perquè el fosfor és on és a la taula periodica: una ... · com a excusa al desenvolupament del...

Perque el fosfor es on es a la taula periodica: una visio

algebraico-geometrica

Versio 2.0Juan Jose Rue Perna

Febrer 2007

Index

Proleg 4

1 Representacio de grups finits i caracters 6

1.1 Representacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Primeres definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Primers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Subespais invariants sota l’accio d’un grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Irreductibilitat d’una representacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.5 Algebra d’un grup i accions d’un grup sobre un conjunt . . . . . . . . . . . 10

1.2 Caracters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Lema de Schur i consequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Relacions d’ortogonalitat entre caracters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Representacio regular d’un grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.4 Nombre de representacions irreductibles d’un grup donat . . . . . . . . . . 16

1.3 Aplicacio a l’estudi de grups particulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Grups abelians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 Grups dihedrals: D2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3 Producte de grups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.4 Grup simetric: Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Algunes pinzellades de grups i algebres de Lie 34

2.1 Grups topologics, grups de Lie i grups compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1

2.2 L’algebra de Lie d’un grup de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1 Subgrups uniparametrics i exponenciacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Estudi d’alguns grups de Lie rellevants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1 El grup lineal d’ordre n d’un cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.2 El grup especial lineal d’ordre n d’un cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.3 El grup ortogonal d’ordre n d’un cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.4 El grup especial ortogonal d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.5 El grup de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4 Grups sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Altres problemes fısics relacionats amb SO(3,R) 47

3.1 Varietats diferenciables, grups de Lie, exponenciacio i moment angular . . . . . . . 47

3.1.1 Una altra visio del moment angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Aplicacions a la cristal·lografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1 Estudi dels subgrups finits de SO(3,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.2 Estudi dels subgrups finits de O(3,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.3 Possibles cristal·litzacions de substancies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Representacio de grups de Lie compactes 59

4.1 La reformulacio de la teoria de representacions a grups de Lie compactes . . . . . . 59

4.2 Quaternions, SU(2,C) i SO(3,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.1 Quaternions: definicions i primeres propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.2 Relacio de SU(2,C) amb SO(3,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Representacions irreductibles de SU(2,C) i de SO(3,R) . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.1 Descomposicio de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.2 Representacions de SO(3,R) i funcions harmoniques . . . . . . . . . . . . . 69

5 Estudi de simetries de sistemes fısics 74

5.1 Motivacio per la mecanica quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2 Estudi de la hamiltoniana 4+ V (r) i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2

5.2.1 L’atom d’hidrogen. Resolucio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2.2 Regles de transicio entre nivells d’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3 La taula periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3.1 Principi d’exclusio de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3.2 . . . i l’spin. . . , que? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3.3 Distribucio d’elements en la taula periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Apendix: Accions de grups sobre conjunts 91

5.4 Definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Bibliografia 94

3

Proleg

Ja de petits ens ensenyen a les classes de ciencies de l’institut ( i inclus a l’escola primaria!) ladistribucio dels diversos elements a la taula periodica. Pero, perque la taula periodica es aixı? Perque el fosfor es troba on es? Evidentment hi ha d’haver una rao amagada.

La justificacio d’aquest fet, per molt sorprenent que pugui semblar, prove de la teoria de representa-cions de grups compactes junt amb aspectes propis de la geometria diferencial, i mes concretamentreferents als grups de Lie.

Amb aquesta excusa, aquest treball preten realitzar una introduccio al que es l’estudi de siste-mes fısics segons les seves simetries, sempre partint d’una visio algebraico-geometrica. Per a talcosa, el treball conte 3 parts ben diferenciades:

1. Una introduccio a la teoria de representacions de grups finits, incloent l’estudi de grups queen fısica tenen gran rellevancia, tals com els grups cıclics, els grups dihedrals o els grupssimetrics, entre d’altres.

2. Una introduccio als primers resultats basics sobre grups de Lie i algebres, aixı com unareformulacio de la teoria de representacions de grups finits al cas de grups continus, amb lescorresponents aplicacions.

3. Formulacio amb precisio, en el context que ens trobem, de problemes fısics i trobar, enconcret, resposta a la nostra pregunta inicial.

Com a excusa al desenvolupament del llenguatge i de les tecniques per tal d’entendre la taulaperiodica s’han inclos nocions fısiques complementaries pero, altrament, remarcables.

A nivell general, aquest treball ha aspirat a complir dos objectius:

1. D’un punt de vista fısic, rigoritzar molts dels raonaments que en diverses branques d’aquestadisciplina s’utilitzen: el perque de l’existencia d’una exponenciacio en grups de Lie (que donalloc a tota la teoria del moment angular), el perque de l’existencia d’un nombre concret derepresentacions de grups compactes i les consequencies en els nivells d’energia de sistemesfısics, . . .

2. D’un punt de vista matematic, tractar temes que en la llicenciatura de matematiques sonoblidats i veure la seva potencia en fısica matematica i en fisica quantica.

4

Aquest treball va sorgir ja fara un any com a consequencia d’un seminari d’iniciacio a la recerca,dirigit per Sebastia Xambo. No podria deixar d’esmentar aquı el meu agraıment cap a ell per totsels bons consells que m’ha donat per a la realitzacio d’aquest treball i per les bones estones quehem passat parlant de fısica i de matematiques.

Lleida, 28 de novembre de 2005

5

Capıtol 1

Representacio de grups finits icaracters

En aquest primer capıtol es presenta el concepte de representacio d’un grup aixı com alguna nociode la teoria de caracters. Inicialment suposarem que els grups que tractem son finits, i ja en capıtolsposteriors estendrem la teoria a grups un tant mes generals.

De fet, pels interessos que ens hem fixat, el que realment necessitem es teoria de caracters so-bre grups continus (ja precisarem mes endavant aquest concepte), pero la teoria de caracters i derepresentacions es molt similar amb la teoria de grups finits i, de fet, en aquest segon cas resultaser mes aclaridora per a fixar idees.

1.1 Representacions

1.1.1 Primeres definicions

Sigui V un C-espai vectorial. Amb la notacio habitual, denotem per GL(V,C) ≡ GL(V ) el conjuntd’endomorfismes de V invertibles.

Per una altra banda sigui (G, ·) ≡ G un grup finit. La definicio fonamental amb la que es treballaraen la resta del capıtol es la seguent:

Definicio 1.1.1 Una representacio lineal del grup G en l’espai vectorial V es un morfismede grups ρ : G → GL(V ). Es diu llavors que V es l’espai de representacio de G per larepresentacio ρ.

Com en tot el que segueix totes les representacions que tractarem seran representacions lineals,parlarem simplement de representacions d’un determinat grup.

D’aquesta forma, si u, v ∈ G, el morfisme ρ te les propietats:

ρ(uv) = ρ(u)ρ(v)

6

ρ(u−1) = ρ(u)−1

ρ(e) = Id

on denotem per e l’element neutre de G i per Id l’element neutre de GL(V ).

Observar que donat un grup G i un espai vectorial V , sempre existeix una representacio de G enV : basta prendre l’aplicacio ρ(s) = Id, on s es un element arbitrari de G. Ara be, es evident queuna tal aplicacio no te massa interes, ja que el nostre proposit es traduir l’estructura de grup delgrup G ıntegrament en GL(V ).

En particular, estarem interessats en les representacions injectives:

Definicio 1.1.2 Donada una representacio ρ de G en V , direm que ρ es fidel si es injectiva.

En un context general, l’espai vectorial V sera arbitrari, pero per al nostre proposit sera de dimensiofinita. Sigui n la seva dimensio.

Definicio 1.1.3 Donada una representacio ρ : G → V , on V te dimensio n, direm llavors que nes el grau de la representacio ρ.

Per acabar amb aquestes primeres definicions cal relacionar distintes representacions d’un grupdonat.

Definicio 1.1.4 Siguin ρ i % dues representacions de G en V i en W , respectivament.

Direm que ρ i % son similars o isomorfes o G-isomorfes si existeix un isomorfisme τ : V →Wque dona la igualtat

τ ◦ ρ(s) = %(s) ◦ τ (1.1)

per a tot element s de G. En aquest cas, direm que el morfisme f es un G-isomorfisme.

De forma intuıtiva podem identificar les dues representacions com una sola.

Observacio 1.1.1 En el cas mes general en el que f sigui simplement un morfisme que compleixiles condicions de la definicio anterior direm que f es un G-morfisme.

1.1.2 Primers exemples

Tractarem aquı algun exemple sencill per a il·lustrar la teoria introduıda:

1. Sigui G = Z/nZ. Anem a trobar una representacio fidel de grau 1. Una tal representacio,que denotarem per ρ, compleix que:

ρ(s)n = ρ(n · s) = ρ(0) = 1

i, per tant, necessariament |ρ(s)| = 1. A mes a mes, com la representacio es fidel i Z/nZ ' 〈1〉,llavors en notacio additiva ρ(m) 6= 1 si m < n i m 6= 0. Per tant, ρ(1) es una arrel n-essimade la unitat, i pot escriure’s com:

ρ(1) = e2π ln

on 0 < l < n. Tenim, doncs, n− 1 representacions fidels de grau 1.

7

2. Donat dos espais vectorials V1 i V2, podem construir un nou espai vectorial W format perles combinacions lineals finites d’elements de la forma v1 · v2, on vi ∈ Vi. Aquest producte eslineal en cadascun dels vectors vi. De fet, si {ei}i∈I es una base de V1 i {bj}j∈J es una basede V2, llavors W es un espai vectorial amb base els elements

{ei · bj}i∈I,j∈J

Definicio 1.1.5 L’espai W es el producte tensorial de V1 i V2, i l’escriurem com V1⊗V2.

Aquest espai es unic llevat d’isomorfisme i es evident, llavors, que la seva dimensio es elproducte de les dimensionss dels espais amb els que ”muntem” aquest nou espai vectorial.Escriurem d’aquı en endavant la base de W per {ei ⊗ bj}i∈I,j∈J .

Siguin ara ρ1, ρ2 dues representacions d’un grup G en GL(V1), GL(V2) respectivament.Llavors podem definir de forma natural una nova representacio del grup G, que escriuremcom ρ1 ⊗ ρ2 ∈ GL(V1 ⊗ V2), definida segons:

ρ1 ⊗ ρ2(s)(xi ⊗ yj) = (ρ1(s))(xi)⊗ (ρ2(s))(yj)

Aquesta definicio s’amplia per linealitat a la resta dels elements de V1 ⊗ V2.

3. Veguem que sempre podem construir una representacio fidel d’un grup finit G donat. Sigui|G| l’ordre de G i sigui V un C-espai vectorial de dimensio |G|. Prenem una base {es}s∈G,on s’enumeren els elements de la base segons els elements del grup G.

Fixat aleshores un element g ∈ G, considerem l’endomorfisme de V en V definit sobre elselements d’una base segons:

ρ(g) : V → V∑t∈G rtet 7→

∑t∈G rtest

(1.2)

Definida d’aquesta forma, ρ ens defineix una representacio de G.

Definicio 1.1.6 La representacio anterior s’anomena representacio regular de G.

4. Sigui ρ1 una representacio de G en V1 i ρ2 una representacio de G en V2. Llavors podemconstruir de forma natural una representacio de G en V1 ⊕ V2, prenent ρ1 ⊕ ρ2.

1.1.3 Subespais invariants sota l’accio d’un grup

Volem estudiar ara les propietats d’invariancia de subespais en V sota l’accio d’un element arbitraridel conjunt ρ(G), format per tots els endomorfismes ρ(g).

En concret:

Definicio 1.1.7 Sigui ρ una representacio de G sobre V i W un subespai vectorial de V . Diemque W es estable sota la accio de G o que W es un subespai invariant de V sota la acciode G si ρ(g)x es un element de W , ∀x ∈ V i per ∀g ∈ G.

Denotant en aquest cas ρW la restriccio de ρ en W , en resulta que ρW (g) es un isomorfisme de Wen ell mateix per a tot g de G.

Estem obtenint, doncs, una nova representacio lineal del grup G, pero ara sobre prenent com aespai vectorial el propi W .

8

Definicio 1.1.8 En la situacio precedent, diem que ρW es una subrepresentacio de G sobre V .

De forma equivalent, diem que W es una subrepresentacio de V .

En aquest cas, el que veurem es que podem construir un complementari de W invariant sota l’acciode G. Enunciem-ho amb una proposicio:

Proposicio 1.1.1 Sigui ρ una representacio de G en V de grau n i sigui W un subespai de Vinvariant per l’accio de G. Llavors existeix un complementari de W , que denotarem per W⊥, quees invariant per l’accio de G.

Prova:

Fixat el subespai W , sigui W 0 un complementari qualsevol de W en V ( un tal complementariexisteix; per exemple, completant una base de W a una de V ), i πW la projeccio de V sobre Wcompatible amb la eleccio d’aquest complementari. Considerem l’operador seguent:

π =1|G|

∑g∈G

ρ(g)πW ρ(g)−1

Aquest nou morfisme definit sobre V compleix que π|W = I, i per tant es una projeccio de Vsobre W corresponent a algun complementari de W ; diguem-ne W⊥. Veguem que, finalment, W⊥

roman estable sota la accio de G: per a veure-ho, basta verificar que si x ∈ W⊥, llavors ρ(s)x esun element de W⊥. Ara be:

ρ(s)πρ(s)−1 =1|G|

∑g∈G

ρ(gs)πW ρ(gs)−1 = π

i com ara, si x ∈W⊥, llavors π(x) = 0, i segons l’anterior π(ρ(s)x) = ρ(s)(π(x)) = 0, hem arribata que ρ(s)x es un element de W⊥ tal i com volıem veure. �

1.1.4 Irreductibilitat d’una representacio

Estudiat ja l’accio d’un grup sobre un espai vectorial, passem a definir les representacions que per alnostre proposit seran les de mes rellevancia. En particular, estem interesats en les representacionsque no deixen invariant cap subespai propi de V . Introduım-les amb una definicio:

Definicio 1.1.9 Donada ρ una representacio de G en V , direm que es irreductible si els unicssubespais invariants per l’accio de G son {0} i V .

Segons l’apartat anterior, si ρ es una representacio de grau n de G en V , llavors V =⊕l

i=1Wi, oncada Wi es invariant per l’accio de G.

Observacio 1.1.2 En l’anterior s’enten la minimalitat: per a cadascun del Wi, l’unic subespaiestrictament mes petit i contingut en ell que sigui invariant per l’accio de G es {0}.

Usant aquest fet, podem demostrar el seguent:

9

Proposicio 1.1.2 Sigui ρ representacio d’un grup finit G en V , de tal forma que V =⊕l

i=1Wi

amb cadascun dels Wi minimal i invariant per l’accio de G de tal forma que les representacionsinduıdes son dos a dos no G-isomorfes i irreductibles. Llavors tot espai invariant U ⊆ V es sumad’alguns dels Wj.

Prova:

Per al nostre proposit, basta suposar que U es ell mateix minimal i irreductible. (De no ser aixı,U descomposa en suma d’irreductibles minimals i llavors basta demostrar-ho per a cadascun)

La representacio de G sobre U es una subrepresentacio de G sobre V , i per tant U s’escriu enparticular com a suma de subespais invariants i amb representacio induıda irreductible. Sigui πWi

la projeccio de U sobre el subespai Wi; en concret es tracta d’un G-morfisme entre les represen-tacions sobre U i sobre Wi. Llavors, per les hipotesis del teorema, necessariament πWi

sera unG-isomorfisme per un valor de i i per la resta haura de ser el morfisme nul. Per aquest valor de i,U = Wi, que es el que volıem veure.

�

Aquest ultim resultat sera clau per tal de trobar totes les representacions irreductibles d’algunsgrups compactes.

1.1.5 Algebra d’un grup i accions d’un grup sobre un conjunt

Donat un grup finit G, es natural definir el conjunt de sumes formals∑

g∈G agg, on els coeficientsag son elements d’un cos donat. ( Suposarem a partir d’ara que aquest cos es C)

Llavors (G, ·,+) te estructura d’algebra. En particular:

Definicio 1.1.10 L’algebra anterior, que denotarem per C[G] es l’algebra associada al grupG.

Les propietats de C[G] son les tıpiques d’una algebra hermıtica. ( Perque estem treballant sobre C)

De la definicio surt inmediatament que la inclusio i : G ↪→ C[G] indueix un morfisme injectiudels grups (G, ·) i (i(G), ·).

Ens interessa ara poder estendre d’alguna forma la nocio de representacio d’un grup a la sevaalgebra, de tal forma que la restriccio d’aquesta al grup en resulti una representacio de G. Deforma general tenim la definicio d’una representacio d’una algebra:

Definicio 1.1.11 Sigui A una algebra i V un C-espai vectorial. Diem que l’aplicacio ρ : A −→End(V ) es una representacio lineal de A si es un morfisme de les algebres (A,+, ·) i (End(V ),+, ·).

Observar que estem demanant simplement que cadascun dels ρ(a) siguin operadors lineals, sensela condicio de ser invertibles. Evidentment, aixo es aixı perque en un algebra no tot element esinvertible.

10

Amb aquesta definicio sorgeix de forma natural la representacio regular d’una algebra d’un grup:fixat G, considerem el C-espai vectorial C[G] que te com a elements de la base els elements de G.

Podem definir, llavors la seguent representacio:

ρ(g)h = gh

on g, h ∈ G, i la definicio s’exten segons les propietats de ρ a la resta dels elements de C[G].Estem, doncs, definint una accio de G sobre el conjunt X = G, que s’exten de forma natural a total’algebra. Observar que en general ρ(C[G]) tindra un nombre infinit d’elements, a diferencia de lesrepresentacions de grups, en el que era un conjunt finit.

Passem a estudiar amb mes detall aquesta representacio: en particular estudiarem els subespaisinvariants. Donat un subespai M ⊆ C[G] invariant per la representacio regular de C[G], llavors Mes un ideal per l’esquerra de C[G]. De fet, aquesta afirmacio es un si i nomes si i la seva demostracioes trivial.

Tambe resulta evident, a partir d’aquest fet, que la restriccio de la representacio regular de C[G]a un ideal per l’esquerra de C[G] es irreductible si i nomes si aquest ideal es minimal. Aixı doncs,l’algebra C[G] pot escriure’s com:

C[G] = I1 ⊕ I2 ⊕ . . . Ik

on els Ij son ideals minimals invariants per la representacio regular de C[G]. Aquesta formularecorda molt a la descomposicio en subespais invariants que ja hem trobat abans. De fet, donadaaquesta descomposicio de l’algebra, tenim una descomposicio induıda de la representacio regular ensuma directa de representacions irreductibles, T =

⊕kj=1 Tj , on cadascuna de les Tj es la restriccio

de T a l’ideal Ij .

Observacio 1.1.3 Tota aquesta deduccio segueix sent valida per a qualsevol algebra finita, ambindependencia de que provingui d’un grup finit o no.

Hem vist, aixı, que podem traduir una representacio de G a la seva algebra ( definint-la sobrela base i extenent-la per linealitat), o recıprocament restringir una representacio de C[G] a G.Aixı doncs, tota la problematica de cercar subsespais invariants en les representacions de grups estradueix en la cerca d’ideals minimals en el cas de les algebres corresponents.

Observacio 1.1.4 Malgrat no s’hagi definit explıcitament, les definicions realitzades anteriormenti lligades a representacions de grups s’extenen de forma natural a les representacions d’algebres.(Equivalencia de representacions, fidelitat, . . . )

1.2 Caracters

Una vegada introduıts els primers resultats relatius a la teoria de representacio de grups, presenta-rem una nova eina que ens permetra tractar totes les representacions irreductibles d’un grup donat.

Sigui V un C-espai vectorial de dimensio n i sigui ρ una representacio de G en V . Fixada unabase de V arbitraria, cadascun dels morfismes ρ(s) pot escriure’s en forma matricial de la forma(rij(s))0<i,j≤n. De la teoria d’algebra lineal sabem que la traca d’aquesta matriu no depen de la

11

base de V escollida.

Amb aquesta observacio, podem definir el caracter d’una representacio donada:

Definicio 1.2.1 Donada una representacio de G en V de grau n, amb expressio matricial ρ(s) =(rij(s))0<i,j≤n, llavors el caracter associat a la representacio ρ es una aplicacio χρ : G −→ Cdefinida segons:

χρ(s) = tr(rij(s))0<i,j≤n

Tal i com veurem mes endavant coneixer el caracter d’una determinada representacio ens determi-nara la representacio llevat d’isomorfisme.

Per comencar anem a demostrar algunes propietats inmediates relatives als caracters:

Proposicio 1.2.1 Sigui χρ el caracter associat a una representacio ρ de G en V de grau n. Llavorses tenen les seguents igualtats:

1. χρ(e) = n

2. χρ(s−1) = χρ(s)∗ per a tot s de G

3. χρ(tst−1) = χρ(s) per a tot s de G

Prova:El primer punt es trivial ja que la dimensio de V es n.

Per a veure la segona part, recordar la igualtat ρ(s−1) = ρ(s)−1. Del fet que ρ(s) tingui or-dre finit es dedueix que els valors propis de ρ(s) (en el sentit matricial del morfisme) han de tenirmodul 1, i que per tant si λi es valor propi de ρ(s), llavors es compleix que λ−1 = λ∗. Llavors,usant tambe que ρ(s−1) = ρ(s)−1 es evident que:

χρ(s)∗ =n∑

i=1

λi(s)∗ =n∑

i=1

λi(s)−1 = χρ(s−1)

que es el que volıem demostrar.

Finalment, per a demostrar la tercera part, escribint u = ts i v = t−1, la igualtat a demos-trar es χρ(uv) = χρ(vu), cosa que es certa ja que la traca del producte de dues matrius no depende l’ordre en que es realitzi. �

1.2.1 Lema de Schur i consequencies

El que pretenem en el que segueix es realitzar una construccio de caracters procedents de repre-sentacions irreductibles essencialment diferents. Per a fer-ho, necessitem introduir un lema propide la teoria de representacions:

Lema 1.2.1 (Lema de Schur) Siguin ρ1 i ρ2 dues representacions de G en dos C-espais vectorialsV1 i V2 respectivament, i sigui f : V1 −→ V2 un G-morfisme d’espais vectorials.

12

Amb aquestes hipotesis es compleix que:

1. Si ρ1 no es G-isomorf a ρ2, llavors f = 0.

2. Si ρ1 = ρ2 i V1 = V2, llavors f es una dil·latacio.

Prova:Comencem per la primera part: si el morfise f es 0, ja hem acabat. De no ser aixı, te nucli diferentdel total. Sigui, doncs W = ker f . Llavors, per ser f un G-morfisme, per a tot element de W iamb arbitrarietat de s en G es compleix que:

f ◦ ρ1(s)(x) = ρ2(s) ◦ f(x) = 0

i aixı ρ1(s)(x) ∈W . Per tant, W es invariant per l’accio de G. Com la representacio ρ1 es irreduc-tible, llavors necessariament W es 0, ja que V no pot ser-ho segons l’anterior.

De forma equivalent es demostra que la imatge de f es V2 i aixı, doncs, f es un G-isomorfisme, encontradiccio amb la hipotesi.

Per a veure ara la segona part, sigui λ un valor propi de f ( en te algun si mes no, a C), i consideremel nou morfisme g = f − λ, on λ denota la dil·latacio de rao λ. En aquest cas, ker g 6= 0 i g esun G-morfisme perque es combinacio lineal de G-morfismes. Per tant g no es un G-isomorfisme, id’aquesta manera en virtut de l’apartat anterior, g = 0, i doncs f = λ, tal i com volıem veure.

�

Una vegada introduıt aquest lema, gairebe ho tenim tot per a construir relacions d’ortogonalitatexistents entre distints caracters. Primer de tot, necessitem, pero, un corol·lari:

Corol·lari 1.2.1 Siguin ρ1 i ρ2 dues representacions de G en dos C-espais vectorials V1 i V2

respectivament, i sigui f : V1 −→ V2 un G-morfisme d’espais vectorials. Si considerem llavors elmorfisme:

f∗ =1|G|

∑s∈G

(ρ2(s))−1fρ2(s)

Aleshores:

1. Si ρ1 no es G-isomorf a ρ2, llavors f∗ = 0.

2. Si V1 = V2 i ρ1 = ρ2, llavors f∗ es una dil·latacio de de valor

1dim(V1)

tr(fij)

on (fij) es la representacio matricial de h en una determinada base de V1.

Prova:Per a fer-ho, basta observar que f∗ es un G-morfisme i emprar la primera part del lema de Schur.

En la segona part, observar que la dil·latacio esta ben definida perque el seu valor no depende la base escollida. En particular, la segona part del lema de Schur ens diu que f∗ = λ, i per tantla traca de la matriu es nλ. Per una altra banda, com ρ1 = ρ2, llavors la traca de f es igual a latraca de f∗, d’on es dedueix inmediatament la segona part del corol·lari. �

13

Una vegada demostrades aquestes relacions les anirem a escriure de forma matricial per tal dededuir-ne les relacions d’ortogonalitat en la seccio que segueix. Escribint les diverses representacionsen forma matricial, segons ρ1(s) = (ri1j1(s)), i ρ2(s) = (ri2j2(s)) per a s ∈ G. Denotem tambef = (xi2i1), i el corresponent f∗ = (x∗i2i1

). Escribint la expressio matricial de f∗ en funcio de fsegons la definicio tenim:

x∗i2i1 =1|G|

∑s∈G,j1,j2

ri2j2(s−1)xj2j1rj1i1(s)

Per tant, cadascun dels coeficients de la expressio matricial de f∗ es una combinacio lineal delscoeficients de la expressio matricial de f .

