piergioorgio odifreddi - cera una volta un paradosso

8/13/2019 Piergioorgio Odifreddi - Cera Una Volta Un Paradosso

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Piergiorgio Odifreddi

C’era una volta un paradossoStorie di illusioni e verità rovesciate

Grandi tascabili Einaudi Edizione 2001



That we call the biginning is often the end And to make an end is to make a biginning,

The end is where we start from.

T.S. ELIOT, Little Gidding , da Four Quartets

2



Sommario

Introduzione paradossale ................................................................................................................... 6

C’era una volta il paradosso ............................................................................................................ 10

Capitolo primo .................................................................................................................................. 11Immacolate ercezioni .................................................................................................................. .............. 11Occ!io er occ!io, orecc!io er orecc!io ................................................................................... ................ 11Se ne "edono di tutti colori ......................................................................................................... ................ 1#Eur $non% si muo"e ......................................................................................................... ........................ 20Secc!io delle mie brame ............................................................................................................ ............... 2&

'on facciamoci troe illusioni ........................................................................................................ .......... 2(Capitolo secondo ............................................................................................................................... 32

L)arte dell)illusione ............................................................................................................................. ........ *2 'on erdiamo la rosetti"a ............................................................................................................ ........... **+i scusiamo er il disturbo ................................................................................................ ......................... *-a c!i ci crede ..................................................................................................................................... ..... &1

Capitolo terzo .................................................................................................................................... 50+ose dell)altro mondo .............................................................................................................................. ... (0La religione in illole ................................................................................................................................ .. (0/io e /ia"olo, S... ................................................................................................................................ .. (1I aradossi in croce ..................................................................................................................... ................ (*lausi a una mano sola ......................................................................................................... .................. (ogliamo sc!erzare ...................................................................................................................... ............. #0-ettiamo la mamma a letto ................................................................................................. ....................... #2La c!imica del aradosso ...................................................................................................................... ...... #&na assione er l)enigmistica ................................................................................................ ................... 0

Capitolo quarto ................................................................................................................................. 7Immacolate concezioni ........................................................................................................... .................... &

'on badiamo alle aarenze ............................................................................................................ ........... (3acciamo gli indiani ......................................................................................................... .......................... #Sogno o son desto ............................................................................................................... ...................... 4

La Luna c)5, 6uando nessuno la guarda ............................................................................ ........................ 40Possono due gemelli a"ere un)et7 di"ersa ....................................................................................... .......... 4*-essaggi dal futuro ............................................................................................................. ....................... 4#"anti tutta, "erso il assato .................................................................................................... ................... 44Guarda c!e coincidenza ................................................................................................................ .............. 81

Capitolo quinto ................................................................................................................................. !Storia aocrifa di un mentitore .................................................................................................................... 8&Eimenide ............................................................................................................................................. ...... 8(Eubulide .................................................................................................................................................... .. 8#ristotele ............................................................................................................................... ..................... 8+icerone .................................................................................................................................................... .. 8/iogene Laerzio .............................................................................................................. ........................... 849uridano .................................................................................................................................... ................. 88Soluzioni medie"ali ............................................................................................................. ..................... 100

+er"antes .................................................................................................................................. ................ 101:ussell .................................................................................................................................. .................... 10*+urr; ...................................................................................................................................................... ... 10&G<del ..................................................................................................................................... ................... 10(=uine ..................................................................................................................................... ................... 10(Tars>i .......................................................................................................................................... .............. 10?ri>e ............................................................................................................................................. .......... 10ustin ................................................................................................................................. ...................... 108Smull;an ......................................................................................................................................... .......... 1109ateson ............................................................................................................................ ......................... 111n)ultima menzogna ............................................................................................................................. .... 11*

Capitolo sesto .................................................................................................................................. 115La corsa nel temo della tartaruga .................................................................................... ........................ 11(@enone .................................................................................................................................... .................. 11(

Aui S!i e +!uang Tzu ..................................................................................................................... .......... 11#Platone .................................................................................................................................... .................. 11Eubulide ............................................................................................................................................. ....... 11Pirrone .............................................................................................................................. ........................ 114

*



ristotele ........................................................................................................................ .......................... 114rc!imede ..................................................................................................................... ........................... 118gostino .................................................................................................................................................... 118"icenna ................................................................................................................................. .................. 118Tommaso d)6uino ............................................................................................................ ...................... 120Gregorio da :imini ..................................................................................................................... .............. 121+artesio ................................................................................................................................................ ..... 1213ermat ................................................................................................................................................... .... 122

Torricelli ............................................................................................................................... .................... 122Gregorio da San incenzo .................................................................................................. ...................... 12&Sterne ................................................................................................................................................. ....... 12(?ant ........................................................................................................................................ .................. 12#Lotze ................................................................................................................................................ ......... 12#Sc!oen!auer ........................................................................................................................................... . 12#+antor ....................................................................................................................................... ................ 12+arroll ................................................................................................................................................... .... 1249radle; e :o;ce ...................................................................................................................................... .. 1*29ergson .............................................................................................................................................. ....... 1**/unne ................................................................................................................................. ...................... 1*&?af>a ..................................................................................................................................... ................... 1*&9orges ................................................................................................................................................. ...... 1*(Goodstein ............................................................................................................................................... ... 1*#

T!omson ....................................................................................................................................... ............ 1*Esc!er ....................................................................................................................................... ................ 1*43ine della corsa .............................................................................................................................. ........... 1&0d un asso dal traguardo ........................................................................................................................ . 1&0

Capitolo settimo .............................................................................................................................. 11I araBdoCa della democrazia .................................................................................................... ................ 1&1La "otazione a maggioranza ............................................................................................ ......................... 1&2Il aradosso di +ondorcet ................................................................................................... ...................... 1&*Problemi di eso ..................................................................................................................... .................. 1&&Il teorema di rroD .............................................................................................................................. ..... 1&#Il aradosso dell)labama ................................................................................................. ....................... 1&4Proorzionale o maggioritario ............................................................................................................ ..... 1&8

Capitolo ottavo ................................................................................................................................ 151Sguardo aradossale al futuro ...................................................................................................... ............. 1(1

+ose da non credere ......................................................................................................................... ......... 1(1Sorrese annunciate ................................................................................................................... ............... 1(2Scelte determinate ................................................................................................................................. .... 1(*Onniscienza imotente ......................................................................................................................... ..... 1((

'on ensare troo er la tua intelligenza ...................................................................................... .......... 1((Capitolo nono .................................................................................................................................. 157

-ucc!i, smeraldi e cor"i .............................................................................................. ............................ 1(L)induzione matematica .................................................................................................................. .......... 1(L)induzione scientifica ...................................................................................................................... ........ 1(8/eduzioni sull)induzione .............................................................................................................. ............ 1#1

Capitolo decimo .............................................................................................................................. 162/ai aradossi ai teoremi ................................................................................................ ........................... 1#2Pitagora ................................................................................................................................................ ..... 1#2

@enone ........................................................................................................................................ .............. 1#*Eubulide ................................................................................................................................................. ... 1#&/uns Scoto ............................................................................................................................................... . 1#(+ardano ......................................................................................................................... ........................... 1##3ermat ................................................................................................................................................... .... 1#Galileo .................................................................................................................................. .................... 1#8Torricelli ............................................................................................................................... .................... 1#8Grandi ............................................................................................................................................. .......... 11Leibniz e o!ann 9ernoulli ...................................................................................................... ................. 12a>ob 9ernoulli ................................................................................................................................. ........ 1*?ant ........................................................................................................................................ .................. 1&3ourier .................................................................................................................................. .................... 1(/iric!let ........................................................................................................................................... ......... 1#ncora /iric!let .................................................................................................................. ..................... 1-<bius ............................................................................................................................................... ....... 18Peano ..................................................................................................................................... ................... 142Aea"iside .................................................................................................................................. ................ 14&:o;ce ................................................................................................................................................. ....... 14(:ussell .................................................................................................................................. .................... 14#

&



:ic!ard .............................................................................................................................. ....................... 14?oc! .................................................................................................................................... ..................... 1449err; ................................................................................................................................................ ......... 180S>olem .............................................................................................................................................. ........ 1819anac! e Tars>i ...................................................................................................................................... ... 182i"ano i aradossiF .............................................................................................................. ..................... 18*

(



Enunciare aradossi, nel senso di andare contro l)oinione comune, su simili6uestioni e6ui"arrebbe a dic!iarare guerra ai mulini a "ento. E scatenerebbe lareazione della otente armata di olitici, reti, ubblicitari e giornalisti al soldo dei"ari diartimenti del -inistero della Proaganda.

Il nostro temo e il nostro sazio saranno, dun6ue, meglio in"estiti se ci

interesseremo di aradossi iK istituzionali. I 6uali, lungi dal distruggere l)uni"erso,come ensa"a il rotagonista di $itorno al futuro II &, si limitano ad imbarazzare il ensiero con la loro caratteristica essenziale di essere argomenti sorprendenti, perch# poco probabili ma molto credibili, o molto probabili ma poco credibili.

Poic!J un argomento come /io $o logica% comanda si comone di remesse,ragionamento e conclusione, 6uesta definizione ermette un)immediataclassificazione in tre tii

1%n aradosso 5 logico, o negati%o, se riduce all)assurdo le remesse su cui si basa. L)attributo negati"oH non 5 da intendersi in senso denigratorio.

Significa soltanto c!e l)argomento mostra l)inaccettabilit7 di assunzioniaarentemente innocue, e sesso imlicite. E stimola una rifondazione dellearee del saere c!e su di esse, consciamente o inconsciamente, si fondano.

2%n aradosso 5 retorico, o nullo, se si limita ad esibire la sottigliezza di unragionamento, o ad esaltare l)abilit7 di c!i lo roduce. sato didatticamente oletterariamente, l)artificio u anc!e essere efficace. -a come metodofilosofico risc!ia di ridurre la cultura al sofismo, e er 6uesto fu se"eramentecriticato da Platone nel Gorgia.

*%n aradosso 5 ontologico, o positi%o, se attra"erso un ragionamento inusualerafforza le conclusioni a cui arri"a. 6uesto si riferi"a Sc!oen!auer, 6uandodice"a c!e la "erit7 nasce come aradosso e muore come o""iet7H. O =uine(,6uando nota"a c!e 6uello c!e er uno 5 contradditorio, er un altro di"enta aradossale, e er un altro ancora banaleH. =uanto ai modi, sono anc!)essimoltelici. Oltre al ragionamento formale, nudo e crudo, alcuni aludamenti efigure letterarie si restano articolarmente bene all)esosizione di argomenti aradossali. d esemio, l)enfasi di un)ierbole, 6uale Tutto 5 aradossoH.

O la concisione dell)ellissi, la cui forma aradossale iK ura 5 0 1H. O la

trasosizione della arabola, c!e resenta un aradosso come metafora di un roblema. O l)in"ersione del c!iasma, c!e ri"olta affermazioni come il reale 5 aradossaleH in il aradossale 5 realeH. O la contraosizione dell)ossimoro, ilmiglior esemio del 6uale 5 ossimoroH. O l)antifrasi, tiica dei discorsi c!e diconouna cosa intendendo il contrario. O l)ironia, semre imlicita e sesso eslicita, inargomenti sorrendenti. E cosQ "ia.

na "olta classificati i tii e i modi dei aradossi, ci si u domandare c!e farne.Tutto diende dall)atteggiamento con cui essi sono considerati, c!e u andare daltragico all)umoristico, dal rifiuto all)accettazione. 3ra gli estremi aena accennati 5 ossibile inserire una intera tassonomia.

& &ack to the Future part II $1848% di :obert @emec>is $18(2B %. $ !.d.$.%(Rillard an Orman =uine $1804B2000%, fra i iK influenti filosofi e logici del secolo. $ !.d.$.%



ristotele e :ussell li !anno temuti come la natura aborrisce il "uoto, cercando di roorne soluzioni iK o meno soddisfacenti e utili. Pirrone e Aegel !annoabbracciato le contraddizioni come i >ami>aze anda"ano incontro alla morte, basandosu di esse il loro rifiuto della conoscenza e della realt7. ?ant !a brandito le antinomiecome il cacciatore un fucile a 6uattro canne, sarando allettoni sui merli c!e

credono di credere ed in"ece si illudono soltanto di ensare. ?ier>egaard !a usato i aradossi come le sinte c!e si rice"ono sul tramolino, er fa"orire un salto nel"uoto oltre il bordo della ragione. +arroll, ?af>a e 9orges !anno costruito le lorooere letterarie su girandole di situazioni aradossali, al limite e oltre. 9ateson eRatzla"ic> sono arri"ati a considerare aradossale ogni forma di comunicazioneumana, fondando su 6uesta "isione una singolare teraia sic!iatrica.

Insomma, la storia dei aradossi 5 letteralmente uno sterminato settacolo di"ariet7, con scene c!e "anno dalla tragedia all)oeretta. +ome a"e"amo gi7annunciato, noi otremo mostrare solo dei trailer , c!e seriamo almeno stimolanti.

Poic!J anc!e l)occ!io "uole la sua arte, inizieremo il nostro trattamento dalleillusioni dei sensi, c!e costituiscono un analogo ercetti"o dei aradossi dellaragione. E scoriremo c!e ci lasciamo continuamente e sistematicamente ingannare, robabilmente con buone ragioni e"oluti"e, dalla natura e dagli artisti. 9enc!J le ercezioni siano rotagoniste di un intero caitolo della 'toria uni%ersale dellamen(ogna#, noi dedic!eremo loro soltanto uno sguardo fugace, erc!J i nostriinteressi stanno altro"e nei labirinti dello sirito, iK c!e della carne.

/alle immacolate ercezioni dei sensi asseremo dun6ue alle immacolateconcezioni del ensiero religioso e filosofico. Senza dimenticarne, naturalmente, lemanifestazioni orientali. ll)occidentale ro"inciale c!e storcesse il naso di fronteall)Oriente, e domandasse erc!J mai do"remmo $re%occuarcene, non ossiamoc!e rietere 6uanto risose George -allor; al giornalista c!e gli domanda"a erc!Jmai "olesse scalare l)E"erest Perc!J c)5H. O""iamente, cerc!eremo di non fare lasua stessa fine, rimanendo stecc!iti e congelati sulle "ette del ensiero.

'ell)attesa delle fiamme dell)inferno, c!e seriamo 6uesto libro contribuir7 a farcimeritare, usufruiremo dei surriscaldamenti degli integralisti, ro"ocati dai nostridilettiH di lesa di"init7. E gireremo loro le arole c!e :ousseau sembra a"er scrittoaosta er noi nell) )mile Lettori "olgari, erdonate i miei aradossi. 9isognafarne, 6uando si riflette. E io referisco essere un uomo di aradossi, c!e un uomo di

regiudiziH. La discussione sui sensi, la religione e la filosofia costituisce un)ideale rima arte del libro. 6uesto unto, come disse /e Gaulle ai sessantottini francesi,la ricreazione 5 finitaH. Il ritorno in classe sar7 inaugurato da un)analisi diacronicadei due aradossi iK famosi della storia, c!e seguiremo in innumere"oli "icissitudiniumanistic!e e scientific!e.

Il rimo studio riguarda la iK insidiosa delle nozioni logic!e la %erit, la 6uale siillude di essere assoluta, ur essendo soltanto $un anagramma di% relati%a. /i "erit7,comun6ue, sicuramente ce ne sono erc!J se non ce ne fosse nessuna, 6uesta sarebbegi7 una. arr7 dun6ue la ena di rendere testimonianza alla erit7, affrontando a "iso

aerto la -enzogna.# *istoria uni%ersal de la infamia $18*(% di orge Luis 9orges $1488B184#%. $ !.d.$.% !ew +ork Times, 14 marzo 182*. $ !.d.A.%

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Il secondo studio 5 dedicato alla nozione matematica iK sofisticata l)infinito, nelmare del 6uale non si u c!e naufragare, dolcemente o amaramente. Loaffronteremo nella "ersione del regresso all)infinito, c!e !a ermeato la secolarestoria del ensiero filosofico, scientifico ed artistico.

Studi analog!i si otrebbero fare er ciascun aradosso, ma altri ercorreranno

6uesta "ia noi ci accontentiamo di a"erla indicata. 'ei caitoli successi"i, c!ecostituiscono un)ideale terza arte del libro, ne indic!iamo un)altra la soluzione dei aradossi er dimostrazione. O""ero, la loro metamorfosi da aradossi a teoremi.

Incominceremo, 6uesta "olta, dalla democrazia, e analizzeremo a fondo le roblematic!e legate a uno dei dilemmi dell) Amleto come assassinare legalmente unre O meglio, in maniera simmetrica e iK moderna come eleggeredemocraticamente un dittatore Sembrerebbe una contraddizione in termini, e in"ece5 successo iK di una "olta nel assato, da +esare ad Aitler. E magari, senza c!e6ualcuno se ne sia neure accorto, anc!e nelle ultime elezioni olitic!e.

Il libro si conclude in bellezza, almeno er noi, con una storia della matematicaattra"erso i suoi aradossi. 'ell)ultimo caitolo abbasseremo la guardia delladi"ulgazione, e alcuni dei 6uadri di cui si comone l)esibizione otranno forserisultare leggermente iK tecnici. -a essi sono tutti indiendenti fra loro ciascuno otr7 soffermarsi ad osser"are 6uelli c!e gli sono congeniali, e sor"olare sugli altri.

=uesto, dun6ue, 5 il nostro libro sui aradossi. E 6uesta 5 l)introduzione, c!e non ossiamo terminare senza citare il aradosso dell)introduzione ad un libro4./o"erosamente, eccolo 6ua =uesto libro contiene almeno un erroreH. Il aradossosta nel fatto c!e ci si otrebbe asettare c!e, er saere se ci sono errori nel libro, sianecessario leggerlo. Ed in"ece lo saiamo gi7 fin dall)introduzione, c!e fa ur artedel libro.

Infatti, se ci sono errori, ci sono. E se non ce ne sono, c)5 6uello c!e dice =uestolibro contiene almeno un erroreH. /un6ue saiamo gi7 c!e in 6uesto libro un errorec)5, anc!e se non saiamo ancora 6ual 5. scanso di e6ui"oci, l)errore non sta nelleggerlo. O, almeno, lo seriamo.

Possiamo in"ece dimostrare c!e nel libro non ci sono contraddizioni. nzi, c!e nonce ne sono rorio da nessuna arte. Suoniamo, infatti, c!e ce ne siano rendendone una, otterremmo aunto una contraddizione. /un6ue l)iotesi 5assurda, come "ole"asi dimostrare.

'aturalmente siamo di nuo"o di fronte ad un bel aradosso, erc!J basta guardarsiattorno er tro"are contraddizioni do"un6ue. -a 6uesto l)abbiamo gi7 detto. Pere"itare di cadere in un circolo "izioso, sar7 bene abbandonare immediatamente i reamboli e assare ai fatti. 'on senza a"er seso un)ultima arola er augurare allettore 9uona letturaFH

Sono grato a +laudio 9artocci, Paolo 9ozzi, Luigi +i"alleri, -aurizio 3erraris,ndrea 3ro"a, ittorio Girotto, Gabriele Lolli, -ic!ele Luzzatto, +orrado Odifreddie -assimo Piattelli Palmarini er i loro aradossali suggerimenti e le loro non aradossali correzioni.

4/. -ar>inson, The paradox of the preface, nal;sis, 2( $18#(% 20(B. $ !.d.A.%

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+)era una "olta il aradosso

A Laura, aradosso che il tempo non ha risolto.

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+aitolo rimo

Immacolate perce(ioni

Sembra c!e la conoscenza iK sicura e indubitabile ci "enga fornita dai sensi. rorio erc!J immaginiamo c!e le ercezioni sensoriali siano irrefutabili, c!e neimomenti di scetticismo o incredulit7 ric!iediamo di "edere con i nostri occ!iH,toccare con le nostre maniH o sentire con le nostre orecc!ieH. -a la ragione ci dicec!e, sesso, i sensi ci ingannano in maniera inasettata a "olte siamo "ittime di "eri e

rori aradossi ercetti"i, ai 6uali stiamo ora er ri"olgerci.=uesti aradossi mostrano come a uno stesso stimolo ossano corrisondere

ercezioni di"erse, o a stimoli di"ersi ossano corrisondere ercezioni uguali. Essici dimostrano c!e, da un lato, le nostre ercezioni non sono date e immediate, bensQdedotte e mediate, e, dall)altro lato, c!e esse ci ossono comun6ue fornire soltantoun)immagine contingente del mondo, diendente dalla articolare struttura biologicafornitaci dai nostri a priori.

-cchio per occhio, orecchio per orecchio

Partiamo dalla "ista, c!e 5 il senso iK soggetto agli abbagli. Saiamo tutti dia"ere due occ!i, c!e funzionano entrambi come lenti eure, il mondo non ci aarenJ sdoiato, nJ seculare e cao"olto. La soluzione di 6uesto enigma ric!ieseaddirittura l)inter"ento di due geni, c!e a distanza di un secolo esatto ubblicaronodue oere fondamentali, entrambe intitolate -ttica.

'el 1#0& ?elero caQ c!e a "edere non 5 l)occ!io, ma il cer"ello8. 9enc!Jl)immagine retinica resenti effetti"amente in"ersioni destraBsinistra ed altoBbasso, lacosa non !a imortanza erc!J essa non costituisce la ercezione, ma soltantolinforma(ione sulla base della 6uale "iene elaborata dal cer"ello. Ed 5 rorio erc!Jla ercezione non 5 un dato conscio, ma una dedu(ione inconscia, c!e si "erificanomolti dei aradossi ai 6uali accenneremo in 6uesto e nel rossimo caitolo.

'el 10& 'eDton intuQ c!e la "isione 5 stereoscoica rorio erc!J 5 binoculare.Le due immagini fornite dalle retine sono infatti leggermente differenti, come si ufacilmente "erificare tenendo un dito o una matita a oca distanza dagli occ!i ec!iudendoli alternati"amente. Le due immagini bidimensionali sono combinate inun)unica immagine tridimensionale mediante una "alutazione inconscia delle loro

8Gi7 Plinio a"e"a dic!iarato, nella !aturalis *istoria $I, 1&#% La mente 5 il "ero strumento della "ista edell)osser"azione, gli occ!i agiscono come una sorta di "aso c!e rice"e e trasmette la arte "isibile della coscienzaH.-a all)eoca 6ueste erano soltanto oinioni filosofic!e, non fatti scientifici. $ !.d.A.%

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differenze, c!e ermettono di calcolare la distanza di un oggetto sulla base degliangoli da esso formati risetto ai due occ!i.

L)effetto 5 talmente istinti"o c!e se si in"ertono le immagini rice"ute dai dueocc!i, facendo arri"are all)occ!io destro l)immagine c!e do"rebbe arri"are al sinistroe "ice"ersa, in certe condizioni si ottiene un effetto di in"ersione saziale le cose

"icine aaiono lontane e le lontane "icine.+osQ come la "ista 5 stereoscoica erc!J abbiamo due occ!i frontali10, l)udito 5stereofonico erc!J abbiamo due orecc!ie laterali. Gli occ!i de"ono infatti esseresufficientemente "icini, er fornire una "isione simultanea, ma anc!esufficientemente lontani, er fornire due immagini significati"amente distinte. Leorecc!ie, in"ece, de"ono solo essere sufficientemente lontane, er registrare l)arri"odi uno stesso suono in istanti di"ersi.

-entre le due immagini oculari di uno stesso oggetto arri"ano agli occ!i raticamente nello stesso istante, a causa dell)alta "elocit7 della luce $*00.000

c!ilometri al secondo%, le due ercezioni auricolari di uno stesso rumore arri"ano alleorecc!ie in istanti leggermente di"ersi, a causa della bassa "elocit7 del suono $*(0metri al secondo%. L)effetto stereofonico 5 aunto la registrazione ercetti"a di6uesta differenza temorale.

3igura 1Per mantenere la stessa acuit7 "isi"a allontanandosi dalla fo"ea, 5 necessario

aumentare l)intensit7 dello stimolo in maniera roorzionale alla grandezza delle lettere.

Tornando alla "isione, un altro aradosso fisiologico sta nel fatto c!e noi "ediamoil mondo a fuoco, mentre in realt7 soltanto una iccola arte dell)immagine oculare lo

5. 'ella retina c)5 infatti una iccola zona centrale di meno di mezzo millimetro di10Pesci, uccelli e altri animali non !anno una "isione stereoscoica, erc!J la osizione laterale dei loro occ!i non

ermette una combinazione delle due immagini. Essa fornisce, in"ece, una "isione a iK largo raggio. $ !.d.A.%

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diametro, c!iamata fo%ea, con una grande densit7 di recettori. L)acuit7 "isi"a e la ercezione cromatica sono massime in 6uesta zona e diminuiscono rogressi"amente"erso l)esterno $figura 1%.

La soluzione del aradosso sta nel fatto c!e gli occ!i si muo"ono in continuazione,con una serie di oscillazioni lente, salti "eloci e tremiti "elocissimi, rorio er

ermettere alla fo"ea di focalizzare le "arie arti di un)immagine11

. =uesto risol"e un roblema, ma ne introduce un altro il fatto, cio5, c!e noi "ediamo un)immaginestatica del mondo, nonostante tutti i mo"imenti dell)occ!io.

l contrario, mo"imenti brusc!i ed amli del cao mostrano effetti"amente unmondo c!e gira. Lo stesso fanno i mo"imenti non sontanei dell)occ!io, ad esemio6uando singiamo un globo oculare con un dito. Se la "isione normale non ro"oca6uesto effetto, 5 erc!J durante i mo"imenti inconsci degli occ!i la ercezione "ieneinibita. In altre arole, ci c!e si c!iama "isione 5, in realt7, un rocessocontinuamente inter"allato da istanti di cecit7.

6uesto roosito, 5 sorrendente "enire a saere c!e in ciascun occ!io c)5 un punto cieco. +ome gi7 re"isto nel Seicento da Edme -ariotte, esso sta incorrisondenza del luogo, ri"o di recettori, in cui il ner"o ottico si diarte dal globooculare. Ed 5 aradossale c!e non ce ne accorgiamo se non attra"erso eserimentisecifici. nc!e se, una "olta allertati e con un o) di ratica, si u sfruttare il untocieco er far scomarire la testa di una ersona osta a 6ualc!e metro, guardandolacon un solo occ!io. Pare c!e il re scienziato +arlo II si di"ertisse a decaitareH in6uesto modo le dame di corte, oltre c!e i criminali c!e sta"ano er essere decaitati er da""ero.

In maniera meno macabra, si u osser"are il unto cieco dell)occ!io destroc!iudendo l)occ!io sinistro, fissando la croce nella figura 2, e sostando il foglio o latesta a"anti e indietro fino a c!e il cerc!io nero scomare. L)asetto iK aradossale 5c!e non si "eda nessun buco nell)immagine il cer"ello riemie il buco e comletaautomaticamente l)immagine, interolandola in base a ci c!e "ede nelle zoneadiacenti. =uesto 5 un tiico esemio di perce(ione amodale, c!e il cer"ello siin"enta sulla base di stimoli inesistenti.

11Paradossalmente, gli occ!i si muo"ono anc!e 6uando non ossono "edere, erc!J sono c!iusi. d esemio, la fase di

sonno :E- 5 caratterizzata da raidi mo"imenti oculari dai 6uali rende il nome $:aid E;e -o"ement%. Per le suecaratteristic!e, c!e rendono 6uesta fase di sonno rofondo simile a una "eglia in"olontaria, il sonno :E- si c!iamaaunto sonno aradossale. Il termine, oggi comune, 5 stato introdotto da -ic!el ou"et in aradoxical dream/ a stud0of its nature and its mechanisms, Progress in 9rain :esearc!, 14 $18#(% 20B#2. $ !.d.A.%

1*



3igura 2Per indi"iduare il unto cieco, corire l)occ!io sinistro, osser"are la croce con il destro,

e a""icinare o allontanare la agina fino a c!e il cerc!io nero scomare.

n altro bell)esemio di ercezione amodale 5 l)illusione delle lettere ro"ocatadalle loro ombre in figura *. La iK nota allucinazione amodale 5 er il triangolo di

1ani(sa12 $figura &% c!e aare 6uasi miracolosamente dalle incisioni nei cerc!i,

interretate dal cer"ello come i "ertici di un triangolo. Il triangolo non c)5 ma ilcer"ello se lo in"enta, come fa con tutta una serie di analog!e superfici anomale.

3igura *9enc!J ci siano solo ombre, noi erceiamo in realt7 le lettere di una scritta.

12G. ?anizsa, 2ountour without gradients or cogniti%e countours, Italian ournal of Ps;c!olog;, 1 $18&% 8*B11*.$ !.d.A.%

1&



3igura &Triangolo di ?anisza.

Le ercezioni amodali non sono soltanto "isi"e si ossono "erificare anc!e neltatto e nell)udito. 9en nota, fortunatamente in genere soltanto er sentito dire, 5 lasensazione dell)arto mancante c!e si continua a erceire er un certo temo dooun)amutazione. Essa fu notata nel +in6uecento da mbroise Pare, e serimentatadall)ammiraglio 'elson doo la erdita del braccio destro in battaglia.

ltrettanto conosciuta 5 la cosiddetta fondamentale mancante una nota nonsuonata, c!e "iene ricostruita automaticamente e indirettamente attra"erso le suearmonic!e. Su 6uesto rinciio si basano i sistemi acustici $non% usati dallediscotec!e er e"itare di rodurre i fastidiosi bassi c!e, a causa della loro grandelung!ezza d)onda, suerano facilmente gli ostacoli e rimangono udibili a distanza.:egistrando soltanto le armonic!e delle note basse, 6ueste "engono erceite soltantodai fre6uentatori della discoteca contenti loro, e contenti tutti1*.

Il contrario della ercezione amodale, in cui si "ede o si sente 6ualcosa c!e nonc)5, 5 la mancata ercezione di 6ualcosa c!e c)5. L)esemio iK tiico 5 un suono

uniforme e continuo, come 6uello rodotto nella 'infonia monotona di U"es ?leindoo un certo eriodo smettiamo di erceirlo coscientemente, anc!e se ciaccorgiamo di esso 6uando oi finisce realmente. La cosa accade anc!e er la "ista,c!e rimuo"e le immagini stabilizzate sulla retina, benc!J la mobilit7 dell)occ!ioric!ieda un eserimento secifico er accorgersene.

PiK in generale, sembra c!e oc!issimi recettori siano sensibili a stimoli continui ecostanti, e c!e la maggior arte sia in grado soltanto di segnalare discontinuit7 ecambiamenti. n esemio estremo 5 l)occ!io della rana, c!e non erceisce la

1*Il terzo suono, scoerto da Giusee Tartini nel 11&, non 5 una ercezione amodale. Si tratta di un suono reale do"utoall)interferenza di due suoni distanti una 6uinta $ad esemio, do e sol%, e !a una fre6uenza ari alla differenza dei duesuoni interferenti. Lo si u sfruttare, er, in maniera analoga a 6uella della fondamentale mancante, ad esemio erottenere all)organo bassi acustici c!e ric!iederebbero altrimenti canne di enorme lung!ezza. $ !.d.A.%

1(



resenza di insetti morti nelle "icinanze neure se sta morendo di fame, ed 5 in"ecesensibilissimo al loro mo"imento.

'e ne %edono di tutti colori

La luce si comone, come tutte le onde elettromagnetic!e, di 6uanti di energiac!iamati fotoni. Per oter erceire la luce, gli occ!i de"ono dun6ue essere sensibili a6uesti 6uanti. -a non c)5 certamente da attendersi c!e lo siano a 6uanti isolati, cosQcome non ci si asetta c!e la lingua sia sensibile a singole molecole di zucc!ero $c!esono, comun6ue, immensamente iK grandi e comlesse dei 6uanti%. E in"ece gliocc!i sono 6uasi in grado di erceire singoli fotoni. =uasi, erc!J in realt7 ce ne"uole una mezza dozzina er stimolare i recettori della retina. In ogni caso, una talesensibilit7 5 "eramente eccessi"a, "isto c!e corrisonde alla caacit7 di erceire unacandela accesa a trenta c!ilometri di distanza, o una lamadina da (0 Datt a millec!ilometriF In ratica, naturalmente, nessuno !a una "ista cosQ buona, erc!J il restodel sistema oculare 5 molto iK rudimentale e disersi"o.

Le onde elettromagnetic!e differiscono fra loro in base alla lung!ezza, e si ossonoclassificare in maniera decrescente secondo uno settro c!e "a dalle onde radio airaggi gamma, assando er le onde radar, le microonde, l)infrarosso, la luce "isibile,l)ultra"ioletto e i raggi . 'oi erceiamo l)esistenza di 6ueste onde indirettamente,attra"erso strumenti di "ario tio aarecc!i radio, antenne radar, forni a microonde, binocoli all)infrarosso, lamade ultra"iolette, radiografie e contatori Geiger. Inoltre,

la comonente infrarossa della luce solare si erceisce come calore e 6uellaultra"ioletta 5 resonsabile di eritemi e congiunti"iti.

I cami elettromagnetici si ossono toccare, indossando guanti di materialesuerconduttore e diamagnetico. E si ossono "edere mediante lenti olarizzate,secialmente all)alba e al tramonto, nella forma di una croce maltese con un braccio blu e uno giallo, corrisondenti risetti"amente ai cami elettrico e magnetico1&.

lcuni animali sono direttamente sensibili all)elettromagnetismo "ari uccelli e esci si orientano in base al camo magnetico terrestre, iistrelli e delfini osseggono sistemi radar, anguille e razze roducono elettricit7, i serenti a sonagli

!anno sensori all)infrarosso, le lucciole emettono luce fredda, e cosQ "ia. 'oi, in"ece, ossiamo erceire coi sensi soltanto 6uella iccola frazione dellosettro elettromagnetico, comresa fra i *40 e i #0 nanometri $miliardesimi dimetro%, c!e 5 la luce "isibile $e, non casualmente, 6uella c!e l)atmosfera terrestre nonfiltra%. E i colori, c!e non esistono in natura, sono soltanto il nostro modo didistinguere le "arie lung!ezze d)onda mediante la "ista. In altre arole, non 5 ilmondo a essere colorato, ma siamo noi a colorarne una arte.

'on solo noi, comun6ue molti altri animali, dai rettili agli insetti, ossiedono una"isione cromatica. =ualcuno, come esci e uccelli, ce l)!a anc!e migliore della

1&Il fenomeno 5 stato scoerto nel 14&# dall)austriaco Ril!elm ?arl "on Aaidinger. na "olta allertati, lo si u erceire anc!e a occ!io nudo. 'aturalmente, la caacit7 di erceire cami elettromagnetici, ad esemio attorno a ersone, "iene sesso fraintesa come un fenomeno aranormale. $ !.d.A.%

1#



nostra. Le ai, oi, arri"ano a "edere l)ultra"ioletto. Tra i mammiferi, in"ece, soltantoalcune scimmie, gli scoiattoli e i gatti "edono i colori. E i gatti li "edono soltanto inmaniera allida e sbiadita, oltre a essere ciec!i al rosso e ad a"ere una acuit7 "isi"adieci "olte meno s"iluata della nostra1(. Tiicamente ciec!i ai colori sono i bo"iniin articolare, i tori non "edono affatto il rosso della muleta.

L)occ!io erceisce i colori attra"erso i coni e i bastoncelli della retina, c!eser"ono risetti"amente er la "isione diurna e notturna. I bastoncelli sono di un tiosolo il c!e siega erc!J di notte "ediamo il mondo in bianco e nero. /i coni, in"ece,ce ne sono di tre tii sensibili, risetti"amente, alle lung!ezze d)onda di ci c!ec!iamiamo rosso, "erde e blu1#. -a allora, erc!J di giorno non "ediamo il mondo atre soli colori

La risosta alla domanda fu data nel 1401 da T!omas Uoung mescolando i trecolori fondamentali erceiti dai coni, si ossono ottenere tutti gli altri colori dellosettro. La cosa non 5 affatto o""ia ad esemio, l)orecc!io so"raone suoni di"ersi

senza mescolarli, e dun6ue noi udiamo accordi e non suoni comosti. E i comositorisfruttano 6uesta caacit7 dell)orecc!io er costruire music!e olifonic!e orizzontali basandosi su una struttura armonica "erticale.

9enc!J tre colori indiendenti siano necessari e sufficienti er generare tutto losettro, la scelta di 6uali rendere come fondamentali 5 abbastanza amia, e la naturane !a fatta una. 'on a caso, "isto c!e i tre colori stanno raticamente agli estremi e alcentro dello settro "isibile.

lcuni colori comosti costituiscono ercezioni amodali, costruite dal cer"ello erinterolazione. Particolarmente e"idente 5 il caso del porpora, c!e non corrisonde anessuna lung!ezza d)onda della luce "isibile. Lo settro fisico dei colori "a infatti dai*40 nanometri del "ioletto ai #0 del rosso, assando attra"erso blu, "erde, giallo earancio. Il orora non c)5, ma noi lo erceiamo ugualmente 6uando combiniamorosso e "ioletto. In 6uesto modo il cer"ello c!iude gli estremi dello settro lineare deicolori fisici, costruendo una ruota dei colori ercetti"a.

n)ulteriore forma di amodalit7 della ercezione cromatica 5 stata scoerta daRilliam Turner nel 1420. Si tratta del fatto c!e, er la ercezione di colori comosti,non 5 necessaria la so"raosizione di colori fondamentali basta la lorogiustaosizione. +i c!e succede fisiologicamente 5 c!e il cer"ello combina le ercezioni contrastanti rodotte dai colori giustaosti, rice"ute da uno stesso

ricettore a causa dei continui mo"imenti dell)occ!io.=uesta tecnica 5 stata s"iluata artisticamente dai mosaicisti bizantini, dagli

imressionisti e dai untinisti, e oggi "iene alicata negli sc!ermi delle tele"isioni edei comuter. 9enc!J i fosfori e i pixel ossano infatti rendere soltanto i tre soliticolori rossoB"erdeBblu $codificati nella sigla :G9, c!e sta er $ed3Green3&lue%, sullosc!ermo si "edono ugualmente tutti i colori dello settro. E anc!e iK, "isto c!e la

1(In realt7, solo l)a6uila "ede iK lontano dell)uomo. In 6uesto camo noi battiamo tutti gli altri animali, almeno digiorno. nc!e la lince la 6uale, nonostante il detto, "ede oco iK del gatto. $ !.d.A.%1#La mancanza di un tio di coni, o addirittura di due, ro"oca il daltonismo un difetto ereditario della "ista, scoertodal c!imico inglese o!n /alton nel 18&, c!e imedisce di erceire uno $o, iK raramente, due% dei tre colorifondamentali. La malattia colisce 6uasi soltanto gli uomini $circa il dieci er cento%, e riguarda 6uasi esclusi"amente iconi sensibili al "erde o al rosso. $ !.d.A.%

1



giustaosizione di "erde e rosso roduce l)inesistente grigio luminoso ottenuto erla rima "olta da Georges Seurat.

Il fatto c!e orora e grigio luminoso siano fisicamente inesistenti non ci turba articolarmente. -olto iK aradossale 5 c!e neure bianco e nero esistano. Ilbianco 5, in realt7, una comosizione di tutti i colori dello settro. 3u 'eDton ad

accorgersene, nel 1#2, facendo assare la luce bianca attra"erso un risma ilrisultato 5 una searazione dei "ari colori, c!e ossono essere ricomosti facendoliriassare attra"erso un altro risma in"ertito. Oggi basta guardare la luce biancaattra"erso un osacenere di cristallo, o di tra"erso su un compact disc, er "edereimmediatamente i "ari colori c!e la comongono.

I colori dello settro sono raticamente infiniti $non lo sono letteralmente, solo erc!J la lung!ezza d)onda 5 6uantizzata%. 'eDton ne isol sette bande, er moti"isimbolici, ma 5 iK sensato arlare di sei. /)altronde, se si raresentano i tre colorifondamentali mediante cerc!i, le zone c!e "engono indi"iduate sono aunto sette

$figura (%, c!e corrisondono ai sei colori e al bianco. Il 6uale, come ormai saiamo,non 5 aunto un colore.

3igura (I tre cerc!i dei colori fondamentali e le loro intersezioni.

Il bianco 5, comun6ue, relati"o. Il cer"ello classifica come bianca 6ualun6ueilluminazione, indiendentemente dal suo colore ad esemio, i fari di un)automobilee la fiamma di una candela sono gialli e oco luminosi alla luce, ma "engono erceiti come bianc!i e luminosi al buio. L)imortanza dello sfondo er i colori 5messa in e"idenza dalla figura #, in cui uno stesso grigio "iene erceito con tonalit7differenti a seconda c!e sia "isto su uno sfondo nero o bianco $la cosa si nota megliomettendo una matita lungo la "erticale c!e seara le due arti%.

14



3igura #Lo stesso grigio "iene erceito con tonalit7 differentia seconda c!e sia "isto su uno sfondo nero o bianco.

n altro modo er accorgersi della relati"it7 del bianco, sta nel guardarlo dooa"er fissato a lungo del rosso in"ece del bianco, si "ede allora del "erde $iK ingenerale, in"ece di un colore si "ede il suo comlementare%. nalogamente,guardando una linea retta doo a"erne fissata a lungo una cur"a, si "ede una linea

cur"ata nella direzione oosta.=ueste illusioni "isi"e !anno un analogo tattile, c!e si ottiene immergendo le duemani in ac6ua tieida, doo c!e se ne era immersa una nell)ac6ua calda e l)altranell)ac6ua fredda si !a allora la sensazione c!e la rima sia immersa nell)ac6uacalda e l)altra in ac6ua fredda. In entrambi i casi, "isi"o e tattile, una ercezione recedente determina uno sfondoH c!e interagisce con una ercezione successi"a,falsandola.

Il nero, in"ece, non 5 uno dei colori, ma la loro assenza. In altre arole, un oggettoaare nero non 6uando rice"e luce nera, c!e non esiste, ma 6uando non rice"e luce

colorata

1

. L)esemio iK aradossale 5 la retina, c!e sembra nera erc!J 6uandoguardiamo attra"erso una uilla interromiamo il flusso di luce c!e "i entra. sandoun oftalmoscoio, cio5 un banale secc!io a &( gradi c!e ermette di guardarefrontalmente un occ!io illuminandolo da un lato, la retina aare di colore rosa conramificazioni rosso sangue $c!e sono i "asi sanguigni, dal cui intrico la retina rendeaunto il nome%. =uando "iene illuminato da una luce diretta come 6uella del flas!,6uesto colore imressiona la ellicola e roduce fotografie con il noto effetto degliocc!i rossi.

1Gli oggetti ac6uistano il loro colore non sommando colori fondamentali, ma sottraendoli alla luce bianca medianteassorbimento $in altre arole, i materiali funzionano da filtri%. Se uno solo dei tre colori fondamentali 5 sottratto,l)oggetto ac6uista il colore comlementare comosto dai due rimanenti. Se due sono sottratti, rimane il terzo. Se tutti etre sono sottratti, l)oggetto aare nero. $ !.d.A.%

18



roosito della retina, 5 aradossale c!e coni e bastoncelli si tro"ino non da"antia essa, ma dietroF In 6uesto modo la luce de"e attra"ersare l)intero sistema, rima diraggiungere i fotorecettori. nessuno "errebbe in mente di costruire una macc!inafotografica in cui il lato sensibile della ellicola si do"esse ri"olgere non "ersol)obietti"o, ma "erso il fotografo. La natura l)!a fatto nei "ertebrati, benc!J non in

tutti gli animali, er moti"i di s"iluo embriologico la retina dei "ertebrati 5, infatti,un)estensione della corteccia cerebrale.Possiamo finire il discorso sui colori con un ultimo aradosso scoerto da EdDin

Land14, l)in"entore della Polaroid. Si tratta della ossibilit7 di ottenere immaginicolorate usando soltanto ellicole in bianco e neroF 9asta rendere due "olte la stessafoto, una "olta con un filtro rosso e l)altra con un filtro "erde. Se le due diaositi"esono roiettate so"raoste e senza filtri, si ottiene o""iamente un)immagine in bianco e nero. Se si roietta in"ece con un filtro rosso 6uella resa col filtro rosso, sido"rebbe ottenere un)immagine in bianco, rosso e nero, e in"ece si ottengono tutti i

coloriF E"identemente il cer"ello riesce a ricostruirli, deducendoli soltanto dalledifferenze di contrasto e luminosit7 fornite dalla "ista.

)ppur 4non5 si muo%e

'on oter "edere i colori renderebbe certamente iK grigia la nostra "ita, ma nona"rebbe effetti traumatici sulla nostra sora""i"enza. 'on oter erceire ilmo"imento sarebbe, in"ece, non solo tragico ma letale. La natura ci !a 6uindi dotati

di due sistemi "isi"i, comlementari e integrati, er registrare il moto degli oggettiattorno a noi il mo"imento delle immagini sulla retina e il mo"imento degli occ!i.Oltre, naturalmente, al sistema uditi"o della ercezione del suono.

+i nonostante, sesso sia il mo"imento c!e la 6uiete roducono illusioni aradossali, c!e sembrano scambiarli a "icenda. d esemio, a certe "elocit7 dirotazione i raggi di una ruota danno l)imressione di essere fermi. ice"ersa, a certe"elocit7 di roiezione i fotogrammi di una ellicola danno l)imressione di unmo"imento.

Il rimo effetto 5 facilmente comrensibile nel caso del cinema e della tele"isione

basta c!e in un secondo la ruota comia esattamente tanti giri 6uanti sono ifotogrammi c!e "engono scattati erc!J aaia ferma. Se in"ece ne comie ocomeno, allora sar7 leggermente in ritardo e dar7 addirittura l)imressione di andareindietro. Gli stessi fenomeni si ossono "edere anc!e a occ!io nudo, ad esemio6uando la strada 5 illuminata da una luce artificiale in 6uesto caso le accensioni dellalamadina rodotte dalla corrente alternata rendono il osto dei fotogrammi.

+inema e tele"isione si basano o""iamente rorio sul secondo effetto, c!e 5 reso ossibile da due caratteristic!e comlementari della ercezione. La rima 5 la persisten(a delle immagini sulla retina, c!e imedisce di accorgersi del "eloce

cambiamento di immagini. La soglia oltre la 6uale non ci accorgiamo iKdell)alternanza delle immagini 5 di (0 al secondo.

14E. Land, )xperiments in color %ision, Scientific merican, maggio 18(8, . 4&B88. $ !.d.A.%

20



La fre6uenza della corrente alternata 5 stata fissata a (0 Aertz in Euroa $#0 negliStati niti% rorio er ermetterci di erceire una luce continua delle lamadine.La fre6uenza delle immagini tele"isi"e 5 la stessa, ma l)alta luminosit7 degli sc!ermila rende aena sufficiente er la "isione centrale con la coda dell)occ!io si erceisce sesso un caratteristico sfarfallio.

La ersistenza fisiologica delle immagini sulla retina !a un corrisetti"o sicologico nella ersistenza degli oggetti nel mondo 6uand)essi escono dal camo"isi"o, o sono temoraneamente nascosti da ostacoli. Soltanto un bambino molto iccolo, o un grande filosofo come George 9er>ele;, ossono immaginare c!e glioggetti cessino di esistere 6uando non sono direttamente erceiti.

Gi7 a artire dal secondo anno di "ita i bambini si asettano di "eder ricomariregli oggetti temoraneamente occultati alla "ista, e si stuiscono se la cosa nonsuccede. d esemio, se un oggetto sarisce dietro uno sc!ermo da un lato e non escedall)altro, o se esce in"ece un altro oggetto. Su 6uest)ultima ossibilit7 si basano

alcuni effetti comici sfruttati nei cartoni animati e nei film.La seconda caratteristica della ercezione c!e rende ossibile cinema e tele"isione5 il cosiddetto fenomeno phi18, c!e fa erceire due unti in osizioni "icine e inistanti successi"i come un unico unto in mo"imento aarente. =uest)effetto "ienesfruttato nei segnali autostradali e nelle insegne luminose er dare l)imressione di un unto o di una scritta in mo"imento, mediante l)accensione sincronizzata di una seriedi lamade o lamadine. In tele"isione l)effetto si ottiene camionando le scene inmo"imento con una fre6uenza di 2( fotogrammi al secondo in Euroa $*0 negli Statiniti%. Per arri"are alla soglia necessaria er la ersistenza delle immagini, ciascunfotogramma "iene allora trasmesso due "olte di seguito.

roosito di effetti secialiH legati al mo"imento, ristotele ne not unointeressante nei ar%a naturalia se si guarda a lungo un fiume e oi si ri"olgel)occ!io alle sonde, sembra c!e 6ueste si muo"ano in senso contrario a 6uello dellacorrente. Lo stesso effetto fu notato nel 14*& da :obert dams con una cascata, esembra c!e si ossa osser"are anc!e con fiumi umaniH, come i militari in marcia.na cosa analoga succede 6uando si ferma bruscamente il iatto del giradisc!i dooa"erlo guardato a lungo girare, o se ci fermiamo di colo doo a"er girato"elocemente su noi stessi si !a l)imressione c!e la rotazione continui, ma indirezione oosta.

Le sirali in rotazione sembrano in"ece esandersi e contrarsi, e a 6uesta illusionesi aggiunge un "ero e rorio aradosso l)imressione di esansione o contrazione si roduce, infatti, nonostante la ercezione delle dimensioni della sirale si mantengacostante. In tutti 6uesti casi si tratta di un effetto ostumo generato da un mo"imentocontinuo, c!e roduce un illusorio mo"imento contrario.

nc!e la relati"it7 del moto u ro"ocare illusioni di mo"imenti contrari inassenza di unti di riferimento adeguati. d esemio, succede sesso c!e 6uando duetreni sono fermi in stazione, i "iaggiatori di uno abbiano l)imressione c!e sia il rorio a artire in una direzione, mentre in"ece 5 l)altro c!e arte in direzione

contraria.

18Scoerto da -aC Rert!eimer, )xperimentele 'tudie uber das 'ehen %on &ewegung , 1812. $ !.d.A.%

21



Illusioni di mo"imento si ossono creare anc!e con i suoni. In articolare i sistemi6uadrifonici, ma anc!e gi7 6uelli stereofonici, ossono dare l)imressione di unafonte sonora in mo"imento er tutta la stanza. O a mulinello attorno alla testadell)ascoltatore, come in Turenas di o!n +!oDning.

n altro tio di illusione del moto deri"a dal fatto c!e noi tendiamo a considerare

gli oggetti iccoli in mo"imento, e 6uelli grandi in 6uiete. Gi7 nel 1#*2 Galileonota"a, nei 6ialoghi sopra i due massimi sistemi del mondo $II, 241%, c!e sesso cisembra c!e la Luna si muo"a fra i tetti delle case o fra le nu"ole, soltanto erc!J lasua grandezza aarente 5 iK iccola di 6uella dei tetti o delle nu"ole.

Per lo stesso moti"o, la Luna ci aare iK grande e iK "icina 6uando 5all)orizzonte o fra le montagne c!e 6uando 5 alta nel cielo, erc!J nel secondo casonon abbiamo unti di confronto. L)effetto 5 ancora iK e"idente con il Sole, e mostrac!e noi erceiamo la "olta celeste non come un emisfero, ma come unsemiellissoide sc!iacciato allo (enit!, iK di giorno c!e di notte, e allungato

all)orizzonte.+!e la "alutazione delle grandezze dienda fortemente dai riferimenti, 5 mostratoin maniera con"incente dai cerchi di Lipps20 $figura % uno stesso cerc!io ci aare iK iccolo se circondato da cerc!i grandi, e iK grande se circondato da cerc!i iccoli. Passando un dito sui due cerc!i, non si registrano in"ece differenze 6uesto aradosso interessa la "ista, ma non il tatto.

3igura

Illusione di Lis. Il cerc!io circondato da cerc!i iccoli!a la stessa dimensione di 6uello circondato da cerc!i grandi.

Il c!e non significa c!e il tatto sia comletamente immune da influenze della "istaad esemio, gli oggetti iccoli ci sembrano iK esanti di 6uelli grandi. Lo si u"erificare facilmente, mettendo in due saliere o zucc!eriere di dimensione di"ersa lastessa 6uantit7 di sale o zucc!ero. alutandone il eso, non imorta se insieme osearatamente, la iK iccola sembra iK leggera. Se er si stima il eso a occ!ic!iusi, non ci si sbaglia.

20T. Lis, $aumdsthetik und geometrisch3optische Tduschungen, 148. $ !.d.A.%

22



ncora a roosito di "alutazione istinti"a delle grandezze, le immaginicinematografic!e ci aaiono iK grandi di 6uelle tele"isi"e. In realt7, sulla retinanon c)5 molta differenza il "antaggio delle maggiori dimensioni dello sc!ermocinematografico 5 raticamente annullato dallo s"antaggio della maggior distanza dacui lo si guarda. /i fronte a due immagini retinic!e della stessa grandezza, il cer"ello

deduce er correttamente c!e 6uella c!e "iene da iK lontano corrisonde a unoggetto iK grande.Per tornare alla Luna, 6uando la osser"iamo guidando di notte la "ediamo

muo"ersi nella nostra stessa direzione, benc!J essa ci stia semre di fronte. =uesto 5un effetto costruito dal cer"ello, er far 6uadrare due sensazioni contradditorie.nzitutto, la distanza della Luna "iene "alutata istinti"amente soltanto in 6ualc!ecentinaio di metri. =uando ci muo"iamo "elocemente, ci attenderemmo dun6ue di"ederla aumentare raidamente di dimensione. Poic!J gli occ!i non registrano alcuncambiamento, il cer"ello si in"enta allora un suo inesistente mo"imento.

Il roblema con la Luna deri"a dal fatto c!e non abbiamo una conoscenza direttadelle sue dimensioni reali. 'el caso di oggetti c!e conosciamo, in"ece, succede unfenomeno in"erso continuiamo a "edere la loro grandezza reale, anc!e 6uando ladistanza do"rebbe farcela "edere di"ersa.

d esemio, se allung!iamo un braccio e oniamo all)altezza del gomito l)altramano, le due mani ci aaiono o""iamente di grandezza molto di"ersa. Se erallarg!iamo le braccia, ma manteniamo le mani alla stessa distanza di rima dagliocc!i, 6ueste ci aaiono della stessa grandezza. Il cer"ello non registra dun6ue ledue di"erse grandezze aarenti, erc!J sa c!e le due mani !anno la stessa grandezzareale.

=uesto effetto di costan(a della grande((a 5 stato descritto er la rima "olta nel1#* da +artesio, nella 6iottrica. Esiste anc!e un analogo fenomeno di costan(a delcolore, c!e fa sQ c!e il colore degli oggetti non subisca mutamenti ercetti"i sensibili6uando cambiano le condizioni naturali di illuminazione.

ncor meno c!e nel caso della Luna, conosciamo direttamente la grandezza realedelle stelle. La loro grande distanza do"rebbe farcele sembrare tutte della stessagrandezza aarente, e in"ece le "ediamo di"erse il cer"ello traduce, infatti, ledifferenze di luminosit7 in differenze di grandezza. nc!e i raggi c!e associamo allestelle sono, o""iamente, illusori deri"ano dalle aberrazioni sferic!e dell)occ!io e

dalla struttura del cristallino, c!e diffondono la luce dei unti luminosi e ne roducono un)immagine sfrangiata. ltrettanto illusorio 5 il tremolio delle stelle, c!e5 in"ece causato dalla turbolenza dell)atmosfera.

