pengembangan algoritma modified prim untuk …digilib.unila.ac.id/26028/3/skripsi tanpa bab...

PENGEMBANGAN ALGORITMA MODIFIED PRIM

UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH INSTALASI

JARINGAN MULTI TAHAP

(Skripsi)

Oleh

WIBI CAHYO HASTONO

JURUSAN ILMU KOMPUTER

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

2017

ABSTRACT

THE MODIFIED PRIM'S ALGORITHM TO SOLVE THE MULTI

PERIODS INSTALLATION PROBLEM

By

WIBI CAHYO HASTONO

Given a graph G(V,E), and cij ≥ 0, where V is a set of vertices, and E is the set of

edges that connects vertices in V, and cij is the weight of the edge eij, The Minimum

Spanning Tree (MST) Problem is a problem of finding the minimum weight

spanning tree of G. If we add degree restriction on every vertex of G, the problem

becomes a Degree Constrained Minimum Spanning Tree Problem (DCMST).

Moreover, if we add another constraint which is period, then the problem arises as

The Multi Period Degree Constrained Minimum Spanning Tree (MPDCMST)

Problem. In reality, this problem usually arises on network installation. Prim’s

Algorithm is one of famous algorithms that frequently used to solve MST. To use

Prim’s algorithm for MPDCMST, we need to do some modifications. In this

research we developed six algorithms based on Modified Prim’s algorithm, named

as :WAC1, WAC2, WAC3, WAC4, WAC5 and WAC6. From the results we found

that the best solution is Algorithm WAC6.

Keywords : multi periods, degree constrained, network installation, modified

Prim.

ABSTRAK

PENGEMBANGAN ALGORITMA MODIFIED PRIM UNTUK

MENYELESAIKAN MASALAH INSTALASI MULTI TAHAP

Oleh

WIBI CAHYO HASTONO

Algoritma Prim merupakan salah satu algoritma yang sering digunakan untuk

menyelesaikan masalah Minimum Spanning Tree (MST) atau pencarian jalur

terpendek dalam sebuah graf. Pada implementasi dunia nyata masalah instalasi

jaringan tidak sesederhana masalah MST, terdapat beberapa kendala tambahan

dalam masalah instalasi jaringan. Kendala tambahan tersebut adalah kendala degree

yang membatasi jumlah maksimal edge yang boleh terhubung dalam suatu vertex.

Selanjutnya adalah kendala periode, yang membagi proses instalasi pada beberapa

tahap, dengan vertex prioritas pada masing-masing tahapan. MST dengan dua

tambahan kendala ini disebut dengan Multi Period Degree Constrained Minimum

Spanning Tree (MPDCMST). Pada penelitian ini dikembangkan Algoritma

Modified Prim untuk menyelesaikan masalah MPDCMST. Penelitian ini

mengembangkan 6 Algoritma Modified Prim yang diberi nama WAC1, WAC2,

WAC3, WAC4, WAC5 dan WAC6. Dari hasil pengujian yang dilakukan

menggunakan kasus uji seperti pada penelitian sebelumnya, hasil solusi terbaik

dihasilkan oleh Algoritma WAC6.

Kata Kunci : multi periods, degree constrained, instalasi jaringan, modified Prim.

PENGEMBANGAN ALGORITMA MODIFIED PRIM

UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH INSTALASI

JARINGAN MULTI TAHAP

Oleh

WIBI CAHYO HASTONO

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar

SARJANA KOMPUTER

pada

Jurusan Ilmu Komputer

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN ILMU KOMPUTER

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

2017

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan pada tanggal 6 Juli 1995 di Tanjung

Waras, Natar. Penulis merupakan anak pertama dari tiga

bersaudara dengan ayah bernama Yustam Prihastono dan

ibu bernama Tusimah. Penulis menyelesaikan pendidikan

formal pertama kali di SD Negeri 5 Merak Batin tahun

2007, kemudian melanjutkan pendidikan menengah

pertama di SMP Negeri 5 Natar dan selesai pada tahun

2010. Pendidikan menengah atas di SMA Muhammadiyah 2 Bandar Lampung

diselesaikan penulis pada tahun 2013.

Pada tahun 2013, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Ilmu Komputer

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui

jalur SNMPTN. Pada bulan Februari tahun 2016, penulis melakukan Kerja Praktik

di Grapari Telkomsel Lampung. Pada bulan Juli tahun 2016 penulis melaksanakan

Kuliah Kerja Nyata di Desa Gaya Baru VI Kecamatan Seputih Surabaya Kabupaten

Lampung Tengah. Selama menjadi mahasiswa, penulis cukup aktif berorganisasi,

diantaranya adalah:

1. Kepala Biro Sirkulasi dan Periklanan Lembaga Pers Mahasiswaan Natural

FMIPA Unila pada tahun periode 2014-2015.

2. Layouter Lembaga Pers Mahasiswaan Natural FMIPA Unila pada tahun

periode 2015-2016.

3. Anggota Bidang Kaderisasi Himpunan Mahasiswa Jurusan Ilmu Komputer

pada tahun periode 2014-2015.

4. Bendahara Biro Khusus Himpunan Mahasiswa Jurusan Ilmu Komputer

pada tahun periode 2015-2016.

5. Asisten Laboratorium dan Asisten Dosen Jurusan Ilmu Komputer pada

tahun periode 2014-2017.

6. Web Master FMIPA Unila pada tahun 2015.

7. Web and Android Programmer pada CV. Moonray Artha Gemilang pada

tahun 2016.

ix

PERSEMBAHAN

Puji dan syukur saya ucapkan kepada Allah SWT atas

segala nikmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

Kupersembahkan karya kecilku ini untuk:

Ibuku, yang telah melahirkanku

Ibuku, yang telah merawat dan membesarkanku

Ibuku, yang telah mendidikku

Ayahku tercinta, yang telah membesarkanku dengan seluruh kasih dan

sayangnya, memberikan pengetahuannya, dan selalu mendukung serta

mendoakan untuk keberhasilanku.

Adik serta keluarga besarku yang selalu kusayangi

dan, Almamater yang kubanggakan

UNIVERSITAS LAMPUNG

MOTTO

“Indeed, Allah will not change the condition of a people until they change what is

in themselves.”

