physics formulary - wevers.pdf

7/28/2019 Physics Formulary - Wevers.pdf

1/107

P h y s i c s F o r m u l a r y

B y i r . J . C . A . W e v e r s


2/107

c

1 9 9 5 , 1 9 9 7 J . C . A . W e v e r s V e r s i o n : S e p t e m b e r 3 , 1 9 9 7

D e a r r e a d e r ,

T h i s d o c u m e n t c o n t a i n s a 1 0 7 p a g e L

a

T

E

X l e w h i c h c o n t a i n s a l o t e q u a t i o n s i n p h y s i c s . I t i s w r i t t e n

a t a d v a n c e d u n d e r g r a d u a t e / p o s t g r a d u a t e l e v e l . I t i s i n t e n d e d t o b e a s h o r t r e f e r e n c e f o r a n y o n e w h o

w o r k s w i t h p h y s i c s a n d o f t e n n e e d s t o l o o k u p e q u a t i o n s .

T h i s , a n d a D u t c h v e r s i o n o f t h i s l e , c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e a u t h o r , J o h a n W e v e r s

( j o h a n w @ v u l c a n . x s 4 a l l . n l )

I t c a n a l s o b e o b t a i n e d o n t h e W W W . S e e h t t p : / / w w w . x s 4 a l l . n l / ~ j o h a n w / i n d e x . h t m l , w h e r e a l s o

a P o s t s c r i p t v e r s i o n i s a v a i l a b l e .

I f y o u n d a n y e r r o r s o r h a v e a n y c o m m e n t s , p l e a s e l e t m e k n o w . I a m a l w a y s o p e n f o r s u g g e s t i o n s

a n d p o s s i b l e c o r r e c t i o n s t o t h e p h y s i c s f o r m u l a r y .

T h i s d o c u m e n t i s C o p y r i g h t 1 9 9 5 , 1 9 9 7 b y J . C . A . W e v e r s . A l l r i g h t s a r e r e s e r v e d . P e r m i s s i o n t o

u s e , c o p y a n d d i s t r i b u t e t h i s u n m o d i e d d o c u m e n t b y a n y m e a n s a n d f o r a n y p u r p o s e e x c e p t p r o t

p u r p o s e s i s h e r e b y g r a n t e d . R e p r o d u c i n g t h i s d o c u m e n t b y a n y m e a n s , i n c l u d e d , b u t n o t l i m i t e d t o ,

p r i n t i n g , c o p y i n g e x i s t i n g p r i n t s , p u b l i s h i n g b y e l e c t r o n i c o r o t h e r m e a n s , i m p l i e s f u l l a g r e e m e n t t o

t h e a b o v e n o n - p r o t - u s e c l a u s e , u n l e s s u p o n e x p l i c i t p r i o r w r i t t e n p e r m i s s i o n o f t h e a u t h o r .

T h i s d o c u m e n t i s p r o v i d e d b y t h e a u t h o r \ a s i s " , w i t h a l l i t s f a u l t s . A n y e x p r e s s o r i m p l i e d w a r r a n t i e s ,

i n c l u d i n g , b u t n o t l i m i t e d t o , a n y i m p l i e d w a r r a n t i e s o f m e r c h a n t a b i l i t y , a c c u r a c y , o r t n e s s f o r a n y

p a r t i c u l a r p u r p o s e , a r e d i s c l a i m e d . I f y o u u s e t h e i n f o r m a t i o n i n t h i s d o c u m e n t , i n a n y w a y , y o u d o

s o a t y o u r o w n r i s k .

T h e P h y s i c s F o r m u l a r y i s m a d e w i t h e m T

E

X ( T

E

X 3 8 6 ) , v e r s i o n 3 . 1 4 1 3 c - b e t a - 1 2 ] a n d L

a

T

E

X v e r s i o n

2 . 0 9 . I t c a n b e p o s s i b l e t h a t y o u r L

a

T

E

X v e r s i o n h a s p r o b l e m s c o m p i l i n g t h e l e . T h e m o s t p r o b a b l e

s o u r c e o f p r o b l e m s w o u l d b e t h e u s e o f l a r g e b e z i e r c u r v e s a n d / o r e m T

E

X s p e c i a l s i n p i c t u r e s .

J o h a n W e v e r s


3/107

C o n t e n t s

C o n t e n t s I

P h y s i c a l C o n s t a n t s 1

1 M e c h a n i c s 2

1 . 1 P o i n t - k i n e t i c s i n a x e d c o o r d i n a t e s y s t e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2

1 . 1 . 1 D e n i t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2

1 . 1 . 2 P o l a r c o o r d i n a t e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2

1 . 2 R e l a t i v e m o t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2

1 . 3 P o i n t - d y n a m i c s i n a x e d c o o r d i n a t e s y s t e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2

1 . 3 . 1 F o r c e , ( a n g u l a r ) m o m e n t u m a n d e n e r g y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2

1 . 3 . 2 C o n s e r v a t i v e f o r c e e l d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3

1 . 3 . 3 G r a v i t a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3

1 . 3 . 4 O r b i t a l e q u a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3

1 . 3 . 5 T h e v i r i a l t h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4

1 . 4 P o i n t d y n a m i c s i n a m o v i n g c o o r d i n a t e s y s t e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4

1 . 4 . 1 A p p a r e n t f o r c e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4

1 . 4 . 2 T e n s o r n o t a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

1 . 5 D y n a m i c s o f m a s s p o i n t c o l l e c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

1 . 5 . 1 T h e c e n t r e o f m a s s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

1 . 5 . 2 C o l l i s i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

1 . 6 D y n a m i c s o f r i g i d b o d i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

1 . 6 . 1 M o m e n t o f I n e r t i a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

1 . 6 . 2 P r i n c i p a l a x e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

1 . 6 . 3 T i m e d e p e n d e n c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

1 . 7 V a r i a t i o n a l C a l c u l u s , H a m i l t o n a n d L a g r a n g e m e c h a n i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

1 . 7 . 1 V a r i a t i o n a l C a l c u l u s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

1 . 7 . 2 H a m i l t o n m e c h a n i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

1 . 7 . 3 M o t i o n a r o u n d a n e q u i l i b r i u m , l i n e a r i z a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

1 . 7 . 4 P h a s e s p a c e , L i o u v i l l e ' s e q u a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8

1 . 7 . 5 G e n e r a t i n g f u n c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8

2 E l e c t r i c i t y & M a g n e t i s m 9

2 . 1 T h e M a x w e l l e q u a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9

2 . 2 F o r c e a n d p o t e n t i a l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9

2 . 3 G a u g e t r a n s f o r m a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0

2 . 4 E n e r g y o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0

2 . 5 E l e c t r o m a g n e t i c w a v e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0

2 . 5 . 1 E l e c t r o m a g n e t i c w a v e s i n v a c u u m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0

2 . 5 . 2 E l e c t r o m a g n e t i c w a v e s i n m a t t e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1

2 . 6 M u l t i p o l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1

2 . 7 E l e c t r i c c u r r e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1

2 . 8 D e p o l a r i z i n g e l d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2

2 . 9 M i x t u r e s o f m a t e r i a l s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2

I


4/107

I I P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s

3 R e l a t i v i t y 1 3

3 . 1 S p e c i a l r e l a t i v i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3

3 . 1 . 1 T h e L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3

3 . 1 . 2 R e d a n d b l u e s h i f t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4

3 . 1 . 3 T h e s t r e s s - e n e r g y t e n s o r a n d t h e e l d t e n s o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4

3 . 2 G e n e r a l r e l a t i v i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4

3 . 2 . 1 R i e m a n n i a n g e o m e t r y , t h e E i n s t e i n t e n s o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4

3 . 2 . 2 T h e l i n e e l e m e n t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 5

3 . 2 . 3 P l a n e t a r y o r b i t s a n d t h e p e r i h e l i u m s h i f t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 6

3 . 2 . 4 T h e t r a j e c t o r y o f a p h o t o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7

3 . 2 . 5 G r a v i t a t i o n a l w a v e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7

3 . 2 . 6 C o s m o l o g y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7

4 O s c i l l a t i o n s 1 8

4 . 1 H a r m o n i c o s c i l l a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8

4 . 2 M e c h a n i c o s c i l l a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8

4 . 3 E l e c t r i c o s c i l l a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9

4 . 4 W a v e s i n l o n g c o n d u c t o r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9

4 . 5 C o u p l e d c o n d u c t o r s a n d t r a n s f o r m e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9

4 . 6 P e n d u l u m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9

5 W a v e s 2 0

5 . 1 T h e w a v e e q u a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 0

5 . 2 S o l u t i o n s o f t h e w a v e e q u a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 0

5 . 2 . 1 P l a n e w a v e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 0

5 . 2 . 2 S p h e r i c a l w a v e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1

5 . 2 . 3 C y l i n d r i c a l w a v e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1

5 . 2 . 4 T h e g e n e r a l s o l u t i o n i n o n e d i m e n s i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1

5 . 3 T h e s t a t i o n a r y p h a s e m e t h o d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1

5 . 4 G r e e n f u n c t i o n s f o r t h e i n i t i a l - v a l u e p r o b l e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 2

5 . 5 W a v e g u i d e s a n d r e s o n a t i n g c a v i t i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 2

5 . 6 N o n - l i n e a r w a v e e q u a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 3

6 O p t i c s 2 4

6 . 1 T h e b e n d i n g o f l i g h t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4

6 . 2 P a r a x i a l g e o m e t r i c a l o p t i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4

6 . 2 . 1 L e n s e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4

6 . 2 . 2 M i r r o r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5

6 . 2 . 3 P r i n c i p a l p l a n e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5

6 . 2 . 4 M a g n i c a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5

6 . 3 M a t r i x m e t h o d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5

