pertemuan 12 deret fourier
TRANSCRIPT
![Page 1: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/1.jpg)
Tim Kalkulus 2
Desember 2011
![Page 2: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/2.jpg)
Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku:
f(x+P) = f(x); P adalah konstanta positif
Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau disebut perioda dari f(x).
Fungsi Periodik
![Page 3: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/3.jpg)
Fungsi sin x mempunyai periode 2, 4, 6,… karena
sin (x+2) = sin (x+4) = sin (x+6) = … = sin x
Periode dari sin nx atau cos nx: dengan n bilangan bulat positif adalah 2/n
Periode dari tan x adalah Fungsi konstan mempunyai periode
sembarang bilangan positif
Contoh:
![Page 4: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/4.jpg)
a.
b.
Contoh gambar dari fungsi-fungsi periodik
f(x)
periode
periode
f(x)
x
x
![Page 5: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/5.jpg)
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval)
Kontinuitas
![Page 6: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh gambar kontinuitas
f(x)
x1 x2 x3 x4
x
![Page 7: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/7.jpg)
Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L,L) dan diluar interval tersebut f(x) periodik dengan periode 2L, maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut didefinisikan sebagai berikut:
Definisi Deret Fourier
)1(...sincos2
)(1
0
nnn L
xnb
L
xna
axf
![Page 8: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/8.jpg)
dengan koefisien Fourier an, bn ditentukan oleh:
)3(......,3,2,1,0;sin)(1
)2(...)(1
;cos)(1
0
L
L
n
L
L
L
L
n
ndxL
xnxf
Lb
dxxfL
adxL
xnxf
La
![Page 9: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/9.jpg)
Jika interval (-L,L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L maka
dengan C sembarang bilangan real.
Jika C=-L maka rumus (4) dan (5) akan sama dengan (2) dan (3).
)5(...2
...,3,2,1,0;sin)(1
2 2)4(...)(
10
;cos)(1
LC
Cndx
L
xnxf
Lnb
LC
C
LC
Cdxxf
Ladx
L
xnxf
Lna
![Page 10: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/10.jpg)
Teorema: Jika
1.f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L,L)
2.f(x) periodik dengan periode 2L
3.f(x) dan f(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (-L,L).
Syarat / Kondisi DirichletDeret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/
kondisi Dirichlet
![Page 11: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/11.jpg)
maka deret Fourier (1) dengan koefisien (2) dan (3) atau (4) dan (5) konvergen ke :
1. f(x) jika x merupakan titik kontinu pada interval (-L,L)
2. jika x adalah titik diskontinu
2
)()( xfxf
![Page 12: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh:
Tentukan deret Fourier dari
dan bagaimanakah f(x) harus ditentukan pada x=-5; x=0 dan x=5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f(x) pada interval (-5,5)
10503
050)( periode
xuntuk
xuntukxf
![Page 13: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/13.jpg)
Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f(-x)=f(x) untuk setiap x. Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika f(-x) = - f(x) untuk setiap x.
Contoh:
1.Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genap merupakan fungsi genap. Jika f(x) fungsi genap maka
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
![Page 14: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/14.jpg)
2. Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjil merupakan fungsi ganjil. Jika f(x) fungsi ganjil maka
aa
a
dxxfdxxf0
)(2)(
0)(
a
a
dxxf
![Page 15: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/15.jpg)
a. Deret fourier dari fungsi genap:
Jika f(x) fungsi genap maka bn=0 sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung cosinus (suku-suku dari an)
Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah jangkauan (Half-Range)
L
L
n
L
L
L
n
dxL
xnxf
Lb
dxL
xnxf
Ldx
L
xnxf
La
0sin)(1
cos)(2
cos)(1
0
![Page 16: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/16.jpg)
b. Deret fourier dari fungsi ganjil:
Jika f(x) fungsi ganjil maka an=0, sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung sinus (suku-suku dari bn)
Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah jangkauan (Half-Range)
LL
L
n
L
L
n
dxL
xnxf
Ldx
L
xnxf
Lb
dxL
xnxf
La
0
sin)(2
sin)(1
0cos)(1
![Page 17: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/17.jpg)
Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret fourier yang hanya mengandung suku sinus dan cosinus saja.
Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval dari (-L,L) yaitu pada interval (0,L). Setengah lainnya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil.
![Page 18: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/18.jpg)
Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:
a. f(x) fungsi ganjil
b.
Deret cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:
a. f(x) fungsi genap
b.
L
nn dxL
xnxf
Lba
0
sin)(2
;0
0;cos)(2
0
n
L
n bdxL
xnxf
La
![Page 19: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/19.jpg)
Ekspansikan f(x)=x; 0<x<2 ke dalam;
a. Deret sinus setengah jangkauan
b. Deret cosinus setengah jangkauan
Contoh
![Page 20: Pertemuan 12 deret fourier](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081417/55b3da39bb61eb57438b4599/html5/thumbnails/20.jpg)
Theorema
Deret fourier f(x) diintegrasikan dari a sampai x dan menghasilkan deret yang akan konvergen seragam terhadap
yang dibuktikan oleh f(x) kontinu pada interval -L ≤ x ≤ L dimana a dan x berada pada interval tersebut
DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL DARI DERET FOURIER
x
adxxf )(