Vist aixo, suposem primer que ρ1 i ρ2 no son G-isomorfes. Llavors el corol·lari anterior diu queels coeficients de f∗ son 0 amb arbitarietat de f . Escribint f novament de forma matricial, podemconsiderar la famılia de morfismes fmn, en els que xi1i2 = 1 i tota la resta 0. Aquest fet ens portaa que:

0 =1|G|

∑s∈G

ri2j2(s−1)rj1i1(s)

on els valors de les i i de les j son arbitraris.

Per una altra banda, si ara ρ1 = ρ2 i V1 = V2, llavors f∗ = λ. Traduint-ho novament a lacorresponent expressio matricial i emprant el corol·lari anterior, obtenim ara que:

1|G|

∑s∈G,j1,j2

ri2j2(s−1)rj1i1(s) =

{1n , i1 = i2 ∧ j1 = j2;0, i1 6= i2 ∨ j1 6= j2.

1.2.2 Relacions d’ortogonalitat entre caracters

Segons hem vist ja abans, donat una representacio ρ de G i el seu caracter associat χ, llavors per atot element s de G es compleix que χ(s)∗ = χ(s−1). D’aquesta forma, la aplicacio bilineal < ·, · >definida sobre el conjunt de caracters segons:

〈χ1, χ2〉 =1|G|

∑s∈G

χ1(s)χ2(s)∗

on χ1 i χ2 son caracters associats a dues representacions diferents ens defineix una forma bilinealhermıtica definida positiva. Amb aquestes condicions, podem escriure ara les relacions d’ortogo-nalitat per a caracters corresponents a representacions irreductibles:

Proposicio 1.2.2 (Relacions d’ortogonalitat) Sigui G un grup finit i V un C-espai vectorial dedimensio finita. Llavors:

1. Sigui χ el caracter d’una representacio irreductible de G en V . Llavors 〈χ, χ〉 = 1.

2. Siguin χ1 i χ2 caracters associats a dues representacions irreductibles de G no G-isomorfessobre V1 i V2, respectivament (V1 i V2 son C-espai vectorial de dimensio finita) Llavors〈χ1, χ2〉 = 0

Prova:La demostracio sorgeix directament de les expressions deduıdes al final de la seccio anterior. �

14

Segons ja havıem vist amb anterioritat, donada una representacio ρ de G en V , llavors V potescriure’s com suma directa de subespais invariants per l’accio de G: diguem V =

⊕ni=1Wi. Sigui

llavors χi el caracter associat a la subrepresentacio ρWi de G sobre V . Per una altra banda, siguiW una subrepresentacio de W amb caracter χ. Definint λ =

∑ni=1 χi, tindrem que:

〈λ, χ〉 =n∑

i=1

〈χi, χ〉

I per tant, aquest ultim valor ens dona el nombre de subrepresentacions en la descomposicio an-terior G-isomorfes a la representacio corresponent a W . En particular, aixo ens demostra que elnombre de subrepresentacions de G en V G-isomorfes a W no depen de la descomposicio de V ensubespais invariants.

Aixı doncs, donada una representacio ρ de G en V , podem escriure V =⊕n

i=1miWi, on mi

indica la multiplicitat del subespai invariant Wi en V , i el caracter d’aquesta representacio potescriure’s com:

λ =n∑

i=1

miχi

on s’usa el conveni anterior. Llavors 〈λ, λ〉 =∑n

i=1m2i . Com cadascun dels mi es superior a 1,

en resulta que la suma anterior es 1 si i nomes si hi ha nomes un subespai invariant. Es a dir,una representacio d’un grup G es irreductible si i nomes si el seu caracter associat χ verifica que〈χ, χ〉 = 1.

1.2.3 Representacio regular d’un grup

El que farem ara sera aplicar la teoria de caracters desenvolupada fins ara al cas de la representacioregular d’un grup finit. Tal i com hem definit abans aquesta representacio permuta els elementsd’una base donada segons el producte en G.

Sigui s ∈ G element de G diferent del neutre. Aleshores et 6= est i per tant escribint ρ(s) al’endomorfisme associat a s es te que en la expressio matricial tot element de la diagonal es nul.Aixı doncs, si χ es el caracter associat a aquesta representacio, llavors es te que:{

χ(e) = |G|χ(s) = 0, s 6= e.

Sabent aquest fet, sigui χi el caracter associat a qualsevol representacio de G, corresponent a unsubespaiWi (Si mes no, a un subespai isomorf a aquest en la representacio regular de G). Aleshores,segons el que hem vist abans, V descomposa amb suma de subespais invariants per l’accio de Gamb multiplicitat. En particular, la multiplicitat de Wi en aquesta suma sera, segons hem vist:

〈χ, χi〉 =1|G|

∑t∈G

χ(t−1)χi(t) = χi(e) = ni

Es a dir, la multiplicitat amb la que apareix Wi en la descomposicio de V es exactament la sevadimensio. En particular el nombre de representacions irreductibles d’un grup finit G es finit i fitatper l’ordre del grup, ja que de fet tota representacio en resulta subrepresentacio de la representacioregular.

Com ara V = n1W1 ⊕ · · · ⊕ nhWh, la representacio inicial te com a caracter associat a∑h

i=1 niχi,

15

on χi es el caracter associat a la subrepresentacio de G sobre Wi. Llavors distingint entre l’elementneutre de G i la resta es evident que es donen les igualtats:

h∑i=1

n2i = |G|

h∑i=1

niχi(s) = 0

D’aquesta manera suposem donat un conjunt de representacions irreductibles no G-isomorfes entreelles. Podem decidir si aquest conjunt conte totes les que existeixen, i de ser aixı, concloure ques’han trobat totes les representacions d’un grup donat.

1.2.4 Nombre de representacions irreductibles d’un grup donat

Una vegada ja conegut la relacio entre l’ordre del grup a representar i els possibles graus de lesrepresentacions irreductibles del mateix grup, el que pretenem ara es trobar explıcitament quantesrepresentacions irreductibles admet un grup fixat. Abans de tot, pero, necessitem incloure algunadefinicio:

Definicio 1.2.2 Sigui f : G → C una aplicacio. f es diu funcio central de G o funcio declasses sobre G si es constant sobre les classes de conjugacio de G.

En particular, els caracters son funcions de classes sobre G. Ja hem vist abans que el nombrede representacions irreductibles d’un grup finit G es un nombre finit, i per tant el nombre de ca-racters associats a representacions irreductibles (que podem anomenar caracters irreductibles) esigualment un nombre finit.

Sigui ara H el conjunt de funcions centrals sobre G. Aquest conjunt te estructura natural deC-espai vectorial. El que veurem primer es que el conjunt de representacions irreductibles es unabase ortonormal d’aquest espai. Per a fer-ho, necessitem un lema:

Lema 1.2.2 Sigui f una funcio central de G i ρ una representacio de G en un C-espai vectorialV . Si ρ es una representacio irreductible de grau n, llavors l’endomorfisme

ρf =∑t∈G

f(t)ρ(t)

es una dil·latacio de rao λ = 1n

∑t∈G f(t)χ(t).

Prova:Com f es una funcio central es compleix que ρ(s−1)ρfρ(s) = ρf , i per tant ρfρ(s) = ρ(s)ρf . Aixıdoncs ens trobem sota les hipotesis del lema de Schur, i per tant ρf es una dil·latacio. A partir dela definicio de ρf sorgeix inmediatament el valor de la rao de dil·latacio. �

Vist aquest lema ja podem passar a demostrar el que deiem abans:

Teorema 1.2.1 El conjunt de caracters irreductibles associats a un grup G formen una base or-tonormal del conjunt de funcions centrals de G.

16

Prova:Siguin χ1, . . . , χl aquests caracters irreductibles. Que el conjunt es ortonormal sorgeix de les rela-cions d’ortogonalitat. Siguin χ∗1, . . . , χ

∗l elements de H∗ duals dels corresponents χ1, . . . , χl.

Per a veure que aquest conjunt de caracters genera tot H, basta veure que tot element de Hno es anul·lat per almenys algun dels χ∗i . Suposem doncs que hi hagues alguna funcio central ques’anul·les per tot element χ∗i .

Prenent ara una representacio ρ irreductible de G, l’endomorfisme ρf definit com en el lema anteriores identicament 0, ja que es tracta d’una dil·latacio de rao:

λ =1n

∑t∈G

f(t)χ(t) = 0

ja que 0 = χ∗i (f) = 1|G|∑

t∈G f(t)χ(t). Podem llavors estendre aquest fet a qualsevol representaciodescomposant-la en subrepresentacions irreductibles. Per tant, necessariament ρf es identicament0 per a qualsevol representacio que prenguem.

Considerem ara l’accio de l’endomorfisme ρf sobre l’element ve de la base de V corresponenta la representacio v. Llavors:

0 = ρf (ve) =∑t∈G

f(t)et

Si ara algun dels f(t) fora diferent de 0 haurıem trobat una combinacio lineal de elements de labase identicament igual a 0, cosa que no pot ser perque els elements de la base son linealmentindependents. �

Finalment podem comptar el nombre de representacions irreductibles de G: si G1, G2, . . . , Gk

son les diferents classes de conjugacio de G, una base de funcions centrals de G es el conjunt defuncions ψi que valen 1 sobre la classe Gi i 0 sobre la resta. Llavors es clar que la dimensio deH es k.

Segons hem vist en el teorema anterior, el nombre de caracters irreductibles formaven tambeuna base de H, amb la qual cosa el nombre de caracters irreductibles ha de ser necessariamentigual a la dimensio de H.

1.3 Aplicacio a l’estudi de grups particulars

Pretenem aplicar tota la teoria anterior en trobar totes les representacions irreductibles d’un grupdonat.

1.3.1 Grups abelians

El nombre de classes de conjugacio d’un grup abelia es |G|, ja que tot element conmuta amb totaltre, i per tant tota representacio irreductible d’un grup abelia tindra grau 1.

Recıprocament, si tota representacio irreductible de G te grau 1, llavors |G| = n21 + · · · + n2

h.Llavors cadascun del ni val 1 i per tant G te |G| classes de conjugacio. Es per tant un grup abelia.

17

Els grups abelians donen a mes propietats interessants sobre els graus de les representacions delsgrups dels quals son subgrups. En particular, com a consequencia de l’anterior tenim el seguent:

Proposicio 1.3.1 Sigui G un grup i H un subgrup abelia de G. Llavors tota representacio irre-ductible de G te grau inferior a |G|

|H| .

Prova:Prenguem ρ una representacio de G en el C-espai vectorial V . Llavors la restriccio de ρ en H(diguem-ne ρH) defineix tambe una representacio de H en V .

Sigui llavors W una subrepresentacio irreductible de ρH , que segons l’anterior ha de tenir grau1. Es compleix que el conjunt {ρ(s)(W ) : s ∈ G} es estable sota l’accio de G. Com ara ρ era unarepresentacio irreductible i els ρ(s) son endomorfismes, necessariament {ρ(s)(W ) : s ∈ G} es totV . Per una altra banda, si ara prenem s ∈ G i t ∈ H, llavors

ρ(st)W = ρ(s)(W )

ja que W es estable sobre la restriccio de ρ sobre H. Per tant, el nombre de diferents ρ(s)W escom a molt |G|

|H| , tal i com volıem veure.

�

Aquest teorema ens permet realitzar fites superiors del grau de tota representacio irreductible mesfines per les dimensions: ho verificarem en el seguent exemple.

1.3.2 Grups dihedrals: D2n

Comencem definint aquesta famılia de grups:

Definicio 1.3.1 El grup dihedral d’ordre n que denotarem per D2n es el grup que ve donat perles relacions 〈r, s : rn = 1, s2 = 1, sr = rn−1s〉.

Segons el que hem vist en l’apartat anterior, com el subgrup 〈r〉 es abelia d’ordre n, llavors totarepresentacio irreductible d’un grup dihedral tindra grau 1 o com a molt 2.

Per a comencar a estudiar les possibles representacions, inicialment cal trobar les classes de con-jugacio d’un grup dihedral. Comencem calculant les classes de conjugacio d’un element rl. Comaquest conmuta amb tot element de la forma rm, en resulta que la classe de conjugacio de rl nomesconte rl i srls−1 = srls = rn−l.

Ja tenim classificats tots els elements de la forma rl. Falta la resta: calculem la classe de conjugaciode s:

r−asra = sr2a

A vista d’aixo, hem de distinguir entre el cas en que n sigui parell i el cas en que sigui senar:

1. Suposem inicialment que n es parell. Llavors les classes de conjugacio son:

{e}, {r n2 }, {ra, rn−a}, {s, sr2a}∀a, {sr, sr2a+1}∀a

18

En tenim, doncs, 4 mes n2−1 classes. Es facil trobar les representacions de grau 1 associant de

totes les formes possibles els valors ±1 als generadors del grup. En resulten 4 representacionsde grau 1.

El que farem sera construir representacions irreductibles de grau 2 i comprobar que ja non’hi ha mes. Efectivament, fixat un enter h, considerem la representacio seguent:

ρh(rk) =

(ei 2πhk

n 00 e−i 2πhk

n

); ρh(srk) =

(0 e−i 2πhk

n

ei 2πhkn 0

)

Es facil comprobar que es tracten de representacions i que per cada h son representaci-ons irreductibles. D’aquesta forma les hem generat totes, ja que 4 + 4(n

2 − 1) = 2n, que esl’ordre del grup.

En particular, la taula de caracters del grup es la seguent:

e rk srk

χ1 1 1 1χ2 1 1 −1χ3 1 (−1)k (−1)k

χ4 1 (−1)k (−1)k+1

χh 2 2 cos( 2πhkn ) 0

2. Sigui ara n senar. Llavors les classes de conjugacio son:

{e}, {ra, rn−a}, {s, sr2a}∀a

Tenim, doncs, 2 mes n−12 classes de conjugacio. En aquest cas per a trobar les representaci-

ons de grau 1 no podem associar de forma arbitraria els valors ±1 als generadors, perque engeneral aixo no sera una representacio. De fet, nomes n’hi han dos: la identitat i la induıdapel quocient D2n/〈r〉.En quant a les representacions de grau 2, es poden construir tal i com hem fet pel cas parell,i continuen sent representacions irreductibles.

Finalment, la taula de caracters en aquest cas es:

e rk srk

χ1 1 1 1χ2 1 1 −1χh 2 2 cos( 2πhk

n ) 0

1.3.3 Producte de grups

Donats dos grups finits G1 i G2, podem construir de forma natural un nou grup G1 ×G2 amb laoperacio interna (s1, t1)(s2, t2) = (s1s2, t1t2). El que farem sera concretar totes les representacionsirreductibles de G1 ×G2 coneixent nomes les representacions irreductibles de G1 i G2.

19

Siguin ρ1 i ρ2 representacions irreductibles de G1 i G2 en V1 i V2, respectivament. Aleshores segonshem vist:

〈χi, χi〉 =1|G|

∑t∈Gi

|χi|2 = 1

on χi denota el caracter associat a la representacio ρi.

Llavors el caracter associat a ρ1 ⊗ ρ2 es χ1χ2 ( per a veure aixo, basta escriure les expressionsmatricials de les representacions i tenir en compte com opera el producte tensorial), i per tant:

1|G1 ×G2|

∑si∈Gi

|χ1(s1)χ2(s2)|2 =1|G1|

1|G2|

∑s1∈G1

∑s2∈G2

|χ1(s1)|2|χ2(s2)|2 = 〈χ1, χ1〉〈χ2, χ2〉 = 1

i d’aquesta forma ρ1 ⊗ ρ2 es una representacio irreductible de G1 ×G2.

Per tant hem sabut construir unes quantes representacions irreductibles.

Ho son totes? Doncs efectivament sı ho son: usant ara que la suma dels quadrats dels ordresde les representacions son efectivament l’ordre del grup, sorgeix directament que aquestes repre-sentacions irreductibles ho son totes.

1.3.4 Grup simetric: Sn

Introduccio als diagrames de Ferrer

Com a exemple final de la teoria de representacio de grups finits tractarem el cas del grup simetricSn. El que farem sera construir els anomenats tableauxs de Young i relacionar-los directament ambels caracters de les representacions irreductibles del grup.

La importancia d’estudiar les representacions irreductibles de Sn es evident: sigui G un grupfinit d’ordre |G|. Llavors admet una inmersio en S|G|!. Les representacions irreductibles sobreaquest segon ens indueixen representacions irreductibles sobre G que es de forma en general el fetque ens interessa coneixer.

Per comencar ja sabem que el nombre de representacions irreductibles de Sn es correspon pre-cisament amb el nombre de particions de l’enter n: fixat n, una particio de n es un conjunt0 < λ1 ≤ λ1 ≤ · · · ≤ λk de tal forma que λ1 + · · · + λk = n. Denotarem aquesta particio segons(λ1, λ2, . . . , λk)n.

La teoria de les funcions generadores ( una eina fonamental en camps de la matematica, comla combinatoria enumerativa, teoria de nombres, . . . ) ens dona el nombre de particions de n, an,segons el desenvolupament formal en serie de potencies de la funcio:

P (z) =∞∏

n=1

11− zn

=∞∑

n=1

anzn

Per a veure aquesta afirmacio basta prendre una permutacio arbitraria i descomposar-la en pro-ducte de cicles disjunts. Llavors com la classe de conjugacio corresponent a un cicle d’ordre n es elconjunt de cicles d’ordre n, se’n dedueix que la descomposcio en cicles disjunts de la permutacioindueix una particio de n.

20

Una manera comoda i molt usada per tal de representar una determinada particio d’un enter n esl’anomenat diagrama de Ferrer o esquema de Young: donada la particio (λ1, λ2, . . . , λk)n, eldiagrama de Ferrer corresponent simplement consisteix en prendre un taulell en el que la primerafila te λ1 posicions ocupades, la segona fila λ2 posicions ocupades, i aixı de forma successiva.

Aixı, per exemple, pel cas de S3, nomes tenim 3 possibles esquemes, que es corresponen ambels seguents:

corresponents a les particions (3)3, (2, 1)3 i (1, 1, 1)3

Per fixar notacio, cadascuna de les caselles del esquema de Young la denotarem per la seves co-ordenades enteres (−r,−s), tenint en compte que la casella superior esquerra tindra coordenades(−1,−1). El conjunt de caselles (o l’esquema vist com a unio de caselles) el denotarem per casλ.

Per tal de trobar totes les representacions irreductibles del grup Sn necessitem primer desenvoluparuna mica de resultats relatius a aquestes estructures combinatories.

Propietats combinatories i ordre lexicografic

Per comencar, observar que donat un esquema de Young, podem escriure de n! maneres els nombres1, 2, . . . , n en les diferents caselles que el formen. En particular, tenim la seguent definicio:

Definicio 1.3.2 Donada λ = (λ1, . . . , λk)n particio de n, una assignacio dels nombres 1, 2, . . . , na les caselles de l’esquema de Young s’anomena diagrama de Young i ho denotarem per Yλ.

Fixat un diagrama de Young Yλ es natural preguntar-se com actua sobre ell una permutacio deSn. Pel que segueix, si g ∈ Sn, denotarem aquest nou diagrama de Young permutat per gYλ.

Observar que el conjunt de permutacions que deixen invariants les files (en el sentit que un elementd’una fila donada va a parar segons la permutacio a una casella de la mateixa fila) es un subgrup deSn. De forma similar per les permutacions que deixen invariants les columnes. Denotarem aquestssubgrups per FYλ

i CYλ.

Abans de passar a demostrar res, observar que donat un diagrama de Young, podem associar-li de forma natural una permutacio: basta prendre el producte de cicles de longitud λ1, . . . , λk ambels corresponents elements de cada fila indicats segons el diagrama i de dreta a esquerra.

21

Definicio 1.3.3 Donat el diagrama de Young Yλ, la permutacio gYλconstruıda abans s’anomena

permutacio associada al diagrama de Young Yλ.

Amb aquestes premises podem enunciar un petit resultat que ens sera util pel que seguira:

Proposicio 1.3.2 Donat el diagrama de Young Yλ, la seva permutacio associda gYλi una permu-

tacio arbitraria h ∈ Sn,

1. ghYλ= hgYλ

h−1

2. FhYλ= hFYλ

h−1 i ChYλ= hCYλ

h−1

Prova:Sorgeix, tant l’una com l’altra, del fet que tota permutacio pot escriure’s com a producte de ciclesdisjunts i de que, fixat un k-cicle (a1, a2, . . . , ak), llavors:

h(a1, a2, . . . , ak)h−1 = (h(a1), h(a2), . . . , h(ak))

�

Pel que seguira despres, tambe sera necessari establir un ordre lexicografic en el conjunt de lesparticions. Anem a definir aquest ordre:

Definicio 1.3.4 Donades α = (α1, α2, . . . , αr)n i β = (β1, β2, . . . , βs)n dues particions de n, diemque la particio α es superior a β si la primera diferencia no nul·la αi − βi es positiva. Hoescriurem dient que α > β.

En aquesta definicio s’enten que si, per exemple, r > s, llavors βs+1 = · · · = βr = 0. ( o, equiva-lentment, que β = (β1, β2, . . . , βs, 0, 0, . . . , 0)n)

La definicio d’aquest ordre lexicografic ens permet demostrar un lema de caracteritzacio de di-agrames de Young:

Lema 1.3.1 Donades dues particions de n α = (α1, α2, . . . , αr)n i β = (β1, β2, . . . , βs)n, i suposantque

1. α > β

2. Dos elements de la mateixa columna de Yα no es troben en la mateixa fila de Yβ

En aquesta situacio es te que:

1. α = β

2. Yα = pqYβ, amb p ∈ FYαi q ∈ CYα

22

Prova:Donarem nomes una idea de la demostracio: com en particular α ≥ β, la primera fila de Yα estaformada de α1 nombres, que segons la segona hipotesi estan ubicats en diferents columnes de Yβ .Necessariament s’ha de complir que β1 ≥ α1, i per tant β1 = α1. D’aquesta forma, existeix unapermutacio q1 ∈ CYβ

que fa que Yα i q1Yβ tinguin la mateixa primera fila igual. Podem eliminar,doncs, la primera fila i passar a la segona.

Repetint aquest raonament de forma successiva, arribem a que necessariament α = β i queYα = qhqh−1 . . . q1Yβ .

Falta veure la segona part de la demostracio. Per a tal, basta emprar la relacio existent entreels subgrups de permutacions de files i els subgrups de permutacions de columnes dels diagramesYλ i gYλ.

�

Simetritzadors de Young i l’algebra de Sn

El que farem ara sera introduir alguns elements de l’algebra C[Sn] que ens seran d’utilitat pel queseguira posteriorment. Comencarem introduint dos elements de l’algebra per a passar posterior-ment a un tercer que anomenarem simetritzador de Young.

Sigui doncs Yλ un diagrama de Young i els seus grups corresponents FYλi CYλ

. Definim llavors elsdos elements seguents:

fYλ=∑

p∈FYλ

p

cYλ=∑

q∈CYλ

σqq

on σ : Sn → {±1} denota el morfisme signatura.

Es facil comprobar que les seguents identitats es compleixen:

1. pfYλ= fYλ

p = fYλ

2. σqqcYλ= cYλ

3. f2Yλ

= |FYλ|fYλ

4. c2Yλ= |CYλ

|cYλ

El lema demostrat ens permet demostrar el seguent resultat relatiu a aquests elements:

Corol·lari 1.3.1 Siguin dues particions α > β. Llavors:

1. fYλgcYβ

g−1 = 0 per qualsevol g ∈ Sn.

2. fYλacYβ

= 0 per a tot element a de l’algebra C[Sn].

23

Prova:Primer demostrarem que fYα

cYβ= 0 per a α > β. Pel lema anterior, es necessari per tal que α 6= β

que existeixi una parella i, j de tal forma que aquests dos naturals es trobin en una mateixa filade Yα i la mateixa columna de β. Considerem, llavors, la transposicio τ = (i, j), que es un elementtant de FYα

com de CYβ. Usant les dues primeres propietats anteriors se’n dedueix que:

fYαcYβ= fYαt(−tcYβ

) = −fYαcYβ

d’on necessariament fYαcYβ= 0.

Observar ara que si es demostra l’apartat 1, l’apartat 2 quedara demostrat per linealitat: siguia =

∑g∈G aig, aleshores segons 1 es te que fYλ

gcYβg−1 = 0, i en particular fYλ

gcYβ= 0. Sumant-

los tots ara segons els coeficients ai obtenim el resultat.

Finalment, per a 1, basta aplicar l’anterior sobre els diagrames Yα i gYβ . �

Passem ara a emprar un element de l’algebra C[Sn] que ens sera de gran utilitat per al nostreproposit. Suposem fixat un determinat diagrama de Young Yλ. Podem considerar l’element del’algebra del grup seguent:

hYλ=

∑p∈FYλ

;q∈CYλ

σqpq = fYλcYλ

Definicio 1.3.5 L’element anterior s’anomena simetritzador de Young de Yλ.

Es inmediat demostrar que per a p ∈ FYλi q ∈ CYλ

es te que phYλσqq = hYλ

.

Tambe es evident, usant les propietats dels elements fYλi de cYλ

, que si α i β son dues trans-posicions diferents, llavors hYαhYβ

= 0

No es tant evident, pero, demostrar el seguent:

Lema 1.3.2 Si per qualsevol parella (p, q) amb p ∈ FYλi q ∈ CYλ

, es compleix que paσqq = a,llavors a = khYλ

.

Prova:Suposem certa la igualtat anterior per a un cert a =

∑g∈G agg. Escribint la condicio:∑

g∈G

σqagpgq =∑g∈G

agg

d’on es dedueix comparant terme a terme que per forca σqae = apq.

