CHAPTER 7 FOURIER ANALYSIS

CHAPTER 7 FOURIER ANALYSISLutfi Aditya Rahman (125090702111001)Hamanda Tiara Emanuella (125090702111002)

Berlianti Oktaviana Manurung (125090702111003)Lantip Adi Nugroho (125090702111004)Zuhrotul Firdaus (125090702111005)Fian Fakhrudin (125090702111006)

Bimo Respati (125090705111001)Muhammad Yuzrival (1250707111018)Introduction & Fourier SeriesFian FakhrudinIntroductionAnalisis Fourier adalah proses matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah bentuk gelombang kompleks dengan menguraikan gelombang itu menjadi komponen sinusoidanya. Setiap bentuk gelombang yang kompleks dapat diperlihatkan terjadi dari sejumlah gelombang sinus murni terdiri dari suatu gelombang sinus dasar ditambah harmonik-harmonik khusus gelombang itu. Fungsi PeriodikMasalah yang menyangkut vibrasi atau osilasi sering terjadi pada geofisika. Banyak contoh yang sering kita temui pada kehidupan, tak cukup hanya diselesaikan dengan metode dasar tetapi membutuhkan metode yang lebih tinggi tingkatannya serta melibatkan fungsi sinus dan cosinus untuk mendeskripsikan gerak harmonic sederhana dan gelombang. Kita dapat menggunakan deret pangkat untuk memperkirakan hasil dari fungsi yang rumit. Pada beberapa kasus, ada yang disebut dengan deret Fourier (Fourier Series) yang suku-sukunya terdiri dari sinus dan cosinus.Secara umum deret Fourier dapat dinyatakan dalam bentuk berikut ini:

Kita ingin menjabarkan sebuah fungsi periodik dalam bentuk sinus dan cosinus, Pertama kita cari nilai dari a0terlebih dahulu

Setelah a0diketahui kita cari nilai dari an

Nilai bndapat kita cari dengan perhitungan seperti dibawah ini:

Untuk n bilangan genap n= 2, 4, 6, kita dapatkan

tetapi jika n bilangan ganjil n=1, 3, 5, kita akan mendapatkan

Jadi jelas bahwa bnhanya memiliki nilai tidak nol ketika n sama dengan bilangan ganjil. Dari perhitungan di atas kita dapat menuliskanUntuk n= 2, 4, 6, Dengan n= 1, 3, 5, ..

Lalu apa artinya deretan fungsi di atas? Kita simulasikan fungsi di atas. Kita lihat animasi gambar berikut ini

Examples of Fourier AnalysisHamanda Tiara EmanuellaContoh (1) Analisis FourierExample 1l = 1, danLalu b = 0

Sementara,

Demikian,

Terkadang kita bisa mendapatkan formula yg belum diketahui (curious formula) dengan melihat nilai nilai khususnya. Misalnya jika kita menempatkan x=o. diperoleh:

Demikian,

-11011Transformasi Fourier dengan Matlab (contoh 1)Terdapat fungsi yang kemudian dilakukan transformasi fourier menjadi

Transformasi Fourier dengan Matlab (contoh 2)Misal terdapat fungsi sebagai berikut

Kemudian ditulis pada script Matlab seperti berikut

Hasil setelah di-run

Variabel I menunjukkan nilai imaginer atau j.24

The Phase, Amplitude and Exponential FormulationZuhrotul FirdausGelombang SeismikPhase adalah besar sudut dari gelombang.Amplitudo adalah pengukuran skalar yang nonnegatif dari besar osilasi suatu gelombang. Amplitudo juga dapat didefinisikan sebagai jarak terjauh dari garis kesetimbangan dalam gelombang sinusoide.

Gambar 1. Amplitudo dinyatakan oleh jarak naik dan turunnya suatu getaran (osilasi)Contohnya: Spektrum adalah kurva yang menunjukkan amplitudo dan fase sebagai fungsi frekuensi atau periode, atau berapa banyak jenis getaran yang ada dari gempa bumi.

