PLAXIS 版本 8

材料模型手册

i

目录

1 概述...................................................... 1-1 1.1 不同模型的选用 ........................................ 1-1 1.2 局限性 ................................................ 1-3

2 材料模拟初步.............................................. 2-1 2.1 应力的一般定义 ........................................ 2-1 2.2 应变的一般定义 ........................................ 2-3 2.3 弹性应变 .............................................. 2-5 2.4 用有效参数进行的不排水分析............................. 2-7 2.5 用不排水参数进行不排水分析............................ 2-11 2.6 高级模型中的初始预固结应力............................ 2-12 2.7 关于初始应力 ......................................... 2-13

3 Mohr-Coulomb模型（理想塑性） .............................. 3-1 3.1 理想弹塑性行为 ........................................ 3-1 3.2 Mohr-Coulomb模型的表示................................. 3-2 3.3 Mohr-Coulomb模型的基本参数............................. 3-5 3.4 Mohr-Coulomb模型的高级参数............................. 3-8

4 节理岩体模型（各向异性） .................................. 4-1 4.1 各向异性弹性材料的刚度矩阵............................. 4-2 4.2 三个方向上的塑性行为................................... 4-4 4.3 节理岩体模型的参数..................................... 4-7

5 Hardening-Soil模型（各向同性Hardening） ................... 5-1 5.1 标准排水三轴试验的双曲线关系........................... 5-2 5.2 Hardening-Soil模型的双曲近似........................... 5-3 5.3 三轴应力状态下的塑性体积应变........................... 5-5 5.4 Hardening-Soil模型的参数............................... 5-6 5.5 Hardening-Soil模型中帽盖型屈服面...................... 5-11

6 软土蠕变模型（时间相关行为） .............................. 6-1 6.1 概述 .................................................. 6-1 6.2 一维蠕变基本知识....................................... 6-2 6.3 关于变量 cτ 和 cε ....................................... 6-4 6.4 一维蠕变的微分法则..................................... 6-6 6.5 三维模型 .............................................. 6-8 6.6 计算弹性三维应变...................................... 6-11

材料模型手册

ii PLAXIS 版本 8

6.7 模型参数的回顾........................................ 6-12 6.8 三维模型的有效性...................................... 6-15

7 软土模型 .................................................. 7-1 7.1 应力和应变的各向同性状态（ ' ' '1 2 3σ σ σ= = ）............... 7-1 7.2 三轴应力状态（ ' '2 3σ σ= ）的屈服函数 ..................... 7-2 7.3 软土模型参数........................................... 7-5

8 改进的Cam-Clay模型 ........................................ 8-1

9 高级土体模型的应用 ........................................ 9-1 9.1 HS模型：排水和不排水三轴试验中的反应 ................... 9-1 9.2 Hardening-Soil模型在实际土工试验中的应用 ............... 9-5 9.3 SSC模型：一维压缩实验中的反应 ......................... 9-12 9.4 SSC模型：不同加载速率下的不排水三轴试验 ............... 9-16 9.5 SS模型：等向压缩试验下的反应 .......................... 9-18 9.6 用HS模型模拟水下开挖.................................. 9-20 9.7 用 SSC模型建造路基.................................... 9-22

10 用户定义的土体模型 ....................................... 10-1 10.1 概述.............................................. 10-1 10.2 UD模型在计算程序中的实现 .......................... 10-1 10.3 通过用户界面输入UD模型参数 ....................... 10-11

11 参考文献 ................................................. 11-1

附录 A – 符号

附录 B – 用户定义土壤模型的 FORTRAN 子程序

附录 C – 为用户定义的土壤模型生成一个调试文件

概述

1-1

1 概述

许多方法可以用来模拟岩土的力学行为，它们的精度各不相同。例如，线性及各

向同性弹性的 Hooke 定律是可以得到的最简单的应力—应变关系。由于它仅仅涉

及到两个输入参数，即’杨氏模量 E，和’泊桑比ν。通常认为这种应力—应变关系太粗糙了，不能把握岩土行为的本质特点。然而，对于大量结构单元和岩床层

的模拟，线弹性性质往往是比较合适的。

1.1 不同模型的选用

Mohr-Coulomb 模型（MC）

弹塑性 Mohr-Coulomb 模型包括五个输入参数，即：表示土体弹性的 E 和ν ，表示土体塑性的 ϕ 和 c，以及剪胀角 ψ。Mohr-Coulomb 模型描述了对岩土行为的一种‘一阶’近似。这种模型被推荐用于问题的初步分析。对于每个土层，可以

估计出一个平均刚度常数。由于这个刚度是常数，计算往往会相对较快，可以得

到变形的一个初步印象。除了上述提到的五个模型参数，初始的土体条件在许多

土体变形问题中也起着关键的作用。通过选择适当的 K0 值，可以生成初始水平土

应力。

节理岩石模型（JR）

节理模型是一种各向异性的弹塑性模型，特别适用于模拟包括层理尤其是断层方

向在内的岩层行为等。塑性最多只能在三个剪切方向（剪切面）上发生。每个剪

切面都有它自身的抗剪强度参数ϕ和 c。完整岩石被认为具有完全弹性性质，其刚度特性由常数 E 和 ν表示。在层理方向上将定义简化的弹性特征。

Hardening-Soil 模型（HS）

Hardening-Soil model 是一种改进了的模拟岩土行为的模型。对于 Mohr-Coulomb

模型来说，极限应力状态是由摩擦角 ϕ、粘聚力 c 以及剪胀角ψ 来描述的。但是，采用三个不同的输入刚度可以将土体刚度描述得更为准确：三轴加载刚度 E50、

三轴卸载刚度 Eur和固结仪加载刚度 Eoed。我们一般取 Eur=3E50 和 Eoed=E50作为不同

土体类型的平均值，但是，对于非常软的土或者非常硬的土通常会给出不同的

Eoed/E50比值。

对比 Mohr-Coulomb 模型，Hardening-Soil 模型还可以用来解决模量依赖于应力

的情况。这意味着所有的刚度随着压力的增加而增加。因此，输入的三个刚度值

与一个参考应力有关，这个参考应力值通常取为 100kPa (1 bar)。

材料模型手册

1-2 PLAXIS 版本 8

软土蠕变模型（SSC）

上面提到的 Hardening-Soil 模型适用于所有的土，但是它不能用来解释粘性效应

，即蠕变和应力松弛。事实上，所有的土都会产生一定的蠕变，这样，主压缩后

面就会跟随着某种程度的次压缩。

而蠕变和松弛主要是指各种软土，包括正常固结粘土、粉土和泥炭土。在这种情

况下我们采用软土蠕变模型。请注意，软土蠕变模型是一个新近开发的应用于地

基和路基等的沉陷问题的模型。对于隧道或者其他开挖问题中通常会遇到的卸载

问题，软土蠕变模型几乎比不上简单的 Mohr-Coulomb 模型。就像 Mohr-Coulomb

模型一样，在软土蠕变模型中，恰当的初始土条件也相当重要。对于 Hardening-

Soil 模型和软土蠕变模型来说，由于它们还要解释超固结效应，因此初始土条件

中还包括先期固结应力的数据。

软土模型（SS）

软土模型是一种 Cam-Clay 类型的模型，特别适用于接近正常固结的粘性土的主压

缩。尽管这种模型的模拟能力可以被 Hardening-Soil 模型取代，当前的版本中仍

然保留了这种软土模型，因为 PLAXIS 的用户们已经习惯了这种模型，并且喜欢继

续使用这种模型。

改进的 Cam-Clay 模型（MCC）

改进的 Cam-Clay 模型是对 Muir Wood（1990）描述的原始 Cam-Clay 模型的一种

改写。它主要用于模拟接近正常固结的粘性土。

不同模型的分析

如果要对所考虑的问题进行一个简单迅速的初步分析，我们建议使用 Mohr-

Coulomb 模型。当缺乏好的土工数据时，进一步的高级分析是没有用的。

在许多情况下，当你拥有主导土层的好的数据时，可以利用 Hardening-Soil 模型

来进行一个额外的分析。毫无疑问，同时拥有三轴试验和固结仪试验结果的可能

性是很小的。但是,原位实验数据的修正值对高质量实验数据来说是一个有益的补

充。

最后，软土蠕变模型可以用于分析蠕变（即：极软土的次压缩）。用不同的土工

模型来分析同一个岩土问题显得代价过高，但是它们往往是值得的。首先，用

Mohr-Coulomb 模型来分析是相对较快而且简单的；其次，这一过程通常会减小计

算结果的误差。

概述

1-3

1.2 局限性

开发 PLAXIS 程序及其模型是用于计算实际岩土问题的。从这个观点看，PLAXIS

可以被认为是一个岩土模拟工具。土工模型是对岩土行为的一个定性描述，而模

型参数是对岩土行为的一个定量描述。尽管 PLAXIS 在开发程序及其模型上面花了

很多功夫，它对现实情况的模拟仍然只是一个近似，这就意味着 PLAXIS 在数值和

模型方面都有不可避免的误差。此外，模拟现实情况的准确度在很大程度上还依

赖于用户对所要模拟问题的熟练程度、对各类模型及其局限性的了解、模型参数

的选择和对计算结果可信度的判断能力。

我们一直都在改进 PLAXIS 的代码及其模型，每一个新版本都是对上一个版本的更

新。当前版本的局限性如下：

HS 模型

这是一个硬化模型，不能用来说明由于岩土剪胀和崩解效应带来的软化性质。事

实上，它是一个各向同性的硬化模型，因此，既不能用来模拟滞后或者反复循环

加载情形。如果要准确地模拟反复循环加载情形，需要一个更为复杂的模型。最

后要说明的是，由于材料刚度矩阵在计算的每一步都需要重新形成和分解，

Hardening-Soil 模型通常需要较长的计算时间。

SSC 模型

上述局限性对软土蠕变（SSC）模型同样存在。此外，SSC 模型通常会过高地预计

弹性岩土的行为范围。特别是在包括隧道修建在内的开挖问题上。

SS 模型

同样的局限性（包括 HS 模型和 SSC 模型的）存在于 SS 模型中。事实上，SS 模型

可以被 HS 模型所取代，这种模型是为了方便那些熟悉它的用户们而保留下来的。

SS 模型的应用范围局限在压缩占主导地位的情形下。显然，在开挖问题上不推荐

使用这种模型。

MCC 模型

同样的局限性（包括 HS 模型和 SSC 模型的）存在于 MCC 模型中。此外，MCC 模型

允许极高的剪应力存在，特别是在应力路径穿过临界状态线的情形下。进一步说

，改进的 Cam-Clay 模型可以给出特定应力路径的软化行为。如果没有特殊的正规

化技巧，那么，软化行为可能会导致网格相关和迭代过程中的收敛问题。改进的

Cam-Clay 模型在实际应用中是不被推荐的。

材料模型手册

1-4 PLAXIS 版本 8

界面

界面单元通常用双线性的 Mohr-Coulomb 模型模拟。就像本参考手册 3.5.2 节中介

绍的那样，当一个更高级的模型被用于相应的材料数据集时，界面单元仅需要选

择那些与 Mohr-Coulomb 模型相关的数据：（c,ϕ,ψ,E,ν）。在这种情况下，界面刚度值取的就是弹性岩土刚度值。因此，E=Eur，其中 Eur 是应力水平相关的，即

