planimetrie konstrukČnÍ Úlohy v rovinĚisspb.cz/wp-content/uploads/vg03-planimetrie.pdf · 2019....

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově

Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia

Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve

vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2009

2 Planimetrie

Úvod

Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina:

Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Planimetrie 3

Obsah Rovinné útvary ........................................................................................................................... 8

Přímka a její části ................................................................................................................... 8

Přímka a její části ............................................................................................................. 10

Varianta A ........................................................................................................................ 10


Varianta B ........................................................................................................................ 13


Varianta C ........................................................................................................................ 14

Polorovina, úhel, dvojice úhlů .............................................................................................. 15

Polorovina, úhel, dvojice úhlů .......................................................................................... 19

Varianta A ........................................................................................................................ 19


Varianta B ........................................................................................................................ 21


Varianta C ........................................................................................................................ 23

Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek ............................................................ 25

Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek ........................................................ 28

Varianta A ........................................................................................................................ 28


Varianta B ........................................................................................................................ 30


Varianta C ........................................................................................................................ 33

Trojúhelník ........................................................................................................................... 36

Trojúhelník ....................................................................................................................... 41

Varianta A ........................................................................................................................ 41

Trojúhelník ....................................................................................................................... 42

4 Planimetrie

Varianta B ........................................................................................................................ 42

Trojúhelník ....................................................................................................................... 43

Varianta C ........................................................................................................................ 43

Shodnost a podobnost trojúhelníků ...................................................................................... 45

Shodnost a podobnost trojúhelníků .................................................................................. 47

Varianta A ........................................................................................................................ 47


Varianta B ........................................................................................................................ 49


Varianta C ........................................................................................................................ 53

Mnohoúhelníky .................................................................................................................... 57

Mnohoúhelníky ................................................................................................................ 60

Varianta A ........................................................................................................................ 60

Mnohoúhelníky ................................................................................................................ 61

Varianta B ........................................................................................................................ 61

Mnohoúhelníky ................................................................................................................ 63

Varianta C ........................................................................................................................ 63

Čtyřúhelníky ......................................................................................................................... 65

Čtyřúhelníky ..................................................................................................................... 68

Varianta A ........................................................................................................................ 68

Čtyřúhelníky ..................................................................................................................... 70

Varianta B ........................................................................................................................ 70

Čtyřúhelníky ..................................................................................................................... 71

Varianta C ........................................................................................................................ 71

Kružnice, kruh ...................................................................................................................... 73

Kružnice, kruh .................................................................................................................. 78

Varianta A ........................................................................................................................ 78

Planimetrie 5

Kružnice, kruh .................................................................................................................. 79

Varianta B ........................................................................................................................ 79

Kružnice, kruh .................................................................................................................. 81

Varianta C ........................................................................................................................ 81

Úhly v kružnici ..................................................................................................................... 83

Úhly v kružnici ................................................................................................................. 85

Varianta A ........................................................................................................................ 85

Úhly v kružnici ................................................................................................................. 87

Varianta B ........................................................................................................................ 87

Úhly v kružnici ................................................................................................................. 89

Varianta C ........................................................................................................................ 89

Obvody a obsahy rovinných obrazců ................................................................................... 91

Obvody a obsahy rovinných obrazců ............................................................................... 94

Varianta A ........................................................................................................................ 94


Varianta B ........................................................................................................................ 96


Varianta C ........................................................................................................................ 97

Euklidovy věty, věta Pythagorova ....................................................................................... 98

Euklidovy věty, věta Pythagorova ................................................................................... 99

Varianta A ........................................................................................................................ 99

Euklidovy věty, věta Pythagorova ................................................................................. 100

Varianta B ...................................................................................................................... 100

Euklidovy věty, věta Pythagorova ................................................................................. 102

Varianta C ...................................................................................................................... 102

Konstrukční úlohy .................................................................................................................. 104

Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce ................................ 104

6 Planimetrie

Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce ............................ 109

Varianta A ...................................................................................................................... 109


Varianta B ...................................................................................................................... 114


Varianta C ...................................................................................................................... 118

Konstrukční úlohy .................................................................................................................. 122

Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků ............................................................................. 122

Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků ......................................................................... 123

Varianta A ...................................................................................................................... 123


Varianta B ...................................................................................................................... 127


Varianta C ...................................................................................................................... 132

Konstrukce kružnic ............................................................................................................ 137

Konstrukce kružnic ........................................................................................................ 138

Varianta A ...................................................................................................................... 138


Varianta B ...................................................................................................................... 143


Varianta C ...................................................................................................................... 148

Konstrukce na základě výpočtu .......................................................................................... 153

Konstrukce na základě výpočtu ...................................................................................... 154

Varianta A ...................................................................................................................... 154


Varianta B ...................................................................................................................... 158


Planimetrie 7

Varianta C ...................................................................................................................... 162

8 Planimetrie

Rovinné útvary

Přímka a její části

Základní pojmy

Věta:

Dvěma různými body prochází jediná přímka.

Zápis:

⃡

… bod C náleží přímce p

… bod D nenáleží přímce p

Věta:

Jeden bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky a jejich společným

počátkem.

Zápis:

, … bod C dělí přímku p na dvě opačné polopřímky

Věta:

Úsečka AB je tvořena všemi body přímky AB, které leží mezi body A, B a body A a B.

A

B C

D p

B C

p

A

Planimetrie 9

A, B … krajní body úsečky, všechny ostatní body úsečky nazýváme vnitřní body úsečky.

Všechny vnitřní body tvoří vnitřek úsečky AB.

Platí: , , ⃡

Věta:

Délka (velikost) úsečky AB je vzdálenost bodů A a B.

Zápis:

| |

Věta:

Dvě shodné úsečky mají stejné délky.

Zápis:

… shodné úsečky AB a CD

Poznámka:

Platí-li | | | |, říkáme, že úsečka AB je větší než úsečka CD, nebo také, že úsečka CD

je menší než úsečka AB.

Bod S, který dělí úsečku AB na dvě shodné úsečky, se nazývá střed úsečky.