Fase dan AmplitudoSebuah wavelet memiliki panjang yang terbatas dengan fasa tertentu. Didalam istilah eksplorasi seismik, fasa sebuah wavelet dikenal sebagai: fasa minimum, fasa nol dan fasa maksimum.

Sebagaimana ditunjukkan oleh gambar di atas, fasa minimum dicirikan jika sebagian besar energi amplitudo wavelet berada diawal, fasa nol dengan simetris di tengah-tengah dan fasa maksimum diakhir wavelet.Untuk mengubah fasa diatas dilakukan pendekatan matematis sbb:

Persamaan ExponensialSalah satu fungsi penting adalah fungsi eksponensial, ditulis ez atau exp(z). Definisi tersebut diperluas untuk memumgkinkan dari argumen komplekas z. Ketika z = x + iy, dimana x adalah bagian real dan y adalah bagian imajiner, kita mendefinisikan fungsi eksponensial berdasarkan aturan:exp(z) = ez = ex+iy = ex(eiy)= ex(cos y + i sin y) Dengan menggunakan fungsi exponensial kita dapat menjelaskan secara matematika tentang hubungan antara waktu dan frekuensi yg biasa muncul dalam interpretasi geofisika dan erat kaitannya dengan transformasi fourier untuk lebih jelasnya.Bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan rill dan bilangan imaginer30AplikasiWavelet adalah gelombang mini atau pulsa yang memiliki komponen amplitude, panjang gelombang, frekuensi dan fasa. Dalam istilah praktis, wavelet dikenal dengan gelombang yang merepresentasikan satu reflektor yang terekam oleh satu geophone.

Gambar di atas menunjukkan Wavelet dengan frekuensi 20, 30 dan 40Hz dan fasa = 0 (zero phase).

Aplikasi Sebagaimana yang kita ketahui, data seismic umumnya berada dalam domain waktu (TWT) sedangkan data well berada dalam domain kedalaman (depth). Sehingga, sebelum kita melakukan pengikatan, langkah awal yang harus kita lakukan adalah konversi data well ke domain waktu. Untuk konversi ini, kita memerlukan data sonic log dan checkshot. Dalam membuat sintetik (dalam pengikatan data sumur / well seismic tie), untuk pertama kali kita dapat menggunakan wavelet sederhana seperti zero phase dengan frekuensi tertentu katakanlah 25Hz. Lalu dengan membandingkan trace sintetik dan trace-trace seismic disekitar bor, kita meng-adjust apakah frekuensi wavelet lerlalu besar atau terlalu kecil. Setelah itu lihatlah fasanya, dan perkirakan fasa wavelet di sekitar zona target.Lalu kita dapat melakukan shifting dan mungkin (stretching atau squeezing) dari data sumur.Fourier TransformLantip Adi NugrohoTransformasi FourierTransformasi fourier adalah transformasi yang dapat merubah suatu sinyal dari domain waktu s(t) kedalam domain frekuensi S(f).Fungsi dilakukanya transformasi ini bertujuan untuk mendapatkan informasi apakah suatu sinyal memiliki frekuensi tertentu atau tidak.Transformasi Fourier menggabungkan sinyal ke bentuk fungsi eksponensial dari frekuensi yang berbeda-beda.Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh (eq diatas) hanya berlaku untuk sinyal periodik.

