pertemuan minggu ke-10 1. keterdiferensialan 2. derivatif...
TRANSCRIPT
![Page 1: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/1.jpg)
Pertemuan Minggu ke-10
1. Keterdiferensialan
2. Derivatif berarah dan gradien
3. Aturan rantai
![Page 2: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/2.jpg)
1. Keterdiferensialan
▪ Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x
berarti keujudan derivatif f ’(x).
▪ Ini setara dengan grafik f yang mempunyai garis
singgung tak-tegak di x.
Apa konsep yang benar dari keterdiferensialan untuk suatu
fungsi dua peubah ?
![Page 3: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/3.jpg)
1. Keterdiferensialan
▪ Untuk memahami konsep dari keterdiferensialan suatu
fungsi dua peubah, perhatikan
Perhatikan:
- Nilai f identik dengan 0 sepanjang
dua sumbu.
- Pada sumbu y = x kecuali di (0,0)
nilainya ½ .
- fx(0,0) = fy(0,0) = 0
artinya, grafik ini tidak
mempunyai garis singgung di titik
asal.
![Page 4: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/4.jpg)
1. Keterdiferensialan
Apa peranan derivatif untuk suatu fungsi dua peubah ?
▪ Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita mulai dengan
menghilangkan perbedaan antara titik (x,y) dan x,y.
▪ Jadi, kita tuliskan p = (x,y) = x,y dan f (p) = f (x,y).
![Page 5: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/5.jpg)
1. Keterdiferensialan
▪ Ingat kembali bahwa
(1)
▪ Analogi kelihatannya berupa
namun, pembagian oleh vektor h tidak masuk akal.
![Page 6: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/6.jpg)
1. Keterdiferensialan
(1)
▪ Kemudian, Persamaan 1 dapat ditulis dalam bentuk
sebagai berikut:
(2)
dengan (h) 0 pada h 0.
▪ Dari Persamaam 2, definisi f ’(p) dapat dijabarkan
(lihat slide selanjutnya).
![Page 7: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/7.jpg)
1. Keterdiferensialan
Definisi
Kita katakan bahwa f dapat didiferensialkan di p
(terdiferensialkan di p) jika terdapat suatu vektor q
sedemikian sehingga
dengan (h) 0 pada h 0.
• Jika vektor q ada, vektor q adalah unik.
• Vektor q disebut gradien f di p, yang dilambangkan
dengan .
![Page 8: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/8.jpg)
1. Keterdiferensialan
dengan (h) 0 pada h 0.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan dari definisi di atas:
1. Derivatif f ’(x) adalah bilangan, sedangkan gradien
adalah vektor.
2. Titik dalam menunjukkan hasil kali titik dari dua
vektor.
3. Definisi mempunyai arti pada sebarang dimensi.
![Page 9: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/9.jpg)
1. Keterdiferensialan
PERHITUNGAN GRADIEN
Teorema A
Jika f fungsi dua peubah yang terdiferensialkan di p = (x,y), maka
derivatif parsial pertama dari f ada ada di p dan
Dengan cara yang sama, jika g fungsi tiga peubah dan
terdiferensialkan di p = (x, y, z), maka
![Page 10: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/10.jpg)
1. Keterdiferensialan
PERHITUNGAN GRADIEN
Untuk menggunakan Teorema A, kita masih perlu mengetahui f dan
g dapat didiferensialkan.
Bagaimana cara mengetahui f dan g dapat didiferensialkan di p ?
Teorema B
Jika f mempunyai derivatif parsial pertama di suatu lingkungan dari
p dan jika derivatif parsial p ini kontinu di p, maka ia dapat
didiferensialkan di p.
![Page 11: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/11.jpg)
1. Keterdiferensialan
PERHITUNGAN GRADIEN
Contoh 1:
Perlihatkan bahwa f(x,y) = x ey + x2 y terdiferensialkan di mana-
mana dan hitung gradiennya.
Penyelesaian:
Kedua fungsi ini kontinu di mana-mana, sehingga menurut Teorema
B, f terdiferensialkan di mana-mana.
Lebih lanjut, menurut Teorema A:
![Page 12: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/12.jpg)
1. Keterdiferensialan
PERHITUNGAN GRADIEN
Contoh 2:
Untuk f(x, y, z) = x sin z + x2 y, cari
Penyelesaian:
Karena derivatif parsial semua kontinu, maka gradien ada.
