persamaan diferensial pertemuan...
TRANSCRIPT
-
Persamaan Diferensial Pertemuan VI
Nikenasih Binatari
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
March 13, 2019
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 1 / 22
-
Overview
1 Trayektori Orthogonal
2 Trayektori Oblique
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 2 / 22
-
Menggambar keluarga kurva menggunakan Geogebra
Misalkan akan digambar keluarga lingkaran x2 + y2 = c2 dan keluargagaris y = kx .
Nyatakan keluarga kurva dalam bentuk F (x , y , c) = 0, keluargalingkaran x2 + y2 − c2 = 0 dan keluarga garis y − kx = 0.Pilih menu create slide untuk membentuk parameter c dan k.
Figure: mendefinisikan parameter
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 3 / 22
-
lanjutan
Sebagai contoh, disini dipilih parameter c pada interval [0,10] dengankenaikan 1 sementara parameter k pada interval [-5,5] dengan kenaikan 1.
Pada bagian input, masukkan x2 + y2 − c2 = 0 dan y − kx = 0.Selanjutnya, klik kanan kurva dan pilih ’show trace’.
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 4 / 22
-
Hasil
Hasil yang terbentuk setelah menggerakkan kedua slider dapat dilihat padagambar berikut.
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 5 / 22
-
Trayektori Orthogonal
Definition
Diberikan suatuF (x , y , c) = 0 (1)
keluarga kurva satu-parameteri pada bidang XY. Kurva yang memotongkurva 1 secara tegak lurus disebut dengan trayektori orthogonal darikeluarga kurva tersebut.
Sebagai contoh keluarga lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari c ,
x2 + y2 = c ,
mempunyai trayektori orthogonal keluarga garis lurus y = kx .
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 6 / 22
-
Gambar Trayektori
Figure: Keluarga Lingkaran dan Keluarga Garis Lurus saling tegak lurus
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 7 / 22
-
Tehnik mencari orthogonal trayektori
Misalkan gradien dari keluarga 1 adalah
dy
dx= f (x , y).
Ingat bahwa perkalian gradien dua keluarga kurva yang saling tegak lurusharus bernilai -1. Akibatnya, keluarga kurva yang tegak lurus dengankeluarga kurva 1 mempunyai gradien
dy
dx= − 1
f (x , y). (2)
Jadi, orthoganal trayektori yang dimaksud merupakan solusi dari PD 2
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 8 / 22
-
Langkah-langkah
Untuk mencari orthogonal trayektori dari suatu keluarga kurva,langkah-langkah yang perlu dilakukan adalah
1 Tentukan gradien dari keluarga kurva, misalkan
dy
dx= f (x , y).
2 Definisikan gradien keluarga kurva yang orthogonal
dy
dx= − 1
f (x , y).
3 Selesaikan persamaan diferensial dari persamaan gradien keluargakurva yang diperoleh.
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 9 / 22
-
Contoh 1
Tentukan orthogonal trayektori dari keluarga lingkaran x2 + y2 = c2
1 Tentukan gradien dari keluarga lingkaran. Turunkan kedua ruasterhadap x diperoleh
2x + 2ydy
dx= 0 → dy
dx= −x
y.
2 Definisikan gradien dari keluarga kurva yang orthogonal.
dy
dx=
y
x
3 Selesaikan PD gradien kurva orthogonal.
dy
dx=
y
x→ 1
ydy =
1
xdx → y = kx .
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 10 / 22
-
Contoh 2
Tentukan orthogonal trayektori dari keluarga parabola y = cx2.
1 Tentukan gradien dari keluarga parabola. Turunkan kedua ruasterhadap x diperoleh
dy
dx= 2cx .
2 Definisikan gradien dari keluarga kurva yang orthogonal.
dy
dx= − 1
2cx= − x
2y
3 Selesaikan PD gradien kurva orthogonal.
2y dy = −xdx → 2y2 + x2 = k2.
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 11 / 22
-
Gambar keluarga Ellipse
Figure: Keluarga Parabola dan Keluarga Ellipse Lurus saling tegak lurus
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 12 / 22
-
Latihan 1
Tentukan dan gambarlah keluarga kurva serta trayektori orthogonal untukkeluarga-keluarga kurva berikut.