Jika diingat bahwa w0 = 2 /T0 , maka eq

menjadi :

Eq 14

jika perioda sinyal T0 diperbesar menuju tak hingga maka spektrum sinyal menjadi spektrum kontinyu, D menjadi d (pertambahan frekuensi infinitisimal), dan n0 menjadi peubah kontinyu Dengan membuat T0 menjadi tak hingga persamaan 14 menjadi :

sebagai transformasi dari domain waktu ke domain frekuensi atau sebaliknya.Keuntungannya : bisa bekerja baik dengan F (t) atau f(x), mana yang paling nyaman.Titik penting : proses ini adalah reversibel, jika F (t) adalah Fourier Transformasi dari f(x) :

Memilih modification yang tidak memiliki multiplier, dalam hal ini kita mengikuti E. Robinson. Mengingat f(x) kita definisikankan transformasi Fourier F (t) sebagai

Ada banyak teori tentang Fourier Transforms yang digunakan untuk kepentingan utama kita. Adapun seri Fourier, kita dapat memiliki konvolusi dari dua fungsi f * g, namun, dalam hal ini

tanda * menyatakan operator konvolusi, dan peubah(variable) x adalah peubah bantu (dummy variable).

Metode yang sering digunakan, Short Time Fourier Transform (STFT) menghasilkan spektrum waktu-frekuensi dengan menggunakan Transformasi Fourier.The Z Transform and The Discrete Fourier Transform (DFT)Muhammad YuzrivalPENGERTIANTransformasi fourier merupakan salah satu dari sekian banyak transformasi yang dapat digunakanUntuk memanipulasi urutan digunakan z-transform dengan memisalkan sebagai f(t) dimana t= sehingga z-transform adalah

Example 6Misalkanf(t) = 0t0Kemudian

Untuk setiap f(t) terdapat z-transform dan lebih jauh jika dituliskan menjadi :

Dengan penggunaan transformasi fourier, invers z-transform didapatkan

Daya tarik utama dari penggunaan z-transform adalah kemampuannya untuk meringkas sebuah kemungkinan tak terbatas, urutan satu fungsi f (z) dan merepresentasikan persamaan menjadi sederhana

The Discrete Fourier TransformImplementasi DFT adalah mengubah dari kawasan waktu menjadi kawasan frekuensiDFT merupakan salah satu peragkat yang terpenting dalam Digital Signal Processing. Fungsinya yaitu :Menghitung sinyal-sinyal dari spectrum frekuensi, yaitu akan memberikan hasil langsung dalam mengkoding suatu data dan informasi dalam suatu frekuensi, fase, dan amplitude dari suatu komponen sinusoidalMenemukan suatu system respon frekuensi dari suatu respons impulse dan system yang burukDapat digunakan sebagai suatu penengah dalam suatu elaborasi suatu teknik pemrosesan sinyal. Salah satu contohnya adalah FFT convolution, algoritma untuk menyulitkan suatu sinyal menjadi lebih cepat ratusan kali daripada metode yang biasanya.The Discrete Fourier TransformDalam aplikasi praktis saat bekerja dengan data yang diberikan, satu set jumlah diskrit dalam hal ini Discrete Fourier Transform yang terbatas bisa sangat berguna. kita dapat menganggapnya sebagai versi Fourier transform yang sebelumnya telah di bahas untuk komputasiMisalkan f(0),f(1),,f(N-1) adalah urutan dari bilangan (kompleks), maka DFT f(u) u = 0,, N-1 dapat di tuliskan

Untuk lebih sederhana dapat di tuliskan

Sehingga

Invers transform di definisikan :

Example 7Misalkan

V k adalah kelipatan dari N. kemudian dari persamaan tersebut di subtitusikan F(v) menjadi :

untuk mengetahui mengapa DFT penting, dapat dihubungan dalam bentuk-bentuk integral. Untuk lebih lanjut, bagian ini akan di bahas pada bab 8Misalkan kita mempunyai

Dan diberi nilai numerik yang mendekati kisaran interval x, maka:

Lalu X di rubah kedalam Interval N, sehingga

Untuk lebih sederhana, di beri fungsi f(0) f(x).di pilih x = 1 menjadi

Kemudian DFT di konversi kedalam bentuk radian dengan memperhatikan bahwa f(u) dan f(v) adalah periodic dan

Dari persamaan tersebut, digunakan fungsi eksponensial periodik. Dan dinyatakan

Sesuai DFT F(v) dan G(v) sehingga

Setelah di lakukan DFT

Sedangkan jika

Lalu di lakukan DFT pada h(u). H(u) menjadiDemikian pula dengan

Maka

Catatan: dalam definisi dekonvolusi, F, G, f dan g selalu mempunyai nilai

Menjadi

Penggunaan DFT (Discrete Fourier Transform) sangat membantu dalam penggunaan algoritma Fast Fourier Transform.

