pf mat_4311413013_emas agus pw
DESCRIPTION
Kumpulan materi matematikaTRANSCRIPT
-
TUGAS PORTOFOLIO MATEMATIKA DASAR
Dosen Pengampu : Riza Arifudin ,S.Pd.,M.Cs.
Nama :Emas Agus Prastyo Wibowo NIM :4311413013 Prodi :Kimia
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2013
-
BAB II
SISTEM BILANGAN REAL
A. Kompetensi dan Indikator
A.1 Standar Kompetensi
Menggunakan konsep bilangan real dalam soal dan permasalahan yang relevan.
A.2 Kompetensi Dasar
Memahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai
mutlak, akar
kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, serta sistem
persamaan linear
A.3 Indikator Pembelajaran
Mahasiswa mampu mengerjakan soal-soal
Kalkulus-1 : Sistem Bilangan Real
A. Sistem Bilangan B. Pertidaksamaan C. Nilai Mutlak
A. Sistem Bilangan
BILANGAN REAL Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan
dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional
-
Bilangan Rasional
Adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
di mana p, q Z,
dengan q 0. Notasinya: Q = {x|x = , p dan qZ, dengan q 0}.
Bilangan Irrasional (Tak Rasional)
Adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .
Notasinya: iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }
contoh : , e, log 5
Sistem Bilangan / Himpunan Bilangan
Himpunan Bilangan Asli: N = {1, 2, 3, 4, 5, }
Himpunan Bilangan Bulat: Z = { ,2,1, 0, 1, 2, 3, }
Himpunan Bilangan Rasional: Q = { | p, q Z, q_= 0}
Perhatikan gambar segitiga di samping. Panjang sisi miringnya
adalah 2. Apakah bilangan tersebut merupakan bilangan rasional .
Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional
disebut himpunan bilangan
real, disimbolkan R. Jelas N Z Q R.
-
1) Sifat-sifat Bilangan Real - Komutatif (pertukaran), hanya untuk penjumlahan dan perkalian
x+y= y + x dan xy =yx
- Asosiatif (pengelompokan), hanya untuk penjumlahan dan perkalian
(x+y)+z = x +(y +z) dan (xy)z = x(yz)
- Distributif, perkalian terhadap penjumlahan (x+y) = xz+yz
- Unsur identitas Terhadap operasi jumlah yaitu 0 sehingga x + 0 = x Terhadap operasi kali yaitu 1 sehingga x.1 = x
- Invers Terhadap penjumlahan yaitu x sehingga x +(-x) = 0
Terhadap perkalian yaitu 1
sehingga x .
1
= 1
2) Sifat-sifat Urutan Bilangan Real Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x
< y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
-
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila ````z
bilangan negatif, maka xz > yz
Garis bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan
garis bilangan(real)
-3 0 1
Sistem Bilangan Real
Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya dinamakan sistem bilangan real
INTERVAL BILANGAN REAL
Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang
mengandung paling sedikit 2
bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara
keduanya.
-
Penulisan himpunan dalam bentuk interval/selang:
{ x|a xb,xR} =[a,b ] disebut selang tutup {x|a< <
-
7. (, b] = { x | x b } b
8. (,) = R
B. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan tidak boleh dikalikan atau dibagi oleh suatu variabel
karena variabel tersebut bisa bernilai positif atau negatif.
Pertidaksamaan akan berubah tanda apabila variabel pengali/pembagi bernilai
negatif.
Bentuk umum:
atau
Contoh:
3+1
22+8
3
5+34
Himpunan dari semua titik x R yang memenuhi pertaksamaan tersebut
disebut solusi.
Langkah-Langkah menentukan solusi pertaksamaan rasional:
(dijelaskan seiring dengan pencarian solusi dari +1
2
+3)
Tentukan daerah definisi dari pertaksamaan tersebut
Tambahkan kedua ruas dengan ()
()sehingga diperoleh bentuk
()
()< 0
Faktorkan P(x) dan Q(x) atas faktor-faktor linier & kuadrat definit.
Gambarkan garis bil. real dan tandai akar-akar dari P(x) dan Q(x).
Pada setiap subinterval yang terbentuk, ambil satu buah titik dan periksa
tanda dari ()
()
+ - - +
-
Simpulkan solusi dari pertaksamaan tersebut.
Diskusi: Perhatikan langkah kelima di atas. Untuk menentukan tanda dari ()
()
sepanjang suatu subinterval, mengapa cukup kita uji pada satu titik saja ?
Jelaskan !
Latihan Tentukan solusi dari:
a) 2 x2 x < 6
b) (x 1)2 4 c) 5x 3 7 - 3x
Hati-Hati:
Jangan mengalikan pertaksamaan dengan bilangan yang tidak diketahui tandanya
ilustrasi: 1
1< 1
Sebaiknya, hindari mencoret faktor yang sama, ilustrasi:(3)3(+1)
3 2
0
-
C. Nilai Mutlak
Definisi nilai mutlak
Nilai mutlak x dengan notasi |x | didefinisikan sebagai:
Contoh: | 6 | = 6 ,karena 60 | -4| = - ( - 4) = 4,karena 4 < 0 | 0 | =0
Akibat definisi nilai mutlak
< < | < | x> < | | > Sifat-sifat Nilai Mutlak
a. |x.y | = |x | .|y | b.
c. | x+y|
-
Latihan
a) |x 3| = x 3
b) |x 1| = 2.
c) |x 5 ||2 x 6|
d) |2x 7| < 3
e) |x 2| + |x + 2| > 7
f) |x 2| < 3 |x + 7|
Sistem Koordinat Kartesius / Persegi Panjang
Pelopor: Pierre de Fermat
(1629) & Rene Descartes
(1637)
Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan letak suatu titik dalam
grafik. Ada
beberapa macam system koordinat yaitu:
-
Sistem Koordinat Cartesius;
Sistem Koordinat Kutub;
Sistem Koordinat Tabung, dan
Sistem Koordinat Bola.
Sistem Koordinat Cartesius
Koordinat ini terdiri dari 2 garis saling tegak lurus, yaitu satu mendatar
(horizontal) dan yang lain tegak (vertikal). Garis mendatar ini disebut sumbu-x
sedangkan garisyang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu
tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-
titik di sebelah kanan O nilainya adalah positif (bilangan-bilangan real positif)
sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif.
Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O
masing-masing dikaitkan dengan
bilangan-bilangan real positif dan negatif. Oleh ke dua sumbu, bidang datar
(bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I,
kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV
-
Gambar Koordinat Katesius dan kwadrannya
Letak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan variable
berurutan (x,y). Titik P(x,y) berarti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y
masing masing adalah |y| dan |x|. Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada
di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x > 0 (atau y > 0)
maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O dalam hal
ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.
-
Jarak dua titik di bidang
Misalkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dua buah titik pada bidang, jaraknya
adalah d(P,Q) = 2 1 2
+ 2 1 2
Garis Lurus Bentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A,B, dan C konstanta.
Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.
Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) yang
memenuhi persamaan tersebut.
Hal-hal khusus:
Bila A = 0, persamaan berbentuk y =
, grafiknya sejajar sumbu-x.
Bila B = 0, persamaan berbentuk x =
, grafiknya sejajar sumbu-y.
Bila A,B tak nol, Ax + By + C = 0 y =
Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2) dua titik
pada garis tersebut. Kemiringan garis
didefinisikan sebagai m = 21
21
-
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) :
1
2 1=
1
2 1
Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x1, y1) :
y y1 = m(x x1)
Misalkan garis _1 dan _2 dua buah garis dengan kemiringan m1 dan m2.
Kedua garis tersebut sejajar m1 = m2
Kedua garis tersebut saling tegak lurus m1 m2 = 1 (mengapa?)
Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik
tertentu (disebut pusat lingkaran). Persamaan lingkaran yang berpusat
di (0, 0) dan jari-jari r adalah: 2 + 2 = 2Bila pusat lingkaran berada di titik
(p, q) maka persamaannya menjadi ( )2+ 2= 2
-
Contoh 1: Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan pusatnya O(0,0).
Jawab:
Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjarijari 5 adalah
2 + 2 = 52atau2 + 2 = 25.
Contoh 2. Tulislah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya 2 + 2= = 27.
Jawab:
Pusat lingkaran 2 + 2= 27 adalah O(0,0), jari-jarinya adalah r = 27 = 3 3
satuan.
Contoh 3: Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan berpusat di titik
(2,4).
Jawab:
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan berjari-jari 5 adalah
2 2+( 4)2 = 52 atau 2 2+( 4)2 = 25
Persamaan Lingkaran + + A x + B y + C = 0.
Ini adalah persamaan lingkaran dengan
Pusat : P( 1
2 ,
1
2)
Jari-jari : r =
-
Contoh:
Carilah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya
2 + 2 - 6 x + 4 y - 12 = 0.
