq este puterea erorii de cuantizare.

Sa studiem cazul semnalului sinusoidal de forma:

xa(t) = A cos(2πF0t).

Daca numarul nivelelor de cuantizare este foarte mare, eroarea de cuantizare este

aproximativ liniara si o putem considera periodica cu perioada τ :

ǫq(t) ≃∆

2τt, t ∈ [−τ,+τ).


Prin urmare puterea erorii de cuantizare este:

Pq ≃1

2τ

∫ τ

−τǫ2q(t)dt =

1

τ

∫ τ

0

ǫ2q(t)dt =1

τ

∫ τ

0

(∆

2τ

)2

t2dt,

adica

Pq ≃∆2

12.

Daca semnalul este reprezentat cu o acuratete de (b+1) biti si cuantizorul este ales astfel

ıncat sa fie exact excursia semnalului sinusoidal, atunci este relativ simplu de aratat ca:

Pq ≃A2

3

22(b+1),

deoarece

∆ =2A

2b+1.

Pe de alta parte, puterea semnalului sinusoidal este data de binecunoscuta formula [10]:

Px =A2

2.

Rezulta raportul semnal-zgomot de cuantizare

SQNR =Px

Pq

= 1, 5 · 22(b+1),

care exprimat ın decibeli este:

SQNRdB = 10 · log10SQNR = 1, 76 + 6, 02(b+ 1).

Deci pentru fiecare bit adaugat ın reprezentarea digitala (adica prin dublarea nivelelor

de cuantizare), raportul semnal-zgomot de cuantizare creste cu aproximativ 6 dB. De

exemplu pentru o rezolutie satisfacatoare mai mare de 96 dB, ın cazul compact-discului

avem nevoie de cel putin 16 biti. De asemenea s-a gasit experimental ca pentru un semnal

de telefonie de calitate obisnuita este necesar un raport semnal-zgomot de cuantizare ın

gama de la 30 dB la 40 dB. Astfel numarul de nivele de cuantizare trebuie marit la 256

[4]. Bineınteles ca si complexitatea echipamentului creste odata cu fiecare bit adaugat ın

reprezentarea digitala.

In final sa precizam ca pentru a coda L nivele de cuantizare, avem nevoie de un numar

de biti b dat de relatia:

2b ≥ L ⇒ b ≥ log2L (1.7)

1.7 Semnale discrete ın timp 19

Exemplul 3 .Un semnal analogic x(n) = 6, 35 cos 2π1000t este cuantizat cu doua rezolutii diferite ∆1 =

0, 1, si respectiv ∆2 = 0, 02.

Vom afla ın ambele cazuri numarul minim de biti necesari pentru conversia analog

numerica.

Combinand relatiile (1.6) si (1.7), avem:

b ≥ log2L = log2

(xmax − xmin

∆+ 1

)

.

In cazul nostru xmax = −xmin = 6, 35 si rezulta b1 = 7, b2 = 10.

1.7 Semnale discrete ın timp

Definitia 8 .Un semnal discret ın timp sau o secventa este o functie definita doar la momente ıntregi

de timp:

x : Z→ R

sau:

x : Z→ C.

In mod obisnuit se noteaza prin x(n), care este de fapt al n-lea esantion al secventei

date, subıntelegandu-se ca de fapt secventa este definita peste multimea numerelor ıntregi.

Se folosesc urmatoarele tipuri de reprezentari:

• Sub forma relationala:

r(n) =

n, n ≥ 0;

0, n < 0.(1.8)

• Sub forma tabelara:

n n < 2 2 3 4 5 6 n > 6

x(n) 0 1 -1 2 -2 3 -3

• Sub forma secventiala:

x(n) = . . . ,−1,−2, 0,

↑1, 2, . . ..


−10 −5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 1.6: Secventa impuls unitate

Sageata precizeaza pozitia originii, acolada sugerand daca secventa este nenula pentru

interval finit sau nemarginit.

Cele mai des ıntalnite semnale elementare discrete ın timp sunt:

• Secventa impuls unitate (fig. 1.6):

δ(n) =

1, n = 0;

0, n 6= 0.(1.9)

Spre deosebire de cazul impulsului Dirac δ(t) studiat la semnale continue, impulsul unitate

discret este fizic realizabil.

• Secventa treapta unitate (fig. 1.7):

u(n) =

1, n ≥ 0;

0, n < 0.(1.10)

• Secventa rampa (fig. 1.8) data de relatia (1.8);

• Secventa exponentiala:

x(n) = an. (1.11)


−10 −5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 1.7: Secventa treapta unitate

−10 −5 0 5 10 15 200

5

10

15

20

25

Figura 1.8: Secventa rampa

Daca a ∈ R, atunci nu sunt probleme cu reprezentarea grafica a secventei exponentiale

(fig. 1.9, 1.10, 1.11, 1.12).


−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 1.9: Secventa exponentiala pentru a = 0, 9

−10 −5 0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

7

Figura 1.10: Secventa exponentiala pentru a = 1, 1

Cand a ∈ C\R, adica a = rejϕ, cu r > 0, ϕ 6= 0 sau ϕ 6= π, atunci x(n) = rnejnϕ si

avem:Re[x(n)] = rn cos(nϕ); Im[x(n)] = rn sin(nϕ);

x(n) = |x(n)|ej∠[x(n)],


−10 −5 0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

Figura 1.11: Secventa exponentiala pentru a = −0, 9

−10 −5 0 5 10 15 20−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Figura 1.12: Secventa exponentiala pentru a = −1, 1

adica trebuie sa reprezentam ımpreuna sau partea reala si imaginara (fig. 1.13, 1.14), sau

respectiv modulul si argumentul secventei exponentiale.


−10 −5 0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 1.13: Partea reala a secventei exponentiale pentru a = 1+j√2

−10 −5 0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 1.14: Partea imaginara a secventei exponentiale pentru a = 1+j√2

1.7.1 Clasificarea semnalelor discrete ın timp

O prima distinctie o vom face sub raport energetic. Astfel vom avea:


• Secvente de putere finita si secvente de energie finita

Pentru ınceput vom aminti definitia celor doua marimi:

Definitia 9 . Puterea unei secvente discrete se defineste prin:

P = limN→∞

1

2N + 1

N∑

n=−N|x(n)|2.

Daca P este finita, atunci secventa x(n) o vom numi secventa de putere finita.

Definitia 10 . Energia unei secvente discrete se defineste prin:

E =∞∑

n=−∞|x(n)|2.

Daca E este finita, atunci secventa x(n) o vom numi secventa de energie finita.

Sunt totusi secvente foarte importante si des utilizate care nu sunt de energie finita.

Secventa unitate u(n) pentru care avem Eu =∞, dar Pu = 12este un astfel de exemplu de

secventa de putere finita si de energie infinita. Daca introducem marimea energie partiala:

EN =N∑

n=−N|x(n)|2,

atunci avem:

E = limN→∞

EN , P = limN→∞

1

2N + 1EN .

Observatia 1 .

1. Daca energia E a unei secvente este finita, atunci puterea sa este nula:

E <∞⇒ P = 0.

2. Daca energia E a unei secvente este infinita, atunci puterea sa P poate fi finita sau

infinita.

3. Exista secvente (de exemplu secventa rampa) care nu sunt nici de putere finita, nici

de energie finita.

Tinand cont de periodicitatea secventelor, avem:


• Secvente periodice si secvente aperiodice

Reamintim ca secventa x(n) este periodica daca exista N ∈ N∗, astfel ıncat x(n+N) =

x(n), pentru orice n ∈ Z, cel mai mic N fiind perioada fundamentala. Daca nu exista un

astfel de N , atunci avem secventa neperiodica sau aperiodica.

Observatia 2 .Prin esantionarea unui semnal analogic periodic nu rezulta neaparat o secventa periodica.

Intr-adevar secventa x(n) = A sin(2πf0n) este periodica daca si numai daca f0 ∈ Q.

In sfarsit, asemanator notiunii de functie para si impara se introduc:

• Secventele pare si impare

Reamintim ca secventa x(n) este para daca:

x(−n) = x(n), ∀n ∈ Z,

si este impara daca:

x(−n) = −x(n), ∀n ∈ Z.

O proprietate importanta este descompunerea oricarei secvente ıntr-o suma dintre

secventa sa para si secventa sa impara [8]:

x(n) =x(n) + x(−n)

2+

x(n)− x(−n)2

.

1.7.2 Operatii simple cu secvente discrete

Avem urmatoarele operatii simple cu secvente discrete:

• Translatia ın timp (Time Delay)

Un semnal x(n) poate fi translatat ın timp prin ınlocuirea variabilei n cu n−k (k ∈ Z).

Daca k > 0, atunci translatia ın timp are ca efect o ıntarziere a semnalului cu k unitati

(fig. 1.15); daca k < 0, translatia ın timp implica un avans cu k unitati (fig. 1.16).

Cand semnalul este salvat pe o banda magnetica, pe un disc magnetic sau chiar ın

memoria calculatorului, atunci este usor sa modifici originea, introducand o ıntarziere sau

un avans. Daca, ın schimb, semnalul este prelucrat ın timp real, nu este posibil avansul,

deoarece o astfel de operatie implica esantioane care n-au fost ınca generate.

• Reflexia (Folding)


−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Figura 1.15: Translatia ın timp pentru k = 4 a secventei exponentiale din figura 1.9

−10 −5 0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Figura 1.16: Translatia ın timp pentru k = −4 a secventei exponentiale din figura 1.9

Reflexia consta ın ınlocuirea ın x(n) a indexului n cu −n.Precizam ca reflexia nu comuta cu translatia ın timp.

• Subesantionarea (Down-Sampling)


−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 1.17: Subesantionarea cu 2 a secventei exponentiale din figura 1.9

Subesantionarea consta ın ınlocuirea indexului n cu kn (k ∈ Z). De fapt avem o scalare

ın timp care este echivalenta cu schimbarea ratei de esantionare, si de aceea este numita

subesantionare (fig. 1.17).

Cu ajutorul secventelor se pot defini si operatiile obisnuite peste multimea functiilor

de variabila numar ıntreg:

• Adunarea secventelor

[x1 + x2](n) = [x1(n)] + [x2(n)];

• Multiplicarea secventelor

[x1x2](n) = x1(n) · x2(n);

• Multiplicarea cu un scalar

[Ax1](n) = A[x1(n)].

1.8 Sisteme discrete ın timp

In problemele practice de prelucrarea numerica a semnalelor ıntalnim ın mod obisnuit

parti de proiectare a circuitelor sau de elaborare a algoritmilor, ambele realizand operatii

1.8 Sisteme discrete ın timp 29

x(n) Sistem discret ın timp

y(n)

x(n) y(n)H

Figura 1.18: Reprezentarea sistemelor discrete

asupra unui semnal discret ın timp. Acestea le vom considera ımpreuna sisteme discrete

ın timp, mai precis vom introduce urmatoarea definitie:

Definitia 11 .Se numeste sistem discret ın timp un circuit sau un algoritm care opereaza asupra

unui semnal discret ın timp (numit intrare sau excitatie) dupa o regula bine definita si

care produce un alt semnal discret ın timp (numit iesire sau raspunsul sistemului).

Vom spune ca x(n) este prelucrat ın y(n) si relatia o vom desena sub una din formele

prezentate ın figura 1.18. Din punct de vedere matematic o vom scrie:

y(n) = H[x(n)],

unde simbolul H arata transformarea (denumita si operator) sau prelucrarea realizata de

sistem asupra secventei de intrare x(n) pentru a produce la iesire secventa y(n).

Definitia 12 .Un sistem discret este digital daca atat intrarea cat si iesirea iau un numar finit de valori

sau daca atat intrarea cat si iesirea sunt cuantizate.

In multe situatii ne intereseaza doar o relatie de intrare - iesire a sistemului, structura

sa interna fiind necunoscuta sau ignorata. Cel mai des ıntalnim urmatoarele tipuri de

sisteme:

• Sistemul identitate:

y(n) ≡ x(n);

• Intarzierea printr-un esantion:

y(n) ≡ x(n− 1);


• Avans cu un esantion:

y(n) ≡ x(n+ 1);

• Sistemul mediator, care face media dintre prezent, trecut si viitor:

y(n) =1

3[x(n− 1) + x(n) + x(n+ 1)];

• Sistemul care determina valoarea maxima dintre trei esantioane consecutive:

y(n) = max[x(n− 1), x(n), x(n+ 1)];

• Sistemul acumulator, care ınsumeaza toate valorile trecute, pana ın prezent:

y(n) =n∑

k=−∞x(k).

Din exemplele anterioare observam ca sunt sisteme care depind doar de valorile aplicate

ın acel moment; altele depind si de cele anterioare, de exemplu sistemul acumulator.

Altfel reformulat, raspunsul unui sistem nu depinde numai de excitatia prezenta, ci si de

excitatiile anterioare sau de conditiile anterioare.

Definitia 13 .Informatia necesara la momentul n = n0 pentru a determina y(n), pentru orice n ≥ n0,

o vom numi conditie initiala.

Sa presupunem acum ca sistemul acumulator nu are nici o excitatie anterioara lui n0,

adica x(n) = 0, ∀n ≤ n0 − 1. Atunci y(n0 − 1) = 0 si se spune ca sistemul este initial

relaxat. In acest caz secventa de iesire y(n), pentru n ≥ n0, depinde numai de secventa

de intrare x(n).

Se presupune ın mod obisnuit ca orice sistem este relaxat la n = −∞. In acest caz,

daca consideram ca se aplica ıncepand de la n = −∞ o excitatie, iesirea y(n) este unic

determinata de intrare.

In mod obisnuit sistemele discrete se reprezinta prin diagrame bloc, utilizand cele cinci

elemente de baza prezentate ın figura 1.19.

1.8.1 Clasificarea sistemelor discrete ın timp

• Sisteme statice si sisteme dinamice


Scalare x(n) a y(n) y(n) = ax(n)

Intarzierex(n)

z−1

y(n) y(n) = x(n− 1)

Avansx(n)

z

y(n) y(n) = x(n+ 1)

Adunarex1(n)

+

y(n) y(n) = x1(n) + x2(n)

x2(n)

Multiplicare x1(n)×

y(n) y(n) = x1(n) · x2(n)

x2(n)

Figura 1.19: Elemente de baza din diagramele bloc

Sistemele statice sau fara memorie sunt cele la care iesirea, ın orice moment, depinde cel

mult de intrarea prezenta si nu depinde de esantioanele anterioare de la intrare. Sistemele

dinamice sunt cele la care iesirea sistemului la momentul n este complet determinata de

esantioanele de intrare din intervalul de la n−N la n (N > 0). In acest caz mai spunem

ca sistemul are memoria (de lungime) N . Astfel putem clasifica sistemele si din punctul

de vedere al lungimii memoriei lor:


Daca N = 0, avem sistem static;

Daca 0 < N <∞, avem sistem cu memorie finita;

Daca N =∞, avem sistem cu memorie infinita.

• Sisteme variante ın timp si sisteme invariante ın timp

Sistemele invariante ın timp (stationare) sunt acelea ale caror caracteristica intrare -

iesire nu se schimba ın timp. Pentru un astfel de sistem, caracterizat prin operatorul H

si aflat ın stare relaxata avem:

y(n) = H[x(n)] ⇒ y(n− k) = H[x(n− k)], ∀k ∈ Z.

In figura 1.20 sunt prezentate diagramele bloc pentru patru sisteme discrete des

ıntalnite. Invitam cititorul sa stabileasca relatia intrare - iesire si sa specifice care sunt

invariante ın timp.

• Sisteme liniare si sisteme neliniare

Un sistem respecta principiul superpozitiei daca raspunsul unui astfel de sistem la o

suma (finita) ponderata de semnale este egal cu suma ponderata corespunzatoare iesirilor

sistemului, la fiecare semnal de intrare.

Definitia 14 .Un sistem este liniar daca respecta principiul superpozitiei.

In caz contrar sistemul este neliniar.

Prin urmare pentru un sistem liniar, operatorul sau H respecta:

H[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1H[x1(n)] + a2H[x2(n)],

pentru oricare secvente arbitrare de intrare x1(n), x2(n) si pentru orice constante arbitrare

a1, a2. Rezulta ca:

Observatia 3 .Daca un sistem produce o iesire nenula la intrare nula, atunci acesta este nerelaxat sau

neliniar.

Tinand cont de succesiunea dintre secventa de intrare si cea de iesire, avem:

• Sisteme cauzale si necauzale


Simetricx(n)

H

y(n) y(n) = x(−n)

Multiplicator de timp x(n)×

y(n) y(n) = nx(n)

n

Modulatorx(n)

×

y(n) y(n) = x(n) cosω0n

cosω0n

Diferentiator

x(n)

z−1

y(n)

+

−

y(n) = x(n)− x(n− 1)

Figura 1.20: Exemple de sisteme discrete

Definitia 15 .Un sistem este cauzal daca iesirea sistemului y(n) la orice moment de timp, depinde

numai de intrarile prezente si trecute, dar nu si de cele viitoare, adica:

y(n) = F [x(n), x(n− 1), x(n− 2), ...]

unde F este o functie arbitrara.

Daca sistemul nu satisface aceste cerinte, se numeste necauzal.


x(n) = x1(n) H1

y1(n) = x2(n) H2

y2(n) = y(n)

Figura 1.21: Conexiunea cascada

Prelucrarea ın timp real impune ca sistemul sa fie cauzal. Daca semnalul este deja

memorat si prelucrarea nu se face ın timp real, ceea ce se implementeaza sunt sisteme

necauzale, deoarece toate valorile semnalului sunt disponibile la momentul prelucrarii.

• Sisteme stabile si sisteme instabile

Din punctul nostru de vedere vom considera ca:

Definitia 16 .Un sistem relaxat este stabil de tip marginit la intrare - marginit la iesire, daca orice

intrare marginita genereaza o iesire marginita.

Sistemele stabile de tip marginit la intrare - marginit la iesire (Bounded Input Bounded

Output - BIBO) se ıntalnesc ın majoritatea aplicatiilor. In general sistemele instabile se

manifesta dezordonat, produc depasiri si sunt indezirabile aproape ın orice implementare

practica.

1.8.2 Conectarea sistemelor discrete ın timp

In ce priveste conectarea sistemelor discrete ın timp, avem doua conexiuni de baza mai

des ıntalnite: conexiunea cascada (figura 1.21) si conexiunea paralel (figura 1.22).

Pentru conexiunea cascada, operatorul sistemului astfel obtinut este:

HC = H2H1.

Conectarea ın cascada nu este neaparat comutativa:

H1H2 6= H2H1.

Daca sistemele caracterizate prin functiile de sistem H1 si H2 sunt liniare si invariante ın

timp, atunci avem:

H1H2 = H2H1.


x(n)

+

y(n)

x(n) = x2(n) H2

y2(n)

x(n) = x1(n)

H1

y1(n)

Figura 1.22: Conexiunea paralel

x(n) z

y1(n) = x(n+ 1) z−1

y2(n) = x(n)

Figura 1.23: Conexiunea cascada a sistemului identitate

Exemplul 4 .Sistemul identitate y(n) ≡ x(n) se poate considera ca si conectarea ın cascada a sistemelor

care realizeaza ıntarzierea printr-un esantion y(n) ≡ x(n − 1) si avans cu un esantion

y(n) ≡ x(n+ 1) (fig. 1.23).

Conexiunea paralel este ıntotdeauna comutativa:

HP = H1 +H2

si avem:

y(n) = y1(n) + y2(n).

Exemplul 5 .Sistemul mediator, care face media dintre prezent, trecut si viitor:

y(n) =1

3[x(n− 1) + x(n) + x(n+ 1)],

poate fi considerat ca si conectarea (ponderata) ın paralel a sistemelor identitate, avans si

ıntarziere cu un esantion (fig. 1.24).


x(n)

+

y(n)

x(n) = x3(n)z

3

y3(n)

x(n) = x2(n)1

3

y2(n)

x(n) = x1(n)z−1

3

y1(n)

Figura 1.24: Conexiunea paralel a sistemului mediator

Capitolul 2

Analiza semnalelor si sistemelor

discrete ın domeniul timp

Asa cum am stabilit anterior, un sistem discret ın timp poate fi reprezentat printr-un

model matematic ın care se elimina variatia continua a timpului si se preiau doar marimile

de interes la momente de timp care formeaza o multime cel mult numarabila. Din punct

de vedere tehnic un astfel de sistem este realizabil cu circuite functionand pe baza unei

sincronizari realizate de un generator de tact [6].

Desi sistemele ıntalnite ın procesarea numerica de semnal nu sunt ın totalitate sisteme

discrete liniare si invariante ın timp (Linear Time Invariant - LTI), ne vom concentra mai

mult asupra proprietatilor si caracteristicilor acestora, deoarece:

1. Exista cateva tehnici matematice de analiza a sistemelor discrete liniare si invariante

ın timp;

2. Multe sisteme practice sunt de acest fel sau se comporta aproximativ ın acest fel.

Cea mai generala si completa caracterizare [20] a sistemelor liniare si invariante ın timp

este de tipul intrare - stare - iesire. In multe aplicatii evidentierea separata a evolutiei

starii nu este absolut necesara, drept care se accepta o caracterizare mai simpla si anume

ecuatia de intrare - iesire. Cunoscandu-se aceasta se poate trece ın majoritatea cazurilor

la calculul raspunsului sistemului liniar si invariant ın timp.

2.1 Relatii de intrare - iesire pentru sisteme LTI

Cea mai directa metoda de determinare a raspunsului y(n) la intrarea cauzala x(n) cand

se cunosc conditiile initiale consta ın rezolvarea iterativa a ecuatiei de intrare - iesire prin

37

38 Analiza ın domeniul timp

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

SECVENTA RASPUNS y(n)

Figura 2.1: Secventa raspuns de la Exemplul 6

explicitarea iesirii la momentul curent ın functie de intrare si valorile anterioare ale iesirii.

Exemplul 6 .Sa aflam raspunsul sistemului mediator, care face media dintre prezent, trecut si viitor:

y(n) =1

3[x(n− 1) + x(n) + x(n+ 1)],

la excitatia treapta unitate.

Rezolvare:

Distingem urmatoarele cazuri:

• Pentru n ≤ −2, avem y(n) = 0, deoarece u(n) = 0, ∀n < 0;

• Pentru n = −1, avem y(−1) = 13, deoarece u(−2) = u(−1) = 0 si u(0) = 1;

• Pentru n = 0, avem y(n) = 23, deoarece u(−1) = 0, u(0) = u(1) = 1;

• Pentru n ≥ 1, avem y(n) = 1, deoarece u(n) = 1, ∀n ≥ 0.

Graficul rezultat este prezentat ın figura 2.1.

2.1 Relatii de intrare - iesire pentru sisteme LTI 39

Aceasta metoda simpla nu este convenabila decat pentru regimuri tranzitorii si nu da

o forma generala a raspunsului, fiind avantajoasa doar ın cazul cand suntem interesati

numai de valorile numerice [6].

In cele ce urmeaza ne vom concentra asupra metodelor de analiza a sistemelor liniare

si invariante ın timp care ne permit sa le caracterizam din punct de vedere teoretic. Astfel

tehnicile obisnuite de analiza ale sistemelor liniare sunt:

1. Rezolvarea ecuatiei de intrare - iesire;

In cazul sistemelor discrete relatia de intrare - iesire se scrie sub forma:

y(n) = F [y(n− 1), ..., y(n−N), . . . , x(n), ..., x(n−M), . . .], (2.1)

care pentru un sistem liniar si invariant ın timp devine:

y(n) = −N∑

k=1

aky(n− k) +M∑

k=0

bkx(n− k), (2.2)

adica o ecuatie cu diferente finite si cu coeficienti constanti. Vom reveni mai tarziu asupra

rezolvarii ecuatiei cu diferente finite si cu coeficienti constanti.

2. Descompunerea semnalului de intrare ıntr-o suma de semnale elementare.

Aceste semnale elementare se aleg astfel ıncat raspunsul la oricare dintre semnalele

elementare sa fie usor de determinat si apoi se utilizeaza proprietatea de liniaritate a

sistemelor liniare si invariante ın timp, adica raspunsul unui sistem la o suma ponderata

de semnale este egal cu suma ponderata corespunzatoare iesirilor sistemului, la fiecare

semnal de intrare luat separat.

Mai precis, fie xk(n)k∈Z o multime de functii elementare si sa presupunem ca putem

scrie intrarea sub forma:

x(n) =∑

k

ckxk(n),

unde ck sunt coeficientii sau ponderile semnalului de intrare fata de baza xk(n)k∈Z.Daca se cunoaste raspunsul la fiecare excitatie elementara xk(n):

yk(n) = H[xk(n)],

atunci folosind proprietatea de liniaritate a sistemelor liniare si invariante ın timp rezulta

ca:

y(n) = H[x(n)] = H[∑

k

ckxk(n)] =∑

k

ckH[xk(n)] =∑

k

ckyk(n).

Cum alegem ınsa familia xk(n)k∈Z?


1. Un prim criteriu consta ın obtinerea unei rezolutii multumitoare.

2. In al doilea rand nu trebuie neglijat confortul ın calculul matematic.

De exemplu, daca x(n) este periodic, cu perioada N , atunci cel mai potrivit set de

functii este:

xk(n) = ej2πkf0n, k = 0, N − 1.

Dar dupa cum am vazut exista multe semnale discrete ın timp neperiodice, asa ca mai

potrivit scopurilor noastre ar fi sa descompunen un semnal discret ın timp in impulsuri

unitate, aceasta fiind posibila indiferent de natura secventei (periodica sau aperiodica).

Scopul urmatorului paragraf este sa aratam ca orice sistem liniar si invariant ın timp este

caracterizat prin raspunsul sau la impuls si ca iesirea unui astfel de sistem se poate calcula

printr-o operatie de tip convolutie.

2.2 Convolutia secventelor. Secventa pondere

In cele ce urmeaza vom lua ın considerare setul de functii xk(n) = δ(n− k), k ∈ Z unde:

δ(n− k) =

1, n = k;

0, n 6= k.(2.3)

Pentru orice n, k ∈ Z avem:

x(n)δ(n− k) = x(k)δ(n− k),

deci tinand cont si de relatia (2.3) rezulta:

x(n) =∞∑

k=−∞x(n)δ(n− k) =

∞∑

k=−∞x(k)δ(n− k),

adica am obtinut descompunerea unui semnal arbitrar x(n) ıntr-o suma ponderata de

impulsuri unitate.

Exemplul 7 .Secventa:

x(n) = 1, 2,

↑3.

se poate scrie sub forma:

x(n) = x(−1)δ(n+ 1) + x(0)δ(n) + x(1)δ(n− 1) = δ(n+ 1) + 2δ(n) + 3δ(n− 1).

Graficele secventei x(n) si a impulsurilor unitate ponderate sunt prezentate ın figura 2.2.

2.2 Convolutia secventelor. Secventa pondere 41

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k

SECVENTA x(n)

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k

SECVENTA x(−1)δ(n+1)

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k

SECVENTA x(0)δ(n)

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k

SECVENTA x(1)δ(n−1)

Figura 2.2: Descompunerea secventei de la Exemplul 7 ın suma ponderata de impulsuri

unitate

Acum putem ıncerca sa calculam raspunsul unui sistem liniar si invariant ın timp la

intrari arbitrare, ocazie cu care vom introduce suma de convolutie.

