Tema 9 Funciones elementales

9.1Gráfica de una función . Signo y simetría .PÁGINA 175 EJERCICIOS1. Encuentra los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones y estudia su signo.

c) f�x� ��x � 3��x � 2�

x � 1c.1) Cortes con los ejes� Eje OX.

Sus puntos son de la forma �a, 0� con a � R

Hemos de hacer f�x� � 0 ��x � 3��x � 2�

x � 1� 0

Como se trata de una fracción , será cero si el numerador es cero .�x � 3��x � 2� � 0Como se trata de un producto , será cero si uno de los multiplicandos es cero .

x � 3 � 0

x � 2 � 0�

x � 3

x � �2

Serían los puntos ���2,0�,�3,0��� Eje OY

Sus puntos son de la forma �0,b� con b � R

Hemos de hacer f�0� ��0 � 3��0 � 2�

0 � 1� � 6

Sería el punto �0,�6�c.2) signo de f�x�Es decir, hay que ver dónde es positiva, negativa o cero la expresión de f�x�

Lo que se hace es estudiar el signo de�x � 3��x � 2�

x � 1Como se trata de una fracción su signo dependerá de los signos del numerador y denominador.Para ello se anulan los dos:

�x � 3��x � 2� � 0

x � 1 � 0�

x � 3 � 0

x � 2 � 0

x � 1 � 0

�

x � 3

x � �2

x � �1

Tenemos la siguiente tabla:

signo/intervalo ���,�2� �2 ��2,�1� �1 ��1,3� 3 �3,��

x � 3 � � � �

x � 2 � � � �

x � 1 � � � �

f�x� � � - �

Gráficamente es:

1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

Observa como sobre los intervalos que en la tabla aparece el signo �, pintamos por encima deleje OX; mientras que sobre los intervalos que en la tabla aparece el signo -, pintamos pordebajo del eje de abscisas.

Tareas 27-03-2014: 1(a,b),2,3(a,b)3 Estudia si las siguientes funciones son pares o impares, o si no presentan ninguna de estas

simetrías.c) f�x� � x5 � x3 � xCalculamosf��x� � ��x�5 � ��x�3 � ��x� � �x5 � ��x3� � x � �x5 � x3 � x � ��x5 � x3 � x�Ahora hemos de compararla con f�x� o �f�x�.Como se cumple que f��x� � �f�x�Entonces tenemos una simetría impar, es decir, la función es simétrica con respecto al origende coordenadas.Gráficamente:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

x

y

Observa que si trazamos rectas que pasen por el origen de coordenadas, cortan a ambos ladosde la gráfica de forma que el origen de coordenadas está en el medio de dichos puntos.

10.2 Funciones cuadráticasPÁGINA 176 EJERCICIOS4 Dada la parábola f�x� � x2 � 6x :

a) Halla los puntos de cortes con los ejes:

2

� Eje OX� �a, 0� a � RSerá 0 � x2 � 6x � 0 � x�x � 6�Como se trata de un producto , será cero si uno de los multiplicandos es cero .

x � 0

Ó

x � 6 � 0

�

x � 0

Ò

x � 6

Son los puntos ��0,0�,�6,0��� Eje OY� �0,b� b � R

Ya lo tenemos, es �0,0�b) Calcula su vértice.

La abscisa de su vértice es x � �b2a

����6�2 � 1

� 3

La ordenada es f�3� � 32 � 6 � 3 � � 9Las coordenadas del vértice son �3,�9�.c) Represéntala gráficamente y comprueba que es cóncava hacia arriba.Para empezar a � 1 � 0 entonces las ramas de la parábola están hacia arriba.La gráfica queda

Tareas 27-07-2014: 5

10.3 Funciones polinómicas de grado mayor que dosTodos conocemos las expresiones funcionales de la forma f�x� � xn con n � N¿Cómo se transforma esto en un polinomio?Supongamos que trabajamos con f�x� � x3

Tiene por representación gráfica:

3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-120

-100

-80

-60

-40

-20

20

40

60

80

100

120

x

y

En principio es siempre creciente, pues al desplazarse de izquierda a derecha va siempre subiendo, ysólo tenemos un punto de corte con los ejes; el origen de coordenadas.Vamos a transformarla de la siguiente manera:g�x� � �x � 3��x � 1��x � 5� � 2 � x3 � x2 � 17x � 17

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-80

-60

-40

-20

20

40

x

y

PÁGINA 177 EJERCICIOSTareas 31-03-2014: 67 Esboza las gráficas de las siguientes funciones polinómicas:

d) f�x� � �4�x � 1�2�x � 3�2 � � 4x4 � 32x3 � 88x2 � 96x � 36d.1) Dom�f� � R como se trata de un polinomio se puede calcular su valor numérico para

cualquier número real.d.2) Cortes con los ejes:� � Eje OX� �a, 0�, a � R

Es decir, hemos de hallar los valores de x tales que f�x� � 0 �

� 0 � �4�x � 1�2�x � 3�2

Un producto es cero si alguno de los multiplicandos es cero .

