PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN

METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL

A. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Masalah

Sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dengan n variabel x1 , x2,….xn

(Anton, 2007:24), dinyatakan dengan

a11 x1+a12 x2+¿..........+a1n xn = b1

a21 x1+a22 x2+¿..........+a2n xn = b2

……..+………+……...+…….. =…

an 1 x1+an 2 x2+¿..........+ann xn = bn

Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan metode langsung yaitu diantaranya

metode eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss Jordan atau metode iterasi. Metode iterasi lebih

cocok digunakan dalam kasus tertentu, yaitu sistem yang besar. Metode iterasi menggunakan

algoritma secara rekursi dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear. Algoritma

tersebut dilakukan sampai diperoleh suatu nilai konvergen dengan toleransi yang diberikan atau

sesuai dengan batas galat yang kita perbolehkan, dengan kata lain besar galat dapat dikendalikan

sampai batas yang bias diterima (Munir, 2010:173). Ada dua metode iterasi yang sering

digunakan, yaitu metode Jacobi dan metode Gauss-Seidel.

Seperti halnya metode iterasi Jacobi, metode iterasi Gauss-Seidel juga merupakan proses

rekursi berulang untuk mendekati bilangan yang tidak diketahui (x). Sebagai titik awal pada

proses rekursi tersebut diperlukan nilai awal dan biasanya adalah x=0. Pada proses selanjutnya

nilai yang sudah diketahui tahap sebelumnya (X(1)) dipergunakan untuk mencari nilai pada

tahap berikutnya (X(2)). Proses tersebut terus berulang hingga diperoleh nilai X yang

sesungguhnya atau berhenti jika toleransi kesalahan tertentu telah dicapai.(Ruminta, 2009:311).

2. Perumusan Masalah

Berdasarkan uarian di atas, permasahan yang dibahas adalah

bagaimana penurunan algoritma metode Gauss-Seidel ?

bagaimana menganalisis error secara numerik metode Gauss-Seidel ?

bagaimana penerapan metode Gauss-Seidel pada suatu kasus ?

3. Tujuan

Tujuan makalah ini adalah

menjelaskan tentang penurunan algoritma metode Gauss-Seidel.

menjelaskan bagaimana menganalisis error secara numerik metode Gauss-Seidel.

menjelaskan tentang penerapan metode Gauss-Seidel pada suatu kasus.

B. PEMBAHASAN

1. Penurunan Algoritma Metode Gauss-Seidel

Kita bahas sistem persamaan linear (Anton, 2007:24) :

a11 x1+a12 x2+¿..........+a1n xn = b1

a21 x1+a22 x2+¿..........+a2n xn = b2

……..+………+……...+…….. =…

an 1 x1+an 2 x2+¿..........+ann xn = bn

Persamaan ke-i dari persamaan di atas adalah a i1 x1+ai 2 x2+aii x i+¿…….+¿ a¿ xn = b i

dimana i = 1,2,3,….,n.

dapat diekspresikan sebagai

a ii xi+ ∑j=1 , j ≠i

n

aij x j=bi dengan i = 1,2,3,………n

Karena dalam metode Gauss-Seidel, nilai estimasi baru digunakan dalam perhitungan

maka penyelesaian persamaan ke-i diekspresikan sebagai

x i = 1aii

[b i – ∑j=1

i−1

aij x j – ∑j=i+1

n

aij x j]

Dengan demikian, algoritma metode Gauss-Seidel diekspresikan sebagai

x i(k+1) =

1aii

[b i – ∑j=1

i−1

aij x j(k+1) – ∑

j=i+1

n

aij x j(k)], k= 1,2,3,…..n

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode Gauss-Seidel diperlukan

suatu nilai pendekatan awal yaitu x0 . biasanya tidak diketahui dan dipilih x0=0

2. Analisis Error Pada Metode Gauss-Seidel

Menurut May (dalam Nugroho, 2003:3) untuk menyelesaikan persamaan linear dengan

metode iterasi, koefisien matriks A dipecah menjadi dua bagian, N dan P, sedemikian hingga

A=N −¿ P. Diperoleh bahwa N (x - x(k +1)¿ = P ( x −¿ xk) atau (x −¿ x(k +1) = M (x−xk) dengan

M = N−1P.

