pns_cap04

4. SEMNALE I SISTEME DISCRETE 4.1. Sinusoida discret

Dup ce n capitolul anterior am vzut cum se propag un semnal analogic printr-un sistem liniar, este momentul s vedem cum se propag un semnal discret n timp discret. Pentru o exprimare mai condensat, vom folosi sintagma semnal discret n loc de semnal discret n timp discret. La fel ca i n capitolul precedent, vom alege pentru analiz semnale avnd o form de variaie armonic (sinusoidal). Pentru a putea face o bun paralel ntre ce se ntmpl n lumea analogic i ce se ntmpl n lumea discret este bine s utilizm chiar semnalul discret rezultat din eantionarea semnalului analogic sinusoidal, analizat n capitolul precedent. Pentru a-l putea deosebi de cel analogic, vom folosi pentru semnalul discret notaia cu paranteze ptrate: x[n]. Sinusoida discret se obine din semnalul analogic sinusoidal de frecven F i amplitudine A, fie prin eantionare ntr-un sistem de achiziie de date, fie pe cale matematic astfel:

======

nFe

F 2sinA nTe)F 2 sin(A t)(sin A x x

nTet nTet (t)[n]

Merit remarcat faptul c dei secvena generat provine de la un semnal periodic, eantioanele rezultate pot avea perioada semnalului analogic, pot avea o alt perioad, sau pur i simplu pot s nu fie periodice. Condiia de periodicitate este:

x[n+No] = A sin (2 n F/Fe + 2k )

2 (n+N0 ) F/Fe = 2 n F/Fe + 2k

84 Sisteme i Semnale n Timp Discret

Rezult: N0 = k Fe/F

Deci secvena este periodic doar dac raportul Fe/F este un numr raional. Indiferent de caracterul periodic sau neperiodic al secvenei de numere x[n], nu trebuie uitat c acestea reprezint n cazul de fa o sinusoid a crei frecven este F, aceeai ca i frecvena semnalului x(t) din care a provenit. Indiferent de valoarea raportului Fe/F, frecvena F coninut n secvena x[n] este aceeai. Evident, sinusoida discret este doar unul din mulimea semnalelor discrete. Ca i semnalele analogice din care provin, semnalele discrete pot face obiectul mai multor clasificri, aa cum am vzut n primul capitol. Cu precizarea c definirea este aceeai ca i la semnalele analogice, iat cteva categorii:

semnal discret monocanal / multicanal; semnal discret unidimensional / multidimensional; semnal discret determinist / nedeterminist, etc.

4.2. Sisteme numerice Semnalul pe care-l vom aduce la intrarea unui sistem digital cu scopul de a fi prelucrat este o secven (un ir) de numere, rezultate din conversia analog numeric a semnalului analogic, iar semnalul de la ieire va fi tot o secven de numere, aa cum este ilustrat n figura 4.1.

x [n] y [n]

Figura 4.1. Sistem pentru prelucrarea semnalelor numerice.

n aceste condiii, sistemul care va prelucra (procesa) secvena de numere x[n] nu poate fi altceva dect un algoritm de calcul, adic secvena de numere de la ieirea sistemului se obine n urma unor calcule avnd ca date de intrare elementele secvenei x[n]. Aidoma sistemelor ce proceseaz semnale analogice, i sistemele numerice pot fi clasificate dup mai multe criterii. Dintre sistemele care vor face obiectul capitolelor urmtoare, cele mai importante sunt urmtoarele:

Ioan P. MIHU - Procesarea Numeric a Semnalelor 85

4.2.1. Sisteme discrete liniare

Sistemul discret se numete liniar dac algoritmul de calcul este o funcie liniar, ca de exemplu:

x y k] -[n k[n]

1-N

0k

==

(4.1)

Relaia 4.1 arat c eantionul curent y[n] se obine ca i combinaie liniar a ultimelor N eantioane din secvena de intrare. Dac secvena de intrare x[n] provine din eantionarea unui semnal analogic sinusoidal, iar procesarea se face cu algoritmi liniari, rezultatul procesrii va fi ntotdeauna un semnal numeric care prin refacere va genera tot un semnal sinusoidal.

Dac la intrarea unui sistem (algoritm de calcul) liniar se aduce o sinusoid discretizat, la ieirea va apare tot o sinusoid discretizat, dar avnd: amplitudinea diferit (mai mare sau mai mic), fa de

amplitudinea sinusoidei discretizate de la intrare; posibil ntrziere, mai mare sau mai mic, fa de sinusoida

discretizat de la intrare (faz diferit fa de cea de la intrare)

Se poate arta uor c cele afirmate mai sus sunt adevrate. Pentru aceasta relaia 4.1 trebuie privit ca fiind rezultatul eantionrii la momentul t = nTe, a sumei mai multor sinusoide. Eantionarea semnalului x(t) = A sin (t) la momentul t = nTe va produce pe x[n]. Eantionul x[n1] rezult din eantionarea unei alte sinusoide, tot la momentul nTe, dar ntrziat cu Te.

y(t).= 0 A sin(t) + 1 A sin[(t Te)] +2 A sin[(t 2Te)] +.

Deoarece mulimea funciilor sinusoidale are o structur algebric de grup, y(t) este tot o sinusoid fiind rezultatul nsumrii a N sinusoide fiecare din ele defazate fa de precedenta cu Te.

y [n].= 0 A sin [(nTe )] + 1 A sin [(nTe Te)] +

y [n].= 0 x [n].+ 1 x [n1] + 2 x [n2].+


Pentru N astfel de sinusoide se obine chiar relaia 4.1. Rezult c, eantioanele y[n] provin din eantionarea unei sinusoide, deci semnalul sinusoidal nu este distorsionat la trecerea printr-un sistem liniar.