6 . 4 A b e r r a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 6

6 . 5 R e e c t i o n a n d t r a n s m i s s i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 6

6 . 6 P o l a r i z a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 7

6 . 7 P r i s m s a n d d i s p e r s i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 7

6 . 8 D i r a c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 8

6 . 9 S p e c i a l o p t i c a l e e c t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 8

6 . 1 0 T h e F a b r y - P e r o t i n t e r f e r o m e t e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 9

7 S t a t i s t i c a l p h y s i c s 3 0

7 . 1 D e g r e e s o f f r e e d o m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 0

7 . 2 T h e e n e r g y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 0

7 . 3 P r e s s u r e o n a w a l l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1

7 . 4 T h e e q u a t i o n o f s t a t e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1

7 . 5 C o l l i s i o n s b e t w e e n m o l e c u l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2


5/107

P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s I I I

7 . 6 I n t e r a c t i o n b e t w e e n m o l e c u l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2

8 T h e r m o d y n a m i c s 3 3

8 . 1 M a t h e m a t i c a l i n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3

8 . 2 D e n i t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3

8 . 3 T h e r m a l h e a t c a p a c i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3

8 . 4 T h e l a w s o f t h e r m o d y n a m i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 4

8 . 5 S t a t e f u n c t i o n s a n d M a x w e l l r e l a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 4

8 . 6 P r o c e s s e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5

8 . 7 M a x i m a l w o r k : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 6

8 . 8 P h a s e t r a n s i t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 6

8 . 9 T h e r m o d y n a m i c p o t e n t i a l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 7

8 . 1 0 I d e a l m i x t u r e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 7

8 . 1 1 C o n d i t i o n s f o r e q u i l i b r i u m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 7

8 . 1 2 S t a t i s t i c a l b a s i s f o r t h e r m o d y n a m i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 8

8 . 1 3 A p p l i c a t i o n t o o t h e r s y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 8

9 T r a n s p o r t p h e n o m e n a 3 9

9 . 1 M a t h e m a t i c a l i n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 9

9 . 2 C o n s e r v a t i o n l a w s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 9

9 . 3 B e r n o u l l i ' s e q u a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1

9 . 4 C h a r a c t e r i s i n g o f o w s b y d i m e n s i o n l e s s n u m b e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1

9 . 5 T u b e o w s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2

9 . 6 P o t e n t i a l t h e o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2

9 . 7 B o u n d a r y l a y e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3

9 . 7 . 1 F l o w b o u n d a r y l a y e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3

9 . 7 . 2 T e m p e r a t u r e b o u n d a r y l a y e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3

9 . 8 H e a t c o n d u c t a n c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 4

9 . 9 T u r b u l e n c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 4

9 . 1 0 S e l f o r g a n i z a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 4

1 0 Q u a n t u m p h y s i c s 4 5

1 0 . 1 I n t r o d u c t i o n t o q u a n t u m p h y s i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5

1 0 . 1 . 1 B l a c k b o d y r a d i a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5

1 0 . 1 . 2 T h e C o m p t o n e e c t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5

1 0 . 1 . 3 E l e c t r o n d i r a c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5

1 0 . 2 W a v e f u n c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5

1 0 . 3 O p e r a t o r s i n q u a n t u m p h y s i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5

1 0 . 4 T h e u n c e r t a i n t y p r i n c i p l e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 6

1 0 . 5 T h e S c h r o d i n g e r e q u a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 6

1 0 . 6 P a r i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 6

1 0 . 7 T h e t u n n e l e e c t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 7

1 0 . 8 T h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 7

1 0 . 9 A n g u l a r m o m e n t u m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 7

1 0 . 1 0 S p i n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 8

1 0 . 1 1 T h e D i r a c f o r m a l i s m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 8

1 0 . 1 2 A t o m i c p h y s i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9

1 0 . 1 2 . 1 S o l u t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9

1 0 . 1 2 . 2 E i g e n v a l u e e q u a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9

1 0 . 1 2 . 3 S p i n - o r b i t i n t e r a c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9

1 0 . 1 2 . 4 S e l e c t i o n r u l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0

1 0 . 1 3 I n t e r a c t i o n w i t h e l e c t r o m a g n e t i c e l d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0

1 0 . 1 4 P e r t u r b a t i o n t h e o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0

1 0 . 1 4 . 1 T i m e - i n d e p e n d e n t p e r t u r b a t i o n t h e o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0

1 0 . 1 4 . 2 T i m e - d e p e n d e n t p e r t u r b a t i o n t h e o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1


6/107

I V P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s

1 0 . 1 5 N - p a r t i c l e s y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1

1 0 . 1 5 . 1 G e n e r a l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1

1 0 . 1 5 . 2 M o l e c u l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2

1 0 . 1 6 Q u a n t u m s t a t i s t i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2

1 1 P l a s m a p h y s i c s 5 4

1 1 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 4

1 1 . 2 T r a n s p o r t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 4

1 1 . 3 E l a s t i c c o l l i s i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 5

1 1 . 3 . 1 G e n e r a l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 5

1 1 . 3 . 2 T h e C o u l o m b i n t e r a c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6

1 1 . 3 . 3 T h e i n d u c e d d i p o l e i n t e r a c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6

1 1 . 3 . 4 T h e c e n t r e o f m a s s s y s t e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6

1 1 . 3 . 5 S c a t t e r i n g o f l i g h t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6

1 1 . 4 T h e r m o d y n a m i c e q u i l i b r i u m a n d r e v e r s i b i l i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 7

1 1 . 5 I n e l a s t i c c o l l i s i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 7

1 1 . 5 . 1 T y p e s o f c o l l i s i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 7

1 1 . 5 . 2 C r o s s s e c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 8

1 1 . 6 R a d i a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 8

1 1 . 7 T h e B o l t z m a n n t r a n s p o r t e q u a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 9

1 1 . 8 C o l l i s i o n - r a d i a t i v e m o d e l s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 0

1 1 . 9 W a v e s i n p l a s m a ' s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 0

1 2 S o l i d s t a t e p h y s i c s 6 2

1 2 . 1 C r y s t a l s t r u c t u r e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 2

1 2 . 2 C r y s t a l b i n d i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 2

1 2 . 3 C r y s t a l v i b r a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3

1 2 . 3 . 1 A l a t t i c e w i t h o n e t y p e o f a t o m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3

1 2 . 3 . 2 A l a t t i c e w i t h t w o t y p e s o f a t o m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3

1 2 . 3 . 3 P h o n o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3

1 2 . 3 . 4 T h e r m a l h e a t c a p a c i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 4

1 2 . 4 M a g n e t i c e l d i n t h e s o l i d s t a t e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5

1 2 . 4 . 1 D i e l e c t r i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5

1 2 . 4 . 2 P a r a m a g n e t i s m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5

1 2 . 4 . 3 F e r r o m a g n e t i s m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5

1 2 . 5 F r e e e l e c t r o n F e r m i g a s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 6

1 2 . 5 . 1 T h e r m a l h e a t c a p a c i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 6

1 2 . 5 . 2 E l e c t r i c c o n d u c t a n c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 6

1 2 . 5 . 3 T h e H a l l - e e c t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 7

1 2 . 5 . 4 T h e r m a l h e a t c o n d u c t i v i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 7

1 2 . 6 E n e r g y b a n d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 7

1 2 . 7 S e m i c o n d u c t o r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 7

1 2 . 8 S u p e r c o n d u c t i v i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 8

1 2 . 8 . 1 D e s c r i p t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 8

1 2 . 8 . 2 T h e J o s e p h s o n e e c t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 9

1 2 . 8 . 3 F l u x q u a n t i s a t i o n i n a s u p e r c o n d u c t i n g r i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 9

1 2 . 8 . 4 M a c r o s c o p i c q u a n t u m i n t e r f e r e n c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 0

1 2 . 8 . 5 T h e L o n d o n e q u a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 0

1 2 . 8 . 6 T h e B C S m o d e l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 0


7/107

P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s V

1 3 T h e o r y o f g r o u p s 7 1

1 3 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1

1 3 . 1 . 1 D e n i t i o n o f a g r o u p : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1

1 3 . 1 . 2 T h e C a y l e y t a b l e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1

1 3 . 1 . 3 C o n j u g a t e d e l e m e n t s , s u b g r o u p s a n d c l a s s e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1

1 3 . 1 . 4 I s o m o r s m a n d h o m o m o r s m r e p r e s e n t a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2

1 3 . 1 . 5 R e d u c i b l e a n d i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2

1 3 . 2 T h e f u n d a m e n t a l o r t h o g o n a l i t y t h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2

1 3 . 2 . 1 S c h u r ' s l e m m a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2

1 3 . 2 . 2 T h e f u n d a m e n t a l o r t h o g o n a l i t y t h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2

1 3 . 2 . 3 C h a r a c t e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2

1 3 . 3 T h e r e l a t i o n w i t h q u a n t u m m e c h a n i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3

1 3 . 3 . 1 R e p r e s e n t a t i o n s , e n e r g y l e v e l s a n d d e g e n e r a c y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3

1 3 . 3 . 2 B r e a k i n g o f d e g e n e r a c y b y a p e r t u r b a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3

1 3 . 3 . 3 T h e c o n s t r u c t i o n o f a b a s e f u n c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3

1 3 . 3 . 4 T h e d i r e c t p r o d u c t o f r e p r e s e n t a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 4

1 3 . 3 . 5 C l e b s c h - G o r d a n c o e c i e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 4

1 3 . 3 . 6 S y m m e t r i c t r a n s f o r m a t i o n s o f o p e r a t o r s , i r r e d u c i b l e t e n s o r o p e r a t o r s : : : : : : 7 4

1 3 . 3 . 7 T h e W i g n e r - E c k a r t t h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5