Jawab:
Pada persamaan 2 + 2 - 6 x + 4 y - 12 = 0, nilai A = -6, B = 4 dan C = -12. Misalkan pusat lingkarannya P dan jari-jarinya r.
Pusat : P( 1
2 ,
1
2)= (3,-2)
Jari-jari : r = 1
4. 36 +
1
4. 16 (12)
r = 25 = 5 satuan
Latihan
a. Tentukan persamaan lingkaran di kuadran I yang menyinggung
garis y = 3 dan sumbu X di titik (4,0).
b. Hitung jarak terdekat antara titik P(-7,2) ke lingkaran 2 + 2 -10x
14y -151 = 0.
c. Diketahui titik P(1,7) dan lingkaran ( + 3)2 + ( 4)2 = 16.
Hitung jarak terdekat P kelingkaran.
-
KOORDINAT KUTUB
Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan
menggunakan koordinat kutub. Koordinat kutub menunjukkan posisi relatif
terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal
pada O.
A(r,)
r
Suatu titik A dapat dinyatakan sebagai pasangan berurut
A(r,)
r : jarak titik A terhadap titik asal O (0,0)
: besar sudut antara sb-X (x positif) terhadap garis OA
Cos =
-
Sin =
Jika diketahui Koordinat Kutub ( r , ) :
Maka :
x = r. cos
y = r. sin
Jika diketahui Koordinat Kartesius ( x , y ) :
Maka :
r =
tan =
Contoh Soal :
Diketahui Koordinat Kutub :
A(10,30)
10
30
0
22 yx
-
Ubahlah ke Koordinat Kartesius :
A(10,30)
Maka :
x = r. cos
y = r. sin
Penyelesaian :
Titik A(10,30) x = r. cos
=10 .cos 30
=10.1
2 3
=5 3
y= r. sin
=10. sin30
=10. 1
2
= 5
` Jadi .A(10, 30) (5 3 , 5)
-
Diketahui Koordinat Kartesius :
A(x,y)
Ubahlah ke Koordinat Kutub :
Titik A ( 4, 4 )
Maka :
r =
tan =
Penyelesaian :
Titik A (4, 4 ) r =
22 yx
22 )34(4
4816
-
=
=
= 8
tan =
=
=
= 60
Jadi A( 4, 4 ) A ( 8,600)
Grafik Persamaan Kutub
Cardioid: r a(1sin) dan r a(1cos)
Contoh : r = sin + 1
-
Limaon: r = a + b cos , r = a + b sin
contoh : r = 3 5 sin
Mawar (Rose) Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose);
dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil,
2n jika n genap
Contoh : r = cos
-
Lemniscate: Contoh: untuk
r 2 a cos(2) atau r 2 asin(2)
r 2 4sin(2)
Spiral: Persamaan berbentuk r = n
Contoh : r =
-
Grafik dari butterfly curve
r() = exp(cos())- 2*cos(4* ) + sin(/4)^3
KOORDINAT POLAR
Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi:
- derajat dari sumbu-x (sb. polar)
( diukur berlawanan arah jarum-jam)
- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.
Perhatian:
jika r < 0, maka P berada di posisi yang
berlawanan arah.
r: koordinat radial
-
: koordinat sudut
Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar
(r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil
= ( r, + n ) , untuk n bil. bulat genap
Persamaan dalam Koordinat Polar
Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a
Untuk lingkaran berjari a
- berpusat di (0,a): r = 2a sin
- berpusat di (a,0): r = 2a cos
r = 2 sin r =cos
r
0 0
2 /2
-
Konversikan persamaan polar r = 2 sin kedalam sistem koordinat
tegak:
Kalikan kedua sisi dengan r:
r2 = 2r sin
x2 + y
2 = 2y
x2 + y
2 - 2y = 0
Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)
2 = 1
0
r
2 0
0 /2
-2
-
Cari titik potong antara 2 persamaan polar berikut: r = 1 + sin and
r2 = 4 sin .
Solusi:
(1 + sin )2 = 4 sin
1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0
sin2 - 2 sin + 1 = 0
(sin - 1)2 = 0 sin = 1
Jadi sudut = /2 + 2n, dimana n = 0,1,
Jadi salah satu titik potong: (2, /2)
Grafik Persamaan Polar
Cardioid: )cos1()sin1( ardanar
-
Limaon: r = a + b cos , r = a + b sin
Limaon: r()= 3 2 cos()
-
Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah
kelopak = n jika n ganjil,2n jika n genap
Rose: r() = a b sin (n)
contoh: r() = 5 sin(2)
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
-
Lemniscate:
Spiral: r =
)2sin(atau )2cos( 22 arar
)2sin(42 r
-
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi:
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial = dan
= dan kurva r = f( ),
, adalah
=
r = f()
dfA 221 )(
-
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua
garis dalam satu bidang. Di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering
ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan
banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi variabel.
Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam perancangan
linear, umumnya diperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya. Namun dalam
teknik listrik sering ditemukan variabel lebih sedikit dari persamaan. Karena
beberapa dari persamaan mempunyai sifat ketergantungan maka jawaban masih
mungkin untuk diperoleh.
Dalam bab ini, akan dibahas sistem persamaan linear bukan hanya yang
-
mempunyai jawaban tunggal, tetapi juga yang mempunyai jawaban banyak.
Untuk membantu penyelesaian masalah dipergunakan konsep matriks.
Pengertian Sistem Persamaan Linear
Definisi : Secara umum sebuah persamaan linear dalam n variable x1, x2, , xn
dapat dinyatakan dalam bentuk :
a1x1 + a 2x 2 + + a n x n = b, dengan a 1, a 2, , a n dan b adalah konstanta real.
Contoh :
Persamaan berikut merupakan persamaan linear :
a. x + 3y = 7 b. y = 5x + 3z + 1 Persamaan berikut bukan persamaan linear :
c. x2 + 3y = 5 d. y - sin x = 0
Definisi : Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan linear dalam
n
variable x1, x2, , xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear. Bentuk umum sistem persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri
dari m persamaan dan n variable x1, x2, , xn dapat ditulis sebagai : a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 :
am1x1 + am2 x2 + + amn xn = bm,
dengan aij dan bi (1 i m, 1 j n) adalah konstanta-konstanta real. Contoh :
a. SPL 2 persamaan dan 2 variabel :
-
x1 + 2x 2 = 5 2x1 + 3x 2 = 8
b. SPL 2 persamaan 3 variabel :
x1 - x2 + x3 = 2 2x1 - x2 - x3 = 4
c. SPL 3 persamaan 2 variabel :
x1 + x2 = 2 x1 - x2 = 1
x1 = 4
Sebuah sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk matriks,
sebagai berikut.
Definisi : Suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n variable x1,
x2,
, xn dapat dinyatakan sebagai matriks
A X = B
dengan Am x n = (aij ), Xn x 1 = ( ) x j , dan Bm x 1 = ( ) bi .
Jika matriks B pada SPL di atas diganti dengan matriks nol O, maka sistem
persamaan linear tersebut dikatakan homogen, jika tidak disebut SPL non
homogen.
Contoh :
a. SPL non homogen berikut
x1 - x2 + x3 = 2
2x1 - x2 - x3 = 4
-
disajikan dalam bentuk matris 1 1 32 1 1
123
=24
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Sebuah penyelesaian (solution) persamaan linear a1x1 + a2 x2 + +
anxn =
b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, , sn sehingga persamaan
tersebut
dipenuhi jika kita mensubstitusikan x1 = s1, x2 = s2, , xn = sn. Himpunan
semua
penyelesaian tersebut dinamakan himpunan penyelesaiannya.
Penyelesaian SPL adalah sebuah tupel n terurut bilangan-bilangan x1, x2,
, xn yang memenuhi semua persamaan dalam SPL.
Contoh :
a. Pasangan terurut (1,2) adalah penyelesaian dari sistem
x1 + 2x 2 = 5
2x1 + 3x 2 = 8
karena : 1(1) + 2(2) = 5 dan 2(1) + 3(2) = 8.
Tetapi, pasangan terurut (3,1) bukan penyelesaian dari SPL tersebut karena
tidak memenuhi persamaan kedua, yakni 2(3) + 3(1) 8.
b. Tripel terurut (2,0,0) adalah penyelesaian dari SPL
x1 - x2 + x3 = 2
2x1 - x2 - x3 = 4
-
karena 1(2) 1(0) + 1(0) = 2
2(2) + 1(0) 1(0) = 4
Periksalah bahwa tripel terurut (2,1,1), (2,2,2), (2,3,3), .... juga merupakan
penyelesaian SPL tersebut. Jadi SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian.
Jika adalah sebarang bilangan real, maka terlihat bahwa tripel terurut (2,
,)adalah penyelesaian SPL tersebut.
Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian, hal ini
dapat ditunjukkan pada sistem
x1 + x2 = 2
x1 - x2 = 1
x1 = 4
Pada persamaan ketiga x1= 4, sehingga jika disubstitusikan ke persamaan
pertama
dan kedua, maka x2 harus memenuhi :
4 + x2 = 2
4 - x2 = 1
Karena tidak ada bilangan real yang memenuhi kedua persamaan ini, maka SPL
ini tidak mempunyai penyelesaian.
Sebuah SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten
(inconsistent). Sebuah SPL yang mempunyai paling sedikit satu penyelesaian
disebut konsisten (consistent).
Dari contoh di atas, banyaknya penyelesaian suatu SPL dibedakan 3 yaitu
:
1. SPL mempunyai satu penyelesaian (penyelesaian tunggal)
-
2. SPL mempunyai banyak penyelesaian (tak terhingga penyelesaian)
3. SPL tidak mempunyai penyelesaian)
SPL homogen AX = 0 selalu mempunyai penyelesaian (konsisten) yaitu X =
0, yang dinamakan dengan penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain,
(yang
tidak nol) maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial.
Contoh :
2x1 + x 2 - 3 x 3 = 0
x 1 + 2 x 2 = 0
x 2 + x 3 = 0
SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian tak trivial yaitu :
x 1 = 2 x 3
x 2 = - x 3
Jika x3=t, dengan t bilangan real, maka x1 = 2t, x2 = -t sehingga himpunan
penyelesaiannya adalah {(t,2t,-t)} = {t(1,2,-1)}. Ini menunjukkan SPL di atas
mempunyai tak terhingga banyak penyelesaian, sebanyak bilangan real t.
Penyelesaian SPL Menggunakan Matriks
SPL BENTUK MATRIKS
-
Bentuk Echelon-Baris Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:
maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.
Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:
1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen
tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.
2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.
3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading
1 baris berikut.
4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.
Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi
Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut
bentuk echelon-baris.
CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:
-
CONTOH bentuk echelon-baris:
Bentuk Umum Echelon-Baris
Bentuk Umum Echelon-Baris Tereduksi
-
dimana lambing * dapat diisi bilananga real sebarang
Metoda Gauss-Jordan
Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-
baris
tereduksi. CONTOH: Diberikan SPL berikut
Bentuk matriks SPL ini adalah:
-2B1+B2 B2
B2 B2
-
5B2+B3
B3
B4 B4+4B2
1 3 20 0 10 0 0
0 2 0
2 0 3 0 0 0
0
10
0 0 4 8 0 18 6
B3 B4 B3 B3/3
-3B3+B2 B2
2B2+B1 B1
Akhirnya diperoleh:
-
Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh penyelesaian:
Di mana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak berhingga banyak
Penyelesaian
Metode Substitusi Mundur
Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:
Bentuk ini ekuivalen dengan:
LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:
LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh
-
LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:
LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai
Eliminasi Gaussian
Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian
menggunakan substitusi mundur
CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian
PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut
-
BAB III
FUNGSI DAN LIMIT
MATERI YANG DI BAHAS
A. DEFINISI FUNGSI
B. NOTASI FUNGSI
C. DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL
D. GRAFIK FUNGSI
E. FUNGSI GENAP DAN GANJIL
F. OPERASI FUNGSI
G. KOMPOSISI FUNGSI
H. FUNGSI TRIGONOMETRI
A.DEFINISI FUNGSI
Ada dua buah definisi
1.Sebuah fungsi adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap
objek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal ,dengan sebuah
nilai unik dari himpunan kedua .Himpunan nilai yang diperoleh
secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut
-
2.Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut(x,y) dimana tidak
terdapat dua pasangan berbeda yang bilangan pertamanya
sama.Himpunan semua nilai x yang mungkin dinamakan daerah asal
(domain)fungsi,dan himpunan semua nilai y yang di hasilkan dinamakan
daerah nilai fungsi
Dari kedua definisi di atas diambil garis besarnya adalah
Suatu himpunan pasangan terurut bilangan (x,y) dimana tidak terdapat dua
pasangan berbeda yang bilangan pertamanya sama .Tiap objek x dalam satu
himpunan pertama,yang disebut daerah asal (domain) dihubungkan dengan
sebuah titik unik() dari himpunan kedua yang dinamakan daerah nilai
(range/jelajah/hasil)
B.NOTASI FUNGSI
Di pakai sebuah huruf tunggal seperti . ()
dibaca dari x atau " pada x menunjukkan nilai yang diperoleh oleh
kepada
Contoh .Jika = 3 4 ,hitunglah 2 , 1 , , ( + )
Penyelesaian :
-
2 = 2 3 4 = 4
1 = 1 3 4 = 5
= 3 4
+ = + 3 4 = 3 + 32 + 32 + 3 4
Contoh 2 .Jika = 2 2 ,hitunglah 4 , 4 + , 4 + (4)
Penyelesaian :
4 = 4 2 2 4 = 8
4 + = 4 + 2 3 4 + = 8 + 6 + 2
4 + 4 = 8 + 6
4 + (4)
=
6 + 2
= 6 +
Latihan
Selesaikanlah
1. Untuk = 2 1 ,hitunglah 1 , 2 , , 0 , (6)
2. Untuk = 33 + ,hitunglah 6 , 3
2 , ( 3)
-
C.DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL
Definisi Daerah Asal
Daerah asal adalah himpunan himpunan elemen elemen pada mana fungsi
itu mendapat nilai
Definisi Daerah Hasil
Himpunan nilai- nilai yang diperoleh secara demikian
Contoh 1. F adalah fungsi dengan aturan = 2 + 1.Daerah asalnya
{1,0,1,2,3}.Carilah daerah hasilnya.
Penyelesaian :
Daerah hasilnya {1,2,5,10}
Bilamana daerah asalnya tidak dirinci kita selalu menganggap bahwa daerah
asalnya adalah himpunan bilangan riil yang terbesar sehingga aturan fungsi ada
maknanyadan memberikan nilai bilangan riil,daerah asal ini disebut daerah asal
mula(domain natural)
-
Contoh.2 Carilah daerah asal mula(natural) untuk:
1. =1
3
2. = 9 2
Penyelesaian :
1.Daerah hasil untuk =1
3 adalah {x , 3} dibaca
Himpunan x dan R (Bilangan riil) sedemikian rupa sehingga x tidak sama
dengan 3
2.Harus membatasi t sedemikian rupa sehingga 9 2 0 =
9 2 dengan tujuan menghindari bilangan imajiner sehingga { ; t
3}
Latihan
Tentukan daerah asalnya
1. = 4
2. = 2 4
3. = 4 2
4. = + 1
D.GRAFIK FUNGSI
Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan
bilangan riil,kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan
-
grafiknya pada suatu bidang koordinat.Dan grafik fungsi adalah grafik dari
persamaan =
Contoh .Buatlah sketsa grafik dari :
1. () = 2 2
2. = 3 2
3. =2
1
Penyelesaian:
1. = 2 2
Daerah asal { x }
Daerah hasil {y ; 2}
-
2.
2. = 3 2
Daerah asal { }
Daerah hasil { }
Grafiknya :
-
3. = 2
1
Daerah asal { ; 1}
Daerah hasil { ; 0}
Grafiknya :
Tentukan daerah asal ,daerah hasil ,dan buat grafiknya
1. = 3
2. = 2 + 1
3. = 3 2
-
E.FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL
Definisi Fungsi Genap
Suatu fungsi dikatakan fungsi genap jika setiap x di daerah
asal, = ()
Definisi Fungsi Ganjil
Suatu fungsi dikatakan fungsi ganjil jika setiap x di daerah
asal, = ()
Dari kedua definisi ini dapat dipahami bilamana terletak
pada daerah asal ,maka juga
Contoh.Tentukan apakah fungsi- fungsi dibawah ini genap,ganjil,atau
bukan keduanya
= 2 2
= 3 2
= 24 + 73 2 + 9
Penyelesaian:
. = 2 2
= 2 2 = 2 2 (Fungsi Genap)
= 3 2
= 3 2 = 3 + 2 = (3 2)
(Fungsi Ganjil)
= 24 + 73 2 + 9
-
= 2 4 + 7 3 2 + 9
= 24 73 2 + 9(Fungsi bukan keduanya)
F.OPERASI FUNGSI
Operasi pada Fungsi
Seperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan
pembagian pada fungsi, sebagai berikut:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f g)(x) = f(x) g(x)
(f.g)(x) = f(x).g(x)
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f + g adalah irisan dari
daerah asal f dan
daerah asal g, yakni {x R | x 0 }.