Eur与σm成幂率比例。对于软土蠕变模型来说，幂指数 m 等于 1，Eur在很大程度上由膨胀常数κ*确定。

材料模拟初步

2-1

2 材料模拟初步

一个材料模型是由一组描述应力与应变之间关系的数学方程组形成的。材料模型

通常的表达形式是：应力的无穷小增量（或‘应力变化率’）与应变的无穷小增

量（或‘应变变化率’）之间的关系。PLAXIS 中的所有材料模型都是基于有效应

力变化率和应变变化率之间的关系来建立的。下一个章节描述了应力和应变在

PLAXIS 中是怎样被定义的。在接下来的章节里，描述了基本的应力-应变关系的

构成和不排水材料中孔隙压力的影响。后面的章节将集中介绍各种改进的材料模

型的初始条件。

提示：PLAXIS 中的单元和材料模型的构成是完全三维的。然而，版本 8 仅考虑了

平面应变和轴对称条件下的情形。

2.1 应力的一般定义

应力是一个张量，它在笛卡尔坐标系下可以由一个矩阵来表示：

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

σσσσσσσσσ

σ (2.1)

在标准的形变理论中，应力张量是对称的，也就是说这些关系式σxy=σyx,σyz=σzy和σzx=σxz.成立。在这种情况下，应力通常被写成向量的形式，仅包括六个独立的分量：

( )Tzxyzxyzzyyxx σσσσσσσ = (2.2) 在平面应变条件下，

0== zxyz σσ

根据 Terzaghi 原理，土体中的应力由有效应力和孔隙压力组成：

wσσσ += ' (2.3)

由于水不能承受任何剪应力，故有效剪应力与总剪应力相等。正法向应力分量被

认为是表示拉力，而负法向应力分量则表示压力（或者压缩）。

岩土材料模型通常描述了有效应力的无穷小增量与应变的无穷小增量之间的一种

关系。在这种关系中，有效应力的无穷小增量由应力变化率（在应力的符号上方

加上一个圆点）来表示：

材料模型手册

2-2 PLAXIS 版本 8

( )Tzxyzxyzzyyxx σσσσσσσ &&&&&&& '''' = (2.4)

σyy

σxx

σzzσzx

σzy

σxz

σxy

σyxσyz

y

x

z

σyy

σxx

σzzσzx

σzy

σxz

σxy

σyxσyz

σyyσyy

σxxσxx

σzzσzzσzxσzx

σzyσzy

σxzσxz

σxyσxy

σyxσyxσyz

y

x

z

图 2.1 通常的三维坐标系统和应力记号表示

在阐述材料模型时，通常，使用主应力比使用笛氏应力分量更为有效。主应力是

在这样的坐标系下——所有剪应力分量沿坐标轴方向为零——的应力。事实上，

主应力是应力张量矩阵的特征值。有效主应力可以由如下方式求得：

( ) 0''det =− Iσσ (2.5) 其中 I 是单位矩阵。这个方程可以求得 的三个解，即有效主应力。在 PLAXIS 中

，有效主应力按照代数值的大小顺序排列：

σ'1 ≤ σ'2 ≤ σ'3 (2.6)

因此， 是最大的压缩主应力， 是最小的压缩主应力。在本手册中，模型通

常在主应力空间（如图 2.2 所示）中分析。

图 2.2 主应力空间

材料模拟初步

2-3

除了主应力以外，定义应力不变量也是很有用的。应力不变量是与坐标轴位置无

关的应力度量。两个有用的应力不变量是：

( ) ( )3213131 ''' σσσσσσ ′+′+′−=++=′ zzyyxx-p (2.7a)

( ) ( ) ( ) ( )( )22222221 6 zxyzxyxxzzzzyyyyxx '''''q σσσσσσσσσ +++−+−+′−= (2.7b) 其中 p’是各向同性的有效应力，或者平均有效应力，而 q 是等效剪应力。注意

到相对于其他类型的应力而言，约定 p’在受到压缩时为正。等效剪应力，q，有

如下重要的性质：

当三轴应力状态满足 时，它退化到 。

有效主应力还可以由应力不变量表示出来：

- ( )πθσ 32321 sin −+′=′ qp (2.8a)

- ( )θσ sin322 qp +′=′ (2.8b)

- ( )πθσ 32323 sin ++′=′ qp (2.8c) 其中θ被称为 Lode 角（第三不变量），定义如下：

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 3

331

227arcsin

qJθ (2.9)

以及

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) zxyzxyxyzzzxyyyzxxzzyyxx p-p-p-p-p-p-J σσσσσσσσσσσσ 22223 +′′−′′−′′−′′′′′′= (2.10)

2.2 应变的一般定义

笛卡尔坐标下，应变是一个可以由如下矩阵表示的张量：

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

εεεεεεεεε

ε (2.11)

材料模型手册

2-4 PLAXIS 版本 8

根据小形变理论，两个互余的笛氏剪切应变分量 和 之和才会导致剪应力。

这 个 和 由 剪 应 变 γ 来 表 示 。 于 是 ， 剪 应 变 分 量 和 取 代 了

和 。在上述条件下，应变通常写为向量形式，仅涉及

六个不同的分量：

( )Tzxyzxyzzyyxx γγγεεεε = (2.12)

xux

xx ∂∂

=ε (2.13a)

yuy

yy ∂

∂=ε (2.13b)

zuz

zz ∂∂

=ε (2.13c)

xu

yuεεγ yxyxxyxy ∂

∂+

∂∂

=+= (2.13d)

yu

zu zy

zyyzyz ∂∂

+∂

∂=+= εεγ (2.13e)

zu

xu xz

xzzxzx ∂∂

+∂∂

=+= εεγ (2.13f)

与应力相似，正的法向应变分量指的是拉伸，而负的法向应变分量指的是压缩。

在材料模型的阐述中，考虑应变的无穷小增量，这些增量由应变率来表示（在应

变的记号上加上一个点）。

( )Tzxyzxyzzyyxx γγγεεε &&&&&&& =ε (2.14) 在平面应变条件下，就像 PLAXIS 版本 8中所考虑的一样，有

0=== yzxzzz γγε

在轴对称条件下有

材料模拟初步

2-5

xzz ur1

=ε 和 0== yzxz γγ (r 是半径）

类似于应力不变量，定义应变不变量也是很有用处的。一个通常使用的应变不变

量是体积应变， ，定义为所有法向应变分量的和：

321 εεεεεεε ++=++= zzyyxxv (2.15)

体积应变在压缩时定义为负，膨胀时定义为正。

就像 PLAXIS 程序中采用的那样，对于弹塑性模型，应变可以分解为弹性分量和塑

性分量：

εεε pe += (2.16)

在整个手册中，上标 e表示弹性应变，上标 p 表示塑性应变。

2.3 弹性应变

岩土的材料模型通常由有效应力的无穷小增量（‘有效应力变化率’）和应变的

无穷小增量（‘应变变化率’）之间的某种关系来表示。这种关系可以由如下形

式来表示：

εσ && M=′ (2.17)

是材料刚度矩阵。注意到在这种应力—应变关系中，孔隙压力被明确地排除在

外。

PLAXIS 中最简单的材料模型是基于描述各向同性线弹性行为的 Hooke 定律。这个

模型属于‘线弹性模型’，同时它也是其他模型的基础。Hooke 定律可以由如下

方程给出：

( )( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

+−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

γγγεεε

E

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

'000000'000000'000000'1''000''1'000'''1

'1'21'

''''''

21

21

21

νν

νννν

νννννν

νν

σσσσσσ

(2.18)

材料模型手册

2-6 PLAXIS 版本 8

弹性材料刚度矩阵通常记为 。这个模型采用了两个参数，有效’杨氏模量

，以及有效’泊桑比 。在本手册的后续章节中，除特别声明外，表示有效参数

时都不用（'）符号。本手册中的 E 和 v 有时会有下标 u、r 出现，用来强调卸载

和重新加载的情形。如果一个模量带有下标 ref，则意味着它是相对于某个特定

的参考水平 的（见后文）。

下面给出了’杨氏模量 E 与其他模量，比如剪切模量 G、体积模量 K 以及模量

Eoed 之间的关系：

( )ν+= 12EG (2.19a)

( )ν213 −=EK (2.19b)

( )( )( )νν

ν+−

=121

1

E - Eoed (2.19c)

在‘线弹性模型’或者‘Mohr-Coulomb 模型’的输入材料参数中，G 与 是辅

助性质的参数（二中择一的），其值可以由式(2.19)算得。注意到这个选择会受

到 E 和 v 的输入值的影响。给 G 与 两者中的任何一个输入一个特定的值，都

会引起’杨氏模量值 E的改变。

对于‘线弹性模型’来说，指定一个随着深度线性变化的刚度值是可能的。具体

操作如下：使用高级按钮进入高级参数窗口，如图 2.3 所示。在这里可以对

输入一个值，它表示单位深度内的模量增量，如图 2.4 所示。

图 2.3：线弹性模型的参数表

材料模拟初步

2-7

图 2.4：高级参数窗口

在输入 后，参考深度 的输入也成为必要。在 之上，刚度值等于

。在 之下，刚度值由如下公式给出：

‘线弹性模型’通常不宜用来模拟土的高度非线性行为，但是它可以用来模拟那

些厚的混凝土墙或者混凝土板的结构行为，因为相对于土来说，它们的强度很高

。在这些应用中，，‘线弹性模型’通常与无孔型材料行为联合使用，以避免考虑结构单元中的孔隙水压。

2.4 用有效参数进行的不排水分析

在 PLAXIS 中，使用有效模型参数进行有效应力分析时，可以指定材料为不排水行

为。这只需将某个土层的材料行为类型（材料类型）指定为‘不排水’就可以了

。本节将解释 PLAXIS 是如何处理这个特殊选项的。

通常情况下，土体中由水引起的孔隙应力会影响总的应力水平。根据 Terzaghi 原

理，总应力 由有效应力 和孔隙应力 组成（见 Eq.2.3）。然而，水被假

定为不能承受任何剪应力的，因此有效剪应力就等于总的剪应力：

wxxxx σσσ += ' (2.21a)

wyyyy σσσ += ' (2.21b)

wzzzz σσσ += ' (2.21c)

