pillangÓk És szÁzszorszÉpek n m - · „a bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben,...
TRANSCRIPT
![Page 1: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/1.jpg)
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM
TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR
BSc SzakdolgozatMatematika BSc elemzo szakirány
PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK
A NUMERIKUS MODELLEZÉSBEN
Készítette: Témavezeto :Gurubi Gina Dr. Csomós Petra
Matematika alapszak egyetemi adjunktus
elemzo szakirány Alkalmazott Analízis és
Számításmatematikai Tanszék
Budapest, 2016.
![Page 2: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/3.jpg)
Köszönetnyilvánítás
Ezúton szeretném megköszönni témavezetomnek, Dr. Csomós Petrának arengeteg idot és energiát, amit a szakdolgozatom elkészítése során rám szánt,hasznos tanácsaival és észrevételeivel rendszeresen segítette munkámat, amiértnagyon hálás vagyok. Továbbá szeretnék köszönetet mondani a családomnak,barátaimnak és munkatársaimnak azokért a támogató és biztató szavakért, amikkelfolyamatosan ösztönözték a munkámat. Valamint rendkívül hálás vagyok azoknaka tanároknak, oktatóknak, akik tudásukkal és szakértelmükkel éveken át segítettéktanulmányaimat.
![Page 4: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/4.jpg)
Tartalomjegyzék
Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Közönséges differenciálegyenletek 51.1. Megoldás létezése és egyértelmusége . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Egyensúlyi pont és stabilitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Dinamikai rendszerek stabilitásvizsgálata . . . . . . . . . . . . . 7
2. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása 112.1. Általános egylépéses módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Explicit Euler módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Negyedrendu Runge-Kutta módszer . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Alkalmazások 203.1. Lorenz-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1. Lorenz egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2. Egyensúlyi helyzetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Százszorszép-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1. Változók, állandók és jelölések . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2. Lovelock egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3. Jacobi-mátrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Numerikus eredmények 314.1. „Pillangó” modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2. „Százszorszép” modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Függelék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
![Page 5: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/5.jpg)
Bevezetés
„A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott - a Világegyetemre gondolok. De akönyv nem értheto, ha elotte nem tanuljuk meg a nyelvet és nem moz-gunk otthonosan a betui között, amelyekkel megírták. A matematikanyelvén íródott, melynek betui a körök, háromszögek és más geomet-riai formák, amik nélkül lehetetlen akár csak egy képet is megérteni;ezek nélkül csak tévelygünk egy sötét labirintusban.”
(Galileo Galilei, 1623)
Mindig is lenyugöztek a természeti jelenségek, gyerekkorom óta érdekel acsillagászat és a meteorológia. Az Univerzum tanulmányozása mellett rendkívülfontosnak tartom, hogy megismerjük saját bolygónk muködését is, emiatt lénye-gesen nagyobb hangsúlyt fektetek a meteorológiai tudásom elmélyítésére. Úgygondolom, minden tudomány alapja a matematika, ezért egyértelmu volt, hogyegyetemi szinten szeretném tanulni.
A témaválasztásnál az volt az elsodleges szempontom, hogy a dolgozatomhuen tükrözze a kapcsolatot a matematika és a természeti jelenségek modelljeiközött. Tudniillik, hogy a matematika a természet nyelve. Remélem, ez az állítása munkám elolvasása közben direkt módon bebizonyosodik.
Kezdésként felépítem a modellezéshez szükséges matematikai tudásanya-got, majd konkrét modelleken keresztül bemutatom az alkalmazási területeket.Dolgozatom célja, hogy végighaladjak a modellalkotás lépésein, kezdve a meg-oldandó problémától egészen a numerikus és számítógépes modell felépítéséig,illetve megoldásáig. Az elso fejezetben a közönséges differenciálegyenletek anali-tikus megoldásával foglalkozunk, a következo fejezetben pedig a numerikus meg-oldási módszerekkel. Ezt követoen megismerkedünk a Pillangó, valamint a Száz-szorszép modellel és végezetül megvizsgáljuk ezek numerikus eredményeit.
4
![Page 6: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/6.jpg)
1. fejezet
Közönséges differenciálegyenletek
Mivel ebben a dolgozatban több differenciálegyenlet-rendszerrel foglalkozunk,ezért kezdetben érdemes megismerkednünk a közönséges differenciálegyenleteknéhány alapveto tulajdonságaival. Induljunk ki az explicit alakból : y′(t) = f(t, y(t)), t > t0,
y(t0) = y0,(1.1)
ahol y0 ∈ Rn egy adott vektor. Az y : R → Rn az ismeretlen differenciálhatófüggvény, és T egy olyan tartomány, amelyre igaz, hogy f : T → Rn, T ⊂ Rn+1
adott folytonos függvény, ahol (t0, y0) ∈ T .
A továbbiakban áttekintjük a differenciálegyenletek megoldását. Ezt a fejeze-tet Simon L. Péter Differenciálegyenletek: Bevezetés az elméletbe és az alkalma-zásokba [1] címu muve segítségével dolgoztam ki.
1.1. Megoldás létezése és egyértelmusége
Mivel a késobbiekben szeretnénk megoldani ezeket az egyenleteket, fontos tud-nunk, hogy mikor létezik olyan megoldás, amit érdemes keresnünk.
1.1. Tétel. (Picard–Lindelöf-féle egzisztenciatétel) Tegyük fel, hogy teljesülneka következo feltételek:
• T ⊂ Rn+1 egy tartomány
• f : T → Rn, f ∈ C(T ), azaz f folytonos T -n
5
![Page 7: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/7.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
• f a második változójában eleget tesz a Lipschitz-feltételnek, azaz létezikolyan L ≥ 0 állandó, hogy minden (t, y1), (t, y2) ∈ T -re igaz, hogy
||f(t, y1)− f(t, y2)|| ≤ L||y1 − y2||.
Ekkor a kezdeti feltételbeli t0 pontnak létezik olyan K(t0) környezete, hogy az(1.1) kezdetiérték-feladatnak létezik egyértelmu megoldása a K(t0) környezeté-ben.
Megjegyzés. Minden f Lipschitz függvény egyenletesen folytonos a T tartomá-nyon. Legyen ε > 0, ekkor a δ = ε
Lolyan érték, hogy ha ||y1 − y2|| < δ, akkor
||f(t, y1)− f(t, y2)|| ≤ L||y1 − y2|| < Lδ = ε.
1.2. Állítás. Ha az f ∈ D(T ) tartományon értelmezett differenciálható függvénykorlátos deriválttal rendelkezik, akkor f a második változójában egyenletesenfolytonos és Lipschitz-tulajdonságú az értelmezési tartományon.
|f ′(t)| ≤ L
1.2. Egyensúlyi pont és stabilitás
A differenciálegyenlet-rendszerek vizsgálatánál elso lépésként általában az egyen-súlyi pontokat határozzuk meg az f(y∗) = 0 algebrai egyenletrendszer megoldá-sával.
1.3. Definíció. Az y∗ ∈ Rn pontot egyensúlyi, vagy stacionárius pontnak nevez-zük, ha minden t ≥ t0, t ∈ R számra y(t) = 0, tehát y∗(t) = 0.
Ezekben a pontokban y′(t) = 0, ezért ezeket kiindulási pontként választvaa rendszer mindig abban a pontban marad, nem mozdul el. Ha viszont egy apróváltoztatás kicsit kimozdítja a rendszert ebbol a pontból, akkor a rendszer vagyvisszatér az eredeti állapotába, vagy nem. Ebbol következik, hogy második lépés-ként megvizsgáljuk az egyensúlyi pontok stabilitását.
1.4. Definíció. Az (1.1) egyenlet y∗ egyensúlyi pontját stabilnak nevezzük, haminden ε > 0 számhoz létezik olyan δ > 0 szám, hogy minden (t, y0) ∈ T esetén,melyre ||y0−y∗|| < δ igaz, hogy ||y(t)−y∗|| < ε, ha t ≥ 0. Az egyensúlyi pontotinstabilnak mondjuk, ha nem stabil.