Fast Fourier TransformBerlianti Oktaviana M.PengertianFast Fourier Transform adalah suatu algoritma yangdigunakan untuk merepresentasikan sinyal dalam domain waktu dan domain frekuensi.

Perhitungan FFT atau Fast Fourier Transform biasanya digunakan dengan komputasi. Biasanya digunakan PC multimedia yang sudah dilengkapi dengan OS Windows Perangkat Lunak Matlab yang dilengkapi dengan Tool Box DSP.Kenapa perhitungan dilakukan dengan komputer??Agar mempermudah perhitungan,dan biasanya kalau dihitung manual, lebih sulit. Contoh:Kita memiliki sinyal sinus dengan frekuensi 5 Hz dan amplitudo 1 Volt. Dengan FFT tampilkan sinyal dalam bentuk domain waktu dan diubah kedalam domain frekuensi menggunakan FFT!

FFT (Fast Fourier Transform)Fungsi gelombang seismik f(t) pada interval t1 < t < (t1+T) dapat dianggap sebagai hasil superposisi dari gelombang sinusoida yang berbeda frekuensi, amplitodo dan phase. Maka fungsi tersebut dapat didekati dengan deret Fourier Sn(t), (4.1)

dengan n adalah indek harmonik dan (4.2)

berfungsi sebagai pergeseran DC (4.3)adalah transformasi cosinus (bagian riel) (4.4)

Pendekatan di atas dapat diperbaiki lagi mutunya, sehingga hasil sumasi (hampir) sama persis dengan fungsi aslinya, yaitu dengan menambahkan fungsi harmoniknya (memperbesar jumlah n). Dengan demikian limit dari f(t) pada n akan menjadi deret konvergen.

(4.5)

Dengan n dan cn adalah phase dan amplitudo yang ditentukan oleh nilai an dan bn melalui persamaan,

(4.6)

(4.7)

maka bentuk persamaan (4.5) dapat dituliskan sebagai, (4.8)

dengan n = 1/2 (an - jbn)-n = 1/2 (an + jbn)0 = a0/2

Mengingat hubungan 65dengan demikian (4.9)sehinggadengan (4.10)dengan mengingat relasi e-it = cos t - j sin t

dan 2T adalah perioda, maka persamaan

(4.10) merupakan deret Fourier dalam bentuk exponensial yang disebut sebagai bentuk komplek.Bila frekuensi 1/2T dinotasikan sebagai f dan frekuensi harmonik ke n/2T sebagai dinotasikan f, maka persamaan (4.10) menjadi (4.11)

atau(4.12)

karena T , dan fungsi kontinyu maka f df dan , sehingga

(4.13)

yang dikenal sebagai integral Fourier f(t)Integral Fourier ini dapat dipecah menjadi hubungan pasangan, yaitu

(4.14)

f(t) dan F(f) disebut sebagai pasangan transformasi Fourier yang sering dinotasikan sebagai f(t) F(f).