材料模型手册

2-8 PLAXIS 版本 8

xyxy 'σσ = (2.21d)

yzyz 'σσ = (2.21e)

zxzx 'σσ = (2.21f)

类似于总应力分量和有效应力分量，设定 在压力下为负。

孔隙应力可以进一步分为稳态孔隙应力， 和超静水孔隙应力， ：

σw = psteady + pexcess (2.22)

稳态孔隙压力被认为是输入数据，因为它是基于地下水位和地下水渗流来生成的

。在参考手册的 3.8 节讨论了稳态孔隙压力的生成。超静孔隙压力是在不排水材

料行为的塑性计算中产生的。下面将要介绍不排水材料行为和相应的超静水孔隙

应力的计算。

既然稳态分量对时间的导数等于零，那么：

σ& w = pexcess& (2.23)

Hooke 定律可以求逆得到：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+−−

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

zx

yz

xy

zz

yy

xx

ezx

eyz

exy

ezz

eyy

exx

E

σσσσσσ

νν

ννν

νννν

γγγεεε

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

'''

'22000000'22000000'220000001''000'1'000''1

'1

(2.24)

代入 Eq.(2.21)得到：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+−−

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

zx

yz

xy

wzz

wyy

wxx

ezx

eyz

exy

ezz

eyy

exx

E

σσσ

σσσσσσ

νν

ννν

νννν

γγγεεε

&

&

&

&&

&&

&&

&

&

&

&

&

&

'22000000'22000000'220000001''000'1'000''1

'1

(2.25)

材料模拟初步

2-9

考虑轻度可压缩的水，孔隙压力率可以写成：

( )εεεσ &&&& ezzeyyexxww + + nK= (2.26)

上式中 Kw 是水的体积模量，n是土的孔隙率。

Hooke 定律的逆形式可以由总应力变化率和不排水参数 Eu、Vu 表示出来：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+−−

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

zx

yz

xy

zz

yy

xx

u

u

u

uu

uu

uu

u

ezx

eyz

exy

ezz

eyy

exx

E

σσσσσσ

νν

ννν

νννν

γγγεεε

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

'''

220000002200000022000000100010001

1 (2.27)

其中：

( )ν uu + G E 12= ( )( )'121

'1'νμνμνν

++++

=

u (2.28)

'31

KK

n w=μ ( )ν ′−=

′213'EK (2.29)

根据式(2.28)和(2.29)，PLAXIS 中关于不排水行为的特殊选项使得有效参数 G 和

v 转化成了不排水参数 和 。注意到下标 u 是用来标明不排水土的辅助参数的

。因此， 和 不应该与用来表示卸载/重新加载的 和 混淆。

描述的是完全不可压缩行为。然而， 将导致刚度矩阵的奇异

性。实际上，水并不是完全不可压缩的，只不过，水的实际体积模量值是相当大

的。为了避免过低压缩性引起的数值问题， 的缺省值取为 0.495，这意味着不

排水土体是轻微可压缩的。为了保证计算结果接近实际，相对于土架的体积模量

而言，水的体积模量必须很大，即 。要求 就能充分保证这

个条件。一旦大的’泊桑比与不排水材料行为一起使用时，用户通常会得到一个

警告。

于是，对于不排水材料行为，水的一个体积模量值被自动的加到了刚度矩阵里面

。这个体积模量值由如下给定（至少对于 是这样的）：

材料模型手册

2-10 PLAXIS 版本 8

( )( )( ) KKKn

Ku

uw ′>′′+

′−=′

′+−′−

= 301495.0300

1213

νν

νννν

(2.30)

这里有必要对 Skempton B 参数做一回顾性评述。

Skempton B-参数：

当材料类型（材料行为的类型）被设置成不排水时，将土看成一个整体（土架+水

），PLAXIS 自动地假定了一个隐含的体积模量 同时区分总应力、有效应力和

超静孔隙压力（见不排水行为）：

总应力: νεΔ=Δ uKp

有效应力: νεΔ′=Δ−=′Δ KpBp )1(

超静孔隙压力: νεΔ=Δ=Δ nKpBp ww

注意到有效的模型参数，即 , ,而不是 必须在

材料数据组中输入。PLAXIS 可以根据弹性 Hooke 定律自动计算不排水的体积模量

值：

)21(3)1(2

u

uu

GKνν

−+

= 其中 )'1(2

'ν+

=EG

并且 495.0=uν （当使用标准设置时）

或者 )'21(3)'21('3

νννν

−−−+

=BB

u （当使用人工设置时）

不排水’泊桑比的某个特定值 ，意味着关于孔隙流体体积刚度 的一个

相应的参考值：

', KKn

Ku

refw −= 其中 )'21(3

''ν−

=EK

并且 的值通常要比纯水的真实体积刚度 要小得

多。

如果 Skempton B-参数的值未知，但是饱和度 S 以及孔隙率 n 是已知的，那么，

孔隙流体体积刚度值可以估计如下：

材料模拟初步

2-11

nS)K(SKKK

nK

wair

airww 11 0

0

−+=

其中对于一个大气压压下的空气 。现在，Skempton B-参数

的值可以由土骨架的体积刚度和孔隙流体的体积刚度之比计算得到：

wKnKB '1

1

+=

超静水孔隙压力的变化率可以根据（小）体积应变变化率计算得到：

εσ && vww nK= (2.31)

PLAXIS 中使用的单元类型可以完全避免几乎完全不可压缩材料的网格闭锁现象。

PLAXIS程序中所有的材料模型都有基于有效模型参数来模拟材料的不排水行为的

这个特殊选项。从而可用有效模型参数进行不排水计算，明确区分有效应力与孔

隙（超静水）压。

这一分析需要土体的有效参数，所以在具有这类参数时是很方便的。但对软土工

程，可能有时有直接给出土体的有效参数。现场测试或室内试验给出的可能是土

体的不排水参数。在此情况下，由土体的不排水杨氏模量可用下式方便地给出土

体的有效杨氏模量：

' 2(1 )

3 uE Eν

′+= (2.32)

但是，不排水抗剪强度却不容易用来确定有效强度参数ϕ 和c。对这类问题，PLAXIS 提供了直接采用所输入的不排水强度参数 (cu or su) 并取 0uϕ ϕ= =

o

进行分析的可能。这一选项只对Mohr-Coulomb 模型和硬化土(HS)模型适用，而对

软土（蠕变）模型不使用。注意：只要材料类型参数为不排水，对弹性参数 E 和 ν便需输入有效参数值!

2.5 用不排水参数进行不排水分析

不管是什么原因，如果要在 PLAXIS 中进行不排水分析而不想使用不排水选项时，

你 可 以 通 过 选 择 非 孔 隙 选 项 并 直 接 输 入 不 排 水 弹 性 参 数 和

以及不排水强度参数 和 来模拟这种不排水行

材料模型手册

2-12 PLAXIS 版本 8

为。在这种情况下进行的总应力分析没有明确区分有效应力和孔隙压力。因此，

现在所有输出结果中所说的有效应力都应该看作是总应力，而所有的孔隙压力都

等于零。在应力的图形输出中，非孔隙组的应力是不给出的。如果的确需要应力的图形输出，那么，在材料行为类型的选择中，你应该选择排水而不是选择非孔隙，同时要确信在这些类组中没有孔隙压力生成。

请注意，这种方法在软土蠕变模型中是不可行的。总的来说，PLAXIS 中使用不排水选项来模拟不排水行为的有效应力分析方法是优于总应力分析方法的。

2.6 高级模型中的初始预固结应力

使用 PLAXIS 高级模型时，需要一个初始预固结应力。在工程实际中，通常使用竖

向预固结应力 pσ ，但是 PLAXIS 需要一个等效的各向同性预固结应力eqpp ，用来

确定一个帽盖型屈服面的初始位置。如果材料是超固结的，那么，还需要超固结

比（OCR）的信息，即先前达到的最大竖向应力 pσ （见图 2.5）与原位有效竖向

应力'0yyσ 的比值。

0' =

yy

pOCRσσ

(2.33)

还有一种确定初始应力状态的办法是使用‘Pre-Overburden’压力（POP）作为一

种替代来指定超固结比。‘Pre-Overburden’压力定义如下：

|' - | = 0yypPOP σσ (2.34)

图 2.5 说明了这两种指定垂直预固结应力的方法。

POP '0yy

p

σσ

OCR =

0'yyσ

0'yyσpσ pσ

图 2.5 竖向预固结应力与原位竖向应力之间的关系。2.5a 使用 OCR，2.5b 使用

POP

材料模拟初步

2-13

预固结应力 pσ 可以用来计算eqpp ，

eqpp 是用来决定高级土工模型中帽盖型屈服面

的初始位置的。eqpp 的计算基于应力状态：

p' σσ =1 pNCK'' σσσ 032 == (2.35)

其中 0NCK 是 正常固结条件下的 0K 值。Hardening-Soil 模型参数的缺省设置是

用 Jaky 公式 0NCK 1 sinϕ≈ − 来计算 0

NCK 值。。对于软土蠕变模型，缺省值的设置略有不同，但是与 Jaky 公式的差别不大。

2.7 关于初始应力

超固结土的侧向土压力系数比正常固结的土要大。当高级土工模型利用 0K 过程来生成初始应力时，它自动地考虑了这一点。这个过程描述如下。

考虑一维压缩试验，首先预加载'yy pσ σ= ，然后卸载

' '0yy yyσ σ= 。在卸载过程中

，样本行为呈弹性，根据 Hooke’s 定律，增加的应力比是（见图 2.6）：

yy

xx

''

σσ

ΔΔ

= 0

00

yyp

xxpNC

''K

σσσσ

−

− = ( ) 0

000

1 yyxxyy

NC

'OCR''OCRK

σσσ

−

− =

ur

ur

νν−1

(2.36)