6
![Page 8: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/8.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
Vezessünk be néhány fogalmat. A dinamikai rendszerek elméletében alapve-to fogalom az állapottér, fázistér fogalma. A fázistér egy rendszert meghatározófüggetlen állapotváltozók (fázisváltozók) által kifeszített tér. A fázistér egy pontjaleírja a rendszer pillanatnyi állapotát. A rendszer állapotának változását követveez a pont elmozdul, és egy utat jár be. Ezt az utat trajektóriának nevezzük.
1.3. Dinamikai rendszerek stabilitásvizsgálata
A továbbiakban két különbözo esettel fogunk foglalkozni. Eloször megvizsgáljuka lineáris differenciálegyenlet-rendszer egyensúlyi pontjának stabilitását, mivel anemlineáris rendszerek stabilitásvizsgálatát is a lineáris rendszerekére vezethet-jük vissza, ha a differenciálegyenlet-rendszert linearizáljuk a egyensúlyi pontokkörnyezetében.
Ezt az alfejezetet a BME Fizika Tanszék által tartott Dinamikai Rendszerekcímu kurzusán kiadott jegyzet alapján dolgoztam fel.
Lineáris differenciálegyenlet-rendszer
Egy lineáris, autonom, állandó együtthatós differenciálegyenlet-rendszer általánosalakja:
y(n) + a1y(n−1) + . . .+ any = 0. (1.2)
Egydimenziós esetben az y′ = λy differenciálegyenlet y(0) = y0 kezdetiértékhez tartozó megoldását az eλt alakban keressük, ahol t ≥ 0 és λ konstans.Egyszeru belátni, hogy az ilyen alakú függvények kielégítik a fenti egyenletet.
1.5. Definíció. Az (1.2) differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletén az n-edfokú
λn + a1λn−1 + . . .+ an = 0
algebrai egyenletet értjük.
1.6. Tétel. Az (1.2) differenciálegyenletnek akkor és csak akkor megoldása az eλt
függvény, ha λ gyöke a fenti karakterisztikus egyenletnek.
Az egyensúlyi helyzet, az y = 0 pont λ < 0 esetén stabil – ekkor az exponenciálistag idoben csökken, bármely y0 6= 0 pontból az origóba tart – és λ ≥ 0 eseténinstabil.
7
![Page 9: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/9.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
Magasabb dimenziós esetben a y′ = Ay,A ∈ Rd×d lineáris rendszer megoldá-sa a vieλit tagok lineáris kombinációjaként áll elo, ahol λi ∈ C (i = 1,2, . . . , d) azA mátrix i-edik sajátértéke, és a vi ∈ Rd pedig a hozzá tartozó sajátvektor. Tehátaz egyensúlyi pont típusának meghatározásához az A mátrix sajátértékeit kell ki-számolni. Akkor és csak akkor lesz ez a pont stabil, ha λi < 0 minden i-re. Ha asajátértékek komplex számok, akkor a valós részek elojelét kell megvizsgálni.
1.7. Tétel. Tegyük fel, hogy A diagonalizálható mátrix. Ekkor az (1.1)kezdetiérték-feladat y(t) = eλity0 megoldása
• pontosan akkor stabil, amikor az A mátrix mindegyik sajátértékének valósrésze nem pozitív, azaz Reλi ≤ 0 minden i = 1,2, . . . , d esetén;
• pontosan akkor aszimptotikusan stabil, amikor az A mátrix mindegyiksajátértékének valós része negatív, azaz Reλi < 0 minden i = 1,2, . . . , d
esetén;
• minden egyéb esetben instabil, azaz az A mátrixnak létezik pozitív valósrészu sajátértéke, vagyis létezik olyan i ∈ {1,2, . . . , d} index, amelyreReλi > 0.
Nézzünk meg részletesen egy kétdimenziós esetet (magasabb dimenziós line-áris rendszernél a stabilitásvizsgálat hasonló módszerrel történik) :
y′1 = a11y1 + a12y2
y′2 = a21y1 + a22y2
ahol aij ∈ R (i, j = 1,2). Az egyensúlyi pontja az origó, mint minden lineárisrendszeré. Az A mátrix sajátértékei a det(A − λI) = 0 egyenlet megoldásávalkapjuk meg, ahol I az identitás mátrixot (egységmátrixot) jelöli. Ezt az egyenletetkarakterisztikus egyenletnek nevezzük:
det(A− λI) =
∣∣∣∣∣ a11 − λ a12
a21 a22 − λ
∣∣∣∣∣ =
= λ2 − (a11 + a22)λ+ (a11a22 − a12a21).
Mivel a11a22 − a12a21 = detA és a11 + a22 = trA (vagyis az A mátrix nyoma),átírhatjuk a polinomot
λ2 − trAλ+ detA
8
![Page 10: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/10.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
alakba. Oldjuk meg ezt a másodfokú egyenletet :
λ1,2 =trA
2±√
tr2A
4− detA = 0.
A stabilitás szempontjából ezen λ-k valós értékének elojele a dönto. Vegyük észre,hogy az A sajátértékeinek kiszámolása nélkül is megtudhatjuk, milyen típusú azegyensúlyi helyzet, elég kiszámolni az A mátrix determinánsát és nyomát.
Sajátértékek A trA és detA kapcsolata Egyensúlyi pont típusaλ1λ2 < 0 detA < 0 nyereg
Reλ1 > 0 és Reλ2 > 0 detA > 0 és trA > 0 instabil
(csomó vagy fókusz)
Reλ1 < 0 és Reλ2 < 0 detA > 0 és trA < 0 stabil
(csomó vagy fókusz)
λ1,2 ∈ R detA < (trA)2
4csomó
(stabil vagy instabil)
λ1,2 ∈ C konjugált detA > (trA)2
4fókusz
(stabil vagy instabil)
λ1,2 ∈ R detA = 0 nyereg
és legalább az egyik zérus
λ1,2 ∈ C konjugált detA > 0 és trA = 0 centrum
és Re(λ1,2) = 0
λ1,2 ∈ R és λ1 = λ2 detA = (trA)2
4egytengelyu csomó
Nemlineáris differenciálegyenlet-rendszer
Általában az y′ = f(y) differenciálegyenlet-rendszer nem megoldható, de az y0
egyensúlyi pontokat az f(y) = 0 algebrai egyenletrendszer megoldásával megtudjuk határozni. Írjuk fel az y0 egyensúlyi ponttól való eltérésre, t = y − y0-ra vonatkozó differenciálegyenlet-rendszert. Mivel y′0 = 0 ezért t′ = y′, azúj differenciálegyenlet-rendszer formailag megegyezik az eredetivel, vagyis aztmondhatjuk, hogy t′ = f(t).
9
![Page 11: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/11.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
Hasonlóképpen megegyezik az egyensúlyi pontjuk körüli Taylor-soruk is :
y′ = f(y) ≈ f(y0) + ∂f∂y
(y − y0) + . . .
t′ = f(t) ≈ f(t0) + ∂f∂tt+ . . .
Az t-re vonatkozó differenciálegyenlet-rendszer egyensúlyi pontja az origó.Mivel y0 egyensúlyi pont, ezért az elso tag zérus, és y0 környezetében jó közelítésa lineáris tag, a magasabb rendu tagokat pedig elhanyagolhatjuk. Az egyensúlyipont körüli linearizált egyenletrendszer alkalmas arra, hogy meghatározzuk azadott egyensúlyi pont stabilitását, típusát.
Egy vektorértéku függvény elsorendu parciális deriváltjait tartalmazó mátrixotJacobi-mátrixnak nevezünk. Nézzük meg egy n-dimenziós rendszer Jacobi-mátrixát.
1.8. Definíció. Legyen f : Rn → Rn differenciálható függvény, f ′(y) az f(y)
Jacobi-mátrixa, azaz
f ′(y) =∂f
∂y,
azaz
J =
∂f1
∂y1
∂f1
∂y2. . . ∂f1
∂yn∂f2
∂y1
∂f2
∂y2. . . ∂f2
∂yn...
... . . . ...∂fn∂y1
∂fn∂y2
. . . ∂fn∂yn
.