Contoh
jika f(x) = 2
dan g(x) = 1
, maka f + g
adalah fungsi yang memetakan x ke 2+1
, yakni (f + g)(x) = 2+
1
Selain keempat operasi tadi, kita dapat pula mendefinisikan pangkat p dari
fungsi f, yakni
-
f p(x) = [f(x)]p, asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi.
G.KOMPOSISI FUNGSI
Aturan fungsi komposisi
Fungsi g : A B dan h : B C dua fungsi dengan Dh = Rf. Pada gambar
berikut
mengilustrasikan fungsi g bekerja lebih dulu baru dilanjutkan fungsi h. Fungsi g
memetakan x
ke y dan h memetakan y ke z. Fungsi f memetakan x langsung ke z. Fungsi f : A
C adalah
komposisi dari fungsi g dan h, yakni f = h g.
Perhatikan ilustrasi di atas, y = g(x) dan z = h(y). Fungsi f : A C ditentukan
oleh rumus f(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A. adalah fungsi komposisi g
dan h, dan dinotasikan dengan f = h g.
f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.
Perhatikan bahwa h g g h.
(h g)(x) = h(g(x)) g(h(x)) (g h)(x).
h g merupakan fungsi komposisi dengan g bekerja lebih dulu baru kemudian
h, tetapi g h merupakan fungsi komposisi dengan h bekerja lebih dulu baru g.
-
Contoh :
Misalkan dua fungsi g : R R dan h : RR, keduanya berturut-turut
ditentukan oleh rumus:
g(x) = 2x + 1 dan h(x) = 2
a. Carilah (i) (h g)(3); (ii) (h g)(-5); dan (iii) daerah hasil f = h g.
b. Carilah x R, sehingga f(x) = 100, jika f = h g. Jawab:
a. (i) (h g)(3) = h(g(3)) = h(2.3 + 1) = h(7) = 7 2 = 49.
(ii) (h g)(-5) = h(g(-5)) = h(2(-5) + 1) = h(-9) = 92 = 81. (iii) Misalkan f = h g.
f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) = h(2x + 1) = 2 + 1 2 untuk semua x R.
Jadi Rf = {x R/ x 1}.
b. f(x) = 100, jika f = h g. Berarti f(x) = (h g)(x) = 100. Berdarkan a(iii);
2 + 1 2= 100 2x + 1 = 10 atau 2x + 1 = -10
= 41
2atau = 5
1
2
H.FUNGSI TRIGONOMETRI
Definisi Fungsi Trigonometri
Fungsi ini didefinisikan dalam ukuran radian
-
Misalkan AOB adalah suatu sudut dalam posisi baku dan OA = 1.Jika s satuan
adalah panjang busur lingkaran yang ditempuh titik A bila sisi awal OA diputar
ke sisi terminal OB maka ukuran radien t dari sudut AOB ditentukan oleh:
a.t=s ,bila putarannnya berlawanan dengan arah putaran jarum jam
b.t=-s ,bila putarannya searah dengan arah putaran jarum jam.
Ukuran panjang keliling suatu lingkaran 2.Beberapa contoh ukuran-ukuran
sudutnya
-
2.Ukuran derajat dan radian dan hubungannya dengan trigonometri sudut.
-
Sudut 360 sama dengan 2 radian
Sudut 180 sama dengan radian
1 1
180 radian
1 180
5718
Contoh 1.Rubahlah 162 dalam bentuk radian
Penyelesaian :
162 = 162 1
180 =
9
10
Contoh.2 Rubahlah 5
12 dalam bentuk derajat
Penyelesaian :
5
12 =
5
12
180
= 75
Pembagian suatu putaran menjadi 360 bagian dilakukan oleh suatu
bangsa Babylon kuno ,yang menyenangi kelipatan 60.Pembagian ke dalam 2
bagian lebih mendasar dan berlatar belakang pada pemakaian ukuran radian
-
yang umum dalam kalkulus.Panjang busur dari potongan busur sebuah
lingkaran radius
Dengan sudut pusat radian adalah :
2=
2
Sehingga
=
dengan :
=
= ( )
Bila =1 ,ini memberikan = .Dengan kalimat ,panjang busur pada potongan
lingkaran satuan dengan sudut pusat radian adalah
-
Latihan
Konversikan ke dalam bentuk
1.240
2.135
3.600
-
Konversikan ke dalam bentuk derajat
4. 7
6
5. 1
3
6 .5
4
FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus Jumlah dan Selisish Dua Sudut
1. Menentukan Rumus untuk cos ( )
Titik A dan B pada lingkaran. OA = OB = 1 satuan. OA dengan sumbu x positif
membentuk
sudut . OB dengan sumbu x positif membentuk sudut .
AOC = dan BOC = .
Dengan demikian koordiant titik A (cos , sin ) dan (cos , sin ).
Rumus
= +
Dengan mengubah + ) () diperoleh:
cos + = cos + sin()
=
-
Jadi ,
+ =
Ingat
2.Menentukan rumus sin
Rumus sinus jumlah dua sudut dapat ditentukan sebagai berikut ini.
sin + = cos{90 + }
= cos{ 90 }
= cos 90 + + sin 90
= +
() =
=
-
Jadi, + = +
Setelah kita memperoleh sinus jumlah, yaitu sin (a +b ) kita dapat menentukan
rumus selisih dua sudut sebagi berikut:
sin = sin{ + }
= cos + sin()
= + ()
=
Jadi, =
Ingat !!
sin 90 = cos
cos 90 = sin
3.Menentukan rumus untuk tan ( )
Dari rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut dapat digunakan untuk
menentukan rumus tan ( + ) sebagai berikut :
-
+ =sin( + )
cos( + )
= +
=
=
+
1
=+
.
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
1. Menentukan Sudut Rangkap
a. Menentukan rumus sin 2
Dengan rumus sin + = + dan dengan mengubah
2 = + didapat 2 = sin +
= +
= 2
-
Jadi ,2 = 2
b. Menentukan rumus cos 2
Dengan rumus cos + = dan dengan mengubah
2 = + didapat 2 = cos( + )
=
= 22
Jadi, 2 = 22
Rumus 2 = 22 dapat dinyatakan dalam bentuk lain
2 = 22
= 2 (1 2
= 2 1+2
= 22 1
Jadi . 2 = 22 1
2 = 12
2 = 1 2
2 = 1 2
Ingat!
2 + 2=1
-
2. Identitas Trigonometri
Rumus rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus bersama-sama
dengan rumus- rumus yang terdahulu dapat digunakan untuk menunjukkan
kebenaran dari suatu identitas trigonometri
Buktikan identitas berikut!
.
a. + 2 = 1 + 2
b.3 = 3 43
Bukti:
a. + 2 = 2 + 2 + 2
= 2 + 2 + 2
= 1 + 2 (terbukti)
b.3 dapat dinyatakan 2 + ,sehingga
-
3 = sin 2 +
= 2 + 2
= 2 + 1 22
= 22 + 23
= 2 1 2 + 23
= 2 23 + 23
= 3 43 (terbukti)
Latihan
a. Jika sudut lancip yang memenuhi 2 cos2 = 1 + 2 sin 2, tentukan
nilai tan .
b. , , dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga. Tentukan nilai tan .tan
jika tan .+ tan =2 tan
-
Empat Fungsi Trigonometri Lainnya
Empat fungsi trigonometri tambahan yaitu tangent ,kotangen,sekan,kosekan
tan =
cot =cos
sin
sec =1
cos
csc =1
sin
Contoh 1.Buktikan bahwa tangent t adalah fungsi ganjil
Penyelesaian :
tan =sin()
cos()
tan =
tan =
Contoh 2 .Buktikan bahwa 1 + 2 = 2
Penyelesaian
1 + 2 = 1 + 2
2
1 + 2 = 2 + 2
2
-
1 + 2 =1
2
1 + 2 = 2 (terbukti)
Ringkasan fungsi trigonometri yang penting
Kesamaan ganjil-genap
sin =
cos =
tan =
Kesamaan Pythagoras
2 + 2x =1
-
1 + 2 = 2
1 + 2 = 2
Kesamaan penambahan
sin + = +
cos + = .
tan + = +
1 .
Kesamaan sudut ganda
2 = 2
2 = 2 2 = 22 1 = 1 22
Kesamaan setengah sudut
2 = 1 2
2
2 = 1 +2
2
Kesamaan jumlah
sin + sin = 2sin( +
2)cos(
2)
-
+ = 2 cos +
2 cos(
2)
Latihan
Buktikanlah
1. 1 + 1 =1
2
2. 1 + 1 = 2
3. =
-
LIMIT
A.GRAFIK FUNGSI
Gambarkan sketsa grafiknya dan tentukan daerah asal dan daerah nilainya
-
Daerah asalnya {x x } intervalnya (= (, )
Daerah hasilnya{() = 3,1,4} intervalnya (-3,1,4)
Pendahuluan Limit
Perkataan limit dipergunakan dalam bahasa sehari-hari
Saya mendekati batas kesabaran saya
Pemahaman secara intuisi
Suatu fungsi
= 3 1
x-1
Fungsi tersebut tidak terdefinisi pada = 1 dimana 0
0= tak
terdefinisi.Secara lebih tepat apakah () mendekati beberapa bilangan tertentu
bilamana mendekati 1 ?
