UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE CIENCIAS HISTÓRICO SOCIALES Y EDUCACIÓN

PROGRAMA DE COMPLEMENTACIÓN PEDAGÓGICA UNIVERSITARIA

PLAN DE SESIÓN PARA OBTENER EL TITULO DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN

ESPECIALIDAD MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN

BACHILLER

Bach. Juan Miguel Vásquez Vásquez. JURADO Presidente: ………………………………………………………………. Secretario: ………………………………………………………………. Vocal: ………………………………………………………………. Asesor Lic. Beder Bocanegra Vilcamango

Chiclayo, 09 de septiembre del 2011

SESION DE APRENDIZAJE

1. DATOS INFORMATIVOS:

INSTITUCION EDUCATIVA : “FACHSE – PEDRO RUIZ GALLO” GRADO y SECCION : SEGUNDO – UNICA NIVEL : SECUNDARIO PROFESOR : Bach. Juan Miguel Vásquez Vásquez ASESOR : Lic. Beder Bocanegra Vilcamango FECHA : 09 / 10 / 2011 DURACIÓN : 1 horas (50’ minutos)

2. DENOMINACIÓN

“ÁREAS SOMBREADAS – FIGURAS IMPORTANTES”

3. FUNDAMENTACIÓN

El entorno natural es un excelente medio para la realización de numerosas actividades relacionadas con las áreas sombreadas, cálculos que facilitan tener una idea clara de las dimensiones por ej. Un plano, terreno, material para diseño y fabricación de cosas útiles para nuestro entorno social, cultural y comercial. En esta sesión de aprendizaje el alumno adquirirá capacidades como resolución de problemas, razonamiento y demostración de situaciones cotidianas relacionadas al tema.

4. CONTENIDOS TRANSVERSALES

Educación en y para los derechos humanos Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental.

5. VALORES

Respeto y tolerancia: reconocimiento de la dignidad de todo ser humano y de su derecho a ser diferente

Solidaridad: decisión libre y responsable de dar de uno mismo a otras personas, para su bien; sin esperar recompensa.

6. SISTEMA DE CAPACIDADES:

ORGANIZADORES CAPACIDADES INDICADORES

RAZONAMIENTO Y

DEMOSTRACIÓN (IE)

RESOLUCION DE PROBLEMAS(RP)

- Discrimina las diferentes figuras geométricas.

- Resuelve problemas geométricos que involucran el cálculo de áreas de regiones poligonales

- Identifica las figuras geométricas, en la elaboración de su material según anexo N° 1

- Resuelve problemas propuestos contextualizados según preguntas de anexo N° 2

7. DISEÑO DIDÁCTICO:

SECUENCIA ESTRATEGIAS METODOLOGICAS RECURSOS

DIDACTICOS TIEMPO

INICIO

Se inicia la sesión realizando el saludo correspondiente. Se comenta acerca del espacio que existe en cualquier lugar y al mismo tiempo como el hombre dispone del mismo para organizarse. Se continúa con la sesión resolviendo las preguntas que se presentan a continuación: ¿Qué forma tiene el piso de su sala y/

comedor? ¿Cuál es más grande? ¿Qué dimensiones comparaste? ¿Cómo podemos distinguir las áreas dentro

de otras? ¿Cómo nos sirve la Geometría para distinguir

áreas? ¿Qué haríamos para distinguir un área dentro

de otra más grande? Los estudiantes comentan sobre el tema a tratar,

se coloca el titulo en la pizarra.

Plumón Pizarra Mota

10 min.

PROCESO

Identifican las diferentes figuras geométricas

planas. (Anexo N° 1)

Discriminan qué figuras geométricas planas, interfieren en su diseño.

Relacionan las figuras geométricas utilizadas en

el anexo N° 1 con las formulas adecuadas.

Calculan el área de la figura elaborada en el (Anexo N° 1)

Resuelven problemas usando su diseño como

unidad base,

¿Cuántas cartulinas utilizare para hacer 20 diseños de los mismos?

Los estudiantes contestan y resuelven los

problemas de la batería (Anexo N° 2) Después de la exposición de loa escolares se

hará el reforzamiento a cada respuesta emitida o solución propuesta por cada alumno en forma personalizada acercándose a su asiento y dándole ideas de cómo terminar su hoja, Anexo N° 2

Plumón Pizarra Mota Lapiceros Tijeras Material

impreso. Guía de

observación. Cartulina

plastificada de 2 x 2 cm

2

30 min.