Selanjutnya, derivatif parsial ini masing-masing adalah:
Jadi
![Page 13: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/13.jpg)
1. Keterdiferensialan
ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN
▪ Dalam banyak hal, gradien berperilaku seperti derivatif.
▪ Ingat kembali bahwa D yang dipandang sebagai suatu operator
adalah linear.
▪ Demikian juga halnya operator , yang seringkali disebut
operator del.
![Page 14: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/14.jpg)
1. Keterdiferensialan
ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN
Teorema C
adalah operator linear; yakni
(i)
(ii)
Juga, kita mempunyai aturan hasil kali
(iii)
Buktikan !
![Page 15: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/15.jpg)
1. Keterdiferensialan
ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN
Bukti
Kita buktikan tanpa
menuliskan titik p agar lebih singkat.
![Page 16: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/16.jpg)
1. Keterdiferensialan
KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN
Teorema D
Jika f terdiferensialkan di p, maka f kontinu di p.
Bukti
Karena f terdiferensialkan di p.
Ingat kembali
![Page 17: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/17.jpg)
1. Keterdiferensialan
KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN
Bukti
Karena f terdiferensialkan di p.
Ingat kembali
Jadi
![Page 18: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/18.jpg)
1. Keterdiferensialan
KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN
Bukti (lanjutan)
Kedua suku yang belakangan mendekati 0 bila h 0, sehingga
Kesamaan yang terakhir ini adalah satu cara formulasi kekontinuan f
di p.
![Page 19: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/19.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
• Perhatikan lagi fungsi dua peubah f(x,y).
• Derivatif fx(x,y) dan fy(x,y) mengukur laju perubahan dan
kemiringan garis singgung pada arah sejajar sumbu x dan y.
• Sasaran kita sekarang adalah mempelajari laju perubahan f pada
sebarang arah.
• Ini menuju derivatif berarah, yang kemudian dihubungkan
dengan gradien.
• Akan sangat menguntungkan untuk menggunakan cara penulisan
vektor.
![Page 20: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/20.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
• Andaikan p = (x,y) dan i dan j adalah vektor-vektor satuan pada
arah x dan y positif.
• Maka dua derivatif berarah di p dapat dituliskan sebagai berikut:
• Untuk memperoleh konsep yang kita tuju, yang kita kerjakan
hanyalah menggantikan i dan j dengan suatu vektor satuan
sebarang u.
![Page 21: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/21.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
Definisi
Untuk tiap vektor satuan u, andaikan
Limit ini, jika ia ada, disebut derivatif berarah f di p pada arah u.
Jadi, Di f(p) = fx(p) dan Dj f(p) = fy(p).
Karena p = (x,y), kita gunakan juga cara penulisan Du f(x,y).
![Page 22: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/22.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
Gambar di samping memberikan
taksiran geometrik dari Du f(x0,y0).
Vektor u menentukan suatu garis L di
bidang xy yang melalui (x0,y0).
Bidang yang melalui L tegak lurus
bidang xy memotong permukaan
z = f(x,y) menurut suatu kurva C.
Garis singgungnya di titik
(x0, y0, f(x0,y0)) mempunyai
Kemiringan Du f(x0,y0).
![Page 23: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/23.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KAITAN DENGAN GRADIEN
Ingat kembali pengertian gradien bahwa f(p) diberikan oleh
Teorema A
Andaikan f mempunyai derivatif parsial kontinu di p. Maka f
mempunyai derivatif berarah di p pada arah vektor satuan
u = u1i + u2j dan
yakni
![Page 24: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/24.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KAITAN DENGAN GRADIEN
Contoh 1:
Jika f(x,y) = 4x2 – xy + 3y2, tentukan derivatif berarah f di (2,-1) pada
arah vektor a = 4i + 3j.
Penyelesaian:
Vektor satuan u pada arah a adalah
Kemudian,
![Page 25: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/25.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KAITAN DENGAN GRADIEN
Contoh 1(lanjutan penyelesaian):
![Page 26: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/26.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KAITAN DENGAN GRADIEN
Contoh 1(lanjutan penyelesaian):
![Page 27: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/27.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KAITAN DENGAN GRADIEN
Contoh 2:
Cari derivatif berarah dari
fungsi f(x, y, z) = xy sin z
di titik (1, 2, Π/2)
pada arah vektor a = i + 2j + 2k.