Considerem primer que un h, element de G, no s’escriu de la forma pq descrita com abans. Conside-rem els diagrames Yλ i hYλ. Segons el lema que hem demostrat abans, necessariament han d’existiruna parella d’elements i,j tals que es troben en una mateixa fila de Yλ i en una mateixa colum-na de hYλ. Aixı doncs la transposicio τ = (i, j) es un element tant de FYλ

com de ChYλ= hCYλ

h−1.

Prenent ara com p l’element τ i com q l’element h−1τh i aplicant novament la formula, en re-sulta que necessariament ah = 0.

24

Per tant, hem obtingut que:a =

∑p,q

σqaepq = aehYλ

que es el que volıem demostrar. �

Una vegada vist aixo, es inmediat demostrar el seguent corol·lari:

Corol·lari 1.3.2 Es te que per qualsevol element b de l’algebra, hYλbhYλ

= khYλ, i en particular

h2Yλ

= khYλ.

Prova:Basta prendre l’element a = hYλ

bhYλ, que compleix les hipotesis del lema anterior. �

Construccio explıcita de les representacions irreductibles de Sn

Ja tenim ara totes les eines necessaries per tal de construir les representacions irreductibles queestavem buscant. Per a tal cosa, introduım el conjunt IYλ

= C[Sn]hYλ. Es evident que aquest

conjunt es un ideal per l’esquerra de C[Sn] i que te mes d’un element perque hYλen particular es

diferent de 0.

El resultat principal que busquem es el seguent:

Proposicio 1.3.3 L’ideal per la esquerra IYλes un ideal minimal de C[Sn].

Prova:Estudiem primer el conjunt hYλ

IYλ= hYλ

C[Sn]hYλ. Segons hem vist abans, fixat un element

a ∈ C[Sn], es compleix que hYλahYλ

= khYλ. Aixı hYλ

IYλ⊆ ChYλ

.

Suposem ara que existeix un ideal per l’esquerra ( diguem-li I) contingut en IYλ. En particu-

lar hYλI ⊆ ChYλ

. Com aquest segon es unidimensional nomes pot donar-se que:

1. hYλI = ChYλ

; llavors per forca I = IYλ.

2. hYλI = {0}; en consequencia, I2 ⊆ IYλ

I = C[Sn]hYλI = {0}, i per tant I2 = {0}, d’on es

dedueix que I = {0}, ja que una involucio en una algebra es no degenerada.

En definitiva, hem acabat demostrant que que IYλes un ideal per l’esquerra minimal, tal i com

volıem veure. �

I ara nomes cal veure que dues representacions corresponents a particions diferents no son equiva-lents:

Proposicio 1.3.4 Siguin α i β dues particions diferents de n. Llavors les representacions induıdesa partir de la representacio regular TYα

i TYβno son equivalents.

25

Prova:Sense perdua de generalitat podem suposar que α > β. Llavors,

fYλC[Sn]hYβ

= fYλC[Sn]fYβ

cYβ⊆ fYλ

C[Sn]cYβ= {0}

segons ja hem vist en analitzar aquests elements de l’algebra. Per tant tenim que fYαIYβ

= {0},mentre que fYαIYα conte l’element hYα , que es diferent de 0.

Vist aixo, suposem que que les representacions de Sn corresponents a aquestes particions ( defet, a un diagrama associat a cadascuna de les particions), que denotarem per TYα

i TYβson irre-

ductibles. Llavors les corresponents representacions de l’algebra tambe son equivalents; aixo no hohem demostrat, pero es una simple comprobacio.

En aquesta situacio, es compleix que existeix un isomorfisme entre IYαi IYβ

que compleix

τ ◦ TYα(a) = TYβ

(a) ◦ τ

on estem confonent la representacio del grup amb la extensio corresponent a l’algebra. Prenentl’element a = fYα

, arribem a una contradiccio, ja que

(TYα(fYα))(IYα) = fYαIYα 6= {0}

mentre que

τ−1 ◦ TYβ(fYα) ◦ τ(IYα) = τ−1 ◦ TYβ

(fYα)(IYβ) = τ−1(fYαIYβ

) = {0}

i aixı, doncs, hem arribat a una contradiccio. �

Finalment hem pogut trobar totes les representacions irreductibles de Sn. En concret:

Teorema 1.3.1 Per a cadascuna de les particions de n, triem un diagrama de Young qualsevoli construım el simetritzador corresponent hYλ

. Llavors els ideals IYλson invariants per la re-

presentacio regular i la restriccio d’aquesta representacio sobre IYλdona lloc a una representacio

irreductible.

Prova:Es exactament el que acabem de veure �

Observar que, d’aquesta forma les estem construint totes perque en trobem tantes com classes deconjugacio, que ja sabem que es el nombre de representacions irreductibles del grup, i que duesrepresentacions irreductibles corresponents a particions diferents no poden ser equivalents.

Observacio 1.3.1 Segons el que hem vist, una particio dona lloc a una representacio irreductible,i nomes a una. Malgrat aixo, per al seu calcul explıcit necessitem prendre un diagrama de Youngconcret i realitzar el calcul explıcit. Com veurem mes endavant, la representacio es ıntrinseca alesquema de Young que estiguem considerant.

Caracters associats a les representacions irreductibles de Sn

Una vegada construıdes totes les representacions irreductibles, el que finalment cal es trobar lataula de caracters corresponents associats a cada representacio irreductible. Amb el que hem fet

26

aquı, podem calcular els caracters directament.

En particular, es te el seguent:

Teorema 1.3.2 El caracter χλ d’una representacio irreductible TYλdel grup Sn es pot escriure

segonsχλ(g) =

nλ

n!

∑h∈Sn

hYλ(h−1g−1h)

on nλ denota la dimensio de la representacio i hYλ(g) es el coeficient de g en l’element hYλ

(g).

Prova:Veure els detalls, per exemple, [Nai82]. �

Per a poder aplicar aquest resultat simplement ens fa falta coneixer el grau de la representacio.

Pero aixo ho podem fer a partir del que ja hem fet:

Teorema 1.3.3 Es compleix que, donat un diagrama de Young Yλ, llavors h2Yλ

= nλ

n! hYλ.

Prova:Ja havıem vist abans que h2

Yλ= khYλ

, i ens faltava calcular explıcitament aquesta constant. Perals detalls de la demostracio, consultar [Nai82]. �

Ja tenim, doncs, totes les eines necessaries per tal de calcular els caracters d’un grup simetricdonat. Per simplicitat, aplicarem tota aquesta teoria al grup S3, encara que amb una mica mes defeina el que farem pot estendre’s a grups simetrics d’ordre mes elevat.

Exemples: calculs explıcits per a S3 i comentaris per a S4

Finalment calcularem la taula de caracters de S3 i donarem indicacions per a S4, segons el metodeque hem realitzat fins ara.

Comencem pel primer: tal i com ja hem indicat, les possibles particions de 3 venen donadespels esquemes de Young

27

Aixı, el primer que hem de fer es ordenar les particions segons ordre lexicografic i associar a cadacasella de cada particio els nombres {1, 2, 3} per a tenir 3 diagrames de Young.

Podem prendre, per exemple, els seguents diagrames:

Per agilitzar la notacio, denotarem els diagrames de Young propiament per la particio que deter-minen.

La taula de conjugacio del grup es la seguent:

e (12) (13) (23) (123) (132)e e e e e e e

(12) (12) (12) (23) (13) (13) (23)(13) (13) (23) (13) (12) (23) (12)(23) (23) (13) (12) (23) (12) (13)(123) (132) (123) (123) (123) (132) (132)(132) (123) (132) (132) (132) (123) (123)

amb g en la fila i-essima, h en la columna j-essima i en la posicio ij l’element h−1g−1h.

Anem a realitzar ara el calcul de la taula de caracters:

1. λ = (3)3. En aquest cas, FY(3)3= S3 i CY(3)3

= {1}. Per tant el simetritzador de Young es:

hY(3)3=∑g∈S3

g

i en consequencia IY(3)3= ChY(3)3

, ja que per a tot element g ∈ S3, ghY(3)3= hY(3)3

.

Com ara h2Y(3)3

= 6hY(3)3, se’n dedueix que la dimensio de la representacio es n(3)3 = 1.

Finalment calculem la taula de caracters: com hY(3)3(h−1g−1h) = 1 i en virtut de la taula

anterior, es te que χ(3)3(g) = 1 per a tot g ∈ S3. Es correspon, doncs, amb el caracter trivial.

2. Tractem ara λ = (2, 1)3. En aquest cas pel diagrama abans mostrat, es te que FY(1,2)3= 〈(12)〉

i CY(1,2)3= 〈(13)〉. Per tant, el simetritzador de Young en aquest cas es:

hY(2,1)3= e+ (12)− (13)− (132)

Calculant el producte h2Y(2,1)3

= 3hY(2,1)3, amb la qual cosa la dimensio de la representacio

corresponent sera n(2,1)3 = 2.

28

Per tant, els caracters seran els seguents:

χ(2,1)3(e) = 2χ(2,1)3((12)) = 1

3 (2− 2) = 0χ(2,1)3((13)) = 1

3 (2− 2) = 0χ(2,1)3((23)) = 1

3 (2− 2) = 0χ(2,1)3((123)) = 1

3 (−3) = −1χ(2,1)3((132)) = 1

3 (−3) = −1

3. Finalment, el cas de la particio (1, 1, 1)3 associant-li el diagrama de Young adjunt dona lloca FY(1,1,1)3

= S3 i CY(1,1,1)3= {1}, i en consequencia el simetritzador de Young es:

hY(1,1,1)3= e− (12)− (13)− (23) + (123) + (132)

El producte h2Y(1,1,1)3

es igual a 6hY(1,1,1)3, i per tant la dimensio de la representacio corres-

ponent sera n(1,1,1)3 = 1.

Els caracters seran els seguents:

χ(1,1,1)3(e) = 1 =χ(1,1,1)3((12)) = 1

6 (−6) = −1χ(1,1,1)3((13)) = 1

6 (−6) = −1χ(1,1,1)3((23)) = 1

6 (−6) = −1χ(1,1,1)3((123)) = 1

6 (6) = 1χ(1,1,1)3((132)) = 1

6 (6) = 1

Es a dir, el caracter coincideix amb el morfisme signatura.

Aixı doncs la taula de caracters de S3 es la seguent:

e (12) (13) (23) (123) (132)χ(3)3 1 1 1 1 1 1χ(2,1)3 2 0 0 0 −1 −1χ(1,1,1)3 1 −1 −1 −1 1 1

Observacio 1.3.2 Observar que de forma natural, les particions (n)n i (1, 1, . . . , 1)n donen llocals caracters trivial i signatura per a qualsevol n.

29

No tractarem exhaustivament el cas de S4: en el cas que tractem el grup S4, les possibles particionsvenen donades pels esquemes

i la taula de caracters sobre les classes de conjugacio es:

1 (ab) (ab)(cd) (abc) (abcd)χ1 1 1 1 1 1χ2 1 −1 1 1 −1χ3 2 0 2 −1 0χ4 3 1 −1 0 −1χ5 3 −1 −1 0 1

Malgrat que en els exemples que hem tractat no es posa d’especial rellevancia, les taules de caractersdels grups Sn contenen nomes enters.

Calculs efectius

Malgrat que la teoria desenvolupada permetria (amb una mica de feina, tot s’ha de dir!) el calcul detots els caracters de Sn, existeixen raonaments de tipus combinatori que permeten arribar a resul-tats igualment satisfactoris simplement partint del diagrama de Ferrer de la corresponent particio.Es el que s’introduira en aquesta seccio, amb algun exemple pero sense demostracions. [Ster94]dona una visio d’aquests resultats de forma forca dirigida a resoldre problemes fısics, mentre que[Sag91] dona una visio mes combinatoria del problema.

En concret, el que es fara es introduır dos algoritmes que permeten realitzar el calcul de la dimensiode la representacio (regla dels hooks) i per altra banda introduir la regla de Murnaghan-Nakayama,que permet el calcul dels caracters corresponents.

Comencem pel primer cas: donat l’esquema de Young de la particio λ = (λ1, λ2, . . . , λk)n den, definim per a cadascuna de les caselles del diagrama la seva longitud de hook com la suma deles caselles que te a sota amb les de les caselles que li queden a la dreta mes 1. denotem la sevalongitud de hook com H(−r,−s).

30

Segons aixo:

dim(TYλ) =

n!∏(−r,−s)∈casλ H(−r,−s)

aquesta formula permet el calcul de les dimensions de forma totalment eficient. Veguem algunexemple per tal d’aclarir idees:

Exemple 1.3.1 Considerem el grup S13 i l’esquema de Young corresponent a la particio (5, 2, 2, 2, 1, 1)13:

escribim en cadascuna de les caselles el seu hook corresponent. Amb aixo, el que s’obte es elseguent:

i per tant la dimensio de TY(5,2,2,2,1,1)13es:

dim(TY(5,2,2,2,1,1)13) =

13!10 · 7 · 3 · 2 · 6 · 3 · 5 · 2 · 4 · 2

= 10296

Aixı la dimensio d’aquesta representacio irreductible de S13 es 10296.

Una vegada vist la manera de calcular la dimensio d’una representacio partint del seu esquemade Young, el que farem sera partir d’una classe de conjugacio i trobar l’element de la taula delcaracter de la representacio. Aquest element sera arbitari, amb la qual cosa, amb el metode ques’explicara es podra reconstruir la taula del caracter associat a qualsevol esquema de Young.

Per a arribar a la regla de Murnaghan-Nakayama calen primer unes petites definicions relatives alsesquemes de Young:

Definicio 1.3.6 Donada una particio λ = (λ1, λ2, . . . , λk)n, i el seu corresponent casλ, el seuperfil es la poligonal formada per la frontera les caselles de casλ que no tenen cap altra casella ala dreta i cap casella per sota.

31

Definicio 1.3.7 El marge de casλ es el conjunt de caselles amb algun punt sobre el perfil de casλ.

En el cas de l’exemple que hem introduıt abans, el marge i el perfil son els seguents:

Coneixent ja aquests dos conceptes, el que farem sera construir particions de nombres mes petitsemprant el nostre esquema de Young inicial. En concret:

Definicio 1.3.8 Un s-retall del esquema de Young casλ, que denotarem per casλ†s amb la particioλ = (λ1, λ2, . . . , λk)n i λ1 + λ2 + · · · + λk = n, es un nou esquema de Young corresponent a unaparticio de n − s obtinguda extraient s caselles contıgues en l’ordre fixat pel perfil del marge decasλ, sempre que el que en resulti sigui un nou esquema de Young.

Definicio 1.3.9 L’altura d’un s-retall en la particio λ (que denotarem per h(casλ†s) es la di-ferencia entre la ordenada de la casella amb ordenada maxima i la ordenada de la casella ambordenada mınima.

Igual que abans, en l’exemple que estem treballant, indiquem un 5-retall:

Observar que aquest 5-retall es la particio λ′ = (5, 2, 1)8, i que te altura h(cas(5,2,2,2,1,1)†5) = 3.

Amb totes aquestes definicions a la butxaca, ja podem passar a enunciar la regla de Murnaghan-Nakayama:

Teorema 1.3.4 (Regla de Murnaghan-Nakayama) Sigui λ una particio de n, i µ = [µ1, µ2, . . . , µr]una classe de conjugacio de Sn. Denotant per µ′ = [µ2, . . . , µr] una classe de conjugacio de Sm

per m ≤ n, es compleix que el valor del caracter associat a λ en la classe de conjugacio µ ve donatper:

χλ(µ) =∑

µ1−retalls

(−1)h(casλ†s)χλ†µ1

on s’esta abreujant la notacio dient que λ†µ1 es l’esquema de Young associat a un cert µ1-retall.

32

Aixo dona una expressio recursiva per al calcul de qualsevol caracter. En concret, qualsevol elementde la taula de caracters de qualsevol representacio irreductible de qualsevol Sn haura de ser unnombre enter. Per a veure el funcionament d’aquest algorisme, el que farem sera fer el calcul perl’exemple que hem estat tractant fins ara:

Exemple 1.3.2 Donada la particio λ = (5, 2, 2, 2, 1, 1)13, volem calcular el valor del caracterassociat a aquesta particio sobre la classe de conjugacio definida per µ = [5, 3, 3, 2]. L’unic 5-retallpossible de casλ es el que hem indicat abans, que tenia altura 3, i que verifica que cas(5,2,2,2,1,1)13†5 =cas(5,2,1)8 . Aixı, doncs, hem obtingut que:

χ(5,2,2,2,1,1)13([5, 3, 3, 2]) = (−1)3χ(5,2,1)8([3, 3, 2]) = −χ(5,2,1)8([3, 3, 2])

Per tant, obtenim el seguent esquema de Young, on tambe s’indica el perfil i el marge:

Novament, al calcular ara els 3-retalls, obtenim dos possibilitats:

amb altures 1 i 0 respectivament. Aplicant novament la regla de Murnaghan-Nakayama, obtenimque:

χ(5,2,1)8([3, 3, 2])) = −χ(5)5([3, 2]) + χ(2,2,1)5([3, 2])

la primera es correspon amb la representacio trivial i val 1, i per aquesta part ja hem acabat.

La segona es correspon al esquema seguent, on ja s’indica tant el marge com el perfil com l’u-nic 3-retall possible:

Per tant, i ja per acabar, novament apliquem la regla per obtenir:

χ(2,2,1)5([3, 2]) = −χ(2)2([2]) = −1

En definitiva, χ(5,2,1)8([3, 3, 2])) = −2 i per tant χ(5,2,2,2,1,1)13([5, 3, 3, 2]) = 2, que es el que volıemcercar.

33

Capıtol 2

Algunes pinzellades de grups ialgebres de Lie

Una vegada tractada ja la teoria basica de representacions, canviem totalment de tema. En aquestapartat introduırem tots els conceptes propis de la geometria diferencial que ens faran falta pera tractar els grups rellevants en el marc de la fısica matematica. Es suposa que el lector ja estafamiliaritzat amb el llenguatge propi de la geometria diferencial.

2.1 Grups topologics, grups de Lie i grups compactes

En el context en el que ens mourem tractarem grups dotables d’estructura diferenciable. Aquestaparticularitat en varietats diferenciables permetra deduir propietats remarcables. Necessitem, pero,partir d’estructures mes basiques per tal de poder arribar a aquest concepte. En concret:

Definicio 2.1.1 Un grup G es diu que te estructura de grup topologic si com a conjunt estadotat d’una topologia que fa que les aplicacions ∗ : G×G −→ G i i : G −→ G, definides per

∗(g, h) = gh

ii(g) = g−1

siguin aplicacions contınues.

Se’n dedueix inmediatament que la aplicacio

Lg : G → Gh 7→ gh

es un homeomorfisme de G amb si mateix.

Definicio 2.1.2 L’aplicacio anterior s’anomena translacio per l’esquerra.

34

En el que seguira despres, es posara especial rellevancia en aquells grups topologics que amb latopologia corresponent resultin ser compactes.

En concret:

Definicio 2.1.3 Un grup topologic G ( amb el conjunt d’oberts corresponents) es diu que es ungrup topologic compacte ( o simplement grup compacte) si l’obert G es un conjunt compactede la topologia.

El fet que un grup sigui dotat de topologia proporciona a l’espai propietats realment fortes. Perexemple:

Proposicio 2.1.1 Sigui G un grup topologic. Llavors tot subgrup obert es alhora un conjunttancat.

Prova:Sigui H un subgrup obert. Llavors G \H es pot escriure com a unio dels conjunts oberts gH, ambg ∈ G arbitraris i no continguts en H. Tots aquests conjunts son oberts perque coincideixen ambla imatge de H segons el homeomorfisme Lg. Aixı, doncs

G \H =⊔

g∈G\H

gH

que tanmateix es obert perque es unio d’oberts. Per tant, H tambe es tancat. �

Aquestes definicions i propietats sorgeixen propiament de la topologia, pero els grups que tractarempoden ser dotats de mes estructura. De fet, els grups que tractarem seran grups de Lie: grupsque a mes son varietats diferenciables.

Mes concretament:

Definicio 2.1.4 Un grup topologic G es un grup de Lie si esta dotat d’una estructura diferenci-able en la que les aplicacions ∗ : G×G −→ G i i : G −→ G, definides com abans, son aplicacionsdiferenciables.

De fet, que aquestes dues aplicacions siguin diferenciables es equivalent a que ho sigui l’aplicacio∗−1 : G×G −→ G, definida per ∗−1(g, h) = gh−1.

El fet que una varietat com aquesta tingui, a mes, estructura de grup permet que la varietatdiferenciable tingui propietats que en general no son certes, i permet traslladar propietats del grupa propietats de la varietat. Per exemple podem traduir l’estructura de grup de Lie als subgrupsd’un grup de Lie donat.

En particular, tenim el seguent:

Definicio 2.1.5 Un subgrup H d’un grup de Lie G es diu que es un subgrup de Lie de G sies una subvarietat de G i un grup de Lie amb una estructura diferenciable induıda per la sevainmersio en G.

35

I en aquesta situacio es inmediat demostrar que si H es un subgrup de G i a mes es una subvarietatregular de G, llavors pot dotar-se d’estructura de grup de Lie induıda per la estructura de grupde Lie de G. Aquest fet sera important despres perque els grups que tractarem seran vistos coma subgrups i varietats regulars de GL(n,R), que tambe veurem que pot dotar-se d’estructura degrup de Lie.

Havent vist ja el que es un grup de Lie, falten aplicacions que ens relacionin grups de Lie en-tre ells. Es el que passem a definir ara:

Definicio 2.1.6 Donats G, Q dos grups de Lie, i una aplicacio f : G −→ Q diem que f es unmorfisme de grups de Lie si f es una aplicacio diferenciable entre varietats i morfisme degrups.

2.2 L’algebra de Lie d’un grup de Lie

Sigui G un grup de Lie. Llavors la aplicacio translacio per l’ esquerra:

Lg : G → Gh 7→ gh

es un difeomorfisme, i aixı la corresponent aplicacio tangent TeLg : TeG −→ TgG es un isomor-fisme d’espais vectorials. Per tant, l’estructura de l’espai tangent en cada punt de la varietat esisomorfa a la d’un punt arbitari; per exemple en l’element neutre. El fet que la nostra estructuradiferenciable sigui un grup ens permetra dotar l’espai tangent en qualsevol punt ( en particular,l’espai tangent en el neutre) d’estructura d’algebra de Lie.

Efectivament, el subconjunt de X(G) compres pels camps Lg invariants per l’esquerra, o de formaequivalent els camps vectorials diferenciables Lg−relacionats amb ells mateixos ( i.e. TLg ◦X =X ◦ Lg) es una subalgebra de Lie de X(G) amb el parentesi de Lie de X(G). D’aquesta forma,tot camp invariant per l’esquerra ens defineix una derivacio puntual en el element neutre de G i,recıprocament fixat un element u ∈ Te(G), el camp vectorial Xu definit segons:

Xu : G → TGg 7→ Te(Lg)u

es un element de X(G) invariant per l’esquerra. En definitiva, existeix un isomorfisme lineal entrederivacions puntuals en l’element neutre de G (o d’un punt arbitari de G) i el conjunt de campsvectorials diferenciables de G invariants per l’esquerra.

Amb aquesta observacio podem passar a dotar TeG d’estructura d’algebra de Lie: donats u,v ∈TeG, existeixen dos camps vectorials diferenciables invariants per l’esquerra sobre G, diguem-losXu i Xv, que en el neutre restringeixen en u i v, respectivament. En aquesta situacio podem fer laseguent definicio:

[u, v]TeG = [Xu, Xv]G|eEs, llavors evident que el parentesi [·, ·]TeG compleix les propietats d’un parentesi de Lie, ja que lescompleix el parentesi [·, ·]G. Aixı doncs, hem dotat TeG d’estructura d’algebra de Lie utilitzant elparentesi definit globalment, realitzant el calcul i restringint novament sobre el element neutre.

Mes en concret:

36

Definicio 2.2.1 Donat un grup de Lie G, l’algebra de Lie de G (que denotarem per LG o Gindistintament) es l’espai vectorial TeG amb el parentesi de Lie tal i com s’ha definit en el queprecedeix.

En el que segueix denotarem el parentesi de Lie sobre TeG simplement per [·, ·].

Observacio 2.2.1 En tot el precedent hem emprat les translacions per l’esquerra, pero tot el rao-nament seria igualment valid prenent translacions per la dreta. De fet, l’algebra de Lie que s’obtees isomorfa a la algebra de Lie obtinguda mitjancant la translacio per l’esquerra.

El fet que puguem traduır via un isomorfisme elements de l’algebra en tot punt de la varietat per-met derivar-ne que tot grup de Lie es paral·lelitzable: prenent una base de G, els camps vectorialsinvariants per l’esquerra en resulten linealment independents (ja que, en particular son linealmentindependents en tot punt), amb la qual cosa hem construıt una base de camps vectorials sobre G.

Finalment, observar que si H es un subgrup de Lie de G, llavors la inclusio natural i : H ↪→ Gindueix una injeccio d’algebres de Lie Tei : H ↪→ G. Aixı l’algebra de Lie de H es una subalgebrade Lie de G.

La introduccio d’aquesta algebra es posara de manifest en el que segueix: sigui f : G −→ Qun morfisme de grups de Lie. En particular, com f(e) = e, f indueix una aplicacio tangentTef : TeG ' G −→ TeQ ' Q. Es a dir, indueix un morfisme d’espais vectorials que, de fet, es mor-fisme d’algebres de Lie. ( Aixo caldria demostrar-ho, pero sorgeix inmediatament de la linealitatdel operador Tef i de la seva conmutacio amb la diferenciacio)

La pregunta natural es si el recıproc es cert: donat un morfisme d’algebres de Lie, podem re-construir el morfisme de grups de Lie inicial? La resposta es que, de fet, tot morfisme d’un grup deLie connex G en un grup de Lie Q arbitrari ve unicament determinat per la seva aplicacio tangenten el neutre de G. Es podria dir que aquest es el primer resultat propi de la teoria de grups de Lie.