1 3 . 4 C o n t i n u o u s g r o u p s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5

1 3 . 4 . 1 T h e 3 - d i m e n s i o n a l t r a n s l a t i o n g r o u p : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5

1 3 . 4 . 2 T h e 3 - d i m e n s i o n a l r o t a t i o n g r o u p : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 6

1 3 . 4 . 3 P r o p e r t i e s o f c o n t i n u o u s g r o u p s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 6

1 3 . 5 T h e g r o u p S O ( 3 ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 7

1 3 . 6 A p p l i c a t i o n s t o q u a n t u m m e c h a n i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 8

1 3 . 6 . 1 V e c t o r m o d e l f o r t h e a d d i t i o n o f a n g u l a r m o m e n t u m : : : : : : : : : : : : : : : 7 8

1 3 . 6 . 2 I r r e d u c i b l e t e n s o r o p e r a t o r s , m a t r i x e l e m e n t s a n d s e l e c t i o n r u l e s : : : : : : : : : 7 8

1 3 . 7 A p p l i c a t i o n s t o p a r t i c l e p h y s i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 9

1 4 N u c l e a r p h y s i c s 8 1

1 4 . 1 N u c l e a r f o r c e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1

1 4 . 2 T h e s h a p e o f t h e n u c l e u s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 2

1 4 . 3 R a d i o a c t i v e d e c a y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 2

1 4 . 4 S c a t t e r i n g a n d n u c l e a r r e a c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 3

1 4 . 4 . 1 K i n e t i c m o d e l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 3

1 4 . 4 . 2 Q u a n t u m m e c h a n i c a l m o d e l f o r n - p s c a t t e r i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 3

1 4 . 4 . 3 C o n s e r v a t i o n o f e n e r g y a n d m o m e n t u m i n n u c l e a r r e a c t i o n s : : : : : : : : : : : 8 4

1 4 . 5 R a d i a t i o n d o s i m e t r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 4

1 5 Q u a n t u m e l d t h e o r y & P a r t i c l e p h y s i c s 8 5

1 5 . 1 C r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 5

1 5 . 2 C l a s s i c a l a n d q u a n t u m e l d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 5

1 5 . 3 T h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 6

1 5 . 4 R e a l s c a l a r e l d i n t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 6

1 5 . 5 C h a r g e d s p i n - 0 p a r t i c l e s , c o n s e r v a t i o n o f c h a r g e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 7

1 5 . 6 F i e l d f u n c t i o n s f o r s p i n -

1

2

p a r t i c l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 7

1 5 . 7 Q u a n t i z a t i o n o f s p i n -

1

2

e l d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 8

1 5 . 8 Q u a n t i z a t i o n o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 9

1 5 . 9 I n t e r a c t i n g e l d s a n d t h e S - m a t r i x : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 9

1 5 . 1 0 D i v e r g e n c e s a n d r e n o r m a l i z a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 0

1 5 . 1 1 C l a s s i c a t i o n o f e l e m e n t a r y p a r t i c l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 0

1 5 . 1 2 P a n d C P - v i o l a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2

1 5 . 1 3 T h e s t a n d a r d m o d e l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 3

1 5 . 1 3 . 1 T h e e l e c t r o w e a k t h e o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 3

1 5 . 1 3 . 2 S p o n t a n e o u s s y m m e t r y b r e a k i n g : t h e H i g g s m e c h a n i s m : : : : : : : : : : : : 9 4


8/107

V I P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s

1 5 . 1 3 . 3 Q u a n t u m c h r o m o d y n a m i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 4

1 5 . 1 4 P a t h i n t e g r a l s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 5

1 5 . 1 5 U n i c a t i o n a n d q u a n t u m g r a v i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 5

1 6 A s t r o p h y s i c s 9 6

1 6 . 1 D e t e r m i n a t i o n o f d i s t a n c e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 6

1 6 . 2 B r i g h t n e s s a n d m a g n i t u d e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 6

1 6 . 3 R a d i a t i o n a n d s t e l l a r a t m o s p h e r e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 7

1 6 . 4 C o m p o s i t i o n a n d e v o l u t i o n o f s t a r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 7

1 6 . 5 E n e r g y p r o d u c t i o n i n s t a r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 8

T h e r - o p e r a t o r 9 9


9/107

P h y s i c a l C o n s t a n t s

N a m e S y m b o l V a l u e U n i t

N u m b e r 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5

N u m b e r e e 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9

E u l e r ' s c o n s t a n t = l i m

n ! 1

n

P

k = 1

1 = k ; l n ( n )

= 0 5 7 7 2 1 5 6 6 4 9

E l e m e n t a r y c h a r g e e 1 6 0 2 1 7 7 3 3 1 0

1 9

C

G r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t G 6 6 7 2 5 9 1 0

1 1

m

3

k g

1

s

2

F i n e - s t r u c t u r e c o n s t a n t = e

2

= 2 h c "

0

1 = 1 3 7

S p e e d o f l i g h t i n v a c u u m c 2 9 9 7 9 2 4 5 8 1 0

8

m / s ( d e f )

P e r m i t t i v i t y o f t h e v a c u u m "

0

8 8 5 4 1 8 7 1 0

1 2

F / m

P e r m e a b i l i t y o f t h e v a c u u m

0

4 1 0

7

H / m

( 4 "

0

)

1

8 9 8 7 6 1 0

9

N m

2

C

2

P l a n c k ' s c o n s t a n t h 6 6 2 6 0 7 5 5 1 0

3 4

J s

D i r a c ' s c o n s t a n t h = h = 2 1 0 5 4 5 7 2 7 1 0

3 4

J s

B o h r m a g n e t o n

B

= e h = 2 m

e

9 2 7 4 1 1 0

2 4

A m

2

B o h r r a d i u s a

0

0 5 2 9 1 8

A

R y d b e r g ' s c o n s t a n t R y 1 3 . 5 9 5 e V

E l e c t r o n C o m p t o n w a v e l e n g t h

C e

= h = m

e

c 2 2 4 6 3 1 0

1 2

m

P r o t o n C o m p t o n w a v e l e n g t h

C p

= h = m

p

c 1 3 2 1 4 1 0

1 5

m

R e d u c e d m a s s o f t h e H - a t o m

H

9 1 0 4 5 7 5 5 1 0

3 1

k g

S t e f a n - B o l t z m a n n ' s c o n s t a n t 5 6 7 0 3 2 1 0

8

W m

2

K

4

W i e n ' s c o n s t a n t k

W

2 8 9 7 8 1 0

3

m K

M o l a r g a s c o n s t a n t R 8 . 3 1 4 4 1 J / m o l

A v o g a d r o ' s c o n s t a n t N

A

6 0 2 2 1 3 6 7 1 0

2 3

m o l

1

B o l t z m a n n ' s c o n s t a n t k = R = N

A

1 3 8 0 6 5 8 1 0

2 3

J / K

E l e c t r o n m a s s m

e

9 1 0 9 3 8 9 7 1 0

3 1

k g

P r o t o n m a s s m

p

1 6 7 2 6 2 3 1 1 0

2 7

k g

N e u t r o n m a s s m

n

1 6 7 4 9 5 4 1 0

2 7

k g

E l e m e n t a r y m a s s u n i t m

u

=

1

1 2

m (

1 2

6

C ) 1 6 6 0 5 6 5 6 1 0

2 7

k g

N u c l e a r m a g n e t o n

N

5 0 5 0 8 1 0

2 7

J / T

D i a m e t e r o f t h e S u n D

1 3 9 2 1 0

6

m

M a s s o f t h e S u n M

1 9 8 9 1 0

3 0

k g

R o t a t i o n a l p e r i o d o f t h e S u n T

2 5 . 3 8 d a y s

R a d i u s o f E a r t h R

A

6 3 7 8 1 0

6

m

M a s s o f E a r t h M

A

5 9 7 6 1 0

2 4

k g

R o t a t i o n a l p e r i o d o f E a r t h T

A

2 3 . 9 6 h o u r s

E a r t h o r b i t a l p e r i o d T r o p i c a l y e a r 3 6 5 . 2 4 2 1 9 8 7 9 d a y s

A s t r o n o m i c a l u n i t A U 1 4 9 5 9 7 8 7 0 6 6 1 0

1 1

m

L i g h t y e a r l j 9 4 6 0 5 1 0

1 5

m

P a r s e c p c 3 0 8 5 7 1 0

1 6

m

H u b b l e c o n s t a n t H ( 7 5 2 5 ) k m s

1

M p c

1

1


10/107

C h a p t e r 1

M e c h a n i c s

1 . 1 P o i n t - k i n e t i c s i n a x e d c o o r d i n a t e s y s t e m

1 . 1 . 1 D e n i t i o n s

T h e p o s i t i o n ~r , t h e v e l o c i t y ~v a n d t h e a c c e l e r a t i o n ~a a r e d e n e d b y : ~r = ( x y z ) ~v = ( x y z )

~a = ( x y z ) . T h e f o l l o w i n g h o l d s :

s ( t ) = s

0

+

Z

~v ( t ) d t ~r ( t ) = ~r

0

+

Z

~v ( t ) d t ~v ( t ) = ~v

0

+

Z

~a ( t ) d t

W h e n t h e a c c e l e r a t i o n i s c o n s t a n t t h i s g i v e s : v ( t ) = v

0

+ a t a n d s ( t ) = s

0

+ v

0

t +

1

2

a t

2

F o r t h e u n i t v e c t o r s i n a d i r e c t i o n ? t o t h e o r b i t ~e

t

a n d p a r a l l e l t o i t ~e

n

h o l d s :

~e

t

=

~v

~v

=

d ~r

d s

~e

t

=

v

~e

n

~e

n

=

~e

t

~e

t

F o r t h e c u r v a t u r e k a n d t h e r a d i u s o f c u r v a t u r e h o l d s :

~

k =

d ~e

t

d s

=

d

2

~r

d s

2

=

d '

d s

=

1

k

1 . 1 . 2 P o l a r c o o r d i n a t e s

P o l a r c o o r d i n a t e s a r e d e n e d b y : x = r c o s ( ) y = r s i n ( ) . S o , f o r t h e u n i t c o o r d i n a t e v e c t o r s h o l d s :

~e

r

= ~e

~e

= ; ~e

r

T h e v e l o c i t y a n d t h e a c c e l e r a t i o n a r e d e r i v e d f r o m : ~r = r ~e

r

~v = r ~e

r

+ r ~e

~a = ( r ; r

2

) ~e

r

+ ( 2 _r +

r

) ~e

1 . 2 R e l a t i v e m o t i o n

F o r t h e m o t i o n o f a p o i n t D w . r . t . a p o i n t Q h o l d s : ~r

D

= ~r

Q

+

~! ~v

Q

!