B

A

10 Planimetrie


Varianta A

Na základě obrázku zapište symbolicky následující skutečnosti.

a) bod Y náleží polopřímce

b) bod Y neleží na úsečce RS

c) úsečky XY a RS nemají žádný společný bod

Příklad:

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení:

a)

b)

c)

P=Q

Q Y

S

X

R

Planimetrie 11

Příklady k procvičení:

1) Na základě obrázku zapište symbolicky následující skutečnosti.

a) bod R náleží polopřímce

b) úsečka YP je částí polopřímky

c) úsečka XY neleží na polopřímce

[a) , b) , c) ]

2) Na základě obrázku zapište symbolicky následující skutečnosti.

a) polopřímky a mají jediný společný bod

b) velikost úsečky YP je shodná s velikostí úsečky

c) úsečka YR je částí úsečky

[a) { }, b) | | | |, c) ]

3) Na základě obrázku rozhodněte, zda platí následující tvrzení.

P=Q

Q Y

S

X

R

P=Q

Q Y

S

X

R

P=Q

Q Y

S

X

R

12 Planimetrie

a)

b)

c) | | | |

[a) ano, b) ano, c) ne]

4) Na základě obrázku rozhodněte, zda platí následující tvrzení.

a)

b)

c) | |

[a) ne, b) ne, c) ano]

P=Q

Q Y

S

X

R

Planimetrie 13


Varianta B

Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny

polopřímky určené těmito body.

Příklad:

Polopřímka je jednoznačně určena dvěma body a navíc záleží na pořadí. Pomocí čtyř bodů K,

L, M, N tedy vlastně utvoříme všechny uspořádané dvojice:

, , , , , , , , , , ,

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny

úsečky určené těmito body.

[ KL, KM, KN, LM, LN, MN]


dvojice úseček, které nemají žádné společné body.

[KL, MN]


dvojice polopřímek, které nemají žádné společné body.

[ , ]

4) Na přímce p zvolte pět různých bodů K, L, M, N, O v uvedeném pořadí a zapište, kolik

různých polopřímek je těmito body určeno.

[20]


, , , , , , , , , , ,

14 Planimetrie


Varianta C

V rovině je zvoleno 6 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik různých

přímek je těmito body určeno?

Příklad:

Každý z šesti bodů můžeme spojit s pěti zbývajícími body. Vznikne tak 30 takových dvojic

bodů. Jelikož ale při určení přímky pomocí dvou bodů nezáleží na pořadí těchto bodů, je mezi

těmito 30 dvojice každá přímka zastoupená dvakrát. Celkový počet různých přímek je tedy

poloviční, tzn. 15.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) V rovině je zvoleno 10 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik

různých přímek je těmito body určeno? [45]

2) V rovině je zvoleno 20 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik

různých přímek je těmito body určeno? [190]

3) Na základě výsledků řešeného příkladu a předcházejících dvou příkladů určete obecný

vztah pro n různých bodů v rovině, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. [

( )]

4) Je dáno osm různých bodů v rovině (A, B, C, D, E, F, G, H). Čtveřice A, B, C, D a E, F, G,

H leží v přímkách. Kolik různých přímek je danými body určeno? [18]


15

Planimetrie 15

Polorovina, úhel, dvojice úhlů

Základní pojmy

Věta:

Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a jejich společnou hranicí, tzv.

hraniční přímkou.

Zápis:

nebo

nebo

Hraniční přímka p patří do obou polorovin. Bod, který neleží na přímce p, je vnitřním bodem

jedné z polorovin.

Věta:

Dvě různé polopřímky , dělí rovinu na dva úhly AVB.

A

B

C

D p

16 Planimetrie

Zápis:

… konvexní úhel AVB

… nekonvexní úhel AVB

Jsou-li polopřímky , opačné, je každý z obou úhlů AVB úhel přímý. Totožné

polopřímky určují jednak nulový úhel AVB a jednak plný úhel AVB.

Jsou-li dva úhly AVB a CUD shodné, zapisujeme to následujícím způsobem:

Věta:

Osa úhlu je polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu, která dělí daný úhel na dva úhly shodné.

Věta:

Dva konvexní úhly AVB a AVC se společným ramenem , a jejichž zbylá ramena ,

jsou navzájem opačné polopřímky, se nazývají úhly vedlejší.

B

V

A

A

B

V o

Planimetrie 17

Věta:

Dva konvexní úhly AVB a CVD, jejichž ramena , a , jsou navzájem opačné

polopřímky, se nazývají vrcholové úhly.

Věta:

Pravý úhel je takový úhel, který se shoduje se svým úhlem vedlejším. Všechny pravé úhly

jsou shodné.

C V B

A

V

A

B

C

D

C V B

A

18 Planimetrie

Výsledkem měření úhlu je nezáporné číslo nazývané velikost úhlu.

Zápis:

| | … velikost konvexního úhlu AVB

| | … velikost nekonvexního úhlu AVB

Velikost úhlu měříme v planimetrii zpravidla v úhlových stupních, v teorii goniometrických

funkcí a ve fyzice spíše v radiánech.

Z úhlového stupně jsou dále odvozeny i menší jednotky – úhlová minuta a úhlová vteřina.

… jeden úhlový stupeň

… jedna úhlová minuta

… jedna úhlová vteřina

Konvexní úhel o velikosti menší než se nazývá ostrý úhel.

Konvexní úhel o velikosti větší než se nazývá tupý úhel.

Planimetrie 19


Varianta A

Vyjádřete dané úhly ve stupních, minutách a vteřinách.

d)

e)

Příklad:

Při převodu postupujeme tak, že desetinnou část čísla vyjádřenou ve stupních převedeme na

minuty vynásobením číslem 60 a dále desetinnou část takto získaného čísla vyjádřenou

v minutách převedeme na vteřiny vynásobením opět číslem 60.

a)

b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


d)

e)

20 Planimetrie


1) Vyjádřete dané úhly ve stupních, minutách a vteřinách.

a)

b)

[a) , b) ]

2) Vyjádřete dané úhly ve stupních, minutách a vteřinách.

a)

b)

[a) , b) ]

3) Vyjádřete dané úhly jako desetinné číslo.

a)

b)

[a) ̅ , b) ]

4) Vyjádřete dané úhly jako desetinné číslo.

a)

b)

[a) ̅ , b) ̅ ]

Planimetrie 21


Varianta B

Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu .

a)

b)

Příklad:

Součet dvou vedlejších úhlů je . Velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu tedy určíme,

tak, že velikost tohoto úhlu odečteme od .

