Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS III Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP

PLACAS PLANAS RECTANGULARES DE ESPESOR DELGADO

Autores:

Ing. Alejandro J. Patanella Ing. Marcos D. Actis

-2008-

Estructuras III

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PLACAS PLANAS RECTANGULARES DE ESPESOR DELGADO

Introducción - Hipótesis. Las placas de espesor pequeño representan un elemento estructural muy común e importante en estructuras de uso aeroespacial ya que las unidades más grandes se encuentran cubiertas con este tipo de paneles. Para el desarrollo de la ecuación general de una placa sometida a esfuerzos de flexión puros se consideran las siguientes hipótesis simplificativas: • Se limita al caso de que el material que las compone sea homogéneo, isotrópico y

completamente elástico. • La placa no experimenta variaciones de espesor debido a la deformación (σz = 0). • Se considera valida la hipótesis de deformaciones planas de Bernoulli (las normales a la

superficie media se conservan normales a la superficie deformada). • La flecha para cualquier punto de la placa es muy pequeña con respecto a su espesor (w

<< t), se limita la teoría a pequeñas deformaciones, lo cual permite suponer que la superficie media de la placa no experimenta variaciones en sus dimensiones.

Desarrollo. Sea x e y las coordenadas del plano medio de la placa antes de que se produzca la flexión y z el eje normal a dicho plano. Los puntos del plano xy sufren pequeños desplazamientos w en la dirección del eje z, estos desplazamientos serán la deflexión de la placa. Las pendientes de la superficie media en las direcciones x e y luego de la flexión serán;

iwxx =

∂∂

iwyy =

∂∂

Figura 1.

Estructuras III

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Para pequeños desplazamientos la curvatura de la superficie media puede hallarse

en forma aproximada omitiendo las potencias de primer orden (∂∂wx

,∂∂wy

). De esta forma, la

curvatura del la superficie media en planos paralelos a xz e yz respectivamente es: 1 2

2Rw

xx= −

∂∂

y 1 2

2Rw

yy= −

∂∂

También se puede cuantificar la torsión de la superficie media de la placa a través de;

1 2

Rw

x yxy= −

∂∂ ∂

A través de la curvatura y la torsión se pueden expresar las deformaciones que experimenta la placa. Dichas deformaciones en su expresión general queda definida como;

ε∂∂x

ux

= ε∂∂y

vy

= (deformaciones lineales en función de los corrimientos u en al dirección x y v en la dirección y)

ε γ∂∂

∂∂xy xy

uy

vx

= = + (deformación angular, distorsión, en el plano xy)

En el caso de flexión pura de barras prismáticas una solución rigurosa se obtiene a partir de suponer que las secciones transversales se mantienen planas luego de flexionarse y rotar de forma tal de seguir siendo perpendiculares a su eje neutro. Combinando esta suposición en las dos direcciones perpendiculares se puede obtener la ecuación general para la flexión pura de placas.

Figura 2a.

Figura 2b.

Estructuras III

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La figura 2a representa una fina placa rectangular cargada con un momento flexor uniformemente distribuido (Mx, My) por unidad de longitud en sus bordes. Se consideran positivos los momentos que generen un esfuerzo de compresión en la cara superior de la placa y uno de tracción en la superficie inferior. En la figura 2b se representa un elemento rectangular tomado de la placa con unas dimensiones dx, dy y t, siendo esta última muy pequeña comparada con las demás dimensiones. Debido a que este elemento esta extraído de la placa de la figura 2a, la misma solicitación que existía sobre la placa puede ser extendida a dicho elemento. Los lados laterales del elemento se mantienen planos durante la flexión y la rotación debido a la solicitación existente, de forma tal de que permanezcan normales a la superficie media deflectada; y debido a la simetría existente la superficie media no sufre ningún cambio en sus dimensiones y es por eso que la misma es la superficie neutra o media de la placa. En función del mecanismo de deformación anteriormente presentado los desplazamientos en las direcciones x, y y z se pueden hallar con el siguiente procedimiento: Un punto B de la superficie media (no deformada) se desplazó a la posición B1 (deformada) en la dirección del eje z en una magnitud W. El elemento de superficie dzdy asociado a este punto ha rotado un ángulo igual a la pendiente de la superficie media flexionada en una dirección tal que este se mantiene normal esta. (ver figura 3)

Figura 3.

