plagiat merupakan tindakan tidak terpuji - … · seseorang yang mengisi kisahku ... dengan dns...
TRANSCRIPT
METODE KUASA DAN APLIKASINYA
PADA MESIN PENCARI INTERNET
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh:
Lina Meiliana
NIM: 043114014
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
POWER METHOD AND ITS APPLICATION
TO INTERNET SEARCH ENGINES
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain SARJANA SAINS Degree
In Mathematics
By:
Lina Meiliana
Student Number: 043114014
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
Sang Till Friheten (Engkaulah yang Terbaik yang Aku Kenal)
Engkaulah yang terbaik yang aku kenal
Engkaulah yang terkasih di dunia ini Engkau seperti bintang, seperti angin,
seperti gelombang, seperti burung, seperti bunga di ladang.
Engkaulah pembimbing dan sahabatku.
Engkaulah kebenaranku, harapanku, kekasihku. Engkaulah darahku, nafasku, mataku,
bahuku, tanganku, dan hatiku.
Kebebasan adalah namamu yang indah. Persahabatan adalah ibumu yang bangga.
Perhatian adalah saudaramu lelaki. Perdamaian adalah saudaramu perempuan.
Keberanian adalah ayahmu. Masa depan adalah tanggung jawabmu.
Engkaulah yang terbaik di dunia ini.
Karya sederhana ini kupersembahkan untuk: Papa dan Mama Tercinta
Cici, Koko, Adik, dan “Sang Jagoan Kecil” Romo Susilo, Teman-teman, dan Segenap Keluarga Besar
Seseorang yang mengisi kisahku Sahabat-sahabat terbaikku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan
pangkat untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dominan suatu matriks.
Pada aplikasinya, Metode Kuasa digunakan untuk mengembangkan suatu
algoritma pencarian yang disebut algoritma PageRank. Algoritma tersebut
digunakan dalam mesin pencari Google untuk mengonstruksikan matriks yang
menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan
pencarian. Kemudian dengan menggunakan vektor eigen dominan dari matriks itu
disusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan tertentu untuk menentukan
peringkat situs-situs tersebut dalam urutan kepentingannya sebagai otoritas dan
hub.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
The Power Method is an approximation method using power sequence to
obtain dominant eigenvalue and eigenvector of a matrix. In its application, the
Power Method is used to develop a search algorithm called the PageRank
algorithm. The algorithm in fact is used in Google search engine to construct a
matrix which describes the structure of the referring pages that match the search.
Then using the dominant eigenvector of the matrix, sites will be listed in
importance order as an authority and hub.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis persembahkan kepada Tuhan Yesus Kristus, yang
karena berkat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang disusun untuk
memenuhi syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta.
Penulis merasa bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa bantuan,
bimbingan, dukungan dan dorongan dari berbagai pihak yang sangat berarti bagi
penulis. Karena itu, dengan rendah hati penulis ingin mengucapkan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada:
1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Kaprodi Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dan membimbing penulis
secara akademik baik di dalam maupun di luar kelas.
2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing skripsi yang
telah banyak memberikan waktunya untuk memberikan bimbingan,
pengarahan, masukan, kritik, saran dan dukungan sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini.
3. Ibu Maria Vianney Anny Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji yang
pernah memberikan masukan untuk penulis.
4. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing
sementara. Terimakasih atas lelucon, ide, dan semangat yang diberikan.
5. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen yang menginspirasiku
secara tak langsung lewat canda tawa.
6. Bapak/Ibu Dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
mendidik penulis selama menjalani studi di Fakultas Sains dan Teknologi ini.
Terima kasih atas bimbingan dan arahannya selama ini.
7. Bapak Zaerilus Tukija, Ibu Erma Linda Santyas Rahayu, Ibu Chatarina Maria
sri Wijayanti, Mas Dwiratno Susilo dan para staff lain yang telah banyak
memberikan bantuan di sekretariat FST dan laboratorium atas pelayanan
administrasi dan bantuan yang diberikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
8. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staff yang telah menyediakan
fasilitas dan pelayanan kepada penulis selama masa perkuliahan.
9. Mama dan Papa tercinta dan terkasih, terima kasih buat semua doa, didikan,
bimbingan, nasehat, dukungan dan kepercayaan yang diberikan pada penulis
untuk mengambil keputusan dan langkah dalam menjalani kehidupan ini.
10. Grace Dalinartha dan Esther Natalia, S.Sn., kedua kakakku yang cerewet tapi
baik hati ini. Terima kasih untuk bantuan yang tak terhingga kalian untukku.
11. Kie Van Ivanky Saputra, S.Si., Ph.D., yang banyak membantu aku
menjelaskan dan memecahkan persoalan-persoalan mata kuliah dan skripsi.
12. Untuk “Sang Pemberi Kisah” dalam hidupku yang tidak ingin disebutkan
namanya, yang mengajariku untuk selalu tegar untuk setiap cobaan.
13. Teman-teman Universitas Kristen Maranatha, khususnya Reymon
Marlisyuniardi dan Yohanes Daniel Pangaribuan yang bersedia membantu
dalam penjelasan-penjelasan bidang IT yang dibahas dalam skripsi ini.
14. Teman-teman Kost Wisma Manunggal, Riko, Doddy, Qnoy, Pipin, Desy
yang tidak pernah lelah memberikan semangat untukku.
15. Teman-teman Matematika, terima kasih untuk keceriaan, kebersamaan,
dinamika, pertemuan, dan dukungan.
16. Semua pihak yang belum penulis sebutkan satu per satu di sini, terima kasih
untuk semua dukungan dan perhatiannya.
Penulis juga menyadari bahwa tulisan ini jauh dari sempurna. Oleh karena
itu, penulis mengharapkan adanya saran dan kritikan dari pembaca yang dapat
membangun penulis untuk mengembangkan kemampuan penulis menjadi lebih
baik. Penulis berharap agar skripsi ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca.
Penulis,
Lina Meiliana
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ..................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................... vi
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK
KEPENTINGAN AKADEMIS ....................................................................... vii
ABSTRAK ....................................................................................................... viii
ABSTRACT ..................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ..................................................................................... x
DAFTAR ISI .................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1
A. Latar Belakang Masalah ....................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ................................................................................ 6
C. Batasan Masalah .................................................................................. 7
D. Tujuan Penulisan .................................................................................. 7
E. Metode Penulisan ................................................................................. 7
F. Manfaat Penulisan ................................................................................ 7
G. Sistematika Penulisan .......................................................................... 8
BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN ............................................. 9
A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen .............................................................. 9
B. Nilai Eigen Matriks Segitiga ................................................................ 14
C. Nilai Eigen Matriks Pangkat ................................................................ 16
D. Nilai Eigen Kompleks .......................................................................... 17
E. Kegandaan Aljabar ............................................................................... 18
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
F. Nilai Eigen Matriks 2×2 ....................................................................... 20
G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2×2 ........................................................ 23
H. Determinan dan Teras Dinyatakan dalam Nilai Eigen ......................... 28
I. Diagonalisasi ........................................................................................ 30
BAB III METODE KUASA ............................................................................ 39
A. Metode Kuasa ...................................................................................... 39
B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides ......................................... 42
C. Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum ........................... 44
D. Laju Konvergensi Hasil Bagi Rayleigh................................................ 48
E. Prosedur Penghentian Iterasi ................................................................ 49
F. Aplikasi Metode Kuasa pada Mesin Pencari Internet .......................... 51
BAB IV PENUTUP ......................................................................................... 60
DAfTAR PUSTAKA ....................................................................................... 63
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Internet dapat diartikan sebagai jaringan komputer luas dan besar yang
mendunia, yaitu menghubungkan pemakai komputer dari suatu negara ke
negara lain di seluruh dunia, di mana di dalamnya terdapat berbagai sumber
daya informasi dari mulai yang statis hingga yang dinamis dan interaktif.
Sejarah internet dimulai pada 1969 ketika Departemen Pertahanan
Amerika, melalui U.S. Defense Advanced Research Projects Agency
(DARPA) memutuskan untuk mengadakan riset tentang bagaimana
menghubungkan sejumlah komputer sehingga membentuk jaringan organik.
Program riset ini dikenal dengan nama ARPANET. Pada 1970, sudah lebih
dari 10 komputer yang berhasil dihubungkan satu sama lain sehingga mereka
bisa saling berkomunikasi dan membentuk sebuah jaringan.
Tahun 1972, Roy Tomlinson berhasil menyempurnakan program e-
mail yang ia ciptakan setahun yang lalu untuk ARPANET. Program e-mail ini
begitu mudah sehingga langsung menjadi populer. Pada tahun yang sama,
lambang @ juga diperkenalkan sebagai lambang penting yang menunjukkan
"at" atau "pada". Tahun 1973, jaringan komputer ARPANET mulai
dikembangkan ke luar Amerika Serikat. Komputer University College di
London merupakan komputer pertama yang ada di luar Amerika yang
menjadi anggota jaringan Arpanet. Pada tahun yang sama, dua orang ahli
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
komputer yakni Vinton Cerf dan Bob Kahn mempresentasikan sebuah
gagasan yang lebih besar, yang menjadi cikal bakal pemikiran internet. Ide ini
dipresentasikan untuk pertama kalinya di Universitas Sussex.