a)

b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu .

a)

b)

[a) , b) ]


a)

b)

[a) , b) ]


a)

b)

22 Planimetrie


a)

b)

[a) , b) ]


a)

b)

[a) , b) ]

Planimetrie 23


Varianta C

Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem S směr

a) SZ

b) SSZ

Příklad:

Tzv. „směrovou růžici“ můžeme znázornit následujícím obrázkem:

Nejmenší úhel ve směrové růžici určíme např. jako .

a) Úhel mezi směrem S a SZ je tvořen dvěma těmito nejmenšími úhly, tedy

,

b) Úhel mezi směrem S a SSZ je tvořen jedním tímto nejmenším úhlem, tedy

.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


a) , b)

S

J

Z V

SZ SV

JV JZ

SSZ

ZSZ

SSV

VSV

VJV

JJV JJZ

ZJZ

24 Planimetrie


1) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem J směr

a) SZ

b) JJZ

[a) , b) ]

2) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem SV směr

a) SZ

b) VJV

[a) , b) ]

3) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem JZ směr

a) SV

b) JJV

[a) , b) ]

4) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem SSZ směr

a) SZ

b) JJZ

[a) , b) ]

Planimetrie 25

Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek

Základní pojmy

Pro vzájemnou polohu dvou přímek v rovině mohou nastat tři případy:

a) přímky jsou různoběžné (mají jeden společný bod)

b) přímky jsou rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod

c) přímky jsou totožné (mají nekonečně mnoho společných bodů)

Věta:

Daným bodem A lze vést v dané přímce p jedinou rovnoběžku.

p

q

p

q

26 Planimetrie

Část roviny ohraničená dvěma rovnoběžkami se nazývá rovinný pás.

Jsou-li dány dvě rovnoběžné přímky a, b a třetí přímka p, která je obě protíná, říkáme, že

přímky a a b jsou proťaty příčkou p.

Dvojice úhlů se nazývají úhly souhlasné.

Dvojice úhlů se nazývají úhly střídavé.

Věta:

a) Je-li jedna dvojice souhlasných (střídavých) úhlů vyťatých příčkou p na přímkách a, b úhly

shodné, pak jsou přímky a a b rovnoběžné.

b) Jsou-li přímky a a b rovnoběžné, pak každá dvojice souhlasných (střídavých) úhlů

vyťatých příčkou p na přímkách a, b jsou úhly shodné.

p

q

a

b

p

Planimetrie 27

Odchylkou dvou různoběžných přímek a, b je velikost každého s ostrých nebo pravých úhlů

, které přímky spolu svírají.

Zápis:

| |

Jsou-li přímky a a b rovnoběžné, je jejich odchylka .

Jsou-li přímky a a b kolmé, je jejich odchylka . ( )

Věta:

a) Každým bodem A lze vést k dané přímce p jedinou kolmici k.

b) Je-li a , pak je .

c) Je-li a , pak je .

Věta:

Přímka, která prochází středem úsečky a je k ní kolmá, se nazývá osa úsečky.

Vzdáleností bodu A od přímky p nazýváme nejkratší vzdálenost tohoto bodu od přímky, tedy

vzdálenost tohoto bodu od paty kolmice vedené bodem A k přímce p.

a

b

28 Planimetrie


Varianta A

Jsou dány 4 navzájem různoběžné přímky p, q, r, s, z nichž žádné tři neprocházejí jedním

bodem. Určete počet všech průsečíků daných přímek.

Příklad:

Celý problém můžeme znázornit na obrázku:

Z obrázku je patrné, že celkový počet průsečíků je 6.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Celkový počet průsečíků je 6.

p

q

r s

Planimetrie 29


1) Jsou dány 3 navzájem různoběžné přímky, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem.

Určete počet všech průsečíků daných přímek. [3]

2) Je dáno 5 navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem.


3) Je dáno 8 navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem.


4) Je dáno n navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem.

Na základě výsledků předcházejících příkladů určete počet všech průsečíků daných přímek.

[

( )]

30 Planimetrie


Varianta B

Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu je . Určete

velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku.

Příklad:

Úhly jsou úhly vrcholové a tedy shodné. Velikost úhlu je tedy .

Úhly jsou úhly souhlasné a tedy shodné. Velikost úhlu je tedy .

Úhly jsou úhly vedlejší a součet jejich velikostí je . Velkost úhlu tedy určíme

jako: .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


p

q

r

Planimetrie 31


1) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu je . Určete


[ ]



[ ]

p

q

r

p

q

r

32 Planimetrie



[ ]



[ ]

r

q

p

p

q

r

Planimetrie 33


Varianta C

Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů .

Příklad:

Úhly jsou úhly vedlejší a součet jejich velikostí je . Velkost úhlu tedy určíme

jako: .

Úhly jsou úhly střídavé a tedy shodné. Velikost úhlu je tedy .

Úhly jsou úhly souhlasné a tedy shodné. Velikost úhlu je tedy .

Úhly jsou úhly vedlejší a součet jejich velikostí je . Velkost úhlu tedy určíme jako:

.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


a

b

c d

34 Planimetrie


1) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů .

[ ]


[ ]

a

b

c d

a

b

c d

Planimetrie 35


[ ]


[ ]

a

b

c d

a

b

c d

36 Planimetrie

Trojúhelník

Základní pojmy

Definice:

Tři různé body A, B, C, které neleží na jedné přímce, určují trojúhelník ABC.

A, B, C – vrcholy trojúhelníku

a, b, c – strany trojúhelníku

, , – vnitřní úhly trojúhelníku

, , – vnější úhly trojúhelníku

Podle délek stran rozlišujeme trojúhelníky na:

- různostranné (žádné dvě strany nejsou shodné),

- rovnoramenné (dvě strany shodné),

- rovnostranné (všechny strany shodné).

Podle velikosti vnitřních úhlů dělíme trojúhelníky na:

- ostroúhlé (všechny úhly ostré),

- pravoúhlé (jeden úhel pravý),

- tupoúhlé (jeden úhel tupý).

Věta:

a) Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je .

b) Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je .

c) Velikost vnějšího úhlu je rovna součtu vnitřních úhlů u zbývajících dvou vrcholů.

A B

C

c

b a

Planimetrie 37

Věta:

Součet velikostí každých dvou stran trojúhelníku je větší než velikost strany třetí.

