Bab 5

SUKU BANYAK

Pengertian Sukubanyak, Nilai Sukubanyak dan Operasi Antar Sukubanyak.

Pengertian sukubanyak .

Perhatikan bentuk aljabar berikut :

(i) 2x2 + x – 5

(ii) 7x4 – 6x2 + 3x + 4

(iii) 2x5 – 8

Bentuk aljabar diatas disebut suku banyak dalam peubah x

atau polinom dalam variabel x.

Derajat dari suatu sukubanyak dalam peubah x ditentukan oleh

Pangkat yang paling tinggi bagi peubah x dari sukubanyak itu.

Bentuk umum dari sukubanyak adalah :

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ……… + a2x2 + a1x + a0

Contoh dari sukubanyak diatas adalah sukubanyak yang hanya

mempunyai satu variabel , disebut sukubanyak Univariabel.

selain itu ada sukubanyak yang mempunyai lebih dari satu

variabel yang disebut sukubanak Multivariabel.

Contoh.

1) Sukubanyak x3 + x2y4 – 4x + 3y2 – 5

2) Sukubanyak a3 + b3 + c3 + 3ab2 – 2a2bc + 8

Nilai Suku banyak.

Berbekal dari fakta bahwa sukubanyak adalah bentuk

aljabar yang memuat peubah, maka sukubanyak itu dapat

dituliskan dalam bentuk Fungsi dari peubahnya. Sehingga dari

Bentuk umum sukubanyak itu jika dituliskan dalam bentuk

Fungsi sebagai berikut :

f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …….. + a2x2 + a1x + a0

Dengan menyatakan suatu sukubanyak sebagai fungsi dalam peubah x, maka nilai sukubanyak itu dapat ditentukan dengan mudah. Secara umum, nilai sukubanyak f(x) untuk x = k adalahf(k) dapat dicari dengan 2 metode, yaitu :1) Metode substitusi2) Metode bagan/skema.A. Metode Substitusi Contoh :1. Hitung nilai sukbanyak f(x) = x3 +3x2 – x + 5 untuk nilai a. x = 0 d. x = m b. x = -1 e. x = m-2 c. x = 2 f. x = m2 + m2. Diketahui sukubanyak dengan peubah x dan y. f(x,y) = x2y+ xy2+3x-4y+2. Hitunglah : a. f(4,y) b. f(x,3) c. f(4,2) d. f(-2,3)

Penyelesaian.

1. f(x) = x3+3x2-x+5

a) untuk x = 0 diperoleh f(0) = 0+0-0+5 = 5

b) untuk x = -1 diperoleh f(-1) = 8

c) untuk x = 2 diperoleh f(2) = 23 ……dst

Dengan metode bagan/skema.

-1 1 3 -1 5

1

-1

2

-2

-3

3

8 = f(-1)

2. f(x,y) =x2y+xy2+3x-4y+2

a) f(4,y) = (4)2y+4y2+3.(4)-4y+2

= 16y+4y2+12-4y+2

= 4y2+12y+14

c) f(4,2) = (4)2(2)+4(2)2+3.(4)-4.(2) +2

= 32 +16 + 12 – 8 + 2

= 54

Dengan metode bagan

a) 4 y y2+3 -4y+2

y

4y

y2+4y+3

4y2+16y+12

4y2+12y+14

c) 4 y y2+3 -4y+2

y

4y

y2+4y+3

4y2+16y+12

4y2+12y+14

2 4 12 14

4

8

20

40

54 = f(4,2)

Operasi Antar SukubanyakPenjumlahan dan pengurangan f(x) dengan sukubanyak g(x)

dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan atau mengurang-

kan suku-suku yang sejenis dari kedua sukubanyak itu.

Sedangkan untuk mengalikan kedua buah sukubanyak itu di-

gunakan sifat distributif perkalian.