Hari bersejarah berikutnya adalah tanggal 26 Maret 1976, ketika Ratu
Inggris berhasil mengirimkan e-mail dari Royal Signals and Radar
Establishment di Malvern. Setahun kemudian, sudah lebih dari 100 komputer
yang bergabung di ARPANET membentuk sebuah jaringan. Pada 1979, Tom
Truscott, Jim Ellis dan Steve Bellovin, menciptakan newsgroups pertama
yang diberi nama USENET. Tahun 1981 France Telecom menciptakan
gebrakan dengan meluncurkan telpon televisi pertama, dimana orang bisa
saling menelpon sambil berhubungan dengan video link.
Karena komputer yang membentuk jaringan semakin hari semakin
banyak, maka dibutuhkan sebuah protokol resmi yang diakui oleh semua
jaringan. Pada tahun 1982 dibentuk Transmission Control Protocol atau TCP
dan Internet Protokol atau IP yang kita kenal semua. Sementara itu di Eropa
muncul jaringan komputer tandingan yang dikenal dengan Eunet, yang
menyediakan jasa jaringan komputer di negara-negara Belanda, Inggris,
Denmark dan Swedia. Jaringan Eunet menyediakan jasa e-mail dan
newsgroup USENET.
Untuk menyeragamkan alamat di jaringan komputer yang ada, maka
pada tahun 1984 diperkenalkan sistem nama domain, yang kini kita kenal
dengan DNS atau Domain Name System. Komputer yang tersambung dengan
jaringan yang ada sudah melebihi 1000 komputer lebih. Pada 1987 jumlah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
komputer yang tersambung ke jaringan melonjak 10 kali lipat menjadi 10.000
lebih.
Tahun 1988, Jarko Oikarinen dari Finland menemukan dan sekaligus
memperkenalkan IRC atau Internet Relay Chat. Setahun kemudian, jumlah
komputer yang saling berhubungan kembali melonjak 10 kali lipat dalam
setahun. Tak kurang dari 100.000 komputer kini membentuk sebuah jaringan.
Tahun 1990 adalah tahun yang paling bersejarah, ketika Tim Berners Lee
menemukan program editor dan browser yang bisa menjelajah antara satu
komputer dengan komputer yang lainnya, yang membentuk jaringan itu.
Program inilah yang disebut www, atau World Wide Web.
Tahun 1992, komputer yang saling tersambung membentuk jaringan
sudah melampaui sejuta komputer, dan di tahun yang sama muncul istilah
surfing the internet. Tahun 1994, situs internet telah tumbuh menjadi 3000
alamat halaman, dan untuk pertama kalinya virtual-shopping atau e-retail
muncul di internet. Dunia langsung berubah. Di tahun yang sama Yahoo!
didirikan, yang juga sekaligus kelahiran Netscape Navigator 1.0.
Secara umum ada banyak manfaat yang dapat diperoleh apabila
seseorang mempunyai akses ke internet. Berikut ini sebagian dari apa yang
tersedia di internet :
1. Informasi untuk kehidupan pribadi: kesehatan, rekreasi, hobi,
pengembangan pribadi, rohani, dan sosial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
2. Informasi untuk kehidupan profesional/pekerja: sains, teknologi,
perdagangan, saham, komoditas, berita bisnis, asosiasi profesi, asosiasi
bisnis, berbagai forum komunikasi.
Satu hal yang paling menarik adalah keanggotan internet tidak mengenal
batas negara, ras, ekonomi, ideologi, atau faktor-faktor lain yang biasanya dapat
menghambat pertukaran pikiran. Internet adalah suatu komunitas dunia yang
sifatnya sangat demokratis serta memiliki kode etik yang dihormati segenap
anggotanya. Manfaat internet terutama diperoleh melalu kerjasama antar pribadi
atau kelompok yang tanpa mengenal batas jarak dan waktu.
Keberadaan situs tidak ada gunanya dibangun tanpa dikunjungi atau
dikenal oleh masyarakat atau pengguna internet. Karena efektif atau tidaknya situs
sangat tergantung dari besarnya pengunjung dan komentar yang masuk. Untuk
mengenalkan situs kepada masyarakat memerlukan apa yang disebut publikasi
atau promosi. Publikasi situs di masyarakat dapat dilakukan dengan berbagai cara
seperti dengan pamflet-pamflet, selebaran, baliho dan lain sebagainya tapi cara ini
bisa dikatakan masih kurang efektif dan sangat terbatas. Cara yang biasanya
dilakukan dan paling efektif dengan tak terbatas ruang atau waktu adalah
publikasi langsung di internet melalui mesin pencari-mesin pencari (search
engine, seperti : Yahoo, Google, Search Indonesia, dan sebagainya).
Cara publikasi di mesin pencari ada yang gratis dan ada pula yang
membayar. Yang gratis biasanya terbatas dan cukup lama untuk bisa masuk dan
dikenali di mesin pencari terkenal seperti Yahoo atau Google. Cara efektif
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
publikasi adalah dengan membayar, walaupun harus sedikit mengeluarkan biaya,
akan tetapi situs cepat masuk ke mesin pencari dan dikenal oleh pengguna.
Teori yang mendasari cara kerja mesin pencari internet ini adalah Metode
Kuasa yang berkaitan dengan nilai eigen dan vektor eigen.
Banyak penerapan yang mengharuskan kita menemukan suatu matriks
taknol sedemikian sehingga λ , dengan A adalah matriks n × n yang
diketahui dan λ adalah skalar. Masalah ini dinamakan masalah nilai eigen dan
merupakan masalah matriks kedua yang paling sering dijumpai selain masalah
pemecahan sistem persamaan linear.
Nilai eigen matriks bujursangkar, secara teori dapat ditemukan dengan
menentukan persamaan karakteristik. Namun, prosedur ini memiliki begitu
banyak kesulitan perhitungan yang hampir tidak pernah digunakan dalam aplikasi.
Metode Kuasa akan membahas sebuah algoritma yang dapat digunakan untuk
mendekati nilai eigen dengan nilai mutlak terbesar dan vektor eigen yang sesuai.
Nilai eigen dan vektor eigen yang sesuai sangat penting karena mereka muncul
secara alami dalam berbagai proses iteratif. Metode yang akan dibahas dalam
bagian ini telah diterapkan untuk menghasilkan mesin pencari internet yang
sangat cepat, dan akan dijelaskan bagaimana hal tersebut dilakukan.
Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan
pangkat dari suatu matriks untuk mendapatkan nilai eigen dominan suatu matriks
yang memenui sifat | | | | untuk 2, 3, , , dengan merupakan nilai
eigen dominan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
Pengurutan hasil pencarian pada mesin pencari saat ini menjadi titik fokus
bagi mesin pencari untuk menampilkan hasil pencarian yang penting. Sistem
pengurutan diharapkan memberikan hasil yang signifikan. PageRank merupakan
sistem pengurutan yang digunakan Google dan merupakan salah satu sistem
pengurutan yang bekerja berdasarkan analisa jalur. Perhitungan pengurutan
dengan menggunakan algoritma PageRank saat ini menjadi banyak perbincangan
para peneliti karena perhitungan tersebut menghabiskan waktu yang lama, dan
berhari-hari sehingga jika ada halaman baru tiap detik, maka PageRank tidak
secara langsung memperbaharui halaman tersebut tetapi menunggu waktu
perhitungan PageRank selanjutnya yang akan dilakukan secara offline. Untuk
mempercepat perhitungan PageRank, dalam penelitian digunakan Hasil Bagi
Rayleigh. Hasil Bagi Rayleigh dapat mempercepat konvergensi dengan cara
menentukan nilai eigen dominan sehingga perhitungan galat berdasarkan selisih
nilai eigen dominan tersebut dengan nilai eigen dominan sebelumnya.
Berdasarkan analisa dari hasil uji coba, didapatkan bahwa waktu perhitungan
PageRank dengan menggunakan Hasil Bagi Rayleigh lebih cepat dibandingkan
dengan tanpa menggunakan Hasil Bagi Rayleigh.
B. Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan Metode Kuasa?
2. Bagaimana aplikasi metode kuasa pada mesin pencari internet?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
C. Batasan Masalah
Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas aplikasi pada mesin
pencari internet berdasarkan operasi-operasi matriks.
D. Tujuan Penelitian
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengetahui prinsip dan landasan
teori yang digunakan dan bagaimana mesin pencari internet bekerja sehingga
menghasilkan kecepatan yang sangat tinggi dalam menyajikan suatu
informasi.
E. Metode Penulisan
Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan
menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan makalah yang telah
dipublikasikan. Oleh karena itu dalam skripsi ini tidak disajikan hal baru
dalam bidang matematika.
F. Manfaat Penulisan
Memahami cara kerja mesin pencari internet dengan kecepatan yang
sangat tinggi dalam penyajian suatu informasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi gambaran secara umum tentang isi skripsi yang meliputi
latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan
penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika
penulisan.
BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan, yaitu nilai
eigen dan vektor eigen, nilai eigen pada matriks segitiga, matriks
pangkat, nilai eigen kompleks, kegandaan aljabar, nilai eigen matriks
2 2, nilai eigen matriks simetris 2 2, dan nilai eigen dalam
determinan dan teras suatu matriks.
BAB III METODE KUASA DAN APLIKASINYA PADA MESIN
PENCARI INTERNET
Bab ini membahas tentang metode kuasa, metode kuasa dengan
perskalaan Euclides dan entri maksimum, dan aplikasinya yang
digunakan pada mesin pencari internet.
BAB IV PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah
dipaparkan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Banyak aplikasi dari Aljabar Linear yang melibatkan sistem dengan n
persamaan linear dan n variabel yang dinyatakan dalam bentuk
, (2.1.1)
dengan λ adalah suatu skalar, x adalah suatu sebarang vektor taknol di ,
dan A adalah suatu matriks n × n. Sistem semacam ini sebenarnya merupakan
sistem linear yang tersamar, karena persamaan (2.1.1) dapat ditulis kembali
sebagai 0, atau dengan menyisipkan suatu matriks identitas dan
memfaktorkannya menjadi
– . (2.1.2)
Masalah utama yang harus diperhatikan untuk sistem linear yang ter-
bentuk pada persamaan (2.1.2) adalah bagaimana menentukan nilai λ se-
hingga sistem tersebut memiliki penyelesaian taktrivial. Nilai λ yang demi-
kian disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks A, dan penyele-
saian taktrivial dari persamaan (2.1.2) disebut vektor eigen dari A yang ter-
kait dengan λ.
Sistem (λI – A)x = 0 memiliki penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
– 0 (2.1.3)
yang disebut persamaan karakteristik dari A. Nilai-nilai eigen dari A dapat
dicari dengan menyelesaikan λ pada persamaan ini. Determinan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
– 0 adalah sebuah polinomial dalam variabel λ yang disebut po-
linomial karakteristik matriks A.
Definisi 2.1.1
Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka skalar λ disebut nilai eigen
dari A jika terdapat vektor taknol x sedemikian sehingga . Jika λ
adalah nilai eigen dari A, maka vektor taknol x sedemikian hingga
disebut vektor eigen dari A yang berkaitan dengan λ.
Cara untuk menentukan nilai eigen dari matriks A adalah dengan menulis
kembali persamaan menjadi
– .
Persamaan tersebut mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
– 0.
Skalar-skalar λ yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen dari A.
Teorema 2.1.1
Jika matriks A adalah sebuah matriks n × n dan λ adalah skalar, maka
pernyataan berikut adalah ekivalen :
(a) λ adalah nilai eigen dari A.
(b) λ adalah penyelesaian persamaan – 0.
(c) Sistem linear – mempunyai penyelesaian taktrivial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Bukti :
Berdasarkan definisi, λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat
vektor taknol x sedemikian sehingga
,
yang ekivalen dengan
– .
yaitu sistem persamaan linear homogen ini mempunyai penyelesaian taktrivi-
al, yang terjadi jika dan hanya jika
– 0.
yaitu λ adalah penyelesaian dari persamaan tersebut.
Contoh 2.1.1
Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen terkait dari matriks 1 34 2
Mencari nilai eigen dengan persamaan karakteristik
1 00 1
1 34 2
1 34 2 .
Persamaan karakteristik dari A adalah
– 0
1 34 2 0,
1 2 – 3 4 0,
3 2– 12 0,
3 – 10 0,
2 5 0. (2.1.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Jadi nilai eigen dari A adalah 2 dan 5.
Untuk menentukan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut,
harus diselesaikan sistem penyelesaian
1 34 2
00 . (2.1.5)
Untuk 2, persamaan (2.1.5) akan menjadi
2 1 34 2 2
00 ,
3 34 4
00 .
Penyelesaian ini memberikan hasil
, , (2.1.6)
maka vektor eigen yang berkaitan dengan 2 adalah vektor taknol
berbentuk
11 . (2.1.7)
Periksa
1 34 2
22 2 2 .
Dengan cara yang sama untuk 5, penyelesaiannya memberikan hasil
, , (2.1.8)
dan vektor eigen yang berkaitan dengan 5 adalah vektor taknol
berbentuk
1. (2.1.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Jika λ adalah nilai eigen dari A dan x adalah vektor eigen yang terkait, maka
, sehingga perkalian dengan A memetakan ke dalam suatu perka-
lian skalar dengan dirinya sendiri. Pada dan , ini berarti bahwa perka-
lian dengan A memetakan setiap vektor eigen x ke suatu vektor yang terletak
pada garis yang sama dengan . Operator linear memperkecil
dengan suatu faktor λ jika 0 1 atau memperbesar dengan suatu fak-
tor λ jika 1. Jika 0, maka membalik arah , dan memper-
kecil vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu faktor |λ| jika 0
| | 1 atau memperbesar vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu
faktor |λ| jika | | 1.
Contoh 2.1.2
Akan dicari nilai eigen dari matriks 0 1 00 0 14 17 8
.
Dari determinan
det1 0
0 14 17 8
8 17 4 (2.1.10)
didapatkan persamaan karakteristik 8 17 4 0. (2.1.11)
Untuk mencari penyelesaian persamaan ini, akan dimulai dengan mencari
penyelesaian bilangan bulatnya. Penyelesaian bilangan bulat (jika memang
ada) untuk sebuah persamaan polinomial dengan koefisien-koefisien bilangan
bulat
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
haruslah merupakan faktor-faktor pembagi dari konstanta . Sehingga,
penyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari persamaan (2.1.11) hanyalah
faktor-aktor pembagi dari bilangan 4, yaitu 1, 2, dan 4. Dengan
mensubstitusi nilai tersebut secara berturut-turut ke dalam persamaan (2.1.11)
akan menghasilkan 4 sebagai sebuah penyelesaian bilangan bulatnya.
Sebagai konsekuensinya, 4 haruslah merupakan salah satu faktor dari
ruas kiri persamaan (2.1.11), sehingga persamaan (2.1.11) dapat ditulis kem-
bali menjadi
– 4 4 1 0.
Maka, penyelesaian persamaan (2.1.11) adalah
4, 2 √3, 2 √3.
Definisi 2.1.2
Ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen –
disebut ruang eigen dari matriks A yang berkaitan dengan nilai eigen λ. Vek-
tor-vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen λ adalah adalah vektor-vektor
taknol dalam ruang eigen.
B. Nilai Eigen Matriks Segitiga
Jika A adalah matriks segitiga n × n dengan entri diagonal
, , , , maka – adalah matriks segitiga dengan entri diagonal
, , , . Jadi polinomial karateristiknya adalah
– ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
yang secara tidak langsung menyatakan bahwa nilai eigen dari A adalah
, , ,
Teorema 2.2.1
Jika A adalah matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah,
atau diagonal), maka nilai-nilai eigennya adalah entri diagonal utama dari
matriks A.
Bukti :
Misalkan A adalah matriks segitiga atas
0
0 0
.
Telah diketahui bahwa nilai determinan sebuah matriks segitiga adalah hasil
kali entri-entri yang terletak pada diagonal utamanya, maka
det 0
0 0
,
,
sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya
0,
dan nilai-nilai eigennya adalah
, , , ,
yang merupakan entri-entri diagonal utama matriks A.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula untuk matriks segitiga bawah
dan matriks diagonal. Jadi terbukti bahwa nilai eigen matriks segitiga adalah
entri-entri diagonal utamanya.
C. Nilai Eigen Matriks Pangkat
Ketika nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks A telah
ditemukan, tidaklah sulit untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari
pangkat bilangan bulat positif sebarang dari A. Sebagai contoh, jika λ
merupakan nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen terkaitnya, maka
,
yang menunjukkan bahwa nilai eigen dari dan x adalah vektor eigen
kaitannya.
Teorema 2.3.1
Jika λ adalah nilai eigen dari matriks A, x adalah vektor eigen
kaitannya, dan k adalah sebarang bilangan bulat positif, maka adalah nilai
eigen dari matriks dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya.
Bukti :
Misalkan A adalah matriks persegi dan x adalah vektor eigen yang terkait
dengan nilai eigen λ. Maka , yaitu Teorema benar untuk k = 1.
Andaikan . Akan dibuktikan bahwa .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Sehingga . Jadi Teorema benar untuk setiap bilangan bulat
positf k.
D. Nilai Eigen Kompleks
Bukanlah hal yang mustahil bahwa persamaan karakteristik sebuah
matriks yang entri-entrinya bilangan real memiliki penyelesaian bilangan
kompleks. Sebagai contoh, polinomial karakteristik dari matriks
2 15 2 (2.4.1)
adalah
2 15 2 1, (2.4.2)
sehingga persamaan karakteristiknya adalah 1 0. Akar-akar
persamaan karakteristiknya merupakan bilangan kompleks dan .