V každém trojúhelníku tedy platí tři tzv. trojúhelníkové nerovnosti:

Věta:

V každém trojúhelníku leží proti větší straně větší vnitřní úhel a naopak, proti většímu

vnitřnímu úhlu větší strana.

Definice:

Střední příčka trojúhelníku je úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku. Je rovnoběžná

s tou stranou trojúhelníku, jejíž střed nespojuje a její velikost je rovna polovině délky této

strany.

A B

C

A1 B1

C1

38 Planimetrie

Definice:

Spojnice vrcholu trojúhelníku s patou kolmice vedené tímto bodem k protilehlé straně

trojúhelníku se nazývá výška trojúhelníku. Všechny tři přímky, na nichž leží výšky

trojúhelníku, se protínají v jediném bodě zvaném ortocentrum.

Definice:

Spojnice vrcholu trojúhelníku se středem protilehlé strany trojúhelníku se nazývá těžnice

trojúhelníku. Všechny tři přímky, na nichž leží těžnice trojúhelníku, se protínají v jediném

bodě zvaném těžiště trojúhelníku.

Vzdálenost těžiště od každého vrcholu trojúhelníku je rovna dvěma třetinám délky příslušné

těžnice.

A B

C

A0

B0

C0

V

va vc

vb

Planimetrie 39

Věta:

a) Osy stran trojúhelníku se protínají v jediném bodě, středu kružnice trojúhelníku

opsané.

b) Osy vnitřních úhlů trojúhelníku se protínají v jediném bodě, středu kružnice

trojúhelníku vepsané.

A B

C

A1 B1

C1

T

ta

tc

tb

A B

C

A1 B1

C1

So

ko

40 Planimetrie

A B

C

Sv

kv

Planimetrie 41

Trojúhelník

Varianta A

Strany trojúhelníku mají délky 16 cm, 20 cm a 25 cm. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze

sestrojit.

Příklad:

Pro strany trojúhelníku musí být splněny všechny tzv. trojúhelníkové nerovnosti, tedy součet

délek každých dvou stran musí být větší než délka strany třetí.

a) … tato nerovnost je splněna.

b) … tato nerovnost je splněna.

c) … tato nerovnost je splněna.

Jelikož jsou splněny všechny tři trojúhelníkové nerovnosti, lze tento trojúhelník sestrojit.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Strany trojúhelníku mají délky 1,6 cm, 20 mm a 0,11 dm. Rozhodněte, zda tento

trojúhelník lze sestrojit. [ano]

2) Strany trojúhelníku mají délky 11 mm, 5 mm a 6 mm. Rozhodněte, zda tento trojúhelník

lze sestrojit. [ne]

3) Strany trojúhelníku mají délky 2,6 cm, 20 mm a 0,01 dm. Rozhodněte, zda tento

trojúhelník lze sestrojit. [ne]

4) Strany trojúhelníku mají délky 3,6 m, 2 m a 1,7 m. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze

sestrojit. [ano]


Trojúhelník lze sestrojit.

42 Planimetrie

Trojúhelník

Varianta B

Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru . Určete velikosti všech vnitřních

úhlů trojúhelníku.

Příklad:

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je . Řešit tuto úlohu tedy znamená rozdělit

v poměru . Celkový počet dílů určíme jako . Velikost jednoho dílu

určíme vydělením:

Nejmenšímu úhlu trojúhelníku přísluší jeden díl, tedy má velikost . Prostřednímu úhlu

přísluší dva díly, tedy jeho velikost určíme jako . Největšímu úhlu trojúhelníku

přísluší šest dílů, takže jeho velikost určíme jako . Daný trojúhelník má tedy

vnitřní úhly o velikostech .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru . Určete velikosti všech

vnitřních úhlů trojúhelníku. [ ]

2) Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru . Určete velikosti všech vnitřních

úhlů trojúhelníku. [ ]

3) Velikosti vnějších úhlů trojúhelníku jsou v poměru . Určete velikosti všech

vnějších úhlů trojúhelníku. [ ]

4) Velikosti vnějších úhlů trojúhelníku jsou v poměru . Určete velikosti všech

vnějších úhlů trojúhelníku. [ ]


Daný trojúhelník má vnitřní úhly o velikostech .

Planimetrie 43

Trojúhelník

Varianta C

Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: . Jakým podmínkám

musí vyhovovat délka třetí strany?

Příklad:

Pro strany trojúhelníku musí být splněny všechny tzv. trojúhelníkové nerovnosti, tedy součet

délek každých dvou stran musí být větší než délka strany třetí.

a)

b)

c)

Po dosazení dostáváme následující soustavu nerovnic:

a)

b)

c)

Po úpravě dostáváme:

a)

b)

c)

Řešením této soustavy nerovnic jsou všechna c, pro která platí: ( ).

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

( )


44 Planimetrie


1) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: . Jakým podmínkám


[ ( )]



[ ( )]



[ ( )]

4) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: . Jakým

podmínkám musí vyhovovat délka třetí strany?

[ ( )]

Planimetrie 45

Shodnost a podobnost trojúhelníků

Základní pojmy

Definice:

Dva trojúhelníky nazveme shodné, lze-li je navzájem přemístit tak, že se oba překrývají.

Pokud postačuje trojúhelník pouze přemístit, hovoříme o shodnosti přímé, pokud je

trojúhelník nutné nejen přemístit, ale i překlopit, hovoříme o shodnosti nepřímé.

O shodnosti trojúhelníků ovšem zpravidla nerozhodujeme pomocí přemísťování, nýbrž

používáme důležité věty o shodnosti trojúhelníků.

Věta: (sss)

Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech třech stranách, jsou shodné.

Věta: (usu)

Dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a úhlech přilehlých k této straně, jsou

shodné.

Věta: (sus)

Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné.

Věta: (Ssu)

Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich.

46 Planimetrie

Definice:

Pro každé dvě úsečky AB a CD můžeme stanovit kladné reálné číslo k, pro které platí:

| | | |

Můžeme také psát: | | | |. Číslo k se nazývá poměr úseček AB a CD.