(Qur’an Surah 13:11)

“The longer I live, the more I realize the impact of attitude on life. Attitude, to me,

is more important than facts. It is more important than the past, the education, the

money, than circumstances, than failure, than successes, than what other people

think or say or do. It is more important than appearance, giftedness or skill. It will

make or break a company... a church... a home. The remarkable thing is we have a

choice everyday regarding the attitude we will embrace for that day. We cannot

change our past... we cannot change the fact that people will act in a certain way.

We cannot change the inevitable. The only thing we can do is play on the one

string we have, and that is our attitude. I am convinced that life is 10% what

happens to me and 90% of how I react to it. And so it is with you... we are in

charge of our Attitudes.”

(Charles R. Swindoll)

SANWACANA

Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat, hidayah

dan kesehatan yang diberikan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan

penulisan skripsi ini.

Skripsi ini disusun sebagai syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Komputer di

Jurusan Ilmu Komputer Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas

Lampung. Judul dari skripsi ini adalah “Pengembangan Algoritma Modified Prim

untuk Menyelesaikan Masalah Instalasi Jaringan Multi Tahap”.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak menghadapi kesulitan. Namun,

berkat bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, akhirnya penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini. Untuk itu pada kesempatan ini, penulis mengucapkan

terimakasih kepada:

1. Kedua orang tua, Bapak Yustam Prihastono dan Ibu Tusimah, Adik-adikku

tercinta Riski Saifullah dan Zaskia Lutfi Zahratu Sita, serta keluarga besar

yang selalu memberikan doa, motivasi dan kasih sayang yang tak terhingga.

2. Ibu Dra. Wamiliana, Ph.D. sebagai pembimbing I, yang telah membimbing

penulis dan memberikan ide, kritik serta saran sehingga penulisan skripsi

ini dapat diselesaikan.

3. Ibu Astria Hijriani, S.Kom., M.Kom. sebagai pembimbing II, yang telah

memberikan saran, bantuan dan membimbing penulis dalam pembuatan

skripsi ini.

4. Bapak Ir. Machudor Yusman, M.Kom. sebagai pembahas, yang telah

memberikan masukan-masukan yang bermanfaat dalam perbaikan skripsi

ini.

5. Bapak dan Ibu Dosen serta seluruh staf Jurusan Ilmu Komputer Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung yang telah

memberikan ilmu dan pengalaman dalam hidup untuk menjadi lebih baik.

6. Seluruh mahasiswa angkatan 2013 yang berjuang bersama dalam suka

maupun duka, saling membantu, saling bertanya dalam menyelesaikan

karya-karyanya selama di Universitas Lampung. Kebersamaan yang telah

dilalui menjadi pengalaman berharga bagi penulis.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi

sedikit harapan semoga skripsi ini bermanfaat bagi perkembangan ilmu

pengetahuan terutama bagi teman-teman Ilmu Komputer.

Bandar Lampung, 25 Januari 2017

Wibi Cahyo Hastono

xiii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ............................................................................... xiv

DAFTAR GAMBAR .................................................................. xvi

DAFTAR TABEL ...................................................................... xix

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .............................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ......................................................... 3

1.3 Batasan Masalah ........................................................... 3

1.4 Tujuan ........................................................................... 4

1.5 Manfaat ......................................................................... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Konsep Dasar Graf ....................................................... 5

2.2 Minimum Spanning Tree dan Turunannya .................... 9

2.3 Algoritma Prim dan Extreme Programming ................. 11

BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ....................................... 14

3.2 Bahan dan Alat ............................................................. 14

3.3 Tahapan Penelitian ........................................................ 15

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Data yang Digunakan .................................................... 32

4.2 Penentuan HVTk dan MaxVTk .................................... 32

4.3 Implementasi ................................................................. 33

4.3.1 WAC1 .................................................................... 33

4.3.2 WAC2 .................................................................... 39

4.3.3 WAC3 .................................................................... 44

4.3.4 WAC4 .................................................................... 49

4.3.5 WAC5 .................................................................... 54

4.3.6 WAC6 .................................................................... 60

4.4 Pengujian dan Hasil ...................................................... 61

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan ................................................................... 65

5.2 Saran ............................................................................. 66

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Contoh Tree ................................................................... 8

Gambar 2.2 Graf G ............................................................................. 8

Gambar 2.3 Semua spanning tree dari graf G.................................... 9

Gambar 2.4 Contoh pohon ................................................................. 9

Gambar 2.5 Alur Metode Extreme Programming (Pressman, 2009) 13

Gambar 3.1 Flowchart Penelitian ...................................................... 15

Gambar 3.2 Flowchart tahapan coding ............................................. 21

Gambar 3.3 Isi file 5 vertex ................................................................ 22

Gambar 3.4 Visualisasi Tabel 3.1 ...................................................... 23

Gambar 3.5 Visualisasi MST ............................................................. 25

Gambar 3.6 Visualisasi DCMST ....................................................... 27

Gambar 3.7 Visualisasi` MPDCMST ................................................ 30

Gambar 4.1 Visualisasi jaringan periode-1 pada WAC1 .................. 36

Gambar 4.2 Visualisasi jaringan periode-2 pada WAC1 ................... 37

Gambar 4.3 Visualisasi jaringan pada WAC1 ................................... 39



Gambar 4.6 Visualisasi jaringan WAC2 ........................................... 43

Gambar 4.7 Visualisasi bobot k-path ................................................. 44



Gambar 4.10 Visualisasi jaringan pada WAC3 ................................ 49

Gambar 4.11 Visualisasi jaringan periode-1 pada WAC4 ................ 51


Gambar 4.13 Visualisasi jaringan pada WAC4 ................................ 53


Gambar 4.15 Visualisasi jaringan periode-2 pada WAC5 .............. 58

Gambar 4.16 Visualisasi jaringan pada WAC5 .............................. 59

Gambar 4.17 Visualisasi Grafik Tabel 4.8 ...................................... 62

Gambar 4.18 Visualisasi Grafik Tabel 4.9 ....................................... 64

xviii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Edge / sisi pembentuk graf ............................................ 22