Perhatikan bahwa :

a ii xi(k+1)=−¿[ ∑

j=1 , j ≠i

n

aij x j(k)] + b i

Sehingga diperoleh :

N = diag (a11 a22,………..ann) = [a11 0 00 a22 00 0 ann

]

P = [ 0 −a12 −a1 n

−a21 0 −a2 n

−an 1 −an 2 0 ]Karena M =N−1P maka :

M = [1

a11

0 0

01

a22

0

0 01

ann

] x [ 0 −a12 −a1 n

−a21 0 −a2 n

−an 1 −an 2 0 ]

M = [ 0−a12

a11

−a1 n

a11

−a21

a22

0−a2 n

a22

−an 1

ann

−an 2

ann

0 ]Dengan demikian, dapat diperoleh

∥M ∥∞ = 1 ≤ j≤ nmax ∑

j=1 , j ≠ i

n |aij

aii|

Oleh karena itu, syarat cukup agar metode Gauss-Seidel konvergen adalah :

∑j=1 , j ≠1

n | aij

aii|<1atau aii> ∑j=1 , j ≠1

n

|aij|,i=1 , 2 ,3… …n

Dengan demikian metode Gauss-Seidel akan konvergen jika koefisien matriks dominan secara

diagonal. Dalam hal ini, perlu dicatat bahwa menyusun ulang persamaan akan membuat

koefisien matriks dominan secara diagonal. Iterasi Gauss-Seidel dapat dihentikan jika toleransi

kesalahan tertentu telah tercapai

|xk+1−xk

xk +1| x 100 < ε

3. Penerapan Metode Gauss-Seidel Dalam Kasus

Diberikan sistem persamaan linear yaitu

4p + 2a + n = 11

-p + 2a = 3

2p + a + 4n = 16

Persamaan diatas ditulis lagi :

P = 114

−¿ 24

a −¿ 14

n

a = 32

+ 12

p

n = 164

−¿ 24

p −¿ 14

a

Diambil x(0) = 1 sehingga diperoleh penyelesaian yang ditunjukkan dalam tabel dibawah

ini :

K P Galat p A Galat a n Galat n

0 1 - 1 - 1 -

1 2 50.0000 2.5 60.0000 2.375 57.8947

2 0.9063 120.6897 1.9531 28.0016 3.0586 22.3500

3 1.0088 10.1646 2.0044 2.5593 2.9945 2.1401

4 0.9992 0.9621 1.9996 0.2404 3.0005 0.2002

5 1.0000 0.008 2.0000 0.002 3.0000 0.0167

C. PENUTUP

Kesimpulan

Berdasarkan penurunan algoritma dan penerapan dalam kasus di atas, dapat diperoleh

kesimpulan sebagai berikut.

o Algoritma metode Gauss-Seidel adalah

x i(k+1) =

1aii

[b i – ∑j=1

i−1

aij x j(k+1) – ∑

j=i+1

n

aij x j(k)]

Dimana k = 0, 1, 2, …., dengan nilai pendekatan awal biasanya diambil X(0) = 0.

o Suatu kasus sistem persamaan linear akan mendapatkan penyelesaian yang konvergen

jika memenuhi syarat yaitu

∑j=1 , j ≠1

n | aij

aii|<1atau aii> ∑j=1 , j ≠1

n

|aij|,i=1 , 2 ,3… …n

DAFTAR PUSTAKA

Munir, Renaldi. 2008. metode numerik. Bandung: Informatika

Ruminta. 2009. matrik persamaan linier dan pemrograman linier. Bandung: Rekayasa Sains

Luknanto, Djoko. 2001. metoda numerik. Yogyakarta: UGM

Anton, Howard. 2003. dasar-dasar aljabar linier. Tanggerang: Binarup Aksara Publisher

Nugroho, Susilo. 2003. penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode iterasi. Jurnal matematika

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE

ITERASI GAUSS SEIDEL

ABSTRAK

Irpan Septa Candra1

Ada banyak cara untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear diantaranya dengan menggunakan metode langsung, misalnya Gauss dan variasi-variasinya dan metode iterasi, diantaranya Jacobi dan Gauss-Seidel. Metode iterasi Gauss-Seidel merupakan proses rekursi berulang untuk mendekati bilangan tidak diketahui. Sebagai titik awal pada proses rekursi tersebut diperlukan nilai awal dan biasanya X = 0. Pada proses selanjutnya nilai yang sudah diketahui tahap sebelumnya dipergunakan untuk mencari nilai pada tahap berikutnya. Proses tersebut terus berulang hingga diperoleh nilai yang sesungguhnya atau berhenti jika toleransi kesalahan tertentu telah dicapai.

Kata kunci : Sistem persamaan Linear, Metode Gauss-Seidel

1 Mahasiswa Program Studi Tadris Matematika IAIN Raden Fatah Palembang angatan 2009 Tahun 2012

IAIN RADEN FATAH PALEMBANG

FAKULTAS TARBIYAH JURUSAN TADRIS MATEMATIKA

Nama : Irpan Septa Candra

Nim : 09221028

Fak/Jur : Tarbiyah/Tadris Matematika

Judul : Penyelesaian Persamaan Linear Dengan Metode Iterasi Gauss Seidel

Dosen Pembimbing : Hartatiana M.Pd

Tanggal Konsultasi Saran Paraf Dosen Pembimbing