Este ángulo de rotación para pequeños desplazamientos es igual a ∂∂wx

. De esta

forma los distintos desplazamientos en cada una de las direcciones en un punto a una distancia z de la superficie media se pueden escribir como;

u zwxx = −

∂∂ u z

wyy = −

∂∂

(los signos - indican desplazamientos negativos en x e y para desplazamientos positivos en z)

u w x yz = ( , )

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Las deformaciones correspondientes se pueden hallar a partir de;

ε∂∂

∂∂x

x

x

ux

zw

xz

R= = − =

2

2

ε∂∂

∂∂y

y

y

uy

zw

yz

R= = − =

2

2

ε γ∂∂

∂∂

∂∂ ∂xy xy

x y

xy

ux

uy

zw

x yz

R= = + = =2

22

Ya que para el estudio de las placas se consideró un estado plano de tensiones, a través de la ley de Hook se obtiene, para un material cuyo modulo de elasticidad sea E y coeficiente de Poisson µ, las siguientes expresiones para las tensiones en el plano de la placa;

σµ

µµ

∂∂

µ∂∂x

x y

E zR R

E z wx

wy

=−

+

= −

−+

( ) ( )1

112 2

2

2

2

2

σµ

µµ

∂∂

µ∂∂y

y x

E zR R

E z wy

wx

=−

+

= −

−+

( ) ( )1

112 2

2

2

2

2

Estas tensiones normales están linealmente distribuidas a lo largo del espesor de la placa y su resultante, debido a las condiciones de equilibrio existente, debe ser igual a Mx y My respectivamente, es decir;

σ x xz dydz M dyh

h

=−

∫2

2

σ y yz dxdz M dxh

h

=−

∫2

2

Sustituyendo la expresión para las tensiones nos queda;

ME w

xw

yz dz

E wx

wy

hx

h

h

= −−

⋅ +

= −

−⋅ +

⋅

−

∫( ) ( )1 1 122

2

2

2

22

2

2

2

2

2

3

2

2

µ∂∂

µ∂∂ µ

∂∂

µ∂∂

De la misma forma se opera para My y se obtiene

M Dw

xw

yx = − ⋅ +

∂∂

µ∂∂

2

2

2

2

M Dw

yw

xy = − ⋅ +

∂∂

µ∂∂

2

2

2

2

(Momentos por unidad de longitud para la flexión pura sobre la placa)

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Siendo D la rigidez a flexión de la placa dada por DE h

=−

3

212 1( )µ .

Además de los momentos flectores existe sobre la placa un momento uniformemente distribuido de torsión a lo largo de las lados de la misma dados por Mxy y Myx, cada uno de ellos deberá ser igual a la resultante de las fuerzas de corte existentes a lo largo de las lados del elemento, es decir,

τ τ∂∂ ∂xy yx

xy

G zR

G zw

x y= = =

22

2

M dx z dxdzxy xyh

h

=−

∫τ2

2

M dy z dydzyx yxh

h

=−

∫τ2

2

( )M M Dw

x yxy yx= = −12

µ∂∂ ∂

(Momento por unidad de longitud para torsión pura sobre la placa debida a la flexión)

Ecuación diferencial de la superficie deformada. En el desarrollo anterior de la teoría de las pequeñas deformaciones para placas delgadas se utilizó como hipótesis que en los límites de la placa sus bordes se pueden mover libremente en el plano de la misma. De esta forma, las fuerzas reactivas en los bordes debido a los vínculos son normales a la placa. Con el mismo criterio se pueden despreciar las deformaciones de la superficie media durante la flexión de la placa.

Figura 4.

q

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Viendo la figura anterior (fig. 4) se estudia un elemento dxdy de la superficie media, el cual posee distribuido en sus bordes los momentos Mx, My y Mxy. Estos momentos son los resultantes de las distribuciones lineales de tensiones debido a flexión y torsión a lo largo del espesor de la placa. Si la placa es solicitada a través de cargas externas normales a la superficie media a demás de los momentos anteriormente expresados existirá también un esfuerzo de corte vertical Qx y Qy, que actúan sobre los lados del elemento.

