phÉp quay€¦ · hoc360.net - tÀi liỆu hỌc tẬp miỄn phÍ group: phÉp quay phẦn i -...

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

PHÉP QUAY

PHẦN I - LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa. - Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm 'M sao cho 'OM OM và góc lượng giác ; 'OM OM bằng được gọi là phép quay tâm O góc .

Điểm O được gọi là tâm quay, còn được gọi là góc quay của phép quay đó. Phép quay tâm O góc thường được kí hiệu là , .OQ

,'

' ., 'O

OM OMQ M M

OM OM

Nhận xét: Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

Với k là số nguyên ta luôn có: + Phép quay ,2O kQ là phép đồng nhất, với k .

+ Phép quay , 2 1O kQ là phép đối xứng tâm O , với k .

Góc là góc lượng giác. Ví dụ: i) Nếu , 'OQ d d thì , 'd d là mệnh đề sai.

ii) Nếu , 'OQ M M thì 'MOM là mệnh đề sai.

2. Các tính chất. - Tính chất 1: Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ (hay phép quay là một phép dời

hình.

Cụ thể: Nếu , 'OQ A A và , 'OQ B B thì ' 'A B AB . - Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

Nhận xét: Cho đường thẳng d và , 'OQ d d . Khi đó:

i) Nếu .2

k

thì 'd d .

ii) Nếu 2k , O tuỳ ý hoặc ,k O d thì 'd d .

iii) Nếu 2 ,k O d thì 'd // d .

iv) Nếu 0 thì 0

2, '

2

khi

d d

khi

.

- Tính chất 3: , ,' 'O OQ M M Q M M (sử dụng cho các bài toán ngược: tìm tạo ảnh)

3. Biểu thức toạ độ.

M

O



- Trong mặt phẳng Oxy , cho ; , ' '; 'M x y M x y và , 'OQ M M .

Khi đó ta có: ' cos sin

' sin cos

x x y

y x y

.

Đặc biệt:

i) Nếu 2

thì

'

'

x y

y x

.

ii) Nếu 2

thì

'

'

x y

y x

.

iii) Nếu thì '

'

x x

y y

.

- Trong mặt phẳng Oxy , cho ; , ' '; ' , ;M x y M x y I a b và , 'IQ M M .

Khi đó ta có:

' cos sin

' sin cos

x a x a y b

y b x a y b



PHẦN II - CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1: Cho trước hình (H). Tìm ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, ... liên quan đến hình (H) qua phép quay cho trước.

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1. Xác định tâm quay và góc quay theo yêu cầu bài toán. Bước 2. Áp dụng các kiến thức sau:

i) Nếu

'

, '

OA OA

OA OA

thì , ( ) 'OQ A A .

ii) Nếu

,

,

,

( )

( ) '

( ) '

O

O

O

Q O O

Q A A

Q B B

thì

,

,

( ) ' '.

( ) ' '

O

O

Q AB A B

Q OAB OA B

Bước 3. Kết luận.

B. VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD có góc 060ABC (các đỉnh ghi theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Xác định ảnh của cạnh CD qua phép quay

0, 60AQ

.

Lời giải + Do ,ABC ACD là các tam giác đều nên ta có:

0, 60A

C BQ

và

0, 60AD CQ

.

+ Vậy 0, 60A

CD BCQ

.

Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD có tâm là O , (các đỉnh ghi theưo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Gọi , , ,M N P Q

theo thứ tự là trung điểm các cạnh , , ,AD DC CB BA . Tìm ảnh của tam

giác ODN qua phép quay tâm O góc quay 90 . Lời giải

+ Ta có: 0, 90O

O OQ

,

0 0, 90 , 90

,O O

D C N PQ Q

.

+ Vậy 0, 90O

ODN OCPQ

.

OQ

P

N

M

B C

A D

600 D

A

C

B



Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD có tâm là O (các đỉnh ghi theo chiều cùng chiều kim đồng hồ). Gọi ,M N lần lượt trung điểm của ,AB OA . Tìm ảnh của tam giác AMN

qua phép tâm O góc quay 90 .

Lời giải

+ Ta có: 0,90O

A DQ

,

0 0,90 ,90

', 'O O

M M N NQ Q

(với ', 'M N lần lượt trung điểm của đoạn ,AD OD )

+ Vậy 0,90

' '.O

AMN DM NQ

DẠNG 2: Tìm ảnh, tạo ảnh của điểm qua phép quay ,I

Q

, với ;I a b .

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Loại 1: Tìm ảnh của điểm M. Cách 1: Dựa vào hình vẽ trong hệ trục toạ độ. Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ. Loại 2: Tìm tạo ảnh của điểm M.