Tiga hal yang dapat dilakukan :
1.Menghitung beberapa nilai x dekat 1 dalam bentuk tabel
2.Menunjukkan nilai nilai tersebt dalam sebuah diagram skematis
3,Membuat sketsa grafik = ()
-
Semua hal di atas menunjukkan ke kesimpulan yang sama()
mendekati 3 bilamana x mendekati 1
Dalam lambang matematisnya
-
Konsep Limit
Misalkan I = (a,b) suatu interval buka di R dan c I. Fungsi f(x) dikatakan
terdefinisi di I kecuali mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semua titik pada
I/{c} dan di c boleh terdefinisi boleh juga tidak
Limit fungsi di satu titik
Jika nilai x cukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilai f(x) cukup
dekat ke
nilai tetap L, dan juga jika nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin dekat dengan
L dengan cara
memilih nilai x yang cukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilai x
dalam daerah asal
fungsi f kecuali mungkin untuk x = a, maka kita katakan bahwa limit fungsi f(x)
untuk x
mendekati a sama dengan L, ditulis xa
lim f(x) = L.
-
Dengan ungkapan lain:
xa
lim f(x) = L jika dan hanya jika > 0, > 0, 0 < |x a| < maka |
f(x) - L| < .
Nilai bergantung pada pada sebarang x sehingga f(x) terdefinisi. Namun
pada nilai
x = a tidak dipersoalkan.
Misalnya pada fungsi f(x) = 3x 4, = 0,1 untuk = 0,3; dan = 0,001
untuk = 0,003.
Karena |(3x 4) 5| = |3x 9| = 3|x 3|, maka relasi antara dan pada
kasus ini adalah = 3
untuk nilai fungsi di sekitar x = 3.
Jika tidak ada nilai L yang memenuhi definisi limit, maka kita katakan
xa
lim f(x) = L tidak ada.
-
Limit kiri dan kanan (sepihak)
-
KEKONTINUAN FUNGSI
-
Kekontinuan Sepihak
Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c bila
Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c bila
Kekontinuan Pada Interval
Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika f kontinu pada setiap
titik di (a,b)
Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutp [a,b] jika f kontinu pada (a,b)
kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b
-
TURUNAN
Turunan Fungsi
Aturan Turunan
Aturan Rantai
Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
Turunan Tingkat Tinggi
Turunan Fungsi Implisit
Laju yang berkaitan
Diferensial dan Aproksimasi
TURUNAN FUNGSI
Misal diberikan grafik fungsi y = f(x) dengan P ( a, b ) terletak pada kurva f(x).
Bila Q ( x,y) merupakan titik sembarang pada kurva f(x) maka gradien garis PQ
dapatdinyatakan dengan :
=
=
()
Bila titik Q berimpit dengan dengan titik P maka garis PQ akan merupakan garis
singgung kurva f(x) di P sehingga gradien :
= lim ()
Turunan dari fungsi f(x) di titik x = a didefinisikan sebagai gradien dari garis
singgung kurva f(x) di x = a dan diberikan:
)(' af = lim ()
-
h
xfhxf
dx
dyxfy
h
)()(lim)(''
0
vAtau bisa juga dengan
Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di x = a.
Misal h = x - a . Maka turunan f(x) di x = a dapat dituliskan :
)(' af = lim0 + ()
Atau bisa juga dengan
Notasi lain: )(' af =df (a)
dx=
dy (a)
dx= ya
Secara fisis, pengertian dari turunan fungsi f(x) di titik x = a dinyatakan sebagai
kecepatan, V(x) benda yang bergerak dengan lintasan f(x) pada saat x = a. Oleh karena
itu, didapatkan hubungan V(a) = f '(a) dan percepatan , A(x) , A( a)=()
Bila y = f(x) diferensiabel di x = a maka kontinu di x = a. Sifat tersebut tidak
berlaku sebaliknya. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
Contoh
Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0
Jawab :
Fungsi f ( x ) kontinu di x = 0 , sebab 0 = lim0 = 0
Turunan f ( x ) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut :
0 = lim0 0+ (0)
= lim
0
|h |
Karena -1 = lim0
|h |
lim
0+
|h |
= 1 maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0.
Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari
turunan sebagai berikut :
-
1. Jika f (x)=k, maka
2.
3.
4.
5. dengan g(x) 0
TURUNAN ALJABAR
Beberapa bentuk aljabar :
Fungsi linear
Fungsi Kuadrat
Fungsi polinom
Fungsi (f) perkalian dari f. linear, f. kuadrat, f. polinom atau campurannya.
Fungsi pecahan dari linear, kuadrat, polinom atau campuran dari padanya.
Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut :
1. y = 2x + 3
jawab :
2. . y = 3x 5 jawab :
0)(' xf
Rrxr
dx
xd rr
;1
(x)g(x)f
dx
g(x)f(x)d ''
)()()()(
)()( '' xgxfxgxfdx
xgxfd
)(
)()()()(2
'')(
)(
xg
xgxfxgxf
dx
d xgxf
h
xhxy
h
]32[]3)(2[lim'
0
h
xhx
h
32322lim
0
22
lim 0
h
h
h
-
6x
36lim36
lim0h
2
0h
hxh
hhx
h
xhxhhxx 33223
0h
515155lim
Latihan
1. y = 12x + 1 2. y = 5 7x
Kesimpulan 1 :
1. y = b y = 0
2. y = ax y = a
Contoh soal:
1. y =3x2
Jawab :
2. y = 5x3
Jawab :
h
xhxy
h
]53[]5)(3[lim'
0
h
xhx
h
53533lim
0
33
lim 0
h
h
h
h
xhx 22
0h
3)(3limy'
h
xhhxx 222
0h
3363lim
h
xhx 33 5)(5y'
-
Kesimpulan
1. y = 3x2 y =6x
2. y = 5x3 y =15x2
Jadi : y = axn y = a.n.xn-1
= anxn-1
Turunan fungsi komposisi :
Dasar :
1. y = (3x 5)5 dapat diubah :
y = u5 dimana u = 3x 5
Sehingga :
= 54
=3
2. y = sin3(2x+3) dapat diubah : y = u3 dimana u = sin (2x+3)
sehingga :
= 32 dan
= 2 (2 + 3)
h
hxhhx 322
0h
1515lim
2322
0h15
1515lim x
h
hxhhx
-
Turunan fungsi perkalian :
y = u(x) . v(x) y = u.v +u.v
Contoh :
Tentukan turunan berikut :
1. y = 2x sin 3x
y=(2)sin 3x + 2x.(3 cos 3x)
= 2 sin 3x + 6x cos 3x
2. y = 3x2 cos 2x
y = (6x) cos 2x + 3x2(-2 sin 2x)
= 6x cos 2x 6x2 sin 2x
Turunan fungsi pembagian :
Contoh :
Tentukan turunan dari :
1. y = tg x
2. =32
3
3. =34
2
Jawab :
.
2
'.'.'
)(
)(
v
vuvuy
xv
xuy
x
xxy
cos
sintan.1
x
xxxxy
2cos
)sin)((sin)(coscos'
xx
xx 22
22
seccos
sincos
-
sin2x
4-3xy .3
x-3
2-3xy .2
Latihan
Tentukan turunan dari :
1. y = tg ax
2. =cos 3
cos 2
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Fungsi trigonometri ( sinus dan cosinus ) merupakan fungsi kontinu, sehingga
limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan nilai fungsinya, yaitu :
lim = dan lim
=
2)3(
)1)(23()3(3'
x
xxy
22 )3(
7
)3(
2-3x3x-9y'
xx
x
xxxy
2sin
)2cos2)(43(2sin3'
2
x2sin
6x)cos2x-(83sin2x
2
-
Turunan dari fungsi sinus dapat diperoleh dari definisi, yaitu :
( )
=lim0
sin +
= lim0
2 sin
2 cos (+
2)
lim2sin (
2)
= 1
( )
=
Sedangkan untuk turunan fungsi cosinus diperoleh berikut:
( )
=lim0
cos +
lim0
=2 sin
2 sin (+
2)
=
Untuk turunan fungsi trrigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan
rumus perhitungan turunan :
= 2
= 2
=
(csc ) == csc cot
-
Untuk menentukan / menghitung limit fungsi trigonometri di tak hingga dan limit
tak hingga , digunakan sifat atau teorema yang diberikan tanpa bukti berikut.