Definice:

Trojúhelník A´B´C´ je podobný trojúhelníku ABC, existuje-li kladné reálné číslo k takové, že

pro jejich strany platí:

| | | | | | | | | | | |

Číslo k se nazývá poměr podobnosti trojúhelníků ABC a A´B´C´. Je-li , hovoříme o

zvětšení, je-li , hovoříme o zmenšení. Pro se jedná o shodnost trojúhelníků.

Zápis podobnosti:

Z výše uvedené definice podobnosti trojúhelníků také vyplývá:

Věta:

Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže poměr délek každých dvou stran jednoho trojúhelníku

je roven poměru délek příslušných stran trojúhelníku druhého.

O podobnosti trojúhelníků můžeme také rozhodnout pomocí vět o podobnosti trojúhelníků.

Věta: (uu)

Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se ve dvou úhlech.

Věta: (sus)

Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom úhlu a v poměru délek stran ležících na

jeho ramenech.

Planimetrie 47


Varianta A

Jsou dány trojúhelníky ABC: a A´B´C´:

. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné.

Příklad:

Při řešení je vhodné oba trojúhelníky načrtnout.

V trojúhelníku A´B´C´můžeme dopočítat velikost úhlu jako ( )

( ) . Jelikož po převodu jednotek platí , je na

základě obrázku patrné, že oba dva trojúhelníky jsou shodné podle věty usu.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Jsou dány trojúhelníky ABC: | | a MNO:

| | . Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné.

[ (sus)]


(usu)

A B

C

B´ A´

C´

48 Planimetrie

2) Jsou dány trojúhelníky KLM: a OPQ:

. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné.

[ (sss)]

3) Jsou dány trojúhelníky DEF: | | | | a RST:

| | | | . Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné.

[ (usu)]

4) Jsou dány trojúhelníky ABC: | | a A´B´C´:

| | . Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné.

[ (Ssu)]

Planimetrie 49


Varianta B

Danou úsečku AB zvětšete v poměru .

Příklad:

Úsečku AB doplníme na konvexní úhel BAX. Na polopřímku naneseme tři jednotky a

označíme je např. body 1, 2, 3.

Koncový bod úsečky AB spojíme s bodem 2 a bodem 3 vedeme s touto spojnicí rovnoběžku.

Tato rovnoběžka určí na polopřímce bod B´. Trojúhelníky AB2 a AB´3 jsou podobné

podle věty uu s koeficientem podobnosti

. Pro úsečky AB a AB´ tedy platí:

| |

| | | | | |

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

A B B´

1

2

3

50 Planimetrie


1) Danou úsečku AB zvětšete v poměru .


A B B´

1

2

3

A B B´

1

2

3

4

5

Planimetrie 51

2) Danou úsečku AB zvětšete v poměru .

3) Danou úsečku AB zmenšete v poměru .

A B B´

1

2

3

A B B´

1

2

3

52 Planimetrie

4) Danou úsečku AB zmenšete v poměru .

A B B´

1

2

3

4

5

6

7

Planimetrie 53


Varianta C

Danou úsečku AB rozdělte v poměru .

Příklad:

Úsečku AB doplníme na konvexní úhel BAX. Na polopřímku naneseme pět jednotek

(celkový počet dílů) a označíme je např. body 1, 2, 3, 4, 5.

Koncový bod úsečky AB spojíme s posledním bodem 5 a bodem 3 (první člen poměru)

vedeme s touto spojnicí rovnoběžku. Tato rovnoběžka určí na polopřímce bod X.

Trojúhelníky AB5 a AX3 jsou podobné podle věty uu s koeficientem podobnosti

. Pro poměr

úseček AX a XB tedy platí stejný poměr jako pro úsečky A3 a 35 (tedy ) :

| | | |

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

A B X

1

2

3

4

5

54 Planimetrie


1) Danou úsečku AB rozdělte v poměru .


A B X

1

2

3

4

5

A B X

1

2

3

4

5

6

7

Planimetrie 55



A B X

1

2

3

4

5

6

7

A B X

1

2

3

4

5

6

7

Y

56 Planimetrie


A B X

1

2

3

4

5

6

7

Y Z

8

9

10

Planimetrie 57

Mnohoúhelníky

Základní pojmy

Definice:

Uzavřená lomená čára spolu s částí roviny ohraničené touto lomenou čárou se nazývá

mnohoúhelník.

Délka lomené čáry ohraničující mnohoúhelník se nazývá obvod mnohoúhelníku.

Vrcholy lomené čáry se nazývají vrcholy mnohoúhelníku.

Strany lomené čáry se nazývají strany mnohoúhelníku.

Mnohoúhelníku o n vrcholech říkáme n-úhelník (pro trojúhelník, pro

čtyřúhelník, …). Každý vrchol n-úhelníku má dva sousední vrcholy. Spojnice dvou

nesousedních vrcholů mnohoúhelníku se nazývá úhlopříčka mnohoúhelníku.

Věta:

Počet úhlopříček v n-úhelníku je dán vztahem

( ).

Definice:

Mnohoúhelník, který celý leží v jedné z polorovin určených kteroukoliv jeho stranou, se

nazývá konvexní mnohoúhelník.

Mnohoúhelník, který není konvexní, se nazývá nekonvexní mnohoúhelník.

58 Planimetrie

Konvexní šestiúhelník Nekonvexní pětiúhelník

Definice:

Každá taková polorovina, v níž daný konvexní mnohoúhelník leží, se nazývá opěrná

polorovina konvexního mnohoúhelníku.

Definice:

Vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku je průnik opěrných polorovin sousedních stran.

Každý vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku je konvexní.

Věta:

Součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku jed dán vztahem ( ) .

Definice:

Pravidelný n-úhelník je takový konvexní mnohoúhelník, jehož všechny vnitřní strany i úhly

jsou shodné

A B

C

D

E

F

A

B C

D

E

Planimetrie 59

Pravidelný (rovnostranný) trojúhelník Pravidelný čtyřúhelník (čtverec)

Pravidelný pětiúhelník Pravidelný šestiúhelník

60 Planimetrie

Mnohoúhelníky

Varianta A

V jakém konvexním n-úhelníku je součet vnitřních úhlů ?