Vom considera pentru ınceput ca sistemul este relaxat si fie y(n, k) raspunsul sistemului

de la momentul n, cand excitatia este aplicata la momentul k. Pentru secventa de intrare


impuls unitate raspunsul y(n, k) ıl vom nota ın mod deosebit prin h(n, k) si-l vom numi

secventa pondere. Prin urmare vom avea:

h(n, k) = H[δ(n− k)].

Aplicand proprietatea de liniaritate a sistemelor liniare obtinem:

y(n) = H[x(n)] = H[∞∑

k=−∞x(k)δ(n− k)] =

∞∑

k=−∞x(k)H[δ(n− k)] =

∞∑

k=−∞x(k)h(n, k).

Daca sistemul este si invariant ın timp, putem nota secventa pondere a sistemului liniar

si invariant ın timp prin:

h(n) = H[δ(n)],

si avem ca:

h(n) = H[δ(n)]⇒ h(n− k) = H[δ(n− k)], ∀k ∈ Z,

deci rezulta ca:

y(n) =∞∑

k=−∞x(k)h(n− k).

Definitia 17 .Operatia nou introdusa prin relatia

y(n) = x(n) ∗ h(n) =∞∑

k=−∞x(k)h(n− k). (2.4)

se numeste suma de convolutie.

Am obtinut astfel ca:

Teorema 2 .Orice sistem liniar si invariant ın timp este caracterizat prin secventa sa pondere (raspunsul

sau la secventa impuls unitate) si iesirea unui astfel de sistem se poate calcula printr-o

operatie de tip convolutie dintre secventa de intrare si secventa pondere.

2.2.1 Calculul sumei de convolutie

Fie acum n0 un punct ın care noi vrem sa calculam raspunsul sistemului liniar si invari-

ant ın timp caracterizat de secventa pondere h(n) la secventa excitatie x(n). Suma de

convolutie se scrie astfel:

y(n0) =∞∑

k=−∞x(k)h(n0 − k).

Prin urmare calculul sumei de convolutie consta ın urmatorii pasi:


1. Reflexia: Vom calcula h(−k) simetrica secventei pondere h(k) fata de origine;

2. Translatia: Ca sa obtinem h(n0 − k) vom translata h(−k) cu |n0| unitati:

• spre dreapta, daca n0 este pozitiv;

• spre stanga, daca n0 este negativ;

3. Multiplicarea: Vom multiplica pe x(k) cu h(n0 − k) pentru a obtine secventa

produs: x(k)h(n0 − k);

4. Adunarea: Vom aduna toate produsele obtinute la punctul anterior pentru a afla

y(n0).

Exemplul 8 .Sa aflam raspunsul sistemului care are secventa pondere:

h(n) = −1

3, 0,

↑

1

3,

la secventa excitatie din figura 2.2:

x(n) = 1, 2,

↑3.

Rezolvare:

Vom utiliza reprezentarea grafica pentru a calcula raspunsul sistemului dat si vom urma

pas cu pas procedura aminitita anterior.

Pentru n0 = 1, avem:

y(1) =∞∑

k=−∞x(k)h(1− k)

si graficele secventelor h(k), h(−k), h(1−k) si x(k) sunt prezentate ın figura 2.3. Rezulta

ca din toate produsele x(k)h(1−k) doar unul singur este nenul si anume cel pentru k = 0.

Prin urmare

y(1) = x(k)h(1− k)|k=0 =2

3.

La fel pentru n0 = 2, avem:

y(2) =∞∑

k=−∞x(k)h(2− k).


−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

k

h(k)

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4h(−k)

k

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

k

h(1−k)

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k

x(k)

Figura 2.3: Calculul sumei de convolutie pentru n0 = 1 (Exemplul 8)

Graficele secventelor h(k), h(−k), h(2− k) si x(k) sunt prezentate ın figura 2.4. Rezulta

ca din toate produsele x(k)h(2−k) doar unul singur este nenul si anume cel pentru k = 1.

Prin urmare

y(2) = x(k)h(2− k)|k=1 = 1.


−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

k

h(k)

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4h(−k)

k

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

k

h(2−k)

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k

x(k)

Figura 2.4: Calculul sumei de convolutie pentru n0 = 2 (Exemplul 8)

In continuare pentru n0 > 2 nu mai are rost sa reprezentam grafic secventa h(n0 −k) deoarece este clar ca aceasta nu se mai suprapune cu x(k) si astfel toate produsele

x(k)h(n0 − k) vor fi zero. Prin urmare y(n) = 0 pentru n > 2.


Pentru n0 = 0 putem folosi oricare dintre graficele anterioare, deoarece ın acest caz

h(n0 − k) este chiar h(−k) si prin urmare:

y(0) = x(k)h(−k)|k=−1 + x(k)h(−k)|k=1 =1

3− 1 = −2

3.

Pentru n0 = −1, avem:

y(−1) =∞∑

k=−∞x(k)h(−1− k)

si graficele secventelor h(k), h(−k), h(−1 − k) si x(k) sunt prezentate ın figura 2.5.

Rezulta ca din toate produsele x(k)h(−1 − k) doar unul singur este nenul si anume cel

pentru k = 0. Prin urmare

y(−1) = x(k)h(−1− k)|k=0 = −2

3.

La fel pentru n0 = −2, avem:

y(−2) =∞∑

k=−∞x(k)h(−2− k).

Graficele secventelor h(k), h(−k), h(−2−k) si x(k) sunt prezentate ın figura 2.6. Rezulta

ca din toate produsele x(k)h(−2 − k) doar unul singur este nenul si anume cel pentru

k = −1. Prin urmare

y(−2) = x(k)h(2− k)|k=−1 = −1

3.

In continuare pentru n0 < −2 nu mai are rost sa reprezentam grafic secventa h(n0 −k) deoarece este clar ca aceasta nu se mai suprapune cu x(k) si astfel toate produsele

x(k)h(n0 − k) vor fi zero. Prin urmare y(n) = 0 pentru n < −2.Concluzionam ca secventa raspuns este urmatoarea:

y(n) = −1

3,−2

3, −2

3,

↑

2

3, 1.

Mai avem urmatoarea precizare simpla de demonstrat:

Observatia 4 .Durata convolutiei unor secvente de durata L si respectiv N este L+N − 1.


−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

k

h(k)

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4h(−k)

k

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

k

h(−1−k)

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k

x(k)

Figura 2.5: Calculul sumei de convolutie pentru n0 = −1 (Exemplul 8)

2.2.2 Proprietatile sumei de convolutie

In cele ce urmeaza vom investiga cateva dintre cele mai importante proprietati ale sumei

de convolutie cu precizarea ca acestea sunt satisfacute pentru orice tip de secvente. De

asemenea vom preciza cum se reflecta aceste proprietati asupra interconectarii sistemelor.


−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

k

h(k)

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4h(−k)

k

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

k

h(−2−k)

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k

x(k)

Figura 2.6: Calculul sumei de convolutie pentru n0 = −2 (Exemplul 8)

Deoarece:

x(n) ∗ h(n) =∞∑

k=−∞x(k)h(n− k)

n−k←k︷︸︸︷=

−∞∑

k=∞x(n− k)h(k) =

∞∑

k=−∞x(n− k)h(k),

• Suma de convolutie este comutativa:

x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n).


x(n) h(n)

y(n) ⇔

h(n) x(n)

y(n)

Figura 2.7: Comutativitatea convolutiei

Aceasta proprietate a sumei de convolutie ne permite rescrierea formulei de calcul a

raspunsului unui sistem liniar si invariant ın timp sub forma:

y(n) =∞∑

k=−∞h(k)x(n− k).

La nivelul diagramelor bloc avem echivalenta din figura 2.7.

• Suma de convolutie este asociativa:

(x ∗ h1) ∗ h2 = x ∗ (h1 ∗ h2).

Demonstratie:

Intr-adevar:

[(x ∗ h1) ∗ h2](n) =∞∑

k=−∞(x ∗ h1)(k)h2(n− k)=

∞∑

k=−∞

( ∞∑

p=−∞x(p)h1(k − p)

)

h2(n− k).

Schimbam ordinea de ınsumare:

∞∑

k=−∞

( ∞∑

p=−∞x(p)h1(k − p)

)

h2(n− k)=∞∑

p=−∞x(p)

( ∞∑

k=−∞h1(k − p)h2(n− k)

)

si facem k − p← r:

∞∑

p=−∞x(p)

( ∞∑

r=−∞h1(r)h2(n− p− r)

)

=∞∑

p=−∞x(p)(h1 ∗ h2)(n− p) = [x ∗ (h1 ∗ h2)](n),


La nivelul diagramelor bloc avem echivalenta din figura 2.8.

Impreuna cele doua proprietati se pot caracteriza prin diagrama desenata ın figura 2.9.


x(n) h1(n) h2(n)

y(n)

⇔x(n)

h2(n) h1(n)

y(n)

Figura 2.8: Asociativitatea convolutiei

x(n) h1(n) h2(n)

y(n)

⇔x(n)

h1 ∗ h2

y(n)

Figura 2.9: Asociativitatea si comutativitatea convolutiei

In consecinta, daca avem mai multe sisteme liniare si invariante ın timp, caracteri-

zate prin secventele pondere hi(n), i = 1, 2, . . . , L si conectate ın cascada, acestea sunt

echivalente cu un sistem a carui secventa pondere este:

h(n) = h1(n) ∗ h2(n) ∗ ... ∗ hL(n).

Proprietatea de comutativitate ne arata ca nu este importanta ordinea ın care se fac

convolutiile ın formula anterioara.

• Distributivitatea convolutiei fata de adunare:

x(n) ∗ [h1(n) + h2(n)] = x(n) ∗ h1(n) + x(n) ∗ h2(n).

Demonstratia acestei proprietati este simpla. La nivelul diagramelor bloc avem echivalenta

din figura 2.10.

Un sistem cauzal este caracterizat de:

h(n) = 0, ∀n < 0,

deci pentru un astfel de sistem avem urmatoarea relatie de calcul a iesirii:

y(n) =∞∑

k=0

h(k)x(n− k).

2.3 Stabilitatea sistemelor liniare si invariante ın timp 51

x(n)

+

y(n)

h2

h1

⇔x(n)

h1 + h2

y(n)

Figura 2.10: Distributia convolutiei fata de adunare

Daca si secventa de intrare este cauzala:

x(n) = 0, ∀n < 0,

atunci secventa raspuns se poate calcula cu formula:

y(n) =n∑

k=0

h(k)x(n− k) =n∑

k=0

x(k)h(n− k).

2.3 Stabilitatea sistemelor liniare si invariante ın timp

Reamintim ca am introdus conceptul de stabilitate BIBO (pagina 34) care definea un

sistem ca fiind stabil daca la o intrare marginita, raspunsul era de asemenea marginit,

adica daca:

|x(n)| < Mx, ∀n ∈ Z ⇒ |y(n)| < My <∞ ∀n ∈ Z.

Ne propunem sa aflam ce conditie necesara si suficienta trebuie sa ındeplineasca secventa

pondere astfel ıncat sistemul liniar si invariant ın timp caracterizat de aceasta sa fie stabil.

Fie deci x(n) o secventa marginita. Atunci avem succesiv:

|x(n)| < Mx,

y(n) =∞∑

k=−∞h(k)x(n− k),


|y(n)| = |∞∑

k=−∞h(k)x(n− k)| ≤

∞∑

k=−∞|h(k)||x(n− k)|,

|y(n)| ≤Mx

∞∑

k=−∞|h(k)|.

Deci daca secventa de la intrare este marginita si daca secventa pondere satisface conditia

de absolut sumabilitate:

Ih ≡∞∑

k=−∞|h(k)| <∞,

atunci si secventa de iesire este marginita. In concluzie sistemul liniar si invariant ın timp

caracterizat de aceasta secventa este stabil.

Reciproc, sa presupunem ca secventa pondere nu este absolut sumabila:

Ih ≡∞∑

k=−∞|h(k)| =∞.

Vom arata ca ın acest caz sistemul nostru nu este stabil. Mai precis, exista si este corect

definita secventa de intrare:

x(n) =

h∗(−n)|h(−n)| , h(n) 6= 0,

0, h(n) = 0.

(2.5)

Atunci avem pentru n = 0:

y(0) =∞∑

k=−∞h(k)x(−k) =

∞∑

k=−∞h(k)

h∗(k)

|h(k)| =∞∑

k=−∞|h(k)| =∞,

deci secventa de iesire nu este marginita. In acest caz sistemul caracterizat de secventa

pondere h(n) nu este stabil.

Prin urmare avem:

Teorema 3 .Conditia necesara si suficienta de stabilitate a sistemelor liniare si invariante ın timp este

absoluta sumabilitate a secventei pondere:

∞∑

k=−∞|h(k)| <∞. (2.6)


Corolarul 1 .O prima consecinta a acestui rezultat este:

limn→∞

h(n) = 0.

Demonstratia este evidenta, deoarece seria din (2.6) este absolut convergenta. In plus,

Proprietatea 1 .Daca secventa de intrare are suport finit, atunci iesirea unui sistem stabil, liniar si in-

variant ın timp tinde catre zero cand n tinde catre ∞.

Demonstratie:

Presupunem ca:

|x(n)| < Mx, ∀n < n0,

si ca:

|x(n)| = 0, ∀n ≥ n0,

si fie N ∈ N∗. Atunci:

y(n0 +N) =N−1∑

k=−∞h(k)x(n0 +N − k)+

∞∑

k=N

h(k)x(n0 +N − k) =∞∑

k=N

h(k)x(n0 +N − k),

deoarece |x(n)| = 0, ∀n ≥ n0. Pe de alta parte avem:

|y(n0 +N)| ≤∞∑

k=N

|h(k)||x(n0 +N − k)| ≤Mx

∞∑

k=N

|h(k)|,

si daca N →∞, atunci:

limN→∞

|y(n0 +N)| = 0,

deoarece

limN→∞

∞∑

k=N

|h(k)| = 0,

seria data fiind absolut convergenta.

Rezulta ca orice excitatie de durata finita la intrarea unui sistem stabil liniar si invari-

ant ın timp va produce la iesire un raspuns tranzitoriu, avand amplitudinea descrescatoare

ın timp catre zero.


2.4 Sisteme cu raspuns finit la impuls si sisteme cu

raspuns infinit la impuls

Definitia 18 .Daca secventa pondere are suport finit, atunci sistemul se numeste sistem cu raspuns finit

la impuls. In caz contrar sistemele se numesc cu raspuns infinit la impuls.

Ne vom opri pentru ınceput la un exemplu de sistem cu raspuns finit la impuls (Finite

Impulse Response - FIR), foarte des folosit ın prelucrarea numerica a semnalelor. Acesta

este caracterizat de secventa pondere:

h(n) = 0, ∀n 6= 0, 1, . . . ,M.

Conditia n < 0 este impusa de cauzalitatea sistemului, iar restrictia n ≥M+1 ne asigura

ca sistemul are raspuns finit la impuls. Pentru un astfel de sistem semnalul de la iesire se

calculeaza cu relatia:

y(n) =M∑

k=0

h(k)x(n− k),

adica iesirea sistemului este o suma ponderata prin valorile secventei pondere ale celor

mai recente M + 1 esantioane de intrare x(n), x(n− 1), . . ., x(n−M). De fapt sistemul

actioneaza ca si o fereastra care vede doar ultimele M+1 esantioane, neglijand (ignorand)

esantioanele anterioare. Un astfel de sistem se mai numeste si sistem cu memorie finita,

de lungime M + 1.

In cazul sistemelor cu raspuns infinit la impuls (Infinite Impulse Response - IIR),

raspunsul la impuls are durata infinita si pentru calculul raspunsului avem nevoie de

toate esantioanele semnalului de intrare:

y(n) =∞∑

k=−∞h(k)x(n− k). (2.7)

Daca sistemul este cauzal, atunci suma se simplifica:

y(n) =∞∑

k=0

h(k)x(n− k), (2.8)

si prin urmare iesirea sistemului cu raspuns infinit la impuls este o suma ponderata prin

valorile secventei pondere ale esantioanelor de intrare x(n), x(n− 1), x(n− 2), . . .

Deoarece sumele ponderate (2.7) si (2.8) necesita toate esantioanele (prezente, cele

trecute si cele viitoare) vom spune ca sistemul are o memorie infinita.

2.5 Sisteme recursive si nerecursive 55

2.5 Sisteme recursive si nerecursive

Sistemele FIR, prin faptul ca au un raspuns finit la impuls, au cateva avantaje importante:

1. Pornind de la suma de convolutie, ele pot fi implementate direct.

2. Acestea folosesc ın implementare un numar finit de locatii de memorie.

3. Marele lor avantaj ramane totusi stabilitatea, deoarece secventa lor pondere este

absolut sumabila, fiind vorba doar de o suma finita.

Observatia 5 .Sistemele FIR sunt intotdeauna sisteme stabile.

In cazul sistemelor cu raspuns infinit la impuls, utilizarea sumei de convolutie la im-

plementare este imposibila, deoarece necesita un numar infinit de locatii de memorie.

Eliminarea acestui impediment se poate face rescriind ecuatia de calcul a iesirii astfel

ıncat sa apara si esantioanele anterioare ale raspunsului.

Sa luam cazul unui sistemul discret mai special, cel care face media cumulata a sem-

nalului de intrare:

y(n) =1

n+ 1

n∑

k=0

x(k), n = 0, 1, 2, . . . (2.9)

Aplicarea directa a formulei anterioare necesita memorarea tuturor valorilor x(k), k =

0, 1, . . . , n. Evident, cand n creste, avem nevoie de o memorie nemarginita, ceea ce

reprezinta un inconvenient.

Rescriem ecuatia (2.9) sub o forma ın care apare si un esantion anterior al iesirii:

(n+ 1)y(n) =n−1∑

k=0

x(k) + x(n) = ny(n− 1) + x(n),

sau

y(n) =n

n+ 1y(n− 1) +

1

n+ 1x(n).

Acesta este un exemplu de sistem cu memorie infinita care poate fi implementat cu un

numar finit de locatii de memorie.

Definitia 19 .Un sistem este recursiv daca iesirea acestuia y(n) depinde ın orice moment de timp de un

numar infinit dintre valorile anterioare ale iesirii:

y(n− 1), y(n− 2), . . . , y(n−N), . . .


x(n) F [x(n), . . . , x(n−M)]

y(n)

Figura 2.11: Sistem nerecursiv

Cand implementam sistemul sub forma recursiva vom avea nevoie de conditii initiale.

Astfel ca iesirea unui sistem cauzal, realizabil si recursiv se poate scrie sub forma:

y(n) = F [y(n− 1), y(n− 2), ..., y(n−N), x(n), x(n− 1), ..., x(n−M)], (2.10)

unde F este o functie oarecare. Ecuatia de forma (2.10) se numeste ecuatie recursiva.

Definitia 20 .Daca secventa raspuns y(n) depinde numai de intrarile trecute si intrarea prezenta, avem

un sistem nerecursiv:

y(n) = F [x(n), x(n− 1), ..., x(n−M)]. (2.11)

Un sistem cu raspuns finit la impuls este un sistem nerecursiv, deoarece:

y(n) =M∑

k=0

h(k)x(n− k),

si se poate alege:

F [ . ] = h(0)x0 + h(1)x1 + ...+ h(M)xM .

Diferenta majora dintre sistemele recursive si nerecursive este reteaua de reactie (fig. 2.11

si 2.12).

Observatia 6 .In cazul sistemelor recursive calculul secventei raspuns se face ın ordine: y(0), y(1), . . .

In cazul sistemelor nerecursive, calculul secventei raspuns se poate face ın orice ordine.

Sistemul anterior (2.9) era un sistem ai carui coeficienti variau ın timp. Un sistem recursiv

simplu este sistemul cumulativ ponderat care are coeficienti constanti. Relatia sa de

intrare - iesire este data de:

y(n) = ay(n− 1) + x(n). (2.12)

2.5 Sisteme recursive si nerecursive 57

x(n) F [y(n− 1), . . . , y(n−N), x(n), · · · , x(n−M)]

y(n)

z−1

Figura 2.12: Sistem recursiv

Calculam recurent secventa raspuns pornind de la conditia initiala y(−1):

y(0) = ay(−1) + x(0),

y(1) = ay(0) + x(1) = a2y(−1) + ay(0) + x(1),

si ın general:

y(n) = ay(n− 1) + x(n) = an+1y(−1) + anx(0) + ...+ ax(n− 1) + x(n).

Deci:

y(n) = an+1y(−1) +n∑

k=0

akx(n− k).

Distingem doua parti ın raspunsul sistemului:

1. Contributia conditiei initiale a sistemului la raspuns, data de y(−1);

2. Contributia intrarii la raspuns, data de suma intrarilor ponderata de puterile parametru-

lui a.

Definitia 21 .Daca sistemul este initial relaxat, adica conditiile initiale sunt nule si daca sistemul este

excitat, atunci raspunsul corespunzator ıl vom numi raspuns ın conditii initiale nule1

(uneori raspuns fortat) si ıl vom nota yzs(n).

1In engleza avem denumirea de zero-state response.


In cazul sistemului cumulativ ponderat avem y(−1) = 0, si rezulta:

yzs(n) =n∑

k=0

akx(n− k), n ≥ 0,

si remarcam ca este o convolutie dintre semnalul de intrare si secventa pondere a sistemului

h(n) = anσ(n).

Definitia 22 .Daca sistemul este nerelaxat si intrarea este nula, secventa raspuns o vom numi raspuns

cu conditii initiale si intrare nula2 (uneori raspuns liber) yzi(n).

In cazul nostru y(−1) 6= 0 si deci:

yzi(n) = an+1y(−1), n ≥ 0.

Vom face cateva observatii referitoare la sistemele recursive si cele nerecursive:

Observatia 7 .Un sistem recursiv cu conditii initiale nenule este nerelaxat si poate produce iesiri nenule

fara sa fie excitat.

In acest caz raspunsul sistemului este dat de memoria sistemului. Raspunsul cu conditii

initiale nenule depinde numai de natura sistemului si de conditiile initiale, si nu depinde

de intrare, de aceea cateodata ıl vom numi si raspuns liber.

Observatia 8 .

1. Raspunsul fortat depinde de natura sistemului si de intrare, nedepinzand de conditiile

initiale.

2. Raspunsul sistemului este suma celor doua raspunsuri liber si fortat:

y(n) = yzi(n) + yzs(n).

In multe publicatii se identifica sistemele nerecursive cu sistemele avand raspuns finit

la impuls. Calitatea unui sistem de a avea un raspuns finit sau infinit la impuls este

diferita de modul sau de implementare. In general sistemele IIR pot fi realizate doar

recursiv, ın schimb sistemele FIR pot fi implementate atat nerecursiv, cat si recursiv [18].

Este totusi adevarat ca pe cat posibil se evita utilizarea reactiei, deci a implementarii

recursive a sistemelor FIR.

2In engleza avem denumirea de zero-input response.

2.6 Rezolvarea ecuatiei cu diferente finite 59

Exemplul 9 .Sistemul mediator este un sistem FIR.

Daca este implementat dupa relatia de intrare - iesire:

y(n) =1

3[x(n− 1) + x(n) + x(n+ 1)],

sistemul este nerecursiv.

Daca se scrie relatia echivalenta:

y(n) = y(n− 1) +1

3[x(n+ 1)− x(n− 2)].

sistemul este recursiv.

2.6 Rezolvarea ecuatiei cu diferente finite si cu coeficienti

constanti

Reamintim ca forma generala a unui sistem recursiv, liniar si invariant ın timp este data

de ecuatia cu diferente finite si cu coeficienti constanti:

y(n) = −N∑

k=1

aky(n− k) +M∑

k=0

bkx(n− k),

sauN∑

k=0

aky(n− k) =M∑

k=0

bkx(n− k), a0 = 1,

unde N este ordinul ecuatiei sau ordinul sistemului.

In cazul sistemelor nerecursive, liniare si invariante ın timp, ecuatia cu diferente finite

si cu coeficienti constanti este de forma:

y(n) =M∑

k=0

bkx(n− k).

Rezolvarea ecuatiilor cu diferente finite si cu coeficienti constanti de forma:

y(n) = −N∑

k=1

aky(n− k) +M∑

k=0

bkx(n− k), (2.13)

se poate face ın mod direct sau utilizand metoda transformatei ın z. In acest capitol ne

vom ocupa doar de prima metoda. Vom scrie secventa raspuns sub forma unei sume:

y(n) = yh(n) + yp(n),


unde yh(n) este solutia ecuatiei omogene:

N∑

k=0

akyh(n− k) = 0,

iar yp(n) este o solutie particulara a ecuatiei neomogene:

yp(n) = −N∑

k=1

akyp(n− k) +M∑

k=0

bkx(n− k).

Procedam ın felul urmator:

1. Vom alege o solutie a ecuatiei omogene de forma:

yh(n) = λn,

si avem succesiv:N∑

k=0

akλn−k = 0,

sau

λn−N(λN + a1λN−1 + a2λ

N−2 + · · ·+ aN−1λ+ aN) = 0.

Definitia 23 .Polinomul:

P (λ) = λN + a1λN−1 + a2λ

N−2 + · · ·+ aN−1λ+ aN

se numeste polinomul caracteristic al sistemului, iar ecuatia:

λN + a1λN−1 + a2λ

N−2 + · · ·+ aN−1λ+ aN = 0

se numeste ecuatia caracteristica asociata sistemului liniar si invariant ın timp.

2. Ecuatia caracteristica are N radacini: λ1, λ2, . . ., λN care pot fi reale sau complexe,

eventual multiple.

Putem construi solutia ecuatiei omogene:

yh(n) = C1λn1 + C2λ

n2 + ...+ CNλ

nN ,

unde Ci sunt coeficientii de ponderare care se vor determina ulterior din conditiile initiale.

In cazul ın care una dintre radacinile ecuatiei caracteristice este de multiplicitate m,

atunci solutia ecuatiei omogene devine:

yh(n) = C1λn1 + C2nλ

n1 + ...+ Cmn

m−1λn1 + Cm+1λ

nm+1 + Cm+2λ

nm+2 + . . .+ CNλ

N .

2.6 Rezolvarea ecuatiei cu diferente finite 61

x(n) yp(n)

A K

AnM K0nM +K1n

M−1 + · · ·+KM

AnnM An(K0nM +K1n

M−1 + · · ·+KM)

A cosω0n, A sinω0n K1 cosω0n+K2 sinω0n

Tabelul 2.1: Solutii particulare pentru ecuatia cu diferente finite

3. Solutiei particulare i se impune conditia sa satisfaca ecuatia neomogena cu diferente

finite pentru un semnal dat de intrare.

Desigur ca exista tehnici matematice de determinare a solutiei particulare care se

gasesc ın majoritatea tratatelor de matematica discreta. Noi ne vommultumi sa prezentam

ın tabelul 2.1 solutia particulara pentru cele mai uzuale semnale de intrare din prelucrarea

numerica a semnalelor. Mentionam ca A este o constanta, iar Ki sunt coeficienti care

urmeaza sa fie determinati prin ınlocuire ın ecuatia (2.13).

4. Scriem:

y(n) = yh(n) + yp(n),

dupa care determinam constantele Ci din primele esantioane ale iesirii calculate

iterativ (vezi pagina 37).

