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Perturbations Tensorielles

en Gravit Quantique Boucles

Thomas Cailleteau 1

Matre de Stage : Aurlien Barrau2

2Laboratoire de Physique Subatomique et de CosmologieUniversit Joseph Fourier, CNRS/IN2P3, INPG53 avenue des Martyrs, 38026 Grenoble cedex

1Master 2 Sciences de la MatireEcole Normale Superieure de Lyon, 69007 Lyon1Magistre de physique fondamentale 3eme anne

Btiment 470, Universit Paris-Sud XI, 91405 Orsay

Anne 2008-2009

Table des matires

1 Introduction 3

2 La Gravitation au niveau quantique 42.1 La Thorie des Cordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 La Relativit Gnrale Quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 La quantication canonique et la Loop Quantum Gravity 53.1 Une introduction intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 La thorie sous son aspect technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.1 Formulation Hamiltonienne et contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2.2 Les variables d'Ashtekar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.3 Holonomies ou boucles de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.4 La Loop Quantum Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.5 Les corrections quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.6 Les crochets de Poisson pour les perturbations et variables gravitationnelles . . . . . . . . 13

4 Les perturbations tensorielles 14

5 Inuences des corrections d'Holonomie et d'Inverse Volume sur l'quation de propagationdu graviton 145.1 Hamiltonien eectif et quation du mouvement de (k, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Hamiltonien total et quation de propagation du graviton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Equation de propagation du graviton en terme de quantits physiques connues . . . . . . . . . . 19

5.3.1 Dnition et expression des observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.3.2 Equation de propagation du graviton en fonction des observables . . . . . . . . . . . . . . 21

5.4 L'quation de propagation du graviton comme quation de type Schrdinger . . . . . . . . . . . . 23

6 Rsolution de l'quation de propagation et Spectre de Puissance dans le cas d'une inationstandard 246.1 Modications apportes dans le cas de l'ination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2 Obtention d'une solution analytique pour le cas (s = 2, = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.2.1 Limite Ultraviolette, k + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2.2 Limite Infrarouge, k 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7 Conclusion 31

8 Annexe A : Crochets de Poisson et quations du mouvement 32

9 Annexe B : Klein-Gordon for the Background 32

1

Remerciements

Comment ne pas tre heureux et satisfait aprs avoir connu une personne comme Aurlien Barrau. Il m'aacceuilli au sein de l'quipe, sans pour autant me connatre et pourtant, par ce geste, il a combl un jeunetudiant qui avait soif d'apprendre, et dont la soif est devenue inextinguible : Aurlien est un grand orateur,il possde une telle capacit savoir comment transmettre ses connaissances et ses motivations, que l'on estimmdiatement transport par ses propos. C'est une personne d'une grande sympathie et trs attentionne, etje ne connas pas les mots pour exprimer toute ma reconnaissance, s'ils existent.Je tiens aussi remercier une personne qui jamais n'a montr prol bas, mais a toujours t contente et motivedans son travail. Jamais avarde d'un coup de main dans un moment de doutes et d'intenses rexions, toujourssouriante, ce ft trs sympa de travailler en sa compagnie. Je tiens videmment remercier chaleureusementAlexia Gorecki.Et comme il faut avoir un Grain pour s'embarquer dans une telle aventure, je tenais bien entendu remercierJulien pour ses changes et son enthousiasme se projeter dans la bataille. J'espre qu'il trouvera la place quilui correspond, et que l'on pourra dialoguer plus dans l'avenir.Je ne pourrais pas terminer sans ne pas avoir remercier le directeur du LPSC, Serge Kox, de m'avoir permisd'tre un membre part entire de ce laboratoire, et d'y vivre de si bons moments, mais aussi mon directeurde formation, Thierry Dauxois qui, en m'acceptant dans ce master, m'a permis de suivre une trs bonne anneet d'avoir une excellente formation en physique.Je tenais aussi remercier toutes les personnes du laboratoire, stagiaires, thsards, chercheurs, dont les ren-contres ont rythm joyeusement mes journes.Enn, une personne qui compte beaucoup pour moi, et sans qui j'aurai t dans le ptrin, Cline. Plus qu'uneamie.

Puissent ces mots convaincre ces gens de mon immense gratitude, ainsi que de l'estime que j'ai pour eux.

Pour cette merveilleuse aventure, merci.

Thomas

La photographie en couverture reprsente la vision de notre espace-temps en terme de boucles.