4.2.2. Sisteme discrete invariante n timp

Sisteme invariante n timp sunt acele sisteme la care rspunsul sistemului va fi acelai, indiferent de momentul aplicrii semnalului de intrare. Dac y [n].= S {x[n]}, atunci y [n-No].= S {x[n-No]} unde prin S {x[n]}, am semnificat transformarea suferit de semnalul x[n] la trecerea prin sistem. Cu alte cuvinte, aplicnd la intrarea unui sistem invariant n timp acelai semnal x[n] dar ntrziat cu N0 perioade de eantionare, sistemul va produce acelai semnal de ieire dar ntrziat tot cu N0 perioade de eantionare.

4.2.3. Sisteme discrete cauzale /necauzale

Sistemele discrete cauzale sunt cele la care mrimea de ieire nu depinde dect de valori ale mrimii de intrare anterioare momentului curent. Altfel spus, ieirea nu depinde dect de trecut, nu i de viitor. Exemplu: Sistemul descris de algoritmul y [n].= 3x [n]+2x [n1]x[n2] este cauzal, iar cel descris de algoritmul y [n].= 3x [n+1]+2x [n]x[n1] este necauzal.

4.2.4. Sisteme discrete recursive / nerecursive

Un sistem discret se numete recursiv, dac ieirea sa depinde att de valori din secvena de intrare x[n],ct i de valori din secvena de ieire y[n]. Sistemul se numete nerecursiv atunci cnd ieirea depinde doar de valori din secvena de intrare. Exemplu: Sistemul y [n].= 3x [n]+2x [n1]x[n2] este nerecursiv; Sistemul y [n].= 3x [n]+2y [n1] este recursiv.

4.2.5. Sisteme discrete stabile / instabile

Un sistem este stabil atunci cnd aducndu-se la intrarea sa un semnal de valoare limitat (semnal mrginit), ieirea sa va produce tot un semnal de valoare limitat. Altfel spus, ieirea sistemului nu va tinde la infinit, dac intrarea nu tinde la infinit.


Exemplu: Sistemul: y[n].= 3x[n]+0,002y[n1] este stabil. Sistemul: y[n].= 3x[n]+2y[n1] este instabil, deoarece dup prima valoare x[n] mai mare dect zero, efectul cumulativ produs de termenul y[n1] va face ca ieirea sistemului s tind la infinit atunci cnd n crete suficient de mult.

Mai exist i alte categorii de sisteme discrete, care vor fi amintite la momentul potrivit. 4.3. Exemple de procesare analogic versus procesare digital

Sistemele discrete pe care le vom utiliza n continuare pentru procesarea semnalelor vor fi fr excepie sisteme liniare, cauzale i invariante n timp. nainte de toate, legat de propagarea unui semnal sinusoidal, mai merit menionat proprietatea remarcabil a tuturor sistemelor liniare, proprietate care poate fi sintetizat astfel:

Sinusoida strbate un sistem liniar fr a fi deformat,indiferent dac sistemul este unul continuu sau discret.

Pentru a avea de la bun nceput o imagine corect n legtur cu procesarea semnalelor numerice este util s analizm cazul ctorva prelucrri simple de semnale digitale, care se propag prin sisteme liniare, cauzale i invariante n timp. Mai mult dect att, vom face o analiz n paralel a procesrii unei sinusoide analogice i a uneia discrete pentru a vedea ce condiii trebuie s ndeplineasc algoritmul de calcul pentru ca cele dou procesri s produc aceleai efecte.

4.3.1. Amplificarea unui semnal analogic i a unuia discret

n exemplul propus n figura 4.2, tensiunea sinusoidal x(t) este trecut prin divizorul rezistiv format din rezistenele R1 i R2. Tensiunea de ieire este tot sinusoidal, de amplitudine mai mic i avnd aceeai faz cu sinusoida de intrare.


Semnal analogic Semnal discret

X(t) Y(t) R1 R2

X[nTe] Y[nTe]

X(t)

Y(t)t

nY[n]

X[n]

y(t) = 21

2

RR

R

+ x(t) = x(t)

y[n] = x[n]

Figura 4.2. Amplificarea unui semnal analogic i a unuia discret.

De menionat c uneori n locul termenului amplificare, atunci cnd factorul de amplificare este subunitar, se folosete termenul atenuare. Algoritmul cu care putem obine acelai efect asupra semnalului discret este o simpl multiplicare cu coeficientul . Rezultatul este evident: sinusoida de la ieire este n faz cu cea de intrare, dar de amplitudine mai mic:

x(t) = A sin(t) y(t) = A sin(t)

y[n] = x[n]

4.3.2. Defazarea unui sinusoide analogice i a uneia discrete

De data aceasta, pe lng faptul c sinusoida y(t) este de amplitudine diferit, ea este i de faz diferit fa de sinusoida x(t).