Per a demostrar-ho, necessitem primer un lema:

Lema 2.2.1 Sigui f : G −→ Q un morfisme de grups de Lie. Aleshores, per a qualsevol g ∈ G iv ∈ G, es te que

Tef ◦ (Te(Lg))(v) = Te(Lf(g)) ◦ (Tef)(v)

Prova:Per ser f un morfisme, es te el seguent diagrama conmutatiu:

G G

Q Q

//Lg

��

f

��

f

//Lf(g)

que es tradueix en morfismes d’algebres segons:

G G

Q Q

//TeLg

��

Tef

��

Tef

//TeLf(g)

37

i com el diagrama tambe conmuta, se’n dedueix de manera trivial el que es volia demostrar. �

Finalment ja podem demostrar el teorema:

Teorema 2.2.1 Tot morfisme d’un grup de Lie connex G en un grup de Lie arbitrari Q ve deter-minat de forma unica per la aplicacio que s’indueix entre les algebres de Lie corresponents.

Prova:Sigui f : G −→ H un morfisme de grups de Lie i volem recuperar f coneixent nomes Tef .

Per a tal cosa, considerem una corba diferenciable γ : [0, 1] −→ G, amb γ(0) = e i γ(1) = g.

Tenim el diagrama seguent:[0, 1] ⊆ R R

G G

//Lt

��

γ

��

γ

//Lγ(t)

Llavors usant la aplicacio TeLg : TeG −→ TgG el vector tangent a la corba en el punt t ( quedenotem per γ′(t)) pot escriure’s com

γ′(t) = Te(Lγ(t))(v)

on v denota el vector tangent a la corba en el neutre. Utilitzant ara el lema anterior, tenim que

Tγ(t)f ◦ (γ′(t)) = Tγ(t)(Lf(γ(t))) ◦ (Tγ(t)f)(v)

Escribint ara ζ(t) = f(γ(t)) i τ(t) = Tγ(t)(v), llavors la relacio anterior pot escriure’s com ζ ′(t) =ζ(t)τ(t), ja que

ζ ′(t) = Tγ(t)f ◦ (γ′(t))

Si ara analitzem el que tenim i el que ens fa falta, arribem al seguent: si coneixem Tef , tam-be coneixem l’aplicacio τ(t). Per tant, la equacio ζ ′(t) = ζ(t)τ(t) es una equacio diferencial encoordenades amb condicions inicials ζ(0) = e, que pel teorema d’existencia i unicitat de solucionsd’equacions diferencials ordinaries ( aplicat en el nostre cas) te solucio unica.

Per tant, el punt ζ(1) = f(g) esta determinat de manera unica, tal i com volıem demostrar.�

2.2.1 Subgrups uniparametrics i exponenciacio

En els problemes fısics que tractarem mes endavant apareixeran moltes vegades grups de transfor-macions que vindran indexats per un parametre (per exemple, es tractara en detall el conjunt degirs al voltant d’un o de diversos eixos). El nostre objectiu aquı es definir formalment aquest feten el context dels grups de Lie.

38

Definicio 2.2.2 Sigui G un grup de Lie. Un subgrup uniparametric de G es un morfisme degrups de Lie a : R −→ G.

Un subgrup uniparametric pot entendre’s de dues maneres: com el propi morfisme o com la imatgedel morfisme. Segons el context en el que ens trobem prendrem una visio o be una altra.

Aquest morfisme el descriurem segons {a(t) : t ∈ R} o, simplement, per a(t). D’aquesta for-ma, aquest subgrup uniparametric defineix una derivacio puntual en el espai tangent del elementneutre de G segons:

u =d

dta(t)

∣∣∣∣t=0

i aquesta derivacio ens defineix un unic camp vectorial invariant a l’esquerra. El teorema d’existen-cia i unicitat de solucions d’equacions diferencials ordinaries definides per un problema de Cauchydemostra que aquests dos camps vectorials han de coincidir.

D’aquesta forma, fixat un subgrup uniparametric a(t), aquest indueix un element u ∈ G quedefineix completament els camp vectorial definit pel subgrup.

Definicio 2.2.3 Amb les hipotesis anteriors, u es el generador infinitesimal del subgrup uni-parametric a(t).

Estem interessats en estudiar les corbes integrals corresponents als camps vectorials diferenciablesinvariants per translacions, o equivalentment els camps vectorials que defineixen els elements del’algebra de Lie. Comencarem per una definicio:

Definicio 2.2.4 Sigui G un grup de Lie i G la seva algebra de Lie corresponent. La aplicacioexponencial ve donada per exp : G −→ G, definida segons exp(u) = au(1), on au es el subgrupuniparametric de G amb generador infinitesimal u.

Aquesta definicio pot extendre’s de la seguent manera: fixat un t ∈ R i un element u de G, podemconsiderar la corba en γ(t) = tu en l’espai G. Llavors podem traduir aquesta corba en G vial’aplicacio exp.

En concret:

Proposicio 2.2.1 Per a qualsevol t ∈ R, u ∈ G i au el subgrup uniparametric associat a u, es teque au(t) = exp(tu).

Prova:Fixem el valor de t, i considerem la corba b : R −→ G, definida segons b(s) = au(ts). Llavors b es unsubgrup uniparametric de G, ja que es compleix que per a qualsevol s1, s2, b(s1 + s2) = b(s1)b(s2),i te com a generador infinitesimal l’element tu.

Per altra banda, per unicitat es te que au(ts) = b(s) = atu(s), amb la qual cosa fent s = 1,en resulta que exp(tu) = au(t), que es precisament el que volıem veure, ja que el valor de t esarbitrari. �

Una vegada probades ja algunes de les propietats de l’aplicacio exponencial en podem deduird’altres que permetran justificar en certa manera el seu nom:

39

Proposicio 2.2.2 L’aplicacio exponencial verifica que

1. exp((t1 + t2)u) = exp(t1u) exp(t2u).

2. (exp(u))−1 = exp(−u).

Prova:Basta aplicar les propietats d’un grup uniparametric; en particular, l’associat als elements (t1 +t2)u, . . . . �

A mes a mes de les seves propietats, si dotem l’espai G d’estructura de varietat diferenciable ( cosaque pot fer-se de forma natural, ja que es un espai vectorial de dimensio finita), en resulta quel’aplicacio exponencial es una aplicacio diferenciable. En concret:

Teorema 2.2.2 Sigui G un grup de Lie i G la seva algebra de Lie. Dotant aquesta segona d’es-tructura de varietat diferenciable de la forma natural, en resulta que exp : G −→ G es una aplicaciodiferenciable.

Prova:No veurem els detalls, pero la idea es demostrar que es diferenciable entorn a l’origen, cosa queimplicara la diferenciabilitat en l’origen. Finalment podrem traduir aquesta diferenciabilitat a laresta de punts de la varietat. �

Encara que tampoc ho demostrem, remarcar que l’aplicacio exponencial tambe es un difeomorfismelocal.

Aquest teorema sera fonamental per a la formulacio de la teoria del moment angular desde unpunt de vista de la fısica matematica.

2.3 Estudi d’alguns grups de Lie rellevants

Passem ara a estudiar amb mes detall alguns exemples de grups de Lie notables en l’estudi querealitzarem posteriorment, aixı com algunes de les seves propietats topologiques mes remarcables.

Introduım primer la notacio habitual en aquest context: donat un cos K, denotem per Mn×n(K)el conjunt de matrius amb n files i n columnes amb coeficients en K. Malgrat que la teoria pot sermes general, supossarem en tot el que segueix que el cos sobre el que construım la teoria es R (I sino es aixı, ja ho explıcitarem donant el cos en questio.)

En aquest ultim cas, la aplicacio natural ι : Mn×n(R) → Rn2, definida per:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

... · · ·. . .

...an1 an2 · · · ann

−→ (a11, a12, · · · , a1n, a21, a22, · · · , ann)

40

es un isomorfisme de R-espais vectorials. Aquesta aplicacio, doncs, dota al conjunt Mn×n(R)d’estructura d’espai topologic, on els oberts U ⊆ Mn×n(R) no son mes que ι−1(V ), on V es unobert de la topologia en Rn2

. D’aquesta forma, ι es una aplicacio contınua i oberta.

En tot el que segueix, supossarem que la topologia que es pren en Rn2es la ordinaria ( o equiva-

lentment, la donada per la distancia euclidiana), i la corresponent en Mn×n(R), segons la bijeccioι.

2.3.1 El grup lineal d’ordre n d’un cos

Comencem definint aquest grup:

Definicio 2.3.1 El grup lineal de matrius d’ordre n sobre un cos K, que denotarem perGL(n,K), es defineix segons:

GL(n,K) = {A ∈Mn×n(K) : det(A) 6= 0}

on 0 denota l’element neutre de la suma en K.

Observacio 2.3.1 De forma mes precisa, el grup lineal d’ordre n sobre K coincideix amb el conjuntd’endomorfismes invertibles de Kn. Com de forma operativa suposarem que aquests endomorfismeses poden escriure de forma matricial ( tan aquest grup com els que segueixen) optarem sempre perdefinicions extrınseques enlloc de definicions intrınseques.

En aquesta situacio ( det(A) 6= 0), existeix una matriu que denotarem per A−1, per la qualAA−1 = A−1A = I, on I denota la matriu identitat en Mn×n(K).

Es inmediat comprobar, usant les propietats del determinant sobre el producte de matrius, que elconjunt definit es, tal i com ja hem avancat, un grup amb el producte habitual de matrius.

Vist aixo, centrem-nos en el cas en el que K = R, i anem a dotar aquest grup d’estructura di-ferenciable. En realitat, el que farem sera traduır aquest grup segons ι en Rn2

, i dotar la imatgedel grup d’estructura diferenciable.

Efectivament, mitjancant la aplicacio ι, i segons la definicio, tambe es pot plantejar la definicio delgrup lineal com:

GL(n,R) = ι−1(det−1{(−∞, 0)} t det−1{(0,∞)})

Com tant el conjunt det−1{(−∞, 0)} com det−1{(0,∞)} son oberts de Rn2, en resulta que la seva

unio tambe ho es, i en definitiva, GL(n,R) es un obert de Mn×n(R).

Per tant, ι(GL(n,R)) es un obert de Rn2, i per tant pot dotar-se de manera natural d’estruc-

tura de varietat diferenciable. En aquest cas, prenent la carta (Rn2, I) restringida al nostre obert,

en resulta que ι(GL(n,R)) pot dotar-se d’estructura de varietat diferenciable de dimensio n2. Endefinitiva, ι(GL(n,R)) es un grup de Lie, i aixo es tradueix inmediatament via ι sobre GL(n,R).

D’aquesta manera, i usant la definicio, GL(n,R) segons l’aplicacio ι es un obert de Rn2, i per

41

tant pot dotar-se d’estructura de varietat diferenciable prenent la restriccio de la carta trivial so-bre el conjunt.

A mes a mes, les operacions producte i inversio son diferenciables perque les seves expressionsen cartes locals ho son. En definitiva, GL(n,R) es un grup de Lie.

Centrem-nos ara en el calcul de la seva algebra de Lie. Extenent els elements del tangent enel neutre a camps invariants per l’esquerra sobre el grup i calculant el seu producte de Lie, s’obteque l’algebra de Lie de GLn(R) es Mn(R) amb el parentesi de Lie definit de forma habitual sobreaquest conjunt: si A i B son matrius de Mn(R), llavors:

[A,B] = AB −BA

Denotarem l’algebra de Lie de GLn(R) per gln(R).

En aquest context sorgeix de forma natural l’aplicacio exponencial en el seguent sentit: donatun element A ∈ gln(R), aquest pot escriure’s segons l’isomorfisme abans indicat com a ∈ Mn(R),i en aquesta situacio la suma

∞∑i=0

1i!ai

es convergent cap a un element que escribim com ea. Per altra banda, si prenem aquesta matriu il’associem al corresponent camp invariant a esquerres segons una carta local en el neutre tenim

a = aijxri∂

∂xrj

∣∣∣∣e

que s’esten, si mes no, en un entorn del neutre. ( I pot extendre’s a tota la varietat prenent una basede camps vectorials en tota la varietat, que existeix per tractar-se d’un grup de Lie) En aquestasituacio, la corba integral amb condicio inicial en el neutre igual a a compleix, en coordenadeslocals, la equacio diferencial

dxij

dt= xikakj

Escrita en forma matricial aquesta equacio es dXdt = Xa, amb condicio inicial X(0) = a, i per tant

necessariament X(t) = eta. En definitiva, exp a es correspon amb ea, d’on es torna a justificar l’usd’aquesta notacio.

Observar finalment que no es tracta d’un grup de Lie compacte perque es l’antiimatge per undifeomorfisme (ι no es mes que una carta) d’un obert; com ja hem dit abans es un obert, pero elteorema de Heine-Borel ens diu que amb la topologia habitual en Rn2

un obert no pot ser compacte.

Per concloure, aquest grup, topologicament parlant, es un obert que te dues components connexes.

2.3.2 El grup especial lineal d’ordre n d’un cos

Aquest grup sorgeix directament a partir del grup lineal relacionant dos elements si i nomes si unes una dil·latacio de l’altre (amb rao positiva o negativa). Mes concretament:

Definicio 2.3.2 El grup especial lineal de matrius d’ordre n sobre un cos K, que deno-tarem per SL(n,K), es defineix segons:

SL(n,K) = {A ∈Mn×n(K) : det(A) = e}

42

Per les propietats multiplicatives dels determinants, en resulta inmediatament que el grup especiallineal de matrius d’ordre n es, efectivament, un grup.

Veguem que en el cas en que el cos sigui R, aquest grup pot dotar-se d’estructura diferenciable:mitjancant l’aplicacio ι, el conjunt ve donat per l’antiimatge de 1 segons l’aplicacio determinant, iper tant com aquesta aplicacio es diferenciable i regular al voltant d’aquest punt, en resulta inme-diatament el que volıem veure. En particular es un grup de Lie de dimensio n2 − 1.

Passem al calcul de la seva algebra de Lie sln(R): segons hem vist sera una subalgebra de Liede Mn(R) amb el parentesi de Lie. Per a calcular-la, necessitem primer un lema d’algebra lineal:

Lema 2.3.1 Per a qualsevol A ∈Mn×n(K) es compleix que det(eA) = eTrA.

Prova:Fixada la matriu A, considerem la seva forma canonica de Jordan: A = C−1JC, on J pot escriure’scom com D+N , on D es una matriu diagonal i N es una matriu nilpotent. Podem supossar doncsque les matrius C no hi son, ja que no afecten al calcul de la traca i es cancel·len en el calcul deldeterminant, ja que

det eA = det eC−1JC = det(C−1eJC) = det eJ

Per altra banda, com la matriu D es diagonal, DN = ND, i per tant eD+N = eDeN .

Es llavors sencill veure que det(eN ) = 1: basta desenvolupar en serie eN i observar que es unamatriu triangular superior ( o inferior, segons prenguem la forma canonica) amb zeros a la diagonal.

L’altre calcul surt de forma inmediata. �

Podem passar ara al calcul que busquem: observar que si u = (uij)1≤i,j≤n ∈ sln(R), llavors exp(tu)es un element de SL(n,R), i per tant es compleix que:

1 = det(etu) = etPn

i=1 uii

Com aixo es cert amb arbitrarietat de t, necessariament la traca de u es 0. De fet, el recıproctambe es cert i per tant l’algebra de Lie sln(R) es isomorfa a l’algebra de Lie de les matrius ambtraca nul·la amb el conmutador de matrius ( que efectivament es una algebra de Lie!).

Finalment notar que aquesta varietat es connexa ( de fet, simplement connexa) i compacta.

Observacio 2.3.2 Malgrat que en tot el tractament estem treballant sobre el cos R, en l’estudi deles representacions ens interessara treballar sobre el cos C. En particular, estarem interessats enl’estudi del grup SL(2,C), degut a la seva intrınseca relacio amb altres grups amb gran componentfısic.

43

2.3.3 El grup ortogonal d’ordre n d’un cos

Passem a introduir un dels grups mes importants en el que seguira despres degut a la seva traducciogeometrica que podra ser aplicada en multitud de problemes fısics. En concret, tenim que:

Definicio 2.3.3 El grup ortogonal de matrius d’ordre n sobre un cos K, que denotaremper O(n,K), es defineix segons:

O(n,K) = {A ∈Mn×n(K) : A>A = I}

Amb les propietas multiplicatives del determinant es comprova trivialment que efectivament aquestconjunt te estructura de grup.

Si el cos es R, aquest grup pot dotar-se d’estructura de varietat diferenciable; per a tal cosa,considerem l’aplicacio F : GL(n,R) −→ GL(n,R), definida segons F (X) = X>X. Aquesta aplica-cio es diferenciable i de rang constant, amb la qual cosa denotant per RA la translacio per la dretai LA la translacio per l’esquerra respecte a l’element A, es te que:

F (XA) = LA>RAF (X)

i per tant, F ◦RA = LA> ◦RA◦F . Considerant les aplicacions tangents induıdes, i tenint en compteque tant LA com RA> son difeomorfismes, se’n dedueix que el rang de TAF es igual al rang de TIF .

D’aquesta manera F es de rang constant, i en consequencia F−1(I) = O(n,R) es una subvari-etat regular de GL(n,R), tal i com volıem veure. Es facil comprobar que la inversio i el producteson aplicacions diferenciables, amb la qual cosa O(n,R) es efectivament un grup de Lie.

Observar, a mes, que es tracta d’un grup de Lie compacte ja que es la unio de dos tancats fi-tats, que segons el teorema de Heine-Borel es efectivament un compacte.

Passem a calcular l’algebra de Lie de O(n,R), que denotarem per o(n,R). Per a fer-ho, obser-vem que fixat un element u ∈ on(R), llavors l’aplicacio exponencial ens dona com a condicio que

(exp(tu))> = exp(−tu)

Com es compleix que (exp(tu))> = exp(tu>) i l’aplicacio exponencial es un difeomorfisme local,per a t suficientment petit es compleix que tu> = −tu, amb arbitrarietat de t. Aixı, necessariamentes te que u> = −u.

Recıprocament, tota matriu antisimetrica dona lloc mitjancant l’aplicacio exponencial a una matriuortogonal, amb la qual cosa hem comprobat que o(n,R) es isomorf a la subalgebra de les matriusantisimetriques amb el conmutador de matrius.

Aquest grup es compacte i te dues components connexes, corresponents a que el determinantde l’element sigui ±1.

2.3.4 El grup especial ortogonal d’ordre n

El grup ortogonal abans estudiat te un subgrup d’ındex 2 determinat pel determinant: un elementde O(n,R) nomes pot tenir determinant 1 o −1, i per tant el subgrup de les matrius de O(n,R)amb determinant 1 formen un subgrup d’ındex 2. Es natural, doncs, definir el seguent:

44

Definicio 2.3.4 El grup especial ortogonal de matrius d’ordre n sobre el cos R, quedenotarem per SO(n,R), es defineix segons:

SO(n,R) = {A ∈ O(n,R) : det(A) = 1}

Observacio 2.3.3 Estem tractant nomes el cas del cos R perque en general en un cos arbitrari lesarrels de la unitat no tenen perque ser ±1, i en general el grup especial ortogonal no tindra ındex2; aixo, pero continuara sent cert en la clausura de R.

Al tractar-se d’un subgrup tancat d’un grup de Lie, hereta l’estructura diferenciable de forma na-tural, i per tant tambe es tracta d’un grup de Lie.

En quant a la seva algebra de Lie, son(R), observar que es tant una subalgebra de sln(R) comde on(R). De fet, es facil comprobar que

son(R) = on(R) ∩ sln(R)

i per tant es correspon a l’algebra de les matrius antisimetriques amb traca nul·la.

L’estudi d’aquest grup resultara molt important en quant a que te una component geometricaremarcable: en el cas que tractarem R3 amb la metrica habitual, SO(3,R) es isomorf al grupformat per les isometries lineals directes de l’espai. Aquest fet sera fonamental quan veguem elgrup SU(2,C) ( que encara no hem definit!) com un subgrup d’aquest.

Aquest grup contınua sent compacte i ara sı que es connex, a diferencia del grup del que pro-ve.

2.3.5 El grup de Lorentz

En mecanica relativista s’usa l’anomenada metrica de Minkowsky. En aquest context es naturalintroduır el grup de transformacions lineals que deixen invariant aquesta metrica. Mes en concret:

Definicio 2.3.5 El grup de Lorentz, que denotarem per L, es defineix com:

L = {A ∈M4×4(R) : A>ηA = η}

on η es la matriu de Mn×n(K) que pren la seguent forma:

η =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

De forma equivalent el grup de Lorentz es correspon amb els canvis de referencia que deixen inva-riant la metrica dt⊗ dt− dx⊗ dx− dy ⊗ dy − dz ⊗ dz definida sobre R4.

Com tot element del grup de Lorentz deixa invariant la metrica η, en particular te determinant±1. El conjunt dels elements del grup de Lorentz formen un subgrup d’ındex 2. El denotarem perL0, i apareixera en capıtols posteriors.

A diferencia dels altres casos, aquest grup no es compacte.

45

Observacio 2.3.4 De la mateixa manera que els grups SO(3,R) i O(3,R) resultaran de rellevanciaen l’estudi de R3 amb la metrica habitual, el grup de Lorentz es un equivalent a O(3,R) en el casde prendre l’espai R4 i la metrica de la relativitat general. Aixı, l’estudi d’aquest grup, en el queno entrarem, sera central en la comprensio de la relativitat general.

2.4 Grups sobre C

Molts dels grups que hem definit sobre R poden extendre’s de forma natural sobre el cos C, prenenten ells estructures diferenciables complexes enlloc de reals. Aixo es el que tractarem breument ara.No realitzarem un analisi exhaustiu, ja que les seves propietats es dedueixen de la mateixa formaque en els casos abans estudiats. Passem, doncs, a definir-los:

Definicio 2.4.1 El grup unitari de matrius d’ordre n sobre el cos C, que denotarem perU(n,C), es defineix segons:

U(n,C) = {A ∈ GL(n,C) : A∗A = 1}

on A∗ = A>

de la mateixa manera que abans, aquest grup de Lie te un subgrup d’ındex 2:

Definicio 2.4.2 El grup especial unitari de matrius d’ordre n sobre el cos C, que deno-tarem per SU(n,C), es defineix segons:

SU(n,C) = {A ∈ U(n,C) : det(A) = 1}

Per al nostres proposits, aquest ultim grup tindra gran rellevancia en el cas de n = 2.

El calcul de les algebres de Lie corresponents es realitzen de forma similar als calculs que jas’han realitzat pels casos dels grups O(n,R) i SO(n,R). Caldra, pero, cambiar la simetria per lahermicitat. ( I la antisimetria per l’antihermicitat)

46

Capıtol 3

Altres problemes fısics relacionatsamb SO(3, R)

En aquest capıtol, i com a excusa a la teoria desenvolupada en relacio al grup SO(3,R), el que esfara sera aplicar diversos resultats obtinguts en els capıtols precedents al plantejament i resoluciode diversos problemes de caire fısic; entre ells, es realitzara el plantejament formal del conceptede moment angular i es realitzara la classificacio dels subgrups finits de SO(3,R), utilitzant einesd’accions de grups sobre conjunts, cosa que portara a unes consequencies en cristal·lografia forcaremarcables.

3.1 Varietats diferenciables, grups de Lie, exponenciacio imoment angular

Un dels primers casos que apareixen al estudiar sistemes fısics amb simetria es el grup de les rota-cions SO(3,R). El que farem aquı sera traduir les propietats d’aquest grup a la seva algebra, d’onapareixera de forma natural els operadors del moment angular.

Fixada una referencia ortonormal en R3, denotarem per nα al element de SO(3,R) definit se-gons el gir d’amplitud α al voltant de l’eix que passa per l’origen definit pel vector unitari n.Prendrem, a mes, l’accio de SO(3,R) sobre el conjunt X = R3.

Fixat un element nα pretenem associar-li un element de l’algebra de Lie de la seguent mane-ra: considerem el subgrup uniparametric an(t) = {r ∈ SO(3,R) : r = nt, t ∈ R}. Evidentment estracta d’un subgrup uniparametric en el que nα hi forma part.

Segons varem veure en l’estudi dels grups de Lie, donat aquest subgrup uniparametric, existeix unelement u que es el generador infinitessimal del subgrup uniparametric. En concret,

nα = euα

On uα es un element de so(3,R), i per tant es tracta d’una matriu antisimetrica amb traca nul·la.

47

Emprant coordenades podem escriure u com:

u = u1

0 1 0−1 0 00 0 0

+ u2

0 0 −10 0 01 0 0

+ u3

0 0 00 0 10 −1 0

En concret, aquestes matrius les denotarem (en l’ordre en que apareixen escrites) per iIz, iIy i iIx,i complint-se les regles de conmutacio:

[Ix, Iy] = iIz

i la resta, permutant cıclicament els parametres x, y, z.

Amb aquestes observacions, podem definir el moment angular per a qualsevol gir:

Definicio 3.1.1 El moment angular associat a nα, In, es un element de so(3,R) tal que

nα = e−iαIn

Segons hem vist, per tot gir, el seu moment angular associat ve donat per una combinacio linealdels elements Ix, Iy, Iz. La relacio entre aquesta combinacio i el vector n es molt simple:

Proposicio 3.1.1 Es compleix que nα = e−iα(n1Ix+n2Iy+n3Iz), amb n = (n1, n2, n3) i unitari enuna certa referencia ortonormal de R3.