SALIDA

Evaluación problemas según anexo N° 3 Se les presenta el anexo N° 4, como extensión

y/o complemento para desarrollar en casa, haciendo presente la revisión en la siguiente sesión de aprendizaje.

Material impreso.

Guía de observación.

10 min.

8. BIBLIOGRAFÍA

Docente

EDICIONES RUBIÑOS, Razonamiento Matemático 2011, enero 2011

ESPINOZA RAMOS, Eduardo, Geometría Analítica y Plana, Lima, Ediciones J&J, marzo 1999

GOÑI GALARZA, Juan, Geometría “El Pre Universitario”, Lima, 2003

SANTILLANA, Razonamiento Matemático 4° Secundaria, Marzo 2010

VENERO BALDEÓN, Armando J. Matemática Básica, Lima, Ediciones Gemar, 2001

Alumno

EDICIONES RUBIÑOS, Razonamiento Matemático 2011, enero 2011

GOÑI GALARZA, Juan, Geometría “El Pre Universitario”, Lima, 2003

SANTILLANA, Razonamiento Matemático 4° Secundaria, Marzo 2010

Bach. Juan Miguel Vásquez Vásquez Matemática y Computación

ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES Y CIRCULARES

REGIÓN POLIGONAL: Se llama así a la reunión de un polígono con su interior.

Región Triangular Región Cuadrangular Región Pentagonal Región Hexagonal

ÁREA: Es la medida de una región poligonal. El área está representada por un Número,

expresado en unidades cuadradas: cm2, m

2, km

2 pie

2, etc.

UNIDAD DE ÁREA: Es la región determinada por un cuadrado cuyo lado mide una unidad (1cm,

1m, 1mm, etc.)

ÁREA DE UNA REGIÓN POLIGONAL.- Es la medida que expresa cuántas veces está contenida

una unidad de área en la región poligonal.

OBSERVACIÓN IMPORTANTE:

ÁREA DEL CUADRADO: El área de un cuadrado, se expresa por el cuadrado de la longitud de

su lado.

1u2 l=1u

l=1u

l=2cm

l=2cm

1cm2

1cm

1cm

1cm 1cm 1 unidad de área

Se observa que el cuadrado contiene 4 unidades.

Así, por ejemplo, decir que la región de un cuadrado

tiene un área de 4 cm2, significa que dicha región

contiene 4 unidades de 1 cm2 cada una:

Como ya se mencionó, el área es una medida, una cantidad, un número asociado con unidades

cuadradas, de modo que la frase “AREA SOMBREADA” NO TIENE SENTIDO MATEMÁTICO, ya que

significaría un número sombreado. Se tendrá que mencionar, en todo caso, “Área de la Región

Sombreada”.

También: ES INCORRECTO mencionar “área del cuadrado”, “área del rectángulo”, etc., ya que el área es la MEDIDA DE UNA SUPERFICIE, de una región y los polígonos por sí solos no lo son (son líneas). SIN EMBARGO, para abreviar, por razones prácticas, se menciona Área del Triángulo, Área del Cuadrado, Área de un Cuadrilátero, entendiéndose, desde luego el área de la región correspondiente.

l

l

A = l 2

ÁREA DEL RECTÁNGULO: Es igual al producto de la longitud de su base por la longitud de su

altura.

ÁREA DEL TRIÁNGULO:

Observa que el área del triángulo AED es la mitad del área del

rectángulo ABCD. Luego:

Área = 2

h . b

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto

de su base por su altura.

NOTA: Para el equilátero: A = 4

32l

ÁREA DEL ROMBOIDE:

Observa que el área del paralelogramo ABCD es igual al

área del rectángulo ARHD.

Entonces: Área = b . h

El área de un paralelogramo es igual al producto de su

base por su altura.

ÁREA DEL TRAPECIO:

Observa que los dos trapecios iguales (PQEF y EFTR)

forman un paralelogramo)

El área del trapecio es igual a la mitad del área del

paralelogramo.

Área = 2

h . )bB(

Donde: B = base mayor del

b = base menor del

El área de un trapecio es igual a la mitad del producto de la suma de sus bases por su altura.

h

b

A = b.h

A D

C B R H

h

b

h

h

P B b

T F

R B b

E

Q

B E C

h h

A D b

S1

S1

S2

S2

ÁREA DEL ROMBO:

En el rombo EFGH En el Rectángulo MNPQ

EG=Diagonal menor (d) MQ =base del rectángulo

FH=Diagonal mayor (D) PQ=altura del rectángulo

Observa que de la figura:

=

d = b

=

D = h

De esta figura observamos que el área del rombo EFGH es la mitad del área del rectángulo

MNPQ.