A J mátrixba sorra behelyettesítjük az egyensúlyi pontok koordinátáit, és a kapottmátrix alapján (a lineáris esethez hasonlóan) elvégezzük a stabilitásvizsgálatot.Jegyezzük meg, hogy ha J-nek van zérus valósrészu sajátértéke, akkor ez a vizs-gálat nem elegendo.
10
![Page 12: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/12.jpg)
2. fejezet
Közönséges differenciálegyenleteknumerikus megoldása
Számos esetben elofordul, hogy olyan differenciálegyenlettel találkozunk,amelyet analitikus úton nem tudunk megoldani. Ilyenkor numerikus módszereksegítségével közelíto becslést kaphatunk. A következokben ezekkel a módszerek-kel ismerkedünk meg.
Ezt a fejezetet Faragó István Numerikus modellezés és közönséges differenci-álegyenletek numerikus megoldási módszerei [4], valamint Krebsz Anna Közönsé-ges differenciálegyenletek numerikus módszerei [5] címu írása alapján dolgoztamki.
2.1. Általános egylépéses módszerek
Legyen t > 0 rögzített. A differenciálegyenletek megoldását a t ∈ [0, t] interval-lumon fogjuk meghatározni, és az alábbi felosztását használjuk h lépésközzel :
t0 = 0, tn+1 = tn + h, (n = 0, . . . , N − 1), h = tN,
ahol N ∈ N.A továbbiakban a diszkrét numerikus megoldás értékeit yn-nel, a pontos meg-
oldás értékeit pedig y(tn)-nel fogjuk jelölni. Az egylépéses módszer általánosalakja:
yn+1 = yn + hΦ(tn, yn, h) n ∈ N (2.1)
11
![Page 13: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/13.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
ahol y0 = y(t0) és Φ(tn, yn, h) folytonos mindegyik argumentumában.
Például az explicit Euler-módszer esetén
Φ(tn, yn, h) = f(tn, yn).
Szeretnénk megvizsgálni az egylépéses numerikus módszerek stabilitását.Ehhez azonban eloször meg kell ismerkednünk néhány definícióval.
2.1. Definíció. A numerikus módszer konvergens a t ∈ [0; t] pontban, ha n, h ∈ Nolyan, hogy t = nh-ra teljesül, hogy
limn→∞
yn = y(t).
A módszer konvergens, ha az adott függvényosztály bármely f függvényére, bár-mely kezdeti feltétel mellett, bármely t ∈ [0; t] pontban konvergens. A numerikusmódszer p-ed rendben konvergál, ha n és h olyanok, hogy h = t
nbármely n-re és
létezik olyan M (h-tól és n-tol független), melyre
||y(t)− yn|| ≤Mhp. (2.2)
2.2. Definíció. A numerikus módszer globális hibájának nevezzük a pontos ésszámított érték különbségét, vagyis
g(tn, h) = gn = ||y(tn)− yn||
mennyiséget.
Megjegyzés. A konvergencia pontosan azt jelenti, hogy a globális hiba határértéke0, vagyis
limn→∞
gn = limn→∞
||y(tn)− yn|| = 0.
Ennek vizsgálatához szükségünk van az alábbi fogalmak bevezetésére.
2.3. Definíció. A numerikus módszer képlethibájának vagy lokális hibájának a
`(tn, h) = `n =
∣∣∣∣∣∣∣∣y(tn+1)− y(tn)
h− Φ(tn, y(tn), h)
∣∣∣∣∣∣∣∣mennyiséget nevezzük.
12
![Page 14: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/14.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
2.4. Definíció. A numerikus módszer p-ed rendben konzisztens, ha létezik olyanM > 0, p ∈ N és képlethibájára igaz, hogy
`n = Mhp+1, (n = 0, . . . , N − 1).
(Ekkor a módszer konzisztencia rendje p ≥ 1, ahol p ∈ N.)
Megjegyzés. Mivel Φ(tn, yn, h) és y′ is folytonos, ezért bármely t ∈ [0, t]-retn = nh, h→ 0-ra és limn→∞ tn = t esetén
limn→∞
`n = ||y′(t)− Φ(t, y(t),0)|| = 0.
2.5. Lemma. Ha egy egylépéses numerikus módszer a p-edfokú Taylor-polinomothasználja a közelítéshez, akkor a lokális hiba becslése
`n ≤Mp+1
(p+ 1)!hp, (n = 0, . . . , N − 1)
ahol Mp+1 = maxt∈[0,t]||y(p+1)(t)||.
Bizonyítás. A Taylor-formulát alkalmazva létezik olyan ξ ∈ [tn, tn+1], hogy
y(tn+1) = y(tn)+ y′(tn)h+y′′(tn)
2!h2 + · · ·+ y(p+1)(ξ)
(p+ 1)!hp+1
y(tn+1)− y(tn)
h= y′(tn) +
y′′(tn)
2!h+ · · ·+ y(p+1)(ξ)
(p+ 1)!hp.
Ha az egylépéses numerikus módszer a p-edfokú Taylor-polinomot használja aközelítéshez, akkor
Φ(tn, y(tn), h) = y′(tn) +y′′(tn)
2!h+ · · ·+ y(p)(tn)
p!hp−1.
Ebbol a lokális hiba így is felírható
`n =
∣∣∣∣∣∣∣∣y(tn+1)− y(tn)
h− Φ(tn, y(tn), h)
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣y(p+1)(ξ)
(p+ 1)!hp∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
a becslése pedig
`n ≤Mp+1
(p+ 1)!hp.
Ezzel az állítást beláttuk. �
13
![Page 15: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/15.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
2.6. Definíció. A numerikus módszert abban az esetben nevezzük stabilnak, halétezik olyan K > 0, melyre teljesül, hogy
gn ≤ K
(|g0|+
n−1∑k=0
|`k|h
), (n = 1, . . . , N)
vagyis a globális hiba felülrol becsülheto a lokális hibák összegének konstans-szorosával.
A következo tétel azt mutatja meg, hogy mikor tudjuk garantálni egy egylépé-ses numerikus módszer stabilitását.
2.7. Tétel. A kezdetiérték-probléma megoldására tekintsük az általános egylépé-ses módszert y0 = y(t0)
yn+1 = yn + hΦ(tn, yn, h),(2.3)
ahol n = 0, . . . , N − 1 és tegyük fel, hogy a Φ függvény a D = {(t, y) | t ∈∈ [0, t]} halmazon, ||y− y0|| ≤ D a második változójában eleget tesz a Lipschitz-feltételnek:
||Φ(t, u, h)− Φ(t, v, h)|| ≤ LΦ||u− v||, (t, u), (t, v) ∈ D.
Ekkor a módszer stabil, azaz
gn ≤ eLΦ t
(|g0|+
n−1∑k=0
|`k|h
), (n = 1, . . . , N).
Bizonyítás. Induljunk ki a lokális hiba definíciójából :
`n =
∣∣∣∣∣∣∣∣y(tn+1)− y(tn)
h− Φ(tn, y(tn), h)
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,Átrendezzük:
y(tn+1) = y(tn) + hΦ(tn, y(tn), h) + `nh
yn+1 = yn + hΦ(tn, yn, h)
Ha kivonjuk a két sort egymásból, akkor megjelenik a globális hiba is :
y(tn+1)− yn+1 = y(tn)− yn + h(Φ(tn, y(tn), h)− Φ(tn, yn, h)) + `nh
gn+1 = gn − h(Φ(tn, y(tn), h)− Φ(tn, yn, h)) + `nh.
14
![Page 16: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/16.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
A következokben használjuk fel az a háromszög-egyenlotlenséget és a Lipschitz-feltételt úgy, hogy vesszük a módszer abszolút értékét.
|gn+1| ≤ |gn|+h |Φ(tn, y(tn), h)− Φ(tn, yn, h)|︸ ︷︷ ︸≤LΦ|y(tn)−yn|=LΦ|gn|
+|`n|h = (1 +LΦh)|gn|+ |`n|h.
Bontsuk ki a rekurziót :
|gn+1| ≤ (1 + LΦh)((1 + LΦh)|gn−1|+ |`n−1|h) + |`n|h =
= (1 + LΦh)2|gn−1|+ |`n|h+ (1 + LΦh)|`n−1|h ≤· · ·
≤ (1 + LΦh)n+1|g0|+n∑k=0
(1 + LΦh)n−k|`k|h ≤
≤ (1 + LΦh)n+1
|g0|+n∑k=0
(1 + LΦh)−(k+1)︸ ︷︷ ︸≤1
|`k|h
≤≤ (1 + LΦh)n+1
[|g0|+
n∑k=0
|`k|h
].
Mivel h(n+ 1) = tn+1 és az alábbi becslésbol
(1 + LΦh)n+1 =
(1 + LΦ
tn+1
n+ 1
)n+1
≤ eLΦtn+1 ≤ eLΦ t,
az következik, hogy
|gn+1| ≤ eLΦ t
[|g0|+
n∑k=0
|`k|h
],
amivel pontosan a módszer stabilitását láttuk be. �
2.8. Tétel. Tekintsük a (2.3)-es egyenletet az n = 0, . . . , N − 1 intervallumon,mely p-edrendben konzisztens (p ≥ 1), azaz létezik olyan K > 0, hogy
`n ≤ Khp+1, (n = 0, . . . , N − 1),
és stabil, azaz
gn ≤ eLΦ t
(|g0|+
n−1∑k=0
|`k|h
).
15
![Page 17: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/17.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
Ekkorgn ≤ eLΦ tKhp, (n = 0, . . . , N)
vagyis a numerikus módszer p-edrendben konvergens.
Bizonyítás. A konvergencia bizonyításához tegyük fel, hogy y(t0) = y0, tehátpontos kezdeti feltételbol induljunk ki (g0 = 0). Ezután használjuk fel a stabilitásés a p-edrendu konzisztencia fogalmát.
gn ≤ eLΦ t
|g0|︸︷︷︸=0
+n−1∑k=0
|`k|h
≤ eLΦ t
[n−1∑k=0
Khp+1
]≤ eLΦ tnKhp+1 ≤ eLΦ t (nh)︸︷︷︸
≤1
Khp ≤ eLΦ tKhp, (n = 1, . . . , N).
Ha t ∈ [0, t] tetszoleges és n és h olyan, hogy h = tn
, akkor
|y(tn)− yn| = |gn| ≤ (eLΦ tK)hp,
ahol eLΦ tK független h-tól és n-tol. Ezzel beláttuk a p-edrendu konvergenciát. �
Megjegyzés. A (2.8) tétel tulajdonképpen a Lax-féle ekvivalencia tétel egyikiránya, ami a gyakorlat szempontjából releváns. A tételt az idén 90 éves Lax Pétermondta ki Richtmyer segítségével [6], amellyel a közelíto megoldások konver-genciáját lehet igazolni.
A továbbiakban megnézünk két konkrét módszert, amit a dolgozat során hasz-nálni fogunk.
2.2. Explicit Euler módszer
Induljunk ki az (1.1)-es egyenletbol. Felírjuk a derivált definícióját :
f(t, y(t)) = y′(t) = limh→0
y(t+ h)− y(t)
h.
Ha választunk egy nagyon kicsi h értéket, akkor közelíteni tudjuk a derivált pontosértékét. Így felírhatjuk, hogy
f(t, y(t)) ≈ y(t+ h)− y(t)
h
16
![Page 18: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/18.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
Átrendezve az egyenletet kapjuk, hogy
y(t+ h) ≈ y(t) + hf(t, y(t))
yn ≈ y(nh)
amely a módszer közelítését adja meg. Ha visszaemlékszünk a (2.1) általánosalakra, akkor kapjuk, hogy
yn+1 = yn + hf(nh, yn).
ahol nh = tn, és visszaírva az egyenletbe az explicit Euler-módszert kapjuk. y0 = y(t0)
yn+1 = yn + hf(tn, yn), n ∈ N.(2.4)
Ellenorizzük, hogy konvergens-e a módszer és ha igen, nézzük meg milyenrendben konvergens. Eloször is vegyük az Euler eljárás lokális approximációshibáját :
`n = −yn+1 − ynh
+ f(tn, yn).
2.9. Definíció. A (2.4)-es definíciót felhasználva azt mondhatjuk, hogy az explicitEuler-módszert konzisztensnek nevezzük, ha
limh→0
`n = 0.
A lokális hiba egyenletébol azt kapjuk, hogy
`n = −y(tn+1)− y(tn)
h+ f(tn, y(tn)).
Ha átírjuk y(tn+1)-et y(tn + h)-ra és Taylor-sorba fejtjük a y(tn + h) kifejezést atn pont körül, akkor azt kapjuk, hogy
−u(tn + h)− y(tn)
h= −
y(tn) + hy′(tn) + h2
2y′′(tn) +Mh3 − y(tn)
h.
Helyettesítsük be az f(t, y(t)) helyére y′(t), majd átrendezve kapjuk, hogy
`n = −h2y′′(tn) +Mh2.
Ezzel megkaptuk, hogy az explicit Euler-módszer konzisztens és rendje egy,vagyis p = 1.
2.10. Tétel. Ha az explicit Euler-módszer konzisztens és stabil, akkor konvergensis, és a konvergencia rendje egybeesik a konzisztencia rendjével.
17
![Page 19: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/19.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
2.3. Negyedrendu Runge-Kutta módszer
A differenciálegyenletek numerikus analízisének széles körben alkalmazott köze-líto eljárása a Runge–Kutta-módszerek családja.
A Runge–Kutta negyedrendu tagja annyira elterjedten használatos, hogy egy-szeruen csak „a Runge–Kutta-módszer”-ként hivatkozunk rá. Ez a módszer az(1.1) kezdetiérték-probléma egy negyedrendu közelíto megoldását adja meg, azaztetszolegesen rögzített valós, kicsi h > 0 lépésköz esetén az n-edik lépésben akezdetiérték-probléma y(t) megoldásának egy olyan y(tn) ≈ yn közelítését ad-ja a tn = nh helyen, amely közelítési hibája negyedrendu, vagyis p = 4. Ezt a(2.1)-es definíció alapján könnyen beláthatjuk.
A h lépésköz rögzítése után az alábbi, n-szerinti rekurziós lépésekkel kapjukaz y(t) megoldásfüggvény közelítését.
yn+1 = yn + hk1 + 2k2 + 2k3 + k4
6(2.5)
ahol
k1 = f(tn, yn),
k2 = f(tn + h2, yn + h
2k1),
k3 = f(tn + h2, yn + h
2k2),
k4 = f(tn + h, yn + hk3).
Így a tn+1 helyhez tartozó yn+1 közelítoérték egyenlo a tn helyhez tartozóyn közelítoérték, plusz a becsült meredekség szorozva az intervallum h hosszá-val. A meredekség becslése súlyozott középértéke az alábbi négy meredekségibecslésnek:
k1 = f(tn, yn) ≈ f(tn, y(tn))
= y′(tn),
k2 = f(tn + h2, yn + h
2k1) ≈ f(tn + h
2, y(tn) + h
2y′(tn))
≈ f(tn + h2, y(tn + h
2))
= y′(tn + h2),
18
![Page 20: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/20.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
k3 = f(tn + h2, yn + h
2k2) ≈ f(tn + h
2, y(tn) + h
2y′(tn + h
2))
≈ f(tn + h2, y(tn + h
2))
= y′(tn + h2),
k4 = f(tn + h, yn + hk3) ≈ f(tn + h, y(tn) + hy′(tn + h2))
≈ f(tn + h, y(tn + h))
= y′(tn + h).
E négy közelítés átlagolásánál a tn és tn+1 szélekhez képest a tn + h2
felezonéldupla súlyt alkalmazunk:
átlagos meredekség ≈y′(tn) + 2y′(tn + h
2) + 2y′(tn + h
2) + y′(tn + h)
6
≈ k1 + 2k2 + 2k3 + k4
6.
Mivel a megoldásfüggvény felvett értékeire csak additív muveleteket és a skalár-ral való szorzás muveletét alkalmazzuk, ezért a módszer nem csak skalár értékumegoldásfüggvények, hanem vektor értékuek esetén is alkalmazható. A követke-zo fejezetben pontosan ilyen vektor értéku függvényeket fogunk vizsgálni.
19
![Page 21: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/21.jpg)
3. fejezet
Alkalmazások
A differenciálegyenleteknek mindig is nagy jelentoségük volt a természettudo-mányokban, foleg a meteorológiában. A légkör és az éghajlati rendszer egyikalapveto jellemzoje a kaotikus viselkedés, ezért a meteorológiai elorejelzésnagyon érzékeny a kezdeti feltételekre. Két meteorológiai modellen szeretnémbemutatni a differenciálegyenletek gyakorlati alkalmazását. Ebben a fejezetbenkicsit módosítunk a korábbi fejezetekben használt jelöléseken, y helyett y, fhelyett pedig f jelölést fogjuk alkalmazni.
3.1. Lorenz-modell
Edward Norton Lorenz 1917. május 23-án West Hartford-ban született és 2008.április 16-án halt meg Cambridge-ben. Matematikusként és meteorológuskénttevékenykedett, valamint olyan felfedezést tett, amely alapvetoen megváltoz-tatta a világunkról alkotott képet. Éveken át tartó tanulmányozás eredménye-ként rádöbbent arra, hogy az idojárási rendszerek gyakran nem az elvárásoknakmegfeleloen változnak, azaz a kezdeti feltételek apró változtatásai is rendkívülieltéréseket okoznak a numerikus idojárási modellekben. 1963-ban az amerikaiMassachusetts Institute of Technology (MIT) meteorológus professzoraként meg-jelentette tanulmányát, miszerint a determinisztikus rendszerek, valamint a magasdimenziójú differenciálegyenletek is tanúsíthatnak elore nem látható, véletlen-szeru viselkedést. Pár évvel késobb ezekre már kaotikus rendszerekként utaltak,illetve egy amerikai matematikus, James A. Yorke pedig a káosz elnevezést adtaa jelenségnek. Lorenz kezdetben azzal a hasonlattal utalt a különös viselkedésre,
20
![Page 22: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/22.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
hogy egy sirály szárnycsapása meroben megváltoztatná az idojárás folyamatát. Atanulmány késobb pillangó-hatás néven vált közismertté.
Cikkeiben Lorenz a kaotikus viselkedés szemléltetéséhez a Rayleigh–Benardkonvekció egyszerusített modelljének egyenleteit használta fel. Ez a modell kétmerev lap közötti folyadékrétegben az alsó lapról indított hoközlés és a gravitációhatására létrejövo mozgást írja le.
Ezt a fejezetet Edward N. Lorenz Deterministic Nonperiodic Flow [7] és ThairY. Thanoon, Saad F. AL-Azzawi Stability of Lorenz Differential System By para-meters [8] címu cikke alapján dolgoztam ki.
3.1.1. Lorenz egyenlete
Tekintsük a modellt leíró egyenletet, ahol x, y, z : R+0 → R folytonosan differen-
ciálható függvények:
y =
x
y
z
: R+0 → R3,
f(y) =
σ(y − x)
x(%− z)− yxy − βz
, (3.1)
ahol σ > 0, % > 0 és β > 0 konstans tagok. Lorenz úgy választotta meg ezenparaméterek értékét, hogy az egyenletrendszer megoldása megfeleloen mutassa akaotikus viselkedést.
Az egyenletrendszerben szereplo függvények a következok: x a konvektívmozgás intenzitásával arányos mennyiséggel egyenlo, y a fel-, és leáramlásiágak közötti homérséklet különbséggel arányos, z pedig a lineáris vertikálishomérsékleti profiltól vett eltéréssel arányos.
Tekintsük az f : R3 → R3-ba képezo vektormezot
f(x, y, z) = (σy − σx, %x− y − xz, xy − βz) ,
ahol az egyensúlyi helyzethez pontosan az kell, hogy ez a vektormezo nullalegyen. Tehát a (3.1)-es modell egyensúlyi helyzetben van, ha
f(x, y, z) = (0,0,0).
21
![Page 23: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/23.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
Oldjuk meg az egyenletrendszert :
σy − σx = 0
%x− y − xz = 0
xy − βz = 0
Induljunk ki az elso egyenletbol :
σ(y − x) = 0
y = x.
Majd ha a második egyenletben y helyére x-et írunk, azt kapjuk, hogy
%x− x− xz = 0
x(%− 1− z) = 0
z = %− 1.
A harmadik egyenletbol pedig az jön ki, hogy
xy − βz = 0
xx− β(%− 1) = 0
x2 = β(%− 1).
Tehát a egyenlet megoldásai :
x = ±√β(%− 1)
y = ±√β(%− 1)
z = %− 1
Ebbol azt kapjuk, hogy a (3.1) az alábbi három egyensúlyi helyzettelrendelkezik:
y∗0 = (0,0,0)
y∗1 = (√β(%− 1),
√β(%− 1), %− 1)
y∗2 = (−√β(%− 1),−
√β(%− 1), %− 1)
Ezeken kívül szinte lehetetlen más megoldást találni, ezért numerikus módszersegítségével próbálunk egyéb, közelíto megoldásokat keresni.
22
![Page 24: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/24.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
3.1.2. Egyensúlyi helyzetek
Ha szeretnénk megérteni az egyensúlyi helyzetek természetét, célszerulinearizálni az egyenletrendszert. Gondoljunk vissza az 1.3-as fejezet Nemline-áris differenciálegyenlet-rendszer alfejezetére. Írjuk fel a (3.1) egyenlet Jacobi-mátrixát mindhárom esetben. Legyen
y′(t) = f(t,y(t)) y(t) :=
x(t)
y(t)
z(t)
,
ahol f : R3 → R3 képezo függvény. Ekkor
f(y) =
σ(y − x)
x(%− z)− yxy − βz
.
Számoljuk ki a deriváltakat, hogy megkapjuk a Jacobi-mátrixot.
f ′(y) =∂f
∂y=
∂f1
∂x∂f1
∂y∂f1
∂z∂f2
∂x∂f2
∂y∂f2
∂z∂f3
∂x∂f3
∂y∂f3
∂z
=
−σ σ 0
%− z −1 −xy x −β
= J(x, y, z)
Ha beírjuk az egyensúlyi helyzetek koordinátáit, akkor az alábbi Jacobi-mátrixokat kapjuk. Az origóban, vagyis y∗0 = (0,0,0) esetén:
J0 =
−σ σ 0
% −1 0
0 0 −β
. (3.2)
Írjuk fel a mátrix karakterisztikus polinomját :
det(J0 − λI) =
∣∣∣∣∣∣∣−σ − λ σ 0
% −1− λ 0
0 0 −β − λ
∣∣∣∣∣∣∣ =
= (σ − λ)(−1− λ)(−β − λ)− σ(%(−β − λ)) =
= (σ − σλ+ λ+ λ2)(−β − λ) + σ%β + λσ% =
= −βσ + λβσ − λβ − λ2β − λσ + λ2σ − λ2 − λ3 + σ%β + λσ% = 0
23
![Page 25: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/25.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
Átrendezve:
λ3 + (σ + β + 1)λ2 + (β(σ + 1) + σ(%− 1))λ+ σβ(%− 1) = 0
Számítsuk ki ennek a harmadfokú polinomnak a sajátértékeit. A J0 mátrix jobbalsó sarkában lévo eleme egyben az elso sajátérték is, ezért csak a
(−σ − λ)(−1− λ)− σ% = 0
σ + λ+ σλ+ λ2 − σ% = 0
λ2 + (σ + 1)λ− σ(%− 1) = 0
másodfokú egyenlet gyökeit kell meghatározni. Tehát a (3.2) Jacobi mátrixhoztartozó sajátértékek:
λ1 = −β
λ2,3 =−(σ + 1)±
√(σ + 1)2 + 4σ(%− 1)
2.