2

w i t h

~

Q D = ~r

D

; ~r

Q

a n d ! =

F u r t h e r h o l d s : =

m e a n s t h a t t h e q u a n t i t y i s d e n e d i n a m o v i n g s y s t e m o f c o o r d i n a t e s . I n a

m o v i n g s y s t e m h o l d s :

~v = ~v

Q

+ ~v + ~! ~r a n d ~a = ~a

Q

+ ~a + ~ ~r + 2 ~! ~v ; ~! ( ~! ~r )

w i t h ~! ( ~! ~r ) = !

2

~r

n

1 . 3 P o i n t - d y n a m i c s i n a x e d c o o r d i n a t e s y s t e m

1 . 3 . 1 F o r c e , ( a n g u l a r ) m o m e n t u m a n d e n e r g y

N e w t o n ' s 2 n d l a w c o n n e c t s t h e f o r c e o n a n o b j e c t a n d t h e r e s u l t i n g a c c e l e r a t i o n o f t h e o b j e c t w h e r e

t h e m o m e n t u m i s g i v e n b y ~p = m ~v

~

F ( ~ r ~ v t ) =

d ~p

d t

=

d ( m ~v )

d t

= m

d ~v

d t

+ ~v

d m

d t

m = c o n s t

= m ~a

2


11/107

C h a p t e r 1 : M e c h a n i c s 3

N e w t o n ' s 3 r d l a w i s g i v e n b y :

~

F

a c t i o n

= ;

~

F

r e a c t i o n

F o r t h e p o w e r P h o l d s : P = W =

~

F ~v . F o r t h e t o t a l e n e r g y W , t h e k i n e t i c e n e r g y T a n d t h e

p o t e n t i a l e n e r g y U h o l d s : W = T + U T = ; U w i t h T =

1

2

m v

2

T h e k i c k

~

S i s g i v e n b y :

~

S = ~p =

Z

~

F d t

T h e w o r k A , d e l i v e r e d b y a f o r c e , i s A =

Z

2

1

~

F d ~s =

Z

2

1

F c o s ( ) d s

T h e t o r q u e ~ i s r e l a t e d t o t h e a n g u l a r m o m e n t u m

~

L ~ =

~

L = ~r

~

F a n d

~

L = ~r ~p = m ~v ~r

~

L = m r

2

! . T h e f o l l o w i n g e q u a t i o n i s v a l i d :

= ;

@ U

@

H e n c e , t h e c o n d i t i o n s f o r a m e c h a n i c a l e q u i l i b r i u m a r e :

P

~

F

i

= 0 a n d

P

~

i

= 0

T h e f o r c e o f f r i c t i o n i s u s u a l l y p r o p o r t i o n a l t o t h e f o r c e p e r p e n d i c u l a r t o t h e s u r f a c e , e x c e p t w h e n

t h e m o t i o n s t a r t s , w h e n a t h r e s h o l d h a s t o b e o v e r c o m e : F

f r i c

= f F

n o r m

~e

t

1 . 3 . 2 C o n s e r v a t i v e f o r c e e l d s

A c o n s e r v a t i v e f o r c e c a n b e w r i t t e n a s t h e g r a d i e n t o f a p o t e n t i a l :

~

F

c o n s

= ;

~

r U . F r o m t h i s f o l l o w s

t h a t r

~

F =

~

0 . F o r s u c h a f o r c e e l d a l s o h o l d s :

I

~

F d ~s = 0 ) U = U

0

;

r

1

Z

r

0

~

F d ~s

S o t h e w o r k d e l i v e r e d b y a c o n s e r v a t i v e f o r c e e l d d e p e n d s n o t o n t h e t r a j e c t o r y c o v e r e d b u t o n l y o n

t h e s t a r t i n g a n d e n d i n g p o i n t s o f t h e m o t i o n .

1 . 3 . 3 G r a v i t a t i o n

T h e N e w t o n i a n l a w o f g r a v i t a t i o n i s ( i n G R T o n e a l s o u s e s i n s t e a d o f G )

~

F

g

= ; G

m

1

m

2

r

2

~e

r

T h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l i s t h e n g i v e n b y V = ; G m = r . F r o m G a u s s l a w i t t h e n f o l l o w s : r

2

V =

4 G %

1 . 3 . 4 O r b i t a l e q u a t i o n s

I f V = V ( r ) o n e c a n d e r i v e f r o m t h e e q u a t i o n s o f L a g r a n g e f o r t h e c o n s e r v a t i o n o f a n g u l a r m o m e n -

t u m :

@ L

@

=

@ V

@

= 0 )

d

d t

( m r

2

) = 0 ) L

z

= m r

2

= c o n s t a n t

F o r t h e r a d i a l p o s i t i o n a s a f u n c t i o n o f t i m e c a n b e f o u n d t h a t :

d r

d t

2

=

2 ( W ; V )

m

;

L

2

m

2

r

2

T h e a n g u l a r e q u a t i o n i s t h e n :

;

0

=

r

Z

0

"

m r

2

L

r

2 ( W ; V )

m

;

L

2

m

2

r

2

#

1

d r

r

2

e l d

= a r c c o s

1 +

1

r

;

1

r

0

1

r

0

+ k m = L

2

z

!

I f F = F ( r ) L = c o n s t a n t , i f F i s c o n s e r v a t i v e : W = c o n s t a n t , i f

~

F ? ~v t h e n T = 0 a n d U = 0


12/107

4 P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s

K e p l e r ' s e q u a t i o n s

I n a f o r c e e l d F = k r

2

, t h e o r b i t s a r e c o n i c s e c t i o n s w i t h t h e o r i g i n o f t h e f o r c e i n o n e o f t h e f o c i

( K e p l e r ' s 1 s t l a w ) . T h e e q u a t i o n o f t h e o r b i t i s :

r ( ) =

`

1 + " c o s ( ;

0

)

o r x

2

+ y

2

= ( ` ; " x )

2

w i t h

` =

L

2

G

2

M

t o t

"

2

= 1 +

2 W L

2

G

2

3

M

2

t o t

= 1 ;

`

a

a =

`

1 ; "

2

=

k

2 W

a i s h a l f t h e l e n g t h o f t h e l o n g a x i s o f t h e e l l i p t i c a l o r b i t i n c a s e t h e o r b i t i s c l o s e d . H a l f t h e l e n g t h

o f t h e s h o r t a x i s i s b =

p

a ` " i s t h e e x c e n t r i c i t y o f t h e o r b i t . O r b i t s w i t h a n e q u a l " a r e o f e q u a l

s h a p e . N o w , 5 t y p e s o f o r b i t s a r e p o s s i b l e :

1 k 1 : a h y p e r b o l e , c u r v e d t o w a r d s t h e c e n t r e o f f o r c e .

5 k > 0 a n d " > 1 : a h y p e r b o l e , c u r v e d a w a y f r o m t h e c e n t r e o f f o r c e .

O t h e r c o m b i n a t i o n s a r e n o t p o s s i b l e : t h e t o t a l e n e r g y i n a r e p u l s i v e f o r c e e l d i s a l w a y s p o s i t i v e s o

" > 1

I f t h e s u r f a c e b e t w e e n t h e o r b i t c o v e r e d b e t w e e n t

1

a n d t

2

a n d t h e f o c u s C a r o u n d w h i c h t h e p l a n e t

m o v e s i s A ( t

1

t

2

) , K e p l e r ' s 2 n d l a w i s

A ( t

1

t

2

) =

L

C

2 m

( t

2

; t

1

)

K e p l e r ' s 3 r d l a w i s , w i t h T t h e p e r i o d a n d M

t o t

t h e t o t a l m a s s o f t h e s y s t e m :

T

2

a

3

=

4

2

G M

t o t

1 . 3 . 5 T h e v i r i a l t h e o r e m

T h e v i r i a l t h e o r e m f o r o n e p a r t i c l e i s :

h m ~v ~r i = 0 ) h T i = ;

1

2

D

~

F ~r

E

=

1

2

r

d U

d r

=

1

2

n h U i i f U = ;

k

r

n

T h e v i r i a l t h e o r e m f o r a c o l l e c t i o n o f p a r t i c l e s i s :

h T i = ;

1

2

*

X

p a r t i c l e s

~

F

i

~r

i

+

X

p a i r s

~

F

i j

~r

i j

+

T h e s e p r o p o s i t i o n s c a n a l s o b e w r i t t e n a s : 2 E

k n

+ E

p o t

= 0

1 . 4 P o i n t d y n a m i c s i n a m o v i n g c o o r d i n a t e s y s t e m

1 . 4 . 1 A p p a r e n t f o r c e s

T h e t o t a l f o r c e i n a m o v i n g c o o r d i n a t e s y s t e m c a n b e f o u n d b y s u b t r a c t i n g t h e a p p a r e n t f o r c e s f r o m

t h e f o r c e s w o r k i n g i n t h e r e f e r e n c e f r a m e :

~

F =

~

F ;

~

F

a p p

. T h e d i e r e n t a p p a r e n t f o r c e s a r e g i v e n

b y


13/107


1 . T r a n s f o r m a t i o n o f t h e o r i g i n : F

o r

= ; m ~a

a

2 . R o t a t i o n :

~

F

= ; m ~ ~r

3 . C o r i o l i s f o r c e : F

c o r

= ; 2 m ~! ~v

4 . C e n t r i f u g a l f o r c e :

~

F

c f

= m !

