UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y C.C.

PRIMERA PRUEBA DE CLCULO AVANZADO 10129 Ingeniera Civil Primer Semestre 2014

(14/05/2014)

Problema 1:

Dada la serie de Fourier de ( ) con , a,b constantes reales que es

(

)

a) Establecer que esta serie es convergente Justifique su respuesta. b) Determinar constantes a y b de manera que se obtenga la funcin a la cual converge la serie

c) Utilizar los apartados a) y b) para establecer la identidad de Parseval, pero sin resolver la integral. Solucin:

a) Como ( ) es continua entonces la serie de Fourier es convergente. 0,5 Puntos

( )

0,8 Puntos

0,2 Puntos

( )

(

)

(Hasta aqu se evala) 0,5 Puntos

(

)

(

|

(

) (

) (

)

Problema 2

Sea C curva dada por ( ) ( ) a) Reparametrizarla en la forma ( ) donde s es parmetro longitud de arco.

( )

c) Muestre que C est en una superficie esfrica y en una superficie plana.

d) Determinar ecuaciones de recta tangente y de plano osculador en el punto ( )

Solucin:

a) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) (

) ( )

0,4 Puntos

( )

(

) (

) ( )

(

) ( )

0,4 Puntos

c) De ( ) ( ), ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

De otra manera, usando los componentes de ( ) se tiene:

) ( ) ( ) que es una esfera centrada en ( ) y

radio

) y C est en un plano. 0,8 Puntos

d) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( )

0,4 Puntos Problema 3 La posicin de una partcula en el espacio est dada por ( ) ( ) En el punto ( ) cambia la trayectoria siguiendo la lnea tangente a ( ) con una rapidez constante igual al doble de la que llevaba en P.

a) Determine la ubicacin de la partcula 5 segundos despus del cambio de direccin. b) En qu punto los vectores velocidad y aceleracin son perpendiculares?,Cules son esos

vectores? Solucin: a) En el punto ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Es velocidad en P,

( ) ( ) ( ) Es rapidez en P.

0,4 Puntos

Ecuacin de recta tangente en P es ( ) ( ) ( ) desde que cambia de direccin

recorre

0,4 Puntos

Es decir, se debe verificar que ( ) ( )

Entonces el mvil se encuentra en el punto ( )

0,4 Puntos b)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Para que sean perpendiculares, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) Punto en que ( ) ( )

0,6 Puntos

En este punto

( ) ( ) y ( ) ( )

0,2 Puntos