Tabel 4.1 Elemen HVTk untuk setiap periode (Wamiliana, 2015 b) 32

Tabel 4.2 Objek edge file 22.dat 10 vertex .................................. 34

Tabel 4.3 Edge yang terhubung pada proses instalasi WAC1 ..... 38


Tabel 4.5 Edge yang terhubung pada proses instalasi WAC3 ...... 48



Tabel 4.8 Perbandingan rata-rata bobot antara MST, DCMST,

WAC1, WAC2, WAC3, WAC4,WAC5 dan WAC6 ... 61

Tabel 4.9 Perbandingan bobot rata-rata antara WAC6, WAC2,

WADR1 dan WADR2 .................................................. 63

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Penerapan ilmu matematika dalam kehidupan sehari-hari memang tidak pernah

ada habisnya. Ilmu matematika dapat menjadi solusi konseptual dalam

penyelesaian berbagai masalah yang dihadapi oleh manusia. Seiring dengan

semakin majunya teknologi komputer, penggunaan komputer dan model

matematika semakin banyak digunakan sebagai alat bantu dalam menyelesaikan

masalah dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam matematika dan ilmu komputer, suatu graf adalah objek dasar pelajaran

dalam teori graf. Dalam bahasa sehari-hari, suatu graf dapat didefinisikan sebagai

himpunan dari objek-objek yang dinamakan vertex atau titik dan dihubungkan oleh

edge atau garis. Munir (2009) mendefinisikan bahwa graf adalah himpunan (V,

E) dan dapat ditulis dengan notasi G = (V, E), V adalah himpunan tidak kosong

dari vertex-vertex {v1,v2,...,vn} dan E adalah himpunan edge {e1,e2,...,en} yang

menghubungkan sepasang vertex. Salah satu permasalahan yang dapat

diselesaikan menggunakan teori graf yaitu Minimum Spanning Tree Problem. Dari

studi literatur didapat bahwa penelitian tentang penggunaan suatu algoritma untuk

2

menentukan Minimum Spanning Tree (MST) atau Pohon Rentang Minimum dan

implementasinya pada suatu graf berbobot telah dilakukan dan didapat dua

algoritma terkenal untuk mencari MST, yaitu Algoritma Prim dan Algoritma

Kruskal.

Jika MST tersebut diberi tambahan kendala degree (derajat) maka masalah

tersebut adalah masalah Degree Contrained Minimum Spanning Tree (DCMST)

dan jika DCMST diberi kendala tahap, maka masalah tersebut menjadi masalah

MPDCMST atau Multi Period Degree Constrained Minimum Spanning Tree.

Untuk masalah MPDCMST, Kawatra (2002) pertama kali mengidentifikasi

masalah ini dan menyelesaikannya menggunakan metode hybrid relaksi

Lengrange dan branch exchange yang diimplementasikan metode tersebut sampai

100 vertex. Selanjutnya Wamiliana dkk. (2005) mengimplementasi metode greedy

MPDCMST dengan menggunakan modifikasi Algoritma Kruskal. Nugraha (2011)

mengimplementasikan Algoritma Prim untuk menentukan MST (Minimum

Spanning Tree) pada sebuah jaringan berbobot dan mendapati bahwa algoritma ini

memiliki efisiensi yang cukup tinggi, yaitu dengan waktu sekitar 2 detik per 80

titik yang dihubungkan. Namun, pada penelitian Nugraha (2011) ini hanya

mengimplementasikan Algoritma Prim untuk menyelesaikan masalah MST dan

bukan MPDCMST. Pada permasalahan MPDCMST pencarian jalur terpendek

antara vertex, dibatasi oleh beberapa kondisi tertentu, misalnya jumlah edge

maksimal yang terhubung pada suatu vertex. Kendala ini disebut dengan kendala

degree (derajat) titik, yang membatasi inter-koneksi pada vertex tersebut. Selain

itu, karena instalasi jaringan dilakukan secara bertahap, maka tiap tahap dibatasi

banyaknya titik yang di-install.

3

Pada penelitian ini difokuskan pada masalah MPDCMST yang diselesaikan

menggunakan Algoritma Modified Prim. Pada MPDCMST, jika diberikan

sebagian yang telah terhubung (misalnya jaringan pipa PDAM), maka dengan dana

yang telah dialokasikan untuk pengembangan jaringan tersebut, pemerintah harus

menentukan titik atau fasilitas publik mana sajakah yang dihubungkan pada tahap

selanjutnya, dan mana yang dapat ditunda sampai akhirnya semua perumahan atau

fasilitas publik yang ada terhubung dengan jaringan.

1.2 Rumusan Masalah

Fokus masalah yang diselesaikan pada penelitian ini adalah bagaimana

menyelesaikan masalah MPDCMST (Multi Period Degree Constraint Minimum

Spanning Tree) yang memiliki sejumlah vertex dan setiap vertex hanya memiliki

degree maksimal 3 menggunakan Algoritma Modified Prim.

1.3 Batasan Masalah

Beberapa batasan masalah pada penelitian ini yaitu:

1. Penelitian ini hanya dilakukan pengembangan dan penerapan Algoritma

Modified Prim untuk menyelesaikan masalah instalasi jaringan multi tahap.

2. Derajat tiap titik (vertex) maksimal 3.

3. Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data yang diambil dari

penelitian sebelumnya, oleh Wamiliana dkk (2015 a).

4

1.4 Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Mengembangkan Algoritma Modified Prim untuk menyelesaikan masalah

MPDCMST.

2. Mengembangkan source code untuk poin 1.

3. Mengimplementasikan source code pada poin 2 dengan data yang

digunakan oleh Wamiliana dkk (2015 a).

1.5 Manfaat

Penelitian ini diharapkan mampu memberikan kontribusi nyata dalam beberapa

hal berikut:

1. Turut membantu mengembangkan Algoritma Prim untuk mencari solusi

dalam masalah Multi Period Degree Constrain Minimum Spanning Tree

2. Hasil penelitian ini diharapkan bermanfaat untuk menyelesaikan masalah

dalam instalasi jaringan multi tahap.

5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab dijelaskan istilah-istilah yang digunakan pada penelitian ini.

2.1 Konsep Dasar Graf

Graf

Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis dengan notasi

G = (V, E). Dalam hal ini, V merupakan himpunan tidak kosong dari titik-titik

(vertex), dan E adalah himpunan sisi-sisi (edge) digambarkan dalam garis-garis

yang menghubungkan sepasang titik (Munir, 2009).

Degree (Derajat)

Misalkan v adalah titik suatu graf G, derajat titik v (simbol d(v)) adalah jumlah

garis yang berhubungan dengan titik v dan garis suatu loop dihitung dua kali

(Wibisono, 2004).

Walk

Suatu walk dari v ke w adalah barisan titik-titik berhubungan dan garis

berselang-seling, diawali dari titik v dan diakhiri pada w. Walk dengan panjang

6

n dari v ke w dituliskan sebagai berikut : v0 e1 v1 e2 v2 . . . vn-1 en vn dengan v0 = v;

vn = w; vi-1 dan vi adalah titik-titik diujung garis ei (Wibisono, 2004).