其中 0NCK 是正常固结状态的应力比。因此，超固结土样本的应力比是：

0

0

''

yy

xx

σσ

= ( )110

- OCR ν

ν OCR Kur

urNC

−− (2.37)

如先前所讨论的，小’泊桑比的使用将会导致侧向应力和垂直应力之间的一个相

对较大的比值，就像通常在超固结土中看到的那样。注意到方程 (2.37) 只对弹

性区域有效，因为这个公式是由弹性 Hooke 定律得到的。如果土样被大量地卸载

，将会导致高度超固结，应力比会受到 Mohr-Coulomb 破坏条件的限制。

材料模型手册

2-14 PLAXIS 版本 8

-σ'xx

-σ'yy

-σp

-σ'yy0

K0NC

1

νur

1-νur

-σ'xx0

图 2.6 首先加载然后卸载得到的超固结应力状态

MOHR-COULOMB 模型（理想塑性）

3-1

3 MOHR-COULOMB 模型（理想塑性）

塑性是与不可逆应变的发展相关联的。为了判断塑性在一个计算中是否发生，这

里引入一个应力和应变的函数作为屈服函数。屈服函数通常可以表示成主应力空

间中的一个面。理想塑性模型是具有一个固定屈服面的本构模型，固定屈服面指

的是由模型参数完全定义的屈服面，不受（塑性）应变的影响。对于由屈服面内

的点所表示的应力状态，其行为是完全弹性的且所有应变都是可逆的。

3.1 理想弹塑性行为

弹塑性理论的一个基本原理是，应变和应变率可以分解成如下弹性部分和塑性部

分：

εεε pe += εεε &&& pe += (3.1)

Hooke 定律是用来联系应力率和弹性应变率的。将方程(3.1)代入到 Hooke 定律：

’σ& = ε&ee D = ( )εε && pe D − (3.2) 根据经典塑性理论（Hill, 1950），塑性应变率与屈服函数对应力的导数成比例

。这就意味着塑性应变率可以由垂直于屈服面的向量来表示。这个定理的经典形

式被称为相关塑性。然而，对于 Mohr-Coulomb 型屈服函数，相关塑性理论将会导

致对剪胀的过高估计。因此，除了屈服函数之外，还要引入一个塑性位能函数 g。 g f≠ 表示非相关塑性的情况。通常塑性应变率可以写为：

ε& p = ’

g σ

λ∂∂

(3.3)

在这里λ 是塑性乘子。完全弹性行为情况下 0λ = ，塑性行为情况下λ 为正：

λ = 0 for: f < 0 or: 0 ε D ’σ

f eT ≤∂∂

& (弹性) (3.4a)

λ > 0 for: f = 0 and: 0 > D ’ f eT ε

σ&

∂∂

(塑性) (3.4b)

材料模型手册

3-2 PLAXIS 版本 8

图 3.1 理想弹塑性模型的基本思想

这些方程可以用来得到弹塑性情况下有效应力率和有效应变率之间的关系如下（

Smith & Griffith, 1982; Vermeer & deBorst, 1984）：

’σ& = εσσ

α& D

’ f

’ g D

dD e

T ee

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

− (3.5a)

这里

d = ’

g D ’ f eT

σσ ∂∂

∂∂

(3.5b)

参数α 起着一个开关的作用。，如果材料行为是弹性的，即符合式(3.4a)，α 的值就等于零；当材料行为是塑性的时候，即符合式(3.4b)，α 的值就等于 1。 上述的塑性理论限制在光滑屈服面情况下，不包括 Mohr-Coulomb 模型中出现的那

种多段屈服面包线。Koiter (1960)和其他人已经将塑性理论推广到了这种屈服面

情况，用来处理包括两个或者多个塑性势函数的流函数顶点：

ε& p = ... ’

g ’

g +∂∂

+∂∂

σλ

σλ 2211 (3.6)

类似地，几个拟无关屈服函数 1 2( , ,...)f f 被用于确定乘子 1 2( , ,...)λ λ 的大小。

3.2 MOHR-COULOMB 模型的表示

Mohr-Coulomb 屈服条件是 Coulomb 摩擦定律在一般应力状态下的推广。事实上，

这个条件保证了一个材料单元内的任意平面都将遵守 Coulomb 摩擦定律。

MOHR-COULOMB 模型（理想塑性）

3-3

如果用主应力来描述（见 Smith & Griffith, 1982 中的例子），完全 Mohr-

Coulomb 屈服条件由六个屈服函数组成：

( ) ( ) 0cossin'''' 322132211 ≤−++−= ϕϕσσσσ cf a (3.7a)

( ) ( ) 0cossin'''' 232123211 ≤−++−= ϕϕσσσσ cf b (3.7b)

( ) ( ) 0cossin'''' 132113212 ≤−++−= ϕϕσσσσ cf a (3.7c)

( ) ( ) 0cossin'''' 312131212 ≤−++−= ϕϕσσσσ cf b (3.7d)

( ) ( ) 0cossin'''' 212121213 ≤−++−= ϕϕσσσσ cf a (3.7e)

( ) ( ) 0cossin'''' 122112213 ≤−++−= ϕϕσσσσ cf b (3.7f)

-σ1

-σ2

-σ 3

图 3.2 主应力空间 ( 0)c = 中 Mohr-Coulomb 屈服面

出现在上述屈服函数中的两个塑性模型参数就是众所周知的摩擦角ϕ 和粘聚力 c。如图 3.2 所示，这些屈服函数可以共同表示主应力空间中的一个六棱锥。

除了这些屈服函数，Mohr-Coulomb 模型还定义了六个塑性势函数：

材料模型手册

3-4 PLAXIS 版本 8

( ) ( ) ψσσσσ sin'''' 322132211 ++−=ag (3.8a)

( ) ( ) ψσσσσ sin'''' 232123211 ++−=bg (3.8b)

( ) ( ) ψσσσσ sin'''' 132113212 ++−=ag (3.8c)

( ) ( ) ψσσσσ sin'''' 312131212 ++−=bg (3.8d)

( ) ( ) ψσσσσ sin'''' 212121213 ++−=ag (3.8e)

( ) ( ) ψσσσσ sin'''' 122112213 ++−=bg (3.8f) 这些塑性势函数包含了第三个塑性参数，即剪胀角 ψ 。它用于模拟正的塑性体积应变增量（剪胀现象），就像在密实的土中实际观察到的那样。本节末尾将对

Mohr-Coulomb 模型中用到的所有模型参数做一个讨论。

在一般应力状态下运用 Mohr-Coulomb 模型时，如果两个屈服面相交，需要作特殊

处理。有些程序使用从一个屈服面到另一个屈服面的光滑过渡，即将棱角磨光（

见 Smith & Griffith, 1982 中的例子）。然而，在 PLAXIS 中，Mohr-Coulomb 模

型使用准确形式，即从一个屈服面到另一个屈服面用的是准确变化。关于棱角处

理的详细情况可以参阅文献（Koiter, 1960; van Langen & Vermeer, 1990）。

对于 0c > ，标准 Mohr-Coulomb 的准则允许有拉应力。事实上，它允许的拉应力大小随着粘性的增加而增加。实际情况是，土不能承受或者仅能承受极小的拉应

力。这种性质在 PLAXIS 中可以通过指定“拉伸截断’来模拟。在这种情况下，不

允许有正的主应力 Mohr 圆。“拉伸截断”将引入另外三个屈服函数，定义如下：

f4 = σ1' – σt ≤ 0 (3.9a)

f5 = σ2' – σt ≤ 0 (3.9b)

f6 = σ3' – σt ≤ 0 (3.9c)

当使用“拉伸截断”时，允许拉应力 tσ 的缺省值取为零。对这三个屈服函数采用相关联的流动法则。对于屈服面内的应力状态，如同 2.2 节中讨论的那样，它的

行为是弹性的并且遵守各向同性的线弹性 Hooke 定律。因此，除了塑性参数 ,c ϕ和ψ ，还需要输入弹性’杨氏模量 E 和’泊桑比 v。

MOHR-COULOMB 模型（理想塑性）

3-5

3.3 MOHR-COULOMB 模型的基本参数

Mohr-Coulomb 模型总共需要五个参数，它们是绝大多数岩土工程师所熟悉的。这

些参数可以从土样的基本试验得到。下面列出了这些参数和它们的单位：

E：’杨氏模量

V：’泊桑比

ϕ ：内摩擦角

c：内聚力

ψ ：剪胀角

图 3.3 Mohr-Coulomb 模型的参数表

杨氏模量（E）

PLAXIS 使用杨氏模量作为弹性模型和 Mohr-Coulomb 模型的基本刚度模量，但是

也列出了其他一些可选的刚度模量。刚度模量与应力同量纲。由于许多岩土材料

在加载刚开始就表现出一种非线性行为，所以要特别注意在计算中采用的刚度参

数的值。在土力学中，初始斜率用 0E 表示，50% 强度处的割线模量由 50E （见图3.4）表示。对于具有大范围线弹性行为的材料来说，使用 0E 是符合实际的，但是对于土体加载问题一般使用 50E 。如果考虑隧道和开挖问题中的卸载问题，要用 urE 替换 50E 。

材料模型手册

3-6 PLAXIS 版本 8

应变-ε1

|σ1- σ 3| 1

E0E50

1

图 3.4 标准排水三轴试验结果中 E0和 50E 的定义

对于岩土而言，不管是卸载模量 urE ，还是首次加载模量 50E ，往往都会随着围压的增加而增加。因此，通常深的土层比浅的土层具有更大的刚度。另外，观察

到的刚度值也依赖于应力路径。卸载和重加载的刚度远大于初次加载条件下的刚

度。还有，在压缩（排水）条件下观察到的以’杨氏模量形式表示的土刚度值会

小于剪切情况下的值。因此，当使用常数刚度模量来表示土体行为时，应该选择

一个与应力水平和应力路径发展相一致的值。PLAXIS 的高级模型考虑了土体行为

的一些应力相关性质，这些在第五章和第六章会有描述。对于 Mohr-Coulomb 模型

，PLAXIS 给出了一个刚度会随着深度增加而增加的特殊输入选项（见 3.4 节）。

泊桑 比（v）

在标准排水三轴试验的轴向加载刚刚开始时，通常可以得到一个显著的体积减小

率，这对应于一个低的’泊桑 比（v）的初始值。在某些情况下，比如特定的卸

载问题，也许使用这样小的一个初始值是实际的，但是在使用 Mohr-Coulomb 模型

时，通常我们推荐使用一个更高的值。

当弹性模型或者 Mohr-Coulomb 模型被用于重力荷载（塑性计算中 ∑ Mweight从 0 增加到 1）问题时，’泊桑比的选择特别简单。对于这种类型的加载，