Teorema
Misal f(x) g(x) h(x) berlaku untuk setiap x di dalam domainnya.
Bila lim = lim
=
Maka lim
=
TURUNAN TINGKAT TINGGI
Turunan kedua dari fungsi f( x ) didapatkan dengan menurunkan sekali lagi
bentuk turunan pertama. Demikian seterusnya untuk turunan ke-n didapatkan dari
penurunan bentuk turunan ke-(n-1)
Turunan pertama =()
Turunan kedua =2
2
Turunan ketiga =3
3
Turunan ke-n =
Contoh :
Tentukan turunan kedua dan ketiga dari fungsi = 1 + 2
Jawab :
Turunan Pertamanya adalah
1+2
-
Turunan kedua = 1 + 2 2
1+2
=1
(1+2)3/2
Turunan ketiga =3
(1+2)5/2
Latihan
Tentukan turunan kedua dari
1.
2.
FUNGSI IMPLISIT
Fungsi dengan notasi y = f(x) disebut fungsi eksplisit, yaitu antara peubah bebas
dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka
dikatakan fungsi implisit.
Dalam menentukan turunan fungsi implisit bila mungkin dan mudah untuk
dikerjakan dapat dinyatakan secara eksplisit terlebih dahulu kemudian ditentukan
turunannya. Namun tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentuk eksplisit,
oleh karena itu akan dibahas cara menurunkan fungsi dalam bentuk implisit berikut.
Contoh :
y x 2 3 4
y x sin 2 1
-
Tentukan
bila y 4x 2xy 5
Bentuk fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit, =4+5
1+2 Digunakan aturan penurunan
didapatkan,
=
6
(1+2)2
Contoh :
Tentukan nilai
di ( 2,1 ) bila y 4x 2xy2 3
Jawab :
Bentuk fungsi dapat diubah menjadi fungsi eksplisit dalam y, =+3
422, Menggunakan
aturan penurunan didapatkan,
=
22+2+4
422 2
Karena
=
1
/ maka
=
422 2
22+2+4
Nilai turunan di (2,1) atau y=1
=
1
2
Contoh :
Tentukan nilai
= di x = 1 y 4x + 2x2y2 = 3
Jawab :
Turunan dari fungsi di atas dicari dengan menggunakan metode penurunan fungsi
implisit. Misal turunan dari x dan y berturut-turut dinyatakan dengan dx dan dy. Bila
dalam satu suku terdapat dua peubah (x dan y ) maka kita lakukan scara bergantian, bisa
-
terhadap x dahulu baru terhadap y atau sebaliknya. Hasil turunan
akan nampak bila
masing-masing ruas dibagi oleh dx.
y 4x + 2x2y2 = 3
4 + 4 2 + 42 = 0
4 + 42 + 42
= 0( )
=
442
1+42
Substitusi x=1 ke fungsi di dapat 22 + 1 = 0
Atau =1
2 = 1
Untuk (1,-1) ,
= 0
Untuk (1,1/2),
= 1
Contoh Soal:
Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut
2. 2 + 22 + 3 = 0
3. cos 2 = 2 +
Jawab :
1.
1)sin(..1 22 yxxy
)1())sin((.2 22 yDxxyD xx
0'22)'()cos( yyxxyyxy
)cos(2')2)cos(( xyyxyyxyx
-
2.2x+2x2Dxy+4xy+3xDxy+3y=0
Dxy(2x2+3x)=2x 4xy 3y
=
243
22+3
3. sin(xy2)(2xyDxy+y2)=2yDxy+1
2xysin(xy2)Dxy2yDxy=1+y2sin(xy2)
=
1+2 si n(2)
2 ( 2)2
Cari persamaan garis singgung di titik yang diberikan
1.22 + 4 = 12; (2,1)
2.sin = ; (
2, 1)
Jawab :
x2(2y) y+2xy2+4xy+4y=12y
y(2x2y+4x12)=2xy2 4y
=224
22+412
=22
2+26
2,1 = = 2
Tangent line: y1=2(x2)
yxyx
xyyxy
2)cos(
)cos(2'
-
2. cos(xy)(xy+y) = y
y[xcos(xy)1]=ycos(xy)
= cos ( )
cos 1
= cos ( )
1 ( )
(
2, 1) , = 0
: 1 = 0(
2)
LAJU YANG BERKAITAN
Jika suatu variabel (y) bergantung pada waktu (t)
, maka turunannya Disebut Laju
Perubahan Sesaat
Laju perubahan jarak terhadap perubahan wktu
Laju perubahan posisi terhadap perubahan waktu
Laju perubahan volume udara yang dipompakan ke wadah elastic tertutup
Laju perubahan zat cair yang mengalir dari suatu wadah
-
Laju perubahan harga rumah pada real-estate
Jika y secara eksplisit dinyatakan dalam t maka kita langsung dapat menurunkan y
terhadap t
Jika y dinyatakan dalam suatu peubah lain ,sebut saja x ,dan kemudian ada hubungan
keterkaitan yang belum tentu eksplisit antara x dengan t ,maka gunakan aturan rantai
,dan penurunan emplisit
Contoh Soal 1 :
Sebuah balon kecildilepaspada jarak 150 dari seorang pengamat yang berdiri di tanah.
Jika balon naik secara lurus ke atas dengan laju 8feet per detik. Seberapa cepat jarak
antara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon pada ketinggian tertentu 50
feet?
-
Contoh 3 :
Seorang wanita berdiri diatas tebing mengawasi perahu motor menggunakan teropong
ketika perahu mendekati pantai tepat dibawahnya. Jika teropong berada 250 feet
diatas permukaan laut dan jika perahu mendekat dengan laju 20 feet per detik, berapa
laju perubahan sudut teropong pada saat perahu berada 250 feet dari pantai ?
Jawab :
1. dt
dh = 8 S = 50
2 = 2 + 150 2
2S
= 2
-
Mencari nilai S
2 = 2 + 150 2
= 2 + 150 2
= 502 + 1502
= 2500 + 22500
= 25000
= 50 10
Subtistusikan kedalam diferensial implisit
=
50 10
=50(8)
=
400
50 10 =2,53 feet/detik
No.3
-
APROKSIMASI
-
APLIKASI TURUNAN
FUNGSI MAKSIMUM MINIMUM
-
Titik-titik stasioner suatu fungsi dan jenis- jenis ekstrim
1. Pengertian nilai stasioner dan titik stasioner.
Jika fungsi y=f(x) diferensiabel di x = a dengan f(a) = 0, maka
f(a) adalah nilai stasioner dari fungsi f(x) di x = a.
Dari gambar dapat di ketahui :
a. Nilai x yang menyebabkan f(x)mempunyai nilai stasioner dapat
di tentukan dari syarat f(x) = 0
b. Titik (a,f(a)) yang terletak pada grafik y = f (x) disebut sebagai
titik stasioner.
c. Nilai satasioner sering disebut nilai kritis dan titk stasioner
disebut titik kritis.
-
NILAI EKSTRIM
Misal diberikan kurva f( x ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum
atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau
mempunyai gradien m = 0 [ f '( a) = 0] . Titik ( a, b ) disebut titik ekstrim, nilai x = a
disebut
nilai stasioner, sedangkan nilai y = b disebut nilai ekstrim.
a. Uji turunan pertama
Untuk menentukan jenis nilai stasioner . Misalkan f(x) merupakan fungsi yang mempunyai
turunan di x = a dan mencapai nilai stasioner pada titik itu dengan nilai stasioner.
f(x) > 0 untuk x < a ( fungsi f(x) naik )
f(x) = 0 untuk x = a (fungsi f(x) stasioner pada x = a )
f(x) < 0 untuk x > a ( fungsi f(x) turun )
Maka f(x) mencapai nilai balik maksimum pada x = a.
Nilai balik maksimum itu sama dengan f(a). f(x) berubah tanda dari positif menjadi negatif
melalui nol.
-
Untuk menentukan jenis nilai ekstrim ( maksimum atau minimum ) dari fungsi f(x)
dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut :
1. Tentukan turunan pertama dan kedua, f '(x)dan f "(x)
2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f ' (x) 0 ), misalkan nilai
stasioner adalah x = a
3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f "(a) 0 , sedangkan nilai f (a) merupakan nilai
minimum bila f "(a) 0 .
Contoh
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f (x) x4 2x3 x2 5
-
Jawab :
Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi adalah
x = -1, x = - dan x = 0. Turunan kedua, f "(x) 12x2 12x 2 .
Untuk x = -1, f "(1) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( -1 ) = -5
Untuk x = 0, f "(0) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( 0 ) = -5
Untuk x = - , 1
2 = 1 dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum
1
2 = 4
15
16
Untuk x = 0, f "(0) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( 0 ) = -5
-
Kecekungan fungsi dan titik belok fungsi
Definisi : Kecekungan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang I bila f ' (x)naik pada
selang I, sedang f(x) dikatakan cekung ke bawah bila f ' (x) turun pada selang I.