Chú ý: , ,I IQ N M Q M N


Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm 1;5A . Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay tâm 0;0O góc quay 0.90

Lời giải. Cách 1:

+) Do 0, 90O

BAQ

nên

dựa vào vẽ bên ta suy ra: 5;1B . Cách 2:

+) Do 0, 90O

BAQ

nên

5

1

B A

B A

x y

y x

. Vậy 5;1B .

Chú ý: Ưu tiên giải cách 2.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm 3;4M . Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O , góc quay 30 .

Lời giải

+) Do 0,30

'O

MMQ

nên

0 0

'

0 0

'

3 33cos30 4sin 30 2

3 3 32 ' 2; 2 32 23

3sin 30 4cos30 2 32

M

M

xM

y

.



Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm 3;4M . Tìm toạ độ điểm N sao cho điểm M là ảnh của N qua phép quay tâm 2;3I , góc quay 90 .

Lời giải

+) Ta có: 0 0,90 , 90I I

M NN MQ Q

nên

2 3 3

3 2 2

N M N

N M N

x y x

y x y

. Vậy

3;2 .M DẠNG 3: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường thẳng qua phép quay

,IQ

, với ;I a b .

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Loại 1: Tìm ảnh của đường thẳng d.

Cách 1: Dựa vào tính chất của phép quay.

Cho đường thẳng : 0d Ax By C và , 'IQ d d .

i) Nếu .2

k

thì 'd d . Khi đó: 'd có PT dạng: 0Bx Ay m .

ii) Nếu 2k , I tuỳ ý hoặc ,k I d thì 'd d .

iii) Nếu 2 ,k I d thì 'd // d . Khi đó: 'd có PT dạng:

0Ax By m m C . Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ.

Loại 2: Tìm tạo ảnh của đường thẳng d.

Chú ý: , ,I IQ d Q d


Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng : 5 3 15 0d x y . Viết phương trình đường thẳng

'd là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O , góc quay 90 .

Lời giải Cách 1:

+) Do 0,90

'O

ddQ

nên 'd d . Do đó 'd có PT dạng: 3 5 0x y m .

+) Chọn 3;0M d , gọi ' '; ' 'M x y d là ảnh của điểm M qua phép quay 0;900

.Q

Suy ra: ' 0

' 0; 3 .' 3

M

M

x yM

y x

+) Do ' 0; 3 'M d nên 3.0 5. 3 0 15.m m

+) Vậy 'd có PT là 3 5 15 0x y . Cách 2:

+) Với mọi điểm ; , ' '; ' 'M x y d M x y d sao cho 0,90

'O

MMQ

.

+) Khi đó ta có: ' '

.' '

x y x y

y x y x

+) Do ;M x y d nên ta có 5 3 15 0 5 ' 3 ' 15 0 3 ' 5 ' 15 0.x y y x x y



+) Do ' '; ' 'M x y d nên 'd có PT là 3 5 15 0x y . Chú ý: Ưu tiên giải cách 1. Cách 3:

Chú ý công thức nhanh: Trong mpOxy, cho : 0d Ax By C .

Nếu , 'OQ d d và .2k

thì 'd có PT là:

.sin 0Bx Ay C .

+) Do : 5 3 15 0d x y và 0, 90 'OQ d d nên 'd có PT là

03 5 15.sin 90 0 3 5 15 0x y x y .


'd là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O , góc quay 180 .


+) Do 0,180

'O

ddQ

nên ' / /d d . Do đó 'd có PT dạng: 2 5 0 3x y m m .

+) Chọn 1;1M d , gọi ' '; ' 'M x y d là ảnh của điểm M qua phép quay 00, 180

.Q

Suy ra: ' 1

' 1; 1 .' 1

M

M

x yM

y x

+) Do ' 1; 1 'M d nên 2. 1 5. 1 0 3.m m

+) Vậy 'd có PT là 2 5 3 0.x y Cách 2:

+) Với mọi điểm ; , ' '; ' 'M x y d M x y d sao cho 0,180

'O

MMQ

.


.' '

x x x x

y y y y

+) Do ;M x y d nên ta có 2 5 3 0 2 ' 5 ' 3 0 2 ' 5 ' 3 0.x y x y x y +) Do ' '; ' 'M x y d nên 'd có PT là 2 5 3 0.x y Cách 3:


Nếu , 'OQ d d và 2 ,k O d thì 'd có PT là: 0.Ax By C

+) Do : 2 5 3 0d x y và 0, 180 'OQ d d nên 'd có PT là 2 5 3 0x y .