Exemplul 10 .Ne propunem sa determinam raspunsul y(n) al sistemului descris de ecuatia cu diferente

finite de ordinul doi:

y(n)− 5y(n− 1) + 4y(n− 2) = x(n) + x(n− 1),

cand la intrare avem secventa x(n) = 2nu(n).


Rezolvare:

Ecuatia caracteristica este:

λ2 − 5λ+ 4 = 0,

care are radacinile:

λ1 = 1, λ = 4.

Deci solutia ecuatiei omogene este:


n2 = C1 + C24

n.

Solutia particulara a ecuatiei neomogene este de forma:

yp(n) = K2nu(n),

unde K satisface relatia:

K2n − 5K2n−1 + 4K2n−2 = 2n + 2n−1,

sau

4K − 10K + 4K = 4 + 2,

adica:

K = −3.Prin urmare solutia generala este:

y(n) = yh(n) + yp(n) = (C1 + C24n − 3 · 2n)u(n),

unde constantele C1 si C2 se determina din conditille initiale.

Deocamdata sa observam ca y(0) = 1, deoarece:

y(0)− 5y(−1) + 4y(−2) = x(0) + x(−1),

y(−1) = y(−2) = x(−1) = 0 si x(0) = 1.

In plus rezulta: y(1) = 8, din

y(1)− 5y(0) + 4y(−1) = x(1) + x(0)

si y(−1) = 0, y(0) = x(0) = 1 si x(1) = 2.

Sa scriem acum primele doua esantioane ale raspunsului sub forma unui sistem:

y(0) = 1 = C1 + C2 − 3;

y(1) = 8 = C1 + C24− 3 · 2,adica C1 =

23, C2 =

103, de unde:

y(n) = (2

3− 10

3· 4n − 3 · 2n)u(n).

2.7 Raspunsul la impuls al sistemelor recursive 63

Observatia 9 .Daca ne referim la un sistem LTI stabil si ın anumite conditii (de exemplu excitatie

constanta), atunci:

yp(n) = limn→∞

yzs(n),

adica solutia particulara a ecuatiei omogene se poate obtine la limita din raspunsul fortat

(raspunsul ın conditii initiale nule). Deoarece aceasta persista cınd n → ∞, solutia

particulara se mai numeste si raspuns permanent sau stationar. Partea de raspuns fortat

(sau ın conditii initiale nule) care tinde la zero cınd n → ∞ contribuie la raspunsul

tranzitoriu (Sectiunea 4.7.3) al sistemului.

2.7 Raspunsul la impuls al sistemelor recursive

Secventa pondere sau raspunsul la impuls al unui sistem s-a definit cand la intrare aveam

un impuls unitate. In cazul sistemelor cu raspuns finit la impuls secventa pondere se

identifica usor conform relatiilor:

y(n) =M∑

k=0

h(k)x(n− k),

si

y(n) =M∑

k=0

bkx(n− k),

si este data de:

h(k) =

bk, k = 0, 1, . . . ,M ;

0, altfel.

(2.14)

Exemplul 11 .Secventa pondere:

h(n) = 2,

↑− 1

5,1

3,

corespunde ecuatiei cu diferente finite:

y(n) = 2x(n)− 1

5x(n− 1) +

1

3x(n− 2).


Pentru sistem recursive acest tip de identificare nu se poate face usor ca si ın cazul

sistemelor nerecursive, datorita buclei de reactie. Revenim la sistemul cumulativ ponderat

(2.12), unde raspunsul fortat era:

yzs(n) =n∑

k=0

akx(n− k).

Deoarece secventa impuls unitate se aplica ın conditii initiale nule, rezulta ca de fapt:

h(n) = yzs(n)|x(n)=δ(n) = anu(n).

In caz general, pentru un sistem liniar si invariant ın timp, recursiv, cauzal, descris de o

ecuatie cu diferente finite si cu coeficienti constanti si excitat de impulsul unitate, solutia

particulara se poate se obtine utilizand tabelul 2.1. Deoarece A = 0, pentru n > 0, rezulta

yp(n) = 0. Deci secventa pondere este data chiar de solutia ecuatiei omogene:

h(n) =

(N∑

i=1

Ciλni

)

u(n), (2.15)

unde Ci se determina din N conditii initiale.

Exemplul 12 .Vom calcula secventa pondere a sistemului liniar si invariant ın timp descris de ecuatia

cu diferente finite si cu coeficienti constanti:

y(n)− 5

6y(n− 1) +

1

6y(n− 2) = x(n)− x(n− 1).

Rezolvare:

Ecuatia caracteristica este:

λ2 − 5

6λ+

1

6= 0,

care are radacinile:

λ1 =1

2, λ =

1

3.

Deci solutia ecuatiei omogene este:


n2 = C1(

1

2)n + C2(

1

3)n.

Pe de alta parte, daca x(n) = δ(n), atunci y(n) = h(n) si avem:

h(0)− 56h(−1) + 1

6h(−2) = δ(0)− δ(−1);

h(1)− 56h(0) + 1

6h(−1) = δ(1)− δ(0).

2.7 Raspunsul la impuls al sistemelor recursive 65

Rezulta h(0) = 1, h(1) = −16.

Sa scriem acum primele doua esantioane ale raspunsului la impuls sub forma unui

sistem:h(0) = 1 = C1 + C2;

h(1) = −16= C1 · 12 + C2 · 13 ,

adica C1 = −3, C2 = 4, de unde:

h(n) = [−3(12)n + 4(

1

3)n]u(n).

Relatia (2.15) ne permite sa stabilim legatura dintre radacinile ecuatiei caracteristice

si stabilitatea BIBO a sistemului IIR. Astfel avem succesiv:

∞∑

n=0

|h(n)| =∞∑

n=0

|N∑

i=1

Ciλni | ≤

N∑

i=1

|Ci|∞∑

n=0

|λi|n.

O conditie suficienta pentru stabilitatea sistemului este ca radacinile ecuatiei caracteristice

sa fie ın modul subunitare:

|λi| < 1, ∀i = 1, N ⇒∞∑

i=0

|λi|n <∞⇒∞∑

n=0

|h(n)| <∞.

In acest caz secventa pondere este absolut sumabila si prin urmare sistemul este stabil.

Observatia 10 .Daca exista λi de modul supraunitar, atunci sistemul este instabil.

Pentru demonstratie este suficient sa consideram limita la +∞ a expresiei secventei pon-

dere (2.15).

Raman totusi deschise urmatoarelor chestiuni:

1. Ce se ıntampla ın cazul radacinilor subunitare multiple?

2. Ce se ıntampla ın cazul radacinilor de modul unitate (simple, respectiv multiple)?

In primul caz exista termeni polinomiali ın expresia secventei pondere (2.15), dar care

nu schimba calitativ comportarea sistemului. A doua situatie este mai delicata si in

sectiunea 4.8 vom arata ca si ın acest caz trebuie sa fim prevazatori. Anticipand putem

concluziona astfel ca:

Teorema 4 .Pentru ca un sistem cu raspuns infinit la impuls, cauzal, descris printr-o ecuatie intrare

- iesire cu diferente finite si cu coeficienti constanti, sa fie stabil este necesar si suficient

ca radacinile ecuatiei caracteristice sa fie subunitare ın modul.


Exemplul 13 .Sistemul de la Exemplul 10 este instabil, deoarece radacinile ecuatiei caracteristice nu sunt

subunitare ın modul: λ1 = 1, λ = 4. Sistemul de la Exemplul 12 este stabil, deoarece

radacinile ecuatiei caracteristice sunt subunitare ın modul: λ1 =12, λ = 1

3.

2.8 Corelatia semnalelor discrete ın timp

Operatia de corelatie este asemanatoare operatiei de convolutie:

1. In primul rand sunt necesare doua semnale pentru ambele operatii.

2. In al doilea rand exista un singur semn diferenta ıntre formulele lor de definitie.

Ca si semnificatie, cele doua operatii difera mult.

Astfel corelatia masoara gradul de asemanare ıntre doua semnale si de aceea este des

utilizata ın aplicatii ca si radarul, comunicatii digitale, geologie etc.

In majoritatea cazurilor avem doua semnale x(n) si y(n) pe care urmeaza sa le com-

param. De obicei y(n) este suma dintre varianta atenuata si deplasata a lui x(n) si un

semnal perturbator:

y(n) = ax(n−N) + w(n),

a fiind factorul de atenuare, N deplasarea ın timp si w(n) zgomotul aditiv. Prin inspectie

vizuala este rar posibila decelarea proprietatilor semnalului y(n), totusi prin masurari de

corelatie se pot obtine informatii importante.

In cele ce urmeaza vom considera pentru ın ceput ca x(n) si y(n) sunt doua secvente

de energie finita.

Definitia 24 .Secventa de intercorelatie dintre x(n) si y(n) este secventa rxy(l) data de formulele:

rxy(l) =∞∑

n=−∞x(n)y(n− l), l ∈ Z,

sau

rxy(l) =∞∑

n=−∞x(n+ l)y(n), l ∈ Z.

Se observa ca ordinea ın care sunt translatate secventele coincide cu ordinea indicilor.

Analizand formulele anterioare (Definitia 24), rezulta urmatoarele proprietati evidente:

2.8 Corelatia semnalelor discrete ın timp 67

• Simetria intercorelatiei:

rxy(l) = ryx(−l);

• Relatia convolutie - corelatie:

rxy(l) = x(l) ∗ y(−l). (2.16)

Definitia 25 .Daca x(n) si y(n) coincid, atunci intercorelatia lor se numeste simplu autocorelatie si

avem pentru aceasta urmatoarea formula de calcul:

rxx(l) =∞∑

n=−∞x(n)x(n− l).

sau

rxx(l) =∞∑

n=−∞x(n+ l)x(n).

La fel, avem si pentru autocorelatie urmatoarele proprietati:

• Simetria autocorelatiei:

rxx(l) = rxx(−l);

• Relatia convolutie - autocorelatie:

rxx(l) = x(l) ∗ x(−l). (2.17)

Prima proprietate justifica ca functia de autocorelatie este para. In plus avem:

rxx(0) =∞∑

n=−∞x(n)x(n) = Ex,

adica ın origine secventa de autocorelatie este egala cu energia secventei. Vom arata

ulterior ca acesta este chiar maximul secventei de autocorelatie.

Daca x(n) si y(n) sunt secvente cauzale de lungime N , adica:

x(n) = y(n) = 0, ∀n < 0, ∀n ≥ N,

atunci secventa lor de intercorelatie, respectiv de autocorelatie se poate calcula mai simplu

cu formulele:

rxy(l) =

N−|k|−1∑

n=i

x(n)y(n− l),


respectiv

rxx(l) =

N−|k|−1∑

n=i

x(n)x(n− l),

unde:

i = l, k = 0, ∀l ≥ 0,

respectiv

i = 0, k = l, ∀l < 0.

Prin urmare calculul corelatiei este ceva mai simplu decat al sumei de convolutie. Mai

precis calculul corelatiei rxy(l) cu formula:

rxy(l) =∞∑

n=−∞x(n)y(n− l),

consta ın urmatorii pasi:

1. Translatia: Ca sa obtinem y(n− l) vom translata y(n) cu |l| unitati:

• spre dreapta, daca l este pozitiv;

• spre stanga, daca l este negativ;

2. Multiplicarea: Vom multiplica pe x(n) cu y(n−l) pentru a obtine secventa produs:

x(n)y(n− l);

3. Adunarea: Vom aduna toate produsele obtinute la punctul anterior pentru a afla

secventa de intercorelatie rxy(l).

Exemplul 14 .Sa aflam intercorelatia dintre secventa:

y(n) = 13, 0,

↑− 1

3,

si secventa din figura 2.2:

x(n) = 1, 2,

↑3.


−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

n

x(n)

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4y(n)

n

Figura 2.13: Calculul intercorelatiei pentru l = 0 (Exemplul 14)

Rezolvare:

Vom utiliza reprezentarea grafica pentru a calcula secventa de intercorelatie ceruta si vom

urma pas cu pas procedura aminitita anterior.

Pentru n = 0, avem (fig. 2.13):

rxy(0) =∞∑

n=−∞x(n)y(n) = x(n)y(n)|n=−1 + x(n)y(n)|n=1 = −

2

3.

Pentru n = −1, avem (fig. 2.14):

rxy(1) =∞∑

n=−∞x(n)y(n+ 1) = x(n)y(n+ 1)|n=0 =

2

3.

Pentru n = −2, avem (fig. 2.15):

rxy(−2) =∞∑

n=−∞x(n)y(n+ 2) = x(n)y(n+ 2)|n=1 = 1.

Concluzionam ca secventa raspuns este urmatoarea:

y(n) = 1, 23, −2

3,

↑− 2

3, −1

3.


−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

n

x(n)

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

n

y(n+1)

Figura 2.14: Calculul intercorelatiei pentru l = −1 (Exemplul 14)

−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

n

x(n)

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

n

y(n+2)

Figura 2.15: Calculul intercorelatiei pentru l = −2 (Exemplul 14)

Pentru a studia o alta proprietate importanta a corelatiei, vom calcula energia secventei

ax(n) + by(n− l), unde a, b ∈ R si x(n), y(n) sunt secvente de energie finita:∞∑

n=−∞[ax(n) + by(n− l)]2 = a2

∞∑

n=−∞x2(n) + b2

∞∑

n=−∞y2(n− l)+

+2ab∞∑

n=−∞x(n)y(n− l) = a2rxx(0) + b2ryy(0) + 2abrxy(l).


Dar energia unei secvente reale este ıntotdeauna o marime pozitiva, si deci:

a2rxx(0) + b2ryy(0) + 2abrxy(l) ≥ 0, ∀a, b ∈ R.

Pentru ca o astfel de forma patratica sa fie pozitiv definita este necesar si suficient ca

discriminantul ecuatiei de gradul doi asociata formei patratice sa fie strict negativ:

r2xy(l)− rxx(0)ryy(0) ≤ 0,

deci:

|rxy(l)| ≤√

rxx(0)ryy(0) =√

ExEy,

adica secventa de intercorelatie este marginita de media geometrica a energiilor secventelor.

Daca x(n) = y(n), atunci avem:

|rxx(l)| ≤ rxx(0) = Ex,

adica maximul secventei de autocorelatie (maximul asemanarii dintre semnal si varianta

sa deplasata) se obtine pentru l = 0, atunci cand de fapt semnalul nu este deloc deplasat.

Forma anvelopei secventelor si respectiv a corelatiei dintre ele se schimba daca unul

dintre semnale este multiplicat, de aceea ın practica este mai convenabil sa normalizam

corelatiile. Introducem doua noi marimi care ne ajuta sa caracterizam mai bine corelatia

dintre doua secvente:

Definitia 26 .Se defineste gradul de intercorelatie prin formula:

ρxy(l) =rxy(l)

√

rxx(0)ryy(0).

Se defineste gradul de autocorelatie prin relatia:

ρxx(l) =rxx(l)

rxx(0).

In mod evident avem:

|ρxx| ≤ 1, |ρxy| ≤ 1.

Definitiile anterioare ale corelatiei impuneau ca secventele sa fie de tip energie finita.

Secventele periodice sunt de putere finita si energia lor este de fapt infinita.

In cazul secventelor de putere finita, secventele de intercorelatie, respectiv de autocorelatie

se definesc prin:

rxy(l) = limM→∞

1

2M + 1

M∑

n=−Mx(n)y(n− l),


si respectiv:

rxx(l) = limM→∞

1

2M + 1

M∑

n=−Mx(n)x(n− l).

Daca secventele sunt periodice cu perioada N , atunci formulele anterioare tind ın

medie, pe un interval infinit, spre media lor pe o perioada:

rxy(l) =1

N

N∑

n=0

x(n)y(n− l),

si respectiv:

rxx(l) =1

N

N∑

n=0

x(n)x(n− l),

adica corelatia a doua secvente periodice este de asemenea periodica, avand aceeasi pe-

rioada ca si secventele (secventa) din care provine. Factorul 1/N care apare este un factor

de normalizare a scalei.

Exemplul 15 .Ca si o aplicatie pentru formulele anterioare, ne propunem sa studiem identificarea unei

eventuale periodicitati ıntr-un semnal ınnecat ın zgomot:

y(n) = x(n) + w(n),

unde x(n) este o secventa presupusa periodica, de perioada N si w(n) este un zgomot

aleator aditiv.

Pentru aceasta vom observa M esantioane ale lui y(n), unde M ≫ N . Prin urmare

y(n) = 0, pentru n < 0 si n > M . Calculam autocorelatia lui y(n):

ryy(l) =1

M

M−1∑

n=0

y(n)y(n− l) =1

M

M−1∑

n=0

[x(n) + w(n)][x(n− l) + w(n− l)] =

= rxx(l) + rxw(l) + rwx(l) + rww(l).

(2.18)

Sa analizam cei patru termeni care intervin ın suma alaturata. Astfel:

• rxx(l) este autocorelatia unei secvente periodice, deci este de asemenea o secventa

periodica, de aceeasi perioada ca si x(n); prin urmare rxx(l) va avea maxime la 0,

N , 2N , . . .

Cand indicele l se apropie de M , maximele se reduc ın amplitudine datorita faptului

ca avem memorate doar un numar finit M de esantioane, si deci multe produse

x(n)x(n− l) devin zero. In consecinta vom evita sa calculam ryy(l) pentru l > M/2;


• rxw(l), rwx(l) sunt intercorelatiile dintre un semnal x(n) si zgomotul aditiv w(n). Se

asteapta ca aceste corelatii sa fie de valoare mica pornind de la premisa ca x(n) si

w(n) sunt total necorelate;

• rww(l) este autocorelatia zgomotului aditiv, care ca si ın cazul autocorelatiei oricarui

semnal aleator ne asteptam sa contina un varf la l = 0 si sa descreasca rapid cu

cresterea indicelui l.

Rezulta ca pentru l ≫ 1 ın autocorelatia lui y(n) se regaseste aproape identic autocorelatia

lui x(n) care ar trebui sa fie periodica, de perioada egala cu perioada lui x(n).

Acest rezultat ne permite sa detectam prezenta unui semnal periodic x(t) ıntr-un alt

semnal y(t), perturbat de un zgomot aditiv w(t) si sa-i estimam perioada sa. In multe

situatii practice informatia aceasta este suficienta.

2.8.1 Intercorelatia dintre intrarea si iesirea unui sistem

In paragrafele anterioare am constatat ca operatia de corelatie masoara gradul de asemanare

(de corelare) ıntre doua semnale.

Este de asteptat deci, ca pentru un sistem dat, ıntre semnalul de intrare si semnalul

de iesire sa existe o astfel de relatie si ne propunem sa vedem cum se manifesta aceasta

la nivelul functiei de intercorelatie.

In general un sistem impune constrangeri asupra semnalului de iesire, care nu poate

fi arbitrar, necorelat, independent nici fata de semnalul de la intrare si nici fata de carac-

teristicile sistemului.

Reamintim ca ıntre secventa de intrare, secventa pondere si secventa de la iesire avem

relatia:

y(n) = h(n) ∗ x(n).Rezulta:

ryx(l) = y(l) ∗ x(−l) = h(l) ∗ [x(l) ∗ x(−l)] = h(l) ∗ rxx(l),deci:

ryx(l) = h(l) ∗ rxx(l).In mod analog avem:

rxy(l) = rxx(l) ∗ h(−l),

ryy(l) = rhh(l) ∗ rxx.Intr-adevar, avem urmatoarele egalitati:

rxy(l) = x(l) ∗ y(−l) = x(l) ∗ [x(−l) ∗ h(−l)] = rxx ∗ h(−l)(l);


ryy(l) = y(l)∗y(−l) = h(l)∗x(l)∗[h(−l)∗x(−l)] = h(l)∗h(−l)∗x(l)∗x(−l) = rhh(l)∗rxx(l).

Sa mai notam ca:

Observatia 11 .Autocorelatia rhh(l) exista daca sistemul este stabil, deoarece daca seria

∑ |h(n)| esteconvergenta, atunci si seria

∑ |h(n)|2 este la randul sau convergenta. In acest caz sistemul

nu schimba tipul secventei de intrare, adica:

• Daca secventa de intrare este de putere finita, atunci si secventa de iesire este de

putere finita;

• Daca secventa de intrare este de energie finita, atunci si secventa de iesire este de

energie finita.

Capitolul 3

Analiza secventelor si sistemelor

discrete ın domeniul frecventa

Transformata Fourier este una dintre cele cateva metode matematice care sunt extrem de

utile ın analiza si proiectarea sistemelor liniare si invariante ın timp [5]. O alta tehnica

similara este seria Fourier. Aceste modalitati de reprezentare ale semnalelor sunt de fapt

descompuneri ale semnalelor ın suma de sinusoide sau exponentiale complexe [9] si cu

o astfel de descompunere se spune despre un semnal ca este reprezentat ın domeniul

frecventa [10].

Asa cum se stie [15], majoritatea semnalelor se pot descompune ın suma de componente

sinusoidale. In cazul semnalelor periodice o astfel de descompunere se numeste seria

Fourier, iar daca consideram clasa semnalelor de energie finita descompunerea se numeste

transformata Fourier [11].

Este important de remarcat ca astfel de reprezentari sunt foarte utile pentru studiul

sistemelor liniare si invariante ın timp, deoarece raspunsul acestor sisteme la un semnal de

intrare sinusoidal este o sinusoida de aceeasi frecventa, dar de amplitudine si faza diferita.

Mai mult chiar, proprietatea de liniaritate a sistemelor liniare si invariante ın timp

[12] implica faptul ca o suma de componente sinusoidale aplicata la intrarea sistemului

produce la iesirea sistemului o alta suma de componente avand aceleasi frecvente si care

altereaza doar amplitudinile si fazele componentelor [13]. Din acest punct de vedere

descompunerea semnalelor ın domeniul frecventa devine foarte importanta si desi multe

alte descompuneri sunt posibile, acest tip este cel mai des utilizat [18].

In acest capitol vom reaminti pentru ınceput foarte pe scurt analiza semnalelor ana-

logice cu ajutorul transformatelor si seriilor Fourier. Subiectul a fost amplu prezentat

la cursurile de Semnale, Circuite si Sisteme [5, 9, 10, 14]. Apoi vom aborda semnalele

75

76 Analiza ın domeniul frecventa

discrete ın timp, atat pe cele periodice cat si pe cele aperiodice. Proprietatile seriei si

transformatei Fourier vor fi descrise si exemplificate pe larg. Un caz special ıl consti-

tuie caracterizarea sistemelor liniare si invariante ın timp prin raspunsul lor ın frecventa.

Aceasta chestiune va fi tratata ın finalul capitolului.

3.1 Analiza semnalelor analogice ın domeniul

frecventa

3.1.1 Semnale periodice

Metoda de baza pentru reprezentarea semnalelor periodice x(t) este seria Fourier, care

este de fapt o suma ponderata de sinusoide sau exponentiale complexe avand aceeasi

perioada fundamentala T = 1/F0:

x(t) =∞∑

k=−∞Cke

j2πkF0t. (3.1)

In acest mod putem considera ca semnalele exponentiale complexe

ej2πkF0t, k = 0,±1,±2, · · ·

sunt blocurile de baza din care putem construi semnale periodice de forma si variatie

diferita daca alegem corespunzator perioada fundamentala a lui x(t) si coeficientii Ck.

Propozitia 1 .Pentru un semnal periodic de perioada T coeficientii Ck se determina cu ajutorul formulei:

Ck =1

T

∫

T

x(t)e−j2πkF0tdt.

Demonstratie:

Multiplicam ambii termeni ai ecuatiei (3.1) cu semnalul exponential complex

e−j2πF0lt,

unde l este un numar ıntreg si vom integra ambii termeni ai egalitatii obtinute pe o singura

perioada, de exemplu de la 0 la T sau mai general, de la t0 la t0+T , unde t0 este o valoare

de ınceput pentru integrare mai convenabila din punct de vedere matematic. Rezulta:

∫ t0+T

t0

x(t)e−j2πlF0tdt =

∫ t0+T

t0

( ∞∑

k=−∞Cke

j2πkF0t

)

e−j2πlF0tdt. (3.2)

3.1 Analiza semnalelor analogice ın domeniul frecventa 77

Pentru a evalua membrul drept al ecuatiei anterioare, vom schimba ordinea de ınsumare

si integrare, combinand cele doua exponentiale. Prin urmare vom avea:

∞∑

k=−∞Ck

∫ t0+T

t0

ej2πF0(k−l)tdt =∞∑

k=−∞ck

[ej2πF0(k−l)t

j2πF0(k − l)

]t0+T

t0

.

Pentru k 6= l, termenii din membrul drept ai ecuatiei precedente sunt zero. Pe de alta

parte, daca k = l, atunci∫ t0+T

t0

dt = T,

si ın consecinta membrul drept al relatiei (3.2) se reduce la ClT , adica ceea ce trebuia

dovedit.

O problema importanta care apare ın dezvoltarea ın serie Fourier este daca seria

respectiva converge sau nu catre semnalul x(t) pentru orice valoare t, adica daca semnalul

x(t) si dezvoltarea sa ın serie Fourier

∞∑

k=−∞Cke

j2πkF0t

sunt egale pentru orice valoare t.

Exista mai multe situatii care garanteaza convergenta, dintre care cea mai des utilizata

ın teoria semnalelor este cea cunoscuta sub numele de conditiile lui Dirichlet. Mai precis,

x(t) va fi egal cu dezvoltarea sa data de (3.1) ın orice punct de continuitate daca:

• Semnalul x(t) are un numar finit de puncte de discontinuitate ın orice interval de

lungime finita;

• Semnalul x(t) are un numar finit de maxime si de minime ın orice perioada;

• Semnalul x(t) este absolut integrabil pe orice interval cu lungime o perioada, adica:∫

T

|x(t)|dt <∞.

O conditie cu o semnificatie fizica mai clara este ca semnalul sa fie de energie finita pe o

perioada, adica ∫

T

|x(t)|2dt <∞.

Aceasta garanteaza ca energia semnalului diferenta :

x(t)−∞∑

k=−∞Cke

j2πkF0t


ANALIZA SEMNALULUI SINTEZA SEMNALULUI

Ck =1

T

∫

T

x(t)e−j2πkF0tdt. x(t) =∞∑

k=−∞Cke

j2πkF0t.

Tabelul 3.1: Analiza si sinteza semnalelor periodice cu ajutorul seriilor Fourier

este zero, desi x(t) si seria sa Fourier pot fi diferite pentru unele valori t. Este usor de

aratat ca un semnal absolut sumabil este de energie finita, dar reciproca nu este adevarata.

De asemenea conditiile lui Dirichlet sunt conditii suficiente, dar nu si necesare, adica

putem afla semnale avand serie Fourier convergenta, dar functia nu respecta conditiile lui

Dirichlet.

In concluzie, daca x(t) este un semnal periodic si care satisface conditiile lui Dirich-

let (de fapt acesta este cazul ın majoritatea problemelor practice), atunci avem relatiile

importante din tabelul 3.1.