A másik két egyensúlyi helyzethez, vagyis az y∗1,2 = (±√β(%− 1),±
±√β(%− 1), %− 1) tartozó Jacobi mátrix:
J1,2 =
−σ σ 0
1 −1 −√β(%− 1)√
β(%− 1)√β(%− 1) −β
. (3.3)
Nézzük meg ennek is a karakterisztikus polinomját :
det(J1,2 − λI) =
∣∣∣∣∣∣∣−σ − λ σ 0
1 −1− λ −√β(%− 1)√
β(%− 1)√β(%− 1) −β − λ
∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−σ − λ) ((−1− λ)(−β − λ) + β(%− 1))− σ (−β − λ+ β(%− 1)) =
= (−σ − λ)(β + λ+ λβ + λ2 + β%− β)− σ(−β − λ+ β%− β) =
= −λ3 − λ2σ − λ2 − λ2β − λσβ − λβ%+ 2σβ − 2σβ% = 0
Átrendezve:
λ3 + (σ + β + 1)λ2 − (β(σ + %))λ+ 2σβ(%− 1) = 0
24
![Page 26: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/26.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
Számítsuk ki ezen polinom gyökeinek pontos értékét. Használjuk fel Lorenzpéldáját :
σ = 10, % = 28, β = 83.
Helyettesítsük be a (3.1) egyenletbe a Lorenz által meghatározott konstansokat :x′ = 10(y − x)
y′ = x(28− z)− yz′ = xy − 8
3z
(3.4)
ami meghatározza az f : R3 → R3-ba képezo vektormezot,
f(x, y, z) =(10y − 10x, 28x− y − xz,−8
3z + xy
).
Írjuk be a konstansokat a (3.3) mátrixhoz tartozó karakterisztikus polinomba, szá-moljuk ki a sajátértékeket, és vizsgáljuk meg a sajátértékek valós részét :
λ3 + (σ + β + 1)λ2 − (β(σ + %))λ+ 2σβ(%− 1) = 0
λ3 + (10 + 83
+ 1)λ2 − (83(10 + 28))λ+ 2 · 10 · 8
3(28− 1) = 0
λ3 + 413λ2 − 304
3λ+ 1440 = 0.
Használjuk fel a harmadfokú egyenlet megoldóképletét, a Cardano-formulát.Vegyük a következo általános alakját egy harmadfokú egyenletnek:
ax3 + bx2 + cx+ d = 0, a 6= 0
Nézzük meg, hogyan jönnek ki a gyökök az együtthatók segítségével :
x1 = S + T − b
3a
x2,3 = −S + T
2− b
3a± i√
3
2(S − T ),
aholS =
3
√R +
√Q3 +R2, T =
3
√R−
√Q3 +R2,
és ahol
Q =3ac− b2
9a2, R =
9abc− 27a2d− 2b3
54a3.
Esetünkben a következo értékeket kapjuk:
S = −108
25, T = −366
29, Q = −1745
32, R = −14635
14
25
![Page 27: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/27.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
Behelyettesítjük az imént kapott értékeket x1,2,3-ba és megkapjuk a (3.3) mátrix-hoz tartozó harmadfokú egyenletünk gyökeit :
λ1 ≈ −21,497
λ2,3 ≈ 3,9150± 7,1875i
Mivel van olyan gyökünk, melynek valós része pozitív, ezért az (1.7)-es tételalapján azt mondhatjuk, hogy a Lorenz-modell y∗1,2 = (±280
33,±280
33, 8
3) egyensúlyi
helyzetei instabilak.
Vizsgáljuk meg y∗0 = (0,0,0) esetén is. Ekkor a sajátértékek, melyeketkorábban kiszámoltunk, az alábbiak voltak:
λ1 = −β
λ2,3 =−(σ + 1)±
√(σ + 1)2 + 4σ(%− 1)
2.
Behelyettesítve Lorenz konstansait, azt kapjuk, hogy
λ1 = −8
3, λ2 = −662
29, λ3 =
343
29
Itt is ugyanaz a helyzet, mint az elozo sajátértékek esetében. Mivel a sajátértékekközött van pozitív valós értéku, a rendszer ezen egyensúlyi helyzete is instabilezekre a paraméter értékekre.
A modell numerikus vizsgálatát a 4. fejezetben mutatom be.
3.2. Százszorszép-modell
Hosszú múltra tekint vissza az az elképzelés, miszerint a Föld egy élo szervezet,vagyis az összes élo és élettelen része szorosan összefüggo, homeosztatikus rend-szert alkot, ami azt jelenti, hogy tág határok közt képes fenntartani létezésénekfeltételeit. James Lovelock, az amerikai urkutatási hivatal munkatársa 1965-benkezdett foglalkozni az élovilág evolúciója által befolyásolt, önszabályozó Földgondolatával. A NASA megbízásából a marsi élet lehetoségét tanulmányozta aViking-program vezetojeként. Amikor a Mars és a többi bolygó légkörét összeha-sonlította a Földével, mély benyomást tett rá az az egyszeru felismerés, mely sze-rint bolygónk atmoszférájának összetétele teljesen valószínutlen. Ennek kapcsán a
26
![Page 28: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/28.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
tudós kidolgozott egy elméletet az 1970-es években, melyet a görög mitológiábólismert Föld istennojérol, Gaia-ról nevezett el. A Gaia-elmélet Lovelock definíciójaszerint a Föld bioszféráját, atmoszféráját, vizeit és földjeit magába foglaló komp-lex egység, amely kialakítja, illetve fenntartja a földi élethez szükséges optimálisfizikai és kémiai környezetet. Kezdetben sok kritikával illették elméletét, mivelteleologikusnak és a természetes szelekció elveinek ellentmondónak gondolták.
1983-ban James Lovelock és Andrew J. Watson (brit tudós) az elmélet illuszt-rálására megalkották a Százszorszép Világ (Daisyworld) elnevezésu számítógépenszimulált egyszeru éghajlati modellt, mely egy felhok nélküli homogén felszínubolygón élo sötét és világos százszorszépek térhódítását, valamint éghajlat ala-kító szerepét írja le. A szimulációban lévo huvös bolygón a sötét színu virágokszaporodtak el, elnyelték a napfényt, ezáltal visszatartották a hot, és kedvezobbéletfeltételeket teremtettek. Azonban ahogy egyre melegebb lett környezetük, avilágos virágok vették át a helyüket, és a ho egy részét visszasugározták a világ-urbe, ezzel hutve a levegot. A százszorszépeknek hosszú idore sikerült egyensúly-ba hozniuk az adott bolygó homérsékletét. A Százszorszép-modell a végletekigleegyszerusíti a bonyolult folyamatokat, de alkalmas arra, hogy szemléltesse a kö-vetkezot : mindaddig, amíg két organizmus egyensúlyban tud élni, ideális környe-zet tartható fent mindkettejük számára, de amint eltunik bármelyikük, már kisebbváltozások is elpusztítják a teljes szervezetet, például a Földet.
Ezt a fejezetet Andrew J. Watson és James E. Lovelock Biological homeostasisof the global environment: the parable of Daisyworld [10] címu cikke segítségéveldolgoztam fel.
3.2.1. Változók, állandók és jelölések
A modell egy közönséges differenciálegyenlet-rendszer, melynek ismeretlenfüggvényei a világos és a sötét százszorszépek által befedett területek:
A1, A2 : R+0 → [0,1].
27
![Page 29: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/29.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
JelöljeA0(t) a talaj felszínét a t ≥ 0 idopillanatban és skálázzuk úgy, hogy a teljesfelszín
A0(t) + A1(t) + A2(t) = 1, ∀t ≥ 0
legyen.A probléma megoldásához szükségünk van a következo fogalom megismeré-
sére. A Földet eléro sugárzás visszaverodése nem egyenletes a teljes felszínen.A fényvisszavero képességet albedónak hívjuk. Az albedó értéke adja meg, hogya visszavert sugárzás hány százaléka a beesonek. Minél kisebb egy táj albedó-ja, a talaj annál kevesebb napsugarat ver vissza a légkörbe, így az adott területennagyobb melegedésre számíthatunk.
A modellben a különbözo felszínek albedó értékét α0, α1, α2-vel jelöljük.Ezek mind állandók és α0, α1, α2 ∈ [0,1]. Legyenek például :
talaj : α0 = 0.5,
világos virág : α1 = 0.75,
sötét virág : α2 = 0.25.
A modell bemutatása elott vezessük be az alábbi jelöléseket :
Jelölés Érték Leírás
σ 5,67 · 10−8 Wm2K4 Stefan–Boltzmann-állandó
S 1368 Wm2 napállandó (a Nap általi besugárzás)
k 0,003265 a százszorszépek növekedési rátájában
szereplo konstans
γ 0,3 a százszorszépek halálozási rátája
Topt 22,5 növények optimális homérséklete
28
![Page 30: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/30.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
3.2.2. Lovelock egyenlete
Most pedig lássuk a modellt leíró egyenletrendszert t ≥ 0 esetén:
A0(t) = 1− A1(t)− A2(t)
α(t) = α0A0(t) + α1A1(t) + α2A2(t)
L (t) =1
50t+
1
2
q(t) =L (t)S
5σ
T 4e (t) =
SL (1− α)
4σ
Tj(t) = (q(α(t)− αj) + T 4e (t))1/4, j = 0,1,2
β(T ) =
1− k(T − Topt)2, ha 1− k(T − Topt)
2 > 0
0 különbenddtAj(t) = Aj(t)(A0(t)β(Tj(t))− γ), j = 1,2
(3.5)
ahol a T0(t), T1(t) a világos és sötét százszorszépek lokális homérsékletét, L (t)
a homérsékleti luminozitást, q(t) pedig a horizontális hotranszportot jelentik a tidopillanatban.
3.2.3. Jacobi-mátrix
Ez a differenciálegyenlet-rendszer lényegesen bonyolultabb a Lorenz-modellnél,de felírjuk a Jacobi mátrixát, majd a MATLAB segítségével szemléltetjük amodell viselkedését.
Nézzük meg a megoldandó differenciálegyenlet-rendszert. Legyen
y′(t) = f(y(t))
y =
(A1
A2
),
ahold
dt
(A1
A2
)=(Aj(A0β(Tj)− γ)
), j = 1,2
29
![Page 31: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/31.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
és
f1(A1, A2) → d
dtA1 = A1(A0β(T1)− γ),
f2(A1, A2) → d
dtA2 = A2(A0β(T2)− γ).
Számoljuk ki a deriváltakat, hogy megkapjuk a Jacobi-mátrixot.
f ′(y) =∂f
∂y= J(A1, A2) =
(∂f1
∂A1
∂f1
∂A2∂f2
∂A1
∂f2
∂A2
)(3.6)
Vegyük ennek a Jacobi-mátrixnak a bal felso elemét, számoljuk ki annak a deri-váltjait részekre bontva:
∂f1
∂A1
= A0β(T1)− γ + A1A0∂β
∂A1
∂β
∂A1
= −2k(T1 − Topt)∂T1
∂A1
∂T1
∂A1
=1
4
(q(α− α1) + T 4
e
)−3/4 ·(q∂α
∂A1
+∂T 4
e
∂A1
)∂α
∂A1
= α1
∂T 4e
∂A1
= −SL4σα1
Összegezve:
∂f1
∂A1
= A0β(T1)−γ−A1A0 ·2k(T1−Topt) · 14
(q(α−α1) +T 4
e
)−3/4 ·α1(q− SL4σ
)
Ezek alapján a (3.6) másik három eleme a következo :
∂f2
∂A2
= A0β(T2)− γ − A2A0 · 2k(T2 − Topt) · 14
(q(α− α2) + T 4
e
)−3/4 · α2(q − SL4σ
)
∂f1
∂A2
= A0β(T1)− γ − A1A0 · 2k(T1 − Topt) · 14
(q(α− α1) + T 4
e
)−3/4 · α2(q − SL4σ
)
∂f2
∂A1
= A0β(T2)− γ − A2A0 · 2k(T2 − Topt) · 14
(q(α− α2) + T 4
e
)−3/4 · α1(q − SL4σ
)
A következo fejezetben elvégezzük a modellek numerikus vizsgálatát.
30
![Page 32: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/32.jpg)
4. fejezet
Numerikus eredmények
Mivel a numerikus számítások egyik elterjedt eszköze a MATLAB, ezért enneka programnak a segítségével fogjuk tesztelni a korábban említett éghajlati model-leket, különbözo kezdeti értékek esetén. A MATLAB programok forráskódja aFüggelék fejezetben található.
4.1. „Pillangó” modell
A pillangó modellt explicit Euler módszerrel oldottuk meg. A 4.1. ábrán azt szem-léltetjük, hogy két különbözo kezdeti értékbol indítva a rendszert, hogyan visel-kedik a modell. A vizsgálatkor a kezdeti értékek az alábbiak voltak:
y1 = (2; 5; 10)
y2 = (2,2; 5,2; 10,2).
Láthatjuk, hogy két közeli pontból indítjuk a rendszert. A két trajektóriaegy ideig együtt halad, egymás közelében maradnak, majd külön válnak és egypillangó formát rajzolnak ki. Ezzel az ábrával tudjuk szemléltetni a meteorológiaimodellek kaotikus viselkedését. Egy apró változtatás a rendszerben teljesen másvégeredményt eredményez. Rendkívül érzékeny a kezdeti feltételekre, és sohasemismerjük pontosan az adott rendszer (pl. légkör) aktuális kezdeti állapotát.
31
![Page 33: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/33.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
z
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
x-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
2520151050-5-10
x-15-20-25
-20y
0
20
30
20
10
0
50
40
z
4.1. ábra. A pillangó modell síkban és térben.Két különbözo kezdeti értékbol indítva.
32
![Page 34: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/34.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
Nézzük meg a 4.2. ábrán a differenciálegyenlet-rendszer megoldását az idofüggvényében. Észrevehetünk némi szabályszeruséget a mintában, azonban akaotikus viselkedést a 4.1. ábra jobban szemlélteti.
0 5 10 15
x, y
, z
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
4.2. ábra. Lorenz modell megoldása az ido függvényében.
33
![Page 35: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/35.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
4.2. „Százszorszép” modell
A százszorszép modellt negyedrendu Runge–Kutta módszerrel oldottuk meg.Vizsgáljuk meg a 4.3. ábrán, hogy az optimális homérséklethez képest, hogyan
alakul a bolygó homérséklete százszorszépekkel és anélkül.
Topt = 22,5 ◦C
A világos és sötét százszorszépek területi befedettségének aránya a program fut-tatása során:
A1 = 0,2 és A2 = 0,4
Élet nélkül ezek a fenti értékek:
A1 = 0 és A2 = 0
Azt láthatjuk, hogy élet nélkül folyamatosan none a bolygó homérséklete, azon-ban ha százszorszépeket telepítünk, akkor a ido elorehaladtával megpróbálják be-állítani a fennmaradásukhoz szükséges optimális homérsékletet.
4.3. ábra. A százszorszépek hatása a homérsékletre.
34
![Page 36: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/36.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
Vegyük észre, hogy a 4.3. ábra is azt mutatja, hogy milyen érzékeny ez a modellis a kezdeti feltételekre.
A 4.4. ábrán szeretnénk a világos és sötét százszorszépek területének növeke-dését ábrázolni az ido függvényében. A különbözo virágokat különbözo aránybantelepítjük. Azt is ábrázoljuk, hogy hogyan alakul a talaj befedettsége.
0 20 40 60 80 100
Bef
edet
t ter
ület
ek
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1világossötéttalaj
4.4. ábra. A százszorszépek által fedett területek változása.
Azt kapjuk, hogy a sötét százszorszépek viszonylag hamar kihalnak, de elotte mégmegemelik annyira a bolygó homérsékletét, hogy a világos százszorszépek növe-kedésnek induljanak. Miután a világos százszorszépek elszaporodtak, a homér-séklet nem tudott tovább növekedni a sötét virágok nélkül, így a világos társaik iskihaltak, és csak a puszta talaj maradt.
35
![Page 37: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/37.jpg)
Függelék
„Pillangó” programok forráskódja
%Egy kezdeti értékből indítva:
function[x y z]=pillango1(tmax,N)
h=tmax/N; %időlépcső
t(1)=0; %az idő kezdetben
y(:,1)=[2;5;10]; %kezdeti érték ([2;5;10])
t=h*[0:N];
for n=1:N %az idő ciklus
%Differenciálegyenlet megoldása explicit Euler-módszerrel
y(:,n+1) = y(:,n)+h*F(y(:,n));
end %az idő ciklus vége
%Kirajzoltatás:
plot(t,y(1,:),t,y(2,:),t,y(3,:))
axis([0 tmax -30 50])
xlabel('Time'), ylabel('x, y, z')
end
function dYdt=F(y)
sigma=10; %Prandtl szám
rho=28; %Rayleigh szám
beta=8/3; %Béta paraméter
36
![Page 38: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/38.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
dYdt(1)=sigma*(y(2)-y(1));
dYdt(2)=y(1)*(rho-y(3))-y(2);
dYdt(3)=y(1)*y(2)-beta*y(3);
end
%Két különböző kezdeti értékből indítva:
function [x y z]=pillango2(tmax,N)
y1(:,1)=[2;5;10]; %kezdeti érték ([2;5;10])
y2(:,1)=[2.2;5.2;10.2]; %kezdeti érték ([2.2;5.2;10.2])
h=tmax/N; %időlépcső
t=h*[0:N];
for n=1:N %az idő ciklus
%Differenciálegyenlet megoldása explicit Euler-módszerrel
y1(:,n+1) = y1(:,n)+h*F(y1(:,n));
y2(:,n+1) = y2(:,n)+h*F(y2(:,n));
%Kirajzoltatás:
plot3(y1(1,:),y1(2,:),y1(3,:),y2(1,:),y2(2,:),y2(3,:))
axis([-25 25 -25 25 5 55])
xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z')
pause(0.01)
end %az idő ciklus vége
end
function dYdt=F(y)
sigma=10; %Prandtl szám
rho=28; %Rayleigh szám
beta=8/3; %Béta paraméter
37
![Page 39: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/39.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
dYdt=zeros(3,1);
dYdt(1)=sigma*(y(2)-y(1));
dYdt(2)=y(1)*(rho-y(3))-y(2);
dYdt(3)=y(1)*y(2)-beta*y(3);
end
„Százszorszép” program forráskódja
function [y t A]=szazszorszep(tmax,N)
global k Topt
h=tmax/N; %időbeli lépésköz
t=h*[0:N]; %idő
%Paraméterek:
alfa=[0.75,0.25,0.5]; %albedo értékek (világos, sötét, talaj)
A(1)=0.2; %világos százszorszép (kezdeti feltétel)
A(2)=0.4; %sötét százszorszép (kezdeti feltétel)
gamma=0.3; %virágok halálozási rátája
sigma=5.67*10^(-8); %Stefan-Boltzmann-állandó [W/(m^2*K^4)]
Topt=273+22.5; %virágok optimális hőmérséklete
%[Kelvin=273+Celsius]
S=917; %napállandó [W/(m^2)]
k=0.003265; %virágok növekedési rátájában levő konstans
%tolerancia (plusz-mínusz 17,5 C fok)
if A(1)+A(2)>1
disp(sprintf('A sötét és világos felszínek összege
nem lehet nagyobb 1-nél.'));
return
end
%csak a kirajzoláshoz
A1=A(1);
A2=A(2);
38
![Page 40: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/40.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
A3=1-A(1)-A(2);
albedo=alfa(1)*A(1)+alfa(2)*A(2)+alfa(3)*(1-A(1)-A(2));
L=0.5+0.02*t;
q=0.2*L*S/sigma;
Teff4=S*L*(1-albedo)/sigma;
Teff=0;
x=0:h:tmax;
z=0:h:tmax;
Y=zeros(length(x),2);
Y(1,:) = A(:);
for n=1:N %az idő ciklus
albedo=alfa(1)*A(1)+alfa(2)*A(2)+alfa(3)*(1-A(1)-A(2));
L=0.5+0.02*t(n); %hőmérsékleti luminozitás
q=0.2*L*S/sigma; %horizontális hőtranszport
Teff4=S*L*(1-albedo)/sigma;
T=(q*(albedo-alfa)+Teff4).^0.25;
F_xy = @(t,A) [A.*((1-A(1)-A(2)).*beta(T)-gamma)];
%Differenciálegyenlet megoldása RK4-gyel
y = Y(n,:);
k_1 = F_xy(x(n),y);
k_2 = F_xy(x(n)+0.5*h,y+0.5*h*k_1);
k_3 = F_xy((x(n)+0.5*h),(y+0.5*h*k_2));
k_4 = F_xy((x(n)+h),(y+k_3*h));
Y(n+1,:) = y + (1/6)*(k_1+2*k_2+2*k_3+k_4)*h;
%csak a kirajzoláshoz
A1=[A1 Y(n+1,1)];
A2=[A2 Y(n+1,2)];
A3=[A3 1-Y(n+1,1)-Y(n+1,2)];
Teff=[Teff Teff4.^0.25];
ido=x(1:n+1);
39
![Page 41: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/41.jpg)
Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
%Kirajzoltatás:
plot(ido,A1,ido,A2,ido,A3,':','Linewidth',3)
axis([0 tmax 0 1])
xlabel('Idő'), ylabel('Befedett területek')
legend('világos','sötét','talaj','Location','northeast')
pause(0.01)
end %az idő ciklus vége
%Kirajzoltatás:
hold on
plot(ido,Teff-273,'linewidth',3)
axis([1.1 tmax -40 120])
xlabel('Idő'), ylabel('A bolygó hőmérséklete')
legend('élet nélkül','szászszorszépekkel','Location','southeast')
pause(0.01)
hold off
end
function y=beta(T)
global k Topt
virag=k*(T(1)-Topt).^2;
if (virag<1), y(1)=1.0-virag;
else y(1)=0.0; end
virag=k*(T(2)-Topt).^2;
if (virag<1), y(2)=1.0-virag;
else y(2)=0.0; end
end
function dAdt=felszin(A,T,gamma)
dAdt=zeros(2,1);
dAdt=A.*((1-A(1)-A(2)).*beta(T)-gamma);
end
40
![Page 42: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/42.jpg)
Irodalomjegyzék
[1] Simon L. P., Tóth J., Differenciálegyenletek: Bevezetés az elméletbe és azalkalmazásokba. Typotex (2005)
[2] Simon L. P., Közönséges differenciálegyenletek. Typotex (2007)
[3] Faragó I., Horváth R., Numerikus módszerek. Typotex (2011)
[4] Faragó I., Numerikus modellezés és közönséges differenciálegyenleteknumerikus megoldási módszerei. Egyetemi könyv (2013)
[5] Krebsz A., Közönséges differenciálegyenletek numerikus módszerei.Egyetemi jegyzet (2014)
[6] P. D. Lax, R. D. Richtmyer, Survey of the stability of linear finite differenceequations. Communications on pure and applied Mathematics 9 (1956),267–293.
[7] E. N. Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the atmosphericsciences 20 (1963), 130–141.
[8] T. Y. Thanoon, S. F. AL-Azzawi, Stability of Lorenz Differential System Byparameters. Tikrit Journal of Pure Science 15 (2010), 118–222.
[9] Götz G., A pillangó-effektus – a káosz felfedezése a meteorológiában. FizikaiSzemle 12 (1993), 487.
[10] A. J. Watson, J. E. Lovelock, Biological homeostasis of the global envi-ronment: the parable of Daisyworld. Tellus B. International MeteorologicalInstitute 35B (1983), 286–289.
[11] J. E. Lovelock, Healing Gaia: Practical Medicine for the Planet. HarmonyBooks (1991)
41
![Page 43: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/43.jpg)
![Page 44: PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041419/5e1e22b8356392214953c8c3/html5/thumbnails/44.jpg)
Nyilatkozat
Név: Gurubi Gina
ELTE Természettudományi Kar, szak: Matematika BSc
NEPTUN azonosító: M0YFQV
Szakdolgozat címe: Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben
A szakdolgozat szerzojeként fegyelmi felelosségem tudatában kijelentem, hogya dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivat-kozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások általírt részeket a megfelelo idézés nélkül nem használtam fel.
Budapest, 2016. december 30.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a hallgató aláírása