1 y = cx3
2 y2 = cx
3 cx2 + y2 = 1
4 y = ecx
5 x − y = cx2
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 13 / 22
-
Trayektori Oblique
Definition
Diberikan keluarga kurvaF (x , y , c) = 0.
Kurva yang memotong keluarga kurva dengan sudut potong α 6= 900disebut trayektori oblique dari keluarga kurva tersebut.
Sebagai contoh, trayektori oblique yang memotong keluarga garis lurusy = cx dengan sudut potong 450 adalah
ln c2(x2 + y2)− 2 arctan yx
= 0.
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 14 / 22
-
Gambar keluarga Ellipse
Figure: Trayektori Oblique keluarga garis dengan sudut 450
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 15 / 22
-
Tehnik mencari trayektori oblique
Misalkan gradien sudut yang dibentuk keluarga kurva 1 adalah β, maka
dy
dx= tan (β) = f (x , y)
Akibatnya, keluarga kurva yang memotong keluarga kurva 1 dengan sudutα mempunyai gradien sudut
dy
dx= tan (β + α) =
tan (β) + tan (α)
1− tan (β) tan (α)
=f (x , y) + tan (α)
1− f (x , y) tan (α)(3)
Jadi, trayektori oblique yang dimaksud merupakan solusi dari PD. 3
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 16 / 22
-
Langkah-langkah
Untuk mencari trayektori oblique dari suatu keluarga kurva dengan sudutpotong α, langkah-langkah yang perlu dilakukan adalah
1 Tentukan gradien dari keluarga kurva, misalkan
dy
dx= f (x , y).
2 Definisikan gradien keluarga kurva yang orthogonal
dy
dx=
f (x , y) + tan (α)
1− f (x , y) tan (α).
3 Selesaikan persamaan diferensial dari persamaan gradien keluargakurva yang diperoleh.
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 17 / 22
-
Contoh 3
Tentukan keluarga kurva yang memotong keluarga garis y = cx dengansudut potong 450.
1 Tentukan gradien dari keluarga kurva, misalkan
dy
dx= c =
y
x.
2 Definisikan gradien keluarga kurva yang orthogonal
dy
dx=
f (x , y) + tan (α)
1− f (x , y) tan (α)=
yx + 1
1− yx=
y + x
x − y.
3 Selesaikan persamaan diferensial homogen tersebut menggunakantransformasi y = vx . Diperoleh
v + xdv
dx=
1 + v
1− v.
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 18 / 22
-
lanjutan
Persamaan ekuivalen dengan bentuk
v − 1v2 + 1
dv = −1xdx
Integralkan kedua ruas maka diperoleh
1
2ln(v2 + 1)− arctan v = − ln |x | − ln |c |
Jadi, solusinya adalah
ln c2(x2 + y2)− 2 arctan yx
= 0.
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 19 / 22
-
Latihan 2
Tentukan dan gambarlah keluarga kurva serta trayektori orthogonal untukkeluarga-keluarga kurva berikut.
1 Tentukan keluarga trayektori oblique untuk keluarga lingkaranx2 + y2 = c2 dengan sudut potong 450.
2 Tentukan keluarga trayektori oblique untuk keluarga parabola y2 = cxdengan sudut potong 600.
3 Tentukan keluarga trayektori oblique untuk keluarga kurvax + y = cx2 dengan sudut potong α yang memenuhi tanα = 2.
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 20 / 22
-
Pengayaan
1 Find the orthogonal trajectories of the family of ellipses having centerat the origin, a focus at the point (c , 0), and semimajor axis of length2c.
2 Find the orthogonal trajectories of the family of circles which aretangent to the y axis at the origin.
3 Find the value of K such that the parabolas y = c1x2 + K are the
orthogonal trajectories of the family of ellipses x2 + 2y2 − y = c2.4 A given family of curves is said to be self-orthogonal if its family of
orthogonal trajectories is the same as the given family. Show that thefamily of parabolas y2 = 2cx + c2 is self-orthogonal.
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 21 / 22
-
The End
Nikenasih Binatari (UNY) Aplikasi PD Orde Satu March 13, 2019 22 / 22
Trayektori OrthogonalTrayektori Oblique