Oltre alle stelle, gli unici oggetti cosmici di cui abbiamo una ercezione direttasono la ia Lattea e ndromeda. /elle altre galassie non "ediamo la lucedirettamente, erc!J 5 troo debole. -a se la "edessimo, ci accorgeremmo c!e essanon 5 bianca come 6uella del Sole, ma rossastra. =uesto effetto ottico, c!iamato red

shift , sostamento "erso il rossoH, 5 l)analogo "isi"o del famoso effetto 6oppleracustico, c!e fa erceire il suono di una sirena come iK o meno acuto, a seconda

c!e essa si allontani o si a""icini. nalogamente, la luce bianca emessa da unasorgente in mo"imento "iene erceita come iK o meno rossa o blu, a seconda c!eessa si allontani o si a""icini. Il red shift delle galassie, scoerto nel 1828 da EdDin

2*



Aubble, 5 dun6ue una ro"a del fatto c!e esse si allontanano da noi, e c!e l)uni"ersosi esande.

roosito, gli oggetti rossi ci sembrano in generale iK "icini di 6uelli blu o"erdi, a causa della di"ersa rifrazione dei colori nell)occ!io. /isegnare oggetti rossisu sfondo blu o "erde roduce dun6ue un effetto tridimensionale, gi7 notato da

Leonardo nel Trattato della pittura. E alternare macc!ie rosse e blu $o "erdi% sullasuerficie di un oggetto rende difficile erceirlo, come ben sae"ano gli eserti dicamuffamento militare della rima guerra mondiale.

'pecchio delle mie brame

na delle rime illusioni ottic!e c!e furono notate nell)antic!it7 5 il riflesso dellosecc!io, c!e !a isirato innumere"oli descrizioni letterarie e raffigurazioni ittoric!e dal mito di 'arciso ad Alice attra%erso lo specchio di LeDis +arroll, da Las 7eninas di /iego el7z6uez alla serie degli 'pecchi di :o; Lic!tenstein.

Lo secc!io funziona in maniera aradossale, tanto c!e +octeau ebbe a dire/o"rebbe riflettere, rima di riflettereH. nzitutto, esso roduce un)immagine"irtuale della stessa grandezza dell)oggetto riflesso, ma noi la "ediamo molto iK iccola. Per con"incercene, basta c!e misuriamo con le dita la nostra faccia riflessa, oc!e ne segniamo il contorno sul "etro aannato.

Inoltre, lo secc!io in"erte la direzione erendicolare $da"antiVdietro%, ma non6uella arallela $destraVsinistra% l)immagine di un dito untato "erso lo secc!io

unta nella direzione contraria, ma l)immagine di un dito untato a destra o a sinistra unta nella stessa direzione. Lo stesso succede er l)alto e il basso, e 6uesto siega erc!J lo secc!io non li in"erta.

+!e esso sembri in"ece in"ertire destra e sinistra, 5 un aradosso do"uto al fattoc!e noi ci mettiamo nei anni dell)immagine, antroomorfizzandola ci c!e noi"ediamo su uno dei nostri lati, ad esemio l)orologio a un olso, leiH la "edesull)altro dei suoi. -a 5 tutto un)illusione, come d)altronde lo 5 anc!e l)in"ersionedelle scritte riflesse il foglio l)abbiamo girato noi er orgerlo allo secc!io, e se 5trasarente ci rendiamo conto c!e attra"erso di esso "ediamo esattamente 6uello c!e

ci mostra lo secc!io. 'on ci do"remmo stuire, come non ci stuiamo se "ediamo ilfoglio in"ertito doo c!e l)abbiamo girato sottosora.olendo "eramente "edere un)in"ersione destraVsinistra, basta c!e ri"olgiamo i

fianc!i allo secc!io. nalogamente, er "edere un)in"ersione altoVbasso basta c!emettiamo lo secc!io er terra e ci saliamo coi iedi sora. Oure c!e mettiamo unosecc!io sul soffitto, e lo guardiamo da sotto $ma non da sdraiati, come si fa neglialberg!i a ore, erc!J in 6uel caso saremmo da cao%.

olendo, si u comun6ue dire correttamente c!e lo secc!io in"erte destra esinistra, se ci si riferisce non alle direzioni ma alle mani. In altre arole, ciascuna

mano 5 effetti"amente l)immagine seculare dell)altra. -a 6uesto tio di in"ersionesi u ottenere anc!e senza lo secc!io, assando attra"erso una 6uarta dimensione,nello stesso modo in cui si u ribaltare una figura sul iano assando attra"erso lo

2&



sazio. +osQ fecero darima Aerbert Rells in La storia di lattner , e oi LudDigRittgenstein nel Tractatus $#.*# III%, er risol"ere il roblema osto da Immanuel?ant nei rolegomeni ad ogni metafisica futura come riuscire a far calzare unguanto destro alla mano sinistra olendo in"ece rimanere nello stesso numero didimensioni, basta fare un giro su una striscia di -<bius, della 6uale arleremo in

seguito.Il mondo reale e 6uello seculare sono talmente simili, c!e "iene da c!iedersi sesia ossibile distinguerli. li"ello macroscoico, la cosa 5 facile ersino una bambina come lice si accorge, cercando di leggere la oesia 8abberwock0, c!e 5scritta ri"oltata.

li"ello microscoico, le cose in"ece si comlicano. Ogni molecola u infattiesistere in due forme, dette stereoisomeri, c!e sono una l)immagine secularedell)altra. n esemio noto a tutti 5 6uello dei due tii di zucc!ero, c!iamati auntodestrosio e le"ulosio. 'on semre, er, gli isomeri sono intercambiabili. d

esemio, uno dei due tii di morfina 5 comletamente innocuo. nzi, la "ita ri"ilegia molecole, aminoacidi e /' sinistrorsi, senza c!e ci siano moti"iaarenti nJ a fa"ore di 6uesta scelta, nJ contro 6uella oosta.

Probabilmente si tratta del risultato di un rocesso e"oluti"o c!e, a artire da uncasuale inizio sinistrorso, !a lentamente reso il sora""ento ed esautoratol)alternati"a destrorsa. lice dubita, rima di assare attra"erso lo secc!io, c!eforse il latte seculare non sarebbe buono da bereH, ed !a ragione non solo a"rebbeun gusto di"erso, ma robabilmente non sarebbe neure assimilabile. In un mondodestrorso, insomma, si morirebbe resto di fame.

li"ello atomico le difficolt7 oggetti"e ad accorgersi di un assaggio oltre losecc!io crescono ulteriormente. 'essun fenomeno gra"itazionale, elettromagneticoo nucleare forte $relati"o, cio5, alla coesione delle articelle negli atomi% ermetteinfatti di scorire una differenza fra destra e sinistra. 'el 18(# i fisici cinesi Tsung/ao Lee e +!en 'ing Uang scorirono, er, c!e una tale differenza esiste al li"ellodei fenomeni nucleari deboli $cio5, del decadimento radioatti"o%. E la scoerta "alseloro il remio 'obel del 18(.

n esemio tiico di fenomeno atomico non seculare 5 il senso, rigorosamenteantiorario risetto alla direzione del moto, della rotazione $detta spin% dei neutrini.Tra l)altro, 6uesto dimostra anc!e c!e i neutrini "iaggiano alla "elocit7 della luce

altrimenti correndo dietro ad uno lo si "edrebbe ruotare in senso antiorario, e dooa"erlo suerato lo si "edrebbe ruotare in senso orario. In"ece, "edere un neutrino c!eruota in senso orario 5 la ro"a c!e si sta osser"ando il mondo seculare, e non 6uelloreale.

!on facciamoci troppe illusioni

3isicamente, l)immagine "irtuale di un oggetto nello secc!io !a una certa realt7tutti gli osser"atori "edono infatti la stessa, benc!J ciascuno dal rorio unto di"ista. Psicologicamente, anzi, il nostro alter ego riflesso ci aare addirittura iK

2(



reale dell)immagine c!e di noi !anno tutti gli altri lo dimostra il sottile disagio c!e ro"iamo di fronte alle nostre fotografie, nelle 6uali non ci identific!iamo maicomletamente.

+omletamente "irtuale 5 in"ece l)illusione ottica costituita dal raggio luminosoc!e si forma sul mare, e sembra congiungere direttamente il Sole o la Luna con il

unto in cui ci tro"iamo la sua irrealt7 5 dimostrata dal fatto c!e il raggio ci segue6uando camminiamo lungo la siaggia.n)altra illusione ottica notata dagli antic!i, ad esemio da Platone nella

$epubblica $, #02%, 5 il fenomeno del remo $o del ramo% c!e, immerso nell)ac6ua,aare sezzato. Il roblema deri"a dal fatto c!e l)ac6ua offre un ostacolo maggioredell)aria alla roagazione della luce. I raggi "engono dun6ue rifratti nel assaggioattra"erso la suerficie c!e seara i due mezzi, e l)immagine di un oggetto rettilineosi iega. L)oggetto, o""iamente, no. E 6ui sta aunto il aradosso, una "ersione uramente ercetti"a del 6uale si !a nell)illusione scoerta nel 14#0 da o!ann

+!ristoff Poggendorff $figura 4% una linea retta c!e assa attra"erso un rettangolosembra sezzata.

3igura 4Illusione di Poggendorff. I tre segmenti stannosu una stessa retta, benc!J aaiano sfalsati.

ancora la rifrazione della luce nelle gocce d)ac6ua a essere resonsabile, insiemealla riflessione, dell)arcobaleno. La siegazione corretta del fenomeno fu anticiatanel 1*0 da Teodorico di 3reiberg, nel 6e iride, e fu oi ritro"ata da +artesio nellagi7 citata 6iottrica. L)idea 5 c!e un raggio di luce c!e entra in una goccia d)ac6ua"iene anzitutto rifratto dalla arete di entrata, oi riflesso dalla arete interna, e infinedi nuo"o rifratto dalla arete di uscita $figura 8%.

2#



3igura 8In una goccia d)ac6ua, un raggio di luce "iene rifratto all)entrata,

riflesso all)interno e nuo"amente rifratto all)uscita.

+artesio dimostr c!e c)5 un angolo di imatto, di circa &2 gradi, er il 6uale laluce emergente dalla goccia 5 massima. Le gocce sosese nell)aria, e formanti il"ertice di un angolo di &2 gradi tra il Sole ed un osser"atore c!e gli "olga le salle, roducono cosQ un arco luminoso $figura 10%. -a il fenomeno 5 aarente, e c)5 unarco di"erso er ogni osser"atore. nzi, uno di"erso er ciascun occ!io, comedimostra a "olte lo sdoiamento dell)arcobaleno rodotto in giardino dall)ac6uasruzzata da una oma21.

21Stiamo arlando dello sdoiamento dell)arco rinciale di un arcobaleno a iccola distanza e non del fatto c!e

l)arcobaleno si comone, in realt7, anc!e di un arco secondario, oltre a 6uello rinciale. =uesto arco secondario 5formato dalla luce c!e entra nelle gocce alla base, in"ece c!e alla sommit7, e ne esce doo a"er subito due riflessioniinterne, in"ece c!e una sola. Il secondo arco 5 distinto dal rimo, erc!J in 6uesto caso l)angolo di imatto massimo 5di #0 gradiW 5 anc!e meno intenso, al unto da non essere semre "isibile, a causa della doia riflessione. $ !.d.A.%

2



3igura 10L)arcobaleno si forma sulle gocce c!e formanoun angolo di &2 gradi tra il Sole e l)osser"atore.

La siegazione dei colori dell)arcobaleno fu in"ece data da 'eDton, nella gi7 citata-ttica. Semlicemente, le rifrazioni nella goccia sono leggermente di"erse er le"arie lung!ezze d)onda c!e costituiscono la luce bianca, esattamente come nel caso diun risma. Gli angoli di imatto massimi sono semre intorno ai &2 gradi, ma

differiscono er i "ari colori, crescendo da un minimo er il "ioletto ad un massimo er il rosso. In tal modo ogni colore genera un suo arco, e tutti insieme 6uesti arc!iformano l)arcobaleno.

Sullo stesso rinciio dell)arcobaleno funziona anc!e la mistica aureola, bianca oiridescente, c!e a "olte circonda l)ombra sui rati la mattina, 6uando c)5 rugiada.Essa "iene "ista da ciascun osser"atore sulla roria testa, ma non su 6uella dei"icini. Il c!e u generare facili fraintendimenti come nel caso di 9en"enuto +ellini,il 6uale testimonia nella sua 9ita di a"er"i scorto un segno del rorio genio, dooa"erla serimentata nel 1(*8.

n fenomeno simile 5 lo spettro di &rocken, c!e rende il nome dal icco iK altodei monti Aarz, sul 6uale si celebra"a, la notte del *0 arile $Santa alurga%, il sabbadelle streg!e descritto da Goet!e nel Faust . Il luogo era adatto er interretare comesettri le gigantesc!e ombre di ersone roiettate sulle nubi sottostanti e circondateda un cerc!io iridescente. Il fenomeno non 5 raro in montagna, ma oggi lo si osser"a iK facilmente 6uando gli aerei sor"olano una coltre di nu"ole.

:ialzando gli occ!i da terra al cielo, non c)5 comun6ue bisogno di attendere la6uiete doo la temesta er "eder"i colori illusori. =uella c!e noi c!iamiamo la %oltaceleste 5 infatti nera, come mostrano le foto rese dallo sazio. Il colore dal 6uale il

cielo rende il suo nome 5 semlicemente un rodotto del fenomeno di diffusione. Lemolecole dell)atmosfera riflettono la luce c!e arri"a dal Sole e la sandono in ognidirezione, in accordo con i "ersi dantesc!i

24



La gloria di colui c!e tutto mo"e er l)uni"erso enetra e rislendein una arte iK e meno altro"e22.

3u o!n T;ndall a scorire nel 14(8 c!e le molecole iccole, come aunto 6uellec!e comongono l)atmosfera secca, diffondono in maniera molto iK efficiente le iccole lung!ezze d)onda c!e non 6uelle grandi. PiK recisamente, come dimostrLord :a;leig! nel 1488, dieci "olte di iK il blu c!e non il rosso.

Il cielo aare dun6ue blu2*. =uando er il Sole 5 all)orizzonte, cio5 all)alba e altramonto, il cielo aare rosso erc!J la luce del Sole de"e ercorrere un tratto iKlungo di atmosfera di 6uando 5 alto, e nel ercorso erde iK blu er diffusione.=uando in"ece c)5 brutto temo, il cielo aare bianco erc!J l)atmosfera umida sicomone di molecole iK grosse, c!e diffondono meno. Le nubi, infine, aaiono dicolor bianco latte erc!J sono comoste di "ere e rorie gocce d)ac6ua insosensione, c!e non diffondono affatto.

na "erifica casalinga di 6uesti fenomeni si u effettuare con un bicc!iered)ac6ua. ersando"i dentro 6ualc!e goccia di latte si crea un analogo di atmosfera, ela diffusione rodotta dalle molecole di grasso colora l)ac6ua di azzurrognolo.Guardando in"ece attra"erso il li6uido una lamadina, c!e corrisonde al Sole altramonto, essa aarir7 rossastra.

3enomeni simili a""engono anc!e su -arte. Tutta"ia, oic!J la sua atmosfera 5meno densa di 6uella terrestre, il colore normale del cielo marziano aare di un blu iK tenue di 6uello terrestre. Il colore rosso c!e si "ede nelle foto scattate dalle sondei>ing nel 18 e Pat!finder nel 188 5 insolito, ed era do"uto alla resenza di

articelle ferrose nell)atmosfera, rodotte da temeste temoranee. Lo stesso effetto 5 rodotto, a "olte, sulla Terra da eruzioni "ulcanic!e.Tornando coi iedi er terra, un fenomeno ottico gi7 noto agli Egizi 5 il romantico

raggio %erde, c!e !a dato il nome ad un romanzo di ules erne nel 1442, a un film diEric :o!mer nel 184(, e ad un recente rogramma tele"isi"o di -ic!ele Santoro. Sitratta di un bagliore colorato c!e si u "edere al tramonto.

'ella sua forma iK semlice 5 do"uto alla scomosizione dell)immagine biancadel Sole in tante immagini colorate so"raoste, causate dalla rifrazionedell)atmosfera. Il Sole aare allora come un disco arancione con un sottilissimo

bordo sueriore "erde, ed un altro inferiore rosso $il blu "iene, come al solito,diffuso%. 'el momento in cui il Sole sarisce all)orizzonte, il bordo "erde si dissol"ein un bagliore c!e d7 il nome al fenomeno.

Purtroo i bordi "erde e rosso del Sole sono troo iccoli er oter essere "isti aocc!io nudo la risoluzione "isi"a 5 di circa 2( secondi, mentre i bordi ne rendonosoltanto 10. Perc!J il raggio "erde si "eda de"ono dun6ue esserci articolaricondizioni fa"ore"oli, c!e amlific!ino il fenomeno. Esso u allora ac6uistarecaratteri macroscoici, come 6uando fu osser"ato er ben *( minuti da unasedizione in ntartide, nel 1828.

22/ante lig!ieri, aradiso, I, 1B*. $ !.d.A.%2* 'on "ioletto, cio5 del colore con la minima lung!ezza d)onda, er una serie di fattori secondari. 3ra essi,l)assorbimento del "ioletto negli strati alti dell)atmosfera. $ !.d.A.%

28



na di 6ueste condizioni fa"ore"oli si "erifica 6uando il Sole si riflette nell)ac6uadel mare, mostrando cosQ una doia immagine. 'el momento in cui il Sole toccal)orizzonte, i bordi rossi delle due immagini si fondono in un rimo bagliore $rosso%.-entre il Sole scende sotto l)orizzonte le due immagini di"entano darima unottoH, e oi un o"ale con un unico bordo "erde, c!e si restringe rogressi"amente.

'el momento in cui il Sole sarisce, il bordo "erde dell)o"ale si dissol"e in unsecondo bagliore $"erde%. "olte l)o"ale del Sole al tramonto sul mare 5 un "ero e rorio miraggio, come

dimostra il fatto c!e esso u aarire interamente al di sora della suerficiedell)ac6ua, e restringersi e s"anire senza mai scendere sotto l)orizzonte. ltri tiicimiraggi sono le finte ozze d)ac6ua c!e si "edono a "olte sulle autostrade o neldeserto, magari con una alma riflessa dentro.

In tutti 6uesti casi 5 in azione il seguente rinciio, enunciato da Pierre de 3ermatnel 1#( la luce segue semre il cammino iK "eloce er congiungere due unti 2&.

Poic!J l)aria calda !a minore densit7 e minor indice di rifrazione di 6uella fredda, laluce "i "iaggia iK "elocemente.=uando la temeratura "icino al terreno 5 iK alta di 6uella dell)ambiente

circostante, come succede d)estate, la luce del cielo u dun6ue arri"are ai nostriocc!i non seguendo la normale linea retta, bensQ attra"erso una linea cur"a conca"ac!e assa rasente al suolo. Il cer"ello scambia 6uesta immagine del cielo con 6uelladi una ozza d)ac6ua, ro"ocando cosQ la sensazione del miraggio. Per lo stessomoti"o, l)immagine di una alma u sembrare iK bassa del normale e arri"areaddirittura dal terreno, dando l)imressione di essere riflessa nell)ac6ua $figura 11%.

3igura 11Il meccanismo del miraggio di terra.

na situazione simmetrica si ottiene 6uando la temeratura "icino al terreno 5 iK bassa di 6uella dell)ambiente circostante. In 6uesto caso la luce arri"a ai nostri occ!iattra"erso una linea cur"a con"essa c!e assa alta nel cielo, e l)imressione sar7

6uella di "edere gli oggetti solle"ati da terra $figura 12%.2&=uesto 5 un caso seciale del rinciio di minima azione, c!e sar7 enunciato in iena generalit7 da Pierre de-auertuis nel 1&(, in Les lois du mou%ement et du repos d:duites dun principe de m#taph0si;ue, e "err7 messo alla

berlina da oltaire nel 2andide. $ !.d.A.%

*0



3igura 12

Il meccanismo del miraggio di mare.

Esemi banali sono la ercezione del Sole 6uando 5 gi7 tramontato, ol)a""istamento della costa 6uando 5 ancora sotto l)orizzonte. PiK settacolare 5in"ece la cosiddetta fata 7organa, tiica dello stretto di -essina, do"e fu osser"atada adre Ignazio ngelucci gi7 nel 1#&*. In determinate condizioni le rocce e gliedifici della costa sembrano fluttuare nel cielo e danno l)illusione di castelli in aria,come 6uelli c!e la fata -organa face"a aarire alla corte di :e rtK. Lo stesso

a""iene nel deserto, come suggerisce il Salmo 11& $(B#%+!e fu, o mare, c!e ti ritraestiGiordano, c!e a ritroso ti "olgestiPerc!J, monti, saltaste come carettiE "oi, colline, come agnelletti

nc!e le na"i ossono sembrare sosese nel "uoto, ed 5 robabilmente da unfenomeno di 6uesto tio c!e 5 nata la leggenda del "ascello fantasma musicata daRagner nell)-landese %olante.

*1



+aitolo secondo

Larte dellillusione

na classe seciale di aradossi della ercezione deri"a non dalla fisiologia o dallanatura, ma dall)arte figurati"a. O meglio, dalle sue retese di raresentare, conmezzi limitati, una realt7 attuale o otenziale c!e li trascende.

L)esemio iK tiico 5 la raffigurazione di oggetti tridimensionali attra"ersoimmagini bidimensionali. n roblema c!e naturalmente !a gi7 la retina, ma c!e la

"ista aggira facilmente grazie alla "isione binoculare. Pittura e cinema de"ono in"eceingegnarsi e suggerire la "icinanza o la lontananza mediante la so"raosizione dellefigure, la differenziazione delle loro dimensioni e dei loro colori, e le leggi della rosetti"a.

=uesti metodi iK indiretti ed ambigui sono o""iamente iK soggetti a generarefraintendimenti, anc!e aradossali. l unto c!e i ooli rimiti"i, non abituati a6uesto tio di raffigurazione bidimensionale, !anno sesso difficolt7 a riconoscere glioggetti raresentati e a "alutarne le distanze relati"e, sorattutto nel caso dellafotografia. La 6uale, in articolare, inganna sesso ure noi.

n roblema ulteriore si aggiunge 6uando si retenda di raffigurare oggetti inmo"imento mediante immagini static!e. bbiamo gi7 accennato ai meccanismi c!e ermettono al cinema di raggiungere lo scoo. La ittura si tro"a in"ece, in 6uestocaso, di fronte ai limiti delle sue ossibilit7, ma li !a suerati brillantementein"entando nuo"i ed aroriati linguaggi, dal futurismo all)esressionismo.

Sesso l)arte sa essere cosQ "eritiera da ri"aleggiare con la stessa realt7. il caso,come dice il loro stesso nome, dei trompe loeil , gli ingannaocc!iH di cui esistonotestimonianze gi7 nell)antic!it7. d esemio, @eusi diinse graoli d)u"a cosQrealistici c!e gli uccelli cercarono di beccarli. Parrasio corQ un suo 6uadro con una

tela tanto erfetta c!e @eusi cerc di solle"arla $c!i la fa, l)asetti%. E il gio"aneGiotto aggiunse ad un 6uadro di +imabue una mosca cosQ naturale c!e il maestrotent di scacciarla.

In alcuni trompe loeil gli oggetti diinti seguono i mo"imenti dell)osser"atore.Sorrendentemente, la cosa non a""iene se in"ece l)osser"atore sta fermo e "ienemosso il 6uadro.

In 6uesto caitolo, comun6ue, limiteremo la nostra attenzione ai aradossi dell)artegrafica. In articolare, lasceremo da arte il aradosso della critica artistica il fatto,cio5, c!e essa retenda di descri"ere immagini, colori e suoni unicamente attra"erso arole. E neure arleremo di artisti aradossali ittori daltonici come R!istler eLJger, o 6uasi ciec!i come l)ultimo -onet, o musicisti sordi come il 9eet!o"en

*2



maturo, c!e !anno comun6ue sauto erceire colori o suoni attra"erso gli occ!i e leorecc!ie della mente.

!on perdiamo la prospetti%a

Saiamo gi7 c!e 6uando un oggetto si tro"a nelle nostre immediate "icinanze, la ercezione della sua grandezza non cambia. +on l)aumentare della distanzadell)oggetto da noi la ercezione della sua grandezza in"ece diminuisce, mentre noncambia l)angolo sotto il 6uale lo "ediamo. Se a iccole distanze "ale dun6ue unalegge di costanza della grandezza, a grandi distanze "ale la legge di costan(adellangolo c!e caratterizza la cosiddetta rosetti"a lineare.

+!e la rosetti"a ossa, in generale, rodurre effetti aradossali 5 o""io. Poic!J6ualun6ue immagine rosettica u essere generata in infiniti modi $figura 1*%, la ercezione di un dato "isi"o 5 infatti sottodeterminata. 9enc!J in situazioni usuali"eniamo guidati dall)eserienza, in casi inusuali di"enta facile fare congetturesbagliate e scambiare lucciole er lanterne.

3igura 1*

Oggetti differenti ossono dare la stessa "isione rosettica.

I rimi ad accorgersi di un roblema secifico furono Leonardo e Piero della3rancesca. Essi notarono, ad esemio, c!e colonne cilindric!e "icine ossonoaarirci iK iccole di 6uelle lontane $figura 1&%. Il moti"o 5 c!e, al crescere delladistanza, l)angolo c!e la colonna forma con l)occ!io diminuisce ma la cordaaumenta in altre arole, la colonna ci aare iK grande erc!J "ediamo una artemaggiore della sua sezione. Probabilmente, uno dei moti"i er cui la rosetti"a fu

scoerta relati"amente tardi nell)arte 5 aunto c!e essa non "ale er la "isione da

**



"icino2(. 'aturalmente l)immagine retinica 5 rigorosamente rosettica, cosQ come losono le fotografie. -a il cer"ello non tiene conto delle rosetti"e a bre"e distanza, eci fa dun6ue aarire aradossalmente distorte le fotografie scattate a distanzara""icinata.

3igura 1&+olonne cilindric!e "icine ossono aarirci iK iccole di 6uelle lontane.

La comensazione dell)effetto rosettico a""iene er soltanto er la "isioneorizzontale a corta distanza, forse erc!J siamo oco abituati a guardare in alto o in basso. I iani alti degli edifici osser"ati dalla strada, e gli uomini "isti dalle finestre

dei iani alti, ci sembrano dun6ue stranamente sc!iacciati.Per o""iare a 6uesti incon"enienti, gli artisti !anno sesso introdotto correzioni rosettic!e nelle loro oere. 'ella 'toria naturale Plinio narra lo stuore del ubblico 6uando una statua di 3idia, con membra e "iso deformi, aar"e erfettadoo la sistemazione sulla colonna alla 6uale era destinata. i temi di Platone 6uestiaccorgimenti erano ormai usuali nel 'ofista il filosofo si scagli contro coloro c!e liusa"ano, erc!J non raresenta"ano le cose come sono in realt7. 3ra gli esemiclassici di correzioni rosettic!e ci sono l)inclinazione "erso l)interno degli assidelle colonne del Partenone, l)allargamento "erso l)alto del camanile di Giotto a3irenze e l)allargamento "erso il fondo di iazza San -arco a enezia.

Per 6uanto riguarda la rosetti"a usuale, la legge di costanza dell)angolo imlicac!e, con l)allontanarsi, un oggetto di"enti semre iK iccolo fino a scomarire in un unto, c!e si c!iama punto di fuga. 'ella rosetti"a due rette arallele siraresentano dun6ue come con"ergenti, e nella ercezione due rette con"ergenti"engono interretate come arallele.

d esemio, il cono di luce di una torcia elettrica o di un faro "iene interretatocome un fascio lineare c!e termina bruscamente in una linea d)orizzonte, benc!Jo""iamente la sua luce si estenda raticamente all)infinito. La lung!ezza aarentedel fascio 5 direttamente roorzionale alla distanza tra la torcia e l)osser"atore il

2(La iK antica registrazione storica del fatto c!e gli oggetti sembrano rimicciolire 6uando si allontanano si tro"a in unata"oletta assira del regno di ssurbanial, nel II secolo a.+. Le rime raresentazioni rosettic!e risalgono a Grecie :omani, ma la teoria della rosetti"a fu s"iluata soltanto nel :inascimento. $ !.d.A.%

*&



fascio aare corto a c!i tiene la torcia in mano e lungo a c!i la "ede da lontano. Se ilfascio di luce fosse "eramente lineare, lo erceiremmo in"ece come con"ergente inun unto di fuga.

La rosetti"a genera illusioni ottic!e come i segmenti di on(o2# $figura 1(%, c!esembrano di"ersi ur essendo in realt7 uguali. /a un lato, uno dei segmenti "iene

considerato iK lontano dell)altro er due moti"i sembra iK "icino al unto di fuga,ed aare iK alto risetto all)orizzonte. /all)altro lato, le misure aarenti dei duesegmenti sono erceite come uguali, e dun6ue le loro misure reali sono interretatecome di"erse. Precisamente, 6uello considerato iK distante aare maggiore a causadella sua suosta lontananza.

3igura 1(Segmenti di Ponzo. I due segmenti orizzontali !anno la stessa lung!ezza.

Se i segmenti sono "erticali, in"ece c!e orizzontali, si ottiene un)illusione analoga.Soltanto, in"ece di a"ere una di"ersa lung!ezza, i due segmenti sembreranno a"ereuna di"ersa altezza. na "ersione settacolare di 6uesta "ersione 5 la famosa stan(adi Ames $figura 1#%, realizzata nel 18&# da dalbert mes su un rogetto diAelm!oltz2.

2#-. Ponzo, 6ei processi di riconoscimento di oggetti e figure e della loro denomina(ione, tti del Secondo +ongressodella Societ7 Italiana di Psicologia, 181*. $ !.d.A.%2. mes, The Ames demonstration in perception, 18(2. $ !.d.A.%

*(



3igura 1#Stanza di mes. Le due ersone !anno la stessa altezza.

Il trucco sta nel costruire una stanza deformata in modo tale c!e uno dei duesigoli "erticali della arete di fondo sia iK "icino e iK basso dell)altro, ma neldiingerla in modo tale da farla aarire normale. 9enc!J le due ersone abbiano lastessa altezza e si tro"ino a distanza di"ersa dall)osser"atore, esse aaiono di altezzadi"ersa ma alla stessa distanza, come nel 6uadro La gigantessa di :enJ -agritte.

n comlemento aradossale della rosetti"a 5 lanamorfosi, c!e ermette didisegnare figure deformate c!e aaiono corrette se osser"ate da un unto di "ista

articolare. Il iK antico esemio conosciuto si tro"a nel 2odice Atlantico diLeonardo $figura 1%, e de")essere guardato con lo sguardo 6uasi arallelo al foglio.

3igura 1namorfosi, dal +odice tlantico di Leonardo.

L)anamorfosi non 5 soltanto un)imresa fittile, come otrebbe sembrare dallecuriose immagini conceite er essere riflesse in secc!i cilindrici o conici, introdottedai cinesi sotto la dinastia -ing e di"enute di moda in Euroa nel Seicento. =uestatecnica 5 anc!e necessaria er realizzare affresc!i destinati a essere "isti di scorcio o

a essere diinti su suerfici cur"e.

*#



3ra gli esemi iK noti ci sono il Giudi(io uni%ersale di -ic!elangelo nella+aella Sistina e la Gloria di 'antIgna(io di ndrea Pozzo in Sant)Ignazio a :oma.=uest)ultimo sorrendente trompe loeil core l)intero soffitto semicilindrico, e se"iene osser"ato da un articolare unto, segnato con un disco di marmo giallo sul a"imento, d7 l)illusione di essere una naturale continuazione della struttura della

c!iesa.

2i scusiamo per il disturbo

Se nella rosetti"a le linee arallele sembrano con"ergere, nella ercezione essesembrano di"ergere. PiK recisamente, nel 14# Aermann "on Aelm!oltz si accorse24

c!e lo sazio "isi"o non 5 euclideo, come in"ece a"e"a suosto ?ant nella 2riticadella ragion pura. E nel 18& :udolf Luneburg recis c!e esso !a caratteristic!eierbolic!e28.

+ome lo sazio "isi"o aaia a un artista sensibile c!e cerc!i di rendergli giustizia,lo si u intuire dalla 'tan(a di Arles di an Gog! $figura 14%. -a c!e 6ualcosa"ada stortoH nella geometria della ercezione c!iun6ue lo u dedurre da una seriedi illusioni, tutte basate sul fatto c!e ci lasciamo facilmente ingannare da elementi didisturbo.

3igura 14incent an Gog!, 'tan(a di Arles, olio su tela, ottobre 1444.

Gli esemi iK semlici riguardano la ercezione delle lung!ezze, e sono statiscoerti da 3ic> nel 14(1 $figura 18% il segmento interrotto aare decisamente iKcorto di 6uello c!e lo interrome, benc!J le loro lung!ezze siano le stesse.

24A. "on Aelm!oltz, The origin and meaning of geometrical axioms, -ind, I $14#% *01B*21. $ !.d.A.%28:. Luneburg, 7athematical anal0sis of binocular %ision, 18&. $ !.d.A.%

*



3igura 18Il segmento interrotto e 6uello c!e lo interrome !anno la stessa lung!ezza.

La iK famosa delle illusioni sulle lung!ezze 5 costituita dalle frecce di 7<ller3 L0er *0 $figura 20% anc!)esse sono uguali, ma le direzioni delle unte ce le fanno erceire differenti. L)effetto non sembra essere uramente fisiologico, "isto c!el)illusione sarebbe molto ridotta in soggetti come gli @ulu, nella cui ci"ilt7 redominano le linee cur"e.

3igura 20Illusione di -ullerBL;er. Le due frecce !anno la stessa lung!ezza.

Il iK antico dei aradossi sul arallelismo, gi7 illustrato in un mosaico romano delPu; de /ome, 5 l)illusoria imressione di cunei alternati creata dallo sfasamento dellecaselle di una scacc!iera $figura 21%. na "ersione iK astratta dello stesso effetto 5stata scoerta nel 14#0 da o!ann @<llner, c!e !a anc!e stabilito c!e l)illusione 5massima 6uando le arallele sono a &( gradi e i segmenti di disturbo formano *0gradi con esse $figura 22%.

*03. -XllerBL;er, -ptische =rtheilst>uschungen, rc!i" fXr natomie und P!;siologie, 8 $1448% 2#*B20. $ !.d.A.%

*4



3igure 2* e 2&Effetto di distorsione di due rette arallele

ro"ocato da fasci di rette di disturbo.

Sostituendo alle rette arallele dei cerc!i concentrici, e al fascio di rette un fasciodi cur"e assanti er il centro, si ottiene la sorrendente spirale di Fra(er ** $figura2(%. La sua illusoriet7 ermane anc!e doo a"er controllato con un dito o una matitac!e effetti"amente ci sono soltanto cerc!i.

**. 3razer, A new %isual illusion, T!e 9ritis! ournal of Ps;c!olog;, 1804. $ !.d.A.%

&0



3igura 2(Sirale di 3razer. La sirale aarente 5 in realt7

formata da una serie di cerc!i concentrici.

7a chi ci crede?

Le illusioni artistic!e iK sorrendenti sono forse 6uelle c!e realizzano unacon"incente imossibilit7 c!e, come riete due "olte ristotele alla fine della

oetica, 5 referibile ad una non con"incente ossibilit7.n esemio ben noto di con"incente imossibilit7 5 l)insegna del barbiere/ un

cilindro a strisce alternate bianc!e e rosse, c!e sembrano ascendere eretuamente6uando il cilindro ruota.

na "ersione acustica di 6uesto aradosso "isi"o 5 l)illusione di 'hepard *& unsuono le cui armonic!e salgono e scendono gradualmente con altezze scelte ad arte,in modo da determinare una cur"a a dosso c!e rimane costante $armonic!e e dossocorrisondono a strisce e cilindro dell)insegna del barbiere%. L)orecc!io erceisce le"ariazioni di tono nella arte alta del dosso, ma non si accorge c!e le armonic!e a unestremo s"aniscono er lasciare il osto ad altre simili all)estremo oosto $figura2#%. Il risultato 5 l)imressione di un imossibile suono continuamente ascendente odiscendente, sfruttato dal comositore eanB+laude :isset nelle music!e er Little

&o0 di Pierre Aalet $l)incubo della caduta di una bomba "iene accomagnato da unsuono continuamente discendente%.

*&:. S!eard, 2ircularit0 in @udgement of relati%e pitch, ournal of t!e coustic Societ; of merica, *# $18#&% 2*&#B2*(*. $ !.d.A.%

&1



3igura 2#Le armonic!e di un suono continuamente ascendente.

na raffigurazione grafica molto efficace dell)ascesa infinita si !a nella scala di Lionel enrose*( $figura 2%. In realt7 la scala 5 in iano, come si intuisce tenendol)immagine non erendicolarmente al camo "isi"o, ma arallelamente ad esso. PiK recisamente, gli scalini sono disosti uno sull)altro come tegole su un tetto iano, o

libri su un ta"olo, in modo da formare un 6uadrilatero $figura 24%. In articolare,siamo di fronte a un)anamorfosi.

3igura 2/isegno imossibile di una scala continuamente ascendente.

*(L. e :. Penrose, Impossible ob@ects/ a special t0pe of %isual illusion, 9ritis! ournal of Ps;c!olog;, &8 $18(4% *1B**.$ !.d.A.%

&2



3igura 24

=uattro scalini disosti in mododa formare una scala continuamente ascendente.

roosito di scale, altrettanto aradossale di 6uella di Penrose 5 la scala di'chrder *#, c!e sembra sia salire da un a"imento c!e scendere da un soffitto $figura28%. Tutta"ia, mentre la scala di Penrose 5 semlicemente un oggetto imossibile,6uella di Sc!r<der 5 un oggetto ambiguo raresenta, cio5, due oggetti ossibili sui6uali la ercezione oscilla.

3igura 28/isegno ambiguo di una scala, c!e si u interretare

come ascendente dal a"imento o discendente dal soffitto.

I iK antic!i esemi di oggetti ambigui sono robabilmente i cubi re%ersibili trerombi adiacenti "isti come le facce di un cubo, c!e ossono essere alternati"amenteinterretati come facce interne o esterne. Inoltre, se ce ne sono iK di tre, i rombi nonestremi ossono aartenere a iK di un cubo, facendo aarire l)immaginealternati"amente conca"a e con"essa $figura *0%. I cubi re"ersibili erano gi7 noti ai

*#E. Sc!r<der, =ber eine optische In%ersion, nnalen der P!;si> und +!emie, 141 $14(4% 284B*11.$ !.d.A.%

&*



romani, e nel 'o"ecento sono stati usati a rofusione da ictor asarel; nellacreazione di "ariointe figure aradossali.

3igura *0+ubi re"ersibili, c!e si ossono interretare come conca"i o con"essi.

n cubo re"ersibile 5 un caso limite, "isto da una articolare rosetti"a, del cubodi 'ec>er *, c!e sembra alternarsi in rilie"o e in rofondit7 $figura *1%. causa della articolare raresentazione rosettica, in cui tutti i lati sono in e"idenza, si creaun)ambiguit7 su 6uale delle facce sia da"anti e 6uale dietro. /ue ossibili cubi si

alternano 6uindi nella ercezione, creando un effetto aradossale c!e !a dato filo datorcere ai filosofi, ad esemio a Rittgenstein nel Tractatus $(.(&2*%.

3igura *1+ubo ambiguo, di cui non si sa 6uale sia il fronte e 6uale il retro.

Il tentati"o di disegnare in maniera tridimensionale il cubo di 'ec>er orta ad un

cubo imossibile, c!e fa arte di una intera famiglia di analog!e figure immaginarie.*L.. 'ec>er, -bser%ations on some remarkable phenomena seen in 'wit(erlandB and an optical phenomenon whichoccurs on %iewing of a cr0stal or geometric solid , P!iloso!ical -agaCine, I $14*2% *28B**. $ !.d.A.%

&&



3igura **Pieter 9ruegel, La ga((a sulla forca,

olio su ta"ola, 1(#4 $articolare%"a #reccia indica la $azza% la trave su cui po$$ia & il paradosso

Il triangolo e il cubo imossibili sono figure molto articolari raresentanooggetti fisicamente inesistenti e sicologicamente imensabili, ma non ercezioni

irrealizzabili. :ic!ard Gregor; !a infatti mostrato&0

come tre sbarre due a due erendicolari, o""iamente formanti una figura aerta, ossano sembrare un triangoloimossibile se osser"ate da una rosetti"a c!e ne faccia coincidere gli estremi$figura *&%. nalogamente, un modello di cubo con due lati discontinui u sembrareun cubo imossibile se osser"ato da un articolare unto di "ista c!e ermetta di"edere i lati sul retro attra"erso le discontinuit7 sul da"anti.

&0:. Gregor;, The intelligent e0e, 180. $ !.d.A.%

&#



3igura *&Percezione reale di un triangolo imossibile.

-olto iK facile da realizzare, ad esemio con carta e forbici, 5 in"ece la figura di

Thi#r0&1 $figura *(%, c!e comare gi7 in mosaici bizantini. 9enc!J aarentementeraresenti l)imossibile congiunzione di due aralleleiedi, in realt7 si u anc!e ensare in maniera non aradossale, come un unico aralleleiedo esteso con due areti $in due modi di"ersi%.

&1. T!iJr;, -ptisch3geometrische T<uschungen, 148(. $ !.d.A.%

&



3igura *(+ongiunzione imossibile di due aralleleiedi.

+osQ come alcune figure aaiono imossibili a rima "ista, ma risultano nonesserlo in un secondo momento, u sorrendentemente succedere anc!e il contrario.d esemio, la figura *# mostra un oggetto c!e erceiamo senza esitazioni come untronco di iramide. E in"ece la figura non u corrisondere a nessun oggetto reale, erc!J i rolungamenti dei tre lati "erticali non si incontrano in un unico unto.

3igura *#/isegno di un tronco di iramide imossibile.

Il triangolo imossibile rimane, comun6ue, il iK noto esemio del suo genere. La

figura ambigua iK famosa 5 in"ece il %aso di $ubin&2 in cui due rofili di facce

&2E. :ubin, '0nsopple%ede Figurer , 181(. $ !.d.A.%

&4



+aitolo terzo

2ose dellaltro mondo

I aradossi ercetti"i sono momenti di difficolt7 dei sensi, smasc!erati dallaragione. -a anc!e la ragione incontra simmetric!e difficolt7 nei aradossi logici,smasc!erati dall)e"idenza sensoriale. nzi, si u dire c!e molte delle idee astratte sucui si basa la nostra cultura finiscono er ri"elarsi aradossali, ad un esame iKra""icinato.

+on 6uesto caitolo abbandoniamo dun6ue i aradossi dei sensi e iniziamo adaffrontare 6uelli della ragione, seguendo il ensiero in un ercorso c!e "a dalle sueforme iK rimordiali a 6uelle iK sofisticate. O""ero, dalla religione allamatematica, assando attra"erso la filosofia e la logica.

Iniziamo, aunto, dagli asetti aradossali della religione. /i 6uelli del+ristianesimo abbiamo gi7 trattato bre"emente nel 9angelo secondo la 'cien(a$Einaudi, 1888%, in un aragrafo c!e riortiamo 6ui er comodit7 del lettore. Per parcondicio arleremo oi, oltre c!e dello (en, anc!e di alc!imia, sicanalisi esurrealismo tutte cose c!e !anno molto iK in comune con la religione di 6uanto si

otrebbe a rima "ista ensare.

La religione in pillole

Prima di andare a"anti, "olgiamo ancora all)indietro lo sguardo un)ultima "olta, er notare un ulteriore aradosso sensoriale. L)imbarazzante fatto, cio5, c!e leeserienze religiose di tio mistico ossono essere indotte e rirodotte con mezzielettroc!imici. Il c!e fa ensare, o""iamente, c!e esse siano iK immanenti c!etrascendenti. O, come dicono coloro c!e se ne intendono, c!e il regno di /io siadentro di noi. PiK recisamente, dentro la nostra testa.

La tradizione c!imica del misticismo si erde nella notte dei temi. E laconnessione fra drog!e e religioni 5 troo diffusa er essere casuale, comedimostrano i "ari cibi e nettari degli d5iH della storia il soma "edico, la mannaebraica, il loto omerico, il "ino bacc!ico, la canaa indiana, il pe0ote messicano, lacoca incaica, la0ahuasca amazzonica, la gan@a giamaicana, la ka%a fiZiana...

'on c)5 comun6ue bisogno di andare troo lontano, er "edere c!imicamente/io. 9asta il gas, come racconta Rilliam ames in 9olont di credere. O, ancora iK

semlicemente, basta la "asca di deri"azione sensoriale, descritta da :ic!ard3e;nman in 'ta scher(ando, 7r. Fe0nmanC O il deserto, come er sant)ntonio. O lacella $del carcere o del con"ento%, come er san Gio"anni della +roce. O i digiuni e le

(0



"eglie. O le trances indotte da danze, canti o mantra ossessi"i. O gli esercizi diresirazione guidata o forzata c!e accomunano le tecnic!e meditati"e iK disarate,dallo ;oga allo zaB (en. nc!e se, o""iamente, iK i mezzi sono blandi e maggioredi"enta la difficolt7 di raggiungere l)illuminazione.

La tradizione elettrica del misticismo 5, in"ece, iK recente e meno diffusa. Si

tratta di stimolare artificialmente i lobi temorali, nei 6uali si situano le connessionifra i centri sensoriali e l)amigdala, c!e 5 la arte del cer"ello reosta a daresignificati emozionali agli a""enimenti esterni. Stimoli inusuali ai lobi temorali ossono ro"ocare disfunzioni dell)amigdala, con conseguente assegnazione di"alenze cosmic!e a oggetti e fatti anc!e banali&*.

La stimolazione dei lobi temorali u a""enire anc!e sontaneamente, adesemio in crisi eilettic!e. E, ancora una "olta, la connessione fra eilessia ereligione 5 troo diffusa er essere casuale. Lo dimostrano, simmetricamente, sia leintense eserienze sirituali ro"ate da molti eilettici durante gli attacc!i&&, c!e

l)eilessia di molti rofeti e santi, da Paolo di Tarso a -aometto. 'aturalmente, il aradosso fisiologico della religione sta rorio nella ossibilit7di interretare 6uesti fatti in maniere contraoste. /a un lato, il credente rifiuter7 diridurre le rorie eserienze religiose a fattori elettroc!imici, cosQ come rifiutano unatale riduzione l)ansioso, il deresso e lo sc!izofrenico. /all)altro lato, il non credentesi stuir7 c!e il religioso, cosQ come l)ansioso, il deresso e lo sc!izofrenico,iostatizzino le rorie turbe fisic!e attribuendole a cause metafisic!e.

+omun6ue sia, si conoscono da temo farmaci sicodislettici, stimolantidell)eserienza religiosa ad esemio, la mescalina, l)LS/ e l)ecstas;&(. 3armaciinibitori, analog!i ad ansiolitici, antideressi"i e neurolettici, er ora in"ece non cisono. -a c)5 da scommettere c!e, tra 6ualc!e temo, il medico arri"er7 a rescri"ereuna illola al aziente c!e mostri sintomi religiosi. E, magari, illole di"erse erreligioni di"erse.

'ell)attesa, abbandoniamo i aradossi fisiologici er ri"olgerci finalmente a 6uelli uramente logici.

6io e 6ia%olo, '.p.A.

Il rimo aarire del aradosso nella storia 5 la nascita del /ia"olo da /io, cio5,del male dal bene. gli inizi /io 5 solo, un)unit7 indi"isa, e tale rimane nelle religioniorientali. -a nel momento in cui decide di guardare se stesso egli si sdoia,di"entando automaticamente osser"atore e osser"ato, e creando cosQ una scissione. Ingreco scissioneH si dice aunto diabol#, un termine il cui contrario 5 s0mbol#,riunioneH er 6uesto /io arla er simboli, e il suo alter ego er contraosizioni.&*. -andeli, God in the brain, in T!e s;c!obiolog; of consciousness, a cura di . e :. /a"icison, 1840W -. Persinger,

!europs0chological bases of God beliefs, Praeger, 184W e . :amac!andran e S. 9la>eslee, 6io e il sistema limbico, in La donna che morD dal ridere, -ondadori, 1888. $ !.d.A.%&&?. /eD!urst e .R. 9eard, 'udden religious con%ersions in temporal lobe epileps0, 9ritis! ournal of Ps;c!iatr;, 11$180% &8B(0. $ !.d.A.%&(. Aue;, The doors of perception, 18(&, e Aea"en and Aell, 18(#W . Ratts, s0chedelics and the religiousexperience, +alifornia LaD :e"ieD, (# $18#4% &B4(. $ !.d.A.%

(1



Il /ia"olo $diabolos% 5 dun6ue il di"isoreH, anc!e se altri suoi nomi ricorrentinell)ntico Testamento sono /emonio $daimonia, ri"o di "aloreH o nullit7H% eSatana $ satan, a""ersarioH%. L)analogo termine greco diaballein, gettareattra"ersoH, collega il /ia"olo alla insinuazione.

'ella mitologia ebraica $Genesi, III, 1B(%, alla sua rima entrata in scena il /ia"olo

"iene aunto resentato come un insinuatore, sia er la sua forma fisica di serente,c!e er il gioco dialettico su cui basa la sua tentazioneIl serente era il iK astuto di tutti gli animali del camo c!e il Signore a"e"a

creato. Egli c!iese alla donna rorio "ero c!e /io "i !a detto 'on mangiate ilfrutto di tutti gli alberi del giardinoH

La donna risose al serente 'oi ossiamo mangiare il frutto degli alberi delgiardino, e solo del frutto di un albero c!e sta nel mezzo del giardino /io !a detto 'on lo mangiate, anzi non toccatelo nemmeno, altrimenti morireteFH

llora il serente disse alla donna 'o, "oi non morirete. nzi, il Signore sa c!e,

6ualora "oi ne mangiaste, "i si arirebbero gli occ!i e di"entereste come /io,ac6uistando la conoscenza del bene e del maleH.Lo scoo eslicitamente dic!iarato della tentazione del serente 5 dun6ue il

ensiero dualistico, basato sulla dicotomia "eroVfalso e contraosto al ensieroolistico. Il /ia"olo si ri"ela cosQ come lo sirito della logica, e non a caso come tale"iene descritto da /ante&# e Goet!e&.

gli inizi la dicotomia /ioV/ia"olo e "eroVfalso non 5 ancora comletamentedefinita. La 9ibbia, infatti, non trascura il sorrendente tema della menzogna di"ina.d esemio, il 'almo E accusa eslicitamente Ia!"5 di a"er rotto il atto stiulatocon /a"ide, e di non a"er mantenuto gli imegni resi col oolo eletto. -a 5 nel

Libro di Giobbe c!e le contraddizioni di"ine eslodono tormentando ingiustamenteun uomo giusto c!e, nonostante tutto, mantiene salda la fede, Ia!"5 si ri"elamoralmente inferiore a lui.

'ella $isposta a Giobbe, ung isola in 6uesto eisodio il germe dell)incarnazione oic!J il +reatore si 5 ri"elato inferiore alla creatura, e in ossesso soltanto di unacoscienza indifferenziata, egli decide di farsi uomo er migliorarsi ed ac6uistaremaggiore coscienza, e di morire in esiazione dei eccati c!e lui stesso !a commessonei confronti dell)umanit7. 'ella sicanalisi Zung!iana, l)incarnazione di"enta dun6ueuna immagine mitologica della resa di coscienza sicologica da arte dell)inconscio.

E +risto e Lucifero raresentano le due olarit7 comlementari della coscienza&4,finalmente ricomosta doo la rimozione agostiniana del manic!eismo.

9enc!J "erit7 e menzogna, e dun6ue /io e /ia"olo, sembrino indistricabilmentelegati alle origini, la mitologia cristiana tent di stabilire una netta searazione$9angelo secondo Gio%anni, III, &&%

oi a"ete er adre il /ia"olo, e "olete soddisfare i desideri del adre "ostro. Egli fuomicida fin dal rinciio, e non erse"er nella "erit7, erc!J in lui non c)5 "erit7.

&#Tu non ensa"i c!)io loico fossiH, Inferno, II, 12*. $ !.d.A.%&Ic! rat)Euc! drum @uerst +ollegium Logicum, ti consiglio anzitutto di iscri"erti ad un corso di logicaH, Faust , "".1810B1811. $ !.d.A.%&4Gli gnostici crede"ano c!e il serente della tentazione fosse in realt7 un tra"estimento c!e il 3iglio a"e"a assunto er

oter offrire all)uomo la caacit7 di riconoscere l)imerfezione del Padre. $ !.d.A.%

(2



=uando mente arla di ci c!e gli 5 rorio, erc!J 5 bugiardo e adre della menzogna. me in"ece, oic!J "i dico la "erit7, non credete.

'elle arole di +risto il /ia"olo di"enta cosQ adre della menzogna, e genera lasua rogenie attra"erso l)oera dei bugiardi. 'on stuisce allora c!e le Scritture

abbiano fatto il ossibile er render loro la "ita difficile, ordinando di non dire falsatestimonianzaH $ )sodo, CC, 1#%, ammonendo c!e la menzogna uccide l)animaH$'apien(a, 1 II%, e minacciando c!e la sorte dei bugiardi 5 uno stagno ardente difuoco e zolfoH $ Apocalisse, I, 4%.

Se +risto, affermando io dico la "erit7H, intende contraorsi al /ia"olo,6uest)ultimo non otr7 c!e affermare io dico il falso. =uesta 5 "eramenteun)affermazione diabolica, e genera un aradosso cosQ subdolo c!e gli dedic!eremoun intero caitolo. olendo contraorsi a Ia!"5, il /ia"olo a"rebbe in"ece do"utoaffermare io non sono colui che sono. 'on saiamo se l)abbia mai fatto, ma 5 statocerto lui a suggerire l)affermazione al suo degno disceolo Iago, nell)-tello $I, 1, #(%.

La mitologia islamica ritorna a una contraosizione meno netta fra /io e /ia"olo.d esemio, il racconto della creazione dell)uomo rende una iega inasettata$2orano, , 24B&*, e III, 1B4(%

Il Signore disse agli angeli Io creer un uomo di argilla secca, resa da fango neroimastato, e 6uando l)a"r modellato e gli a"r soffiato dentro il mio sirito, rostrate"ida"anti a lui in adorazioneH. E tutti gli angeli si rostrarono, eccetto Iblis, c!e si rifiut diunirsi a loro.