Q dzx xzh

h

=−

∫σ2

2

Q dzy yzh

h

=−

∫σ2

2

Llamando como q a la carga transversal por unidad de área que actúa normal a la cara superior de la placa y considerando el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje z del elemento se tiene, ∂∂

∂∂

Qx

dxdyQy

dydx q dxdyx y+ + = 0

o bien ∂∂

∂∂

Qx

Qy

qx y+ + = 0

Tomando el equilibrio de momentos existentes en la dirección del eje x, ∂∂

∂∂

Mx

dxdyMy

dydx Q dxdyxy yy− + = 0

o bien ∂

∂

∂

∂

Mx

My

Qxy yy− + = 0

Realizando el mismo procedimiento para la dirección y,

∂

∂∂∂

My

Mx

Qxy xx+ − = 0

Eliminando Qx y Qy de las ecuaciones anteriores se obtienen las relaciones de equilibrio entre momentos,

∂∂

∂

∂

∂

∂ ∂

2

2

2

2

2

2Mx

My

Mx y

qx y xy+ − = −

Para representar esta ecuación en términos de la deflexión w de la placa, se considera que la ecuación desarrollada para el caso de la placa sometida a una solicitación de flexión pura, es aproximadamente igual a la que correspondería al caso de placas cargadas lateralmente, es decir

M Dw

xw

yx = − ⋅ +

∂∂

µ∂∂

2

2

2

2

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M Dw

yw

xy = − ⋅ +

∂∂

µ∂∂

2

2

2

2

Esta consideración trae como consecuencia despreciar los efectos sobre la flexión de las fuerzas de corte y de la tensión de compresión σz. Reemplazando se tiene,

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

4

4

4

4

4

2 22w

xw

yw

x yqD

+ + =

La dificultad existente en el análisis de la flexión en placas se concentra en la integración de la ecuación anterior en términos de w. Las fuerzas de corte expresadas en términos de los desplazamientos se pueden expresar como,

QM

yMx

Dx

wx

wyx

xy x= + = − ⋅ +

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

QMy

Mx

Dy

wx

wyy

y xy= − = − ⋅ +

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

El análisis realizado anteriormente es suficiente para plantear soluciones a cualquier problema específico. El método general de trabajo consistirá, entonces, en hallar soluciones aproximadas para la ecuación diferencial de cuarto orden que satisfaga las condiciones de borde y las condiciones de cargas, dentro de errores apropiadamente acotados.

Ecuación de Germain-Lagrange

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MÉTODOS PARA HALLAR UNA SOLUCIÓN SATISFACTORIA. Flexión de placas rectangulares. La ecuación diferencial general para la flexión dada anteriormente se resolverá utilizando métodos exactos como el de Serie de Fourier y el método alternativo de Levi, también se hará mención mas adelante de métodos aproximados a través de diferencias finitas como ser el método de Marcus. Para cada uno de los métodos se hará el tratamiento para placas rectangulares con distintas condiciones de contorno, es decir, de vinculación de la placa al medio circundante. Las condiciones de contorno se pueden clasificar de la siguiente forma: • Borde empotrado: La deflexión a la largo del borde empotrado es cero y la tangente al plano de la

superficie media deflectada es horizontal. Entonces si el eje x coincide con el borde empotrado tendremos;

( )w y= =0 0 ∂∂wy

y

=

=0

0

• Borde simplemente apoyado: La deflexión a lo largo del borde simplemente apoyado es cero y el momento flexor

paralelo a este lado también será nulo. Entonces si el eje x coincide con el borde simplemente apoyada tendremos;

( )w y= =0 0 ( )Mw

xw

yy yy

==

= +

=

0

2

2

2

20

0∂∂

∂∂

• Borde libre:

El momento flexor, el momento torsor y la fuerza de corte a lo largo de este lado es nula. Si el lado libre coincide con la línea recta correspondiente a un x=aL se tiene,

( )M x x a== 0 ( )Mxy x a=

= 0 ( )Qx x a== 0

Como ha sido probado por Kirchoff, dos condiciones de borde son solo necesarias para encontrar una única solución al problema de flexión. Aunque el también demostró que las dos últimas condiciones de Mxy y Qx pueden ser reemplazadas por una sola, es decir,

