phƯƠng trÌnh tÍch phÂn ngẪu nhiÊn · khoa học, kinh tế và công nghệ. Đặc biệt,...
TRANSCRIPT
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————————–
TRẦN THỊ THỦY
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————————–
TRẦN THỊ THỦY
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS ĐẶNG HÙNG THẮNG
Hà Nội - 2015
Mục lục
LỜI CẢM ƠN 3
MỞ ĐẦU 3
1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1 Phương trình tích phân tất định: . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Giới thiệu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Phương trình Fredholm loại 2 với hạch suy biến: . . 9
1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến: . . . . . . . . . . 11
1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . 12
1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục . . . . . . . 25
1.3.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: . . . . . . . 29
2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FRED-
HOLM VÀ VOLTERRA 33
2.1 Phương trình Fredholm và Volterra với hàm vế phải là ngẫu
nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Giới thiệu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Nghiệm của phương trình tích phân: . . . . . . . . . 34
1
2.1.3 Nghiệm của hàm hiệp phương sai: . . . . . . . . . . 37
2.1.4 Sự liên tục bình phương trung bình của nghiệm: . . 40
2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener: 41
2.2 Hạch K(x, y, ω) là ngẫu nhiên suy biến . . . . . . . . . . . 42
2.3 Hạch K(x, y, ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên không
gian các hàm gián đoạn vừa phải . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
PHI TUYẾN 49
3.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên . . . . . . . . . 49
3.1.1 Thiết lập phương trình tích phân của một số các
phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên . . . . . 49
3.1.2 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên trong
không gian các hàm liên tục: . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên . . 58
3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch
ngẫu nhiên và vế phải ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.1 Giới thiệu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2 Tồn tại và duy nhất: . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Tài liệu tham khảo 67
2
LỜI CẢM ƠNLuận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của
GS.TS.Đặng Hùng Thắng- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQGHN.Thầy đã dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp các thắc mắc của tôi trongsuốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnngười thầy của mình.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong KhoaToán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốcgia Hà Nội đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trongsuốt quá trình học tập
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạođiều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, Tháng 4 năm 2015.
3
MỞ ĐẦU
Từ cuối thế kỉ 17, Newton và Leibniz đã xây dựng phép tính vi phânvà tích phân cổ điển. Tới nửa đầu thế kỉ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầuđược xây dựng. Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên thì phép tínhtích phân ngẫu nhiên đã trở thành công cụ quan trọng ứng dụng nhiềutrong toán học, vật lý, sinh học và kinh tế. Trong phương trình toán tửtuyến tính, phương trình tích phân ngẫu nhiên giúp cho việc nghiên cứutoán học hiện đại mang lại nhiều kết quả.
Trong luận văn "Phương trình tích phân ngẫu nhiên" này, chúng ta xéthai loại phương trình tích phân ngẫu nhiên là Fredholm và Volterra. Ngoàira, chúng ta xét một số phương trình tích phân ngẫu nhiên phi tuyến.Chúng được quan tâm lớn và có tầm quan trọng trong nhiều nhánh củakhoa học, kinh tế và công nghệ. Đặc biệt, những phương trình tích phânphi tuyến xuất hiện trong những hiện tượng vật lý cụ thể và trong việc xâydựng phương trình tích phân của những phương trình vi phân phi tuyến.
4
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Phương trình tích phân tất định:
1.1.1 Giới thiệu:
Xét phương trình tích phân:∫ b
a
K(x, y)f(y)dy = g(x) (1.1)
∫ b
a
K(x, y)f(y)dy− λf(x) = g(x) (1.2)
là phương trình Fredholm không thuần nhất của loại thứ nhất và thứ haitương ứng và phương trình tích phân tuyến tính:
∫ x
a
K(x, y)f(y)dy = g(x) (1.3)
∫ x
a
K(x, y)f(y)dy− λf(x) = g(x) (1.4)
là phương trình Volterra không thuần nhất của loại thứ nhất và thứ haitương ứng. Từ sự phân loại của phương trình tuyến tính trên, ta thấyphương trình Volterra là trường hợp đặc biệt của một phương trình Fred-holm với hạch:
K(x, y) =
K(x, y) nếu x > y0 nếu x < y
(1.5)
Phương trình tích phân tuyến tính chiếm một phần quan trọng củaphương trình toán tử tuyến tính trong ứng dụng toán học.
5
Chúng ta xét 3 ví dụ chỉ ra mối quan hệ của phương trình tích phân vàphương trình khác.1. Bài toán giá trị ban đầu:
Xét phương trình vi phân cấp 2:
d2x
dt2+ a
dx
dt+ bx = f(t) (1.6)
cùng với điều kiện ban đầu
x(0) = x0, x′(0) = v0 (1.7)
Trong (1.6) a và b có thể là những hàm của t. Nếu chúng ta viết lại phươngtrình (1.6) là:
d2x
dt2= −adx
dt− bx+ f(t)
và tích phân trong khoảng (0, t) chúng ta có được, sử dụng (1.7)
dx
dt= −
∫ t
0adx
dtdr −
∫ t
0bxdr +
∫ t
0fdr
= −ax−∫ t
0(b− a′)xdr +
∫ t
0fdr + a(0)x0 + v0
Tích phân trên chúng ta có được:
x(t) = x0 −∫ t
0
a(r)x(r)dr−∫ t
0
∫ t
0
[b(r)− a(r)]x(r)drdr
+
∫ t
0
∫ t
0f(r)drdr + [a(0)x0 + v0]t
mà có thể được viết với hình thức là:
x(t) =−∫ t
0a(r) + (t− r)[b(r)− a′(r)]x(r)dr
+
∫ t
0(t− r)f(r)dr + [a(0)x0 + v0]t+ x0
Có thể viết lại là:
x(t)−∫ t
0K(t, r)x(r)dr = g(t) (1.8)
6
Trong đó:
K(t, r) = (r − t)[b(r)− a′(r)]− a(r)
g(t) =
∫ t
0
(t− r)f(r)dr+ [a(0)x0 + v0]t+ x0
Do đó chúng ta đã chỉ ra rằng phương trình (1.6) và (1.7) và phương trìnhtích phân (1.8) như một phương trình Volterra của loại thứ hai.2. Bài toán biên:
Xét phương trình vi phân sau:
d2x
dt2+ λx = 0, x(0) = 0, x(a) = 0 (1.9)
Tiến hành như trong ví dụ đầu tiên, tích phân trong khoảng (0, t) :
dx
dt= −λ
∫ t
0
x(r)dr + x′(0)
Ở đây x′(0) chưa biết. Tích phân lặp lại khoảng (0, t) và sử dụng điều kiệnx(0) = 0, chúng ta có được:
x(t) = −λ∫ t
0
(t− r)x(r)dr + x′(0)t (1.10)
Thay điều kiện thứ hai x(a) = 0 chúng ta có:
x′(0) = (λ/a)
∫ a
0(a− r)x(r)dr
Do đó, (1.10) có thể được viết lại là :
x(t) = −λ∫ t
0(t− r)x(r)dr + t(λ/a)
∫ a
0(a− r)x(r)dr
= (λ/a)
∫ t
0r(a− t)x(r)dr+ (λ/a)
∫ a
t
t(a− r)x(r)dr (1.11)
Nếu chúng ta đặt :
K(t, r) =
(r/a)(a− t) với r < t(t/a)(a− r) với r > t
7
Phương trình (1.11) có thể được viết lại là:
x(t) = λ
∫ a
0K(t, r)x(r)dr (1.12)
Do đó, phương trình (1.9) dẫn đến phương trình Fredholm của loại thứhai.3. Xét toán tử vi phân tuyến tính cấp 2 sau:
L[x] =d
dt
[p(t)
dx
dt
]+ q(t)x (1.13)
Ở đó, p(t) > 0. Chúng ta sẽ xét hàm x(t) ở hai đầu của một khoảng đãcho (a, b) thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất:
αx(a) + βx′(a) = 0, γx(b) + δx′(b) = 0 (1.14)
Chúng ta cũng giả sử rằng nghiệm duy nhất x(t) của phương trìnhLx = 0 thỏa mãn điều kiện biên (1.14) và để x(t) và x′(t) là liên tục thìnghiệm tầm thường x(t) ≡ 0.
Hàm Green’s hoặc hàm ảnh hưởng liên kết với toán tử L khác và điềukiện biên là hàm G(t, r) với những tính chất dưới đây:(i) G(t, r) là liên tục với t, r ∈ [a, b]
(ii) Mỗi khoảng [a, r] và [r, b], đạo hàm ∂G∂t
và ∂G∂r
là liên tục.(iii) G(t, r) là liên tục tại t = r
(iv) Đạo hàm của G là điểm gián đoạn của độ lớn − 1p(r)
tại t = r, đó là:
∂G
∂r
]
t=r+− ∂G
∂r
]
t=r−=
1
p(r)
(v) Cho r cố định , G(t, r) thỏa mãn phương trình L[G] = 0 trong mỗikhoảng [a, r), (r, b]
(vi)Hàm của t, G(t, r) thỏa mãn điều kiện của biên (1.14) Để định nghĩahàm Green’s chúng ta xây dựng tích phân u(t) và v(t) của L[x] = 0 thỏamãn điều kiện Cauchy:
u(a) = β u′(a) = −αv(b) = δ v′(b) = −γ
8
Tích phân u(t) và v(t) tuyến tính độc lập và từ lý thuyết của phương trìnhtuyến tính khác, chúng ta có:
p(t)[u(t)v′(t)− u′(t)v(t)] = c 6= 0
Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa một hàm G(t, r) bằng:
G(t, r) =
u(t)v(r)/c với t ∈ [a, r]u(r)v(t)/c với t ∈ [r, b]
(1.15)
Và nó không khó để xác minh rằng hàm định nghĩa như trên thỏa mãntính chất (i)-(vi) của hàm Green’s. Từ (1.15) hàm G(t, r) tương ứng vớithuộc tính dưới đây:(vii) G(t, r) = G(r, t) tức là G(t, r) là một hàm đối xứng.
Tiếp theo chúng ta phát biểu hai kết quả là tầm quan trọng trong việcđưa phương trình vi phân dạng Lx = f(t) đến phương trình Fredholm.
Định lý 1.1. Cho f(t) là một hàm liên tục được xác định trên [a,b]. Nếu
x(t) là một nghiệm của phương trình vi phân:
Lx+ f(t) = 0 (1.16)
thỏa mãn điều kiện biên (1.14), thì x(t) có thể được viết dưới dạng:
x(t) =
∫ b
a
G(t, r)f(r)dr (1.17)
1.1.2 Phương trình Fredholm loại 2 với hạch suy biến:
Trong phần này, chúng ta xét phương trình tích phân Fredholm loạihai: ∫ 1
0
K(x, y)f(y)dy− λf(x) = g(x) (1.18)
Một hạch Fredholm K(x, y) được gọi là suy biến nếu nó có dạng:
K(x, y) =n∑
i=1
αi(x)βi(y) (1.19)
với αi(x)ni=1 và βi(y)
ni=1 là hai bộ độc lập của hàm L2(0, 1) độc lập tuyến
tính. Trong trường hợp này, phương trình tích phân Fredholm (1.18) tương
9
đương hệ n phương trình đại số tuyến tính với n chưa biết. Nếu chúng tađặt :
ξj =
∫ 1
0
βj(x)f(x)dx j = 1, 2, . . . , n (1.20)
Phương trình (1.18) với hạch (1.19) trở thành:n∑
j=1
ξjαj(x)− λf(x) = g(x) (1.21)
ξj chưa biết không đổi, hàm f(x) chưa biết . Từ phương trình (1.21), chúngta thu được:
f(x) =1
λ
n∑
j=1
ξjαj(x)− g(x) (1.22)
Nếu chúng ta nhân phương trình (1.21) với βi trong đó i = 1, 2, . . . , n vàsau đó tích phân lên chúng ta thu được:
n∑
j=1
ξj
∫ 1
0αj(x)βi(x)dx− λξi =
∫ 1
0βi(x)g(x)dx
n∑
j=1
aijξi = bi i = 1, 2, . . . , n (1.23)
ai =
∫ 1
0αj(x)βi(x)dx
bi =
∫ 1
0βi(x)g(x)dx (1.24)
Viết lại phương trình (1.23) dưới hình thức ma trận, chúng ta được :
(A− λI)xi = b (1.25)
Với A = (aij) là ma trận cỡ n× n và ξ và b là n-vecto (1.23) tương đươngvới phương trình (1.18). Do đó, nếu ξj là nghiệm của phương trình (1.23),tương ứng với nghiệm của phương trình (1.18) được tính bởi phương trình(1.22).
10
1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến:
Những phương trình tích phân phi tuyến được quan tâm lớn và có tầmquan trọng trong nhiều nhánh của khoa học, kinh tế và công nghệ. Trongtrường hợp của những phương trình tích phân tuyến tính, những phươngtrình tích phân phi tuyến xuất hiện trong toán học hiện đại của nhữnghiện tượng vật lý cụ thể và trong việc xây dựng phương trình tích phâncủa những phương trình vi phân phi tuyến. Ví dụ, bài toán giá trị banđầu:
x(t) = x(a) +
∫ t
a
f(r, x(r))dr (1.26)
Và bài toán giá trị biên có thể dẫn đến phương trình tích phân Hammer-stein có dạng:
x(t) +
∫ K
a
(t, r)f(r, x(r))dr = 0 (1.27)
Nghiên cứu bài toán phi tuyến trong thuyết mạch điều khiển dẫn tớiphương trình tích phân có dạng:
x(t)−∫ ∞
−∞K(t− r)ψ(x(r), r)dr = y(t) (1.28)
Trong phương trình (1.28) hàm ψ(x, t) đại diện cho phần tử phi tuyếnbiến thời gian. K(t) đặc trưng tần số của hệ tuyến tính và vế phải y(t) làtín hiệu vào. Benes đã nghiên cứu phương trình (1.28) trong không gianMarcinkiewicz M2. Không gian hàm M2(−∞,∞) là lớp các tích phân địaphương đo được. Những hàm giá trị thực x(t), t ∈ T = (−∞,∞) mà:
||x||2 = limA→∞
sup(1/2A)
∫ A
−A
|x(t)|2dt (1.29)
(1.29) có thể chỉ ra điều kiện độ hữu hạn yếu.M0 định nghĩa cho không giancon của hàm có độ 0, x(t) ∈ M2, ||x|| = 0 và không gian thương M2/M0
bao gồm tất cả lớp x+M0, trong đó x ∈M2. Với chuẩn ||x|| = ||x +M0||,không gian thương M2/M0 là không gian Banach. Đồng cấu tự nhiên λ
của M2 vào M2/M0 định nghĩa bởi:
λ : x→ ξ : ||ξ − x|| = 0, x ∈M2
11
Ánh xạ toán tử M2 vào chính nó có thể mở rộng vào M2/M0 theo λ.Nếu T :M2 →M2 khi đó T [λx] = λTx với x ∈M2.
Sử dụng định lý ánh xạ co Banach, Benes đã tìm ra sự tồn tại và duynhất nghiệm định lý của phương trình (1.28).
Định lý 1.2. Giả sử:
(i) ψ(x, t) thỏa mãn điều kiện:
α(x1 − x2) 6 ψ(x1, t)− ψ(x2, t) 6 β(x1 − x2) (1.30)
∀t, x1, x2, x1 > x2 và một vài hằng số α, β(β > 0
(ii) K(t) là một hàm L2 sao cho:∫ ∞
−∞t2|K(t)|2dt < ∞ (1.31)
∣∣∣∣12(α+ β)− 1∫∞−∞ e−iµtK(t)dt
∣∣∣∣ >1
2(β − α) (1.32)
y(t) là hàm bất kì trong M2. Khi đó tồn tại nghiệm x(t) ∈M2 của phương
trình (1.28) và λx là duy nhất trong M2/M0 và cũng là hàm thuộc M0.
1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. Cho T=[a;b] và hàm ngẫu nhiên X = X(t), t ∈ T
1. X = X(t), t ∈ T được gọi là L0 khả vi tại điểm s nếu tồn tại giới hạn:
p− limt→s
X(t)−X(s)
t− s
Giới hạn này được kí hiệu là L0 −X ′(s).
X = X(t), t ∈ T được gọi là L0 khả vi trên T nếu L0 khả vi tại mọi điểm
s ∈ T
2. Giả sử X(t) ∈ Lp, ∀t ∈ T,X = X(t), t ∈ T được gọi là (0 < p < ∞)
tại điểm s nếu tồn tại giới hạn:
limt→s
X(t)−X(s)
t− s
12
trong Lp. Giới hạn này được kí hiệu là Lp −X ′(s).
X = X(t), t ∈ T được gọi là Lp khả vi nếu nó Lp tại mọi điểm s ∈ T
Dễ thấy nếu X = X(t), t ∈ T là Lp-khả vi thì với mọi 0 6 q 6 p thì Xlà Lq-khả vi và Lq −X ′(s) = Lp −X ′(s). Do đó từ nay trở đi để cho gọnta chỉ viết X ′(t) là đủ.
Định lý 1.3. Hàm ngẫu nhiên X = X(t), t ∈ T là L2 khả vi tại điểm t0
nếu và chỉ nếu:
1. Hàm trung bình m(t) khả vi tại t02. Tồn tại giới hạn:
limh,k→0
K(t0 + h, t0 + k)−K(t0 + h; t0)−K(t0; t0 + k) +K(t0; t0)
hk(1.33)
Từ đó suy ra X là L2 khả vi nếu hàm trung bình m(t) khả vi và đạo hàm
cấp 2 ∂2K(s,t)∂s∂t
của hàm tương quan K(s,t) tồn tại và liên tục. Trong trường
hợp đó ta có:
EX ′(t) = m′(t)
cov(X ′(s), X ′(t)) =∂2K(s, t)
∂s∂t
Chứng minh:Ta thấy X = X(t), t ∈ T là L2 khả vi tại t0 nếu và chỉ nếu:
1. Tồn tại giới hạn:
limh→0
E
(X(t0 + h)−X(t0)
h= lim
h→0E
(m(t0 + h)−m(t0)
h
)
2. Tồn tại giới hạn:
lim(h,k)→(0,0)
cov
(X(t0 + h)−X(t0)
h,X(t0 + k)−X(t0)
k
)=
limh,k→0
K(t0 + h, t0 + k)−K(t0 + h, t0)−K(t0, t0 + k) +K(t0, t0)
hk
Mặt khác nếu ∂2K(s,t)∂s∂t
tồn tại và liên tục thì tồn tại giới hạn 1.33.
13
Định lý 1.4. Giả sử X = X(t), t ∈ [a, b] là Lp khả tích trên (a,b) ở đó
p > 1. Khi đó với a 6 s < t 6 b ta có:
E|X(t)−X(s)|p 6 [ supt∈(a,b)
E|X ′(t)|p](t− s)p
Từ đó suy ra nếu X ′(t) = 0 ∀t ∈ T thì X(t) = ξ ∀t
Chứng minh:Xét ánh xạ t 7−→ X(t) từ T vào không gian Banach Lp. Khi đó tính Lp
khả vi chính là tính khả vi của ánh xạ X. Do đó kết luận của định lý suyra từ định lý số gia giới nội của đạo hàm hàm giá trị Banach.
Ví dụ 1.1. Giả sử X = X(t), t ∈ T là hàm ngẫu nhiên Poisson với tham
số λ. Ta chứng minh rằng X = X(t), t ∈ T không L2-khả vi ở bất cứ điểm
t0 nào.
Thật vậy, hàm tự tương quan của X là K(s, t) = λmin(s, t).Với h = k > 0 ta có:
lim(h,k)→(0,0)
K(t0 + h, t0 + h)−K(t0 + h, t0)−K(t0, t0 + h) +K(t0, t0)
h2
= limh→0
λt0 + h− t0 − t0 + t0
h2= lim
h→0λ1
h= ∞
Chú ý rằng tồn tại bản sao của X với hầu hết các quỹ đạo là hàm bậcthang không giảm với bước nhảy bằng 1. Mỗi quỹ đạo như vậy chỉ khôngkhả vi tại các điểm bước nhảy.
Tương tự hàm ngẫu nhiên Wiener W không L2-khả vi ở bất cứ điểm t0
nào. Bây giờ ta định nghĩa khái niệm tích phân Riemann cho hàm ngẫunhiên.
Định nghĩa 1.2. Cho T=[a,b] và hàm ngẫu nhiên X = X(t), t ∈ T
Với phép phân hoạch I của đoạn [a,b] a = t0 < t1 < . . . < tn = b với
|I| = max(ti+1 − ti) là đường kính của I, ta lập tổng tích phân Riemann:
SI =n−1∑
i=0
X(si)(ti+1 − ti)
14
trong đó si ∈ [ti+1, ti]
Nếu tồn tại giới hạn trong Lp(0 6 p < ∞) không phụ thuộc vào việc
chọn các điểm si.
lim|I|→0
SI
thì ta nói X là Lp khả tích Riemann và viết
lim|I|→0
SI = (Lp)−∫ b
a
X(t)dt
Chú ý: Nếu X = X(t), t ∈ T là Lp-khả tích thì∫ b
a X(t)dt là một biếnngẫu nhiên trong Lp(Ω). Hơn nữa, với mọi 0 6 q 6 p thì X cũng là Lq-khảtích và Lq −
∫ b
aX(t)dt = Lp −
∫ b
aX(t)dt. Do đó từ nay trở đi để cho gọn
ta chỉ viết∫ b
aX(t)dt là đủ.
Mặt khác giả sử với hầu hết ω hàm chọn X(., ω) là khả tích Riemann.Khi đó tổng tích phân SI hội tụ hầu chắc chắn do đó:
∫ b
a
X(t, ω)dt = (Lp)−∫ b
a
X(t)dt
Như vậy trong trường hợp này có thể hiểu∫ b
a X(t)dt là tích phân Riemannthông thường trên mỗi quỹ đạo.
Tích phân của hàm ngẫu nhiên có các tính chất quen thuộc như củatích phân Riemann của hàm tất định.
Định lý 1.5. 1.∫ c
aX(t)dt+
∫ b
cX(t)dt =
∫ b
aX(t)dt (a < c < b)
2.∫ b
a[αX(t) + βY (t)dt trong đó α, β là các biến ngẫu nhiên.
Chứng minh tương tự như trong trường hợp tích phân của hàm tấtđịnh.
Định lý 1.6. Giả sử X = X(t) là Lp liên tục (p > 1). Khi đó:
1.
||∫ b
a
X(t)dt|| 6∫ b
a
||X(t)||dt
2. Đặt:
Y (t) =
∫ t
a
X(s)ds
15
Khi đó Y = Y (t), t ∈ [a, b] là Lp-khả vi và Y ′(t) = X(t)
3. Nếu X = X(t) là Lp-khả vi liên tục trên [a,b] thì∫ b
a
X ′(t)dt = X(b)−X(a)
Chứng minh:1. Hàm t 7−→ ||X(t)|| là liên tục do đó khả tích Riemann. Từ bất đẳngthức:
||SI || 6 ||X(si)||(ti+1 − ti)
cho qua giới hạn khi |I| → 0 ta có điều phải chứng minh.2. Xét điểm t0 ∈ (a, b) Giả sử ||.|| là chuẩn của không gian Banach Lp(Ω).Cho ε > 0 vì X(t) là Lp liên tục tại t0 nên tồn tại δ > 0 sao cho:||X(t)−X(t0)|| < ε nếu |t− t0| < ε ta có:
∣∣∣∣∣∣∣∣Y (t)− Y (t0)
t− t0−X(t0)
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
1
t− t0
∣∣∣∣∣∣∣∣∫ t
t0
(X(s)−X(t0))ds
∣∣∣∣∣∣∣∣
61
t− t0
∫ t
t0
||X(s)−X(t0)||ds
61
t− t0ε(t− t0) = ε
Điều này chứng minh rằng trong Lp ta có:
limt→t0
Y (t)− Y (t0)
t− t0= X(t0) → Y ′(t0) = X(t0)
3. Đặt Y (t) =∫ t
aX ′(s)ds theo khẳng định trên Y ′(t) = X ′(t) với mọi t. Do
đó theo định lý 1.4 Y (t) = X(t) + ξ ∀t trong đó ξ ∈ Lp. Vì Y (a) = 0 →ξ = −X(a). Do đó Y (b) = X(b)−X(a) tức là
∫ b
aX ′(t)dt = X(b)−X(a).
Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn về tính L2 khả tích của X thôngqua tính khả tích của hàm trung bình và hàm tự tương quan.
Định lý 1.7. Hàm ngẫu nhiên X = X(t), t ∈ T = [a, b] là L2 khả tích
nếu và chỉ nếu hàm trung bình m(t) khả tích trên T và hàm tự tương quan
16
K(s, t) khả tích trên T × T . Trong trường hợp đó ta có:
E[
∫ b
a
X(t)dt] =
∫ b
a
EX(t)dt =
∫ b
a
m(t)dt
V ar[
∫ b
a
X(t)dt] =
∫ b
a
∫ b
a
K(s, t)dsdt
cov[
∫ b
a
X(t)dt,
∫ d
c
X(t)dt] =
∫ b
a
∫ d
c
K(s, t)dsdt
Nếu X = X(t), t ∈ T = [a, b], Y = Y (t), t ∈ T = [c, d] là L2 khả tích thì:
E[
∫ b
a
X(t)dt][
∫ d
c
Y (t)dt] =
∫ b
a
∫ d
c
E[X(t)Y (s)]dsdt (1.34)
Từ đó suy ra
cov[
∫ b
a
X(t)dt,
∫ d
c
X(t)dt] =
∫ b
a
∫ b
a
cov[X(t)Y (s)]dsdt
Chứng minh:Điều kiện đủ: Giả sử X là L2 khả tích. Đặt:
ξ =
∫ b
a
X(t)dt
SI =n−1∑
i=0
X(si)(ti+1 − ti)
Vì SI hội tụ tới ξ trong L2 nên lim|I|→0
= E(SI) = Eξ. Mặt khác:
E(SI) =n−1∑
i=0
m(si)(ti+1 − ti)
Do đó, m(t) khả tích và Eξ =∫ b
am(t)dt.
Trước hết ta chứng minh 1.34. Giả sử J là một phân hoạch của đoạn[c,d] c = t′0 < t′1 < . . . < t′m = d. Đặt:
η =
∫ d
c
Y (t)dt
h(t, s) = E[X(t)Y (s)]
SYJ =
m−1∑
i=0
Y (s′j)(t′j+1 − t′j)
17
Ta có lim|I|→0|J |→0
E(SISYJ ) = Eξη. Mặt khác:
ESISYJ =
n−1∑
i=0
m−1∑
j=0
h(si, s′j)(ti+1 − ti)(t
′j+1 − t′j)
Do đó:
Eξη =
∫ b
a
∫ d
c
h(s, t)dsdt
Điều này chứng minh 1.34. Tiếp theo do 1.34 (với (Y (t) = X(t)) ta có:
Eξη =
∫ b
a
∫ d
c
E[X(t)X(s)]dsdt
=
∫ b
a
∫ d
c
K(s, t)dsdt+
∫ b
a
∫ d
c
m(t)m(s)dsdt
=
∫ b
a
∫ d
c
K(s, t)dsdt+ [
∫ b
a
m(t)dt][
∫ d
c
m(s)ds]
=
∫ b
a
∫ d
c
K(s, t)dsdt+ (Eξ)(Eη).
→ cov(ξ, η) =
∫ b
a
∫ d
c
K(s, t)dsdt
Cho a = c, b = d ta được ξ = η do đó:
V ar(ξ) = cov(ξ, ξ) =
∫ b
a
∫ d
c
K(s, t)dsdt
Điều kiện cần: Giả sử I và J là hai phép phân hoạch tùy ý của [a,b]
I : a = t0 < t1 < . . . < tn = b
J : a = t0 < t1 < . . . < tm = b
với các điểm si ∈ [ti; ti+1], s′i ∈ [t′i; t
′i+1]. Xét các tổng:
SI =n−1∑
i=0
X(si)(ti+1 − ti)
SJ =m−1∑
i=0
X(s′i)(t′i+1 − t′i)
18
Ta có tồn tại:
lim|I|→0
E(SI) = lim|I|→0
n−1∑
i=0
m(si)(ti+1 − ti) =
∫ b
a
m(t)dt
lim|I|,|J |→0
cov(SI , SJ) = lim|I|,|J |→0
n−1∑
i=0
m−1∑
j=0
K(si, s′j)(ti+1 − ti)(t
′j+1 − t′j)
=
∫ b
a
∫ b
a
K(s, t)dsdt
Ta có tồn tại lim|I|→0
SI trong L2. Vậy X là L2 khả tích.
Ví dụ 1.2. Giả sử W = (W (t), t > 0) là hàm ngẫu nhiên Wiener. Xét
hàm ngẫu nhiên X = (X(t), t > 0) xác định bởi:
X(t) =
∫ t
0W (s)ds
Tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của X.
Trước hết ta tìm kì vọng và phương sai của X(t). Ta có:
EX(t) =
∫ t
0EW (s)ds = 0
V arX(t) = V ar[
∫ t
0
W (s)ds] =
∫ t
0
∫ t
0
min(s, u)dsdu
=
∫ t
0
[
∫ u
0
sds+
∫ t
u
uds]du
=
∫ t
0(tu− u2
2)du =
t3
3
Để tìm hàm tự tương quan của X(t) giả sử 0 6 s < t. Ta có:
X(t) = X(s) + (t− s)W (s) +
∫ t
s
[W (u)−W (s)]du
→ cov(X(s), X(t)) = EX(s)X(t) = EX(s)2 + (t− s)EX(s)W (s)
+ E
(X(s)
∫ t
s
[W (u)−W (s)]du
)(1.35)
19
Mặt khác theo trên:
EX(s)2 = V arX(s) =s3
3
EX(s)W (s) = E
(∫ s
0W (s)W (u)du
)
=
∫ s
0
E[W (s)W (u)]du =
∫ s
0
cov(W (s),W (u))du
=
∫ s
0udu =
s2
2
Do W (u), 0 6 u 6 s và W (u)−W (s), s 6 u 6 t là độc lập nên X(s) =∫ s
0 W (u)du và ξ =∫ t
s [W (u)−W (s)] là độc lập. Vì vậy:
E
(X(s)
∫ t
s
[W (u)−W (s)]du
)= EX(s)Eξ = 0
Thay vào 1.35 ta được: Với 0 6 s 6 t thì:
cov(X(s), X(t)) =s3
3+ (t− s)
s2
2= (3t− s)
s2
6
Ví dụ 1.3. Giả sử N = N(t), t > 0 là hàm ngẫu nhiên Poisson với tham
số λ > 0, ξ là biến ngẫu nhiên rời rạc P (ξ = a) = P (ξ = −a) = 0, 5
và độc lập với N = N(t), t > 0. Xét hàm ngẫu nhiên V = V (t), t > 0 và
X = X(t), t > 0 cho bởi:
V (t) = ξ(−1)N(t)
X(t) =
∫ t
0V (s)ds
Ta hãy hình dung một vật chuyển động và chịu những sự va đập ngẫu
nhiên. Giả sử N(t) là số lần va đập của hạt trong khoảng thời gian (0; t].
Tại thời điểm ban đầu vận tốc của hạt là ξ. Vật giữ nguyên vận tốc của
mình đến khi nó gặp va chạm. Mỗi lần va chạm thì vận tốc của vật đổi
dấu. Như vậy V (t) chính là vận tốc của vật tại thời điểm t và X(t) là quãng
đường vật đi được trong khoảng thời gian (0;t]
Hãy tính kì vọng và phương sai của V(t), X(t).
20
Trước hết ta có:
EV (t) = (Eξ)E(−1)N(t) = 0
→ EX(t) =
∫ t
0
EV (s)ds = 0
Lại có: V arV (t) = EV (t)2 + Eξ2 = a2 và
V arX(t) =
∫ t
0
∫ t
0K(u, v)dudv (1.36)
trong đó K(s, t) là hàm tự tương quan của V(t).Giả sử 0 6 s < t. Khi đó:
K(s, t) = EV (s)V (t) = E[ξ2(−1)N(s)+N(t)]
= a2E[(−1)2N(s)+N(t)−N(s)] = a2E[(−1)N(t)−N(s)]
= a2∞∑
k=0
e−λ(t−s)λ(t− s)k
k!(−1)k
= a2e−λ(t−s)e−λ(t−s)
= a2e−2λ(t−s)
Vì vậy: K(s, t) = a2e−β|t−s|, Trong đó β = 2λ
Thay vào 1.36 ta được:
V arX(t) = a2∫ t
0
∫ t
0e−β|u−v|dudv
= a2∫ ∫
06v6u6t
e−β(u−v)dudv
+ a2∫ ∫
06u6v6t
e−β(v−u)dudv
= 2a2∫ ∫
06v6u6t
e−β(u−v)dudv
= 2a2∫ t
0e−β(u−v)du
∫ u
0e−β(u−v)dv
=2a2
β2(e−βt + βt− 1)
Định lý sau đây cho ta sự khai triển một hàm ngẫu nhiên thành chuỗingẫu nhiên.
21
Định lý 1.8. (Khai triển Karunen-Loeve) Cho X = X(t), t ∈ [a, b] là
hàm ngẫu nhiên L2 liên tục. Khi đó tồn tại dãy các đại lượng ngẫu nhiên
ξn đôi một không tương quan với kì vọng 0 và dãy hàm tất định φn(t) sao
cho ∀t ∈ [a, b] ta có khai triển sau:
X(t) = m(t) +∞∑
n=1
ξnφn(t) (1.37)
trong đó:
• m(t) là hàm trung bình của X(t)
• Dãy φn(t) là cơ sở trực chuẩn của L2[a, b] và là các hàm riêng của
toán tử tích phân A: L2[a, b] → L2[a, b] cho bởi
Ax(t) =
∫ b
a
K(s, t)x(s)ds
ở đó K(s,t) là hàm tự tương quan của X.
• Eξn = 0, V arξn = λn trong đó λn là giá trị riêng của A ứng với hàm
riêng φn(t). Sự hội tụ của chuỗi (1.37) là hội tụ trong L2
Chứng minh:Xét toán tử tích phân A:L2[a, b] → L2[a, b] cho bởi:
Ax(t) =
∫ b
a
K(s, t)x(s)ds
Theo lý thuyết về phương trình tích phân tồn tại một cơ sở trực chuẩn củaL2[a, b] gồm các hàm riêng φn(t) với các giá trị riêng tương ứng λn > 0
của A và
Aφn(t) =
∫ b
a
K(s, t)φn(t)ds = λnφn(t)
K(s, t) =∞∑
n=1
λnφn(s)φn(t)
ở đó chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều theo cả hai biến s,t.Đặt Y (t) = X(t)−m(t) ta có EY (t) = 0, EY (s)Y (t) +K(s, t). Đặt:
ξn =
∫ b
a
φn(t)Y (t)dt
22
Ta có:
Eξn =
∫ b
a
φn(t)EY (t)dt = 0
cov(ξn, ξm) = Eξnξm =
∫ b
a
∫ b
a
φm(s)φn(t)EY (s)Y (t)dsdt
=
∫ b
a
∫ b
a
φm(s)φn(t)K(s, t)dsdt
=
∫ b
a
φn(t)dt
∫ b
a
K(s, t)φm(s)ds
= λm
∫ b
a
φm(s)φn(t)dt = λnδmn
Ở đó δmn là ký hiệu Kronecke.Vậy cov(ξn, ξm) = 0 nếu m 6= m và V arξn = λn lại có:
EY (t)ξk = E
∫ b
a
Y (t)Y (s)φk(s)ds
=
∫ b
a
K(s, t)φk(s)ds = λkφk(t)
E
(Y (t)−
n∑
k=1
ξkφk(t)
)2
= EY 2(t)− 2n∑
k=1
φk(t)EY (t)ξk + E(n∑
k=1
ξkφk(t))2
= K(t, t)− 2n∑
k=1
λkφ2k(t) +
n∑
k=1
λkφ2k(t)
= K(t, t)−n∑
k=1
λkφ2k(t) → 0
khi n→ ∞Vậy Y (t) =
∑∞k=1 ξkφk(t) trong L2 do đó ta có (1.37).
Chú ý: Nếu X(t) là hàm ngẫu nhiên Gauss thì ξn là dãy biến ngẫu nhiênGauss không tương quan do đó chúng độc lập.
Ví dụ 1.4. Ta tìm khai triển Karunen-Loeve của hàm ngẫu nhiên Wiener
23
trên [0;1]. Ta có m(t) = 0, K(s, t) = min(s, t). Xét phương trình:∫ 1
0
min(s, t)φn(s)ds = λnφn(t)
→∫ t
0sφn(s)ds+ t
∫ 1
t
φn(s)ds = λnφn(t)
→ λnφ′n(t) = −
∫ t
1
φn(s)ds
→ λnφ′′n(t) = −φn(t)
Từ hệ phương trình vi phân này với điều kiện ban đầu φn(0) = 0, φ′n(1) = 0
và điều kiện chuẩn hóa∫ 10 φ
2n(t)dt = 1 ta tìm được:
φn(t) =√2sin(n+
1
2)πt
λn =1
(n+ 12)
2π2n = 1, 2, . . .
Cho nên:
W (t) =√2
∞∑
n=1
ξnsin(n+1
2)πt
trong đó dãy (ξn), n = 1, 2, . . . là dãy các biến Gauss độc lập N(0, λn).
Một khai triển Karunen-Loeve khác của hàm ngẫu nhiên Wiener trên
[0;1] được thiết lập như sau:
Đặt X(t) =W (t)− tW (1). Dễ thấy X(t) là hàm ngẫu nhiên Gauss với
hàm trung bình m(t)=0 và hàm tự tương quan K(s, t) = min(s− t)− ts.
Tương tự như trên ta tìm được các hàm riêng và giá trị riêng là:
φn(t) =√2sin(nπt)
λn =1
n2π2n = 1, 2, . . .
Vì vậy :
X(t) =√2
∞∑
n=1
ξnsinnπt
→W (t) = tW (1) +√2
∞∑
n=1
ξnsinnπt
24
trong đó (ξn), n = 1, 2, . . . là dãy các biến Gauss độc lập. Đặt ξ0 = W (1)
dễ kiểm tra được Eξ0 = 0, Eξ20 = 1 và:
Eξ + 0ξn =√2
∫ 1
0
E(W (t)− tW (1))W (1)sinnπtdt
=√2
∫ 1
0
(EW (t)W (1)− tEW (1)2)sinnπtdt = 0
Do đó :
W (t) = tξ0 +√2
∞∑
n=1
ξnsinnπt
nπ
trong đó dãy (ξn), n = 0, 1, 2, . . . là dãy các biến Gauss độc lập N(0, 1).
1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính
1.3.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục
Định nghĩa 1.3. Cho E là không gian metric khả ly và Y là không gian
Banach khả ly. Một ánh xạ Φ : Ω× E → Y được gọi là một toán tử ngẫu
nhiên từ E vào Y nếu với mỗi x ∈ E,Φ(ω, x) là một biến ngẫu nhiên Y
giá trị.
Từ quan điểm của lý thuyết xác suất, một toán tử ngẫu nhiên Φ :
Ω × E → Y định nghĩa là một ánh xạ Φ từ E vào LY0 (Ω) đặt tương ứng
mỗi phần tử x ∈ E với một biến ngẫu nhiên Y- giá trị Φ(x) xác định bởiΦx(ω) + Φ(ω, x)
Sau đây ta định nghĩa một số tính chất chính quy của toán tử ngẫunhiên.
Định nghĩa 1.4. Cho Φ là toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y.
1. Φ được gọi là liên tục tại x0 ∈ E nếu với mỗi ω ∈ Ω ánh xạ x→ Φ(ω, x)
là liên tục tại x0.
2. Φ được gọi là liên tục trên E nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 ∈ E.
3. Φ được gọi là liên tục ngẫu nhiên tại điểm x0 ∈ E nếu với mỗi dãy
(xn) ⊂ E sao cho limxn = x0 ∈ E và với mỗi ε > 0 ta có:
limn→∞
P (ω : ||Φ(ω, xn)− Φ(ω, x0)|| > ε) = 0
25
4. Φ được gọi là liên tục ngẫu nhiên trên E nếu nó liên tục tại mọi điểm
x0 ∈ E
Định nghĩa 1.5. 1. Giả sử E là không gian Banach. Toán tử ngẫu nhiên
Φ từ E vào Y được gọi là tuyến tính nếu: với mỗi x1, x2 ∈ E, λ1, λ2 ∈ R
ta có:
Φ(ω, λ1x1 + λ2x2) = λ1Φ(ω, x1) + λ2Φ(ω, x2)
hầu chắc chắn.
2. Toán tử ngẫu nhiên Φ từ E vào Y được gọi là toán tử tuyến tính liên
tục ngẫu nhiên nếu Φ tuyến tính và liên tục ngẫu nhiên.
3. Toán tử ngẫu nhiên Φ từ E vào Y được gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyến
tính bị chặn nếu A tuyến tính và tồn tại biến ngẫu nhiên không âm k(ω)
sao cho với mỗi x ∈ E:
||Φx(ω)|| 6 k(ω)||x||
hầu chắc chắn.
Định lý 1.9. Một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ E vào Y là liên tục
ngẫu nhiên nếu và chỉ nếu:
limt→∞
sup||x||61
P (||Ax|| > t) = 0 (1.38)
Chứng minh:Giả sử A liên tục ngẫu nhiên. Cho ε > 0. Do A liên tục ngẫu nhiên tại
0 nên tồn tại δ > 0 sao cho nếu ||x|| < δ thì P (||Ax|| > 1) < ε. Nếu t > 1δ
thì với mỗi x: ||x|| 6 1 ta có:
P (||Ax|| > t) = P (||A(x/t)|| > 1) < ε
vì ||xt|| 6 1
t< δ. Điều này chứng minh (1.38).
Ngược lại giả sử có (1.38). Cho trước c > 0, ε > 0 khi đó tồn tại t > 0
sao cho P (||Ax|| > t) < ε với mọi x ||x|| 6 1. Lấy δ = ct
ta có t||x|| < c
nếu ||x|| < δ. Do đó nếu ||x|| < δ thì:
P (||Ax|| > c) 6 P (||Ax|| > t||x||) = P (||A(x/||x||)|| > t) < ε
26
. Vậy:limx→0
P (||Ax|| > c) = 0
tức là A liên tục ngẫu nhiên tại 0. Từ đó:
limxn→x0
P (||A(xn)− A(x0)|| > c) = P (||A(xn − x0)|| > c) = 0
Từ định lý trên ta suy ra nếu A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bịchặn thì A là toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên. Tuy nhiên điều ngượclại không đúng.
Sau đây là một số ví dụ về toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên.
Ví dụ 1.5. Giả sử T1, T2, . . . , Tn ∈ L(E, Y ) và α1, α2, . . . , αn là các biến
ngẫu nhiên thực. Khi đó dễ thấy toán tử ngẫu nhiên A xác định bởi:
Ax(ω) =n∑
k=1
αk(ω)Tkx
là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.
Ví dụ 1.6. Cho K(s, t, ω) là hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo liên tục trên
hình vuông [0; 1]× [0; 1]. Với mỗi hàm x(t) ∈ C[0; 1] ta định nghĩa:
Ax(t, ω) =
∫ 1
0K(t, s, ω)x(s)ds
Khi đó y(t, ω) = Ax(t, ω) là một hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo liên tục.
Dễ thấy A là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ C[0; 1] vào C[0; 1].
Vì K(t, s, ω) có quỹ đạo liên tục nên tồn tại biến ngẫu nhiên ξ : Ω →C([0, 1]× [0, 1]) xác định bởi ξ(ω) = K(., ., ω). Ta có:
|Ax(t, ω)| 6 ||x||∫ 1
0|K(t, s, ω)|ds 6 ||ξ(ω)|| ||x||
Do đó A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.
Ví dụ 1.7. Xác định toán tử ngẫu nhiên A từ L2[0, 1] vào C[0, 1] bởi:
Ax(t) =
∫ t
0
x(s)dW (s)
27
Dễ thấy A tuyến tính. Ta chứng minh A liên tục ngẫu nhiên. Thật vậy,
theo bất đẳng thức martingale ta có:
P (||Ax|| > r) = P supt∈[0,1]
|∫ t
0x(s)dW (s)|2 > r2
61
r2E|
∫ 1
0x(s)dW (s)|2 = 1
r2||x||2
Vậy
limt→∞
sup||x||61
P (||Ax|| > t) 6 limt→∞
1
t2= 0
Theo định lý (1.9) A liên tục ngẫu nhiên. Vậy A là toán tử ngẫu nhiên
tuyến tính liên tục từ L2[0, 1] vào C[0, 1]
Ta chứng minh A không bị chặn. Với h > 0 gọi xh(t) là hàm cho bởi:
xh(t) =
1√
2hlnln 1
h
nếu 0 6 t 6 h
0 nếu ngược lại
Ta có xh ∈ L2[0, 1] và:
||xh||2 =∫ 1
0x2h(t)dt =
∫ h
0
dt
2hlnln 1h
=1
2lnln 1h
→ 0 khi h→ 0
Lại có:
||Axh(ω)|| = supt
||Axh(t)|| > ||Axh(1)||
=
∣∣∣∣∫ 1
0
xh(t)dW (t)
∣∣∣∣ =W (h)√2hlnln 1
h
Theo luật loga lặp của quá trình Wiener ta suy ra: lim suph→0
||Axh(ω)|| = 1
hầu chắc chắn. Vì W (t) liên tục nên ta cũng có:
limh∈Q
suph→0
||Axh(ω)|| = 1 hầu chắc chắn trong đó Q ký hiệu tập số hữu tỷ.
Nếu A bị chặn thì tồn tại biến ngẫu nhiên k(ω) sao cho: ||Axh(ω)|| 6
k(ω)||xh|| hầu chắc chắn.
28
Do đó, tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mọi ω ∈ D và với mọi
h ∈ Q.
||Axh(ω)|| 6 k(ω)||xh||
.
Do đó: limh∈Q
suph→0
||Axh(ω)|| = 0 ∀ω ∈ D. Ta có mâu thuẫn.
1.3.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn:
Định lý 1.10. Toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên A từ E vào Y là bị
chặn nếu và chỉ nếu có tồn tại ánh xạ T : Ω → L(X, Y ) sao cho:
Ax(ω) = T (ω)x (1.39)
hầu chắc chắn.
Chứng minh:Giả sử A bị chặn. Gọi M là tập trù mật đếm được trong E và Z là tập tấtcả các tổ hợp tuyến tính có dạng
∑ni=1 rixi, trong đó xi ∈M , ri ∈ Q, hiển
nhiên Z là không gian tuyến tính trên Q, đếm được và trù mật trong E.Ta có thể tìm được tập D1 có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D1 ta có:
A(r1z1 + r2z2)(ω) = r1Az1(ω) + r2Az2(ω) (1.40)
với mọi z1, z2 ∈ Z, r1, r2 ∈ Q. Tồn tại tập D2 có xác suất 1 sao cho vớimỗi ω ∈ D2 ta có ||Az(ω)|| 6 k(ω)||z|| với mọi z ∈ Z. Đặt D = D1
⋂D2.
Với mỗi ω ∈ D ta định nghĩa: T (ω) : Z → Y bởi:
T (ω)z = Az(ω)
Từ (1.4) dễ kiểm tra rằng T (ω) là tuyến tính trên Z. Hơn nữa, T (ω) liêntục đều trên Z. Thật vậy, giả sử z1, z2 ∈ Z. Ta có ||T (ω)z1 − T (ω)z2|| =||A(z1 − z2)(ω)|| 6 k(ω)||z1 − z2||. Vậy thì, T (ω) thác triển thành ánh xạtuyến tính liên tục T (ω) : E → Y tức là T (ω) ∈ L(E, Y ). Đặt T (ω) = T0
nếu ω /∈ D. Như vậy ta đã xác định ánh xạ T : Ω → L(X, Y ).Tiếp theo ta chứng minh với mỗi x ∈ X thì: Ax(ω) = T (ω)x hầu chắc
29
chắn.Giả sử (zn) ∈ Z sao cho limzn = x. Với mỗi ω ∈ D ta có Azn(ω) = T (ω)zn
với mọi n. Do đó, limnAzn(ω) = limT (ω)zn = T (ω)x với mọi ω ∈ D. VậyAzn hội tụ hầu chắc chắn tới T (ω)x. Nhưng p − limAzn = Ax. Vậy:Ax(ω) = T (ω)x hầu chắc chắn.Ngược lại giả sử có (1.39). Gọi (xn) là dãy trù mật trong hình cầu đơn vịB = x ∈ X : ||x|| 6 1 và:
k(ω) = supn
||Axn(ω)||
Khi đó k(ω) đo được. Theo giả thiết tồn tại tập D có xác suất 1 sao chovới mỗi ω ∈ D,Axn(ω) = T (ω)xn với mọi n. Cố định ω ∈ D. Ta có:
k(ω) = supn
||Axn(ω)|| = supn
||T (ω)xn|| = ||T (ω)|| <∞
Vậy k(ω) là biến ngẫu nhiên và ||T (ω) = k(ω) hầu chắc chắn. Với mỗix ∈ X ta có:||Ax(ω)|| = ||T (ω)x|| 6 ||T (ω)|| ||x|| = k(ω)||x|| hầu chắc chắn.
Định lý 1.11. Giả sử E là không gian Banach có cơ sở Shauder (en) và
(e∗n) là cơ sở liên hợp trong E1. Cho A là toán tử tuyến tính liên tục ngẫu
nhiên từ E vào Y. Khi đó A bị chặn nếu và chỉ nếu tồn tại tập D có xác
suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D và với mỗi x ∈ X chuỗi:∞∑
k=1
(x, e∗k)Aek(ω)
hội tụ trong Y.
Chứng minh:Nếu A bị chặn thì theo định lý (1.10) tồn tại ánh xạ T : Ω → L(X, Y ) tậpD có xác suất 1 sao cho Aek(ω) = T (ω)ek với mọi ek và với mọi ω ∈ D.Khi đó với ω ∈ D, x ∈ X ta có:
∞∑
k=1
(x, e∗k)Aek(ω) =∞∑
k=1
(x, e∗k)T (ω)ek
= T (ω)
( ∞∑
k=1
(x, e∗k)ek
)= T (ω)x
30
Ngược lại với ω ∈ D ta định nghĩa ánh xạ T (ω) : X → Y bởi:
T (ω)x =∞∑
k=1
(x, e∗k)Aek(ω)
và với ω /∈ D ta đặt T (ω) = T0. Từ định lý Banach- Steinhaus T (ω) ∈L(X, Y ), ta đã xác định ánh xạ T : Ω → L(X, Y ). Vì:
x =∞∑
k=1
(x, e∗k)ek
nên Ax(ω) =∑∞
k=1(x, e∗k)Aek(ω). Trong đó chuỗi vế phải hội tụ theo xác
suất nhưng chuỗi này cũng hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên Y-giátrị ω 7−→ T (ω)x. Do đó: Ax(ω) = T (ω)x hầu chắc chắn.Theo định lý (1.10) ta có A bị chặn.
Định lý 1.12. Giả sử E = lp(1 6 p <∞) và A là toán tử tuyến tính liên
tục ngẫu nhiên từ E vào Y.
1. Điều kiện cần để A bị chặn là:
supn
||Aen|| <∞ (1.41)
hầu chắc chắn.
2. Trường hợp p>1: Điều kiện đủ để A bị chặn là:∞∑
n=1
||Aen||q <∞ (1.42)
hầu chắc chắn. Ở đó (en) là cơ sở tự nhiên trong lp và q là số liên hợp với
p. Nếu Y là không gian hữu hạn chiều thì (1.42) cũng là điều kiện cần để
A bị chặn.
3. Trường hợp p=1 (1.41) cũng là điều kiện đủ để A bị chặn.
Chứng minh:1. Suy trực tiếp từ định nghĩa.2. Giả sử điều kiện (1.42) thỏa mãn. Đặt:
D = ω :∞∑
n=1
||Aen(ω)||q <∞
31
Khi đó với mỗi ω ∈ D và mỗi x ∈ X = lp do bất đẳng thức Holder:∑
||(x, en)Aen(ω)|| <∞
suy ra chuỗi∑
(x, en)Aen(ω) hội tụ. Theo định lý (1.11) A bị chặn.Ngược lại giả sử A bị chặn và Y = Rk. Gọi h1, h2, . . . , hk là cơ sở tự
nhiên của Rk. Trước hết ta xét trường hợp Y = R. Theo định lý (1.10) tồntại biến ngẫu nhiên lp-giá trị T (ω) sao cho Ax(ω) = (T (ω), x) hầu chắcchắn cho nên tồn tại tập D xác suất 1 sao cho Aen(ω) = (T (ω), en) với mọien và với mọi ω ∈ D. Do đó
∑ ||Aen(ω)||q =∑ |(T (ω), en|q = ||T (ω)||q là
∑ ||Aen(ω)||q <∞. Tiếp theo do A bị chặn nên với mỗi hi toán tử tuyếntính ngẫu nhiên x 7−→ (Ax, hi) từ E vào R bị chặn. Theo điều vừa chứngminh,
∑ |(Aen, hj)|q < ∞ hầu chắc chắn. Hiển nhiên tồn tại hằng số Csao cho ||y||q 6 C
∑kj=1 |(y, hk)|q với mọi y ∈ Rk. Do đó:
∑∞n=1 ||Aen||q 6 C
∑kj=1
∑∞n=1 |(Aen, hj)|q <∞ hầu chắc chắn.
3. Đặt D = ω : supn
||Aen(ω)|| < ∞Dễ thấy chuỗi
∑(x, en)Aen(ω) hội tụ với mỗi ω ∈ D. Vì P (D) = 1 nên
theo định lý (1.11) ta có A bị chặn.Chú ý: Điều kiện (1.42) không là điều kiện cần. Xét ví dụ sau:Giả sử (rn) là dãy biến ngẫu nhiên Rademakher. Xác định toán tử tuyếntính liên tục ngẫu nhiên A từ lp vào lp bởi:
Ax(ω) =∞∑
n=1
rn(ω)(x, en)en
Vì∑ ||rn(ω)(x, en)en||p = ||x||p <∞ nên chuỗi này hội tụ với mọi ω ∈ Ω.
Theo định lý (1.42) ta có A bị chặn. Tuy nhiên:∞∑
n=1
||Aen(ω)||q =∞∑
n=1
||rn(ω)en||q = ∞
32
Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂNNGẪU NHIÊN FREDHOLM VÀVOLTERRA
2.1 Phương trình Fredholm và Volterra với hàm vếphải là ngẫu nhiên
2.1.1 Giới thiệu:
Xét phương trình tích phân tuyến tính ngẫu nhiên:
f(x, w)− Lf(y, w) = g(x, w) (2.1)
Ở đó L là một toán tử Fredholm (hoặc Volterra) trên [a,b] (a,b hữu hạn)và g(x, w) với x ∈ [a, b] là hàm ngẫu nhiên bậc hai mà thỏa mãn điều kiệnliên tục bình phương:
1. E|g(x, w)|2 ⋖∞ ∀x ∈ [a, b]
2. limh→∞
E|g(x+ h, w)− g(x, w)|2 = 0 ∀x ∈ [a, b]
Phương trình (2.1) là phương trình toán tử tuyến tính xác định với hàm lựclượng ngẫu nhiên. Do đó, nghiệm của phương trình định nghĩa một hàmngẫu nhiên mới f(x, w), tính chất ngẫu nhiên phụ thuộc vào tính chấtngẫu nhiên của g(x, w). Từ đó, toán tử Fredholm là xác định. Nghiệm củaphương trình (2.1) có thể có được bởi phương pháp cổ điển nổi tiếng. Đặcbiệt, giả sử rằng phương trình có thể được giải bởi sự lặp đi lặp lại. Trong
33
phần này với kết quả của Anderson, chúng ta có được nghiệm f(x, w) củaphương trình (2.1), tính hàm hiệp phương sai của f(x, w) và xét tính liêntục của f(x, w).
2.1.2 Nghiệm của phương trình tích phân:
Bây giờ chúng ta phát biểu và chứng minh định lý sau:
Định lý 2.1. Nếu
(i) K(x, y), x, y ∈ [a, b] là hạt nhân Fredholm mà |b − a| max và
|K(x, y)| < 1
(ii) g(x, y) với x ∈ [a, b], ω ∈ Ω là hàm ngẫu nhiên bậc hai thỏa mãn
các điều kiện đã nêu. Khi đó, hàm ngẫu nhiên f(x, w) được định nghĩa
bởi:
f(x, w) = g(x, w)−∫ b
a
Γ(x, y)g(y, w)dy (2.2)
x ∈ [a, b] ω ∈ Ω là nghiệm của phương trình Fredholm (2.1) trên [a, b]×Ω
Chứng minh:Đối ứng từ phương trình (2.1) là:
g(x, w) = f(x, w)−∫ b
a
Γ(x, y)g(y, w)dy (2.3)
Trong đó, Γ(x, y), giải thức liên kết của K(x, y) được xác định như sau:
Γ(x, y) = −∞∑
n=1
K(n)(x, y) (2.4)
Trong đó K(1)(x, y), K(2)(x, y), . . . được quy nạp như sau:
K(1)(x, y) = K(x, y)
K(2)(x, y) =
∫ b
a
K(x, z)K(z, y)dz
Và tổng quát là:
K(n)(x, y) =
∫ b
a
K(n−1)(x, z)K(z, y)dz n = 3, 4, . . .
34
Dưới giả thiết là hạch nhỏ (b − a) lớn nhất |K(x, y)| < 1 loại Neumann(2.4) hội tụ tuyệt đối, so sánh với cấp số nhân. Từ g(x, w) là một hàmngẫu nhiên bậc hai. ∫ b
a
|g(x, w)|2dx < ∞ (2.5)
hầu như chắc chắn. Cũng từ giải thức Γ(x, y) là một hạch L2 trên [a, b].∫ b
a
|Γ(x, y)|2dy <∞ ∀x ∈ [a, b]
Do đó tích phân: ∫ b
a
Γ(x, y)g(y, w)dy
tồn tại trên [a, b]× Ω. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng:
f(x, w) = g(x, w)−∫ b
a
Γ(x, y)g(y, w)dy
là định nghĩa tốt trên [a, b]× Ω. Bây giờ chúng ta biểu diễn:∫ b
a
|Γ(x, y)g(y, w)|dy ∈ L2[a, b]
với hầu hết ∀w ∈ Ω. Một ứng dụng của bất đẳng thức Holder’s:(∫ b
a
|Γ(x, y)g(y, w)|dy)2
≤∫ b
a
|Γ(x, y)|2dy∫ b
a
|g(y, w)|2dy
Do đó:∫ b
a
∫ b
a
|Γ(x, y)g(y, w)|dy2
dx ≤∫ b
a
∫ b
a
|Γ(x, y)|2dy∫ b
a
|g(y, w)|2dydx
=
∫ b
a
|Γ(x, y)|2dxdy∫ b
a
|g(y, w)|2dy <∞
hầu như chắc chắn. Cuối cùng, chúng ta chỉ ra rằng hàm ngẫu nhiênf(x, w) được định nghĩa bởi thỏa mãn phương trình ngẫu nhiên Fredholm(2.1) trên [a, b]× Ω hầu như chắc chắn. Xét sự độc lập:
K(x, y) + Γ(x, y)−∫ b
a
K(x, z)Γ(z, y)dz = 0 (2.6)
35
Nếu chúng ta nhân (2.6) với g(y, w) và tích phân trên khoảng [a, b], chúngta thu được:
∫ b
a
g(y, w)K(x, y) + Γ(x, y)−∫ b
a
K(x, z)Γ(x, z)dzdy = 0
Mà khi sắp xếp lại, kết quả là:∫ b
a
g(y, w)K(x, y)dy −∫ b
a
∫ b
a
K(x, z)Γ(z, y)g(y, w)dzdy (2.7)
= −∫ b
a
Γ(x, y)g(y, w)dy (2.8)
Từ∫ b
a|Γ(z, y)g(y, w)|2dy ∈ L2[a, b] hầu như chắc chắn và từ |K(x, z)| ∈
L2[a, b] ∀x ∈ [a, b], chúng ta có:∫ b
a
|K(x, z)|dz∫ b
a
|Γ(z, y)g(y, w)|dy <∞
hầu như chắc chắn. Một ứng dụng của định lý Tonelli để giới hạn thứ haitrên phía bên tay phải của kết quả (2.7)∫ b
a
∫ b
a
K(x, z)Γ(z, y)g(y, w)dzdy =
∫ b
a
K(x, z)
∫ b
a
Γ(z, y)g(y, w)dydz
(2.9)Nếu bây giờ chúng ta đổi biến của tích phân ở giới hạn đầu ở phái bên tayphải của (2.7) từ y sang z và sau đó sử dụng (2.9), chúng ta viết lại (2.7)như sau:
∫ b
a
K(x, z)g(z, w)−∫ b
a
Γ(z, y)g(y, w)dydz = −∫ b
a
Γ(x, y)g(y, w)dy
Sử dụng định nghĩa của f(x, w), cho bởi (2.2),biểu thức trên trở thành:∫ b
a
K(x, z)f(z, w)dz = −∫ b
a
Γ(x, y)g(y, w)dy (2.10)
Viết lại (2.10) là:∫ b
a
K(x, z)f(z, w)dz = g(x, w)− g(x, w)−∫ b
a
Γ(x, y)g(y, w)dy
36
Và sử dụng định nghĩa của f(x, w), chúng ta quan sát (2.10) là tươngđương với phương trình Fredholm ngẫu nhiên (2.2) Kết quả trên có thể dễdàng đặc biệt với trường hợp trong đó K(x, y)là một hạch Volterra. Trongtrường hợp này, phương trình (2.2) có dạng:
f(x, w)−∫ x
a
K(x, y)f(y, w)dy = g(x, w) (2.11)
Và nghiệm của phương trình Volterra ngẫu nhiên là:
f(x, w) = g(x, w)−∫ x
a
Γ(x, y)g(y, w)dy (2.12)
Chúng ta phát biểu, không chứng minh kết quả sau:
Hệ quả 2.1. Nếu K(x, y) là một hạch Volterra trên [0, r]× [0, r] r ⋗ 0
và nếu g(x, w) là một hàm ngẫu nhiên bậc hai trên [0,∞]× Ω thỏa mãn
phương trình Volterra ngẫu nhiên mà liên tục trên hình vuông, sau đó hàm
ngẫu nhiên f(x, w) được định nghĩa bởi (2.12) trên [0,∞)× Ω thỏa mãn
phương trình ngẫu nhiên (2.11) trên [0,∞)× Ω.
2.1.3 Nghiệm của hàm hiệp phương sai:
Để
Rf(x1, x2) = Ef(x1, w)f(x2, w) x1, x2 ∈ [a, b] (2.13)
là hàm hiệp phương sai của nghiệm f(x, w) của phương trình tích phânngẫu nhiên (2.2). Thiết lập sự tồn tại của Rf(x1, x2), chúng ta biểu diễnE|f(x, w)|2 6 ∞, ∀x ∈ [a, b] nghĩa là f(x, w) là hàm ngẫu nhiên bậchai. Dưới đây từ bất đẳng thức Holder:
|∫ b
a
Γ(x, y)g(y, w)dy|2 ≤∫ b
a
|Γ(x, y)|2dy∫ b
a
|g(y, w)|2dy
Và:
E|∫ b
a
Γ(x, y)g(y, w)dy|2 ≤∫ b
a
|Γ(x, y)|2dy E∫ b
a
|g(y, w)|2dy < ∞
37
∀x ∈ [a, b], từ g(x, w) là liên tục trong hình vuông. Như vậy, nó theo sau từ(2.2) là E|f(x, w)|2 < ∞, ∀x ∈ [a, b], thiết lập sự tồn tại của hàm hiệpphương sai Rf(x1, x2). Phép tính của Rf(x1, x2) là trực tiếp. Từ (2.13) và(2.2) chúng ta có:
Rf(x1, x2) =
= E(g(x1, w)−∫ b
a
Γ(x1, y)g(y, w)dy)(g(x2, w)−∫ b
a
Γ(x2, y)g(y, w)dy)
= Eg(x1, w)g(x2, w) − Eg(x1, w)∫ b
a
Γ(x2, y)g(y, w)dy
− Eg(x2, w)∫ b
a
Γ(x1, y), g(y, w)dy
+ E∫ b
a
Γ(x1, y)g(y, w)dy
∫ b
a
Γ(x2, y)g(y, w)dy
Rf(x1, x2) = Rg(x1, x2)−∫ b
a
(Γ(x2, y)Eg(x1, w)g(y, w)dy)
−∫ b
a
(Γ(x1, y)Eg(y, w)g(x2, w))dy
−∫ b
a
∫ b
a
(Γ(x1, y1)Γ(x2, y2)Eg(x1, w)g(x2, w))dy1dy2
= Rg(x1, x2)
∫ b
a
Γ(x2, y)Rg(x1, y)dy −∫ b
a
Γ(x1, y)Rg(y, x2)dy
−∫ b
a
∫ b
a
Γ(x1, y1)Γ(x2, y2)Rg(y1, y2)dy1dy2
Đặt:
H(x1, x2) = Rg(x1, x2)−∫ b
a
Γ(x2, y)Rg(x1, y)dy (2.14)
Phép tính đơn giản dưới đây biểu diễn cho Rf(x1, x2) của hàm hiệp phươngsai Rg(x1, x2) đặt trong hàm ngẫu nhiên g(x, w):
Rf(x1, x2) = H(x1, x2)−∫ b
a
Γ(x2, y)Rg(x1, y)dy (2.15)
Với g(x, w) là liên tục trong hình vuông, hàm hiệp phương sai của nóRg(x1, x2) là hàm đối xứng không âm liên tục trên [a, b]× [a, b]. Do đó, từ
38
định lý của Mercer:
Rg(x1, x2) =∞∑
n=1
λnφn(x1)φn(x2) (2.16)
Nơi hội tụ hàng loạt và thống nhất trên [a, b]× [a, b]. Trong (2.16), φn(x)là trình tự của hàm số đặc trưng bình thường của Rg(x1, x2) và λn là trìnhtự của liên kết không âm các giá trị riêng cho tất cả các số nguyên m vàn.
λnφn(x) =
∫ b
a
Rg(r, x)φn(r)dr x ∈ [a, b]
=
∫ b
a
φm(x)φn(x)dx = δm×n
Ở đó, δxm×n là delta Kronecker.Đặt:
ξn(w) =
∫ b
a
g(x, w)φn(x)dx n = 1, 2, . . . (2.17)
Biến ngẫu nhiên ξn(w) được định nghĩa từ∫ b
a|g(x, w)|2dx < ∞ hầu như
chắc chắn và hàm đặc trưng liên tục trên [a, b]. Trình tự ξn(w)∞n=1 là trực
giao trên Ω và ∀x ∈ [a, b]:∞∑
n=1
λ1
2nξn(w)φn(x) (2.18)
là đại diện cho g(x, w) với nghĩa sau:
limn→∞
E|g(x, w)−N∑
n=1
λ1
2nξn(w)φn(x)|2 = 0
Để ψn(x), n = 1, 2, . . . là nghiệm của phương trình tích phân (xác định):
ψn(x)−∫ b
a
K(x, y)ψn(y)dt = φn(x)ψn(x) = φn(x)−∫ b
a
Γ(x, y)ψn(y)dy
(2.19)Như trước, Γ(x, y) là giả thức của Fredholm (hoặc Volterra) hạch K(x, y).Nó có thể được biểu diễn là f(x, w), nghiệm (2.1), nhận làm đại diện trực
39
giao.
f(x, w) =∞∑
n=1
λ1
2nξn(ω)ψn(x) x ∈ [a, b] (2.20)
Mà theo sau nó là hàm hiệp phương sai Rf(x1, x2) nhận làm đại diện trựcgiao.
Rf(x1, x2) =∞∑
n=1
λnψn(x1)ψn(x2) (2.21)
2.1.4 Sự liên tục bình phương trung bình của nghiệm:
Bây giờ chúng ta biểu diễn hàm ngẫu nhiên f(x, w) là liên tục trongbình phương trung bình nếu hạch K(x, y) của toán tử tích phân là liêntục.
Định lý 2.2. Để K(x, y) là hạch Fredholm trên [a, b]× [a, b] và để Γ(x, y)
biểu thị cho liên kết giải thức. Nếu K(x, y) liên tục trên [a, b] × [a, b],
nghiệm f(x, w) của phương trình tích phân (2.1) là liên tục trong bình
phương trung bình trên [a, b].
Chứng minhĐặt x0 ∈ [a, b]. Từ (2.2) và ứng dụng của bất đẳng thức Minkowski:
(E|f(x, w)− f(x0, w)|2)1
2
= (|g(x, w)− g0(w) +
∫ b
a
g(y, w)[Γ(x, y)− Γ(x0, y)]2dy|2) 1
2
< (E|g(x, w)− g(x0, w)|2)1
2
+ (E|∫ b
a
g(y, w)[Γ(x, y)− Γ(x0, y)]dy|2)1
2
Từ g(x, w) là liên tục trong bình phương trung bình.
limx→x0
E|g(x, w)− g(x0, w)|2 = 0
Từ đây, nó biểu diễn là:
limx→x0
∣∣∣∣∫ b
a
g(y, w)[Γ(x0, y)− Γ(x, y)]dy
∣∣∣∣2
= 0 (2.22)
40
Ứng dụng của bất đẳng thức Holder:
|∫ b
a
g(y, w)[Γ(x0, y)− Γ(x, y)]dy|2
<
∫ b
a
|g(y, w)|2dy∫ b
a
|Γ(x0, y)− Γ(x, y)|2dy
Từ g(y, w) là liên tục trong bình phương trung bình,
E∫ b
a
|g(y, w)|2dy =M <∞
Do đó:
E
∣∣∣∣∣∫ b
ag(y, w)[Γ(x0, y)− Γ(x, y)]dy
∣∣∣∣2
≤M
∫ b
a
|Γ(x−0, y)− Γ(x, y)|2dy
Bởi vậy, nó còn được biểu diễn là:
limx→x0
∫ b
a
|Γ(x0, y)− Γ(x, y)|2dy = 0
Với ǫ⋗0, giả thuyếtK(x, y) liên tục trên [a, b]×[a, b], do đó gải thức Γ(x, y)cũng liên tục trên [a, b]× [a, b]. Từ Γ(x, y) liên tục đều trên [a, b]× [a, b],chúng ta có thể chọn δ ⋗ 0 mà:
∫ b
a
|Γ(x, y)− Γ(x0, y)|2dy < ǫ
với |x− x0| < δ. Điều này thiết lập (2.22).
2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener:
Trong chủ đề này, chúng ta xét một ví dụ cụ thể của loại phương trìnhtích phân nghiên cứu trong phần này, phương trình tích phân Volterrađặt vào quá trình Wiener. Xét phương trình tích phân (2.1) trên [0, 1] vớihạch:
K(x, y) =
−1 với x > y0 với x < y
(2.23)
Trong trường hợp này, phương trình (2.1) có dạng:
f(x, w) +
∫ x
0
f(y, w)dy = g(x, w) (2.24)
41
Giải thức Γ(x, y) là phép tính đơn giản được cho bởi chuỗi Neumann:
−∞∑
n=1
K(n)(x, y) = Γ(x, y) =
e−(x− y) với x > y0 với x < y
Tiếp theo từ định lý (2.1), hàm ngẫu nhiên f(x, w) trên [0, 1] thỏa mãnphương trình (2.24) là:
f(x, w) = g(x, w)−∫ x
0
e−(x−y)g(y, w)dy (2.25)
Để mà tính toán hàm hiệp phương sai Rf(x1, x2), chúng ta sử dụng(2.14) và hàm hiệp phương sai Rg(x1, x2) của quy trình Wiener g(x, w) làRg(x1, x2) = min(x1, x2), x1, x2 ∈ [0, 1]. Từ (2.14) và (2.25) chúng tacó:
H(x1, x2) =
x1 −∫ x1
0 exp[−(x2 − ξ)]ξdξ − x1∫ x2
x1exp[−(x2 − ξ)]dξ
với x1 < x2x2 −
∫ x2
0 exp[−(x2 − ξ)]ξdξ với x1 > x2
Sự thay thế biểu thị trên của H(x1, x2) trong (2.15) là:
Rf(x1, x2) =1
2exp−|x1 − x2| −
1
2exp−(x1 − x2) (2.26)
2.2 Hạch K(x, y, ω) là ngẫu nhiên suy biến
Xét phương trình
K(x, y, ω)f(y)dy− λf(x) = g(x) (2.27)
Với hạch suy biến ngẫu nhiên:
K(x, y, z) =n∑
i=1
αi(x, w)βi(y) (2.28)
Trong (2.28) αi(x, ω)ni=1 là họ gần như độc lập L2(0, 1)- những hàm ngẫu
nhiên và βi(y)ni=1 là một bộ độc lập L2(0, 1)-những hàm xác định. Rõ ràng,
mọi x, y ∈ (0, 1) cố định, hạch K(x, y, w) là hàm đo được của w. Đặt:
ξi =
∫ 1
0
βi(x)f(x)dx i = 1, 2, . . . , n. (2.29)
42
Vậy thì tranh luận trong trường hợp xác định này, phương trình Fredholm:∫ 1
0
K(x, y, ω)f(y)dy− λf(x) = g(x) (2.30)
với hạch suy biến ngẫu nhiên K(x, y, w) được đưa ra ở (2.28) dẫn đến hệphương trình đại số tuyến tính ngẫu nhiên:
n∑
j=1
aij(ω)ξj − λξi = bi i = 1, 2, . . . , n. (2.31)
Trong (2.31):
aij(w) =
∫ 1
0αj(x, w)βi(x)dx i, j = 1, 2, . . . , n. (2.32)
bi =
∫ 1
0
βi(x)g(x)dx i = 1, 2, . . . , n. (2.33)
Tích phân trong (2.32) và (2.33) là định nghĩa tốt và tính khả tích Riemanncủa βi(x1)βi(x2)Rj(x1, x2) ở đó Rj(x1, x2) là hàm hiệp phương sai của quátrình αj(x, w), đủ chắc chắn rằng tích phân trong (2.32) tồn tại trong bìnhphương trung bình và định nghĩa cho mọi cặp i, j một giá trị thực biếnngẫu nhiên aij(w).
Phương trình (2.31) có thể được viết lại như phương trình toán tử ngẫunhiên:
(A(w)− λI)ξ = b (2.34)
Với A(w) là ma trận ngẫu nhiên cỡ n × n với phần tử aij(w) được địnhnghĩa bởi (2.32), ξ và b là n vecto. Chúng ta chú ý rằng phương trình (2.34)giải như phương trình toán tử ngẫu nhiên trong không gian EuclideanRn hoặc không gian Hilbert l2(n), Sự tồn tại duy nhất và đo được củanghiệm ξ(w) của định lý thu gọn Banach. Tuy nhiên, ứng dụng kết quảcủa Bharucha-Reid và Hans trên sự đảo ngược của toán tử ngẫu nhiêntuyến tính cảu dạng L(w)− λI cho phép chúng ta nhận kết quả sau đâycủa phương trình (2.34).
43
Định lý 2.3. : Cho λ khác 0 là số thực
µ(Ω(λ)) = µω[∑
i,j=1
na2ij(ω)]1
2 < |λ| = 1
Khi đó ma trận ngẫu nhiên A(w)− λI là đảo ngược và nghiệm:
ξ(ω) = (A(ω)− λI)−1b
2.3 Hạch K(x, y, ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trịtrên không gian các hàm gián đoạn vừa phải
Xét phương trình Fredholm:∫ b
a
K(x, y)f(y)dy− λf(x) = g(x) (2.35)
trong C[a, b] không gian của những hàm tiếp diễn xác định trên khoảng[a,b]. Với quy tắc ||f || = maxx∈[a,b]|f(x)|, không gian C[a, b] trở thànhmột không gian Banach khả ly. Giả sử L kí hiệu là toán tử Fredholm trênC với hạch K(x, y).
L[f(x)] =
∫ b
a
K(x, y)dy f ∈ C (2.36)
Trong phần này chúng ta xét sự tồn tại, tính duy nhất, tính đo được củanghiệm phương trình (2.35) khi hạch K là hạch ngẫu nhiên K(x, y). Vấnđề đầu tiên chúng ta xét là tính đo được của toán tử Fredholm:
L(w)[f(x)] =
∫ b
a
K(x, y, w)f(y)dy (2.37)
Chúng ta giả sử K(x, y) bị chặn ∀x, y ∈ [a, b] và liên tục trừ khi tạiđiểm trên số hữu hạn của đường cong liên tục y = φi(x), x ∈ [a, b], i =
1, 2, . . . , n. Với giả thuyết trên K(x, y), toán tử Fredholm là hoàn toàn liêntục trên C. Chúng ta chú ý rằng hạch với tính chất trên đôi khi được gọi là"nhẹ không liên tục ".Như ở ví dụ, hạch Volterra trên [0, b]× [0, b] mà liêntục với y < x và biến mất với y > x là nhẹ không liên tục trên [0, b]× [0, b].Trong trường hợp này, chúng ta có thể lấy n = 1 và φ1(x) = x.
44
Giả sử cho R chứng tỏ không gian của tất cả các hạch gián đoạn ít Kđịnh nghĩa trên [0, b]× [0, b] và ∀x ∈ [a, b], y ∈ [a, b] và mọi trình tự củasố thực b > δ1 > δ2 > . . . > deltan −→ 0
(i)K(x, 0) = limn→infty
K(x, δn)
(ii)K(x, y) = limn→infty
K(x, y − δn) δ1 ≤ y
R không gian tất cả các hàm bị chặn trên [a, b] × [a, b] với những tínhchất trên chắc chắn là một không gian tuyến tính và với chuẩn ||K|| =sup|K(x, y)|, ở đó cận trên đúng thực hiện trên x ∈ [a, b] và y ∈ [a, b]. Rtrở thành một quy tắc có thể phân chia không gian tuyến tính. Cho B(R)
chỉ ra σ-đại số của tập hợp con của R. Bây giờ chúng ta có thể định nghĩahạch ngẫu nhiên như là một U- ánh xạ đo được K của Ω vào R.
Mối quan hệ giữa tính đo được của toán tử Fredholm với hạchK(x, y, w)
và tính đo được hạch của nó được thiết lập bởi kết quả sau:
Định lý 2.4. Cho K là ánh xạ của Ω vào R và cho sự biến đổi L(w) của
Ω×C vào C được định nghĩa ∀w ∈ Ω và ∀f ∈ C bởi (2.37). Khi đó, L(w)
là toán tử tuyến tính liên tục hoàn toàn trên C, ∀w ∈ Ω. Ngoài ra, những
nhận định sau là tương đương:
(i) L(w) là toán tử ngẫu nhiên trên C.
(ii) ω : K(x, yω) < ξ ∈ U ∀x, y ∈ [a, b], ∀ξ ∈ R
(iii)K(x, yω) là hạch ngẫu nhiên.
(iv)L(ω) là biến ngẫu nhiên với giá trị toán tử.
Chứng minh:Tính liên tục hoàn toàn của L(ω), ∀ω ∈ Ω dưới đây từ lớp kết quả. Từ
những nhận định (i)-(iv) là những xác nhận của tính đo được, chúng ta sẽcăn cứ vào chứng minh của tính tương đương của chúng trong phần ánhxạ x(ω) của Ω vào không gian Banach X có thể phân chia là biến ngẫunhiên tổng quát nếu và chỉ nếu mọi hàm tuyến tính bị chặn x∗ thuộc vàobộ mà tổng số trên X ánh xạ x∗(x(ω)) là một biến ngẫu nhiên giá trị thực.
∀x, y ∈ [a, b], f ∈ C và K ∈ R, đặt:
gx,y(K) = K(x, y) (2.38)
45
hx,f (K) =
∫ b
a
K(x, y)f(y)dy (2.39)
Do đó, nó chắc chắn rằng bộ gx,y(K) : x, y ∈ [a, b] vàhx,f(K) : x, y ∈ [a, b], f ∈ C là tổng các bộ hàm tuyến tính bị chặn trênR. Hơn nữa, nếu ∀x ∈ [a, b] và f ∈ C chúng ta đặt:
rx(f) = f(x) (2.40)
Khi đó, tập rx(f) : x ∈ [a, b] là tập các hàm tuyến tính bị chặn trên C.Giả sử:
E0 = L : L[f ] =
∫ b
a
K(x, y)f(y)dy K ∈ R, f ∈ C (2.41)
Nếu ∀x ∈ [a, b] và f ∈ C, chúng ta đặt:
sx,f (L) = rx(L[f ]) (2.42)
khi đó tập sx,f(L) : x ∈ [a, b], f ∈ C là tập các hàm tuyến tính bị chặntrên E0. Từ E0 là không gian con của L(C), đại số của toán tử tuyến tínhbị chặn trên C, nó là một quy tắc không gian tuyến tính và ∀L ∈ E0
||L|| = sup||L[f ]|| = sup||∫ b
a
K(x, y)f(y)dy|| (2.43)
= supmax||∫ b
a
K(x, y)f(y)dy|| (2.44)
≤ supmax(b− a)||K||||f || (2.45)
= (b− a)||K|| (2.46)
ở đó sup được lấy trên f : ||f || = 1 và max x ∈ [a, b]. Vì vậy, sự phân chiacủa R tức là sự phân chia của E0.
Tính tương đương của (i)-(iv) có thể áp dụng được cho sự phân chia củacác không gian C,E0 và R. Thực tế là những bộ hàm tuyến tính bị chặnđược định nghĩa từ (2.38)-(2.42) là lần lượt trên K,C,E0. (E0,B(E0)) cóthể phân chia không gian đo được, B(E0) = E0
⋂B(L(C)) và:
hx,f (K) = s(x, f)(L) = rx(L[f ]) = L[f ]
46
∀x ∈ [a, b], f ∈ C và ∀K ∈ R, L ∈ E0, ở đó L(ω)[f ] được định nghĩa bởi(2.37).
Chúng ta quay về vấn đề sự tồn tại, tính duy nhất và tính đo được củanghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên.
(L(ω)− λ)f = g(x) (2.47)
với L(ω) là toán tử Fredholm ngẫu nhiên được đưa ra bởi (2.37) và g(ω)là một biến ngẫu nhiên C[a, b]. Việc thiết lập sự tồn tại, tính duy nhất vàtính đo được của nghiệm phương trình (2.47) khi g(ω) là biến ngẫu nhiêntổng quát với giá trị trong C[a, b], chúng ta có thể sử dụng kết quả của sựtồn tại, tính đo được của ngịch đảo của toán tử ngẫu nhiên (L(ω)− λI).
Cho ρ(L) chỉ ra bộ cặp (ω, λ) ∈ Ω × R của toán tử ngẫu nhiêntuyến tính (L(ω) − λI) có nghịch đảo tuyến tính bị chặn và gọi lạilà:ω : (ω, λ) ∈ ρ(L) ∈ U.
Bây giờ chúng ta phát biểu và chứng minh định lý mà thiết lập đủ điềukiện tính nghịch đảo của (L(ω)− λI).
Định lý 2.5. Cho L(ω) là toán tử Fredholm ngẫu nhiên trên C được đưa ra
bởi (2.37) và để số thực λ thỏa mãn bất đẳng thức (b−a)||K(x, y, ω)|| < |λ|với xác suất một. Khi đó, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính (L(ω) − λI) là
khả nghịch.
Chứng minh:Chúng ta có nghịch đảo của (L(ω)− λI) tồn tại ∀λ 6= 0 như
µ(ω : ||L(ω)|| < |λ|) = 1. Với giả thiết:
(b− a)||K(x, y, ω)|| < |λ|
hầu như chắc chắn. Do đó, sử dụng (2.43) chúng ta có:
||L(ω)|| ≤ (b− a)||K(x, y, ω)|| < |λ|
hầu như chắc chắn. Theo quan điểm trên, từ định lý (2.4) và (2.5) công thứcnghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên (2.47) với hạch Fredholm
47
được đưa ra bởi:
f(x, ω) = (L(ω)− λI)−1[g(x, ω)] = R(L(ω), λ)[g(x, ω)] (2.48)
Từ toán tử Volterra là trường hợp đặc biệt của toán tử Fredholm, địnhlý (2.4) áp dụng cho toán tử Volterra:
L(ω)[f(x)] =
∫ x
a
K(x, y, ω)f(y)dy (2.49)
Bây giờ chúng ta phát biểu và chứng minh tương tự định lý (2.5) chophương trình tích phân với hạch ngẫu nhiên Volterra.
Định lý 2.6. Để L(ω) là toán tử ngẫu nhiên Volterra trên C[a, b] và
để hạch K(x, y, ω) thỏa mãn điều kiện µ(ω : K(x, y, ω) = 0) = 1 ∀a ≤x ⋖ y ≤ b. Khi đó, mọi số thực λ khác 0 toán tử ngẫu nhiên tuyến tính
(L(ω)− λI) là nghịch đảo.
Chứng minh:Như ở định lý xác định của phương trình Volterra loại hai, ước tính thu
được sử dụng hạch lặp K(n)(x, y, ω) dẫn đến bất đẳng thức:
||L(n)(ω)|| ≤ |λ(b− a)|n||K(x, y, ω)||n/n! (2.50)
hầu như chắc chắn và ∀n = 1, 2, . . . suy ra (L(ω)− λI) là nghịch đảo.
48
Chương 3
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCHPHÂN NGẪU NHIÊN PHITUYẾN
3.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên
3.1.1 Thiết lập phương trình tích phân của một số các phươngtrình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên
Xét phương trình vi phân:
dx(t, ω)/dt = f(t, x(t, ω), ω) x(t0, ω) = x0(ω) (3.1)
Trước hết chúng ta xét ba bài toán của phương trình có dạng (3.1). T đượcđịnh nghĩa là khoảng đóng [a,b] hoặc khoảng mở [a,∞)
Bài toán 1: Hàm mẫu (SF)Giả sử hàm f : T × Rn × Ω → Rn có tính chất là nếu: x : T → Rn
là liên tục tuyệt đối khi đó hầu hết với mọi ω ∈ Ω, f(t, x(t, ω), ω) là tíchphân trên T. Hàm x : T × Ω → Rn được gọi là giải bài toán SF.
x′(t, ω) = f(t, x(t, ω), ω) x(a, ω) = x0(ω)
Nếu và chỉ nếu hầu hết với mọi ω ∈ Ω những điều kiện sau được thỏamãn:(1.1) x(t, ω) liên tục tuyệt đối trên T(1.2) x(a, ω) = x0(ω)
(1.3) x′(t, ω) = f(t, x(t, ω), ω ∀t ∈ T
49
Để trình bày hai bài toán sau chúng ta xét hai không gian Banach củahàm trên Ω và khái niệm vi phân của hàm với giá trị trong không gianđó. Đặt Lp(Ω) = Lp(Ω,U, µ) và đặt Ln
p(Ω) định nghĩa là tích trực tiếpcủa Lp(Ω) với chính nó n lần. Chuẩn một phần tử của Ln
p(Ω) là ||x|| =max(||x1||, ||x2||, . . . , ||xn||. Đạo hàm Lp của ánh xạ x : R → Ln
p(Ω) tại tlà phần tử x′ ∈ Ln
p(Ω) sao cho:
limh→0
x(t+ h)− x(t)
h= x′
trong chuẩn topo của Lnp(Ω). Nếu giới hạn trên tồn tại trong topo yếu của
Lnp(Ω), x’ được gọi là Wp đạo hàm của x tại t. Ánh xạ x được gọi là Wp
giả vi phân nếu với mọi hàm tuyến tính liên tục x∗ : Lnp(Ω) → R, x∗(x(t))
có thể vi phân được hầu khắp nơi.Chúng ta cũng cần dựa vào ánh xạ: g : T × Ln
p(Ω) → Lnp(Ω) sao cho
miền của g(t, x) được phép biến đổi với t. khi chúng ta viết g : T×Dnp (t) →
Lnp(Ω) nghĩa là miền của g là (t, x) : t ∈ T, x ∈ D(
(np
)t) ở đó D(
(np
)t) ánh
xạ T vào tập con Lnp(Ω).
Bài toán 2: Bài toán Lp
Đặt g : T ×Dnp (t) → Ln
p(Ω) và x0 ∈ Dnp (t). Hàm x : T → Ln
p(Ω) đượcgọi là nghiệm của bài toán Lp và thỏa mãn các điều kiện dưới đây:(2.1) x(t) ∈ Dn
p (t), ∀t ∈ T
(2.2) x(t) là hàm liên tục tuyệt đối mạnh(2.3) x(a) = x0
(2.4) g(t, x(t)) là khả tích Bochner trên T(2.5) Đạo hàm Lp của x tồn tại ∀t ∈ T và thỏa mãn x′(t) = g(t, x(t))
Bài toán3: Bài toán Wp
Đặt g : T × Dnp (t) → Ln
p(Ω) và x0 ∈ Dnp (t). Hàm x : T → Ln
p(Ω) đượcgọi là giải của bài toán Wp và thỏa mãn các điều kiện dưới đây: (3.1)x(t) ∈ Dn
p (t), ∀t ∈ T
(3.2) x(t) là hàm liên tục tuyệt đối mạnh(3.3) x(a) = x0
(3.4) g(t, x(t)) là tích phân Bochner trên T(3.5) Giả đạo hàm Wp của x tồn tại ∀t ∈ T và thỏa mãn x′(t) = g(t, x(t))
50
Định lý 3.1. Hàm x(t, ω) : T × Ω → Rn là nghiệm của bài toán SF nếu
và chỉ nếu với mọi t ∈ T .
x(t, ω) = x0(ω) +
∫ t
a
f(r, x(r, ω), ω)dr (3.2)
với xác suất 1 ( Phương trình trong (3.2) ∀ω cố định, tích phân Lebesgue)
Chứng minh:Từ hàm trên giả sử liên tục tuyệt đối cố định ω ∈ Ω. Phương trình
(3.2) mô tả tốt hàm liên tục tuyệt đối.
Định lý 3.2. Một hàm x(t) : T → Lnp(Ω) là nghiệm của bài toán Lp nếu
và chỉ nếu ∀t ∈ T :
x(t) = x0 +
∫ t
a
f(r, x(r))dr (3.3)
(Tích phân trong (3.3) là tích phân Bochner)
Chứng minh:Dưới đây là chứng minh đầy đủ nếu x(t) liên tục tuyệt đối yếu của
biến phân bị chặn mạnh và hầu như chắc chắn vi phân yếu với đạo hàmx′(t), khi đó x(t) là vi phân mạnh, x′(t) là tích phân Bochner và x(t) =x0 +
∫ t
ax′(τ)dτ và sự cần thiết dưới đây cho chứng minh là
(i) x(t) : T → Lnp(Ω), liên tục tuyệt đối mạnh
(ii) x′(t) tồn tại chắc chán khi và chỉ khi x(t) là tích phân Bochner củax′(t)
Định lý 3.3. Hàm x : T → Lnp(Ω), p > 1 là nghiệm của bài toán Wp
nếu và chỉ nếu ∀t ∈ T :
x(t) = x0 +
∫ t
a
g(r, x(r))dr (3.4)
(Tích phân trong (3.4) là tích phân Pettis)
51
Việc chứng minh dựa vào cơ sở kết quả của Phillip và Strand để x(t) =x0 +
∫ t
ax′(τ)dτ nếu và chỉ nếu
(i) x′(t) là tích phân Pettis và(ii) x(t) liên tục tuyệt đối
Định lý kế tiếp thiết lập mối quan hệ thu được giữa ba bài toán vàxây dựng phương trình tích phân của chúng. Kí hiệu dưới đây sẽ sử dụng:Nếu x(ω) là biến ngẫu nhiên khi đó, x(ω) định nghĩa cho lớp các biếnngẫu nhiên tương đương với x(ω). Ví dụ, nếu x(ω) : Ω → R, khi đóx(ω) ∈ Lp(Ω) có nghĩa là lớp tương đương của nó. Chúng ta sẽ xét bàitoán Lp−
x′(t) = g(t, x(t)) x(a) = x0 (3.5)
và bài toán SF:
dy(ω, t)/dt = f(t, y(t, ω), ω) y(a, ω) = x0(ω) (3.6)
trong đó g, f, x0 thỏa mãn giả thiết phát biểu của bài toán trên. Chúng tacũng giả sử rằng nếu x(ω) : Ω → Rn có x(ω) ∈ Ln
p(t), khi đó:
g(t, x) = f(t, x(t, ω), ω) (3.7)
Định lý sau sẽ biểu diễn mối quan hệ giữa Lp− và bài toán Wp−
Định lý 3.4. (1) Nếu x là nghiệm của bài toán Lp khi đó nó cũng là
nghiệm của bài toán Wp .
(2) Nếu x là nghiệm của bài toán Wp khi đó nó cũng là nghiệm của bài
toán Lp nếu và chỉ nếu g(t, x(t)) là tích phân Bochner.
Chứng minh:Định lý trên từ việc xây dựng phương trình tích phân từ hai bài toán
trên (định lý (3.2) và (3.3)) cùng với tích phân Bochner là trường hợp đặcbiệt của tích phân Pettis. Sự cần thiết cảu điều kiện trong phần (2) củađịnh lý là điều kiện (2.4) như trong phát biểu bài toán Lp. Định lý kế tiếpliên quan đến bài toán Wp và SF. Hàm g và f như là trong (3.5)-(3.7)
Định lý 3.5. Đặt y : T × Ω → Rn và định nghĩa x(t) bởi x(t) = y(t, ω)
và giả sử f(t, y(t, ω), ω) là khả tích với chú ý tới độ đo kết quả trên T ×Ω.
52
Khi đó (1) nếu x giải bài toán Wp khi đó y giải bài toán SF và (2) nếu y
giải bài toán SF và g(t, x(t)) là tích phân Pettis, khi đó x giả bài toán Wp
Chứng minh:Chúng ta bỏ qua chứng minh từ chỗ nó tương tự định lý (3.4). Tuy
nhiên, chúng ta chú ý rằng chứng minh sử dụng kết quả sau:Lấy p > 1. Nếu x(t, ω) là tích phân Pettis và cũng khả tích chú ý đến tínhđo được trên R × Ω khi đó:
∫x(t, ω)dt =
∫x(t)dt
trong đó tích phân vế trái là tích phân Lebesgue(thu được bằng việc thayω) và tích phân vế phải là tích phân Pettis.
Cuối cùng, chúng ta phát biểu và chứng minh kết quả dưới đây mà thiếtlập mối quan hệ giữa nghiệm Lp, SF
Định lý 3.6. Giả sử hàm g trong bài toán Lp (3.5) và hàm f trong bài toán
SF (3.6) có mối liên quan bởi (3.7). Khi đó:
(1) Nếu x(t) là nghiệm của bài toán Lp trong T, nó cúng là nghiệm của
bài toán SF trong T
(2) Nếu y(t, ω) là nghiệm của bài toán SF, khi đó x(t) = y(t, ω) là nghiệm
của bài toán Lp khi và chỉ khi g(t, x(t)) là tích phân Bochner.
Trong định lý trên phát biểu rằng nghiệm của bài toán Lp là nghiệmcủa bài toán SF nghĩa là với mỗi t là phần tử trong lớp tương đươngx(t) ∈ Ln
p(Ω) thì chọn được chứng tỏ phát biểu là đúng.Bây giờ chúng ta phát biểu và chứng minh hai định lý loại Picard mà
thiết lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán SF và Lp. Nhữngđịnh lý này tổng quát hóa cho định lý Picard cổ điển cho những phươngtrình vi phân thường xác định. Như trong trường hợp cổ điển, những địnhlý này thiết lập sự tồn tại của nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ. Do vậychúng ta thiết lập họ thiết lập được điểm cố định của toán tử tích phân.Ví dụ trong trường hợp bài toán SF chúng ta dựa vào phép biến đổi trênRn.
y(t, ω) = T (ω)[x(t, ω)] (3.8)
53
T (ω)[x] = x0(ω) +
∫ t
a
f(r, x(r, ω), ω)dr (3.9)
Nếu ξ là điểm cố định của phép biến đổi ngẫu nhiên T (ω) được định nghĩabởi (3.9) (đó là T (ω)ξ = ξ) thì ξ là nghiệm của bài toán SF.
Tính duy nhất của cả những bài toán trên dựa trên cơ sở của bổ đềdưới đây:
Bổ đề 3.1. (Tổng quát hóa bất đẳng thức Gronwall) Giả sử những hàm
K(t), x(t), y(t), K(t)x(t), x(t)y(t) là khả tích trên [a,b] và có x(t) > 0.
Nếu:
y(t) 6 K(t) +
∫ t
a
x(r)y(r)dr
hầu hết với mọi t khi đó hầu hết với mọi t ∈ [a, b]
y(t) 6 K(t) +
∫ t
a
x(r)K(r)exp
∫ t
a
x(ξ)dξ
dr
Chứng minh kết quả trên trong trường hợp đặc biệt K(t)x(t) liên tụcvà y(t) được đưa ra trong Coppel và giống chứng minh cho trường hợpchung như phát biểu ở bổ đề (3.1).
Trong định lý (3.7) và (3.8) tập hợp thông số T = [a, b] là khoảng hữuhạn hoặc vô hạn.
Định lý 3.7. Bài toán SF có nghiệm duy nhất x(t, ω) nếu những điều kiện
dưới đây thỏa mãn:
(i) Có sự tồn tại hàm hữu hạn k : T ×Ω → R khả tích trên T với hầu hết
∀ω ∈ Ω sao cho ξ1, ξ2 ∈ Rn hàm f : T × Rn × Ω → Rn thỏa mãn điều
kiện Lipschitz.
||f(t, ξ1, ω)− f(t, ξ2, ω)|| 6 K(t, ω)||ξ1 − ξ2|| (3.10)
hầu hết với mọi ω (ii)∫ b
a
||f(r, x0(ω), ω)||dr < M(ω) < ∞ (3.11)
hầu hết với mọi ω
54
Chứng minh: Chúng ta định nghĩa một dãy các hàm ngẫu nhiên nhưdưới đây:
x0(t, ω) = x0(ω)
x1(t, ω) = x0(ω) +
∫ t
a
f(r, x0(r, ω), ω)dr
...
xn(t, ω) = x0(ω) +
∫ t
a
f(r, xn−1(r, ω), ω)dr (3.12)
Sự tồn tại của tích phân trong định nghĩa xn(t, ω), n = 1, 2, . . . hệquả trực tiếp của giả định trên hàm f như dấu hiệu phát biểu của bài toánSF. Từ (3.10),(3.11) và (3.12) chúng ta thu được:
||xn+1(t, ω)− xn(t, ω|| 6 M(ω)[K(t, ω)]n/n!
trong đó:
K(t, ω) =
∫ b
a
k(r, ω)dr
Dãy xn(t, ω) hội tụ đều trên T với mọi ω ∈ Ω đến một vài hàm ngẫunhiên x(t, ω) và từ sự hội tụ là đều x(t, ω) liên tục tuyệt đối giống hàmsố. Chúng ta cũng có:
||x(t, ω)− x0(ω)−∫ t
a
f(r, x(r, ω), ω)dr||
6 limn→∞
∫ t
a
K(r, ω)||xn(r, ω)− x(r, ω)||dr = 0
vì vậy x(t, ω) cũng là nghiệm của bài toán SF. Tính duy nhất của nghiệmx(t, ω) dưới đây từ bổ đề (3.1).Bây giờ chúng ta xét kết quả đại số của bài toán Lp.
Định lý 3.8. Giả sử:
(i) Hàm g : T × Lpn(Ω) → Lp
n(Ω) thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
||g(t, ξ1)− g(t, ξ2)|| 6 k(t)||ξ1 − ξ2|| (3.13)
55
với ξ1, ξ2 ∈ Lpn(Ω), trong đó k(t) thì khả tích trên T
(ii) Nếu x : T → Lpn(Ω) là liên tục tuyệt đối, khi đó g(t, x) là tích phân
Bochner. Khi đó có tồn tại hàm duy nhất x(t) : T → Lpn(Ω) mà liên tục
tuyệt đối và thỏa mãn bài toán Lp.
Chứng minh: Chúng ta định nghĩa một dãy các hàm ngẫu nhiên nhưdưới đây:
x0(t) = x(a) = x0
x1(t) = x0 +
∫ t
a
g(r, x0(r))dr
· · ·
xn(t) = x0 +
∫ t
a
g(r, xn−1(r))dr (3.14)
và đặt:
M =
∫ b
a
g(r, x0)dr (3.15)
K(t) =
∫ t
a
k(r)dr (3.16)
Từ (3.13),(3.14),(3.15) và (3.16) ta có:
||xn+1(t)− xn(t)|| 6 M [K(t)]n/n!
Phần dư của sự tồn tại chứng minh tương tự định lý (3.7) vì thế bỏ qua.Tương tự,chứng ta bỏ qua chứng minh tính duy nhất nó được suy ra từbổ đề (3.1).
Chúng ta khép lại chủ đề này với ví dụ mà chứng tỏ ứng dụng giới hạncủa định lý (3.8). Xét bài toán Lp của phương trình vi phân tuyến tínhngẫu nhiên.
x′(t) = A(ω)x(t), x(0) = 1 (3.17)
trong đó A(ω) là biến ngẫu nhiên giá trị thực. Sử dụng định lý (3.8) thiếtlập sự tồn tại của phương trình (3.17) đòi hỏi sự tồn tại hằng số K saocho:
||A(ω)x(ω)|| 6 K||x(ω)|| (3.18)
56
với mọi x ∈ Lp(Ω). Tuy nhiên x(ω) thỏa mãn (3.18) nếu và chỉ nếu A(ω)bị chặn. Khi đó, nếu có tồn tại M sao cho |A(ω)| < M, ∀ω ∈ Ω. Tínhđầy đủ của điều kiện bị chặn là chắc chắn, chúng ta đặt K=M. Bây giờchúng ta giả sử A(ω) không bị chặn, đặt xn(ω) = (A(ω))n và định nghĩa:
m(ξ) =
∫|A(ω)|ξdµ (3.19)
Khi đó, bất đẳng thức (3.18) áp dụng cho xn(ω)
||An+1(ω)|| 6 K||An(ω)||
hoặc sử dụng (3.19)
m(p(n+ 1)) 6 Km(pn) n = 1, 2, . . .
với một vài hằng số K. Bây giờ giả sử x(ω) không bị chặn khi đó với bấtkì M:
limξ→∞
[m(ξ)/
∫
|x(ω)|>M
|x(ω)|ξdµ]= 1
nhưng sau đó:
limn→∞
m(p(n+ 1))
m(pn)= lim
n→∞
[∫|x(ω)|>M
|x(ω)|p(n+1)dµ∫|x(ω)|>M
|x(ω)|pndµ
]>Mp
Do đó không có hằng số K nào để (3.18) thỏa mãn.Ví dụ trên biểu diễn cho phương trình vi phân tuyến tính với hệ số
ngẫu nhiên mà có phân phối Gauss hoặc Poisson chúng ta không thể đoántrước điều kiện Lipschitz được thỏa mãn.
3.1.2 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên trong khônggian các hàm liên tục:
Đặt C0[0, 1] định nghĩa không gian các hàm liên tục trên khoảng T =
[0, 1] và triệt tiêu tại 0. Xét không gian độ đo (C0,B, w), trong đó B làσ-đại số tập con Borel C0[0, 1] và w là độ đo Wiener.
Xét phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên:
dy(t, ω)/dt = f(t, y(t, ω) + w(t, ω)) y(0, ω) = 0 (3.20)
57
ở đó w(t, ω) là Winer và y(t, ω) với mọi ω ∈ Ω cố định, phần tử củaC0[0, 1]. Hàm f(t, u) : T ×R→ R là hàm liên tục giá trị thực của t. Đặtx(t, ω) = y(t, ω) + w(t, ω) khi đó phương trình (3.20) tương đương vớiphương trình Volterra ngẫu nhiên phi tuyến.
x(t, ω)−∫ t
0
f(r, x(r, ω), ω)dr = w(t, ω) (3.21)
Cameron đã xét bài toán dưới đây: Tìm điều kiện trên hàm f(x, ω) saocho phương trình (3.20) có nghiệm y(t, ω) cho hầu hết tất cả những hàmgiống nhau của w(t, ω),Đó là tất cả những hàm giống nhau của w(t, ω)ngoại trừ những hàm thuộc tập có độ đo Wiener không. Định lý dưới đâythiết lập điều kiện trên f(t, u). Đó là đầy đủ cho sự tồn tại của gần nhưchắc chắn các nghiệm của phương trình (3.20).
Định lý 3.9. (i) Để f(t, u) có đạo hàm riêng bậc nhất liên tục ft, fu trong
miền (t, u) : t ∈ [0, 1], u ∈ R Đặt:
g(t, u) =
∫ u
0
f(t, ξ)dξ u ∈ R
(ii) Để điều kiện tăng dần sau được thỏa mãn: ∀t ∈ T, u ∈ R
a.f(t, u)sgnu > −A1expBu2
b.fu(t, u) + 4gt(t, u) 6 2α2u2 + A2
c.g(1, u) 6 −12 αu
2cotβ − A3, u ∈ R
trong đó A1, A2, A3, α, β và B là các hằng số dương α < β < π và B < 1.
Khi đó phương trình (3.20) có nghiệm duy nhất y(t, ω) ∈ C0[0, 1] trương
đương phương trình (3.21) có nghiệm x(t, ω) ∈ C0[0, 1] hầu hết với mọi
w(t, ω) ∈ C0[0, 1]
3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phảingẫu nhiên
Xét phương trình tích phân có dạng:
x(t)−∫ ∞
−∞K(t− r)ψ(x(r), r)dr = y(t) (3.22)
58
Bây giờ chúng ta xét phương trình (3.22) với đầu vào là hàm ngẫu nhiêny(t, ω). Trong trường hợp này ta cần xét không gian M2 của tất cả cáchàm ngẫu nhiên x(t, ω) sao cho:(1) x(t, ω) là hàm ngẫu nhiên đo được.(2) x(t, ω) là tích phân địa phương với mọi ω ∈ Ω cố định.(3) Điều kiện độ hữu hạn yếu.
||x(ω)||2 = limA→∞
sup(1/2A)
∫ A
−A
|x(t, ω)|2dt <∞ (3.23)
thì thỏa mãn với mọi ω ∈ Ω. Như trước, chúng ta định nghĩa M0 là tậpkhông gian các hàm có độ 0, x(t, ω), ||x(ω)|| = 0 hầu như chắc chắn.
Xét phương trình tích phân phi tuyến ngẫu nhiên:
x(t, ω) = y(t, ω) +
∫ ∞
−∞K(t− r)ψ(x(r, ω), r)dr (3.24)
trong đó y(t, ω) : T × Ω → M2, ψ(x(τ, ω)τ) : M2 × T → M2 và K(t) :
T → T thỏa mãn (3.29). Định lý dưới đây, thiết lập sự tồn tại và duy nhấtcủa nghiệm ngẫu nhiên x(t, ω) của phương trình (3.32). Mở rộng định lý3.10 trong trường hợp đầu vào ngẫu nhiên.
Định lý 3.10. Giả sử
(i) ψ(x, t) thỏa mãn (3.28) x1(t, ω) ∈M2, x2(t, ω) ∈M2 trong đó x1(t, ω) >
x2(t, ω)
(ii) K(t) là hàm Lp thỏa mãn (3.29) và (3.30). Để Y (t, ω) là hàm ngẫu
nhiên có độ đo tùy ý trong M2 Khi đó có sự tồn tại nghiệm ngẫu nhiên
x(t, ω) ∈M2 của phương trình (3.24) và nghiệm là duy nhất trong M2/M0
Chúng ta phát biểu không chứng minh hai bổ đề mà dùng cho chứngminh định lý (3.10).
Bổ đề 3.2. Đặt K(µ) = FK(t) định nghĩa phép biến đổi Fouriercuar
K(t).Nếu:
(i) K(t) ∈ L2
(ii) (3.29) được thỏa mãn
(iii) K(µ) = 1 với mọi µ
59
(iv) H(µ) = K(µ)[1− K(µ)]−1
Khi đó, H(t) = F−1H(µ) ∈ L2 và thỏa mãn (3.29)
Bổ đề 3.3. Đặt F (t) là hàm sao cho (1 + t2)|F (t)|2 ∈ L1 và để F (µ) =
FF (t). Khi đó, F (t) ∈ L1. Nếu F (µ) 6= 1, ∀µ và G(t) = F−1F (µ)[1−F (µ)]−1]. Do đó, toán tử I − F trên M2/M0 bị chăn ngược có thể miêu
tả là:
(I − F )−1λx = (I + G)λx
Chứng minh định lý (3.10).Trước hết chúng ta viết lại phương trình (3.24) có dạng:
x(t, ω) = y(t, ω) + Ax(t, ω) (3.25)
Nếu chúng ta định nghĩa W như là toán tử:
W [x(t, ω)] = ψ(x(t, ω), t) (3.26)
V [x(t, ω)] =
∫ ∞
−∞K(t− r)x(r, ω)dr, x(r, ω) ∈M2 (3.27)
Do vậy chắc chắn rằng toán tử A trong phương trình (3.25) có dạng A =
VW và sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm phương trình (3.25) có thểđược thiết lập bằng cách tìm điểm cố định của toán tử A = VW . Dướiđây từ (3.29) V ánh xạ M2 vào chính nó. Để A định nghĩa W là ánh xạx(t, ω) vào miền V. Từ (i) ψ là hàm liên tục của x(t, ω):
|ψ(x(t, ω), t)| 6 max|α||β||x(t, ω)|hầu như chắc chắn. Vì thế, ψ(x(t, ω), t) ∈M2 và là ảnh của M2 vào chínhnó. Bây giờ, ta biểu diễn A là toán tử co trên M2. Từ ψ(t), K(t) là nhữnghàm xác định, toán tử W và V là xác định. Do đó, A là toán tử xác địnhvà định lý ánh xạ co trong lớp Banach có thể được sử dụng thiết lập sựtồn tại điểm cố định của A.
Sử dụng định nghĩa của toán tử V, phương trình (3.24) có thể viết là:
(I − 1
2(α+ β)V )x(t, ω) = y(t, ω)
+
∫ ∞
−∞K(t− r)
[ψ(x(r, ω), r)− 1
2(α+ β)x(r, ω)
]dr
(3.28)
60
Từ (3.29) K(t) ∈ L1 và từ (3.30) 12(α + β)F (µ) 6= 1, ∀µ. Với bổ đề (3.2)
và (3.3) toán tử I − 12(α+ β)V bị chặn ngược trên M2/M0 được biểu diễn
bằng đồng nhất thức dấu trừ phép nhân chập. Cho nên chúng ta có thểviết lại (3.28):
x(t, ω) = (I − 1
2(α+ β)V )−1y(t, ω)
+
∫ ∞
−∞H(t− r)
[ψ(x(r, ω), ω)− 1
2(α+ β)x(r, ω)
]dr
= y1(t, ω) + Sx(t, ω) (3.29)
trong đó H(t) là hàm L1 với:
H(µ) = FH(t) =K(µ)
1− 12(α + β)K(µ)
và đẳng thức thứ hai định nghĩa hàm y1(t, ω) và toán tử S theo cách thứcrõ ràng.
Từ (i) ta có:
|ψ(x1, t)− ψ(x2, t)−1
2(α+ β)(x1 − x2)| 6
1
2(β − α)(x1 − x2)
hầu hết với ∀ω ∈ Ω do vậy với bất kì (x1, t) ∈M2, (x2, t) ∈M2
||S(x1 − x2)|| 6 supµ
∣∣∣∣K(µ)
1− 12(α + β)K(µ)
∣∣∣∣1
2(β − α)||x1 − x2|| (3.30)
hầu hết với ∀ω ∈ Ω. Từ (3.30) hằng số vế phải của (3.30) nhỏ hơn 1. Dođó, viết lại phương trình (3.29) là:
(I − S)x(t, ω) = y(t, ω)
và quan sát :
||(I − S)(x1 − x2)|| = ||S(x1 − x2)||
nó kéo theo sự đầy đủ của M2 và thực tế là M2/M0 là không gian metric,định lý ánh xạ co Banach thì được ứng dụng và thiết lập sự tồn tại, tínhduy nhất nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (3.24).
61
3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterravới hạch ngẫu nhiên và vế phải ngẫu nhiên
3.3.1 Giới thiệu:
Trong chủ đề này chúng ta nghiên cứu lớp tổng quát hơn phương trìnhtích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên và vế phải ngẫunhiên. Phương trình được xét có dạng:
x(t, ω)−∫ t
0
K(t, r, ω)f(r, x(r, ω))dr = y(t, ω) (3.31)
trong đó ω ∈ Ω, t ∈ R+. Chúng ta giả sử rằng hàm x(t, ω) và hàm đã biếty(t, ω) là những hàm t ∈ R+ với giá trị trong L2(Ω) = L2(Ω,U, µ). Hàmf(t, x(t, ω)) dưới điều kiện thích hợp cũng là hàm t ∈ R+ với giá trị trongL2(Ω). Hạch ngẫu nhiên K(t, τ, ω) giả sử là hàm bị chặn dưới µ với mọit, τ, (0 6 τ 6 t <∞) với giá trị trong L∞(Ω) với mọi t, τ cố định. Vì vậy,tích số K(t, τ, ω)f(t, x(t, ω)) sẽ nằm trong L2(Ω). Chúng ta cũng giả sửrằng ánh xạ: (t, τ) → K(t, τ, ω) từ tập (t, τ) : 0 6 τ 6 t < ∞ vào L∞(Ω)
thì liên tục, đó là:
µ− ess supω
|K(tn, rn, ω)−K(t, r, ω)| → ∞
Phần định nghĩa sự tồn tại và duy nhất của nghiệm ngẫu nhiên x(t, ω)của phương trình (3.31). Trong chủ đề này, khái niệm cặp không gianBanach chấp nhận được với việc chú ý đến toán tử thì được ứng dụng. Đểgiới thiệu khái niệm này, chúng ta cần định nghĩa một vài không gian:(1) Không gian Cc = Cc(R
+, L2(Ω)) được định ngĩa là không gian tất cảcác hàm liên tục từ R+ vào L2(Ω) với tôp hội tụ đều trên mọi khoảng[0, b], b > 0. Không gian Cc là không gian lồi địa phương mà tôp của nóđược định nghĩa bởi họ chuẩn:
||x(t, ω)||n = supt∈[0,n]
∫
Ω|x(t, ω)|2dµ
1
2
(3.32)
n = 1, 2, . . .
(2) Không gian Cg = Cg(R+, L2(Ω)) được định nghĩa như không gian của
62
tất cả các hàm liên tục từ R+ → L2(Ω)
∫
Ω|x(t, ω)|2dµ
1
2
6Mg(t) t ∈ R+ (3.33)
trong đó M là số dương và g(t), t ∈ R+ là hàm liên tục dương. Cg đượcđịnh nghĩa bởi:
||x(t, ω)||g = supt∈R+
1
g(t)||x(t, ω)||L2
(3.34)
(3) Không gian C = C(R+, L2(Ω)) được định nghĩa như không gian củatất cả các hàm liên tục và bị chặn từ R+ → L2(Ω)
(4) Cuối cùng để X = X(R+, L2(Ω)) và Y = Y(R+, L2(Ω)) là cặp khônggian Banach của hàm liên tục từ R+ → L2(Ω) , X,Y ∈ Cc và để L là toántử tuyến tính từ Cc vào chính nó.
Định nghĩa 3.1. Cặp không gian Banach (X,Y) gọi là được thừa nhận
với chú ý tới toán tử L : Cc(R+, (L2(Ω)) → Cc(R
+, L2(Ω)) nếu và chỉ nếu
L[X] ⊂ Y
Bổ đề 3.4. Giả sử L là toán tử liên tục từ Cc(R+, (L2(Ω)) vào chính nó.
Nếu (i) X,Y là không gian Banach với tô pô mạnh hơn tô pô của Cc và
(ii) cặp (X,Y) được thừa nhận với sự lưu ý tới L, khi đó L là toán tử liên
tục từ X vào Y).
Chúng ta tham khảo Corduneanu cho chứng minh bổ đề trên mà liênquan đến việc cho thấy rằng L là toán tử đóng vầ khi đó dùng định lý đồthị đóng.
Chúng ta chú ý rằng nếu L là toán tử liên tục, nó cũng bị chặn khi đóchúng ta có thể tìm được hằng số M > 0 sao cho:
||Lx(t, ω)||Y 6M ||x(t, ω)||X (3.35)
Chúng ta xét phương trình vi phân không tuyến tính ngẫu nhiên códạng:
dx(t, ω)/dt = A(ω)x(t, ω) + f(t, x(t, ω)) t ∈ R+ (3.36)
63
và cho thấy rằng nó có thể được xây dựng như phương trình tích phânngẫu nhiên của dạng (3.31).
Tsokos cũng nghiên cứu phương trình tích phân Volterra phi tuyến ngẫunhiên của loại xoắn lại:
x(t, ω)−∫ t
0K(t− r, ω)Φ(x(r, ω))dr = y(t, ω) (3.37)
mà xuất hiện trong xây dựng phương trình tích phân của hệ thống vi phânngẫu nhiên không tuyến tính.
3.3.2 Tồn tại và duy nhất:
Bây giờ chúng ta xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm ngẫu nhiên củaphương trình (3.31). Hàm ngẫu nhiên x(t, ω) được gọi là nghiệm ngẫunhiên của (3.31) nếu với mọi t cố định t ∈ R+, x(t, ω) ∈ L2(Ω) và thỏamãn phương trình (3.31) với xác suất .
Định lý 3.11. Giả sử rằng:
(i) X,Y là không gian Banach từ R+ → L2(Ω) với tô pô mạnh hơn tô pô
của Cc(R+, (L2(Ω)) và cặp (X,Y) được thừa nhận với sự lưu ý đến toán
tử tích phân ngẫu nhiên:
L(ω)x(t, ω) =
∫ t
0
K(t, r, ω)x(r, ω)dr (3.38)
trong đó hạch ngẫu nhiên K(t, τ, ω) liên tục trong phương được chỉ ra sớm
hơn.
(ii) Ánh xạ: x(t, ω) → f(t, (x(t, ω)) là toán tử trên tập hợp:
S = x(t, ω) : x(t, ω) ∈ Y, ||x(t, ω)||Y 6 p
cho p > 0 với giá trị trong X thỏa mãn điều kiện:
||f(t, x1(t, ω))− f(t, x2(t, ω))||X 6 k||x1(t, ω)− x2(t, ω)||Y (3.39)
với x1, x2 ∈ S và k là một hằng số dương.
(iii) y(t, ω) ∈ Y Khi đó tồn tại một nghiệm ngẫu nhiên duy nhất của
phương trình (3.31) mỗi khi (a) k < N−1 và (b) ||y(t, ω)||Y+N ||f((t, 0)||X 6
p(1− kN) trong đó N là chuẩn của L(ω)
64
Chứng minh:Chúng ta định nghĩa toán tử ngẫu nhiên W (ω) từ S vào Y như dưới
đây:
W (ω)[x(t, ω)] = y(t, ω) +
∫ t
0
K(t, r, ω)f(r, x(r, ω))dr (3.40)
Trước hết chúng ta thấy rằng dưới giả thuyết của định lý W (ω) là toán tửco. Đặt x1(ω) và x2(ω) là phần tử của S. Khi đó, từ (3.40) chúng ta có:
W (ω)[x1(t, ω)− x2(t, ω)] =
∫ t
0K(t, r, ω)[f(t, x1(r, ω))− f(t, x2(r, ω))]dr
(3.41)Từ W (ω)[S] ⊂ Y và Y là không gian Banach, chúng ta có:
W (ω)[x1(t, ω)− x2(t, ω)] ∈ Y
Dưới đây từ những điều giả sử (i) và (ii) có [f(t, x1(t, ω))−f(t, x2(t, ω))] ∈X. Từ đây, qua bổ đề (3.4) L(ω) là toán tử liên tục từ X vào Y có tồn tạimột hằng số N>0 sao cho:
||L(ω)x(t, ω)||Y 6 N ||x(t, ω)||X
Từ (3.41) chúng ta có:
||W (ω)[x1(t, ω)− x2(t, ω)]||Y 6 N ||f(t, x1(r, ω))− f(t, x2(r, ω))||X
Áp dụng điều kiện Lipschitz trên f(t, x) được đưa ra bởi (ii) chúng ta có:
||W (ω)[x1(t, ω)− x2(t, ω)]||Y 6 kN ||x1(t, ω)− x2(t, ω)||X
Sử dụng điều kiện (a) (có kN<1) bất đẳng thức trên nghĩa là W (ω) làtoán tử co.
Bây giờ chúng ta biểu diễn W (ω)[S] ⊂ S. Với mọi x(t, ω) ∈ S toán tửW (ω) được định nghĩa tốt. Do vậy theo giả sử (iii) và bổ đề (3.4), chúngta có thể viết:
||W (ω)x(t, ω)||Y 6 ||y(t, ω)||Y +N ||f((t, x(t, ω))||X (3.42)
65
chuẩn của f(t, x) trong (3.41) có thể được viết là :
||f((t, x(t, ω))||X = ||f((t, x(t, ω))− f(t, 0) + f(t, 0)||X6 ||f((t, x(t, ω))− f(t, 0)||X + ||f(t, 0)||X
Ứng dụng nữa của điều kiện Lipschitz trên f(t, x)
||f((t, x(t, ω))||X 6 k||x(t, ω)− 0||X + ||f(t, 0)||X
mà chúng ta có thể viết lại (3.42) như dưới đây:
||W (ω)x(t, ω)||Y 6 ||y(t, ω)||Y + kN ||x(t, ω)||Y +N ||f(t, 0)||X
Từ x(t, ω) ∈ S, ||x(t, ω)||Y 6 p vì thế bất đẳng thức trên trở thành:
||W (ω)x(t, ω)||Y 6 ||y(t, ω)||Y + kNp +N ||f(t, 0)||X (3.43)
Sử dụng điều kiện (b) ||y(t, ω)||Y + N ||f(t, 0)||X 6 p(1 − kN) (3.43) trởthành:
||W (ω)x(t, ω)||Y 6 p(1− kN) + kNp = p
Do đó, bằng định nghĩa của tập hợp S, W (ω)x(t, ω) ∈ S, ∀x(t, ω) ∈S hoặc W (ω) ⊂ S Cuối cùng, từ đó chúng ta biểu diễn rằng W (ω)
là toán tử co và W (ω) ⊂ S. Dưới đây từ định lý điểm cố định Spacek-Hans, toán tử W (ω) có duy nhất điểm cố định x(t, ω) với mọi t ∈ R+,đó là W (ω)x(t, ω) = x(t, ω). Vì vậy, tồn tại nghiệm ngẫu nhiên duy nhấtx(t, ω) ∈ S ⊂ X của phương trình tích phân (3.31).
Padgett và Tsokos đã nghiên cứu phương trình tích phân ngẫu nhiêncủa loại Volterra - Fredholm có dạng:
x(t, ω) = y(t, ω) +
∫ t
0K1(t, r, ω)f(r, x(r, ω))dr
+
∫ t
0
K2(t, r, ω)g(r, x(r, ω))dr, t > 0 (3.44)
Sử dụng định lý của không gian Hilbert và định lý điểm cố định củaBanach, Schauder và Krasnosel, sự tồn tại và duy nhất của nghiệm ngẫunhiên của phương trình (3.3.2) được thiết lập.
66
KẾT LUẬNTrong luận văn này, chúng ta nghiên cứu được các vấn đề liên quan
đến phương trình tích phân ngẫu nhiên Fredholm và Volterra. Trước hếtta tìm hiểu được thế nào là phương trình Fredholm và Volterra với hàmvế phải ngẫu nhiên, tính chất của nghiệm phương trình tích phân loại trênnhư nghiệm của hàm hiệp phương sai, sự liên tục bình phương trung bìnhcủa nghiệm. Đặc biệt, chúng ta đã đưa ra được ví dụ cụ thể của loại tíchphân này là phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener. Tiếptheo, chúng ta đã xét được sự tồn tại, tính duy nhất, tính đo được củanghiệm phương trình Fredholm khi hạch K(x,y,w) là các biến ngẫu nhiênnhận giá trị trên không gian các hàm gián đoạn vừa phải.
Ngoài ra, luận văn còn đưa ra một số phương trình tích phân phi tuyếnvới vế phải ngẫu nhiên và trong trường hợp loại Volterra với hạch ngẫunhiên. Kết quả nữa là chúng ta đã chỉ ra được sự tồn tại và tính duy nhấtnghiệm của phương trình loại đó.
67
Tài liệu tham khảo
[1] Bharucha-Reid A.T,1972, Random Integral Equations, AcademicPress NewYork.
[2] Đặng Hùng Thắng,2013, Xác suất nâng cao, NXB Đại Học Quốc GiaHà Nội.
[3] P.A. Cojuhari, 2013, Random Integral Equations On Time Scales,AGH University of Science and Technology Press
68