Dengan demikian, kita harus berurusan dengan nilai eigen bilangan kom-
pleks, bahkan untuk matriks real sekalipun. Penyelesaian kompleks dari
persamaan karakteristik disebut nilai eigen kompleks.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
E. Kegandaan Aljabar
Jika A adalah matriks n × n, maka suatu bentuk khusus dari
determinan – adalah polinomial berderajat n di mana koefisien
adalah 1, yaitu
– , (2.5.1)
bentuk polinomialnya adalah
, (2.5.2)
yang disebut polinomial karakteristik dari A. Sebagai contoh, polinomial
karakteristik dari matriks A2 × 2 dalam Contoh 2.1.1 adalah polinomial
berderajat dua, 3 – 10 (lihat persamaan (2.1.4)) dan polinomial
karakteristik matriks A3 × 3 dalam Contoh 2.1.2 adalah polinomial berderajat
tiga, 8 17 4 (lihat persamaan (2.1.11)).
Salah satu dari ketiga hal di bawah ini dapat terjadi untuk faktor-
faktor polinomial karakteristik
,
1. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda,
sebagai contoh
2 – 2 – 1 2 .
2. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda,
namun terdapat pengulangan beberapa faktor, sebagai contoh
3 2 3 2 – 1 2 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
3. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar kompleks, sebagai
contoh
1 – 1 1 – 1 1 – .
Dapat dibuktikan bahwa jika nilai eigen kompleks dimungkinkan,
maka polinomial karakteristik dari matriks An × n dapat difaktorkan menjadi
11 – 1 – 2 … – (2.5.3)
di mana , , … adalah nilai-nilai eigen dari A. Hal ini disebut
pemfaktoran linear lengkap dari polinomial karakteristik. Jika k faktor-
faktor pertama berbeda, dan sisanya merupakan pengulangan dari k faktor-
faktor pertama, maka persamaan (2.5.3) dapat ditulis kembali menjadi
11 – 1
1 – 22 … – (2.5.4)
di mana , , … adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dari A. Pangkat
disebut kegandaan aljabar dari nilai eigen yang menggambarkan berapa
kali pengulangan nilai eigen dalam pemfaktoran linear lengkap dari
polinomial karaktersitik.
Jumlahan dari kegandaan aljabar nilai eigen dalam persamaan (2.5.4)
harus sama dengan n, karena polinomial karaktersitik berderajat n. Sebagai
contoh, jika A matriks 6 × 6 dengan polinomial karakteristiknya adalah
3 2 3 2 – 1 2
maka nilai eigen berbeda dari A adalah 0, 1, dan 2, dan ke-
gandaan aljabar nilai eigen ini berturut-turut adalah 3, 2, 1, yang jumlahannya
sampai dengan 6.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Teorema 2.5.1
Jika A adalah matriks n × n, maka polinomial karakteristik dari A
dapat dinyatakan sebagai
– – – … –
di mana , , … adalah nilai eigen yang berbeda dari A dan
.
Bukti :
Polinomial karakteristik dari A adalah :
–
– – … –
– – … – ,
di mana , , … , adalah pengulangan faktor yang berbeda sedemikian
sehingga jumlahan yang sama dengan pangkat ter-
tinggi dari λ.
F. Nilai Eigen Matriks 2 × 2
Definisi 2.6.1
Jika A adalah sebuah matrks bujursangkar, maka teras dari A, yang
dinyatakan sebagai , adalah jumlahan entri-entri pada diagonal utama
A.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Selanjutnya, akan dibahas nilai-nilai eigen matriks 2 × 2 dalam Teorema be-
rikut.
Teorema 2.6.1
Jika A adalah matriks 2 × 2 dengan entri bilangan real, maka
persamaan karakteristik dari A adalah
– 0,
dan
(a) A mempunyai dua nilai eigen real yang berbeda bila – 4 0;
(b) A mempunyai satu nilai eigen real yang berulang bila
– 4 0;
(c) A mempunyai dua nilai eigen kompleks bila – 4 0.
Bukti :
Misalkan
dengan , , , .
Polinomial karakteristik dari A adalah
det
.
Karena teras dari matriks A adalah dan determinan dari ma-
triks A adalah , maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
– – (2.6.1)
sehingga persamaan karakteristik dari matriks A adalah
– 0 (2.6.2)
Akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah
,4det
2
(a) Jika – 4 0, maka A mempunyai dua nilai eigen real ber-
beda, yaitu –
dan –
.
(b) Jika – 4 0, maka ,√ , yaitu A mem-
punyai satu nilai eigen real yang berulang.
(c) Jika – 4 0, maka – 4 merupakan bi-
langan kompleks, sehingga A mempunyai dua nilai eigen kompleks, yaitu
– dan
–.
Contoh 2.6.1
Dengan menggunakan persamaan karakteristik pada persamaan (2.6.2) akan
dicari nilai eigen dari
(a) 2 21 5 , (b) 0 1
1 2 , (c) 2 33 2 .
Diketahui 7 dan 12, maka persamaaan karakteristik dari
A adalah
7 12 0,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
hasil pemfaktorannya adalah – 4 – 3 0, maka nilai eigennya 4
dan 3.
Dengan cara yang sama, maka nilai eigen pada soal (b) adalah 1, dan ni-
lai eigen pada soal (c) adalah 2 3 .
G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2 × 2
Teorema 2.7.1
Matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai eigen real.
Jika A berbentuk
00 , (2.7.1)
maka A mempunyai satu nilai eigen berulang, yakni .
Bukti :
Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah
,
maka
– 4 – 4 – 4 0,
sehingga dengan Teorema 2.6.1 (a) dan (b), A mempunyai nilai eigen real.
Jika 00 , maka
– 4 4 4 0,
sehingga A mempunyai satu nilai eigen berulang, yaitu .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Teorema 2.7.2
(a) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai
eigen berulang, maka ruang eigen terkaitnya adalah .
(b) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai dua nilai
eigen berbeda, maka ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus
yang melalui titik 0 pada .
Bukti :
(a) Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah . Jika A mempunyai
nilai eigen berulang, maka – 4 4 0. Ka-
rena 4 0 jika hanya jika dan 0, maka ma-
triks 00 , sehingga nilai eigen berulangnya adalah λ . Menu-
rut Definisi 2.1.2, ruang eigen yang terkait dengan nilai eigen λ ada-
lah ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen
00
00
0 00 0
00
yaitu setiap titik dalam . Maka ruang eigen terkaitnya adalah .
(b) Jika A mempunyai dua nilai eigen berbeda, maka – 4
4 0. Kedua nilai eigen tersebut adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
–
dan
–.
Ruang eigennya adalah ruang penyelesaian sistem persamaan linear ho-
mogen
00
Untuk , maka
00 .
Misalkan dan , maka
00 .
Selanjutnya dengan operasi baris elementer diperoleh
10 0
00 .
yang menghasilkan
2 dan 4 .
Penyelesaian tersebut merupakan garis melalui 0 di yang berkaitan
dengan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Dengan cara yang sama, untuk akan diperoleh
penyelesaian
2 dan 4 .
yang merupakan garis melalui 0 di yang berkaitan dengan .
Kedua garis tersebut saling tegak lurus karena
· · 4 4
4 — 4
4 — 4
—
0
Jadi terbukti bahwa ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus
yang melalui titik 0 pada .
Contoh 2.7.1
Tentukan ruang eigen dari matriks simetrik
3 22 3 .
Karena 6 dan 5, maka persamaan karakteristik dari A ada-
lah
6 5 0
– 1 – 5 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
sehingga nilai eigen dari A adalah 1 dan 5. Ruang eigennya adalah
ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen
3 22 3
00 . (2.7.2)
Untuk 1, persamaan 2.7.2 menjadi
2 22 2
00 .
Penyelesaian ini menghasilkan
, , (2.7.3)
yang merupakan persamaan parameter dari garis . Garis ini adalah
ruang eigen yang terkait dengan 1. Dengan cara yang sama, untuk
5 akan dihasilkan penyelesaian
, , (2.7.4)
yang merupakan persamaan parameter dari garis .
xy −== )1(λ
xy == )5(λ
y
x
0
(-1, 1) (1,1)
Gambar 2.1
Garis dan adalah dua garis tegak lurus yang melalui 0 di ,
seperti dikatakan dalam Teorema 2.7.2 (b). Vektor-vektor pada persamaan
2.7.3 dan 2.7.4 dapat ditulis dengan bentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
11 dan 1
1 ,
dengan vektor perentangnya adalah
11 dan 1
1 (2.7.5)
yaitu dua vektor eigen yang orthogonal.
H. Determinan dan Teras Matriks Dinyatakan dalam Nilai Eigen
Teorema 2.8.1
Jika A adalah matriks n × n dengan nilai eigen , , , (mungkin
ada yang berulang), maka
(a)
b
Bukti :
(a) Dengan menulis polinomial karakteristik dalam bentuk faktorisasi:
– – – … – (2.8.1)
dan dengan memasukkan 0, dihasilkan
1 .