El Área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales

A = 2

d . D

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR:

Observa que si unimos los vértices de un polígono con el centro del mismo, se obtienen triángulos

equiláteros en una cantidad igual al número de lados del polígono.

En el AOB:

a : Apotema (perpendicular trazada desde el centro del polígono hacia uno de los lados).

En el AOB, el Apotema es también la altura y “l” es su base

Luego, AAOB = 2

altura x base

AAOB = 2

a x l

Perímetro = 6 l

E D

B

C F

A l

l

l

C

D E

F

A B

a

O

l

l

l

l

l

l Centro

O

N F P

E

M H Q

h=D

b=d

G

(Diagonal menor del rombo EFGH)

(Base del

rectángulo MNPQ)

(Diagonal mayor del rombo EFGH)

(Altura del rectángulo MNPQ)

O

A B l

a

Nota que para obtener el área del polígono, que en este caso es un hexágono, se deben sumar 6

veces el Área del triángulo AOB.

A (Polígono) = 6 Área AOB ; 6 = “n”: Número de lados del polígono.

A (Polígono) = 6.2

apotema . l; Pero: (6l ) es el perímetro del polígono (en general, el perímetro=n . l)

A(Polígono) = 2

apotema x perímetro

“El Área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por el apotema”.

ÁREA DE UN POLÍGONO IRREGULAR: Se halla descomponiendo el polígono en otros

polígonos ya conocidos: En triángulos, rectángulos, trapecios, etc. y sumando sus respectivas

áreas.

Área del Polígono ABCDE: Área AFB + Área BHC + Área CDE + Área FBHE

ÁREA DEL CÍRCULO:

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

Experiencia Previa: Consigue diversos objetos de forma cilíndrica, por ejemplo: tarros de

leche, vasos, etc. luego mide en milímetros su circunferencia (Longitud de la

Circunferencia: LC) y su diámetro (D).

Observa que el diámetro (D) es 2 veces el radio.

D = 2 R

Área del Círculo = R2

A F E

D

C

B H

G

B

C

D

E A

R R O

Diámetro

Circunferencia

ANEXO N° 2

Resumen en Fórmulas:

RECTÁNGULO CUADRADO PARALELOGRAMO

Área = b x h

Donde:

b = base del

h = altura del

Perímetro = 2b + 2h

Área = l 2

Área = 2

d2

Donde:

l = lado del

d = diagonal del

Área = b x h

Área = (a x b) Sen 0

Donde:

b = base del

h = altura del

TRIÁNGULO

TRIÁNGULO

RECTÁNGULO

TRIÁNGULO

OBTUSÁNGULO

Area = 2

hxb

Donde:

b = base del

h = altura del

Area = 2

bxa

Donde:

a y b = catetos

Area = 2

hxb

Donde:

b = base del

h = altura del

B C

D A b

h

C

B

D A

d l

l

B C

D A b

h a

B

A C

h

b

A

C B

a

b

C

A B

b

h

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE

SUS DIFERENTES ELEMENTOS

Área = )cp)(bp)(ap(p

Donde:

p = 2

cba

p = semiperímetro

Área = 2

c x b. Sen

TRIÁNGULO INSCRITO

Donde:

a; b y c = lados del

R = radio de la circunferencia

circunscrita (Circunradio)

TRIÁNGULO CIRCUNSCRITO

Donde:

p = semiperímetro del

r = radio de la circunferencia

inscrita (inradio)

ROMBO TRAPECIO POLÍGONO REGULAR

Área = 2

ACxBD

Donde:

AC = Diagonal menor

BD = Diagonal mayor

Área = h . 2

bB

Donde:

B = Base mayor

b = Base menor

h = altura

Área =

2

a . P

Donde:

P = Perímetro

a = apotema

B

C A

h l l

l

Área = 4

32l

Área = 4

32h

B

A C

c a

b

B

c

R

O C

A

b

a Área = R4

axbxc

A C

B

O r

b

a c

Área = p . r

A C

B

D

P T

R Q

B

b

h h

D

B

C

E

F A

a

ZONA CIRCULAR CORONA CIRCULAR TRAPECIO CIRCULAR

Área = Área del

Segmento EAB –

Área del

segmento CED

Área C.C. = (R2 – r

2)

Donde:

R = radio del mayor

r = radio del menor

Área T.C. =o

360

)2

r2

R(o

Donde:

R = radio del mayor

r = radio del menor

ÁREA DEL CÍRCULO Y DE LAS FIGURAS CIRCULARES

CÍRCULO

Área = r2

Área = 4

D2

Donde:

r = Radio del

D = Diámetro del

SECTOR CIRCULAR

Área =o

2

360

r

Donde:

r = Radio del

= ángulo central en grados

SEGMENTO CIRCULAR

Área = Área Sector AOB

– Área AOB

Donde:

r = Radio del

= ángulo central

r

O O

r r

°

O

r r

°

A B

A

E D

B

C

O

R

r O

R

r

°

¡UN RELAJITO PARA EMPEZAR!

DEMUESTRA QUE SÍ ERES CAPAZ, DEMUESTRA QUE PUEDES RESOLVER:

1. Calcular el área de la región sombreada.

a) 4

b) 6

c) 8

d) 10

e) 16

2. Hallar el área de la región

sombreada.

a) 4 3

b) 2 3

c) 4(2 3 )

d) 3(2 3 )

e) 6(2 3 )

3. Hallar el área de la región sombreada.

a) 14

b) 12

c) 20

d) 16

e) 18

4. Hallar el área de la región

sombreada, m<A = 60º, AB = 6,

AC = 12.

a) 10,5

b) 8,5

c) 12, 5

d) 10

e) 12

A

C

B 4 4

O

C

A B

B C

D A

6

2

60º

3 3

3

3

6 6

5. El área de la región triangular ABC es 40.

Hallar el área de la región sombreada.

a) 20

b) 24

c) 28

d) 30

e) 22

6. Determinar el área de la región

sombreada, el lado del cuadrado

ABCD mide 4.

a) 16

b) 8

c) 4

d) 6

e) 12

7. El área de la región del triángulo ABC es

42, AM = MN = NC. Hallar el área de la

región sombreada.

a) 21

b) 14

c) 7

d) 28

e) 56

8. En el paralelogramo ABCD de la

figura, si EC

BE = k. Hallar

DEC Área

ABED Área .

a) k

b) k + 2

c) 2k + 1

d) k + 1

e) 3k + 1

9. Encontrar el área de la región sombreada,

O es centro de la circunferencia.

a) 4

b) 7

c) 5

d) 8

e) 6

10. Hallar el área de la región sombreada.

a) 64

b) 56

c) 58

d) 42

e) 36

11. Calcular el área de la región sombreada,

si el lado del cuadrado ABCD mide “a”.

a) 3

a2

b) 2

a2

c) 4

a2

d) 3

a2 2

e) 5

a2

12. En el cuadrado de la figura, encontrar

el área de la región sombreada.

a) 18 cm2 b) 12 cm

2 c) 32 cm

2

d) 16 cm2 e) 24 cm

2

B

A D C 3k 2k

B C

D A

B

A M N

C

B E C

D A

4

4

O // //

14

8

B C

D A

B C

D A 2cm 2cm 2cm

2cm

2cm

2cm

ANEXO N° 3 TALLER DE REFORZAMIENTO

1. El área de un rectángulo mide 960 cm

2. Sus lados están en la relación

de 3 a 5. El ancho mide: a) 24 cm b) 30 cm c) 50 cm d) 36 cm e) 48 cm

2. La diferencia de las dimensiones de un rectángulo es 6 m y la diferencia de sus cuadrados es 252 m

2. El

perímetro es: a) 70 m b) 60 m c) 80 m d) 82 m e) 84 m

3. El área de un paralelogramo es de 1 125 m

2, si su base excede en 20 m a

su altura. ¿Cuánto mide la base?. a) 24 m b) 25 m c) 30 m d) 45 m e) 35 m

4. El perímetro y las diagonales de un rombo suman 102 m. Si el lado y la diagonal menor son como 5 es a 6. Hallar el área del rombo.

a) 215 m

2 b) 216 m

2 c) 168 m

2

d) 200 m2 e) 300 m

2

5. La suma y la diferencia de las diagonales de un rombo es de 76 m y 20 m respectivamente. El área del rombo es:

a) 672 m

2 b) 524 m

2 c) 324 m

2

d) 608 m2 e) 576 m

2

6. En un triángulo isósceles ABC: AB = BC = 30 cm; AC = 36 cm. Determinar el área del triángulo ABC.

a) 408 cm

2 b) 324 cm

2 c) 84 cm

2

d) 168 cm2 e) 432 cm

2

7. La apotema de un cuadrado mide 2 m. El área de un cuadrado es:

a) 2 m

2 b) 4 m

2 c) 8 m

2

d) 4 2 m2 e) 16 m

2

8. El área de un triángulo equilátero es

de 75 3 m2. Calcular la suma.