Path

Path dengan panjang n dari v ke w adalah walk dari v ke w yang semua garisnya

berbeda. Path dari v ke w dituliskan sebagai v = v0 e1 v1 e2 v2 . . . vn-1 en vn = w

dengan ei ≠ ej untuk i ≠ j (Wibisono, 2004).

Sirkuit

Sirkuit dengan panjang n adalah path yang dimulai dan diakhiri pada titik yang

sama. Sirkuit adalah path yang berbentuk v0 e1 v1 e2 v2 .... vn-1 en vn dengan v0 =

vn (Wibosono, 2004).

Graf Terhubung

Graf G disebut graf terhubung jika untuk setiap pasang titik u dan v di dalam

himpunan V terdapat garis dari u ke v. Jika tidak, maka graf G disebut graf tak

terhubung (Munir, 2009). Keterhubungan dua titik adalah penting di dalam

graf. Jika dua titik terhubung maka pasti titik yang pertama dapat dicapai dari

titik yang kedua. Pada graf berarah, graf G dikatakan terhubung jika graf tak-

berarahnya terhubung (graf tak-berarah dari G diperoleh dengan

menghilangkan arahnya). Keterhubungan dua titik pada graf berarah

dibedakan menjadi terhubung kuat dan terhubung lemah. Dua titik, u dan v

pada graf berarah G disebut terhubung kuat jika terdapat lintasan garis dari u

ke v dan juga sebaliknya garis berarah dari v ke u. Jika u dan v tidak terhubung

kuat tetapi tetap terhubung pada graf tak-berarahnya, maka u dan v dikatakan

terhubung lemah (Nugraha, 2011).

7

Graf Berbobot

Graf berbobot adalah graf yang setiap garisnya diberi suatu nilai. Bobot pada

tiap garis dapat berbeda-beda bergantung pada masalah yang dimodelkan

dengan graf. Bobot dapat menyatakan jarak antara dua tiang listrik, kapasitas,

biaya perjalanan antara dua kota, waktu tempuh pesan (message) dari sebuah

titik komunikasi ke titik komunikasi lain, ongkos dan produksi (Nugraha,

2011).

Pohon (Tree)

Pohon (Tree) didefinisikan sebagai graph terhubung yang tidak mengandung

sirkuit, sedangkan hutan (forest) adalah kumpulan dari pohon (tree) dan forest

merupakan graf tidak terhubung. Jadi pohon adalah hutan yang terhubung.

Terdapat 2 syarat dalam suatu tree :

1) Suatu graf G disebut terhubung apabila untuk setiap dua titik dari graf

G selalu terdapat jalur yang menghubungkan kedua titik tersebut.

2) Sirkuit atau cycle adalah suatu lintasan tertutup dengan derajat setiap

titik dua.

(Astuti, 2006).

Gambar 2.1 adalah contoh dari Tree.

8

Gambar 2.1 Contoh Tree

Suatu Graf G dengan n buah titik adalah pohon jika :

1) G terhubung dan tak mengandung sirkuit, atau

2) G tidak mengandung sirkuit dan mempunyai n - 1 buah garis, atau

3) G mempunyai n - 1 buah garis dan terhubung

Pohon Rentangan (Spanning Tree)

Suatu pohon rentangan atau spanning tree adalah suatu subgraf dari graf G

yang mengandung semua simpul dari G dan merupakan suatu pohon (Astuti,

2006).

Diberi graf G sebagai berikut :

Gambar 2.2 Graf G

Semua spanning tree dari G digambarkan pada Gambar 2.3 berikut :

9

Gambar 2.3 Semua spanning tree dari graf G

2.2 Minimum Spanning Tree dan Turunannya

Tree dan Forest

Pohon (tree) didefinisikan sebagai suatu graf terhubung (connected graph)

yang tidak mengandung rangkaian sederhana (simple circuit). Sebagai misal,

graf dalam Gambar 2.4 adalah pohon.

Gambar 2.4 Contoh pohon

Himpunan pohon-pohon yang terpisah satu sama lain dinamakan hutan

(forest). Di dalam suatu pohon, titik (vertex) berderajat 1 dinamakan daun

(leaf) atau titik terminal (terminal node), sedangkan vertex yang berderajat

lebih besar dari 1 dinamakan titik cabang (branch node) atau titik internal

10

(internal node). Sebagai misal, vertex-vertex b, c, d, e, f, g, dan i di dalam

Gambar 2.4 adalah daun, sedangkan vertex a, e, dan h adalah titik cabang.

Sifat-sifat yang dimiliki oleh tree ( Liu, 1995):

1. Di dalam suatu pohon, garis antara dua vertex bersifat tunggal (unik, khas).

2. Di dalam suatu pohon, jumlah vertex satu lebih banyak dari pada jumlah

garis.

3. Pohon dengan dua atau lebih vertex memiliki sedikitnya dua daun.

Pohon Merentang Minimun/Minimun Spaning Tree (MST)

Apabila G adalah graf berbobot, maka bobot Spanning Tree atau Pohon

Merentang T dari G didefinisikan sebagai jumlah bobot semua sisi di T. Pohon

merentang yang berbeda mempunyai bobot yang berbeda pula. Diantara semua

pohon merentang dalam graf G, pohon merentang yang berbobot minimum

dinamakan Pohon Merentang Minimum atau Minimum Spanning Tree. Pohon

Merentang Minimum ini mempunyai terapan yang luas dalam masalah riil

(Munir, 2009).

DCMST (Degree Constrained Minimum Spanning Tree)

DCMST Degree Constrained Minimum Spanning Tree. DCMST adalah suatu

permasalahan yang sama halnya dengan MST hanya saja dalam kondisinya

terdapat kendala degree (derajat). Degree Constrained adalah kondisi

pembatasan jumlah degree yang dimiliki oleh suatu titik. DCMST adalah

permasalahan untuk menemukan minimum spanning tree T dari G dimana

11

degree dari tiap titik dibatasi dengan persamaan, di ≤ bi ; (Caccetta dan Hill,

2001).

