planificação de sólidos platônicos a partir de lógicas de simetria · 2020-04-06 · para...
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Planificação de Sólidos Platônicos a partir de lógicas de SIMETRIA
Este material registra um exercício que abordou, de maneira conjunta, o estudo sobre as lógicas de planificação de sólidos platônicos a partir do conceito de simetria e a apropriação de técnicas digitais de representação por meio do software SkechtUp (nível introdutório).
Foi desenvolvido pela acadêmica de arquitetura Valentina Toaldo Brum, bolsista de iniciação científica (2015/1016) do Projeto ACORDA/Universal/CNPq, sob orientação da Profa. Adriane Borda/GEGRADI FAURB/UFPel
• Poliedros regulares: todas as faces são polígonos regulares de um único tipo.
• Todos vértices pertencem a uma superfície esférica
• A relação entre número de arestas (A), vértices (V) e faces (F) é dada pela
Fórmula de Euler:
A + 2 = V + F
SÓLIDOS PLATÔNICOS
• A simetria é um movimento isométrico, mantendo assim as propriedades das
figuras: distâncias, ângulos, paralelismos e razões duplas.
• As translações, rotações e reflexões são a base de uma simetria, sendo que
qualquer composição deste tipo deriva de combinações destes três movimentos. .
SIMETRIA“Parte da geometria que, operando no espaço euclidiano, engloba como transformações todas as isometrias, sendo o seu interesse específico o estudo dos grupos de isometrias que deixam invariantes as figuras”.
Sanz e Moratalla, 1999
Movimentos diretos: não mudam a orientação da figura depois de aplicado o movimento.Tipos: identidade, translação e rotação.
Movimentos indiretos: mudam a orientação da figura depois de aplicado o movimento.Tipos: simetria axial, simetria com deslizamento.
Movimento no plano
com pontos fixos:
Simetria Cíclica: os pontos fixos se reduzem ao centro (movimento de rotação).
Simetria Diédrica:os pontos fixos são os pontos do eixo (movimento de reflexão: simetria bilateral).
Sem pontos fixos: envolve o movimento de translação, onde não existe nenhum ponto fixo.
Simetrias de frisos
Simetrias de papel de parede (de plano)
Classificação das isometrias a partir da identificação de pontos fixos
Sans e Moratalla,1999
F1= <Ta>
F11= <Ta ,Sr >
F12= <Ta ,Sm >
F13= <Ta ,L >
F2= <Ta , GA >
F21= <Ta ,GA ,Sr>
F22= <GA ,L>
O exercício buscou aplicar lógicas de simetrias de frisos:
Sanz e Moratalla,1999
T=translação; S: reflexão de eixo horizontal; Sm: reflexão de eixo vertical; L: reflexão com deslizamento; G: rotação
SÓLIDO FACES ARESTAS VÉRTICES FACES EM CADA VÉRTICE
TETRAEDRO 4 6 4 3
CUBO 6 12 8 3
OCTAEDRO 8 12 6 4
DODECAEDRO 12 30 20 3
ICOSAEDRO 20 30 12 5
SÓLIDOS PLATÔNICOS
Tetraedro
O tetraedro é um sólido platônico formado por 4 triângulos equiláteros, 6
arestas e 4 vértices. Em cada vértice há o encontro de 3 triângulos.
Para empregar uma lógica de simetria de frisos, para a planificação do tetraedro,
aplicou-se a regra: F2= <Ta , GA > , utilizando-se assim de movimentos de
TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO
60º
MÓDULO
Para representar sua planificação desenhou-se uma linha (ferramenta Line) e esta foi
rotacionada 60º e copiada (ferramenta Rotate + Ctrl) duas vezes, uma delas partindo do vértice A
para o vértice B, e outra, do vértice B para o vértice A. Logicamente, a representação poderia ter
partido diretamente da construção de um triângulo equilátero, porém com isto se reforça o
movimento isométrico de cada lado para a geração desta figura base do tetraedro regular.
A B
O triângulo equilátero foi rotacionado 60º e copiado, partindo do vértice B para o vértice A.
A B
Os dois triângulos equiláteros foram movidos (ferramente Move + Ctrl) e copiados do vértice A para o vértice B.
A B
Cubo
O cubo é um sólido platônico formado por 6 quadrados, 12 arestas e 8 vértices.
Em cada vértice há o encontro de 3 quadrados.
Para a planificação do cubo, aplicou-se a mesma regra utilizada para o tetraedro:
F2= <Ta , GA > , utilizando-se assim de movimentos de TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO
MÓDULO
180º
Partiu-se do desenho de um quadrado (ferramenta Rectangle), sendo este movido e copiado do vértice A para o vértice D e após esta ação digitou-se x2 para que a translação se repetisse.
A B
D C
Os três quadrados foram rotacionados 180º e copiados tendo como centro de rotação o ponto médio (M) do segmento EF.
A B
D
E
C
F
M
Octaedro
O octaedro é um sólido platônico formado por 8 triângulos equiláteros, 12
arestas e 6 vértices. Em cada vértice há o encontro de 4 triângulos.
Para a planificação do octaedro também foi possível aplicar a regra F2= <Ta , GA >
utilizando-se dos movimentos de TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO
180º
MÓDULO
Para planificá-lo partiu-se da planificação de um tetraedro.
O conjunto de triângulos foi movido e copiado do vértice A para o vértice B
A
B
Dodecaedro
O dodecaedro é um sólido platônico formado por 12 pentágonos, 30 arestas
e 20 vértices. Em cada vértice há o encontro de 3 pentágonos. Para a
planificação do dodecaedro, foi necessário inicialmente utilizar o tipo de
simetria cíclica e logo aplicar a mesma regra de simetria de friso utilizada para
o tetraedro, cubo e octaedro: F2= <Ta , GA >.
180ºMÓDULO
Para planificá-lo partiu-se do desenho de um pentágono. Desenhou-se umalinha e esta foi rotacionada 108º e copiada quatro vezes, a primeira partindodo vértice A para o vértice B, a segunda, do vértice B para o vértice A e emseguida do vértice E para o vértice A e do vértice C para o B.
A
E C
B
D
O pentágono foi rotacionado 180º e copiado do vértice A para o vértice E e este foi movido e copiado quatro vezes: do vértice F para o vértice E, do vértice F para o C, do vértice G para o B e do vértice E para o B.
A
E C
B
D
G
F
O conjunto de pentágonos foi rotacionado e copiado 180º partindo do ponto médio (M) do segmento HI para o vértice H.
A
E C
B
D
G
F
H
I
M
Icosaedro
O icosaedro é um sólido platônico formado por 20 triângulos equiláteros, 30
arestas e 12 vértices. Em cada vértice há o encontro de 5 triângulos. Para a
planificação do icosaedro foi utilizada a regra F1= <Ta>.TRANSLAÇÃO
MÓDULO
Para planificá-lo partiu-se da planificação de um tetraedro.
A planificação foi rotacionada 120º.
O conjunto de triângulos foi movido e copiado do vértice A para o vértice B e em seguida digitou-se x4 para que a translação se repetisse
BA
Referências
http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/cubo-br.html
http://www.es.iff.edu.br/poliedros/planifi_arquimedes.html