2

1 Introduction

Depuis toujours, la communaut scientique n'a eu de cesse de comprendre le monde tant dans l'innimentpetit que dans l'inniment grand, provoquant ainsi une rvolution intellectuelle lors de l'avnement des deuxgrandes thories modernes que sont la Mcanique Quantique (MQ) et la Relativit Gnrale (RG). C'est ainsiqu'une des principales occupations des physiciens a t, depuis le dbut du sicle dernier, de concilier ces deuxthories an d'obtenir une description quantique de la gravitation. L'une des dernires avances vers cettenouvelle description provient notamment de la Loop Quantum Gravity (LQG) ou Gravit Quantique Boucles.Cette nouvelle thorie utilise une reformulation Hamiltonienne de la Relativit Gnrale crite comme unethorie de jauge [1] et lui applique une procdure de quantication non-perturbative dveloppe par Thieman[2, 3]. Cependant, l'chelle d'nergie faramineuse, ainsi que la longueur typique minuscule qu'il nous faudraitatteindre pour pouvoir la tester, nous sont pour l'instant hors de porte, except peut-tre dans le cas des trousnoirs quantiques de faibles masses que l'on cherche encore observer. On essaye donc actuellement de regarderdans quelle mesure on pourrait valuer les consquences de cette thorie sur les phnomnes physiques quel'on sait observer. C'est ainsi que l'on peut, en adaptant le formalisme de la Gravit Quantique Boucles auxcaractristiques de notre Univers [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10], tudier comment il se comporte si l'on tient compte decette thorie et se placer ainsi dans le cadre de la Cosmologie Quantique Boucles, ou en anglais Loop QuantumCosmology, dont l'utilisation rcente a permis la prdiction de phnomnes tonnants comme l'abscence desingularits au moment du prtendu Big Bang [11].Plus rcemment, les travaux conjoints de Martin Bojowald avec d'autres spcialistes ont permis d'entrevoir lapossibilit d'un test li aux consquences des corrections quantiques issues de la LQG sur les composantes du fonddius cosmologique ou Cosmic Microwave Background (CMB), et une preuve de la validit de la Loop QuantumGravity pourrait ainsi tre dvoile travers l'tude des ondes gravitationnelles primordiales. En eet, le mieuxque l'on puisse serait de calculer les consquences des perturbations scalaires sur le fond dius cosmologique,puisque ces perturbations sont des plus faciles observer. Malheureusement, le calcul tant des plus compliqus[12], une premire tape a t de se concentrer sur les perturbations tensorielles, mme si leur mesure est pluscomplexe. C'est ainsi que les calculs eectus dans l'article [13] ont t repris dans le but d'tudier l'apportdes corrections d'holonomie et d'inverse-volume (qui correspondent aux corrections dominantes de la LQG) surle spectre de puissance tensoriel [14, 15, 16, 17, 18]. Dans tous les articles dj publis, les corrections ont tprises sparemment an de connatre prcisment les eets propres de chacune sur la phnomnologie que l'onpourrait observer, et en raison des modles possibles dont nous disposons, dirents groupes se sont concentrssur la possibilit d'obtenir une super-ination [19, 20], ou bien plus directement une ination [21, 22]. Nousnous proposons ainsi de coupler ces deux eets pour la premire fois.Cette thorie tant mergente, peu de cosmologistes s'y sont intresss au contraire, par exemple, de la Thoriedes Cordes, nanmoins, elle commence susciter de par le monde un engouement important. Il reste cependantbeaucoup de zones non-explores et c'est ainsi que ce stage a t consacr l'tude des 2 corrections prcdentessur les modes tensoriels.En rsum, j'essaye ainsi de chercher une signature observationnelle possible des corrections quantiques issues dela Loop Quantum Gravity, en regardant quelles devraient tre leurs consquences sur la propagation des ondesgravitationnelles primordiales dont la trace pourrait tre retrouve dans le fond dius cosmologique. Dans cerapport seront ainsi explicites plus ou moins succintement les direntes tapes de calculs m'ayant permisd'arriver l'expression nale de l'quation de propagation, tout en tenant compte simultanment des deuxcorrections quantiques possibles. La dernire partie sera consacre la rsolution analytique de cette quationde propagation, dans un contexte inationnaire donn en ayant x la valeur de certains paramtres, et ce, ande pouvoir vrier la validit des simulations numriques que l'on fera par la suite. On pourra ds lors calculerun Spectre de Puissance et regarder comment il est modi pour dirents jeux de paramtres.

Dans tout ce qui suit, on prendra ~ = 1, c = 1, et on appelera Relativit Gnrale la thorie classique de lagravitation.

Une grande