a) 8 m b) 10 m c) 13 m d) 15 m e) 18 m

9. Hallar el área de la parte sombreada

si ABCD es un cuadrado.

a) 2(18 – )u2

b) (15 – )u2

c) (12 – )u2

d) 2(8 – )u2

e) (16 – )u2

10. Calcular el área de la región

sombreada.

a) 10 m2

b) 15 m2

c) 16 m2

d) 18 m2

e) 20 m2

11. El área del trapecio ABCD es 40

m2. El área de la región sombreada

será de:

a) 35 m2

b) 32 m2

c) 30 m2

d) 25 m2

e) 20 m2

12. En la figura se muestra al

paralelogramo ABCD, si BM + BN =

27 m, calcular el área del

paralelogramo.

a) 186 m2

b) 304 m2

c) 643 m2

d) 234 m2

e) 452 m2

B

A D

C

4u

r=2u

r=2u

B

A C O

r=6cm

30º

A

C B

D 9k

3k B C

A D

N

M 26m

13m

13. Una diagonal de un trapecio

isósceles mide 13 m. Si la altura es

de 5 m, el área del trapecio es:

a) 40 m2 b) 50 m

2 c) 60 m

2

d) 70 m2 e) 80 m

2

14. El área de un triángulo isósceles es

18 5 m2 y sus lados congruentes

miden 9 m cada uno. Calcular su

perímetro.

a) 10 m b) 20 m c) 30 m

d) 40 m e) 50 m

15. Las longitudes de los lados de un

triángulo rectángulo están en

progresión aritmética de razón 3 m.

El área de dicho triángulo es:

a) 54 m2 b) 60 m

2 c) 48 m

2

d) 40 m2 e) 70 m

2

16. Calcular la razón entre el área de la

región sombreada y la del círculo

pequeño.

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

17. En la figura mostrada:

Área EFGH = 784 cm2

Área ABCD = 324 cm2

Calcular el perímetro de uno de los

rectángulos iguales.

a) 68 cm

b) 56 cm

c) 65 cm

d) 105 cm

e) 120 cm

18. En la figura adjunta, calcular el área

de la región sombreada.

Si: CD = 4

R O

O1

A

D

B

C

F

G

E

H

B C

L

L D A

60º

19. Si el área del cuadrado es 10 m2,

el área de la parte sombreada es:

a) 3 m2

b) 4 m2

c) 5 m2

d) 6 m2

e) 7,5 m2

20. El lado del cuadrado es “L”. El área

de la superficie sombreada es:

a) L2/4

b) L2/2

c) L2/16

d) L2/8

e) L2/12

21. Calcular las dimensiones de un

rectángulo sabiendo que la base es

el cuádruplo de la altura y que si se

disminuye en 4 m a la base y se

aumenta en 2 m la altura, el área

sería 280 m2.

a) 80 y 20 metros

b) 24 y 6 metros

c) 36 y 9 metros

d) 32 y 8 metros

e) 28 y 7 metros

22. Calcular el área del siguiente

trapecio isósceles ABCD.

a) 106 m2 b) 132 m

2 c) 112 m

2

d) 164 m2 e) 144 m

2

23. El perímetro de un rombo es 52 m,

la diagonal mayor mide 24 m.

Calcular el área del rombo.

a) 60 m2 b) 80 m

2 c) 100 m

2

d) 120 m2 e) 140 m

2

24. En un triángulo de 630 m2 de área

una altura mide los 5/7 de su base

correspondiente. Dicha base mide:

a) 42 m b) 30 m c) 28 m

d) 24 m e) 46 m

L

A

B C

D

6m

22m

3

¡Con lo que aprendí, ahora

soy más rápido!

ANEXO N° 1

Instrucciones: Con las cartulinas plastificadas, en cuadrados de 2 x 2 cm2 diseña dos polígono que mejor creas conveniente utiliza la mayor cantidad de cuadrados brindados por tu profesor. Ejemplos a) b) En el cuadrado de la derecha, coloca las formulas que utilizarías para calcular el área del polígono elaborado. Contesta la siguiente pregunta: 1. ¿Cuántos polígonos diseñados por ti, obtendrías de una cartulina rectangular

de área 64cm x 18 cm = ………… cm2