PESQUISA OPERACIONAL II

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Qualquer pessoa sabe o que são filas em decorrência das experiências que o dia-a-dia nos coloca;

Filas existem também em ambientes de produção;◦ Lingotes aquecidos em uma aciaria, esperando

junto a uma carregadeira a vez de serem carregados com minério;

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Algumas vezes as filas são algo abstrato, tais como uma pilha de papéis referentes a pedidos de manufatura em uma fábrica;

Outras vezes a fila não é vista “enfileirada” mas, sim, dispersa;◦ pessoas em uma barbearia, esperando pela vez

de cortar o cabelo; ◦ aviões sobrevoando um aeroporto;◦ Navios parados no mar;

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Uma área de muita importância surgiu nas últimas décadas (computação): ◦ filas de programas esperando por espaço na memória;

◦ para serem executados pela UCP (Unidade Central de Processamento);

◦ para buscar um registro de dados em um disco magnético;

◦ para terem aceso a um servidor através da rede;

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Filas não são agradáveis;

O ideal é chegar ao local de serviço e ser imediatamente atendido;

Se existem filas, passamos a comparar o desempenho da nossa fila com o das outras;

Uma das leis de Murphy: “a fila que anda é a outra, mas não adianta trocar de fila, pois a fila que anda é a outra”;

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Filas são custosas;

Nas fábricas a existência de fila em um equipamento pode implicar espera por peças que necessitam ser processadas;

Ocasiona um aumento nos tempos de produção;

As consequências disto são aumento nos custos e atrasos no atendimento aos pedidos dos clientes;

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Abordagem matemática das filas se iniciou em 1908;

Copenhague, Dinamarca;

O pioneiro da investigação foi o matemático Agner Krarup Erlang;

Problema de redimensionamento de centrais telefônicas

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A partir da Segunda Guerra Mundial que a teoria foi aplicada a outros problemas de filas;

Seu trabalho foi difundido por outros pesquisadores em diversos países europeus;

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• A Teoria das Filas é uma das técnicas da Pesquisa Operacional;

• Trata de problemas de congestionamentos de sistemas,

• Clientes solicitam alguns tipos de serviços;

• Esses serviços são limitados por restrições intrínsecas do sistema;

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Situação Entrada Saída

Banco Chegada de usuários ao banco

Usuário atendido no caixa

Pizzaria Pedido do cliente Entrega da pizza ao cliente

Banco de sangue Chegada da bolsa de sangue

Sangue é usado no paciente

Estaleiro de navios

Navios necessitam de reparo

Navio é reparado

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Linhas de Produção◦ Modificações em sistemas existentes que vão

afetar a dinâmica do atual processo;◦ Pode-se antecipar onde serão formados os

gargalos oriundos de modificações no sistema existente;

◦ Pela introdução de modificações apropriadas pode-se chegar ao melhor modelo que incorpore as modificações requeridas;

◦ Um setor de produção totalmente novo pode ser planejado, obtendo-se o melhor fluxo dentro dele;

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• Transporte ferroviário: • o pátio de consertos e serviços apresenta problemas; • tabela de horários de trens;

• Transporte marítimo e aéreo:• tabela de horários;• dimensionamento de portos e aeroportos;

• Transporte rodoviário:• pedágios ou estabelecer; • esquema do fluxo de veículos pelas ruas de uma cidade;• durações dos semáforos;

• Elevadores: • minimizar o tempo de espera;• custo de movimentação dos elevadores;

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Comunicações◦ Configuração de uma rede;

Bancos, Supermercados, Escritórios, etc.