Příklad:

Pro součet s vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku platí vztah:

( )

Odtud pro n dostáváme:

V konvexním šestiúhelníku je součet vnitřních úhlů .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Určete součet vnitřních konvexního osmiúhelníku. [ ]

2) Určete součet vnitřních konvexního dvanáctiúhelníku. [ ]

3) V jakém konvexním n-úhelníku je součet vnitřních úhlů ? [v pětiúhelníku]

4) V jakém konvexním n-úhelníku je součet vnitřních úhlů ? [v dvacetiúhelníku]


V konvexním šestiúhelníku je součet vnitřních úhlů .

Planimetrie 61

Mnohoúhelníky

Varianta B

Který konvexní n-úhelník má 35 úhlopříček?

Příklad:

Pro počet úhlopříček u v konvexním n-úhelníku platí vztah:

( )

Odtud po dosazení dostáváme:

( )

Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou postupně upravíme na anulovaný tvar.

( )|

( )

( ) √( ) ( )

√

√

Jelikož řešením je počet úhlů mnohoúhelníku, je řešením dané úlohy pouze číslo 10.

V konvexním desetiúhelníku je 35 úhlopříček.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


V konvexním desetiúhelníku je 35 úhlopříček.

62 Planimetrie


1) Kolik úhlopříček má konvexní osmiúhelník? [ ]

2) Kolik úhlopříček má konvexní šestnáctiúhelník? [ ]

3) Který konvexní n-úhelník má 14 úhlopříček? [sedmiúhelník]

4) Který konvexní n-úhelník má 77 úhlopříček? [čtrnáctiúhelník]

Planimetrie 63

Mnohoúhelníky

Varianta C

Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost ?

Příklad:

Pro součet s vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku platí vztah:

( )

Jelikož se současně jedná o pravidelný n-úhelník, lze součet s vnitřních úhlů vyjádřit také

vztahem:

Z výše uvedených dvou rovnic tedy vyplývá:

( )

Jedná se o lineární rovnici, kterou řešíme následujícím způsobem:

|

|

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


64 Planimetrie


1) Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost ?

[ ]

2) Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost ?

[ ]

3) Určete velikost vnitřních úhlů v pravidelném desetiúhelníku.

[ ]

4) Určete velikost vnitřních úhlů v pravidelném dvacetiúhelníku.

[ ]

Planimetrie 65

Čtyřúhelníky

Základní pojmy

Čtyřúhelníky můžeme rozdělit do tří skupin, na různoběžníky, lichoběžníky a rovnoběžníky.

Definice:

Různoběžník je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné.

Definice:

Lichoběžník je čtyřúhelník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné a zbývající dvě strany nejsou

rovnoběžné.

Rovnoběžné strany se nazývají základny, zbývající dvě ramena. Lichoběžník, jehož ramena

jsou shodná, nazýváme rovnoramenný lichoběžník. Lichoběžník, jehož jedno rameno je

kolmé k základně, nazýváme pravoúhlý lichoběžník.

Věta:

Střední příčka lichoběžníku je spojnice středů jeho ramen. Je rovnoběžná s oběma

základnami a její délka je rovna aritmetickému průměru délek obou základen.

Definice:

Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož obě dvě dvojice protilehlých stran jsou rovnoběžné.

Podle velikosti úhlů můžeme rovnoběžníky dělit na pravoúhlé (obdélník, čtverec) a kosoúhlé

(kosodélník, kosočtverec).

Podle délek stran dělíme rovnoběžníky na rovnostranné (čtverec, kosočtverec) a

různostranné (obdélník, kosodélník).

66 Planimetrie

Věta:

a) Protější strany rovnoběžníku jsou shodné.

b) Protější vnitřní úhly rovnoběžníku jsou shodné.

c) Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí a jejich společný střed je středem

rovnoběžníku.

Definice:

Čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici, se nazývá tětivový čtyřúhelník.

Věta:

Součet protějších úhlů tětivového čtyřúhelníku je .

Definice:

Čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici, se nazývá tečnový čtyřúhelník.

Věta:

Součty délek dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníku jsou si rovny.

Definice:

Čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici, se nazývá dvojstředový čtyřúhelník.

Definice:

Deltoid je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou navzájem kolmé a jedna z nich prochízí středem

druhé.

Planimetrie 67

Deltoid

68 Planimetrie

Čtyřúhelníky

Varianta A

V lichoběžníku ABCD ( ) platí:

Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku.

Příklad:

Jelikož v daném lichoběžníku platí , je zřejmé, že součet úhlů a je vždy

(viz. souhlasné a vedlejší úhly). Pro velikost úhlu tedy platí:

Pro úhly pak platí následující soustava rovnic:

Při řešení můžeme např. využít dosazovací metodu a z druhé rovnice dosadit do první za .

|

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) V lichoběžníku ABCD ( ) platí:


[ ]


Planimetrie 69



[ ]



[ ]



[ ]

70 Planimetrie

Čtyřúhelníky

Varianta B

V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti

zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku.

Příklad:

V tětivovém čtyřúhelníku je součet velikostí protějších vnitřních úhlů úhel přímý, platí tedy:

Pro velikosti zbylých vnitřních úhlů tedy platí:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti

zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. [ ]








Planimetrie 71

Čtyřúhelníky

Varianta C

V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti

zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 80 cm.

Příklad:

V tečnovém čtyřúhelníku je součet velikostí protějších stran shodný, platí tedy:

Pro obvod čtyřúhelníku dále platí:

Dostáváme tak soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými:

Z první rovnice můžeme vyjádřit c:

Z tohoto vyjádření dosadíme do druhé rovnice:

( )

|

|

Pro velikost strany c pak platí:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


72 Planimetrie


1) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti

zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 100 mm.

[ ]


zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 15,1 m.

[ ]


zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 11,6 cm.

[ ]


zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 78 mm.

[ ]

Planimetrie 73

Kružnice, kruh

Základní pojmy

Definice:

Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k (S; r) je množina všech bodů (roviny), které mají od

bodu S vzdálenost r.

Bod S se nazývá střed kružnice, číslo r je poloměr kružnice.

Definice:

Množina všech bodů roviny, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r, se nazývá

kruh K (S; r).

Bod S se nazývá střed kruhu, číslo r je poloměr kruhu.

Body, jejichž vzdálenost od středu S je menší (větší) než poloměr, tvoří vnitřní (vnější) oblast

kruhu, popř. kružnice.

74 Planimetrie

Definice:

Úsečka AB, kde A, B jsou dva různé body kružnice, se nazývá tětiva kružnice. Tětiva, která

prochází středem, je průměr kružnice; značíme ho d.