Prova:Suposem que els girs no son al voltant de cap dels eixos principals. Considerem els angles d’Eulercorresponents al punt (n1, n2, n3). Aixı, podem escriure n = (sin θ cosφ, sin θ sinφ, cos θ), amb0 < θ, φ < π

2 .

D’aquesta forma estem parametritzant la nostra varietat diferenciable SO(3,R) segons una cartalocal. Malgrat que aquesta no cobreix tota la varietat, el mateix calcul es podria aplicar en aquellspunts no recoberts per la parametritzacio.

Considerem ara un canvi de referencia definit sobre la base al conjunt de vectors r, s,n, de talforma que {r, s,n} forma una base ortonormal directa de R3. La matriu inversa d’aquest canvi dereferencia es:

A =

− sinφ − cos θ cosφ sin θ cosφcosφ − cos θ sinφ sin θ sinφ

0 sin θ cos θ

es un calcul comprobar que A−1 = At, tal i com ha de ser. Llavors la expressio del gir encoordenades es:

A

cosα sinα 0− sinα cosα 0

0 0 1

At = e−iαAIzAt

Ara nomes cal multiplicar les matrius i comprobar que AIzAt = n1Ix + n2Iy + n3Iz. �

Observacio 3.1.1 Un plantejament analeg es podria fer considerant els girs vistos com elements deSU(2,C) segons l’isomorfisme SU(2,C)/{+I,−I} ' SO(3,R). S’arribaria a conclusions similarsamb matrius de M2×2(C).

48

3.1.1 Una altra visio del moment angular

Enlloc de considerar ara el grup SO(3,R) ( o en el seu cas, el grup SU(2,C)) de forma intrınseca,considerem la seva accio sobre la varietat M = R3. Cada gir nα pot veure’s doncs com undifeomorfisme segons:

nα : R3 → R3

(x, y, z) 7→ nα(x, y, z)

Es de notar que l’aplicacio Fn definida segons:

Fn : R× R3 → R3

(t, (x, y, z)) 7→ nt(x, y, z)

indueix un grup uniparametric de transformacions sobre R3.

Malgrat que R3 no pot dotar-se d’estructura de grup de Lie ( no pot dotar-se d’estructura degrup), segueix sent cert que tot grup uniparametric admet un generador infinitesimal. Per exem-ple si n = (0, 0, 1), llavors es tractara del generador infinitesimal de les rotacions al voltant de l’eix z.

Es sencill comprobar que, en el nostre exemple, el generador infinitesimal, escrit en les coorde-nades induıdes per la carta natural de R3, es:

Lz = x∂

∂y− y

∂

∂x

permutant cıclicament les variables, els generadors infinitesimals de les rotacions al voltant delseixos x i y seran, respectivament:

Lx = y∂

∂z− z

∂

∂y

Ly = z∂

∂x− x

∂

∂z

I de forma similar a la seccio anterior, es te la regla de permutacio seguent:

[Lx, Ly] = Lz

i la resta se’n dedueix de permutacions cıcliques de les variables. Observar que aquests 3 campsvectorials estan definits en tot punt de R3 segons la carta natural de la varietat.

Son en concret, una base de camps vectorials per a X(R3), i per tant el grup uniparametric de girsal voltant d’un eix arbitrari n tindra com a generador infinitesimal una combinacio lineal d’aqueststres camps.

La seguent definicio te, doncs, sentit:

Definicio 3.1.2 El moment angular associat a nα, Ln, es el generador infinitesimal del grupuniparametric de transformacions {nt : t ∈ R}. El denotarem per Ln = a1Lx + a2Ly + a3Lz.

Mes en concret es te que la expressio del moment angular d’un gir arbitari pot calcular-se de formamolt sencilla:

Proposicio 3.1.2 Sigui Fn el grup uniparametric de transformacions segons l’eix definit pel vectorn = (nx, ny, nz). Llavors el seu generador infinitesimal associat es Ln = nxLx + nyLy + nzLz.

49

Prova:Considerem una isometria σ de tal forma que:

1. La imatge del vector (0, 0, 1) es el vector n

2. Les imatges dels vectors (1, 0, 0) i (0, 1, 0) estan contingudes en el subespai nxx+nyy+nzz = 0,de tal forma que {σ((1, 0, 0)), σ((0, 1, 0)),n} formen una base directa de R3.

3. L’origen es un punt fix.

No existeix una unica isometria amb aquestes propietats. Una de les isometries d’aquesta famıliapot escriure’s matricialment de la seguent manera:

σ =

n2n3√n2

1+n22

− n2√n2

1+n22

n1

n1n3√n2

1+n22

n1√n2

1+n22

n2

− n21+n2

2√n2

1+n22

0 n3

Considerem les corbes integrals corresponents al generador infinitesimal Lz. Aquestes poden es-criure’s de forma generica segons γ(t) = (r cos(t), r sin(t), s), on r, s son fixes per l’orbita. Aplicantσ sobre una orbita arbitraria, obtenim una orbita arbitraria del corresponent grup uniparametricFn ( Ja que les orbites d’aquest son cercles al voltant de l’eix que passa per l’origen amb vectordirector n). Aquestes prenen com a equacio:

γ(t) = r cos(t)

n2n3√n2

1+n22

n1n3√n2

1+n22

− n21+n2

2√n2

1+n22

+ r sin(t)

− n2√n2

1+n22

n1√n2

1+n22

0

+ s

n1

n2

n3

Coneixent ara les corbes integrals corresponents a Fn, es inmediat que el seu generador infinitesimales exactament nxLx + nyLy + nzLz: calculant γ(t), obtenim

γ(t) = −r sin(t)

n2n3√n2

1+n22

n1n3√n2

1+n22

− n21+n2

2√n2

1+n22

+ r cos(t)

− n2√n2

1+n22

n1√n2

1+n22

0

on s’enten que ara cadascuna de les components es refereix a la base { ∂

∂x ,∂∂y ,

∂∂z}. Ara nomes cal

escriure la expressio de nxLx + nyLy + nzLz i comparar coordenada a coordenada. �

Observacio 3.1.2 Malgrat que els girs respecte als eixos principals no conmuten i no existeix unarelacio facil per tal de relacionar-los, observar la simplicitat de treballar amb els corresponentsgeneradors infinitesimals enlloc dels propis girs.

En definitiva, hem vist els operadors moment angular desde dos punts de vista:

1. De forma intrınseca, directament a partir del grup de rotacions. ( Elements de l’algebra delgrup)

2. De forma indirecta, com a generadors infinitesimals de les rotacions.

50

Segons el que volguem estudiar, utilitzarem una o altra intuıcio.

Observacio 3.1.3 El que s’ha presentat aquı es una introduccio molt breu al moment angular,i el seu proposit ha sigut tornar a notar la rellevancia del grup SO(3,R) en aquest context de lafısica. No s’ha entrat en temes tambe introductoris com podrien ser la cerca dels seus valors propis,l’acoblament de sistemes i la seva consequencia en el moment angular total ( i els corresponentscoeficients de Clebsch-Gordan, coneguts ampliament per tot estudiant de fısica . . . )

3.2 Aplicacions a la cristal·lografia

Quan una determinada substancia cristalitza per tal de formar cristalls, ho realitza sota condicionsmolt especials, en el sentit que els cristalls no poden prendre formes arbitraries: considerem unacristal·litzacio d’una certa substancia; de cadascuna de les cares del polıtop que defineix el cristallse’n dedueix el vector normal unitari corresponent, i d’aquı un punt sobre S2.

Per una determinada substancia el conjunt de punts definit no depen de la manera com a cris-tal·litzat aquesta, amb la possible desaparicio d’algun dels punts ( o equivalentment, que hi hagicares que no apareguin en la cristal·litzacio). Aquest descobriment fou realitzat per Nicolas Stenoi Christian Huygens.

El problema es, doncs, el seguent: com tot cristall te un nombre finit de cares, la llei de Steno-Huygens ens diu que trobar totes les possibles cristal·litzacions es correspon amb l’estudi de totsels subgrups finits del grup d’isometries de R3. Es a dir, el nostre problema ara consisteix en lacerca dels subgrups finits de O(3,R).

Per a fer-ho, el que inicialment farem sera estudiar els subgrups finits de SO(3,R) i passar poste-riorment a l’estudi dels subgrups finits de O(3,R).

D’aquı en endavant, direm que el grup associat a una determinada substancia o cristall es elseu grup de simetria, o el grup de simetria del cristall.

3.2.1 Estudi dels subgrups finits de SO(3, R)

Considerem G un subgrup finit de SO(3,R) diferent del grup trivial. Fixant una referencia en R3,podem escriure els elements de G segons l’eix de gir que passa per l’origen i l’angle, i per tantG = {ni(αi)}, on ni denota l’eix de gir segons el seu vector normalitzat i αi denota l’angle de gir.Centrem ara la nostra atencio en l’accio d’aquest grup sobre el conjunt X = S2. Mes en concret,considerem l’accio de G sobre el conjunt finit:

P = {x ∈ S2 : gx = x, g ∈ G}

Observar que aquest conjunt es efectivament estable per l’accio de G: si x ∈ P , llavors existeix unelement g ∈ G diferent del neutre tal que gx = x. Llavors, prenent l’element hx, amb h ∈ G, es fixper la rotacio segons el gir h−1gh, que tambe es diferent del neutre.

Ja que tot gir te una recta de punts fixos (l’eix de gir), se’n dedueix que l’accio de qualsevolelement de G sobre S2 te exactament 2 punts fixos. Si ara recordem el lema de Burnside per a

51

conjunts finits ( resultat que pot trobar-se en l’apendix), que ens deia que:∑a6=e

|FP (a)| =∑i∈I

[G : Gxi ](|Gxi | − 1)

llavors es te que |FP (a)| = 2, ja que a 6= e. Aixı, doncs, tenim que:∑a6=e

|FP (a)| = 2(|G| − 1) =∑i∈I

[G : Gxi ](|Gxi | − 1) =∑i∈I

|G||Gxi |

(|Gxi | − 1)

Denotant ara per n = |G|, r el nombre d’orbites de G en l’accio i ni = |Gxi|, en resulta la relacio

2(n− 1) =r∑

i=1

n

ni(ni − 1) ⇒ 2− 2

n= r −

r∑i=1

1ni

El que farem sera resoldre aquesta equacio, i havent trobat els possibles valors, deduir com pot serG segons com siguin les distintes orbites i els corresponents conjunts de punts.

Realitzem una serie d’observacions:

1. No pot existir una sola orbita: en aquest cas, r = 1, i la equacio es redueix a:

2− 2n

= 1− 1n1

→ 1 =2n− 1n1

Com ara n > 1, aquesta igualtat no pot donar-se.

2. Cadascun del ni val com a mınim 2: tot punt es fix per algun gir.

Amb aquestes observacions, es te que r no pot ser superior a 3: com tots els ni son superiors a 2,llavors es te que:

2− 2n

= r −r∑

i=1

1ni≤ r − r

2=r

2

Com r es un valor natural, necessariament r ∈ {2, 3}. Resolguem cada equacio per separat:

1. Pel cas r = 2 la equacio a resoldre pot escriure’s com:

2n

=1n1

+1n2

Com es te que ni ≤ n, necessariament se’n dedueix que n1 = n2 = n.

2. Pel cas r = 3 la equacio a resoldre pot escriure’s com:

1 +2n

=1n1

+1n2

+1n3

Sense perdre generalitat, podem partir de la hipotesi n1 ≤ n2 ≤ n3. Si ara n1 > 2, la igualtatanterior no pot assolir-se. Per tant, com n1 6= 1, llavors necessariament n1 = 2.

Fixat ara n1, la equacio resultant queda:

12

+2n

=1n2

+1n3

Igual que abans, no es pot verificar que n2 > 3, ja que la igualtat anterior no podria assolir-se.Per tant, n2 ∈ {2, 3}. Fixant ara el valor de n2 el valor de n3 sorgeix inmediatament.

52

En definitiva, hem obtingut la seguent taula de valors:

|G| Orbites de P Particio de P en orbites |P |n 2 (n, n) 22n 3 (2, 2, n) 2n+ 212 3 (2, 3, 3) 1424 3 (2, 3, 4) 2660 3 (2, 3, 5) 62

Classificacio

Comencem pel cas en que el nombre d’orbites es 2. En aquest cas, el nostre conjunt te unicamentdos punts, i per tant tots els elements de G son girs al voltant d’un mateix eix. Com el grup esfinit, necessariament els girs han de ser d’amplitud 2π

n . Aixı, doncs, el primer cas es correspon ambel grup cıclic d’ordre n, Z/nZ.

Aquest era el cas mes simple. Passem als casos en que tenim 3 orbites:

1. (2, 2, n): com |Gx3 | = n, es dedueix que l’orbita de x3 te exactament 2 elements; denotem-losper x3, y3.

Com x3 es invariant per l’accio de qualsevol element de Gx3 , necessariament tots els girsde Gx3 tenen com a eix de rotacio el corresponent definit pel punt x3. Per forca doncsGx3 = Z/nZ. Per altra banda, el subgrup d’isotropia de y3 ha d’esser igualment Gx3 , ja queels dos punts estan continguts en el mateix eix. Sense perdre generalitat podem supossar queels elements d’aquesta orbita son el pol nord i el pol sud. Observar a mes que qualsevol altrepunt no es invariant per l’accio de qualsevol element d’aquest subgrup, ja que altres puntsno son ni el pol nord ni el pol sud.

Ja hem localitzat, per tant, 2 dels 2n+ 2 punts totals.

Per altra banda, tot element de la primera orbita te grup d’isotropia Z/2Z, o equivalent-ment girs d’angle π, amb la qual cosa tot punt de la primera i segona orbita es fix nomes perun element del grup. Aquests girs, a mes, han de enviar el pol nord al sud i viceversa. Pertant, necessariament son girs d’angle π amb eix contingut al pla xy. D’aquesta forma, elspunts son vertexs de polıgons regulars sobre l’equador de S2.

En definitiva, el que hem demostrat es que el nostre grup de 2n elements te un subgrupcıclic de n elements, i la resta d’elements que falten son elements d’ordre 2 de tal forma queels eixos en el pla xy determinen sobre el equador polıgons regulars.

Es sencill veure, doncs, que el grup que estem tractant no es mes que un grup dihedral,D2n.

Podem representar aquest gup com a punts sobre S2 i projectant sobre el pla z = 0, detal forma que els punts que es troben en el casc superior de S2 projecten en cercles i els puntsque es troben en el casc inferior projecten en punts (en aquest cas, nomes el pol nord es uncercle).

53

Pel cas de n = 4 el que s’obte es el seguent:

En aquesta figura, O,O′ indiquen el pol nord i el pol sud, A,B,C,D indiquen 4 punts d’unamateixa orbita i X,Y, Z, T els restants. Els eixos AC, XZ, BD i Y T son aquells segons elsque es realitza el gir d’angle π.

2. (2, 3, 3): en aquesta situacio |G| = 12, i tenim 3 orbites: la primera amb 6 elements, i duesmes amb 4 elements cadascuna d’elles. En el primer dels casos, el grup d’isotropia de cadas-cun dels elements es justament Z/2Z, i per tant, de forma similar que abans, aquests 6 puntss’aparellen de dos en dos segons 3 eixos distints.

Centrem-nos en l’estudi de la parella d’orbites amb 4 elements cadascuna d’elles. Per aaixo raonarem sobre una de les orbites, i per l’altra el que obtindrem sera analeg. Tindremen consideracio l’estudi de la segona orbita.

Si fixem un element z i denotem per a el generador del seu subgrup d’isotropia Gz, lla-vors si u es un altre element de la orbita de z, tenim que au i a2u tambe son elements del’orbita de z. Ara be, tot gir es una isometria de R3 en R3, amb la qual cosa la distanciaeuclidiana entre z i la resta d’elements de l’orbita es mante invariant:

d(z, u) = d(z, au) = d(z, a2u)

Com a mes a mes la eleccio de z i de u dins de l’orbita es arbitraria, llavors per forca d(x, y)es constant per qualsevol parella d’elements de l’orbita. En definitiva, que aquests 4 puntsson els vertexs d’un sımplex regular.

Ja tenim 4 punts localitzats, pero observar que per cadascun d’aquests 4 en tenim 4 mesque es corresponen als punts antipodals dels indicats: aquesta es l’altra orbita de 4 elementsi els seus punts son igualment els vertexs d’un tetraedre regular. Aixı, ens falta localitzar els3 girs que ens falta per a definir completament el grup.

Ja sabem que aquests girs son d’angle π i que han de deixar invariants els dos tetraedres(els vertexs dels quals formen dos conjunts d’orbites, i per tant disjunts). Basta, llavors,prendre els eixos definits pels punts mitjos d’arestes oposades en el tetraedre. Prenent araaquests eixos i considerant angles de π es deixa invariant cadascun dels tetraedres. Es a mes

54

trivial que el conjunt format pels talls d’aquests eixos amb S2 defineixen la tercera orbitaque ens faltava.

En definitiva, que en aquest cas el grup que sorgeix es el grup de girs que deixen invari-ant el tetraedre. Aquest grup es ja ben conegut: el grup alternat d’ordre 4, A4.

3. (2, 3, 4): com el grup total te 24 elements, les distintes orbites tenen 12, 8 i 6 elements enl’ordre que les hem escrit. Prenent la tercera orbita, que te 6 elements, podem raonar comabans: com el grup d’isotropia de qualsevol dels elements es Z/4Z, llavors la distancia entrequalsevol parella de punts d’aquesta orbita es la mateixa. Necessariament aquests punts sonels vertexs d’un octaedre.

Raonant com en el cas del tetraedre, pero amb una mica mes de feina, s’arribaria a queaquest grup es el grup de girs que deixa invariant l’octaedre, que tambe es un grup basta-ment conegut: el grup simetric d’ordre 4: S4.

4. (2, 3, 5): es el cas mes llarg, pero no mes complicat: fent raonaments analegs segons el nombrede punts en cadascuna de les orbites, i tenint en compte que els girs son isometries del espai,en aquest cas obtenim el grup de girs que deixen invariant a l’icosaedre: el grup alternatd’ordre 5, A5.

En resum, els grups obtinguts son els seguents:

Grup |G| Subgrups d’isotropia InterpretacioZ/nZ n (n, n) girs d’angle 2π

n al voltant d’un eix fixD2n 2n (2, 2, n) girs d’angle 2π

n al voltant d’un eix fix i n girs d’angle πA4 12 (2, 3, 3) grup de girs que deixa invariant el tetraedreS4 24 (2, 3, 4) grup de girs que deixa invariant el octaedreA5 60 (2, 3, 5) grup de girs que deixa invariant el icosaedre

3.2.2 Estudi dels subgrups finits de O(3, R)

Una vegada classificats tots els grups finits de girs, podem passar a la classificacio de qualsevolsubgrup finit d’isometria, sigui directa o inversa. Sigui, doncs, G un subgrup finit de O(3,R). Potestablir-se el morfisme de grups natural definit per:

det : G → Z/2Zg 7→ | det(g)|

det(g)

On s’enten que det(g) es el determinant de l’expressio matricial de g en una certa base de R3. Estracta efectivament d’un morfisme de grups per la multiplicitat del determinant.

En concret, el conjunt de G format per tots els elements amb determinant igual a 1 es un subgrup.El denotarem per H.

En aquesta situacio poden succeir diverses situacions:

1. G = H. En aquest cas es te que G es un subgrup de SO(3,R), i per tant es un dels grupsque s’han deduıt en l’apartat anterior.

55

2. H es un subgrup propi de G. Sigui x un element de G pero no de H. Llavors, per a qualsevolelement h de H, xh te determinant −1, i per tant xh ∈ G\H. Si ara prenem h, h′ ∈ H,llavors xh 6= xh′, es te que necessariament tenim en G tants elements amb determinant 1com amb determinant −1. Es a dir, [G : H] = 2, i podem escriure que G = H

⊔xH, amb

x ∈ G\H.

De forma equivalent, si G 6= H, llavors det es una aplicacio exhaustiva amb nucli H, iper tant, del teorema d’isomorfisme,

G/H ' Z/2Z

Cal que estudiem, doncs, el segon dels casos.

Mantenint la notacio per H el subgrup d’ındex 2 que conte els elements amb determinant +1,podem considerar dos possibles casos:

1. -I es un element de G\H.

2. -I no es un element de G.

En el primer dels casos, simplement G = H⊔

(−I)H, que te estructura de grup, i ja hem acabat.De fet, de forma mes compacta, podem definir el morfisme:

φ : H × Z/2Z → H⊔

(−I)H(a, 0) 7→ a(a, 1) 7→ −a

que de fet es un isomorfisme i que ens permet expressar G nomes en funcio dels subgrups deSO(3,R).

L’altre cas es finalitza observant que H es normal en G amb ındex 2. Llavors fixat H amb cardinal|H| = h, basta comprobar en tots els grups d’ordre 2h tots aquells que el tinguin com a subgrupnormal.

Es resumeix en la taula seguent tots els possibles grups finits de O(3,R). ( En la primera co-lumna s’escriuen els possibles grups finits de SO(3,R))

Grups de girs Grups amb element −I Grups sense element -IZ/nZ Z/nZ× Z/2Z Z/2nZD2n D2n × Z/2Z D4n

A4 A4 × Z/2Z S4

S4 S4 × Z/2Z −A5 A5 × Z/2Z −

Observacio 3.2.1 Cal esmentar que la construccio realitzada ha estat realitzada de manera formal,en el sentit que encara que en diferents caselles aparegui el mateix grup ( en el sentit d’isomorfisme),no es correspon a un mateix conjunt d’isometries: per exemple S4 pot obtenir-se com el grup de girsque deixen invariant l’octaedre o el grup de desplacaments que deixen fix el tetraedre. En cap cas,un grup es equivalent a l’altre en el sentit de la conjugacio considerats els dos grups com subgrupsde GL(3,R).

56

3.2.3 Possibles cristal·litzacions de substancies

Una vegada ja estudiats tots els possibles subgrups finits d’isometries, ens restringim al problemafısic que ja haviem introduıt.

Per a fer-ho, ens restringirem a un subconjunt del trobat: no existeix cap gir d’ordre 5 o d’or-dre superior a 6 que pertanyi a un grup de simetries d’un cristall; a mes a mes no es coneix capsubstancia que tingui com a grup de simetria S5. Aixo redueix notablement el conjunt trobatanteriorment a un conjunt de 32 possibles grups de simetria.

El fet que nomes siguin possibles girs amb aquests ordres es pot raonar tal i com succeeix ambuna tesel·lacio del pla per polıgons regulars: una tal tesel·lacio nomes pot realitzar-se mitjancanttriangles, quadrats i hexagons, que es correspon amb els nombres 3, 4, 6. La manera com es raonaen el cas de R2 pot extendre’s de forma natural a R3 per tal d’obtenir que els possibles girs quedeixin invariant un reticle infinit que recobreixi tot l’espai tenen els ordres indicats.

Es habitual en l’ambit de la cristal·lografia l’us d’una notacio un tant diferent de l’emprada finsara: com en aquest camp es important tant el grup com la seva component geometrica, es fona-mental remarcar exactament quin ”grup geometric” es el que s’esta tractant. Aquest comentari vaen relacio a la observacio anterior: aquı es necessari diferenciar si el grup prove, per exemple, deles simetries del tetraedre o be de les simetries de l’octaedre.

D’aquesta forma, els grups que s’obtenen son els seguents, amb la seguent notacio:

Grups de rotacions Grups amb element −I Grups sense element −IGrup Notacio Grup Notacio Grup Notacio{e} 1 Z/2Z 1 Z/2Z m

Z/2Z 2 Z/2Z× Z/2Z 2/m Z/4Z 4Z/3Z 3 Z/6Z 3 Z/6Z 3/mZ/4Z 4 Z/4Z× Z/2Z 4/m Z/8Z mm2Z/6Z 6 Z/6Z× Z/2Z 6/m Z/12Z 3mD4 222 D4 × Z/2Z mmm D8 4mmD6 32 D6 × Z/2Z 3m D12 42mD8 422 D8 × Z/2Z 4/mmm D16 6mmD12 62 D12 × Z/2Z 6/mmm D24 62mA4 23 A4 × Z/2Z m3 S4 43mS4 432 S4 × Z/2Z m3m - -

On la notacio que s’introdueix s’anomena notacio de Hermann-Maugin, i s’usa habitualmenten el context de la cristal·lografia.

57

A tıtol d’exemple s’inclouen alguns de les possibles d’algunes substancies:

58

Capıtol 4

Representacio de grups de Liecompactes

Entrem propiament en el que seria el proposit del treball: una vegada introduıda la teoria basicaen quant a representacions de grups finits, aixı com el marc geometric pertinent, estem en condi-cions de tractar els grups de Lie que apareixeran de forma natural en el tractament de simetriesde sistemes fısics.

Per a tal cosa, el que primer farem sera reformular la teoria desenvolupada per a tractar les repre-sentacions de grups finits en el cas que ens pertoca per passar al tractament de les representacionsirreductibles dels grups mes rellevants per al nostre proposit: SO(3,R) i SU(2,C).