Sa mai amintim urmatoarele proprietati importante ale acestor serii:

1. In general coeficientii Fourier sunt complecsi, dar daca semnalul de analizat are

numai valori reale, coeficientii sunt complex conjugati: C−k = C∗k . In acest caz

avem anumite proprietati de simetrie:

• Spectrul de amplitudini este par:

|C−k| = |Ck|;

• Spectrul de faze este impar:

∠C−k = −∠Ck.

2. Un semnal periodic nenul are energie infinita si putere finita data de formula:

P =1

T

∫

T

|x(t)|2dt.

3. Intre coeficientii Fourier si puterea semnalului periodic exista relatia lui Parseval:

P =∞∑

k=−∞|Ck|2. (3.3)

Din acest motiv secventa |Ck|2k∈Z se numeste spectrul de putere al semnalului periodic.


3.1.2 Semnale aperiodice

Seria Fourier pentru semnale periodice ne furnizeaza o combinatie liniara de sinusoide

avand aceeasi perioada fundamentala si ın consecinta aceste semnale au spectrul format

din linii spectrale linii echidistante1. Distanta dintre linii este data de frecventa funda-

mentala, inversa perioadei fundamentale. Daca perioada fundamentala creste, atunci pare

evident ca si distanta dintre liniile spectrale scade si astfel spectrul devine continuu pen-

tru semnalele aperiodice. Se introduce astfel pentru semnalele aperiodice transformata

Fourier [9, 10]:

Definitia 27 .Pentru un semnal aperiodic relatia

X(F ) =

∫ ∞

−∞x(t)e−j2πFtdt, (3.4)

ne da transformata Fourier directa X(F ) (numita si functia de densitate spectrala), iar

x(t) =

∫ ∞

−∞X(F )ej2πFtdF (3.5)

este formula pentru transformata Fourier inversa.

Exista un set de conditii Dirichlet pentru transformata Fourier a semnalelor aperiodice,

si anume:

• Semnalul x(t) are un numar finit de discontinuitati;

• Semnalul x(t) are un numar finit de maxime si de minime;

• Semnalul x(t) este absolut integrabil, adica:∫ ∞

−∞|x(t)|dt <∞.

O conditie mai slaba pentru existenta transformatei Fourier este ca x(t) sa fie de energie

finita, adica pentru energia semnalului sa avem relatia:

E =

∫ ∞

−∞|x(t)|2dt <∞.

Reamintim ca un semnal absolut integrabil este de energie finita, ınsa reciproca nu este

ıntotdeauna adevarata. De asemenea merita amintite urmatoarele proprietati importante

ale transformatei Fourier:1Desigur ca este posibil ca unele componente sa fie nule.


ANALIZA SEMNALULUI SINTEZA SEMNALULUI

X(F ) =

∫ ∞

−∞x(t)e−j2πFtdt. x(t) =

∫ ∞

−∞X(F )ej2πFtdF.

Tabelul 3.2: Analiza si sinteza semnalelor aperiodice cu ajutorul transformatei Fourier

1. In general transformata Fourier are valori complexe, dar daca semnalul de analizat

are numai valori reale, transformata are anumite proprietati de simetrie:

• Spectrul de amplitudini este o functie para:

|X(−F )| = |X(F )|;

• Spectrul de faze este o functie impara:

∠X(−F ) = −∠X(F ).

2. Intre transformata Fourier si energia semnalului aperiodic exista relatia lui Parseval:

E =

∫ ∞

−∞|x(t)|2dt =

∫ ∞

−∞|X(F )|2, (3.6)

unde marimea din membrul drept Sxx(F ) = |X(F )|2 se numeste densitate spectrala

de energie.

Exemplul 16 .Vom calcula ın cele ce urmeaza spectrul si densitatea spectrala de energie a impulsului

rectangular:

x(t) =

A, |t| ≤ τ

2;

0, |t| > τ2.

Rezolvare:

Acest semnal este aperiodic si satisface conditiile lui Dirichlet. Prin urmare functia sa de

densitate spectrala este:

X(F ) =

∫ ∞

−∞x(t)e−j2πFtdt =

∫ τ2

− τ2

Ae−j2πFtdt = Aτsin πFτ

πFτ


−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

t

x(t)

−0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.040

20

40

60

80

100

F

|X(F

)|

−0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04−2π

−π

0

π

2π

F

∠(X

(F))

−0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.040

2000

4000

6000

8000

10000

F

Sxx

(F)=

|X(F

)|2

Figura 3.1: Impulsul rectangular de la Exemplul 16, modulul si faza functiei sale de

densitate spectrala ımpreuna cu densitatea spectrala de energie

si densitatea spectrala de energie rezulta:

Sxx(F ) = |X(F )|2 = A2τ 2sin2 πFτ

π2F 2τ 2.

In figura 3.1 este reprezentat grafic impulsul rectangular (τ = 100). Se observa ca

modulul si faza functiei sale de densitate spectrala sunt pare, respectiv impare cu frecventa


F . De asemenea ın figura 3.1 s-a aratat si graficul densitatii spectrale de energie.

3.2 Analiza secventelor periodice ın domeniul

frecventa

Asa cum am stabilit anterior, semnalele periodice care sunt analogice si de putere finita

sunt caracterizate din punct de vedere spectral prin seria lor Fourier. De asemenea pentru

semnalele continue ın domeniul timp si de energie finita, adica pentru clasa semnalelor

aperiodice se poate utiliza transformata Fourier. Spre deosebire de semnalele analogice,

spectrul semnalelor discrete ın timp are cateva caracteristici distincte stabilite deja de

noi, derivate direct din proprietatile esantionarii:

• Spectrul este periodic cu perioada unitate;

• Pentru semnale discrete ın timp axa frecventelor se poate reduce la intervalul |f | ≤1/2.

Daca ne referim doar la secventele periodice si cu perioada N , atunci acestea mai

prezinta si cateva particularitati:

• Secventele periodice au componente ın spectru doar la frecvente separate prin ∆f =

1/N ;

• Seria Fourier pentru secvente periodice contine cel mult N componente distincte de

frecventa.

In urmatoarele sectiuni vom discuta mai pe larg spectrul semnalelor discrete ın timp,

atat pe cele periodice, cat si pe cele aperiodice.

3.2.1 Seria Fourier a secventelor periodice

Reamintim ca secventa x(n)n∈Z este periodica de perioada N , N ∈ N∗ daca x(n+N) =

x(n), ∀n ∈ Z. De asemenea am stabilit ca avem N exponentiale ın relatie armonica

(pagina 12):

sk(n) = ej2πknN , k = 0, 1, 2, . . . , N − 1.

Acestea ne conduc sa cautam seria Fourier pentru o secventa periodica de perioada N

sub forma unei relatii asemanatoare cu cea de la semnale periodice:

x(n) =N−1∑

k=0

ckej2πknN , n = 0, 1, 2, . . . , N − 1, (3.7)

3.2 Analiza secventelor periodice ın domeniul frecventa 83

unde ck ar putea sa fie coeficientii seriei Fourier. Pentru aceasta ar trebui sa avem o

modalitate de calcul a acestora si vom arata ca:

ck =1

N

N−1∑

n=0

x(n)e−j2πknN , k = 0, 1, 2, . . . , N − 1. (3.8)

Demonstratie:

Multiplicam ambii termeni ai ecuatiei (3.7) cu secventa exponentiala complexa:

ej2πln

N ,

unde l este un numar ıntreg si vom ınsuma ambii termeni ai egalitatii obtinute de la 0 la

N − 1. Rezulta:N−1∑

n=0

x(n)e−j2πlnN =

N−1∑

n=0

N−1∑

k=0

cke−j 2π(k−l)n

N . (3.9)

Pentru a evalua membrul drept al ecuatiei anterioare, vom schimba ordinea de ınsumare,

combinand cele doua exponentiale. Prin urmare vom avea:

N−1∑

n=0

N−1∑

k=0

cke−j 2π(k−l)n

N =N−1∑

k=0

ck

N−1∑

n=0

e−j2π(k−l)n

N .

Pentru k 6= l, termenii din membrul drept ai ecuatiei precedente sunt zero, deoarece:

N−1∑

n=0

e−j2π(k−l)n

N =1− e−j

2π(k−l)nN

·N

1− e−j2π(k−l)n

N

= 0.

Pe de alta parte, daca k = l, atunci:

N−1∑

n=0

e−j2π(k−l)n

N = 1 + 1 + . . .+ 1︸︷︷︸

N

= N,

si ın consecinta relatia (3.9) se reduce la:

Nck =N−1∑

n=0

x(n)e−j2πknN ,



ANALIZA SECVENTEI SINTEZA SECVENTEI

ck =1

N

N−1∑

n=0

x(n)e−j2πkn

N ,

k = 0, 1, 2, . . . , N − 1.

x(n) =N−1∑

k=0

ckej2πkn

N ,

n = 0, 1, 2, . . . , N − 1.

Tabelul 3.3: Analiza si sinteza secventelor periodice cu ajutorul seriei Fourier

3.2.2 Spectrul secventelor periodice

Seria Fourier discreta ın timp pentru secvente periodice este prezentata ın tabelul 3.3.

Aceasta descrie x(n) ın domeniul frecventa, ck furnizand amplitudinea si faza asociata

armonicei a k-a, adica componentei de frecventa fk = k/N :

sk(n) = ej2πknN = ejωkn,

unde ωk =2πkN

.

Reamintim ca secventele sk(n) sunt periodice cu perioada N (pagina 12). Prin urmare:

Propozitia 2 .Secventa ck este periodica cu aceeasi perioada N .

Intr-adevar este usor de aratat ca:

ck = ck+N ,

deoarece ck este o suma finita de functii periodice de aceeasi perioada N . Astfel rezulta

ca spectrul unui secvente periodice cu perioada N este o secventa periodica cu perioada

N si deci:

Observatia 12 .Orice N esantioane consecutive ale semnalului sau ale spectrului furnizeaza descrierea

completa a semnalului discret atat ın domeniul timp, cat si ın domeniul frecventa.

Exemplul 17 .Vom discuta spectrele urmatoarelor secvente:

1. x1(n) = cos√3πn;

2. x2(n) = 2 cosπn

4;


−2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

c k

SPECTRUL SECVENTEI PERIODICE x2(n)

Figura 3.2: Spectrul secventei x2(n)

3. x(n) = 1,

↑1, 1, 0, 0, 0.

Rezolvare:

1. Deoarece x1(n) = cos√3πn = cos 2πf0n, rezulta f0 =

√32

/∈ Q. Deci secventa data

nu este periodica si prin urmare spectrul sau nu se calculeaza cu ajutorul seriei

Fourier.

2. Din x2(n) = 2 cos πn4= ej

2πn8 + e−j

2πn8 = ej

2πn8 + ej

2π7n8 , obtinem N = 8, si astfel

avem: c1 = c7 = 1, c0 = c2 = c3 = c4 = c5 = c6 = 0. Rezulta spectrul lui x2(n) din

figura 3.2. Se observa ca spectrul este periodic cu perioada N = 8.

3. Perioada secventei

x(n) = 1,

↑1, 1, 0, 0, 0

este N = 6 si aplicand formula (3.8) avem pentru k = 0, 1, 2, 3, 4, 5:

ck =1

6

5∑

n=0

x(n)e−j2πkn

6 =1

6

2∑

n=0

e−j2πkn

6 =1

6

2∑

n=0

cos jπkn3− j

6

2∑

n=0

sin jπkn3

,


rezultand urmatoarele valori:

c0 =1

6

2∑

n=0

1 =1

2;

c1 =1

6

2∑

n=0

cos jπn3− j

6

2∑

n=0

sin jπn3

=1 + cos π

3+ cos 2π

3

6−j sin

π3+ sin 2π

3

6=

1

6− j

√3

6;

c2 =1

6

2∑

n=0

cos jπ2n3− j

6

2∑

n=0

sin jπ2n3

=1 + cos 2π

3+ cos 4π

3

6−j sin

2π3+ sin 4π

3

6= 0;

c3 =1

6

2∑

n=0

cos jπn− j

6

2∑

n=0

sin jπn =1 + cos π + cos 2π

6− j

sin π + sin 2π

6=

1

6;

c4 =1

6

2∑

n=0

cos jπ4n3− j

6

2∑

n=0

sin jπ4n3

=1 + cos 4π

3+ cos 8π

3

6− j

sin 2π3+ sin 8π

3

6= 0;

c5 =1

6

2∑

n=0

cos jπ5n3− j

6

2∑

n=0

sin jπ5n3

=1 + cos 5π

3+ cos 10π

3

6−j (sin

5π3+ sin 10π

3)

6=

1

6+ j

√3

6.

Obtinem secventa spectru:

ck = 1

2,

↑

1

6− j

√3

6, 0,

1

6, 0,

1

6+ j

√3

6,

cu reprezentarea sa grafica pentru doua perioade ın figura 3.3. Precizam ca aici faza

este reprezentata ın radiani.

Observatia 13 .Daca x(n) ∈ R, atunci c∗k = c−k si ın acest caz avem anumite proprietati de simetrie:

• Spectrul de amplitudini este par:

|c−k| = |ck|;

• Spectrul de faze este impar:

∠c−k = −∠ck.

Prin urmare descrierea completa a secventei necesita 50% din informatie (de exemplu ın

frecventa). Mai precis, daca tinem cont si de periodicitatea cu N a spectrului, atunci

avem urmatoarele relatii:


−6 −4 −2 0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

k

|ck|

SPECTRUL DE AMPLITUDINI AL SECVENTEI x3(n)

−6 −4 −2 0 2 4 6−π/2

0

π/2

k

∠(c

k)

SPECTRUL DE FAZE AL SECVENTEI x3(n)

Figura 3.3: Spectrul secventei x3(n)

• Spectrul de amplitudini:

|cN−k| = |ck|;

• Spectrul de faze:

∠cN−k = −∠ck.

De aici rezulta ca daca x(n) ∈ R, atunci x(n) admite o dezvoltare de forma:

x(n) = c0 + 2L∑

k=1

|ck| cos(2πkn

N+ ϕk) = a0 +

L∑

k=1

(ak cos2πkn

N− bk sin

2πkn

N),

unde2:

a0 = c0; ak = 2|ck| cosϕk; bk = 2|ck| sinϕk; L =

[N

2

]∗.

2Expresia [x]∗ este partea ıntreaga a lui x ∈ R.


3.2.3 Spectrul de putere al secventelor periodice

Ne propunem ın cele ce urmeaza sa stabilim legatura dintre puterea secventei si coeficientii

sai Fourier. Scopul nostru este sa obtinem o relatie de tip Parseval asa cum sunt relatiile

(3.3) si (3.6). Reamintim ca:

P =1

N

N−1∑

n=0

|x(n)|2. (3.10)

Astfel avem teorema lui Parseval pentru secvente periodice:

Teorema 5 .Puterea secventei este suma puterilor componentelor:

P =1

N

N−1∑

n=0

|x(n)|2 =N−1∑

k=0

|ck|2. (3.11)

Demonstratie:

Cu ajutorul (3.7), membrul drept al precedentei egalitati (3.10) se mai poate scrie:

1

N

N−1∑

n=0

x(n)x∗(n) =1

N

N−1∑

n=0

x(n)N−1∑

k=0

c∗ke− j2πkn

N .

Schimbam ordinea de ınsumare si utilizand relatia (3.8) avem:

1

N

N−1∑

n=0

x(n)N−1∑

k=0

c∗ke− j2πkn

N =1

N

N−1∑

k=0

c∗k

N−1∑

n=0

x(n)e−j2πknN .

A doua suma din membrul drept este conform (3.8) egala cu Nck si ın final obtinem exact

relatia (3.11), adica ceea ce trebuia dovedit.

Definitia 28 .Secventa |ck|2, k = 0, 1, 2, . . . , N − 1 este densitatea spectrala de putere a secventei x(n).

Exemplul 18 .Densitatea spectrala de putere pentru secventele periodice de la Exemplul 17 este:

2. |ck|2 = 1,

↑0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, respectiv

3. |ck|2 = 1

4,

↑

1

9, 0,

1

36, 0,

1

9,

3.3 Analiza secventelor aperiodice ın domeniul frecventa 89

Daca suntem interesati ın energia unei secvente de-a lungul unei singure perioade,

atunci:

EN ≡N−1∑

n=0

|x(n)|2 = NN−1∑

k=0

|ck|2.

Observatia 14 .Densitatea spectrala de putere nu contine nici o informatie despre faza.

Ca si ın cazul semnalelor continue ın timp [10], densitatea spectrala de putere |ck|2nu contine nici o informatie despre faza, noi avand la dispozitie doar modulul spectrului.

Reamintim ca spre deosebire de semnalele analogice, spectrul este discret si periodic cu

perioada fundamentala egala cu a semnalului ınsusi.

3.3 Analiza secventelor aperiodice ın domeniul

frecventa

3.3.1 Transformata Fourier a secventelor aperiodice

Pentru semnalele analogice de energie finita, analiza cu transformata Fourier se reducea

ın final la perechea de formule (pagina 79):

X(F ) =

∫ ∞

−∞x(t)e−j2πFtdt;

x(t) =

∫ ∞

−∞X(F )ej2πFtdF .

Secventele aperiodice necesita la randul lor o astfel transformata, deoarece spectrul lor nu

mai este discret. Intuitiv secventele aperiodice pot fi vazute ca si niste secvente periodice

cu perioada N →∞ si astfel distanta care separa liniile spectrale ∆f = 1/N tinde catre

zero. Rescriem ecuatia (3.7) de calcul a coeficientilor Fourier pentru secvente periodice

sub forma:

Nck =N−1∑

n=0

x(n)e−j2πkn

N .

Reamintim ca 2πkN

este de fapt frecventa ωk corespunzatoare armonicei numarul k.

Definitia 29 .Transformata Fourier directa (functia de densitate spectrala) a unei secvente de energie


finita se defineste prin3:

X(ω) =∞∑

n=−∞x(n)e−jωn. (3.12)

Exemplul 19 .Transformata Fourier a secventei impuls unitate este:

X(ω) =∞∑

n=−∞δ(n)e−jωn = δ(n)e−jωn|n=0 = 1.

Din punct de vedere fizicX(ω) nu este altceva decat continutul ın frecventa al semnalu-

lui discret ın timp x(n), deci X(ω) reprezinta o descompunere a lui x(n) ın componente

de frecventa.

Se remarca deja cateva deosebiri dintre transformata Fourier a semnalelor aperiodice

si cea a secventelor aperiodice. Astfel domeniul de definitie pentru completa descriere a

transformatei este (−∞,∞) ın primul caz si [−π, π] ın al doilea caz. In plus constatam

urmatoarele:

Propozitia 3 . Transformata Fourier este o functie periodica de ω cu perioada 2π:

X(ω) = X(ω + 2π).

Demonstratie:

Intr-adevar:

X(ω + 2π) =∞∑

n=−∞x(n)e−j(ω+2π)n =

∞∑

n=−∞x(n)e−jωne−j2πn =

=∞∑

n=−∞x(n)e−jωn = X(ω),


Acum putem sa stabilim si formula pentru transformata inversa:

Deoarece transformata Fourier a secventelor aperiodice are o serie Fourier ın dome-

niul frecventa, putem aplica formalismul de la seria Fourier (pagina 76) pentru calculul

ponderilor exponentialelor din membrul drept, exact ca si la ecuatia (3.1). In cazul nos-

tru ponderilor exponentialelor sunt chiar termenii x(n). Dupa schimbarea de variabila

ω = −ω si luand ın considerare ca perioada lui X(ω) este 2π obtinem ca:

3Aceasta relatie se poate deduce din (3.4) utilizand expresia semnalului discret ın timp

ca si o serie de impulsuri Dirac [9].


ANALIZA SECVENTEI SINTEZA SECVENTEI

X(ω) =∞∑

n=−∞x(n)e−jωn. x(n) =

1

2π

∫ π

−πX(ω)ejωndω.

X(f) =∞∑

n=−∞x(n)e−j2πffn. x(n) =

∫ 12

− 12

X(f)ej2πndf.

Tabelul 3.4: Analiza si sinteza semnalelor aperiodice cu ajutorul transformatei Fourier

Definitia 30 .Transformata Fourier inversa a secventelor aperiodice este:

x(n) =1

2π

∫ π

−πX(ω)ejωndω. (3.13)

Observatia 15 .Tranformata Fourier si inversa sa mai poate fi simbolizata si sub una din formele:

X(ω) = Fx(n); x(n) = F−1X(ω);

sau

x(n)

F←→ X(ω).

3.3.2 Convergenta transformatei Fourier

In rationamentul anterior cand integram ın formula (3.13), noi am presupus ca seria:

XN(ω) =N∑

n=−Nx(n)e−jωn

converge uniform catre X(ω), unde prin convergenta uniforma ıntelegem ca pentru orice

ω, avem:

limN→∞

|X(ω)−XN(ω)| = 0.

Convergenta uniforma este garantata daca x(n) este absolut sumabila, adica:

∞∑

n=−∞|x(n)| <∞.


In acest caz:

|X(ω)| = |∞∑

n=−∞x(n)e−jωn| ≤

∞∑

n=−∞|x(n)| <∞.

Astfel absoluta sumabilitate este o conditie suficienta pentru existenta transformatei

Fourier pentru semnale aperiodice.

Exista secvente care nu sunt absolut sumabile, dar care sunt de energie finita:

∞∑

n=−∞|x(n)|2 <∞,

si am dori sa definim si pentru aceste secvente transformata Fourier. Aceasta se poate face

daca slabim putin conditiile de convergenta si utilizam convergenta ın medie patratica:

limN→∞

∫ π

−π|X(ω)−XN(ω)|2dω = 0.

Se asigura ın aceasta situatie ca energia semnalului eroare:

|X(ω)−XN(ω)|

tinde catre zero, desi semnalul eroare poate fi nenul. Cu aceasta rezerva putem introduce

transformata Fourier si pentru secvente de energie finita.

Exemplul 20 .Consideram urmatoarea functie ın ω:

X(ω) =

1, |ω| ≤ π2;

0, π2< |ω| ≤ π.

pentru care calculam transformata Fourier inversa cu formula (3.13):

x(n) =1

2π

∫ π

−πX(ω)ejωndω =

1

2π

∫ π/2

−π/2ejωndω.

Distingem doua cazuri:

• Daca n = 0, atunci x(n) = 12.

• Daca n 6= 0, atunci:

x(n) =1

2π

∫ π/2

−π/2ejωndω =

1

2π

ejωn

jn|π/2−π/2 =

1

2π· 2j sin

π2n

jn.


Prin urmare X(ω) este pereche Fourier cu secventa:

x2(n) =

1

2, n = 0;

sinπ

2n

πn , n 6= 0.

3.3.3 Spectrul secventelor aperiodice

Odata ce am precizat secventa x(n), putem considera transformata sa Fourier4 si ca o

functie definita pe o submultime din multimea numerelor reale si cu valori ın multimea

numerelor complexe:

X : [−π, π] ⊂ R→ C.

Deoarece X(ω) ∈ C, atunci putem scrie X(ω) astfel:

X(ω) = |X(ω)|ej∠X(ω).

Definitia 31 .|X(ω)| se numeste modulul densitatii spectrale sau densitate spectrala de amplitudine.

∠X(ω) se numeste faza densitatii spectrale sau spectrul de faze.

In practica este suficient sa desenam spectrul doar pentru un interval de lungime 2π. In

unele cazuri acest interval poate fi redus.

Observatia 16 .Daca x(n) ∈ R, atunci X(−ω) = X∗(ω) si ın acest caz avem proprietatile de simetrie:

• Densitatea spectrala de amplitudini este functie para de ω:

|X−ω| = |X(ω)|;

• Spectrul de faze este functie impara de ω:

∠X(−ω) = −∠X(ω).

Astfel domeniul de frecventa pentru semnale discrete ın timp poate fi limitat la ω ∈ [0, π]

sau f ≤ 12. Prin urmare descrierea completa a secventei ın frecventa solicita 50% din

informatia necesara ın caz general.

4Din punct de vedere matematic transformata Fourier este de fapt un operator definit

peste o anumita multime de semnale sau secvente.


Exemplul 21 .Vom afla acum spectrul secventelor aperiodice:

1. x1(n) = 0, 5nu(n);

2. x2(n) = . . . , 0, 0, 0, 1,

↑1, 1, 0, 0, 0, . . .

Rezolvare:

1. Secventa x1(n) = 0, 5nu(n) este absolut sumabila:∞∑

n=−∞|0, 5n| = 1

1− 0, 5= 2 <∞.

Deci x1(n) are transformata Fourier:

X1(ω) =∞∑

n=0

0, 5ne−jωn =∞∑

n=0

(0, 5e−jω)n =1

1− 0, 5e−jω.

Secventa x1(n) si spectrul sau este reprezentat grafic ın figura 3.4.

2. Absolut sumabilitatea secventei x2(n) este evidenta asa ca trecem direct la calculul

transformatei Fourier:

X2(ω) =∞∑

n=−∞x2(n)e

−jωn =2∑

n=0

e−jωn;

Distingem doua cazuri:

Daca ω = 0, atunci X2(ω) = 3.

Daca ω 6= 0, atunci:

X2(ω) =2∑

n=0

e−jωn =1− e−j3ω

1− e−jω=

e−j3ω2 (ej

3ω2 − e−j

3ω2 )

e−jω2 (ej

ω2 − e−j

ω2 )

=sin 3ω

2

sin ω2

e−jω.

Prin urmare X2(ω) este:

X2(ω) =

3, ω = 0;

sin3

2ω

sinω

2

e−jω, ω 6= 0.

Secventa x2(n) si spectrul sau este reprezentat grafic ın figura 3.5. Sa mai remarcam

ca X2(ω) mai poate fi scris si sub forma:

X2(ω) =2∑

n=0

e−jωn = 1 + e−jω + e−2jω. (3.14)


−6 −4 −2 0 2 4 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1(n)

n

−π −π/2 0 π/2 π0

0.5

1

1.5

2

ω

|X1(ω)|

−π −π/2 0 π/2 π−π/3

0

π/3

ω

∠ (X1(ω))

Figura 3.4: Secventa x1(n) si spectrul sau de amplitudini si de faze

3.3.4 Densitatea spectrala de energie a secventelor aperiodice

Vom considera acum cazul semnalelor discrete ın timp de energie finita si ne propunem

sa stabilim legatura energie - spectru avand ca obiectiv o relatie de tip Parseval. Energia

unei secvente aperiodice x(n) este data de:

E =∞∑

n=−∞|x(n)|2 =

∞∑

n=−∞x(n)x∗(n)

si aplicand transformata Fourier inversa (3.13) se obtine:

∞∑

n=−∞x(n)x∗(n) =

∞∑

n=−∞x(n)

1

2π

∫ π

−πX∗(ω)e−jωndω.


−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

n

x2(n)

−π −π/2 0 π/2 π0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ω

|X2(ω)|

−π −π/2 0 π/2 π−π

0

π

ω

∠ (X2(ω))

Figura 3.5: Secventa x2(n) si spectrul sau de amplitudini si de faze

Schimbam ordinea dintre ınsumare si integrare:∞∑

n=−∞x(n)

1

2π

∫ π

−πX∗(ω)e−jωndω =

1

2π

∫ π

−πX∗(ω)

∞∑

n=−∞x(n)e−jωndω,

apoi substituim X(ω) din (3.12):

1

2π

∫ π

−πX∗(ω)

∞∑

n=−∞x(n)e−jωndω =

1

2π

∫ π

−πX∗(ω)X(ω).