Penyelesaian:
Vektor satuan u pada arah a adalah
Kemudian,
![Page 28: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/28.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KAITAN DENGAN GRADIEN
Contoh 2 (lanjutan penyelesaian):
![Page 29: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/29.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM
Pertanyaan:
Untuk suatu fungsi yang diberikan f di suatu titik yang diberikan p,
pada arah mana fungsi berubah paling cepat ?
Jawab:
Pada arah dimana Duf(p) yang terbesar
dengan θ sudut antara u dan f(p).
Jadi, Du f(p) dimaksimumkan pada waktu θ = 0 dan diminimumkan
pada waktu θ = Π.
![Page 30: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/30.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM
Teorema B
Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah gradien
(dengan laju ) dan berkurang secara paling cepat pada arah
berlawanan dengan laju .
![Page 31: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/31.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM
Contoh 3:
Misalkan seekor binatang kecil diketemukan pada parabolik
hiperbol z = y2 – x2 di titik (1,1,0), seperti pada di bawah. Pada arah
mana ia sebaiknya bergerak untuk panjatan yang paling curam dan
berapa kemiringan pada waktu ia memulai ?
![Page 32: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/32.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM
Penyelesaian:
Jadi binatang kecil itu seharusnya bergerak dari (1,1,0) pada arah
-2i + 2j dengan kemiringan sebesar
![Page 33: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/33.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
▪ Kurva ketinggian dari permukaan z = f(x,y) adalah proyeksi ke
bidang xy dari kurva-kurva perpotongan permukaan dengan
bidang z = k yang sejajar bidang xy.
▪ Nilai fungsi di semua titik pada kurva ketinggian yang sama
adalah konstan (Gambar di bawah).
![Page 34: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/34.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
▪ Nyatakan L, kurva ketinggian
dari f(x,y) yang melalui titik
pilihan sebarang P(x0, y0) di
wilayah daerah asal f.
▪ Tetapkan vektor satuan u adalah
tegak lurus terhadap L di P.
▪ Karena nilai f sama di semua titik
pada kurva ketinggian L,
derivatif berarahnya Du f(x0,y0),
yang berupa laju perubahan f(x,y)
pada arah u, adalah nol pada
waktu u menyinggung L.
![Page 35: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/35.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
▪ Akibatnya,
sehingga
dan juga (sudut antara u dan )
harus berupa sudut siku-siku.
![Page 36: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/36.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Teorema C
Gradien f di titik P adalah tegak lurus terhadap kurva ketinggian f
yang melalui P.
![Page 37: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/37.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 4:
Untuk paraboloid
Tentukan persamaan kurva ketinggiannya yang melalui titik P (2,1)
dan berikan sketsanya.
Tentukan vektor gradien dari paraboloid di P dan gambar gradien
dengan titik awalnya di P.
Penyelesaian:
▪ Kurva ketinggian dari paraboloid yang berhubungan dengan
bidang z = k, mempunyai persamaan
![Page 38: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/38.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):
▪ Kurva ketinggian dari paraboloid yang berhubungan dengan
bidang z = k, mempunyai persamaan
Nilai k ?
▪ Untuk mencari nilai k, kita substitusikan (2,1) untuk (x,y)
![Page 39: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/39.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):
▪ Jadi, persamaan kurva ketinggian yang melalui titik P(2,1) adalah
ellips
![Page 40: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/40.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):
Persamaan kurva
ketinggian yang melalui
titik P(2,1):
Sketsa
![Page 41: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/41.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):
▪ Vektor gradiennya ?
![Page 42: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/42.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):
Sehingga gradien di
P (2,1) adalah
Kurva ketinggian dan
gradien di P
![Page 43: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/43.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
• Konsep ketinggian dua peubah digeneralisasikan ke permukaan
ketinggian untuk fungsi tiga peubah.
• Jika f suatu fungsi tiga peubah, permukaan f(x, y, z) = k
dengan k konstanta
k disebut permukaan ketinggian di f.