4.1 La reformulacio de la teoria de representacions a grupsde Lie compactes

En tota la teoria de representacions lineals de grups finits ha aparegut de forma natural expressionsde la forma:

1|G|

∑g∈G

f(g)

on f defineix una aplicacio de G en, per exemple, C. Aquestes expressions deixen de ser validesquan tractem grups continus o, en general, grups infinits, com es el cas dels grups que a nosal-tres ens interessa estudiar. Com molts dels raonaments que hem emprat en el primer capıtol essustenten en l’us d’aquesta mena de disquisicions, haurem de reformular la teoria o millor encara,refinar-la.

Per a generalitzar aquesta mena de sumes, l’objecte natural a emprar es la integral. El fet que elgrup sigui compacte sera fonamental.

59

I la seva importancia recau en el seguent teorema:

Teorema 4.1.1 Donat G un grup compacte, existeix una unica mesura sobre G (anomenada me-sura de Haar), que denotarem per dt que verifica:

1.∫

Gf(t)dt =

∫Gf(st)dt per a qualsevol funcio contınua f i qualsevol element s de G.

2.∫

Gdt = 1

Aquesta mesura sera la que permetra fer ”analisis” integral sobre aquests grups de Lie. Per exem-ple, en el cas de grups finits aquesta integracio coincideix en promitjar i dividir entre |G|.

Fixat doncs G un grup de compacte i denotant per F(G) el conjunt de funcions f : G → Ccontınues ( amb la topologia que hi ha a G) la mesura de Haar indueix sobre F(G) un producteescalar segons:

(f1, f2)G =∫

G

f1(g)f2(g)dµ

Aquest producte escalar permet extendre el conjunt de funcions que ens interessa estudiar de lamateixa manera que es fa en analisis real al considerar les funcions L2(R). Efectivament, definint:

L2(G) = {f : G→ C :∫

G

|f |2dµ <∞}

el que hem fet es construir un espai pre-Hilbertia.

Observacio 4.1.1 La nocio d’integracio es pot ampliar a grups que no siguin compactes, prenentel conjunt de funcions contınues de suport compacte, per tal de poder assegurar la existencia de laintegral.

En aquesta situacio, la existencia de la mesura invariant esta assegurada, pero evidentement siel grup no es compacte, la funcio f(g) = 1 no es de suport compacte i per tant no es integrable.

Com ara ens trobem amb grups dotats de topologia ( de fet, alguns amb estructura diferenciablei tot!), podem restringir encara mes el conjunt de representacions lineals que ens interessen. Mesen particular:

Definicio 4.1.1 Sigui G un grup topologic compacte i V un C-espai vectorial. Una representaciolineal de G en V es un morfisme continu ρ : G −→ GL(V ).

Si la dimensio de V es finita no hi ha problema en la continuıtat de ρ, perque podem prendre latopologia habitual. De no ser aixı, ( l’espai vectorial V no te dimensio finita) hem de precisar elque vol dir que ρ sigui contınua, en el sentit que cal dir quina topologia tenim sobre GL(V ).

En el cas ara que estiguem interessats novament en les representacions irreductibles d’un grup,ens haurem de fixar novament en els espais que en la teoria de representacions per a grups finitsvam denominar espais irreductibles. En concret:

Definicio 4.1.2 Sigui ρ : G −→ GL(V ) una representacio lineal de G en V . Direm que Ves topologicament irreductbible si els unics subespais vectorials tancats invariants per l’acciod’elements de ρ(g) son {0} i V .

60

La restriccio d’aquesta definicio a espais vectorials de dimensio finita dona lloc a l’antiga definiciod’espai irreductible.

Igual que succeia en el cas de grups finits, podem definir la representacio regular de la seguentforma: fixat G un grup compacte, considerem com a espai vectorial el conjunt F(G). Llavors, pera qualsevol g ∈ G, definim

r : G → GL(F(G))g 7→ r(b)

de la seguent manera: per a qualsevol f ∈ F(G), r(g)f es un element de F(G) que actua segons:

(r(g)f)(h) = f(h−1g)

on l’element h ∈ G es arbitrari. Es llavors sencill veure que r(g)f segueix sent una funcio contınua.

Ens cal introduir encara una altra definicio per tal de poder enunciar el teorema fonamental enaquest camp. Es la seguent:

Definicio 4.1.3 Donat un grup G, i una funcio f ∈ G, diem que f es una funcio representativasi per a qualsevol element g ∈ G, el subespai 〈r(g)f〉 ⊂ G es de dimensio finita.

El teorema fonamental que resumeix les descomposicions possibles d’un grup compacte es el se-guent, i que diu el seguent:

Teorema 4.1.2 (Teorema de Peter-Weyl)

Sigui G un grup compacte. Llavors:

1. El conjunt de funcions representatives es dens en L2(G).

2. El espai L2(G) descompon en representacions irreductibles de G, cadascuna de les quals esde dimensio finita.

3. Tota representacio irreductible de G te grau finit.

4. Tota representacio de G apareix en L2(G) amb una multiplicitat donada per la seva dimensio.

5. Tota representacio unitaria de G en qualsevol espai de Hilbert descomposa en suma directade representacions irreductibles de dimensio finita.

6. Els caracters associats a representacions irreductibles formen una base del espai de Hilbertformat per les funcions centrals de quadrat integrable.

Malgrat que no emprarem directament el teorema de Haar (que permet integrar sobre grups de Liecompactes) hem cregut convenient justificar el pas de grups finits a grups continus amb aquestspetits comentaris.

61

4.2 Quaternions, SU(2, C) i SO(3, R)

4.2.1 Quaternions: definicions i primeres propietats

Comencarem establint les primeres relacions existents entre alguns dels grups classics abans depassar a tractar propiament a les representacions per la seva rellevancia i per la seva interpretaciofısica que vindra en el proxim capıtol.

Per a tal cosa es necessari introduir el cos del quaternions H: considerem el conjunt H ⊆M2×2(C)format per les matrius de la forma

q =(

z w−w z

)on es pren z, w ∈ C. Escribint z = a+ bi i w = c+ di, tot element d’aquest conjunt pot escriure’scom:

q = a

(1 00 1

)+ b

(i 00 −i

)+ c

(0 1−1 0

)+ d

(0 ii 0

)≡ a+ bi+ cj + dk

Aixı el conjunt {1, i, j, k} forma una base de H com a R-espai vectorial. A mes a mes, el conjuntesta dotat d’un producte intern segons les lleis de conmutacio

i2 = j2 = k2 = −1ij = −ji = kjk = −kj = iki = −ik = j

Llavors es facil comprobar que (H,+, ·) es un cos no conmutatiu, que te com a subcossos R i C. (De fet, el primer es el centre del grup multiplicatiu del cos) Una vegada introduıt, resumim tot elque hem fet en una definicio:

Definicio 4.2.1 Al conjunt {q ∈ M2×2(C) : q = q =(

z w−w z

)} per a tot z, w ∈ C, amb la

suma i producte de matrius se l’anomena cos dels quaternions i es denota per H.

Pel que vindra despres i per les consideracions geometriques que mes tard veurem, ens interessadiferenciar els quaternions amb part real nul·la. Mes en concret:

Definicio 4.2.2 Tot quaternio q ∈ 〈i, j, k〉 se l’anomena quaternio pur. Al conjunt de quaterni-ons purs l’anomenarem 〈i, j, k〉 = V3.

Degut a la seva estructura, podem definir una norma sobre H segons |q| = +√

det(q), aixı com laconjugacio q → q∗, que es defineix sobre els elements de la base com 1∗ = 1, i∗ = −i, k∗ = −k ik∗ = −k, i s’esten per linealitat a la resta d’elements del cos.

Havent definit aquestes dues aplicacions, podem ara dotar el cos d’estructura d’espai euclidia:definim el seguent operador bilineal

g(q,q’) =12(q∗q’ + qq’∗)

Aquest operador es, de fet, un forma bilineal simetrica i definida positiva, que indueix la normaabans indicada. Amb tot aixo, sobre V3 s’indueix tanmateix una estructura d’espai euclidia de

62

dimensio 3 que, a mes, es orientat. Podem definir, doncs, un producte vectorial de la seguentmanera: si tenim els quaternions purs u = λ1i + λ2j + λ3k i v = µ1i + µ2j + µ3k, el productevectorial de u amb v pot escriure’s com

u ∧ v =

∣∣∣∣∣∣i j kλ1 λ2 λ3

µ1 µ2 µ3

∣∣∣∣∣∣Amb aquesta relacio a la butxaca, podem relacionar les tres operacions que tenim fins ara: elproducte de quaternions, el producte escalar de quaternions i el producte vectorial de quaternionspurs. En efecte, siguin q = λ + u i q’ = µ + v dos quaternions on es diferencia la part real de lapart pura del mateix. Llavors es te la igualtat:

qq’ = (λµ− g(u, v)) + λv + µu+ u ∧ v

amb la qual cosa per a quaternions purs, λ = µ = 0 i per tant es compleix que

uv = −g(u, v) + u ∧ v

permutant u per v i sumant les expressions obtingudes obtenim que el producte vectorial es potescriure com:

u ∧ v =12(uv − vu)

4.2.2 Relacio de SU(2, C) amb SO(3, R)

Una vegada introduıts ja les propietats mes remarcables dels quaternions, passem a relacionar-los amb alguns dels grups dels que volem trobar representacions. Comencem relacionant-ho ambSU(2,C):

Proposicio 4.2.1 SU(2,C) es un subgrup de H.

Prova:Basta aplicar les condicions que defineixen els elements de SU(2,C) per tal de conclore que totelement de SU(2,C) es un quaternio. �

Com el determinant de tot element de SU(2,C) es 1, en particular podem identificar SU(2,C) ambla bola de radi 1 de H, o de forma similar amb

SU(2,C) = {x+ yi+ zj + tk ∈ H : x2 + y2 + z2 + t2 = 1}

Es a dir, vist H com un R-espai vectorial de dimensio 4, SU(2,C) s’identifica de forma naturalamb S3. En particular S3 admet estructura de grup de Lie i en concret es paral·lelitzable. ( Cosaque per S2 no succeeix!)

Passem a relacionar-lo amb SO(3,R). Encara que no ho diguem explıcitament, associarem deforma natural V3 amb R3.

Per a establir la relacio abans citada, fixat un quaternio no nul q, considerem la seguent apli-cacio fq : V3 −→ H, definida segons fq(x) = qxq∗. Si escribim q = λ + v, la expressio de fq(x)queda com:

fq(x) = 2g(v, x)v + (λ2 − |v|2)x− 2λv ∧ x

63

D’aquesta expressio surt inmediatament que la imatge de fq esta continguda en V3 i que potidentificar-se amb una semblanca lineal directa de rao |q|2, ja que:

fqfq∗(x) = qq∗xqq∗ = (|q|2)2x

En particular, per x = v, tenim un vector propi de valor propi |q|2, i si q ∈ SU(2,C), llavors elvalor propi es 1.

Passem ara a donar una interpretacio de l’aplicacio fv, on ja nomes ens restringuim a quater-nions purs. Prenent x ∈ 〈v〉⊥ en resulta que fv(x) = −|v|2x. Hem deduıt doncs que si v ∈ V3

llavors:

1. v es un vector propi de fv amb valor propi |v|2. En particular, l’espai 〈v〉 es invariant perl’accio de fv, sense canviar l’orientacio de qualsevol base.

2. x ∈ 〈v〉⊥ es un vector propi de fv amb valor propi −|v|2. Per tant, l’espai 〈v〉⊥ es invariantper l’accio de fv, canviant l’orientacio de qualsevol base.

D’aquı es dedueix inmediatament que fv es la composicio d’un gir de π entorn a l’eix 〈v〉 seguitd’una dil·latacio de rao |v|2.

Amb tot el que hem vist es facil deduir que si q ∈ H∗, llavors fq es una semblanca directa deV3 de rao |q|2, i que si q ∈ SU(2,C), llavors la semblanca es una isometria, ja que la rao es 1.

Si denotem S+(3,R) al conjunt de les semblances lineals directes de R3, el que hem fet es es-tablir el seguent morfisme

σ : H∗ −→ S+(3,R)q 7→ fq

que, restringit sobre SU(2,C) te com a imatge un subgrup de SO(3,R). Mes en concret, tenim elseguent diagrama:

H∗ S+(3,R)

SU(2,C) SO(3,R)

//σ

��

//σ

De fet, de la expressio de fq se’n dedueix que tota semblanca directa prove d’un quaternio no nul,i de forma similar, que tota isometria lineal directa prove d’un element de SU(2,C). En particularσ es exhaustiva, amb nucli {+I,−I}, cosa que resulta evident ja que girs d’angle π i −π son iguals.

Aixı, doncs, hem arribat finalment al nostre proposit, que era:

Teorema 4.2.1 SU(2,C)/{+I,−I} ' SO(3,R).

Prova:Basta aplicar el primer teorema d’isomorfisme sobre la restriccio de σ en SU(2,C). �

Aquest resultat dona lloc a que tota representacio lineal de SO(3,R) s’obte a partir d’una repre-sentacio lineal de SU(2,C), en particular les irreductibles.

Observacio 4.2.1 Observar que l’aplicacio σ no es mes que una representacio SU(2,C) en R3.

64

4.3 Representacions irreductibles de SU(2, C) i de SO(3, R)

Passarem ara al calcul de totes les representacions irreductibles de SU(2,C) i de SO(3,R). Del’isomorfisme SU(2,C)/{+I,−I} ' SO(3,R) en resulta que, a efectes de calcul, nomes cal quecalculem les representacions irreductibles de SU(2,C).

Per a fer el calcul, procedirem de la seguent manera: per comencar construirem explıcitamenttotes les representacions irreductibles i despres passarem a demostrar que aquestes ho son totes.

Comencem construint aquestes representacions de SU(2,C). Considerem el C-espai vectorial delspolinomis homogenis en dues variables, C[x, y], i considerem els subespais Vn dels polinomis homo-genis en dues variables de grau com a molt n. En aquest context, definim la seguent representaciode SU(2,C):

Φn : SU(2,C) → GL(Vn)A 7→ Φn(A)

definida segons Φn(A)(f(x, y)) = f((x, y)A). Amb mes detall, si A =(a bc d

)∈ SU(2,C),

llavors es te queΦn(A)(f(x, y)) = f(ax+ cy, bx+ dy)

Passem a demostrar directament que totes aquestes representacions son irreductibles:

Proposicio 4.3.1 Les representacions Φn son irreductibles.

Prova:Comencem considerant el subgrup de les matrius diagonals de SU(2,C), que denotarem perD(SU(2,C)). Aquest subgrup es, de fet, un grup uniparametric sobre C parametritzat segons:

D : C∗ → SU(2,C)

z 7→ D(z) =(z 00 z−1

)El que primer farem sera veure quins subespais de Vn son invariants pels elements de D(SU(2,C)).Calculant-ho sobre els elements de la base de Vn, tenim que:

Φn(D(z))(xn−kyk) = zn−2kxn−kyk

Per tant, Vn descomposa en suma directa de subespais de dimensio 1 invariants per la representaciosobre D(SU(2,C)), que a mes son dos a dos no isomorfs ja que tot isomorfisme entre dos espaisvectorials de dimensio 1 es una dil·latacio, que no es mai la relacio existent entre dues representa-cions diferents Vr i Vs.

Sigui ara W qualsevol subespai de Vn invariant per la representacio Φn de SU(2,C). Segonsel que hem vist necessariament es suma de subespais de dimensio 1 generats per elements de laforma xn−ryr ( veure el comentari que segueix a la demostracio). En particular, hi ha un subespai〈xn−kyk〉 ∈ W . Prenent ara un element de SU(2,C)\D(SU(2,C)) (diguem-ne A) que actui sobrexn−kyk es te que:

A =(

z w−w z

)⇒ Φn(A)(xn−kyk) = (zx− wy)n−k(wx+ zy)k

desenvolupant aquests binomis, en particular el terme xn te coeficient no nul. Com W esta generatper monomis, llavors necessariament xn ∈W , ja que W es invariant per l’accio de SU(2,C).

65

Finalment, en el desenvolupament de Φn(A)(xn) apareixen tots els monomis possibles, amb laqual cosa tot monomi de la forma xn−ryr esta contingut en W i per forca W = Vn, tal i comvolıem veure. �

Observacio 4.3.1 Un punt una mica delicat de la demostracio es el seguent: fixat W subespai deVn, llavors descomposa en subespais de dimensio 1. Vam demostrar un resultat similar en el cas degrups finits, pero en el cas de grups compactes no. De fet, aixo es consequencia directa del teoremade Peter-Weyl abans enunciat, i per tant aquı resulta fonamental haver-lo enunciat.

Amb aquest teorema el que hem fet es aconseguit construir un conjunt de representacions irreduc-tibles, pero ara ens falta veure que aquestes ho son totes. Per a fer-ho, el que farem sera utilitzarles relacions d’ortogonalitat existents entre caracters irreductibles. Per a comencar, demostrem unlema:

Lema 4.3.1 Tot element A ∈ SU(2,C) te un conjugat en D(SU(2,C)).

Prova:

De fet, demostrarem que el conjugat es de la forma e(t) =(eit 00 e−it

).

Per a veure-ho, basta prendre, X ∈ SU(2,C) =(

a b

−b a

)i igualar XA = e(t)X. Si A =(

z w−w z

), llavors es tenen les dues equacions:

{az − bw = e−ita

−aw − bz = −be−it

que es un sistema compatible indeterminat. Basta prendre una solucio que compleixi la condicio(a, b) : |a|2 + |b|2 = 1. �

No es complicat demostrar tambe que e(t) i e(s) son conjugats si i nomes si s ≡ ±t(2π). Per tant,si f : SU(2,C) → C es una funcio central de SU(2,C), en particular podem restringuir-nos alcalcul sobre funcions de la forma e(t), segons:

R → SU(2,C) → Ct 7→ e(t) 7→ f(e(t))

Per simplificar, denotant f(e(t)) com fe(t), en resulta que es una funcio 2π-periodica. En concret,podem calcular el caracter χn associat a Φn simplement sobre aquests elements. D’aquesta manera,el que obtenim es el seguent:

Proposicio 4.3.2 χn(e(t)) =∑n

k=0 ei(n−2k)t.

Prova:Els caracters son funcions centrals. La forma explıcita apareix de realitzar un simple calcul id’aplicar la definicio de caracter d’una representacio. �

66

Aquesta suma pot escriure’s, per a t no multiple de π, com sin((n+1)t)sin(t) , i n per t multiple de π.

Llavors de la identitat:sin((n+ 1)t)

sin(t)= cos(nt) +

sin(nt)sin(t)

cos(t)

es te que {χn(e(t)) : R −→ R, n ∈ N} genera el mateix espai que {cos(nt), n ∈ N}, que es un con-junt dens en l’espai L2((0, 2π]). ( De fet, normalitzant adequadament, n’es una base ortonormal)

Es usual escriure aquests caracters en funcio de s = n2 enlloc de la propia n. Amb aquesta

nova notacio, es te que s = 0, 12 , 1,

32 , . . . . En aquest context, usarem indistintament el parametre

s i el n, i si hi ha confusio, es precisara quina notacio s’esta emprant.

Finalment, ja podem demostrar que les representacions irreductibles construıdes son les uniquesllevat d’isomorfisme:

Teorema 4.3.1 Les uniques representacions irreductibles de SU(2,C) son, llevat d’isomorfisme,les representacions Φn.

Prova:Prenguem una representacio irreductible Ψ diferent de totes les Φn, i considerem el seu caracterχΨ. Les relacions d’ortogonalitat donen lloc a que 〈χΨ,Φn〉 = 0 amb arbitrarietat de n. ComχΨ(e(t)) es una funcio 2π-periodica i les χn generen L2((0, 2π]), la condicio d’ortogonalitat nomespot voler dir que χΨ = 0, cosa que no pot ser ja que tambe es compleix que 〈χΨ, χΨ〉 = 1. �

Trobades, doncs, totes les representacions irreductibles de SU(2,C), ja podem passar a construirles corresponents representacions irreductibles de SO(3,R).

De la epijeccio σ : SU(2,C) � SO(3,R) amb nucli {±1} en deduım que si ρ es una represen-tacio irreductible de SO(3,R), llavors ρ◦σ n’es una d’irreductible de SU(2,C), i per tant ρ◦σ(−I)es el morfisme ρ ◦ σ(−I) = ρ(I) = I.

Recıprocament, si ρ es una representacio de SU(2,C) tal que ρ(−I) = I, llavors n’indueix unaaltra sobre SO(3,R).

En definitiva, hem demostrat que:

Teorema 4.3.2 Les representacions irreductibles de SO(3,R) estan en bijeccio amb les represen-tacions irreductibles Φn de SU(2,C) que verifiquen que Φn(−I) = I

Prova:Es el que acabem de veure! �

En concret, es te que Φn(−I) = (−I)n, i per tant les representacions de SU(2,C) que ens interessenson les de grau parell Φ2n.

Una mica mes endavant veurem una construccio directa d’aquestes representacions mitjancantpolinomis definits sobre S2.

67

Observacio 4.3.2 Malgrat que ja hem trobat totes les possibles representacions irreductibles deSU(2,C) usant la teoria de caracters, es pot arribar a conclusions similars estudiant les represen-tacions irreductibles de l’algebra de Lie del grup i estendre aquestes representacions a la resta delgrup, tal i com ja hem fet quan estudiavem l’algebra de Lie d’un grup de Lie.

4.3.1 Descomposicio de Clebsch-Gordan

La forma concreta que tenen els caracters de SU(2,C) permeten una descomposicio en suma di-recta de productes tensorials de les diverses representacions irreductibles Φn i dels seus espais derepresentacio corresponents Vn. Es a dir, les representacions irreductibles de SU(2,C)⊗ SU(2,C)es corresponen precisament amb el producte de les representacions irreductibles de SU(2,C); enconcret, l’espai de representacio de les representacions irreductibles de SU(2,C) ⊗ SU(2,C) seral’espai producte.

Aquesta descomposicio es coneguda com descomposicio de Clebsch-Gordan i ens sera util posteri-orment en la cerca de les possibles transicions d’energia.

Considerem l’espai de representacio Vs1 ⊗ Vs2 . Llavors el seu caracter associat es precisamentχs1χs2 ; supossem sense perdre generalitat que s1 ≤ s2. Desenvolupant aquest producte obtenimque:

χs1(t)χs2(t) =2s1∑k=0

ei(2s1−2k)t2s2∑r=0

ei(2s2−2r)t

ara, tenint en compte que∑2s

k=0 ei(2s−2k)t = ei2(s+1)t−e−i2st

ei2t−1 es dedueix que:

χs1(t)χs2(t) =ei2(s1+s2+1)t − e−i2(s1+s2)t

ei2t − 1+ · · ·+ ei2(s2−s1+1)t − e−i2(s2−s1)t

ei2t − 1

Aixı doncs, el que hem demostrat es que:

Teorema 4.3.3 El producte de caracters χs1(t)χs2(t), on es suposen irreductibles les corresponentsrepresentacions, pot escriure’s com a suma de caracters segons:

χs1(t)χs2(t) = χs2−s1(t) + χs2−s1+1(t) + · · ·+ χs2+s1(t)

Prova:Es el que acabem de veure. �

Aixı el producte Vs1 ⊗Vs2 descomposa en suma dels corresponents subespais irreductibles; es a dir:

Vs1 ⊗ Vs2 = Vs2−s1 ⊕ Vs2−s1+1 ⊕ · · · ⊕ Vs2+s1

Definicio 4.3.1 L’anterior descomposicio del producte Vs1 ⊗ Vs2 s’anomena descomposicio deClebsch-Gordan de SU(2,C).

68

4.3.2 Representacions de SO(3, R) i funcions harmoniques

Ja hem vist com podem calcular totes les representacions irreductibles de SO(3,R) a partir de lesrepresentacions de SU(2,C), pero degut a la component geometrica intrınseca d’aquest grup, ensinteressa recalcular-ho novament, obtenint un conjunt de representacions irreductibles de SO(3,R)no equivalents.

Per a tal cosa considerem l’esfera S2 ⊆ R3. Sigui llavors C(S2) l’espai de les funcions contınu-es sobre S2. Aquest conjunt es un C-espai vectorial que pot dotar-se d’un producte hermıtic tali com ja hem indicat anteriorment i que, de fet, es invariant per l’accio de SO(3,R). ( SO(3,R)defineix una accio sobre aquest conjunt)

Fixat el punt N = (0, 0, 1) ( el pol nord de l’esfera) els elements de SO(3,R) que el deixen fixson els girs al voltant de l’eix z, i per tant formen un subgrup isomorf a SO(2,R). En aquestcontext, confondrem SO(2,R) amb el corresponent subgrup en SO(3,R).

Comencem demostrant un petit lema:

Lema 4.3.2 Sigui U un subespai de dimensio finita de C(S2) invariant per l’accio de SO(3,R).Llavors hi ha un subespai de dimensio en U invariant per l’accio de SO(2,R). ( Segons la identi-ficacio abans considerada)

Prova:El que veurem primer es que U conte funcions que no s’anul·len en el pol nord. Sigui f una funciode C(S2) arbitraria no nul·la, amb la qual cosa existeix x ∈ S2 pel qual f(x) 6= 0. Per aquestpunt x, existeix un element de g ∈ SO(3,R) pel qual gx = N (en el benentes que g actua sobrex segons l’accio de SO(3,R) sobre l’esfera), i per tant l’aplicacio fg definida sobre cada punt perfg(a) = f(ga) envia el pol nord a un valor diferent de 0, i es de U perque es un subespai invariantper l’accio de SO(3,R).

Considerem llavors el subespai V = {f ∈ U : f(N) = 0}. Com SO(2,R) deixa invariant N ,en particular V es un subespai SO(2,R)-invariant, i per tant el seu complement ortogonal en U ,V ⊥ es igualment invariant, i es diferent del buit segons hem vist. En concret, si considerem laseguent aplicacio entre espais vectorials:

φ : U → Cf 7→ f(N)

llavors V = kerφ, i per tant, dimU = dim kerφ − dim C, i aixı, doncs, dimV = dimU − 1, i pertant dimV ⊥ = 1.