2

~r

n

= ;

~

F

c p

~

F

c p

= ;

m v

2

r

~e

r

1 . 4 . 2 T e n s o r n o t a t i o n

T r a n s f o r m a t i o n o f t h e N e w t o n i a n e q u a t i o n s o f m o t i o n t o x

= x

( x ) g i v e s :

d x

d t

=

@ x

@ x

d x

d t

T h e c h a i n r u l e g i v e s :

d

d t

d x

d t

=

d

2

x

d t

2

=

d

d t

@ x

@ x

d x

d t

=

@ x

@ x

d

2

x

d t

2

+

d x

d t

d

d t

@ x

@ x

s o

d

d t

@ x

@ x

=

@

@ x

@ x

@ x

d x

d t

=

@

2

x

@ x

@ x

d x

d t

T h i s l e a d s t o :

d

2

x

d t

2

=

@ x

@ x

d

2

x

d t

2

+

@

2

x

@ x

@ x

d x

d t

d x

d t

H e n c e t h e N e w t o n i a n e q u a t i o n o f m o t i o n

m

d

2

x

d t

2

= F

w i l l b e t r a n s f o r m e d i n t o :

m

d

2

x

d t

2

+ ;

d x

d t

d x

d t

= F

T h e a p p a r e n t f o r c e s a r e t a k e n f r o m h e o r i g i n t o t h e e e c t s i d e i n t h e w a y ;

d x

d t

d x

d t

1 . 5 D y n a m i c s o f m a s s p o i n t c o l l e c t i o n s

1 . 5 . 1 T h e c e n t r e o f m a s s

T h e v e l o c i t y w . r . t . t h e c e n t r e o f m a s s

~

R i s g i v e n b y ~v ;

~

R . T h e c o o r d i n a t e s o f t h e c e n t r e o f m a s s a r e

g i v e n b y :

~r

m

=

P

m

i

~r

i

P

m

i

I n a 2 - p a r t i c l e s y s t e m , t h e c o o r d i n a t e s o f t h e c e n t r e o f m a s s a r e g i v e n b y :

~

R =

m

1

~r

1

+ m

2

~r

2

m

1

+ m

2

W i t h ~r = ~r

1

; ~r

2

, t h e k i n e t i c e n e r g y b e c o m e s : T =

1

2

M

t o t

R

2

+

1

2

r

2

, w i t h t h e r e d u c e d m a s s g i v e n

b y

1

=

1

m

1

+

1

m

2

T h e m o t i o n w i t h i n a n d o u t s i d e t h e c e n t r e o f m a s s c a n b e s e p a r a t e d :

~

L

o u t s i d e

= ~

o u t s i d e

~

L

i n s i d e

= ~

i n s i d e

~p = m ~v

m

~

F

e x t

= m ~a

m

~

F

1 2

= ~u


14/107


1 . 5 . 2 C o l l i s i o n s

W i t h c o l l i s i o n s , w h e r e B a r e t h e c o o r d i n a t e s o f t h e c o l l i s i o n a n d C a n a r b i t r a r y o t h e r p o s i t i o n , h o l d s :

~p = m ~v

m

i s c o n s t a n t , a n d T =

1

2

m ~v

2

m

i s c o n s t a n t . T h e c h a n g e s i n t h e r e l a t i v e v e l o c i t i e s c a n b e

d e r i v e d f r o m :

~

S = ~p = ( ~v

a f t

; ~v

b e f o r e

) . F u r t h e r h o l d s

~

L

C

=

~

C B

~

S ~p k

~

S = c o n s t a n t a n d

~

L

w . r . t . B i s c o n s t a n t .

1 . 6 D y n a m i c s o f r i g i d b o d i e s

1 . 6 . 1 M o m e n t o f I n e r t i a

T h e a n g u l a r m o m e n t u m i n a m o v i n g c o o r d i n a t e s y s t e m i s g i v e n b y :

~

L = I ~! +

~

L

n

w h e r e I i s t h e m o m e n t o f i n e r t i a w i t h r e s p e c t t o a c e n t r a l a x i s , w h i c h i s g i v e n b y :

I =

X

i

m

i

~r

i

2

T = W

r o t

=

1

2

! I

i j

~e

i

~e

j

=

1

2

I !

2

o r , i n t h e c o n t i n u o u s c a s e :

I =

m

V

Z

r

n

d V =

Z

r

n

d m

F u r t h e r h o l d s :

L

i

= I

i j

!

j

I

i i

= I

i

I

i j

= I

j i

= ;

X

k

m

k

x

i

x

j

S t e i n e r ' s t h e o r e m i s : I

w r t D

= I

w r t C

+ m ( D M )

2

i f a x i s C k a x i s D .

O b j e c t I O b j e c t I

C a v e r n c y l i n d e r I = m R

2

M a s s i v e c y l i n d e r I =

1

2

m R

2

D i s c , a x i s i n p l a n e d i s c t h r o u g h m I =

1

4

m R

2

H a l t e r I =

1

2

R

2

C a v e r n s p h e r e I =

2

3

m R

2

M a s s i v e s p h e r e I =

2

5

m R

2

B a r , a x i s ? t h r o u g h c . o . m . I =

1

1 2

m l

2

B a r , a x i s ? t h r o u g h e n d I =

1

3

m l

2

R e c t a n g l e , a x i s ? p l a n e t h r . c . o . m . I =

1

1 2

( a

2

+ b

2

) R e c t a n g l e , a x i s k b t h r . m I = m a

2

1 . 6 . 2 P r i n c i p a l a x e s

E a c h r i g i d b o d y h a s ( a t l e a s t ) 3 p r i n c i p a l a x e s w h i c h s t a n d ? t o e a c h o t h e r . F o r a p r i n c i p a l a x i s

h o l d s :

@ I

@ !

x

=

@ I

@ !

y

=

@ I

@ !

z

= 0 s o L

n

= 0

T h e f o l l o w i n g h o l d s : _!

k

= ; a

i j k

!

i

!

j

w i t h a

i j k

=

I

i

; I

j

I

k

i f I

1

I

2

I

3

1 . 6 . 3 T i m e d e p e n d e n c e

F o r t o r q u e o f f o r c e ~ h o l d s :

~ = I

d

~

L

d t

= ~ ; ~!

~

L

T h e t o r q u e

~

T i s d e n e d b y :

~

T =

~

F

~

d


15/107


1 . 7 V a r i a t i o n a l C a l c u l u s , H a m i l t o n a n d L a g r a n g e m e c h a n i c s

1 . 7 . 1 V a r i a t i o n a l C a l c u l u s

S t a r t i n g w i t h :

b

Z

a

L ( q q t ) d t = 0 w i t h ( a ) = ( b ) = 0 a n d

d u

d x

=

d

d x

( u )

t h e e q u a t i o n s o f L a g r a n g e c a n b e d e r i v e d :

d

d t

@ L

@ q

i

=

@ L

@ q

i

W h e n t h e r e a r e a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s a p p l y i n g t o t h e v a r i a t i o n a l p r o b l e m J ( u ) = 0 o f t h e t y p e

K ( u ) = c o n s t a n t , t h e n e w p r o b l e m b e c o m e s : J ( u ) ; K ( u ) = 0 .

1 . 7 . 2 H a m i l t o n m e c h a n i c s

T h e L a g r a n g i a n i s g i v e n b y : L =

P

T ( q

i

) ; V ( q

i

) . T h e H a m i l t o n i a n i s g i v e n b y : H =

P

q

i

p

i

; L I n

2 d i m e n s i o n s h o l d s : L = T ; U =

1

2

m ( r

2

+ r

2

2

) ; U ( r )

I f t h e u s e d c o o r d i n a t e s a r e c a n o n i c a l t h e H a m i l t o n e q u a t i o n s a r e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e

s y s t e m :

d q

i

d t

=

@ H

@ p

i

d p

i

d t

= ;

@ H

@ q

i

C o o r d i n a t e s a r e c a n o n i c a l i f t h e f o l l o w i n g h o l d s : f q

i

q

j

g = 0 f p

i

p

j

g = 0 f q

i

p

j

g =

i j

w h e r e f g

i s t h e P o i s s o n b r a c k e t

f A B g =

X

i

@ A

@ q

i

@ B

@ p

i

;

@ A

@ p

i

@ B

@ q

i

T h e H a m i l t o n i a n o f a H a r m o n i c o s c i l l a t o r i s g i v e n b y H ( x p ) = p

2

= 2 m +

1

2

m !