E /io gli c!iese Iblis, c!e !ai, erc!J non ti rostri con gli altri in adorazioneH Iblis

risose 'on sia mai c!e io adori un uomo, creato dall)argilla secca, dal fangoimastatoFH /isse allora /io attene di 6ui, reietto, e c!e tu sia maledetto sino algiorno del giudizioFH Iblis risose Signore, oic!J tu mi !ai ingannato io render bellaagli occ!i dell)uomo ogni turitudine, e li inganner tuttiH.

/io crea cosQ un dilemma "eramente diabolico, un)alternati"a da cui si u usciresoltanto disobbedendo o direttamente, all)ingiunzione di adorare damo, oindirettamente, al comandamento di non adorare altri c!e /io. E il /ia"olo si tro"ac!iuso di fronte ad una coia di ordini contraddittori c!e non gli lasciano scamo, ec!e costituiscono un tiico esemio di 6uei doppi %incoli sui 6uali torneremo in

seguito.

I paradossi in croce

La rima aarizione del aradosso nel cristianesimo si tro"a negli Atti diGio%anni, c!e ci mostrano un GesK iK in sintonia col musical 8esus 2hrist 'uperstarc!e coi angeli canonici. /urante l)ultima cena egli a"rebbe infatti diretto un

girotondo degli aostoli, e mentre essi danza"ano in cerc!io tenendosi er mano luia"rebbe intonato un inno, nei cui "ersi 5 alese la coincidenza degli oosti $nellaforma atti"oVassi"o%

(*



oglio essere sal"ato e "oglio sal"are. men.oglio essere liberato e "oglio liberare. men.oglio essere ferito e "oglio ferire. men.oglio essere generato e "oglio generare. men.oglio essere mangiato e "oglio mangiare. men.oglio essere la"ato e "oglio la"are. men.oglio essere unificato e "oglio unificare. men.

nc!e Paolo di Tarso resenta, nella rima lettera ai 2orin(i $I, 1B28%, ilcristianesimo come una teologia moltelicemente aradossale. Esso redica infatti un/io c!e si fa uomo, un immortale c!e di"enta mortale, un onniotente c!e finiscecrocifisso, una saienza ri"olta agli ignoranti, una ricc!ezza riser"ata ai o"eri, una otenza destinata ai deboli. La fede cristiana "iene eslicitamente descritta da Paolocome uno scandaloso manifestarsi della di"init7, c!e sconfigge la ragione dell)uomo

-entre i giudei c!iedono miracoli e i greci cercano la saienza, noi redic!iamo +ristocrocifisso, scandalo er i giudei e follia er i gentili. -a er i c!iamati, giudei e greci,+risto 5 otenza di /io e saienza di /io, erc!J la follia di /io 5 iK saiente degliuomini, e la debolezza di /io 5 iK forte degli uomini.

Tertulliano, "issuto "erso il 200, "iene attribuita la memorabile frase credo ;uiaabsurdum, credo erc!J 5 assurdoH. In maniera forse meno memorabile, ma sullostesso tono, Tertulliano ribadi"a oi

credibile c!e il figlio di /io sia morto, erc!J 5 inconceibile. certo c!e siarisorto, erc!J 5 imossibile.

=ueste osizioni orta"ano alle estreme conseguenze la concezione della fedecristiana inaugurata da Paolo in"ece di stare sulla difensi"a accettando di crederebench# fosse assurdo, esse arti"ano all)attacco roonendo di credere perch# lo era.

nselmo d)osta inaugur nel secolo I una fase nuo"a della teologia, 6uandoasserQ credo ut intelligam, credo er caireH. Egli contraone"a infatti la sua osizione a 6uella del caisco er credereH, c!e sembra"a essere la naturale

conseguenza della sua ro"a ontologica dell)esistenza di /io. =uesta ro"a genercomun6ue un tentati"o di ricostruzione razionale della teologia, durato tutta lascolastica e culminato nella 'umma theologiae di Tommaso d)6uino, c!e mira"a aridurre la fede alla ragione. In altre arole, a eliminarne aunto l)asetto aradossale.

In tutt)altra direzione "anno le affermazioni del mistico o!annes Ec>!art $12#0B1*2%, secondo il 6uale fuori di /io non c)5 c!e il nulla, e /io stesso 5 nulla di nulla.Le due dic!iarazioni si comletano a "icenda, oic!J roongono da un lato unradicale nic!ilismo, e dall)altro un globale anteismo tutto 5 niente, ma niente 5 /io,

dun6ue tutto 5 /io.

(&



senso letterale, una traolaH $ skandalon% in cui la ragione cade andando alla ricercadel di"ino, e da cui si u uscire soltanto con un balzo, un salto di fede nell)ignoto.

'el caso c!e oi la cosa non fosse sufficientemente c!iara, ?ier>egaard !a recisato c!e il segno della fede 5 recisamente la crocifissione della ragioneH.=uest)ultima di"iene dun6ue, come +risto stesso, un agnello sacrificale destinato a

atire una lunga %ia crucis di flagellazioni e suti, er togliere i eccati dal mondo.L)inesauribile "italit7 della concezione irrazionale della religione 5 testimoniatadalle numerose rooste c!e essa !a a"anzato nella seconda met7 del secolo . La iK radicale !a reso le "uote forme della teologia della morte di /io di T!omasltizer, Rilliam Aamilton e Paul "an 9uren autori di oere dai titoli memorabili,6uali Il 9angelo dellateismo cristiano. =uesta teologia offre "ariazioni sul tema di 'ietzsc!e /io 5 mortoH $Gaia 'cien(a, 12(%, c!e a sua "olta 5 una "ariazione su untema di Plutarco Il grande Pan 5 mortoH.

La morte di /io 5 stata intesa in "ari modi, accomunati soltanto da una negazione

dell)idea tradizionale di /io. Egli 5 oggi oscurato, o silente, o assente, o artito, o da6ualc!e arte ma non nel mondo, o mai esistito. Oure, 5 sintatticamenteinesrimibile, o semanticamente "uoto e senza senso, o dialetticamente scomarsonella sintesi $incarnazione% di tesi $di"init7% e antitesi $umanit7%.

Il risultato di 6ueste remesse 5 l)ossimoro della teologia ateista, secondo cui sido"rebbe "edere l)essenza dell)incarnazione nel assaggio dal di"ino all)umano. O,in assenza del Padre, ci si do"rebbe accontentare del 3iglio, o di "ersioni ancora iKdeboli $forse il 'iote, il cui 'onno otrebbe essere l-nnipotente%. O si do"rebbeammettere c!e /io non 5 ancora arri"ato, ma continuare a serare c!e arri"i,religiosamente asettando God$ot%H. O si otrebbe essere credenti soltanto noncredendo, o sacri soltanto essendo rofani, e cosQ "ia.

In 6uest)ottica, la teologia della secolarizzazione di Aar"e; +oC roone di esserereligiosi essendo secolari. Essa retende di classificare i tratti essenziali dellasecolarizzazione come una conseguenza logica dell)insegnamento biblico lacreazione testimonia il distacco della natura da /ioW l)esodo isira alla ribellionecontro il otere totalitarioW il oolo errante roone un modello sociale basato sullamobilit7W e +risto definisce un)etica di amore e di dedizione al rossimo.

ltrettanto aradossali, sebbene in un)accezione di"ersa, sono le "arie teologie c!eintendono farsi carico, da una rosetti"a religiosa, delle roblematic!e di classe,

razza e genere. :i"olgendosi, cio5, a +risto come alternati"a a +!e Gue"ara,-alcolm o Simone de 9eau"oir. E dimenticando c!e rorio nel nome di +ristosono state sistematicamente a""ersate le inno"azioni scientific!e, filosofic!e e olitic!e iK significati"e degli ultimi secoli dal sistema coernicanoall)e"oluzionismo, dal razionalismo all)esistenzialismo, dagli stati di diritto alleri"oluzioni.

O""iamente, la aradossalit7 di tutti 6uesti e6uilibrismi teologici sta aunto nelfatto c!e, e"itando di trarre dalle rorie analisi la ossibile conclusione c!e ilcristianesimo 5 arte integrante del otere caitalista, razzista e sessista, e come tale

andrebbe combattuto e abbandonato, essi offrono in"ece a tale otere, mediantenuo"e interretazioni dottrinali, una ossibilit7 di sora""i"enza.

(#



Possibilit7 c!e non tarda a di"enire attualit7. +ome dimostrano, da un lato, ilsostanziale fallimento delle "arie lotte di liberazione. E, dall)altro, il ristabilimentodell)ortodossia da arte di Gio"anni Paolo II, c!e !a definiti"amente c!iuso sia leaerture del +oncilio aticano II, c!e le ingenue seranze delle teologie aradossali.

Applausi a una mano sola

Lao Tze $secolo I a.+.% are il Tao T(e 2hing , rimo classico del taoismo, conl)affermazione Il Tao di cui si arla non 5 il "ero TaoH. E lo conclude dicendo +!isa non arla, c!i arla non saH. 'aturalmente, ci c!e sta in mezzo rocede sullostesso tono, e dic!iara di assaggio La "erit7 5 aradossaleH.

+on 6ueste remesse, cercare di caire ositi"amente cosa sia il Tao 5 imossibile,essendo esso indicidibile ed ineffabile. Il c!e ermette di identificarlo, a iacere, conl)ssoluto, la 'atura, il uoto, il +ammino, la ia, eccetera. 'on stuisce, allora, c!ein"ece di trattati filosofici il taoismo abbia rodotto raccolte di aforismi e aneddoti,con l)intento di mostrare con esemi ci c!e non si u esrimere con arole.

La iK nota di 6ueste raccolte 5 certamente il 2huang T(u, c!e rende il titolo dalnome del suo autore $*#8B24# a.+.%. sua "olta, la iK nota storiella del libro 5 laseguente

na "olta +!uang Tzu sogn c!e era una farfalla s"olazzante e soddisfatta della suasorte, ed ignara di essere +!uang Tzu. 9ruscamente si ris"egli, e si accorse con stuore

di essere +!uang Tzu. 'on see iK allora se era Tzu c!e sogna"a di essere una farfalla,o una farfalla c!e sogna"a di essere Tzu.

La morale, naturalmente, 5 c!e non si u distinguere la realt7 dal sogno, e dun6ueneure la "erit7 dalla falsit7. nzi, non si u distinguere rorio niente, comedic!iara eslicitamente il titolo del caitolo da cui l)aneddoto 5 tratto L)uguaglianzadi tutte le coseH.

Su 6ueste remesse, il taoismo s"ilu un ensiero aradossale e antintellettualec!e considera"a gli oosti non contradditori, come nella logica occidentale, macomlementari. Il Tao fu identificato con la loro combinazione, "ista come metafora

dell)incessante a""icendarsi delle stagioni e delle "ite, e "enne raresentato col tai3chi, tra"e maestraH $figura *8%, simbolo dell)unione di 0in e 0ang.

(



3igura *8

T)aiBc!i, simbolo dell)unione di 0in e 0ang .

nc!e in Occidente non sono mancate scuole di ensiero c!e !anno accettato lacomlementarit7 degli oosti basti ensare a sofisti, dialettici e decostruzionisti. -ada noi il rinciio di non contraddizione non !a mai erduto la sua osizionedominante, sorattutto nel ensiero scientifico. In +ina, in"ece, la comlementarit7taoista !a segnato lo s"iluo del ensiero religioso e filosofico, innestandosi sessoanc!e su cei ad essa estranei.

Il caso iK eccellente di 6uesta fecondazione lo si ebbe certamente col budd!ismo,c!e fu esortato in +ina nel (20 dal monaco indiano 9od!id!arma $&0B(*&%. 'aturalmente, "iste le caratteristic!e del budd!ismo stesso, la confluenza col taoismoera da re"edere. nzi, i cinesi arri"arono addirittura a ensare c!e il buddismo fosseuna "ersione indiana del taoismo, ritornata finalmente in atria.

Effetti"amente, molti aforismi e aneddoti budd!isti !anno un inconfondibile saoretaoista. Pensiamo, ad esemio, alla definizione di PoB+!ang $20B41&% dell)essenzadel budd!ismo -angiare 6uando si !a fame, dormire 6uando si !a sonnoH. +osa, aradossalmente, iK facile da dire c!e da fare, sorattutto nella nostra societ7.

O, iK mitologicamente, ricordiamo la leggenda c!e la tradizione associa allanascita stessa del budd!ismo cinese. n giorno al 9udd!a, sul Picco dell)""oltoio,fu offerto un fiore e ric!iesto di fare un sermone sulla legge. Egli fece lentamentegirare il gambo del fiore fra le dita, senza arlare. Solo ?as;aa, il migliore deglistudenti, caQ e sorrise in silenzio. =uel muto insegnamento fu da lui trasmesso a unaserie di "entotto successi"i atriarc!i, l)ultimo dei 6uali fu aunto 9od!id!arma.

rri"ato al monastero di S!aolin, 9od!id!arma rimase seduto er no"e anni difronte ad una roccia, lasciando"i un segno c!e si "ede ancor oggi. La nuo"a scuolacinese da lui fondata fu c!iamata 2han, meditazioneH, erc!J in origine si basa"aaunto sulla meditazione come unico mezzo er raggiungere l)illuminazione.Poic!J, er, non tutti ossono o "ogliono stare er anni seduti a meditare, la scuolaassunse resto un carattere ri"ato ed elitario.

(4



cattolicesimo al militarismo occidentale, dalla ca"alleria medioe"ale al fascismoeuroeo e sudamericano&8.

Le scuole (en oggi iK diffuse in Giaone sono la :inzai e la Soto. La rimaconta due milioni di seguaci e fa"orisce l)illuminazione imro""isa ottenuta mediantelo studio dei koan e le botte. La seconda, o""iamente iK oolare, !a circa sei

milioni di aderenti e fa"orisce in"ece l)illuminazione graduale raggiunta attra"erso la ratica meditati"a dello (a3(en, (en sedutoH.In +ina, in"ece, il 2han roser fino alla dinastia -ing. In seguito le "arie

scuole budd!iste stemerarono le loro di"ersit7 e confluirono nella scuola della TerraPura, c!e limita la ratica alla ossessi"a rietizione del nome di mitab!a $-3mi3to

fo%. Il 2han si dissolse cosQ in una "uota ritualit7 oolare, analoga ai rosari e allelitanie cristiane, e oggi 5 raticamente scomarso.

9ogliamo scher(are?

Poic!J, sostanzialmente, lo (en 5 un gioco di arole, non u stuire c!e anc!e inOccidente siano stati s"iluati degli e6ui"alenti, iK o meno blandi, dei koan.

+)5, anzitutto, una tradizione di umorismo aradossale, un bell)esemio del 6uale 5la risosta di o!n -a;nard ?e;nes $144*B18&#% a un inter"istatore c!e gli c!iede"auna re"isione economica a lungo termine lla lunga, saremo tutti mortiH. Lo stilericorda 6uello del maestro (en c!e risolse il roblema teologico di c!e cosa succededoo la morte, dicendo Si sta sotto mezzo metro di terra, a ancia in suH.

Gi7 i sofisti "eni"ano considerati degli umoristi. La stessa cosa si u dire degliscettici. O dei retori come Erasmo da :otterdam, c!e nel 1(11 scrisse un )logio della

follia, e del suo seguace Ortensio Lando, c!e nel 1(&& ubblic una serie di trenta aradossi in cui rese le assurde difese di o"ert7, ignoranza, guerra, rigionia emorte. +osa, eraltro, anticiata dagli arezzamenti dell) )cclesiaste $II, 1B#% ermugugni, mestizia, ianto, lutto e morte.

Il nonsense inglese 5 certamente una reincarnazione del koan. Il suo esonente iKsignificati"o 5 stato LeDis +arroll, c!e, guarda caso, era un rete e un matematico. Lesue oere letterarie, da Alice nel paese delle mera%iglie a 'il%ia e &runo, sono delle

"ere antologie di ci c!e lice c!iama indo"inelli senza risostaH, osser"ando c!esono certamente nella mia lingua, ma non li caiscoH. Eccone alcuni esemi

+!e cosa, esattamente, non ricordi+!i, recisamente, non !ai reso in girouoi un regalo di nonBcomleanno+on l)esercizio, uoi abituarti a credere anc!e le cose imossibili.Se un senso non c)5, non dobbiamo cercare di tro"arlo.

&8n analogo e tiico aradosso dei reazionari 5 di essere, simultaneamente, contrari all)aborto ma fa"ore"oli alla enadi morte. 6uesto roosito, si ricordi c!e il aticano !a cancellato la ena di morte dalla sua costituzione $Legge3ondamentale% solo nel 2001, e c!e gli Stati niti la mantengono tuttora in "igore. $ !.d.A.%

#0



Le iK tiic!e immagini (en di +arroll sono sicuramente il sorriso del gatto del+!es!ire, c!e rimane doo c!e tutto il resto 5 s"anito, e la fiamma della candela, c!erimane doo c!e 6uesta si 5 comletamente consumata.

=uanto al taoismo, baster7 ricordare c!e Alice attra%erso lo specchio riroduce lastoriella della farfalla di +!uang Tzu. TDeedledum e TDeedledee dicono infatti ad

lice c!e l)intera storia 5 soltanto un sogno del :e :osso, c!e dorme er tutto iltemo, e 6uando lei si ris"eglia non sa iK c!i !a sognato cosa. L)ultimo "erso della oesia finale, conferma il dubbio Life, what is it but a dream?, La "ita cos)5, se nonun sognoH

n)altra reincarnazione occidentale del koan 5, o""iamente, il surrealismo. 9asti ensare, ad esemio, agli aforismi c!e comaiono nel saggio Limmacolataconce(ione di ndrJ 9reton e Paul Eluard, del 18*0, c!e non sfigurerebbero in unaraccolta (en

ssegna un "alore sconosciuto ai tuoi sogni dimenticati.

Scri"i imerituramente sulla sabbia. 'on stare mai ad asettare te stesso.Lascia c!e sia il cuscino a s"egliarti.9ussa, dQ "antiFH, e non entrare.

na delle inno"azioni iK significati"e del surrealismo 5 stata l)allargamento delmezzo esressi"o del koan dalle arole alle immagini. Le arti chan e (en, eraltro ben s"iluate, non si roone"ano infatti di illustrare "isi"amente i koan. Se non,forse, nella famosa immagine della trascendenza di ?;oto Tomi>ic!iro To>uriri er i

6ieci tori di 1akuan $figura &0%. Immagine, er altro, simile al $itratto di 'ua Immanen(a lAssoluto osto in coertina dalla ri"ista 7ind sul numero di 'atale del1801 $figura &1%.

3igura &0?;oto Tomi>ic!iro To>uriri, Il toro e l)io trascesi entrambi.

#1



3igura &1:iroduzione del frontesizio della ri"ista 7ind ,

numero seciale di 'atale, 1801.

I aradossali 6uadri di Sal"ador /alY, -aC Ernst e :enJ -agritte, cosQ come glialtrettanto aradossali film di Luis 9uMuel, crearono in"ece una nuo"a forma "isi"adi koan, arendo le orte dell)arte all)irrazionale e all)inconscio.

7ettiamo la mamma a letto

Il legame del surrealismo con 3reud e la sicanalisi 5 eslicito, e lo fu findall)inizio. =uello con la religione di"enta lausibile non aena si noti c!e la sicanalisi costituisce una "ersione secolarizzata del +ristianesimo, in cui il ParadisoTerrestre 5 lo stato rene"rotico, la +aduta il trauma dell)infanzia, il Peccato lane"rosi, il -essia lo sicanalista, e la Grazia l)analisi. O c!e 5 surrealistal)atteggiamento delle tre religioni ri"elate, di scambiare il linguaggio mitologico dei

#2



rori libri sacri er un linguaggio logico, assegnando "alenza metafisica a agineletterarie c!e ne ossiedono tanta 6uanto i oemi omerici.

/alla lausibilit7 si assa alla necessit7 6uando si ricordi c!e la religione,sfrondata di ci c!e ?e;nes c!iama"a tradizione, con"enzione e circon"enzioneH, si u aunto ridurre all)identificazione di /io con l)Inconscio, e della sal"ezza con la

Sua scoerta(0

.=uesta identificazione 5 ben nota a tutti coloro c!e !anno occ!i er "edere eorecc!ie er intendere. d esemio, in Occidente, a Rilliam ames $14&2B1810%, c!enel classico Le %arie forme dellesperien(a religiosa, del 1802, iotizza"a +i concui ci sentiamo connessi nell)eserienza religiosa 5 il rolungamento inconscio dellanostra "ita consciaH. In Oriente, ossiamo citare /aisetz Suzu>i $14#8B18##%, c!enell)altrettanto classico Leserci(io koan come me((o per reali((are il satori, del18**, defini"a L)illuminazione (en 5 la realizzazione dell)InconscioH.

Per ottenere 6uesta realizzazione lo (en, la sicanalisi e il surrealismo roongono

di seguire la stessa "ia, gi7 anticiata dal taoismo gire senza agireH, cio5 adattarsial naturale fluire delle cose senza interferir"i artificialmente. seconda dei casi si arla di "uoto mentaleH, di associazioni libereH o di automatismoH. 9enc!J inomi cambino, in tutto il discorso recedente la sostanza rimane comun6ue la stessas"incolare il ensiero dalle corazze della ragione e ermettergli di seguire la sua"ocazione aradossale. Il c!e 5, aunto, ci c!e stiamo cercando di fare in 6uestolibro.

Il legame fra sicanalisi e aradossi 5 comun6ue iK stretto di 6uanto si ossasuorre. nzitutto, esiste una scuola orientale eslicitamente basata sul koan. Sic!iama terapia 7orita(1, dal nome del suo in"entore S!oma -orita $14&B18*4%. Inuna rima fase, il aziente "iene tenuto in un isolamento e un)inatti"it7 totali er "arigiorni. In una seconda fase, il teraeuta con"ersa con lui er iscritto e risonde inmaniera aradossale alle sue osser"azioni. In articolare, dando consigli del tioPermetti ai sintomi di rimanere come sonoH, o 'on agire come un azienteH.

Simmetricamente, esiste un)analoga sicoteraia occidentale c!e rende il nome di scuola di alo Alto, e si fonda sul concetto di doio "incolo introdotto da Gregor;9ateson $180&B1840%. =uesta nozione, sulla 6uale torneremo in seguito, 5 stata findagli inizi esemlificata facendo un eslicito riferimento al koan sulle bastonate "istosora(2. Simili situazioni senza uscita disorientano e ossono anc!e scatenare la

sc!izofrenia, se troo rietute. Lo (en e la teraia !anno dun6ue come comunescoo la soluzione aradossale di roblematic!e simili e aarentemente insolubili,con una conseguente illuminazione o guarigione.

'aturalmente, sc!izofrenia e teraia aradossale sono un male estremo e unestremo rimedio. PiK diffuso 5 in"ece il disagio causato dalla deumanizzazione della"ita occidentale, er il 6uale un)arte aradossale di consumo u forse s"olgere

(0Le religioni occidentali mirano a rendere conscio l)inconscio mentale, c!e identificano aunto con /io. =uelleorientali si dedicano in"ece a rendere conscio l)inconscio fisico, cio5 alcuni $nel tantrismo tutti i% rocessi diresirazione, digestione, defecazione, orgasmo, sonno, sogno e morte. $ !.d.A.%(1Ta>e!isa ?ora e ?oZi Sato, 7orita therap0. A ps0chotherap0 in the wa0 of en, Ps;c!ologia, I $18(4% 218B22(.$ !.d.A.%(2G. 9ateson, /. ac>son, . Aale; e . Rea>land, Toward a theor0 of schi(ophrenia, 9e!a"ioural Science, I $18(#%2(1B2#&. $ !.d.A.%

#*



un)analoga funzione teraeutica. =uesto sieg!erebbe, almeno in arte, il successo di3ranz ?af>a e Aarold Pinter, c!e descri"ono lassurdo c!e ermea ogni asetto della6uotidianit7. O di George OrDell ed ldous AuCle;, c!e esongono le demenzialicostrizioni imoste dal totalitarismo. O di Primo Le"i e le>sandr Sol\enic;n, c!enarrano le disumane condizioni di "ita dei lager. I circoli "iziosi e tragici sembrano,

infatti, esrimere la condizione del 'o"ecento euroeo meglio dei circoli "irtuosi ecomici da cui siamo artiti, forse iK adatti ad altri temi e luog!i.

La chimica del paradosso

I aradossi del surrealismo ci !anno ermesso di gettare un onte di collegamentofra taoismo e sicanalisi. =uesti estremi, aarentemente lontani, si ossono anc!ecollegare seguendo un ercorso alternati"o c!e assa attra"erso i aradossidell)alc!imia.

Le origini orientali dell)imresa di trasformazione degli elementi si tro"ano nell) I2hing , Libro delle mutazioniH un testo risalente al rimo millennio a.+., c!edi"enne un classico sia taoista c!e confuciano. La sua struttura si basa su #&esagrammi, ottenuti combinando in tutti i modi ossibili sei rig!e intere $ 0ang % osezzate $ 0in%. Gli esagrammi comaiono nel testo a coie comlementari osimmetric!e, ma l)ordine delle coie 5 aarentemente casuale. artire dal secoloI essi furono riordinati in maniera numerica, ensandoli come raresentazioni binarie di numeri comosti delle sole cifre 0 e 1 $figura &2%. Gli esagrammi

costituiscono dun6ue la base dell)aritmetica binaria, $ri%scoerta in Occidente daLeibniz soltanto nel 1#8.

3igura &21#& esagrammi nell)ordinamento originario degli I 2hing $in cerc!io%e nell)ordinamento aritmetico binario $al centro%.

#&



+ome suggeriscono sia la comlementarit7 di 0in e 0ang , sia lo stesso titolo dellibro, l)idea dominante dell) I 2hing 5 c!e le linee intere ossono sezzarsi, e 6uellesezzate riunirsi. In tal modo gli esagrammi si mutano l)uno nell)altro, con un rocesso c!e raresenta la corrisondente trasmutazione degli elementi c!imici ad

essi associati. Se i taoisti lessero l) I 2hing come un testo di alc!imia, oggi i c!imici ossono "edere nella ta"ola dei #& esagrammi una refigurazione della tabella di-endelee" tra l)altro, con un numero comarabile di elementi. Il tutto !a,naturalmente, anc!e un)interretazione sicologica, legata alle massime associate agliesagrammi e messa in e"idenza dalla famosa refazione di ung.

=uanto alle origini occidentali dell)alc!imia, esse sono registrate direttamentenella arola stessa, c!e 5 il nome arabo dell)Egitto al31hem. L)imresa si fa risaliread Ermete Trismegisto, sincretica combinazione di tre di"init7 il Tot! egizio,l)Aermes greco ed il -ercurio romano. L)aellati"o Trismegisto, c!e significa tre

"olte grandeH, enuncia esressamente il dogma dell)unit7 di 6uesta Trinit7.I 6uindici comandamenti dell)alc!imia furono incisi da Ermete su una ta"ola dismeraldo, c!e sarebbe stata ritro"ata nella sua tomba da lessandro -agno. llata"ola era associato il Sigillo IT:IOL, acrostico di 9isita Interiora Terrae,

$ettificando In%eniens -ccultum Lapidem, Scendi nelle "iscere della terra e,interretando(*, tro"a la ietra nascostaH. Il secondo dei 6uindici comandamenti,+osQ 5 in +ielo come in Terra, e in Terra come in +ieloH, stabili"a la aradossaleidentit7 di macrocosmo e microcosmo, c!e sarebbe di"enuta uno dei tratticaratteristici del ensiero alc!emico.

L)alc!imia occidentale seguQ due "ie classic!e. La iK antica, secca, usa"a il fuoco er la fusione. Gli arabi la c!iamarono al3iksir , asciuttoH, da cui deri"a la arolaelisirH. La seconda "ia, umida, risale a -aria l)Ebrea, c!e nel I secolo d.+. scorQ adlessandria il rocedimento detto, in suo onore, bagnomariaH. 3urono er gli arabiad in"entare lo strumento rincie di 6uesta "ia, l)alambicco $da al3ambi;, "asoH%,c!e ser"Q er la distillazione dell)alcool $da al3ghul , demonioH, significato c!e si 5conser"ato sotto siritoH%. i reciienti "eni"a oi aosto il Sigillo di Aermes, c!esarebbe la nostra c!iusura ermetica.

Poic!J non ossiamo, o""iamente, correre dietro alla storia dell)alc!imia, cilimiteremo a ricordare c!e essa subQ "arie ersecuzioni, da /iocleziano nel 28# a

+arlo nel 1*40, er s"ariati moti"i. Per un certo eriodo, doo la sua riscoertamedioe"ale, a"e"a er attecc!ito negli ambienti ecclesiastici. d esemio, la raticarono francescani come :uggero 9acone e :aimondo Lullo, e domenicanicome Tommaso d)6uino ed lberto -agno. 6uest)ultimo si de"e addirittura la rima sintesi di un elemento c!imico elementare l)arsenico. In genere, er,l)alc!imia fu considerata un)atti"it7 demoniaca, come ogni imresa di conoscenzanon deri"ante esclusi"amente dalle Scritture.

(*Sia l)ermeneutica c!e l)ermetismo, cio5 le ossibili tecnic!e di interretazione e le teorie di imossibileinterretazione, deri"ano il loro nome da Ermete. L)interretazione era infatti "ista come un messaggio c!e gli uominirice"e"ano dagli d5i attra"erso Aermes, loro messaggero. ncor oggi, in russo, si usa rice"ereH $ poluciat % nel senso diottenere un risultato o una dimostrazione. $ !.d.A.%

#(



=uesta caratteristica 5 eslicita nella "icenda di 3aust, c!e 5 l)arc!etiodell)alc!imista. Gi7 nella rima anonima "ersione della sua storia, ubblicata dao!ann Siess nel 1(4, comare il atto col /ia"olo

Io, dottor Io!annes 3aust, essendomi roosto di indagare gli elementi, e non

ritro"andone la caacit7 nella mia testa, secondo i doni graziosamente elargitimi dal+ielo, nJ otendo arendere tali cose dagli uomini, mi sottometto al 6ui resente sirito-efistofele, in"iato e ser"itore del Princie Infernale d)Oriente, ed eleggo il medesimo amio insegnante di tali cose.

Se il dottor 3aust 5 l)alc!imista letterario iK noto, grazie anc!e agli omonimicaola"ori di +!risto!er -arloDe, Rolfgang Goet!e e T!omas -ann, l)eroe storicodell)imresa fu P!ilius ureolus T!eo!rastus 9ombast "on Ao!en!eim, meglionoto come Paracelso $1&8*B1(&1% lui si de"e, tra l)altro, l)introduzione del termine6uintessenzaH. E il suo nome 5 all)origine dell)esressione inglese bombast , c!e

corrisonde a rodomontataH o guasconataH. Il c!e testimonia il carattere diesagerazione aradossale c!e oggi "iene attribuito alle sue suoste imrese.

In realt7, l)alc!imia rinascimentale si tro"a"a a met7 del guado tra ciarlataneria escienza arla"a ancora il linguaggio della magia e del cristianesimo, ma comi"aormai eserimenti di c!imica. La sua ambi"alenza si trascin fino a 'eDton, c!e?e;nes descrisse come

L)ultimo dei mag!i, l)ultimo dei babilonesi e sumerici, l)ultimo delle grandi menti c!eguardarono al mondo "isibile e intellettuale con gli stessi occ!i di coloro c!e iniziarono a

costruire la nostra eredit7 culturale diecimila anni fa

(&

./oo di lui il legame fra religione e scienza fu reciso lo scienziato dismise i anni

del teologo e i linguaggi delle due rofessioni di"ennero incomatibili.3ino ad allora, er, l)alc!imia era stata soltanto una delle facce di un aradigma

totalizzante c!e comrende"a anc!e l)astrologia, oltre alla religione. d esemio, oic!J -ercurio funge"a simultaneamente da elemento, ianeta e di"init7, i discorsisu di esso ote"ano facilmente sci"olare da un iano all)altro senza difficolt7. Perdirla con ung, c!e non era certo re"enuto La s"entura degli alc!imisti fu 6uella dinon saer neure loro di c!e cosa arlasseroH. +on l)a""ento della c!imica,

dell)astronomia e della sicanalisi si 5 finalmente caito c!e arla"ano di unacomrensione atti"a del mondo atomico, della cosmologia e della sic!e umana.

Ostinarsi oggi a "oler ensare in termini alc!emici, astrologici o religiosi sarebbe,dun6ue, un anacronismo aradossale. -a, er fortuna $se non del mondo, almeno di6uesto libro%, i aradossi esistono. :egistriamo dun6ue, fra 6uelli generici, lasora""i"enza dell)alc!imia nei circoli esoterici e tra i seguaci della new age, e ladiffusione dell)astrologia e della religione anc!e in ambienti e tra ersone altrimentiinsosettabili((.(&.-. ?e;nes, !ewton, the 7an, in T!e :o;al Societ; 'eDton Tercentenar; +elebrations, +ambridge ni"ersit; Press,

18&. $ !.d.A.%((:a;mond Smull;an !a notato, in Il Tao : silente, c!e le credenze irrazionali non sono necessariamente ro"a distuidit7 otrebbero essere effetti ostinotici indotti da un)educazione inotica, eliminabili soltanto con unadeinotizzazione. 'on a caso ose! de -aistre, teorico della :estaurazione, dice"a /ateceli dai cin6ue ai dieci anni,

##



/egli secifici aradossi della religione abbiamo gi7 arlato. 6uellidell)astrologia baster7 accennare, notando c!e la teoriaH non tiene neure conto delfatto c!e le costellazioni sono in"enzioni mitologic!e e non oggetti astronomici. Inogni caso, le costellazioni "isibili dello @odiaco sono tredici e non dodici mancainfatti all)aello Ofiuco, o Serentario. E il Sole ercorre le dodici costellazioni

canonic!e in temi di"ersi, non mensili. E la recessione degli e6uinozi !a ormaisfasato l)assegnazione classica dei segni, il c!e non imedisce a c!iun6ue diconoscere il rorio segno $sbagliato% e agli oroscoi di comarire su 6ualun6uegiornale e ri"ista.

I aradossi dell)alc!imia ric!iedono in"ece un o) iK di attenzione. Iniziamo colnotare c!e la geometria offrQ agli alc!imisti un linguaggio aroriato erl)esressione di alcune delle loro "isioni. Il punto raresenta"a sia la scintilladell)anima c!e il centro creati"o della natura. Gli assi cartesiani, con le 6uattrosemirette c!e si diartono da un unto in direzioni mutuamente erendicolari,

indica"ano i 6uattro elementi deri"anti dall)Origine $c!e si c!iama cosQ anc!e inmatematica%. Il cerchio infinito, con il centro do"un6ue e la circonferenza in nessunluogo, forni"a un)adeguata metafora della di"init7. Il aradossale cerchio ;uadrato,c!e nel 1#1# diede il titolo a un)oera di -ic!ael -aier, simboleggia"a la misteriosaunione degli oosti.

=uest)ultimo simbolo era er troo astratto er oterlo immaginare. In Orientelo stesso contenuto fu raresentato "isi"amente attra"erso il mandala un cerc!ioracc!iuso in un 6uadrato, solitamente di"iso in 6uattro arti corrisondenti ai6uadranti degli assi cartesiani. In Occidente, in"ece, si referQ far riferimentoall)ancor iK concreto -uroborus il serente circolare c!e, come significa il suostesso nome greco, si mangia la coda $figura &*%. =uesta surema "isione diautoreferenzialit7 costituQ er l)Occidente un "ero e rorio analogo del tai3chiorientale, al unto c!e sesso il serente "eni"a colorato met7 bianco e met7 nero.

3igura &*L)-uroborus, il serente circolare c!e si mangia la coda.

'ell)antico Egitto l-uroborus circonda"a le ac6ue dell)Oceano Primordiale. 'ell) )dda 7inore circonda"a in"ece la Terra, in attesa di di"orarla al +reuscolo

degli /ei. 'el cristianesimo ass ad indicare il +risto autofago dell)ltima +ena,c!e mangia la roria carne e be"e il rorio sangue, rima di autoimmolarsi sulla

e saranno nostri er tutta la "itaH. $ !.d.A.%

#



croce. 'ell)alc!imia di"enne il simbolo delle nozze c!imic!e fra gli elementi, la cuiunione do"e"a generare frutti mera"igliosi la ietra filosofale, la anacea uni"ersalee la 6uintessenza. 'ella sicanalisi esso sta ad indicare una coscienza ancora indi"isa, rimiti"amente ri"olta su se stessa.

/a 6uest)ultimo unto di "ista, la fase autoreferenziale dell)-uroborus attende una

searazione di conscio e inconscio. +!e, untualmente, arri"a nel caduceo dueserenti intrecciati fra loro, di solito attorno ad un bastone $figura &&%. In Oriente essoraresenta le energie ositi"a e negati"a er il ?undalini $c!e significa auntoserenteH%, l)asse terrestre er i budd!isti, e l)lbero della ita er gli induisti.

3igura &&Il caduceo, formato da due serenti attorcigliati attorno a un bastone.

nc!e nel Genesi il serente sta attorcigliato all)lbero della +onoscenza, ma 5uno solo la resa di coscienza ro"ocata dalla caduta non 5 infatti ancora a""enuta. Ilsecondo serente del caduceo cristiano 5 o""iamente +risto stesso. 'on a caso, nel

7istero della 2aduta e della $eden(ione delluomo di Gio"anni da -odena, in San

Petronio a 9ologna, +risto 5 crocifisso all)lbero della +onoscenza e il serente "i 5attorcigliato. i iedi della croce stanno damo ed E"a, di cui +risto e -ariacostituiscono "ersioni ri"edute e corrette i 6uattro sono infatti gli unici esseri c!e lamitologia cristiana ritiene nati senza eccato(#.

In Occidente il caduceo di"enne il bastone di Aermes o -ercurio, c!e dona etoglie a suo talento il sonnoH $ Iliade, I, &*%. Poi ass in dotazione ad scleioo Esculaio, dio della medicina, della 6uale rimane ancor oggi il simbolo. In 6uestocaso i serenti raresentano i due asetti, curati"o e distrutti"o, dei farmaci. 'onstuisce dun6ue c!e se ne siano imossessati anc!e gli alc!imisti, estendendo la

(#L)immagine di +risto come secondo damo risale alla rima Lettera ai 2orinti $, &(B&8%. =uanto all)Immacolata+oncezione, essa costituisce un dogma er i cattolici dal 14(&, benc!J sia negata dagli ortodossi. $ !.d.A.%

#4



simbologia dalla medicina alla c!imica. In articolare, all)unione di zolfo e mercurio,secco e umido, caldo e freddo, e comagnia bella.

L)uso mitologico generalizzato del serente 5 in arte do"uto all)attrazionesimbolica del suo eriodico cambio di elle, c!e raresenta il aradosso dellarinascita doo la morte. L)animale iK indicato allo scoo 5, in 6uesto caso, la fenice

c!e rinasce dalle rorie ceneri. 'ell)antico Egitto essa indica"a il Sole, c!e a ognialba sorge dalle tenebre nelle 6uali era srofondato al tramonto. 'el cristianesimo ass a simboleggiare +risto, er o""i moti"i gli stessi c!e sinsero i Padri della+!iesa a identificarlo col Sole. 'ell)alc!imia la fenice di"enne l)immagine dellatrasmutazione degli elementi, c!e nell)alambicco erdono la "ecc!ia identit7 erac6uistarne una nuo"a. 'ella sicologia analitica indica in"ece la differenziazionedella coscienza dall)inconscio.

Le metafore biologic!e iK scontate della rinascita "anno dalla rocreazioneall)autofecondazione, c!e si situano agli estremi di uno settro dalla congiunzione

o""ia fra non consanguinei, a 6uella contradditoria con se stessi. La migliorarossimazione a 6uest)ultima imossibilit7 5 lincesto, c!e non a caso resentatratti fortemente aradossali. 9enc!J oggi esso sia riser"ato a sicoatici e er"ertiti,nell)antic!it7 costitui"a una rerogati"a degli d5i e dei so"rani.

La sua immagine iK eslicita la resenta la letteratura greca con la storia di Edio,c!e nella sicanalisi freudiana di"err7 il aradigma dell)omonimo comlesso. 'ellamitologia mediorientale l)incesto, benc!J rimosso, 5 una conseguenza imlicita dellagenerazione dell)umanit7 da una sola coia. Sull)argomento ossiamo anc!e fare ifinti tonti, ma c!e del roblema si accorgano ersino i sel"aggi lo dimostra 6uestodialogo, dal 'upplemento al %iaggio di &ougain%ille di /enis /iderot

[ molto c!e il tuo grande artefice senza testa, senza mani e senza utensili !a fatto ilmondo

['o. [E !a fatto tutta la secie umana nello stesso temo [+re solamente un uomo e una donna. [Ebbero dei figli [+ertamente. [Suoni c!e 6uei due rimi genitori abbiano a"uto solo femmine, e c!e la madre sia

morta er rima. O c!e non abbiano a"uto c!e figli masc!i, e c!e la donna abbia erso il

marito. [-i metti in imbarazzo. -a !ai un bel dire, l)incesto 5 un crimine abomine"ole, e

arliamo d)altro.

nc!e le relazioni fra il Padre e il 3iglio da un lato, e fra GesK e -aria dall)altro,sono tiicamente incestuose in entrambi i casi si tratta di autofecondazioni indirette,e /ante descri"e aunto la -adonna come figlia del suo figlioH $ aradiso,III, 1%. =uanto alle nozze mistic!e di +risto e della +!iesa, nell)alc!imia esse"engono trasoste nella congiunzione del Sole e della Luna, e l)incesto "iene

eslicitamente assunto a simbolo dell)unione degli elementi.L)immagine iK aradigmatica di 6uesto ensiero degli alc!imisti, contorta come iloro alambicc!i e giudicata da ung il culmine dei aradossiH, 5 er l)aocrifo

#8



eitaffio noto come enigma bolognese, la cui rima notizia 5 del 1(&4

Elia Lelia +riside non fu nJ uomo nJ donna, nJ gio"ane nJ "ecc!ia, nJ casta nJlasci"a, ma tutto. 'on 5 morta er fame, nJ er sada, nJ er "eleno, ma er tutto. 'onriosa in cielo, nJ nell)ac6ua, nJ in terra, ma do"un6ue.

Lucio gatone Priscio non 5 nJ marito nJ amante, nJ afflitto nJ lieto, ma tutto. 'on !a

edificato 6uesto monumento, nJ una iramide, nJ un seolcro, ma tutto.Lo sa e non lo sa l)autore, c!i !a eretto c!e cosa er c!i. =uesto 5 un seolcro c!e non

!a cada"ere. =uesto 5 un cada"ere c!e non !a seolcro. =uesto 5 un seolcro e uncada"ere allo stesso temo.

Siamo 6ui in resenza di un tiico crittogramma aradossale, in cui si dice unacosa alesemente incomrensibile intendendone un)altra occultamente comrensibile.+!e cosa, er, 5 difficile dire. Per due secoli l)enigma fu dun6ue oggetto diinterminabili interretazioni alc!emic!e, 6uarantacin6ue delle 6uali nel solo Linnata

)lia Lelia 2rispide risorge di +arlo +esare -al"asia, del 1#4*. esse "a aggiunto unre%i%al di interretazioni sicanalitic!e nel 70sterium coniunctionis di ung, del18((.

=na passione per lenigmistica

=uesti gioc!i a doio senso aradossale erano gi7 noti nell)antic!it7, e Platoneallude ad uno nella $epubblica $", &8%

L)enigma c!e si roone ai bambini sull)eunuco e sul colo tirato al iistrello, do"ec)5 da indo"inare con 6uale oggetto e do"e lo colisca.

na ricostruzione dell)enigma latonico, risalente alla tarda antic!it7, 5 laseguente

n uomo c!e non era un uomo, "edente e non "edente, !a colito senza colire, conuna ietra c!e non era una ietra, un uccello c!e non era un uccello, aollaiato ma nonaollaiato, su un albero c!e non era un albero.

Il tutto "a letto come

n eunuco monocolo !a sfiorato di striscio con una ietra omice un iistrelloaeso a un cesuglio.

'aturalmente, 5 l)intera storia dell)umanit7 ad essere unteggiata di enigmi, iK omeno aradossali dalla domanda della Sfinge a Edio ai "enti6uattro indo"inelli delcada"ere al re indiano, dalle rofezie ebraic!e agli oracoli tibetani. 'on stuisce,allora, c!e il iK antico testo in "olgare sia rorio un enigma, rin"enuto nel 182& a

erona e c!iamato, di conseguenza, indo%inello %eronese9o"es se arebaalba ratalia araba

0



albo "ersorio tenebaet negro semen semina"a.

Sembrerebbe la descrizione di una scena agreste

Preara"a i buoi

ara"a i bianc!i raticonduce"a il bianco aratroe semina"a il nero seme.

E in"ece si u leggere come un)allegoria della scrittura

Imugna"a con le ditascri"e"a sul bianco fogliomuo"e"a la bianca enna d)ocae stende"a il nero inc!iostro.

La ricerca di significati inusuali e reconditi al di l7 delle aarenze costituisce di er sJ un)atti"it7 aradossale, c!e estende il rorio settro dalle ene della aranoiaai iaceri della crittografia mnemonica.

La sua forma iK elementare si manifesta nei bisensi arole con doio significatoantitetico, sulle 6uali 5 ossibile costruire e6uilibrismi letterari. Pensiamo ad esemioa farmacon, i cui due significati di medicinaH e "elenoH erano simboleggiati daiserenti intrecciati del caduceo su 6uesta ambi"alenza /errida !a imbastito nel 182la funambolica Farmacia di latone(. In italiano un)analoga ambiguit7 si tro"a indroga, intesa come seziaH del drog!iere e stuefacenteH del drogato da noi, robabilmente, il Platone di /errida a"rebbe iuttosto aerto uno SaccioH.

In realt7, nelle lingue arcaic!e la aradossale coincidenza di significaticontradditori in un)unica arola sembra essere stata iuttosto comune, comedimostrano i due omonimi saggi sul 'ignificato opposto delle parole primordiali di?arl bel e Sigmund 3reud. =uesta resenza dei contrari in uno stesso "ocabolocostituisce una "ersione linguistica delle figure ambigue. La searazione dei contrariin "ocaboli distinti corrisonde in"ece alla nascita della dualit7 dall)unit7, cio5 del/ia"olo da /io.

na "olta rimossa dal linguaggio e"oluto, l)unit7 degli oosti riaffiora comun6ue

nei sogni, nei lapsus e nelle battute, e contribuisce a determinare la aradossalit7 di6uesti asetti della nostra "ita 6uotidiana, iK o meno inconscia. 9asta leggere, ercon"incersene, Linterpreta(ione dei sogni, La psicopatologia della %ita ;uotidiana e

Il motto di spirito e la sua rela(ione con linconscio di 3reud.=uanto alla "ita conscia, sull)ambi"alenza semantica si basano i doppi sensi. Su

6uella sintattica giocano in"ece i testi omografici o omofonici, c!e si scri"ono o sileggono nello stesso modo, ma !anno struttura grammaticale di"ersa a seconda dicome si interretino. n tiico esemio 5 il "erso

:atto trascorre e a noi rose disensa,

(. /errida, La diss#mination, 182. $ !.d.A.%

1



c!e u essere interretato come riferentesi al mese di maggio o a un too. 'elle dueinterretazioni, ad esemio, roseH e disensaH giocano ruoli simmetrici disostanti"o e "erbo.

Testi identici c!e ammettono una luralit7 di letture sono detti enigmistici ocrittografici, in senso lato, e la loro natura multila u essere re"ista dall)autore o

scoerta dal lettore. +ome ausilio a 6uest)ultimo, e er una libera lettura creati"a,9orges !a roosto(4 la tecnica dell)anacronismo deliberato e delle attribuzionierronee

=uesta tecnica, di alicazione infinita, ci in"ita a scorrere l)-dissea come se fosse osteriore all) )neide, e il libro Le @ardin du 2entaure di -adame Aenri 9ac!elier comese fosse di -adame Aenri 9ac!elier. =uesta tecnica oola di a""entura i libri iK calmi.ttribuire a Louis 3erdinand +Jline o a ames o;ce l) Imita(ione di 2risto, non sarebbeun sufficiente rinno"o di 6uei tenui consigli sirituali

n)altra tecnica, detta crittografia mnemonica, consiste nel cercare letturealternati"e di frasi fatte, e u dare risultati sorrendenti. +ome nell)esemio delmezzo minuto di raccoglimentoH, c!e si u interretare come cucc!iainoH.

I testi direttamente congegnati in modo da ermettere due o iK li"elli di letturaabbondano gli enigmi, gli indo%inelli, le allegorie, le opere aperte... n esemiostorico 5 il resonso attribuito alla Sibilla +umana

Ibis redibis non morieris in bello.

seconda di do"e si mettano le "irgole, lo si u intendere come ndrai,

tornerai, non morirai in battagliaH, oure ndrai, non tornerai, morirai in battagliaH. Siamo dun6ue di fronte ad un)altra "ersione linguistica delle figureambigue.

Sesso la luralit7 di tali testi di"enta "ia "ia iK generica con l)aumentare dellaloro lung!ezza e comlessit7. Sono rari i casi 6uali Lamore assoluto, un romanzo del1488 di lfred arr; $14*B180%, c!e u essere letto come

a5 l)attesa di un condannato a morte nella sua cellaWb5 il monologo di un uomo c!e soffre d)insonniaWc5 la storia di +risto.

Prorio 6uesto romanzo, c!e inizia con Sia fatta la tenebraFH, e termina conPrega er noi adesso, c!e 5 l)ora della nostra morteH, ci ricorda c!e anc!e erl)enigmistica, come gi7 er il surrealismo, 5 ossibile stabilire un collegamento aradossale con la religione. nzitutto, di"inareH 5 una forma di indo"inareH se !ala stessa radice di di"inoH, un moti"o ci sar7. Inoltre, gli enigmi abbondano nei testisacri, dai 9eda alla &ibbia anzi, er i cabalisti e i razionalisti, i testi sacri sono tuttiun enigmaF Infine, er i credenti, le rofezie e i misteri della fede sono ineffabilimanifestazioni linguistic!e dell)indicibile, a cui adeguarsi senza caire.

Insomma, come riassume"a Samuel 9ec>ett, in maniera forse un o) blasfema(8 Inthe beginning was the 2ross3Hord , In rinciio era il +ruci"erbaH. O, se si(4.L. 9orges, ierre 7enard, autor del Qui@ote, Sur, (# $18*8% B1#. $ !.d.A.%(8nc!e la blasfemia otrebbe essere "ista come una delle facce del aradosso. +osQ come, secondo 9orges, la teologia5 una forma di letteratura fantastica. $ !.d.A.%

2



+aitolo 6uarto

Immacolate conce(ioni

Occidente e Oriente !anno camminato er millenni su strade contraoste.Indagando, il rimo, il mondo esterno e la realt mediante i sensi e la scienza.Eslorando, il secondo, il mondo interno e la coscien(a mediante la meditazione e lafilosofia. L)e"ento saziotemorale c!e !a segnato la diartita delle due strade si ulocalizzare con recisione la Grecia del secolo a.+., 6uando Parmenide oose alla

logica del di"enire di Eraclito una logica dell)essere c!e, attra"erso ristotele,di"enne oi egemone nella nostra cultura.

Le immagini del mondo s"iluate storicamente da Occidente e Oriente sonorisultate a lungo antitetic!e. /a un lato, il realismo le ercezioni ci fornisconoimmagini di oggetti c!e esistono al di fuori di noi, le cui roriet7 sono indiendentidall)osser"atore e 6uindi oggetti"e. /all)altro lato, lidealismo i sensi ci resentanoillusioni create da noi, le cui roriet7 sono diendenti dall)osser"atore e 6uindisoggetti"e.

Prorio er la loro oosizione radicale, ciascuna di 6ueste immagini aare

o""iamente aradossale a c!i adotti l)altra come roria. infatti imossibiledistinguere dall)interno la "eraH filosofia da una sua arodia. decidere se ci sitro"a nel camo della filosofia teoretica e della scienza alicata, oure dellaletteratura fantastica e della matematica ura, 5 soltanto un giudizio esterno di lausibilit7 sociale dei sistemi o di adeguatezza serimentale delle teorie.

In articolare, gli occidentali !anno a lungo considerato la "isione orientale delmondo come un aradossale rodotto di una cultura inferiore e suerstiziosa,giudicandola fallimentare alla ro"a dei fatti, cio5 del controllo tecnologico dellanatura. Inutile dire c!e l)argomento 5, o""iamente, circolare tale controllo fa arte

degli obietti"i di una sola delle due culture, e l)altra non u 6uindi essere giudicata er non a"er raggiunto scoi c!e non si refigge"a.In ogni caso, le due di"ergenti strade del realismo occidentale e dell)idealismo

orientale sembrano essere ritornate a con"ergere nel 'o"ecento, in seguito allescoerte della relati"it7 e della meccanica 6uantistica. Le 6uali, rorio erc!Jcozza"ano col aradigmatico senso comune, al loro aarire sono aarse aradossalie continuano ad esserlo in larga misura, a causa dell)inerzia della nostra "isioneingenua del mondo. 'on 5 dun6ue inaroriato, in 6uesto libro, riercorrere bre"emente le tae di 6uesta storia millenaria.

&



!on badiamo alle apparen(e

L)indagine filosofica greca del mondo ebbe come unto di artenza l)iotesi c!e le ercezioni colleg!ino oggetti erceiti a soggetti erceenti. Il rimo roblema c!e si

ose ai resocratici fu la determinazione della natura di tale collegamento. Le risoste ossibili sono moltelici. In sintesi, si u credere c!e le ercezioni sensoriali sianosemre corrette, semre errate, o a "olte corrette e a "olte errate.

L)iotesi iK naturale 5 la rima le ercezioni sono semre corrette, e 6uindi tutto: come appare. 'el I secolo a.+. essa fu sostenuta imlicitamente dalla scuolaionicaBnaturalista, ed eslicitamente da Eraclito. Poco doo, nel secolo, Protagorala esresse in maniera memorabile con il famoso motto L)uomo 5 la misura di tuttele coseH. Le discussioni nel Teeteto di Platone e nel libro I della 7etafisica diristotele si riferiscono rincialmente a lui.

e"idente c!e uno stesso oggetto u ro"ocare ercezioni fra loro contradditoriein soggetti di"ersi allo stesso temo, o nello stesso soggetto in temi di"ersi. La osizione c!e le sensazioni siano semre corrette 5 dun6ue in contrasto con 6uelli c!eoggi sono i rincQi di non contraddi(ione e del ter(o escluso da un lato, e il concettodi identit dall)altro. d esemio, il memorabile motto di Eraclito, secondo cui nonci si bagna mai due "olte nello stesso fiumeH, non 5 altro c!e la negazione del rinciio di identit7 del fiume, c!e non 5 mai uguale a se stesso.