( )∂∂

µ∂∂ ∂

3

3

3

22 0w

xw

x yx a

+ −

=

=

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Y finalmente expresando la condición de Mx en términos de w las condiciones finales para un borde libre queda como,

∂∂

∂∂

2

2

2

2 0w

xw

yx a

+

=

=

( )∂∂

µ∂∂ ∂

3

3

3

22 0w

xw

x yx a

+ −

=

=

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Distintos Ejemplos de Placas con distintas condiciones de Borde. Placas rectangulares simplemente apoyadas. Se estudiará una placa rectangular de dimensiones a y b con los ejes x e y colocados de forma tal que su origen sea este en un vértice de la placa como se ve en la siguiente figura. La placa se encuentra simplemente apoyada a lo largo de sus cuatro lados y esta solicitada por una carga distribuida uniformemente q=f(x,y).

Figura 6.

• Solución a través de series dobles de Fourier. Siempre se puede expresar una función f(x,y) como una serie trigonométrica doble (Fourier), es decir,

q f x y a sinm x

asin

n ybmn

nm= =

=

∞

=

∞

∑∑( , )π π

11

donde:

aa b

f x y sinm x

asin

n yb

dxdymn

ba

=

∫∫4

00

( , )π π

Las condiciones de borde son:

W=0 y Mx=0 en x=0 y x=a W=0 y My=0 en y=0 y y=b

o bien

a

x

b

y

q

q

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W=0 y ∂∂

2

2 0w

x= en x=0 y x=a

W=0 y ∂∂

2

2 0w

y= en y=0 y y=b

Estas condiciones de borde son satisfechas si se toma la siguiente expresión para el desplazamiento total,

W C sinm x

asin

n ybmn

nm=

=

∞

=

∞

∑∑ π π11

De la ecuación diferencial general de la deformada de la placa ∂∂

∂∂

∂∂ ∂

4

4

4

4

4

2 22w

xw

yw

x yqD

+ + = , hallo cada término reemplazando la serie propuesta

anteriormente y derivando. Esta operación se hace para poder hallar una relación en los coeficientes amn y Cmn. El calculo de las derivadas parciales queda como,

∂∂

π π πwx

Cm

am x

asin

n ybmn

nm=

=

∞

=

∞

∑∑ cos11

∂∂

π π π2

2

2 2

211

wx

Cm

am x

asin

n ybmn

nm= −

=

∞

=

∞

∑∑ sin

∂∂

π π π3

3

3 3

311

wx

Cm

am x

asin

n ybmn

nm= −

=

∞

=

∞

∑∑ cos

∂∂

π π π4

4

4 4

411

wx

Cm

am x

asin

n ybmn

nm=

=

∞

=

∞

∑∑ sin

Análogamente,

∂∂

π π π4

4

4 4

411

wy

Cn

bm x

asin

n ybmn

nm=

=

∞

=

∞

∑∑ sin

Y la derivada cruzada queda como,

∂∂ ∂

π π π π4

2 2

2 2

2

2 2

211

wx y

Cm

an

am x

asin

n ybmn

nm=

=

∞

=

∞

∑∑ sin

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Quedando le ecuación general de la siguiente forma:

Cm

am x

asin

n ybmn

nm

4 4

411

π π π

=

∞

=

∞

∑∑ sin + Cn

bm x

asin

n ybmn

nm

4 4

411

π π π

=

∞

=

∞

∑∑ sin +

+ 2 Cm

an

am x

asin

n ybmn

nm

2 2

2

2 2

211

π π π π

=

∞

=

∞

∑∑ sin = qD

Reemplazando la aproximación de la carga distribuida q(x,y) propuesta en serie de Fourier tenemos que operando matemáticamente se puede despejar Cmn siendo,

Ca

Dma

nb

mnmn=

+

π 4

2

2

2

2

2

El desplazamiento total queda,

WD

a

ma

nb

sinm x

asin

n yb

mn

nm=

+

=

∞

=

∞

∑∑14 2

2

2

2

211π

π π

Como para nuestro caso habíamos considerado solo una carga distribuida uniformemente, los coeficientes amn se pueden hallar integrando de la siguiente manera,

f(x,y) = qo = cte.