Věta:

Pro vzájemnou polohu přímky a kružnice může nastat jedna z následujících možností:

a) Přímka a kružnice nemají žádný společný bod. Přímka se v tomto případě nazývá vnější

přímka kružnice.

b) Přímka a kružnice mají jeden společný bod – bod dotyku. Přímka se v tomto případě

nazývá tečna kružnice.

c) Přímka a kružnice mají dva společné body – průsečíky. Přímka se v tomto případě nazývá

sečna kružnice.

a) b) c)

S

A B

k

S

k

P

p

S

k

P=T

p

S

k

P

p

A

P

B

Planimetrie 75

Věta:

a) Pata kolmice vedené ze středu kružnice na sečnu AB je středem tětivy AB.

b) Tečna kružnice je kolmá k poloměru, který spojuje bod dotyku se středem kružnice.

Věta:

Pro vzájemnou polohu dvou kružnic ( ; ), ( ; ) může nastat jedna z následujících

možností:

a) | | … kružnice nazýváme soustředné

b) | | | |

Planimetrie 77

f) | | | |

78 Planimetrie

Kružnice, kruh

Varianta A

Je dána kružnice ( ; ) a přímka p, pro kterou platí | | .

Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k.

Příklad:

Jelikož je vzdálenost přímky od středu kružnice větší, než je poloměr kružnice, je patrné, že

přímka a kružnice nemají žádný společný bod. Přímka p je tedy vnější přímka kružnice k.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Je dána kružnice ( ; ) a přímka p, pro kterou platí | | .


[Přímka p je sečnou kružnice k.]



[Přímka p je sečnou kružnice k.]



[Přímka p je tečnou kružnice k.]



[Přímka p je vnější přímka kružnice k.]


Přímka p je vnější přímka kružnice k.

Planimetrie 79

Kružnice, kruh

Varianta B

Je dána kružnice ( ; ) a bod A, pro kterou platí | | . Určete

vzdálenost bodu A od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu A.

Příklad:

Z obrázku je patrné, že tečna vedená ke kružnici k z bodu A je kolmá na poloměr, tedy na

úsečku ST. Pro daný pravoúhlý trojúhelník pak platí Pythagorova věta:

| | | | | |

Pro hledanou velikost úsečky AT pak platí:

| | | | | |

| | √| | | | √

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

| |


80 Planimetrie


1) Je dána kružnice ( ; ) a bod B, pro kterou platí | | . Určete vzdálenost

bodu B od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu B.

[| | ]

2) Je dána kružnice ( ; ) a bod C, pro kterou platí | | . Vzdálenost bodu C od

bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu C je 24 cm. Určete poloměr kružnice k.

[ ]

3) Je dána kružnice ( ; ) a bod D, pro kterou platí | | . Vzdálenost bodu D od

bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu D je 16 mm. Určete poloměr kružnice k.

[ ]

4) Je dána kružnice ( ; ) a bod A, pro kterou platí | | . Určete

vzdálenost bodu A od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu A.

[| | ]

Planimetrie 81

Kružnice, kruh

Varianta C

Jsou dány kružnice ( ; ) a ( ; ). Pro vzdálenost jejich středů

platí | | . Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.

Příklad:

Abychom mohli rozhodnout o vzájemné poloze obou kružnic, určíme hodnoty následujících

dvou výrazů:

| | | |

| | | |

Platí tedy nerovnost:

| | | |

Kružnice nemají žádný společný bod a žádná z nich neleží uvnitř druhé.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Kružnice nemají žádný společný bod a žádná z nich

neleží uvnitř druhé.

82 Planimetrie


1) Jsou dány kružnice ( ; ) a ( ; ). Pro vzdálenost jejich

středů platí | | . Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.

[Kružnice mají vnější dotyk.]

2) Jsou dány kružnice ( ; ) a ( ; ). Pro vzdálenost jejich

středů platí | | . Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.

[Kružnice mají vnitřní dotyk.]

3) Jsou dány kružnice ( ; ) a ( ; ). Pro vzdálenost jejich středů


[Kružnice mají dva společné body.]

4) Jsou dány kružnice ( ; ) a ( ; ). Pro vzdálenost jejich středů


[Kružnice nemají žádný společný bod a menší z nich leží uvnitř druhé.]

Planimetrie 83

Úhly v kružnici

Základní pojmy

Definice:

Úhel nazýváme středový úhel příslušný k oblouku AB. K danému oblouku AB

existuje jediný středový úhel. Oblouk AB vždy leží uvnitř tohoto úhlu.

Definice:

Úhly , , nazýváme obvodové úhly příslušné k oblouku

AB. K danému oblouku AB existuje nekonečně mnoho obvodových úhlů. Oblouk AB vždy

leží uvnitř tohoto úhlu.

Věta:

Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného

k témuž oblouku.

84 Planimetrie

Důsledky:

a) Všechny obvodové úhly příslušné k danému oblouku jsou shodné.

b) Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý.

c) Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý.

d) Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý.

Věta: (Thaletova)

Všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé.

Planimetrie 85

Úhly v kružnici

Varianta A

Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je

délky kružnice.

Příklad:

Celá situace je patrná z následujícího obrázku:

Jelikož délka celé kružnice odpovídá středovému úhlu o velikosti , určíme velikost

středového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je

délky kružnice takto:

Pro velikost obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku pak platí:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


86 Planimetrie


1) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je

délky

kružnice.

[ ]


délky

kružnice.

[ ]


délky

kružnice.

[ ]


délky

kružnice.

[ ]

Planimetrie 87

Úhly v kružnici

Varianta B

V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku

BDE.

Příklad:

Z obrázku je patrné, že k oblouku BD přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného

osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí:

Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:

Z obrázku je patrné, že k oblouku DE přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného


88 Planimetrie


Z obrázku je patrné, že k oblouku BE přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného



Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku

BEG. [ ]


BFG. [ ]


BFH. [ ]


BHA. [ ]


Planimetrie 89

Úhly v kružnici

Varianta C

Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy 2,

10, 11.