MPDCMST (Multi Period Degree Constrained Minimum Spanning Tree)

Multi Period Degree Constrained Minimum Spanning Tree (MPDCMST)

adalah masalah lanjutan dari Degree Constrained Minimum Spanning Tree

(DCMST). Perbedaaan diantara kedua masalah ini adalah periode saat

dilakukanya instalasi jaringan. Biasanya dalam implementasi dikehidupan

sehari-hari, instalasi jaringan harus dilakukan dalam beberapa periode karena

mengalami kendala kekurangan dana saat instalasi. Pada DCMST, semua

vertex (dapat dipresentasikan sebagai komputer, kota, dan lainnya) dapat

diinstal dalam satu periode dan tanpa ada titik vertex secara spesifik. Masalah

ini diaplikasikan dalam permasalahan kehidupan sehari-hari seperti instalasi,

suplay air, suplay gas, listrik, kabel telepon, dan lain-lainnya (Junaidi, 2008).

2.3 Algoritma Prim dan Extreme Programming

Algoritma Prim

Inisiasi : 𝑇 = ∅ , 𝑉 = ∅.

Langkah – langkah

1. Tentukan salah satu titik sebagai ”root”

2. Masukkan root ke V.

3. Tentukan garis minimum yang terhubung dengan root, pilih dan masukkan

ke T. Titik ujung garis tersebut masukkan ke V.

4. Pilih garis minimum yang terhubung dengan titik – titik di V dan cek apakah

membentuk sirkuit jika ditambahkan ke T.

12

Jika ya , maka buang garis tersebut dan pilih lagi garis minimum berikutnya.

Jika tidak, masukkan garis nya di T dan titik nya di V.

5. Cek 𝑇 = 𝑛 − 1?

Jika ya STOP. Jika tidak, ulangi langkah 4 (Wamiliana, 2015).

Extreme Programming

Extreme Programming, atau XP, adalah metode pengembangan perangkat

lunak yang berdasarkan nilai-nilai kesederhanaan, komunikasi, umpan balik,

dan keberanian. XP dikembangkan oleh Kent Beck pada tahun 1996 yang

menulis buku, Extreme Programming Explained. XP dirancang untuk

digunakan dengan tim kecil yang melakukan pengembangan perangkat lunak

dengan cepat dengan lingkungan yang mudah cepat berubah. XP bekerja

dengan membawa keseluruhan tim bersama-sama di hadapan praktek

sederhana, dengan umpan balik yang cukup untuk memungkinkan tim dapat

melihat kedudukan tim berada dan untuk menyesuaikan praktek sesuai dengan

situasi unik mereka (Lamia, 2002).

13

Gambar 2.5 Alur Metode Extreme Programming (Pressman, 2009)

Java

Java diciptakan oleh James Gosling, Patrick Naughton, Chris Warth, Ed Frank,

dan Mike Sheridan di Sun Microsystem pada tahun 1991. Bahasa ini awalnya

disebut Oak namun kemudian diganti java pada tahun 1995. Dorongan asli

dibentuknya java tidak berasal internet, sebaliknya, motivasi utama

diciptakannya bahasa ini adalah kebutuhan untuk bahasa platform-independen

yang dapat digunakan untuk membuat perangkat lunak untuk dimasukkan

dalam berbagai perangkat elektronik konsumen (Oracle, 2016).

unit t est

cont inuous int egrat ion

accept ance t est ing

pair

programming

Release

user st ories

values

accept ance t est crit eria

it erat ion plan

simple design

CRC cards

spike solut ions

prot ot ypes

refact oring

sof tware increment

project velocity computed

14

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Ilmu Komputer Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Waktu penelitian dilakukan

pada semester ganjil tahun ajaran 2016-2017.

3.2 Bahan dan Alat

Bahan penelitian yang dibutuhkan untuk mendukung pelaksanaan penelitian

ini adalah sebagai berikut :

1. Data masalah graf yang diselesaikan.

2. Berbagai literatur mengenai Algoritma Prim dan implementasinya dalam

pemecahan masalah MST.

Sedangkan alat yang digunakan pada penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Perangkat keras (Hardware), dengan spesifikasi berikut :

a. Processor intel core i5

b. RAM 4 GB

c. Hardisk 500 GB

2. Perangkat lunak (Software), diantaranya :

15

a. Sistem Operasi : Windows 8

b. Bahasa pemrograman : Java

c. IDE : Netbeans 8.0

3.3 Tahapan Penelitian

Pada penelitian yang dilakukan menggunakan metode pengembangan

perangkat lunak Extreme Programming. Sedangkan tahapan-tahapan yang

dilakukan pada penelitian ini digambarkan pada Gambar 3.1:

Gambar 3.1 Flowchart Penelitian

unit t est

cont inuous int egrat ion

accept ance t est ing

pair

programming

Release

user st ories

values

accept ance t est crit eria

it erat ion plan

simple design

CRC cards

spike solut ions

prot ot ypes

refact oring

sof tware increment

project velocity computed

16

Berikut ini adalah penjelasan tiap tahapan yang dilakukan pada penelitian ini :

1. Planning

Tahapan pertama, yaitu planning atau perencanaan. Tahapan ini terdiri dari

tiga sub-tahap. Tahapan pertama yaitu melakukan identifikasi masalah

MPDCMST dalam kehidupan sehari-hari. Identifikasi masalah pada

penelitian ini bertujuan untuk mencari faktor-faktor yang harus diperhatikan

dalam menyelesaikan masalah MPDCMST.

Subtahap selanjutnya adalah studi literatur, yakni dengan mengumpulkan

dan mempelajari informasi seputar masalah MPDCMST, serta

implementasi Algoritma Prim dalam menyelesaikan masalah serupa.

Informasi yang dikumpulkan berasal dari beberapa sumber seperti buku,

jurnal penelitian maupun forum-forum yang terdapat di internet. Sub tahap

ketiga adalah melakukan perencanaan kegiatan yang dilakukan selama

penelitian.

2. Design

Tahapan kedua adalah proses pembuatan algoritma program untuk

penyelesaian masalah yang telah dirumuskan. Algoritma yang akan dibuat

adalah hasil pengembangan dari Algoritma Prim. Pada tahapan ini juga

dilakukan perancangan input, output dan flowchart dari program yang

dibuat. Berikut ini adalah pseudo code Algoritma Modified Prim untuk

menyelesaikan masalah MPDCMST.