• Di semua titik pada suatu permukaan ketinggian:
1. Nilai fungsi adalah sama
2. Vektor gradien untuk f (x, y, z) di suatu titik P(x, y, z) dalam
wilayahnya akan normal terhadap permukaan ketinggian dari
f melalui P.
![Page 44: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/44.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
• Dalam masalah hantaran kalor dalam benda homogen dengan
w = f(x, y, z) menyatakan suhu pada titik (x, y, z), permukaan
ketinggian f(x, y, z) = k dinamakan permukaan isoterm.
• Permukaan isoterm: permukaan yang semua titik padanya
memiliki suhu sama k.
• Pada tiap titik benda tersebut, kalor mengalir:
1. dalam arah yang berlawanan dengan gradiennya (yakni,
dalam arah penurunan terbesar pada suhu)
2. tegak lurus terhadap permukaan isoterm melalui titik itu.
![Page 45: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/45.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
• Jika w = f(x, y, z) memberikan potensial elektrostatik (voltase)
pada suatu titik sebarang dalam suatu medan potensial listrik,
permukaan ketinggiannya dinamakan permukaan ekuipotensial.
• Semua titik pada suatu permukaan ekuipotensial memiliki
potensial elektrostatik yang sama, dan arah arus listrik adalah
searah dengan negatif gradiennya, yaitu dalam arah penurunan
terbesar pada potensial.
![Page 46: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/46.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 5:
Jika suhu pada sebarang titik dalam suatu benda homogen diberikan
sebagai
Kemana arah yang memberikan penurunan suhu terbesar di titik
(1,-1,2) ?
Penyelesaian:
Penurunan terbesar pada suhu di (1,-1,2) adalah dalam arah negatif
gradien di titik tersebut.
![Page 47: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/47.jpg)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 5 (lanjutan penyelesaian):
di titik (1, -1, 2) adalah
Jadi pada titik (1, -1, 2) adalah
![Page 48: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/48.jpg)
3. Aturan Rantai
• Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposit satu peubah adalah
Jika y = f (x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi yang
terdiferensialkan, maka
![Page 49: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/49.jpg)
3. Aturan Rantai
Jika z = f(x,y), dengan x dan y adalah fungsi t, maka masuk akal
menanyakan dz/dt.
VERSI PERTAMA
Teorema A
(Aturan Rantai).
Andaikan x = x(t) dan y = y(t) terdiferensialkan di t dan andaikan
z = f(x,y) terdiferensialkan di (x(t), y(t)).
Maka z = f(x(t), y(t)) terdiferensialkan di t dan
![Page 50: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/50.jpg)
3. Aturan Rantai
Bukti
Kita tirukan bukti satu peubah dari Apendiks A.1 Teorema B (Buku
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell & Dale
Varberg).
Untuk penyederhanaan cara penulisan, andaikan
VERSI PERTAMA
![Page 51: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/51.jpg)
3. Aturan Rantai
Bukti (lanjutan)
Maka, karena f dapat didiferensialkan,
Dengan jika .
Bila kita membagi kedua ruas dengan , kita peroleh
VERSI PERTAMA
![Page 52: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/52.jpg)
3. Aturan Rantai
Bukti (lanjutan)
Sekarang
Dan yang belakang mendekati
jika
VERSI PERTAMA
![Page 53: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/53.jpg)
3. Aturan Rantai
Bukti (lanjutan)
Pada waktu , dan keduanya mendekati 0
(ingat bahwa x(t) dan y(t) kontinu, terdiferensialkan).
Ini menyimpulkan .
VERSI PERTAMA
![Page 54: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/54.jpg)
3. Aturan Rantai
Bukti (lanjutan)
Sebagai konsekuensi, pada waktu , kita peroleh
Teorema A
VERSI PERTAMA
![Page 55: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/55.jpg)
3. Aturan Rantai
Contoh 1:
Misalkan dengan dan .
Tentukan .
Penyelesaian:
VERSI PERTAMA
![Page 56: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/56.jpg)
3. Aturan Rantai
Contoh 2:
Misalkan bahwa sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi,
radiusnya bertambah pada laju 0,2 cm/jam dan tingginya bertambah
pada laju 0,5 cm/jam.
Tentukan laju pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat
radius sama dengan 10 cm dan tinggi sama dengan 100 cm.
Penyelesaian:
Rumus total luas permukaan sebuah tabung
adalah
Jadi,
VERSI PERTAMA
![Page 57: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/57.jpg)
3. Aturan Rantai
Contoh 2 (lanjutan penyelesaian):
Pada r = 10 dan h = 100,
cm2/jam
VERSI PERTAMA
Bagaimana Teorema A diaplikaiskan untuk fungsi tiga peubah ?
![Page 58: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/58.jpg)
3. Aturan Rantai
Contoh 3:
Andaikan , dengan , ,
dan .
Tentukan dan hitung nilainya di .
Penyelesaian:
VERSI PERTAMA
![Page 59: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/59.jpg)
3. Aturan Rantai
Contoh 3 (lanjutan penyelesaian):
Pada ,
VERSI PERTAMA
![Page 60: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/60.jpg)
3. Aturan Rantai
Teorema B
(Aturan Rantai). Misalkan x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai
derivatif pertama di (s,t) dan misalkan z = f(x,y) terdiferensialkan di
(x(s,t), y(s,t)).
Maka z = f(x(s,t), y(s,t)) mempunyai derivatif parsial pertama yang
diberikan oleh
(i)
(ii)
VERSI KEDUA
![Page 61: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/61.jpg)
3. Aturan Rantai
Contoh 4:
Jika z = 3x2 – y2 dengan x = 2s + 7t dan y = 5st,
Tentukan z/t, dan ungkapkan ia dalam bentuk s dan t.
Penyelesaian:
Bagaimana pada fungsi tiga peubah ?
VERSI KEDUA
![Page 62: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/62.jpg)
3. Aturan Rantai
Contoh 5:
Jika w = x2 + y2 + z2 + xy, dengan x = st
y = s – t
z = s + 2t
Tentukan w/t.
Penyelesaian:
VERSI KEDUA
![Page 63: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/63.jpg)
3. Aturan Rantai
▪ Misalkan bahwa F(x,y) = 0 mendefinisikan secara implisit y
sebagai suatu fungsi x, misalnya y = g(x), tetapi fungsi g sukar
atau tidak mungkin ditentukan.
▪ Kita masih tetap dapat mencari dy/dx.
▪ Satu metode untuk melakukan ini, yakni penurunan implisit
(dibahas di Pasal 3.8).
▪ Metode lain dengan menggunakan Aturan Rantai.
FUNGSI IMPLISIT
(Buku Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edwin J.Purcell Dale Varberg)
![Page 64: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/64.jpg)
3. Aturan Rantai
▪ Derivatif kedua ruas F(x,y) = 0 terhadap x dengan menggunakan
Aturan Rantai, dijelaskan sebagai berikut:
Dengan menyelesaikan dy/dx, dihasilkan rumus:
FUNGSI IMPLISIT
![Page 65: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/65.jpg)
3. Aturan Rantai
Contoh 6:
Tentukan dy/dx jika x3 + x2y – 10y4 = 0.
Penyelesaian:
Andaikan F(x,y) = x3 + x2y -10y4.
Maka
FUNGSI IMPLISIT
Bandingkan dengan Contoh 3 dari Pasal 3.8
Buku Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edwin
J.Purcell Dale Varberg
Aplikasi pada fungsi implisit 3 variabel ?
![Page 66: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/66.jpg)
3. Aturan Rantai
Jika z suatu fungsi implisit dai x dan y yang didefinisikan oleh
persamaan F(x, y, z) = 0, maka diferensial kedua ruas terhadap x
dengan mempertahankan y tetap, menghasilkan
Jika kita selesaikan untuk z/x
dan dengan mencatat bahwa y/x = 0, maka kita peroleh rumus
Perhitungan yang serupa dengan
mempertahankan x tetap dan mendiferensialkan
terhadap y, di dapat
FUNGSI IMPLISIT
![Page 67: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/67.jpg)
3. Aturan Rantai
Contoh 7:
Jika mendefinisikan z
secara implisit sebagai suatu fungsi x dan y, tentukan z/x.
Penyelesain:
FUNGSI IMPLISIT
![Page 68: Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu ke-10.pdf · Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012311/5b2bd5587f8b9a6d188b92e2/html5/thumbnails/68.jpg)
TERIMAKASIH