Definitia 32 .Se defineste densitatea spectrala de energie prin formula:

Sxx(ω) = |X(ω)|2.


Astfel am obtinut teorema Parseval pentru secvente aperiodice:

Teorema 6 .Energia unei secvente aperiodice este integrala densitatii spectrale de energie:

E =∞∑

n=−∞|x(n)|2 = 1

2π

∫ π

−π|X(ω)|2dω.

Exemplul 22 .Densitatea spectrala de energie a secventelor de la Exemplul 21 este:

Sx1x1 = |X1(ω)|2 =1

1, 25− cosω,

respectiv

Sx2x2 = |X2(ω)|2 =

9, ω = 0;

sin2 3

2ω

sin2 ω

2

, ω 6= 0.

Observatia 17 .

1. Densitatea spectrala de energie nu contine nici o informatie despre faza.

2. Daca x(n) ∈ R, atunci X(−ω) = X∗(ω) si densitatea spectrala de energie este o

functie para de frecventa:

Sxx(−ω) = Sxx(ω).

3.3.5 Proprietatile transformatei Fourier pentru secvente

aperiodice

Pentru ınceput reamintim ca:

X(ω) = Fx(n) =∞∑

n=−∞x(n)e−jωn =

∞∑

n=−∞x(n)(cosωn− j sinωn) (3.15)

si ca:

x(n) = F−1X(ω) = 1

2π

∫ π

−πX(ω)ejωn dω =

=1

2π

∫ π

−πX(ω) cosωn dω +

1

2π

∫ π

−πX(ω) sinωn dω.

(3.16)

In cele ce urmeaza ne propunem sa discutam pe rand proprietatile importante ale trans-

formatei Fourier pentru secvente aperiodice.


• Simetria tranformatei Fourier

Cand un semnal discret ın timp satisface anumite proprietati de simetrie, aceste carac-

teristici se pot transmite si asupra transformatei sale Fourier. Pentru ınceput sa descom-

punem secventa data si functia sa de densitate spectrala ın partea lor reala si partea lor

imaginara:

x(n) = xR(n) + jxI(n);

X(ω) = XR(ω) + jXR(ω).

Combinand aceste relatii cu (3.15) si (3.16) obtinem:

XR(ω) =∞∑

n=−∞[xR(n) cosωn+ xI(n) sinωn];

XI(ω) = −∞∑

n=−∞[xR(n) sinωn− xI(n) cosωn].

(3.17)

In mod similar pentru transformata Fourier inversa avem:

xR(n) =1

2π

∫ π

−πXR(ω) cosωn dω − 1

2π

∫ π

−πXI(ω) sinωn dω;

xI(n) =1

2π

∫ π

−πXR(ω) sinωn dω +

1

2π

∫ π

−πXI(ω) cosωn dω.

(3.18)

In anumite cazuri particulare formulele anterioare (3.17) si (3.18) se reduc substantial.

1. Secvente reale

Daca x(n) ∈ R, atunci xI(n) = 0 si:

XR(ω) =∞∑

n=−∞xR(n) cosωn;

XI(ω) = −∞∑

n=−∞xR(n) sinωn.

Partea reala a functiei de densitate spectrala este o functie para de frecventa, iar

partea imaginara a functiei de densitate spectrala este o functie impara de frecventa:

XR(−ω) = XR(ω);

XI(−ω) = −XI(ω)

sau ıntr-o singura ecuatie:

X∗(ω) = X(−ω),


adica functia de densitate spectrala a unei secvente reale are simetrie hermitica [15].

Daca ne referim la modulul si faza functiei de densitate spectrala, acestea au carac-

teristicile:

• Densitatea spectrala de amplitudini este o functie para de frecventa ω:

|X−ω| = |X(ω)|;

• Faza densitatii spectrale de amplitudine este o functie impara de frecventa ω:

∠X(−ω) = −∠X(ω).

Si calculul inversei transformatei Fourier se simplifica daca se stie ca secventa x(n)

este reala. Tinand cont de simetria hermitica a functiei de densitate spectrala vom

avea:

x(n) =1

π

∫ π

0

XR(ω) cosωn dω − 1

π

∫ π

0

XI(ω) sinωn dω.

2. Secvente reale si pare

Daca x(n) ∈ R si para, atunci x(n) cosωn este o functie para de timp si x(n) sinωn

este o functie impara de timp:

XR(ω) = x(0) + 2∞∑

n=1

x(n) cosωn;

XI(ω) = 0.

De asemenea calculul transformatei Fourier inverse se simplifica:

x(n) =1

π

∫ π

0

XR(ω) cosωn dω.

Exemplul 23 .Vom afla acum spectrul secventei aperiodice pare:

x(n) = . . . , 0, 0, 1, 1,

↑1, 0, 0, 0, 0, . . . = u(n+ 1)− u(n− 2).

Rezolvare:

Deoarece secventa x(n) este para, avem:

X(ω) = x(0) +∞∑

n=1

x(n) cosωn = 1 + 2 cosω,


deci modulul functiei de densitate spectrala este:

|X(ω)| = |1 + 2 cosω| =

1 + 2 cosω, |ω| ≤ 2π3;

−1− 2 cosω, |ω| > 2π3.

iar faza functiei de densitate spectrala este:

∠X(ω) =

0, |ω| ≤ 2π3;

−π, ω < −2π3,

π, ω > 2π3.

Secventa x(n) si spectrul sau este reprezentat grafic ın figura 3.6. Spectrul de am-

plitudini al acestei secvente este identic cu cel al secventei x2(n) de la Exemplul 21,

dar spectrul de faze difera. Sa mai remarcam ca X(ω) mai poate fi scris si sub

forma:

X(ω) =1∑

n=−1e−jωn = ejω + 1 + e−jω. (3.19)

3. Secvente reale si impare

Daca x(n) ∈ R si impara, atunci x(n) cosωn este o functie impara de timp si

x(n) sinωn este o functie para de timp:

XR(ω) = 0;

XI(ω) = −2∞∑

n=1

x(n) sinωn,

si prin urmare expresia transformatei Fourier inverse se simplifica:

x(n) = − 1

π

∫ π

0

XI(ω) sinωn dω.

4. Secvente pur imaginare Daca xR(n) = 0 si x(n) = jxI(n), atunci:

XR(ω) =∞∑

n=−∞xI(n) sinωn;

XI(ω) =∞∑

n=−∞xI(n) cosωn.

Partea reala a functiei de densitate spectrala este o functie impara de frecventa, iar

partea imaginara a functiei de densitate spectrala este o functie para de frecventa:

XR(−ω) = −XR(ω);

XI(−ω) = XI(ω).


−6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

n

x(n)

−π −π/2 0 π/2 π0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ω

|X(ω)|

−π −π/2 0 π/2 π−π

0

π

ω

∠ (X(ω))

Figura 3.6: Secventa x(n) si spectrul sau de amplitudini si de faze

Daca secventa x(n) este pur imaginara, atunci inversa transformatei Fourier devine:

xI(n) =1

π

∫ π

0

XR(ω) sinωn dω +1

π

∫ π

0

XI(ω) cosωn dω.

5. Secvente pur imaginare si pare Daca x(n) este pur imaginara si para, atunci

x(n) cosωn este o functie para de timp si x(n) sinωn este o functie impara de timp:

XR(ω) = 0;

XI(ω) = xI(0) + 2∞∑

n=1

xI(n) cosωn.


De asemenea calculul transformatei Fourier inverse se simplifica:

xI(n) =1

π

∫ π

0

XI(ω) cosωn dω.

6. Secvente pur imaginare si impare

Daca x(n) este pur imaginara si impara, atunci x(n) cosωn este o functie impara de

timp si x(n) sinωn este o functie para de timp:

XR(ω) = 2∞∑

n=1

xI(n) sinωn;

XI(ω) = 0.

Rezulta transformata Fourier inversa:

x(n) =1

π

∫ π

0

XR(ω) sinωn dω.

Observatia 18 .Orice secventa complexa x(n) poate fi scrisa sub forma:

x(n) =

semnal real par︷︸︸︷

xR(n) + xR(−n)2

+j

semnal real par︷︸︸︷

xI(n) + xI(−n)2

+xR(n)− xR(−n)

2︸︷︷︸

semnal real impar

+jxI(n)− xI(−n)

2︸︷︷︸

semnal real impar

.

Aceasta descompunere se utilizeaza des pentru simplificarea implementarii transformatei

Fourier, deoarece calculele implica numai operatii cu numere reale pare sau impare.

• Liniaritatea tranformatei Fourier

Daca:

X1(ω) = Fx1(n)si

X2(ω) = Fx2(n),atunci

a1X1(ω) + a2X2(ω) = Fa1x1(n) + a2x2(n).Consideram demonstratia acestei proprietati ca si evidenta. Prin urmare transformata

Fourier este un operator liniar, adica transforma o combinatie liniara de secvente ıntr-o

combinatie liniara a transformatelor respective. Aceasta proprietate este foarte impor-

tanta, deoarece cu ajutorul acesteia se face posibil studiul sistemelor liniare utilizand

transformata Fourier.


• Translatia ın timp

Daca:

X(ω) = Fx(n)

si k ∈ Z, atunci:

Fx(n− k) = e−jωkX(ω).

Demonstratie:

Intr-adevar:

Fx(n− k) =∞∑

n=−∞x(n− k)e−jωn

n−k←n︷︸︸︷= e−jωk

∞∑

n=−∞x(n)e−jωn = e−jωkX(ω),


Prin urmare translatia ın timp afecteaza doar spectrul de faze, spectrul de amplitu-

dini ramanand neschimbat. Aceasta comportare a fost deja evidentiata ın Exemplele 21

si 23 unde cele doua secvente se pot obtine prin translatii ın domeniul timp. Panta

descrescatoare a fazei de la Exemplul 21 se regaseste mai la toate secventele de analizat

practic, fiindca de obicei secventele sunt cauzale si astfel nu sunt simetrice fata de origine

[8].

• Reflexia (inversarea timpului)

Daca:

X(ω) = Fx(n),

atunci:

Fx(−n) = X(−ω).

Demonstratie:

Avem:

Fx(−n) =∞∑

n=−∞x(−n)e−jωn

−n←n︷︸︸︷=

∞∑

n=−∞x(n)e−j(−ω)n = X(−ω).

• Convolutia secventelor sau teorema convolutiei din transformata Fourier


Teorema 7 .Daca:

X1(ω) = Fx1(n)si

X2(ω) = Fx2(n),atunci

Fx1(n) ∗ x2(n) = X1(ω)X2(ω).

Demonstratie:

Avem:

Fx1(n) ∗ x2(n) =∞∑

n=−∞[x1(n) ∗ x2(n)]e

−jωn =∞∑

n=−∞

[ ∞∑

k=−∞x1(k)x2(n− k)

]

e−jωn

si dupa ce se schimba ordinea de ınsumare obtinem:

∞∑

n=−∞

[ ∞∑

k=−∞x1(k)x2(n− k)

]

e−jωn =∞∑

k=−∞x1(k)

[ ∞∑

n=−∞x2(n− k)e−jωn

]

=

=∞∑

k=−∞x1(k)e

−jωk

[ ∞∑

n=−∞x2(n− k)e−jω(n−k)

]n−k←n︷︸︸︷= =

∞∑

k=−∞x1(k)e

−jωk

[ ∞∑

n=−∞x2(n)e

−jωn

]

,

prin urmare:

Fx1(n) ∗ x2(n) = X1(ω)X2(ω),


Aceasta teorema este un rezultat teoretic important ın analiza sistemelor liniare si

invariante ın timp, astfel aratandu-se ca unei convolutii ın domeniul timp ıi corespunde

multiplicarea spectrelor ın domeniul frecventa. Proprietatea este des utilizata ın aplicatii,

fiind la baza multor implementari ın prelucrarea numerica a semnalelor.

Exemplul 24 .Vom afla acum convolutia secventelor aperiodice:

x1(n) = . . . , 0, 0, 1, 1,

↑1, 0, 0, 0, 0, . . .

si

x2(n) = . . . , 0, 0, 0, 1,

↑1, 1, 0, 0, 0, . . ..


Rezolvare:

Deja am aratat ın Exemplul 8 o modalitate de calcul a convolutiei. Acum vom proceda

altfel:

Deoarece spectrul secventei x1(n) este cunoscut (Exemplul 23), atunci din relatia

(3.19) avem:

X1(ω) = ejω + 1 + e−jω.

De asemenea din Exemplul 21 rezulta ca X2(ω) este (3.14):

X1(ω) = 1 + e−jω + e−2jω.

Prin urmare:X1(ω)X2(ω) = (1 + e−jω + ejω)(1 + e−jω + e−2jω) =

= e−3jω + 2e−2jω + 3e−jω + 2 + ejω

si prin identificare cu relatia 3.12 si tinand cont de Teorema 7 avem:

(x1 ∗ x2)(n) = . . . , 0, 1, 2, 3, 2,

↑1, 0, . . ..

• Corelatia secventelor

Daca:

X1(ω) = Fx1(n)

si

X2(ω) = Fx2(n),

atunci

X1(ω)X2(−ω) = Frx1x2(l).

Demonstratia acestei proprietati rezulta din proprietatea anterioara, din relatia dintre

convolutie si corelatie (2.16) si reflexia timpului. In cazul special x(n) = y(n) obtinem:

• Teorema Wiener-Hincin

Teorema 8 .Daca:

X(ω) = Fx(n),

atunci

Frxx(l) = Sxx(ω).


Prin urmare densitatea spectrala de energie este transformata Fourier a secventei de

autocorelatie si ın consecinta atat densitatea spectrala de energie cat si secventa de

autpcorelatie contin aceeasi informatie despre semnalul discret ın timp. Cum nici una

dintre ele nu detin informatii despre faza este imposibila reconstituirea semnalului dis-

cret ın timp din secventa de autocorelatie sau din densitatea spectrala de energie.

• Translatia ın frecventa:

Daca:

X(ω) = Fx(n)si ω0 ∈ R, atunci

Fejω0nx(n) = X(ω − ω0).

Demonstratie:

Fejω0nx(n) =∞∑

n=−∞ejω0nx(n)e−jωn =

∞∑

n=−∞x(n)e−j(ω−ω0)n = X(ω − ω0).

• Teorema modularii

Daca:

X(ω) = Fx(n)si ω0 ∈ R, atunci

Fcosω0n · x(n) =1

2[X(ω + ω0) +X(ω − ω0)].

Demonstratia acestei teoreme rezulta din liniaritatea transformatei Fourier si din relatia

lui Euler:

cosα =1

2

(ejα + e−jα

).

• Teorema lui Parseval generalizata

Daca:

X1(ω) = Fx1(n)si

X2(ω) = Fx2(n),atunci ∞∑

n=−∞x1(n)x

∗2(n) =

1

2π

∫ π

−πX1(ω)X

∗2 (ω)dω. (3.20)

Demonstratia acestei proprietati este analoaga Teoremei 6 prezentate la pagina 97.


• Multiplicarea a doua secvente sau teorema ferestruirii

Teorema 9 .Daca:

X1(ω) = Fx1(n)

si

X2(ω) = Fx2(n),

atunci

Fx1(n)x2(n) =1

2π

∫ π

−πX1(λ)X2(ω − λ)dλ.

Demonstratie:

Fie x3(n) = x1(n)x2(n). Atunci aplicand (3.13) avem:

X3(ω) =∞∑

n=−∞x1(n)x2(n)e

−jωn=∞∑

n=−∞

[1

2π

∫ π

−πX1(λ)e

jλndλ

]

x2(n)e−jωn

si schimband ordinea dintre ınsumare si integrare rezulta:

1

2π

∫ π

−πX1(λ)

[ ∞∑

n=−∞x2(n)e

−jωnejλn

]

dλ =

=1

2π

∫ π

−πX1(λ)

[ ∞∑

n=−∞x2(n)e

−j(ω−λ)n

]

dλ =1

2π

∫ π

−πX1(λ)X2(ω − λ)dλ,


Definitia 33 .Se numeste convolutia periodica a functiilor periodice X1(ω) si X2(ω) de perioada 2π

functia definita prin relatia:

X3(ω) =1

2π

∫ π

−πX1(λ)X2(ω − λ)dλ.

Putem spune astfel ca multiplicarea a doua secvente este pereche Fourier cu convolutia

periodica a transformatelor Fourier.

Observatia 19 .

1. Convolutia periodica este o functie periodica de perioada 2π.


2. Limitele de integrare sunt considerate pe o singura perioada.

3. Spre deosebire de semnalele analogice, pentru semnale discrete ın timp nu mai exista

o dualitate perfecta relativ la operatia de convolutie. Mai precis:

• Pentru semnale analogice multiplicarea secventelor are pereche Fourier convolutia

transformatelor si respectiv invers.

• La semnale discrete ın timp, convolutiei ın domeniul timp ıi corespunde pro-

dusul transformatelor, dar produsul secventelor are pereche Fourier o convolutie

periodica a transformatelor Fourier.

Mai remarcam ca de obicei noi vedem semnalele x(n) care urmeaza sa le prelucram printr-

o fereastra w(n), deci de fapt noi facem analiza semnalului produs x(n)w(n). Teorema

ferestruirii ne sugereaza ca de fapt ceea ce obtinem noi este ın realitate un spectru alterat

de convolutia periodica cu spectrul ferestrei respective [11].

• Diferentierea ın domeniul frecventa

Daca:

X(ω) = Fx(n)

atunci:

Fnx(n) = jd

dω[X(ω)].

Demonstratie:

Avem ca:

Fnx(n) =∞∑

n=−∞nx(n)e−jωn = j

∞∑

n=−∞x(n)

[−jne−jωn

]=

= j

∞∑

n=−∞x(n)

d

dω

[e−jωn

]=j

d

dω

[ ∞∑

n=−∞x(n)e−jωn

]

= jdX(ω)

dω,


Exemplul 25 .Vom calcula transformata Fourier a secventei y(n) = nanu(n), |a| < 1.

Rezolvare: Transformata Fourier a secventei x(n) = anu(n) este:

X(ω) =∞∑

n=−∞anu(n)e−jωn =

∞∑

n=0

ane−jωn =1

1− ae−jω.

3.4 Caracterizarea ın domeniul frecventa a sistemelor LTI 109

x(n) δ(n) u(n+ L)− u(n− L− 1) anu(n) nanu(n)

X(ω) 1sin(L+ 1

2)ω

sin ω2

1

1− ae−jωae−jω

(1− ae−jω)2

Tabelul 3.5: Cateva semnale discrete ın timp ımpreuna cu transformatele lor Fourier

x(n) = Aejωn

h(n)

y(n) = H(ω) · Aejωn

Figura 3.7: Caracterizarea ın domeniul frecventa a sistemelor liniare si invariante ın timp

Deoarece y(n) = nx(n), atunci:

Fy(n) = jdX(ω)

dω= j

d

(1

1− ae−jω

)

dω= −j 1

(1− ae−jω)2·(−a)e−jω(−j) = ae−jω

(1− ae−jω)2

In tabelul 3.5 prezentam transformatele Fourier cele mai des folosite ın prelucrarea

numerica a semnalelor.

3.4 Caracterizarea ın domeniul frecventa a sistemelor

liniare si invariante ın timp

3.4.1 Raspunsul la frecventa al sistemelor liniare si invariante

ın timp

Pentru descrierea comportarii sistemelor liniare si invariante ın timp ın domeniul frecventa

vom studia raspunsul acestora la excitatii de tip exponentiala complexa (figura 3.7). Fie

deci:

x(n) = Aejωn, n ∈ Z,


secventa aplicata la intrarea sistemului liniar si invariant ın timp caracterizat prin secventa

pondere h(n). In acest caz la iesire vom avea secventa raspuns:

y(n) =∞∑

k=0

h(k)x(n− k) =∞∑

k=0

h(k)Aejω(n−k) =∞∑

k=0

h(k)e−jωk

︸︷︷︸

Fh(k)

·x(n)︷︸︸︷

Aejωn .

Definitia 34 .Se numeste raspuns la frecventa al unui sistem liniar si invariant ın timp transformata

Fourier a secventei pondere:

H(ω) = Fh(k).

Astfel anterior am demonstrat ca:

Teorema 10 .Raspunsul unui sistem liniar si invariant ın timp la o excitatie exponentiala complexa

este tot o exponentiala complexa, de aceeasi frecventa ca si intrarea, alterata de un factor

multiplicativ care este chiar raspunsul la frecventa H(ω).

Sa remarcam ca raspunsul la frecventa H(ω) = Fh(k) exista, daca secventa pondereeste absolut sumabila: ∞∑

n=−∞|h(k)| <∞,

adica daca sistemul este BIBO stabil.

Din relatia:

H(ω) = Fh(k),

rezulta ca secventa pondere se poate calcula cu ajutorul transformatei Fourier inverse:

h(k) =1

2π

∫ π

−πH(ω)ejωkdω.

Pe de alta parte raspunsul la frecventa ia valori complexe ın general. Cum ω ∈ R

si H(ω) ∈ C, putem desparti raspunsul la frecventa ın partea sa reala si ın partea sa

imaginara:

H(ω) = HR(ω) + jHI(ω).

Atunci din

H(ω) =∞∑

k=−∞h(k)e−jωk =

∞∑

k=−∞h(k) cosωk − j

∞∑

k=−∞h(k) sinωk,


obtinem ın cazul special h(k) ∈ R urmatoarele relatii:

HR(ω) =∞∑

k=−∞h(k) cosωk,

HI(ω) = −∞∑

k=−∞h(k) sinωk.

In aceasta situatie des ıntalnita ın practica, HR(ω) este o functie para de frecventa, iar

HI(ω) este o functie impara de frecventa.

Raspunsul la frecventa poate fi caracterizat mai ales prin modulul si faza sa:

H(ω) = |H(ω)|ej∠H(ω).

rezultand:

• |H(ω)| - modulul raspunsului la frecventa sau caracteristica amplificare - frecventa;

• ∠H(ω) - argumentul raspunsului la frecventa sau caracteristica defazaj - frecventa.

Daca h(k) ∈ R, atunci:

• |H(−ω)| = |H(ω)|, adica modulul raspunsului la frecventa este o functie para de

frecventa;

• ∠H(−ω) = −∠H(ω), adica argumentul raspunsului la frecventa este o functie im-

para de frecventa.

Datorita faptului ca raspunsul la frecventa H(ω) este o transformata Fourier a unei

secvente aperiodice, acesta este o functie periodica cu perioada 2π:

H(ω + 2π) = H(ω),

ceea ce ne permite sa reducem reprezentarea sa grafica numai un interval de lungime 2π

din axa de frecventa.

Exemplul 26 .Vom afla acum raspunsul la frecventa al sistemului mediator cu cinci termeni:

y(n) =1

5(x(n− 2) + x(n− 1) + x(n) + x(n+ 1) + x(n+ 2)). (3.21)


−π −π/2 0 π/2 π0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

|H(ω)|

−π −π/2 0 π/2 π −2π

−π

0

π

2π

ω

∠ (H(ω))

Figura 3.8: Modulul si faza raspunsului la frecventa a sistemului mediator cu cinci termeni

Rezolvare:

Pentru ınceput vom aplica transformata Fourier ambilor termeni ai relatiei (3.21):

Y (ω) =1

5(e−j2ω + e−jω + 1 + ejω + ej2ω)X(ω),

de unde rezulta:

H(ω) =Y (ω)

X(ω)=

1

5(e−j2ω + e−jω + 1 + ejω + ej2ω) =

1

5(1 + 2 cosω + 2 cos 2ω).

Modulul si argumentul raspunsului la frecventa sunt prezentate ın figura 3.8.

Sa mai remarcam ca daca secventa pondere este reala, atunci intervalul de pe axa

frecventelor se poate ınjumatati. O astfel de situatie apare ın cazul sistemelor liniare si

invariante ın timp descrise prin ecuatii cu diferente finite si cu coeficienti constanti reali.

Observatia 20 .

1. Raspunsul la frecventa altereaza spectrul de amplitudini si de faze ale semnalului de

la intrare. Daca spectrul secventei de intrare este schimbat de sistem ın mod nedorit,

atunci avem distorsiuni de amplitudine sau de faza.


x(n) h(n)

y(n) ⇔

X(ω) H(ω)

Y (ω)

Figura 3.9: Raspunsul la frecventa pentru secvente aperiodice

2. Iesirea unui sistem liniar si invariant ın timp nu poate contine componente de

frecventa inexistente ın spectrul semnalului de la intrare. Pentru a introduce com-

ponente noi avem nevoie de un sistem neliniar sau de un sistem variant ın timp.

3. Din faptul ca raspunsul unui sistem liniar si invariant ın timp la o excitatie de

tip exponentiala complexa este tot o exponentiala complexa, de aceeasi frecventa ca

si intrarea, alterata de un factor multiplicativ, rezulta ca exponentiala complexa

ejωn este functie proprie a sistemului liniar si invariant ın timp, iar raspunsul la

frecventa H(ω) este chiar valoarea proprie corespunzatoare.

3.4.2 Determinarea secventei raspuns cu ajutorul raspunsului

la frecventa

Raspunsul la frecventa ne permite sa stabilim o noua legatura dintre intrarea si raspunsul

la semnale discrete ın timp aperiodice. Luand ın considerare teorema convolutiei din

transformata Fourier (pagina 104) si cu referire la figura 3.9 rezulta echivalenta data de

relatia:

y(n) = h(n) ∗ x(n)⇔ Y (ω) = H(ω)X(ω), (3.22)

rezultand urmatoarele egalitati remarcabile:

|Y (ω)| = |H(ω)||X(ω)|;|Y (ω)|dB = |H(ω)|dB + |X(ω)|dB;

∠Y (ω) = ∠H(ω) + ∠X(ω).

(3.23)

Astfel raspunsul la frecventa poate fi calculat daca se cunoaste o singura pereche intrare

- iesire (care poate sa nu fie neaparat perechea impuls unitate - secventa pondere5):

H(ω) =Y (ω)

X(ω). (3.24)

5Pentru aflarea ın totalitate a lui H(ω), X(ω) ar trebui sa fie nenul pentru orice frecventa ω, conditie

destul de restrictiva.


In cazul sistemelor liniare si invariante ın timp se poate foarte usor arata ca din ecuatia

cu diferente finite si cu coeficienti constanti:

y(n) = −N∑

k=1

aky(n− k) +M∑

k=0

bkx(n− k),

raspunsul la frecventa al sistemului liniar si invariant ın timp este:

H(ω) =

M∑

k=0

bke−jωk

1 +N∑

k=1

ake−jωk

. (3.25)

Sa consideram ın cele ce urmeaza un caz special de excitatie:

x(n) = cosω0n =ejω0n + e−jω0n

2,

care ataca sistemul liniar si invariant ın timp, caracterizat prin H(ω). Utilizand liniari-

tatea sistemului putem afla semnalul de la iesire:

y(n) =H(ω0)e

jω0n +H(−ω0)e−jω0n

2=

=H(ω0)(cosω0n+ j sinω0n) +H(−ω0)(cosω0n− j sinω0n)

2=

=[H(ω0) +H(−ω0)] cosω0n+ j[H(ω0)−H(−ω0)] sinω0n

2.