Semnal analogic Semnal discret

x(t) y(t) R C

x[nTe] y[nTe]

x(t)

y(t) t

ny[n]

x[n]

(t)(t)

(t) ydt

dyRCx +=

y(t).= A sin(t+)

unde:

=+

=

RC)arctg( - CR 1

1 A

222

] 1-n []n []n [ y1a

a x

1a

1 y

++

+=

unde: Te

RC a =

Figura 4.3. Defazarea unui semnal analogic i a unuia discret. Nu vom intra n detalii legate de modul de calcul pentru semnalul analogic, prezentate deja n 2.5.1, i nici pentru cel discret, care vor fi prezentate ntr-un capitol viitor. Scopul exemplului este acela de a arta faptul c exist un algoritm de calcul care duce la rezultate absolut similare ntre semnalul discretizat i cel analogic. Pentru moment, ne putem gndi deja la dou categorii de probleme:

Aflarea amplitudinii i fazei sinusoidei discretizate de la ieire atunci cnd se cunoate algoritmul de calcul a secvenei y[n].

Determinarea algoritmului de calcul pentru a obine la ieire o amplitudine i o faz impus.

Pentru a putea soluiona cele propuse va trebui prezentat aparatul matematic de prelucrare numeric pe care-l vom folosi n acest scop.


4.4. Transformarea Fourier Discret (TFD)

Termenul discret din denumirea acestei transformri nu are conotaia colocvial, aceea de a nu divulga o tain ncredinat, ci face referire la categoria de semnale n timp discret.

4.4.1. Definiia transformrii Fourier pentru semnale discrete

Aa cum am vzut anterior c exist transformri ale semnalelor continue, vom defini n continuare i transformri ale semnalelor discrete. ntre multe alte transformri posibile ale semnalului discret, Transformarea Fourier Discret ocup un loc aparte ca importan.

Avnd o tensiune discret u[nTe] , prin definiie, Transformarea

Fourier Discret (TFD) a N eantioane din aceast tensiune este:

TFD {u[nTe]} = UTFD [n o] = 1N

0k

Tek on je [kTe]u

=

(4.2)

unde: n = 0, 1, 2, ..., (N-1).

Similar cu Transformata Fourier, ntlnit n capitolul dedicat semnalelor analogice, esena definiiei 4.2 este faptul c prin Transformarea Fourier Discret domeniul timp este transformat n domeniul frecven. Acest fapt este ilustrat n figura 4.4.

TFD ofer informaii despre spectrul de frecven al unui semnal. TFD transform N eantioane ale unui semnal din domeniul timp, n

N valori complexe din domeniul frecven.

Cele N eantioane din domeniul timp reprezint un interval T0=(N-1)Te unde, Te reprezint frecvena de eantionare a semnalului discret. Despre cele N eantioane produse de TFD se poate afirma c reprezint spectrul discret al secvenei de N eantioane din domeniul timp.


Te

u[nTe]

2Te 3Te (N-1)TenTet

N eantioane;

UTFD [n0]

0 20 30 n0 (N-1)0

N eantioane

f

Fe

2F0

F0=Fe/N

(N-1)Fe/NF0

Figura 4.4. Transformarea domeniului timp n domeniul frecven prin Transformarea Fourier Discret.

Observaii: TFD este cel mai important instrument pentru procesarea semnalelor

discrete.

Similar cu teorema Fourier pentru semnale continue, transformarea Fourier Discret furnizeaz spectrul unui semnal discret, adic mulimea semnalelor armonice n care semnalul discret poate fi descompus.

Se observ din figura 4.4 c cele N armonici ale TFD se gsesc distanate ntre ele la intervale F0, dac ne raportm la frecven, respectiv 0 dac ne raportm la pulsaie:

N

Fe2

N

Fe F 00

== (4.3)


Rezult c domeniul de frecven [0 Fe] n care UTFD ia valori este mprit n N intervale identice. Armonicile rezultate din TFD vor avea valori ale frecvenelor, cu un ecart de Fe/N ntre ele. Prima armonic ocup frecvena zero, a doua ocup frecvena Fe/N, urmtoarea 2 Fe/N i aa mai departe. Fiindc sunt N armonici, ultima frecven va avea ordinul (N-1), deoarece ordinul primei armonici a fost zero. Iat deci c ultima armonic nu ocup frecvena Fe, aa cum am fi fost tentai s credem, ci ea se afl la o distan de Fe/N de acea valoare. Aceast situaie este ilustrat accentuat n figura 4.4, unde poziiile primei armonici i a ultimei sunt marcate cu segmente ngroate. Acest fapt este bine s fie reinut avnd n vedere reprezentarea grafic a spectrului semnalului.

Aa cum s-a vzut n capitolul precedent, o secven rezultat prin eantionarea unei poriuni dintr-un semnal analogic are un spectru de frecven continuu n intervalul -Fe/2 Fe/2, multiplicat apoi prin periodicitate att n domeniul frecvenelor negative ct i pozitive. innd cont c:

UTFD [n o] = UTFD [n (o + 2)] (4.4)

Rezult c cele N valori din domeniul frecven, furnizate de TFD, vor fi i ele multiplicate prin periodicitate, astfel c spectrul secvenei se ntinde pe ntregul domeniu al frecvenelor pozitive i negative.

TFD produce ca rezultat numere complexe, n spatele acestora ascunzndu-se armonici (semnale sinusoidale) reale. Pentru aflarea amplitudinii i fazei acestora avem:

UTFD [n o] = Re[n o]+jIm[n o] (4.5)

===

+=

]n [ D]n [ D] [

]n [ ][n

2][n

2][n ][n TFD

00

0

0

0

000

F)arg(FRe

Imarctg

ImRe U

n

(4.6)

Notaia TFD{u[nTe]} reprezint operatorul Fourier Discret. Acest operator aplicat celor N eantioane din u[nTe], le transform n N

eantioane UTFD [n] care reprezint N armonici complexe, n fiind ordinul acestora.


Relaia 4.2 transform o funcie de variabil timp discret u[nTe] ntr-o nou funcie UTFD[n], depinznd de o alt variabil , numit pulsaie discret. Notaia nu se deosebete cu nimic fa de folosit la semnalele continue. O vom folosi doar pentru a accentua faptul c ne situm ntr-un domeniu discret.

Dei relaia de definiie este dat n funcie de pulsaie, se poate spune la fel de bine c UTFD este n funcie de frecven;

Unitatea de msur pentru UTFD este Voltul, n ipoteza c u(t) este o tensiune.

[UTFD [n]] SI = 1V.

innd cont c:

0 = 2 F0 = 2 Fe/N = 2 / NTe

relaia 4.2 poate fi rescris mai simplu, pentru implementarea algoritmului de calcul al TFD pentru o secven de N eantioane:

e u U1N

0kn] [ TFD

N

kn 2 j

[k]

=

= (4.7)

pentru n = 0,1,2,, N-1.

Calculul amplitudinii i fazei componentelor armonice (relaiile 4.4 i 4.5) poate fi fcut pornind de la relaia 4.7.

Prin TFD i se asociaz funciei u[nTe], o alt funcie UTFD[n]. Asocierea este biunivoc, adic unei secvene de N eantioane din u[nTe], i vor corespunde N armonici i reciproc:

u[n] UTFD [n ] (4.8)

Relaia invers prin care se transform domeniul frecven n domeniul timp se numete Transformarea Fourier Discret Invers (TFDI) i este definit astfel:

TFDI{UTFD[n]} = u[n] = e UN

1

1N

0ko]k [ TFD

Ten ok j

=

(4.9)


TFDI permite reconstituirea semnalului original u[n] din componentele sale spectrale, determinate anterior cu ajutorul TFD.

Pentru calcul efectiv al TFDI relaia 4.9 poate fi rescris astfel:

e U N

1 u } TFDI{U

1N

0kTFDn] [ n] [TFD

N

kn 2 j

[k]

=

== (4.10)

4.4.2. Legtura dintre TFD i Transformata Fourier Considernd c tensiunea u[nTe] provine din tensiunea u(t) eantionat cu frecvena Fe=1/Te, atunci TFD poate fi privit ca un caz particular al transformatei Fourier. Pentru aceasta trebuie pornit de la relaia 2.53 de definiie a transformatei Fourier, n care se procedeaz la schimbrile urmtoare: t = nTe dt = Te = k 0

Lund n discuie doar N eantioane, integrala 2.53 se reduce la o sum de N termeni :

F (j) = dt eu(t) -

t j

Te e u 1N

0k

Ten ok j[nTe]

=

Deci: F (j) Te UTFD [n] (4.10) Relaia 4.10 are semnificaia urmtoare: valoarea transformatei Fourier,

F(j), n punctele de eantionare ale domeniului frecven impus de TFD, se poate obine din valoarea transformatei Fourier Discrete UTFD prin multiplicare cu Te. Aceast observaie este util deoarece face posibil aproximarea transformatei Fourier cu ajutorul TFD. Relaia 4.8, reconfirm unitatea de msur a transformatei Fourier. n ipoteza c u(t) este o tensiune, atunci:

[F (j) ] SI = 1Vs = 1VHz 1


4.5 Transformarea Fourier Discret Rapid (TFDR) Determinarea transformrii Fourier necesit un volum mare de calcule. n calculul relaiei 4.7, pentru un eantion se fac N nmuliri i N-1 adunri. Deci, pentru cele N eantioane crora li se aplic TFD sunt necesare N2 nmuliri de numere complexe i N(N-1) adunri de numere complexe. Dac N are valori mici, volumul de calcule nu reprezint un impediment. Dac ns N este de valoare mare, atunci efortul de calcul trebuie luat serios n seam. Spre exemplu, pentru N=103, vor avea loc un milion de nmuliri de numere complexe! Acest lucru este un dezavantaj major atunci cnd se pune problema procesrii semnalelor n timp real. S-au fcut numeroase cercetri pentru reducerea timpului de calcul. Cele mai fructuoase s-au dovedit cele realizate de J. W. Cooley i J. W. Tukey n 1965. Acetia au observat c funcia ejx este periodic, i ca urmare este posibil ca pentru anumite valori ale lui x, s nu mai fie nevoie s facem calculele, fiindc, datorit periodicitii, acest rezultat a mai fost obinut o dat, cu o perioad mai nainte. innd cont de aceast observaie, algoritmul Cooley-Tukey reduce numrul de calcule de la N2 la Nlg2N. Pentru N=103, numrul de nmuliri complexe este de 103lg210

3 = 9.965. Deci 9.965 de nmuliri complexe n loc de un milion. Pentru a ne convinge c algoritmul este eficient, vom relua exemplul din [4], pentru N=106. n acest caz, ntr-un sistem cu un ciclu CPU de o microsecund, timpul de calcul al TFD ar dura aproximativ 2 sptmni, (!!), iar al TFDR doar 30 sec. Iat deci c rezultatul este unul remarcabil! Din acest motiv, aceast transformare merit s se numeasc rapid. Pentru ca cele amintite s aib loc, trebuie ndeplinit o singur condiie: numrul de eantioane pentru care se calculeaz TFD s fie putere ntreag a lui 2, aa cum este sintetizat n 4.11:

e u U1N

0kn] [ TFDR

N

kn 2 j

[k]

=

=

cu condiia:

=

=

natural i ntreg pcu ,2 N

1)(N ..., 0,n

p (4.11)

Algoritmul Cooley-Tukey este descris n majoritatea lucrrilor de specialitate din domeniul procesrii numerice a semnalelor: [1], [2] etc.


Din acest motiv las cititorului plcerea de a descoperi logica prin care algoritmul evit repetarea unui numr mare de calcule, datorit periodicitii dup numrul k, a funciei e j2nk / N. Algoritmul este detaliat i disponibil pentru implementare soft n [4].

n concluzie, TFDR nu este altceva dect o versiune a TFD, care are nevoie de un timp de calcul mai redus. Singura constrngere impus de TFD este aceea de a alege un numr de eantioane putere ntreag a numrului 2. Nevoia de a reduce timpul de calcul nu s-a oprit la gsirea de algoritmi rapizi, ci a mers mai departe i n domeniul implementrii lor. Cel mai remarcabil succes n acest domeniu a fost realizarea procesoarelor specializate pentru procesarea numeric de semnale, cunoscute n literatur ca DSP processors. Avnd o structur hard adecvat, aceste microprocesoare posed instruciuni specifice pentru implementarea uoar a algoritmilor de forma 4.7, dar mai ales pentru execuia lor rapid.

4.6. La ce folosesc transformrile Fourier? Pentru a da un sens pragmatic demersurilor teoretice de pn acum, iat n continuare cteva aplicaii concrete ale transformatei Fourier. 4.6.1. Calculul spectrului unui semnal

Aa cum am mai precizat n capitolele anterioare, transformarea Fourier a unui semnal, permite analiza semnalului n raport cu frecvena, analiz extrem de important n studiul ulterior al modului n care semnalul se propag prin diverse sisteme. TFD i TFDR sunt instrumente care permit calculul facil al spectrului de frecven al unei secvene de date. Spectrul secvenei de date realizat pe baza relaiei 4.7 reprezint un alter ego al acesteia, putnd fi folosit la identificare, clasificare, comparare etc. Trebuie s vedem acum dac spectrul secvenei de date este acelai cu spectrul semnalului din care aceasta s-a prelevat. Prin analogie cu teorema Fourier, care se refer la semnale periodice care au un spectru discret, trebuie menionat c, similar n cazul TFD, dac dispunem de un spectru discret, nseamn c secvena de date de la care acesta provine este periodic. Deci secvena de N date creia i se aplic TFD, este privit ca provenind dintr-un semnal periodic, avnd perioada egal cu N Te unde Te reprezint perioada de eantionare. Reciproc, dac aplicm TFD unei secvene de N date, semnalul cruia i va corespunde spectrul rezultat se obine multiplicnd prin periodicitate aceast secven.


Cele menionate au consecine importante. S analizm exemplul urmtor n care TFD este aplicat iniial unei secvene ce conine un numr ntreg de perioade, dintr-un semnal sinusoidal, situaie reflectat fidel n spectrul su.

b

at = k T

t k T

T = (N-1) Te

t

|H(j)|

f

t

f

|H(j)|

t

t

TFD

TFD

Figura 4.5. Spectrul dat de TFR pentru secvenele de date. Se observ c n al doilea caz, atunci cnd secvena nu conine un numr ntreg de perioade, spectrul rezultat nu este cel corect fiindc el este n fapt spectrul semnalului rezultat prin multiplicarea prin periodicitate a secvenei, reprezentat n figura 4.5.b, care nu este o sinusoid. n concluzie, dac trebuie determinat spectrul unui semnal folosind TFD, atunci n cazul n care semnalul este periodic, secvena de N eantioane prelevat din semnal trebuie s conin un numr ntreg de perioade.


Ce facem ns atunci cnd semnalul este neperiodic? Un posibil rspuns la aceast ntrebare l putem afla n paragraful urmtor. 4.6.2. Ferestruirea (windowing) Atunci cnd se preia o poriune de N eantioane dintr-un semnal, fr a le schimba valoarea, se zice c se preia o fereastr dreptunghiular. Am vzut c prin TFD putem obine spectrul corect numai dac semnalul analizat este periodic i numai prelund o fereastr dreptunghiular care conine un numr ntreg de perioade.

a

b

c

d

1

1

Figura 4.6. Poriune de semnal preluat cu i fr ferestruire.


n caz contrar, alterarea spectrului de frecven se datoreaz cu prioritate zonelor de margine ale ferestrei. Acestea sunt privite ca fcnd parte din semnal, ori este evident c semnalul original nu are astfel de salturi, precum zonele ncercuite din figura 4.6.a. Soluia de nlturare a variaiilor mari din zona de margine a unei poriuni (ferestre) de semnal, o constituie aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ferestruire (windowing). Algoritmul este cel descris de relaia 4.12. Se observ c poriunea prelevat se nmulete cu funcia w[k] , numit funcie fereastr.

1)-..(N 0 k pentru

[kTe]u [k] w [kTe] wu

=

= (4.12)

Aa cum este artat n figura 4.6, funcia fereastr trebuie s aib amplitudine unitar pe toat lungimea poriunii de semnal prelevate, mai puin n zonele de capete unde ea trebuie s descreasc uniform ctre zero. Exist mai multe funcii care au aceast proprietate, unele dintre ele consacrate deja n literatura de specialitate, ca de exemplu: fereastra triunghiular (relaia 4.13), fereastra Welch (relaia 4.14), fereastra Hanning (relaia 4.14) etc.

Triunghiular w 1)(M

1)-(M-2k-1 [k] +

= (4.13)

Welch w 2

1)(M

1)-(M-2k-1 [k]

+= (4.14)

Hanning 1-M

k 2cos-1

2

1 [k]w

= (4.15)

n exemplele date, M poate fi egal cu lungimea secvenei prelevate (N), sau poate fi mai mic dect N, i atunci algoritmii 4.13 4.15 se mpart n dou, cte o jumtate pentru fiecare capt al secvenei, aa cum este ilustrat n figura 4.6. n concluzie, procedeul numeric de ferestruire se aplic secvenei numerice creia urmeaz s-i fie aplicat transformarea TFD sau alt transformare. Ferestruirea are rolul de a reduce contribuia nefast a poriunilor de capt ale secvenei prelevate, n spectrul de frecven al semnalului. Tehnica de ferestruire mai este folosit pentru a ajusta i ali algoritmi de procesare numeric i anume pe cei cu rolul de filtru numeric, aa cum va fi artat ntr-un capitol viitor.


4.6.3. Calculul densitii spectrale de putere

Spectrul unui semnal nu ofer o informaie intuitiv , sub aspect energetic, a contribuiei fiecrei armonici la alctuirea semnalului. Pentru aceasta se folosete o alt mrime denumit densitate spectral de putere, care arat contribuia energetic a fiecrei armonici. Prin analogie cu energia semnalelor analogice, energia total a unei secvene de N eantioane se exprim ca fiind suma ptratelor eantioanelor. Cum se regsete energia semnalului n transformata Fourier a acestuia? Rspunsul la aceast ntrebare l d teorema Parseval:

=

=

==1N

0k

2

[k] TFD

1N

0k

2

[k] U N

1 u W (4.12)

Contribuia la energia total a semnalului, corespunztor fiecrei armonici rezultate prin transformarea Fourier a semnalului, este urmtoarea:

1)/2-(N1,2,..,kpt UU

N

1W

U N

1W

2

k]-[NTFD

2

[k]TFD[k]

2

[0]TFD[0]

=

+=

= (4.13)

unde UTFD[k] sunt coeficienii compleci rezultai din transformarea Fourier a semnalului u [k].

4.6.4. Calculul convoluiei a dou semnale

Convoluia a dou semnale se calculeaz mai simplu prin nmulirea transformatelor Fourier ale acestora, dect prin implementarea algoritmului propriu-zis de convoluie, aa cum se va vedea n capitolul urmtor. 4.7. Alte transformri discrete Dei transformarea Fourier este cea care acapareaz interesul n marea majoritate a studiilor legate de procesarea numeric a semnalelor, exist i alte transformri, uneori mai adecvate scopului urmrit. Obiectul acestui paragraf este doar acela de a aminti i alte cteva transformri de semnale discrete, ntlnite n literatura de specialitate:


Transformarea Cosinus; Transformarea Sinus; Transformarea Walsh Transformarea Hilbert; Transformarea Wavelet; Transformarea Z etc.

Dintre cele menionate, transformarea Z a funciei de transfer, are o importan cu totul aparte n studiul sistemelor. Din acest motiv ea va fi prezentat pe larg n capitolul 8. Pentru a stimula apetitul pentru studiul altor transformri, iat n continuare un exemplu.

4.7.1. Transformarea Cosinus

La fel cu TFD cu care are multe similitudini, Transformarea Cosinus Discret (TCD), se aplic tot unei secvene de N eantioane i se definete astfel:

2N

1)(2kn cosx y

1-N

0 k [k](n)[n]

+=

=

(4.16)

unde: n = 0,.., N-1

==

1-Nn1pentru ,N / 2

0npentru ,N / 1 (n)

Cele N valori rezultate din TCD pot fi asociate celor N armonici rezultate din TFD. Semnificaia valorilor y[k] rezultate din TCD este aceea de contribuie energetic a respectivei armonici n energia secvenei de date xn . Pentru ca timpul de calcul s fie redus, nu este necesar ca de fiecare dat s fie calculate valorile cosinus, ci ele se calculeaz o singur dat la nceput iar se pun ntr-un tablou, de unde sunt citite dup indicele care coincide cu argumentul funciei cosinus, tehnic cunoscut sub numele Look-Up Table. O dat cunoscut secvena y[k] se poate reconstitui secvena iniial x[k], folosind Transformarea Cosinus Discret Invers (TCDI):

2N

1)k(2n cosy (n) x

1-N

0 k [k][n]

+=

=

(4.17)

unde: n = 0, ... , N-1


n reconstrucia semnalului x[k] se pot folosi toi coeficienii y[k] rezultai din transformarea direct, sau doar o parte dintre ei. Evident c dac se reconstruiete semnalul x[k] utiliznd doar o parte dintre componentele y[k] , atunci rezultatul obinut va fi unul diferit de cel original. Aceasta este i ideea folosit pentru crearea unor algoritmi de compresie a datelor. Spre exemplu se rein doar componentele care au o contribuie energetic semnificativ, iar celelalte se nltur. Altfel spus, semnalul x[k] este reprezentat nu prin cele N componente rezultate din TCD, ci doar prin N* componente, cu N*


[n][n]

1-N

0kk]-[n[k] h*xhxy[n] ==

=

x[n]

X[j]

h[n]

H[j]Y[j] = X[j] H[j]

h[n]

TFD

x[n]

[n][n]

1-N

0kk]-[n[k] h*xhxy[n] ==

=

TFD TFD

TFDI TFDI TFDI

Figura 4.7. Transformata Fourier aplicat semnalelor i sistemului.

Se observ c secvena y[n] se poate obine n dou feluri:

Direct la ieirea sistemului prin procesare n domeniul timp, cu ajutorul algoritmului de tipul celui din relaia 4.18;

O cale mai ocolit presupune aplicarea TFD semnalului de intrare, propagarea sa prin transformata sistemului, dup care urmeaz aplicarea TFDI pentru obinerea semnalului discret y[n]. Dei pare mult mai complicat i mai consumatoare de timp de calcul, aceast variant de procesare este frecvent folosit, mai ales pe sistemele cu procesoare DSP. Avantajul major al acestei variante rezult din faptul c ea permite analiza semnalului de intrare n domeniul frecven. n plus, se observ simplitatea procesrii n domeniul frecven: transformata semnalului de ieire se obine extrem de simplu, prin nmulirea transformatei semnalului de intrare cu transformata sistemului. Tot pe baza acestui tip de procesare se bazeaz una din metodele de proiectare a algoritmului sistemului 4.18, pentru ca acesta s aib o comportare anume n domeniul frecven.


4.8.2. Caracteristica de frecven a unui sistem discret Cel mai important aspect legat de transformarea Fourier discret aplicat unui sistem discret este acela c ea furnizeaz caracteristica de frecven a acestuia. Aplicnd relaia de definiie, rezult:

e h H 1N

0ko]n [ TFD

Tek on j[k]

=

= (4.20)

Pentru implementare vom facem referire strict la cele N eantioane din secvena de intrare luate n calcul. Vor rezulta astfel N valori:

e h H1N

0k[n] TFD

N

kn 2 j

[k]

=

= (4.21)

Observaii:

TFD a semnalului furnizeaz spectrul de frecven al semnalului. TFD a sistemului furnizeaz caracteristica de frecven a sistemului. Modulul relaiei 4.21, arat care este amplitudinea unei sinusoide la

ieirea sistemului, atunci cnd la intrarea sa se aduce o sinusoid de amplitudine unitar.

Argumentul valorii complexe H[n], arat care este defazajul dintre sinusoida de intrare i cea de ieire.

Relaia 4.21 nu d informaii despre toate frecvenele, ci doar despre N dintre ele. Deci forma caracteristicii de frecven determinate cu ajutorul TFD este de asemenea discret.

Cele N frecvene crora le putem determina amplitudinea la ieire reprezint valorile rezultate prin divizarea echidistant a domeniului de frecven: Fe/2 +Fe/2 n N intervale. Evident n analiza unor sisteme reale, vor fi de interes doar valorile pozitive ale acestor frecvene, atunci cnd se traseaz caracteristica de frecven.

n concluzie, cunoscnd coeficienii h[n] ai unui sistem discret liniar, se poate determina caracteristica sa de frecven. Trebuie menionat acum i reciproca acestei meniuni, i anume posibilitatea determinrii coeficienilor sistemului, atunci cnd este cunoscut caracteristica de frecven. Aa cum se observ n figura 4.6, aceasta se face prin aplicarea TFDI transformatei TFD a sistemului. Metoda va fi descris pe larg n capitolul de proiectare a filtrelor numerice.


4.9. Aplicaii Problema 4.1. Se d secvena x[n] definit astfel: x[n] = {0; 1/4; 1/2; 3/4; 1} i zero n rest. a. S se deseneze secvena: y[n] = x[n-1]; b. S se deseneze secvena: y[n] = 2x[n-1]; c. S se deseneze secvena: y[n] = x[-n]; d. S se deseneze secvena: y[n] = x[2-n]; e. S se deseneze secvena: y[n] = x[n-1]+x[1-n]; Soluie: a. y[0] = x[0-1] = x[-1]

y[1] = x[1-1] = x[0] y[2] = x[2-1] = x[1], etc.

1

0 1 2 3 4 n

1/4

1/2

3/4

1x[n]

0 1 2 3 4 5 n

1/4

1/2

3/4

1y[n] =x[n-1]

a.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n

1/4

1/2

3/4

y[n] =x[2-n]

d.

Figura 4.8. Soluie la problema 4.1. Deci x[n-1] reprezint o secven ntrziat cu un interval de eantionare, fa de secvena x[n], iar grafic aceasta apare desenat cu un interval la dreapta, aa cum este artat n figura 4.8.a.

d. y[n] = x[2-n] Rezult: y[-2] = x[2-(-2)] = x[4] = 1


y[-1] = x[2-(-1)] = x[3] = 3/4 y[0] = x[2-0] = x[2] = 1/2 y[1] = x[2-1] = x[1] = 1/4 y[2] = x[2-2] = x[0] = 0, etc.

Rezultatul este prezentat sintetic n figura 4.8.d

Problema 4.2. Pentru secvenele de date din figura 4.9, a. S se deseneze secvena: y[n] = x[n-1]; b. S se deseneze secvena: y[n] = 0,5x[n-1]; c. S se deseneze secvena: y[n] = x[-n]; d. S se deseneze secvena: y[n] = x[5-n]; e. S se deseneze secvena: y[n] = x[n-10]+x[10-n].

0 1 2 3 4 5 6 7 8 n

1/41/2

3/4

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 n

1

2

3

4x[n] x[n]

Figura 4.8. Semnale pentru problema 4.2. Problema 4.3. Un sistem discret este definit de algoritmul urmtor: y[n] = x[n] 2x[n1] + x[n2]. Precizai dac sistemul este:

a. liniar / neliniar; b. cauzal / necauzal; c. variant / invariant; d. stabil / instabil; e. recursiv / nerecursiv.

Problema 4.4. Rspundei la aceleai ntrebri ca i n problema precedent, n cazul n care sistemele sunt definite de urmtorii algoritmi:

a. y[n] = x[n+1] 2x[n1] b. y[n] = x[n] 2y[n] c. y[n] = x[n] 2x[n1] + 0,001 y[n2].

Problema 4.5. Un sistem discret este definit de algoritmul: y[n] = x[n] 2x[n1] + x[n2]. Secvena x[n] este cea din figura urmtoare: a. s se determine i s se deseneze secvena de ieire y[n]; b. Ce form ar avea y[n] dac x[n]= Asin (2nF / Fe) unde F=50 Hz,

Fe=1000 Hz?


c. Care ar fi n acest caz defazajul dintre tensiunea de intrare i cea de ieire?

d. Ce form ar avea tensiunea de ieire dac x[n]= [n] (impuls unitar) ?

n

n

X[n]

Y[n]

Figura 4.9. Semnale pentru problema 4.5.

Problema 4.6. Pentru un sistem liniar i invariant n timp se cunoate rspunsul la impuls unitar h[n]. S se determine rspunsul sistemului dac se cunoate secvena de intrare x[n] pentru exemplul din figura 4.10.

n

n

x[n]

h[n]

1

2

n

y[n]

1

Figura 4.10. Semnale pentru problema 4.6.

Problema 4.7. Un semnal este prelucrat cu algoritmul: y[n] =2 x[n] x[n1] + 0,5x[n2]. Din secven sinusoidal de intrare x[n] se cunosc doar primele trei eantioane: x[0] =1; x[1] =2; x[2] =0,5;


a. S se determine parametrii sinusoidei de intrare, din care fac parte cele trei eantioane, tiind c frecvena de eantionare este Fe=200Hz.

b. Este soluia unic determinat? c. S se determine secvena de ieire. d. Aparin punctele din secvena de ieire unei sinusoide avnd

frecvena egal cu cea de la intrare? e. Dac da, determinai amplitudinea sinusoidei de la ieire.

Problema 4.8. Secvena x[n] de mai jos conine urmtoarele 10 date: x[n] = {2; 1; 1; 0; 3; 2; 0; 3; 4; 6} a. S se calculeze Transformata Fourier Discret X[k] a secvenei; b. S se calculeze X[0] i X[5], fr a utiliza calculul TFD;

c. S se calculeze =

9

0k

X[k] ; d. S se calculeze =

9

0k

2X[k] .

Soluie:

b. 221xexX9

0k[k]

N/k02j9

0k[k]]0[ ===

=

=

( ) ==== ==

=

k9

0k[k]

9

0k[k]

10/k52j9

0k[k]]5[ )1(x)ksin(j)kcos(xexX 2

c.

=

=

==

===

===9

0n

10/kn2j9

0k[k]

10/kn2j9

0n[k]

9

0k

10/kn2j9

0k[k]

9

0n

9

0n[n] exexexX

=

=

=

=

++++=9

0n

10/n92j[9]

9

0n

10/n22j[2]

9

0n

10/n12j[1]

9

0n

10/n02j[0] ex..exexex

Sumele din ultimii 9 termeni se calculeaz mai uor dac reprezentm numerelor complexe, ca n figura 4.11. Din motive de simetrie pentru k=1 suma prilor reale i imaginare va fi nul. Pentru k=2, suma este:

( ) 0)144cos(2)72cos(2)0cos(2e 009

0n

10/n22j =++==

Rezult: [0][9][2][1]9

0k[0]

9

0n[n] x100 x.....0 x0 x1 xX =++++=

==

d. Se folosete teorema Parseval: ==

=9

0k

2

]k[

9

0k

2

]k[ x10X


Re

Im

0

n=1

n=2

n=4

n=5

n=6

n=7 n=8

n=9

k =1

n=3

Re

Imn=1,6

n=2,7

n=3,8

n=4,9

n=0,5k =2

Figura 4.11. Soluie la problema 4.8

Problema 4.9. S se calculeze Transformata Fourier Discret a secvenelor de date din figura urmtoare:

0 1 2 3 4 n

1/4

1/2

3/4

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 n

1/4

1/2

3/4

1

Figura 4.12. Semnale pentru problema 4.9

Problema 4.10. Calculai TFD pentru urmtoarele secvene x[n] de lungime N:

a. x[n] = [n-no] ; unde 0 < no < N;

b.


Problema 4.13. S se genereze o secven coninnd L=113 eantioane aparinnd unui semnal sinusoidal ( A=1, F=10, Fe=200).

a. S se aplice secvenei o ferstruire de tip Hanning cu M=20; b. S se aplice TFD att secvenei originale ct i celei ferstruite; c. Explicai diferenele.

4.10. Bibliografie

[4.1] Oppenheim A.V., Schafer R.W., "Discrete-Time Signal Processing" Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632, 1989.

[4.2] Mateescu A., Prelucrarea numeric a semnalelor, Ed. Tehnic, Bucureti, 1997.

[4.3] *** Numerical Recipes in Pascal, Cambridge University Press, 1990.

[4.4] *** http://www.dspguide.com/ch5.htm

[4.5] *** http://www.jhu.edu/~signals/sysprop/sys.html

[4.6] *** http://www.bores.com/courses/intro/basics/index.htm

[4.7] *** www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/signal/basics1.shtml

pns_cap04

Documents