PLAXIS 会给出比较符合实际的比值 0 /h vK σ σ= 。在一维压缩情况下，由于两种模型都会给出众所周知的比值： / /(1 )h v v vσ σ = − ，因此容易选择一个可以得到比较符合实际的 0K 值的’泊桑比。通过匹配 0K 值，可以估计 v 值。本参考手册的附录对这一内容作了更为详细的介绍，用以处理初始应力分布。在许多情况

下得到的 v 值是介于 0.3 和 0.4 之间的。一般地说，除了一维压缩，这个范围的

值还可以用在加载条件下。在卸载条件下，使用 0.15 和 0.25 之间的值更为普遍

。

MOHR-COULOMB 模型（理想塑性）

3-7

内聚力（c）

内聚力与应力同量纲。PLAXIS 可以处理无粘性砂土 ( 0)c = ，但是有一些选项的执行不太好。 为了避免复杂性，我们建议不熟练的用户至少输入一个较小值（使

用 c > 0.2 kPa）。

PLAXIS 提供了一个特殊的输入选项，用于输入内聚力随深度增加而增加的土层（

见 3.4 节）。

内摩擦角（ϕ ）

内摩擦角（ϕ ）以度的形式输入。大的摩擦角，就像有时在密实砂土中得到的那样，会显著增加塑性计算量。

Φ

-σ3

-σ1

-σ2 -σ3 -σ2 -σ1

c 正应力

剪应力

图 3.5 应力圆；其中一个接触库伦包线

计算时间的增加量或多或少地与摩擦角的大小呈指数关系。因此，初步计算某个

工程问题时，应该避免出现大的摩擦角。就像在图 3.5 中 Mohr 应力圆所表示的那

样，摩擦角在很大程度上决定了抗剪强度。图 3.2 表示的是一种更为一般的屈服

准则。Mohr-Coulomb 破坏准则被证明比 Drucker-Prager 近似更好地描述了土体

，因为后者的破坏面在轴对称情况下往往是很不准确的。

剪胀角（ψ ）

剪胀角（ψ ）是以度的方式指定的。除了严重的超固结土层以外，粘性土通常没有什么剪胀性（ 0ψ = ）。砂土的剪胀性依赖于密度和摩擦角。对于石英砂土来说， 30ψ ϕ= − ，ψ 的值比ϕ 的值小 30 度，然而，剪胀角在多数情况下为零。ψ 的小的负值仅仅对极松的砂土是实际的。摩擦角与剪胀角之间的进一步关系可以参见 Bolton（1986）。

材料模型手册

3-8 PLAXIS 版本 8

3.4 MOHR-COULOMB 模型的高级参数

当使用 Mohr-Coulomb 模型时，可以点击参数表中，按钮输入一些额外的

参数，用于高级特征的模拟。这个额外的窗口如图 3.6 所示。这些高级的特征包

括：刚度和内聚力强度随着深度的增加而增加，使用“拉伸截断”选项。事实上

，后一个选项的使用是缺省设置，但是如果需要的话，可以在这里将它设置为无

效。

3.6 Mohr-Coulomb 模型的高级参数窗口

刚度的增加（ incrementE ）

在真实土体中，刚度在很大程度上依赖于应力水平，这就意味着刚度通常随着深

度的增加而增加。当使用 Mohr-Coulomb 模型时，刚度是一个常数值。 incrementE 就是用来说明刚度随着深度的增加而增加的，它表示杨氏模量在每个单位深度上的

增加量（单位：应力/单位深度）。在由 refy 参数给定的水平上，刚度就等于’杨氏模量的参考值， refE ，即在参数表中输入的值。’杨氏模量在应力点上的实际值由参考值和 incrementE 得到。要注意，在计算中，随着深度而增加的刚度值并不是应力状态的函数。

内聚力的增加（ incrementc ）

PLAXIS 对于粘性土层提供了一个高级输入选项，反映内聚力随着深度的增加而增

加。 incrementc 就是用来说明内聚力随着深度的增加而增加的，它表示每单位深度上内聚力的增加量（单位：应力/单位深度）。在由 refy 参数给定的水平上，内聚

MOHR-COULOMB 模型（理想塑性）

3-9

力就等于内聚力的参考值， refc ，即在参数表中输入的值。内聚力在应力点上的实际值由参考值和 incrementc 得到。

拉伸截断

在一些实际问题中要考虑到拉应力的问题。根据图 3.5 所显示的 Coulomb 包络线

，这种情况在剪应力（Mohr 圆的半径）充分小的时候是允许的。然而，沟渠附近

的土体表层有时会出现拉力裂缝。这就说明除了剪切以外，土壤还可能受到拉力

的破坏。在 PLAXIS 分析中，选择拉伸截断就反映了这种行为。这种情况下，不允

许有正主应力的 Mohr 圆。当选择拉伸截断时，可以输入允许的拉力强度。对于

Mohr-Coulomb 模型和 Hardening-Soil 模型来说，采用拉伸截断时抗拉强度的缺

省值为零。

材料模型手册

3-10 PLAXIS 版本 8

节理岩体模型（各向异性）

4-1

4 节理岩体模型（各向异性）

材料沿不同的方向可能会有不同的性质。于是，当它们在一个方向或者另外一个

方向遭受某个特定的作用时，它们可能会有不同的反应。这方面的材料行为称为

各向异性。当模拟各向异性时，弹性各向异性和塑性各向异性有明显地不同。弹

性各向异性指的是在不同的方向使用不同的弹性刚度性质。塑性各向异性可能包

括在不同的方向上使用不同的强度性质，就像在节理岩石模型中所考虑的那样。

塑性各向异性的另外一种形式是随动硬化。后者在 PLAXIS 程序中未考虑。

图 4.1 节理岩体模型概念图示

节理岩体模型是一个各向异性的理想弹塑性模型，特别适用于模拟成层和节理岩

石层的行为。在这个模型中，假设原状岩体具有一个可能地成层方向和主要节理

方向。这种岩体被认为具有横观各向同性的弹性材料行为，由五个参数和一个方

向来量化。各向异性可能来自于成层现象或者其他现象。在主要节理方向上，根

据’库伦准则，假设剪应力是有限的。当在这个方向达到最大剪应力时，塑性滑

移就会发生。最多可定义三个滑移方向（‘平面’），其中第一个平面假定为和

弹性各向异性方向重合。每一个平面都有不同的抗剪强度性质。除了塑性剪切，

根据预定义的拉力强度（拉力‘截断’），垂直于三个平面的拉应力都是有限的

。

当呈现出节理簇和节理集时，节理岩石模型就能被证明是合理的。这些节理集必

须平行，中间不能填有断层泥，相对于结构的特征尺度来说，它们的间距必须较

小。

节理岩体模型的一些基本特征是：

* 原状岩体的各向异性弹性行为 参数： 1 2 1 2 2, , , ,E E v v G

* 三个方向上根据库伦准则的剪切破坏 参数： , ,i i ic ϕ ψ

* 三个方向上的有限拉伸强度 参数： ,t jσ

主节理方向

岩相体

地质成层

材料模型手册

4-2 PLAXIS 版本 8

4.1 各向异性弹性材料的刚度矩阵

节理岩体模型中的弹性材料行为是由弹性材料的刚度矩阵*D 来描述的。与 Hooke

定律不同，节理岩体模型中的矩阵*D 是横观各向同性的。在垂直于或者平行于

一个预先定义的方向（‘平面 1’）上的刚度可能是不同的。这个方向可以对应

着成层方向或者任何其他有显著不同的弹性刚度性质的方向。

比如考虑水平成层的情况，水平方向的刚度 1E 就不同于竖直方向的刚度 2E 。在这种情况下，‘平面 1’方向平行于 x z− 平面，而且有下面的本构关系成立（见：Zienkiewicz & Taylor: 有限元方法，第四版）：

1

1

2

2

1 EEEzzyyxx

xxσνσνσε&&&

& −−= (4.1a)

2

2

22

2

EEEzzyyxx

yyσνσσνε&&&

& −+−= (4.1b)

12

2

1

1

EEEzzyyxx

zzσσνσνε&&&

& +−−= (4.1c)

2Gxy

xyσ

γ&

& = (4.1d)

2Gyz

yzσ

γ&

& = (4.1e)

( )1

112E

σνγ zxzx&

&+

= (4.1f)

由以上关系可以得到各向异性弹性材料刚度矩阵的逆* 1( )D − 。这个矩阵是对称的

。规则的材料刚度矩阵*D 只能通过数值求逆得到。

一般地说，成层平面不会平行于总体的 x z− 平面，但是当成层平面平行于 s t−平面时，上面的关系通常在局部坐标系 ( , , )n s t 中是成立的。这个平面的方位是由倾角和倾向（见 4.3）定义的。于是，局部材料刚度矩阵应该从局部坐标系变

换到整体坐标系。因此，我们首先考虑应力和应变的一个变换：

σ R = σ xyzσnst σ R = σ nst-σxyz1

(4.2a)

节理岩体模型（各向异性）

4-3

ε R = ε xyzεnst ε R = ε nst-εxyz1

(4.2b)

这里，

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

t n+t nt n+t nt n+t nt nt nt n

t s+t st s+t st s+t st st st s

s n+s ns n+s ns n+s ns ns ns n

t t t t t t ttt

s s s s s s sss

n n n n n n nnn

= R

zxxzyzzyxyyxzzyyxx

xzzxyzzyxyyxzzyyxx

zxxzyzzyxyyxzzyyxx

zxzyyxzyx

zxzyyxzyx

zxzyyxzyx

σ

222

222

222

222

222

222

(4.3)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

t n+t nt n+t nt n+t nt n t n t n

t s+t st s+t st s+t st s t s t s

s n+s ns n+s ns n+s ns n s n s n

t tt tt tttt

s ss ss ssss

n nn nn nnnn

= R

zxxzyzzyxyyxzzyyxx

xzzxyzzyxyyxzzyyxx

zxxzyzzyxyyxzzyyxx

zxzyyxzyx

zxzyyxzyx

zxzyyxzyx

ε

222

222

222

222

222

222

(4.4)