3u Parmenide a dare a""io ad una critica della osizione recedente, basandosi rorio su 6ueste sue imlicazioni. Egli oose alla logica del di"enire concreto una

logica dell)essere astratto. Il fatto c!e 6uesta logica si c!iami oggi classicaHtestimonia c!e fu essa ad a"ere il sora""ento e a ser"ire da base er gli s"iluidella filosofia occidentale, almeno fino ad Aegel. -a il suo classicismoH tende anascondere il fatto c!e 6uesta logica non 5 6uella della realt7 immediata. Essa de"e6uindi essere stata erceita come fortemente aradossale, nel momento della sua rima formulazione. Oggi, in"ece, l)abbiamo interiorizzata a tal unto c!e ci aare aradossale ci c!e le si oone.

L)accettazione dei rincQi della logica classica non ermette iK di considerare larealt7 come coincidente con l)aarenza, ma non aena esse si searano tutto sicomlica. Infatti, oic!J l)aarenza u non solo nascondere la realt7, ma anc!eri"elarla, l)eistemologia di"enta doiamente roblematica. Si tratta di caire, da unlato, c!e ruolo assegnare all)aarenza e, dall)altro, come conoscere la realt7.

Se le ercezioni sono semre errate, allora niente : come appare. =uesta 5 la osizione di Platone $&24B*& a.+.%, esressa memorabilmente nel libro II della $epubblica mediante il mito della ca"erna, sulle areti della 6uale il fuoco roiettaombre c!e "engono scambiate er "ere figure. E se l)aarenza 5 solo una roiezionedistorta della realt7, sui sensi non si u fare affidamento er arri"are alla "eraconoscenza, e si do"r7 fondarla sulla ragione.

Se le ercezioni sono in"ece a "olte corrette e a "olte errate, allora non tutto :

come appare, e si tratta di stabilire 6uando lo sia. =uesta fu aunto la osizione diristotele $*4&B*22 a.+.%, c!e considera"a le ercezioni come dati da elaborare, ed il

(



raggiungimento della conoscenza come un rocesso c!e de"e far inter"enire sia isensi c!e la ragione.

Facciamo gli indiani

La searazione fra aarenza e realt7 rende roblematica non solo l)eistemologia,ma anc!e l)ontologia si tratta infatti di caire di c!e cosa consista la realt7. +ome alsolito, le risoste ossibili sono moltelici. d esemio, secondo Platone esistono gliuni"ersali $i concetti% e secondo ristotele i articolari $gli oggetti%. =ueste risoste, benc!J antitetic!e, concordano in almeno un unto l)aarenza sensibile 5 in6ualc!e modo causata da una realt7 c!e esiste in modo indiendente da essa.

Il ensiero greco non arri" infatti mai a conceire la sola osizione c!e ermettedi formulare il dubbio ontologico sull)esistenza della realt7 il orre cio5 la coscienzacome soggetto c!e 5, almeno come ossibilit7, indiendente dal mondo. In Occidente6uesta osizione do"ette attendere +artesio, e segn la nascita della filosofiamoderna. In Oriente essa fu in"ece congeniale al ensiero indiano, nella cui storiauna aradossale negazione del mondo 5 addirittura la tendenza dominante $benc!Jnon certo esclusi"a%.

na "olta introdotto un otenziale dualismo fra coscienza interna e mondo esterno,si resentano 6uattro soluzioni ossibili al roblema ontologico entrambi esistono,solo uno esiste, nessuno esiste.

La osizione c!e rende iK sul serio la coscienza 5 il monismo idealista, c!e

afferma c!e solo la coscienza esiste. Esso fu introdotto nelle =panishad , c!erisalgono al rimo millennio a.+., e fu sistematizzato nel 9edanta, in articolare daS!an>ara $44B4(0%. Secondo 6uesta tradizione la coscienza indi"iduale $atman%coincide con 6uella cosmica $brahman%. Il mondo delle aarenze 5 in"ece una uraillusione $ma0a%, un gioco c!e la coscienza gioca con se stessa e dal 6uale bisognacercare di uscire. L)unione dell)atman con il brahman, cio5 delle coscienzeindi"iduale e cosmica, si u raggiungere con un graduale distacco ascetico dalmondo, ottenuto mediante ratic!e di concentrazione sulla coscienza.

L)illusoriet7 del mondo non sembra er imlicare necessariamente un distacco da

esso. Lo ro"a la &haga%ad Gita, il classico dell)induismo del II secolo d.+. Pur artendo da remesse analog!e al bra!amanesimo, in cui il brahman 5 ersonificatonel dio is!nu, essa non solo ermette, ma addirittura suggerisce di abbandonarsiall)incomrensibile gioco, urc!J si mantenga uno sirito di distacco da esso. Perdirla col 'ietzsc!e della Gaia scien(a, si de"e cio5 continuare a sognare saendo disognareH.

La sostanziale ambiguit7 della &haga%at Gita, c!e nega il mondo nella teoria er oi affermarlo nella rassi, 5 eliminata dal dualismo, c!e ammette l)esistenza siadella coscienza c!e del mondo esterno. =uesta 5 la osizione della samkh0a, una

scuola del I secolo a.+., secondo la 6uale la mente 5 generata dall)incontro fra lacoscienza e la materia. L)incontro roietta nella mente un mondo di aarenze da cui

#



!a origine il dolore. E il dolore si u suerare liberando la coscienza dalle aarenzeattra"erso le ratic!e sicofisic!e dello 0oga, c!e mirano al distacco dal mondo.

Per il nostro immaginario, 5 forse iK consono ensare all)intero rocesso usandoil cinema come metafora. "olte un)eccessi"a immedesimazione in un film tragico u rodurci una sofferenza erfettamente reale. -a ossiamo facilmente eliminare

6uesta sofferenza, ricordandoci c!e stiamo aunto guardando un film ad esemiostaccando lo sguardo dallo sc!ermo e ri"olgendolo altro"e in sala, oure c!iudendogli occ!i.

na osizione imarentata con la recedente 5 6uella del giainismo, c!e risaleanc!)esso al I secolo a.+.#0. I giainisti credono c!e la coscienza $ @i%a% ermei lamateria $a@i%a% e ne sia imrigionata. Per liberarla 5 necessario non solo il distacco,ma anc!e il risetto e l)amore "erso tutto ci c!e la manifesta. E oic!J i giainisticredono c!e la coscienza sia resente anc!e nella materia inanimata, oltre c!e in6uella animata, arri"ano ad un concetto di non "iolenza assoluta $ahimsa%, c!e 5 stato

rireso in temi moderni dal -a!atma Gand!i.Il distacco dal mondo si u erseguire comun6ue anc!e senza crederenell)esistenza della coscienza, indi"iduale o cosmica c!e sia. Lo mostra l)esemio del budd!ismo, c!e non nega l)esistenza di rocessi mentali, ma non ostula neure unio distinto da essi.

Il budd!ismo hina0ana o thera%ada, detto anc!e iccolo "eicoloH, risale ancorauna "olta al secolo I a.+. e sostiene un monismo materialista, secondo il 6uale soloil mondo fisico esiste. Poic!J la realt7 del mondo 5 il dolore e 6uesto 5 generatodall)attaccamento alla "ita, er liberarsi dal dolore di"enta necessario distaccarsiinteriormente dalla "ita, mediante la meditazione. Si arri"a cosQ in ogni caso ad unanegazione del mondo, ma soltanto da un unto di "ista etico e non iK ontologico.

L)ultima osizione c!e ci rimane da esaminare 5 6uella c!e rende iK sul serio lanegazione del mondo. Si tratta del nichilismo totale, c!e nega l)esistenza sia dellacoscienza c!e del mondo esterno. =uesto 5 l)ardito aradosso sostenuto nel II secolod.+. da 'agarZuna, esonente del budd!ismo maha0ana, detto anc!e grande"eicoloH#1. Egli la esresse nel contradditorio motto Tutto 5 nienteH. La coscienza,infatti, si inganna non soltanto sul mondo delle aarenze, ma anc!e su se stessa e u arri"are a erceire la "erit7 dell)assoluto nulla mediante la concentrazionesirituale.

=uesto nic!ilismo totale sembra iuttosto insensato, se reso in senso letterale. -adi"enta ragione"ole 6uando "enga interretato semlicemente come un rifiuto di ostulare oggetti e soggetti, al di l7 delle ercezioni e dei rocessi mentali. La osizione decostruzionista secondo cui ci sono ensieri ma non ensatori, sensazionima non senzienti, azioni ma non agenti, effetti ma non cause, sar7 introdotta in

#0=ualcosa do"e"a e"identemente essere arri"ato a maturit7 nell)uomo, se in uno stesso eriodo si 5 "erificataun)eslosione intellettuale globale c!e !a rodotto Eraclito e Parmenide in Grecia, ina e 9udd!a in India, e +onfucio eLao Tze in +ina. $ !.d.A.%#1PiccoloH e grandeH si riferiscono all)enfasi osta risetti"amente sulla sal"ezza indi"iduale o colletti"a, c!e si

raggiunge nel rimo caso di"entando illuminatiH $arbat %, e nel secondo sal"atoriH $bodhisatt%a%. 'on 5 certo un casoc!e i aesi asiatici in cui il grande "eicolo !a storicamente a"uto il sora""ento $+ina, ietnam% si siano oi ri"elati iKsensibili all)ideologia marCista di altri c!e storicamente !anno referito il iccolo "eicolo $9irmania, Tailandia, SriLan>a%. $ !.d.A.%



imiegato tutte le sue arti er ingannarmi. +onsiderer il cielo, l)aria, la terra, i colori,le figure, i suoni e tutte le cose esterne soltanto come trucc!i e illusioni, c!e egli usa er ingannarmi. +onsiderer me stesso ri"o di mani, di occ!i, di carne, di sangue, disensi, ma illuso di a"erli. +artesio non riuscQ a risol"ere il aradosso se non ostulando l)esistenza di un /io buono e non ingannatore, in"ece c!e di un genio

malefico. Il c!e, o""iamente, non 5 una soluzione ma una etizione di rinciio. na"ersione moderna dell)argomento, in cui il genio malefico "iene sostituito da uncomuter benefico e il coro da un cer"ello nella "asca a esso collegato, 5 stata roosta nel 18# da 9orges e 9io; +asares come aradossale soluzione erl)immortalit7#*

In sJ, la tesi 5 semlicissima, un uo"o di +olombo. La morte cororale 5 causatasemre dal "enir meno di un organo, sia esso il rene, il olmone, il cuore, o 6ualsiasialtro. Sostituite le arti corruttibili dell)organismo con altrettanti strumenti inossidabili,non c)5 alcuna ragione erc!J l)anima non sia immortale. 'on si tratta di sottigliezze

filosofic!eW il coro si riara di tanto in tanto, lo si calafata, e la coscienza c!e "i abitanon decade. La c!irurgia aorta l)immortalit7 al genere umano. L)essenziale 5 statoraggiuntoW la mente erdura e erdurer7 senza timore di una fine. Ogni immortale 5confortato dalla certezza, c!e la nostra imresa gli assicura, di essere un testimone inaeterno. Il cer"ello, irrigato notte e giorno da un sistema di correnti magnetic!e, 5l)ultimo baluardo animale nel 6uale ancora con"i"ano ingranaggi e cellule. Il resto 5frmica, acciaio, materiale lastico. La resirazione, l)alimentazione, la generazione, ilmoto, la stessa escrezione, sono tutte tae suerate. L)immortale 5 un immobile.

Si tratta, almeno er ora, di letteratura fantastica. -a, come a"e"amo anticiato, la

differenza con la filosofia 5 sottile $se c)5%. Puntualmente, 6uesta forma del aradosso5 stata riresa nel 1841 da Ailar; Putnam#&, c!e !a roosto il seguente argomento er risol"erla. Suoniamo di essere "eramente dei cer"elli nella "asca. Ogni nostraaffermazione riguardante il mondo esterno do"rebbe essere falsa. =uando infatti ensiamo di riferirci a 6ualun6ue cosa, in realt7 ci stiamo riferendo ad immaginigenerate dal comuter. In articolare, do"rebbe essere falsa l)affermazione Sono uncer"ello nella "ascaH. E in"ece 5 "era. Poic!J 6uesta 5 una contraddizione, non ossiamo essere cer"elli nella "asca.

L)argomento di Putnam !a fatto discutere a lungo. +!i non ne 5 soddisfatto otr7

attenderlo al "arco delle realizzazioni della :ealt7 irtuale, c!e romette aunto lacreazione di mondi artificiali comuterizzati e indistinguibili da 6uello reale, ai 6ualicollegarsi mediante dia"olerie "arie. Per ora si tratta, iK c!e di realizzazionitecnologic!e, di in"enzioni letterarie e cinematografic!e.

9enc!J ci fossero gi7 state fior di anticiazioni, da Lin%en(ione di 7orel di dolfo9io; +asares a La macchina della felicit di :a; 9radbur;, ad arirci gli occ!i sulla:ealt7 irtuale sono stati il romanzo !euromante di Rilliam Gibson ed il film Iltagliaerbe di 9rett Leonard. Sulla loro scia 5 nata un)intera $sotto%cultura c;berun>,di cui il grande ubblico si accorge sorattutto attra"erso film di cassetta 6uali

#*.L. 9orges e . 9io; +asares, Los inmortales, in 2ronicas de &ustos 6omec;, 18# trad. it. di 3. Tentori -ontalto,2ronache di &ustos 6omec;, Einaudi, Torino 18(^. $ !.d.A.%#&A. Putnam, &rains in the %at , in :eason, Trut!, Aistor;, 184(. $ !.d.A.%

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'trange 6a0s di ?at!r;n 9igeloD, !ir%ana di Gabriele Sal"atores, 7atrix di Larr; end; Rac!oDs>i, eisten di /a"id +ronenberg#(...

La nuo"a forma di e"asione dal mondo roosta dalla :ealt7 irtuale !a catturatola fantasia di santoni 6uali Timot!; Lear;##, c!e la considera"a l)ultimo grido in fattodi allucinogeni, ed ElJmire @olla#, c!e attende di oter dedurre aralogisticamente la

"irtualit7 del mondo reale dal realismo dei mondi "irtuali. Il c!e, lungi dal risol"ere il aradosso dell)indistinguibilit7 di "eglia e sogno, si limiterebbe a riroorlo in unamaniera articolarmente con"incente er l)uomo tecnologico.

La Luna c:, ;uando nessuno la guarda?

In una delle sue mirabili Fin(ioni#4 9orges in"ent il ianeta Tl<n, i cui abitantisono congenitamente idealisti. Tra le dottrine dei suoi filosofi, nessuna !a solle"atotanto scandalo come il realismo. E tra i loro aradossi, nessuno 5 risultato tantoincomrensibile 6uanto 6uello delle monete di rame, c!e 9orges resenta comel)analogo locale delle aorie eleatic!e

Il martedQ, , tornando a casa er un sentiero deserto, erde no"e monete di rame. Ilgio"edQ, U tro"a sul sentiero 6uattro monete, un oco arrugginite er la ioggia delmercoledQ. Il "enerdQ, @ score tre monete sullo stesso sentiero e lo stesso "enerdQ, dimattina, ne ritro"a due sulla soglia di casa sua. assurdo immaginare c!e 6uattro dellemonete non siano esistite dal martedQ al gio"edQ, tre dal martedQ al "enerdQ omeriggio, edue dal martedQ al "enerdQ mattina. logico ensare c!e esse siano esistite [ anc!e se inun certo modo segreto, di comrensione "ietata agli uomini [ in tutti i momenti di 6uestitre eriodi.

9orges "ole"a mostrare c!e, se l)idealismo aare aradossale al realista, allostesso modo il realismo aare aradossale all)idealista. +osa c!e sae"a benissimogi7 George 9er>ele; $1#4(B1(*%, come dimostra 6uesto scambio tratto dal rimo deiTre dialoghi tra A;las e 3ilonio

AULS Pu esserci 6ualcosa di iK fantastico e riugnante al senso comune, o unesemio iK lamante di scetticismo, del credere c!e non esiste la materia

3ILO'IO E se fossi tu, c!e ci credi, a risultare iK scettico, e a imelagarti in aradossiriugnanti al senso comune, di coloro c!e non ci credono

+om)5 noto, 9er>ele; 5 stato il rimo e iK conseguente idealista occidentalemoderno. La sua filosofia, condensata nella massima esse est percipi, essere 5 essere erceitoH, identifica"a l)esistenza delle cose con la loro resenza in 6ualc!ecoscienza. +on l)o""ia conseguenza c!e ci c!e non sta in nessuna coscienza, nonesiste. Per e"itare l)imbarazzo di do"er sostenere c!e un oggetto alternati"amente#(Il genere c;berun>, in realt7, non re"ede l)uso di :ealt7 irtuale, o comun6ue solamente nel senso di interfacciadigitaleH. /ei film citati, tecnicamente solo 7atrix u essere definito un film c;berun> $anc!e erc!J !a molti

elementi resi dal romanzo citato di Gibson%. $ !.d.$.%##T. Lear;, 2haos and c0berculture, 188&. $ !.d.A.%#E. @olla, Il futuro alle soglie, in =scite dal mondo, del!i, -ilano 1882. $ !.d.A.%#4.L. 9orges, Tln, =;bar, -rbis Tertius, Sur, #4 $18&&% *0B&# trad. it. di 3. Lucentini, Einaudi, Torino 184(^. $ !.d.A.%

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entra ed esce dall)esistenza, a seconda c!e 6ualcuno lo erceisca oure no,9er>ele; in"oc il solito 6eus ex machina, 6uesta "olta con la funzione di mantenerele cose in esistenza erceendole tutte continuamente.

na tale filosofia si resta"a, o""iamente, alla arodia. +!e arri", untualmente,nei "ersi del relato :onald rbut!nott ?noC $1444B18(% e di un anonimo c!e gli

risose er le rimeSi stui"a un dQ un allocco+erto /io tro"a assai scioccoc!e 6uel ino ancora esistase non c)5 nessuno in "istaH.-olto sciocco, mio signore5 soltanto il tuo stuore.Tu non !ai ensato c!ese 6uel ino semre c)5

5 erc!J lo guardo io.Ti saluto sono /io.

PiK difficile della arodia risulta"a er la confutazione degli argomenti di9er>ele;. nzi, come ebbe a dire Aume, essi non ammettono la minima confutazione, benc!J non roducano la minima con"inzione. +ertamente non basta rendere a calciuna ietra er dimostrare c!e 5 l7 fuori, come fece Samuel o!nson $108B14&%. 'J basta s"entolare le mani di fronte al rorio naso er con"incersi dell)esistenza delmondo esterno, come crede"a in"ece George -oore#8 $14*B18(4%.

Semmai 5 rorio il realista c!e de"e siegare come sia ossibile c!e le sensazioni,

o""iamente tutte interne a noi, ci ermettano comun6ue di erceire il mondo comeesterno. =uesto nuo"o otenziale aradosso si risol"e facilmente0, distinguendo ildentroH fisico da 6uello fenomenico. In altre arole, le ercezioni sono tutte internedal unto di "ista fisico. -a esse "engono organizzate dal cer"ello in un)immaginefenomenica del mondo, c!e contiene tra le altre cose anc!e un)immagine del coro.+i c!e sta fuori dall)immagine del coro in 6uesta immagine del mondo, "ieneaunto erceito come un esterno fenomenico.

Per tornare all)idealismo, il rimo a tentarne una seria confutazione fu Immanuel?ant $128B140&%, in un)omonima sezione della 2ritica della ragion pura. Il suo

argomento fu c!e la coscienza della roria esistenza temorale de")essere fondata su6ualcosa di ermanente nella ercezioneW ma 6uesto 6ualcosa non u essere interno, erc!J altrimenti non otrebbe fungere da fondazione alla coscienza, e allora de"eessere esterno. In altre arole Io enso, dun6ue le cose sonoH.

=uanto con"incente sia stata 6uesta confutazione lo dimostra il fatto c!e,immediatamente doo ?ant, l)idealismo di"enne er un secolo l)esressione ufficialedella filosofia continentale. +on buoni moti"i, bisogna dire, "isto c!e ?ant stessoa"e"a dimostrato c!e alla cosa in sJ non si u arri"are, e c!e ogni essere 5 costrettoad accontentarsi di aarenze strutturate dai rori a priori. E allora, ragionarono

#8G. -oore, roof of an external world , Proceedings of t!e 9ritis! cadem;, 2( $18*8% 2*B*00. $ !.d.A.%0E. Aering, &eitrJge (ur h0siologie, 2 $14#2% 1#&B1##. $ !.d.A.%

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o!ann 3ic!te $1#2B141&% e i suoi successori, tanto "ale"a eliminarel)irraggiungibile cosa in sJ e limitarsi alle aarenze.

+ome recita uno dei iK noti motti di 3riedric! 'ietzsc!e $14&&B1800%, nelle manidegli idealisti tedesc!i il mondo "ero !a finito er di"entare fa"olaH. E oic!J lastessa frase $ 7undus est fabula% sta"a gi7 scritta sul libro c!e +artesio tene"a in

mano nel ritratto c!e gli fece an 9atist ReeniC nel 1#&, si otrebbe aggiungerec!e la filosofia moderna a"e"a finito er girare bellamente in tondo, tornando al unto di artenza.

In"ece la scienza era andata molto a"anti, all)insegna del realismo, in articolaredistinguendo accuratamente l)osser"atore e il soggetto dall)osser"ato e dall)oggetto. ca"allo fra Ottocento e 'o"ecento 6uesta netta di"isione fu messa in dubbio dalfenomenismo, c!e costituQ il ca"allo di Troia c!e ermise all)idealismo di con6uistarela scienza. =uesta filosofia sostene"a, in maniera tiicamente fic!tiana, c!e se ossiamo conoscere solo i risultati delle nostre osser"azioni, altro non esiste. In altre

arole, essere 5 essere osser"atoH.Il iK noto sostenitore del fenomenismo fu il fisico e filosofo Ernst -ac! $14*4B181#%, le cui oere influenzarono il gio"ane lbert Einstein $148B18((% ed il circolodi ienna. Il rimo "i tro" una negazione dei concetti assoluti di sazio, temo emoto c!e lo isir nella formulazione di entrambe le teorie della relati"it71. Ilsecondo, il maggior esonente del 6uale fu :udolf +arna $1481B180%, ne condi"iseil rifiuto di ogni metafisica e la riduzione della teoria della conoscenza ai soli datiserimentali.

La iK diffusa alicazione del fenomenismo alla fisica moderna 5 la cosiddettainterretazione di +oenag!en della meccanica 6uantistica. Proosta da 'iels 9o!r$144(B18#2% e Rerner Aeisenberg $1801B18#%, essa sostiene aunto l)inesistenza diuna realt7 microscoica indiendente dalle osser"azioni. PiK recisamente, le articelle elementari non "engono iK considerate come oggetti dall)esistenzaindiendente, bensQ come concetti c!e descri"ono correlazioni fra le "arie fasi di uneserimento. La differenza essenziale sta nel fatto c!e, er dirla con 3ic!te, glioggetti sono dati $si scorono%, ma i concetti sono osti $si in"entano%.

Inutile dire c!e 6uesta interretazione aare aradossale ai realisti, 6ualil)Einstein maturo, c!e un giorno c!iese incredulo ad bra!am Pais Si u credere"eramente c!e la Luna non ci sia, 6uando nessuno la osser"aH La domanda era

"olutamente ro"ocatoria, erc!J la Luna 5 un oggetto macroscoico. E nessun fisicocon la testa sul collo 5 $stato% tanto idealista da negare l)esistenza degli oggettimacroscoici non osser"ati.

-a 6uesto crea un nuo"o aradosso come ossono a"ere realt7 i corimacroscoici, senza c!e ce l)abbiano le loro comonenti microscoic!e Lasoluzione 5 semlice, benc!J non indolore. 9asta accettare il fatto c!e le roriet7non !anno un camo di alicazione uni"ersale. /)altronde, nessuno si stuisce c!e icori macroscoici abbiano un colore, ma le articelle elementari no. Perc!Jdo"remmo allora stuirci se la stessa cosa succede con la realt7

Inutile dire c!e 6uesta in"asione dell)idealismo nella fisica u anc!e essere "istacome una riconciliazione di Occidente e Oriente, e tale 5 stata erceita dagli stessi1. Einstein, )rnst 7ach, P!;si>alisc!e @eitsc!rift, 1 $181#% 101B10&. $ !.d.A.%

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adri fondatori della meccanica 6uantistica, a artire da 9o!r. L)Occidente sembradun6ue essere er"enuto, doo "enticin6ue secoli, a dedurre in maniera scientifica6uella coincidenza di oggetti"o e di soggetti"o c!e l)Oriente a"e"a ostulato fin dagliinizi, in termini di brahman e atman.

ossono due gemelli a%ere unet di%ersa?

Le ossibilit7 letterarie e cinematografic!e dei aradossi del realismo sembranoillimitate. nc!e erc!J 5 facile raccontare storie iK o meno arbitrariamentefantastic!e, la cui irrealt7 u essere facilmente siegata in"ocando il fatto c!e6ualcuno sta"a sognando, come in Alice nel paese delle mera%iglie di LeDis +arroll.O era drogato, come ne Il pasto nudo di Rilliam 9urroug!s. O era matto, come nel

6iario di una schi(ofrenica di -arguerite Sec!e!a;e. O era morto, come in =bi; diP!ili /ic>.

Il temo offre alla narrazione ossibilit7 anc!e iK stimolanti, erc!Jstrutturalmente iK costrette. +i sono, anzitutto, gli o""i salti a"anti e indietro,sognati da La macchina del tempo di Aerbert Rells e realizzati in $itorno al futuro di:obert @emec>is. +)5 oi un)intera gamma di ossibilit7 teoric!e, rima fra tuttel)in"ersione temorale eslorata da Luigi Pirandello ne Il fu 7attia ascal , leZo+arentier in 9iaggio al seme e -artin mis ne La freccia del tempo, e "isualizzatada 7emento di +!risto!er 'olan.

E ci sono, o""iamente, le seculazioni filosofic!e, c!e "anno da Le confessioni di

Agostino a )ssere e tempo di -artin Aeidegger. La iK influente di esse 5 statacertamente 6uella roosta nel 141 da ?ant nella 2ritica della ragion pura, c!esembra"a fatta aosta er ro"ocare o stuire.

In sintesi, ?ant sostene"a c!e sazio e temo non esistono nella realt7, e sono solonostre illusioni. Gli oggetti del mondo esterno ci aaiono, certamente, conun)estensione saziale ed un)esistenza temorale, ma 6ueste caratteristic!eaartengono iK a noi c!e agli oggetti stessi. /eri"ano, in altre arole, dalla strutturadei nostri sensi e della nostra mente. O, nella terminologia >antiana, sono degli a

priori c!e costituiscono la forma della ercezione della nostra secie. /i

conseguenza, un essere $animale od eCtraterrestre% con una natura di"ersa dalla nostra erceisce il mondo in maniera di"ersa. In articolare, con altre nozioni di sazio etemo. O, addirittura, senza di esse.

Per ro"ocatoria c!e 6uesta osizione ossa sembrare, essa era gi7 stata roostada Platone nel Timeo $(2%. /oo a"er arlato delle "erit7 di ragione e di senso, c!e?ant c!iamer7 risetti"amente analitic!e e a osteriori, Platone introduce aunto le"erit7 sintetic!e a riori nel modo seguente

+)5 un terzo genere, 6uello dello sazio eterno e indistruttibile, c!e 5 la sede di tutte lecose. Lo ossiamo cogliere senza i sensi con un argomento surio, a malaena

con"incente. Pensando ad esso sogniamo, e diciamo c!e 6ualun6ue cosa c!e esiste, de"enecessariamente stare da 6ualc!e arte e occuare un certo sazio. +i c!e non sta nJ incielo nJ in terra, in"ece, non esiste.

4*



do"rebbe tro"are il fratello iK "ecc!io di lui di cin6ue anni. =uesto roblema sirisol"e mostrando c!e in realt7 i sistemi di riferimento dei due gemelli non sonoe6ui"alenti, e c!e le distanze sazioBtemorali ercorse da ciascuno nel riferimentodell)altro non sono uguali.

La dilatazione dei temi er i "iaggiatori sar7 aradossale, ma non er 6uesto 5

meno reale. 'on a caso Einstein, nel suo articolo, arl eslicitamente di teoremaH.Le conferme serimentali sono ormai innumere"oli e dimostrano c!e effetti"amenteil temo scorre di"ersamente er osser"atori di"ersi.

d esemio, articelle c!e !anno una "ita media di oc!i secondi ossonocomun6ue arri"are sulla Terra dal Sole, doo un "iaggio di "ari minuti, rorio erc!J er loro sono effetti"amente assati soltanto oc!i secondi. O, er rimanere iK "icini alla "ita 6uotidiana, gli orologi atomici satellitari sui 6uali si basa il sistemadi osizionamento globale GPS subiscono un costante rallentamento di alcuninanosecondi al giorno, sufficiente a causare $se non corretto% errori di osizione di

"arie centinaia di metri. 'aturalmente, la dilatazione dei temi non 5 l)unico effetto aradossale rodottoda un aumento di "elocit7. Le si accomagnano, infatti, un)uguale dilatazione dellemasse ed un)in"ersa contrazione delle lung!ezze nel senso del moto. In altre arole,oltre a mantenersi gio"ani, "iaggiando si aumenta di eso ma ci si snellisce. E, ancorauna "olta, non c)5 bisogno di guardare lontano er accorgersi di 6uesti effettirelati"istici.

d esemio, negli atomi esanti gli elettroni si muo"ono intorno al nucleo inmaniera iK "eloce c!e in 6uelli leggeri, e 6uelli interni raggiungono "elocit7relati"istic!e. L)aumento di massa e la diminuzione di lung!ezza roducono,o""iamente, una di"ersa interazione con la luce. In articolare, nel caso dell)oro, unassorbimento del blu ed una riflessione del giallo e del rosso c!e danno a 6uestometallo il suo caratteristico colore. Senza gli effetti relati"istici l)oro a"rebbe lostesso colore argentato tiico degli altri metalli iK leggeri.

La dilatazione delle masse imedisce a 6ualun6ue coro di raggiungere la "elocit7della luce. Il c!e non significa c!e la teoria della relati"it7 escluda "elocit7 sueriori.Significa, er, c!e gli e"entuali cori suerluminali sono confinati in un uni"ersosearato dal nostro, "anno all)indietro nel temo ed !anno una massa immaginaria$6ualun6ue cosa 6uesto signific!i%. I cori suerluminali sono stati battezzati tachioni

da Gerald 3einberg(, e una loro refigurazione sono i simulacri dei cori di cui arlaLucrezio nel 6e $erum !atura $I, 20#B204%

'on "edi 6uanto iK "eloci e lontano de"ono andare e ercorrere una maggiore distesadi sazio nello stesso temo c!e i raggi del Sole riemiono il cielo

L)ultimo aradosso della relati"it7 5 contenuto in 6uella c!e, forse, 5 la formula iKfamosa della storia )Kmc . O""ero, l)energia e la massa sono semlicemente dueforme di"erse di una stessa sostanza, mediate da 6uell)enorme fattore di roorzionalit7 c!e 5 il 6uadrato della "elocit7 della luce. Il c!e significa c!e una

(G. 3einberg, ossibilit0 of laster3than3light particles, P!;sica1 :e"ieD, 1(8 $18#% 1048B110(.$ !.d.A.%

4(



iccola 6uantit7 di materia u srigionare una grande 6uantit7 di energia. +osa dicui, doo l)infausto # agosto 18&(, nessuno u iK dubitare.

Gli indiani c!iama"ano l)energia shakti ed assegna"ano alla tremenda dea ?!ali ilcomito di trasformarla in "ita e morte della materia. I confuciani la c!iama"anoin"ece chi, e ensa"ano c!e si riflettesse in tutte le cose come la Luna nelle ac6ue

terrestri. ncora una "olta la scienza occidentale !a dato ragione a 6ueste intuizioniorientali, recisando in c!e modo la materia 5 legata all)energia cosmica.

7essaggi dal futuro

+!i ensi c!e gli attacc!i alla concezione classica del temo sferrati dalla fisicamoderna arri"ino soltanto dal fronte della relati"it7, si sbaglia. nc!e la meccanica6uantistica !a aerto un suo fronte in 6uesta guerra, nel momento stesso in cui ErDinSc!r<dinger $144B18#1% !a scoerto la sua famosa e6uazione d)onda c!e regola ilcomortamento del mondo subatomico.

L)interretazione classica, roosta da -aC 9orn $1442B180% ed adottata subitodalla 6uasi totalit7 dei fisici, considera la funzione d)onda _ in manieraeistemologica, come la descrizione di un)astratta onda di robabilit7. PiK recisamente, le robabilit7 si ottengono moltilicando la funzione d)onda _ con lasua comlessa coniugata _ .

L)interretazione robabilistica si u descri"ere dicendo c!e, a li"ello rofondo, ilmondo 5 come uno sc!ermo su cui "engono roiettati iK film in so"raosizione e

con risoluzioni di"erse, c!e corrisondono alle robabilit7. Il moti"o er cui nonaare cosQ a noi, 5 c!e ossiamo osser"are lo sc!ermo soltanto mediante filtri, biologici o tecnologici, c!e ermettono di "edere solo uno dei "ari film. =uando siguarda, o si fa un eserimento, la realt7 assa dun6ue $er noi% da unaso"raosizione di roiezioni ad una singola roiezione.

Per mostrare il suo dissenso con 6uesta interretazione, Sc!r<dinger in"ent il suosuggesti"o paradosso del gatto#. Suose, cio5, c!e in una stanza ermeticamentec!iusa "enissero osti un gatto ed un flacone di gas "elenoso, al di fuori della ortatadel gatto. Il flacone si rome se a""iene un articolare fenomeno subatomico ad

esemio, la disintegrazione di un atomo di un materiale radioatti"o. Secondol)interretazione robabilistica, fino a 6uando non si guarda nella stanza la realt7do"rebbe stare nella so"raosizione di stati c!e corrisonde alle due ossibilit7atomo disintegrato o no. E dun6ue, flacone rotto o intero. E dun6ue, gatto morto o"i"o. Solo nel momento in cui si guardi dentro la stanza, do"rebbe a""enire il assaggio a una delle due ossibilit7.

Sc!r<dinger tro"a"a la cosa aradossale. nzi, burlescaH. Il gatto infatti o 5 "i"oo 5 morto. E non !a senso dire c!e se il flacone si rome il gatto non muore, bensQrimane sia "i"o c!e morto fino a c!e 6ualcuno guardi dentro la stanza. -a, er ironia

della sorte, la maggioranza silenziosa dei fisici considera oggi 6uesto argomento non#E. Sc!r<dinger, 6ie gegenwartige 'ituation in der Quantenmechanik , /ie 'aturDissensc!aften, 2* $18*(% 40B412,42*B424 e 4&&B4&8. $ !.d.A.%

4#



ne roduce dun6ue una coia. -a 6uesto roblema ne risol"e un altro il fatto iuttosto insiegabile, cio5, c!e gli elettroni !anno esattamente le stesse roriet7fisic!e, al unto da essere indistinguibili uno dall)altro40. na ossibile siegazione otrebbe aunto essere c!e i "ari elettroni c!e ci sono in un dato istante sarebbero inrealt7 lo stesso indaffarato elettrone c!e 5 andato a"anti e indietro il numero di "olte

necessario.Insomma, sembra rorio c!e a li"ello microscoico ci si ossa muo"ere neltemo a iacere. PiK recisamente, succede 6uello c!e gi7 succede"a er la simmetriaseculare a li"ello atomico ci sono difficolt7 oggetti"e ad accorgersi se si staandando a"anti o indietro nel temo. 'essun fenomeno gra"itazionale,elettromagnetico o nucleare forte ermette infatti di scorire una differenza fra assato e futuro. 'el 18#& ames +ronin e al 3itc! scorirono er, in manieraindiretta, c!e una tale differenza esiste al li"ello dei fenomeni nucleari deboli.

Soltanto in termodinamica aare 6uella c!e rt!ur Eddington $1442B18&&%

c!iam la freccia del tempo, segnalata dalla continua crescita del disordine misuratodall)entroia. In cosmologia aare una seconda freccia del temo, legataall)esansione dell)uni"erso scoerta da EdDin Aubble $1448B18(*% nel 1828.ncora una "olta, come gi7 nel caso della realt7, ci ritro"iamo dun6ue in unasituazione macroscoica emergente, c!e non "iene ereditata dal li"ello dellecomonenti microscoic!e.

A%anti tutta, %erso il passato

I aradossi considerati finora si riferiscono al temo del mondo "uoto dellarelati"it7 seciale, o a 6uello del mondo microscoico della meccanica 6uantistica. Iltemo del nostro mondo materiale e macroscoico sembra finora a"er scongiuratosimili roblemi. Ed 5 conceibile c!e essi non riguardino la relati"it7 generale, c!eestende aunto la relati"it7 seciale introducendo"i la materia.

nzi, i modelli usuali delle e6uazioni di camo c!e descri"ono gli uni"ersirelati"istici ossiedono aunto una nozione assoluta di temo, ottenutaamalgamando i temi indi"iduali relati"i alle grandi masse di materia. Se tutti i

modelli ammettessero un temo assoluto, allora la sua esistenza sarebbe unaconseguenza necessaria dei rincQi della relati"it7 generale.Purtroo, nel 18&841 ?urt G<del !a costruito un modello in cui non 5 ossibile

definire una nozione di temo assoluto. In sintesi, l)idea 5 di rendere imossibile la

40Suoniamo di a"ere due articelle e di do"erle mettere in due scatole. 'ella statistica di 9oltzmann ci sarebbero6uattro ossibilit7 entrambe le articelle in una delle due scatole, o una articella in ciascuna scatola, in due modidi"ersi. Se, er, le articelle sono indistinguibili, metterne una in ciascuna scatola e oi scambiarle non roduce nessuncambiamento. /un6ue, nella statistica di 9oseBEinstein le 6uattro ossibilit7 si riducono a tre. =uesto 5 il caso deifotoni. O, iK in generale, dei bosoni. Se oi le articelle, oltre ad essere indistinguibili, non ossono occuare allostesso temo lo stesso luogo, non 5 ossibile metterle entrambe nella stessa scatola. /un6ue, nella statistica di 3ermiB

/irac le ossibilit7 si riducono addirittura a una sola. =uesto 5 aunto il caso degli elettroni o, iK in generale, deifermioni. $ !.d.A.%41?. G<del, An example of a new t0pe of cosmological solution of )insteins field e;uations of gra%itation, :e"ieDs of-odern P!;sics, 21 $18&8% &&B&(0. $ !.d.A.%

44



decomosizione dello sazio cur"o a 6uattro dimensioni in tre dimensioni da una arte, facenti funzioni dello sazio, e una dimensione dall)altra, facente funzione deltemo, e erendicolare alle altre tre.

Per semlificare la cosa, ci si u anzitutto limitare a ensare di "oler decomorrelo sazio tridimensionale in una serie di iani erendicolari a una cur"a

unidimensionale. Poic!J il temo assoluto si ottiene amalgamando i temi indi"idualidelle grandi masse, si ossono immaginare 6uesti temi come tanti fili sottili, e iltemo assoluto come una corda ottenuta mettendo assieme i fili. c!iaro c!e se lacorda 5 ritorta, non 5 ossibile ottenere dei iani c!e siano erendicolari a tutti i fili.

In una dimensione in iK, la torsione di"enta rotazione. Si tratta allora di costruireun modello in cui la materia sia o"un6ue in rotazione, e G<del fece aunto 6uesto.nzi, fece di meglio. -entre, infatti, la rotazione 5 e6ui"alente alla mancanza ditemo assoluto, essa non imlica in generale l)inconsistenza del temo indi"iduale. Ein"ece G<del tro" un modello con la stuefacente roriet7 c!e i temi dei "ari

osser"atori sono ciclici. Il c!e significa c!e, andando semre a"anti nel futuro, ci siritro"a rima o oi nel assatoFIn tal modo, la scienza moderna score di essere comatibile con le teorie

dell)eterno ritorno di "enerata memoria da Platone a 'ietzsc!e, dalla ruota della "itaalla danza di S!i"aW ed 5 costretta ad affrontare i ben noti aradossi del "iaggio neltemo, il iK noto del 6uale 5 c!e c!i torna nel assato lo u influenzare in modotale da cambiare il resente in maniera contradditoria.

L)idea iK o""ia consiste nell)ammazzare i rori genitori, e imedire cosQ la roria nascita. PiK fantasioso sarebbe un uomo c!e ingra"ida la roria madre dasignorina, di"entando il rorio adre. O, simmetricamente, una donna c!e si faingra"idare dal rorio adre, di"entando la roria madre. In linea di rinciio, ecome gi7 "isto nel caso degli elettroni, con un numero sufficiente di "iaggi sarebbe ossibile ridurre tutti gli uomini della storia ad una sola coia, indaffaratissima a"iaggiare a"anti e indietro nel temo er generare l)intero genere umano.

Il culmine del aradosso si raggiunge nella seguente situazione, escogitata da:obert Aeinlein42. na madre subisce un inter"ento c!irurgico. /i"entata uomo,torna nel assato rossimo e ingra"ida se stessa rima dell)inter"ento. La loro figliatorna nel assato remoto e di"enta la donna di artenza. Si ottiene cosQ una sorta diTrinit7, con un unico indi"iduo c!e li incarna tutti adre, madre e figliaF

G<del obietta a 6uesti aradossi c!e la circolarit7 del temo non significaautomaticamente c!e un indi"iduo ossa ritro"arsi fisicamente nel rorio assato. 'essuno u "iaggiare iK "elocemente della luce e nessuno "i"e in eterno. /un6ue,in un)esistenza umana si u corire soltanto una distanza sazioBtemorale limitata.E 6uesta distanza otrebbe essere sostanzialmente inferiore alla lung!ezza di un girocomleto. nzi, nel modello di G<del effetti"amente lo 5.

Per inciso, 6uesto risonde alla domanda osta da rt!ur +lar>e, l)autore di NOOP-dissea nello spa(io Se il "iaggio nel assato 5 ossibile, do"e sono i "iaggiatoriHLa risosta 5 non !anno ancora fatto in temo ad arri"are, e forse non ce la faranno

mai4*

. E la stessa risosta si u dare all)analoga domanda osta da Enrico 3ermiSe ci sono altre ci"ilt7 tecnologic!e, do"e sono gli alieniH42:. Aeinlein, All 0ou (ombies, T!e -agazine of 3antas; and Science 3iction, marzo 18(8. $ !.d.A.%

48



Per rirendere la discussione, suoniamo ure c!e un indi"iduo si tro"ieffetti"amente nella condizione di oter fisicamente influenzare il rorio futuro. 'on 5 comun6ue detto c!e a"rebbe automaticamente la "olont7 sicologica di farlo.d esemio, in un mondo comletamente deterministico certamente non otrebbea"erla. nzi, i aradossi recedenti si ossono considerare come dimostrazioni er

assurdo del fatto c!e, se il "iaggio nel assato 5 ossibile, certe cose non si ossonofare.Infine, il modello di G<del non 5 neure in contrasto con la seconda legge della

termodinamica. 'on c)5 infatti nessun bisogno di in"ertire la freccia del temo, erc!J il "iaggio nel assato si effettua non andando all)indietro, come in una strada adoio senso, ma andando a"anti e ritro"andosi al unto di artenza, come in un girodi isolato lungo una strada a senso unico.

Insomma, il "iaggio nel temo scoerto da G<del 5 scienza, non fantascienza. Enon !a imortanza se il suo modello sia o meno in accordo con i dati serimentali

relati"i al nostro uni"erso il roblema non 5 se il ritorno al assato sia ossibile ernoi, ma c!e esso non 5 imossibile er la relati"it7.=uanto a 6uest)ultima, G<del ensa"a c!e essa a"esse dato ragione non solo alle

teorie di ?ant sul temo, ma anc!e a 6uelle sullo sazio. 'on 5 infatti contradditorioaffermare, con ?ant, c!e la nostra intuizione saziale 5 euclidea, e con Einstein, c!elo sazio fisico non lo 5 la rima affermazione riguarda la struttura delle nostre ercezioni, la seconda 6uella del mondo esterno. llo stesso modo, 5 ossibile a"ere ercezioni euclidee di sazi non euclidei, come dimostrano i ben noti modelligeometrici dell)Ottocento.

Secondo G<del, c)5 un unico unto su cui la relati"it7 !a dato torto a ?antl)affermazione c!e il mondo non 5 conoscibile oggetti"amente, rorio a causa deglia priori c!e determinano la conoscenza soggetti"a. L)introduzione del temorelati"istico mostrerebbe rorio il contrario. Esso 5, infatti, in contrasto con lanozione a riori c!e abbiamo del temo, ed 5 stato ottenuto solo attra"erso un lungo rocesso di elaborazione, c!e ci !a ermesso di s"incolarci da 6uesto a riori. PiK ingenerale, l)intera fisica moderna mostra come si ossa costruire una "isione delmondo in contrasto ed al di l7 di 6uella costruita sulle aarenze, sulle 6uali si basa"ala fisica classica.

/a 6uesto G<del deduce"a c!e la scienza ermette di suerare le limitazioni sicoB

fisic!e della nostra natura. -ostrando il carattere soggetti"o e relati"o dei concettic!e costituiscono l)ossatura della nostra immagine del mondo, essa ci ermette diottenerne immagini $semre iK% oggetti"e ed assolute4&.

L)interesse di una tale filosofia della scienza 5 e"idente. Essa tende a suerare lecontraoste e analog!e rimozioni degli idealisti e dei ositi"isti, c!e sostengono con

4*na risosta alternati"a otrebbe essere !anno reso un)altra strada. =uesto ric!iede un)idea di temo ramificato, roosta letterariamente da 9orges ne Il giardino dei sentieri che si biforcano, cinematograficamente da :obert@emec>is in $itorno al futuro II , e scientificamente da Aug! E"erett in $elati%e stateR formulation of ;uantum

mechanics, :e"ieD of -odern P!;sics, 28 $18(% &(&B&#2. $ !.d.A.%4&rgomenti identici $nella sostanza, se non nella forma% a 6uelli di ?ant e G<del !anno dato "ita negli anni Settanta aldibattito sulla natura della scienza fra T!omas ?u!n $ La struttura delle ri%olu(ioni scientifiche, 18#8% e /udle; S!aere$ La ragione e la ricerca della conoscen(a, 184*%. $ !.d.A.%

80



Esattamente come la relati"it7 dell)ordinamento temorale, anc!e la sincronicit7ric!iede la mancanza di causalit7. I due rincQi di causalit7 e di sincronicit7 sonodun6ue non contraosti, ma comlementari. E ciascuno 5 alicabile solo insituazioni in cui l)altro non lo 5. In articolare, il rimo interessa rincialmente glie"enti del mondo fisico, il secondo 6uelli del mondo sic!ico.

La sincronicit7 5 o""iamente un concetto i cui "ari asetti ric!iamano illustriimmagini della storia della filosofia, sia occidentale c!e orientale l)idea del Taocome significatoH del mondo, la simatia di tutte le cose di Plotino, l)unit7 delcreato di Pico della -irandola, la 6uintessenza di Paracelso, gli orologi sincronizzatie l)armonia restabilita di Leibniz, la definizione di Sc!oen!auer del caso comesimultaneit7 di e"enti casualmente sconnessiH, e cosQ "ia.

La no"it7 sostanziale introdotta da ung e Pauli sta nella roosta di utilizzare ilmetodo serimentale er "erificare l)esistenza, e determinare la natura, dellasincronicit7 di coie di e"enti non collegati casualmente. L)idea 5 di aragonare fra

loro la robabilit7 e l)effetti"a fre6uenza dell)occorrenza. E di dedurre la sincronicit76uando la fre6uenza sia sostanzialmente sueriore alla robabilit7, e non sia 6uindiriconducibile al uro caso.

d esemio, un ossibile experimentum crucis er l)astrologia sarebbe uno studiocomarato degli oroscoi, c!e calcolasse da un lato le re"isioni $s%fa"ore"oliall)accoiamento, e dall)altro la loro effetti"a incidenza su matrimoni e di"orzi. nanalogo studio si otrebbe fare sugli assassini o sui suicidi. L)interessanteconseguenza di 6uesta roosta 5 c!e essa rende l)astrologia scientifica, sulla base del rinciio di falsificazione di Poer $iK c!e una buona notizia er l)astrologia,6uesta ci sembra una catti"a notizia er Poer%.

La sincronicit7 si roone 6uindi come ossibile strumento scientifico er lo studiodi una serie di fenomeni c!e sembrano essere refrattari agli strumenti uramentecausali della scienza con"enzionale, rimo fra tutti il raorto tra sic!e e materia. In articolare, essa suggerisce il sueramento di uno dei dogmi del materialismocogniti"o la connessione causale fra sistema ner"oso centrale e coscienza4#.

+ome gi7 gli orientalismi dell)idealismo, anc!e gli sicologismi della sincronicit7sembrerebbero er situarsi agli antiodi della scienza. E il coin"olgimento di Paulinell)elaborazione della nozione otrebbe essere soltanto una coincidenza nonsignificati"a. In"ece, l)esemio iK ine6ui"ocabile di sincronicit7 "iene, oggi, rorio

dalla meccanica 6uantistica.La iK sottile obiezione a 6uesta teoria era stata a"anzata nel 18*( dal paradosso

)$, c!e rende il nome dalle iniziali dei suoi coautori4. Sostanzialmente, Einsteinsi era accorto c!e la meccanica 6uantistica ermette"a, a li"ello microscoico,situazioni c!e a li"ello macroscoico corrisonderebbero alla sistematica uscita degli

4#=uesta connessione 5 gi7 stata, eraltro, messa in dubbio dalla scoerta di atti"it7 sic!ica, c!e "iene oi ricordatacome coscienteH, in concomitanza di stati traumatici, sincoatici o comatosi in cui il aziente 5 consideratoclinicamente incoscienteH. O""iamente tali fenomeni ossono essere siegati anc!e senza la sincronicit7, suonendo

ad esemio c!e la coscienza ossa risiedere nel sistema simatico, il c!e ermetterebbe di considerare coscienti i"ertebrati da un lato e i sogni dall)altro. $ !.d.A.%4. Einstein, 9. Podols>; e '. :osen, 2an ;uantum3mechanical description of ph0sical realit0 be consideredcomplete?, P!;sical :e"ieD, & $18*(% B40. $ !.d.A.%

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stessi numeri su due roulette di"erse, senza c!e ci fossero trucc!i nascosti, cio5 conroulette erfettamente aleatorie e scollegate. PiK sincronico di cosQ, si muore.

'el 18#&44 o!n 9ell $1824B1880% riuscQ a riformulare il 6ualitati"o aradosso EP:in maniera 6uantitati"a, suscettibile di "erifica serimentale. Gli eserimentieffettuati a artire dagli anni Ottanta, sorattutto dal gruo di lain sect a Parigi,

!anno effetti"amente confermato c!e la realt7 microscoica esibisce i re"isti effettisincronici, nell)esatta misura calcolata dalla meccanica 6uantistica.Le conseguenze sono, ancora una "olta, de"astanti. 9isogna anzitutto abbandonare

il principio di causalit formulato da Aans :eic!enbac!48 $1481B18(*%, secondo il6uale due e"enti correlati de"ono a"ere una causa comune. Il teorema di 9ell mostrainfatti l)esistenza di e"enti correlati in maniera non causale.

nalogamente, bisogna abbandonare l)illusione >antiana c!e solo siegazionicausali specifiche ossano a"ere conseguenze serimentali, e c!e sia in"ece semre ossibile ostulare la mera esisten(a di una siegazione causale er 6ualun6ue

successione di e"enti. La "erifica serimentale del teorema di 9ell reuta in"ecel)esistenza di correlazioni causali di ;ualun;ue genere fra i suoi e"enti.Le conseguenze iK imortanti ricadono, er, su 6uella nozione di realt7 c!e ci !a

imegnati er l)intero caitolo. La resenza di correlazioni istantanee tra le roulettes6uantistic!e indica, infatti, c!e ci sono iK cose interconnesse in cielo e in terra, di6uante se ne sognino nella filosofia occidentale. Senza "oler scomodare il "udu, c!esi basa aunto sull)assunzione c!e ci c!e 5 aartenuto a una ersona, dalle ung!ieai caelli, le rimane collegato e ermette di influenzarla a distanza, ossiamo almenonotare c!e gli asetti olistici della fisica moderna costituiscono una ulteriore, e bensignificati"a, coincidenza con la filosofia orientale.

44. 9ell, -n the )instein3odolski3$osen aradox, P!;sics, I $18#&% 18(B200. $ !.d.A.%48A. :eic!enbac!, The direction of time, 18(#. $ !.d.A.%

8*



+aitolo 6uinto

'toria apocrifa di un mentitore

L)otta"o comandamento ordina di non mentire. Ed 5 imbarazzante c!e debba farloin maniera negati"a, "isto c!e in molte lingue, italiano comreso, non esistenemmeno un "erbo c!e signific!i dire la "erit7H. 'on mentire 5, a 6uanto are,un)azione tanto rara c!e non "ale neure la ena di battezzarla. 'on solo 5 riser"ataa bambini, gaffeur , giullari, ubriac!i, azzi e sognatori, ma 5 anc!e ericolosa. +ome

dice"a Oscar Rilde +!i dice la "erit7, rima o oi "iene scoertoH.Troo sesso, osser"a"a oi Aenr;> 9roder, ci aggraiamo alla menzogna della

forza della "erit7H, rifiutandoci di ammettere la "erit7 della forza della menzogna, la6uale, in"ece, 5 salutarmente diffusa. Il suo "antaggio risiede nel fatto c!e la "erit7 5in"erosimile, la menzogna noH80. La sua tecnica consiste nell)effettuaretrasformazioni geometric!e della "erit7, mediante traslazioni, ribaltamenti, in"ersioni,riflessioni e deformazioni.

/i mentitori 5 iena la finzione letteraria. -ente Giacobbe nel Genesi, erstraare la rimogenitura a Esa`. -ente lisse nell)-dissea, ingannando nemici,

amici e arenti. -ente Aermes, dio dei ladri e dei commercianti. -ente GesK nel9angelo secondo Gio%anni, dic!iarando c!e non andr7 a Gerusalemme er la festa deiTabernacoli, e oi andandoci di nascosto. -ente l)aostolo Pietro, rinnegando tre"olte il suo -essia. -entono, costituzionalmente, Lamante delle men(ogne diLuciano di Samostata e Il bugiardo di +orneille, cosQ come 6uelli di Goldoni e di+octeau. -entono, istituzionalmente, il Grande 3ratello e il -inistero della erit7 inPEU di OrDell.

/i menzogne 5 iena anc!e la realt7 6uotidiana. -entono le costituzioni, c!egarantiscono diritti a meno delle disosizioni di leggeH. -entono i codici, c!e

in"entano finzioni giuridic!e. -entono go"ernanti, dilomatici e sie, er ragion diStato. -entono gli a""ocati, er ragion di diritto. -entono i testimoni, ur giurandodi dire la "erit7, tutta la "erit7, nient)altro c!e la "erit7H. -entono i giornalisti, erfar notizia o roaganda. -entono olitici, reti e astrologi, er ingannare elettori,fedeli e clienti. -entono roduttori, ubblicitari e commercianti, er truffare iconsumatori. -entono genitori e insegnanti, raccontando fa"ole e miti ai bambini.-entono i bambini, er tacitare genitori ed insegnanti. -entono le donne,truccandosi er sembrare iK belle. -entono coniugi e amanti, er tradire sembrandofedeli. -entono gli sorti"i, drogandosi er "incere. -entono gli amici e i santi, er bont7. -entono i nemici e i eccatori, er catti"eria. -entono gli siritosi, erdi"ertimento. -entono le ersone cortesi, er buona educazione.

803. /ostoe"s>iZ, I demoni, II, I. $ !.d.A.%

8&



cretesiH tutti i cretesi. In 6uesto caso Eimenide intende"a dire Tutti i cretesi diconosemre il falsoH.

Ora, 6uesta frase non u essere "era. ltrimenti Eimenide stesso sarebbe uncretese c!e a "olte non dice il falso. /un6ue, la frase de"e essere falsa. +io5 6ualc!ecretese de"e dire a "olte 6ualc!e "erit7, e la cosa finisce 6ui. 'on 5 detto c!e 6uel

cretese debba essere rorio Eimenide. E se anc!e lo fosse, non 5 detto c!e 6uella"erit7 debba essere rorio la frase in 6uestione.Paolo di Tarso $I secolo d.+.%, c!e era troo indaffarato a redicare la erit7 er

a"er temo di meditare sulla menzogna, non comrese c!e non c)era aunto nessun roblema, e si scagli contro il o"ero Eimenide. Tra le rig!e della sua Lettera aTito $I, 10B12% si u gi7 distinguere, comletamente formato, l)embrionedell)In6uisizione

-olti sono i ribelli, i ciarloni, i seduttori, secialmente tra i circoncisi, ai 6uali bisognataare la bocca, erc!J son tali c!e ro"inano intere famiglie, insegnando ci c!e non si

de"e, a "ile scoo di lucro. no di essi, loro rofeta, ebbe a dire +retesi, eterni bugiardi, catti"e bestie, g!iottoni infingardiH.

-eglio fece gostino di Iona $*(&B&*0%, c!e nelle 2onfessioni $III, *4% esteseil riferimento di Eimenide dai cretesi all)umanit7 intera, asserendo Ogni uomo 5menzognero. Perci, c!i dice una menzogna dice del suoH.

=uesta forma, falsa ma non aradossale, si tro"a sesso usata nell)arte. desemio, nel racconto Questo non : un racconto di /enis /iderot, c!e nel romanzo

8ac;ues il fatalista riete =uesto non 5 un romanzoH. O nel 6uadro Il tradimento

delle immagini di :ene, -agritte, c!e raffigura una ia sotto la 6uale sta scritto2eci nest pas une pipe, 6uesta non 5 una iaH. 'eure Pinocc!io arri"a al aradosso, 6uando confessa alla 3ata Turc!ina Io

mento semreH. In realt7 il burattino dice oc!issime bugie nel corso della sua storia,ed infatti il naso gli cresce soltanto un aio di "olte. E rorio erc!J dice 6uasisemre la "erit7, la sua confessione 5 una bugia. -a il naso, 6uesta "olta, non glicresceF

Paradossale, ma in un altro senso, 5 in"ece la diabolica ossibilit7 di far mentireuna ersona modesta c!e dica semre la "erit7. La modestia do"rebbe, infatti,imedirle di risondere affermati"amente alla domanda /ici semre la "erit7H -auna risosta negati"a sarebbe una falsit7, analoga a 6uella enunciata da Il bugiardo di+octeau -ento solo 6uando "i dico c!e mentoH.

)ubulide

Eubulide di -ileto, della scuola megarica $I secolo a.+.%, and oltre laformulazione di Eimenide, domandandosi c!e cosa a"rebbe risosto un mentitore

incallito alla domanda Sei un mentitoreH /a una arte, 6ualun6ue cosa egli dica 5una menzogna, rorio erc!J 5 un mentitore. In articolare, cosQ 5 er la risosta

8#



SQH. /)altra arte, 6uesta stessa risosta 5 "era, erc!J data da un mentitore. Si !a6uindi una "era situazione aradossale.

Il aradosso si u rendere ancora iK uro nella forma detta pseudomenon, c!econsidera semlicemente c!e cosa succede 6uando 6ualcuno dice Io sto mentendoH.Se ci c!e dice 5 "ero, allora sta mentendo, e se ci c!e dice non 5 "ero, allora non

sta mentendo. In entrambi i casi si !a una contraddizione, e anc!e 6uestaaffermazione 5 aradossale.Eliminando il riferimento a c!i arla, si u considerare la "ersione Io sono

falsaH. olendo e"itare l)abuso del ronome ersonale riferito a una frase, basta dire=uesta frase 5 falsaH. O, ancora iK semlicemente, basta risondere negati"amenteall)inutile domanda Stai dicendo la "erit7H Il c!e 5 6uello c!e fa la rotagonistadella "ersione cinematografica di =n marito perfetto, tratta dalla commedia di OscarRilde, 6uando confessa La "erit7 5 c!e !o mentitoH.

Aristotele

'elle 2onfuta(ioni sofistiche $%, ristotele $*4&B*22 a.+.% riroose il aradosso del mentitore nella forma dello spergiuro si u formulare un giuramentoc!e si ossa allo stesso temo onorare e romere

Procedere in modo analogo al mentitore, giurando di romere il giuramento c!e sista facendo, non !a molto sensoW infatti non 5 c!iaro c!e cosa sia ric!iesto eronorare o romere un tale giuramento. -a si u rocedere in due assi, giurando di

romere un secondo giuramento, c!e consiste nel giurare di non comiere una certaazione. +omiendo 6uell)azione si rome il secondo giuramento e si onora il rimo.

+onsiderando i due giuramenti come due arti di uno solo 5 dun6ue ossibile direc!e si 5 allo stesso temo rotto e onorato lo stesso giuramento, relati"amente a duesue arti distinte. Secondo ristotele, 6uesta 5 aunto la soluzione del aradosso.

In modo analogo, ristotele formul il aradosso del disobbediente 5 ossibileallo stesso temo obbedire e non obbedire a un ordine nc!e 6ui, si u ordinare didisobbedire ad un secondo ordine, c!e consiste nel roibire di comiere una certaazione. +omiendola si disubbidisce al secondo ordine e si obbedisce dun6ue al

rimo.

2icerone

'ell) Academica $II, 8(%, +icerone $10#B&* a.+.% racconta il seguente caso,attribuito agli stoici

Si narra c!e un antico filosofo greco, di nome Protagora, a"esse insegnato la legge ad

un o"ero gio"ane, di nome Euatlo, a condizione c!e 6uesti lo ricomensasse non aena"inta la sua rima causa.

8



Euatlo, er, decise di abbandonare la rofessione legale. Protagora, stancatosi diasettare, un giorno lo a""icin e gli sollecit il agamento. isto il rifiuto del gio"ane,lo cit in tribunale.

/inanzi alla corte Protagora afferm c!e, se Euatlo a"esse "into, sarebbe stata la sua rima causa "inta, e a"rebbe do"uto agare. E se a"esse erso, a"rebbe do"uto obbedirealla corte, e 6uindi agare.

-a Euatlo, se a"esse erso, non a"rebbe "into la sua rima causa, e non a"rebbeancora do"uto agare Protagora. E se a"esse "into, a"rebbe otuto obbedire alla corte, enon agare.

Il contratto stiulato fra maestro e allie"o era dun6ue autocontradditorio eimossibile da onorare. na "era e roria antinomia giuridica, c!e "enne riresa informa sarcastica da /iderot nel 18 in 8ac;ues il fatalista

[E "oi, c!e cosa fate 6ui in rigione^ [Io la"oro, come "edete. [E c!i 5 c!e "i ci !a fatto mettere [Io. [+ome, "oiF [SQ, io, signore. [E come a"ete fatto [+ome a"rei fatto er c!iun6ue altro. -i sono fatto un rocesso, a me medesimo. L)!o

"into. E in seguito alla sentenza c!e !o ottenuta contro di me, e al decreto c!e ne 5seguito, sono stato arrestato e condotto 6ui.

[-a siete azzo ['o, signore, "i dico la cosa com)5. ['on otreste fare un altro rocesso a "oi medesimo, e in seguito ad un)altra sentenza

e ad un altro decreto far"i liberare ['ossignore.

6iogene Laer(io

'elle 9ite e opinioni dei filosofi illustri $II, 104%, /iogene Laerzio $II secolo d.+.%

narra la seguente storia, anc!)essa attribuita agli stoicin coccodrillo a"e"a afferrato un bambino c!e sta"a giocando sulle ri"e del 'ilo. La

madre imlor il coccodrillo di restituirglielo. [+ertoF [ risose il coccodrillo, [Se sai dirmi in anticio esattamente ci c!e far, ti

restituir il bambino. -a se non indo"inerai, lo manger.La madre, turbata, sosir [Tu di"orerai il mio bambino.

['on osso restituirti il bambino [ disse astutamente il coccodrillo, [ erc!J se te lorendo far sQ c!e tu abbia detto il falso, e ti a"e"o a""ertito c!e in tal caso lo a"reimangiato.

['iente affatto [ risose la madre. ['on uoi mangiare il bambino, erc!J in tal casofarai sQ c!e io abbia detto il "ero. E a"e"i romesso c!e se fosse stato cosQ, a"restirestituito il bimbo.

84



La risosta della donna mette dun6ue il coccodrillo di fronte ad un imossibiledilemma 6ualun6ue cosa esso faccia, non mantiene la sua romessa.

&uridano

ristotele a"e"a sostenuto c!e il aradosso del mentitore e dello sergiuro eranoanalog!i, ma il suo oscuro commento do"ette attendere la formulazione di Gio"anni9uridano $128(B1*#0% er essere c!iarificato.

I rotagonisti della "ersione di 9uridano di"entano due, e ciascuno dice una solafrase. d esemio, Socrate afferma Platone dice il falsoH. E Platone ribatteSocrate dice il "eroH. +iascuna delle due frasi non 5 aradossale isolatamente, ma laloro congiunzione lo di"enta.

Se infatti Socrate dice il "ero, allora Platone dice il falso e dun6ue Socrate dice ilfalso. Se in"ece Socrate dice il falso, allora Platone dice il "ero e dun6ue Socrate diceil "ero.

La forma iK essenziale e accatti"ante di 6uesta "ersione del aradosso 5 forse6uella data nel 181* dal matematico P!ili ourdain81

La frase seguente 5 falsa.La frase recedente 5 "era.

-entre nel aradosso originario il circolo "izioso autoreferenziale rimane"a su ununico li"ello, nella "ersione di 9uridano ric!iede due li"elli, ciascuno dei 6ualirimanda all)altro. Il rocesso 5 analogo a 6uello delle mani c!e disegnano se stesse,raffigurato da Saul Steinberg ed Esc!er in due famosi disegni $figure &( e &#%. nc!ese, ai fini dell)illustrazione del aradosso, sarebbe iK corretto c!e una manodisegnasse e l)altra cancellasse.

3igure &( e &#-ani c!e si disegnano di Saul Steinberg e di -aurits +ornelis Esc!er.

81P. ourdain, A correction and some remarks, -onist, 1* $181*% 1&(B1&4. $ !.d.A.%

88



Tornando al aradosso, non c)5 difficolt7 a costruire analog!i circoli "iziosi c!eric!iedono n li"elli, er 6ualun6ue n. PiK interessante 5 la "ersione di Ste!enUablo82, c!e ric!iede infiniti li"elli

Tutte le frasi seguenti sono false.Tutte le frasi seguenti sono false.Tutte le frasi seguenti sono false.

Suoniamo c!e la rima frase sia "era. llora tutte le seguenti sono false, in articolare la seconda. -a oic!J anc!e tutte le seguenti sono false, la seconda de"eessere "era. /un6ue, la rima frase 5 falsa. llora 6ualcuna delle frasi seguenti 5"era, e si riottiene una contraddizione come nel caso della rima. La rima frase 5dun6ue contradditoria, e cosQ 5 er tutte le altre.

Poic!J ciascuna delle frasi unta alle seguenti, ma nessuna ritorna mai alle recedenti, la "ersione di Uablo del aradosso del mentitore sembra a"er eliminatol)autoriferimento. In realt7, l)intera successione rimane autoreferenziale, anc!e se lesingole frasi c!e la costituiscono non lo sono.

'olu(ioni medie%ali

Le soluzioni medioe"ali e rinascimentali al aradosso del mentitore furonoinnumere"oli. Paolo 'icoletti da dine, detto Paolo eneto $1*2B1&28%, ne riassunse6uattordici nella Logica 7agna. La sua lista 5 imressionante, non tanto er ilnumero delle soluzioni, 6uanto er la loro attualit7. Esse sembrano infatti recorrere isecoli e anticiare raticamente tutte le rooste dei moderni.

na rima soluzione, di natura linguistica, era gi7 stata adombrata da ristotele inun asso della 7etafisica $I, &, 1004b%, e i medie"ali la riresero sotto il nome dicassatio. In ratica, le frasi contradditorie non sarebbero roosizioni ben formate, enon a"rebbero semlicemente senso. Per rendere iK secifica tale soluzione, furono rooste due "ie.

La rima introdusse la distinzione fra uso e menzione, e sostenne c!e le frasi aradossali si fonda"ano su una loro confusione. 9enc!J la distinzione sia oggicomunemente accettata, non fornisce er una soluzione al aradosso. edremoinfatti, arlando della "ersione di =uine, come sia ossibile riformularlo senza alcunaconfusione fra uso e menzione.

La seconda "ia fu roosta da Guglielmo di Occam $1280B1*&%, nella 'umma Logicae. Egli sostenne c!e, 6uando si arla di "erit7 o falsit7, ci si riferisce ad altrefrasi. na frase non u 6uindi dire di se stessa c!e 5 "era o falsa. =uesto reludealla moderna distinzione di li%elli nel linguaggio, in cui le frasi c!e arlano di "erit7 o

falsit7 di altre frasi, stanno a un li"ello sueriore di 6ueste.

82S. Uablo, Truth and reflection, ournal of P!iloso!ical Logic, 1& $184(% 28B*&8. $ !.d.A.%

100



n)altra soluzione accett in"ece la sensatezza delle frasi aradossali ed imut i roblemi non al linguaggio, ma alla logica. nc!e 6ui, si seguirono "arie "ie errendere la soluzione iK secifica.

La rima accett il fatto c!e il ragionamento del mentitore ro"a, er assurdo, c!ela frase in 6uestione non 5 nJ "era nJ falsa. La cosa u essere "ista come una

limitazione della logica classica, e si u suerare in almeno due modi distinti.nzitutto, introducendo logiche costrutti%e, in cui non sia ossibile dimostrare ladisgiunzione di due roriet7 $in 6uesto caso, c!e una frase sia "era o falsa%, senza oterne dimostrare una delle due $in 6uesto caso, c!e sia "era o c!e sia falsa%.

Oure, introducendo logiche a piV %alori, in cui le frasi ossono essere "ere, falseo, ad esemio, indefinite. In 6uesto caso, er, basta considerare la frase io non sono"eraH, in"ece c!e io sono falsaH, er riottenere il aradosso. Infatti, se la frase ionon sono "eraH 5 "era, allora non 5 "era. E se 5 falsa o indefinita, allora non 5 "era, edun6ue 5 "era.

La seconda "ia fu roosta da Gio"anni 9uridano, sulla base della sua "ersione del aradosso. Egli sostenne c!e un)affermazione di "erit7 o falsit7 non 5 assoluta, marelati"a ad un certo momento a cui si riferisce, eslicitamente o no. -entre non 5dun6ue ossibile c!e una frase ossa essere "era e falsa allo stesso temo, essa uesserlo in temi di"ersi.

=uesto sembra reludere all)introduzione di logiche temporali, nelle 6uali sisecifica aunto il temo a cui le affermazioni di "erit7 e falsit7 si riferiscono. -aanc!e 6ui non 5 difficile riottenere il aradosso. 9asta far affermare a Socrate c!ePlatone dir7 il falso 6uando ronuncer7 la frase seguenteH, e a Platone c!e Socratedisse il "ero 6uando ronunci la frase recedenteH.

2er%antes

'el 1#1(, -iguel de +er"antes $1(&B1#1#% raccont nel 6on 2hisciotte $II, (1% lastoria seguente, molto simile ad una narrata da ulo Gellio nelle !otti attiche$III,2%

=uando Sancio Panza era go"ernatore di 9arataria,^ il rimo affare c!e gli cait fuuna domanda c!e gli fece un forestiero alla resenza del maggiordomo e di tutti gli altriministri. E la domanda fu 6uesta.

[Signore, un largo fiume di"ide"a due ro"ince di un medesimo stato. Stia beneattenta la Signoria ostra, erc!J il caso 5 di grande imortanza e un o) difficile. /icodun6ue c!e sora a 6uesto fiume c)era un onte, e in cima a 6uesto onte una forca e untribunale, do"e di solito sta"ano 6uattro giudici, c!e giudica"ano secondo la legge fattadal adrone del fiume, del onte e dello stato. La 6ual legge era cosQ formulata Se uno

assa su 6uesto onte da una ri"a all)altra, de"e rima dic!iarare con giuramento do"e "ae 6uel c!e "a a fare. Se giura il "ero, sia lasciato assare. -a se mente, sia imiccato

sulla forca 6ui innalzata, senza alcuna remissioneH.+onosciuta 6uesta legge e la rigorosa condizione, molti assa"ano lo stesso, erc!Jdoo c!e s)era riscontrato c!e 6uanto dic!iara"ano sotto giuramento era erfettamente

101



"ero, i giudici li lascia"ano assare liberamente. Ora, accadde una "olta c!e un tale,in"itato a giurare, giur e disse

Giuro c!e asso di 6ui er andare a morire su 6uella forca laggiK, e non er altraragioneH.

I giudici rifletterono sul giuramento, e disseroSe 6uest)uomo lo lasciamo assare liberamente, !a giurato il falso, e secondo la legge

de"e morire. -a se l)imicc!iamo, siccome egli !a giurato c!e assa"a er andare amorire su 6uella forca, allora !a detto la "erit7, e secondo la stessa legge, a"endo giuratola "erit7, de"e essere lasciato liberoH.

Ora, si domanda alla Signoria ostra, signor go"ernatore, c!e cosa faranno i giudici di6uest)uomo Poic!J essi sono ancora lQ, incerti e dubbiosi. Siccome son "enuti aconoscere l)acuta ed ele"ata intelligenza della Signoria ostra, mi !anno in"iato asulicarla da arte loro a "oler dare il suo arere in un caso cosQ intricato e dubbio.

[=uei signori a"rebbero otuto risarmiarsi l)incomodo, [ risose Sancio, [ erc!J ioson uomo iK rozzo c!e fino. Tutta"ia, rietetemi il caso, in maniera c!e lo intenda bene,e c!iss7 c!e non ossa dar nel segno.

L)in"iato rietJ un)altra "olta, e oi un)altra ancora, il racconto, e Sancio finalmentedisse

[ arer mio, 6uesto caso si risol"e in due battute, e recisamente cosQ. =uell)uomogiura c!e assa er andare a morire sulla forca, non 5 "ero E se egli ci muore "eramente,a"r7 detta la "erit7, e in "irtK della legge merita d)esser lasciato libero e di assare il

onte. -a se non l)imiccano, egli a"r7 sergiurato e, semre in "irtK della medesimalegge, meriter7 d)essere aeso alla forca. 'on 5 cosQ

[9enissimo, [ rirese il messaggero. [ Ella, signor go"ernatore, !a interamente caitocome stanno le cose, e non c)5 iK alcun dubbio, nJ iK nulla da domandare.

[Ebbene, [ relic Sancio, [ la mia oinione 5 c!e, di 6uell)uomo, la arte c!e !adetto la "erit7 si debba lasciar assare, e 6uella c!e !a mentito sia imiccata. +osQsaranno letteralmente risettate le condizioni del assaggio.

[-a signor go"ernatore, [ relic l)altro, [ allora bisognerebbe di"idere 6uell)uomo indue arti, la sincera e la bugiarda. E se si di"idesse er da""ero, bisognerebbe c!emorisse er forza. E 6uindi non si otterrebbe nulla di 6uello c!e esige la legge, e c!e de"eessere inesorabilmente eseguito.

[O!, sentite un o), bra")uomoF [ rirese Sancio. [ =uesto asseggero di cui mi arlate, o io sono una bestia, o tanto 5 giusto c!e muoia, come c!e "i"a e assi il onte.Perc!J se la "erit7 lo sal"a, la menzogna lo condanna. E 6uindi il mio arere 5 c!e

risondiate a 6uei signori c!e "i !anno mandato, c!e siccome le ragioni di condanna e diassoluzione 6ui si bilanciano, lo lascin assare liberamente, erc!J 5 semre meglio fardel bene c!e del male. E 6uesto lo sottoscri"erei di mio ugno, se saessi firmare. -a, adire il "ero, in 6uesto caso non !o arlato di mia testa. 9ensQ, m)5 tornato in mente una""ertimento c!e insieme con molti altri mi dette il signor /on +!isciotte, la sera a"antic!e artissi er "enire a rendere il go"erno di 6uest)isola. E l)a""ertimento fu c!e,6uando la giustizia non fosse c!iara, mi iegassi e mi aigliassi alla misericordia. /io!a "oluto c!e in 6uesto momento me ne ricordassi, erc!J 6ui l)a""ertimento calza comeun guanto.

102



[O!, sQF [ disse il maggiordomo. [ E er conto mio credo c!e lo stesso Licurgo, c!edette leggi agli Sartani, non a"rebbe otuto dare miglior sentenza di 6uella c!e !a data ilgran Sancio8*.

PiK c!e Licurgo, la soluzione aradossale di Sancio Panza ric!iama in formasc!erzosa 6uella roosta da ristotele c!e, 6uando una stessa frase sembra essereallo stesso temo "era e falsa, siano in realt7 due suoi asetti di%ersi ad esserlo.

na di"ertente "ariazione sul tema 5 stata narrata nel 1841 da Aans 3reudent!al$180(B1880%. n giorno un adre, doo c!e il figlio ne a"e"a detta una grossa, lotrascin al Ponte dei 9ugiardi, dicendogli c!e era cosQ c!iamato erc!J sarebbecrollato se un bugiardo l)a"esse attra"ersato. Il bambino si sa"ent, e confess la bugia. -a il onte croll ugualmente 6uando il adre lo attra"ers, erc!J egli a"e"ao""iamente mentito. 'on esiste, infatti, nessun Ponte dei 9ugiardi.

$ussell

'el 180* 9ertrand :ussell8& $142B180% mostr c!e i roblemi del linguaggioderi"ano non tanto dalla nozione di "erit7, 6uanto dalla combinazione di nega(ione eautoriferimento. Per ottenere la "ersione originaria del suo famoso aradosso, eglidi"ise gli insiemi di oggetti in due classi, a seconda c!e essi siano o no uno deglioggetti contenuti nell)insieme stesso. /etto altrimenti, a seconda c!e essiaartengano o no a se stessi.

d esemio, l)insieme degli insiemi con iK di un elemento aartiene a se stesso, erc!J !a certo iK di un elemento. E l)insieme degli insiemi con un solo elementonon aartiene a se stesso, erc!J anc!)esso !a certo iK di un elemento.

+!iediamoci ora se linsieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessiaartiene o no a se stesso. Se sQ, allora 5 uno degli insiemi c!e non aartengono ase stessi, e 6uindi non u aartenere alla loro collezione, cio5 a se stesso. Se no,allora 5 uno degli insiemi c!e non aartengono a se stessi, e dun6ue aartiene allaloro collezione, cio5 a se stesso.

/al unto di "ista dei aradossi l)argomento di :ussell non era certo una no"it7,come ro"a il fatto c!e a roblemi simili o uguali erano er"enuti,indiendentemente, sia Georg +antor 8( $14&(B1814% c!e Ernst @ermelo8# $141B18(*%. +i c!e lo rese famoso fu il fatto c!e esso si alica"a non iK al linguaggionaturale, della cui consistenza si ote"a ben dubitare, ma alla matematica. Sul finiredell)Ottocento +antor l)a"e"a infatti riformulata in modo da fondarla soltanto sullanozione di insieme, in"ece c!e di figura geometrica o di numero. Il aradossominaccia"a dun6ue la consistenza stessa della matematica. 3u rorio tale minaccia a

8*-. de +er"antes, 6on Qui@ote trad. it. di 3. +arlesi, 6on 2hisciotte, -ondadori, -ilano 18&, . 102*B102(^.$ !.d.A.%8&9. :ussell, The principles of mathematics, 180*. $ !.d.A.%8(G. +antor, Letter to 6edekind , in From Frege to Gdel , curato da . an AeiZenoort, Aar"ard ni"ersit; Press, 18#,

. 11*B 11. $ !.d.A.%8#E. @ermelo, !euer &eweis f<r die 7glichkeit einer Hohlordnung , -at!ematisc!e nnalen, #( $1804% 10B124, nota8. $ !.d.A.%

10*



Poic!J l)affermazione recedente 5 "era, e dice c!e 3 5 "era se essa lo 5, ne seguec!e anc!e 3 de"e essere "era. -a 3 5 una frase 6ualun6ue, e u essere scelta falsaF

Gdel

Il "ero salto di 6ualit7 nel trattamento del aradosso del mentitore fu comiuto nel18*1 da ?urt G<del102 $180#B184%, 6uand)egli consider la frase io non sonodimostrabileH er sistemi matematici c!e non dimostrino delle falsit7.

Se la frase fosse falsa, allora sarebbe dimostrabile. Poic!J il sistema non dimostrafalsit7, 6uesto 5 imossibile. llora la frase 5 "era, e 6uindi non dimostrabile.

=uesto sembrerebbe un ritorno ad Eimenide, erc!J non c)5 aradosso e l)iotesic!e la frase sia "era non orta a nessuna contraddizione. -a ora la cosa "ienesfruttata ositi"amente. Si 5 infatti ottenuta una "erit7 c!e non 5 dimostrabile e si 5scoerto c!e la nozione di "erit7 5 iK comrensi"a della nozione di dimostrabilit7. In articolare, "erit7 e dimostrabilit7 sono nozioni di"erse.

Il aradosso del mentitore si riferi"a er a frasi del linguaggio comune c!e arlano di "erit7 nozione, 6uesta, c!e aartiene allo stesso linguaggio comune. Ilteorema di G<del si riferisce in"ece a frasi del linguaggio comune c!e arlano didimostrabilit7 nozione, 6uesta, c!e aartiene al linguaggio matematico.

/un6ue, non 5 affatto immediato c!e la cosa sia sensata. G<del do"ette auntomostrare come fosse in realt7 ossibile costruire una tale frase nel linguaggiomatematico. Per far 6uesto egli do"ette riflettere una arte sufficiente del linguaggio

comune all)interno dei sistemi matematici, mediante un metodo di codifica c!edi"enne fondamentale er gli s"ilui successi"i sia della storia del aradosso, c!e di6uella della tecnologia. Su tale metodo si basa infatti la ossibilit7 di comunicare aicomuter, nel loro linguaggio aritmetico, le istruzioni di rogrammi c!e traduconocomandi dati nel linguaggio ordinario.

Quine

Il meccanismo mediante il 6uale G<del !a otuto costruire la sua affermazione 5stato esemlificato nel 18#2 da Rillard =uine10* $1804B2000%, mediante unariformulazione del aradosso del mentitore c!e e"ita l)aarente ambiguit7 delle"ersioni io sono falsaH, o 6uesta frase 5 falsaH.

Il rocedimento mediante il 6uale una frase u riferirsi a se stessa "iene resoeslicito sfruttando la distinzione medie"ale tra uso e men(ione della frase. 'ellinguaggio comune la distinzione 5 indicata dalla mancanza o dalla resenza di

102?. G<del, 6er formal unentscheidbare 'at(e der rincDpia 7athematica und %erwandter '0steme I , -onats!efte fXr-at!emati> und P!;si>, *4 $18*1% 1*B184. $ !.d.A.%10*R. =uine, aradox, Scientific merican, 20# $18#2%4&B8(. nc!e in The wa0s of paradox and other essa0s, Aar"ardni"ersit; Press, 18#, . 1B14. $ !.d.A.%

10(



=uesta non sembra comun6ue essere una soluzione soddisfacente. Il roblema 5stato affrontato iK seriamente nel 18( da Saul ?ri>e10#. Egli !a anzitutto notatoc!e il carattere aradossale di un)affermazione u diendere da fattori emirici.=uindi, la soluzione dei aradossi non u essere assicurata da un)analisi uramentelinguistica.

d esemio, basta suorre c!e Socrate sostenga Platone dice il falso almeno una"oltaH, e c!e Platone ribatta Socrate non 5 cal"oH e Socrate dice il "eroH. SeSocrate 5 cal"o, allora la rima affermazione di Platone 5 falsa, 6uindi Socrate dice il"ero, e la seconda affermazione di Platone 5 "era. /un6ue, 5 ossibile assegnare"alori di "erit7 a tutte le affermazioni fatte, in modo consistente. Se in"ece Socratenon 5 cal"o, allora la rima affermazione di Socrate e6ui"ale a Platone dice il falsonella sua seconda affermazioneH. nita alla seconda affermazione di Platone, cio5Socrate dice il "eroH, essa roduce la solita contraddizione.

La soluzione dei aradossi u 6uindi "enire soltanto da una teoria c!e colleg!i le

affermazioni del linguaggio ai fatti del mondo. ?ri>e !a allora roosto discomorre le affermazioni linguistic!e astratte in altre "ia "ia iK concrete, fino aridurle ad affermazioni su stati di fatto un rocedimento c!iamato atterraggio, ersottolineare la discesa dall)astrazione alla concretezza. I "alori di "erit7 "engono oiassegnati tornando all)indietro. =uesto aroccio ermette di distinguere fra "ari tiidi roosizioni.

d un estremo ci sono le affermazioni meno roblematic!e, cio5 6uelle c!eatterrano. Essendo riducibili ad affermazioni su stati di fatto, il loro "alore di "erit7 5uni"ocamente determinato dalla realt7 delle cose. ll)estremo oosto ci sono i

paradossi assoluti, cio5 le affermazioni c!e non atterrano e non ammettono "alori di"erit7, nel senso c!e 6ualun6ue assegnazione di "alore di "erit7 risulta contradditoria.n esemio 5 aunto =uesta frase 5 falsaH.

+i sono oi i paradossi contingenti, cio5 le affermazioni il cui essere aradossali omeno diende dal "alore di "erit7 di alcune loro comonenti. n esemio 5 3 e6uesta frase sono entrambe falseH. Se 3 5 "era, allora l)intera frase 5 falsa. -a se 3 5falsa, di"enta un aradosso.

3ra le affermazioni c!e non atterrano, non tutte sono aradossali. n rimoesemio 5 dato da =uesta frase 5 "eraH. 'essuna assegnazione di "alore di "erit7 aessa 5 contradditoria, e la frase u dun6ue assumere consistentemente ;ualun;ue

"alore di "erit710. 'el 1842 nil Guta104 !a infine scoerto un ultimo tio di affermazioni 6uelle

c!e, ur non atterrando, !anno comun6ue un "alore di "erit7 definito. n esemio si!a 6uando Socrate sostiene uno fra me e Platone non dice il "eroH, e Platone ribattesia io c!e Socrate diciamo il "eroH. Poic!J la rima affermazione e6ui"ale a nondiciamo entrambi il "eroH, e la seconda a diciamo entrambi il "eroH, esse si neganoa "icenda. 'on otendo essere entrambe "ere, l)unica ossibilit7 5 c!e la rima sia"era, e la seconda falsa.

10#S. ?ri>e, -utline of a theor0 of truth, ourna1 of P!iloso!;, 2 $18(% #80B1#. $ !.d.A.%10ffermazioni di 6uesto tio sono analog!e alle serie non assolutamente con"ergenti, c!e mediante oortuniriordinamenti ossono con"ergere a 6ualun6ue numero reale. $ !.d.A.%104. Guta, Truth and paradox, oumal of P!iloso!ical Logic, II $1842% IB#0. $ !.d.A.%

104



Austin

o!n ustin $1811B18#0% !a roosto, a artire dal 18(0108, una teoria dellinguaggio naturale iK adeguata di 6uella basata sulla logica formale. La sua

osser"azione fondamentale 5 c!e le roosizioni si riferiscono a situazioni, c!e nedeterminano la "erit7 o falsit7.

PiK recisamente, una situa(ione 5 semlicemente una collezione di affermazioni,alcune delle 6uali ossono riferirsi alla "erit7 o falsit7 di alcune frasi. na situa(ioneattuale 5 una situazione le cui affermazioni sono in accordo col mondo. In articolare, le sue affermazioni di "erit7 o falsit7 sono "eritiere, nel senso c!e le frasia cui esse si riferiscono sono effetti"amente "ere o false.

Il fatto c!e di solito non si esliciti la situazione a cui una roosizione si riferisce,significa soltanto c!e essa 5 lasciata sottointesa, e non c!e non ci sia.

n)affermazione senza menzione eslicita di situazioni 5 dun6ue, in realt7, unafamiglia di affermazioni, ciascuna delle 6uali si riferisce a una determinatasituazione.

d esemio, non si u considerare in astratto un barbiere c!e rada tutte e sole le ersone c!e non radono se stesseH. +onsiderato relati"amente alla situazione c!edescri"e tutti gli abitanti di Si"iglia, esso semlicemente non otr7 essere il barbieredi Si"iglia, ma otrebbe essere un barbiere in trasferta. +onsiderato relati"amente allasituazione c!e descri"e tutti gli uomini della terra, esso non otr7 essere un uomo, ma otrebbe essere una donna. E cosQ "ia. solo 6uando si dimentica di eslicitare la

situazione o, e6ui"alentemente, 6uando si considera la situazione c!e descri"e tutte le ersone dell)uni"erso mondo, c!e allora tale barbiere non otr7 esistere. 'el caso del aradosso del mentitore, esso "a dun6ue inteso come un)affermazione

del tio

la falsit7 di 6uesta frase sta nella situazione s.

Se 6uesta fosse "era, allora la situazione s conterrebbe l)affermazione della falsit7della frase stessa. 'el caso c!e s sia attuale, ci signific!erebbe c!e la frase 5effetti"amente falsa, contrariamente all)iotesi.

Essendo allora falsa, l)affermazione della sua falsit7 non u stare in s. Se lasituazione s contenesse la frase stessa, la frase esrimerebbe dun6ue un fatto "erorelati"o alla situazione s. -a 6uesto 5 imossibile se la situazione 5 attuale, erc!J lafrase 5 in"ece falsa. 'iente imedisce er di allargare la situazione s mediantel)aggiunta della frase stessa, ottenendo una nuo"a situazione s1 in cui di"enta aunto"ero c!e

la falsit7 di 6uesta frase sta nella situazione sH non sta in s.

La nuo"a affermazione

108ustin, Truth, Proceedings of t!e ristotelian Societ;, sulemento al "olume 2& $18(0%W anc!e in hilosophical apers, curato da . rmson e G.Rarnoc>, OCford ni"ersit; Press, 18#1, .11B1**. E *ow to do things with words,Aar"ard ni"ersit; Press, 18#2. $ !.d.A.%

108



la falsit7 di 6uesta frase sta nella situazione s1

sar7 er falsa nella situazione s1. E cosQ "ia.iene cosQ siegata l)aarente circolarit7 dei aradossi, c!e sembrano oscillare

dalla "erit7 alla falsit7 senza sosta. In realt7, ogni "olta si tratta della "erit7 o dellafalsit7 di affermazioni distinte relati"e alla stessa situazione, o della stessaaffermazione relati"a a situazioni distinte.

solo il collasso delle situazioni, effettuato imlicitamente 6uando non siconsidera il riferimento alle situazioni, o 6uando si considera una sola situazioneuni"ersale, a ro"ocare l)aiattimento delle di"erse affermazioni in una sola, e6uindi la contraddizione.

/a 6uesta rosetti"a, il aradosso del mentitore di"enta dun6ue erfettamenteanalogo al teorema di G<del. Il teorema fornisce un metodo er tro"are, dato unsistema c!e non dimostri falsit7, una formula c!e 5 "era, ma non dimostrabile nelsistema. Il aradosso fornisce un metodo er tro"are, data una situazione attuale, una

frase c!e 5 "era, ma non sta nella situazione.+ome se non bastasse, l)introduzione delle situazioni ermette inoltre di mostrare

c!e il aradosso del mentitore si basa anc!e su una "era e roria confusione, fraafferma(ioni di falsit e nega(ioni di %erit110. n ragionamento analogo a 6uello c!emostra c!e

la falsit7 di 6uesta frase sta nella situazione s

5 falsa se la situazione s 5 attuale, mostra infatti anc!e c!e

la "erit7 di 6uesta frase non sta nella situazione s

5 "era. Se fosse falsa, la situazione s conterrebbe infatti l)affermazione della "erit7della frase stessa. E nel caso c!e s sia attuale, ci signific!erebbe c!e la frase 5effetti"amente "era, contrariamente all)iotesi.

La falsit7 della rima frase e la "erit7 della seconda, nella stessa situazione attuale s, non sono affatto in contraddizione fra loro. -a, o""iamente, lo di"entano se sifanno coincidere le due frasi, come succede aunto imlicitamente nel aradossooriginario.

La soluzione di ustin 5 dun6ue c!e non c)5 aradosso, ma solo ambiguit7. Poic!Ji logici amano il aradosso ma aborriscono l)ambiguit7, si u immaginare c!e6uesta soluzione non sia di loro gradimento.

'mull0an

Indiendentemente da ogni altro fattore, il aradosso del mentitore u costituire la base er di"ertenti romicai logici. Il loro di"ulgatore iK arguto 5 :a;mond

110Gi7 Parmenide a"e"a notato, nel oema 6ella natura, c!e senza distinguerle si cade nel aradosso. d esemio, 5 ossibile sostenere allo stesso temo c!e il nonBessere non 5 er definizione, ed 5 aunto il nonBessere. -a ladistinzione 5 iK facile da riconoscere c!e da raticare. $ !.d.A.%

110



radono da soli. Oltre all)ordine aradossale, i cruciali elementi aggiunti"i sono ora ilraorto di rigida subordinazione del soldato all)ufficiale e l)imossibilit7 di usciredalla contraddizione mettendo in discussione la consistenza dell)ordine stesso.

Secondo 9ateson, 5 aunto l)esosizione duratura a doi "incoli di 6uestogenere c!e ro"oca in c!i li subisce, sorattutto da bambino in famiglia o in collegi,

un)incaacit7 di distinguere fra linguaggio e metalinguaggio, e la conseguente schi(ofrenia. Le "ie d)uscita atologic!e sono tre

a5Lebefrenia, in cui si rifiuta il metalinguaggio e ci si limita all)asetto uramente letterale della comunicazione. n esemio di 6uestoatteggiamento 5 il rotagonista de Il buon soldato '%e@k di arosla" Aase>,c!e interreta tutti gli ordini, er 6uanto insensati, in maniera letterale.

b5La paranoia, in cui si rifiuta il linguaggio e ci si dedica alla continua ricercadi significati reconditi al di l7 di esso. n esemio simmetrico al

recedente 5 il rotagonista di 2atch NN di ose! Aeller, c!e interretatutti gli ordini, er 6uanto sensati, in maniera metaforica.

c%La catatonia, in cui si rifiutano entrambi i li"elli e ci si c!iude allacomunicazione nell)inatti"it7, fino all)autismo, o nell)ieratti"it7. infattiun aarente aradosso c!e c!i 5 troo occuato non !a, aunto, iltemo di far niente. In articolare, di stare a sentire gli altri.

In 6uest)ottica, ossiede la normalit7 soltanto c!i conosce, almeno a li"ellointuiti"o, la logica. O""ero, o si : logici o si : patologiciF

Si noti, comun6ue, c!e comortamenti di tio sc!izofrenico sono ossibili anc!enella "ita 6uotidiana non atologica, in reazione a doi "incoli isolati. d esemio,domande imbarazzanti a cui si de"e risondere si ossono e"adere temoraneamentecon risoste letterali $ebefrenic!e, aarentemente sicotic!e% od umoristic!e$aranoic!e, aarentemente ne"rotic!e%. E 6ualcosa c!e si de"e, ma non si "uole,fare si u e"itare temoraneamente, negandosi od ammalandosi $autisticamente%,oure mostrandosi o dic!iarandosi ierindaffarati. E cosQ "ia.

na "olta resa coscienza dei doi "incoli, li scoriamo negli asetti iK s"ariatidell)atti"it7 umana.

L)educazione er addestrare all)autonomia, alla sontaneit7 e all)indi"idualit7 si retendendo la diendenza, l)obbedienza e l)uniformit7. Il raorto materno siregalano due camicie al figlio, e 6uando egli ne indossa una gli si c!iedelamentosamente se l)altra non gli iace. L)alimentazione si "uole oter mangiarerimanendo magri. La sessualit7 si desidera c!e la roria artner eterosessuale siasanta di giorno e uttana di notteH, o c!e il rorio artner omosessuale sia un "erouomoH. Il diritto si imedisce er legge la rinuncia alla libert7, come nell)art. 2 del+odice ci"ile s"izzero, o si unisce l)autolesionismo, come nei +odici militari. La olitica si concede l)indiendenza alla 3inlandia, a condizione c!e non la usi, o si retende c!e "enga c!iesto dal basso ci c!e "iene imosto dall)alto, fino alla

sottomissione sontanea alla tirannide descritta in &uio a me((ogiorno di rt!ur?oestler e in PEU di George OrDell. E cosQ di seguito.

112



Oltre c!e aarire come cause scatenanti della sc!izofrenia, i doi "incoli ossono er anc!e di"entarne la soluzioneF La teraia roosta da 9ateson 5 infatti6uella di rescri"ere il sintomo come cura, usando comandi del tio +ontinua a fareci c!e stai facendoH, o 'on cooerareH. Essi mutano automaticamente un)atti"it7sontanea in una coatta, cambiando le regole del gioco e onendo le basi er un

sueramento della atologia.ndando oltre la sc!izofrenia, 9ateson !a notato c!e raticamente tutta l)atti"it7comunicati"a sueriore, umana e non, 5 un)esressione del aradosso del mentitore.d esemio, comunicare =uesto 5 un giocoH, il c!e u a""enire anc!e a li"ello relinguistico e tra animali, significa semlicemente dire +i c!e sto facendo non 5ci c!e sto facendoH, nel senso c!e gli atti c!e "engono comiuti $ad esemio, lasimulazione di una lotta% non sono da intendere come andrebbero intesi normalmente$ad esemio, una lotta "era%11&.

nalogamente a""iene er minaccia, inganno, simulazione, magia, umorismo,

comicit7, simbolismo, metafora, immagini oetic!e, cerimonie, rituali, riti,recitazione, assando attra"erso tutta l)atti"it7 creati"a ed artistica.+!e l)arte sia solo un)esressione di mera"igliose menzogne, lo sanno e lo dicono

molti artisti, da /enis /iderot nel aradosso sullattore11(, del 1*, a Giorgio-anganelli in La letteratura come men(ogna, del 184(.

nc!e se, aggiunge"a Picasso, l)arte 5 una menzogna c!e ci fa comrendere la"erit7H. E, di solito, 5 una menzogna c!e "iene eslicitamente dic!iarata segnendole luci, arendo i siari, iniziando i racconti $o i libriF% con c)era una "oltaH,truccando gli attori, facendoli recitare in modo innaturale, in6uadrando i diinti nellecornici, onendo le statue sui iedistalli, terminando con inc!ini ed alausi, e cosQ"ia.

rte a arte, il unto di arri"o di 6uesta reinterretazione aradossale dellacomunicazione 5, o""iamente, il linguaggio stesso, sulla base del rinciio c!e ilsegno non 5 il messaggio. na osizione condi"isa da mberto Eco, c!e nel Trattatodi semiotica generale del 18( definisce un segno come tutto ci c!e u essereusato er mentireH e la semiotica come una teoria della menzognaH.

=nultima men(ogna

La storia c!e abbiamo raccontato termina dun6ue con una conferma dei nostri regiudizi iniziali, ormai di"entati giudizi finali, c!e sanciscono un incontrastatodominio della menzogna nella cultura, nella comunicazione e nel comortamentointeri. Il riassunto di 6uesti s"ilui, secondo cui il aradosso del mentitore fa dasfondo ad ogni affermazione umana significati"a, otrebbe dun6ue essere unaforisma del tio Tutto 5 menzognaH.

11& roosito della connessione fra gioco e menzogna, si u anc!e notare c!e l)esressione essere giocatiH significaessere ingannatiH, e c!e illusioneH e illudereH deri"ano dal latino ludo, giocareH. $ !.d.A.%11(Il aradosso tro"ato da /iderot 5 c!e la sensibilit7 fa gli attori mediocri, l)estrema sensibilit7 gli attori limitati, ilsangue freddo e il cer"ello gli attori sublimiH. $ !.d.A.%

11*



+ome !anno er notato in molti, da ristotele nella 7etafisica $I, 4% a Tommasod)6uino nella 'umma Theologiae $II, *%, l)affermazione c!e tutto 5 menzognaHnon u essere "era, erc!J altrimenti sarebbe essa stessa una menzogna. llora de"eessere falsa, cio5 ci de"e essere 6ualc!e "erit7, e la cosa finisce 6ui. 'on 5 dettoinfatti c!e 6uesta "erit7 debba rorio essere la frase in 6uestione.

lla fine di un lungo cammino, ci ritro"iamo dun6ue con una riformulazione, falsama non aradossale, del romicao di Eimenide dal 6uale era"amo artiti. +iaccorgiamo cosQ di a"er girato in tondo, seguendo un circolo forse "izioso, ma certonon inadeguato al trattamento di un aradosso.

11&



+aitolo sesto

La corsa nel tempo della tartaruga

gli albori della ci"ilt7 greca la tartaruga di"enne una celebrit7 mediatica grazie aduna famosa fa"ola di Esoo, c!e la immagin rotagonista di una corsa con la lere.Poic!J la gara era senza storia, la lere lasci artire la tartaruga e si ferm a fare un isolino sotto un albero, sicura di oterla raggiungere a iacere. La tartaruga, rocedendo ian ianino, arri" rima c!e la lere si s"egliasse. /a cui il detto +!i

dorme, non iglia tartarug!eH. O anc!e, come comment tran6uilla la "incitrice'on ser"e saer correre, bisogna artire in temoH.

La tartaruga si ri"el essere una metafora cosQ azzeccata e otente c!e i fa"olieri,da Esoo a ean de la 3ontaine, non riuscirono a monoolizzarla. Se ne aroriaronoin"ece gli eleatici, nelle cui mani essa disieg un)inasettata rofondit7 e di"enne ilmarc!io di uno dei iK noti aradossi della storia, oltre c!e del "ertiginoso regressoinfinito. In 6uesto caitolo seguiremo le metamorfosi filosofic!e, matematic!e edartistic!e della sua corsa, c!e continua ormai da "enticin6ue secoli senza accennare afermarsi.

enone

@enone di Elea $ secolo a.+.% 5 assato alla storia er moti"i aradossali comeautore cio5 di una 6uarantina di aradossi, in massima arte oggi erduti, e da luiintesi come argomenti a sostegno delle tesi del suo maestro $e amante% Parmenide,c!e nega"a la ossibilit7 del di"enire in generale e del moto in articolare.

causa del suo successo dialettico @enone "eni"a c!iamato lingua biforcutaH, emolti sognarono certamente di tagliargliela. Egli stesso realizz il loro sogno 6uando, er incitare i concittadini alla ri"olta contro il tiranno, se la mozz da solo coi denti ela sut loro in faccia11#.

Il aradosso di @enone iK famoso, anc!e a causa della riuscita immagine letterariaanticiata da Esoo, coin"olge c!ille i5 "eloce e la tartaruga zama lenta. Sec!ille concede alla tartaruga un 6ualun6ue "antaggio non riuscir7 mai araggiungerla, erc!J de"e rima ercorrere la distanza c!e le !a concesso di"antaggio, ma nel frattemo essa !a ercorso un nuo"o tratto, c!e c!ille do"r7colmare, e cosQ "ia.

11#/iogene Laerzio, 9ite e opinioni dei filosofi illustri, I, 2(B28. $ !.d.A.%

11(



L)essenza del ragionamento recedente 5 resente in forma iK ura in altri due aradossi simmetrici di @enone : impossibile sia partire che arri%are. Infatti, erarri"are in un luogo 5 necessario arri"are rima a met7 della distanza, oi a met7 del ercorso rimanente, e cosQ "ia. E er artire 5 necessario ercorrere 6ualc!e distanza,ma rima si de"e ercorrerne la met7, e rima ancora met7 della sua met7, e cosQ "ia.

@enone mostr infine c!e : impossibile essere in %iaggio, usando anc!e in 6uestocaso una efficace immagine letteraria una freccia non u "olare. Infatti in ogniistante essa 5 ferma, mentre il moto 5 una successione di mo"imenti.

=uest)ultimo aradosso 5 comlementare ai tre recedenti. -entre 6uelli si basanosull)infinita di%isibilit di sazio e temo, 6uesto si aella all)indi%isibilit di unti oistanti. In tal modo gli argomenti eleatici della imossibilit7 del moto cori"anoentrambe le ossibilit7 e ermette"ano di e"itare assunzioni metafisic!e sulla naturadello sazio e del temo.

*ui 'hi e 2huang T(u

-olti degli argomenti di @enone furono anc!e scoerti, 6uasi simultaneamente, dalsofista cinese Aui S!i $I secolo a.+.%. Essi sono riortati nell)ultimo caitolo delclassico taoista 2huang T(u, c!e li critica come arole c!e non raggiungono il bersaglioH, un "oler correre iK "eloci della roria ombraH.

/ue in articolare sono sorrendenti, er le loro analogie con gli argomenti dellatartaruga e della freccia

[Se ogni giorno si dimezza un bastone lungo un iede, ne rimarr7 semre 6ualcosaanc!e doo diecimila generazioni.

[i sono momenti in cui la freccia c!e "ola non 5 in mo"imento. 'onostante la sua critica agli argomenti di Aui S!i, +!uang Tzu ne resenta

autonomamente di simili. d esemio, se esiste l)no, allora esso arteciadell)Essere, 6uindi esiste il /ue cio5, aunto, l)no e l)Essere. E allora esiste il Treossia l)no, il /ue e la loro unit7. E cosQ "ia, in rogressione aritmetica.

La morale tiicamente taoista c!e "iene dedotta 5 c!e, oic!J 6ualun6ue ensierone genera infiniti altri, : meglio non pensare. In modo meno drastico, a artire da

3rege l)argomento "iene oggi usato in matematica er generare infiniti insiemi a artire da uno $c!e in genere 5 il nulla, nella forma dell)insieme "uoto%11.L)argomento recedente 5 resentato da +!uang Tzu anc!e in una interessante

"ariante. =ualcuno sostiene una tesi ad esemio, c!e il mondo abbia un inizio. naltro nega la tesi. n altro ancora nega la negazione della tesi, e cosQ "ia. Il regressoinfinito "iene 6uesta "olta e"itato, semre in maniera tiicamente taoista, sostenendoc!e non esiste differen(a fra afferma(ioni e nega(ioni. La logica occidentale 5 menodrastica, e ritiene c!e non esista differenza fra affermazioni e doie negazioni $lalogica classica%, o almeno fra negazioni e trile negazioni $la logica intuizionista%.

11G. 3rege, 6ie Grundlagen der Arithmetik , 144&. In realt7 3rege ensa"a c!e l)argomento fosse sufficiente erdimostrare l)esistenza non solo di infiniti insiemi, ma anc!e di un insieme infinito. Oggi er i matematici accettano la

rima arte ma non la seconda, c!e de"e essere ostulata indiendentemente. $ !.d.A.%

11#



latone

'el armenide di Platone $&24B*& a.+.%, dialogo in cui comare @enone stesso, sitro"ano almeno due argomenti isirati ai suoi inconfondibili aradossi, se non

direttamente do"uti a lui.Il rimo esone una difficolt7 della teoria di Parmenide l=no : molti. Se infatti

l)no esiste, allora esso artecia dell)Essere. =uindi !a due arti aunto, l)no el)Essere. -a ciascuna di 6ueste due arti 5 una e artecia dell)Essere. =uindi !a, asua "olta, due arti. E cosQ "ia, in rogressione geometrica $la "ersione di +!uangTzu rocede"a, in"ece, in rogressione aritmetica%.

Il secondo argomento, detto del terzo uomo, esone in"ece una difficolt7 dellateoria delle idee di Platone. Gli uomini !anno infatti caratteristic!e comuni, c!edefiniscono l)idea di omo. -a allora anc!e gli uomini e l)omo !anno

caratteristic!e comuni, c!e definiscono l)idea di un terzo uomo, di"erso da entrambi.E cosQ "ia. 6uesto unto era ormai di"entato e"idente c!e @enone a"e"a inaugurato una

modalit7 di ensiero caace di mettere in difficolt7 6ualun6ue teoria, comrese 6uelledi Parmenide c!e egli era in"ece artito er difendere.

)ubulide

Eubulide di -ileto, della scuola megarica $I secolo a.+.%, formul il famoso aradosso del mentitore, a cui abbiamo dedicato l)intero caitolo recedente. +omeabbiamo "isto, una delle sue "ersioni 5

=uesta frase 5 falsa.

rima "ista 6uesto 5 un argomento di tio di"erso da 6uelli di @enone, maanc!)esso genera un regresso infinito 6uando si incominci a sostituire a 6uestafraseH ci c!e essa significa, cio5 la frase stessa, ottenendo darima

=uesta frase 5 falsaH 5 falsa,

oi

=uesta frase 5 falsa 5 falsaH 5 falsa,

e cosQ "ia. +i si riduce 6uindi a una frase infinita e senza soggetto, il c!e dimostra c!enon si sta"a arlando di niente

... 5 falsa) 5 falsa 5 falsaH 5 falsa.

'el 18#8 o!n 9art !a utilizzato un artificio simile er un suo racconto114, c!einizia nel modo seguente

+)era una "olta una storia, c!e inizia"a con +)era una "olta una storia, c!e inizia"acon +)era una "olta una storia, c!e inizia"a con...

114. 9art, Frame tale, in Lost in the funhouse, Grosset and /unla, 18#8. $ !.d.A.%

11



irrone

Gli argomenti delle scuole eleatica e megarica, se resi seriamente, ossonogenerare un rofondo scetticismo sul linguaggio e sul mondo stesso. 'on a caso

@enone ed Eubulide sono considerati i recursori filosofici di Pirrone di Elide $Isecolo a.+.%, fondatore aunto della scuola scettica. Egli sostene"a c!e, oic!J tuttele oinioni sono incerte e tutte le cose uguali, si de"e smettere di arlare $ afasia%, digiudicare $epoch#%, di essere coin"olti $atarassia% e di agire $apatia%.

Il legame fra @enone e Pirrone fu reso eslicito dagli scettici gria $I secolod.+.% e Sesto Emirico $II secolo d.+.%, c!e usarono argomenti eleatici a fa"ore dellasosensione di ogni giudizio. d esemio, il rimo sostenne c!e niente si puW

pro%are ogni ro"a si de"e infatti basare su 6ualcosa di non ro"ato, c!e si de"e ro"are a sua "olta, e cosQ "ia. nalogamente, il secondo sostenne c!e niente si puW

definire ogni definizione si de"e infatti basare su 6ualcosa di non definito, c!e side"e definire a sua "olta, e cosQ "ia.

Aristotele

=uesti argomenti erano comun6ue gi7 noti ad ristotele $*4&B*22%. 'ella 7etafisica $I, &,100#% egli dic!iara c!e non si u dimostrare o definire tutto, erc!J in tal caso si rocederebbe all)infinito e non ci sarebbe nessuna dimostrazioneo definizione. dun6ue segno di catti"a educazione non saere 6uando fermarsi.

La "ia d)uscita dallo scetticismo roosta da ristotele, e adottata dai matematici a artire da Euclide, 5 il metodo assiomatico. In ratica, cio5, le dimostrazioni si basano in ultima analisi su asserzioni non dimostrate $gli assiomi% e le definizioni sutermini non definiti $le nozioni rimiti"e%.

ristotele a"e"a anc!e fatto un uso sistematico degli argomenti recedenti $II, 2,88&, e II, , 102%, alicandoli non solo alla logica ma alle scienze naturali.Precisamente, sia alle cause $di ogni genere materiali, formali, finali% di un e"ento,c!e agli effetti. In articolare, egli a"e"a cosQ introdotto tre argomenti c!e, sotto il

nome di primo motore, causa prima e fine ultimo, saranno oi riresi dai medioe"alicome ro"e dell)esistenza di /io118.

Per 6uanto riguarda in"ece i aradossi di @enone stesso sulla continuit7, ristotelesembra"a ensare c!e la soluzione risiedesse in una distinzione fra infinito attuale e

poten(iale. 'ella Fisica $2*8b, 8% egli sostenne infatti c!e l)infinita di"isibilit7 otenziale di un segmento non 5 contradditoria. Solo una infinit7 attuale di unti nonsi u ercorrere fisicamente.

La soluzione di limitarsi all)infinito otenziale, adottata dalla matematica greca,rimase attuale sino all)Ottocento, 6uando fu ossibile suerarla grazie alla teoria

degli insiemi.

118L)argomento della causa rima si tro"a gi7 anc!e nel caitolo II di 2huang T(u. $ !.d.A.%

114



Archimede

Gli e6uilibrismi iK arditi er mantenersi nell)ambito dell)infinito otenzialefurono comiuti da rc!imede $24B212%, il iK grande matematico dell)antic!it7.

Egli s"ilu e condusse alla erfezione una "ersione geometrica degli argomenti di@enone il cosiddetto metodo di esaustione, introdotto da Eudosso $&04B*((%.

L)alicazione iK settacolare di 6uesto metodo da arte di rc!imede fu ladimostrazione c!e l)area di un cerc!io di raggio r 5 r 2, c!e rocede nel modoseguente. /a una arte, si mostra c!e i oligoni regolari inscritti nel cerc!io !annotutti area minore di r 2, e c!e er ogni numero ar 2 ne esiste uno con area comresafra a e r 2. /all)altra arte, si mostra c!e i oligoni regolari circoscritti al cerc!io!anno tutti area maggiore di r 2, e c!e er ogni numero ar 2 ne esiste uno con areacomresa fra a e r 2.

Il asso cruciale della dimostrazione 5 tiicamente (enoniano dato un 6ualun6ue oligono regolare inscritto o circoscritto, il oligono regolare con un numero doiodi lati differisce dal cerc!io al massimo della met7 di 6uanto "i differi"a il recedente. Il metodo di esaustione comie er uno sostamento d)accento dal fattonegati"o c!e la differenza non sar7 comun6ue mai nulla, a 6uello ositi"o c!e essadi"enta arbitrariamente iccola.

Agostino

'elle sue 2onfessioni $I% gostino $*(&B&*0% utilizza il metodo (enoniano erargomentare c!e un secolo non 5 resente, erc!J stiamo "i"endo in uno solo dei suoianni. E un anno non 5 resente, erc!J stiamo "i"endo in uno solo dei suoi mesi. EcosQ "ia.

/un6ue passato e futuro non esistono, e c: solo il presente. Il 6uale rende treforme di"erse resente del assato, resente del resente e resente del futuro. /i 6ui otrebbe immediatamente artire un nuo"o regresso infinito, c!e gostino er non ersegue. Si limita in"ece a osser"are c!e il resente del assato "i"e nella memoria e

il resente del futuro nell)attesa.

A%icenna

'ella 7etafisica $II, 1, 2% il filosofo arabo "icenna $840B10*#% introdusse lacosiddetta ro"a cosmologica dell)esistenza di /io, c!e si riduce al seguenteargomento. /efiniamo contingente un essere c!e !a bisogno di 6ualc!e altro essere

er esistere. artire da un essere contingente, un regresso infinito si u fermaresolo introducendo un essere necessario, c!e esiste senza a"er bisogno di altri esseri.

118



motore. Globalmente, si do"rebbe inoltre dimostrare c!e i cin6ue enti coincidono fraloro ad esemio, il rimo motore con la causa rima. Inutile dire c!e Tommaso nonfornisce nessuna di 6ueste dimostrazioni.

Inoltre, fra i "ari attributi di /io da lui considerati non comare l)infinito. nzi,tutti gli argomenti er assurdo basati sul regresso infinito tendono aunto a e"itarlo,

fermando il regresso.

Gregorio da $imini

Il roblema della relazione fra /io e l)infinito era ormai comun6ue "enuto a galla,in articolare nella seguente forma come si riconcilia l)onniotenza di /io conl)imossibilit7 dell)infinito attuale in natura sostenuta da ristotele d esemio, /ioa"rebbe otuto creare una ietra infinita

Tommaso sostene"a di no. n essere onniotente u fare tutto ci c!e 5 ossibilefare. -a neure lui u fare l)imossibile, c!e altrimenti non sarebbe iK tale.

Gregorio da :imini $1*00B1*(4% ritenne in"ece c!e gli argomenti di @enone otessero andare in soccorso di /io stesso. Egli dimostr c!e, se /io a"esse "oluto,a"rebbe otuto creare una ietra infinita nel giro di una sola ora. 9asta"a c!eincominciasse con una ietra di un c!ilo e c!e "i aggiungesse un c!ilo doomezz)ora, un altro c!ilo doo un 6uarto d)ora, e cosQ "ia.

Gio"anni 9uridano non fu con"into. Secondo lui l)argomento mostra"a soltantoc!e /io ote"a creare ietre di grandezze illimitate in meno di un)ora, ma non c!e

otesse comletare l)oera.

2artesio

L)eredit7 filosofica di +artesio $1(8#B1#(0% si u isolare nel tentati"o didescri"ere l)uni"erso in maniera uramente meccanicista, con le sole eccezionidell)esistenza di /io e dell)anima.

In articolare, nel trattato Luomo, abbandonato nel 1#** in seguito alla condannadi Galileo da arte dell)In6uisizione e ubblicato ostumo, +artesio affront il roblema della "ita. 'on riuscendo a caire come si otesse giustificaremeccanicamente la riroduzione di organismi da organismi simili ad essi, fu ercostretto a in"ocare un miracolo er ciascuna di tali riroduzioni.

Il roblema, tiicamente eleatico, in cui si era imbattuto +artesio riguarda"a lacomlessit7. ffinc!J una macc!ina otesse rirodurne un)altra, sembra"a infatti c!eessa ne do"esse contenere una coia, e c!e non otesse 6uindi rirodurre altro c!emacc!ine meno comlicate di se stessa. Le 6uali, a loro "olta, do"rebbero oterrirodurre soltanto macc!ine meno comlicate di se stesse, innescando cosQ un rocesso degenerati"o contrario all)e"idente stabilit7 delle secie organic!e.

121



Oggi 5 ossibile e"itare di scomodare il +reatore, notando c!e la riroduzione ua""enire in"ece seguendo una descrizione, e c!e 6uesta u essere meno comlicatadell)oggetto da costruire. d esemio, la descrizione il numero costituito da 1seguito da un milione di 0H 5 sostanzialmente meno comlessa $in 6uesto caso, iKcorta% del numero descritto, c!e occuerebbe un libro di un migliaio di agine.

Fermat

Pierre de 3ermat $1#01B1##(%, uno dei grandi matematici del secolo II, side"e un gran numero di risultati nella teoria dei numeri. 3ermat non si degn mai di ubblicarne le dimostrazioni, ma in iK occasioni enunci il metodo generale c!e glia"e"a ermesso di tro"arle.

=uesto metodo 5 oggi noto come discesa infinita, e funziona in maniera erfettamente zenoniana. Immaginiamo di "oler dimostrare c!e non esistono numeriinteri con una certa roriet7 ad esemio, due cubi c!e diano come somma un cubo.Si suone er assurdo c!e essi esistano, e si mostra come tro"arne altri iK iccoli econ la stessa roriet7. i nuo"i numeri cosQ tro"ati si otr7 allora rialicare il rocedimento, tro"andone altri ancora iK iccoli, e cosQ "ia.

In tal modo si genererebbe 6uindi una successione discendente infinita di numeriinteri. Il c!e non 5 ossibile, erc!J artendo da un numero n si u al massimodiscendere n "olte, ed arri"ati a zero ci si de"e fermare.

Torricelli

I Greci a"e"ano definito il rettangolo aureo come 6uello tale er cui, se si toglie daesso il 6uadrato definito dal lato minore, si ottiene un secondo rettangolo simile a6uello di artenza. Se si toglie da 6uesto secondo rettangolo il 6uadrato definito dallato minore, si ottiene un terzo rettangolo simile ai due recedenti, e cosQ "ia. I "arirettangoli determinano uni"ocamente, in maniera telescoica, un unto del iano.

+onnettendo fra loro i 6uarti di cerc!io c!e si ossono disegnare nei "ari 6uadratic!e "engono tolti "ia "ia, si ottiene la cosiddetta spirale logaritmica $figura &%. 'el1#&( E"angelista Torricelli $1#04B1#&% scorQ c!e, benc!J la sirale comia infinitigiri attorno al unto determinato dai "ari rettangoli, la sua lung!ezza 5 finita.

122



3igura &

Sirale logaritmica.

Per illustrare "isi"amente 6uesto aradosso, mettiamo 6uattro leri $o 6uattrotartarug!e% ai "ertici di un cortile 6uadrangolare e lanciamole ciascunaall)inseguimento della seguente con la stessa "elocit7. Il ercorso c!e ogni lere $otartaruga% comie 5 un arco di sirale logaritmica $figura &4%. /a un lato, le leri $o letartarug!e% non do"rebbero mai raggiungersi, essendo condannate a comiere infinitigiri attorno al centro. /all)altro, esse do"rebbero raggiungersi in un temo finito,

erc!J ciascun arco di sirale !a lung!ezza finita $er la recisione, ari al lato del6uadrato%.

3igura &4-aurits +ornelis Esc!er, 2ammino di %ita I9 .

12*



Per e"itare ulteriori aradossi, non bisogna confondere tra loro le "arie aritmetic!e.d esemio, in 6uella decimale solita 0,12*... corrisonde al numero di2hampernowne120, c!e non solo non 5 o""iamente un intero, ma non 5 neurerazionale $nel 18#1 ?urt -a!ler !a dimostrato c!e 5 trascendente%.

'terne

/oo essere state aannaggio esclusi"o di filosofia e matematica er duemillenni, era ormai "enuto il temo er le idee (enoniane di attrarre l)interesse dellaletteratura. Il battesimo dell)arte a""enne nel 1#1, in 6uesto brano di 9ita e -pinionidi Tristram 'hand0, gentiluomo $I, 1*% di Laurence Sterne $11*B1#4%

=uesto mese sono un intero anno iK "ecc!io di 6uant)ero a 6uest)eoca dodici

mesi fa. Essendo arri"ato, come otete "edere, 6uasi a met7 del mio 6uarto "olume,ma non oltre il rimo giorno della mia "ita, 6uesto dimostra c!e !otrecentosessanta6uattro giorni in iK da scri"ere ora, di 6uando !o iniziato. +osQ c!e,in"ece di a"anzare nel mio la"oro come 6ualun6ue altro scrittore, mi ritro"o alcontrario in ritardo di altrettanti "olumi. Se ogni giorno della mia "ita fosse cosQdenso $e forse c!e no%, e gli e"enti e le considerazioni su di esso ric!iedesseroaltrettante descrizioni $e erc!J mai non do"rebbero%, a 6uesto ritmo "i"rei *#&"olte iK "eloce di 6uanto ossa scri"ere. 'e consegue, se ermettete, c!e iK scri"oe iK a"r da scri"ereW di conseguenza, iK lorsignori leggono, iK a"ranno daleggere.

=uanto alla roosta di scri"ere dodici "olumi all)anno, o un "olume al mese, nonmodifica in nessun modo le mie rosetti"e er 6uanto io scri"a, e er 6uanto taglicorto secondo il consiglio di Orazio, non mi raggiunger mai. rri"ato all)ultimo

izzico, alla eggio mi rimarr7 un giorno nella enna ma un giorno basta er due"olumi, e due "olumi er un anno.

Il rotagonista del romanzo, c!e a"e"a intrareso la scrittura della roriaautobiografia comleta, do"ette dun6ue abbandonarla erc!J l)imresa erao""iamente imossibile.

In realt7 non c)5 niente di aradossale in 6uesto solo una triste constatazione della

mortalit7 della "ita umana. Paradossale sarebbe in"ece una "ita infinita, erc!J essa ermetterebbe non soltanto di scri"ere la roria comleta autobiografia ai lenti ritmidi Tristram S!and;, ma anc!e di assare gran arte del temo a far altro $er rendereinteressante la biografia stessa%.

ncor iK aradossale sarebbe ostulare, in"ece di un futuro, un assato infinitoaena concluso. In base alla stessa corrisondenza tra infiniti anni e infiniti giorni,anc!e in 6uesto caso ci sarebbe tutto il temo di scri"ere la roria autobiografiacomleta. Se non fosse c!e la descrizione dell)ultimo giorno ric!iederebbe comun6ueun anno, e do"rebbe dun6ue essere intraresa rima di "i"erloF

120/. +!amernoDne, The construction of decimals normal in the scale of ten, ournal of t!e London -at!ematicalSociet;, 4 $18**% 2(&B2#0. $ !.d.A.%

12(



1ant

Gli argomenti eleatici, c!e a"e"ano costituito il fondamento della 'ummaTheologiae di Tommaso d)6uino, mostrarono la loro erdurante "ersatilit7 filosoficainsinuandosi anc!e nella 2ritica della ragion pura di Immanuel ?ant $12&B140&%,c!e cita eslicitamente e risettosamente @enone 6uale sottile dialetticoH $9 *&(%.

In articolare, la seconda antinomia della ragion ura mostra c!e il mondo non uessere nJ costituito di elementi atomici, nJ infinitamente di"isibile. /a un lato, lamateria !a infatti estensione saziale, ed 5 6uindi soggetta all)infinita di"isibilit7dello sazio stesso. /all)altro lato, l)infinita di"isibilit7 orta ad un regressoall)infinito, al termine del 6uale non rimane iK nulla e nel 6uale la materia sidissol"e.

La conclusione c!e ?ant rica"a dalla sua antinomia 5 c!e la no(ione di mondo :illegittima. L)intelletto ne erceisce infatti la finitezza come una limitazioneinadeguata, ma non sa conceirne l)infinitezza in maniera comrensibile.

Lot(e

La terza antinomia >antiana riguarda"a determinismo e libert7, ed Aermann Lotze

$141B1441% contribuQ alla discussione mostrando (enonianamente c!e i rapporticausali sono impossibili./ue oggetti non ossono infatti agire direttamente uno sull)altro, ed ogni azione

de"e essere mediata da un terzo oggetto. -a allora anc!e l)azione sul $o del% terzooggetto de"e essere mediata, e cosQ "ia. Lo stesso ragionamento "ale, a maggiorragione, 6uando si consideri l)interazione non fra due oggetti, ma fra coro e anima.

ffinc!J sia ossibile siegare l)azione fra oggetti 5 dun6ue necessario, secondoLotze, ostulare l)esistenza di una otenza mediatrice distinta dalla natura, esulementare il meccanicismo con lo siritualismo.

'chopenhauer

'el 7ondo come %olont e rappresenta(ione $II, 18% rt!ur Sc!oen!auer $144B14#1% a"e"a gi7 a"anzato lo stesso argomento, er altro mutuato dalla filosofiaindiana, er mostrare c!e non si puW conoscere se stessi. La conoscenza ric!iedeinfatti un soggetto conoscente distinto dall)oggetto conosciuto. =uesto soggettoric!iede a sua "olta un ulteriore soggetto conoscente, e cosQ "ia.

'ella scienza la distinzione fra soggetto ed oggetto di conoscenza "iene oggiriformulata in termini di osser%atore ed osser%abile. -entre er nella fisica classical)osser"atore "eni"a in ultima analisi eliminato, in fa"ore di una descrizione

12#



3igura &83iltro di Sierins>i

3igura (0Sugna di -enger

2arroll

'el 148( LeDis +arroll $14*2B1484% immagin c!e i due rotagonisti del aradosso di @enone a"essero miracolosamente concluso la loro fatica, e trascrisse leloro con"ersazioni del doo corsa nell)ormai classico dialogo 2iW che la Tartaruga

disse ad Achille12#

, c!e riortiamo er intero.c!ille a"e"a raggiunto la Tartaruga e si era seduto comodamente sulla sua

corazza. [+osQ lei 5 arri"ato alla fine del ercorso [ disse la Tartaruga. [ nc!e se esso

realmente consiste"a di una serie infinita di lung!ezze -i are"a c!e 6ualc!e bellosirito a"esse dimostrato c!e la cosa non ote"a essere fatta.

[Pu essere fatta [ disse c!ille. [ stata fattaF 'ol%itur ambulando. ede, ledistanze diminui%ano continuamente e 6uindi...

[-a se fossero aumentate continuamente [ interrue la Tartaruga. [ llora c!e

sarebbe successo12#L. +arroll, Hhat the tortoise said to Achilles, -ind, & $148(% 24B240 trad. it. di G. Trautteur, in /. Aofstadter,Gdel, )scher, &ach, del!i, -ilano 184&, PP. &B&81. $ !.d.A.%

124



[llora non sarei stato 6ui [ relic con modestia c!ille, [ e lei a 6uest)oraa"rebbe fatto arecc!ie "olte il giro del mondoF

[Lei mi confonde. nzi, mi schiaccia [ disse la Tartaruga, [ erc!J lei 5 un esomassimo, e 6uesto 5 certoF 9ene. Le iacerebbe sentire la storia di una corsa c!e6uasi tutti immaginiamo di oter comiere in due o tre salti, mentre in realt7consiste di un numero infinito di assi, ognuno iK lungo del recedente

[+on grande iacere [ risose il guerriero greco, mentre trae"a dal suo elmo$oc!i guerrieri greci in 6uel temo a"e"ano tasc!e% un enorme 6uaderno di auntie una matita. [ "antiF E arli lentamente, er iacereF La stenografia non 5 stataancora in"entataF

[!, 6uella slendida Prima Proosizione di EuclideF [ mormor con ariasognante la Tartaruga. [ Lei ammira Euclide

[assionatamenteF lmeno 6uanto si puW ammirare un trattato c!e sar7 ubblicato soltanto tra molti secoliF

[9ene, adesso ercorriamo un oco la dimostrazione di 6uella PrimaProosizione, aena due assi, e la conclusione c!e se ne trae. Gentilmente annotitutte le roosizioni nel suo 6uaderno. E er oterci riferire a esse comodamente,c!iamiamole , 9 e @

$%+ose c!e sono uguali alla stessa cosa sono uguali fra loro.$9%I due lati di 6uesto triangolo sono cose c!e sono uguali alla stessa cosa.$@%I due lati di 6uesto Triangolo sono uguali fra loro.

I lettori di Euclide concederanno, suongo, c!e @ segue logicamente da e 9,cosicc!J c!i accetta e 9 come "ere de"e accettare @ come "era.

[+ertamenteF nc!e uno scolaro di scuola media, aena le scuole medie sarannoin"entate, ci c!e non accadr7 ancora er circa duemila anni, accetterebbe ;uesto.

[E se 6ualc!e lettore non a"esse ancora accettato e 9 come "ere, otrebbeugualmente accettare come %alida la successione delle roosizioni, suongo.

[Indubbiamente otrebbe esistere un lettore del genere. Egli otrebbe dire Ioaccetto come "era la Proosizione Iotetica c!e, se e 9 sono "ere, allora @ de"eessere "eraW ma non accetto e 9 come "ereH. n tale lettore farebbe bene adabbandonare Euclide e darsi all)iica.

[E non otrebbe anche esserci 6ualc!e lettore c!e dicesse ccetto e 9 come"ere, ma non accetto la Proosizione IoteticaH

[+ertamente otrebbe esserci, e anc!e lui farebbe meglio a darsi all)iica. [E nessuno di 6uesti lettori [ continu la Tartaruga, [ si tro"a er ora nella

necessit7 logica di accettare @ [Prorio cosQ [ assentQ c!ille. [Stando cosQ le cose, desidero c!e lei consideri me come un lettore del secondo

tio e c!e mi costringa ad accettare @ come "era. [na tartaruga c!e si dia all)iica sarebbe... [ sta"a cominciando c!ille. [...un)anomalia, naturalmente [ interrue sbrigati"amente la Tartaruga. [ -a

non di"ag!i ensi a @. Prima occuiamoci di @ e oi ci daremo all)iicaF [/e"o costringerla ad accettare @, "ero [ disse c!ille ensieroso. [ E la sua

osizione attuale 5 c!e lei accetta e 9, ma non accetta la Proosizione Iotetica... [+!iamiamola + [ disse la Tartaruga. [...ma non accetta

$+% Se e 9 sono "ere, @ de"e essere "era.

128



[=uesta 5 la mia osizione attuale [ disse la Tartaruga. [ llora le de"o c!iederedi accettare +.

[+on iacere, aena lei l)a"r7 registrata nel suo 6uaderno. +os)altro c)5 in 6uel6uaderno

[Solo alcuni ricordi [ disse c!ille sfogliando ner"osamente le agine. [ :icordidi... delle battaglie nelle 6uali mi sono distintoF

[:imangono molti fogli in bianco, "edo. 9eneF "remo bisogno di loro [ disse laTartaruga allegramente, mentre un bri"ido corre"a er la sc!iena di c!ille. [ Orascri"a 6uel c!e le detto

$% +ose c!e sono uguali alla stessa cosa sono uguali fra loro.$9% I due lati di 6uesto triangolo sono cose c!e sono uguali alla stessa cosa.$+% Se e 9 sono "ere, @ de"e essere "era.$@% I due lati di 6uesto Triangolo sono uguali fra loro.

[/o"rebbe c!iamarla /, non @ [ disse c!ille, [ erc!J "iene subito dopo lealtre tre. Se lei accetta , 9 e +, allora lei de%e accettare @.

[eramente E erc!J [Perc!J 5 una loro conseguen(a logica. Se , 9 e + sono "ere, @ de"e essere

"era. 'on "orr7 negare ;uesto, "oglio serare [Se , 9 e + sono "ere, @ de%e essere "era [ rietJ ensosamente la Tartaruga. [

=uesta 5 unaltra Proosizione Iotetica, non 5 "ero E se non erceissi la sua"erit7, otrei ancora accettare , 9 e + sen(a accettare @, non 5 cosQ

[ cosQ [ ammise l)eroe candidamente, [ sebbene una tale ottusit7 sarebbe"eramente fenomenale. Tutta"ia la cosa 5 possibile e le de"o 6uindi c!iedere diammettere ancora unaltra Proosizione Iotetica.

[9enissimo. Sono senz)altro disosta ad ammetterla, non aena lei l)a"r7registrata nel suo 6uaderno. +!iamiamola

$/% Se , 9 e + sono "ere, @ de"e essere "era.

Scritto [ 'crittoF [ risose c!ille raggiante, mentre deone"a la matita. [ E finalmente

siamo giunti alla fine di 6uesta corsa idealeF Ora c!e lei accetta , 9, + e /, accettanaturalmente anc!e @.

[/a""ero [ disse la Tartaruga con aria innocente. [ +erc!iamo di essereassolutamente c!iari io accetto , 9, + e /, ma suoniamo c!e mi rifiuti ancora diaccettare @

[In 6uesto caso la Logica la renderebbe er la gola e la costringerebbe adaccettarlaF [ risose c!ille in tono di trionfo. [ La Logica le direbbe Lei non !a"ie di scamo. Ora c!e !a accettato , 9, + e /, lei de"e accettare @FH. 'on c)5scelta.

[=ualun6ue cosa la Logica abbia la cortesia di comunicarmi, "ale certamente la ena di registrarla nel suo 6uaderno [ disse la Tartaruga. [ =uindi, er iacere,scri"a

$E% Se , 9, + e / sono "ere, allora @ de"e essere "era.

3inc!J io non ammetto ;uesto, non !o alcun obbligo di accettare @. +ome "ede,

si tratta di un asso assolutamente necessario. [+aisco [ disse c!ille. E nella sua "oce c)era un "elo di tristezza.

1*0



6uesto unto il narratore, a"endo faccende urgenti da sbrigare in banca, fucostretto a lasciare la felice coia e riass di lQ solo alcuni mesi doo. c!illesta"a ancora seduto sulla corazza della tenace Tartaruga e sta"a scri"endo nel suo6uaderno, c!e sembra"a ormai 6uasi ieno.

La Tartaruga sta"a dicendo [ Aa scritto l)ultimo asso Se non !o erso il conto,siamo a mille e uno e ancora ce ne "orranno di"ersi milioni. E se non le dispiace,come fa"ore ersonale, considerando 6uale tesoro di cultura trarranno dal nostrodialogo i logici del I secolo, la rego di accettare di cambiare il suo nome inTorto3ruga, in base ad un gioco di arole c!e mia cugina la 3inta Tartaruga far7allora.

[+ome le aggrada [ risose stancamente il guerriero con toni di "uotadiserazione, mentre affonda"a il "iso tra le mani. [ Purc!J lei, da arte sua, accettiun gioco di arole c!e la 3inta Tartaruga non le far7 mai, e cambi il suo nome in A3chila3fai.

'el dialogo +arroll, da buon logico, usa dun6ue i metodi eleatici er argomentarec!e non sono possibili i sillogismi. /ire c!e da certe remesse segue una conclusione,significa dire c!e c)5 una regola c!e ermette di assare dalle rime alle seconde. -a er oter alicare la regola si de"e a"ere una metaregola c!e dica c!e, dalle remesse e dalla regola c!e lega remesse e conclusioni, si ossono rica"are leconclusioni. E cosQ "ia.

La no"it7 dell)argomento di +arroll era c!e esso mostra"a in maniera efficace ladistinzione fra imlicazione linguistica e deduzione metalinguistica, oggiformalizzata nel cosiddetto teorema di dedu(ione, c!e enuncia aunto la loroe6ui"alenza. PiK in generale, l)argomento mostra"a er la rima "olta eslicitamente

la distinzione fra linguaggio e metalinguaggio, c!e 5 oggi una con6uista assodatadella logica moderna.

In modo simile e er scoi analog!i, benc!J ormai in ritardo sui temi, LudDigRittgenstein $148B18(&% mostrer7 nelle $icerche filosofiche c!e non si imparano leregole mediante metaregole. ltrimenti er imarare le metaregole sarebberonecessarie metametaregole, e cosQ "ia.

L)unica ecca del dialogo di +arroll 5 c!e esso usa roosizioni articolari, suitriangoli isosceli, in un argomento di carattere generale. n altro scrittorematematico, ac6ues :oubaud, !a rimediato all)imerfezione scri"endo 2ome la

Tartaruga combatt# Achille, uno siritoso rifacimento del dialogo di +arroll in cui le roosizioni usate sono uramente autoreferenziale12. testimonianza della sua felice "italit7 letteraria, il dialogo di +arroll !a anc!e

isirato 6uelli c!e fungono da intermezzi ai caitoli del fortunato libro di /ouglasAofstadter Gdel, )scher e &ach, nei 6uali c!ille e la Tartaruga si accaigliano suargomenti di natura logica.

12. :oubaud, 9ers une oulipisation cons#;uente de la litt#rature, 9ibliot!56ue Ouliienne, &1 $1880%. $ !.d.A.%

1*1



&radle0 e $o0ce

L)intera filosofia di 3rancis Aerbert 9radle; $14&#B182&% 5 un eslicito ritorno aglieleatici. Egli crede"a nell)ssoluto e nell)no come unica ossibile riconciliazionedelle ubi6ue contraddizioni della moltelicit7 nell)aarenza.

PiK recisamente, in Apparen(a e realt $148% 9radle; effettu una "ariazionedella "ariazione di +arroll, er mostrare c!e non sono possibili propriet e rela(ionidi nessun genere. d esemio, dire c!e un oggetto !a una roriet7 unaria significadire c!e esiste una relazione binaria fra l)oggetto e la roriet7. -a 6uesto significadire c!e esiste una relazione ternaria fra l)oggetto, la roriet7 e la relazione. E cosQ"ia.

Le idee di 9radle; furono discusse dettagliatamente nel 1488 da osia! :o;ce$14((B181#% nell)oera Il mondo e lindi%iduo. =uesta resenta anc!e una efficace, eoggi ben nota, immagine del regresso infinito in esse resente

Immaginiamo c!e una orzione del suolo d)Ing!ilterra sia stata li"ellata erfettamente, e c!e in essa un cartografo tracci una maa d)Ing!ilterra. L)oera 5 erfettaW non c)5 articolare del suolo d)Ing!ilterra, er minimo c!e sia, c!e non siaregistrato nella maaW tutto !a lQ la sua corrisondenza. La maa, in tal caso, de"econtenere una maa della maa, c!e de"e contenere una maa della maa dellamaa, e cosQ all)infinito.

In un testo attribuito aocrifamente all)inesistente Surez -iranda $9iaggi diuomini prudenti, libro 6uarto, ca. L, LJrida, 1#(4%, 9orges124 riformull)argomento letterariamente

... In 6uell)Imero, l)rte della +artografia raggiunse tale Perfezione c!e la maa diuna sola Pro"incia occua"a tutta una +itt7, e la maa dell)imero, tutta una Pro"incia.+ol temo, codeste -ae Smisurate non soddisfecero e i +ollegi dei +artografi eresserouna -aa dell)Imero, c!e uguaglia"a in grandezza l)Imero e coincide"a

untualmente con esso. -eno /edite allo Studio della +artografia, le GenerazioniSuccessi"e comresero c!e 6uella "asta -aa era Inutile e non senza Emiet7 la

abbandonarono alle Inclemenze del Sole e degl)In"erni. 'ei deserti dell)O"est rimangonolacere :o"ine della -aa, abitate da nimali e -endic!iW in tutto il Paese non 5 altrareli6uia delle /isciline Geografic!e.

Imlicitamente, la roblematica solle"ata dal regresso infinito della maa di:o;ce si tro"a imlicata in tutte le oere c!e contengono una arte c!e do"rebbecoincidere con l)oera stessa. 'ell) Iliade di Omero, in cui Elena ricama una "este di orora c!e raresenta la storia del oema. 'el $ama0ana di 7lmi>i, al terminedel 6uale i figli di :ama cercano rifugio in una sel"a, do"e un asceta insegna loro a

leggere su un libro c!e 5, aunto, il $ama0ana. 'el 7ahabarata di ;7sa, il cuinarratore incontra un amico e gli racconta il 7ahabarata, c!e narra del oeta ;7sa

124.L. 9orges, 6el rigor en la ciencia, Los nales de 9uenos ires, * $18&#% (*. $ !.d.A.%

1*2



c!e detta al dio Ganes! il 7ahabarata, una storia c!e narra di un re c!e incontra il oeta ;7sa e si fa raccontare il 7ahabarata. 'el 'ogno della camera rossa, il cui rotagonista re"ede in sogno gli a""enimenti del romanzo. 'ell) Amleto diS!a>eseare, in cui si mette in scena una tragedia c!e 5 ressaoco la stessadell) Amleto...

'onostante tutte 6ueste "ertigini letterarie, la maa di :o;ce non 5 affatto aradossale. Lo mostreremo matematicamente nell)ultimo caitolo, usando il teoremadel unto fisso di 9anac!. -a lo si u gi7 facilmente intuire dal regresso infinito, erfettamente reale, rodotto da due secc!i c!e si riflettono uno nell)altro. O da unatelecamera c!e rirende lo sc!ermo c!e trasmette ci c!e essa rirende. O dal 6uadroc!e raresenta una scena di cui esso stesso fa arte, immaginato da Ausserl nel rimo "olume delle Idee per una fenomenologia pura128 e realizzato da Esc!er nellaGalleria di stampe.

&ergson

Aenri 9ergson $14(8B18&1% fu articolarmente interessato alla continuit7 di sazioe temo, di cui critic la formalizzazione matematica basata sul concetto di unto. In articolare egli ritene"a c!e l)infinita di"isibilit7 fosse una roriet7 dello sazio manon del temo, sulla base dell)osser"azione c!e si u arbitrariamente di"idere unoggetto, ma non un atto.

'el 'aggio sui dati immediati della coscien(a, del 1810, 9ergson credette di oter

ricondurre il aradosso di c!ille e la tartaruga alla confusione fra mo"imento esazio ercorso. I assi reali di c!ille sono indi"isibili, e un numero finito di essi gli ermetter7 di suerare la tartaruga. -a @enone "i sostituisce arbitrariamente dei assi"irtuali sincronizzati su 6uelli della tartaruga, in modo tale da imedirgli diraggiungerla.

9ergson assegna"a agli argomenti di @enone un ruolo storico imortante, er a"eresosto l)inconsistenza della nozione matematica di moto e, iK in generale, dicambiamento. +ontrariamente agli eleatici egli ritene"a, er, c!e i aradossimostrassero c!e a 6uesta nozione matematica si do"esse contraorre una nozione

intuiti"a di cambiamento, c!e do"e"a essere considerata come una caratteristicafondamentale della realt7.In una arola, il aradosso di @enone costituisce sQ una riduzione all)assurdo, ma

non dello sazio e del temo fisici, bensQ della loro raresentazione concettuale. La ro"a 5 aunto c!e la "ita se la ride dei "eti logiciH, e c!ille sorassa la tartarugasenza roblemi.

La soluzione di 9ergson "enne condi"isa nel 1810 da Rilliam ames, in =nuni%erso pluralistico $I%. L)argomento di ames 5 c!e 6uando la gallina fa un uo"o,ne fa uno intero, senza metterne insieme una met7 e oi un 6uarto e cosQ "ia. La

stessa cosa a""iene er ogni eserienza sensibile. unto er 6uesto si 5 introdotto128L)idea "enne a Ausserl doo una "isita alla galleria di /resda, in cui "ide uno dei 6uadri seicentesc!i di /a"id Teniersc!e riroducono la galleria di diinti italiani dell)rciduca Leooldo. $ !.d.A.%

1**



il termine di sogliaH nella sicologia della ercezione, c!e ne sottolinea ladiscretezza e la non continuit7.

6unne

=uand)era gio"ane o!n Rilliam /unne $14(B18&8% era un a"iatore c!e sogna"a,nel senso letterale. Poic!J er i suoi sogni a"e"ano la strana caratteristica dia""erarsi, /unne inizi a studiarli e da grande di"enne un filosofo. 'el 182 scrissela sua oera rinciale, =n esperimento col temo, nella 6uale egli argomentazenonianamente c!e ci sono infiniti temi. Infatti, il fluire di 6ualun6ue cosa 5relati"o al temo. Il fluire del temo ric!iede allora un secondo temo in cui esso ossa fluire. Il fluire del secondo temo ne ric!iede un terzo risetto a cui esso ossafluire. E cosQ "ia.

Secondo /unne, le infinite dimensioni del temo sono serimentate dal soggettonegli infiniti li%elli della coscien(a. La ercezione a""iene nel rimo temo. Lacoscienza della ercezione nel secondo. La coscienza della coscienza della ercezione nel terzo, e cosQ "ia. Le "isioni dei "ari temi "engono coordinate neisogni, nei 6uali si u 6uindi serimentare il temo "eroH, cio5 l)irraggiungibiletermine ultimo della serie infinita dei temi.

La scienza moderna, nella sua aarente "oracit7 di idee fantafilosofic!e, !aconsiderato seriamente la ossibilit7 solle"ata da /unne. d esemio, Il;a Prigogine, remio 'obel er la +!imica nel 18, !a s"iluato una teoria in cui ci sono

effetti"amente due temi. Il rimo 5 analogo alle tre dimensioni saziali. Il secondo 56uello risetto a cui sia lo sazio c!e il rimo temo ossono "ariare1*0.

1afka

L)intera oera di 3ranz ?af>a $144*B182&% 5, secondo +arlos -astronardi1*1, unrifacimento letterario dei aradossi di @enone il pathos dei suoi romanzi nasce

recisamente dal numero infinito di ostacoli c!e fermano i loro identici eroi. Edanc!e l)incomiutezza delle sue oere e la mancanza di caitoli intermedi ne sonouna conseguenza. 'on 5 infatti necessario enumerare tutti i unti di un segmento otutte le ossibili "icissitudini, er suggerire l)infinito regresso.

+ome esemio del rocedimento "ale la ena di riortare interamente, er la sua bre"it7, lo (enoniano racconto =n messaggio dellimperatore, del 181

L)imeratore [ cosQ si racconta [ !a in"iato a te, ad un singolo, un misero suddito,minima ombra serduta nella iK lontana delle lontananze dal sole imeriale,

rorio a te l)imeratore !a in"iato un messaggio dal suo letto di morte. Aa fatto

1*0In termini tecnici, il rimo temo di Prigogine 5 una "ariabile !amiltoniana e il secondo funge da arametro risetto acui deri"are. $ !.d.A.%1*1edi .L. 9orges, 2on%ersa(ioni, 9omiani, 184#, . 8*. $ !.d.A.%

1*&



inginocc!iare il messaggero al letto, sussurrandogli il messaggio all)orecc!ioW e gli reme"a tanto c!e se l)5 fatto rietere all)orecc!io. +on un cenno del cao !aconfermato l)esattezza di 6uel c!e gli "eni"a detto. E dinanzi a tutti coloro c!eassiste"ano alla sua morte $tutte le areti c!e lo imediscono "engono abbattute esugli scaloni c!e si le"ano alti e ami son disosti in cerc!io i grandi del regno%,dinanzi a tutti loro !a congedato il messaggero. =uesti s)5 messo subito in motoW 5un uomo robusto, instancabileW mano"rando or con l)uno or con l)altro braccio si fastrada nella follaW se lo si ostacola, accenna al etto su cui 5 segnato il sole, e

rocede cosQ iK facilmente di c!iun6ue altro. -a la folla 5 cosQ enormeW e le suedimore non !anno fine. Se a"esse "ia libera, all)aerto, come "olerebbeF, e restoascolteresti i magnifici coli della sua mano alla tua orta. -a in"ece si stancainutilmenteF, ancora cerca di farsi strada nelle stanze del alazzo iK internoW nonriuscir7 mai a suerarleW ed anc!e se gli riuscisse non ser"irebbe a nullaW do"rebbearirsi un "arco scendendo tutte le scaleW e anc!e se gli riuscisse, non ser"irebbe anullaW c)5 ancora da attra"ersare tutti i cortiliW dietro a loro il secondo alazzo, e cosQ"ia er millenniW e anc!e se riuscisse a reciitarsi fuori dell)ultima orta [ ma6uesto mai e oi mai otr7 a""enire [ c)5 tutta la citt7 imeriale di fronte a lui, ilcentro del mondo, riieno di tutti i suoi rifiuti. 'essuno riesce a assare di lQ, e tantomeno con il messaggio di un morto.

-a tu stai alla finestra e ne sogni, 6uando giunge la sera1*2.

'aturalmente, se lo sirito di @enone 5 resente nelle oere di ?af>a, alegger7anc!e in 6uelle dei suoi successori letterari. In articolare, nelle raresentazionidell)eterna attesa c!e "anno da Il deserto dei Tartari di /ino 9uzzati $180#B182% ad

Aspettando Godot di Samuel 9ec>ett $180#B1848%.

&orges

orge Luis 9orges $1488B184#% !a tratto dai aradossi di @enone sia le basi del suo ensiero su temi 6uali l)infinito, il temo e la realt7, semre resenti nei suoi scritti,c!e lo sunto er la costruzione delle sue in6uietanti situazioni al limite.

Egli "ide nella corsa di c!ille e la tartaruga, alla 6uale dedic due interessantisaggi1** la ro"a definiti"a c!e smasc!era il carattere allucinatorio del mondo. Senza

il aradosso il nostro sogno sarebbe cosQ reciso e coerente c!e finiremmo ercrederci. -a i ersonaggi (enoniani "i introducono smagliature di assurdit7 c!efiniscono er ri"elarne l)irrealt7

'oi $la indi"isa totalit7 c!e oera in noi% abbiamo sognato il mondo. Lo abbiamosognato resistente, misterioso, "isibile, ubi6uo nello sazio e fermo nel temoW maabbiamo ammesso nella sua arc!itettura tenui ed eterni interstizi di assurdit7, er saerec!e 5 finto.

1*23. ?af>a, )ine kaiserliche &otschaft , in )in Laudant , 181 trad. it di :. Paoli, =n messaggio dellimperatore, in =nmedico di campagna, -ondadori, -ilano 180, . 2(0B(11. $ !.d.A.%1**.L. 9orges, La perpetua carrera de A;uiles 0 la tortuga, La Prensa, 1 gennaio 1828, sez. I, .1, e Los a%atares dela tortuga, Sur #* $18*8% 14B2*. $ !.d.A.%

1*(



9orges crede dun6ue, in sintonia con 9radle;, c!e l)irrazionalit7 del finito mostrila sua irrealt7. E usa rietutamente il aradosso di @enone nelle sue costruzioniletterarie, di cui offriamo due bre"i scelte.

La rima 5 tratta da La morte e la bussola, del 18&2. n detecti"e riesce a re"edere l)ultimo delitto di una serie, ma recatosi sul luogo er re"enirlo score di

esser"i stato attirato er esser"i ammazzato. Ecco l)ultima con"ersazione fra la"ittima e l)assassino

['el suo labirinto [ disse alla fine, [ ci sono tre linee di troo. Io so di unlabirinto greco c!e 5 una linea unica, retta. In 6uesta linea si sono erduti tantifilosofi c!e ben "i si otr7 erdere un mero detecti"e. Sc!arlac!, 6uando in un altroa"atar lei mi dar7 la caccia, finga $o commetta% un delitto in W 6uindi un secondodelitto in 9, a otto c!ilometri da W 6uindi un terzo in +, a 6uattro c!ilometri da eda 9, a met7 strada tra i due. E mi asetti oi in /, a due c!ilometri da e da +, dinuo"o a met7 strada. -i uccida in / come ora sta er uccidermi in TristeBleB:o;.

[Per 6uest)altra "olta [ risose Sc!arlac!, [ le rometto 6uesto labirintoin"isibile, incessante, d)una sola linea retta. Indietreggi di alcuni assi. Poi,accuratissimamente, fece fuoco1*&.

Il secondo brano 5 da La scrittura del 6io, del 18&8

n giorno o una notte [ tra i miei giorni e le mie notti, c!e differenza c)5 [sognai c!e sul a"imento del carcere c)era un granello di sabbia. -i riaddormentaiindifferenteW sognai c!e mi desta"o e c!e i granelli di sabbia erano due. -iriaddormentaiW sognai c!e i granelli di sabbia erano tre. Si andarono cosQ

moltilicando fino a colmare il carcere e io mori"o sotto 6uell)emisfero di sabbia.+omresi c!e sta"o sognandoW con un grande sforzo mi destai. 3u inutileWl)innumere"ole sabbia mi soffoca"a. =ualcuno mi disse 'on ti sei destato alla"eglia ma ad un sogno recedente. =uesto sogno 5 dentro un altro, e cosQ all)infinito,c!e 5 il numero dei granelli di sabbia. La strada c!e do"rai ercorrere all)indietro 5interminabile e morrai rima di esserti "eramente destatoH1*(.

Goodstein

na "ersione doiamente aradossale della corsa tra c!ille e la tartaruga, in cuil)eroe arte a sron battuto e continua a correre come un forsennato, ma la tartarugalo costringe azientemente ad indietreggiare un oc!ino, fino a riortarlo al nastro di artenza, 5 stata tro"ata nel 18&& da :euben Goodstein1*# $1812B184(%.

Le arti di c!ille e della tartaruga "engono interretate, risetti"amente, da duefunzioni matematic!e una crescente molto "elocemente, e l)altra decrescente moltolentamente. PiK recisamente, i due artono da un numero e da una base 6ualsiasi, adesemio ( e 2. c!ille scri"e il numero nella base data, cio5 (2 ele"ato alla 2h2

1*&.L. 9orges, La muerte 0 la brY@ula, Sur, 82 $18&2% 2B*8. $ !.d.A.%1*(.L. 9orges, La escritura del 6ios, Sur, 12 $18&8% B12. raccolto in LAleph^ $ !.d.A.%1*#:. Goodstein, -n the restricted ordinal theorem, ournal of S;mbolic Logic, 8 $18&&% **B&1. $ !.d.A.%

1*#



ele"ato allo 0, e comie il suo balzo assando alla base successi"a, ottenendo 24*ele"ato alla *h* ele"ato allo 0. La tartaruga lo fa indietreggiare di un assettino, a2* ele"ato alla *. c!ille riarte, riscri"endo il numero nella base successi"a, cio52(#& ele"ato alla &. E cosQ "ia.

+!e c!ille stia "elocemente scaando, 5 dimostrato dal fatto c!e in due soli

assi 5 gi7 andato rima da ( a 24, e oi da 2 a 2(#. La tartaruga, col solo farloindietreggiare di un)unit7 alla "olta, non sembrerebbe in grado di limitare i danni. Ein"ece, come dimostr aunto Goodstein, in un numero finito di assi c!ille siritro"a a zero, e la tartaruga !a "anificato comletamente il suo sforzo.

Sorrendentemente, la cosa succede semre, 6ualun6ue siano il numero e la basedi artenza. -a, ancora iK sorrendentemente, nel 1842 Laurence ?irb; e effre;Paris1* !anno scoerto c!e la dimostrazione di 6uesto teorema sui numeri finitiric!iede in maniera sostanziale l)uso dell)infinito, nel senso c!e il teorema non 5dimostrabile nella teoria degli insiemi senza l)assioma dell)infinito. Il teorema di

Goodstein 5 dun6ue un esemio concreto di 6uelle "erit7 non dimostrabilinell)aritmetica c!e G<del a"e"a reannunciato, col suo famoso teorema.

Thomson

'el 18(& ames T!omson1*4 !a roosto un)ulteriore "ariazione del aradosso di@enone, nella forma di un uzzle. Suoniamo di accendere una lamada, disegnerla doo mezz)ora, di riaccenderla doo un 6uarto d)ora, e cosQ "ia. llo

scadere dell)ora, la lamada sar7 accesa o sentaIl roblema 5 naturalmente da intendere come un eserimento di ensiero,

indiendentemente dalla ossibile realizzazione fisica della lamada. La difficolt7 5,comun6ue, altro"e. 'el fatto, cio5, c!e i dati del roblema non determinano la suasoluzione. La fine dell)ora "iene, infatti, dopo tutti gli istanti c!e l)!anno receduta,ma 5 soltanto su 6uesti c!e abbiamo informazioni.

La stessa conclusione "arrebbe anc!e se il uzzle fosse riformulato nel seguentemodo. Suoniamo di accendere una lamada, e c!e essa sia ancora accesa doomezz)ora, doo tre 6uarti d)ora, e cosQ "ia. llo scadere dell)ora, la lamada sar7

accesa o sentaSe 6uesta 5 tutta l)informazione c!e abbiamo, niente assicura c!e la risosta o""ia,c!e cio5 la lamada sar7 ancora accesa, sia corretta. E infatti non lo 5, nel caso c!e lalamada "enga senta un)ora esatta doo a"erla accesa.

1*L. ?irb; e . Paris, Accessible independence results for eano Arithmetic, 9ulletin of t!e London -at!ematicalSociet;, 1& $1842% 24(B28*. $ !.d.A.%1*4. T!omson, Tasks and supertasks, nal;sis, 1( $18(&% 1B1*. $ !.d.A.%

1*



3igura (2-aurits +ornelis Esc!er, Quadrato limite.

3igura (*-aurits +ornelis Esc!er, 6i%isione regolare del piano 9I .

1*8



Fine della corsa

9enc!J abbiamo ormai considerato le metamorfosi iK s"ariate del aradosso dic!ille e la tartaruga, non dobbiamo dimenticare c!e esso fu conceito da @enone er mostrare una suosta assurdit7 del mondo fisico. Sembra dun6ue aroriatoconcludere la storia con un ritorno alle origini, arlando dell)effetto enone;uantistico1*8.

Tutto si basa sul fatto c!e le robabilit7 degli e"enti 6uantistici sono roorzionalial 6uadrato del temo di osser"azione. Poic!J &, cio5 2 al 6uadrato, 5 di"erso da 2,cio5 due "olte 1 al 6uadrato, c)5 una differenza tra fare una osser"azione doo uncerto inter"allo di temo, o due osser"azioni doo met7 di 6uell)inter"allo. O 6uattroosser"azioni doo un 6uarto. E cosQ "ia. +ol crescere del numero di osser"azioni inuno stesso inter"allo di temo, la differenza u di"entare talmente grande daimedire c!e accada un fenomeno c!e sarebbe in"ece accaduto in condizioni nonosser"ate.

L)effetto 5 stato effetti"amente osser"ato nel 1848 mediante un eserimento conioni di berillio intraolati da un camo magnetico, c!e "eni"ano eccitati dal assaggio di un)onda radio. na misura doo 2(# secondi ri"el c!e tutti gli ionierano stati eccitati. +on due misure, a inter"alli di 124 secondi, solo met7 degli ioni sierano comlessi"amente eccitati. +on 6uattro misure, ad inter"alli di #& secondi, soloun terzo. E cosQ "ia. +on sessanta6uattro misure, a inter"alli di & secondi, nessuno

ione si era eccitato il rocesso era stato comletamente inibito da troeosser"azioni.

Ad un passo dal traguardo

E con 6uesto ulteriore aradosso finisce la nostra storia del regresso infinito.Partita da un)ingenua fa"ola su un eroe greco e una tartaruga, essa ci !a fatto

indietreggiare asso doo asso $il lettore giudic!er7 se ai ritmi dell)uno o dell)altra%"erso un)analisi critica dei fondamenti stessi del ensiero. Sazio, temo, causalit7,definibilit7, dimostrabilit7, deducibilit7... sono stati tutti rosi da un insistente tarlo,c!e alla fine non !a risarmiato nessuna roriet7 e relazione, e !a coin"oltoaddirittura le nozioni stesse di mondo e di autocoscienza.

:itoccare il nostro concetto dell)uni"erso, er 6uel ezzettino di tenebra grecaH,si domanda"a 9orges, annunciando la sua affermati"a scelta. :inunciare a 6uel ezzettino di luce greca, er il nostro concetto dell)uni"ersoH, otremmo ribatterenoi.

1*89. -isra e G. Sudars!an, The enos paradox in ;uantum theor0, ournal of -at!ematicalP!;sics, 14 $18% (#B#*. $ !.d.A.%

1&0



+aitolo settimo

I para3doxa della democra(ia

Rinston +!urc!ill dice"a c!e la democrazia 5 la eggior forma di go"erno, a artetutte le altre c!e sono state ro"ate. -a sae"a c!e il miglior argomento contro lademocrazia sono cin6ue minuti di con"ersazione con un elettore $o con un olitico%medio. George 9ernard S!aD defini"a la democrazia come l)assicurazione di nonessere go"ernati meglio di 6uanto ci meritiamo. E aggiunge"a c!e l)a""ento della

democrazia a"e"a sostituito la nomina di oc!i corrotti con l)elezione di moltiincometenti. Gusta"e 3laubert identifica"a il sogno della democrazia nell)ele"azionedel roletariato allo stesso li"ello di stuidit7 raggiunto dalla borg!esia. 9ertrand:ussell recisa"a c!e gli eletti non ossono mai essere iK stuidi dei loro elettori.

Sembra dun6ue c!e la democrazia abbia i suoi roblemi, er risol"ere i 6uali sonostate a"anzate alcune aradossali rooste letterarie. d esemio, Il parlamento diorge Luis 9orges suggerisce c!e, er ottenere una raresentanza "eramenteraresentati"a, un)elezione debba eleggere tutti gli elettori. ll)estremo oosto,

6iritto di %oto di Isaac simo" ritiene sufficiente c!e alle elezioni "enga interellato

un solo "otante, urc!J sufficientemente raresentati"o. Infine, !oi di E"geniZ@amZatin roone c!e si considerino come "eramente democratic!e soltanto le"otazioni alesi ed unanimi.

=ueste ro"ocazioni letterarie si ossono facilmente accantonare con un sorriso. 'on cosQ 6uelle logic!e e matematic!e, la cui rimozione 5 meno age"ole. I aradossidella democrazia sono infatti s"ariati e subdoli, come sae"ano gi7 gli antic!i1&0. desemio, si u instaurare una dittatura in maniera legale Se sQ, la libert7 otrebbea"ere i giorni contatiW se no, 5 limitata gi7 ora1&1. Oure, si u eliminare l)articoloc!e ermette le re"isioni costituzionali Se sQ, il otere di re"isione 5 in ericoloW se

no, 5 incomleto1&2

.3orse il iK o""io dei aradossi della democrazia 5 una semlice "ariazione sultema del sorite, sul 6uale torneremo in seguito oic!J nelle elezioni con moltielettori non succede mai c!e il "incitore "inca er un solo "oto di differenza, nessunsingolo "oto 5 determinante. /un6ue, tanto "ale non andare a "otare.

Gli ulteriori aradossi c!e andiamo ad enunciare riguardano in"ece la ratica della"ita democratica, una "olta c!e si sia deciso di andare comun6ue a "otare. 'on 5infatti er niente c!iaro come $o addirittura se% si ossano determinare gli eletti, odistribuire i seggi, in maniera logicamente soddisfacente.

1&0/. /aube, Greek and $oman reflections on impossible laws, 'atural LaD 3orum, 12 $18#% 1B4&. $ !.d.A.%1&1I. Tammelo, The antinom0 of parliamentar0 so%ereignt0, rc!i" fXr :ec!tsB und Sozial!iloso!ie, && $18(4% &8(B(1*. $ !.d.A.%1&2. :oss, -n self3reference and a pu((le in 2onstitutional Law, -ind, 4 $18#8% 1B2&. $ !.d.A.%

1&1



La %ota(ione a maggioran(a

/emocraziaH 5 un termine iuttosto "ago, c!e in Grecia significa"a soltantogo"erno del ooloH. 'ell)inconscio colletti"o occidentale esso !a oggi ac6uistato il

significato, iK reciso, di go"erno della maggioranzaH. E infatti, in genere, la"otazione a maggioranza "iene considerata come il mezzo attra"erso cui il oologo"erna. Sia direttamente, scegliendo fra alternati"e in un referendum, c!eindirettamente, scegliendo fra candidati in una elezione.

+!e le cose non siano cosQ semlici 5 dimostrato dal aradosso delle elezioni del2000, nelle 6uali un aese come gli Stati niti, c!e si ritiene il iK democratico delmondo, !a eletto alla residenza un candidato come George R. 9us!, c!e a"e"aottenuto un numero di "oti minore del suo oositore l Gore.

Il rimo roblema da affrontare 5, dun6ue, se la riduzione del go"erno del oolo a

6uello della maggioranza sia giustificata. O almeno giustificabile. In fin dei conti, ilconcetto di democrazia contiene imlicitamente tutta una serie di asetti, c!e forsesono meglio esressi da altri metodi di go"erno in generale e di "otazione in articolare.

Si otrebbe ensare c!e le unic!e giustificazioni ossibili, in 6uesto camo, sianoinconcludenti discussioni di filosofia olitica. 'el 18(2 l)economista ?ennet! -a;!a in"ece dimostrato matematicamente1&* c!e la "otazione a maggioranza 5 lunico rocedimento di scelta fra due candidati c!e soddisfi le seguenti condizioni

1% Libert di scelta ciascuno 5 libero di "otare er il candidato c!e referisce.

2% 6ipenden(a dal %oto il risultato di una "otazione 5 determinato unicamentedai "oti dati ai candidati.

*% 7onotonicit se un candidato "ince in una "otazione rendendo un certonumero di "oti, "ince anc!e in ogni "otazione in cui renda iK "oti.

&% Anonimato non ci sono "otanti ri"ilegiati.

Poic!J le assunzioni recedenti sono contenute imlicitamente nel concetto didemocrazia, il teorema di -a; dimostra c!e non ci sono alternati"e democratic!e alla"otazione a maggioranza, nel caso di due soli candidati. E mostra anc!e come unadiscussione olitica, 6uando sia basata $come raramente accade% su argomenticoncreti, ossa essere semlice e recisa.

Per i lettori curiosi, diamo ora la bre"e dimostrazione di -a; $c!i non 5 interessato u andare direttamente senza erdita, ma anc!e senza guadagno, alla rossimasezione%. +!iamiamo i due candidati e 9. Per la diendenza dal "oto, il risultatodiende soltanto da come si riartiscono i "otanti 6uelli c!e referiscono a 9, e6uelli c!e referiscono 9 ad . Per l)anonimato, ogni "oto conta nello stesso mododun6ue, il risultato diende soltanto da 6uanti "otanti "otano er e 6uanti er 9.

1&*?. -a;, A set of independent, necessar0 and sufficient conditions for simple ma@orit0 decisions, Econometrica, 20$18(2% #40B#4&. $ !.d.A.%

1&2



na situazione circolare, in cui tre candidati sono in grado di "incere unosull)altro, 5 o""iamente imbarazzante er un sistema in cui i candidati "engonoselezionati in elezioni successi"e, due a due. Il "incitore diende infatti soltantodall)ordine in cui "engono effettuate le "otazioni. d esemio, er far "incere 3ordnel 18# sarebbe bastato far rima la "otazione tra +arter e :eagan, e oi la

"otazione tra il "incitore $:eagan% e 3ord.Il aradosso di +ondorcet non lascia scelta. O si "otano tutte le alternati"e unacontro l)altra, e allora u o""iamente succedere c!e nessuna ottenga la maggioranza.Oure si "otano le "arie alternati"e in un certo ordine, e allora la "incitrice diendedall)ordine scelto. +ome se ci non bastasse, un articolare ordine di "otazioni u ermettere ad un)alternati"a di "incere anc!e 6uando ne esista un)altra c!e le 5unanimemente referita.

Poic!J la "otazione a maggioranza su iK di due alternati"e 5 un sistemalargamente alicato in assisi locali, nazionali e so"ranazionali, l)interesse del

aradosso 5 e"idente. 3ra l)altro, esso siega le cosiddette battaglie rocedurali, a"olte furiose, sull)ordine delle "otazioni. Lungi dall)essere bizantinismi, come otrebbero aarire, esse sono in realt7 essenziali er ilotare il risultato finale nelladirezione "oluta, relegando le "otazioni al ruolo di coertura democratica di "eri e rori coli di mano.

ale la ena sottolineare c!e, affinc!J il aradosso di +ondorcet sia ossibile, non u esserci un)alternati"a c!e nessuno considera la eggiore. Infatti, se "ince su 9 er maggioranza, almeno la met7 iK uno dei "otanti referisce a 9. Se 9 "ince su+ er maggioranza, almeno la met7 iK uno dei "otanti referisce 9 a +.

/un6ue, almeno uno dei "otanti referisce a 9 e 9 a +, e + 5 consideratal)alternati"a eggiore da 6ualcuno. Per simmetria, lo stesso "ale er e 9. ffinc!Jl)ordine sociale generato dalla "otazione er maggioranza ossa essere circolare, 5dun6ue necessario c!e ogni alternati"a sia considerata la eggiore da 6ualcuno.

=uesto esone un)incomatibilit7 fra libert7 indi"iduale, c!e ermette a ciascunodi scegliere un 6ualun6ue ordine di referenze, e armonia sociale, c!e ric!iedein"ece una certa uniformit7 fra gli ordini indi"iduali. E siega anc!e sial)adeguatezza della "otazione a maggioranza nei momenti di stabilit7 olitica, c!e lasua imotenza nei momenti di ri"olgimento. 'ei rimi esistono alternati"e c!enessuno considera le eggiori 6uelle di centro. 'ei secondi la radicalizzazione delle

referenze crea in"ece le condizioni er il aradosso.

roblemi di peso

La "otazione a maggioranza roosta nel aragrafo recedente non 5, o""iamente,l)unica soluzione ossibile alla scelta fra iK alternati"e. n)altra 5 la %ota(ione a

pluralit si resentano tutte le alternati"e simultaneamente, ciascun "otante ne

sceglie una, e "ince 6uella c!e rice"e il maggior numero di "oti.

1&&



'el 141 eanB+!arles de 9orda $1**B188% scorQ c!e si imone"a er unascelta fra i due metodi, "isto c!e luralit7 e maggioranza sono fra loroincomatibili1&#.

d esemio, si considerino 6uindici "otanti, c!e debbano scegliere risetto allealternati"e , 9 e +. Suoniamo c!e gli ordini di referenze indi"iduali siano i

seguenti [ # "otanti referiscono a 9, e 9 a +W [ & "otanti referiscono 9 a +, e + ad W [ ( "otanti referiscono + a 9, e 9 ad .

=uando si ongano in "otazione le alternati"e a luralit7, "ince su + er # a (, e+ "ince su 9 er ( a &. =uando in"ece si ongano in "otazione le alternati"e amaggioranza, allora 9 "ince su + er 10 a (, e + "ince su er 8 a #. I due sistemi di"otazione roducono dun6ue ordini sociali contraosti.

9orda non si accorse c!e la "otazione a maggioranza ote"a non essere transiti"a,

anc!e erc!J nell)esemio recedente lo 5 9 "ince su er 8 a #. Egli indi"iduin"ece un roblema nel fatto c!e nella "otazione a luralit7 si considera soltanto una arte dell)informazione contenuta nei "ari ordini di referenza indi"iduali recisamente, la rima alternati"a.

La cosa si u rimediare con sistemi di %oto pesato, in cui i "otanti associano,direttamente od indirettamente, dei esi numerici alle "arie alternati"e. d esemio,nell)assegnamento canonico si danno n unti alla rima di n alternati"e, n [1 untialla seconda, e "ia scalando. La costruzione dell)ordine sociale si effettua, in 6uestocaso, sommando i esi delle alternati"e nei "ari ordini indi"iduali. -a, come gi7 nel

caso della "otazione a maggioranza, anc!e i sistemi di "oto esato resentanosituazioni aradossali.

Stabilire l)assegnamento dei esi resenta immediatamente "arie difficolt7. In rimo luogo, sicologic!e come misurare le intensit7 delle referenze er ciascunindi"iduo In secondo luogo, sociologic!e come aragonare fra loro i "ari sistemi dimisura indi"iduali In terzo luogo, e sorattutto, logic!e il risultato u infattidiendere dall)assegnazione dei esi.

d esemio, si considerino cin6ue "otanti, c!e debbano scegliere risetto allealternati"e , 9 e +. Suoniamo c!e gli ordini di referenze indi"iduali siano i

seguenti [ * "otanti referiscono a 9, e 9 a +W [ 2 "otanti referiscono 9 a +, e + ad .

Se si assegna un unto alla rima di ogni lista e nessuno alle altre, come nella"otazione a luralit7, "ince su 9 er * a 2. Se in"ece si assegnano due unti alla rima, uno alla seconda e nessuno alla terza di ogni lista, allora 9 "ince su er a#.

+omun6ue, 6uand)anc!e si siano fissati l)assegnamento dei esi e gli ordinamentiindi"iduali, l)ordine sociale fra due alternati"e diende dalla resenza o meno di altre

alternati"e in gara.1&#.B+, de 9orda, 7#moire sur les #lections au scrutin, -Jmoires de l)cadJmie :o;aledes Sciences $141% #(B##(.$ !.d.A.%

1&(



d esemio, se l)assegnamento 5 6uello canonico e gli ordini indi"iduali sono6uelli dell)esemio recedente, allora erde su 9 er 11 a 12. Poic!J l)alternati"a +non solo 5 l)ultima in assoluto, con unti, ma non 5 referita da nessun "otante a 9,c!e, 5 la rima in assoluto, si otrebbe ensare c!e la resenza di + sia irrile"ante erla "ittoria di 9. Essa risulta in"ece determinante. Se infatti l)alternati"a + "iene

eliminata, allora si rimane con tre "otanti c!e referiscono a 9 e due c!e referiscono 9 ad . =uesta "olta, dun6ue, "ince su 9 er 4 a .

Problemi di 6uesto genere !anno reso i sistemi di "oto esato, c!e in ogni casosono iK comlicati di 6uelli a maggioranza, oco raticabili. Oggi essi sono usati6uasi esclusi"amente in multicometizioni sorti"e, 6uali il decatlon. In 6uesto casole alternati"e sono gli atleti in gara, i "otanti le "arie cometizioni, le referenze gliordini di arri"o, e i esi i unteggi assegnati.

Il teorema di Arrow

I aradossi di +ondorcet e 9orda esosero alcune difficolt7 dei sistemi di"otazione allora noti, senza eraltro fermare la storia. La g!igliottina era infatti unargomento ben iK tagliente dei aradossi, e la democrazia si dimostr storicamenteineluttabile, benc!J logicamente inconsistente.

L)argomento di +ondorcet cadde nell)oblio, "enne riscoerto eriodicamente, daLeDis +arroll nel 14# a /uncan 9lac> nel 18&4, e fu untualmente ridimenticato.Esso fu infine ritro"ato nel 18(1 da ?ennet! rroD1&, un gio"ane economista c!ea"e"a studiato logica matematica con lfred Tars>i. La sua formazione lo stimol anon fermarsi al aradosso e ad andare oltre, facendogli domandare se esso fossefrutto del caso o della necessit7.

In altre arole, rroD si ose il roblema se si ossa tro"are almeno un sistema di"otazione c!e ermetta di estendere la transiti"it7 dalle referenze indi"iduali a6uelle sociali. 3ino ad allora, sia gli idealisti alla ?ant c!e i razionalisti alla 9ent!ama"e"ano supposto c!e l)ordine sociale esistesse, e differi"ano soltanto nel credere c!eesso fosse, risetti"amente, indiendente o deducibile dagli ordini indi"iduali.

Il realista rroD scoprD in"ece c!e entrambi a"e"ano torto, erc!J l)ordine sociale

non esiste. PiK recisamente, egli dimostr c!e nessun sistema di "otazione c!esoddisfi le seguenti condizioni reser"a la transiti"it7 delle referenze

1% Libert di scelta ogni ordine transiti"o di referenze indi"iduale 5 accettabile.

2% 6ipenden(a dal %oto il risultato della "otazione fra due alternati"e 5determinato uni"ocamente dai "oti dati a esse.

*% 7onotonicit se un)alternati"a "ince in una "otazione, continua a "incere inogni "otazione in cui renda iK "oti.

1&?. rroD, 'ocial choice and indi%idual %alues, Uale ni"ersit; Press, 18(1. $ !.d.A.%

1&#



&% $ifiuto della dittatura non esiste nessuno le cui referenze indi"iduali dettinoil risultato di ogni "otazione, indiendentemente dalle referenze degli altri"otanti.

L)analogia con le condizioni di -a; salta agli occ!i. In articolare, oic!J

l)anonimato imlica il rifiuto della dittatura, il teorema di rroD mostra c!e ilteorema di -a; non si u estendere a iK di due alternati"e.9enc!J 6uesto risultato sia aunto un teorema, er esorcizzarlo lo si c!iama

sesso paradosso. In inglese la cosa suona bene, erc!J Arrows paradox si traducecome aradosso della 3recciaH, e ne ric!iama un altro omonimo 6uello di @enonec!e dice c!e una freccia in "olo non u muo"ersi, erc!J in ogni istante 5 ferma.+i non !a imedito c!e il teorema di rroD fosse oggetto di studi arofonditi, c!eora formano la cosiddetta teoria delle scelte sociali. 'J !a distratto il comitato diStoccolma, c!e nel 182 assegn ad rroD il remio 'obel er l)economia$aradossalmente, con una "otazione%.

Il fatto c!e un teorema di scienze olitic!e come 6uello di rroD,sull)imossibilit7 di un sistema democratico di "otazione, gli abbia fruttato un remio 'obel er l)economia, non de"e stuire. arte le di er sJ o""ie, e oggi lamanti,connessioni e collusioni fra economia e olitica, er la sua natura astratta il risultatosi alica a 6ualun6ue situazione in cui sia necessaria una scelta colletti"a fra uninsieme limitato di alternati"e. d esemio di rodotti in un mercato, di olitic!eaziendali in un consiglio di amministrazione, di raresentanti in un)assemblea diazionisti... Il teorema di rroD rende dun6ue manifesta una difficolt7 nel assaggiodalla microeconomia dei soggetti indi"iduali, 6uali roduttori e consumatori, alla

macroeconomia dei grui, 6uali i mercati. PiK in generale, ric!iama alla mente tuttauna serie di situazioni analog!e, in cui risulta difficile, o imossibile, giustificare ilcomortamento globale di un sistema sulla base dei comortamenti indi"iduali dellesue comonenti.

=uanto alle conseguenze filosofic!e del teorema di rroD, non si ossonoenunciare meglio di 6uanto abbia fatto Paul Samuelson1&4, remio 'obel erl)economia nel 180. In rimo luogo, egli ammette candidamente c!e la ricercadella democrazia erfetta da arte delle grandi menti della storia si 5 ri"elata laricerca di una c!imera, di un)autocontraddizione logicaH. +on buona ace di 6uei

olitici e di 6uei mezzi di informazione mondiali c!e oggi non fanno c!e cantareincessantemente il mantra del suosto trionfo di 6uella c!imera.In secondo luogo, Samuelson traccia un arallelo c!e er noi 5 estremamente

significati"o La de"astante scoerta di rroD 5, er la olitica, ci c!e il teorema diG<del 5 er la matematicaH. In articolare, entrambi i risultati mostrano limitazioniintrinsec!e dei risetti"i cami in maniera semlice ed ine6ui"ocabile, distruggendocosQ ingenue illusioni.

'eure il teorema di rroD 5, comun6ue, l)ultima arola in termini di limitazionidella democrazia. n risultato altrettanto scon"olgente, se non di iK, 5 stato ottenuto

nel 180 da mart;a Sen1&8

, remio 'obel er l)economia nel 1884. Partendo da1&4In 'cientific American, ottobre 18&, . 120. $ !.d.A.%1&8. Sen, 2olletti%e choice and social welfare, AoldenB/a;, 180. $ !.d.A.%

1&



iotesi analog!e a 6uelle di rroD, Sen !a infatti dimostrato c!e in una societ7 almassimo un indi"iduo u a"ere dei dirittiF

Il paradosso dellAlabama

Il teorema di rroD !a reso eslicite alcune condizioni minimali imlicite nelconcetto di democrazia e !a dimostrato c!e non esiste nessun sistema di "otazionec!e le soddisfi contemoraneamente. Il c!e siega la roliferazione delle leggielettorali nei "ari aesi e la disarit7 di "edute su di esse da arte dei artiti olitici oic!J non ci sono sistemi ottimali er tutti, ciascuno cerca di far re"alere 6uelloc!e sul momento gli sembra il iK con"eniente er sJ.

Il tio di "otazione er la scelta fra i "ari candidati 5, comun6ue, soltanto uno dei roblemi c!e una legge elettorale de"e risol"ere, benc!J certamente il iKaariscente er gli elettori. Prima di "otare, bisogna infatti distribuire i seggi fra icollegi elettorali sulla base della loro oolazione. E doo il "oto, bisogna distribuirei seggi fra i artiti sulla base dei "oti da loro ottenuti.

Poic!J il numero dei seggi 5 o""iamente molto inferiore al numero di elettori o di"otanti, la di"isione non dar7 in genere come risultato un numero intero. Per moti"i die6uit7, si do"rebbe alicare un principio di propor(ionalit il numero di seggiassegnato ad un collegio o ad un artito do"r7 essere una delle due arossimazioniintere, er difetto o er eccesso, del numero razionale c!e si ottiene dalla di"isione.d esemio, se i seggi da distribuire sono 10 e un collegio !a un terzo della

oolazione, i seggi ad esso assegnati do"ranno essere * o &.La roorzionalit7 riguarda la consistenza dei collegi o dei artiti resi

singolarmente. L)ulteriore principio di monotonicit riguarda la loro consistenzarelati"a i collegi con iK elettori non do"rebbero rice"ere meno seggi dei collegi conmeno elettori, e la stessa cosa do"rebbe "alere er i artiti con iK "oti nei confrontidi 6uelli con meno "oti. Inoltre, 6uesto do"rebbe "alere sia er le situazionisincronic!e relati"e ad una singola elezione, misurate dalle ercentuali, c!e er lesituazioni diacronic!e relati"e ad elezioni in temi di"ersi, misurate dai raorti fra le ercentuali.

+ome ormai ossiamo asettarci, 6ueste condizioni sono difficili da soddisfare. Losi scorQ la rima "olta nel 1440, 6uando gli Stati niti decisero di aumentare ilnumero dei deutati del +ongresso da 288 a *00. +i si asetta"a c!e uno statoa"rebbe ottenuto un deutato in iK. Si scorQ in"ece c!e due stati ac6uista"ano undeutato, mentre l)labama ne erde"a unoF

Il roblema sta"a nel sistema di distribuzione dei seggi allora in "igore. Proostonel 181 da leCander Aamilton $1((B140&%, ministro del Tesoro di GeorgeRas!ington, esso rocede"a nel seguente modo. nzitutto, calcola"a le 6uotesettanti a ciascuno Stato. Poi le arrotonda"a er difetto, assegnando a ciascuno Stato

il minimo numero di seggi a cui a"e"a diritto. Infine distribui"a i seggi rimanenti agliStati c!e a"e"ano erso di iK nell)arrotondamento. =uello c!e di"enne noto come il paradosso dellAlabama mostr c!e 6uesto sistema, er 6uanto razionale, a"e"a

1&4



conseguenze aradossali, do"ute al fatto c!e l)aggiunta di nuo"i seggi face"ao""iamente salire la 6uota di ciascuno Stato, ma non con la stessa ercentuale.

'el 180 si resent un nuo"o roblema, do"uto all)entrata dell)O>la!oma negliStati niti. l nuo"o stato "ennero assegnati cin6ue nuo"i seggi, ma si scorQ c!el)assegnazione dei rimanenti $e in"ariati% seggi agli altri Stati "eni"a comun6ue

modificata lo stato di 'eD Uor> do"ette cedere uno dei suoi seggi al -aine. =uesta"olta si arl di paradosso del nuo%o stato.Le olemic!e seguite a 6uesti imbarazzi ro"ocarono una sasmodica ricerca di un

sistema immune da aradossi. Purtroo, nel 1842 -ic!el 9alins>; e Pe;ton Uoung!anno dimostrato1(0 c!e non esiste nessun metodo di distribuzione dei seggi c!esoddisfi i rincQi di roorzionalit7 e di monotonicit7.

9asta infatti c!e ci siano almeno seggi da distribuire fra almeno & collegi, erc!J ossano "erificarsi roblemi. nzitutto, al momento di una rima elezione la ercentuale della oolazione risetto al numero dei seggi u infatti essere

distribuita nel modo seguente [ (,01 nel collegio W [ 0,# nel collegio 9W [ 0,# nel collegio +W [ 0,#( nel collegio /.

L)unica distribuzione di seggi comatibile con le condizioni di roorzionalit7 emonotonicit7 5 cin6ue seggi al collegio , un seggio a ciascuno dei collegi 9 e +, enessun seggio al collegio /.

l momento di una seconda elezione, la ercentuale della oolazione u essereridistribuita nel modo seguente

[ *,88 nel collegio W [ 2,00 nel collegio 9W [ 0,(0 nel collegio +W [ 0,(1 nel collegio /.

=uesta "olta, le unic!e distribuzioni di seggi comatibili con le condizioni di roorzionalit7 e monotonicit7 sono tre o 6uattro seggi al collegio , due seggi alcollegio 9, uno o nessun seggio al collegio +, e un seggio al collegio /.

'el assaggio dalla rima alla seconda elezione il collegio !a dun6ue ersoalmeno un seggio, e il collegio / ne !a guadagnato uno. -a 6uesto 5 in contrasto con

il rinciio di monotonicit7, erc!J 5 cresciuto risetto a / da circa ,( "olte acirca 4 "olte.

ropor(ionale o maggioritario?

I teoremi di rroD e di 9alins>; e Uoung !anno inferto coli mortali al rinciio di roorzionalit7. -olte democrazie l)!anno 6uindi abbandonato, iK o meno

sudoratamente. nc!e la nostra, a coli di referendum e mattarellum, er 6ualc!e

1(0-. 9alins>i e P. Uoung, Fair representation, Uale ni"ersit; Press, 1842. $ !.d.A.%

1&8



anno !a ensato c!e la soluzione dei guai della democrazia stesse nell)adozione diuna 6ualc!e forma di sistema maggioritario.

Purtroo er loro, i sistemi maggioritari non stanno meglio di 6uelli roorzionali. d esemio, nel maggioritario secco 5 ossibile c!e un artito con6uasi il (0 er cento dei "oti nazionali non renda neure un seggio, e c!e ogni

seggio "ada in"ece a artiti locali con una minima raresentanza. 9asta infatti c!e inciascun collegio uno stesso artito nazionale ottenga il (0 er cento dei "oti menouno, e c!e un artito locale ottenga il (0 er cento dei "oti iK uno, affinc!J il seggio"ada al secondo.

n altro aradosso dei sistemi c!e, come il maggioritario, resentano la scelta fradue soli candidati o oli, u essere efficacemente illustrato in termini di gelatai$senza intenti denigratori nei confronti di nessuno%. Suoniamo dun6ue di tro"arcisu una siaggia assolata lunga un c!ilometro, stracolma di bagnanti accaldati, e c!earri"ino due gelatai a "endere i loro rodotti.

Per i bagnanti, la loro collocazione iK sensata sarebbe c!e entrambi si onessero aduecentocin6uanta metri dagli estremi della siaggia, cio5 a un 6uarto e tre 6uarti. Intal modo, infatti, nessun bagnante do"rebbe fare iK di duecentocin6uanta metri erraggiungere il iK "icino dei gelatai.

-a i gelatai ragionano di"ersamente a loro con"iene orsi il iK ossibile "icinifra loro er contendersi i bagnanti della zona intermedia, "isto c!e 6uelli agli estremiandranno in ogni caso a comrare il gelato dal iK "icino. /al unto di "ista deigelatai, la sistemazione iK razionale 5 dun6ue c!e entrambi si situino al centro dellasiaggia. Il c!e 5 ci c!e sesso accade er i candidati o i oli dei sistemimaggioritari consolidati, c!e finiscono er risultare indistinguibili nei loro rogrammi olitici. Il aradosso sta, o""iamente, nel fatto c!e allora non !a senso scomodarsi ascegliere fra due candidati c!e roongono lo stesso rogramma.

Siamo cosQ ritornati al unto di artenza c!e le ersone razionali non a"rebberomoti"i er andare a "otare. -a se solo gli irrazionali "otano, non ossiamo oistuirci nJ dei risultati delle "otazioni, nJ della conseguente serie di arezzamentisulla democrazia con la 6uale abbiamo iniziato il discorso. Per finirlo con una arola buona dobbiamo ammettere c!e almeno un "antaggio la democrazia ce l)!a ora sicontano tutti i "oti, mentre una "olta solo i +onti "ota"ano.

1(0



+aitolo otta"o

'guardo paradossale al futuro

9orges !a fatto notare c!e la memoria non 5 meno rodigiosa della di"inazionericordare il assato 5 tanto taumaturgico 6uanto re"edere il futuro1(1. L)esseremiracolati in un senso non ci imedisce er di "olerlo essere anc!e nell)altro. La$fanta%scienza si 5 dun6ue sesso lanciata in seculazioni sulla ossibilit7 di "iagginel futuro, alla scoerta re"enti"a di ci c!e a""err7.

Poic!J la logica non "uole essere da meno, ci rooniamo di esaminare le otenzialit7 di re"eggenza del uro ragionamento, nella seranza o di imbattercieffetti"amente in miracoli futuristi, o di dimostrare c!e essi sono imossibili. +asiestremi c!e, er moti"i contraosti, ci soddisferebbero comun6ue entrambi.

2ose da non credere

na affermazione 5 "era se descri"e uno stato di cose, giustificata se ci sonomoti"i razionali er crederla, e creduta se 6ualcuno la crede. Poic!J le tre roriet7collegano esressioni linguistic!e a cose fra loro di"erse 6uali il mondo, la logica e lacoscienza, esse sono mutuamente indiendenti, e roducono 6uindi otto ossibilicombinazioni.

d esemio, le affermazioni scientific!e sono giustificate, altrimenti non sarebberoscientific!e. 'aturalmente ossono essere "ere o, meno robabilmente, false. In ognicaso, le ersone razionali le credono e 6uelle irrazionali no. Il c!e roduce 6uattro ossibilit7.

nalogamente, le suerstizioni non sono giustificate, altrimenti non sarebberosuerstizioni. nc!)esse ossono essere "ere o, iK robabilmente, false. In ognicaso, le ersone irrazionali le credono e 6uelle razionali no. Il c!e roduce le altre6uattro ossibilit7.

n esemio interessante di afferma(ioni %ere, giustificate e non credute si !a6uando si nega l)e"idenza, come nel caso del paradosso di 7oore1(2 Il gatto 5 sultaeto, ma non ci credoH. Il aradosso nasce dal fatto c!e la giustificazione ercetti"a si resume essere, in condizioni normali, tanto robante da forzare lacredenza. /o"rebbe dun6ue essere imossibile affermare Lo "edo, ma non cicredoH.

1(1Simmetricamente, 9orges ritene"a incongruente reoccuarsi molto di ci c!e ci otrebbe caitare doo la morte, e oco di ci c!e ci 5 successo rima della nascita. $ !.d.A.%1(2G. -oore, A repl0 to m0 critics, in The philosoph0 of G. ). 7oore, a cura di P. Sc!il, 18&2, .(**B#. $ !.d.A.%

1(1



In realt7, non 5 cosQ. nzitutto, come "edremo, 6uesta fu rorio la reazione c!e+antor manifest, doo a"er dimostrato uno dei suoi famosi teoremi. Inoltre, e inmaniera iK aneddottica, si narra c!e 'iels 9o!r, remio 'obel er la fisica nel 1822,tenesse un ferro di ca"allo sulla orta di casa. d un "isitatore c!e un giorno glidomand scandalizzato se crede"a da""ero c!e il ferro ortasse fortuna, 9o!r

risose 'on ci credo, ma dicono c!e funzioni lo stessoH.Sulla scorta delle roriet7 considerate, "errebbe naturale dire c!e una conoscenza5 una credenza giustificata di una "erit7. Il paradosso di Gettier 1(* mostra in"ece c!eesistono creden(e %ere e giustificate che non si possono considerare conoscen(e. infatti ossibile c!e una giustificazione corretta orti a una "erit7 er i moti"isbagliati, ro"ocando situazioni c!e si ossono descri"ere come a"er ragione ura"endo tortoH o a"er torto ur a"endo ragioneH, a seconda c!e si onga l)accentosulla "erit7 o sulla giustificazione. +ome disse in Assassinio nella cattedrale T!omasEliot This is the greatest treason, to do the right thing for the wrong reason, =uesta

5 la eggior "igliaccata, far le cose giuste er la ragione sbagliataH.Il rimo esemio del aradosso di Gettier risale, in realt7, addirittura a Platone. 'elTeeteto $201% si fa infatti notare c!e un giudice u credere all)innocenza di unimutato innocente sulla base di una difesa fatta da un a""ocato cosQ bra"o, c!esarebbe riuscito a con"incere dell)innocenza anc!e di un imutato cole"ole. PiKsemlicemente, c!iun6ue u credere alle tre del omeriggio c!e sono le tre sulla base del resonso di un orologio c!e in genere 5 affidabile, ma in 6uel momento 5 ercaso fermo alle tre, o indietro di dodici ore.

'el caso iK secifico del futuro, : possibile fare pre%isioni %eritiere e giustificatema fuor%ianti. d esemio, si u re"edere c!e domani si "edr7 una ersona a cui si5 dato un auntamento e il giorno doo recarsi effetti"amente a "ederla all)obitorio,doo un incidente di cui 5 stata "ittima.

'orprese annunciate

na limitazione iK inasettata e interessante delle tre roriet7 considerate sta nelfatto c!e esistono %erit che non possono essere creden(e giustificate. =ueste "erit7

descri"ono stati di cose c!e sono inaccessibili alla ura logica, e costituiscono unanalogo delle roosizioni di G<del c!e mostrano l)incomletezza dei sistemiformali.

Per illustrare la ossibilit7 nel caso del futuro, consideriamo un e"entoeffetti"amente a""enuto nel assato. 'el 18&*, durante la Seconda Guerra -ondiale,la radio s"edese annunci c!e in una certa settimana a"rebbe a"uto luogo unaesercitazione di difesa ci"ile. Per "erificare la rearazione effetti"a delle unit7,l)esercitazione sarebbe er stata a sorresa.

Il rofessor Lennart E>bom fece immediatamente notare ai suoi allie"i c!e

l)annuncio era aradossale, a causa del seguente ragionamento. O""iamentel)esercitazione non u a"er luogo l)ultimo giorno dell)annunciata settimana, erc!J

1(*E. Gettier, Is @ustified true belief knowledge?, nal;sis, 2* $18#*% 121B12*. $ !.d.A.%

1(2



a 6uel unto non sarebbe iK a sorresa. Per lo stesso moti"o si esclude anc!e il enultimo giorno della settimana, erc!J doo il ragionamento recedente esso 5l)ultimo in cui l)esercitazione u a"er luogo. E cosQ "ia. /un6ue, l)esercitazione 5imossibile. -a tale conclusione la rende inasettata ogni giorno. 9asta 6uindi c!eessa "enga tenuta un giorno 6ualsiasi, comreso l)ultimo, er farla risultare

effetti"amente a sorresa.Il fatto c!e l)esercitazione sia stata annunciata er un giorno non secificato di unaintera settimana non 5 comun6ue essenziale il aradosso rimane anc!e se essa "ieneannunciata er un reciso giorno. In 6uesto caso non si u credere simultaneamentec!e l)esercitazione a"r7 effetti"amente luogo 6uel giorno, e c!e essa sar7 a sorresase si crede c!e essa a"r7 luogo, non sar7 a sorresaW se si crede c!e essa non a"r7luogo, sar7 a sorresa. 'on si u dun6ue credere c!e 6uel giorno ci sar7un)esercitazione a sorresa, ma basta c!e essa si tenga effetti"amente erc!J risulti asorresa.

Il aradosso 5 stato in seguito riformulato nei termini iK s"ariati, dagli esamiscolastici alle esecuzioni caitali er imiccagione. /a 6ueste formulazioni !a resoil nome di paradosso dellesame o paradosso dellimpiccato.

La sua essenza 5 comun6ue in"ariata, e si u isolare nella reannunciata tensionefra la %erit dell)affermazione c!e un certo e"ento accadr7 e sar7 inasettato, ed una re"enti"a creden(a giustificata di 6uesta affermazione, basata sulla ura logica.Soltanto doo c!e l)e"ento 5 aunto accaduto inasettato, si u credereall)affermazione. In altre arole, : impossibile credere a tutte le pre%isioni %eritiere.

'celte determinate

'el 18#8 il filosofo :obert 'ozic> !a di"ulgato il cosiddetto paradosso di !ewcomb, c!e rende il nome dal fisico c!e l)!a scoerto1(&.

Suoniamo di arteciare ad un gioco in cui ci sono due buste c!iuse nella rimac)5 un milione, e nella seconda o non c)5 niente o c)5 un miliardo. Il gioco consistenello scegliere o entrambe le buste, o solo la seconda. La decisione su c!e cosa cidebba essere nella seconda busta "iene resa da un "eggente, c!e ci mette il miliardo

se e solo se re"ede c!e noi renderemo soltanto 6uella.+!e cosa con"iene fare razionalmente La risosta diende dal tio di strategia c!esi decide di seguire. Il aradosso nasce dal fatto c!e ci sono due strategie, entrambe erfettamente razionali all)aarenza, c!e suggeriscono di tenere comortamentioosti.

'el rimo caso si u seguire il rinciio di utilit, c!e suggerisce ilcomortamento c!e roduce il maggior utile. =uesto 5 aunto il caso della sceltadella sola seconda busta. Poic!J infatti il "eggente re"ede esattamente ilcomortamento, se si rendono entrambe le buste si guadagner7 un milione, mentre

se si rende solo la seconda si guadagna un miliardo.1(&:. 'ozic>, !ewcombs problem and two principles of choice, in )ssa0s in honor of 2arl G. *empel , a cura di

'ic!olas :esc!er, :eidel, 18#8, . 11&B1&#. $ !.d.A.%

1(*



'el secondo caso si u in"ece seguire il rinciio di dominanza, c!e suggerisce ilcomortamento consistentemente migliore. il caso della scelta di entrambe le bustese infatti il "eggente non !a messo niente nella seconda busta, rendendo solo 6uellanon si ottiene niente, mentre rendendole entrambe si ottiene un milioneW se in"ece il"eggente !a messo il miliardo nella seconda busta, rendendo solo 6uella si ottiene

un miliardo, mentre rendendole entrambe si ottiene un milione in iK.I due ragionamenti si basano su assunzioni di"erse. Il rimo accetta l)iotesi c!e il"eggente re"eda il futuro, e dun6ue c!e la nostra decisione di rendere o noentrambe le buste determini retroatti"amente la sua scelta di mettere o no il miliardo.Il secondo ragionamento si basa in"ece sul fatto c!e il contenuto delle buste 5 ormaistato fissato sulla base delle re"isioni del "eggente, e 6uindi non u essereinfluenzato dalla nostra decisione di rendere o no entrambe le buste.

Poic!J la contraddizione rimane comun6ue, er risol"erla sembrano ossibili tresole strade o uno dei due rincQi non 5 razionale, o il gioco stesso 5 imossibile. E si

ossono effetti"amente tro"are argomenti a fa"ore di ciascuna delle tre ossibilit71% Il principio di utilit riduce l) *omo sapiens all) *omo economicus, e

sembra 6uindi iK animalesco c!e razionale. Il mercato 5, infatti, lacontinuazione della lotta er la sora""i"enza con altri mezzi. E l)economia5 una riformulazione della legge della giungla con gli stessi fini.

2% Il principio di dominan(a, benc!J sia uno degli assunti fondamentali dellateoria dei gioc!i, orta a conclusioni analogamente aradossali anc!e neldilemma del rigioniero, dalla cui analisi 'eDcomb !a fra l)altro rica"ato il

suo aradosso. nc!)esso u 6uindi essere guardato con sosetto.*% 6ire infine che il gioco : impossibile, significa semlicemente negare la re"eggenza. Il c!e 5 in accordo con una "isione non deterministica $oalmeno non calcolabile% del mondo, c!e lasci sazio al libero arbitrio.

scanso di e6ui"oci, 5 comun6ue bene notare c!e non 5 necessaria un)assunzionedi re"eggenza totale. 9asta c!e il "eggente saia re"edere il futuro con robabilit7di oco sueriore al (0 er cento, erc!J il aradosso continui a "alere1((. Pensare c!ela soluzione del aradosso stia nel fatto c!e il gioco 5 imossibile, significa allora

sostenere c!e : impossibile pre%edere il futuro non solo con certe((a, ma anche conuna probabilit di poco superiore al ZO per cento.

Per smorzare gli entusiasmi, ossiamo er anc!e dire c!e, suonendo c!e il"eggente ossa sbagliare re"isione, nessun comortamento 5 dominante $benc!J si ossa anc!e dire il contrario, in base al ragionamento recedente%. Se infatti la re"isione 5 stata corretta, rendendo solo la seconda busta si ottiene un miliardo e rendendole entrambe si ottiene un milione. Se in"ece la re"isione 5 stata sbagliata, rendendo solo la seconda busta non si ottiene niente e rendendole entrambe si

1((=uando la robabilit7 di re"isione corretta 5 p, se si rendono entrambe le buste si guadagna mediamente $in

milioni% p1h$1[ p%1.001, mentre se si rende solo la seconda si guadagna mediamente p1.000h$1[ p%0. ffinc!J siguadagni mediamente di iK rendendo solo la seconda busta, 5 dun6ue sufficiente c!e p sia maggiore di1.001V2.000(0,0( er cento $o, iK in generale, di m1hm2V2m2 se nelle due buste ci ossono risetti"amente essere m1 em2 milioni%. $ !.d.A.%

1(&



+aitolo nono

7ucchi, smeraldi e cor%i

-atematica e scienza sono imrese intellettuali comlementari ma contraoste,c!e si distinguono er la direzione del loro sguardo. La rima rocede in a"anti, dalleiotesi alle conclusioni cio5, dagli assiomi ai teoremi c!e ne deri"ano. La secondarisale all)indietro, dalle conclusioni alle remesse cio5, dai dati serimentali alleleggi fisic!e da cui essi ossono essere deri"ati.

+rea dun6ue confusione il fatto c!e il rinciio basilare della matematica "engac!iamato nello stesso modo di 6uello della scienza in entrambi i casi si usa infatti iltermine indu(ione. In realt7, i due rincQi sono comletamente di"ersi, e ossono"enire enunciati nel modo seguente

[ Lindu(ione matematica stabilisce c!e se una roriet7 "ale er il numerozero, e se 6uando "ale er il numero n continua a "alere er il numero nh1,allora essa "ale er tutti i numeri.

[ Lindu(ione scientifica stabilisce c!e se una roriet7 5 confermata da tutti ifatti conosciuti, e non 5 falsificata da nessun fatto conosciuto, allora essa 5"era in generale.

+i c!e accomuna, er, i due rincQi dal unto di "ista della logica 5 c!eentrambi godono, come si dice in gergo, di roriet7 aradossali. aunto a causadi 6uesta loro godereccia similitudine c!e "engono 6ui accomunati.

Lindu(ione matematica

Il rimo aradosso dell)induzione matematica risale al secolo a.+. ed 5 do"uto a@enone di Elea, nella forma del sorite1( se un granello di miglio non fa rumorecadendo, allora non u nemmeno far rumore un mucc!io. E6ui"alentemente oic!Jun mucc!io fa rumore cadendo, allora do"rebbe far rumore anc!e un granello.

In realt7, l)iotesi eslicita $c!e il rumore di un granello di miglio non si erceisca% 5 "era, ma 6uella imlicita $c!e se non si erceisce il rumore di ngranelli, allora non si erceisce neure 6uello di nh1% 5 falsa. Esiste infatti unli"ello di soglia sotto il 6uale non erceiamo rumore e sora il 6uale sQ.

1(In greco soros significa mucc!ioH. SoriteH 5 un mucc!io di sillogismi, in cui la conclusione di ciascuno 5 la remessa del successi"o. $ !.d.A.%

1(



La cosa 5 ancora iK e"idente in altri casi. d esemio, come il detto oolareinsegna, esiste una goccia c!e fa traboccare il "asoH essa imedisce di dedurre, dalfatto c!e una goccia sola non lo fa traboccare, c!e il "aso non trabocc!er7 mai. O,come insegna in"ece una agina nera della storia scientifica, esiste una massacriticaH essa imedisce di dedurre, dal fatto c!e un atomo di uranio o lutonio non

eslode, c!e nessuna concentrazione di atomi esloder7. 'el I secolo a.+. Eubulide di -ileto mostr c!e il ragionamento di @enone si ualicare anc!e in altre situazioni, in cui non sembra esserci una "ia d)uscita cosQage"ole. 9asta, ad esemio, sfrondare la "ersione del mucc!io dalla distrazione delrumore e c!iedersi 6uand)5 c!e i granelli di"entano un mucc!io. n solo granellonon 5 un mucc!io. E se n non sono un mucc!io, allora neure nh1 do"rebberoesserlo.

Il roblema sembra 6ui essere il fatto c!e la nozione di mucc!ioH 5 "aga, ed una ossibile soluzione 5 c!e l)induzione matematica non si ossa alicare a nozioni

"ag!e. Effetti"amente, "ersioni del aradosso si ossono costruire er arecc!ienozioni "ag!e o relati"e ad esemio, altoH e bassoH $un millimetro in iK o inmeno non fa di"entare alti o bassi%, lungoH e cortoH, riccoH e o"eroH,caellutoH e cal"oH...

na "ersione articolarmente accatti"ante 5 stata roosta nel 18#8 da ames+argile1(4. Poic!J un girino di"enta una rana, se il temo 5 discreto allora de"e esserciun istante in cui il girino 5 ancora girino, ma all)istante successi"o 5 gi7 rana. In articolare, oic!J un film ro"oca una discretizzazione del temo, filmando lacrescita del girino si do"rebbero ottenere due fotogrammi successi"i, nel rimo dei6uali si "ede ancora il girino, mentre nel secondo si "ede gi7 la rana.

nc!e le nozioni matematic!e non sono immuni dal aradosso dell)induzione. desemio, zero 5 un numero iccolo, e se n 5 iccolo allora anc!e nh1 5 iccolo.=uindi, er induzione, ogni numero : piccolo1(8.

Il aradosso di"enta er articolarmente rile"ante, e non una ura curiosit7, nelles"ariate situazioni della "ita reale in cui sono coin"olte roriet7 c!e non sono resenti a li"ello delle costituenti di un sistema, ma sembrano emergere in modosconosciuto dalla comlessit7 del sistema stesso. d esemio la erdita dire"ersibilit7 temorale nel assaggio dal microscoico al macroscoico $secondalegge della termodinamica%, la erdita di realt7 nel assaggio in"erso $teorema di

9ell%, la erdita di transiti"it7 delle referenze nel assaggio dall)indi"iduale alsociale $teorema di rroD%, la erdita di determinismo nel assaggio dal locale alglobale $teorema della fermata di Turing%, l)ac6uisto di una massa critica erl)aarizione della "ita e della coscienza in organismi sueriori, eccetera.

Si u forse dire c!e il aradosso dell)induzione mostra c!e i sistemi comlessi, incui il tutto 5 maggiore della somma delle arti, si differenziano dai uri aggregati, incui il tutto 5 uguale alla somma delle arti, non tanto er il numero degli elementi,6uanto er la struttura. d esemio, 6uattro mele affiancate non sono un mucc!ietto,ma tre a triangolo con una sora sQ.

1(4. +argile, The sorite paradox, 9ritis! ournalfor t!e P!iloso!; of Science, 20 $18#8% 18*B202. $ !.d.A.%1(8 'el caso della matematica 6ueste roriet7 si ossono sfruttare ositi"amente, costruendo ad esemio modelli nonstandard dell)aritmetica in cui esistono numeri infiniti O-EG tali c!e nO-EG, er ogni n finito. $ !.d.A.%

1(4



Lindu(ione scientifica

Secondo ristotele $ 7etafisica, III, &% 5 stato Socrate a scorire l)induzione,come metodo di assaggio dal articolare al generale. Semre secondo ristotele

$Topici, I, 12%, l)induzione 5 uno dei due metodi della dialettica insieme alladeduzione, c!e 5 in"ece un assaggio dal generale al articolare.

Stoici ed Eicurei iniziarono una disuta su 6uale dei due metodi fosse 6uellocorretto di ragionamento. In articolare, gli Stoici obietta"ano c!e l)indu(ioneincompleta, c!e generalizza a artire da un insieme arziale dei ossibili dati, non otr7 mai dare conclusioni certe. In"ece l)indu(ione completa, c!e generalizza a artire dall)intero insieme dei dati ossibili, non 5 altro c!e una forma $in genereimraticabile% di deduzione.

La disuta tra Stoici ed Eicurei fu riresa secoli doo da razionalisti ed

emiricisti, in un eriodo in cui i successi dell)induzione nella scienza ne rende"anoormai necessaria una giustificazione teoretica. 6uesto roosito, Aume suggerQ c!ei raorti causali e le generalizzazioni indutti"e non sono relazioni fra e"enti fisici macostruzioni mentali. ?ant recis c!e i rincQi di causalit7 e di induzione sono deglia riori c!e determinano la nostra "isione del mondo.

'el frattemo Leibniz a"e"a scoerto, nel 10*, il rimo aradossodell)induzione1#0 come ci sono infinite cur%e che passano per un numero finito di

punti, cosQ ogni insieme finito di dati 5 comatibile con un numero infinito digeneralizzazioni indutti"e. =uesta osser"azione, 6uasi banale, 5 stata riroosta nel

'o"ecento, con grande fracasso, da "ari filosofi. 'elson Goodman $180#B1884% !a anzitutto illustrato il aradosso di Leibniz conuna efficace immagine1#1, notando c!e il fatto c!e tutti gli smeraldi scoerti finorasono "erdi ermette di indurre due generalizzazioni contraoste. La rima, iKo""ia, 5 c!e tutti gli smeraldi sono "erdi. La seconda, iK balzana, 5 c!e tutti gli

smeraldi scoperti finora sono %erdi, e ;uelli che saranno scoperti dora in poi sonoblu. 'aturalmente, il roblema 5 caire come mai la rima sembra iK sensata dellaseconda. La soluzione non sta semlicemente nel fatto c!e essa non diende daltemo, erc!J basta sostituire la seconda affermazione con 6uella c!e tutti glismeraldi sono "erdi, eccetto uno c!e 5 blu, er riottenere il roblema.

LudDig Rittgenstein $1448B18(1% !a in"ece alicato il aradosso di Leibniz al roblema dell)arendimento1#2, notando c!e non : possibile imparare una regola generale sulla base di un numero finito di esempi. /al fatto e"idente c!e comun6ue siimara, Rittgenstein trae la conclusione c!e seguire una regola costituisce una rassic!e si arende sulla base del comortamento colletti"o della societ7. In articolare,un comortamento non u essere corretto indi"idualmente, e un linguaggio ri"ato 5imossibile.

1#0Lettera di Gottfried Leibniz a a>ob 9ernoulli, del * dicembre 10*. $ !.d.A.%1#1 '. Goodman, Fact, fiction and forecast , 188&. $ !.d.A.%1#2L. Rittgenstein, hilosophische =ntersuchungen, 18(*. $ !.d.A.%

1(8



n aradosso meno generale, ma non meno fastidioso, era stato formulato da +arlAemel $180(B188% nel 18&(1#. +onsideriamo l)affermazione c!e tutti i cor"i sononeri essa e6ui"ale all)affermazione c!e tutto ci c!e non 5 nero non 5 un cor"o, e6uindi do"rebbe essere confermata da ogni conferma di 6uest)ultima. -a 6uesta 5confermata ogni "olta c!e tro"iamo 6ualcosa c!e non sia nero e non sia un cor"o.

=uindi, ogni cigno bianco conferma che ogni cor%o : nero1#4

.

6edu(ioni sullindu(ione

Lo s"iluo di strumenti formali er lo studio del ragionamento e del mondo assa er una stretta obbligata la concentrazione su asetti drasticamente semlificati, c!ene ermettano un trattamento matematico. nc!e nell)iotesi migliore, c!e 6uestiasetti siano cio5 significati"i, essi forniscono comun6ue soltanto unararesentazione arziale dei fenomeni c!e "engono descritti.

E"identi agli inizi della teorizzazione, 6ueste limitazioni tendono er col temo aessere dimenticate nell)inerzia dello s"iluo. I aradossi ric!iamano allorasalutarmente all)ordine, ricordando al ensiero formale c!e esso 5 immune dacontraddizioni soltanto all)interno di ben delimitati confini.

=uesti confini "engono, in articolare, suerati nelle alicazioni dell)induzione.Esse mostrano a sufficienza c!e, 6uando il linguaggio scientifico si illude di otercurare le imrecisioni e le ambiguit7 di 6uello naturale, risc!ia in"ece di risultarne asua "olta contaminato.

1#+. Aemel, 'tudies in the logic of confirmation, -ind, (& $18&(% 1B1# e 8B121. $ !.d.A.%1#4In termini tecnici, la differenza fra i due aradossi recedenti sta nel fatto c!e il rimo coin"olge soltanto la logica

roosizionale $in articolare, soltanto congiunzione e imlicazione%, mentre il secondo coin"olge anc!e la logica del rim)ordine $in articolare il 6uantificatore uni"ersale, oltre a negazione ed e6ui"alenza logica%. $ !.d.A.%

1#1



+aitolo decimo

6ai paradossi ai teoremi

Per tre "olte, nella storia, i aradossi sono stati al centro dell)attenzione nel eriodo greco, nel -edioe"o e a ca"allo fra Ottocento e 'o"ecento. I di"ersi nomicon cui "ennero c!iamati nei tre eriodi riflettono i di"ersi atteggiamenti c!e siebbero "erso di essi. Per i Greci erano paralogismi, oltre la logicaHW er i medioe"aliinsolubilia, roblemi insolubiliHW er i moderni antinomie, contro le regoleH, o,

aunto, paradossi, oltre l)oinione correnteH.+i fu dun6ue un rogressi"o cambiamento di rosetti"a. /a uri e semlici errori

di ragionamento, i aradossi "ennero darima ri"alutati come dilemmi insiegabili,e oi "alorizzati come indizi di roblemi del senso comune.

Oggi i aradossi sono aunto descritti come "erit7 c!e stanno a testa in giK egambe all)aria er attirare l)attenzione, e mostrano una discreanza tra le credenzec!e rendono un)affermazione imossibile, e la logica c!e rende un argomento in lorodifesa corretto. L)unica soluzione ossibile, non indolore, ric!iede una re"isioneradicale delle credenze, della logica o di entrambe.

In matematica, la re"isione ro"oca a "olte una singolare reincarnazione. lla lucedei nuo"i concetti introdotti er risol"erli, i "ecc!i aradossi non solo cessano diessere tali, ma si trasformano addirittura in nuo"i teoremi o definizioni, e aaionofinalmente come ure e semlici "erit7, coi iedi er terra e la testa sul collo.

itagora

Pitagora $(4(B(00 a.+.% considera"a l)aritmetica come base dell)ordine del creato,o almeno della conoscenza di esso, e sintetizza"a la sua filosofia nel motto tutto 5numero $razionale%H. I numeri descri"e"ano la natura, dalle forme geometric!e agliinter"alli musicali. Le leggi dei numeri riflette"ano le leggi della natura. L)antitesi ariBdisari s"olge"a un ruolo di aradigma degli oosti, analogo a 6uello delcontemoraneo aradigma cinese 0ang[0in. E la contemlazione mistica siraggiunge"a attra"erso la meditazione sui numeri, cio5 facendo matematica.

La "isione itagorica fu messa in crisi dal rimo aradosso della storial)incommensurabilit7 della diagonale del 6uadrato risetto al lato, ossial)imossibilit7 di ridurre ad un numero razionale una semlice arte della natura. La

scoerta fu effetti"amente traumatica, al unto c!e la sua ri"elazione ubblica da arte di Iaso di -etaonto gli rocur la radiazione dall)ordine, un mafioso

1#2



6uale, essendo aunto non dimostrabile, 5 allora "era. In altre arole, ci sono "erit7indimostrabili.

Si ottiene cosQ una formulazione del famoso teorema di G<del, secondo cui unsistema formale in cui la $non% dimostrabilit7 sia definibile, e c!e dimostri soltantoaffermazioni "ere, non u dimostrarle tutte. In termini iK tecnici, un sistema

formale sufficientemente espressi%o e corretto : incompleto.

6uns 'coto

L)atteggiamento greco di non considerare l)infinito attuale come esistenteincominci a essere gradualmente ri"isto a artire dal medioe"o, non senza tenaciresistenze.

n esemio di 6ueste fu l)argomento del dottor sottileH Gio"anni /uns Scoto$12##B1*04%, ri"olto a dimostrare c!e le cur"e geometric!e non si ossonoconsiderare comoste di unti infinitesimi. Se cosQ fosse, infatti, due 6ualun6uecirconferenze $ad esemio, una minuscola ed una gigantesca% do"rebbero a"ere lostesso numero di unti. Lo si "ede muo"endole darima in modo da far so"raorrei loro centri, e oi mettendo in corrisondenza i unti c!e stanno sugli stessi raggi$figura (&%.

3igura (&/ue cerc!i concentrici.

na confutazione dell)argomento fu tentata nel 1#*4 da Galileo Galilei $1(#&B1#&2%, nella Prima Giornata dei 6iscorsi e dimostra(ioni matematiche. Egli sostenne,in "erit7 in maniera assai oco con"incente, c!e unti a"enti le stesse dimensioni e inugual numero ossono costituire circonferenze minori della luce dell)occ!io di una ulce, o maggiori dell)e6uinoziale del rimo mobileH, a seconda c!e essi siano iK o

meno ra""icinati.

1#(



In maniera matematicamente iK interessante, la frittata fu ri"oltata nel 14(1 da9ern!ard 9olzano11 $141B14&4%, seguito nel 144 da Georg +antor 12 $14&(B1814%. Idue resero la ossibilit7 di mettere in corrisondenza biuni"oca due insiemi comeuna definizione del fatto c!e essi abbiano lo stesso numero di elementi. L)argomentodi Scoto di"enta allora la dimostrazione del teorema c!e, effetti"amente, due

circonferen(e hanno lo stesso numero di punti.La definizione di 9olzano e +antor 5 un esemio di soluzione di un aradosso eraccettazione. Essa non elimina la sensazione di fastidio c!e si ro"a nel consideraredue grandezze intuiti"amente di"erse come matematicamente uguali, almeno fino a6uando l)intuizione non "enga sostanzialmente rieducata dalla ratica.

d esemio, lo stesso +antor dimostr c!e, secondo la sua definizione, unsegmento ed un 6uadrato !anno lo stesso numero di unti. E oic!J non otJ fare ameno di ammettere Lo "edo, ma non ci credoH, cadde ina""ertitamente dalla adella nella brace. +io5 nel aradosso di -oore, di cui abbiamo arlato in un

caitolo recedente.

2ardano

La soluzione dell)e6uazione generale di terzo e 6uarto grado mediante radicali fula grande sceneggiata ma tematica del secolo I, e coin"olse Sciione del 3erro$1&#(B1(2#%, 'iccol 3ontana $1&88B1((%, detto Tartaglia a causa dei ostumi diuna ferita infantile c!e l)a"e"a lasciato balbuziente, Gerolamo +ardano $1(01B1(#%

e Ludo"ico 3errari $1(22B1(#(%. I rimi due risolsero indiendentemente un casoseciale dell)e6uazione di terzo grado, in cui manca il termine di secondo grado. Ilterzo ridusse il caso generale a 6uello seciale. L)ultimo ridusse il 6uarto grado alterzo.

La sceneggiata consistette nel fatto c!e Tartaglia a"e"a comunicato il suo risultatoa +ardano a condizione c!e egli lo tenesse segreto, il c!e imedQ er anni ladi"ulgazione dei successi"i risultati sia di +ardano c!e di 3errari. =uando +ardano"enne a saere della soluzione di Sciione egli ubblic il tutto nell) Ars magna$1(&(%, scatenando una reazione furibonda di Tartaglia.

n aradosso sta"a comun6ue nascosto dietro la formula er la risoluzione dellacubica. Essa face"a inter"enire radicali 6uadratici e cubici, c!e a "olte ote"anocoin"olgere numeri negati"i. Ora, i numeri negati"i erano gi7 roblematici di er sJ.d esemio, tre caitoli successi"i del libro di +ardano erano dedicati alla soluzionedei tre di"ersiH tii di e6uazione

nmx x =+* nmx x +=

*mxn x =+

*

con i coefficienti m e n semre ositi"i1*. 'on arliamo dun6ue delle radici dinumeri negati"iF119. 9olzano, aradoxien des =nendlichen, 14(1. $ !.d.A.%12G. +antor, )in &eitrag (ur 7annigfaltigkeitslehre, ournal fXr die reine und angeDandte -at!emati>, 4& $144% 2&2B2(4. $ !.d.A.%

1##



corretti. d esemio, dx 5 effetti"amente di"erso da zero, e si u 6uindi di"idere eresso. E benc!J 2 x h dx e 2 x siano numeri ierreali di"ersi, !anno la stessa arte reale$cosQ come due numeri decimali ossono essere di"ersi, ma a"ere la stessa arteintera%. Essi sono 6uindi uguali dal unto di "ista dei numeri reali.

Galileo

'ella gi7 citata Prima Giornata dei 6iscorsi e dimostra(ioni matematiche, Galileoaffronta un articolato discorso sull)infinito. In articolare, egli enuncia c!iaramente il aradosso secondo cui, nell)infinito, il tutto non 5 necessariamente maggiore della arte. d esemio, i 6uadrati sono tanti 6uanti i numeri interi, erc!J basta mettere incorrisondenza ciascun numero n col suo 6uadrato n2.

Galileo rese la sua scoerta troo seriamente, sostenendo ad esemio c!e essamostra"a c!e non !a senso dire di due insiemi infiniti c!e uno 5 maggiore dell)altro.-a egli si era comun6ue imbattuto in una roriet7 fondamentale degli insiemiinfiniti. =uella di contenere, cio5, una arte roria con lo stesso numero di elementidel tutto.

In seguito, negli anni Ottanta del secolo I, +!arles Peirce1& $14*8B181&% e:ic!ard /ede>ind1( roosero indiendentemente di considerare tale roriet7 comecaratteristica degli insiemi infiniti, rendendola come definizione.

=uesta definizione 5 e6ui"alente a 6uella solita, secondo la 6uale un insieme 5infinito se il numero dei suoi elementi non 5 finito. +io5, se esso non !a n elementi,

er nessun intero n. -a la dimostrazione dell)e6ui"alenza ric!iede il cosiddettoassioma della scelta, c!e ermette di effettuare scelte arbitrarie.

In mancanza di tale assioma i due concetti sono in"ece distinti. Possono, cio5,esistere insiemi c!e non !anno n elementi, er nessun n, ma non contengono neureuna arte roria con lo stesso numero di elementi del tutto. Essi sono infiniti nelsenso solito, ma finiti in 6uello di Peirce e /ede>ind, e aartengono dun6ue ad unasecie intermedia.

Torricelli

'el 1#&& E"angelista Torricelli $1#04B1#&% ubblic il suo unico libro, l)-pera geometrica. no dei risultati in esso contenuti, c!e fece scalore fra i suoicontemoranei, fu il calcolo del "olume del solido ottenuto ruotando un ramo diierbole attorno al suo asse $figura ((%. Torricelli lo c!iam solido acutoierbolicoH, ma oggi si usano nomi iK fantasiosi, da anfora di @eusH a tromba diGabrieleH.

1&+. Peirce, -n the algebra of logic, a contribution to the philosoph0 of notation , merican ournal of -at!ematics, $144(% 140B202. $ !.d.A.%1(:. /ede>ind, Has sind und was sollen die ahlen?, 1444. $ !.d.A.%

1#8



ean +!arles +allet $1&&B188% mostr c!e l)idea di Euler, di ridurre le serieinfinite a formule finite, era ambigua. na stessa serie ote"a infatti corrisondere a iK formule differenti, come mostra"a

... x x x x

x x

−+−+−=++

#&*

2 1

1

1

da cui si ote"a dedurre il "alore 1V* er la solita serie alternata.=uesti argomenti, oggi incredibili, sono naturalmente da "alutare in rosetti"a. I

aradossi da essi generati ermisero di arri"are in seguito alla definizione recisa di somma di una serie, come limite delle somme arziali, ed alla realizzazione c!e leambiguit7 recedenti deri"ano aunto dal "oler assegnare una somma definita aserie di"ergenti.

PiK in generale, i termini delle serie non assolutamente con"ergenti, di cui 6uella diGrandi 5 un esemio, ossono essere ridisosti in modo da ottenere come somma

6ualun6ue "alore arbitrario. =uesta 5 una "ersione aritmetica del aradosso geometrico di 9anac! e Tars>i, sul 6uale torneremo in seguito, e nel 6uale lamisurabilit7 rende il ruolo della con"ergenza assoluta.

La arola fineH alla storia della serie alternata fu osta nel 1424 da 'iels Aenri>bel $1402B1428%. Tornando alla teologia, da cui Grandi era artito, egli dic!iar c!ele serie di"ergenti erano in realt7 un)in"enzione del dia"olo e come tali anda"ano6uindi trattate.

Leibni( e 8ohann &ernoulli

/iscutendo di roblemi legati all)integrazione di funzioni razionali, nel 112Leibniz e o!ann 9ernoulli diedero "ita ad una disuta eistolare sul significato dellogaritmo di numeri negati"i, in articolare del logaritmo di [1.

9ernoulli dimostr c!e esso do"e"a essere reale, e in articolare uguale a zero.Infatti, un numero x e il suo oosto [ x !anno lo stesso 6uadrato. /un6ue, essi !annolo stesso $doio% logaritmo. Il logaritmo di [1 5 allora uguale al logaritmo di 1, c!e 5aunto zero.

Leibniz dimostr in"ece c!e il logaritmo di [1 non u essere un numero reale.ltrimenti, oic!J il 6uadrato del numero immaginario i 5 uguale a [1, anc!e illogaritmo di i do"rebbe essere reale. -a allora lo sarebbe anc!e il numero i, c!e siottiene ele"ando la base $reale% al logaritmo $reale%.

tro"are l)inasettata soluzione della contraddizione fu Euler 1#, nel 1&8. /allasua famosa formula i [1 si !a c!e il logaritmo naturale di [1 5 i, 6uindiimmaginario. -a oic!J in generale i $ h 2 n% [1, tutti i numeri i$h2n% sono "aloridel logaritmo di [1. In altre arole, il logaritmo : una fun(ione a piV %aloriF PiK recisamente, ad infiniti "alori comlessi.

1#L. Euler, 6e la contro%erse entre 7essrs Leibni( et &ernoulli sur les logarithmes n#gatifs et imaginaires, Aistoire del)cadJmie :o;ale de 9erlin, ( $1&8% 1*8B18. $ !.d.A.%

12



8akob &ernoulli

Si dice c!e a San Pietroburgo esistesse, al temo degli zar, un casin c!e ermette"a di giocare 6ualun6ue gioco d)azzardo, in cambio di un rezzo. d

esemio, il casin era disosto a agare 2n rubli se, 6uando il giocatore tira"a unamoneta, usci"a testa er la rima "olta all)nBesimo tiro1. =uanto a"rebbe do"utoessere disosto a agare un giocatore er oter arteciare al gioco

/a un lato, la robabilit7 c!e esca testa all)nBesimo tiro 5 1V2 n, erc!J a ogni tiro la robabilit7 5 1V2, e le robabilit7 si moltilicano. na misura di 6uanto il giocatore u guadagnare in tal caso 5 data dal rodotto di 6uanto guadagnerebbe er la robabilit7 di guadagnarlo, cio5

1

2

12 =⋅

n

n

na misura di 6uanto il giocatore u guadagnare nell)intero gioco si ottienesommando 6uanto egli u guadagnare in ciascuna ossibilit7. Poic!J ci sono infinite ossibilit7, cio5 una er ciascun n, si ottiene in tal caso

∞=+++=+⋅+⋅+⋅ ...... 1112

12

2

12

2

12

*

*

2

2

Il giocatore do"rebbe dun6ue essere disosto a agare tutto 6uello c!e !a, ur di

oter arteciare al gioco. /all)altro lato, suoniamo c!e il giocatore abbia uncaitale di rubli, e consideriamo l)unico a tale c!e 2a [1 ≤ 2a. Il giocatore u"incere una somma maggiore di all)nBesimo tiro solo se 2n, cio5 se n ≥ a, e la robabilit7 c!e 6uesto a""enga 5 1V2n. La robabilit7 c!e egli "inca una sommamaggiore di 5 dun6ue

I ......

aaaaa

22

2

1

2

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2

1221

<⋅=

+++=+++

++

In altre arole, iK si gioca e meno ci si u asettare di guadagnare.La soluzione del roblema roosta da a>ob 9ernoulli nell) Ars con@ectandi,

ubblicata ostuma nel 11*, fu di assegnare al denaro una misura decrescente diutilit, sulla base del rinciio secondo cui il "alore del denaro non 5 assoluto, madiende da 6uanto se ne !a. na stessa somma "ale infatti di iK er c!i !a oco, e dimeno er c!i !a tanto14.

1Il gioco 5 stato riroosto negli stessi termini da Tom Stoard, darima nella pi:ce teatrale $osencrant( e

Guilderstern sono morti, del 18##, e oi nell)omonimo film, del 1880. Esso "iene in mente ad uno dei rotagonisti,doo c!e 5 uscita croce er 88 "olte di seguito. $ !.d.A.%14In altre arole, costa di iK accontentare un ricco c!e molti o"eri. =uesta 5 un)ottima giustificazione er distribuirela ricc!ezza in basso, in"ece c!e in alto con la stessa cifra, si accontenta iK gente. $ !.d.A.%

1*



d esemio, assegnando una funzione di utilit7 logaritmica $in base 2% si !a c!el)utilit7 di una somma di 2n rubli 5 solo n, e 6uindi il giocatore u asettarsi diguadagnare soltanto

2

2

1*

2

12

2

11

*2 =+⋅+⋅+⋅ ... .

Poic!J 2 5 l)utilit7 c!e si assegna alla somma di &22 rubli, il giocatore non do"rebbeessere disosto a agare iK di & rubli er oter arteciare al gioco.

Il aradosso di San Pietroburgo, come esso "iene c!iamato, !a dun6ue stimolatol)introduzione della nozione di utilit7, c!e 5 di"enuta comune nell)economia. Il roblema 5, naturalmente, c!e la articolare misura roosta da 9ernoulli !a il soloscoo tecnico di rendere con"ergente la serie considerata. La ricerca si 5 6uindiconcentrata sul iK difficile roblema di definire una misura di utilit7 c!e sia

adeguata.na metamorfosi del aradosso di San Pietroburgo 5 il cosiddetto paradosso di-lbers, scoerto nel 1#10 da o!annes ?eler $1(1B1#&4% e oolarizzato nel 142*da Aeinric! Olbers $1(4B14&0%. Suoniamo c!e l)uni"erso, euclideo e infinito,contenga una distribuzione uniforme di stelle identic!e. Le stelle disoste su unostrato sferico di raggio r attorno alla terra sono in numero roorzionale allasuerficie dello strato, cio5 a r 2. -a la loro luminosit7 decresce in modo roorzionale a r 2, e 6uindi ogni strato contribuisce una 6uantit7 fissa non nulla allaluminosit7 totale del cielo. =uesto do"rebbe dun6ue aarire infinitamente luminosola notte, ed in"ece aare buioF

La soluzione del aradosso di Olbers data dalla teoria dell)esansionedell)uni"erso18 5 simile a 6uella di 9ernoulli. La luminosit7 aarente 5in"ersamente roorzionale al 6uadrato della distanza er le stelle fisse. -a 5inferiore er le stelle c!e si allontanano da noi, con un fattore corretti"o c!e ermettealla serie in 6uestione di con"ergere.

1ant

'el 141 Immanuel ?ant $12&B140&% ubblic la 2ritica della ragion pura, la cuitesi rinciale era c!e le retese di comletezza della ragione sfocianonecessariamente nell)inconsistenza.

In articolare, il 6uarto degli argomenti >antiani a sostegno di 6uesta tesi assa"aattra"erso l)antinomia della causa rima, definita dall)affermazione io sono la miacausaH. /a un lato, senza una causa rima la catena delle cause sarebbe infinita./all)altro lato, la nozione di causalit7 ric!iede c!e la causa e l)effetto siano distinti, ecausa rimaH 5 dun6ue un ossimoro.

18 La solu(ione originale di -lbers, oggi scartata, imputa%a leffetto alla pol%ere interstellare. Altre solu(ioni in%ocanola finite((a del numero di stelle o dellet delluni%erso. Ad esempio, se il &ig &ang : a%%enuto n anni fa, possiamo%edere soltanto le stelle che non distano piV di n anni luce da noi. 4!.d.A.5

1&



Le due arti dell)antinomia >antiana si fondano, risetti"amente, su concezionidell)infinito e dell)autoreferenzialit7 c!e gli s"ilui della matematica !annomostrato essere inadeguate. -a sia l)assunto c!e il rinciio di dimostrazione di ?antsono stati annessi dalla moderna logica matematica.

nzitutto, l)affermazione c!e la comletezza imlica l)inconsistenza e6ui"ale, er

contraosizione, all)enunciato del teorema di G<del la consisten(a implicalincomplete((a. E la dimostrazione di G<del si basa, in modo analogo a 6uella di?ant, sulla costruzione di una affermazione autoreferenziale del tio io non sonodimostrabileH, la dimostrabilit7 della 6uale 5 autocontradditoria in sistemi c!edimostrino soltanto affermazioni "ere.

Inoltre, nel 18&2 Aas>ell +urr;140 $1800B1842% !a costruito una forma logicamentecorretta dell)antinomia della causa rima, intesa come una formula c!e e6ui"ale a tendente a 9, er 6ualc!e formula falsa 9.

/a una arte, di una tale formula si u dimostrare c!e 5 "era. Essendo essa

e6ui"alente ad tendente a 9, baster7 dimostrare c!e 9 segue da . ssumiamodun6ue , er iotesi. /a essa discende tendente a 9, "isto c!e le due sonoe6ui"alenti. E da entrambe discende 9, er modus ponens.

/all)altra arte, non u essere "era. ltrimenti lo sarebbero anc!e tendente a9, ad essa e6ui"alente, e 9, c!e segue da entrambe. -a 9 5 falsa er iotesi.

L)argomento di +urr; mostra c!e la logica : incompatibile con lassun(ione di unacausa prima. PiK recisamente, consideriamo un sistema come il Lambda +alcolo,discusso iK oltre, in cui ogni oeratore ammette un unto fisso. llora una formula e6ui"alente ad tendente a 9 esiste er ogni 9, in articolare er 6ualc!e 9 falsa. Ilsistema 5 dun6ue incomatibile con la logica. nzi, lo 5 gi7 con le oc!e roriet7dell)imlicazione usate nell)argomento di +urr;.

Fourier

9enc!J i Greci conoscessero, o""iamente, alcune cur"e secific!e, 6uali le sezioniconic!e e le sirali, essi non ebbero mai la necessit7 di considerare la nozione difunzione in modo sistematico. =uesta necessit7 sorse in"ece con la nascita della

scienza moderna. Lo studio del moto ric!iede"a infatti di considerare una "asta classedi cur"e, comrendente in modo naturale la arabola, l)ellisse e la cicloide,risetti"amente come traiettorie di un roiettile, di un ianeta e di un unto su unaruota c!e scorre.

Per un lungo eriodo l)unico modo ermesso di definire funzioni fu attra"erso formule, anc!e se la classe di 6ueste si arricc!Q costantemente con lo s"iluo dellamatematica. 'el secolo II +artesio ric!iede"a di limitarsi ad e6uazioni algebric!e,cio5 a olinomi di grado arbitrario in x ed 0. 'el secolo III Euler, moti"ato dallostudio della corda "ibrante, ermise la considerazione di esressioni analitic!e

comrendenti funzioni trigonometric!e, esonenziali e logaritmic!e, c!e egli "ede"acome "ersioni infinitarie di funzioni algebric!e, attra"erso esansioni in serie di

140 *. 2urr0, The inconsistenc0 of certain formal logics, 8ournal of '0mbolic Logic, ] 4PUN5/ PPZ3PP]. 4!.d.A.5

1(



otenze. 'el secolo I ose! 3ourier $1#4B14*0%, moti"ato a sua "olta dallostudio della roagazione del calore, incluse infine anc!e le serie trigonometric!e.

3u in una memorabile sessione dell)ccademia delle Scienze, tenuta il 21dicembre 140 a Parigi, c!e 3ourier roose una tesi c!e fece scalore ogni fun(ione

periodica si puW esprimere come una somma infinita di seni e coseni. Gli accademici

manifestarono aertamente il loro scetticismo, erc!J seni e coseni sono funzionialtamente regolari $cio5, infinitamente differenziabili%, mentre le funzioni eriodic!e ossono essere altamente irregolari $ad esemio, discontinue o non differenziabili%.

Il la"oro di 3ourier "enne rifiutato dal comitato dell)ccademia, c!e include"amatematici del calibro di Giusee Lagrange $1*#B141*%, Pierre Simon de Lalace$1&8B142% ed drien Legendre $1(2B14**%. 3ourier lo riresent, in "ersioneri"eduta e corretta, nel 1411. =uesta "olta esso fu giudicato dallo stesso comitatodegno di un remio, ma non ancora di ubblicazione, er mancanza di rigore. Illa"oro fu stamato soltanto nel 142&, 6uando ormai 3ourier era di"entato segretario

dell)ccademia.+ol temo la tesi aarentemente aradossale di 3ourier fu confermata er classi difunzioni "ia "ia iK amie, e una buona arte della matematica moderna $gli integralidi :iemann e di Lebesgue, la teoria degli insiemi di +antor, gli sazi di Ailbert,l)analisi armonica generalizzata di Riener, la teoria delle distribuzioni di Sc!Dartz% 5nata o si 5 s"iluata attorno a roblemi connessi con la raresentazione dellefunzioni in serie di 3ourier.

La teoria di 3ourier rice"ette anc!e un)inasettata conferma in acustica. /a un lato,l)analisi matematica di un suono in termini di funzioni trigonometric!e risultcorrisondere erfettamente all)analisi musicale in termini di armonic!e. /all)altrolato, l)orecc!io risult essere un "ero e rorio analizzatore di 3ourier, in grado dieffettuare automaticamente la decomosizione dei suoni e di erceirnesearatamente le "arie armonic!e.

'on meno sorrendenti risultarono le alicazioni allo studio del mondo fisico. Ladecomosizione di funzioni discrete in serie di funzioni trigonometric!e costituisceinfatti un analogo matematico della decomosizione della realt7 macroscoica intermini di articelle elementari, il cui comortamento "iene aunto descrittomediante funzioni d)onda c!e soddisfano l)e6uazione di Sc!r<dinger.

6irichlet

3u rorio nel tentati"o di dimostrare la tesi fondamentale di 3ourier, c!e cio5 ognifunzione $eriodica% si otesse raresentare in un inter"allo mediante una serietrigonometrica, c!e Peter /iric!let $140(B14(8% tro" nel 1428 un famoso esemio difunzione non raresentabile

1#



Le idee di Gauss furono rirese da Ernst ?ummer $1410B148*%. Egli estese lateoria dai numeri del tio m h ni a 6uelli del tio m h n, con algebrico soluzione,cio5, di olinomi a coefficienti interi. E nel 14&* us la decomosizione unica infattori rimi di tali numeri, e di alcune loro estensioni, er dimostrare l)ultimoteorema di 3ermat.

Purtroo er ?ummer, /iric!let not c!e la fattorizzazione non era semre unica.d esemio, nel caso di a k[(,

( ( (1(1*2# −−−+=⋅=

e tutti e 6uattro i fattori sono rimi. L)osser"azione era tanto inasettata da aarire aradossale. Lo ro"a il fatto c!e anc!e altri, fra cui +auc!;, erano in recedenzacascati nello stesso errore di ?ummer.

=uesti intra"ide er una scaatoia. 'el caso recedente, basta considerare come rimi i numeri

22

(1 −+

2

(1 −−

er ottenere

2

(1

2

(122#

−−⋅

−+⋅⋅=

6uesta "olta in maniera unica142.L)unico roblema 5 c!e i tre nuo"i rimi non sono iK del tio m h n k[(.

?ummer, c!e rima di di"entare matematico era stato un teologo, li c!iam 6uindinumeri ideali $risetto al dominio dato%. sandoli, fu comun6ue in grado didimostrare il teorema di 3ermat in "ari casi articolari, comrendenti tutti gliesonenti fino a 100. Il caso generale rimase in"ece aerto fino al 188(, 6uando fudimostrato da ndreD Riles.

La teoria di ?ummer fu sistematizzata da /ede>ind nel 141, in un)aendice allibro di /iric!let Teoria dei !umeri. In modo analogo a 6uello con cui a"e"a definito

i reali come insiemi di razionali, 6uesta "olta /ede>ind definQ gli ideali di un anellocome insiemi di suoi elementi. In"ece di arlare di nuo"i di"isori ideali, come?ummer, egli consider cio5 insiemi di ossibili multili, caratterizzati dal fatto diessere c!iusi risetto a combinazioni lineari14*.

d esemio, in"ece di considerare un intero n, egli consider l)ideale rinciale$n% costituito da tutti i suoi multili. E definQ il rodotto di ideali in modo tale c!e

142Si noti c!e i recedenti 6uattro rimi di"entano ora fattorizzabili # radice 6uadrata di 2 er radice 6uadrata di 2W

* #V2 $1 h radice 6uadrata di [ ('radice 6uadrata di 2% er $1 [ radice 6uadrata di [ (Vradice 6uadrata di 2%W e1± radice 6uadrata di [ ( radice 6uadrata di 2 er $1 h [ radice 6uadrata di [ (Vradice 6uadrata di 2%. $ !.d.A.%14*L)idea 5 c!e se un numero ideale di"ide un elemento, di"ide anc!e ogni suo multilo. E se di"ide due elementi, di"ideanc!e la loro somma. $ !.d.A.%

14



$n%$m% $nm%, cosQ c!e l)ideale $n% di"ide l)ideale $nm%, benc!J come insieme essosia iK grande $erc!J ogni multilo di nm 5 un multilo di n%.

Sostituendo i numeri con ideali e i numeri rimi con ideali rimi, definitioriginariamente aunto come ideali indi"isibili, /ede>ind otJ dimostrare unanalogo del teorema fondamentale dell)aritmetica. Sotto certe condizioni generali,

ogni ideale di un anello si u infatti decomorre in maniera unica come rodotto diideali rimi.Le conseguenze sul aradosso di /iric!let furono dulici. /a un lato, esso "eni"a

risolto mediante un)estensione dagli elementi di un dominio ai suoi ideali. /all)altrolato, era situato in rosetti"a dall)osser"azione c!e la decomosizione unica "ale"agi7 nel dominio di artenza, se ogni ideale rimo 5 rinciale. In 6uesto casol)introduzione degli ideali di"enta suerflua, e si u e"itare.

7bius

Se si rende una striscia di carta rettangolare e si congiungono fra loro i due latilung!i, si ottiene un cilindro a due facce, una esterna ed una interna, e due bordicostituiti di due cerc!i $figura (#%.

3igura (#+ilindro.

Se oi si congiungono fra loro gli estremi del cilindro, cio5 i lati corti della striscia,ora iegati a formare un cerc!io, si ottiene un cosiddetto toro a un esterno e uninterno, ma senza nessun bordo $figura (%.

18



3igura (Toro.

'el 14(4 ugustus -<bius $180B14#4% scorQ c!e, congiungendo fra loro i duelati corti della striscia, doo a"erle er fatto fare mezzo giro, si ottiene unasuerficie aradossale, nota aunto come striscia di 7bius $figura (4%. Essa !a,sorrendentemente, una sola faccia e un solo bordo, e la si u ercorrere interamentesenza do"erne mai attra"ersare il bordo.

3igura (4Striscia di -<bius.

Inoltre, se si fa scorrere su di essa un cerc!io c!e ruota arallelamente allasuerficie in senso orario, alla fine di un ercorso comleto il cerc!io ruoter7 in senso

antiorario, e sar7 necessario un altro ercorso comleto er farlo ritornare a ruotare insenso orario. O, se si referisce, doo un giro un guanto er la mano destra 5di"entato un guanto er la mano sinistra e "ice"ersa.

Infine, se si taglia la suerficie a met7, arallelamente ai lati, se ne ottengono nondue dello stesso genere, come nel caso di una striscia rettangolare, ma una sola dilung!ezza doia c!e non 5 iK dello stesso genere, erc!J !a due facce.

'el 1442 3eliC ?lein $14&8B182(% immagin un)altra suerficie aradossale, ogginota come bottiglia di 1lein $figura (8%. Essa 5 l)analogo del toro, nello stesso modoin cui la striscia di -<bius lo 5 del cilindro. E !a una sola faccia e nessun bordo. In

articolare, non !a esterno nJ interno.

140



3igura (89ottiglia di ?lein.

La bottiglia 5 difficile da "isualizzare, anc!e erc!J la sua costruzione non si ufare nello sazio a tre dimensioni. Si do"rebbero, infatti, congiungere fra loro gliestremi di un cilindro, doo a"er er in"ertito l)orientamento di uno di essi. 'ellosazio tridimensionale la cosa si u fare solo enetrando all)interno del cilindro,mentre in"ece la suerficie non de"e a"ere autointersezioni.

Si u, er, usare un metodo di "isualizzazione indiretto, rogrammando ilcomuter in modo tale c!e 6uando il cursore arri"a a un lato dello sc!ermo, riaaiasul lato oosto. Se la riaarizione a""iene semre nella osizione corrisondente a

6uella di uscita, lo sc!ermo 5 e6ui"alente a un toro. Se in"ece 6uesto a""iene su duelati oosti, ma sugli altri due il cursore riaare in"ece in osizione simmetrica a6uella di uscita $ad esemio, in alto se usci"a in basso, e "ice"ersa%, lo sc!ermo 5e6ui"alente ad una bottiglia di ?lein.

Lo studio delle roriet7 delle suerfici aradossali ort allo s"iluo dellatopologia da arte di -<bius stesso14&, ed alla caratterizzazione comleta dellesuerfici c!iuse. La cosa interessante 5 c!e la striscia aradossale di -<bius 5risultata essere cruciale er la caratterizzazione, c!e dice aunto c!e ci sono soltantoi seguenti tii di suerfici c!iuse, oltre alla sfera

[ la sfera con n manici aggiuntiW [ la sfera con n cerc!i su di essa sostituiti da strisce di -<bius. 'el rimo caso, aggiungere un manico significa sostituire due cerc!i sulla sfera

mediante un cilindro c!e li congiunge. 'el secondo caso, sostituire un cerc!io conuna striscia di -<bius significa far combaciare la circonferenza del rimo con l)unico bordo della seconda.

Il toro 5 un esemio di sfera a un manico. La bottiglia di ?lein 5 un esemio disfera con due cerc!i sostituiti da due strisce di -<bius. La suerficie c!e si ottienedalla sfera sostituendo un solo cerc!io con una striscia di -<bius si c!iama in"ece

piano proietti%o $figura #0%, e si u raresentare sullo sc!ermo facendo sQ c!e il

14&. -<bius, Theorie der elementaren 9erwandschaft , ?<niglic! SIcbsisc!en Gesellsc!aft der Rissensc!aften zuLeizig, 1( $14#*% 14B(. $ !.d.A.%

141



6uadratini cosQ ottenuti. Poic!J ciascuno corrisonde a un sedicesimo del segmento di artenza, la numerazione do"r7 essere consecuti"a, nel senso c!e si u solo assareda un 6uadratino a uno adiacente a esso. Si riete oi il rocesso, all)infinito. Se aogni asso si congiungono i centri dei "ari 6uadratini con una oligonale, siottengono arossimazioni di 6uella c!e sar7 la cur"a finale $figura #1%.

3igura #1+ur"a di Peano.

Le cur"e di Peano e Ailbert, cosQ come il risultato di +antor citato in recedenza,secondo cui un segmento e un 6uadrato !anno lo stesso numero di unti, reclamanouna definizione di dimensione. =uesta fu data in modo soddisfacente negli anni entida ?arl -enger 14 $1802B184(% e Paul r;so!n144 $1484B182&%. Precisamente, unosazio toologico !a dimensione n, se n 5 il iK iccolo numero intero tale c!e esisteuna base di aerti la cui frontiera !a dimensione n [1.

d esemio, er dimostrare c!e il iano $o un 6uadrato% !a dimensione 2, si uconsiderare la solita base data dai cerc!i aerti, e ci si riduce a dimostrare c!e le lorofrontiere, cio5 le circonferenze, !anno dimensione 1.

Per dimostrare c!e una circonferenza !a dimensione 1, si u considerare la solita base data dai segmenti di circonferenza aerti, e ci si riduce a dimostrare c!e le lorofrontiere, cio5 le coie di unti isolati, !anno dimensione zero.

Per dimostrare c!e una coia di unti isolati !a dimensione zero, ci si riduce adimostrare c!e la sua frontiera, cio5 l)insieme "uoto, !a dimensione [1, e 6uesto si

assume er definizione148.na "olta definita la dimensione, si u definire una cur"a come un insieme c!iuso

e connesso di dimensione 1. Il aradosso di Peano di"enta allora il teorema c!e la suacorrisondenza tra il segmento unitario e il 6uadrato non definisce una cur"a in6uesto senso.

14?. -enger, Mber die 6imensionalitt %on unktmengen, -onats!efte fXr -at!emati> und P!;si>, ** $182*% 1&4B

1#0. $ !.d.A.%144P. r;so!n, 7#moire sur les multiplicit#s 2antoriennes, 3undamenta -at!ematicae, $182(% *0B1*. $ !.d.A.%148La dimostrazione del fatto c!e il iano non !a dimensione 1, e 6uindi !a esattamente dimensione 2, 5 iK comlicata.$ !.d.A.%

14*



*ea%iside

'el 148* Oli"er Aea"iside $14(0B182(% introdusse, in )lectromagnetic theor0, unafunzione oggi nota come la delta di /irac, c!e 5 definita dalle seguenti due roriet7

[ I suoi "alori sono semre zero, eccetto nell)origine, in cui il "alore 5 infinito. [ L)area determinata dalla cur"a !a "alore 1.

Presa di er sJ, la 5 o""iamente aradossale. Essa differisce soltanto in un untodalla funzione costante zero, c!e determina un)area nulla. =ualun6ue "aloreassegnato in 6uel unto non do"rebbe, dun6ue, far cambiare il "alore dell)area. nsolo "alore, er giunta in$de%finito, roduce in"ece un)area finita.

3unzioni imrorie come la ermettono, er, di esrimere deri"ate di funzionidiscontinue. d esemio, la stessa u essere considerata la deri"ata della funzioneA di Aea"iside, c!e descri"e un imulso istantaneo unitario, e "ale zero er

argomenti minori di zero, e 1 altrimenti.La giustificazione di tale affermazione si ottiene mediante un rocedimento allimite. La 5 arossimata da una funzione c!e "ale zero 6uasi semre, eccetto in uninter"allo attorno all)origine, in cui il "alore 5 determinato dalla condizione c!e l)areatotale sia aunto 1. La * 5 in"ece arossimata dalle aree determinate dellearossimazioni della , c!e "algono aunto zero rima dell)inter"allo e 1 doo, mac!e nell)inter"allo collegano 6uesti due "alori in maniera continua $figura #2%.

3igura #2rossimazioni delle funzioni * e ^.

Le nozioni ed i rocedimenti euristici usati da Aea"iside solle"arono un grandescandalo fra i benensanti ma tematici, ed egli fu addirittura esulso dalla $o0al

'ociet0 of London er indegnit7 teorica. Il risultato fu c!e oggi, come abbiamo reannunciato, la "iene associata non al suo nome, ma a 6uello di Paul /irac $1802B184&%, c!e la us nel suo classico I principi della meccanica ;uantistica.

14&



nc!e /irac rice"ette comun6ue la sua dose di se"ere critic!e. In articolare, dao!n "on 'eumann $180*B18(%, autore di una formulazione matematica alternati"adella meccanica 6uantistica. Grazie alla reutazione di /irac, la attecc!Q comun6ueimmediatamente fra i fisici, ed in seguito anc!e fra i matematici.

L)idea di considerare funzioni imrorie come ossibili deri"ate di funzioni

rorie fu sistematizzata negli anni =uaranta da Laurent Sc!Dartz, mediante la teoriadelle distribu(ioni. In articolare, 5 stato ossibile dimostrare c!e ogni funzionecontinua in senso classico !a una distribuzione come deri"ata. =uesto include anc!ecasi atologici come la cur"a di ?oc!, della 6uale arleremo tra oco, c!eclassicamente non !a in"ece deri"ata in alcun untoF

$o0ce

bbiamo gi7 arlato del aradosso della maa, introdotto da osia! :o;ce nel1488. Il suo roblema era, in realt7, l)immagine mentale c!e un indi"iduo !a della roria mente. L)immagine de"e infatti contenere un)immagine dell)immagine, la6uale de"e contenere un)immagine dell)immagine dell)immagine, e cosQ "ia.

:o;ce tradusse il roblema nella metafora della maa, c!e fu immediatamenteinterretata come una dimostrazione er assurdo dell)imossibilit7 di costruire unamaa erfetta. d esemio, da lfred ?orz;bs>i180 $148B18(0%, c!e coni anc!e ilnoto aforisma La maa non 5 il territorio, e non raresenta tutto il territorioH.

/al unto di "ista matematico, in realt7, una maa c!e raresenti tutto il

territorio non 5 affatto una contraddizione, bensQ una contra(ione. PiK recisamente,definisce una funzione f $su uno sazio metrico comleto% tale c!e

0 xc 0 f x f −⋅≤− %$%$

er 6ualc!e costante c maggiore di zero e minore di 1. 'el 1822 Stefan 9anac!181 $1482B18&(% !a dimostrato c!e ogni contrazione !a un

unico unto fisso, c!e "iene lasciato in"ariato. 'el caso della maa erfetta, 6uestosignifica c!e ci de")essere un unto del territorio c!e coincide con la sua immagine

sulla maa. Sar7 dun6ue anc!e "ero c!e la maa non 5 il territorio in generale, maesiste certamente un unto articolare in cui essa coincide con il territorio.

180. ?orz;bs>i, General semantics, ps0chiatr0, ps0chotherap0 and pre%ention, merican ournal of Ps;c!iatr;, 84$18&1% 20*B21&. $ !.d.A.%181S. 9anac!, 'ur les operations dans les ensembles abstraits et leurs applications aux e;uations integrales,3undamenta -at!ematicae, * $1822% B**. $ !.d.A.%

14(



$ussell

bbiamo gi7 arlato anc!e del aradosso c!e 9ertrand :ussell $142B180%comunic a Gottlob 3rege $14&4B182(% nel 1802182, e c!e min la teoria degli insiemi

intuiti"a c!e nelle loro intenzioni a"rebbe do"uto ser"ire da fondamento er l)interamatematica.

Il ragionamento di :ussell di"ide gli insiemi in due classi, a seconda c!e essiaartengano o no a se stessi, e considera l)insieme $ di tutti gli insiemi c!e nonaartengono a se stessi. Se $ aartenesse a se stesso, do"rebbe essere uno degliinsiemi c!e non aartengono a se stessi. E se esso fosse un insieme c!e nonaartiene a se stesso, do"rebbe aartenere a $, e dun6ue a se stesso.

In simboli, $ 5 definito dalla roriet7 seguente

x x $ x ∉⇔∈

llora

$ $ $ $ ∉⇔∈

Il aradosso di :ussell, er la sua semlicit7 e er l)oera di incessante roagandafattane dal suo stesso autore, di"enne il simbolo della crisi dei fondamenti dellamatematica di inizio secolo. In articolare, stimol la formulazione del sistemaassiomatico er la teoria degli insiemi ancora oggi in "oga.

'egli anni Trenta lonzo +!urc! $180*B188(% tent un aroccio alternati"o aifondamenti della matematica, c!iamato Lambda +alcolo, e basato 6uesta "olta nonsul concetto di insieme, ma su 6uello di funzione. I concetti basilari della teoria di+!urc! erano analog!i a 6uelli della teoria di +antor e 3rege, secondo il seguentesc!ema

[ una funzione corrisonde a un insiemeW [ un argomento di una funzione corrisonde a un elemento di un insiemeW [ l)alicazione di una funzione a un argomento corrisonde all)aartenenza di

un elemento a un insiemeW

[ la definizione di una funzione mediante una descrizione dei "alori corrisondealla definizione di un insieme mediante una descrizione degli elementi, cio5mediante una roriet7.

Se ci fosse un oeratore n corrisondente alla negazione, si otrebbe 6uindirirodurre l)argomento di :ussell nel modo seguente. /efiniamo r come la funzione

r $ x% n$ x$ x%%.

llora

1829. :ussell, Letter to Frege, in From Frege to Gdel , a cura di . an AeiZenoort, Aar"ard ni"ersit; Press, 18#, .12&B12(. $ !.d.A.%

14#



9enc!J la roosta di Peano tro"asse i fa"ori di molti, essa era in realt7 affrettata.Il aradosso di :ic!ard, infatti, ertine ad mat!ematicaH eccomeF Il rimo adaccorgersene fu G<del. 'ell)introduzione al suo famoso articolo del 18*1, egli noteslicitamente c!e l)analogia dei suoi argomenti con 6uelli di :ic!ard $e delmentitore% salta"a agli occ!iH.

L)uso iK eslicito e con"incente del aradosso di :ic!ard fu fatto nel 18*# dalan Turing18# $1812B18(&%. In termini moderni, egli consider 6uesta "olta non iKle ossibili definizioni finite nel linguaggio naturale, ma i ossibili rogrammi $ad unsolo argomento numerico% di un linguaggio di rogrammazione uni"ersale fissato. Lienumer mediante i numeri interi n. Indic con pn l)nBesimo rogramma. E definQ il rogramma p c!e sull)argomento n calcola il "alore del rogramma pn sullo stessoargomento, e oi restituisce un outut di"erso da 6uel "alore.

=uesta "olta il rogramma p 5 certamente uno dei rogrammi pn, erc!J illinguaggio di rogrammazione 5 uni"ersale. E l)argomento di :ic!ard di"enta la

dimostrazione c!e p non u a"ere un "alore er l)argomento n. In altre arole, erdifendersi dal aradosso di :ic!ard la rogrammazione de"e abbandonare le funzionisemre definite, di uso corrente nella matematica, e introdurre fun(ioni par(iali, c!e ossono anc!e essere indefinite sui loro argomenti.

1och

Le definizioni di dimensione e di cur"a date da -enger e r;so!n, ursoddisfacenti sotto molti asetti, non escludono comun6ue cur"e aradossali in unsenso iK debole di 6uello di Peano, come mostr nel 180# Aelge "on ?oc!18 $140B182&%.

9asta considerare un triangolo e6uilatero, e di"idere ciascun lato in tre arti uguali.Poi si considera il terzo centrale di ciascuno come la base di un nuo"o triangoloe6uilatero e si riete il rocesso all)infinito $figura #*%. Il risultato finale 5 una figuraa forma di fiocco di ne"e, c!e !a un)area finita ma un bordo infinito. Infatti, a ogni asso la lung!ezza del bordo si moltilica er &V*.

Il aradosso, 6uesta "olta, sta nel fatto c!e 5 imlicito nella nozione di cur"ac!iusa c!e essa debba a"ere una lung!ezza finita. PiK recisamente, se si attribuiscedimensione 1 ad un insieme di unti limitato 6uando esso !a una lung!ezza finita nonnulla, e dimensione 2 6uando esso !a area finita non nulla, la cur"a di ?oc! sembradefinire un insieme con dimensione maggiore di 1 ma minore di 2. Il c!e sembracontraddire la nozione stessa di dimensione.

18#. Turing, -n computable numbers with an application to the )ntscheidungs problem , Proceedings of t!e London-at!ematical Societ;, &2 $18*#% 2*0B2#(. $ !.d.A.%18A. "on ?oc!, =ne m#thode g#om#tri;ue #l#mentaire pour l#tude de certaines ;uestions de la th#orie des courbes

planes, cta -at!ematica, *0 $180#% 1&(B1#. $ !.d.A.%

144



3igura #*+ur"a di ?oc!.

causa della simmetrica rietiti"it7 del rocedimento c!e lo definisce, il bordo

della figura di ?oc! !a la roriet7 di essere autosimile. Se si trasformano due6ualun6ue dei segmenti delle "arie arossimazioni, er esemio un lato deltriangolo di artenza e un lato dei triangolini ottenuti al rimo asso, si ottienesemre la stessa cur"a al limite, soltanto in scala di"ersa. In articolare, 5 infinita nonsoltanto la cur"a stessa, ma anc!e ogni sua orzione fra due suoi unti 6ualun6ue.

Poic!J cur"e come la recedente non si ossono misurare nel modo solito, a"endoaunto lung!ezza infinita, nel 1814 3eliC Aaussdorff 184 $14#4B18&2% roose dimisurarne almeno il grado di autosomiglianza, estendendo la nozione di dimensionenel modo seguente.

n segmento 5 una figura autosimile unidimensionale, c!e si u ottenere onendoinsieme due arti di grandezza un mezzo. nalogamente, un 6uadrato 5 una figuraautosimile bidimensionale, c!e si u ottenere onendo insieme 6uattro arti digrandezza un mezzo. E un cubo 5 una figura autosimile tridimensionale, c!e si uottenere onendo insieme otto arti di grandezza un mezzo $figura #&%.

3igura #&Il segmento, il 6uadrato e il cubo come figure autosimili.

1843. Aaussdorff, 6imension und auseres 7as, -at!ematisc!en nnalen, 8 $1814% 1(B18. $ !.d.A.%

148



In generale, si u allora dire c!e una figura autosimile di dimensione d 5 ci c!esi u ottenere onendo insieme nd arti di grandezza 1Vn. La cur"a di ?oc! si ottiene onendo insieme & arti di grandezza 1V*, oic!J si di"ide un segmento in * arti e sisostituisce 6uella centrale con due uguali. =uesto significa c!e la sua dimensione d 5tale c!e & * d, cio5

d log & V log * ≈ 1,2#

In modo analogo al aradosso itagorico dell)irrazionalit7 di k2, c!e "enne risoltointroducendo un nuo"o tio di numero, cio5 aunto gli irrazionali, il aradosso di?oc! "enne risolto introducendo un nuo"o tio di cur"e, dette frattali. Si trattaaunto delle cur"e la cui dimensione di Aaussdorff 5 maggiore di 1, e ce ne sono a bizzeffe. d esemio, er ogni reale d tale c!e 1 d 2, c)5 una cur"a frattale condimensione di Aaussdorff uguale a d .

Per inciso, in fisica esistono almeno due analog!i dell)aarente aradossomatematico di una dimensione frazionaria. Precisamente, la carica frazionaria dei;uark e lo spin frazionario dei fermioni.

&err0

'el 1804 9ertrand :ussell188 ubblic il seguente aradosso, c!e gli era statoriferito dal bibliotecario G.G. 9err;. Se definiamo un numero come il iK iccolointero non definibile in meno di trenta sillabeH, lo abbiamo aunto aena definitoin meno di trenta sillabe.

:ussell rimosse il aradosso con facilit7, o faciloneria. La definizione recedentecoin"olge infatti la totalit7 delle definizioni, c!e contiene in articolare 6uella aenadata. In termini tecnici, la definizione 5 imredicati"a. Se si decide di fare a meno didefinizioni impredicati%e, o di considerarle insensate, il aradosso s"anisce.

Sfortunatamente, con esso s"anisce er anc!e una buona arte della matematica.d esemio, non sarebbe iK ossibile definire l)estremo sueriore di un insieme dinumeri come il iK iccolo dei maggiorantiH, erc!J uno dei maggioranti 5 aunto

l)estremo sueriore. +on altrettanta faciloneria, i logici si accontentarono di notarec!e anc!e il aradosso di 9err;, come gi7 6uello di :ic!ard, non ertine admat!ematicaH. Essi se ne disinteressarono dun6ue fino al 18&, 6uando Gregor;+!aitin200 ne recuer le idee in termini uramente formali.

+!aitin artQ dalla seguente riformulazione del aradosso. Se definiamo un numerocome il iK iccolo intero non definibile in meno di n caratteriH, abbiamo dato unadefinizione c!e usa chil "alore assoluto di n caratteri, , cio5 c _ `n`, do"e c 5 unacostante $iK recisamente (8, contando anc!e gli sazi% e "alore assoluto di n 5 la

1889. :ussell, 7athematical logic as based on the theor0 of t0pes, merican ournal of -at!ematics, *0 $1804% 222B2#2. $ !.d.A.%[email protected]. +!aitin, Information3theoretic limitations of formal s0stems, ournal of t!e ssociation for +omuting-ac!iner;, 21 $18&% &0*B&2&. $ !.d.A.%

180



lung!ezza della raresentazione decimale di n. La definizione 5 aradossale er ognin tale c!e ch`n` p n, cio5 6uasi semre.

+!aitin roseguQ definendo la complessit di un numero come la osizione del rimo rogramma c!e ne stama la raresentazione decimale, in un ordinamento ditutti i rogrammi scritti in un linguaggio di rogrammazione uni"ersale201, intendendo

sia il linguaggio c!e l)ordine arbitrari ma fissati. n numero la cui comlessit7 nonsia minore del numero stesso, si c!iama casuale.Il ragionamento del aradosso di 9err; di"enta ora la dimostrazione del teorema

c!e ci sono infiniti numeri casuali. /ato un numero n, si considerino infatti i numeristamati dai rimi nh1 rogrammi, cio5 6uelli nelle osizioni da zero a n comrese.Se x 5 di"erso da tali numeri, la sua comlessit7 de"e essere almeno nh1. Se inoltre x5 il minimo di tale numeri, esso 5 minore o uguale di nh1, erc!J abbiamoconsiderato nh1 rogrammi, c!e nel caso eggiore stamano esattamente tutti inumeri da zero fino ad n. llora tale x 5 minore o uguale di nh1, ma la sua

comlessit7 5 maggiore o uguale di nh1. /un6ue, x 5 casuale. Poic!J abbiamodimostrato c!e c)5 un numero casuale di comlessit7 almeno nh1, er 6ualun6ue n, cide"ono essere infiniti numeri casuali.

'kolem

'el 182* T!oralf S>olem202 $144B18#*% ro" c!e ogni teoria matematica usualec!e sia consistente ammette un modello numerabile, cio5 con tanti elementi 6uanti

sono i numeri interi.Il risultato segue sostanzialmente da due osser"azioni. /a un lato, ci di cui una

teoria u arlare de"e essere esresso nel suo linguaggio. /all)altro lato, i linguaggiusuali, basati cio5 su un numero finito di simboli, disongono soltanto di una 6uantit7numerabile di nomi. Il risultato "ale, in articolare, anc!e er la teoria degli insiemi.Se essa 5 consistente, esiste dun6ue un suo modello numerabile. -a 6uestaconclusione, come not eslicitamente lo stesso S>olem, 5 aradossale. La teoriadimostra, infatti, l)esistenza di insiemi non numerabili, c!e do"rebbero far arte delmodello numerabile.

La siegazione formale del aradosso non 5 difficile. /ire c!e un insieme 5 nonnumerabile, significa dire c!e non esiste un modo er metterlo in corrisondenza biuni"oca coi numeri interi. E dire c!e un insieme 5 non numerabile in un modello,significa dire c!e non esiste nel modello un modo er metterlo in corrisondenza biuni"oca coi numeri interi del modello.

dun6ue ossibile c!e un insieme sia, allo stesso temo, numerabile in assoluto, erc!J contenuto in un modello numerabile, ma non numerabile relati"amente almodello stesso. In altre arole, c!e esistano corrisondenze biuni"oc!e coi numeri

201L)ordine dei rogrammi u essere stabilito in modo da riflettere una 6ualun6ue misura di comlessit7, ad esemio lalung!ezza. La terminologia astrae dal caso secifico, e definisce la comlessit7 in base all)ordine. $ !.d.A.%202 '.T. S>olem, )inige &emerkungen (ur axiomarischen &egr<ndung der 7engenlehre, -atemati>er>ongressen iAelsingfors den &B uli 1822, 182*, . 21B2*2. $ !.d.A.%

181



interi, ma c!e nessuna di 6ueste corrisondenze stia nel modello. Il aradossoscomare, dun6ue, e lascia il osto a una sottigliezza.

Le conseguenze filosofic!e della sottigliezza sono er inattese. nzitutto, la teoriadegli insiemi di +antor, c!e a rima "ista sembra"a introdurre nella matematica unametafisica cornucoia di infiniti, in realt7 non ric!iede altro c!e una sola nozione di

infinito $numerabile%.Inoltre, i risultati di esistenza di infiniti semre maggiori, sono in realt7 risultati diinesistenza di corrisondenze biuni"oc!e. Essi mostrano, cio5, non tanto la ricc!ezzadell)uni"erso matematico, 6uanto iuttosto l)intrinseca limitatezza della nostra ossibilit7 di conoscerlo.

&anach e Tarski

no dei rincQi iK discussi della formalizzazione della teoria degli insiemi 5 ilcosiddetto assioma della scelta. /ata una collezione arbitraria di insiemi, esso ermette di scegliere in un sol colo un elemento da ciascun insieme non "uoto dellacollezione.

L)assioma 5 risultato essere e6ui"alente a un numero enorme di altre roosizioni,tra le 6uali

a5il teorema di @ermelo in teoria degli insiemi $ogni insieme u essere ordinatoin modo tale c!e ogni sottoinsieme dell)ordinamento abbia un rimoelemento%W

b5il lemma di @orn in algebra $ogni insieme arzialmente ordinato in cui ognicatena 5 limitata, !a un elemento massimale%W

c5il teorema di T;c!onoff in toologia $ogni rodotto di sazi comatti 5comatto%.

Sfortunatamente, dall)assioma di scelta non deri"ano soltanto risultati ositi"i. desemio, esso ermise a Giusee itali $14(B18*2% di dimostrare, nel 180(,l)esistenza di suerfici e solidi non misurabili c!e non !anno, cio5, un)area o un"olume ben definito. Si scorQ oi c!e con 6uesti insiemi non misurabili si ossonofare cose c!e non 5 ossibile fare con 6uelli misurabili. l unto c!e, a causadell)abitudine a trattare con insiemi misurabili, gli insiemi non misurabili ossonoaarire aradossali.

d esemio, nel 181& Aaussdorff 20* dimostr c!e, data una sfera, 5 ossibilesuddi"idere la sua suerficie in un numero finito di ezzi c!e ossono esserericomosti in modo tale da costituire due sfere, ciascuna con la stessa suerficie di6uella iniziale. E nel 182& Stefan 9anac! e lfred Tars>i20& $1802B184*%dimostrarono un risultato analogo er i "olumi.

20*3. Aaussdorff, Grund(<ge der 7engenlehre, 181&. $ !.d.A.%20&S. 9anac! e . Tars>i, 'ur la d#composition des ensembles de points en parties respecti%ement congruentes,3undamenta -at!ematicae, # $182&% 2&&B2. $ !.d.A.%

182



'aturalmente, il taglio della sfera non si u fare nel modo solito. I rocedimentidi Aaussdorff e di 9anac! e Tars>i usano aunto l)assioma della scelta er isolare unti in ordine sarso, senza c!e 6uesti debbano $o ossano% essere connessi fra loro.In termini iK recisi, i ezzi non sono misurabili.

-a anc!e cosQ secificato, il risultato rimane oco intuiti"o, tanto c!e esso "iene

sesso descritto come una "ersione matematica dell)e"angelico miracolo dellamoltilicazione dei ani e dei esci. nc!e se, in realt7, non 5 molto iK sorrendentedel fatto c!e un insieme infinito si ossa di"idere in due insiemi a"enti lo stessonumero di elementi di 6uello di artenza. O i termini di una serie non assolutamentecon"ergente si ossano ridisorre in modo da ottenere come somma 6ualun6ue "alorearbitrario.

'on molto iK sorrendente, abbiamo detto, ma un o) di iK sQ. 'egli esemi recedenti, infatti, gli elementi dell)insieme o i termini della serie "engono scelti erisistemati. 'ei aradossi di Aaussdorff e di 9anac! e Tars>i, in"ece, i unti della

suerficie o del "olume rimangono nella stessa osizione in cui erano. In altre arole,i "ari ezzi "engono usati nell)identica maniera in cui sono stati tagliati.Per e"itare le siace"oli conseguenze, iK o meno aradossali, dell)assioma di

scelta in anni recenti una arte degli insiemisti !a concentrato l)attenzione su assiomi

piergioorgio odifreddi - cera una volta un paradosso

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