Daca h(k) ∈ R, atunci:

[H(ω0) +H(−ω0)] = 2|H(ω0)| cos[∠H(ω0)];

[H(ω0)− jH(−ω0)] = 2j|H(ω0)| sin[∠H(ω0)]

si astfel

y(n) =[H(ω0) +H(−ω0)] cosω0n+ j[H(ω0)−H(−ω0)] sinω0n

2=

= |H(ω0)| cos[∠H(ω0)] cosω0n− |H(ω0)| sin[∠H(ω0)] sinω0n

= |H(ω0)| cos[ω0n+ ∠H(ω0)].

Sub forma de diagrame bloc avem reprezentarea grafica din figura 3.10.


x(n) = A cosω0n H(ω)

y(n) = A|H(ω0)| cos[ω0n+ ∠H(ω0)]

Figura 3.10: Raspunsul la frecventa si excitatia cosinusoidala (h(k) ∈ R)

x(n) = A sinω0n H(ω)

y(n) = A|H(ω0)| sin[ω0n+ ∠H(ω0)]

Figura 3.11: Raspunsul la frecventa si excitatia sinusoidala (h(k) ∈ R)

In mod analog, daca:

x(n) = sinω0n =ejω0n + e−jω0n

2,

atunci

y(n) = |H(ω0)| sin[ω0n+ ∠H(ω0)],

rezultat a carui prezentare grafica este ın figura 3.11.

Prin urmare raspunsul la frecventa caracterizeaza complet sistemul liniar si invariant

ın timp cand la intrare avem un semnal de frecventa variabila si astfel suntem capabili sa

determinam raspunsul la orice semnal de intrare sinusoidal sau suma de sinusoide.

Astfel, daca semnalul de intrare este o suma de excitatii sinusoidale:

x(n) =L∑

i=1

Ai cos(ωin+ ϕi),

atunci raspunsul este de forma:

y(n) =L∑

i=1

Ai|H(ωi)| cos[ωin+ ϕi + ∠H(ωi)],

situatie prezentata ın figura 3.12.

Concluzionam ca anumite sinusoide vor fi amplificate, iar altele vor fi atenuate, ın

functie de modulul raspunsului la frecventa |H(ω)|.


L∑

i=1

Ai cos(ωin+ ϕi)

H(ω)

L∑

i=1

Ai|H(ωi)| cos[ωin+ ϕi + ∠H(ωi)]

Figura 3.12: Raspunsul la frecventa si suma de excitatii sinusoidale (h(k) ∈ R)

In proiectarea filtrelor o problema centrala o constituie determinarea parametrilor

sistemului liniar si invariant ın timp astfel ıncat sa avem un H(ω) dorit [20].

Un caz special este al unei secvente periodice de perioada N :

x(n) =N−1∑

k=0

ckej2πkn

N , n = 0, 1, · · · , N − 1.

In aceasta situatie raspunsul la iesirea sistemului va fi:

y(n) =N−1∑

k=0

ckH

(2πkn

N

)

ej2πkn

N , n = 0, 1, · · · , N − 1.

Raspunsul la frecventa ne permite sa calculam si raspunsul la semnale discrete ın timp

aperiodice. Cu referire la relatia (3.22), pentru calculul raspunsului unui sistem liniar si

invariant ın timp la semnale discrete ın timp, aperiodice si de energie finita, putem utiliza

urmatoarea procedura:

1. Se calculeaza raspunsul la frecventa al sistemului liniar si invariant ın timp H(ω)

printr-o anumita metoda;

2. Se calculeaza transformata Fourier a secventei de intrare X(ω), de exemplu direct

cu formula de definitie (3.12);

3. Se calculeaza transformata Fourier a secventei de iesire Y (ω) cu relatia (3.22);

4. Se calculeaza secventa de iesire y(n) cu formula de la transformata Fourier inversa

(3.13).

Exemplul 27 .Vom afla acum raspunsul sistemului mediator cu cinci termeni dat prin relatia de intrare


- iesire (3.21) la secventa de intrare de la Exemplul 23:

x(n) = . . . , 0, 0, 1, 1,

↑1, 0, 0, 0, 0, . . . = u(n+ 1)− u(n− 2).

Rezolvare:

Din

H(ω) =1

5(e−j2ω + e−jω + 1 + ejω + ej2ω)

si

X(ω) = e−jω + 1 + ejω,

rezulta:

Y (ω) = H(ω)X(ω) =1

5(e−j2ω + e−jω + 1 + ejω + ej2ω)(e−jω + 1 + ejω) =

=1

5(e−j3ω + 2e−j2ω + 3e−jω + 3 + 3ejω + 2ej2ω + ej3ω),

deci

y(n) = . . . , 0, 0, 0,1

5,2

5,3

5,3

5,

↑

3

5,2

5,1

5, 0, 0, 0, . . ..

Exemplul 28 .Vom afla raspunsul sistemului mediator cu cinci termeni la prima secventa de intrare de

la Exemplul 17:

x1(n) = cos√3πn

Rezolvare:

Din

H(ω) =1

5(e−j2ω + e−jω + 1 + ejω + ej2ω) =

1

5(1 + 2 cosω + 2 cos 2ω),

rezulta:

H(√3π) =

1

5[1 + 2 cos(

√3π) + 2 cos(2

√3π)] = 0, 4214,

deci

y1(n) = 0, 4214 cos√3πn.

Capitolul 4

Transformata ın z.

Aplicatii ın analiza sistemelor liniare

si invariante ın timp

Tehnicile bazate pe transformari se dovedesc a fi metode importante ın analiza sistemelor

liniare si invariante ın timp. Acest fapt a fost deja aratat ın capitolul 3 ın legatura cu

transformata Fourier.

In acest capitol vom introduce transformata ın z si vom prezenta cele mai importante

proprietati ale sale. Vom sublinia de asemenea importanta acestei transformari ın analiza

sistemelor liniare si invariante ın timp. Va rezulta ca transformata ın z joaca ın cazul

sistemelor discrete acelasi rol ca si transformata Laplace la sistemele analogice.

4.1 Transformata ın z bilaterala

4.1.1 Transformata ın z directa

Fie x(n) o secventa data si z ∈ C un punct din planul complex.

Definitia 35 .Transformata ın z directa pentru secventa x(n)n∈Z si pentru z ∈ C este data de seria

de puteri:

X(z) =∞∑

n=−∞x(n)z−n. (4.1)

119

120 Aplicatiile transformatei ın z la analiza sistemelor LTI

Mai trebuie precizat ca ın unele carti aceasta transformata se mai numeste transfor-

mata ın z bilaterala pentru a o distinge de transformata ın z unilaterala ce urmeaza sa

fie prezentata ın sectiunea 4.6.

Se observa ca transformata ın z asociaza semnalului discret ın timp x(n) reprezentarea

sa ın planul complex X(z):

X(z) = Zx(n); x(n) = Z−1X(z);

sau

x(n)

z

←→ X(z).

Exemplul 29 .

1. Secventa x1(n) = . . . , 0, 0, 1, 1,

↑1, 0, 0, 0, 0, . . . are transformata ın z egala

cu: X1(z) = z + 1 + z−1;

2. Secventa x2(n) = . . . , 0, 0, 0, 1,

↑1, 1, 0, 0, 0, . . . are transformata ın z egala

cu: X2(z) = 1 + z−1 + z−2;

3. Secventa x3(n) = . . . , 0, 0, 1, 2, 3, 2,

↑1, 0, 0, . . . are transformata ın z egala

cu: X3(z) = z3 + 2z2 + 3z + 2 + z−1.

4. Secventa x4(n) = 0, 5nu(n) are transformata ın z egala cu:

X(z) =∞∑

n=0

0, 5nz−n =1

1− 0, 5z−1.

Poate ar fi binevenit de la ınceput sa subliniem ca secventa x(n) poate fi identificata

foarte usor din transformata sa ın z, daca X(z) este sub forma unei serii de puteri. Intr-

adevar x(n) nu este altceva decat coeficientul termenului z−n.

Exemplul 30 .Sa consideram urmatoarea transformata ın z:

X(z) = ln(1 + az−1),

4.1 Transformata ın z bilaterala 121

care pentru |z| > |a| devine:

X(z) =∞∑

n=1

(−1)n+1an

nz−n,

unde am aplicat dezvoltarea ın serie de puteri:

ln(1 + t) =∞∑

n=1

(−1)n+1tn

n, |t| ≪ 1.

Prin urmare:

x(n) =

(−1)n+1an

n, n > 0

0, n ≤ 0.

Aceasta observatie ne va ajuta sa identificam repede secventa pondere ın cazul sis-

temelor cu raspuns finit la impuls.

Exemplul 31 .Un sistem FIR este caracterizat de o functie de sistem (pagina 137) de forma:

H(z) =M∑

k=0

bkz−k.

Deci secventa sa pondere este:

h(k) =

bk, k = 0, 1, . . . ,M ;

0, altfel.

4.1.2 Convergenta transformatei ın z

Transformata ın z directa este o serie de puteri infinita, deci aceasta exista doar pentru

acele valori pentru care aceasta serie este convergenta.

Definitia 36 .Se numeste regiunea de convergenta a lui X(z) partea din planul complex pentru care

X(z) este finita.

Tocmai din aceasta cauza vom preciza regiunea de convergenta (Region of Convergence

- ROC) de fiecare data cand vom calcula transformata ın z a unei secvente. De exemplu

pentru un semnal de durata finita, regiunea de convergenta a transformatei sale ın z este

ıntreg planul complex, exceptand eventual punctele din origine sau de la infinit.


Exemplul 32 .

• Regiunile de convergenta pentru secventele de la Exemplul 29 sunt:

1. Pentru x1(n): ıntreg planul complex exceptand originea z = 0 si punctul de la

infinit z =∞;

2. Pentru x2(n): ıntreg planul complex exceptand originea z = 0;

3. Pentru x1(n): ıntreg planul complex exceptand originea z = 0 si punctul de la

infinit z =∞;

• Regiunea de convergenta pentru secventa de la Exemplul 30 este |z| > |a|.

Si acum sa-l scriem pe z ∈ C sub forma polara:

z = rejθ,

unde r = |z| ≥ 0 si θ = ∠z. Atunci transformata ın z este:

X(z) =∞∑

n=−∞x(n)z−n =

∞∑

n=−∞x(n)r−ne−jθn

si modulul sau poate fi scris:

|X(z)| = |∞∑

n=−∞x(n)r−ne−jθn| ≤

∞∑

n=−∞|x(n)r−n|.

Deci pentru ca transformata ın z a lui x(n) sa existe, este suficient ca secventa x(n)r−n

sa fie absolut sumabila. Vom detalia membrul drept din suma anterioara:

∞∑

n=−∞|x(n)r−n| =

−1∑

n=−∞|x(n)|r−n +

∞∑

n=0

|x(n)|r−n=∞∑

n=1

|x(−n)|rn +∞∑

n=0

|x(n)|r−n.

Pentru ca X(z) sa convearga ıntr-o anumita regiune de convergenta, ambele serii din

membrul drept al relatiei anterioare trebuie sa fie finite:

1. Prima serie este convergenta pentru toate punctele din interiorul unui cerc de raza

r1 (fig. 4.1).

2. A doua serie este convergenta pentru punctele din exteriorul unui cerc de raza r2

(fig. 4.2).


r1

Im(z)

Re(z)

Figura 4.1: Regiunea de convergenta pentru prima serie

Prin urmare pentru convergenta lui X(z) trebuie ındeplinite ambele conditii, astfel ca

ın caz general regiunea de convergenta este un inel ın planul z: r2 < r < r1 (fig. 4.3).

Rezulta ca:

Propozitia 4 .

• Un semnal cauzal va avea regiunea de convergenta exteriorul unui cerc de raza r2;

• Un semnal anticauzal va avea regiunea de convergenta interiorul unui cerc de raza

r1;

• Un semnal de durata (−∞,∞) va avea regiunea de convergenta un inel ın planul z:

r2 < r < r1;

• Un semnal discret ın timp este unic determinat de transformata sa ın z si de regiunea

ei de convergenta.

Exemplul 33 .Vom calcula acum transformatele ın z pentru secventele:

1. x1(n) = anu(n);

2. x2(n) = −bnu(−n− 1).

si vom preciza regiunile lor de convergenta.


r2

Im(z)

Re(z)

Figura 4.2: Regiunea de convergenta pentru a doua serie

Rezolvare:

1. Pentru x1(n) = anu(n) transformata ın z este:

X1(z) =∞∑

n=−∞anu(n)z−n =

∞∑

n=0

anz−n =1

1− az−1,

daca |az−1| < 1. Rezulta ca regiunea de convergenta a lui X1(z) este exteriorul unui

cerc de raza r1 = |a| (fig. 4.2).

2. Daca x2(n) = −bnu(−n− 1), atunci transformata sa ın z este:

X2(z) =∞∑

n=−∞[−bnu(−n− 1)]z−n

−n←n︷︸︸︷= −

∞∑

n=1

(1

b)nzn = −z

b

1

1− zb−1=

1

1− bz−1.

Precedenta egalitate este valabila daca |bz−1| > 1. Rezulta ca regiunea de convergenta

a lui X2(z) este interiorul unui cerc de raza r2 = |b| (fig. 4.1).

4.1.3 Transformata ın z inversa

Orice transformata corect definita implica doua formule: una pentru calculul transfor-

matei directe si alta pentru calculul transformatei inverse. Imediat dupa introducerea


r1

r2

Im(z)

Re(z)

Figura 4.3: Regiunea de convergenta r2 < r < r1 pentru X(z)

transformatei directe ın z suntem obligati sa precizam si modalitatea de obtinere a trans-

formatei ın z inverse. O astfel de formula se poate obtine cu ajutorul teoremei de integrare

a lui Cauchy cunoscuta din cartile sau de la cursurile unde s-au ınvatat elementele de teo-

ria functiilor de variabila complexa.

Teorema 11 .Transformata ın z inversa este data de formula:

x(n) =1

2πj

∮

C

X(z)zn−1 dz. (4.2)

Demonstratie:

Pornim direct de la definitie (4.1):

X(z) =∞∑

k=−∞x(k)z−k

si multiplicam ambii termeni ai ecuatiei precedente cu zn−1, dupa care integram pe un

contur ınchis C din regiunea de convergenta care ınconjoara originea (fig.4.4). Astfel

avem:∮

C

X(z)zn−1 dz =

∮

C

∞∑

k=−∞x(k)z−kzn−1 dz.

Schimbam ın membrul drept ordinea dintre integrare si ınsumare si obtinem:∮

C

∞∑

k=−∞x(k)zn−1−k dz =

∞∑

k=−∞x(k)

∮

C

zn−1−k dz.


C

r1

r2

Im(z)

Re(z)

Figura 4.4: Regiunea de convergenta r2 < r < r1 pentru X(z)

Reamintim ca teorema de integrare a lui Cauchy ne furnizeaza rezultatul integralei din

membrul drept, deoarece:

1

2πj

∮

C

zn−1−k dz =

1, k = n;

0, k 6= n.

pe orice contur din regiunea de convergenta care ınconjoara originea. Astfel avem:

x(k) =1

2πj

∮

C

X(z)zk−1 dz,


Desi formula anterioara ne furnizeaza relatia de calcul a secventei x(n) din X(z) cu

ajutorul transformatei ın z inverse, ın general vom evita utilizarea acestei metode. In mod

obisnuit avem de a face cu secvente si sisteme descrise ın domeniul z prin functii rationale

si pentru aflarea transformatelor ın z inverse ale acestora vom detalia ın sectiunea 4.4 alte

modalitati mai simple de calcul.

4.1.4 Relatia dintre transformata Fourier si transformata ın z

Ne propunem acum sa stabilim relatia dintre transformata Fourier si transformata ın z a

unei secvente x(n).


Transformata ın z a unei secvente x(n) a fost definita prin:

X(z) =∞∑

n=−∞x(n)z−n,

unde regiunea de convergenta a lui x(z) este r2 < |z| < r1. Si acum vom scrie z ∈ C sub

forma polara:

z = rejω,

unde r = |z| ≥ 0 si ω = ∠z. Prin urmare ın interiorul regiunii de convergenta a lui X(z)

obtinem:

X(z)|z=rejω =∞∑

n=−∞x(n)r−ne−jωn.

Relatia anterioara ne sugereaza ca X(z) poate fi interpretata ca si transformata Fourier a

semnalului discret ın timp x(n)r−n. Mai mult chiar, daca X(z) este convergenta pe cercul

|z| = 1, atunci:

X(z)|z=ejω =∞∑

n=−∞x(n)e−jωn.

Prin urmare transformata Fourier a unei secvente poate fi considerata ca si transformata

ın z evaluata pe cercul unitate.

Observatia 21 .

1. Exista secvente pentru care transformata ın z exista, dar pentru care transformata

Fourier nu exista.

2. Existenta transformatei ın z nu asigura neaparat existenta transformatei Fourier.

De exemplu x1(n) = 2nu(n) este un semnal discret ın timp, cauzal, care are transfor-

mata ın z pentru |z| > 2, deci transformata sa Fourier nu exista.

Pe de alta parte, daca alegem:

x2(n) =

1

2, n = 0;

sinπ

2n

πn , n 6= 0

atunci avem transformata sa Fourier (Exemplul 20):

X2(ω) =

1, |ω| ≤ π2;

0, π2< |ω| ≤ π.

Dar aceasta secventa nu are transformata ın z [15].


4.1.5 Proprietatile transformatei ın z

Amintim cateva proprietati mai importante ale transformatei ın z. Acestea sunt:

• Liniaritatea tranformatei ın z

Daca:

X1(z) = Zx1(n), z ∈ ROC1,

si

X2(z) = Zx2(n), z ∈ ROC2,

atunci

a1X1(z) + a2X2(z) = Za1x1(n) + a2x2(n), z ∈ ROC1

⋂

ROC2.

Consideram demonstratia acestei proprietati ca si evidenta.

Prin urmare transformata ın z este un operator liniar, adica transforma o combinatie

liniara de secvente ıntr-o combinatie liniara a transformatelor respective. Aceasta pro-

prietate este foarte importanta deoarece cu ajutorul ei se poate realiza studiul sistemelor

liniare utilizand transformata ın z.

Exemplul 34 .Vom calcula transformatele ın z pentru secventele:

1. x1(n) = anu(n) + bnu(−n− 1);

2. x2(n) = (cosω0n)u(n);

3. x3(n) = (sinω0n)u(n);

Rezolvare:

Aplicand rezultatele de la Exemplele 29 si 30, se obtine:

1. Pentru x1(n) = anu(n) + bnu(−n− 1), avem:

X1(z) =1

1− az−1+

1

1− bz−1,

regiunea de convergenta fiind |a| < |z| < |b| sau multimea vida.

2. Pentru x2(n) = (cosω0n)u(n), din

x2(n) = (cosω0n)u(n) =ejω0n + ejω0n

2u(n),

avem

X2(z) =0, 5

1− ejω0z−1+

0, 5

1− e−jω0z−1=

1− z−1 cosω0

1− 2z−1 cosω0 + z−2,

regiunea de convergenta fiind |z| > 1.


3. Pentru x3(n) = (sinω0n)u(n), din:

x3(n) = (sinω0n)u(n) =ejω0n − ejω0n

2ju(n),

avem

X3(z) =0, 5j

1− ejω0z−1− 0, 5j

1− e−jω0z−1=

z−1 sinω0

1− 2z−1 cosω0 + z−2,

regiunea de convergenta fiind |z| > 1.


Daca:

X(z) = Zx(n), z ∈ ROC

si k ∈ Z, atunci

Zx(n− k) = z−kX(z), z ∈ ROC. (4.3)

Demonstratie:

Zx(n− k) =∞∑

n=−∞x(n− k)z−n

n−k←p︷︸︸︷=

∞∑

p=−∞x(p)z−(p+k) =

= z−k∞∑

p=−∞x(p)z−p = z−kX(z).

Exemplul 35 .Vom afla acum transformata ın z a secventei x(n) = u(n)− u(n−N).

Rezolvare:

Avem:Zx(n) = Z[u(n)− u(n−N)] = Zu(n) − Zu(n−N) =

=1

1− z−1− z−N

1

1− z−1=

1− z−N

1− z−1,

regiunea1 de convergenta fiind |z| > 1.

• Scalarea ın domeniul z

1Este usor de observat ca x(n) = 1 doar daca n = 0, 1, . . . , N − 1 si prin urmare X(z) = 1 + z−1 +

· · ·+z−N , deci ROC este C∗. Pe de alta parte utilizarea unor proprietati ale transformatei Fourier reduce

ROC la |z| > 1.


Daca:

X(z) = Zx(n), r1 < |z| < r2

si a ∈ C, atunci

Zanx(n) = X(a−1z), |a|r1 < |z| < |a|r2.

Demonstratie:

Zanx(n) =∞∑

n=−∞anx(n)z−n =

∞∑

n=−∞x(n)(a−1z)−n = X(a−1z).

Exemplul 36 .Vom calcula transformatele ın z ale secventelor:

1. x1(n) = an(cosω0n)u(n);

2. x1(n) = an(sinω0n)u(n);

Rezolvare:

Aplicand rezultatele de la Exemplul 34 si scalarea ın domeniul z rezulta:

1. Pentru x1(n) = an(cosω0n)u(n):

X1(z) =1− az−1 cosω0

1− 2az−1 cosω0 + a2z−2,

regiunea de convergenta fiind |z| > |a|.

2. Pentru x2(n) = an(sinω0n)u(n):

X3(z) =az−1 sinω0

1− 2az−1 cosω0 + a2z−2,


• Reflexia (inversarea timpului)

Daca:

X(z) = Zx(n), r1 < |z| < r2,

atunci

Zx(−n) = X(z−1),1

r2< |z| < 1

r1.


Demonstratie:

Zx(−n) =∞∑

n=−∞x(−n)z−n

−n←n︷︸︸︷=

∞∑

n=−∞x(n)zn = X(z−1).

• Diferentierea ın domeniul z

Daca:

X(z) = Zx(n), z ∈ ROC,

atunci

Znx(n) = −z dX(z)

dz, z ∈ ROC.

Demonstratie:

Znx(n) =∞∑

n=−∞nx(n)z−n = −z

∞∑

n=−∞x(n)(−nz−n−1) =−z

∞∑

n=−∞x(n)

d(z−n)

dz

si dupa ce schimbam ordinea dintre ınsumare si derivare, obtinem:

Znx(n) = −z∞∑

n=−∞x(n)

d(z−n)

dz= −z

d

( ∞∑

n=−∞x(n)z−n

)

dz= −z dX(z)

dz,


Exemplul 37 .Ne propunem sa calculam transformata ın z a secventei x(n) = nanu(n).

Rezolvare:

Aplicand rezultatele de la Exemplul 33 si diferentierea ın domeniul z rezulta:

Znanu(n) = −z d [Zanu(n)]dz

= −zd

[1

1− az−1

]

dz=

az−1

(1− az−1)2,


• Convolutia a doua secvente


Daca:

X1(z) = Zx1(n), z ∈ ROC1

si

X2(z) = Zx2(n), z ∈ ROC2,

atunci

X1(z)X2(z) = Zx1(n) ∗ x2(n), z ∈ ROC1

⋂

ROC2. (4.4)

Demonstratie:

Pornim direct de la definitiile transformatei ın z si a convolutiei dintre doua semnale

discrete ın timp:

Zx1(n) ∗ x2(n) =∞∑

n=−∞x1(n) ∗ x2(n)z

−n =∞∑

n=−∞

( ∞∑

k=−∞x1(k)x2(n− k)

)

z−n,

dupa care schimbam ordinea dintre sume:

∞∑

n=−∞

( ∞∑

k=−∞x1(k)x2(n− k)

)

z−n=∞∑

k=−∞x1(k)

( ∞∑

n=−∞x2(n− k)z−n+k

)

z−k

n−k←n︷︸︸︷=

∞∑

k=−∞x1(k)

( ∞∑

n=−∞x2(n)z

−n

)

z−k= X2(z)∞∑

k=−∞x1(k)z

−k = X1(z)X2(z),


Aceasta teorema este un rezultat teoretic important ın analiza sistemelor liniare si

invariante ın timp, astfel aratandu-se ca unei convolutii ın domeniul timp ıi corespunde

multiplicarea transformatelor ın z. De asemenea, aceasta proprietate ne prezinta o modal-

itate de calcul foarte utila ın aplicatii, fiind la baza multor implementari ın prelucrarea

numerica a semnalelor.

Exemplul 38 .Vom afla acum convolutia secventelor aperiodice:

x1(n) = . . . , 0, 0, 1, 1,

↑1, 0, 0, 0, 0, . . .

si

x2(n) = . . . , 0, 0, 0, 1,

↑1, 1, 0, 0, 0, . . ..


Rezolvare:

Avem:

X1(z) = z + 1 + z−1

si

X2(z) = 1 + z−1 + z−2,

deci

X1(z)X2(z) = z + 2 + 3z−1 + 2z−2 + z−3.

prin urmare:

(x1 ∗ x2)(n) = . . . , 0, 1, 2, 3,

↑2, 1, 0, . . ..

• Corelatia a doua secvente

Daca:

X1(z) = Zx1(n), z ∈ ROC1

si

X2(z) = Zx2(n), z ∈ ROC2,

atunci

X1(z)X2(z−1) = Zrx1x2(l), z ∈ ROC1

⋂

ROC2.

Demonstratia acestei proprietati rezulta din proprietatea anterioara, din relatia dintre

convolutie si corelatie (2.16) si reflexia timpului.

• Multiplicarea a doua secvente

Daca:

X1(z) = Zx1(n), r1 < |z| < r2,

X2(z) = Zx2(n), R1 < |z| < R2

si x(n) = x1(n)x2(n), atunci

X(z) = Zx1(n)x2(n) =1

2πj

∮

C

X1(v)X2(z

v)dv

v, r1R1 < |z| < r2R2, (4.5)

unde C este un curba ınchisa care ınconjoara originea si se afla ın regiunea comuna de

convergenta a lui X1(v) si X2(1v).


Demonstratie:

Folosim definitiile transformatei ın z si a inversei transformatei ın z (4.2):

Zx1(n)x2(n) =∞∑

n=−∞x1(n)x2(n)z

−n =∞∑

n=−∞

(1

2πj

∮

C

X1(v)vn−1 dv

)

x2(n)z−n,

dupa care schimbam ordinea dintre ınsumare si integrare:

∞∑

n=−∞

(1

2πj

∮

C

X1(v)vn−1 dv

)

x2(n)z−n=

1

2πj

∮

C

X1(v)

( ∞∑

n=−∞x2(n)v

nz−n

)

v−1 dv =,

1

2πj

∮

C

X1(v)

[ ∞∑

n=−∞x2(n)

(z

v

)−n]

v−1 dv=1

2πj

∮

C

X1(v)X2(z

v)v−1 dv,


Aceasta proprietate se reduce la:

X(ω) =1

2π

∫ π

−πX1(λ)X2(ω − λ)dλ

daca alegem z = ejω si v = ejλ ın (4.5).

De asemenea, din (4.5) avem:

Zx1(n)x∗2(n) =

1

2πj

∮

C

X1(v)X∗2 (

z

v∗)dv

v,

adica: ∞∑

n=−∞x1(n)x

∗2(n)z

−n =1

2πj

∮

C

X1(v)X∗2 (

z

v∗)dv

v.

Facem z = 1 si astfel am obtinut teorema lui Parseval pentru transformata ın z:

Teorema 12 .Daca x1(n) si x2(n) sunt doua secvente de numere complexe, atunci

∞∑

n=−∞x1(n)x

∗2(n) =

1

2πj

∮

C

X1(v)X∗2 (

1

v∗)dv

v, (4.6)

ın aceleasi conditii ca si la multiplicarea a doua secvente.

Daca v = ejω, atunci (4.6) se reduce la:

∞∑

n=−∞x1(n)x

∗2(n) =

1

2π

∫ π

π

X1(ω)X∗2 (ω)dω,

4.2 Functii de sistem 135

x(n) X(z) ROC

δ(n) 1 z ∈ C

u(n)1

1− z−1|z| > 1

anu(n)1

1− az−1|z| > |a|

nanu(n)az−1

(1− az−1)2|z| > |a|

Tabelul 4.1: Semnale discrete ın timp si cauzale ımpreuna cu transformatele lor ın z

adica relatia lui Parseval (3.20) pentru transformata Fourier a secventelor aperiodice de

la pagina 106.

Pentru un semnal discret ın timp x(n) si cauzal (x(n) = 0, n < 0), transformata sa ın

z se simplifica:

X(z) =∞∑

n=0

x(n)z−n = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + x(3)z−3 + · · ·

Daca z →∞ , atunci avem teorema valorii initiale:

x(0) = limz→∞

X(z).

In tabelele 4.1, 4.2 si 4.3 prezentam transformatele ın z cele mai des folosite ın

prelucrarea numerica a semnalelor.

4.2 Functii de sistem

Transformata ın z ne permite sa stabilim o noua legatura ıntre intrarea unui sistem si

raspunsul acestuia la semnale discrete ın timp. Luand ın considerare teorema convolutiei


x(n) X(z) ROC

−anu(−n− 1)1

1− az−1|z| < |a|

−nanu(−n− 1)az−1

(1− az−1)2|z| < |a|

Tabelul 4.2: Semnale discrete ın timp si anticauzale ımpreuna cu transformatele lor ın z

x(n) X(z) ROC

(cosω0n)u(n)1− z−1 cosω0

1− 2z−1 cosω0 + z−2|z| > 1

(sinω0n)u(n)z−1 sinω0

1− 2z−1 cosω0 + z−2|z| > 1

an(cosω0n)u(n)1− az−1 cosω0

1− 2az−1 cosω0 + a2z−2|z| > |a|

an(sinω0n)u(n)az−1 sinω0

1− 2az−1 cosω0 + a2z−2|z| > |a|

Tabelul 4.3: Secvente sinusoidale cauzale ımpreuna cu transformatele lor ın z

de la transformata ın z (pagina 132) si cu referire la figura 4.5, rezulta echivalenta data

de relatia:

y(n) = h(n) ∗ x(n)⇔ Y (z) = H(z)X(z), (4.7)

unde:

4.2 Functii de sistem 137

x(n) h(n)

y(n) ⇔

X(z) H(z)

Y (z)

Figura 4.5: Echivalenta dintre secventa pondere si functia de sistem

Definitia 37 .Se numeste functie de sistem2 pentru un sistem discret liniar si invariant ın timp trans-

formata ın z a secventei pondere:

H(z) = Zh(k).

Functia de sistem H(z) reprezinta caracterizarea ın domeniul z a sistemului, asa cum

secventa pondere h(n) caracterizeaza sistemul ın domeniul timp si asa cum raspunsul la

frecventa H(ω) o face la randul lui ın domeniul frecventa.

Functia de sistem poate fi calculata si daca se cunoaste o singura pereche intrare -

iesire, care poate sa nu fie neaparat perechea impuls unitate - secventa pondere:

H(z) =Y (z)

X(z). (4.8)

In cazul sistemelor discrete liniare si invariante ın timp relatia de intrare - iesire se

poate scrie sub forma (pagina 39):

y(n) = −N∑

k=1

aky(n− k) +M∑

k=0

bkx(n− k),

adica o ecuatie cu diferente finite si cu coeficienti constanti. Daca aplicam transformata

ın z ın ambii termeni ai egalitatii precedente si utilizam proprietatile translatiei ın timp

(4.3), rezulta:

Y (z) = −N∑

k=1

akz−kY (z) +

M∑

k=0

bkz−kX(z),

deci

H(z) =Y (z)

X(z)=

M∑

k=0

bkz−k

1 +N∑

k=1

akz−k

. (4.9)

2Uneori o vom numi si functia sistemului.


Am obtinut:

Teorema 13 .Functia de sistem pentru un sistem liniar si invariant ın timp, descris de o ecuatie cu

diferente finite si cu coeficienti constanti, este o functie rationala.

Distingem urmatoarele cazuri particulare:

1. ak = 0, k = 1, 2, . . . , N , deci

H(z) =M∑

k=0

bkz−k = z−M

M∑

k=0

bkzM−k.

In acest caz H(z) va contine M zerouri, determinate de parametrii bk ai sistemului.

In plus exista un pol de ordin M ın origine. Deoarece sistemul are numai poli banali

z = 0 si M zerouri netriviale, ıl vom numi sistem (numai) cu zerouri. Astfel de

sisteme sunt cele FIR sau cu medie alunecatoare (Moving Average - MA).

2. bk = 0, k = 1, 2, . . . ,M , atunci

H(z) =b0

1 +N∑

k=1

akz−k

=b0z

N

1 +N∑

k=1

akzN−k

.

H(z) are N poli determinati de parametrii sistemului ak si un zerou de ordin N ın

origine. Un astfel de sistem ıl vom numi sistem numai cu poli. Datorita prezentei

polilor, raspunsul la impuls este infinit ın durata si deci clasa aceasta cuprinde numai

sisteme IIR. Astfel de sisteme sunt cele autoregresive (Autoregressive - AR).

3. Cazul general:

H(z) =

M∑

k=0

bkz−k

1 +N∑

k=1

akz−k

este alcatuit din sisteme pol - zerouri cu N poli si M zerouri. Polii si zerourile de la

z = 0 si de la z = ∞ sunt subıntelesi, deci nenumarati. Datorita prezentei polilor,

un sistem pol - zerouri contine numai sisteme IIR. Sisteme acestea se mai numesc

autoregresive si cu medie alunecatoare (Autoregressive Moving Average - ARMA)

4.3 Functii rationale ın z 139

4.3 Functii rationale ın z

Din tabelele 4.1, 4.2 si 4.3 deducem ca dintre cele mai des folosite transformate ın z ın

prelucrarea numerica a semnalelor sunt cele reprezentate sub forma de functie rationala.

Definitia 38 .Se numeste functie rationala un raport de doua polinoame ın z−1:

X(z) =b0 + b1z

−1 + · · ·+ bMz−M

a0 + a1z−1 + · · ·+ aNz−N=

M∑

k=0

bkz−k

N∑

k=0

akz−k

. (4.10)

Cand a0 6= 0 si b0 6= 0, putem factoriza X(z) sub forma:

X(z) =b0a0

zN−M

M∑

k=0

bkzM−k

N∑

k=0

akzN−k

=b0a0

zN−M

M∏

k=1

(z − zk)

N∏

k=1

(z − pk)

.

Astfel X(z) se anuleaza pentru z = zk, k = 1, 2, . . . ,M . De asemenea X(z) este infinita

pentru z = pk, k = 1, 2, . . . , N .

Definitia 39 .Daca X(zk) = 0, atunci zk este un zerou al functiei rationale X(z).

Daca X(pk) =∞, atunci pk este un pol al functiei rationale X(z).

Prin urmare pentru functia rationala data de (4.10) avem M zerouri finite: z1, z2, . . . ,

zM si N poli finiti: p1, p2, . . . , pN . In plus gasim ıntotdeauna alte |N −M | puncte criticeın origine. Acestea sunt:

• N −M zerouri, daca N > M , sau

• M −N poli, daca M > N .

Observatia 22 .Folosind simbolurile consacrate din teoria sistemelor:

1. Un zerou se deseneaza ın planul complex prin .

2. Un pol se deseneaza ın planul complex prin ×.


x

a

× ×

Im(z)

Re(z)

Figura 4.6: Configuratia poli-zerouri pentru transformata ın z de la Exemplul 39

Exemplul 39 .Pentru x(n) = an(cosω0n)u(n) am obtinut (Exemplul 36):

X(z) =1− az−1 cosω0

1− 2az−1 cosω0 + a2z−2=

z(z − a cosω0)

z2 − 2az cosω0 + a2,

regiunea de convergenta fiind |z| > |a|. Vom avea astfel doua zerouri pe axa reala z1 = 0,

z2 = a cosω0 si doi poli la p1,2 = ae±jω0 pe cercul de raza r = a, asa cum sunt prezentati

ın figura 4.6.

4.4 Calculul inversei transformatei ın z pentru functii

rationale

In principiu exista trei metode diferite pentru calculul inversei transformatei ın z:

• Calculul cu ajutorul relatiei de la definitia transformatei ın z inversa (4.2):

x(n) =1

2πj

∮

C

X(z)zn−1 dz;

• Dezvoltarea ın serii de termeni utilizand variabilele z si z−1;

• Dezvoltarea ın fractii simple si utilizarea tabelelor cu formule, cum sunt tabelele 4.1, 4.2

si 4.3.

4.4 Calculul inversei transformatei ın z 141

Prima metoda se bazeaza pe teorema reziduurilor a lui Cauchy si nu este folosita

prea des ın implementari. Necesita evaluarea integralei complexe si probabil aceste este

motivul pentru care este evitata ın mod obisnuit. Mai mult ultimele doua modalitati de

calcul sunt preferate, fiindca dezvoltarea algoritmilor numerici este mult mai usoara.

4.4.1 Calculul cu ajutorul relatiei de la definitia transformatei

ın z inversa

Reamintim pentru ınceput o formulare a teoremei reziduurilor a lui Cauchy, adecvata

scopurilor noastre:

Teorema 14 .Fie f(z) o functie de variabila complexa si C o curba ınchisa ın planul z.

Daca derivatadf(z)

dzexista pe si ın interiorul curbei C, si daca f(z) nu are un pol ın

z = z0, atunci:

1

2πj

∮

C

f(z)

z − z0dz =

f(z0), z0 este in interiorul lui C;

0, z0 nu este in interiorul lui C.(4.11)

Daca derivata a (k + 1)-a a lui f(z) exista pe si ın interiorul curbei C, si daca f(z) nu

are un poli ın z = z0, atunci:

1

2πj

∮

C

f(z)

(z − z0)kdz =

1

(k − 1)!dk−1f(z)dzk−1

|z=z0 , z0 este in interiorul lui C;

0, z0 nu este in interiorul lui C.

(4.12)

Definitia 40 .Valorile din membrul drept al ecuatiilor (4.11) si (4.12) se numesc reziduurile lui f(z)

ın punctul z = z0.

Acum sa presupunem ca avem ca si integrand expresiaf(z)

g(z), unde f(z) nu are poli ın

interiorul conturului C si g(z) este un polinom cu radacini distincte si simple: z1, z2, . . . ,

zn din interiorul lui C. Atunci:

1

2πj

∮

C

f(z)

g(z)dz =

1

2πj

∮

C

[n∑

i=1

Ai(z)

z − zi

]

dz =

n∑

i=1

1

2πj

[∮

C

Ai(z)

z − zidz

]

=n∑

i=1

Ai(zi),


unde

Ai(z) = (z − zi)f(z)

g(z).

Valorile Ai(zi), i = 1, 2, . . . , n sunt reziduurile ın polii corespunzatori z = zi, i =

1, 2, . . . , n.

Daca g(z) are radacini multiple, atunci se procedeaza analog utilizand formula (4.12).

Exemplul 40 .Vom afla acum inversele urmatoarelor transformate ın z:

1.

X1(z) =1

(z − 0, 25)(z − 0, 5), |z| > 0, 5;

2.

X2(z) =z2

(z − 0, 5)2, |z| > 0, 5.

Rezolvare:

1. Pentru X1(z) distingem doua cazuri:

• n = 0:

x(0) =1

2πj

∮

C

X(z)z−1 dz =3∑

i=1

Ai(zi),

unde

Ai(z) =z − zi

z(z − 0, 25)(z − 0, 5).

Prin urmare:

x1(0) =1

(z − 0, 25)(z − 0, 5)|z=0 +

1

z(z − 0, 5)|z=0,25+

1

z(z − 0, 25)|z=0,5 = 0.

• n > 0:

x1(n) =1

2πj

∮

C

X1(z)zn−1 dz =

2∑

i=1

Ai(zi),

unde acum:

Ai(z) =(z − zi)

n−1

(z − 0, 25)(z − 0, 5).


Prin urmare:

x1(n) =zn−1

z − 0, 5|z=0,25 +

zn−1

z − 0, 25|z=0,5 = 8 · 0, 5n − 16 · 0, 25n.

Deci x1(n) = (8 · 0, 5n − 16 · 0, 25n)u(n).

2. Pentru ınceput calculam doar pe X2(z)zn−1 = zn+1(z − 0, 5)−2. Apoi utilizand

(4.12) avem:

x2(n) =1

2πj

∮

C

X2(z)zn−1 dz =

1

2πj

∮

C

zn+1

(z − 0, 5)2dz =

= limz→0,5

d

dz[(z − 0, 5)2X2(z)z

n−1] = limz→0,5

d

dz[zn+1] = (n+ 1)0, 5n.

4.4.2 Inversa transformatei ın z prin dezvoltarea ın serii de ter-

meni utilizand variabilele z si z−1

Aceasta metoda se bazeaza pe urmatorii pasi:

1. Se da:

• X(z) - transformata ın z;

• ROC - regiunea sa de convergenta corespunzatoare.

2. Peste aceasta multime (ROC) se dezvolta X(z) ın serie de puteri:

X(z) =∞∑

n=−∞cnz−n;

3. Se identifica coeficientii cn cu esantioanele x(n).

Aceasta metoda este avantajoasa cand vrem sa determinam un numar mic de esantioane.

Exemplul 41 .Sa se determine primele 4 esantioane nenule ale secventelor cu transformata ın z:

1. X1(z) =z2

1− 0, 5z−1, |z| > 0, 5;

2. X2(z) =0, 5z

1− 1, 5z, |z| < 1

1, 5.

Rezolvare:


1. Avem pentru 0, 5|z|−1 < 1:

X1(z) =z2

1− 0, 5z−1=

= z2 (1 + 0, 5z−1 + 0, 25z−2 + 0, 125z−3 + 0, 0625z−4 + · · ·) =

= z2 + 0, 5z3 + 0, 25z0 + 0, 125z−1 + 0, 0625z−2 + · · ·

deci

x1(n) =

. . . , 0, 0, 0, 1,1

2, (

1

2)2,

↑(1

2)3, (

1

2)4, . . .

.

2. Cand 1, 5|z| < 1, atunci:

X2(z) =0, 5z

1− 1, 5z=

= 0, 5z (1 + 1, 5z1 + 2, 25z2 + 3, 375z3 + 5, 0625z4 + · · ·) =

= 0, 5z + 0, 75z2 + 1, 125z2 + 1, 6875z3 + 2, 5312z4 + · · ·

deci

x2(n) =

. . . ,

1

2· (32)4,

1

2· (32)3,

1

2· (32)2,

1

2· 32,1

2, 0,

↑0, 0, . . .

.

4.4.3 Inversa transformatei ın z prin dezvoltarea ın fractii sim-

ple si utilizarea tabelelor cu formule

In aceasta situatie vom proceda astfel:

1. Vom scrie transformata X(z) sub forma:

X(z) = α1X1(z) + α2X2(z) + · · ·+ αKXK(z),

unde perechile de transformate ın z

xi(n)

z

←→ Xi(z), i = 1, 2, . . . ,K,

sunt disponibile ıntr-un tabel.


2. De aici va rezulta secventa x(n):

x(n) = α1x1(n) + α2x2(n) + · · ·+ αKxK(n).

Aceasta metoda este utila daca X(z) este o functie rationala:

X(z) =

M∑

k=0

bkz−k

1 +N∑

k=1

akz−k

.

Definitia 41 .O functie rationala este proprie daca aN 6= 0 si M < N .

O functie rationala este improprie daca M ≥ N .

Observatia 23 .O functie rationala proprie are mai putine zerouri finite decat poli finiti.

O functie rationala improprie este suma dintre un polinom si o functie rationala proprie.

In cele ce urmeaza ne vom ocupa numai de functii rationale proprii, fiindca transformata

ın z inversa pentru cele improprii se reduce simplu la acest caz. Avem:

X(z) =b0 + b1z

−1 + · · ·+ bMz−M

1 + a1z−1 + · · ·+ aNz−N=

b0zN + b1z

N−1 + · · ·+ bMzN−M

zN + a1zN−1 + · · ·+ aN.

Cum M < N , putem scrie:

X(z)

z=

b0zN−1 + b1z

N−2 + · · ·+ bMzN−M−1

zN + a1zN−1 + · · ·+ aN. (4.13)

In continuare vom dezvolta X(z)/z ın fractii simple. Avem urmatoarele posibilitati:

• Poli distincti: p1, p2, · · · , pN .Atunci:

X(z)

z=

A1

z − p1+

A2

z − p2+ · · ·+ AN

z − pN, (4.14)

unde coeficientii Ak, k = 1, 2, . . . , N se determina astfel:

– Rezolvand sistemul rezultat prin aducerea la numitor comun a expresiei din

membrul drept al egalitatii (4.14) si identificarea coeficientilor numaratorului

acesteia cu coeficientii numaratorului din (4.13);


– Aplicand relatia:

Ak =(z − pk)X(z)

z|z=pk , k = 1, 2, . . . , N.

De remarcat ca daca coeficientii numitorului si numaratorului sunt reali: ak, bk ∈ R,

atunci vom avea perechi de poli complex conjugati: pk, p∗k si coeficientii de la numarator

vor putea fi la fel perechi de numere complex conjugate: Ak, A∗k.

Din (4.14) avem:

X(z) =A1

1− p1z−1+

A2

1− p2z−1+ · · ·+ AN

1− pNz−1(4.15)

si urmatoarea formula este foarte utila pentru determinarea secventei x(n) cauzale, re-

spectiv anticauzale:

Z−1

Ak

1− pkz−1

=

pnku(n), |z| > |pk|;

−pnku(−n− 1), |z| < |pk|.

De exemplu, daca suntem interesati sa aflam secventa cauzala, atunci din (4.15),

rezulta:

x(n) = (A1pn1 + A2p

n2 + · · ·+ ANp

nN)u(n),

pentru |z| > max|p1|, |p2|, . . . , |pN |. In consecinta x(n) este o suma de exponentiale, iar

polii subunitari ın modul vor genera exponentiale amortizate.

O pereche de poli complex conjugati adauga si un factor multiplicativ sinusoidal. Din

xk(n) = [Akpnk + A∗k(p

∗k)

n]u(n)

siAk = |Ak|ej∠Ak , A∗k = |Ak|e−j∠Ak ,

pk = |pk|ej∠pk , p∗k = |pk|e−j∠pk ,obtinem:

xk(n) = 2|Ak|rnk cos(∠pk · n+ ∠Ak)u(n).

• Poli multipli

Presupunem ca X(z) are un pol de multiplicitate l dat de factorul (z − pk)l. In aceasta

situatie dezvoltarea ın fractii simple a lui X(z)z

va contine suma cu termenii:

A1k

z − pk+

A2k

(z − pk)2+ · · ·+ Alk

(z − pk)l, (4.16)

4.5 Descompunerea functiilor rationale ın z 147

unde coeficientii Ask se determina cu:

Ask =1

(l − 1)!

[d(l−s)

dz(l−s)

(z − pk)

mX(z)

z

]

|z=pk , s = 1, 2, . . . ,m.

Transformatele ın z inverse ale expresiilor din membrul drept al relatiei (4.16) se pot obtine

aplicand de cateva ori teorema diferentierii ın domeniul z. Astfel pentru un semnal cauzal

avem:

Z−1

pkz−1

(1− pkz−1)2

= npnku(n), |z| > pk.

Exemplul 42 .Vom calcula transformata ın z inversa pentru:

X1(z) =z + 2

2z2 − 7z + 3; X2(z) =

z

(z − 0, 5)(z − 1)2,

stiind ca semnale sunt cauzale.

Rezolvare:

1. Deoarece:X1(z)

z=

2

3z− 1

z − 0, 5+

1

3(z − 3),

rezulta:

x1(n) =2

3δ(n)− 0, 5nu(n) +

1

3· 3nu(n).

2. Avem:X2(z)

z=

4

z − 0, 5+

2

(z − 1)2− 4

z − 1,

deci

x2(n) = (4 · 0, 5n + 2n− 4)u(n).

4.5 Descompunerea functiilor rationale ın z

Este momentul sa detaliem cateva aspecte ale descompunerii ın fractii simple a functiilor

rationale ın z. Subiectul este important la implementarea sistemelor numerice. Fie:

X(z) =

M∑

k=0

bkz−k

1 +N∑

k=1

akz−k

= b0

M∏

k=1

(1− zkz−1)

N∏

k=1

(1− pkz−1)

.

Distingem doua situatii:


• M < N : functia de sistem este o functie rationala proprie:

X(z) =A1

1− p1z−1+

A2

1− p2z−1+ · · ·+ AN

1− pNz−1

• M ≥ N : functia de sistem este o suma dintre o functie rationala proprie si un

polinom ın z:

X(z) =M−N∑

k=0

ckz−k +

A1

1− p1z−1+

A2

1− p2z−1+ · · ·+ AN

1− pNz−1

Daca polii pk ∈ R sunt reali, implementarea se poate face direct din descompunerea

ın fractii simple de forma:bk

1 + akz−1.

Daca polii pk, p∗k ∈ R sunt complex conjugati, vom evita sa facem calcule cu secvente

complexe, deoarece ın general se lucreaza mai usor cu numere reale. Asociem termenii

corespunzatori perechii respective:

Ak

1− pkz−1+

A∗k1− p∗kz

−1 =Ak + A∗k − (Akp

∗k + A∗kpk)z

−1

1− (pk + p∗k)z−1 + (pkp∗k)z

−2 =

=b0k + b1kz

−1

1 + a1kz−1 + a2kz−2,

undea1k = −2Re(pk); a2k = |pk|2;

b0k = 2Re(Ak); b1k = 2Re(Akp∗k).

Putem deci scrie (K1 + 2K2 = N):

X(z) =M−N∑

k=0

ckz−k +

K1∑

k=1

bk1 + akz−1

+

K2∑

k=1

b0k + b1kz−1

1 + a1kz−1 + a2kz−2,

ceea ce ne sugereaza o implementare a sistemului analizat sub forma unei structuri ın

paralel.

De asemenea X(z) se poate dezvolta sub forma unui produs de termeni corespunzatori

polilor reali si perechilor de poli complecsi (K1 + 2K2 = N):

X(z) = b0

M∏

k=1

(1− zkz−1)

N∏

k=1

(1− pkz−1)

= b0

K1∏

k=1

1 + dkz−1

1 + ckz−1·K2∏

k=1

1 + d1kz−1 + d2kz

−2

1 + c1kz−1 + c2kz−2,

4.6 Transformata ın z unilaterala 149

undec1k = −2Re(pk); c2k = |pk|2;d1k = −2Re(zk); d2k = |zk|2.

Acest rezultat ne ajuta cand dorim sa facem implementarea sistemului liniar si invariant

ın timp sub forma de cascada.

4.6 Transformata ın z unilaterala

Pentru x(n) o secventa data si pentru z ∈ C un punct din planul complex am introdus ın

sectiunea 4.1 transformata ın z bilaterala prin:

X(z) =∞∑

n=−∞x(n)z−n,

pe care am notat-o si prin:

X(z) = Zx(n); x(n) = Z−1X(z);

sau

x(n)

z

←→ X(z)

si care a facut obiectul studiului nostru pana acum de-a lungul acestui capitol. S-a dovedit

ca aceasta este utila ın studiul sistemelor la care se cunosc toate valorile esantioanelor pe

toata axa timpului. Daca sistemul este ınsa nerelaxat, atunci el este descris prin ecuatii

cu diferente finite si cu coeficienti constanti si are conditii initiale nenule. In acest caz

transformata ın z bilaterala nu mai poate folosita, deoarece nu are modalitati de control

asupra starii sistemului liniar si invariant ın timp. Introducem:

Definitia 42 .Transformata ın z unilaterala asociata secventei x(n)n∈Z si punctului z ∈ C este data

de seria de puteri:

X+(z) =∞∑

n=0

x(n)z−n. (4.17)

Transformata ın z unilaterala o vom nota prin:

X+(z) = Z+x(n)


sau

x(n)

z+

←→ X+(z)

Observatia 24 .

1. Este clar ca transformata ın z unilaterala difera de transformata ın z bilaterala,

ınsa amandoua coincid daca x(n) este cauzal, adica:

X+(z)|x(n) = X(z)|x(n)u(n).

2. Transformata ın z unilaterala nu contine informatii despre secventa x(n) pentru

indecsii negativi n < 0.

3. Transformata ın z unilaterala este unica doar pentru semnale cauzale.

Dintre proprietatile transformatei ın z unilaterale amintim ın mod special:


Daca:

X+(z) = Z+x(n), z ∈ ROC

si k ∈ Z, atunci

Z+x(n− k) = z−k

[

X+(z) +k∑

n=1

x(−n)zn]

, k > 0;

Z+x(n+ k) = zk

[

X+(z) +k−1∑

n=0

x(n)z−n

]

, k > 0;

(4.18)

Demonstratie:

Fie k > 0. Atunci:

Z+x(n− k) =∞∑

n=0

x(n− k)z−nn−k←p︷︸︸︷=

∞∑

p=−kx(p)z−(p+k) = z−k

∞∑

p=−kx(p)z−p =

= z−k

[

X+(z) +−1∑

p=−kx(p)z−p

] −p←n︷︸︸︷= z−k

[

X+(z) +k∑

n=1

x(−n)zn]

;

Z+x(n+ k) =∞∑

n=0

x(n+ k)z−nn+k←p︷︸︸︷=

∞∑

p=k

x(p)z−p+k = zk∞∑

p=k

x(p)z−p =

= zk

[ ∞∑

p=0

x(p)z−p −k−1∑

p=0

x(p)z−p

]

= zk

[

X+(z) +k−1∑

n=0

x(n)z−n

]

,


4.6 Transformata ın z unilaterala 151

4.6.1 Rezolvarea ecuatiilor cu diferente finite si cu coeficienti

constanti

Transformata ın z unilaterala poate fi folosita cu succes la aflarea solutiilor ecuatiilor

cu diferente finite si cu coeficienti constanti, cu conditii initiale nenule. Se reduce astfel

ecuatia cu diferente din domeniul timp la o ecuatie algebrica echivalenta ın transformate

ın z unilaterale. Un element esential la aplicarea acestei metode este utilizarea uneia

dintre proprietatile transformatei ın z unilaterale amintita anterior, si anume translatia

ın timp.

Exemplul 43 .Vom determina acum raspunsul sistemului descris de ecuatia cu diferente finite:

y(n) = (1− β)y(n− 1) + βx(n) (4.19)

la secventa treapta unitate de amplitudine α, daca avem data conditia initiala y(−1) 6= 0.