Prenent llavors una funcio h de V ⊥ arbitraria, com es SO(2,R) invariant, tota rotacio g al vol-tant de l’eix z envia h a una funcio a(g)h. Com totes aquestes funcions deixen fix el pol nordnecessariament a(g) = 1 per a qualsevol g, i per tant h es la funcio que estavem buscant. �

Considerem ara l’algebra dels polinomis a coeficients complexos en tres variables, C[x, y, z]. Aquestespai vectorial (sobre C) roman invariant per l’accio de SO(3,R). Ara be, tambe pot escriure’scom a suma directa de subespais invariants segons:

C[x, y, z] =∞⊕

i=0

Ai

69

on Ai denota l’espai dels polinomis de C[x, y, z] homogenis de grau i. Com es te que

An = 〈xk1yk2zk3 : k1 + k2 + k3 = n〉

podem dotar An d’un producte hermıtic de tal forma que faci que la base anterior sigui ortogonali de tal manera que es compleixi que (xk1yk2zk3 , xk1yk2zk3) = k1!k2!k3!.

Amb aixo el que tenim es el seguent lema:

Lema 4.3.3 Considerem l’operador x : Ai −→ Ai+1 corresponent a multiplicar per la variable x.Llavors l’operador adjunt de x respecte al producte escalar abans definit es l’operador ∂

∂x .

Prova:Basta comprobar, per linealitat, que per a monomis u, v arbitraris, es te la igualtat

(∂u

∂x, v) = (u, xv)

Amb aquesta observacio, la demostracio esdeve inmediata. �

Es evident que tot l’anterior es generalitza de forma trivial a la resta de variables. De forma inme-diata, d’aquest lema se’n dedueix que l’operador adjunt del operador corresponent a multiplicarper r2 = x2 + y2 + z2 es el laplacia 4.

Llavors, es evident que r2An ⊆ An+2 i que 4An ⊆ An−2. Si ara denotem per H el conjuntde polinomis harmonics i Hn la restriccio d’aquests en An (Hn = An ∩H), tenim el seguent:

Lema 4.3.4 La dimensio de An es 12 (n+ 1)(n+ 2) i la de Hn es 2n+ 1.

Prova:La primera es evident perque els monomis base de An son de la forma xaybzc amb a+ b+ c = n.Aixo ho podem fer de 1

2 (n + 1)(n + 2) formes distintes, ja que a + b pot prendre qualsevol valorentre 0 i n, i per a cada valor fixat k aixo ho podem fer de k + 1 maneres distintes.

En quant a la segona part, prenem un element f ∈ An arbitrari. Aquest pot escriure’s de laforma:

f(x, y, z) =n∑

k=0

xk

k!fk(y, z)

i per tant, fk es un polinomi de dues variables homogeni de grau n−k. Aplicant llavors el laplaciatenim que:

4f =n−2∑k=0

xk

k!fk+2 +

n∑k=0

xk

k!(∂2fk

∂y2+∂2fk

∂z2)

per tal que 4f = 0 necessariament s’ha de complir que fk+2 = −(∂2fk

∂y2 + ∂2fk

∂z2 ). Coneixent lesfuncions f0 i f1 en podem deduir qualsevol de fk, i per tant una base per a les funcions f0 i f1n’indueix una base per a Hn.

Per tant, la dimensio de Hn es correspon amb la suma de les dimensions dels espais vectorialsdels polinomis en dues variables homogenis de grau n i n− 1. Es a dir, (n+ 1) + n = 2n+ 1. �

70

Amb aixo a la butxaca, podem escriure An = Hn ⊕ r2An−2: en efecte, si u ∈ ker4, llavors:

0 = (4u, v) = (u, r2v)

on v es un element arbitrari. Llavors r2v es ortogonal a u, per a tot v. En concret, r2An−2 ⊥ Hn.A mes a mes, com la suma de dimensions es la dimensio de An, llavors per forca es te queAn = Hn ⊕ r2An−2.

Aplicant aquesta descomposicio de forma iterada n’obtenim una altra de An nomes en termesde funcions harmoniques:

An = Hn ⊕ r2Hn−2 ⊕ r4Hn−4 ⊕ . . .

El que veurem ara es que, de fet, cadascun dels sumands es invariant i irreductible. Per a fer-ho,considerem la restriccio ρ de les funcions contınues sobre S2. En concret, considerem la restricciodels polinomis homogenis de tres variables en S2, que pel teorema de Weierstrass es un conjuntdens en C(S2). A mes a mes, si f ∈ A, llavors si f 6= 0 llavors ρ(f) 6= 0. Aixı, doncs, es evidentque:

ker ρ ∩Am = 0

Si denotem per z ∈ S1 al gir d’angle arg(z) al voltant de l’eix z, estem establint un morfismebijectiu entre S1 i SO(2,R), i per tant, tot element de z ∈ S1 estableix una transformacio delselements gz de An Amb aquesta premisa, tenim el seguent lema que ens servira posteriorment peral nostre proposit:

Lema 4.3.5 L’espai An admet una base de funcions propies de tot z ∈ SO(2,R). Els corresponentsvalors propis son de la forma zk, amb k = 0,±1,±2, · · · ±m, i la multiplicitat del valor propi zk

es [ 12 (m− |k|)] + 1.

Prova:Escribint u = x − iy i , llavors l’accio d’un element z ∈ SO(2,R) sobre u es tradueix simplementen la multiplicacio de z per u, i sobre u es tradueix en la multiplicacio d’aquest per z−1.

Com tot polinomi de An es pot escriure de forma unica com a combinacio lineal de monomisde la forma uaubzc, complint-se que a+ b+ c = n, llavors com

gz(uaubzc) = za−buaubzc

en resulta que les funcions uaubzc son funcions propies per l’accio de tot element de SO(2,R), ambvalor propi za−b, respectivament. A mes a mes, a − b pot prendre 2n + 1 valors diferents. Per acadascun d’aquests valors ( diguem-n’hi un d’ells, per exemple k), les formes que podem triar a i bper tal que a− b = k, tenint en compte que aquests valors son positius, que son inferiors a n i quesumen menys que n es [ 12 (m− |k|)] + 1. �

Una vegada ja demostrat aixo, podem passar a la irreductibilitat abans enunciada:

Proposicio 4.3.3 La descomposicio An = Hn ⊕ r2Hn−2 ⊕ r4Hn−4 ⊕ . . . es una descomposicio deAn en SO(3,R)-invariants espais minimals.

Prova:Per comencar, la imatge de An per la restriccio sobre l’esfera es un isomorfisme de C-espais vecto-rials, i per tant podem traduir el lema anterior a la restriccio de An sobre l’esfera.

71

Segons el que abans hem vist, si descomposem An com a suma d’espais invariants, necessaria-ment en cadascun dels subespais corresponents hi ha una funcio invariant per l’accio de SO(2,R).Del lema anterior, la dimensio del subgrup de An invariant per l’accio de tot element de SO(2,R)te dimensio [m

2 ]+1, i per tant, com en la descomposicio proposada tenim aquest nombre de compo-nents invariants per l’accio de SO(3,R), necessariament han de ser minimals, que es el que volıemveure. �

Finalment, del lema anterior i de la proposicio ara demostrada se’n despren el seguent teorema,que resumeix tot el que hem estat fent:

Teorema 4.3.4 La restriccio de l’espai de les funcions contınues de R3 sobre l’esfera descomposaen suma directa d’espais minimals i invariants ρ(Hn), on cadascun dels ρ(Hn) te dimensio 2n+1,i que admet una base ortogonal Yn,0, Yn,±1, . . . Yn,±n, on cadascuna de les funcions son funcionspropies de les transformacions z ∈ SO(2,R), amb valor propi zk.

Prova:La restriccio de r2 sobre S2 es la funcio constant igual a 1. Per tant, tenim la descomposicioseguent:

ρ(An) = ρ(Hn)⊕ ρ(Hn−2)⊕ ρ(Hn−4)⊕ . . .

on cadascun dels sumands es un subespai invariant per l’accio de SO(3,R) i minimal amb aquestapropietat.

La restriccio dels polinomis de tres variables i homogenis A sobre S2 pot escriure’s llavors com

ρ(A) = ρ(A0)⊗ ρ(A1)⊗ · · · = ρ(H0)⊗ ρ(H1)⊗ . . .

En aquesta situacio, la representacio de SO(3,R) en cadascun dels ρ(Hn) es isomorfa a la correspo-nent representacio en Hn. Per altra banda, la representacio de SO(2,R) en An es suma de represen-tacions de dimensio 1 de la forma gz → zk, on k pot prendre qualsevol valor en {0,±1,±2, . . . ,±n},amb les corresponents multiplicitats ja calculades abans.

Per tant, la representacio de SO(2,R) en Hn descomposa en suma de representacions irreduc-tibles de grau 1, i de la descomposicio de An com Hn ⊕ r2An−2 se’n dedueix que la multiplicitatde la representacio gz → zk en Hm es la diferencia de les multiplicitats d’aquesta en An i en An−2,que segons el que havıem obtingut abans, es 1.

Aixı, en ρ(Hn) existeix una base de polinomis, que denotarem per Yn,0, Yn,±1, . . . Yn,±n que com-pleixen que

gzYn,k = zkYn,k

novament, doncs, dimHn = dim ρ(Hn) = 2n+ 1.

Finalment, per a n 6= m les representacions de SO(3,R) en ρ(Hn) i en ρ(Hm) no son isomorfes, icom les representacions son unitaries, en deduım que els subespais ρ(Hn), ρ(Hm) son ortogonals,i en concret linealment independents. Aplicant-ho tambe sobre SO(2,R), se’n dedueix que lesfuncions Yn,0, Yn,±1, . . . Yn,±n son dos a dos ortogonals, cosa que completa finalment el teorema. �

Una vegada vistes totes les representacions possibles, ens interessem ara per expressions explıcitesd’aquestes funcions propies.

72

Ja hem vist abans que cadascun dels ρ(Hn) espais contenen nomes un subespai de funcions propiesde valor propi, el generat per Yn,0. Es facil comprobar que necessariament es combinacio lineal demonomis de la forma uauazb, amb 2a+b = n. Com uaua = (x2+y2)a = (1−z2)a, en particular Yn,0

es un polinomi de grau n en la variable z. A mes a mes, el conjunt de polinomis Y0,0, Y1,0, . . . , Yn,0

son linealment independents. Emprant la relacio existent entre Yn,0 i Pn es inmediat demostrarque

0 =∫ 1

−1

Pn(t)Pm(t)dt

amb la qual cosa P0, . . . , Pn son una base del conjunt de polinomis en una variable de grau menoro igual que n.

Aquests polinomis son ampliament coneguts i es coneixen amb el nom de polinomis de Legendre.

Els primers polinomis de Legendre son, llevat de constants multiplicatives, els seguents:

P0(t) = 1

P1(t) = t

P2(t) = 3t2 − 1

P3(t) = 5t3 − 3t

P4(t) = 35t4 − 30t2 + 3

Encara que no ho demostrarem aquı ( pot demostrar-se usant arguments sobre l’algebra de Lie deSO(3,R) tal i com hem indicat en la seccio anterior), es comproba que{

Ym,k(x, y, z) = (x− iy)k dm

dzmPm(z)Ym,−k(x, y, z) = (x+ iy)k dm

dzmPm(z),

on s’enten que k es positiu.

No ho demostrem tampoc, pero aquestes representacions irreductibles son isomorfes a aquellesconstruides a partir de les representacions irreductibles de SU(2,C).

73

Capıtol 5

Estudi de simetries de sistemesfısics

Una vegada arribats a aquest punt, ja tenim tota la maquinaria per a resoldre el problema queinicialment ens estavem preguntant.

En el que segueix s’introduira com es pot aplicar la teoria de representacions en l’estudi de sistemesfısics (el que s’enten per simetria d’un sistema sota un grup fixat G), aixı com aplicacio d’aquestesidees en l’estudi de l’atom lliure i de l’estructura de la taula periodica.

5.1 Motivacio per la mecanica quantica

En sistemes fısics regits pels postulats de la fısica quantica, dos dels aspectes mes rellevants queinteressa coneixer son:

1. L’evolucio del sistema fısic a partir d’una situacio inicial, coneixent l’estat inicial del sistemai la hamiltoniana H que defineix l’evolucio i la dinamica del sistema.

2. Cercar els valors propis i funcions propies de la hamiltoniana. Aquest punt es molt important,ja que en la majoria de casos el coneixement de les funcions propies de la hamiltoniana permetconeixer i deduir tota la informacio possible del sistema.

Moltes vegades, pero, el coneixement explıcit de les funcions propies es inviable degut a la impossi-bilitat de resoldre explıcitament les equacions que se’n deriven. Ara be, pot succeir que el sistematingui ”simetria”. Anem a precisar el que entenem per simetria.

Supossem que l’espai d’estats d’un determinat sistema fısic ve donat per un element f d’un espaide Hilbert F . Podem considerar, doncs, l’accio d’un determinat grup G sobre F que preservi lalinealitat. Veguem com aquesta accio en determina una altra en el conjunt d’operadors lineals deF a F , que tambe preserva la linealitat. Denotem aquest conjunt per Op(F). Donat un elementA ∈ Op(F), i σ ∈ G, definim la seguent accio:

φ : G×Op(F) → Op(F)(g,A) 7→ φ(g,A) ≡ gA

74

on l’operador gA es defineix sobre qualsevol f ∈ F com (gA)(f) = g(Af). Amb aquesta definicio,φ es efectivament una accio del grup G sobre el conjunt F . De forma similar podem definir unaaltra accio segons:

φ′ : G×Op(F) → Op(F)(g,A) 7→ φ′(g,A) ≡ Ag

definida sobre qualsevol element f ∈ F com (Ag)(f) = A(gf).

Definicio 5.1.1 Direm que φ es l’accio de G sobre Op(F) per l’esquerra, i que φ′ es l’acciode G sobre Op(F) per la dreta.

Amb aquest previ, ja podem passar a definir el que vol dir que un sistema presenti ”simetria”.

Considerem un sistema fısic la informacio del qual es recull en la seva hamiltoniana H, i ungrup G que actua sobre l’espai d’estats corresponent, que anomenem F . S’indueix una accio deG sobre Op(F) per la dreta i per l’esquerra, que seguint la notacio denotarem φ′ i φ respectivament.

Llavors:

Definicio 5.1.2 Un sistema fısic donat per la hamiltoniana H presenta simetria respecte al grupG si φ(g,H) = φ′(g,H) per a qualsevol element g ∈ G.

Es a dir, per a qualsevol element de g, podem escriure que gH = Hg, i per tant la hamiltoniana”conmuta” amb qualsevol element del grup. ( El ”conmutar”, en el sentit que li hem donat)

Passem ja a relacionar amb la teoria de representacions de grups que hem desenvolupat fins ara:supossem que la evolucio temporal d’un sistema fısic a nivell quantic ve determinat per la sevahamiltoniana (o el seu operador hamiltonia) H. Les funcions d’ona que romanen invariants al pasdel temps son aquelles que compleixen la equacio funcional:

Hψ = Eψ

En aquesta situacio, ψ es una funcio propia del operador i el seu valor propi es l’energia de l’estat.

Sigui en aquest cas G un grup de transformacions pel qual el sistema en questio es simetric:per a qualsevol g ∈ G es te que gH = Hg, en el sentit que li hem donat abans.

Sigui ara ψ una funcio propia amb energia E; llavors tenim que:

(gH)(ψ) = g(Hψ) = g(Eψ) = Egψ = H(gψ) = (Hg)(ψ)

Es a dir, si ψ es una funcio propia amb energia E, llavors per a qualsevol element g ∈ G, l’estatgψ es tanmateix una funcio propia amb energia E. Mes en concret, amb el llenguatge que hememprat fins ara:

Teorema 5.1.1 Sigui H una hamiltoniana d’un sistema fısic que presenta simetria respecte al grupG. Llavors les funcions propies que tenen un mateix nivell d’energia formen un espai vectorial Vde tal forma s’indueix de forma natural una representacio ρ : G −→ GL(V ).

Prova:Ja hem vist que si τ ∈ G, i ψ una funcio propia amb energia E, llavors τψ tambe es una funcio

75

propia amb energia E.

A mes a mes, si ψ1 i ψ2 son funcions propies de H amb energia E, qualsevol combinacio line-al tambe ho es amb energia E. En concret, l’espai vectorial generat per les funcions propies ambenergia fixada son invariants per l’accio de G. Es llavors evident que s’indueix de forma trivial unarepresentacio de G en GL(V ). �

Aquest teorema es la clau per a relacionar el que hem estat fent fins ara amb el que volem fer:podem enumerar i descriure un determinat nivell d’energia i les seves corresponents funcions pro-pies simplement coneixent les corresponents representacions que existeixen del grup. Evidentment,si la representacio que se’n dedueix no es irreductible, la podem escriure com suma de diversesirreductibles, on totes tindran el mateix nivell d’energia.

Mes en concret, si trobem una representacio que sigui irreductible, (”refinant” per exemple, unespai vectorial que haguem trobat inicialment), llavors tenim el seguent corol·lari:

Corol·lari 5.1.1 Sigui H una hamiltoniana que presenta simetria respecte al grup G. Llavors lesfuncions propies associades a una representacio irreductible de G tenen el mateix nivell d’energia.

Prova:Del teorema anterior, l’espai vectorial de les funcions propies de la hamiltoniana amb el mateixnivell d’energia es irreductible o be pot ser reduıt en subespais invariants i corresponents a repre-sentacions irreductibles de G.

Com no pot succeir que funcions propies de la hamiltoniana que pertanyin a la mateixa repre-sentacio tinguin nivells d’energia distints, se’n dedueix que les representacions irreductibles en lesque descomposa aquesta representacio inicial tambe han de tenir el mateix nivell d’energia. �

En general, pero, no podem dir que funcions propies que siguin de distinta representacio irreduc-tible tinguin diferent energia.

Amb aquesta idea a la butxaca ja podem passar a analitzar el problema el problema classic delatom d’hidrogen i dels seus nivells d’energia. Posteriorment tractarem el cas mes complex de la for-mulacio en el context en que ens trobem del principi d’exclusio de Pauli i la consequent construcciode la taula periodica.

5.2 Estudi de la hamiltoniana 4+ V (r) i aplicacions

Un dels primers problemes que sorgeixen de forma natural es el del cas d’un sistema que es trobasota un potencial central. En concret, el que interessa es estudiar el comportament de la hamilto-niana:

H =−~2

2µ4+ V (r)

on µ denota la massa reduıda del sistema (en el cas que tractarem, el nostre sistema el forma elnucli i el electro de l’atom). Aixı, doncs, V (r) es invariant per l’accio de qualsevol transformacioque deixi invariant r.

76

En concret, estem interessats en trobar solucions que siguin de L2(R3), i mes en concret, quesiguin separables; es a dir, estem interessats en solucions contingudes en L2(R+)⊗ L2(S2).

Considerem ara l’accio de SO(3,R) sobre aquesta hamiltoniana, prenent g ∈ SO(3,R) arbitra-ri.

Es te llavors que:

Lema 5.2.1 Per a qualsevol desplacament A, A4 = 4A.

Prova:Basta escriure la expressio matricial de A i tenir en compte que si f : R3 → R3, llavors es compleixque (Af)(x, y, z) = f(A(x, y, z)) = g(x, y, z). �

En concret, si ens restringim a SO(3,R), el operador laplacia conmuta amb qualsevol gir. Comper altra banda, V (r) nomes depen de r i tot element de SO(3,R) es una isometria, en concretV (r) tambe conmuta amb qualsevol element de SO(3,R). Aixı doncs, el sistema presentat presentasimetria respecte a SO(3,R).

I en aquest punt entra l’estudi que hem realitzat abans de totes les representacions irreducti-bles de SO(3,R): recordem que si Hi es el conjunt de polinomis de tres variables sobre R ambcoeficients a C i entrades reals, i ρ la corresponent restriccio d’aquests S2, sabem que cadascundels espais ρ(Hi) dona lloc a una representacio irreductible de SO(3,R) per a cada valor de i, detal forma que per a i 6= j les representacions no son isomorfes. Ara be, tenim que:

Lema 5.2.2 Es te que L2(S2) =⊕

i≥0 ρ(Hi).

Prova:Per a demostrar aixo, basta demostrar que

⊕i≥0 ρ(Hi) es dens en el conjunt de funcions contınues

sobre S2. ( Ja que aquest segon es un conjunt dens en L2(S2)).

Observar ara que tota funcio contınua definida en S2 pot aproximar-se per un polinomi en R3,que al seu moment pot escriure’s com a suma de les seves components homogenies. Cadascuna deles components homogenies de grau k pot escriure’s com:

f0 + r2f1 + r4f2 + . . .

on fi ∈ Hk−2i, segons la descomposicio Ak = Hk ⊕ r2Hk−2 ⊕ r4Hk−4 ⊕ . . . .

Restringint-ho sobre la esfera unitat, r = 1, i es dedueix el que volıem. �

Aixı, doncs, per estudiar qualsevol solucio en L2(R+)⊗ L2(S2) podem restringir-nos a l’estudi deles solucions que viuen en cadascun dels L2(R+)⊗ ρ(Hk).

Per a comoditat, escribim el laplacia en coordenades esferiques segons:

4 =1r2

∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

1r2

(1

sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1sin2(θ)

∂

∂φ2

)

77

que tambe es pot escriure com

4 =1r2

∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

1r24S2

Observar ara que donat un element Y ∈ ρ(Hn), podem reconstruir la funcio f en Hn de la qualY n’es restriccio. Efectivament, com f es un polinomi homogeni de grau n, el valor que pren enqualsevol punt ve univocament determinat pel valor que pren sobre S2; en concret, tenim que:

f(r, θ, φ) = rkY (θ, φ)

llavors es evident que:

0 = 4f =(

1r2

∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

1r24S2

)rkY = (k(k + 1) +4S2)rk−2Y

amb la qual cosa, es te la igualtat 4S2Y = −k(k + 1)Y per a qualsevol element de ρ(Hk). Pertant, per cadascuna de les representacions irreductibles ja coneixem aquest valor propi ”parcial”( observar que no es la energia, encara ens falta una peca de la hamiltoniana total!) i el grau dedegeneracio.

En definitiva, que ara la hamiltoniana H, restringuida sobre L2(R+)⊗ ρ(Hk) pot escriure’s com:

H|L2(R+)⊗ρ(Hk) = Hk =−~2

2µr2

(∂

∂r

(r2∂

∂r

)− k(k + 1)

)+ V (r)

Fixat ara un valor de k, denotem els valors propis del operador Hk per λk1 ≤ λk2 ≤ . . . , oncadascun dels valors propis te multiplicitat 2k + 1, ja que cadascun d’aquests son de ρ(Hk) i jasabem que el grau de la representacio irreductible corresponent es precisament aquest nombre.

Per tant, tot valor propi ve donat per dos parametres k i n. Tradicionalment al parametre kse l’escriu per l. A partir d’ara es el que farem.

5.2.1 L’atom d’hidrogen. Resolucio

Centrem-nos ara en el cas de l’atom d’hidrogen. En aquesta situacio podem fer explıcit el potencial,i per tant el que haurem d’estudiar sera l’operador:

Hk =−~2

2µr2

(∂

∂r

(r2∂

∂r

)− l(l + 1)

)− e2

r

El que fem ara es prendre una funcio que nomes depengui de r, amb el que queda la equacio devalors propis:

HkR = ER⇒ R+2rR+

(8π2µ

h2

(E +

e2

r

)− l(l + 1)

r2R

)= 0

En el que segueix supossarem que E < 0. Realitzem ara el canvi E = − 2π2µe4

n2h2 , sent n un parametrereal, i fent el canvi de variables

r =nh2

8π2µe2x

78

la equacio diferencial anterior pot escriure’s com:

R+2xR+

(−1

4+n

x− l(l + 1)

x2

)R = 0

Una vegada establerta aquesta equacio diferencial, el que fem es buscar solucions de la forma

R(x) = u(x)xle−x2

Si apliquem aquesta forma de R sobre l’equacio diferencial que verifica, obtenim la seguent equaciodiferencial

xu+ (2l + 2− x)u+ (n− l − 1)u = 0

i finalment fent el canvi a = n+ l i b = 2l + 1 obtenim la equacio

xu+ (b+ 1− x)u+ (a− b)u = 0

de l’estudi d’aquesta equacio diferencial (estudi en el qual no entrarem), se’n dedueix que per talque R ∈ L2(R+), necessariament n ha de ser enter i superior o igual a l + 1.

Amb aquest fet a la butxaca, el que farem sera relacionar la solucio d’aquesta equacio amb elsanomenats polinomis de Laguerre, que sorgeixen de la resolucio de la equacio diferencial

xya + (1− x)ya + ay = 0

La solucio d’aquesta equacio es unica si forcem que la solucio sigui polinomica. En aquesta situacio,la funcio

yba(x) =

db

dxbya

compleix la nostra equacio per a l’atom d’hidrogen.

Fixant que la funcio d’ona tingui norma 1 en tot l’espai, o equivalentment, que:∫ ∞

0

R(r)2r2dr = 1

i escribint h2

4π2µe2 = a0 (nombre que en fısica es coneix com radi de la primera orbita de Bohr),finalment el que s’obte es que:

R(r) = −(

2na0

)l√(

2na0

)3 (n− l − 1)!2n((n+ l)!)3

e−rna0 y2l+1

n+l

(2rna0

)Un analisi similar pel cas E > 0, dona lloc al cas en que l’atom d’hidrogen es troba ionitzat. Noentrarem en els detalls d’aquest estudi.