Contoh :

Diketahui sukubanyak f(x) = x3+3x2-2x+6 dan g(x) = x2+4x+10

tentukan : a) f(x) + g(x)

b) f(x) – g(x)

c) f(x) . g(x)

Jawab:

a) f(x)+g(x) = x3+3x2-2x+6 + x2+4x+10

= x3+4x2+2x+16

Kesamaan Sukubanyak.Sukubanyak f(x) dikatakan memiliki kesamaan dengan sukuba-

nyak g(x), jika kedua sukubanyak itu mempunyai nilai yang sama

untuk semua peubah x bilangan real. Kesamaan dua sukubanyak

f(x) dan g(x) itu ditulis sebagai : f(x) ≡ g(x)Contoh:

Tentukan nilai p pada kesamaan x2-3x+14 ≡ (x-1)(x-2)+3p

Jawab:

x2-3x+14 ≡ (x-1)(x-2)+3p

x2-3x+14 ≡ x2-3x+2+3p

14 = 2+3p

3p = 12

p = 4

Pembagian SukubanyakKonsep pembagian bilangan dengan metode bersusun pendek

312

14 4369

42

16

14

29

28

1

Hasil bagi

Yang dibagi

pembagi

Sisa pembagian

Dengan demikian terdapat hubungan :

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian

4369 = 14 x 312 + 1

dapat dituliskan :

Pembagian bilangan dengan bersusun pendek dapat diplikasikan

pada pembagian sukubanyak.

Contoh:

Carilah hasil bagi dan sisa pada pembagian sukubanyak

f(x) = x3 +2x2 + 3x – 5 oleh (x-2), serta hitung nilai f(2).

Jawab:

x2+4x+11 f(2) = (2)3+2(2)2+3.(2)-5

x-2 x3 +2x2 + 3x – 5 = 8 + 8 + 6 – 5

x3 – 2x2 = 17

4x2 + 3x Jadi sisa = f(2)

4x2 – 8x

11x – 5

11x – 22

17

Pembagian sukubanyak dg pembagi bentuk LinearMisalkan diketahui sukubanyak f(x) = a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

dibagi dengan (x-k) memberikan hasil bagi H(x) dengan sisa pem-

Bagian S, sehingga f(x) = (x-k).H(x) + SMenentukan hasil bagi H(x) dan sisa pembagian S pada pembagi-

an sukubanyak f(x) oleh (x-k) dengan menggunakan bagan/skem

dan dikenal sebagai metode pembagian sintetik atau metode

Horner.

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian f(x) = x3+2x2+3x-5

dengan x-2.

Jawab :

2 1 2 3 -5 H(x) = x2+4x+11

2 8 22 dan S = 17

1 4 11 17

Contoh.

Diketahui sukubanyak f(x) = x3 + 2x2 – px + 2 habis dibagi oleh

(x+1). Berapakah nilai p ?

Jawab :

-1 1 2 -p 2

-1 -1 p+1

1 1 -p-1 p+3

karena habis dibagi oleh (x+1) maka S = 0

p+3 = 0

p = -3

Jadi sukubanyak f(x) = x3 + 2x2 – px + 2 habis dibagi oleh

(x+1). Untuk nilai p = -3

Pembagian sukubanyak dengan (ax + b)Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak

f(x) = 2x3 + 7x2 – 8x + 10 dengan (2x – 1).

Jawab :

½ 2 7 -8 10

1 4 -2

2 8 -4 8

2x2 + 8x – 4

2

dan sisa S = 8

H(x) = = x2 + 4x - 2

Soal .1. Diketahui kesamaan sukubanyak a(x + 1) + b(x – 1) ≡ 3x – 1

Hitunglah nilai a dan b.

2. Diketahui kesamaan pecahan : p q 6x + 2

x + 1 x + 2 x2+3x+2

Hitunglah nilai p dan q.

3.Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak berikut :

a. f(x) = x4 – x2 + 2x3 – 5x + 1 dibagi dengan x + 1

b. f(x) = x5 + 1 dibagi dengan x – 1

c. f(x) = 3x4 + x3 + 18x2 – 3x – 8 dibagi dengan 3x + 1

d. f(x) = 2x3 + 3x2 – 28x + 27 dibagi dengan 2x – 5

4. Sukubanyak f(x) = x3 + ax2 – x + 1 dan sukubanyak g(x) = x3 + 4x2 +

8x + 2 jika dibagi dengan (x + 1) mempunyai sisa yang sama. Hi-

tunglah nilai a.

+ ≡

5. Jika sukubanyak f(x) = x3 + ax2 – x + 1 dibagi dengan (x-2)

memberikan sisa 10, tentukan nilai a.

6. Hitunglah nilai a jika f(x) = x4 – x2 + ax + 2 habis dibagi dengan

(x – 1)

7. Hitunglah nilai a jika (x + 2) adalah faktor dari sukubanyak

f(x) = x3 + x2 – ax + 8

8. Pembagian sukubanyak f(x) = 3x4 + 10x3 + (p+1)x + 9

dengan (3x + 1) memberikan sisa 7. Hitunglah nilai p.