Rezolvare:

Aplicam transformata ın z la ambii membrii ai egalitatii (4.19) si dupa ce tinem cont de

proprietatile translatiei ın domeniul timp a transformatei ın z unilaterale, obtinem:

Y +(z) = (1− β)[z−1Y +(z) + y(−1)] + βX+(z).

Dar

X+(z) =∞∑

n=0

αz−n =α

1− z−1,

deci:

Y +(z)[1− (1− β)z−1] = (1− β)y(−1) + βα

1− z−1

sau

Y +(z) =(1− β)y(−1) + β

α

1− z−1

1− (1− β)z−1.

Cum: β = 1− (1− β)z−1 − (1− β)(1− z−1), din:

Y +(z) =(1− β)y(−1)1− (1− β)z−1

+βα

(1− z−1)[1− (1− β)z−1]=

=(1− β)y(−1)1− (1− β)z−1

− α

1− z−1+

α(1− β)

1− (1− β)z−1=

(1− β)[y(−1)− α]

1− (1− β)z−1+

α

1− z−1

rezulta:

y(n) = −α + (1− β)[y(−1) + α](1− β)nu(n).


4.7 Analiza sistemelor liniare si invariante ın timp ın

domeniul z

Ne propunem ın cele ce urmeaza sa discutam mai ın detaliu utilizarea functiilor de sistem

la calculul raspunsului sistemelor liniare si invariante ın timp la o excitatie oarecare. Ne

vom concentra atentia atat asupra sistemelor relaxate, cat si a celor cu conditii initiale

nenule. Ne vom rezuma doar la clasa sistemelor liniare si invariante ın timp descrise prin

functii de sistem rationale, cea mai des ıntalnita situatie ın implementari.

4.7.1 Raspunsul sistemelor liniare, invariante ın timp si relaxate

In cazul sistemelor discrete liniare si invariante ın timp relatia de intrare - iesire se poate

scrie sub forma (pagina 39):

y(n) = −N∑

k=1

aky(n− k) +M∑

k=0

bkx(n− k),

adica o ecuatie cu diferente finite si cu coeficienti constanti.

Daca aplicam transformata ın z ın ambii termeni ai egalitatii precedente si utilizam

proprietatile translatiei ın timp (4.3), rezulta pentru functia de sistem (fig. 4.5) H(z) o

reprezentare sub forma de functie rationala:

H(z) =

M∑

k=0

bkz−k

1 +N∑

k=1

akz−k

=B(z)

A(z),

unde B(z) si A(z) sunt polinoamele corespunzatoare numaratorului si respectiv numi-

torului functiei de sistem. Din tabelele 4.1, 4.2 si 4.3 am dedus ca dintre cele mai des

folosite transformatele ın z ın prelucrarea numerica a semnalelor sunt cele reprezentate

sub forma de functie rationala:

X(z) =P (z)

Q(z),

unde prin P (z) si respectiv Q(z) am notat polinoamele corespunzatoare numaratorului si

respectiv numitorului transformatei ın z a intrarii. Aceasta conditie este relativ nerestric-

tiva, deoarece majoritatea semnalelor discrete ın timp au transformata ın z de aceasta

forma. Prin urmare ın analiza noastra vom lua ın discutie doar aceasta situatie.

4.7 Analiza sistemelor liniare si invariante ın timp ın domeniul z 153

Daca sistemul este initial relaxat, adica daca conditiile initiale pentru ecuatia cu

diferente finite si cu coeficienti constanti sunt zero:

y(−1) = y(−2) = · · · = y(−N) = 0,

putem utiliza transformata ın z pentru calculul raspunsului sistemului liniar si invariant

ın timp la o excitatie oarecare:

Y (z) = H(z)X(z) =B(z)

A(z)· P (z)

Q(z).

Presupunerea 1 .

1. pi, i = 1, 2, . . . , N sunt polii lui H(z);

2. qk, k = 1, 2, . . . , L sunt polii lui X(z);

3. pi 6= qk, ∀i = 1, 2, . . . , N si ∀k = 1, 2, . . . , L.

Prin ultima presupunere solicitam ca zerourile numaratoarelor B(z) si P (z) sa nu coincida

cu polii functiilor de sistem. Astfel nu exista perechi poli - zerouri care trebuie simplificati,

adica am ajuns la o forma ireductibila.

Putem acum sa dezvoltam transformata ın z a iesirii ın fractii simple:

Y (z) =N∑

k=1

Ak

1− pkz−1+

L∑

k=1

Qk

1− qkz−1,

dupa care sa aplicam transformata ın z inversa:

y(n) =N∑

k=1

Akpnku(n)

︸︷︷︸

raspunsul natural

+L∑

k=1

Qkqnku(n)

︸︷︷︸

raspunsul fortat

. (4.20)

Prin urmare raspunsul sistemului liniar si invariant ın timp la o excitatie oarecare are

doua parti:

1. Prima parte este o functie numai de polii sistemului si se mai numeste raspuns

natural. Influenta semnalului de la intrare asupra raspunsului natural se realizeaza

prin factorii de scalare Ak.

2. A doua parte este o functie numai de polii semnalului de la intrare si se mai numeste

raspuns fortat. Influenta sistemului asupra raspunsului fortat se realizeaza prin

factorii de scalare Qk.


Desigur ca factorii de scalare Ak si Qk sunt functie de ambele seturi de poli: pi, i =

1, 2, . . . , N (polii lui H(z)) si qk, k = 1, 2, . . . , L (polii lui X(z)).

Daca:

• X(z) sau H(z) au unul sau mai multi poli ın comun

sau

• X(z) sau H(z) au poli multiplii,

atunci Y (z) are poli multiplii.

In acest caz dezvoltarea ın fractii simple va contine factori de forma (1 − plz−1)−k,

k = 1, 2, . . . ,m, unde m este ordinul polului. Aplicand transformata ın z inversa, acesti

factori vor produce termeni de forma nk−1pnl (pagina 146).

Exemplul 44 .Vom calcula acum raspunsul unui sistem LTI cu functia de transfer:

H(z) =z−2

1 + 0, 81z−2

la secventa excitatie x(n) = (sinω0n)u(n).

Rezolvare:

Secventa de intrare este un sinus cauzal, deci este diferita de secventa sinus cu suportul

ıntreaga multime a numerelor ıntregi. Prin urmare si raspunsurile celor doua secvente

sinus la acelasi sistem pot sa difere de la caz la caz.

Deoarece:

X(z) =z−1 sinω0

1− 2z−1 cosω0 + z−2,

rezulta ca:

Y (z) =z−2

1 + 0, 81z−2· z−1 sinω0

1− 2z−1 cosω0 + z−2.

Prin urmare:

y(n) =zn sinω0

(z + j0, 9)(z − ejω0)(z − e−jω0)|z=j0,9+

zn sinω0

(z − j0, 9)(z − ejω0)(z − e−jω0)|z=−j0,9+

+zn sinω0

(z + j0, 9)(z − j0, 9)(z − e−jω0)|z=ejω0+

zn sinω0

(z − j0, 9)(z + j0, 9)(z − ejω0)|z=ejω0 ,

adica:

y(n) =(j0, 9)n sinω0

j1, 8(0, 19− j1, 8 cosω0)+

(−j0, 9)n sinω0

−j1, 8(0, 19 + j1, 8 cosω0)+

+ejω0n

j2(0, 81 + cos 2ω0 + j sin 2ω0)+

e−jω0n

−j2(0, 81 + cos 2ω0 − j sin 2ω0).

(4.21)


4.7.2 Raspunsul sistemelor liniare si invariante ın timp cu conditii

initiale nenule

In caz general raspunsul unui sistem liniar si invariant ın timp cu conditii initiale nenule

se poate calcula cu suma de convolutie (fig. 4.5):

y(n) = x(n) ∗ h(n) =∞∑

k=−∞x(k)h(n− k).

In cele ce urmeaza vom considera ca semnalul discret ın timp x(n) este cunoscut

ıncepand cu momentul n = 0 si ne propunem sa studiem contributia conditiilor initiale:

y(−1), y(−2), · · · , y(−N),

asupra raspunsului sistemului liniar si invariant ın timp. Conditiile initiale contin informatia

despre efectele esantioanelor anterioare ale semnalului de la intrare asupra iesirii.

Deoarece x(n) este un semnal cauzal si deoarece suntem interesati ın determinarea

iesirii y(n) pentru n ≥ 0, putem utiliza transformata ın z unilaterala care ne permite sa

lucram ın conditii initiale nenule. Astfel din ecuatia cu diferente finite:

y(n) = −N∑

k=1

aky(n− k) +M∑

k=0

bkx(n− k),

obtinem:

Y +(z) = −N∑

k=1

akz−k[Y +(z) +

k∑

n=1

y(−n)zn)] +M∑

k=0

bkz−kX+(z).

Dar secventa x(n) este cauzala si deci X+(z) = X(z). Prin urmare avem:

Y +(z) =

M∑

k=0

bkz−k

1 +N∑

k=1

akz−k

X(z)−

N∑

k=1

akz−k

k∑

n=1

y(−n)zn

1 +N∑

k=1

akz−k

= H(z)X(z) +P0(z)

A(z),

unde

P0(z) = −N∑

k=1

akz−k

k∑

n=1

y(−n)zn.

Rezulta ca iesirea sistemului cu conditii initiale nenule poate fi la randul sau ımpartita ın

doua parti:


1. Prima parte este raspunsul ın conditii initiale nule:

Yzs(z) = H(z)X(z).

2. A doua parte este raspunsul datorita conditiilor initiale nenule:

Y +zi (z) =

P0(z)

A(z).

Raspunsul total este suma acestor doua componente de iesire:

Y (z) = Yzs(z) + Y +zi (z),

care poate fi calculata si ın domeniul timp cu transformata ın z inversa:

y(n) = yzs(n) + y+zi(n).

Cum numitorul lui Y +zi (z) este A(z), polii sai vor fi p1, p2, . . . , pn si ın consecinta vom avea:

y+zi(n) =N∑

k=1

∆kpnku(n).

Cum ınsa (pagina 153):

yzs(n) = Z−1H(z)X(z) =N∑

k=1

Akpnku(n) +

L∑

k=1

Qkqnku(n)

am obtinut:

y(n) =N∑

k=1

Akpnku(n) +

L∑

k=1

Qkqnku(n),

unde Ak = Ak +∆k.

Putem concluziona ca efectul conditiilor initiale consta ın urmatoarele:

• Raspunsul natural al sistemului se altereaza prin modificarea factorilor Ak;

• Nu se introduc poli noi prin conditiile initiale nenule;

• Raspunsul fortat nu este afectat.

Exemplul 45 .Pentru Exemplul 43, secventa de iesire poate fi scrisa astfel:

y(n) = −α + (1− β)[y(−1) + α](1− β)nu(n) =

= −αu(n) + α(1− β)n+1u(n)︸︷︷︸

yzs(n)

+ y(−1)(1− β)n+1u(n)︸︷︷︸

y+zi(n)

.


4.7.3 Raspuns tranzitoriu si raspuns permanent

Anterior am stabilit ca atat ın cazul conditiilor initiale nule, cat si a celor nenule raspunsul

unui sistem liniar si invariant ın timp este suma dintre raspunsul natural si cel fortat. Daca

sistemul este cauzal, atunci raspunsul natural este de forma:

N∑

k=1

Akpnku(n),

unde pk, k = 1, 2, . . . , N sunt polii sistemului, iar Ak, k = 1, 2, . . . , N sunt factorii de

scalare care depind de caracteristicile secventei de intrare si de conditiile initiale.

Desigur ca pentru orice pol subunitar ın modul, contributia sa la raspunsul natural

se amortizeaza ın timp. Intr-un astfel de caz raspunsul natural al sistemului se numeste

raspuns tranzitoriu. Masura ın care raspunsul natural al sistemului descreste spre zero

depinde de marimea modulului polilor si este evident ca daca polii au un modul mic,

raspunsul tranzitoriu descreste rapid spre zero. Este de asemenea clar ca daca polii sunt ın

apropierea cercului unitate, raspunsul tranzitoriu descreste ıncet si raspunsul tranzitoriu

persista mai mult.

Raspunsul fortat al sistemului este de forma:

L∑

k=1

Qkqnku(n),

unde qk, k = 1, 2, . . . , L sunt polii secventei excitatie, iar Qk, k = 1, 2, . . . , L sunt factorii

de scalare care depind de caracteristicile sistemului si de secventa de intrare. Daca toti

polii secventei de intrare se gasesc ınauntrul cercului unitate, atunci raspunsul fortat

descreste spre zero, generand ca si ın cazul precedent un semnal cu caracter tranzitoriu.

Pe de alta parte, daca semnalul de intrare cauzal este o sinusoida cu sau fara compo-

nenta continua, atunci polii se afla chiar pe cercul unitate si ın consecinta raspunsul se

numeste raspuns permanent.

Exemplul 46 .

1. Revenim la Exemplul 43, unde secventa de iesire poate fi scrisa astfel (|β| < 1):

y(n) = −αu(n)︸︷︷︸

raspuns permanent

+ (1− β)[y(−1) + α](1− β)nu(n)︸︷︷︸

raspuns tranzitoriu

.


2. Cu referire la Exemplul 44, relatia (4.21) se mai poate scrie:

y(n) =

raspuns tranzitoriu︷︸︸︷

(j0, 9)n sinω0

j1, 8(0, 19− j1, 8 cosω0)+

(−j0, 9)n sinω0

−j1, 8(0, 19 + j1, 8 cosω0)+

+ejω0n

j2(0, 81 + cos 2ω0 + j sin 2ω0)+

e−jω0n

−j2(0, 81 + cos 2ω0 − j sin 2ω0)︸︷︷︸

raspuns permanent

.

O discutie mai detaliata a acestui subiect poate fi gasita ın [6].

4.8 Din nou despre stabilitatea sistemelor liniare si

invariante ın timp

Un sistem liniar si invariant ın timp este cauzal cand secventa sa pondere este nula pentru

indecsi negativi:

h(n) = 0, ∀n < 0.

Pentru astfel de secvente regiunea de convergenta a transformatei ın z este exteriorul unui

cerc. Putem concluziona:

Propozitia 5 .Un sistem liniar si invariant ın timp este cauzal daca si numai daca regiunea de convergenta

a functiei sale de sistem este exteriorul unui cerc de raza r <∞, incluzand punctul de la

infinit z =∞.

Stabilitatea BIBO poate fi la randul ei caracterizata cu ajutorul functiilor de sistem.

Reamintim ca o conditie necesara si suficienta pentru stabilitatea BIBO este absoluta

sumabilitate a secventei pondere:

∞∑

n=−∞|h(n)| <∞.

Putem dovedi simplu ca atunci functia de sistem H(z) are inclus cercul unitate ın regiunea

sa de convergenta. Intr-adevar:

|H(z)| ≤∞∑

n=−∞|h(n)z−n| =

∞∑

n=−∞|h(n)||z−n|


si daca evaluam suma pe cercul unitate rezulta ca:

|H(z)|||z|=1≤

∞∑

n=−∞|h(n)||z−n|||z|=1

=∞∑

n=−∞|h(n)|.

Cum si reciproca este adevarata, putem enunta:

Propozitia 6 .Un sistem liniar si invariant ın timp este stabil daca si numai daca cercul unitate este

continut ın regiunea de convergenta a functiei sale de sistem.

Se observa ca ın general conditiile de cauzalitate si stabilitate sunt diferite si nu se

implica una pe cealalta. Un sistem cauzal poate fi stabil sau nu, dupa cum, la randul sau

si un sistem anticauzal poate fi stabil sau nu. Conditia de stabilitate impune restrictii

suplimentare. De exemplu, pentru un sistem cauzal regiunea de convergenta a functiei

sale de sistem trebuie sa fie simultan exteriorul unui cerc de raza r <∞, incluzand punctul

de la infinit z =∞ si trebuie sa includa cercul unitate.

Exemplul 47. Fie sistemul liniar si invariant ın timp caracterizat de ecuatia de intrare-

iesire:

y(n) = y(n− 1) + x(n),

deci

H(z) =1

1− z−1

Daca la intrare se aplica secventa treapta unitate: x(n) = u(n), atunci:

Y (z) = H(z)X(z) =1

1− z−1· 1

1− z−1,

deci y(n) = nu(n).

Semnalul de la intrare este marginit, sistemul ınsa are un pol pe cercul unitate si avem

un raspuns nemarginit. Un astfel de sistem este instabil.

Prin urmare:

Propozitia 7 .Un sistem cauzal, liniar si invariant ın timp este stabil daca si numai daca toti polii sunt

strict ın interiorul cercului unitate.


Sa mai amintim posibilitatea de aparitie a unei perechi pol - zerou identici. Acestia

ar putea fi simplificati, astfel ca ın transformata ın z unii poli (sau zerouri) ar putea

disparea. Desigur ca functia de sistem si-ar reduce gradul si se suprima unul din modurile

de rezonanta a raspunsului sistemului, fie dintre cele datorate sistemului, fie dintre cele

datorate secventei de intrare.

In realitate este foarte posibil ca zeroul sa fie aproape de pol, dar nu egal cu polul, asa

ca termenul raspuns va avea o foarte mica amplitudine datorata acestei perechi pol - zerou.

O astfel de situatie poate sa apara cand precizia numerica ın reprezentarea coeficientilor

sistemului nu este suficienta. Prin urmare nu ne putem astepta sa stabilizam intotdeauna

un sistem instabil plasand un zerou langa un pol, desi teoretic ar fi posibil.

4.8.1 Criteriul de stabilitate Schur-Cohn

Am constatat ca stabilitatea sistemului este legata de pozitia polilor relativ la cercul

unitate. Dar polii sistemului nu sunt altceva decat zerourile numitorului functiei de sistem:

H(z) =b0 + b1z

−1 + · · ·+ bMz−M

a0 + a1z−1 + · · ·+ aNz−N=

M∑

k=0

bkz−k

N∑

k=0

akz−k

.

Deoarece sistemul sub obiectiv este cauzal, toate radacinile polinomului:

A(z) = a0 + a1z−1 + · · ·+ aNz

−N

trebuie sa fie prin urmare ın interiorul cercului unitate pentru ca sistemul dat sa fie stabil.

In consecinta ne vom concentra doar asupra zerourilor numitorului A(z).

Vom prezenta ın cele ce urmeaza criteriul de stabilitate Schur-Cohn. Pentru ınceput

vom introduce cateva notatii si definitii.

Pentru m ∈ N∗ vom nota polinoamele cu termenul liber unitate sub forma:

Am(z) =m∑

k=0

am(k)z−k, am(0) = 1.

Definitia 43 .Polinomul Bm(z) obtinut din coeficientii lui Am(z), dar luati ın ordine inversa:

Bm(z) =m∑

k=0

am(m− k)z−k.

se numeste polinomul reciproc al lui Am(z).


Observatia 25 .Este usor de stabilit ca:

Bm(z) = z−mAm(z−1). (4.22)

Pentru aplicarea criteriului de stabilitate Schur-Cohn este necesara aflarea coeficientilor

de reflexie Km, m = 1, 2, . . . , N . Pentru aceasta se procedeaza ın felul urmator:

• Initializare: AN(z)← A(z) si m = N .

• Pentru orice m ≥ 1:

– Se calculeaza coeficientul de reflexie Km = am(m);

– Se calculeaza polinomul reciproc Bm(z) cu formula (4.22);

– Se calculeaza polinomul Am−1(z) cu relatia:

Am−1(z) =Am(z)−KmBm(z)

1−K2m

; (4.23)

– m← m− 1

• Sfarsit

Criteriul de stabilitate Schur-Cohn afirma ca:

Teorema 15 .Sistemul este stabil daca toti coeficientii de reflexie Km, m = 1, 2, . . . , N sunt subunitari

ın modul.

In caz contrar, sistemul este instabil.

Marele avantaj al criteriului de stabilitate Schur-Cohn este ca structura sa recurenta ıl

face usor de implementat prin program. Ecuatia recursiva (4.23) se poate scrie astfel:

• aN(k) = ak, k = 1, 2, . . . , N, KN = aN(N);

• Pentru m = N,N − 1, . . . , 1 se calculeaza:

1. Km = am(m);

2. am−1(0) = 1;

3. bm(k) = am(m− k), k = 0, 1, 2, . . . ,m;


4. Pentru k = 0, 1, 2, . . . ,m− 1:

am−1(k) =am(k)−Kmbm(k)

1−K2m

.

Exemplul 48 .Sa consideram sistemul avand functia de transfer:

H(z) =1

1 + 1324z−1 + 5

8z−2 + 1

3z−3

.

Atunci:

A3(z) = 1 +13

24z−1 +

5

8z−2 +

1

3z−3,

K3 = α3(3) =1

3,

B3(z) =1

3+

5

8z−1 +

13

24z−2 + z−3;

A2(z) =A3(z)−K3B3(z)

1−K23

= 1 +3

8z−1 +

1

2z−2;

K2 = α2(2) =1

2,

B2(z) =1

2+

3

8z−1 + z−2;

A1(z) =A2(z)−K2B2(z)

1−K22

= 1 +1

4z−1;

K1 = α1(1) =1

4.

Prin urmare sistemul dat este stabil.

4.8.2 Stabilitatea sistemelor de ordinul doi

Sistemele de ordinul doi sunt structura de baza pentru implementarea blocurilor de ordin

mai mare [20], motiv pentru care ele reprezinta pentru noi un punct de interes. Sa

consideram cazul sistemelor de ordinul doi:

y(n) = −a1y(n− 1)− a2y(n− 2) + b0x(n),

care au functia de transfer:

H(z) =b0

1 + a1z−1 + a2z−2.


x

a2 = 1

a2

a1

a2 = a1 − 1 a2 = −a1 − 1

a2 =a214

Figura 4.7: Triunghiul stabilitatii sistemelor de gradul doi

Desigur ca exista modalitati mai elementare de a decide daca sistemul cu functia de sistem

H(z) este stabil sau nu. Noi vom aplica acum criteriul lui Schur-Cohn:

A2(z) = 1 + a1z−1 + a2z

−2, K2 = a2;

A1(z) =(1 + a1z

−1 + a2z−2)− (a2 + a1z

−1 + z−2)1− k2

2

= 1 +a1

1 + a2z−1,

K1 =a1

1 + a2.

Deci pentru ca sistemul sa fie stabil este necesar ca:

|a2| < 1;

∣∣∣∣

a11 + a2

∣∣∣∣< 1.

Daca coeficientii a1 si a2 sunt reali, atunci pentru stabilitatea sistemului ar fi necesar ca:

−1 < a2 < 1;

−1− a2 < a1 < 1 + a2.

Aceste conditii definesc o regiune ın planul coeficientilor (a1, a2) formata dintr-un triunghi

reprezentat ın figura 4.7. Sistemul este stabil daca punctul (a1, a2) cade ın interiorul

triunghiului, numit si triunghiul stabilitatii.

Caracteristicile unui sistem cu doi poli depind de localizarea polilor sau de pozitia

punctului (a1, a2) ın triunghiul de stabilitate. Polii sistemului pot fi reali sau complex


conjugati, dupa valoarea discriminantului ∆ = a21 − 4a2 care definesc parabola a2 =a214.

Astfel:

• Regiunea de sub parabola corespunde polilor distincti;

• Punctele de pe parabola se asociaza polilor dubli si egali;

• Punctele de pe parabola corespund polilor complex conjugati.

Prin urmare:

1. Daca: a21 > 4a2, atunci avem poli reali si distincti, si functia de sistem se poate scrie

sub forma:

H(z) =A1

1− p1z−1+

A2

1− p2z−1,

unde

A1 = b0p1

p1 − p2; A2 = −b0

p2p1 − p2

.

In acest caz secventa pondere este diferenta a doua exponentiale descrescatoare:

h(n) = b0p1

p1 − p2(pn+1

1 − pn+12 )u(n).

2. Daca: a21 = 4a2, atunci avem poli reali si egali, si functia de sistem se poate scrie

sub forma:

H(z) =A

(1− pz−1)2

unde

A = b0; a1 = −2p; a2 = p2.

In acest caz secventa pondere este:

h(n) = b0npn−1u(n).

3. Daca: a21 < 4a2, atunci avem poli complex conjugati, si functia de sistem se poate

scrie sub forma:

H(z) =A

1− pz−1+

A∗

1− p∗z−1,

unde

a1 = −2|p| cos∠p; a2 = |p|2; A =b0e

j∠p

j2 sin∠p.

In acest caz secventa pondere este o exponentiala amortizata:

h(n) =b0|p|nsin∠p

sin[(n+ 1)∠p]u(n),

comportandu-se oscilatoriu.

Bibliografie selectiva

[1] E. Auslander, “Digital signal processing and the emerging markets of the 90’s,” tech.

rep., Texas Instruments, 1995.

[2] W. K. Chen, ed., The Circuits and Filters Handbook. Boca Raton, Florida: CRC

Press, 1995.

[3] G. Doetsch, Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transforma-

tion. Berlin Heidelberg New-York: Springer-Verlag, 1970.

[4] K. Feher, “DIGCOM si DSP: privire generala asupra comunicatiilor digitale si a

prelucrarii digitale a semnalelor,” in Comunicatii digitale avansate - Sisteme si tehnici

de prelucrare a semnalelor (K. Feher, ed.), pp. 13–51, Bucuresti: Ed. Tehnica, 1993.

[5] L. Goras, Semnale, Circuite si Sisteme. Iasi: Editura Gh. Asachi, 1994.

[6] V. Grigoras and D. Tarniceriu, Prelucrarea Numerica a Semnalelor - partea ıntai.

Iasi: Editura ‘Gh. Asachi’, 1995.

[7] T. Kailath, Linear Systems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1980.

[8] M. Kunt, Traitement numerique des signaux. Lausanne: Presses Polytechnique Ro-

mandes, 1989.

[9] A. Mateescu, Semnale, Circuite si Sisteme. Bucuresti: Editura Didactica si Peda-

gogica, 1984.

[10] I. Nafornita, A. Campeanu, and A. Isar, Semnale, Circuite si Sisteme. Timisoara:

Universitatea Politehica, 1995.

[11] A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing. Englewood

Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989.

[12] A. Papoulis, The Fourier integral and its applications. McGraw-Hill, 1962.

165

166 BIBLIOGRAFIE SELECTIVA

[13] A. Papoulis, Signal analysis. McGraw-Hill, 1977.

[14] V. Popescu, Semnale, Circuite si Sisteme - Partea I. Teoria semnalelor. Cluj-Napoca:

Editura Casa Cartii de Stiinta, 2001.

[15] J. G. Proakis and D. G. Manolakis, Digital Signal Processing. New-York: Macmillian,

1992.

[16] A. Ralston, A first course in numerical analysis. McGraw-Hill, 1965.

[17] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis. New-York: McGraw-Hill, 1953.

[18] C. Rusu, Semnale, Circuite si Sisteme, Primii pasi ın prelucarea numerica a sem-

nalelor. Ed. RISOPRINT, 1996.

[19] C. Rusu, Prelucrari Digitale de Semnale. Ed. Mediamira, 2000.

[20] D. Tarniceriu and V. Grigoras, Prelucrarea Numerica a Semnalelor - partea a doua.

Iasi: Editura ‘Gh. Asachi’, 1995.

pns_doi

Documents