aq

a bsin

m xa

sinn y

bdxdy

qmnmn

o oba

=

=∫∫4 16

200

π ππ

Donde m y n son números naturales impares, lo cual al sustituir en la expresión del desplazamiento total tenemos que;

WqD

sinm x

asin

n yb

m nma

nb

o

nm=

+

=

∞

=

∞

∑∑166 2

2

2

2

21 3 51 3 5π

π π

, ,, ,

Siendo la máxima deflexión en el centro de la placa, dado su valor por,

WqD

m nma

nb

maxo

m n

nm=

−

+

+−

=

∞

=

∞

∑∑16 16

21

2

2

2

2

21 3 51 3 5π

( ), ,, ,

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Esta es una serie cuya convergencia es inmediata y se puede tomar una buena aproximación considerando solamente el primer termino, lo cual para una placa cuadrada se convierte en

Wq a

Dq ah Emax

o o≅ =4

0 04544

6

4

6π. (siendo µ = 0.3)

Esta última expresión difiere de la exacta en un 2 ½ % . La expresión para el momento flector queda como,

Mq m

a nma

nb

sinm x

asin

n ybx

o

nm=

+

=

∞

=

∞

∑∑164

22

2

2

2

21 3 51 3 5π

π π, ,, ,

Las expresiones para los momentos flectores y torsores finalizan en series cuya convergencia es más difícil de hallar, es por eso que si no se posee una herramienta de cálculo potente no es posible hallar estas expresiones a través del método de Series Dobles de Fourier. • Solución a través de series simples, Método de Levy: Este método se desarrolló solo para el caso en que la carga qo sea constante. Levy sugirió una solución de la forma,

W Y y sinm x

amm

=

=

∞

∑ ( )π

1

Donde Ym es una función de y solamente. Cada termino de la serie satisface las

condiciones de contorno W=0 y ∂∂

2

2 0w

x= , en x=0 y x=a. Queda por determinar la

función Ym tal que satisfaga las condiciones de borde restantes, es decir W=0 y ∂∂

2

2 0w

y=

en y=0 y y=b. Una aproximación más se puede realizar si se considera una solución de la forma,

w w w= +1 2 Donde

wq

Dx a x a xo= − +

2424 3 3( )

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Esta expresión representa la deflexión de una larga “tira” con los lados mas largos en dirección del eje y, que se encuentra cargada uniformemente por una carga qo y simplemente apoyada en los bordes cortos en x=0 y x=a, y libre en los otros dos. Aunque esta ultima expresión satisface las condiciones de borde en x=0 y x=a, el problema estará resuelto si se encuentra la solución de,

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

42

4

42

4

42

2 22 0w

xw

yw

x y+ + =

tomando como w2 a la solución propuesta por Levy, para que satisfaga con w1 las

condiciones de borde W=0 y ∂∂

2

2 0w

y= en y=±b/2 en la expresión supuesta para w.

(ver figura 7)

Figura 7. Sustituyendo se obtiene,

Yma

Ym

aY sin

m xam

IVm

IIm

m− +

=

=

∞

∑ 20

2 2

2

4 4

41

π π π

donde por simetría m solo toma los valores impares (m=1,3,5,....). Esta ecuación puede ser satisfecha para cualquier valor de x si

Yma

Ym

aYm

IVm

IIm− + =

20

2 2

2

4 4

4

π π

Siendo su solución general,

ππ

+

+

π

+

ππ

+

π

=

aym

cha

ymD

aym

shCa

ymsh

aym

Ba

ymchA

Daq

)y(Y

m

mmm4o

m

a x

b/2

y

b/2

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Debido a que la deflexión es simétrica con respecto al eje x se tiene que Cm=Dm=0, entonces;

( )

π

ππ

+

π

+

++−=

∑∞

= axm

sina

ymsh

aym

Ba

ymchA

Daq

xaxa2xD24

qW

5,3,1mmm

4o

334o

ó,

Wq a

D mA ch

m ya

Bm y

ash

m ya

sinm x

ao

m mm

= +

+

=

∞

∑4

5 51 3 5

4π

π π π π, ,

Sustituyendo las condiciones de borde, W=0 y ∂∂

2

2 0w

y= en y=±b/2, se obtiene,

A ch a B a sh amm m m m m+ + =4

05 5π

( )A B ch a B a sh am m m m m m+ + =2 0

siendo am b

am =π

2.