2

x

2

. W i t h n e w c o o r d i -

n a t e s ( I ) , o b t a i n e d b y t h e c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n x =

p

2 I = m ! c o s ( ) a n d p = ;

p

2 I m ! s i n ( )

w i t h i n v e r s e = a r c t a n ( ; p = m ! x ) a n d I = p

2

= 2 m ! +

1

2

m ! x

2

i t f o l l o w s : H ( I ) = ! I

T h e H a m i l t o n i a n o f a c h a r g e d p a r t i c l e w i t h c h a r g e q i n a n e x t e r n a l e l e c t r o m a g n e t i c e l d i s g i v e n b y :

H =

1

2 m

~p ; q

~

A

2

+ q V

T h i s H a m i l t o n i a n c a n b e d e r i v e d f r o m t h e H a m i l t o n i a n o f a f r e e p a r t i c l e H = p

2

= 2 m w i t h t h e

t r a n s f o r m a t i o n s ~p ! ~p ; q

~

A a n d H ! H ; q V . T h i s i s e l e g a n t f r o m a r e l a t i v i s t i c p o i n t o f v i e w : t h i s i s

e q u i v a l e n t t o t h e t r a n s f o r m a t i o n o f t h e m o m e n t u m 4 - v e c t o r p

! p

; q A

. A g a u g e t r a n s f o r m a t i o n

o n t h e p o t e n t i a l s A

c o r r e s p o n d s w i t h a c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n , w h i c h m a k e t h e H a m i l t o n e q u a t i o n s

t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e s y s t e m .

1 . 7 . 3 M o t i o n a r o u n d a n e q u i l i b r i u m , l i n e a r i z a t i o n

F o r n a t u r a l s y s t e m s a r o u n d e q u i l i b r i u m t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s a r e v a l i d :

@ V

@ q

i

0

= 0 V ( q ) = V ( 0 ) + V

i k

q

i

q

k

w i t h V

i k

=

@

2

V

@ q

i

@ q

k

0

W i t h T =

1

2

( M

i k

q

i

q

k

) o n e r e c e i v e s t h e s e t o f e q u a t i o n s M q + V q = 0 . I f q

i

( t ) = a

i

e x p ( i ! t ) i s

s u b s t i t u t e d , t h i s s e t o f e q u a t i o n s h a s s o l u t i o n s i f d e t ( V ; !

2

M ) = 0 . T h i s l e a d s t o t h e e i g e n f r e q u e n c i e s

o f t h e p r o b l e m : !

2

k

=

a

T

k

V a

k

a

T

k

M a

k

. I f t h e e q u i l i b r i u m i s s t a b l e h o l d s : 8 k t h a t !

2

k

> 0 . T h e g e n e r a l s o l u t i o n

i s a s u p e r p o s i t i o n i f e i g e n v i b r a t i o n s .


16/107


1 . 7 . 4 P h a s e s p a c e , L i o u v i l l e ' s e q u a t i o n

I n p h a s e s p a c e h o l d s :

r =

X

i

@

@ q

i

X

i

@

@ p

i

!

s o r ~v =

X

i

@

@ q

i

@ H

@ p

i

;

@

@ p

i

@ H

@ q

i

I f t h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y , @

t

% + r ( % ~v ) = 0 h o l d s , t h i s c a n b e w r i t t e n a s :

f % H g +

@ %

@ t

= 0

F o r a n a r b i t r a r y q u a n t i t y A h o l d s :

d A

d t

= f A H g +

@ A

@ t

L i o u v i l l e ' s t h e o r e m c a n t h a n b e w r i t t e n a s :

d %

d t

= 0 o r :

Z

p d q = c o n s t a n t

1 . 7 . 5 G e n e r a t i n g f u n c t i o n s

S t a r t i n g w i t h t h e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n :

Q

i

= Q

i

( q

i

p

i

t )

P

i

= P

i

( q

i

p

i

t )

o n e c a n d e r i v e t h e f o l l o w i n g H a m i l t o n e q u a t i o n s w i t h t h e n e w H a m i l t o n i a n K

d Q

i

d t

=

@ K

@ P

i

d P

i

d t

= ;

@ K

@ Q

i

N o w , a d i s t i n c t i o n b e t w e e n 4 c a s e s c a n b e m a d e :

1 . I f p

i

q

i

; H = P

i

Q

i

; K ( P

i

Q

i

t ) ;

d F

1

( q

i

Q

i

t )

d t

, t h e c o o r d i n a t e s f o l l o w f r o m :

p

i

=

@ F

1

@ q

i

P

i

=

@ F

1

@ Q

i

K = H +

d F

1

d t

2 . I f p

i

q

i

; H = ; P

i

Q

i

; K ( P

i

Q

i

t ) +

d F

2

( q

i

P

i

t )

d t


p

i

=

@ F

2

@ q

i

Q

i

=

@ F

2

@ P

i

K = H +

@ F

2

@ t

3 . I f ; p

i

q

i

; H = P

i

Q

i

; K ( P

i

Q

i

t ) +

d F

3

( p

i

Q

i

t )

d t


q

i

= ;

@ F

3

@ p

i

P

i

= ;

@ F

3

@ Q

i

K = H +

@ F

3

@ t

4 . I f ; p

i

q

i

; H = ; P

i

Q

i

; K ( P

i

Q

i

t ) +

d F

4

( p

i

P

i

t )

d t


q

i

= ;

@ F

4

@ p

i

Q

i

=

@ F

4

@ p

i

K = H +

@ F

4

@ t

T h e f u n c t i o n s F

1

F

2

F

3

a n d F

4

a r e c a l l e d g e n e r a t i n g f u n c t i o n s


17/107

C h a p t e r 2

E l e c t r i c i t y & M a g n e t i s m

2 . 1 T h e M a x w e l l e q u a t i o n s

T h e c l a s s i c a l e l e c t r o m a g n e t i c e l d c a n b e d e s c r i b e d b y t h e M a x w e l l e q u a t i o n s . T h o s e c a n b e w r i t t e n

b o t h a s d i e r e n t i a l a n d i n t e g r a l e q u a t i o n s :

Z Z

(

~

D ~n ) d

2

A = Q

f r e e i n c l u d e d

r

~

D =

f r e e

Z Z

(

~

B ~n ) d

2

A = 0 r

~

B = 0

I

~

E d ~s = ;

d

d t

r

~

E = ;

@

~

B

@ t

I

~

H d ~s = I

f r e e i n c l u d e d

+

d

d t

r

~

H =

~

J

f r e e

+

@

~

D

@ t

F o r t h e u x e s h o l d s : =

Z Z

(

~

D ~n ) d

2

A =

Z Z

(

~

B ~n ) d

2

A

T h e e l e c t r i c d i s p l a c e m e n t

~

D , p o l a r i z a t i o n

~

P a n d e l e c t r i c e l d s t r e n g t h

~

E d e p e n d o n e a c h o t h e r

a c c o r d i n g t o :

~

D = "

0

~

E +

~

P = "

0

"

r

~

E

~

P =

P

~p

0

= V o l , "

r

= 1 +

e

, w i t h

e

=

n p

2

0

3 "

0

k T

T h e m a g n e t i c e l d s t r e n g t h

~

H , t h e m a g n e t i z a t i o n

~

M a n d t h e m a g n e t i c u x d e n s i t y

~

B d e p e n d o n

e a c h o t h e r a c c o r d i n g t o :

~

B =

0

(

~

H +

~

M ) =

0

r

~

H

~

M =

P

~m = V o l ,

r

= 1 +

m

, w i t h

m

=

0

n m

2

0

3 k T

2 . 2 F o r c e a n d p o t e n t i a l

T h e f o r c e a n d t h e e l e c t r i c e l d b e t w e e n 2 p o i n t c h a r g e s a r e g i v e n b y :

~

F

1 2

=

Q

1

Q

2

4 "

0

"

r

r

2

~e

r

~

E =

~

F

Q

T h e L o r e n t z f o r c e i s t h e f o r c e w h i c h i s f e l t b y a c h a r g e d p a r t i c l e t h a t m o v e s t h r o u g h a m a g n e t i c e l d .

T h e o r i g i n o f t h i s f o r c e i s a r e l a t i v i s t i c t r a n s f o r m a t i o n o f t h e C o u l o m b f o r c e :

~

F

L

= Q ( ~v

~

B ) = l (

~

I

~

B )

T h e m a g n e t i c e l d i n p o i n t P w h i c h r e s u l t s f r o m a n e l e c t r i c c u r r e n t i s g i v e n b y t h e l a w o f B i o t - S a v a r t

a l s o k n o w n a l s t h e l a w o f L a p l a c e . I n h e r e , d

~

l k

~

I a n d ~r p o i n t s f r o m d

~

l t o P

d

~

B

P

=

0

I

4 r

2

d

~

l ~e

r

I f t h e c u r r e n t i s t i m e - d e p e n d e n t o n e h a s t o t a k e r e t a r d a t i o n i n t o a c c o u n t : t h e s u b s t i t u t i o n I ( t ) !

I ( t ; r = c ) h a s t o b e a p p l i e d .

T h e p o t e n t i a l s a r e g i v e n b y : V

1 2

= ;

2

Z

1

~

E d ~s a n d

~

A =

1

2

~

B ~r

9


18/107

1 0 P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s

H e r e , t h e f r e e d o m r e m a i n s t o a p p l y a g a u g e t r a n s f o r m a t i o n . T h e e l d s c a n b e d e r i v e d f r o m t h e

p o t e n t i a l s a s f o l l o w s :

~

E = ; r V ;

@

~

A

@ t

~

B = r

~

A

F u r t h e r h o l d s t h e r e l a t i o n : c

2

~

B = ~v

~

E

2 . 3 G a u g e t r a n s f o r m a t i o n s

T h e p o t e n t i a l s o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d s t r a n s f o r m a s f o l l o w s w h e n a g a u g e t r a n s f o r m a t i o n i s

a p p l i e d :

8


19/107

C h a p t e r 2 : E l e c t r i c i t y & M a g n e t i s m 1 1

T h e r a d i a t e d e n e r g y c a n b e d e r i v e d f r o m t h e P o y n t i n g v e c t o r

~

S

~

S =

~

E

~

H = c W ~ e

v

. T h e i r r a d i a n c e

i s t h e t i m e - a v e r a g e d o f t h e P o y n t i n g v e c t o r : I = h

~

S i

t

. T h e r a d i a t i o n p r e s s u r e p

s

i s g i v e n b y

p

s

= ( 1 + R )

~

S = c , w h e r e R i s t h e c o e c i e n t o f r e e c t i o n .