17

inisialisasi

V={1}, T=0, n=jumlah_vertex, k=1, kMax=3

begin

while k < kMax

do

if |HVTk| > MaxVTk

stop

else

Tk = 0

while Tk < (|HVTk|-1)

do

cari edge terpendek dari vertex dalam V

simpan edge terpilih kedalam e

if vertex yang akan dihubungkan tidak termasuk dalam HVTk

lanjutkan ke edge berikutnya

else

if penambahan e menyebabkan sirkuit


else

if penambahan e melanggar degree restriction


else

simpan vertex sumber dari e kedalam V

simpan e kedalam T

Tk++

endif

endif

endif

end

18

while Tk < (MaxVTk-1)

do

cari edge terpendek dari vertex dalam V

simpan edge terpilih kedalam e

if penambahan e menyebabkan sirkuit


else

if penambahan e melanggar degree restriction


else

simpan vertex sumber dari e kedalam V

simpan e kedalam T

Tk++

endif

endif

end

k++;

endif

endwhile

end

Catatan :

HVTk = Himpunan vertex-vertex yang harus di-install pada tahap ke-k atau

sebelumnya.

maxVTk = Maksimal vertex yang dapat di-install pada tahap ke-k.

kMax = Jumlah maksimal periode instalasi.

V = Himpunan vertex yang telah terhubung.

T = Himpunan edge dalam graf.

19

Tk = Jumlah edge yang telah di-install pada tahapan ke-k.

k = Periode instalasi sekarang.

Pseudo code Algoritma Modified Prim dijelaskan sebagai berikut:

1. Inisialisasi variable V sebagai himpunan vertex dengan nilai awal berisi

vertex 1. Inisialisasi variable T sebagai himpunan kosong yang

digunakan untuk menyimpan edge. Inisialisasi variable n sebagai

jumlah vertex yang di-install. Inisialisasi variable k dengan 1 dan kMax

dengan 3.

2. Jika jumlah vertex yang harus di-install pada tahap sekarang (|HVTk|)

lebih besar dari jumlah vertex yang dapat di-install pada tahap sekarang,

munculkan pesan error dan hentikan program.

3. Cari dan simpan edge terpendek dari vertex dalam V ke variabel e.

4. Jika vertex yang dihubungkan tidak termasuk dalam vertex prioritas

maka lanjutkan ke edge berikutnya.

5. Jika penambahan e menyebabkan sirkuit, maka lanjutkan ke edge

berikutnya.

6. Jika penambahan e melanggar degree restriction (kendala degree),

maka melanjutkan ke edge berikutnya.

7. Simpan vertex sumber dari e kedalam V.

8. Simpan e kedalam T

9. Ubah nilai Tk menjadi nilai k sekarang ditambah 1.

10. Jika edge yang telah di-install pada periode sekarang (Tk) kurang dari

jumlah vertex prioritas pada periode ini (|HVTk|) dikurangi satu, maka

kembali ke tahap 3.

20

11. Cari dan simpan edge terpendek dari vertex dalam V ke variabel e

12. Jika penambahan e menyebabkan sirkuit, maka lanjutkan ke edge

berikutnya.

13. Jika penambahan e melanggar degree restriction, maka lanjutkan ke

edge berikutnya.

14. Simpan vertex sumber dari e kedalam V.

15. Simpan e kedalam T

16. Ubah nilai Tk menjadi nilai k sekarang ditambah 1.

17. Jika jumlah edge yang telah di-install pada periode sekarang (Tk)

kurang dari jumlah vertex maksimal yang dapat di-install pada periode

ini (|MaxVTk|) dikurang satu, maka kembali ke tahap 10.

18. Ubah nilai k menjadi nilai k sekarang ditambah 1.

19. Jika jumlah periode sekarang (k) kurang dari jumlah periode maksimal

(kMax), maka kembali ke tahap 2.

3. Coding

Pada tahapan ini terdapat flowchart yang menunjukkan beberapa tahapan

tertentu selama fase coding. Flowchart pada tahapan coding dijelaskan pada

Gambar 3.2.

21

Gambar 3.2 Flowchart tahapan coding

Pada tahap coding dibagi menjadi empat fase utama, dimana tiap-tiap fase

merupakan pengembangan fase sebelumnya. Sehingga, pada fase ini tidak

dapat dilakukan secara paralel. Tiap-tiap fase pada tahapan coding

dijelaskan sebagai berikut :

a. Pembuatan Modul Pembaca Data

Modul Pembaca Data ini dirancang untuk dapat melakukan proses

pembacaan data dari file sumber. Pada proses ini juga dilakukan proses

ekstraksi data kedalam bentuk objek yang sesuai dengan aturan

pemrograman berorientasi objek. Data sumber yang digunakan adalah

data penelitian Wamiliana dkk. (2015), pada data ini terdapat 10 folder,

yaitu folder 10,20,30,50,60,70,80,90 dan 100 vertex. Pada masing-

masing folder terdapat 30 file yang berisi data uji. Contoh isi file data

dengan 5 vertex dijelaskan pada Gambar 3.3:

22

Gambar 3.3 Isi file 5 vertex

Jika file 1.dat diubah menjadi sebuah objek edge maka hasilnya

dijelaskan pada Tabel 3.1 berikut.

Tabel 3.1 Edge / sisi pembentuk graf

Vertex Sumber Vertex Tujuan Bobot

1 2 2

1 3 1

1 4 1

1 5 3

2 3 4

2 4 6

2 5 5

3 4 7

3 5 8

4 5 9

23

Dimana kolom mewakili atribut objek dan baris mewakili objek itu

sendiri. Agar lebih mudah dipahami, dari Tabel 3.1 divisualisasikan

dalam bentuk graf pada Gambar 3.4.

Gambar 3.4 Visualisasi Tabel 3.1

V adalah simbol vertex atau titik-titik yang ada. Pada gambar 3.4

terdapat 5 vertex yang disimbolkan dengan v1, v2, v3, v4 dan v5. Garis

yang saling menghubungkan dari satu titik ke titik lainnya pada gambar

disebut dengan edge. Angka-angka yang terdapat pada edge adalah

bobot dari satu titik ke titik lainnya.

b. Pembuatan Modul MST

Modul MST dirancang untuk dapat menyelesaikan permasalahan MST

dengan menerima input sejumlah edge. Kemudian program

memberikan output berupa hasil jalur yang paling efisien. Modul ini

dibangun menggunakan Algoritma Prim. Tahapan yang dilakukan untuk

24

menyelesaikan permasalahan MST menggunakan Algoritma Prim

adalah sebagai berikut :

1. Pilih vertex awal secara acak untuk ditambahkan ke G.

2. Cari edge terpendek yang terhubung pada vertex di G.

3. Cek apakah vertex target pada edge terpilih, sudah terdapat pada G.

4. Tambahkan vertex ke G jika memenuhi kondisi pada langkah 3.

5. Lakukan langkah 2 sampai 4 hingga semua vertex terhubung.

Langkah pengerjaan secara manual pada masalah MST dari file 1.dat

dengan 5 vertex dan vertex awal adalah v1:

1. Tambahkan v1 kedalam G

G = {v1}

2. Cari edge terpendek pada vertex di G, didapat edge e13

3. Tambahkan v3 ke G

G = {v1, v3}

4. Cari edge terpendek pada vertex di G, yaitu edge e14

5. Tambahkan v4 kedalam list G

G = {v1, v3, v4}

6. Cari edge terpendek pada vertex di G, didapat edge e12


G = {v1, v3, v4, v2}

8. Cari edge terpendek pada vertex di G, yaitu edge e15


G = { v1, v3, v4, v2, v5}

10. Selesai

25

Output edge:

e13 = 1

e14 = 1

e12 = 2

e15 = 3

Total bobot = 7

Visualisasi dari graf yang dihasilkan pada masalah MST, digambarkan

pada Gambar 3.5

Gambar 3.5 Visualisasi MST

c. Modul DCMST

Modul DCMST ini adalah pengembangan dari modul MST dengan

menambahkan masalah pembatasan degree pada tiap vertex-nya.

Tahapan yang dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan DCMST

menggunakan Algoritma Modified Prim untuk DCMST sebagai berikut:

1. Pilih vertex awal secara acak untuk ditambahkan ke G.

2. Cari edge terpendek yang terhubung pada vertex di G.

3. Cek apakah vertex target pada edge terpilih sudah terdapat pada G.

26

4. Cek apakah jumlah degree atau edge yang terhubung pada vertex

sumber lebih kecil dari maximum degree.

5. Tambahkan vertex ke G jika memenuhi kondisi pada langkah 3 dan

4.


Langkah pengerjaan secara manual pada masalah DCMST dari file 1.dat

dengan jumlah 5 dan vertex awal adalah v1 serta maksimum degree

adalah 3 :


G = {v1}

2. Cari edge terpendek pada vertex di G, didapat edge e13.

3. Tambahkan v3 ke G karena v1 sebagai vertex sumber masih memiliki

degree atau jumlah vertex terhubung kurang dari maksimum degree.

G = {v1, v3}

4. Cari edge terpendek pada vertex di G, yaitu edge e14.

5. Tambahkan v4 ke G karena masih memenuhi batas maksimum

degree pada v1.

G = {v1, v3, v4}



degree pada v1

G = {v1, v3, v4, v2}

27

8. Cari edge terpendek pada vertex di G, yaitu edge e25, karena untuk

edge e15. V1 sebagai vertex sumber telah mencapai batas maksimum

degree.


G = {v1, v3, v4, v2, v5}

10. Selesai

Output edge :

e13 = 1

e14 = 1

e12 = 2

e25 = 5

Total bobot = 9

Visualisasi dari graf yang dihasilkan pada masalah DCMST

digambarkan pada Gambar 3.6.

Gambar 3.6 Visualisasi DCMST

d. Modul MPDCMST

28

Modul MPDCMST ini adalah pengembangan dari modul DCMST

dengan menambahkan kendala jumlah tahapan instalasi serta vertex

prioritas. Tahapan yang dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan

MPDCMST menggunakan Algoritma Modified Prim untuk MPDCMST

dijelaskan sebagai berikut:

1. Mulai periode 1.

2. Pilih vertex awal secara acak untuk disimpan ke G.

3. Cari edge terpendek yang terhubung pada vertex di G, dengan

mengutamakan untuk memilih vertex yang diprioritaskan pada

periode ini.

4. Cek apakah vertex target pada edge terpilih sudah terdapat pada G.

5. Cek apakah jumlah degree atau edge yang terhubung pada vertex

sumber lebih kecil dari maximum degree.

6. Tambahkan vertex ke G jika memenuhi kondisi pada langkah 4 dan

5.

7. Lanjutkan ke periode berikutnya jika jumlah vertex pada periode ini

telah mencapai jumlah yang ditentukan.


Berikut diberikan contoh pengerjaan secara manual pada masalah

MPDCMST dengan batasan berikut :

a. gunakan data dari file 1.dat

b. jumlah vertex 5

c. sumber vertex = v1

d. maksimum degree = 3

29

e. jumlah tahapan 2; periode-1 install 2 vertex serta vertex prioritasnya

adalah 5, periode-2 install 4 vertex

Langkah-langkah pengerjaan dijelaskan sebagai berikut :

1. Tambahkan v1 ke G dan mulai periode-1.

G = {v1}

2. Cari edge terpendek pada vertex di G dengan mengutamakan v5 yang

menjadi prioritas pada tahap ini, didapat edge e15.

3. Tambahkan v5 ke G.

G = {v1, v5}

4. Mulai periode-2 karena jumlah vertex maksimal pada periode-1

telah terpenuhi.


6. Tambahkan v4 ke G.

G = {v1, v5, v4}

7. Cari edge terpendek pada vertex di G, yaitu edge e12.


degree pada v1.

G = {v1, v5, v4, v2}

9. Cari edge terpendek pada vertex di G, didapat edge e23, karena untuk

edge e13. V1 telah mencapai batas maksimum degree.

10. Tambahkan v3 kedalam list G

G = {v1, v5, v4, v2, v3}

11. Selesai

Output edge :

30

Periode 1

e15 = 3

Periode 2

e14= 1

e12 = 2

e23 = 4

Total bobot = 10

Visualisasi dari graf yang dihasilkan pada masalah MPDCMST

digambarkan pada Gambar 3.7 berikut.

Gambar 3.7 Visualisasi MPDCMST

Vertex dengan warna hijau di-install pada periode 1 sedangkan yang

berwarna biru di-install pada periode 2.

4. Testing

Tahapan terakhir adalah pengujian program, dimana tujuan dari pengujian

ini adalah untuk memastikan apakah program telah berfungsi sesuai dengan

yang diharapkan. Apabila dari proses pengujian program didapati beberapa

31

kekurangan pada program, maka dilakukan revisi ulang untuk memperbaiki

program tersebut. Selanjutnya jika program telah memenuhi pengujian awal

maka dilakukan pengujian akhir program. Pada tahap ini program yang

sudah dibuat perlu diuji coba sepenuhnya dengan menggunakan seluruh

data yang ada. Dalam penelitian ini data yang digunakan adalah data dari

penelitian Wamiliana dkk. (2015) sebelumnya, dan terdapat 300 file data.