Oleh karena itu dapat disimpulkan :
1. Bila f "(x) > 0 , x I maka f(x) cekung ke atas pada I dan
2. Bila f "(x) < 0 , x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.
Contoh :
Tentukan selang kecekungan dari fungsi : =1+2
1+
Jawab :
Turunan pertama, =2+21
(1+)2
Turunan kedua , =4
(1+)3
Cekung ke atas, f "(x) 0 pada selang x > -1 dan cekung ke bawah pada selang
x < -1.
-
Titik Belok
Definisi : Titik Belok
Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok dari kurva f(x) bila
terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di satu sisi dari x = b cekung ke atas dan disisi
lain cekung ke bawah atau sebaliknya.
Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bila berlaku f "(b) = 0 atau f(x)
tidak diferensiabel dua kali di x = b. Kata syarat perlu mirip artinya dengan kata calon ,
-
maksudnya bahwa untuk nilai x = b yang dipenuhi oleh salah satu dari kedua syarat itu
memungkinkan untuk menjadi absis titik belok bergantung apakah dipenuhi syarat seperti
halnya yang tertulis pada definisi.
-
Contoh
Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut :
= 23 1
= 4
= 1
3 + 1
Jawab :
Dari f (x) 23 1 maka f "(x) 12 x . Bila f "(x) 0 maka x = 0 merupakan calon dari
titik belok, sehingga untuk menguji
apakah x = 0 merupakan titik belok dilakukan berikut.
Untuk x < 0 maka f "(x) 0 , sedangkan untuk x > 0 maka f "(x) 0 . Oleh karena itu, di x =
0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,-1 ) merupakan titik belok.
Dari f (x) x4 maka f "(x) 12 x2 .
Bila f "(x) 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok, sehingga untuk menguji
apakah x = 0 merupakan titik belok dilakukan berikut.
Untuk x < 0 dan x > 0 maka f "(x) 0 . Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan
kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.
Dari = 1
3 + 1 maka =2
953
Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0. Untuk x < 0 maka f "(x) 0 ,
sedangkan untuk x > 0 maka f "(x) 0 . Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan
kecekungan. Jadi ( 0,1 ) merupakan titik belok
-
INTEGRAL
A. INTEGRAL TAK TENTU
F(x) disebut anti turunan dari f(x) pada selang I bila F (x) = f(x) untuk x I
( bila x merupakan titik ujung dari I maka F (x) cukup merupakan turunan sepihak ).
Proses mencari anti turunan disebut integrasi ( integral ).
Notasi : f (x) dx F(x) C disebut integral tak tentu.
Dari rumus untuk turunan fungsi yang diperoleh pada pembahasan bab sebelumnyadapat
diturunkan beberapa rumus integral tak tentu sebagai berikut :
1. = +1
+1+ ; 1
2. sin = cos +
3. cos = sin +
4. sec = sec +
5. csc cot = +
6. 2 = +
7. 2 = +
8.
=
Penerapan dari beberapa rumus di atas diperlihatkan pada contoh berikut.
Contoh : Hitung integral tak tentu berikut :
a. sin2x 1dx
b. ( 1) 2 2 1
-
Jawab :
a. Misal u = 2 x + 1. Maka du = 2 dx . =1
2
sin 2 + 1
sin .1
2
1
2
1
2. cos + =
1
2cos 2 + 1 +
b. Misal u = x2 + 2x - 1. Maka du = 2 ( x + 1 ) dx.
1
2
1
2
1
33/2 +C
1
3 (2 + 2 1)3 +C
Sifat dasar dari bentuk integral tak tentu adalah sifat linear, yaitu :
[( + ] = +
Contoh :
Hitung integral : 2x cos2xdx Jawab :
2x cos2xdx 2 + cos 2
2 +1
2sin 2 +
Soal Latihan
Carilah anti turunan F(x) + C bila
1. f(x) = 3x2 + 10x 5
2. f(x) = x2( 20x7 - 7x5 + 6 ) Selesaikan integral tak tentu berikut:
-
x2x2 4dx 4, (2 + 1)2
NOTASI SIGMA ( )
Notasi Sigma merupakan notasi yang digunakan untuk menyatakan penjumlahan
bilangan.
Perhatikan contoh berikut
Untuk notasi:
dimana :
1 adalah batas bawah
n adalah batas atas
ui adalah suku dalam hal ini huruf yang dipakai tidak selalu i dapat juga menggunakan huruf
lain.
-
Sifat-sifat notasi sigma
Contoh
-
Rumus notasi sigma
4=1 = +1 (63+92+1)
30
Contoh 1
-
Contoh 2:
-
Contoh 3
Teorema Dasar Kalkulus Kedua dan Metode Subtitusi
a. Teorema Dasar Kalkulus Kedua
Misalkan f kontinu (karena terintegrasi) pada[a,b] dan misalkan F sembarang anti turunan
dari f pada [a,b]. Maka
Contoh
1.Perlihatkan bahwa dimana k adalah konstanta
Penyelesaian :
Terbuktinkk
kk
kkk
Jawab
nkkk
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
.....16164
116164
1616442
:
1616442
11
2
11 1
2
1
2
1
2
11
2
1
2
aFbFxFdxxf bab
a
b
a
abkkdx )(
kxxF )( kxf )(
-
adalah suatu anti turunan . Sehingga menurut teorema dasar
kalkulus kedua
2.
3.
4.
5.
b
a
abkkakbaFbFkdx )()()(
2
1
2
1
322 ]22[)64( xxdxxx
12)22()168(
1
0)472(
))0(4)0(7)0(2())1(4)1(7)1(2(
472
4146
24612(
33
1
0
3
1
0
2
1
0
2
xxx
dxxx
dxxxx
1
0sin2
sin
]sin
cos
20
2
0
x
xdx
12
1
2
1
)1(2
1)1(
2
1
02cos2
1cos
2
1
02cos2
1
22cos
2
1
2cos2
1
2sin
2
0
2
0
x
xdx
-
Metode subtitusi untuk integral tentu
Misalkan g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g. Maka
Hitunglah
Misal :
Untuk batas batas baru diubah dalam u
Jika x = 1 maka u = 9
Jika x= 0 maka u = 6
Maka batas barunya berubah menjadi 6 sampai 9
jadi ,
b
a
bg
ag
duufdxxgxgf
)(
)(
)()('))((
1
02)62(
12
dxxx
x
)1(2
22
622
x
dudx
xdx
du
xxu
36
1
6
1
2
1
9
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
12
1
2
1
2
1
9
6
9
6
1
9
6
12
9
6
2
9
6
2
u
u
u
duu
dxu
-
Teorema nilai rataan untuk integral dan penggunaan simetris
Nilai rataan sebuah fungsi
Jika f terintegrasikan pada variabel [a,b] maka nilai rata rata f pada [a,b] adalah
Contoh
1. pada interval (0,2), maka nilai rata rata adalah
dxxfab
b
a
)(
1
)2(2040)( xxxT
3
160
)0(3
10)0(10)2(20))2(
3
10)2(10)2(20(
3
101020
)102020(
)2(2040(02
1
3232
2
0
32
2
0
2
2
0
xxx
dxxx
dxxx
-
Nilai rataan untuk integral
Jika f kontinu pada [a,b] maka terdapat suatu bilangan c antara a dengan b sedemikian rupa
sehingga
Contoh
Carilah semua nilai c yang memenuhi Teorema rataan untuk integral = + 1
pada interval [0,3]
Pembahasan
1
3 ( + 1)
3
0
1
3 ( + 1)1/2
3
0
1
3
(+1)3/2
3/2
3
0
1
3.
2
3 + 1 + 1
2
9(4 4)-2/9(1 1)
2
9. 8
2
9
16
9
2
9=
14
9
=14
9
=
b
a
dttfab
cf )(1
)(
-
= + 1
14
9= + 1
196
81= + 1
81 + 1 = 196
81 + 81 = 196
81 = 196 81
81 = 115
=115
81
Teorema simetris
Ingat kenbali bahwa fungsi genap adalah fungsi yang memenuhi f(-x) = f(x)
dan fungsi ganjil adalah f(-x) = - f(x)
Jika f fungsi genap maka
Jika f fungsi ganjil maka
Contoh
Tentukan apakah fungsi berikut termasuk fungsi genap,
ganjil, atau keduanya
v Fungsi genap
dxxfdxxf
a
a
)(2)(
a
a
dxxf 0)(
2)(
2)()(
2)(
2
2
2
xxf
xxf
xxf
-
Tentukan integral dari fungsi berikut
Karna fungsi diatas adalah Fungsi genap maka
Contoh
1. hitunglah
)432()(
4)(3)(2()(
)432()(
24
24
24
xxxf
xxxf
xxxF
7
34
7
17.2
5
20522
)1(4)1()1(5
2.2
)0()1(4)1()1(5
22
4.3
3.