Pasangan FFT

Aplikasi FFTFFT bisa digunakan untuk menentukan frekuensi mana saja yang akan di filter atau tapis menggunakan lowpass, highpass,bandpass dan bandstop filter. Dengan memanfaatkan prinsip bahwa hasil FFT bila ingin ditapis maka harus dikalikan dengan FFT dari filter itu sendiri. 69Frequency DomainBimo RespatiSpectral analysis merupakan salah satu metode untuk memperkirakan parameter sumber gempa melalui gelombang yang diamati.Analisis spektral dilakukan untuk menentukan nilai frekuensi dominan dari sinyal-sinyal baik gempa vulkanik dalam, dangkal, gempa tremor ataupun gempa letusan yang telah dideteksi.Analisis spektral pada sinyal-sinyal ini berdasarkan metode Fast Fourier Transform (FFT) Transform (STFT) yang sudah dijelaskan.

Frequency Dominant

Perhatikan Amplitudo yang paling besar (maksimum)Fmax FFT : 1.99671 HzSpektral frekuensi gempa Vulkanik Dangkal Gunung Semeru pada 25 Januari 2009 pukul 16:56 Stasiun LekerKeterangan data :Atas : seismogram gempa vulkanik dangkalBawah : Spektral dari seismogram gempa vulkanik dangkal hasil Fast Fourier TransformNilai frekuensi dominan dianalisa berdasarkan puncak amplitudo tertinggi pada sinyal gempa vulkanik dangkal.Nilai frekuensi dominan yang terjadi adalah 1.99 Hz

73Contoh 14Sebuah sinusoidal time series dari periode 2 seconds memiliki frekuensi 1 Hertz. Frekuensi sudut, diukur dalam radians/satuan waktu adalah

Selanjutnya ada 2 parameters yaitu A dan yaitu amplitude dan phase, sejumlah besar time series dengan frekuensi yang sama seperti di atas dapat dihasilkan - < t >

Dimana 2 =

dan

cont..Karena pengulangan periodik sinusoid pada fase dapat dibatasi untuk rentang - < > Biasanya lebih mudah jika kita menulis dalam bentuk kompleks

Dengan demikian kita dapat melihat kontribusi yang berasal dari frekuensi - dan .

Cont..Misalkan kita memiliki time series x(t) didefinisikan melalui -T dan T dan diasumsikan.

Sejak kita memiliki periode 2T frekuensi terkecil adalah f =1/2T atau /T dalam pengukuran radian.

Cont..Misalkan kita memiliki time series x(t) didefinisikan melalui -T dan T dan diasumsikan.

Sejak kita memiliki periode 2T frekuensi terkecil adalah f =1/2T atau /T dalam pengukuran radian.

Aplikasi Transformasi FourierLutfi Aditya RahmanDalam pengolahan data seismik, penggunaan transformasi diperlukan untuk memudahkan dalam menganalisa data pada domain lain, yaitu dari domain waktu menjadi domain frekuensi

Analisis Fourier adalah metoda untuk mendekomposisi sebuah gelombang seismik menjadi beberapa gelombang harmonik sinusoidal dengan frekuensi berbeda-beda.Dengan kata lain, sebuah gelombang seismik dapat dihasilkan dengan menjumlahkan beberapa gelombang sinusoidal frekuensi tunggal. Sedangkah sejumlah gelombang sinusoidal tersebut dikenal dengan Deret Fourier.

http://ensiklopediseismik.blogspot.comSedangkan Transformasi Fourier adalah metoda untuk mengubah gelombang seismik dalam domain waktu menjadi domain frekuensi. Proses sebaliknya adalah Inverse Fourier Transform.

http://ensiklopediseismik.blogspot.comSTFT (Short Time Fourier Transform)Metode ini menggunakan FFT (Fast Fourier Transform) dengan time window yang saling overlay dan bergerak sepanjang sinyal.

Tahapan

XSinyal X(t)Moving window

Hasil Perkalian akan di plot dalam time vs frekuensi

Hasil Plot Data

Diberikan random noiseTransformasi Fourier pada Seismogram

Amplitudo Spektrum pada body-wave dan surface wave dari gempa (M=6) sinyal totalbody-wavessurface-wavesFungsi waktuNormalized AmplitudoFungsi frekuensi(ditransformasikan)thankyou