Karena 1 , maka
. (2.8.2)
(b) Misalkan , maka
– (2.8.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Bila dihitung dari determinan tersebut dengan membentuk jumlahan
dari perkalian elementer bertanda, maka perkalian elementer yang memuat
entri yang tidak berada pada dari diagonal utama dari 2.8.3 sebagai faktor,
akan memuat paling banyak 2 faktor yang melibatkan λ. Jadi koefi-
sien dari dalam sama dengan koefisien dari dalam perka-
lian
Dengan mengembangkan perkalian tersebut, akan diperoleh
(2.8.4)
Dan dengan mengembangkan persamaan pada 2.8.1, akan diperoleh
sehingga didapatkan
Contoh 2.8.1
Akan dicari determinan dan teras dari matriks 3 × 3 yang mempunyai
karakteristik polinomial
3 2. (2.8.5)
Polinomial tersebut dapat difaktorkan menjadi
– 1 2 ,
maka nilai eigennya adalah 1, 1, dan 2. Jadi,
2 dan 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
I. Diagonalisasi
Definisi 2.9.1
Sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan jika
terdapat sebuah matriks P yang yang taksingular sedemikian sehingga
adalah sebuah matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalkan ma-
triks A.
Definisi 2.9.2
Matriks A dan B yang berukuran n × n dikatakan similar jika terdapat matriks
P yang taksingular sedemikian sehingga
. (2.9.1)
Teorema 2.9.1
Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka A dapat didiagonalkan jika
hanya jika matriks A memiliki n vektor eigen yang bebas linear.
Bukti:
Misalkan matriks A berukuran n × n dan memiliki n buah vektor eigen
yang bebas linear, yaitu , , , . Vektor-vektor eigen tersebut dapat di-
susun sebagai kolom-kolom dari matriks P berukuran n × n
| | |
| | |.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Matriks P tersebut taksingular karena mempunyai n vektor kolom di yang
bebas linear. Maka
| | |
| | |
| | |
A A| | |
| | |
λ λ| | |
(2.9.2)
karena , dengan adalah nilai eigen yang berkaitan dengan vektor
eigen 1, 2, , .
Misalkan D matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal nilai ei-
gen . Maka
| | |
| | |
λ 00 λ
00
0 0 λ
(2.9.3)
| | |
λ λ| | |
.
Maka
.
Karena P taksingular, maka:
(2.9.4)
Jadi matriks A dapat didiagonalkan. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika
matriks A dapat didiagonalkan, maka A mempunyai n buah vektor eigen yang
bebas linear. Misalkan matriks A similar dengan matriks diagonal D dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
elemen-elemen diagonalnya , , , , dan adalah
matriks taksingular sedemikian sehingga . Maka . Ka-
rena
(2.9.5)
dan
(2.9.6)
maka
untuk 1, 2, … , . Hal ini berarti bahwa merupakan vektor eigen dari ma-
triks A dengan adalah nilai eigen yang berkaitan untuk 1, 2, … , . Ka-
rena P adalah matriks yang taksingular, maka vektor-vektor , , , be-
bas linear. Jadi A mempunyai n buah vector eigen yang bebas linear.
Dari bukti di atas, didapatkan langkah-langkah untuk mendiagonali-
kan sebuah matriks A berukuran n × n, sebagai berikut :
Langkah 1 : Tentukan vektor-vektor eigen yang bebas linear dari A.
Langkah 2 : Susun vektor-vektor eigen tersebut sebagai kolom-kolom dari ma-
triks P.
Langkah 3 : Tentukan
Langkah 4 : Tentukan di mana D adalah matriks diagonal dengan
elemen-elemen diagonalnya adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Contoh 2.9.1
Diketahui matriks 5 72 4 yang mempunyai nilai eigen 2 dan
3 dan vektor eigen yang berkaitan adalah 1, 1 dan
7, 2 . Dengan mengambil 1 71 2 , maka 2 7
1 1 , se-
hingga
15
2 71 1
5 72 4
1 71 2
2 00 3
Definisi 2.9.3
Sebuah matriks bujursangkar A disebut matriks ortogonal jika
.
Dengan kata lain untuk matriks A tersebut berlaku .
Definisi 2.9.4
Matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan secara orthogonal
jika terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian sehing-
ga .
Teorema 2.9.2
Matriks bujur sangkar A dapat didiagonalkan secara orthogonal jika
dan hanya jika A matriks simetrik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Bukti:
Misalkan A adalah matriks yang dapat didiagonalkan secara orthogonal. Ma-
ka terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian sehingga
, sehingga
. (2.9.8)
Karena D adalah matriks diagonal, maka , sehingga
yaitu A adalah matriks simetrik.
Sebaliknya, dengan induksi matematis, akan dibuktikan bahwa jika A matriks
simetrik, maka A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk matriks beru-
kuran 1 × 1, jelas bahwa A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk
2, asumsikan bahwa setiap matriks simetrik 1 1 dapat di-
diagonalkan secara orthogonal. Misalkan A matriks simetrik berukuran ,
maka A selalu mempunyai nilai eigen real λ. Misalkan vektor eigen yang
berkaitan dengan λ, dan | |, sehingga | | 1. Selanjutnya dengan
menggunakan algoritma Gram-Schmidt ditentukan vektor-vektor , ,
sehingga , , , adalah himpunan vektor-vektor othonormal. Misal-
kan . Maka Q adalah matriks orthogonal, dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
dan
.
Karena , , , orthonomal, maka
0
0
dengan * adalah elemen yang mungkin taknol. Tetapi
Karena matriks A simetrik, maka matriks B juga simetrik. Oleh karena itu, ba-
ris pertama dari matriks B sama dengan kolom pertamanya. Jadi, bentuk B
adalah
0
0
00
0
0
di mana C adalah matriks simetrik berukuran 1 1 . Berdasarkan
asumsi, ada matriks orthogonal R dan matriks diagonal sedemikian sehing-
ga . Dibentuk matriks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
1 00
0
0
yang juga merupakan matriks orthogonal, karena vektor-vektor kolomnya or-
thonormal. Selanjutnya
1 00
0
0
00
0
0
1 00
0
0
00
0
0
00
0
0
.
Jadi yang merupakan matriks diagonal. Misalkan , maka
merupakan matriks orthogonal karena dan matriks-matriks orthogonal,
dan
Jadi, matriks dapat didiagonalkan secara orthogonal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Teorema 2.9.3
Vektor-vektor eigen yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen yang ber-
beda dari matriks simetrik adalah orthogonal
Bukti:
Misalkan A matriks simetrik, dan adalah nilai-nilai eigen berbeda dari
matriks A, dan , vektor-vektor eigen yang berkaitan. Akan ditunjukkan
bahwa · . Perhatikan bahwa
· · dan · · (2.9.7)
Selanjutnya
·
·
Dengan demikian, kedua ruas kanan dari persamaan (2.9.7) adalah sama, yaitu
· ·
·
Karena , maka · .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Contoh 2.9.2
Diketahui matriks simetrik 1 2 22 6 22 2 6
yang mempunyai nilai eigen
0, 6, dan 9 dan vektor-vektor eigen yang berkaitan adalah
4,1,1 , 0, 1,1 , dan 1,2,2 , dengan
· · ·
yaitu vektor-vektor eigen tersebut adalah orthogonal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
METODE KUASA
A. Metode Kuasa
Dalam banyak aplikasi suatu vektor dalam seringkali dikalikan
secara berulang-ulang dengan matriks A berukuran n × n sehingga mengha-
silkan suatu barisan , , , , , . Bentuk seperti ini disebut
barisan kuasa yang dibangun oleh A.
Dalam tulisan ini, akan dibahas kekonvergenan barisan kuasa tersebut
dan hubungannya dengan nilai eigen dan vektor eigen.
Definisi 3.1.1
Jika nilai-nilai eigen yang berbeda dari sebuah matriks A adalah
, , , , dan jika | | lebih besar dari | |, , | |, maka disebut ni-
lai eigen dominan dari A. Vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen
dominan disebut vektor eigen dominan dari A.
Contoh 3.1.1
Diketahui nilai-nilai eigen sebuah matriks adalah 4, 2, 1,
dan 3. Nilai 4 merupakan nilai eigen dominan karena | | 4
lebih besar dari nilai mutlak nilai eigen lainnya. Namun, jika diketahui nilai-
nilai eigen sebuah matriks adalah 7, 7, 2, dan 5,
maka | | | | 7, sehingga tidak terdapat nilai eigen yang nilai mutlak-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
nya lebih besar daripada semua nilai eigen lainnya, sehingga tidak terdapat
nilai eigen dominan.
Teorema 3.1.1
Misalkan A adalah matriks simetrik n × n dengan nilai eigen dominan
positif . Jika adalah vektor satuan dalam yang tidak ortogonal terha-
dap ruang eigen yang terkait dengan , maka barisan kuasa ternormalkan
, , , , , (3.1.1)
konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari matriks A, dan barisan
· , · , · , , · , (3.1.2)
konvergen ke nilai eigen dominan dari matriks A.