Příklad:

Z obrázku je patrné, že k oblouku 2, 11 přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného





90 Planimetrie





Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy

2, 5, 7. [ ]


4, 7, 12. [ ]


2, 3, 7. [ ]


1, 7, 12. [ ]


Planimetrie 91

Obvody a obsahy rovinných obrazců

Základní pojmy

Útvar Obrázek Obvod a obsah

Trojúhelník

obvod:

obsah:

√ ( )( )( ),

kde

(Herónův vzorec)

Čtverec

obvod:

obsah:

Obdélník

obvod:

( )

obsah:

Kosočtverec

obvod:

obsah:

92 Planimetrie

Útvar Obrázek Obvod a obsah

Kosodélník

obvod:

( )

obsah:

Lichoběžník

obvod:

obsah:

( )

Kružnice,

kruh

obvod:

obsah:

Mezikruží

obsah:

(

) (

)

Planimetrie 93

Věta:

Je-li a délka strany pravidelného n-úhelníku, pak platí:

,

kde je poloměr kružnice vepsané danému n-úhelníku.

Věta:

Délku l kruhového oblouku AB příslušného ke středovému úhlu v kružnici s poloměrem r

lze vyjádřit takto:

a)

, je-li úhel vyjádřený ve stupních,

b) , je-li úhel vyjádřený v radiánech.

94 Planimetrie


Varianta A

Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 10,8 cm2 a obvod 13,8 cm.

Příklad:

______________________________

Pro obsah obdélníku platí:

a pro obvod:

( )

Po dosazení tedy dostáváme následující soustavu rovnic::

( )

Soustavu řešíme např. dosazovací metodou tak, že z první rovnice vyjádříme neznámou a a

dosadíme do druhé rovnice:

( )

(

) |

|

|

Obdrželi jsme kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce:

√( )

;

Dosazením do rovnice ( ) pak pro hodnoty neznámé a dostáváme:

Planimetrie 95

;

Srovnáním obou výsledků vidíme, že řešením je jediný obdélník se stranami délky 2,4 cm a

4,5 cm.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 2340,8 mm2 a obvod 253,8 mm.

[Řešením je obdélník se stranami délky 22,4 mm a 104,5 mm.]

2) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 0,651 m2 a obvod 3,94 m.

[Řešením je obdélník se stranami délky 0,42 m a 1,55 m.]

3) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 204,6 cm2 a obvod 57,8 cm.

[Řešením je obdélník se stranami délky 12,4 cm a 16,5 cm.]

4) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 4,9 dm2 a obvod 9,8 dm.

[Řešením je obdélník se stranami délky 1,4 dm a 3,5 dm.]


Řešením je obdélník se stranami délky 2,4 cm a 4,5 cm.

96 Planimetrie


Varianta B

Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o poloměru 12 cm

středovému úhlu o velikosti .

Příklad:

Pro délku kruhového oblouku příslušného na kružnici o poloměru r středovému úhlu

vyjádřeného ve stupních platí vztah:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o poloměru 1,12 m

středovému úhlu o velikosti . [ ]

2) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o průměru 12,12 dm


3) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o poloměru 233 mm


4) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o průměru 68 cm

středovému úhlu o velikosti

. [ ]


Planimetrie 97


Varianta C

Vypočtěte obsah mezikruží, jeho ž menší poloměr má délku 12 cm a větší poloměr má třikrát

větší délku.

Příklad:

________________________________

Pro obsah mezikruží platí vztah:

(

) ( )

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočtěte poloměr kružnice vepsané pravidelnému šestiúhelníku s obsahem 1500 mm2 a

délkou strany 16 mm. [ ]

2) Vypočtěte obsah trojúhelníku, jehož strany mají délky 20 cm, 16 cm a 28 cm.

[ ]

3) Určete poloměr kruhového hřiště, které musí žáci oběhnout pětkrát, aby uběhli 1500 m.

[ ]

4) Vypočtěte obsah kruhu, jehož obvod je roven součtu obvodů tří kruhů s poloměry 1 cm, 2

cm a 3 cm. [ ]


98 Planimetrie

Euklidovy věty, věta Pythagorova

Základní pojmy

Věta:

V každém pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c a odvěsnami a, b platí:

a) - Euklidova věta o výšce

b) - Euklidova věta o odvěsně

c) - Euklidova věta o odvěsně

d) - Pythagorova věta

Věta: (obrácená Pythagorova)

Platí-li pro délky stran trojúhelníku ABC vztah , je tento trojúhelník pravoúhlý a

c je délka jeho přepony.

Planimetrie 99


Varianta A

Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 50 mm, 120 mm a 130 mm je pravoúhlý.

Příklad:

Pokud je trojúhelník s těmito stranami pravoúhlý, pak přeponou je nejdelší a strana a platí

rovnost:

Vypočteme zvlášť hodnotu levé a pravé strany rovnosti:

Uvedený trojúhelník je pravoúhlý.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 7,2 cm, 9,6 cm a 12 cm je pravoúhlý.

[Uvedený trojúhelník je pravoúhlý.]

2) Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 28 mm, 67,2 mm a 72,8 mm je pravoúhlý.

[Uvedený trojúhelník je pravoúhlý.]

3) Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 1,2 dm, 2,4 dm a 2,7 dm je pravoúhlý.

[Uvedený trojúhelník není pravoúhlý.]

4) Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 0,24 m, 0,36 m a 0,43 m je pravoúhlý.

[Uvedený trojúhelník není pravoúhlý.]


Uvedený trojúhelník je pravoúhlý.

100 Planimetrie


Varianta B

Vypočtěte zbývající prvky pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, je-li

dáno:

;

Příklad:

Při řešení vyjdeme z obrázku a barevně zvýrazníme zadané údaje:

S využitím Euklidových vět a goniometrických funkcí postupně provedeme následující

výpočty:

√ √

√ √

√ √

Planimetrie 101

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Vypočtěte zbývající prvky pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, je-

li dáno:

;

[ ; ; ; ; ; ]


li dáno:

;

[ ; ; ; ; ; ]


li dáno:

;

[ ; ; ; ; ; ]


li dáno:

;

[ ; ; ; ; ; ]


; ; ; ; ;

102 Planimetrie


Varianta C

Obsah kosočtverce je 300 cm2 a poměr jeho úhlopříček je 3:4. Vypočtěte dél

planimetrie konstrukČnÍ Úlohy v rovinĚisspb.cz/wp-content/uploads/vg03-planimetrie.pdf · 2019....

Documents