En definitiva, fixat un valor de l, llavors el valor de n pot ser l + 1, l + 2, . . . , i per cadascunade les parelles (n, l) es te una degeneracio d’ordre 2l + 1.

79

De forma general aquest fet es representa graficament com:

on s es correspon al nivell l = 0, p es correspon al nivell l = 1, d es correspon al nivell l = 2 y f escorrespon al nivell l = 3.

Habitualment, en el context fısic no apareixen mes que aquests nivells.

Observacio 5.2.1 L’estudi d’atoms ionitzats tals com He+ o be Li2+ es forca similar al analisisque s’ha fet en el cas de l’atom d’hidrogen: basta prendre en el terme V (r) l’operador −Ze2

r enllocde − e2

r , i adonar-se que ara la massa reduıda µ pren per valor:

µ =MZm

MZ +m

on MZ es la massa del nucli i m es la massa de l’electro.

5.2.2 Regles de transicio entre nivells d’energia

L’estudi dels casos en els que el potencial V (r) no es exactament el valor kr pot donar a solucions

i valors propis totalment diferents, pero si el potencial es una funcio suficientment ”semblant” a− e

r , es te que els nivells d’energia varien de la seguent manera:

80

es a dir, es mante les condicions sobre les parelles (n, l), pero els valors dels distints E ara ja passena dependre tambe del valor de n ( en el sentit que abans nomes calia que n > l i el valor de Ellavors era arbitrari de l) Ara be, en qualsevol dels casos, el que si que es mante es les regles deseleccio per l’absorcio i expulsio d’energia en l’espectre. Anem a explicar una mica aquest fet i,posteriorment, a justificar-ho.

Considerem que en un sistema monoatomic en el que nomes hi ha un electro excitat. Alesho-res pot succeir que l’electro passi del seu estat (n, l) a un altre estat (n′, l′). El que veurem ara esque aquest segon valor no es un valor arbitrari, i que de fet ve donat per una regla de seleccio.

Considerem doncs el sistema nucli-electro, en el que el electro es troba en el valor de la l-esimarepresentacio. Llavors el seu espai d’estats es un vector de l’espai V1 ⊗ Vl, on aquests Vk son elsespais de representacio de SU(2,C) introduıts en el capıtol anterior.

No hi ha problema en aquesta identificacio, ja que hem de recordar novament que SO(3,R) iSU(2,C) son essencialment el mateix grup, via morfisme, llevat del signe.

En aquesta situacio, i recordant la descomposicio de Clebsch-Gordan, podem escriure

V1 ⊗ Vl = Vl−1 ⊕ Vl ⊕ Vl+1

Llavors, tenint en compte que una transicio dipolar electrica pot prendre’s com una aplicacio vec-torial, en concluim que el valor de l en aquesta transicio unicament pot complir que 4l = ±1, 0.

Aquest fet es cert per a qualsevol sistema cuantic aıllat, pero en el que estem fent, encara espot refinar una mica mes.

Efectivament, tenint en compte que el potencial V (r) es de fet invariant per l’aplicacio antipo-dal en R3, i per tant tenim regles de seleccio per al grup Z/2Z. ( En concret, la hamiltonianapresenta simetria respecte a Z/2Z) Es a dir, tenim dos espais de representacions que es correspo-nen amb la representacio trivial i no trivial d’aquest grup.

Notem ara que els corresponents ρ(H0) ⊕ ρ(H2) ⊕ . . . i ρ(H1) ⊕ ρ(H3) ⊕ . . . es corresponen ambl’espai de les representacions trivial i no trivial de Z/2Z, respectivament. Ara be, V1 pertanyevidentment a la representacio no trivial d’aquest grup, d’on es dedueix sense gaire esforc quenecessariament s’ha de complir que 4l = ±1

En definitiva, el que hem vist es que les transicions d’energia nomes poden realitzar-se entrecolumnes consecutives, i mai dintre d’una mateixa columna.

A tıtol d’exemple, observar les possibles transicions per a l’atom de liti neutre. Els valors quees mostren son les corresponents longituds d’ona donades en Amstrongs: ( unitat forca empradaen aquest context)

81

Transicions en l’atom de liti neutre.

82

5.3 La taula periodica

En el que segueix es preten justificar el perque la taula periodica es com es: perque els electronsestan ubicats en el nivell d’energia que toca i no en d’altres. Per a tal cosa, el primer que es neces-sitara sera comprobar el que en el context en el que ens trobem s’anomena principi d’exclusiode Pauli.

5.3.1 Principi d’exclusio de Pauli

Considerem ara el sistema corresponent a un atom, on existeix un nucli y un conjunt de n electrons{ei}0<i<n+1, l’estat dels quals ve donat per un cert element en un espai de Hilbert Hi. L’estat delsistema total d’electrons sera un element de H1 ⊗H2 ⊗ · · · ⊗Hn. Ara be, com tots els electronsson indistingibles, de fet l’espai d’estats total es

⊗0<i<n+1H, on H = Hi per i = 1, 2, . . . , n.

Aquest sistema presenta novament simetria: sense encara introduir la hamiltoniana que el defineix,es evident que si ψ1⊗ψ2⊗· · ·⊗ψn es una funcio d’ona valida, llavors tambe ho sera una permutaciodels coeficients. Es a dir, si σ ∈ Sn, llavors l’estat ψσ(1)⊗ψσ(2)⊗· · ·⊗ψσ(n) es tambe un estat valid.

Aixı doncs, en aquesta situacio la hamiltoniana presentara simetria respecte a Sn, i per tantels espais irreductibles es correspondran amb les diverses representacions irreductibles del grup.

Per al nostre proposit, nomes estudiarem dues d’aquestes representacions: les corresponents ala representacio trivial i a la representacio que compta el signe de la permutacio. Cadascunad’aquestes representacions tenen com a subespais invariants irreductibles els subespais d’elementssimetrics i d’elements antisimetrics, respectivament, i que denotarem per Sn(H) i

∧n(H).

Per exemple, en el cas de dos electrons, el conjunt d’elements simetrics de H ⊗H sera un subespaigenerat per elements de la forma f1 ⊗ f2 + f2 ⊗ f1, mentre que el conjunt d’elements antisimetricsesta generat per elements de la forma f1 ⊗ f2 − f2 ⊗ f1.

Cal introduır ara un resultat propi de la fisica quantica relativista, conegut com el teoremaestadıstic sobre l’spin: donat un sistema de n particules identiques amb spin n, aleshores elsunics estats possibles en

⊗0<i<n+1H son els estats de Sn(H) si s es enter, i els estats de

∧n(H) sis es fraccionari. En aquesta situacio, es diu que les particules del primer grup son bosons mentreque en el segon cas es tenen fermions.

Aixı, doncs, com els electrons son particules amb spin igual a 12 , son efectivament fermions, i per

tant no es pot donar que l’estat del conjunt d’electrons sigui de la forma ψ1⊗· · ·⊗ψ⊗· · ·⊗ψ⊗· · ·⊗ψn,ja que al considerar el seu antisimetritzat obtindriem l’estat 0: aixo succeeix nomes en el cas derepeticio d’algun dels estats, i per tant aixo aquesta situacio es prohibida.

Per tant hem arribat a demostrar el seguent:

Teorema 5.3.1 (Principi d’exclusio de Pauli) en un sistema on existeix un conjunt divers d’elec-trons, cadascun d’aquests es troba en un estat diferent.

Prova:Es el que s’ha discutit en aquesta seccio. �

83

Observacio 5.3.1 Observar que el principi d’exclusio de Pauli pot generalitzar-se de forma naturala la resta de fermions.

5.3.2 . . . i l’spin. . . , que?

En tota la discussio que hem realitzat abans es fonamentava en el principi d’exclusio de Pauli, queal seu moment es basava en que l’electro es una particula etiquetada com a fermio, o equivalent-ment una particula amb spin fraccionari. Pero, que es realment l’spin?

Es podria dir en grans trets que l’spin es la primera propietat intrınsecament quantica: es unapropietat ampliament verificada experimentalment que tota partıcula te un moment angular in-trınsec, i un moment magnetic intrınsec associat. En el que segueix centrarem tota la discussio enel cas de l’electro.

El moment magnetic es la suma de dos contribucions: la primera es deguda a una carrega electrica( l’electro, en aquest cas) que descriu una orbita; la segona es un moment magnetic intrınsec, ambexpressio

µe = −geµB

~S

on ge es un factor adimensional anomenat factor piromagnetic del electro y µB = e~2mec . Per tant

es proporcional a un vector S = (sx, sy, sz) que denominarem moment angular intrınsec o spinde l’electro.

Si ara un feix lineal d’electrons es fa passar per un dispositiu en el que existeix un camp mag-netic no uniforme orientat en un direccio ( que per simplificar supossarem l’eix z), llavors l’energiad’interaccio de l’electro amb el camp sera:

E = −µe ·B =geµB

~szB(z)

Experimentalment es comproba que el valor que pren sz nomes pot ser ±~2 . (Fent variar, per

exemple, el camp magnetic al llarg de la direccio z)

A la vista d’aquesta observacio, l’experiment pot analitzar-se com segueix: Al fer passar un feixd’electrons a traves el dispositiu el que fem es mesurar una de les components de l’spin. Aixı doncs,en funcio del resultat que s’obte l’electro es desvia d’una forma o d’altra. D’aquesta forma, si sz

es l’operador associat a l’observable sz, aquest nomes te dos valors propis: ±~2 .

Tot aixo suggereix que l’espai d’estats de l’spin d’un electro sigui un espai de dimensio 2 sobreC, amb base les funcions propies de sz, que denotarem per φ+ y φ−. En concret, es compleix que:

szφ+ = ~2φ+; szφ− = −~

2φ−

Aixı doncs, en aquesta base, l’operador sz pot escriure’s com:

sz =~2

(1 00 −1

)

84

De forma experimental es comproba a mes a mes que per aquesta base, els observables sx i sy

compleixen que:(φ+, sxφ+) = (φ−, sxφ−) = 0

(φ+, syφ+) = (φ−, syφ−) = 0

De fet, amb una mica mes de teoria es pot demostrar que l’expressio matricial d’aquests observablesha de ser:

sx = ~2

(0 11 0

); sy = ~

2

(0 −ii 0

)

i per tant, es torna a observar la rellevancia de les matrius de Pauli en aquest camp de la fısica.

Ara el que ens cal es introduir el concepte d’spin al nostre espai d’estats. Suposem que enstrobavem inicialment en un espai de Hilbert H en la hipotesi de no considerar l’spin ( en el casd’una partıcula en moviment en una dimensio seria L2(R)). Tenint en compte l’spin, ara el nostreespai es H⊗ C2, i per tant, el sistema es trobara en un estat de la forma:

f1 ⊗ φ+ + f2 ⊗ φ−

Aquesta expressio es l’anomenada funcio espinorial o espinor de la partıcula.

D’aquesta forma, en el principi d’exclusio de Pauli abans descrit hem de considerar l’spin de cadas-cun dels electrons. En concret, les funcions d’ona a les que es refereix el principi son precisamentles funcions espinorials.

5.3.3 Distribucio d’elements en la taula periodica

Una vegada comprobat el principi d’exclusio de Pauli i despres d’haver comentat una mica el quees l’spin d’un electro, ja estem en condicions de ”muntar” la taula periodica, i de justificar perquees, efectivament, aixı.

Per comencar, considerem el hamiltonia associat a un sistema en el que ara existeix mes d’unelectro. El nostre espai de configuracio sera, pel cas d’haver-hi N electrons,

⊗Ni=1 R3 = R3N . El

hamiltonia prendra en primera aproximacio la forma seguent:

H = − ~2

2m

N∑i=1

4i −N∑

i=1

Ze2

ri+∑i 6=j

e2

rij

on4i es refereix al laplacia respecte a les coordenades associades a l’electro i, ri es la distancia entreel nucli de l’atom (que es supossa puntual) i l’electro i rij es la distancia entre l’electro i i l’electro j.

Observar que aquest hamiltonia es la traduccio literal del mon classic al mon quantic, i que no estemconsiderant ni l’efecte de l’spin ni altres fenomens quantics mes refinats. Ara be, pel raonament quefarem, treballar sobre aquest operador ja ens portara a resultats suficientment propers a la realitat.

Aquesta equacio, pero, no te solucio que es pugui trobar per quadratures. El que es fa, i tambe por-ta a solucions forca properes al que s’observa experimentalment, es treballar sobre un hamiltoniaun tant pertorbat que pren la forma:

H = − ~2

2m

N∑i=1

4i +N∑

i=1

V (ri)

85

es a dir, es desprecia en certa manera l’efecte entre els electrons, i es perturba el potencial associata cadascun d’aquests. La justificacio fısica de que aquesta aproximacio es valida pot trobar-se, perexemple, en [Hein93] o be en [Ster94].

Aquesta equacio te solucio, per a cada i de la mateixa forma que hem fet quan nomes teniemun electro.

Obtenim, doncs, solucions aproximades per a cadascun dels electrons, que anomenarem orbi-tals atomics. Aixı, cadascun dels orbitals atomics tindra associada una representacio irreductiblede SO(3,R) (o equivalentment un valor de l), i per a cadascun dels valors de l, tindra associat unvalor n superior a l.

De forma general, aquests nivells d’energia segueixen el seguent ordre creixent en energia:

1s < 2s < 2p < 3s < 3p < 3d < 4s < 4p < 5s < 4d < . . .

cosa que es pot simbolitzar amb el diagrama d’energies que ja hem utilitzat abans:

anirem, pero, una mica mes enlla. Encara no hem tingut en compte el nivell de degeneracio de ca-dascun dels valors propis, o equivalentment el grau de cadascuna de les representacions irreductiblesde SO(3,R). Un refinament de la figura anterior es el seguent:

86

es habitual en fısica atomica anomenar capa al conjunt d’orbitals amb un valor de n fixat, amb laqual cosa, si dos electrons tenen el mateix valor de n es diu que es troben en la mateixa capa. Lanotacio habitual es prendre les lletres K, L, M , N , . . . i aixı de forma successiva.

Ara l’unic que ens falta saber es quants electrons poden haver-hi com a maxim en cadascunade les caselles: aixo ens ho diu el principi d’exclusio de Pauli.

Malgrat que no hem tingut en compte en tota la disquisicio el valor de l’spin de cadascun delselectrons, en aquest punt resulta rellevant: hem vist que l’espai d’estats de l’spin d’un electro esC2, de tal forma que podem prendre una base de funcions propies de l’obervable sz. Designaremaquesta base per {↑, ↓}. ( De forma respectiva, les funcions φ+ i φ− que havıem utilitzat abans alparlar de l’spin)

Aixı doncs, fixat una parella (n, l), tenim 2l + 1 ”posicions” per ubicar al nostre electro, i encadascuna d’aquestes posicions, l’electro en questio pot tenir com a valor de l’spin ↑ o be ↓. Pertant, en cadascuna de les caselles com a molt poden trobar-se dues ”fletxes”.

Si ara tenim en compte aquest punt junt amb el fet que l’estat mes estable es el de mınimaenergia, ja tenim el criteris necessaris per tal de dir en quins orbitals es troben els electrons.

Mes en concret, el que tenim es el seguent:

Element Z 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d NotacioH 1 1 (1s)1

He 2 2 (1s)2

Li 3 2 1 (1s)2(2s)1

Be 4 2 2 (1s)2(2s)2

B 5 2 2 1 (1s)2(2s)2(2p)1

C 6 2 2 2 (1s)2(2s)2(2p)2

N 7 2 2 3 (1s)2(2s)2(2p)3

O 8 2 2 4 (1s)2(2s)2(2p)4

F 9 2 2 5 (1s)2(2s)2(2p)5

Ne 10 2 2 6 (1s)2(2s)2(2p)6

Na 11 2 2 6 1 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)1

Mg 12 2 2 6 2 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2

Al 13 2 2 6 2 1 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)1

Si 14 2 2 6 2 2 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)2

P 15 2 2 6 2 3 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)3

S 16 2 2 6 2 4 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)4

Cl 17 2 2 6 2 5 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)5

Ar 18 2 2 6 2 6 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)6

K 19 2 2 6 2 6 1 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)6(4s)1

Ca 20 2 2 6 2 6 2 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)6(4s)2

Sc 21 2 2 6 2 6 1 2 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)6(4s)2(3d)1

Ti 22 2 2 6 2 6 2 2 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)6(4s)2(3d)2

i aixı de forma successiva fins acabar la taula.

87

Amb aquesta taula a la butxaca ja podem explicar l’estructura de la taula periodica, que te elseguent aspecte ben conegut per tothom:

Anirem a fer uns comentaris al respecte:

1. La primera columna (la que comenca per l’element H) es l’anomenada famılia dels alcalins( llevat de l’hidrogen, que degut a la seva configuracio el fa un element especial dins de totel conjunt). La seva configuracio electronica acaba en (ns)1, on n es correspon amb la fila enel que es troba l’element corresponent.

2. La segona columna ( la que comenca per l’element Be) es l’anomenada famılia dels alcali-noterris. La seva configuracio electronica acaba en (ns)2, on n es correspon amb la fila enel que es troba l’element corresponent.

3. La columna que es troba mes a la dreta la formen els gasos nobles, que son aquells quetanquen un orbital p: la seva configuracio electronica s’escriu com . . . (np)5.

4. La columna de la vora dels gasos nobles son els que es coneixen com halogens: la sevaconfiguracio mes externa es descriu per . . . (np)6.

5. Les 4 columnes seguents agrupen elements amb denominacions diverses: semimetalls, nometalls, . . . Segons la columna on es trobin, la seva configuracio electronica sera . . . (np)i;equivalentmen, son aquells elements amb la capa np (on n indica la fila en la que es troben)parcialment plena.

Cadascuna de les columnes que conformen la famılia rep el nom de famılia de, on s’in-dica l’element que es troba mes amunt. (Nitrogen, oxigen, . . . )

6. Els elements que es troben entre els alcalinoterris i els semimetalls son els anomenatsmetallsde transicio: aquests elements son aquells que omplen les capes indexades per d ( l = 2) , oequivalentment, son aquells elements amb la capa nd ( on n indica la fila en la que es troben)parcialment plena.

88

7. Finalment quan el nombre atomic es elevat, trobem les terres rares: aquests elements sonaquells que omplen les capes indexades per f ( l = 3), o de forma similar, son aquells elementsamb la capa nf ( on n indica la fila en la que es troben) parcialment plena.

Es de notar tambe que en aquestes altures del nombre atomic es donen certes variacionsamb el principi general de mınima energia.

El fet que un element estigui en una famılia o be en una altra determina el seu caracter quımicdavant de la resta d’elements. Per exemple, es ben conegut que els gasos nobles son inerts, en elsentit que en la natura no apareixen combinats amb d’altres elements formant molecules. Aixo esdegut a la estabilitat que els hi dona la seva particular configuracio electronica.

Observacio 5.3.2 La teoria desenvolupada ha permes comprobar perque la taula periodica es comes. Ara be, existeix una questio que no hem tractat i que necessitaria una mica mes de teoria pertal de ser resolta completament. Es la seguent: per l’atom de fosfor ( el que ha comencat tota lahistoria!), la configuracio seguent:

compleix el principi d’exclusio de Pauli. Igualment, tambe el compleix la seguent configuracio:

Aixı, doncs, la pregunta natural ara es que, complint les dues configuracions el principi d’exclusiode Pauli i el de mınima energia, quina de les dues es la correcta. (O si mes no, quan es donacadascuna d’elles)

La resposta a aquesta pregunta necessita d’un refinament de la teoria realitzada fins al moment, jaque cal recordar que tota la deduccio ha partit d’una simplificacio realitzada sobre la hamiltonianadel sistema.

89

Una visio un tant mes aclaridora que la visio classica de la taula periodica es la seguent:

90

Apendix: Accions de grups sobreconjunts

En la majoria de sistemes fısics el que farem sera estudiar transformacions ( rotacions, simetri-es respecte a plans, . . . ) de determinats elements ( coordenades d’una funcio d’ona en R3, . . . ).Aquesta intuıcio es defineix de forma correcta amb el concepte d’accio d’un grup sobre un conjunt,i aquı s’exposaran els resultats basics per tal de poder treballar.

5.4 Definicions

Sigui G un grup ( en general no demanem que aquest sigui finit) i X un conjunt. ( igualment,tampoc no demanem que aquest sigui finit)

Definicio 5.4.1 Una accio de G sobre X per l’esquerra es una aplicacio A : G × X → Xdefinida segons:

1. A(a,A(b, x)) = A(ab, x)

2. A(e, x) = x

Observacio 5.4.1 Podrıem suposar que l’accio es per la dreta: la teoria que es podria desenvoluparseria equivalent. D’aquı en endavant tota accio es suposara per l’esquerra.

En el que segueix, designarem simplement A(a, x) = ax. Del context se’n despren directament elsignificat. Passem a definir un parell de conceptes mes:

Definicio 5.4.2 Es diu que una accio de G sobre X es fidel si ax = bx, llavors necessariamenta = b.

Definicio 5.4.3 L’orbita de x ∈ X es el conjunt Gx = {y ∈ X : y = ax, a ∈ G}

Definicio 5.4.4 Un punt fix per l’accio de G sobre un conjunt X es un element de X tal que|Gx| = 1.

91

Definicio 5.4.5 El subgrup d’isotropia de x es el subgrup Gx = {a ∈ G : ax = x}

Definicio 5.4.6 Sigui a ∈ G. El conjunt de punts fixos per a es FP (a) = {x ∈ X : ax = x}

Es inmediat comprobar que el subgrup d’isotropia es, efectivament, un subgrup de G.

Quina relacio existeix entre aquests dos conjunts? Doncs la seguent proposicio dona la relacioexacta entre els seus cardinals:

Proposicio 5.4.1 Si G es un grup finit, llavors |G| = |Gx||Gx|.

Prova:Prenem un punt x de X i considerem un altre element distint de la seva orbita. Anomenem-lo y.En concret, y s’escriu com ax, per un cert element a ∈ G. Si a mes x = by, se’n dedueix que b−1aes un element de Gx.

Recıprocament, si ax = y i b ∈ Gx, llavors abx = x. Aixı doncs, hi han exactament |Gx| ele-ments que envien l’element x a l’element y.

Com ara tot element de G envia x a algun element de la seva orbita, i hi han exactament |Gx|elements que envien x a un determinat element de la seva orbita, se’n dedueix el resultat que esvolia demostrar. �

Es dedueix, de forma inmediata, que Gax = aGxa−1.

Vist aixo podem passar a demostrar la formula de les orbites per al cas general que ens preo-cupa a nosaltres: tenint en compte que hem vist que |[G : Gx]| = |Gx| i que si x i y son de distintaorbita, llavors Gx ∩ Gy = ∅, se’n dedueix que si {xi}i∈I es un sistema de representants de lesdiferents orbites, llavors es te el seguent resultat:

Proposicio 5.4.2 (Formula de les orbites) Es te que |X| =∑

i∈I |Gxi| =∑

i∈I [G : Gx]

Prova:Evident amb el que hem vist. �

Una altre resultat remarcable es el seguent, conegut com lema de Burnside:

Proposicio 5.4.3 (Lema de Burnside) Es compleix que∑a6=e

|FP (a)| =∑i∈I

[G : Gxi](|Gxi

| − 1)

on la suma s’exten a un sistema de representants de les distintes orbites {xi}i∈I .

Prova:Supossarem que el conjunt X es finit. Definim el conjunt

Y = {(a,m) : m ∈ X, a ∈ Gx, am = m,a 6= e}

92

El que farem sera aplicar un doble comptatge. Comptant segons la primera component, es te que:

|Y | =∑a6=e

|FP (a)|

Si comptem segons la segona component obtenim que:

|Y | =∑x∈X

(|Gx| − 1)

Com ara dos grups d’isotropia d’elements de la mateixa orbita son conjugats, en concret tenen elmateix nombre d’elements.

Descomposant ara M segons les distintes orbites induıdes per l’accio de G sobre X, i prenentuna famılia de representants d’orbites {xi}i∈I , en resulta que:

|Y | =∑i∈I

[G : Gxi ](|Gxi | − 1)

finalment, igualant obtenim el resultat desitjat. �

93

Bibliografia

[Arms88] M.A.Armstrong; Groups and symmetry,Springer-Verlag, 1988

[Fran97] T. Frankel; The geometry of physics, An introduction,Cambridge University Press, 1997

[GrMu94] W. Greigner, B. Muller; Quantum Mechanics: Symmetries,Springer-Verlag, 1994, 2a edicio

[Hein93] V. Heine ; Group Theory in Quantum Mechanics,Dover Publications, Inc. 1993

[Mess99] A. Messiah; Quantum Mechanics, Two volumes Bound as One,Dover Publications Inc. 1999

[Nai82] M.A. Naimark; The Theory of Group Representations,Springer-Verlag,1982

[Rose95] M.E.Rose; Elementary Theory of Angular Momentum,Dover Publications, Inc. 1995

[Sag01] Bruce. E. Sagan; The Symmetric Group Representations, combinatorial algorithmsand symmetric functions,Springer-Verlag,2001

[Serr96] J.P. Serre; Linear representations of finite groups,Springer-Verlag,1996, 5a edicio.

[Ster94] S. Sternberg; Group Theory and Physics,Cambridge University Press 1994

[Xam97] S. Xambo; Geometria,Edicions UPC, Politext, Area de Matematica i Estadıstica

94

perquè el fosfor és on és a la taula periodica: una ... · com a excusa al desenvolupament del...

Documents