Pengujian dibagi menjadi 10 kasus uji, dimana setiap kasus uji program

diuji menggukan jumlah vertex yang berbeda-beda. Mulai dari jumlah

vertex 10 ,20 ,30 ,40 ,50 ,60, 70, 80 ,90 sampai 100. Untuk setiap kasus uji,

pengujian tidak hanya dilakukan pada masalah MPDCMST melainkan pada

masalah DCMST dan MST. Hal ini bertujuan untuk melihat perbandingan

bobot minimum yang dihasilkan dari ketiga metode tersebut. Selain itu pada

setiap kasus uji, pengujian dilakukan terhadap 30 file uji berbeda.

Selanjutnya dicari bobot minimum rata-rata yang didapatkan.

Kemudian dari hasil pengujian ini perlu didapatkan kesimpulan seputar

hasil yang didapatkan dari program yang dibuat menggunakan Algoritma

Modified Prim pada penelitian ini.

65

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

Penelitian pengembangan Algoritma Modified Prim untuk menyelesaikan masalah

instalasi jaringan multi tahap telah selesai dilakukan. Berikut ini adalah beberapa

kesimpulan dan saran yang dapat digunakan sebagai rujukan untuk penelitian

selanjutnya.

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitan yang telah dilakukan, didapatkan beberapa

kesimpulan sebagai berikut :

1. Solusi optimal MPDCMST dengan menggunakan Algoritma Modified Prim

memiliki total bobot yang lebih besar dibandingkan MST dan DCMST yang

diselesaikan menggunakan Algoritma Prim atau Modified Prim. Karena

adanya kendala tambahan tahap pada MPDCMST.

2. Pada Algoritma WAC2, WAC4, WAC5 dan WAC6 rata-rata solusi yang

dihasilkan memiliki kecenderungan mendekati DCMST seiring dengan

semakin bertambahnya vertex.

3. Pada penelitian ini Algoritma Modified Prim yang memiliki hasil paling

baik dalam menyelesaikan masalah MPDCMST adalah Algoritma WAC6,

66

jika dibanding dengan Algoritma WAC1, WAC2, WAC3, WAC4 dan

WAC5.

4. Solusi yang didapatkan dari masalah MPDCMST menggunakan Algoritma

WAC6 memiliki rata-rata bobot total yang lebih kecil dibanding

menggunakan Algoritma WADR2 yang dikembangkan pada penelitian

sebelumnya.

5.2 Saran

Berikut ini adalah beberapa saran yang dapat digunakan untuk penelitian

selanjutnya :

1. Memberikan tampilan GUI yang rapih serta informatif agar lebih

memudahkan dalam melakukan pengujian.

2. Menambahkan fitur visualisasi graf menggunakan Java Native untuk

memudahkan proses pengecekan secara manual.

3. Mengimplementasikan konsep Thread pada program agar dapat melakukan

pencarian solusi dengan lebih cepat.

67

DAFTAR PUSTAKA

Astuti, Yuni Dwi. 2006. Logika dan Algoritma BAB 3. Jakarta : Universitas

Gunadarma.

Caccetta, L. and S.P. Hill. (2001). “A Branch and Cut Method for the Degree-

Constrained Minimum Spanning Tree Problem.” Networks 37(2), 74–83.

Junaidi A., Wamiliana, Dwi Sakethi, and Edy Tri Baskoro, 2008. ‘Computational

Aspects for multiperiod degree constrained minimum spanning tree problem,

Jurnal Sains MIPA, Special Edition, January 2008, pp. 1-5.

Kawatra . 2002. ‘A Multiperiod degree constrained minimum spanning tree

problem’, European Journal of Operational Research, Vol. 143, pp. 53-63.

Lamia dkk. 2002. Extreme Programming. Software Enginering CSS 423 B –

MWF 11-12.

Liu, C.L. 1995. Dasar-dasar Matematika Diskrit. Jakarta : Penertbit PT Gramedia

Pustaka Utama.

Munir, Rinaldi. 2009. Matematika Diskrit. Edisi Ketiga. Bandung:Informatika.

Nugraha, Deny Wiria. 2011. ‘Aplikasi Algoritma Prim untuk Menentukan

Minimum Spanning Tree Suatu Graf Berbobot dengan Menggunakan

Pemrogrograman Berorientasi Objek’. Jurnal Ilmiah Foristek Vol.1, No.2. pp

70-79.

Oracle. 2016. Java Fundamentals BAB 1.

Pressman, Roges S. 2010. ‘Software Enginering’. New York. McGraw-Hill

Company.

Wamiliana. 2015. Modul Kuliah Matematika Diskrit. Jurusan Matematika FMIPA

Universitas Lampung.

Wamilana, Dwi Sakethi, Akmal J., and Edy Baskoro. 2005. ‘The Design of

68

Greedy Algorithm for Solving the Multiperiod Degree Constrained Minimum

Spanning Tree Problem’. Jurnal Sains dan Teknologi, Vol. 11 No. 2. pp 93-

96.

Wamiliana, Faiz A. M. Elfaki, Mustofa Usman, and M. Azram, 2015 a. Some

Greedy Based Algorithms for Multi Periods Degree Constrained Minimum

Spanning Tree Problem. ARPN Journal of Engineering and Applied Science,

Vol. 10 Issue 21, pp. 10147-10152.

Wamiliana, Mustofa Usman, Dwi Sakethi, Restu Yuniarti and Ahmad Cucus, 2015

b. The Hybrid of Depth First Search Technique and Kruskal’s Algorithm for

Solving The Multi Period Degree Constrained Minimum Spanning Tree

Problem. IEEE Explore, 2016.

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jps?arnumber=7516333&newsea

rch=true&queryText=wamiliana

Wibisono, Samuel. 2004. Matematika Diskrit. Yogyakarta : Penerbit Graha Ilmu.

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jps?arnumber=7516333&newsearch=true&queryText=wamiliana

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jps?arnumber=7516333&newsearch=true&queryText=wamiliana

pengembangan algoritma modified prim untuk …digilib.unila.ac.id/26028/3/skripsi tanpa bab...

Documents