Bukti :
Misalkan matriks A simetrik berukuran n × n, maka A dapat didiagonalkan
secara orthogonal, sehingga A mempunyai n vektor eigen bebas linear
, , , yang berkaitan dengan nilai eigen , , , dan membentuk
basis di . Misalkan adalah nilai eigen dominan positif dari A, dan
adalah vektor satuan dalam yang tidak orthogonal terhadap ruang eigen
yang terkait dengan . Maka merupakan kombinasi linear dari vektor-
vektor basis :
,
sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
dan
.
karena | | lebih besar dari | |, , | |, maka untuk setiap i = 2, 3, …, n,
1. Jadi untuk setiap i = 2, 3, …, n, 0 bila ∞, sehingga
untuk ∞.
Barisan 3.1.1 dapat dinyatakan dengan
, , , , ,
dan barisan tersebut konvergen ke vektor eigen dominan satuan karena
, untuk ∞.
Terbukti barisan 3.1.1 konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari A. Ka-
rena konvergen ke , maka · akan konvergen ke
· ·
yang merupakan nilai eigen dominan dari matriks A .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides
Teorema 3.1.1 memberikan suatu algoritma untuk pendekatan nilai ei-
gen dominan dan vektor eigen dominan satuan yang terkait dari sebuah ma-
triks simetrik A, asalkan nilai eigen dominannya positif. Algoritma ini disebut
metode kuasa dengan perskalaan Euclides, dengan langkah-langkah seba-
gai berikut:
1. Langkah 1 : Pilihlah sebarang vektor satuan .
2. Langkah 2 : Tentukan dan normalkan untuk mendapatkan pendekatan
pertama terhadap vektor eigen dominan satuan. Kemudian tentukan
· untuk memperoleh pendekatan pertama ke nilai eigen dominan.
3. Langkah 3 : Tentukan dan normalkan untuk mendapatkan pendekatan
kedua terhadap vektor eigen dominan satuan. Kemudian tentukan
· untuk memperoleh pendekatan kedua ke nilai eigen dominan.
4. Langkah 4 : Tentukan dan normalkan untuk mendapatkan pendekatan
ketiga terhadap vektor eigen dominan satuan. Kemudian tentukan
· untuk memperoleh pendekatan ketiga ke nilai eigen dominan.
Lanjutkan langkah-langkah tersebut sampai menghasilkan barisan
yang cukup untuk menghasilkan pendekatan yang terbaik untuk nilai eigen
dominan dan vektor eigen dominan satuan yang terkait.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Contoh 3.2.1
Akan digunakan metode kuasa dengan perskalaan Euclides pada matriks
3 22 3 dengan 1
0 dan akan dibandingkan hasil penghitungan pada
x5 dengan nilai eigen dan vektor eigen dominan yang eksak.
Pada Contoh 2.8.1, telah diketahui bahwa nilai eigen dari matriks A adalah
1 dan 5, maka nilai eigen dominan matriks A adalah 5. Ruang
eigen yang terkait dengan 5 juga telah ditunjukkan pada Contoh 2.8.1,
yang merupakan sebuah garis yang dsajikan oleh persamaan parameter x
dan x , yang dapat ditulis dalam bentuk vektor sebagai
11 (3.2.1)
Jadi dengan mengambil √
dan √
akan diperoleh dua vektor eigen
satuan dominan, yaitu
√
√
dan √
√
(3.2.2)
Sekarang akan digunakan metode kuasa untuk memperoleh pendekatan
terhadap nilai eigen dan vektor eigen dominan.
3 22 3
10
32
√32 .
32
0.832050.55470
3 22 3
0.832050.55470
3.605553.32820
.3.605553.32820
0.734800.67828
3 22 3
0.734800.67828
3.560973.50445
.3.560973.50455
0.712740.70143
3 22 3
0.712740.70143
3.541083.52976
.3.541083.52976
0.708240.70597
3 22 3
0.708240.70597
3.536663.53440
.3.536663.53440
0.707330.70668
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
· 3.60555 3.32820 0.832050.55470 4.84615
· 3.56097 3.50445 0.734800.67828 4.99361
· 3.54108 3.52976 0.712740.70143 4.99974
· 3.53666 3.53440 0.708240.70597 4.99999
· 3.53576 3.53531 0.707330.70668 5.00000
Jadi adalah pendekatan nilai eigen dominan dengan ketepatan lima angka
desimal dan x5 adalah pendekatan terhadap vektor eigen dominan
1√21
√2
0.707106781187 …0.707106781187 …
dengan ketepatan tiga angka desimal.
C. Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum
Variasi dari metode kuasa adalah metode di mana setiap iterasinya
diskalakan dengan entri maksimum. Akan digunakan notasi max untuk
menyatakan nilai mutlak terbesar dari entri-entri dalam vektor .
Teorema 3.3.1
Misalkan A adalah matriks simetrik n × n dengan nilai eigen dominan
positif . Jika adalah vektor taknol dalam yang tidak ortogonal
terhadap ruang eigen yang terkait dengan , maka barisan
,
,
, ,
, (3.3.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
konvergen ke vektor eigen yang berkaitan dengan , dan barisan
·
·, ·
·, ·
·, , ·
·, (3.3.2)
konvergen ke .
Bukti :
Misalkan matriks A simetrik berukuran n × n, maka A dapat didiagonalkan
secara orthogonal, sehingga A mempunyai n vektor eigen bebas linear
, , , yang berkaitan dengan nilai eigen , , , dan membentuk
basis di . Misalkan adalah nilai eigen dominan positif dari A, dan
vektor satuan dalam yang tidak orthogonal terhadap ruang eigen yang
terkait dengan . Maka merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor
basis:
,
sehingga
dan
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
karena | | lebih besar dari | |, , | |, maka untuk setiap i = 2, 3, …, n,
1. Jadi untuk setiap i = 2, 3, …, n, 0 bila ∞, sehingga
untuk ∞.
Barisan 3.3.1 dapat dinyatakan dengan
, max , max , , max ,
dan barisan tersebut konvergen ke vektor eigen yang berkaitan dengan nilai
eigen dominan , yaitu , karena
untuk ∞.
Terbukti barisan 3.3.1 konvergen ke vektor eigen dominan dari A. Karena
konvergen ke , maka ·
· akan konvergen ke
· ·
· ·
· ·
yang merupakan nilai eigen dominan dari matriks A .
Definisi 3.3.1
Hasil bagi Rayleigh dari vektor terhadap matriks A didefinisikan sebagai
··
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Langkah-langkah Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum :
1. Langkah 1 : Pilihlah sebuah vektor taknol .
2. Langkah 2 : Tentukan dan kalikan dengan
untuk
menghasilkan pendekatan pertama terhadap vektor eigen dominan.
Tentukan hasil bagi Rayleigh dari untuk menghasilkan pendekatan
pertama terhadap nilai eigen dominan.
3. Langkah 3 : Tentukan dan kalikan dengan
untuk
menghasilkan pendekatan kedua terhadap vektor eigen dominan.
Tentukan hasil bagi Rayleigh dari untuk menghasilkan pendekatan
kedua terhadap nilai eigen dominan.
4. Langkah 4 : Tentukan dan kalikan dengan
untuk
menghasilkan pendekatan ketiga terhadap vektor eigen dominan.
Tentukan hasil bagi Rayleigh dari untuk menghasilkan pendekatan
ketiga terhadap nilai eigen dominan.
Lanjutkan langkah-langkah tersebut sampai menghasilkan barisan
yang cukup untuk pendekatan yang terbaik terhadap nilai eigen dominan dan
vektor eigen yang berkaitan.
Contoh 3.3.1
Akan dihitung ulang Contoh 3.2.1 dengan metode ini.
3 22 1
10
32
32
1.000000.66667
3 22 1
1.000000.66667
4.333334.00000
.4.333334.00000
1.000000.92308
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
3 22 3
1.000000.92308
4.846154.76923
.4.846154.76923
1.000000.98413
3 22 3
1.000000.98413
4.968254.95238
.4.968254.95238
1.000000.99681
3 22 3
1.000000.99681
4.993614.99042
.4.993614.99042
1.000000.99936
.
. ..
4.84615
.
. ..
4.99361
.
. ..
4.99974
.
. ..
4.99999
.
. ..
5.00000
Jadi adalah pendekatan terhadap nilai eigen dominan dengan ketelitian
lima angka desimal, dan adalah pendekatan terhadap vektor eigen domi-
nan
11
dengan mengambil 1 dalam persamaan 3.2.1.
D. Laju Konvergensi Hasil Bagi Rayleigh
Jika A adalah matriks simetrik yang nilai-nilai eigennya yang berbeda
dapat disusun sebagai berikut :
| | | | | | | |,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
maka laju hasil bagi Rayleigh konvergen ke nilai eigen dominan bergan-
tung pada nilai perbandingan | || |, yaitu konvergensi tersebut lambat bila per-
bandingan itu mendekati 1 dan cepat bila perbandingan itu bernilai besar.
Dengan kata lain, makin besar nilai perbandingan tersebut, makin cepat kon-
vergensinya.
Contoh 3.4.1
Akan dibandingkan laju konvergensi Hasil Bagi Rayleigh pada matriks
3 22 3 dengan nilai eigen 5 dan 1 dan matriks
2 22 5 dengan nilai eigen 6 dan 1.