x � 1 � 0

Ó

x � 3 � 0

�

x � 1

Ó

x � 3

Los puntos son ��1,0�,�3,0��

4

� Eje OY� �0,b�, b � RHacemos f�0� � �4�0 � 1�2�0 � 3�2 � � 36Será el punto �0,�36�

d.3) Signo de la función� Tenemos la siguiente tabla:

signo/intervalo ���, 1� 1 �1,3� 3 �3,��

x � 3

x � 1

f�x� � �4�x � 1�2�x � 3�2 - - -

En realidad sobra, ya que el �4 es siempre negativo, mientras que los cuadrados sonsiempre positivos o cero, por lo que al multiplicar los tres nos queda siempre negativo ocero. Por lo tanto, siempre pintaremos por debajo del eje OX.

d.4) Comportamiento en el infinito� � lim

x���f�x� � lim

x���� 4�x � 1�2�x � 3�2 � lim

x���� 4 � x2 � x2 �

� limx���

� 4 � x4 � ��

Esto se interpreta gráficamente como que cuando la x se pierde por la izquierda,las alturas se van cada vez más abajo

� limx��

f�x� � ��

Esto se interpreta gráficamente como que cuando la x se pierde por la derecha,las alturas se van cada vez más abajo

d.5) Simetría� Calculamos f��x� para poderlo comparar con f�x�

f��x� � �4���x� � 1�2���x� � 3�2 � �4���x � 1��2���x � 3��2 �

� �4�x � 1�2�x � 3�2

Claramente es distinto tanto de f�x�, como de �f�x�. Por lo tanto, no tenemos ningún tipode simetría.

La gráfica sería:

Tareas 31-03-2014: 7 (a b c)

10.4 Funciones de proporcionalidad inversaPÁGINA 178 EJERCICIOSPRODUCCIÓN PROPIA

Representa en una hoja de papel milimetrado la función f�x� � 2x � 3

Calcula para ello los siguientes elementos:� Dom�f�� Simetría

5

� Asíntotas horizontales y verticales.� Tabla de valores

� ¿En que cambia con respecto a la función y � 1x ? ¿Dónde está ahora la simetría?

9 Encuentra la función que relaciona la base y la altura de todos los rectángulos de área 420 m2 ydibuja su gráfica.

Será x � y � 420 � y � 420x

Para dibujarla considerare los siguientes apartados.� Consideramos una tabla de valores:

x �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5

y 420�5

� � 84 420�4

� � 105 �140 � 210 �420 420 210 140 105 84

� Dom�f� � R� �0�Dado que para x � 0 se anula el denominador.

� Simetría

Calculamos f��x� � 420�x � � 420

x � �f�x�

Entonces tenemos una simetría impar, es decir, es simétrica respecto del origen decoordenadas.

� Asíntotas verticales.En x � 0 pues es donde se anula el denominador. Tenemos que:

� limx�0�

420x � 420

0� � ��

� limx�0�

420x � 420

0� � �

Entonces x � 0 es una asíntota vertical� Asíntotas horizontales.

Calcular los siguientes límites:

� limx��

420x � 420

� � 0�

� limx���

420x � 420

�� � 0�

Entonces y � 0 es una asíntota horizontal.La gráfica resultante es:

6

Tareas 01-04-2014: 8, 10

10.5 Funciones racionalesPÁGINA 179 EJERCICIOS11 Realiza el estudio completo de estas funciones racionales y dibuja sus gráficas:

c) f�x� � x2 � 3xx � 1

c.1) Dom�f� � R� �1� pues para ese valor se anula el denominador.c.2) Cortes con los ejes.

� Cortes con el eje OX� �a, 0� a � R� Como tenemos un cociente, este es cero si el numerador.

x2 � 3x � 0 � x�x � 3� � 0Un producto es igual a cero, si uno de los multiplicandos es cero.

x � 0

Ó

x � 3 � 0

�

x � 0

Ó

x � 3

Serán los puntos ��0,0�,�3,0��a. � Cortes con el eje OY� �0,b� b � R� Ya lo tenemos es �0,0�

c.3) Asíntotas� Horizontales

Estudiamos los límites siguientes:

� limx��

x2 � 3xx � 1

� limx��

x2

x � limx��

x � �

� limx���

x2 � 3xx � 1

� limx���

x2

x � limx���

x � ��

� Por lo tanto, no tenemos asíntotas horizontales.a. � Oblicuas� Estudiamos los límites siguientes:

a. � m � limx��

x2 � 3xx � 1

� x � limx��

x2 � 3xx2 � x

� limx��

x2

x2 � limx��

1 � 1

� n � limx��

x2 � 3xx � 1

� 1 � x � limx��

x2 � 3x � �x2 � x�x � 1

�

� limx��

�2xx � 1

� limx��

�2xx � lim

x��� 2 � �2

Así tenemos la asíntota oblicua y � x � 2 cuando x � �

Análogamente sería asíntota oblicua y � x � 2 cuando x � ��

� Verticales

7

� Hacemos el estudio cuando x � 1 pues es un punto que no pertenece al dominio de lafunción.

a. � limx�1�

x2 � 3xx � 1

� 12 � 3 � 11� � 1

� �20� � ��

� limx�1�

x2 � 3xx � 1

� 12 � 3 � 11� � 1

� �20� � ��

Entonces x � 1 es una asíntota vertical.La gráfica nos queda

Tareas 02-04-2014: 11(a,b,d,e,f,g,h,i),

10.6 Funciones exponencialesLos límites en el infinito de la función exponencial vienen dados por esta tabla:

f�x� � ax limx���

f�x� limx��

f�x�

0 � a � 1 � 0

1 � a 0 �

Se debe a que si tomamos por ejemplo el número 2 se verifica que:

a2 � 1a�2 � a�2 � 1

a2

Esto es aplicable para cualquier número.Tareas 03-04-2014:

En papel milimetrado representar las funcionesf�x� � 2x

f�x� � 12

x , para ello has de realizar los siguientes

pasos:� Dom�f�� Tabla de valores:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

� limx���

f�x�. Para ello considera la tabla de valores siguiente:

x �103 �104 �105 �106

y

� limx��

f�x�. Para ello considera la tabla de valores siguiente:

x 103 104 105 106

y

8

PÁGINA 180 EJERCICIOS12 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 3x � 27 � x � 3Dado que 33 � 3 � 3 � 3 � 27Otra forma de hacerlo:Tomamos logaritmo en base diez en ambos lados de la igualdad.log3x � log27 �

� x log3 � log27 �

� x �log27log3

� 3

b) 2x � 64 � x � 6Dado que 26 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 64Entonces el "método de adivinación" no es bueno.Veamos otra forma de hacerlo:Tomamos logaritmo en base 2 en ambos lados de la igualdad.2x � 64 �

� log22x � log264 �

� x log22 � log264 �

� x � 1 � log264 �

� x � log264 � ln64ln2

� 6

También puede ser x � log264 �log64log2

� 6

Tareas 03-04-2014: 12 (c d)

9.7 Funciones logarítmicasTareas 03-04-2014:

En papel milimetrado representar las funcionesf�x� � log2x

f�x� � log 12x

, para ello has de realizar los siguientes

pasos:� Dom�f�� Tabla de valores:

x 110000

11000

1100

110

0 1 2 3 4

y

� limx�0�

f�x�. Para ello considera la tabla de valores siguiente:

x 10�3 10�4 10�5 10�6

y

� limx��

f�x�. Para ello considera la tabla de valores siguiente:

x 103 104 105 106

y

� ATENCIÓN: REPRESENTAR JUNTAS 2x y log2x, y tambien que vayan juntas 12

xy log 1

2x.

Además, en ambas hojas de papel milimetrado, pintar la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.¿Qué observas?

PÁGINA 181 EJERCICIOS15 Escribe 2 lnp � 1

3lnq como un solo logaritmo.

2 lnp � 13

lnq � lnp2 � lnq13 � ln p2

3 q

9

Tareas 21-05-2013: 16

9.8 Funciones trigonométricasTareas 07-04-2014: Representar en papel milimetrado (uno para cada función; apaisado) las siguientefunciones trigonométricas:� y � sinx� y � cosx

� y � tanx � sinxcosx

Para ello daréis los siguientes valores de x (en radianes):

�4�,� 154

�,� 72�,� 13

4�,� 12

4�,� 11

4�,� 10

4�,� 9

4�,� 8

4�,� 7

4�,� 6

4�,� 5

4�,

� 44�,� 3

4�,� 2

4�,� 1

4�, 0, 1

4�, 2

4�, 3

4�, 4

4�, 5

4�, 6

4�, 7

4�, 8

4�, 9

4�, 10

4�,

114

�, 124

�, 134

�, 144

�, 154

�, 164

�

x �4� � 4�

y �

Una vez hecha la representación, buscar "cosas curiosas" (periodicidad, simetrías, asíntotas....etc) en larepresentación gráfica.Para los valores de x considerados en radianes tenemos en grados sexagesimales respectivamente:�720,�675,�630,�585,�540,�495,�450,�405,�360,�315,�270,�225,�180,�135,�90,�45,0,45,90,135,180,225,270,315,360,405,450,495,540,585,630,675,720

PÁGINA 183 EJERCICIOS17 Calcula todos los lados y ángulos del siguiente triángulo rectángulo.