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Tamanho da população - Tamanho do grupo que fornece os clientes;◦ Tamanhos maiores que 30 considera-se que a

população é infinita; Clientes - Unidades da população que chegam

para o atendimento;◦ Ex.: pessoas, peças, máquinas, navios, automóveis,

etc. Fila (linha de espera) - Número de clientes

esperando atendimento;◦ Não inclui o cliente que está sendo atendido;

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Unidade de atendimento - Processo ou sistema que realiza o atendimento do cliente;◦ Pode ser unidade única ou múltipla;

Taxa de chegada dos clientes (λ) - (número de clientes / unid. tempo);◦ São adotadas distribuições de frequência (normal,

Poisson, exponencial etc.) para representar o processo;

Taxa de atendimento dos clientes (μ) - (número de clientes / unid. tempo) ;

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Disciplina da Fila - Método de decidir qual o próximo cliente a ser atendido;◦ Ex: FIFO-primeiro a chegar/ primeiro a ser atendido;

Número Médio de Clientes na Fila não vazia (NF)◦ Determina o tamanho da fila

Número de Médio de Clientes no Sistema (NS)

Tempo Médio que o Cliente Fica na Fila (TF) Tempo Médio que o Cliente Fica no Sistema

(TS)

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• Fila de Banco (12 pessoas em 30 minutos)

Chegadas (minutos):Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1

2 Momento 2 5 8 11 16 16 17 22 23 27 28

30

Valor médio dos intervalos: 2,5 minutos

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Atendimento:Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3

Duração média: 2,0 minutos

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tempo em Fila 0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2

Tamanho médio da fila: (3+4+3+1+3+2)/12 = 16/35 = 0,46

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• Fila de Banco (12 pessoas em 30 minutos)

Chegadas (minutos):Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2 Momento 2 5 8 11 16 16 17 22 23 27 28 30

Valor médio dos intervalos: 2,5 minutos

Atendimento:Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3

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Existem diversos fatores que podem interferir no desempenho de um sistema, tais como:

•A forma de atendimento aos clientes;

•A forma da chegada dos clientes;

•A disciplina da fila;

•A estrutura do sistema.

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Levantamento do número de clientes atendidos por unidade de tempo (μ );

Tempo gasto em cada atendimento;

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• Exemplo:• 100 clientes

20 22 23 18 17 15 21 20 25 2619 20 18 17 23 22 21 21 22 2320 23 25 17 14 15 22 20 23 2125 18 18 17 17 25 26 23 25 2421 15 17 18 19 22 15 14 15 1718 20 19 18 20 22 23 24 25 2222 21 23 20 21 20 23 22 21 2024 24 25 21 23 20 19 18 17 1718 15 14 17 13 18 19 18 19 2018 20 18 22 24 14 24 24 23 25

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• Qual o valor de μ ?

Dados Importantes: Menor Valor (segundos): 13 Maior Valor (segundos): 26 Nº de Atendimentos: 100 Média (segundos / cliente): 20,19

Em minutos temos 0,3365 (20,19/60) minutos por cliente.Assim temos μ = 1 / 0,3365 = 2,97 clientes por minuto.

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• Tempo gasto em cada atendimento?

Faixas Freqüência<10 0 11-13 1 14-16 10 17-19 29 20-22 32 23-25 26 26-28 2 >29 0

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• A chegada dos clientes a um sistema ocorre de forma aleatória;

• O processo pode ser representado por uma distribuição de probabilidades;

• Necessita-se identificar se o processo de chegadas está no estado estacionário;

• No estado não estacionário, ele não servirá como representante de uma situação normal;

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• Quantidade de veículos que chegaram a um posto de pedágio, em períodos de 1 minuto:

2 4 5 3 3 2 1 4 4 52 2 1 3 4 3 4 2 3 41 2 4 4 3 2 2 1 1 23 2 5 6 6 6 3 3 5 55 4 5 5 2 1 1 1 2 11 2 2 1 3 3 2 1 3 1

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• Qual o valor de λ?

Dados Importantes:Menor Valor (quant.carros): 1 Maior Valor (quant.carros): 6 Quant. Total de Veículos: 173 Período Total de Análise (minutos): 60 Quant. de Carros / minuto (λ): 2,83

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É um conjunto de regras que impõem a ordem em que os clientes serão atendidos.