'd là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm 1;2I , góc quay 180 . Lời giải

Cách 1:

+) Do 0, 180

'I

ddQ

nên ' / /d d . Do đó 'd có PT dạng: 2 5 0 3x y m m .



+) Chọn 1;1M d , gọi ' '; ' 'M x y d là ảnh của điểm M qua phép quay 0, 180

.I

Q

Suy ra: I là trung điểm 'MM nên ta có: ' 2 3

' 3;3 .' 2 3

I M

I M

x x xM

y y y

+) Do ' 3;3 'M d nên 2. 3 5.3 0 21.m m

+) Vậy 'd có PT là 2 5 21 0.x y Cách 2:

+) Với mọi điểm ; , ' '; ' 'M x y d M x y d sao cho 0, 180

'I

MMQ

.

+) Khi đó: I là trung điểm 'MM nên ta có: ' 2 2 2 '

.' 2 4 4 '

I M

I M

x x x x x x

y y y y y y

+) Do ;M x y d nên ta có ' '; ' 'M x y d +) Do ' '; ' 'M x y d nên 'd có PT là 2 5 21 0.x y Cách 3:


Nếu , 'IQ d d và 2 , ;k I a b d thì 'd có PT là: 2 2 0.Ax By Aa Bb C

+) Do : 2 5 3 0d x y và 0, 180 'IQ d d với 1;2I nên 'd có PT là 2 5 21 0.x y

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng : 2 2 0d x y . Viết phương trình đường thẳng 'd

là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O , góc quay 45 . Lời giải

+) Chọn 1;0 , 0; 2A d B d , gọi ' ', ' 'A d B d lần lượt là ảnh của điểm ,A B qua phép quay

0, 4500.Q

Suy ra:

0 0

'

0 0

'

21.cos 45 0.sin 45

2 22 ' ;2 22

1.sin 45 0.cos452

A

A

x

A

y

và

0 0

'

0 0

'

0.cos 45 2 .sin 45 2' 2; 2 .

0.sin 45 2 .cos45 2

B

B

xB

y

Ta có: 2 3 2

' ' ;2 2

A B

+) Do 'd là ảnh của đường thẳng d qua phép quay 0, 45O

Q

nên 'd đi qua ', '.A B

+) 'd đi qua ' 2; 2B và có VTCP 1; 3u

nên 'd có PTTS là: 2

, .2 3t

x tt

y

+) Vậy 'd có PT là 3 2 2 0.x y




sao cho d là ảnh của đường thẳng qua phép quay tâm 1;2I , góc quay 180 . Lời giải

+) Do 0 0, 180 ,180I I

d dQ Q

nên / / d . Do đó có PT dạng:

2 5 0 3x y m m . +) Chọn 1;1M d , gọi ' '; 'M x y là ảnh của điểm M qua phép quay

0, 180.

IQ

Suy ra: I là trung điểm 'MM nên ta có: ' 2 3

' 3;3 .' 2 3

I M

I M

x x xM

y y y

+) Do ' 3;3M nên 2. 3 5.3 0 21.m m

+) Vậy có PT là 2 5 21 0.x y



DẠNG 4: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua phép quay ,I

Q

, với ;I a b .

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Loại 1: Tìm ảnh của đường tròn (C)

Cách 1: Dựa vào tính chất của phép quay.

Cho đường tròn ;C A R và , 'IQ C C , với ' '; 'C A R . Khi đó ta có: i) 'R R . ii) , 'IQ A A (quay về DẠNG TOÁN 2) Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ.

Loại 2: Tìm tạo ảnh của đường tròn (C)

Chú ý: 1 1, ,I IQ C C Q C C


Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn 2 2

: 2 3 9C x y . Tìm ảnh của đường tròn

C qua phép quay tâm O , góc quay 180 . Lời giải

Cách 1:

+) Đường tròn C có tâm 2; 3I và bán kính 3.R + Gọi ' ', 'C I R là ảnh của C qua phép quay

0,180OQ

.

Khi đó ta có: ' 3R R và 0,180

'O

I IQ

, suy ra: ''

2' 2;3

3

I I

I I

x xI

y y

.

+) Vậy 'C có PT là: 2 2

2 3 9.x y

Cách 2:

+ Gọi 'C là ảnh của C qua phép quay 0,180O

Q

.

+) Với mọi điểm ; , ' '; ' 'M x y C M x y C sao cho 0,180

'O

MMQ

.