2 . 5 . 2 E l e c t r o m a g n e t i c w a v e s i n m a t t e r

T h e w a v e e q u a t i o n s i n m a t t e r , w i t h c

m a t

= ( " )

1 = 2

a r e :

r

2

; "

@

2

@ t

2

;

@

@ t

~

E = 0

r

2

; "

@

2

@ t

2

;

@

@ t

~

B = 0

g i v e , a f t e r s u b s t i t u t i o n o f m o n o c h r o m a t i c p l a n e w a v e s :

~

E = E e x p ( i (

~

k ~r ; ! t ) ) a n d

~

B = B e x p ( i (

~

k

~r ; ! t ) ) t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n :

k

2

= " !

2

+

i !

T h e r s t t e r m a r i s e s f r o m t h e d i s p l a c e m e n t c u r r e n t , t h e s e c o n d f r o m t h e c o n d u c t a n c e c u r r e n t . I f k i s

w r i t t e n a s k = k + i k i t f o l l o w s :

k = !

q

1

2

"

v

u

u

t

1 +

s

1 +

1

( " ! )

2

a n d k = !

q

1

2

"

v

u

u

t

; 1 +

s

1 +

1

( " ! )

2

T h i s r e s u l t s i n a d a m p e d w a v e :

~

E = E e x p ( ; k ~n ~r ) e x p ( i ( k ~n ~r ; ! t ) ) . I f t h e m a t e r i a l i s a g o o d

c o n d u c t o r , t h e w a v e v a n i s h e s a f t e r a p p r o x i m a t e l y o n e w a v e l e n g t h , k = ( 1 + i )

r

!

2

2 . 6 M u l t i p o l e s

B e c a u s e

1

~r ; ~r

=

1

r

1

X

0

r

r

P ( c o s ) t h e p o t e n t i a l c a n b e w r i t t e n a s : V =

Q

4 "

X

n

k

n

r

n

F o r t h e l o w e s t - o r d e r t e r m s t h i s r e s u l t s i n :

M o n o p o l e : l = 0 k

0

=

R

d V

D i p o l e : l = 1 k

1

=

R

r c o s ( ) d V

Q u a d r u p o l e : l = 2 k

2

=

1

2

P

i

( 3 z

2

i

; r

2

i

)

1 . T h e e l e c t r i c d i p o l e : d i p o l e m o m e n t : ~p = Q l ~ e , w h e r e ~e g o e s f r o m t o , a n d

~

F = ( ~p r )

~

E

e x t

a n d W = ; ~p

~

E

o u t

E l e c t r i c e l d :

~

E

Q

4 " r

3

3 ~p ~r

r

2

; ~p

. T h e t o r q u e i s : ~ = ~p

~

E

o u t

2 . T h e m a g n e t i c d i p o l e : d i p o l e m o m e n t : i f r

p

A ~ =

~

I ( A ~e

?

)

~

F = ( ~ r )

~

B

o u t

=

m v

2

?

2 B

W = ; ~

~

B

o u t

M a g n e t i c e l d :

~

B =

;

4 r

3

3 ~r

r

2

; ~

. T h e m o m e n t i s : ~ = ~

~

B

o u t

2 . 7 E l e c t r i c c u r r e n t s

T h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n f o r c h a r g e i s :

@

@ t

+ r

~

J = 0 . T h e e l e c t r i c c u r r e n t i s g i v e n b y :

I =

d Q

d t

=

Z Z

(

~

J ~n ) d

2

A


20/107


F o r m o s t c o n d u c t o r s h o l d s :

~

J =

~

E = , w h e r e i s t h e r e s i s t i v i t y

I f t h e u x e n c l o s e d b y a c o n d u c t o r c h a n g e s t h i s r e s u l t s i n a n i n d u c e d v o l t a g e V

n d

= ; N

d

d t

I f

t h e c u r r e n t o w i n g t h r o u g h a c o n d u c t o r c h a n g e s , t h i s r e s u l t s i n a s e l f - i n d u c t a n c e w h i c h o p p o s e s t h e

o r i g i n a l c h a n g e : V

s e l n d

= ; L

d I

d t

. I f a c o n d u c t o r e n c l o s e s a u x h o l d s : = L I

T h e m a g n e t i c i n d u c t i o n w i t h i n a c o i l i s a p p r o x i m a t e d b y : B =

N I

p

l

2

+ 4 R

2

w h e r e l i s t h e l e n g t h , R

t h e r a d i u s a n d N t h e n u m b e r o f c o i l s . T h e e n e r g y c o n t a i n e d w i t h i n a c o i l i s g i v e n b y W =

1

2

L I

2

a n d

L = N

2

A = l

T h e c a p a c i t y i s d e n e d b y : C = Q = V . F o r a c a p a c i t o r h o l d s : C = "

0

"

r

A = d w h e r e d i s t h e d i s t a n c e

b e t w e e n t h e p l a t e s a n d A t h e s u r f a c e o f o n e p l a t e . T h e e l e c t r i c e l d s t r e n g t h b e t w e e n t h e p l a t e s i s

E = = "

0

= Q = "

0

A w h e r e i s t h e s u r f a c e c h a r g e . T h e a c c u m u l a t e d e n e r g y i s g i v e n b y W =

1

2

C V

2

T h e c u r r e n t t h r o u g h a c a p a c i t y i s g i v e n b y I = ; C

d V

d t

F o r m o s t P T C r e s i s t o r s h o l d s a p p r o x i m a t e l y : R = R

0

( 1 + T ) , w h e r e R

0

= l = A . F o r a N T C h o l d s :

R ( T ) = C e x p ( ; B = T ) w h e r e B a n d C d e p e n d o n l y o n t h e m a t e r i a l .

I f a c u r r e n t o w s t h r o u g h t w o d i e r e n t , c o n n e c t i n g c o n d u c t o r s x a n d y , t h e c o n t a c t a r e a w i l l h e a t u p

o r c o o l d o w n , d e p e n d i n g o n t h e d i r e c t i o n o f t h e c u r r e n t : t h e P e l t i e r e e c t . T h e g e n e r a t e d o r r e m o v e d

h e a t i s g i v e n b y : W =

x y

I t . T h i s e e c t c a n b e a m p l i e d w i t h s e m i c o n d u c t o r s .

T h e t h e r m i c v o l t a g e b e t w e e n 2 m e t a l s i s g i v e n b y : V = ( T ; T

0

) . F o r a C u - K o n s t a n t a n e c o n n e c t i o n

h o l d s : 0 2 ; 0 7 m V / K .

I n a n e l e c t r i c a l n e t w i t h o n l y s t a t i o n a r y c u r r e n t s , K i r c h h o ' s e q u a t i o n s a p p l y : f o r a k n o t h o l d s :

P

I

n

= 0 , a l o n g a c l o s e d p a t h h o l d s :

P

V

n

=

P

I

n

R

n

= 0

2 . 8 D e p o l a r i z i n g e l d

I f a d i e l e c t r i c m a t e r i a l i s p l a c e d i n a n e l e c t r i c o r m a g n e t i c e l d , t h e e l d s t r e n g t h w i t h i n a n d o u t s i d e

t h e m a t e r i a l w i l l c h a n g e b e c a u s e t h e m a t e r i a l w i l l b e p o l a r i z e d o r m a g n e t i z e d . I f t h e m e d i u m h a s a n

e l l i p s o i d a l s h a p e a n d o n e o f t h e p r i n c i p a l a x e s i s p a r a l l e l w i t h t h e e x t e r n a l e l d

~

E

0

o r

~

B

0

t h e n t h e

d e p o l a r i z i n g i s e l d h o m o g e n e o u s .

~

E

d e p

=

~

E

m a t

;

~

E

0

= ;

N

~

P

"

0

~

H

d e p

=

~

H

m a t

;

~

H

0

= ; N

~

M

N i s a c o n s t a n t d e p e n d i n g o n l y o n t h e s h a p e o f t h e o b j e c t p l a c e d i n t h e e l d , w i t h 0 N 1 . F o r

a f e w l i m i t i n g c a s e s o f a n e l l i p s o i d h o l d s : a t h i n p l a n e : N = 1 , a l o n g , t h i n b a r : N = 0 , a s p h e r e :

N =

1

3

2 . 9 M i x t u r e s o f m a t e r i a l s

T h e a v e r a g e e l e c t r i c d i s p l a c e m e n t i n a m a t e r i a l w h i c h i s i n h o m o g e n i o u s o n a m e s o s c o p i c s c a l e i s g i v e n

b y h D i = h " E i = "

h E i w h e r e "

= "

1

1 ;

2

( 1 ; x )

( "

= "

2

)

1

w h e r e x = "

1

= "

2

. F o r a s p h e r e h o l d s :

=

1

3

+

2

3

x . F u r t h e r h o l d s :

X

i

i

"

i

!

