METODE NUMERIKFika Hastarita RachmanSemester Genap 2011/2012

PembahasanDefinisi UmumMetode Analitik vs Metode NumerikPendekatan dan KesalahanSumber Kesalahan

Mengapa Metode NumerikSeringkali beberapa persoalan matematika yang tidak selalu dapat diselesaikan oleh program aplikasi. Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya.Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution).

Ilustrasi Persoalan Matematik

Metode Analitikmetode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim).Metode analitik metode sebenarnya dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution) solusi yang memiliki galat/error = 0.Metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas

Metode NumerikMetode numerik = teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan / aritmatika biasa. Solusi angka yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya / solusi pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan. Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara keduanya yang kemudian disebut galat / error.Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan didunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik

Prinsip Metode NumerikMetode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambah angrafis dan teknik perhitungan yang mudah.Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhtungan. Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan).

Tahap Pemecahan PersoalanPemodelanPenyederhanaan modelFormulasi NumerikPemrogramanOperasional (uji coba)Evaluasi

Sumber kesalahanKesalahan pemodelancontoh: penggunaan hukum Newton asumsi benda adalah partikelKesalahan bawaancontoh: kekeliruan dlm menyalin datasalah membaca skalaKetidak tepatan dataKesalahan pemotongan (truncation error)Kesalahan pembulatan (round-off error)

PengantarSetiap Manusia KesalahanKesalahan Biaya Korban, dllKesempurnaan tujuan yang terpujiMasalah? (sangat jarang terjadi)Contoh Kasus:Aproksimasi best Hk. Newtons IIKecepatan benda jatuh = v2g.h BAGAIMANA KALAU ADAAngin? Perubahan tekanan Udara? Dimensi Benda?

Deviasi (Penyimpangan)

Pendekatan dan Kesalahan

Angka Signifikan (Penting)Akurasi dan PresisiDefinisi KesalahanKesalahan PembulatanKesalahan PemotonganKesalahan Numerik Total(Kekeliruan, Kesalahan Formulasi, dan Ketidakpastian Data)

Sampai berapa besar kesalahan itu dapat ditolerir?

Angka Signifikan (AS)Komputasi thd suatu bilangan Bilangan hrs meyakinkan ?Konsep angka signifikan keandalan sebuah nilai numerikBanyak angka signifikan banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkanSelain angka signifikan, jg ada angka taksiranAngka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why?Ketidakpastian kepastian, jk pakai notasi ilmiahHow?0,000123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)0,00123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)12.300 Tidak jelas berapa AS, karena msh di?kan nol itu berarti atau tidak!1,23 x 104 mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) 1,230 x 104 mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)1,2300 x 104 mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

Dua arti penting angka signifikanAS akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerikAS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas (kesalahan pembulatan/round-off-error)Angka Signifikan (AS)

Akurasi dan PresisiPresisiJumlah angka signifikan yg menyatakan suatu besaranPenyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah alatyg mengukur suatu perilaku fisik tertentuAkurasiDekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran thd harga sebenarnya yagn hendak dinyatakanInakurasi (Tdk akurat)Simpangan sistematis dari kebenaranKesalahan mewakili dua hal yaitu tidak akurat dan tidak presisi dari ramalan yang dilakukan

Definisi KesalahanKesalahan Numerik Adanya aproksimasiMeliputi:Kesalahan pemotongan (truncation error) saat aproksimasi digunakan utk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.Kesalahan pembulatan (round-off error) ketika angka2 aproksimasi dipakai utk menyatakan angka-angka pasti.

Sehingga, bisa dihubungkan:Harga Sebenarnya = pendekatan + Kesalahan

Bisa dikatakan: Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan aproksimasi Et = Harga sebenarnya aproksimasi; Dimana, Et = harga pasti dari kesalahan; huruf t dimaksudkan bahwa ia adalah kesalahan sebenarnya

Definisi KesalahanAlternatif yg selalu dipakai dlm menormalisasi kesalahan dgn mengunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu sbb:a = (Kesalahan aproksimasi/Aproksimasi)x 100%Dimana: a = kesalahan tersebut dinormalisasikan thd sebuah harga aproksimasi. Masalah & Sekaligus tantangan dlm Met-Num menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga yang sebenarnya

Kesalahan / Galat

Terima Kasih