Exemplos:◦ FIFO (First-In-First-Out) ou FCFS (first come, first

served)◦ LIFO (Last-In-First-Out) ou LCFS (last come, first

served)◦ SIRO (Service-In-Random-Order)◦ SPT (Shortest-Processing-Time first)◦ PR (Priority Rules)

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Sistema de Filas pode ser descrito segundo a notação de Kendall (A / B / c / K / m / Z):◦ A = distribuição dos intervalos entre chegadas.◦ B = distribuição do tempo de serviço◦ c = número de canais de atendimento.◦ K = capacidade máxima de usuários no sistema.◦ m = tamanho da população que usa o sistema.◦ Z = descreve a disciplina da fila.

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A/B/c: se supõe que não há limite para o tamanho da fila, a população é infinita e a disciplina da fila é FIFO.

Para o caso de capacidade limitada, a notação utilizada é A/B/c/K.

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• Os campos A e B podem ser preenchidos pelas seguintes abreviações padrões:

• M: modelo Marcoviano (distribuição exponencial negativa ou distribuição de Poisson);

• D: distribuição determinística;

• Em: distribuição de Erlang de ordem "m";

• Hm: Hiper-exponencial de estágio "m";

• G: distribuição genérica.

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• Exemplos:

• M / E2 / 8 / FCFS / 10 / ∞ • Uma clínica com 8 médicos, • Intervalo entre chegada de clientes exponencial,• tempo de atendimento Erlang de ordem 2, • disciplina da fila de atendimento por ordem de chegada,• com capacidade total do sistema para 10 clientes • população infinita.

• O modelo M/M/1 é conhecido como modelo Markoviano;• Ele é mais utilizado em estudos teóricos, pois permite,

facilmente, calcular todos os atributos de uma fila.

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• Modelos Marcovianos ou de distribuição de Poisson possuem uma grande aplicação teórica;

• É possível calcular todas as principais características da fila, sem necessitar uma abordagem matemática complexa;

• Modelos de filas com distribuições exponenciais levam a dimensionamento de sistemas com mais segurança;

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• Formas da chegada à fila e de atendimento seguem o modelo Marcoviano (distribuição de Poisson ou a distribuição exponencial negativa);

• Número de canais de atendimento igual a 1;

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Número Médio de Clientes no Sistema◦ NS = λ / (μ – λ)

Número Médio de Clientes na Fila◦ NF = λ² / [μ (μ – λ)]

Número Médio de Clientes Sendo Atendidos (Fator de Utilização do Servidor)◦ ρ = λ / μ

Probabilidade de Existirem n Clientes no Sistema:◦ P(n) = (1 – λ / μ) (λ / μ)ⁿ

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• Teorema:

Para qualquer sistema de filas, no qual exista uma distribuição em regime constante, são válidas as seguintes relações:

NS = λ TS e NF = λ TF

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• O número médio de carros que chegam a um posto de informações é igual a 10 carros/hora. Assumir que o tempo médio de atendimento por carro seja de 5 minutos, e ambas as distribuições de intervalos entre chegadas e tempo de serviço sejam exponenciais.• a - Qual a probabilidade do posto de informações estar

livre?• b - Qual o número médio de carros esperando na fila?• c - Qual o tempo médio que um carro gasta no sistema

(tempo na fila mais o tempo de atendimento)?• d - Quantos carros serão atendidos em média por hora?

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Dados do Problema:

• Chegada: λ = 10 carros/hora.

• Atendimento: em média, 1 carro a cada 5 minutos, ou seja 12 carros/hora (60/5). Sendo assim, μ = 12 carros/hora.

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a)

P(0) = (1 - λ / μ) = (1 - 10 / 12) x 1 = 1 / 6 = 16,67%

b)

NF = λ² / [μ (μ - λ)] = 10² / 12 (12 - 10) = 4,17 carros

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c)

Dado que NS = λ TS, então: TS = NS / λ => NS = 10/(12-10) = 5 => TS = 5 / 10 = 1 / 2 = 0,5 horas ou 30 minutos.

d)

Se a ocupação média do posto fosse de 100%, então, o número médio de carros atendidos por hora seria de 12 carros. Sendo a ocupação média, a 100%, igual a 1 - P(0), ou seja, igual a 5/6, então o número de carros atendidos por hora seria de 12 * 5 / 6 = 10 carros por hora.

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