.' '

x x x x

y y y y

+) Do ;M x y C nên ta có:

2 2 2 2 2 22 3 9 ' 2 ' 3 9 ' 2 ' 3 9x y x y x y

+) Do ' '; ' 'M x y C nên 'C có PT là 2 2

2 3 9.x y

Chú ý: Ưu tiên giải cách 1. Cách 3:

Chú ý công thức nhanh: Trong mpOxy, cho 2 2 2: .C x A y B R

Nếu , 'OQ C C và 2k thì 2 2 2' : .C x A y B R



+) Do 2 2

: 2 3 9C x y và 0,180

'O

CCQ

nên 'C có PT là

2 2

2 3 9.x y

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn 2 2: 4 6 12 0.C x y x y . Tìm ảnh của đường tròn C qua phép quay tâm 1; 5A , góc quay 180 .


+) Đường tròn C có tâm 2; 3I và bán kính 5.R + Gọi ' ', 'C I R là ảnh của C qua phép quay

0, 180AQ

.

Khi đó ta có: ' 5R R và 0, 180

'A

I IQ

, suy ra: A là trung điểm 'II nên ta có:

''

' 0; 7 .2 0

2 7

I A I

I A I

x x x

y yI

y

+) Vậy 'C có PT là: 22 7 25.x y

Cách 2:


Nếu , 'IQ C C và 2 , ;k I a b thì

2 2 2' : 2 2 .C x A a y B b R

+) Do 2 22 2: 4 6 12 0 2 3 25C x y x y x y và

0, 1801 5, ;'

AAI IQ

nên 'C có PT là 22 222 2.1 3 2. 5 25 7 25x y x y .

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn 2 2: 2 8.C x y . Viết phương trình đường tròn

1C sao cho C là ảnh của đường tròn 1C qua phép quay tâm O , góc quay 90 .


+) Đường tròn C có tâm 2;0I và bán kính 8,R và gọi 1 1 1, .C I R +) Theo đề ta có: 1 10 0,90 , 90O O

C C C CQ Q

Suy ra: 1 8R R và 1 10, 900; 2

OI I IQ

.

+) Vậy 1C có PT là: 22 2 8.x y

Cách 2:


Nếu , 'OQ C C và .2k

thì

2 2 2' : .sin .sin .C x B y A R



+) Do 2 2: 2 8C x y và 1 10 0,90 , 90O O

C C C CQ Q

nên 1C có PT

là 2 22 0 22.sin 90 8 2 8x y x y .

DẠNG 5: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường cong (H) bất kỳ (khác dạng toán 3, 4) qua phép quay

,IQ

, với ;I a b .

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Loại 1: Tìm ảnh của đường cong (H). Bước 1: Gọi (H’) là ảnh của (H) qua phép quay ,IQ .

Bước 2: Với mọi điểm ; , ' '; ' 'M x y H M x y H sao cho ,

'.I

MMQ

Áp dụng biểu thức toạ độ ta có: ' '(1)

.' '(2)

x theo x x theo x

y theo y y theo y

Bước 3: Do ;M x y H nên thay (1), (2) vào phương trình (H), biến đổi về phương trình theo ', '.x y

Bước 4: Do ' '; ' 'M x y H nên (H’) có phương trình là: ..... (KL). Loại 2: Tìm tạo ảnh của đường cong (H).

Chú ý: 1 1, ,I OQ H H Q H H


Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol 2: 2 3P y x x . Tìm ảnh của parabol P qua phép quay tâm O , góc quay180 .

Lời giải

+ Gọi 'P là ảnh của P qua phép quay 0,180O

Q

.

+) Với mọi điểm ; , ' '; ' 'M x y P M x y P sao cho 0,180

'O

MMQ

.


.' '

x x x x

y y y y

+) Do ;M x y P nên ta có: 2 2' ' 2. ' 3 ' ' 2 ' 3.y x x y x x

+) Do ' '; ' 'M x y P nên 'P có PT là 2 2 3.y x x

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường cong E có phương trình 2 2

19 4

x y . Viết phương trình

đường cong 1E sao cho E là ảnh của 1E qua phép quay tâm O , góc quay 90 .

Lời giải

+) Theo đề ta có: 1 10 0, 90 ,90O OE EE EQ Q

.

+) Với mọi điểm 1; , ' '; 'M x y E M x y E sao cho 0,90'

OMMQ

.




.' '

x y x y

y x y x

+) Do ;M x y E nên ta có

2 2 2 2' ' ' '

1 1.9 4 4 9

y x x y

+) Do 1' '; 'M x y E nên 1E có PT là 2 2

1.4 9

x y

DẠNG 6: Ứng dụng phép quay để chứng minh các tính chất hình học.

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1. Xác định tâm quay O và góc quay hợp lý. Bước 2. Sau đó sử dụng các tính chất sau để chứng minh:

i) Nếu , ( ) 'OQ A A thì

'.

, '

OA OA

OA OA

ii) Nếu , ( ) ' 'OQ AB A B thì

' '.

, ' '

AB A B

AB A B

iii) Nếu

,

,

,

( )

( ) '

( ) '

O

O

O

Q O O

Q A A

Q B B

thì

,

,

( ) ' '.

( ) ' '

O

O

Q AB A B

Q OAB OA B

iv) Nếu , 'M M lần lượt là trung điểm của , ' 'AB A B và , ( ) ' 'OQ AB A B thì

, ( ) 'OQ M M . Suy ra:

'.

, '

OM OM

OM OM

v) Nếu , 'G G lần lượt là trọng tâm của , ' 'OAB OA B và

, ( ) ' 'OQ OAB OA B thì , ( ) 'OQ G G . Suy ra:

'.

, '

OG OG

OG OG

Bước 3. Kết luận. Chú ý: Trong quá trình chứng minh ta có thể sử dụng thêm các tính chất trong hình học phẳng hay kỹ năng vẽ thêm mới chứng minh được.


Ví dụ 1. Cho tam giác ABC . Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A . Gọi , ,I M J theo thứ tự là trung điểm của , ,EB BC CF . Chứng

minh tam giác IMJ vuông cân. Lời giải

+) Ta có: 0,90

( ) ,A

Q E B

0,90

(C) .A

Q F

Suy ra: 0,90

( )A

Q EC BF

EC BF và EC BF .

+) Mà: 2

2

MI CE MI MJMIJ

MI MJMJ BF

vuông cân tại M.

M

J

F

E

I

A

BC



Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK . Gọi

M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng AM vuông góc với FK và 1

2AM FK .

Lời giải +) Gọi D là điểm đối xứng với B qua A.

+) Ta có: 0 0,90 ,90

( ) , (C)A A

Q D F Q K

.

Suy ra: 0,90

( ) ,A

Q DC FK FK DC FK DC (1).

+) Mà: AM là đường trung bình của BCD

212

AM DC

+) Từ (1) và (2) suy ra: AM FK và 12

AM FK .

Ví dụ 3. Cho tứ giác lồi ABCD . Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác đều ABM và CDP . Về phía trong tứ giác, dựng hai tam giác đều BCN và ADK . Chứng minh MNPK là hình bình hành.

Lời giải

+) Ta có: 0 0,60 ,60

( ) , (C)B B

Q A M Q N

.

Suy ra: 0,60 ( ) 1B AC MN MN ACQ

.

+) Ta có: 0 0,60 ,60

( ) , (C)D D

Q A K Q P

.

Suy ra: 0,60 ( ) 2D AC KP KP ACQ

.

+) Ta có: 0 0, 60 , 60

( ) , ( )A A

Q B M Q D K

.

Suy ra: 0, 60 ( ) 3A BD MK MK BDQ

.

+) Ta có: 0 0, 60 , 60

( ) , ( )C C

Q B N Q D P

. Suy ra: 0, 60 ( ) 4C BD NP NP BDQ

.

+) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: .MN KP

MK NP

Vậy tứ giác MNPK là hình bình hành.

D

M

I

K

E

F

A

B

C

K

N

P

M

A

D

B

C



DẠNG 7: Ứng dụng phép quay để tìm quỹ tích của điểm.

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1. Tìm phép quay , ( )OQ M N , (với M là điểm thay đổi, N là điểm cần tìm

quỹ tích, O là điểm cố định, góc không đổi). Bước 2. Tìm quỹ tích điểm M . Bước 3. Do điểm M chạy trên đường H nên điểm N chạy trên đường 'H là ảnh của đường H qua phép quay ,OQ .

Bước 4. Vậy quỹ tích điểm N là đường 'H . Chú ý một số quỹ tích cơ bản:

1) Nếu AM k , ( k không đổi, A cố định) thì M chạy trên đường tròn C tâm A , bán kính R k . 2) Nếu MA MB , ( ,A B cố định) thì M chạy trên đường trung trực đoạn AB .

3) Nếu 090AMB , ( ,A B cố định) thì M chạy trên đường tròn đường kính AB .


Ví dụ 1. Cho đường tròn C tâm O đường kính BC . Điểm A chạy trên đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF . Tìm quỹ tích điểm E .

Lời giải

+) Ta có: 0 0,90

( ) ., 90 B

BA BEA E

BA BEQ

+) Do A chạy trên đường tròn C nên E chạy trên đường tròn

'C là ảnh của đường tròn C qua phép quay 0,90B

Q

.

+) Vậy quỹ tích điểm E là đường tròn 'C . Ví dụ 2. Cho đường thẳng d và một điểm G không nằm trên d. Với mỗi điểm A nằm trên d a dựng tam

giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích điểm B khi A chạy trên d. Lời giải

+) Do tam giác ABC đều có tâm G nên ta có:

0 0,120( ) .

, 120 G

GA GBA B

GA GBQ

+) Do A chạy trên đường thẳng d nên B chạy trên đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép quay

0,120GQ

.

+) Vậy quỹ tích điểm B là đường thẳng d’.

E

F

CO

B

A

d

G

C

B

A



DẠNG TOÁN 8. Các bài toán thực tế. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M bên trong tam giác sao cho MA MB MC đạt giá

trị nhỏ nhất. Lời giải

Chọn phép quay tâm A , góc quay 060 .

Ta có:

0

0

,60

,60

A

A

M N

C D

Q

Q

nên:

AM AN MN

AC AD

MC ND

.

Suy ra: .MA MB MC MN MB ND BD Khi đó: MA MB MC đạt GTNN

,MA MB MC BD M N BD .

+) Xác định vị trí điểm M : Do ,M N BD nên ta có:

0 0 0

0 0 0

0

180 60 120

180 60 120

120

AMB

AMC AND

BMC

. Vậy M

nhìn các cạnh của tam giác ABC dưới một góc bằng 0120 . Ví dụ 2. Bạn Nam và bạn Minh chơi trò chơi xoay Rubic. Nam đố Minh khi xoay tầng thứ nhất để lộ ra

tầng thứ hai. Hãy xác định góc tạo bởi giữa cạnh hình vuông tầng 1 và cạnh hình vuông tầng 2 sao cho giao của hai hình vuông đó có chu vi nhỏ nhất.

Lời giải

Qua phép quay ta có:

K

L

M

N

E

F

G

H

α

O

D1

C1

B1

A1

DC

AB

600

D

N

A

B C

M



1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

, ,

, ,

, ,

, , .

A EF C LK EF KL A E C K A F C L

B GH D MN GH MN B G D M B H D N

BGF DML GF ML BG DM BF DL

CHK ANE HK NE CH NA CK AE

Suy ra phần giao của hai hình vuông 1 1 1 1,ABCD A B C D là bát giác EFGHKLMN có

chu vi là: 2( )y EF FG GH HK Ta có:

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2

1 1 1 1

2 2

1

2

1

2

1

2

1

2

EF A E A F A E A F

FG BF BG BF BG

GH B G B H B G B H

HK CH CK CH CK

Cộng vế với vế ta có:

1 1 1 11

2.2

y A E A F BF BG B G B H CH CK

Thay 1 1 ,A E C K CK AE . Ta có:

1 1 1 12 ( ) ( ) ( )y AE BF A F B G BG CH B H C K Gọi x là cạnh hình vuông ta có:

2 - - -

2 4 8 2 12

min 8 2 1 , '' '' 2 1 .

y x EF x GF x GH x HK

yy x y x

y x EN x

( Giao của hai hình vuông là bát giác đều và góc tạo thành giữa AD và 1 1A D hợp với nhau góc 45o

). BÀI TẬP KIỂM TRA (Thời gian làm bài: 45 phút)

Bài 1. Cho tam giác đều ABC có tâm là O , (các đỉnh ghi theo chiều kim đồng hồ).

Tìm ảnh của tam giác OAB qua phép quay tâm O góc quay 120 .

Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho : 2 3 0d x y , và 2 2: 1 9C x y .

a) Tìm ảnh của d qua phép quay tâm O , góc quay 90 .

b) Viết phương trình đường tròn 1C sao cho C là ảnh của đường tròn 1C qua phép quay tâm

2;3B , góc quay 180 . Bài 3. Cho tam giác ABC . Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông , ,BCIJ ACMN ABEF và

gọi , ,O P Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng.



a) Gọi D là trung điểm của AB . Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân tại đỉnh D .

b) Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ .

Bài 4. Cho đường tròn C và điểm A cố định trên C . Gọi M là điểm chạy trên đường tròn đó. Dựng hình vuông ANMP . Tìm quỹ điểm N .

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN

Bài 1. 0,120

.O

OCAOABQ

Bài 2. a) ' : 2 3 0d x y . b) 2 2

' : 5 6 9C x y .

Bài 3.

a) + 0 0 0, 90 , 90 , 90

,C C C

B M BMI A IAQ Q Q

Suy ra ,IA BM IA BM

(1).

+ Có DO là đường trung bình của 1

2ABI DO AI

(2).

+ Có DP là đường trung bình của 1

2ABM DP BM

(3).

+ Từ (1), (2) và (3) suy ra ,DO DP DO DP DOP

vuông cân tại D. b) +

0 0 0, 90 , 90 , 90

,D D D

A O AOQ P QPQ Q Q

+ Theo tính chất phép quay suy ra , QPQP OA OA .

Bài 4. + 1

2

0, 45 ,,

A AB V NM BQ

+ Quỹ tích điểm N là đường tròn 'C là ảnh của đường tròn C qua phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép

1

2

0, 45 ,, .

A AVQ



BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1. Cho tam giác đều ABC có tâm là O , (các đỉnh ghi theo chiều kim đồng hồ).

a) Tìm ảnh của điểm B , đoạn thẳng BC qua phép quay tâm O góc quay 60 .

b) Tìm ảnh của tam giác OAB qua phép quay tâm O góc quay 120 .

c) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm A góc quay .

Bài 2. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O , (các đỉnh ghi theo chiều kim đồng hồ).

a) Tìm ảnh của đoạn thẳng BC , tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay 60 .

b) Tìm ảnh của tam giác ABC , tam giác ACD qua phép quay tâm A góc quay 60 .

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm 1; 5M . Tìm tọa độ điểm N là ảnh của điểm M qua phép quay tâm 0;0O góc quay 0.90

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm 3;4M . Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O , góc quay60 .

Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm 3;2P . Tìm toạ độ điểm Q sao cho điểm P là ảnh của Q qua phép quay tâm 2;3I , góc quay 270 .

Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng 2 3

:1 2

x td

y t

. Viết phương trình đường thẳng 'd là

ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O , góc quay 90 .

Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng : 5 2 3 0d x y . Viết phương trình đường thẳng 'd

là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O , góc quay 180 .

Bài 8. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng 2

: 33

xd y

. Viết phương trình đường thẳng 'd là

ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm 1;2I , góc quay 270 .

Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng : 3 2 0x y . Viết phương trình đường thẳng ' là

ảnh của đường thẳng qua phép quay tâm O , góc quay 45 ? Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng : 3 0d x y . Viết phương trình đường thẳng

sao cho d là ảnh của đường thẳng qua phép quay tâm 3; 2I , góc quay 180 .

Bài 11. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn 2 2: 1 9C x y . Tìm ảnh của đường tròn C

qua phép quay tâm O , góc quay 180 .

Bài 12. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn 2 2: 4 6 12 0.C x y x y Tìm ảnh của đường tròn C qua phép quay tâm 2;0A , góc quay 270 .

Bài 13. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn 2 2

: 2 4 16.C x y Viết phương trình

đường tròn 1C sao cho C là ảnh của đường tròn 1C qua phép quay tâm O , góc quay 90 .

Bài 14. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn 2 2: 4 2 5 0.C x y x y Viết phương trình đường tròn 1C sao cho C là ảnh của đường tròn 1C qua phép quay tâm O , góc quay 180

.



Bài 15. Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol 2: 5 3P y x x . Tìm ảnh của parabol P qua phép quay tâm 1;2I , góc quay180 .

Bài 16. Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol 2: 4P y x . Tìm ảnh của parabol P qua phép quay tâm O , góc quay90 .

Bài 17. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường cong E có phương trình 2 2

125 16

x y . Viết phương trình

đường cong 1E sao cho E là ảnh của 1E qua phép quay tâm O , góc quay 90 .

Bài 18. Cho ba điểm , ,A B C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng ,AB BC làm cạnh, dựng các

tam giác đều ,ABE BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB . Gọi ,M N lần lượt là các

trung điểm của các đoạn thẳng ,AF CE . Chứng minh tam giác BMN đều.

Bài 19. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Dựng bên ngoài ABCD các hình vuông ABEF và

BCGH . Gọi ,I J lần lượt là tâm của hai hình vuông trên. Chứng minh tam giác IOJ vuông cân.

Bài 20. Cho tam giác ABC . Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao cho ,C D nằm khác phía với AB . Chứng minh giao điểm của BI và CD nằm trên đường cao AH của

tam giác ABC . Bài 21. Cho tam giác ABC . Dựng bên ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE và ACFG . Gọi H trung điểm của BC . Chứng minh 2EG AH . Bài 22. Cho tam giác ABC . Dựng bên ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE . Gọi

,K H lần lượt là chân các đường phân giác trong của các tam giác ABE và ACD kẻ từ A . Gọi I

trung điểm của AK . Chứng minh HI AK .

Bài 23. Cho đường tròn O và tam giác ABC . Một điểm M thay đổi trên O . Gọi 1M là điểm đối xứng với M qua A , 2M là điểm đối xứng với 1M qua B và 3M là điểm đối xứng với 2M qua C .

Tìm quỹ tích điểm 3M .

Bài 24. Cho nửa đường tròn đường kính AB . Gọi C là điểm chạy trên nửa đường tròn đó. Trên AC lấy điểm D sao cho AD CB . Qua A kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn rồi lấy AE AB ( ,E C cùng

thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ). Tìm quỹ tích điểm D . HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Bài 1: a) 10,60OBBQ

, với B1 đối xứng với C qua O.

1 10,60OBBC CQ

, với C1 đối xứng với A qua O.

b) 0, 120

.O

OBCOABQ

c) 1 10,180AAB CABCQ

, với B1, C1 lần lượt đối xứng B, C qua A.

Bài 2:



a) 0,60O

CDBCQ

.

b) 0,60A

AOEABCQ

, 10,60AAEDACDQ

, với D1 đối xứng A qua F.

Bài 3: 5; 1N .

Bài 4: ;3 3 3

2 3 22 2

M

.

Bài 5: 1;8Q .

Bài 6: ' : 3 2 1 0d x y .

Bài 7: ' : 5 2 3 0d x y .

Bài 8: ' : 3 17 0d x y .

Bài 9: ' : 2 02x y .

Bài 10: : 13 0x y .

Bài 11: 2 2' : 1 9C x y .

Bài 12: 2 2' : 1 25C x y .

Bài 13: 2 2

' : 4 2 16C x y .

Bài 14: . 12 2

: 2 1 10C x y

Bài 15: 2' 7:P xy x .

Bài 16: 2

'4

:Px

y .

Bài 17: 12 2

: 116 25

Ex y

.

Bài 18:

0,60BQ

biến các điểm E, C lần lượt thành các điểm A, F nên 0,60B

Q biến đường thẳng EC thành đường

thẳng nên AF EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 060 .

0,60BQ

cũng biến trung điểm N của EC thành trung điểm M của AF nên BN BM và

0, 60BN BM , do đó tam giác BMN đều.. Bài 19:

+) 0,90

.B

AH ECAH EC

AH ECQ



+) Mà 2OJ

2OI

AH

CE

nên tam giác IOJ vuông cân tại O.

Bài 20: Gọi M, O lần lượt là tâm của hai hình vuông ABDE và ACIJ. Trên tia đối của tia AH dựng AK BC ,

gọi 0M,90

Q là phép quay tâm M góc quay 090 , gọi 0O,90

Q là phép quay tâm O góc quay 090

Có 0O,90

( )C Q A , 0 0O,90 O,90

(K ) B (K)AK BC

BC Q A QAK BC

.

Ngoài ra 0O,90

(C)I Q . Từ đó suy ra BI là ảnh của KC qua phép quay tâm O góc quay 090 nên

BI KC (1).

Có 0M, 90

( )B Q A

, 0 0M, 90 M, 90

(K ) (K)AK BC

BC Q A C QAK BC

.

Ngoài ra 0M, 90

(B)D Q

. Từ đó suy ra CD là ảnh của KB qua phép quay tâm O góc quay 090 nên

CD KB (2). Gọi P BI CD P là trực tâm của tam giác KBC hay P KH P AH . Bài 21:

Gọi 0 0;90

'' ( )

, ' 90A

AB ABB Q B

AB AB

0

'

' 180

AB AB AE

EAB

, , 'E A B thẳng hàng và A trung

điểm của EB’ (1).

Lại có 00 ;90( )

, 90 A

AG ACG Q C

AC AG

Gọi 0;90

( )A

J Q H AJ AH và J là trung điểm của B’G (Vì H trung điểm của BC) (2).

Từ (1) và (2) suy ra AJ là đường trung bình của ' 2 2B EG EG AJ AH . Bài 22:

Ta có ABD đều 0;600

( )( , ) 60 A

AB ADB Q D

AB AD

Ta có ACE đều 0;600

(C)( , ) 60 A

AE ACE Q

AE AC

Suy ra 0 0;60 ;60

( ) ( )A A

ABE Q ADC AK Q AH

Suy ra 0 0;60

( ), 60A

AK AHK Q H AHK

AK AH

đều.

Suy ra HI AK (trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đường cao).

Bài 23: Quỹ tích điểm 3M là đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép quay tâm D, góc quay 900.

Bài 24: Quỹ tích điểm D là nửa đường tròn đường kính AE là ảnh của nửa đường tròn đường kính AB

qua phép quay tâm P, góc quay , với P là trung điểm cung AB và 090 .APB

phÉp quay€¦ · hoc360.net - tÀi liỆu hỌc tẬp miỄn phÍ group: phÉp quay phẦn i -...

Documents