5
22
)432(2
35
35
1
0
35
1
0
24
xxx
dxxx
4
))1(1(2
cos2|sin|2
|sin||sin|
|sin||sin|
|sin|
0
0
00
2
0
2
0
2
0
dxx
dxxdxx
dxxdxx
dxx
-
APLIKASI INTEGRAL
Perhitungan luas suatu daerah yang dibatasi oleh grafik sumbu y=f(x), garis x=a, garis
x=b, dan sumbu X telah kita bahas dalam pembahasan integral tentu.
Namun untuk daerah yang lebih kompleks akan kita bahas secara detil pada
perhitungan luas daerah dengan menggunakan integral tentu.
Selain dari itu, integral tentu akan kita gunakan juga untuk menghitung volume benda
pejal yaitu benda yang dihasilkan bila suatu daerah diputar dengan suatu sumbu putar.
Panjang kurva akan kita bahas pada bagian akhir dari bab ini.
LUAS DAERAH
Perhitungan luas suatu daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x), garis x
=a, garis x = b dan sumbu X telah kita bahas dalam pembahasan integral tentu. Namun
untuk daerah yang lebih kompleks akan kita bahas secara detil pada perhitungan luas
daerah dengan menggunakan integral tentu. Selain dari itu, integral tentu akan kita
gunakan juga untuk menghitung volume benda pejal yaitu benda yang dihasilkan bila
-
suatu daerah diputar dengan suatu sumbu putar. Panjang kurva akan kita bahas pada
bagian akhir dari bab ini.
Misal suatu daerah dibatasi oleh y = f(x) 0, x = a , x = b dan sumbu X. Maka
luas daerah dihitung dengan integral tentu sebagai berikut :
=
Bila f(x) 0 maka integral dari f(x) pada selang [ a,b ] akan bernilai negatif atau nol.
Oleh karena itu luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) 0, garis x = a, x = b dan sumbu
X, dituliskan sebagai berikut :
=
Untuk daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi yang dinyatakan secara eksplisit
dalam peubah y, yakni x = v(y), garis y = c, y = d dan sumbu Y, maka luas daerah :
=
Contoh :
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh f(x) =3 32 + 3, sumbu X, garis x = 0 dan
x = 3.
Jawab :
Kita lihat bahwa f(x) 0 pada selang [ 0,1 ] dan f(x) 0 pada selang [ 1,3 ].
Luas daerah :
= 3
1
1
0
-
= 3 32 + 3 3 32 + 3,3
1
1
0
= 53/4
Bila suatu daerah dibatasi oleh dua buah grafik fungsi, misal y = f(x) dan y = g(x)
diberikan sebagai berikut :
(1) Misal daerah dibatasi oleh grafik y = f(x), y = g(x), x = a dan x = b dengan f(x) g(x)
untuk x [a,b]. Maka luas daerah :
=
(2) Misal daerah dibatasi oleh grafik x = w(y), x = v(y), y = c dan y = d dengan w(y)
v(y) untuk y [c,d]. Maka luas daerah :
=
Contoh :
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y2 = 4x dan garis 4x - 3y = 4.
Jawab :
Langkah pertama yang dilakukan adalah mencari titik potong kedua kurva. Didapatkan
titik potong keduanya yaitu ( ,-1 ) dan ( 4,4 ).
Pada selang [ -1,4 ], 3+4
4
2
4
Maka Luas daerah = (3+42
4
4
1)
-
=125
24
Soal Latihan
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik berikut :
1. = 3 42 + 3y = 0 x = 0 , x = 3
2. = 2 4, x = 0, y = 0, y = 4
-
VOLUME BENDA PUTAR
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar
volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda
putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas
kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume
benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :
=
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk
sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan
untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
-
Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x),
tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V r2h atau V
f(x)2x.
Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh:
V f(x)2 x
V = lim f(x)2 x
dxxf
a
0
2)]([v
-
Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu
putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang
bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat
-
di titik-titik pada selang [a,b].
Misal pusat cakram ( xo,0 ) dan jari-jari r = f(xo). Maka luas cakram dinyatakan :
A( xo ) = 2 (xo). Oleh karena itu, volume benda putar :
= 2
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x = 0, y = c dan y = d diputar
mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
= 2
Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x) 0 , y = g(x) 0 { f(x) g(x) untuk setiap
x [a,b] }, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume :
= [ 2 2
Bila daerah yang dibatasi oleh x = w(y) 0 , x = v(y) 0 { w(y) v(y) untuk setiap
y [ c,d ] }, y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
= [( 2 2
Contoh :
Hitung Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = x2 dan y2 = 8x diputar
mengelilingi
a. Sumbu X.
b. Sumbu Y
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).
a. Pada selang [0,2], 8 2 .Volume benda putarnya adalah
-
= [( 822
0- (2)2]
= 48
5
b. Pada selang [0,4], 2
8
Volume benda putar
= [( 24
0
2
8)2
=272
15
Contoh :
Hitung volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = 2 - 2 , y = -x dan sumbu Y
bila diputar mengelilingi garis y = -2
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di ( -1,1 ) dan ( 2,-2 ). Pada selang [ -1,0 ] berlaku 2 - 2 -x.
Jarak kurva y = 2 - 2dan y = -x terhadap sumbu putar ( garis y = -2 ) dapat dipandang
sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah ( 4 -2) dan ( 2 - x ). Oleh karena itu,
volume benda putar :
= [(4 2)20
1-(2 )2)
=36
5
Metode cincin
Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan
seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang
potongannya berbentuk cincin
-
Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 r2)h
-
Contoh
-
Jawab:
Metode Cakram
-
Metode Cincin Silindris
-
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.
-
Metode berikut sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang
mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar
yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya
berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih
memperjelas kita lihat uraian berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r1 dan r2,
tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
= 2 1
= 2
Dengan : 21
2 ,r (rata rata jari jari) 2 1 =
Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar mengelilingi
sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r = x , r = x dan tinggi tabung
h = f(x). Oleh karena itu volume benda putar =
= 2
Misal daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x) { f(x) g(x) , x [a,b] }, x = a
dan x = b diputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar =
= 2(
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x = w(y), x = 0, y = c dan
y = d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =
= 2
-
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh x = w(y), x = v(y) { w(y) v(y), y[ c,d ]},
y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar =
= 2
Contoh :
Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah parabola
y = 2 - 2 dan di atas parabola y = 2diputar mengelilingi sumbu Y
Jawab :
Kedua parabola berpotongan di ( -1,1 ) dan ( 1,1 ). Pada selang [ 0,1 ], 2 2 2. Bila
digunakan metode kulit tabung, volume =.
= 2 [2 21
0 2] =
Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada
selang 0 y 1 dibatasi = 2 dan sumbu Y sedang pada selang 1 y 2 dibatasi
= dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =
= ( 21
0 + ( 2
22
1 =
Contoh :
Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y = 1 - 2, sumbu X dan
sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1
Jawab :
Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda pejal, ( 1 -
2) dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ). Oleh karena itu,
volume benda putar :
-
= 2 1 + 1 2 =5
6
0
1
Kata Mutiara Matematika
Bak deret bilangan prima , begitulah garis kehidupan manusia dari hari
ke hari
A + B = A + B Dua manusia yang tidak bisa disatukan
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, Perjalanan kehidupan yang tidak
beraturan
A + B = 10 Suatu persoalan yang ditinjau dari sejumlah sisi
1 + 1 = 2, meskipun ditulis diatas tanah, hasilnya tetaplah 2 =
Kebenaran tidak akan berubah meskipun datang dari orang jelata
Pythagoras (Theorema Pytagoras)
* Derajat kebaikan seorang hamba yang paling tinggi adalah yang hatinya
dapat terpuaskan oleh Tuannya Yang Mahabenar sehingga dia tidak
membutuhkan perantara antara dirinya dengan Tuannya itu.
* Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, maka engkau
harus menanggung pahitnya kebodohan.
-
GW Von Leibnitz (Notasi Leibnitz,Penemu Kalkulus)
* Mencintai artinya berbagi kebahagiaan demi kebahagiaan orang yang
kita cintai
Ivan Panin (Ahli Matematika Rusia 1855-1942)
*Dalam setiap keindahan, selalu ada mata yang memandang. Dalam setiap
kebenaran, selalu ada telinga yang mendengar. Dalam setiap kasih, selalu
ada hati yang menerima.
Thales (Bapak Geometri)
*Orang yang bercita-cita tinggi adalah orang yang menganggap teguran
keras baginya lebih lembut daripada sanjungan merdu seorang penjilat
yang berlebih-lebihan.
TERIMA KAsih