De estas ecuaciones se obtiene,

( )( )A

a tanh a

m ch amm m

m

=+2 2

5 5

( )

π

( )Bm ch am

m

=2

5 5π

De esta forma,

( )( )( ) ( )W

q aD m

a tanh a

ch ach

a yb

ach a

yb

sha yb

sinm x

ao

m

m m

m

m m

m

m= −+

+

⋅

=

∞

∑4 11

2

22

22 24

5 51 3 5π

π

, ,

La deflexión máxima ocurre en el centro de la placa (x=a/2, y=0) y vale

( ) ( )( )( )W

q aD m

a tanh a

ch amaxo

m

m

m m

m

=−

−+

−

=

∞

∑4 11

2

2

4

5

12

51 3 5π , ,

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La suma de los primeros términos de esta serie corresponde a la solución de la sección central de una tira cargada uniformemente, es decir,

( ) ( )( )( )W

q aD

q aD m

a tanh a

ch amaxo o

m

m

m m

m

= −− +

−

=

∞

∑5384

4 1 2

2

4 4

3

12

51 3 5π , ,

Esta serie converge rápidamente. Considerando a una placa cuadrada (a/b=1) se tiene que

a1 2=π

, a3

32

=π

, etc..

Wq a

Dq a

Dq a

D

maxo o

o

= − − +

≅

5384

40 68562 0 00025

0 00406

4 4

6

4π

( . . . . . . . . )

.

Se puede observar que solo los dos términos de la serie se pueden tomar en cuenta para hallar un resultado satisfactorio. Los momentos pueden ser encontrados sustituyendo la expresión de W. Los valores máximos de estos momentos se hallan en x=a/2 y y=0.

( ) ( )Mq a

q a m A Bx max

oo

m

mm m= + − − −

−

−

=

∞

∑2

2 21

2 2

1 3 581 1

21

( ), ,

µ πµµ

( ) ( )Mq a

q a m A By max

oo

m

mm m= + − − +

−

−

=

∞

∑µ µ πµµ

22 2

12 2

1 3 581 1

21

( ), ,

• Placa rectangular con dos lados simplemente apoyados, uno libre y el

último empotrada o simplemente apoyado.

Figura 8.

x= 0 es un borde simplemente apoyado x= a es un borde simplemente apoyado y= b es un borde libre y= 0 es un borde empotrado.

a

x

b

y

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Para este caso las condiciones de borde son,

W=0 y ∂∂

2

2 0w

x= en x=0 y x=a

W=0 y ∂∂wy= 0 en y=0

∂∂

µ∂∂ ∂

3

3

3

22 1 0w

yw

x y+ −

=( )

∂∂

∂∂

2

2

2

2 0w

xw

y+

= en y=b

Considerando una carga repartida qo , a través del método de series simples de Levi, se tiene que,

wq a

D msin

m xa

o

m1

4

5 51 3 5

4 1=

=

∞

∑ππ

, ,

y

w Y y sinm x

amm

21 3 5

=

=

∞

∑ ( ), ,

π

Es obvio que las dos primeras condiciones de borde para x=0 y x=a son satisfechas por w=w1+w2. Los coeficientes Am, Bm, Cm y Dm de Ym deben satisfacer las demás condiciones de borde. Tomando las condiciones para y=0 se tiene,

Am

C Dm m m= − = −45 5π

,

Tomando las condiciones para y=b se tiene,

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )B

mch B chB B shB

ch B Bmm m m m

m m

= ⋅+ − + − − − −

+ − + − + +

4 3 1 2 1 1

3 1 1 15 5 2 2 2πµ µ µ µ µ µ

µ µ µ µ

² ( ) ²

²

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )C

msh B ch B shB B chB B

ch B Bmm m m m m m

m m

= ⋅+ − + + − − − −

+ − + − + +

4 3 1 1 1 1

3 1 1 15 5

2

2 2 2πµ µ µ µ µ µ µ

µ µ µ µ

( ) ( )

²

Sustituyendo estas expresiones, se puede hallar la deflexión de la placa, su máximo valor estará en el medio del lado que se encuentra libre.