, , , , , , ,x y z x y z x yn n n s s s t t 和 zt 是整体坐标系 ( , , )x y z 下向量 ,n s 和 t 的正规化分量（即‘正弦’，‘余弦’，见 4.3）。平面条件： 0z z x yn s t t= = = = 及

1zt = 。

进一步有如下等式成立：

R = R -σTε

1 R = R -ε

Tσ

1 (4.5)

通过下面的方式， ( , , )n s t 坐标系下的一个局部的应力-应变关系可以变换成( , , )x y z 坐标系下的一个整体关系：

xyzε

*

nstxyzσ

xyzεnst

xyzσnst

nst*

nstnst

εRDRεRε

RεD

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

σσσσ

(4.6)

材料模型手册

4-4 PLAXIS 版本 8

因此，

ε R D R = xyzε*nst

-σxyz1σ (4.7)

利用上面的条件(4.5)：

ε D = ε R D R = xyz*xyzxyzε

*nst

Tεxyzσ 或 R D R = D ε

*nst

Tε

*xyz

(4.8)

实际上，局部坐标系下给出的不是*D 矩阵，而是逆矩阵 * 1( )D − 。

σ R D R = R D R = εεRε

RDε

xyzσ

-*nst

Tσxyzσ

-*nst

-εxyz

xyzεnst

xyzσnst

nst*nstnst 111

1

σσσσ

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

=−

(4.9)

于是，

R D R = D σ-*

nstTσ

-*xyz

11 或 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ R D R = D σ

-*nst

Tσ

-*xyz

1 1

(4.10)

首先要考虑的就是变换，而不是求矩阵的逆* 1( )nstD

−，其次才是数值求逆来得到

整体材料刚度矩阵*xyz

D 。

4.2 三个方向上的塑性行为

节理岩体模型中最多能定义三个滑移方向（滑移平面）。第一个滑移平面是对应

于弹性各向异性方向的。此外，最多还能定义两个其它的滑移方向。然而，塑性

的表达形式在所有平面上都是类似的。在每一个平面上运用局部的 Coulomb 条件

来限制剪应力， τ 。另外，用拉伸截断准则来限制平面上的拉应力。每一个平面i ，都有它自身的强度参数 , ,i i ic φ ψ 和 ,t jσ 。

为了在具有局部 ( , , )n s t 坐标的一个平面上验证塑性条件，必须从笛卡尔应力来计算局部应力。局部应力包括三个分量，即一个法向应力分量 nσ 和两个独立的剪应力分量， sτ 和 tτ 。

σσ Tii

T = (4.11)

节理岩体模型（各向异性）

4-5

在这里，

( )Ttsni ττσσ = (4.12a)

( )Tzxyzxyzzyyxx σσσσσσσ = (4.12b) Ti

T = 平面 i 的转换矩阵(3x6)

如同 PLAXIS 中常见的那样，张应力（法向）定义为正，压缩定义为负。

图 4.2 单一滑移平面和向量 ,n s下的平面应变情形

考虑图 4.2 中所示的平面应变情形。在这里考虑的滑移面与 x -轴成 1α 角度（倾

角）。在这种情况下，变换矩阵TT 变成了：

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

-s-c

c-s-scsc

sc-cs

= TT

0000

000

0020

22

22

(4.13)

其中

s = sin α1

c = cos α1

滑移平面

材料模型手册

4-6 PLAXIS 版本 8

在一般三维情形，由于既包括倾角又包括了倾向（见 4.3），变换矩阵更为复杂

：

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

t n+t nt n+t nt n+t nt nt nt n

s n+s ns n+s ns n+s ns ns ns n

n n n n n n nnn

= T

zxxzyzzyyxxyzzyyxx

zxxzzyyzxyyxzzyyxx

xzzyyxzyx

T

222222

(4.14)

注意到这个一般变换矩阵TT ，是用来计算 R

σ（见 4.3）中对应于第一行，第四

行和第六行的局部应力的。

确定了局部应力分量以后，塑性条件可以基于屈服函数来得到验证。平面 i 上的屈服函数定义如下：

iinsi cφ=f −+ tanστ (库伦) (4.15a)

itnti f ,σσ −= ( iiit c ϕσ cot, ≤ ) (拉伸截断) (4.15b)

图 4.3 展示了一个平面上的完全屈服准则。

图 4.3 单个平面上的屈服准则

局部塑性应变定义如下：

σλε

j

jj

pj

g =

∂

∂Δ (4.16)

其中 jg 是平面 j 的局部塑性势函数：

节理岩体模型（各向异性）

4-7

jjnjj c = g −+ ϕστ tan (库伦) (4.17a)

jtntj = g ,σσ − (拉伸截断) (4.17b)

变换矩阵T 也用于将平面 j 的局部塑性应变增量 pjεΔ 变换成整体塑性应变增量：

pjj

p T = εε ΔΔ (4.18)

一致性条件要求所有的激活屈服函数在屈服点处的值保持为零。考虑所有的平面

，最多存在六个屈服函数，所以总共要找到六个非负塑性乘子，使得所有的屈服

函数至多为零。

σσσσ ∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

− ∑∑ gTDTf> λ λ λ λ

材料模型手册

4-8 PLAXIS 版本 8

节理方向（平面 1,2,3i = ）的强度参数：

ic ：粘聚力

iϕ ：摩擦角

iψ ：剪胀角

,i jσ ：拉伸强度

节理方向（平面 1,2,3i = ）的定义：

n ：节理方向数（1 3n≤ ≤ ）

1,iα ：倾角

2,iα ：倾向

图 4.4 节理岩体模型的参数

弹性参数

弹性参数 1E 和 1v 就是岩石作为连续体依据 Hooke 定律确定的（常数）刚度（杨氏模量）和泊桑比，也就是说，好像它不是各向异性的。

岩体的弹性各向异性可以由成层来引入。与一般刚度相比，垂直于成层方向的刚

度通常会降低。这个降低的刚度可以由参数 2E 以及第二个’泊桑比 2v 来表征。通常，垂直于弹性各向异性方向的弹性刚度由参数 2E 和 2v 来定义。

节理岩体模型（各向异性）

4-9

同样的，成层方向上的弹性抗剪也被认为是‘弱于’其他方向的。一般来说，各

向异性方向上的剪切刚度可以由弹性剪切模量 2G 明确地给出。与各向同性弹性Hooke 定律不同的是，这里 2G 是一个单独的参数，而不能与’简单地由杨氏模量和泊桑比确定（参见方程 4.1d 和 e）。

如果岩石的弹性行为是完全各向同性的，那么可以简单地令参数 2E 和 2v 分别等于 1E 和 1v ，而 2G 则应等于 1 11 2 /(1 )E v+ 。

强度参数

每一个滑移方向（平面）都有它自身的强度性质 ,i ic ϕ 和 ,t jσ 以及剪胀角 iψ 。根据’库伦准则，强度参数 ic 和 iϕ 决定允许的抗剪强度；根据拉伸‘截断’准则，

tσ 决定拉伸强度。后者按按钮可以显示。缺省设置为拉伸‘截断’处于启用状态，拉伸强度设为零。剪胀角 iψ 用在塑性势函数 g 中，用于确定剪切引起的塑性体积膨胀。

节理方向的定义

按照假定，弹性各向异性方向是与发生塑性剪切的第一个方向（‘平面 1’）相

对应的。必须总是指明这个方向。如果在岩体分层，而没有主节理，那么滑移面

的数目（滑移方向数目）仍然为 1，同时必须指明这个方向上的强度参数。最多

可定义三个滑移方向，这些方向可对应于岩体节理的最薄弱方向。

滑移方向可以由以下两个参数定义：倾角（ 1α ）和倾向（ 2α ）。对于后一个参数，地质学上通常使用‘走向’。然而，定义‘走向’时必须小心，因此，

PLAXIS 中使用岩土工程师们最常用，意义也很明确地“倾向”一词。这两个参数

的定义见图 4.5。

考虑如图 4.5 中的一个滑移面。该滑移面可以由向量 ( , )s t 定义，它们都是垂直于向量 n 的。向量 n 是滑移面的法线，而向量 s 是滑移面的‘滑落线’，向量 t 是滑移面的‘水平线’。滑移面与水平面成 1α 角度，水平面可以由向量

*( , )s t 定义，它们都是垂直于竖直的 y -轴的。角度 1α 是倾角，定义为水平面和滑移面之间的正的‘向下的’倾斜角。因此， 1α 是向量

*s 和 s 之间的角度，沿着正 t -方向观察时从

*s 到 s 顺时针方向测量。倾角的输入范围是 0度到 90 度。

材料模型手册

4-10 PLAXIS 版本 8

滑移面的方位可以进一步由倾向角 2α 定义，它是向量*s 关于北方（N）的方位。

倾向定义为从上向下看时正北方向顺指针转到滑落线在水平面的投影（即*s 方向

）时的角度。倾向的输入范围是 0 度到 360 度。

除了滑移面的方位以外，整体模型坐标 ( , , )x y z 与正北方向之间的联系也是已知的。这个信息包含在参数偏差角中，它是在输入程序的一般设置中定义的。偏差角定义为从正北方向到模型的正 z 方向之间的正的夹角。

图 4.5 Dip 角和 Dip 方向的定义

图 4.6 水平面上各种方向和角度的定义（该图中的“倾角”要改为“偏差角”）

为了将局部坐标系 ( , , )n s t 变换到整体坐标系 ( , , )x y z ，在内部使用了一个辅助角 3α ，它是倾向和偏差角之差：

α3 = α2 − 偏差角 (4.19)

滑移平面

倾角

节理岩体模型（各向异性）

4-11

因此， 3α 被定义为向下看时，正 z -轴顺时针转到*s 方向时的夹角。

由以上的定义可以得到：

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

31

1

31

cossincos

sinsin

ααα

αα

z

y

x

nnn

n (4.20a)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

31

1

31

coscossin

sincos

ααα

αα

z

y

x

sss

s (4.20b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

3

sin0

cos

α

α

z

y

x

ttt

t (4.20c)

下面的例子演示了三维模型中，对于不同的 1α 值、 2α 值和偏差角值，滑移面怎样发生：

图 4.7 由 1α 、 2α 和偏差角定义的破坏方向的例子

偏差角

偏差角

偏差角

材料模型手册

4-12 PLAXIS 版本 8

就像看到的那样，对于平面应变条件（版本 8 中考虑的情形）只需要 1α 值。缺省状态下， 2α 固定为 90 度，偏差角设置为 0度。

HARDENING-SOIL 模型（各向同性 HARDENING）

5-1

5 HARDENING-SOIL 模型（各向同性 HARDENING）

不同于理想弹塑性模型，硬化塑性模型的屈服面在主应力空间中不是固定的，而

是由于塑性应变的发生而膨胀。硬化可以分为两种主要的类型，它们分别是剪切

硬化和压缩硬化。剪切硬化用于模拟主偏量加载带来的不可逆应变。压缩硬化用

于模拟固结仪加载和各向同性加载中主压缩带来的不可逆塑性应变。这两种类型

的硬化都包含在当前的模型之中。

Hardening-Soil 模型是一个可以模拟包括软土和硬土在内的不同类型的土体行为

的先进模型（Schanz，1998）。在主偏量加载下，土体的刚度下降，同时产生了

不可逆的塑性应变。在一个排水三轴试验的特殊情况下，观察到轴向向应变与偏

差应力之间的关系可以很好地由双曲线来逼近。Kondner（1963）最初阐述了这种

关系，后来这种关系用在了著名的双曲线模型（Duncan & Chang, 1970）中。然

而，Hardening-Soil 模型目前已经取代了这种双曲模型。首先，它使用的是塑性

理论，而不是弹性理论。其次它考虑了土体的剪胀性。再次，它引入了一个屈服

帽盖。模型的一些基本特征如下：

* 刚度依据某个幂率的应力相关性。输入参数m * 主偏量加载引起的塑性应变。输入参数 50

refE * 主压缩引起的塑性应变。输入参数

refoedE

* 弹性卸载/重加载。输入参数refurE ， urv

* 依据 Mohr－Coulomb 模型的破坏模式。输入参数 ,c ϕ ,ψ 当前Hardening-Soil模型的一个基本特征是土体刚度是应力相关的。比如当应力

和应变是在固结仪条件下时，模型隐含的关系是 。在软

土这一特殊情况下，使用 1m = 是现实的。这时，软土模型中所用修正压缩指数*λ 和固结仪加载模量（见6.7节）之间存在如下简单关系：

( )01

ep

Eref

refoed +

== ∗∗λλ

λ

在这里refp 是参考压力。这里我们考虑某个特定参考压力 refp 下的切线固结模量

。因此，主加载刚度与修正压缩指数*λ 有关。

类似的，卸载/再加载模量也与修正膨胀指标*κ 有关，其近似关系如下：

( )( )01

213eκ κ

κνp = E ur

refrefur +

=− ∗∗

同样，这个关系也与输入值 1m = 联合使用。

材料模型手册

5-2 PLAXIS 版本 8

5.1 标准排水三轴试验的双曲线关系

构造 Hardening-Soil 模型的基本思想是三轴加载下竖向应变 1ε 和偏应力 q 之间为双曲线关系。标准排水三轴试验往往会得到如下表示的曲线：

150

1 2 1 fa

q q qE q / q

ε− = <−

对 (5.1)

在这里 qa 是抗剪强度的渐进值。图 5.1 绘出了这种关系。参数 50E 是主加载下与围压相关的刚度模量，它由下面的方程给出：

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

′−=

p c c

EE ref

mref

ϕϕϕσϕ

sincossincos 3

50 50 (5.2)

其中 50refE 是对应于参考围压 refp 的参考刚度模量。在 PLAXIS 中，缺省设置为

refp = 100 应力单位。实际的刚度值依赖于主应力 '3σ ，也就是三轴试验中的围压。注意

'3σ 对于压缩而言是负的。应力相关程度由幂m 给出。为了模拟在软粘

土中所观察到的对数应力相关性，幂的值应该取成 1.0。Janbu（1963）报告了对

于砂土和粉土m 在 0.5 附近的值，而 Von Soos（1980）报告了0.5 1.0m< < 范围内的多个不同的值。

极限偏应力 fq 和方程 (5.1) 中的量 aq 定义如下：

( )32sincot

1 sinf

f af

qq c q

Rϕϕ σϕ

′= − =−

及 (5.3)

要再次说明'3σ 通常是负的。上面关于 fq 的关系是从 Mohr-Coulomb 破坏准则中得

到的，这就涉及到了强度参数 c 和ϕ 。当 fq q= 时，就像 Mohr-Coulomb 模型中描述的那样，破坏准则得到满足，发生完全塑性屈服。

fq 和 aq 之间的比值由破坏比 fR 给出，显然它是小于 1 的。在 PLAXIS 中，0.9fR = 被选作为一个合适的缺省值。

卸载和再加载的应力路径用到了另外一个应力相关的刚度模量：

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

′−=

p c c

EE ref

m

urrefur ϕϕ

ϕσϕsincossincos 3 (5.4)

HARDENING-SOIL 模型（各向同性 HARDENING）

5-3

其中refurE 是卸载和再加载的参考’杨氏模量，它对应于参考压力 refp 。在许多实

际情况下，把refurE 设置成 503

refE 是合适的，这也是 PLAXIS 中使用的缺省值。

轴应变-ε1

|σ1-σ3|

1 Eur

E50

1

qa

qf

渐进线

破坏线

偏应力

图 5.1 标准排水三轴试验主加载下双曲型应力-应变关系

5.2 HARDENING-SOIL 模型的双曲近似

为方便起见，仍然限于三轴加载条件，即' '2 3σ σ= ，而

'1σ 是主压缩应力。进一步

假设 fq q< ，如图 5.1 所示。另外要说明的是，应力和应变以压为正。读者可以参阅 Schanz et al（1999）关于 Hardening-Soil 模型的更一般的描述。本节将

要说明的是：在标准排水三轴试验中考虑应力路径时，这个模型本质上给出了方

程(5.1)中的双曲应力应变曲线。让我们首先考虑相应的塑性应变。它来自于一个

屈服函数，具有下面的形式：

γ p ff −= (5.5)

其中 f 是应力的函数，而 pγ 是塑性应变的函数：

f = E

q q / q

q E ura

21

150

−−

( ) ppvpp 11 22 εεεγ −≈−−= (5.6)

50, ,aq q E 和 urE 由方程(5.2)-(5.4)定义，同时上标 p 用来表示塑性应变。对于硬土，塑性体积变化(

pvε )往往相对较小，而且有近似关系 12

p pγ ε≈ − 成立。上述关于应变硬化参数

pγ 的定义稍后再解释。

材料模型手册

5-4 PLAXIS 版本 8

上面 f 的定义的本质特征是它与著名的双曲法则(5.1)相匹配。为了证实这个论断，需要考虑主加载，这就意味着屈服条件 0f = 。对于主加载，有 p fγ = ，由方程 (5.6) 得到：

−ε p1 ≈ f 21 =

Eq

q / q q

E ura−

−121

50 (5.7)

除了塑性应变，这个模型也能给出弹性应变。塑性应变只在主加载中发生，而弹

性应变在主加载和卸载/再加载中都会发生。在排水三轴试验的应力路径下，若' '2 3σ σ= =常数，则有’弹性杨氏模量 urE 保持为常数，而弹性应变由以下方程给

出：

−ε e1 = Equr

−ε e2 = −ε e3 = Eq ur

urν− (5.8)

其中 urv 是卸载/再加载时的’泊桑比。在这里必须指出的是，要对偏应力加载产生的应变加以限制，同时不考虑在试验的最初阶段产生的应变。因为在等向压缩

（固结）的第一个阶段，Hardening-Soil 模型根据 Hooke 定律来估计完全弹性的

体积变化，但是这些应变并没有包含在方程 (5.8) 中。

在三轴试验中的偏应力加载阶段，轴向应变是方程 (5.8) 给出的一个弹性分量和

方程 (5.7) 给出的一个塑性分量之和。于是：

q / q q

E ape

−≈−−=−

121

50111 εεε (5.9)

当塑性体积应变不存在（即 0pvε = ）时，上述关系是精确成立的。

实际上，塑性体积应变永远不会精确等于零，但是对于硬土，塑性体积应变相对

于轴向应变来说往往较小，因此方程 (5.9) 中的近似关系一般是准确的。这就说

明了在三轴试验条件下，当前的 Hardening-Soil 模型得到了一个双曲线的应力—

应变关系。

对于硬化参数pγ 的一个给定的常数值，屈服条件 0f = 可以以屈服轨迹的形式在

'p q− 平面上可视化。当绘制这样的屈服轨迹时，需要使用方程 (5.6)，并用(5.2) 和 (5.4) 来分别得到 50E 和 urE 的值。由于后两个表达式，屈服轨迹的形状将依赖于幂指数值m 。 1m = 时会得到直线，较低的指数值对应着稍微弯曲的屈服轨迹。图 5.2 显示了 0.5m = 时的一系列屈服轨迹的形状，这对于硬土来说是典型的。

HARDENING-SOIL 模型（各向同性 HARDENING）

5-5

图 5.2 硬化参数pγ 的不同常数值下的一系列屈服轨迹

5.3 三轴应力状态下的塑性体积应变

在描述了塑性剪切应变pγ 的关系之后，现在关心的问题是塑性体积应变 pvε 。如

同所有的塑性模型一样，Hardening-Soil 模型包括了塑性应变率之间的一个关系

，即p

vε 和pγ 之间的关系。这个流动规则有如下线性形式：

ε& pv = sinψm γ&p (5.10)

显然，具体指定机动剪胀角 mψ 还需要其他信息。当前的模型考虑了：

当 sinϕm < 3/4 sinϕ : ψm = 0

当 sinϕm ≥ 3/4 sinϕ 且 ψ > 0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

= 0,sinsin1sinsin

maxsinϕϕϕϕ

ψcvm

cvmm

(5.11)

当 sinϕm ≥ 3/4 sinϕ 且 ψ ≤ 0 ψm = ψ 如 ϕ = 0 ψm = 0 其中， cvϕ 是临界状态摩擦角，它是一个与密度无关的材料常数， mϕ 是机动摩擦角：

ϕσσσσϕ

cot2sin

31

31

c +m −′′′−′

= (5.12)

就像 Schanz 与 Vermeer (1995) 所解释的那样，上述的方程组是大家熟知的应

力—剪胀理论（Rowe,1962）略微修改的一种形式。对较大值的机动内摩擦角，剪

胀角ψm 的值将遵从 Rowe 理论，只要这理论给出的剪胀角为正。对于较小的内摩

偏应力

有效平均应力

破坏线

材料模型手册

5-6 PLAXIS 版本 8

擦角，或当 Rowe 公式计算给出的 mψ 为负时（只要剪胀角ψ 为正）， mψ 的值取为零。此外，在各种情况下，如果 0ϕ = ，则令 mψ 等于零。

应力-剪胀理论的本质特性是：对于小的应力比（ m cvϕ ϕ< ）材料会收缩，而对于高的应力比（ m cvϕ ϕ> ）会发生剪胀。破坏时，机动摩擦角等于破坏角ϕ ，由方程 (5.11)可有：

ϕϕϕϕψ

cv

cv sinsin1sinsin

sin−

−= (5.13a)

或者等价地：

ψψ

cv sinsin1sinsinsin

ϕϕϕ

−−

= (5.13b)

因此，临界状态角可以由破坏角ϕ 和ψ 计算得到。PLAXIS 会自动进行这一计算，用户不必指定 cvϕ 的值。

但是，用户要为极限摩擦角ϕ 和极限剪胀角ψ 提供输入数据。

5.4 HARDENING-SOIL 模型的参数

当前硬化模型的一些参数与非硬化 Mohr-Coulomb 模型的参数是一致的。它们是破

坏参数c ,ϕ 和ψ 。

图 5.3 Hardening-Soil 模型的基本参数

HARDENING-SOIL 模型（各向同性 HARDENING）

5-7

与 Mohr-Coulomb 模型中一致的参数（见 3.3 节）：

c ：（有效）内聚力 ϕ ：（有效）内摩擦角

ψ ：剪胀角

土体刚度的基本参数：

50refE ：标准排水三轴试验中的割线刚度 refoedE ：主固结仪加载中的切线刚度

m ：刚度应力水平相关幂指数 高级参数（建议使用缺省设置）：

refurE ：卸载/重新加载刚度（缺省

refurE ＝ 503

refE ）

urv ：卸载-重新加载泊桑比（缺省值为 0.2） refp ：刚度的参考应力（缺省值为 100 应力单位）

0ncK ：正常固结下 K0值（缺省 0

ncK ＝1－sinϕ）

fR ：破坏比（缺省值为 0.9）（见图 5.1）

tensionσ ：抗拉强度（缺省值为 0 应力单位）

incrementc ：如同 Mohr-Coulomb 模型（缺省值为 0应力单位）

（上面所列出的这些参数，均未给出其常用单位，见英文手册）

刚度模量 50refE 、 refoedE 和幂指数m

Hardening-Soil 模型比 Mohr-Coulomb 模型的优越之处不仅在于它使用了一条双

曲应力-应变曲线，而非双线性曲线，还在于对应力水平依赖性的控制。当使用

Mohr-Coulomb 模型时，用户必须为’杨氏模量选择一个固定的值，对于真实土体

而言，这个值依赖于应力水平。因此必须估计土体中的应力水平，以得到合适的

刚度值。而在 Hardening-Soil 模型中，不需要这个麻烦的选择输入参数的过程。

取而代之的是对一个参考小主应力'3

refpσ− = 定义一个刚度模量 50refE 。作为缺省

值，本软件使用 100refp = 应力单位。

材料模型手册

5-8 PLAXIS 版本 8

由于一些 PLAXIS 用户对于剪切模量的输入比上述刚度模量更为熟悉，现在来讨论

剪切模量。由 Hooke 弹性理论，可以通过方程 2(1 )E v G= + 对 E 和G 进行转换。由于是真实弹性刚度，因此上面这个式子可以写成 2(1 )ur urE v G= + ，其中

urG 是弹性剪切模量。请注意 PLAXIS 允许输入 urE 和 urv ，但是不允许直接输入

urG 。与 urE 形成对照，弹性概念中不使用割线模量。所以，不能简单的从 50E 转化成 50G 。

与弹性模型不同，弹塑性的 Hardening-Soil 模型不包括（排水）三轴刚度 50E 和一维压缩下的固结仪刚度 oedE 之间的一个固定关系。这些刚度值可以独立地被输入。

-ε1

-σ 1

pref1

refoedE

图 5.4 固结仪实验结果中的定义

50E 由方程(5.2)定义了之后，现在重要的是定义固结仪刚度。我们使用如下方程：

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

′−=

p c c

EE ref

m

oedrefoed ϕϕ

ϕσϕsincossincos 3 (5.14)

其中 oedE 是图 5.4 所示的切线刚度模量。于是，refoedE 是竖向应力

'1

refpσ− = 时的切线刚度。注意到我们使用的是 1σ 而不是 3σ ，且我们考虑的是主加载。

高级参数

urv 的实际值在 0.2 左右，这个值被设置为缺省值，如图 5.5 所示：

HARDENING-SOIL 模型（各向同性 HARDENING）

5-9

图 5.5 高级参数窗口

与 Mohr-Coulomb 模型不同， 0ncK 并不简单的是’泊桑比的一个函数，而是一个

合适的输入参数。PLAXIS 缺省使用相关关系 0 1 sinncK ϕ= − 。由于这个相关关

系非常符合实际，建议一直使用这个值。然而，用户还是有选择使用不同值的可

能。并非 0ncK 的所有可能的不同输入值都能被采用。取决于 50E 、 oedE 、 urE 和

urv 等其他参数， 0ncK 合理值有某个范围，PLAXIS 不接受 0

ncK 在这个范围以外的值。在输入时，程序会列出在计算中会用到的最接近的可能值。

剪胀截断

充分剪切后，剪胀已经结束，膨胀的材料到达临界密度状态，如图 5.6 所示。

图 5.6 标准排水三轴试验剪胀截断下的应变曲线

剪胀截断“关闭”

达到最大孔隙率

剪胀截断“打开”

材料模型手册

5-10 PLAXIS 版本 8

这种土体行为可以在 Hardening-Soil 模型中通过将剪胀截断来实现。为了指定这

种行为，材料的初始孔隙比 inite 和最大孔隙比 maxe 要作为一般参数输入。如图5.6 所示，如果体积变化导致了最大孔隙状态，那么机动剪胀角 mobψ 将自动地返回零值。

当 e < emax: sinψmob = ϕϕ

ϕϕ

cvmob

cvmob

sinsin1sinsin

−−

其中: sinϕcν = ψϕψϕ

sinsin1

sinsin−

− (5.15a)

当 e ≥ emax: ψmob = 0 (5.15b)

孔隙比与体积应变 vε 有如下的关系：

− ( )εε initvv − = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

e + e + init1

1ln (5.16)

其中 vε 对剪胀的增量为正。

初始孔隙比 inite 是土体的原位孔隙比。最大孔隙比是材料在临界临界状态下的孔隙比。只要达到了最大孔隙比，剪胀角就被设置为零。还可以输入土体的最小孔

隙比 mine ，但是在 Hardening-Soil 模型环境中不会使用到这个一般土体参数。

请注意，选择剪胀‘截断’以及输入孔隙比要在材料数据设置窗口的‘一般’菜

单下进行，而不是在‘参数’菜单下。剪胀‘截断’选项只在 Hardening-Soil 模

型中才有。缺省状态下，剪胀‘截断’是没有被激活的。

图 5.7 高级一般性质窗口

HARDENING-SOIL 模型（各向同性 HARDENING）

5-11

5.5 HARDENING-SOIL 模型中帽盖型屈服面

图 5.2 所示的剪切屈服面不能解释在等向压缩中测量到的塑性体积应变。因此，

必须引入另外一种类型的屈服面来包围靠近水平轴方向上的弹性区域。如果没有

这种帽盖类型的屈服面，就不可能描述有两个独立输入量 50refE 和 refoedE 的模型。三

轴模量在很大程度上控制了剪切屈服面，而固结仪模量控制了帽盖型屈服面。事

实上， 50refE 很大程度上控制了与剪切屈服面相关联的塑性应变的大小。类似地，

refoedE 被用来控制源于帽盖型屈服面的塑性应变的大小。本节将详细描述帽盖型屈

服面。基于此目的，我们考虑帽盖型屈服面的定义：

p p + qf pc 22

2

2~−=

α (5.17)

其中 α 是一个与 0ncK 相关的辅助模型参数，后面会讨论。此外，有

1 2 3( ) / 3p σ σ σ= − + + 和 1 2 3( 1)q σ δ σ δσ= + − − ， 其 中(3 sin ) /(3 sin )δ ϕ ϕ= + − 。 q 是偏应力的一种特殊应力测量。在特殊三轴压缩

1 2 3σ σ σ− > − = − 下，有 1 3( )q σ σ= − − 在三轴延伸 1 2 3σ σ σ− = − > − 下，q 退化成 1 3( )δ σ σ− − 。屈服帽的大小由等向预固结应力 pp 决定。 pp 与体积帽

应变pc

vε 之间有如下硬化规则：

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

p

pm ref

pm

pcv

1

1βε (5.18)

体积帽应变是等向压缩下的塑性体积应变。除了大家都知道的常数m 和 refp 以外，还有另外一个模型常数 β 。α 和 β 都是帽型参数，但是我们不会直接将它们用作输入参数。我们有如下形式的关系：

K nc0↔α (缺省: ϕsin10 −=K nc )

Erefoed↔β (缺省: Erefoed = Eref50 )

这样的 0ncK 和 refoedE 可以被用作输入参数，用来分别决定α 和 β 的大小。为了理

解屈服帽的形状，首先必须明白它是 p q− 平面上的一个椭圆，就像图 5.8 中看到的那样。这个椭圆在 p 轴上长度为 pp ，在 q 轴上长度为 ppα 。于是 pp 决定了它的大小，而α 决定了它的比例。 较高的α 值会导致 Mohr-Coulomb 线下面的帽盖较陡，而较小的α 值所定义的帽盖型在 p 轴的周围更尖。这个椭圆既被用作一个屈服面又被用作一个塑性势面。所以：

材料模型手册

5-12 PLAXIS 版本 8

ε& pc = σ

λ f

c

∂∂

其中 p

p

p

pp ref

prefp

m&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2βλ (5.19)

λ 的表达式是从屈服条件 0cf = 和方程(5.18)得到的。初始 pp 值的输入数据由PLAXIS 的初始应力过程给出。在这里， pp 是由输入的超固结比（OCR）计算得到的，或者是 POP 压力（见 2.6 节）。为了完全理解屈服面，你应该同时考虑图

5.8 和图 5.9