1

"

X

i

i

"

i


21/107

C h a p t e r 3

R e l a t i v i t y

3 . 1 S p e c i a l r e l a t i v i t y

3 . 1 . 1 T h e L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n

T h e L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n ( ~x t ) = ( ~x ( ~ x t ) t ( ~ x t ) ) l e a v e s t h e w a v e e q u a t i o n i n v a r i a n t i f c i s

i n v a r i a n t :

@

2

@ x

2

+

@

2

@ y

2

+

@

2

@ z

2

;

1

c

2

@

2

@ t

2

=

@

2

@ x

2

+

@

2

@ y

2

+

@

2

@ z

2

;

1

c

2

@

2

@ t

2

T h i s t r a n s f o r m a t i o n c a n a l s o b e f o u n d w h e n d s

2

= d s

2

i s d e m a n d e d . T h e g e n e r a l f o r m o f t h e L o r e n t z

t r a n s f o r m a t i o n i s g i v e n b y :

~x = ~x +

( ; 1 ) ( ~x ~v ) ~v

v

2

; ~ v t t =

( t ; ~x ~v )

c

2

w h e r e

=

1

r

1 ;

v

2

c

2

T h e v e l o c i t y d i e r e n c e ~v b e t w e e n t w o o b s e r v e r s t r a n s f o r m s a c c o r d i n g t o :

~v =

1 ;

~v

1

~v

2

c

2

1

~v

2

+ ( ; 1 )

~v

1

~v

2

v

2

1

~v

1

; ~v

1

I f t h e v e l o c i t y i s p a r a l l e l t o t h e x - a x i s , t h i s b e c o m e s y = y z = z a n d :

x = ( x ; v t ) x = ( x + v t )

t =

t ;

x v

c

2

t =

t +

x v

c

2

v =

v

2

; v

1

1 ;

v

1

v

2

c

2

I f ~v = v ~e

x

h o l d s :

p

x

=

p

x

;

W

c

W = ( W ; v p

x

)

W i t h = v = c t h e e l e c t r i c e l d o f a m o v i n g c h a r g e i s g i v e n b y :

~

E =

Q

4 "

0

r

2

( 1 ;

2

) ~e

r

( 1 ;

2

s i n

2

( ) )

3 = 2

T h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d t r a n s f o r m s a c c o r d i n g t o :

~

E = (

~

E + ~v

~

B )

~

B =

~

B ;

~v

~

E

c

2

!

L e n g t h , m a s s a n d t i m e t r a n s f o r m a c c o r d i n g t o : t

r

= t

0

m

r

= m

0

l

r

= l

0

= , w i t h

0

t h e

q u a n t i t i e s i n a c o - m o v i n g r e f e r e n c e f r a m e a n d

r

t h e q u a n t i t i e s i n a f r a m e m o v i n g w i t h v e l o c i t y v

w . r . t . i t . T h e p r o p e r t i m e i s d e n e d a s : d

2

= d s

2

= c

2

, s o = t = . F o r e n e r g y a n d m o m e n t u m

1 3


22/107


h o l d s : W = m

r

c

2

= W

0

W

2

= m

2

0

c

4

+ p

2

c

2

p = m

r

v = m

0

v = W v = c

2

, a n d p c = W w h e r e

= v = c . T h e f o r c e i s d e n e d b y

~

F = d ~p = d t

4 - v e c t o r s h a v e t h e p r o p e r t y t h a t t h e i r m o d u l u s i s i n d e p e n d e n t o f t h e o b s e r v e r : t h e i r c o m p o n e n t s

c a n c h a n g e a f t e r a c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n b u t n o t t h e i r m o d u l u s . T h e d i e r e n c e o f t w o 4 - v e c t o r s

t r a n s f o r m s a l s o a s a 4 - v e c t o r . T h e 4 - v e c t o r f o r t h e v e l o c i t y i s g i v e n b y U

=

d x

d

. T h e r e l a t i o n w i t h

t h e \ c o m m o n " v e l o c i t y u

i

= d x

i

= d t i s U

= ( u

i

i c ) . F o r p a r t i c l e s w i t h n o n z e r o r e s t m a s s h o l d s :

U

U

= ; c

2

, f o r p a r t i c l e s w i t h z e r o r e s t m a s s ( s o w i t h v = c ) h o l d s : U

U

= 0 . T h e 4 - v e c t o r f o r

e n e r g y a n d m o m e n t u m i s g i v e n b y : p

= m

0

U

= ( p

i

i W = c ) . S o : p

p

= ; m

2

0

c

2

= p

2

; W

2

= c

2

3 . 1 . 2 R e d a n d b l u e s h i f t

T h e r e a r e t h r e e c a u s e s o f r e d a n d b l u e s h i f t s :

1 . M o t i o n : w i t h ~e

v

~e

r

= c o s ( ' ) f o l l o w s :

f

f

=

1 ;

v c o s ( ' )

c

T h i s c a n g i v e b o t h r e d - a n d b l u e s h i f t , a l s o ? t o t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n .

2 . G r a v i t a t i o n a l r e d s h i f t :

f

f

=

M

r c

2

3 . R e d s h i f t b e c a u s e t h e u n i v e r s e e x p a n d s , r e s u l t i n g i n e . g . t h e c o s m i c b a c k g r o u n d r a d i a t i o n :

0

1

=

R

0

R

1

3 . 1 . 3 T h e s t r e s s - e n e r g y t e n s o r a n d t h e e l d t e n s o r

T h e s t r e s s - e n e r g y t e n s o r i s g i v e n b y :

T

= ( % c

2

+ p ) u

u

+ p g

+

1

c

2

;

F

F

+

1

4

g

F

F

T h e c o n s e r v a t i o n l a w s c a n t h a n b e w r i t t e n a s : r

T

= 0 . T h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d t e n s o r i s g i v e n

b y

F

=

@ A

@ x

;

@ A

@ x

w i t h A

= (

~

A i V = c ) a n d J

= (

~

J i c ) . T h e M a x w e l l e q u a t i o n s c a n t h a n b e w r i t t e n a s :

@

F

=

0

J

@

F

+ @

F

+ @

F

= 0

T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r a c h a r g e d p a r t i c l e i n a n E M e l d b e c o m e w i t h t h e e l d t e n s o r :

d p

d

= q F

u

3 . 2 G e n e r a l r e l a t i v i t y

3 . 2 . 1 R i e m a n n i a n g e o m e t r y , t h e E i n s t e i n t e n s o r

T h e b a s i c p r i n c i p l e s o f g e n e r a l r e l a t i v i t y a r e :

1 . T h e g e o d e s i c p o s t u l a t e : f r e e f a l l i n g p a r t i c l e s m o v e a l o n g g e o d e s i c s o f s p a c e - t i m e w i t h t h e p r o p e r

t i m e o r a r c l e n g t h s a s p a r a m e t e r . F o r p a r t i c l e s w i t h z e r o r e s t m a s s ( p h o t o n s ) , t h e u s e o f a

f r e e p a r a m e t e r i s r e q u i r e d b e c a u s e f o r t h e m h o l d s d s = 0 . F r o m

R

d s = 0 t h e e q u a t i o n s o f

m o t i o n c a n b e d e r i v e d :

d

2

x

d s

2

+ ;

d x

d s

d x

d s

= 0


23/107

C h a p t e r 3 : R e l a t i v i t y 1 5

2 . T h e p r i n c i p l e o f e q u i v a l e n c e : i n e r t i a l m a s s g r a v i t a t i o n a l m a s s ) g r a v i t a t i o n i s e q u i v a l e n t

w i t h a c u r v e d s p a c e - t i m e w e r e p a r t i c l e s m o v e a l o n g g e o d e s i c s .

3 . B y a p r o p e r c h o i c e o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m i t i s p o s s i b l e t o m a k e t h e m e t r i c l o c a l l y a t i n e a c h

p o i n t x

i

g

( x

i

) =

: = d i a g ( ; 1 1 1 1 )

T h e R i e m a n n t e n s o r i s d e n e d a s : R

T

= r

r

T

; r

r

T

, w h e r e t h e c o v a r i a n t d e r i v a t i v e

i s g i v e n b y r

j

a

i

= @

j

a

i

+ ;

i

j k

a

k

a n d r

j

a

i

= @

j

a

i

; ;

k

i j

a

k

. H e r e ,

;

i

j k

=

@

2

x

@ x

j

@ x

k

@ x

i

@ x

=

1

2

g

i

( @

k

g

j

+ @

j

g

k

; @ g

j k

)

a r e t h e C h r i s t o e l s y m b o l s . F o r a s e c o n d - o r d e r t e n s o r h o l d s : r

r

T

= R

T

+ R

T

r

k

a

i

j

= @

k

a

i

j

; ;

k j

a

i

+ ;

i

k

a

j

r

k

a

i j

= @

k

a

i j

; ;

k i

a

j

; ;

k j

a

j

a n d r

k

a

i j

= @

k

a

i j

+ ;

i

k

a

j

+ ;

j

k

a

i

T h e f o l l o w i n g h o l d s : R

= @

;

; @

;

+ ;

;

; ;

;

T h e R i c c i t e n s o r i s a c o n t r a c t i o n o f t h e R i e m a n n t e n s o r : R

= R

, w h i c h i s s y m m e t r i c : R

=

R

. T h e B i a n c h i i d e n t i t i e s a r e : r

R

+ r

R

+ r

R

= 0

T h e E i n s t e i n t e n s o r i s g i v e n b y : G

= R

;

1

2

g

R , w h e r e R = R

i s t h e R i c c i s c a l a r , f o r w h i c h

h o l d s : r

G

= 0 . W i t h t h e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e

R

( L ( g

) ; R c

2

= 1 6 )

p

g d

4

x = 0 f o r v a r i a t i o n s

g

! g

+ g

t h e E i n s t e i n e l d e q u a t i o n s c a n b e d e r i v e d :

G

=

8

c

2

T

, w h i c h c a n a l s o b e w r i t t e n a s R

=

8

c

2

( T

;

1

2

g

T

)

F o r e m p t y s p a c e t h i s i s e q u i v a l e n t t o R

= 0 . T h e e q u a t i o n R

= 0 h a s a s o n l y s o l u t i o n a a t

s p a c e .

T h e E i n s t e i n e q u a t i o n s a r e 1 0 i n d e p e n d e n t e q u a t i o n s , w h i c h a r e

physics formulary - wevers.pdf

Documents