Perbandingan | || | pada matriks A adalah 5, dan perbandingan | |
| | pada
matriks B adalah 6. Maka laju konvergensi pada matriks B berjalan lebih
cepat dibandingkan laju konvergensi pada matriks A.
E. Prosedur Penghentian Iterasi
Jika λ adalah nilai eksak dari nilai eigen dominan, dan adalah
hasil pendekatan metode kuasa pada iterasi ke-k, maka
(3.5.1)
disebut galat relatif dalam . Jika nilai tersebut dinyatakan dalam
prosentase, maka disebut galat prosentase dalam . Dalam aplikasi,
biasanya ditentukan galat relatif E yang dapat diterima terhadap nilai eigen
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
dominan, dan tujuannya adalah untuk menghentikan langkah-langkah iterasi
setelah galat relatif dalam pendekatan terhadap nilai eigen kurang dari E.
Namun, terdapat masalah dalam menghitung galat relatif dengan
menggunakan persamaan 3.5.1, karena nilai eigen λ tidak diketahui. Untuk
menghindari masalah ini, biasanya λ diestimasi dengan λk dan menghentikan
iterasi ketika
(3.5.2)
di mana 2. Ruas kiri ketaksamaan 3.5.2 disebut galat relatif estimasi
dalam , dan bentuk prosentasenya disebut galat prosentase estimasi
dalam .
Contoh 3.5.1
Akan ditentukan nilai terkecil dari k pada Contoh 3.3.1 sedemikian sehingga
galat prosentase estimasi dalam kurang dari 0.1%
Pendekatan Galat Relatif Galat Prosentase
: . ..
0.02953 2.953%
: . ..
0.00123 0.123%
: . ..
0.00005 0.005%
: . ..
0.00000 0%
Jadi 4.99999 adalah pendekaan pertama yang galat prosentase
estimasinya kurang dari 0.1%.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
F. Aplikasi Metode Kuasa pada Mesin Pencari Internet
Metode kuasa baru-baru ini telah digunakan untuk mengembangkan
sebuah algoritma pencarian jenis baru yang didasarkan tidak pada isi halaman
tetapi pada hipertaut (hyperlink) antara halaman-halaman. Algoritma itu,
yang disebut algoritma PageRank, digunakan dalam mesin pencari Google
dan dikembangkan pada tahun 1996 oleh Larry Page dan Sergey Brin di
Universitas Stanford. Ide dasar di belakang metode tersebut adalah
mengonstruksikan matriks-matriks yang sesuai yang menggambarkan struktur
perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan pencarian, dan kemudian
menggunakan vektor eigen dominan matriks-matriks itu untuk menyusun
daftar halaman-halaman tersebut dengan urutan menurun sesuai dengan
kriteria terntentu.
Cara kerja mesin pencari Google adalah sebagai berikut :
1. Bila pengguna meminta Google untuk mencari suatu kata atau frasa,
langkah pertama adalah menggunakan mesin pencari standar berbasis teks
untuk menemukan himpunan awal S0 dari situs-situs yang relevan,
biasanya beberapa ratus atau lebih.
2. Karena kata-kata dapat memiliki beberapa makna, himpunan S0 biasanya
juga memuat situs-situs yang tidak relevan, dan karena kata-kata dapat
memiliki sinonim, himpunan S0 mungkin tidak memuat situs-situs penting
yang menggunakan terminologi yang berbeda untuk kata-kata yang dicari.
Oleh karena itu, Google kemudian mencari situs-situs yang merujuk ke
situs-situs dalam S0 dan memperluas himpunan S0 menjadi himpunan S
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
1 2 3 4
yang lebih besar yang berisi situs-situs itu. Pengandaian yang
melandasinya adalah bahwa himpunan S akan memuat situs-situs yang
paling penting yang terkait dengan kata-kata yang dicari. Himpunan ini
disebut himpunan pencarian.
3. Karena himpunan pencarian dapat memuat ribuan situs, tugas utama mesin
pencari adalah mengurutkan situs-situs tersebut berdasarkan relevansinya
dengan kata-kata yang dicari. Dalam bagian ini dari pencarian tersebut
metode kuasa dan algoritma PageRank memainkan peranan.
Untuk menjelaskan algoritma PageRank, misalnya himpunan
pencarian S memuat n situs. Didefinisikan matriks damping dari S, yaitu
matriks di mana 1 jika situs i merujuk situs j dan 0
jika situs i tidak merujuk situs j. Dengan pengandaian bahwa tidak ada situs
yang merujuk dirinya sendiri, maka entri diagonal dari A adalah nol.
Contoh 3.6.1
Matriks A di bawah ini adalah matriks damping dari himpunan pencarian S
yang memuat empat situs internet :
0 01 0
1 10 0
1 01 1
0 11 0
(3.6.1)
Entri 1 berarti situs 1 merujuk situs 3 dan situs 4. Entri 1
berarti situs 2 merujuk situs 1, dan seterusnya. Secara umum, entri 1
Situs yang dirujuk 1 2 3 4
Situs yang merujuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
berarti situs i merujuk situs j, dan entri 0 berarti situs i tidak merujuk
situs j.
Ada dua peran dasar yang dapat dimainkan oleh suatu situs dalam
proses pencarian, yaitu :
1. Situs tersebut memainkan peranan sebagai hub, artinya situs tersebut
merujuk banyak situs lainnya.
2. Situs tersebut memainkan peranan sebagai otoritas, artinya situs tersebut
dirujuk oleh banyak situs lainnya.
Suatu situs biasanya berperan sebagai hub maupun sebagai otoritas, yang
berarti bahwa situs tersebut merujuk maupun dirujuk.
Pada umumnya, jika A adalah matriks damping dari himpunan n buah
situs internet, maka jumlahan elemen-elemen pada kolom dari A merupakan
ukuran aspek otoritas dari situs-situs itu dan jumlahan elemen-elemen pada
baris dari A merupakan ukuran aspek hub dari situs-situs itu. Sebagai contoh,
jumlahan elemen-elemen pada kolom dari matriks A pada Contoh 3.6.1
adalah 3, 1, 2, dan 2, yang berarti bahwa situs 1 dirujuk oleh tiga situs
lainnya, situs 2 dirujuk oleh 1 situs lain, dan seterusnya. Begitu juga jumlahan
elemen-elemen pada baris dari A adalah 2, 1, 2, dan 3, yang berarti bahwa
situs 1 merujuk dua situs lain, situs 2 merujuk satu situs lain, dan seterusnya.
Jika A adalah suatu matriks damping, maka vektor h0, yaitu vektor
jumlahan elemen-elemen baris dari matriks A, disebut vektor hub awal dari
matriks A, dan vektor a0, yaitu vektor jumlahan elemen-elemen kolom dari
matriks A, disebut vektor otoritas awal dari matriks A. Dengan demikian, a0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Situs 1 Situs 2 Situs 3 Situs 4
Situs 1 Situs 2 Situs 3 Situs 4
dapat juga dipandang sebagai vektor jumlahan elemen-elemen baris dari
matriks AT, yang ternyata dapat mempermudah dalam melakukan
penghitungan. Entri-entri dalam vektor hub disebut bobot hub, dan entri-entri
dalam vektor otoritas disebut bobot otoritas.
Contoh 3.6.2
Pada Contoh 3.6.1, vektor hub awal dari matriks damping A adalah jumlahan
elemen-elemen baris dari A, yaitu
2123
dan vektor otoritas awal dari matriks damping A adalah jumlahan elemen-
elemen baris dari AT (atau elemen-elemen kolom dari A), yaitu
3122
Contoh 3.6.2 menunjukkan bahwa situs 4 adalah hub terbesar, dan
situs 1 adalah otoritas terbesar. Namun, penghitungan tersebut tidak
menjelaskan semuanya. Misalnya, tampaknya masuk akal bahwa jika situs 1
adalah otoritas terbesar, maka bobot lebih harus diberikan pada hub-hub yang
merujuk situs tersebut, dan jika situs 4 adalah hub terbesar, maka bobot lebih
harus diberikan pada situs-situs yang dirujuk oleh situs tersebut. Jadi, ada
interaksi antara hub dan otoritas yang perlu diperhitungkan dalam proses
pencarian itu. Oleh karena itu, setelah Google menghitung vektor otoritas
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Situs yang dirujuk 1 2 3 4
Situs 1 Situs 2 Situs 3 Situs 4
Situs 1 Situs 2 Situs 3 Situs 4
awal a0, informasi dalam vektor tersebut digunakannya untuk menyusun
vektor-vektor hub dan otoritas baru h1 dan a1 dengan menggunakan rumus
dan (3.6.4)
Pembilang dalam rumus tersebut melakukan pembobotan, dan
normalisasi berfungsi untuk mengontrol ukuran entri-entri. Untuk memahami
bagaimana pembilang itu melakukan pembobotan, perkalian Aa0 dipandang
sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor kolom A dengan koefisien-
koefisien dari a0. Misalnya, dengan matriks damping dalam Contoh 3.6.1, dan
vektor otoritas yang dihitung dalam Contoh 3.6.2 didapatkan
A0 01 0
1 10 0
1 01 1
0 11 0
3122
30111
10001
21001
21010
4356
Dengan demikian masing-masing situs yang dirujuk terbobot oleh entri-entri
dalam vektor a0. Untuk mengontrol ukuran entri-entri, Google menormalisir
Aa0 untuk menghasilkan vektor hub yang baru:
√
4356
0.431330.323500.539160.64700
Vektor hub h1 yang baru sekarang dapat digunakan untuk
memperbarui vektor otoritas dengan menggunakan rumus 3.6.4. Perkalian
A melakukan pembobotan, dan normalisasi mengontrol ukuran:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Situs yang dirujuk 1 2 3 4
Situs 1 Situs 2 Situs 3 Situs 4
Situs 1 Situs 2 Situs 3 Situs 4
0 10 0
1 10 1
1 01 0
0 11 0
0.431330.323500.539160.64700
0.431330011
0.323501000
0.539161001
0.647001110
1.509660.647001.078330.97049
.
