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Dois Grupos
Planejamento e Pesquisa 1
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• Comparando dois grupos – Testes t para duas amostras independentes – Testes t para amostras pareadas – Suposições e Diagnóstico
• Comparação de mais que dois grupos: – ANOVA – Decomposição da variabilidade total – Testes – Suposições e análise de sua validade – Comparações múltiplas – Tamanho de amostra
Conceitos básicos
MAE0317 - Lane Alencar
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• Qual o objetivo?
Exemplo: Cimento Portland
MAE0317 - Lane Alencar
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Dot plot
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Box plot
MAE0317 - Lane Alencar
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Modelo e Interpretação
MAE0317 - Lane Alencar
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• Ideia do teste de significância
Testes de hipóteses
MAE0317 - Lane Alencar
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• Assumindo distribuição normal • Hipóteses:
Teste para duas amostras
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• Qual o método de estimação? • Quais as propriedades desses estimadores? • Distribuições?
Estimação dos Parâmetros
MAE0317 - Lane Alencar
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Fórmula 1 Fórmula 2 “Nova receita” “Receita original”
Medidas Descritivas
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• Quais as hipóteses? • Diferença entre as médias • Variabilidade das diferenças • Teste mais poderoso • Suposições: • y1i ~ N(μ1,s1
2), i=1,…,n1
• y2i ~ N(μ2,s22), i=1,…,n2
Teste t para 2 amostras
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• Estatística se as variâncias forem conhecidas
Para variâncias conhecidas
MAE0317 - Lane Alencar
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• Estatística se as variâncias forem desconhecidas
• Em 1908, W. S. Gosset derivou a distribuição t de Student.
• Por que obtemos essa distribuição? • Estudar as distribuições relacionadas com a normal!
Para variâncias desconhecidas e diferentes
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• Verificar se é razoável supor que as variâncias são iguais.
• Por que estimar separadamente as variâncias se elas forem iguais?
• Como você estimaria a variância sabendo que as variâncias são iguais?
Variâncias iguais
MAE0317 - Lane Alencar
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• A partir de
• Obtemos
Variâncias iguais – teste t
MAE0317 - Lane Alencar
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• Valores de t próximos de zero, …. • Valores de t distantes de zero,.... • t mede uma distância entre as médias expressas em
unidades de desvio padrão da diferença entre as médias
• razão sinal-ruído: o quanto é explicado pelo modelo e o quanto é variabilidade residual
Interprete o valor da estatística
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• Como concluir o teste de igualdade de médias versus diferença entre as médias?
Teste de igualdade de médias – variâncias iguais
MAE0317 - Lane Alencar
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a=5% (o que isso significa?)
• Distribuição t18. valos observado t=-2,2
Teste de igualdade de médias – variâncias iguais
Ao nível de significância 5%, qual a conclusão? Qual a decisão a ser tomada?
MAE0317 - Lane Alencar
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• É possível que as médias sejam iguais e |t| seja maior que 2,101, mas isso tem probabilidade pequena (a), então concluo que as médias devem ser diferentes.
Teste de igualdade de médias – variâncias iguais
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• Como calculo o nível descritivo? Qual seu significado? • No caso p = 0,042.
Teste de igualdade de médias – variâncias iguais
MAE0317 - Lane Alencar
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Teste de igualdade de duas variâncias
MAE0317 - Lane Alencar
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Minitab
Two-Sample T-Test and CI: Modified; Unmodified
Two-sample T for Modified vs Unmodified
N Mean StDev SE Mean
Modified 10 16.764 0.316 0.10
Unmodified 10 17.042 0.248 0.078
Difference = mu Modified - mu Unmodified
Estimate for difference: -0.278
95% CI for difference: (-0.545; -0.011)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -2.19
P-Value = 0.042 DF = 18
Both use Pooled StDev = 0.284
MAE0317 - Lane Alencar
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Como seria com variâncias diferentes?
Two-Sample T-Test and CI: Modified; Unmodified
Two-sample T for Modified vs Unmodified
N Mean StDev SE Mean
Modified 10 16.764 0.316 0.100
Unmodifi 10 17.042 0.248 0.078
Difference = mu Modified - mu Unmodified
Estimate for difference: -0.278
95% CI for difference: (-0.546; -0.010)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -2.19
PValue= 0.043 DF = 17
MAE0317 - Lane Alencar
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Normalidade
MAE0317 - Lane Alencar
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• Pode utilizar vários programas estatísticos. • Até o excel, que em geral tem em qualquer empresa,
ou o R que é gratuito.
Programas
MAE0317 - Lane Alencar
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• Poderia querer testar • H0: μ1=μ2 vs H1: μ1<μ2 • Como faço o teste? • A receita nova é mais barata. Quais os possíveis
erros nesse teste, se o pesquisador trocar de receita se a nova receita apresentar mesma força média que a tradicional?
Teste t : unicaudal
MAE0317 - Lane Alencar
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• Intervalo de confiança em geral é construído com uma quantidade pivotal.
• Qual é a quantidade pivotal no nosso caso? • O intervalo de confiança com coeficiente g% para a
diferença de duas médias, para variâncias iguais e desconhecidas tem a forma
• Qual a interpretação do intervalo? • Como fica com variâncias diferentes desconhecidas e
para as conhecidas?
Intervalos de confiança
MAE0317 - Lane Alencar
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• Yij = mi + eij, eij ~ N(o,si2) independentes
• i=0,1; j=1,…,ni
• Yij =b0+b1 xij + eij, eij ~ N(o,si2) independentes
• sendo xij =0 se j=0 e xij =1 se j=1.
Parametrizações para o modelo de médias
MAE0317 - Lane Alencar
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• A análise de variâncias (ANOVA) é apropriada para esse tipo de experimento.
• A ANOVA foi desenvolvida por Fisher nos anos 20, e aplicada iniciamente em experimentos agrícolas
• Tem diversas aplicações.
E se tiver mais que dois grupos?
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• Montgomery. Design of Experiments. • Silva, RBV e Ferreira, DF. 2003Alternativas para o
teste t com variâncias heterogêneas avaliadas por meio de simulação. http://www.editora.ufla.br/site/_adm/upload/revista/27-1-2003_23.pdf
• Satterthwaite, FE. 1946. An Approximate Distribution of Estimates of Variance Components. Biometrics Bulletin, Vol. 2, No. 6, (Dec., 1946), pp. 110-114
Referências
MAE0317 - Lane Alencar