 � 180� 90� 24 � 66ºdado que en cualquier triángulo la suma de los ángulos interiores es180º¿b,a?Como el triángulo es rectángulo podemos aplicar la definición de las funciones trigonométricasen función de los lados del triángulo.Resulta que a es un cateto y b es la hipotenusa.� a

Se cumple que tanĈ �cateto opuestocateto contiguo

� tan24� 57a �

� a � 57tan24

� 128.02406961� 128m

� b

Se cumple que sinĈ �cateto opuesto a Ĉ

hipotenusa� sin24� 57

b�

10

� b � 57sin24

� 140.1398201� 140.1m

También se podría calcular la hipotenusa aplicando el Teoremas de Pitágoras.Tareas 27-05-2013: 18

19 A partir desin30°

cos30°. Obtén las razones trigonométricas de 120º,150º,210º,240º,300º,330º.

Razones trigonométricas de 120 º

Tenemos la siguiente situación gráfica:

Teniendo en cuenta el dibujo podemos decir que:� sin120º� cos30º� cos120º� �sin30º

Tareas 27-05-2013: 19(150º,210º,240º,300º,330º�20 Ayudándote de un cuadrado y su diagonal, calcula las razones trigonométricas de un ángulo de

45º.Trabajando en el triángulo rectángulo ABCpodemos obtener que:

tan45° �lado opuesto a 45°

lado contiguo a 45°� x

x � 1

sin45° �lado opuesto a 45°

hipotenusa� x

?� x

2 � x� 1

2�

1 � 2

22 �

22

cos45° �lado contiguo a 45°

hipotenusa� x

?�análogamente�

22

Tenemos que hallar la hipotenusa.Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el Teorema de Pitágoras.AC2 � AB2 � BC2 � b2 � x2 � x2 � b2 � 2x2 � b � � 2x2

Pero como estamos calculando una longitud nos quedamos con b � 2x2 � 2 � x2 � 2 � x

11

9.9 Funciones valor absoluto y parte entera .Vamos a representar la función parte entera de x:f�x� � Ent�x� � E�x�Tenemos la siguiente tabla de valores:

x y

0 0

0.2 0

0.4 0

0.5 0

0.6 0

0.8 0

x y

1 1

1.2 1

1.4 1

1.5 1

1.6 1

1.8 1

x y

2 2

2.2 2

2.4 2

2.5 2

2.6 2

2.8 2

�conclusion para cualquier número positivo del intervalo �n,n � 1� le

asociamos la altura n siendo n un número natural.

x y

-0 0

-0.2 -1

-0.4 -1

-0.5 -1

-0.6 -1

-0.8 -1

x y

-1 -1

-1.2 -2

-1.4 -2

-1.5 -2

-1.6 -2

-1.8 -2

x y

-2 -2

-2.2 -3

-2.4 -3

-2.5 -3

-2.6 -3

-2.8 -3

�conclusion para cualquier número negativo del intervalo

��n � 1,�n� le asociamos la altura �n � 1 siendo n un número natural.

12

En cada escalón es cerrada en la derecha y abierto en la izquierda.

PÁGINA 184 EJERCICIOS23 Escribe las siguientes funciones como funciones a trozos y dibuja su gráfica:

a) f�x� � |x| � |x � 2|Tenemos dos valores absolutos:

� |x| ��x if x � 0

x if x � 0

� |x � 2| ���x � 2� if x � 2 � 0

x � 2 if x � 2 � 0�

��x � 2� if x � �2

x � 2 if x � �2

Teniendo en cuenta donde cambían estas dos funciones, hemos de distinguir tres trozos

diferenciados

x � �2

�2 � x � 0

0 � x

f�x� � |x| � |x � 2| �

�x � ���x � 2�� if x � �2

�x � �x � 2� if �2 � x � 0

x � �x � 2� if 0 � x

�

�

�x � x � 2 if x � �2

�x � x � 2 if �2 � x � 0

x � x � 2 if 0 � x

�

2 if x � �2

�2x � 2 if �2 � x � 0

�2 if 0 � x

13

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

x

y

b) g�x� � |x2 � 2| �

���x2 � 2� if x2 � 2 � 0

x2 � 2 if x2 � 2 � 0�

�x2 � 2 if x2 � 2

x2 � 2 if x2 � 2�

Calculamos x2 � 2 � x � � 2 � � 1. 4142Tenemos la siguiente tabla de valores para estudiar el signo de x2 � 2

signo/intervalo ��,� 2 � 2 � 2 , 2 2 2 ,�

x2 � 2 � 0 � 0 �

��x2 � 2 if x � � 2 , 2

x2 � 2 if x � ��,� 2 � 2 ,�

14