1.509660.647001.078330.97049
0.688890.295240.492070.44286
Setelah vektor-vektor hub h1 dan otoritas a1 yang baru diperoleh, mesin
Google mengulangi proses itu dan menghitung barisan vektor-vektor hub dan
otoritas yang saling terkait:
, , , , , (3.6.5)
, , , , , , (3.6.6)
Masing-masing barisan sebenarnya adalah barisan kuasa. Misalnya, ekspresi
untuk hk disubstitusikan ke dalam ekspresi untuk ak, maka akan diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Situs yang dirujuk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
yang berarti bahwa barisan 3.6.6 dapat ditulis sebagai:
, , , , , , (3.6.7)
Demikian pula, barisan 3.6.5 dapat ditulis sebagai:
, , , , , (3.6.8)
Teorema 3.1.1 dapat diaplikasikan untuk matriks-matriks simetrik
dan , sehingga barisan kuasa 3.6.7 dan 3.6.8 konvergen ke vektor
eigen dominan satuan dari dan berturut-turut. Entri-entri dalam vek-
tor-vektor eigen tersebut adalah bobot otoritas dan bobot hub yang digunakan
Google untuk menentukan peringkat situs-situs yang dicari dalam urutan ke-
pentingannya sebagai otoritas dan hub.
Contoh 3.6.3
Misalnya mesin pencari Google menghasilkan himpunan pencarian yang
memuat 10 situs internet dan matriks damping dari himpunan tersebut adalah
0 10 0
0 0 10 0 1
0 00 00 0
0 0 10 0 00 0 0
0 00 0
1 0 00 0 0
0 01 10 0
0 0 00 0 01 0 0
0 10 0
1 1 10 0 0
0 00 00 0
0 0 10 0 00 0 0
0 00 0
1 0 10 0 1
0 01 01 0
0 0 00 0 00 0 0
Situs yang merujuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Algoritma PageRank akan digunakan untuk menentukan peringkat situs-situs
tersebut sebagai otoritas dalam urutan turun. Sebagai a0 diambil vektor
otoritas awal yang telah ternormalisasi:
1√54
0211531302
00.272170.136080.136080.680410.408250.136080.40825
00.27217
Selanjutnya
0 00 2
0 0 01 1 2
0 10 10 2
1 1 11 1 11 1 5
0 00 0
0 0 02 0 1
0 01 00 0
1 0 11 0 12 0 1
0 00 0
0 0 00 0 0
0 20 00 1
1 1 20 0 01 1 1
3 11 1
0 0 00 0 0
0 00 00 0
3 0 10 0 01 0 2
00.272170.136080.136080.680410.408250.136080.40825
00.27217
03.265991.905161.905165.307231.360830.544333.67423
00.27732
dan
18.15362
03.265991.905161.905165.307231.360830.544333.67423
00.27732
00.400560.233660.233660.650900.166900.066760.45063
00.26704
Dilanjutkan dengan cara ini akan menghasilkan barisan vektor otoritas sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Situs 1 Situs 2 Situs 3 Situs 4 Situs 5 Situs 6 Situs 7 Situs 8 Situs 9 Situs10
, , ,
01.271270.136080.136080.680410.408250.136080.40825
00.27217
00.400560.233660.233660.650900.166900.066760.45063
00.26704
00.416520.249170.249170.634070.063220.026030.46722
00.27892
00.419180.252330.252330.628360.023720.009810.47050
00.28300
, , , ,
00.419730.253090.253090.626650.008890.003680.47137
00.28416
00.419900.253370.253370.625970.000070.000030.47165
00.28460
00.419900.253370.253370.625970.000020.000010.47165
00.28460
Perbedaan kecil antara a9 dan a10 memperlihatkan bahwa iterasi vektor otori-
tas itu telah stabil di dekat vektor eigen dominan dari matriks ATA. Dari entri-
entri dalam vektor otoritas a10 dapat disimpulkan bahwa situs 1, 6, 7, dan 9
mungkin tidak relevan sebagai situs otoritas dalam pencarian itu dan situs-
situs lainnya sebagai otoritas harus dicari dengan urutan sebagai berikut: situs
5, 8, 2, 10, 3 dan 4 (situs 3 dan 4 sama peringkatnya).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
PENUTUP
Internet banyak digunakan sekarang ini karena dapat memberi informasi
penting dalam waktu singkat dan tanpa mengenal jarak dengan menggunakan
mesin pencari yang memberikan informasi situs-situs yang dibutuhkan para
pengguna. Mesin pencari Google menggunakan algoritma PageRank dengan
mengonstruksikan matriks yang menggambarkan struktur perujukan halaman-
halaman yang sesuai dengan pencarian, dan kemudian menggunakan vektor eigen
dominan matriks itu untuk menyusun daftar halaman-halaman tersebut dengan
urutan kepentingannya sesuai dengan kriteria tertentu. Teori yang melandasi cara
kerja mesin pencari internet itu adalah Metode Kuasa.
Pada mesin pencari internet, metode kuasa tersebut dilaksanakan dengan
iterasi numerik untuk menghasilkan barisan vektor yang konvergen ke vektor ei-
gen dominan dengan menggunakan metode perskalaan Euclides atau metode per-
skalaan entri maksimum. Dengan metode perskalaan Euclides, barisan vektor-
vektor tersebut adalah
, , , , ,
yang konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari matriks A, dan barisan
· , · , · , , · ,
yang konvergen ke nilai eigen dominan dari matriks A. Iterasi tersebut dihentikan
ketika galat relatif dalam pendekatan terhadap nilai eigen kurang dari galat relatif
E yang ditentukan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Pada aplikasinya, dengan Metode Kuasa dikembangkan suatu algoritma
pencarian yang disebut algoritma PageRank yang digunakan dalam mesin pencari
Google. Ide dasar di belakang algoritma tersebut adalah mengonstruksikan ma-
triks yang menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai de-
ngan pencarian, dan kemudian menggunakan vektor eigen dominan dari matriks
itu untuk menyusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan berdasarkan krite-
ria tertentu. Karena ada interaksi antara situs hub (merujuk) dan situs otoritas
(dirujuk), Google menentukan vektor otoritas awal a0 dan vektor hub awal h0 un-
tuk menyusun vektor-vektor hub dan otoritas baru h1 dan a1 dengan menggunakan
rumus
dan
Kemudian Google mengulangi proses itu dan menghitung vektor-vektor hub dan
otoritas yang saling terkait :
, , , , ,
, , , , , ,
Masing-masing barisan tersebut adalah barisan kuasa yang konvergen ke vektor
eigen dominan matriks simetrik dan .
Urutan situs-situs hasil pencarian tersebut tercermin dalam entri-entri vek-
tor-vektor eigen. Entri-entri dalam vektor-vektor eigen tersebut adalah bobot oto-
ritas dan bobot hub yang digunakan Google untuk menentukan peringkat situs-
situs yang dicari dalam urutan kepentingannya sebagai otoritas dan hub. Peringkat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
situs-situs ini ditentukan dengan urutan turun, yaitu dari entri yang bernilai paling
besar ke entri yang bernilai paling kecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Ackleh, Azmy, et al. (2010). Classical and Modern Numerical Analysis: Theory, Methods and Practice. Boca Raton: CRC.
Anton, Howard and R. C. Busby. (2003). Contemporary Linear Algebra. New York: John Wiley & Sons. Inc.
Anton, Howard dan Chris Rorres. (2005). Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.
Bradie, Brian. (2006). A Friendly to Numerical Analysis. Upper Saddle River: Pearson Education.
Budhi, Wono Setya. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.
Conte, S. D., dan Carl de Boor. (1980). Dasar-dasar Analisis Numerik: Suatu Pendekatan Algoritma. Jakarta: Erlangga.
Cullen, Charles G. (1993). Aljabar Linear dan Penerapannya. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.
Hoffman, Joe D. (1993). Numerical Methods for Engineers and Scientist. New York: McGraw-Hill, Inc.
Langville, Amy N. and Carl D. Meyer. (2006). Google’s PageRank and Beyond: The Science of Search Engine Rankings. Princeton: Princeton University Press.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI