DND-2006 http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif

DND-2006

Apakah astrofisika itu ?Apakah astrofisika itu ? Penerapan ilmu fisika pada alam semesta/benda-

benda langit

Informasi yang diterima Cahaya (gelombang elektromagnet)

Pancaran gelombang elektromagnet dapat dibagi dalam beberapa jenis, bergantung pada panjang gelombangnya () 1. Pancaran gelombang radio, dengan antara

beberapa milimeter sampai 20 meter

2. Pancaran gelombang inframerah, dengan ≈ 7500 Å hingga sekitar 1 mm (1 Å = 1 Angstrom = 10-8 cm)

DND-2006

3. Pancaran gelombang optik atau pancaran kasatmata dengan sekitar 3 800Å sampai 7 500 Å

merah oranye : 6 000 – 6 300 Å oranye : 5 900 – 6 000 Å kuning : 5 700 – 5 900 Å kuning hijau : 5 500 – 5 700 Å hijau : 5 100 – 5 500 Å hijau biru : 4 800 – 5 100 Å biru : 4 500 – 4 800 Å biru ungu : 4 200 – 4 500 Å ungu : 3 800 – 4 200 Å

Panjang gelombang optik terbagi dlm beraneka warna: merah : 6 300 – 7 500

Å

DND-2006

4. Pancaran gelombang ultraviolet, sinar X dan sinar mempunyai < 3 500 Å

http://www.astro.uiuc.edu/~kaler/sow/spectra.html

Pancaran gelombang elektromagnet mulai dari sinar Gamma sampai dengan pancaran radio

DND-2006

Keti

ng

gia

n

Sinar-X Sinar GammaUV

Kasat

Mata

Infra-merah

Gel.MikroRadio

Permukaan Laut

ozon (O3)

molekul (H2O, CO2)

molekul ,atom, inti atom

teleskop optik

satelit balon, satelitbalon, satelitteleskop radio

http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.html

Jendela Optik

Jendela Radio

Pancaran gelombang yang dapat menembus atmosfer Bumi adalah panjang gelombang kasatmata dan panjang

gelombang radio

DND-2006

Dengan mengamati pancaran gelombang elektromagnet kita dapat mempelajari beberapa hal yaitu, Arah pancaran. Dari pengamatan kita dapat menga-

mati letak dan gerak benda yang memancarkannya

Kuantitas pancaran. Kita bisa mengukur kuat atau ke-cerahan pancaran

Kualitas pancaran. Dalam hal ini kita bisa mempe-lajari warna, spektrum maupun polarisasinya

DND-2006

DND-2006

Buah durian jatuh ke bumi

Antara durian dan bumi terjadi gaya

tarik gravitasi

Bulan bergerak mengedari bumi

Antara bumi dan bulan terjadi gaya

tarik gravitasi

Hukum Gravitasi Newton

Sebagai hukum yang mengatur gerak dalam alam semesta

Apakah ada kesamaan

?

ada !

DND-2006

F F

Menurut Newton,

Antara dua benda yang massanya masing-masing m1 dan m2 dan jarak antara keduanya adalah d akan terjadi gaya tarik gravitasi yang besarnya,

dG = tetapan gravitasi = 6,67 x 10-8 dyne cm2/g2

bersifat tarik menarikgaya m1 m2

Hukum Gravitasi NewtonHukum Gravitasi Newton

. . . . . . . . . (1-1)

G m1

m2

F = d2

Sir Isaac Newton(1643 – 1727)

DND-2006

Menentukan massa BumiMenentukan massa BumiSemua benda yang dijatuhkan dekat permukaan Bumi akan bergerak dengan percepatan g = 980,6 cm/s2

Jadi pada benda akan bekerja gaya sebesar,

F = mgpercepatanmassa bendagaya gravitasi

Dari persamaan (1-1) :

. . . . . . . . . . . . . . . . . (1-2)

. . . . . . . (1-3)

radius Bumi

massa Bumi

G m1

m2

F = d

2F = G M m

R2

DND-2006

Dari pers. (1-2) :

R2

G M g =

dan pers. (1-3) :

F = mg

G M mF =

R2

. . . (1-4)

Radius bumi di ekuator : a = 6378,2 km

Radius bumi di kutub : b = 6356,8 km

ab

R

Jika bumi berbentuk bundar sempurna maka volume Bumi adalah,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-5)

. . . . . . . . . (1-6)

4 3

Volume bumi = (a2b)

4 3

V = R3

DND-2006

Dari pers. (1-5) :

= 6371,1 km = 6,37 x 108 cm

R = (a2b)1/3

4 3

V = (a2b)

4 3

V = R3Dari pers. (1-6) :

R = [(6378,2 )2 (6356,8)]1/3

Radius bumi rata –rata :

Masukan harga g, G dan R ke pers (1-4) :

G

g R2

M =(980,6)(6,37 x 108)2

(6,67 x 10-8)= = 5,98 x 1027 gr

R2

G M g =

diperoleh,

DND-2006

Dari pers. (1-6) :

dan massa jenis bumi rata-rata adalah,

M

V

= = 5,98 x 1027

1,08 x 1027 = 5,52 gr/cm3

V = (6,37 x 108)34 3

= 1,08 x 1027 cm3

diperoleh volume Bumi,

4 3

V = R3

DND-2006

Gerak Bulan Mengedari BumiGerak Bulan Mengedari Bumi

Mengikuti hukum NewtonBumiBulan

Karena M 1/100 M, maka massa bulan dapat diabaikan. Percepatan bulan terhadap bumi adalah,

da

vjarak Bumi - Bulan

. . . . . . . . . . . . . (1-7)d 2

G M a =

DND-2006

Apabila periode orbit Bulan mengelilingi bumi adalah P maka,

Andaikan orbit Bulan berupa lingkaran dengan radius d, dan dengan kecepatan melingkar v yang tetap, maka percepatan sentripetal Bulan adalah,

a = v2/d . . . . . . . . . . . . . . . (1-8)

Subtitusikan pers. (1-8), ke pers. (1-7) :d 2

G M a =

G M

d =

d 2

v2

diperoleh, . . . . . . . . . . . . . . . (1-9)

. . . . . . . . . . . . . . . (1-10)P

2 dv =

DND-2006

Selanjutnya subtitusikan pers.(1-9) :

ke pers. (1-10) :

diperoleh, . . . . . . . . . . . . . (1-11)

d 2

G M

d =

v2

P

2 dv =

d 3

P 2

G M

4 2=

Dari pengamatan diketahui bahwa periode Bulan mengelilingi Bumi adalah,

P = 27,3 hari = 2,36 x 106 detik

Jarak Bum1-Bulan adalah,

d = 384 000 km = 3,84 x 1010 cm

DND-2006

Apabila periode bulan dan jarak bumi bulan dimasukan ke pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

M 6,02 x 1027 gr

Hasil ini sama dengan yang ditentukan berdasarkan benda yang jatuh dipermukaan Bumi, yaitu

M 5,98 x 1027 gr

Buah durian jatuh ke bumi

Bulan bergerak mengedari bumi

Kesimpulan :

Disebabkan oleh gaya yang sama yaitu gaya gravitasi

DND-2006

Dari pers (1-7) dapat ditentukan percepatan Bulan terhadap Bumi akibat gaya gravitasi yaitu,

jarak Bumi – Bulan = 3,84 x 1010 cm

Percepatan Bulan terhadap BumiPercepatan Bulan terhadap Bumi

(6,67 x 10-8)(5,97 x 1027)

(3,84 x 1010)d 2a = = = 0,27 cm/s2

G M

DND-2006

Massa bulan = 0,0123 kali massa Bumi

Dengan menggunakan persamaan (1-4) untuk Bulan, maka gaya gravitasi dipermukaan Bulan dapat ditentukan yaitu,

massa bulan

radius bulan

= 0,17 kali gaya gravitasi dipermukaan Bumi

Diameter Bulan = 0,27 kali diameter Bumi

Gaya gravitasi di permukaan BulanGaya gravitasi di permukaan Bulan

G M

R2

g=

= 165,72 cm/s2(6,67 x 10-8)( 0,0123 x 5,98 x 1027)

g=(0,27 x 6,37 x 108)2

DND-2006

ObjekMassa

(Bumi = 1)Diameter

(Bumi = 1)Gravitasi

(Bumi = 1)

Bulan 0,0123 0,27 0,17

Venus 0,81 0,95 0,91

Mars 0,11 0,53 0,38

Jupiter 317,9 11,20 2,54

Matahari 333 000 109,00 28,10

Gaya gravitasi di permukaan beberapa benda langit

DND-2006

Berat benda di permukaan BumiBerat benda di permukaan Bumi

massa benda

Contoh :

Berat sebuah benda di permukaan Bumi adalah 100 N, berapakah berat benda tersebut pada ketinggian 25 000 km di atas permukaan bumi ?

berat benda (gaya gravitasi yang dirasakan oleh benda) weight

G M mR

2W =

Berat benda di permukaan bumi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut,

DND-2006

Misalkan berat benda di permukaan bumi adalah W1 = 100 N, maka

Apabila W2 adalah berat benda pada ketinggian 25 000 km (= 2,5 x 109 cm) di atas permukaan bumi, maka

Jawab :

. . . . . . . . . . . . . . . . ()

W1 =G M m

R2

(R + 2,5 x 109)2W2 =

G M m . . . . . . . . . . . . ()

DND-2006

Jika harga R = 6,37 x 108 cm, dan harga W1 = 100 N dimasukan ke pers () maka akan diperoleh,

Dari pers () dan () diperoleh,

(R + 2,5 x 109)2W2 =

W1 R2

(6,37 x 108 + 2,5 x 109)2W2 =

(100)(6,37 x 108) 2

4 N

. . . . . . . . . . . . . . ()

DND-2006

Hukum Kuadrat KebalikanHukum Kuadrat Kebalikan

Untuk menentukan besarnya gravitasi di suatu tempat dapat kita gunakan hukum kuadrat kebalikan

F = - mg

Dari pers. (1-1) :

Dari pers. (1-2) :

. . . . . . . (1-12)

G m MF =

d 2

d 2

G M g =

d 12

G M g1 =

d 22

G M g2 =

d 1g2 = d 2

g1

2Untuk g1 :

Untuk g2 :

DND-2006

Contoh :

1. Percepatan gravitasi dipermukaan bumi (di permuka-an laut) adalah 980 cm/s2. Tentukanlah percepatan di ketinggian 25 000 km di atas permukaan Bumi.

Jawab :

g1 = gravitasi dipermukaan bumi = 980 cm/s2

d 2

d 1g2 = g1

2

d1 = radius bumi= R = 6,37 x 108 cm

Misalkan g2 adalah gravitasi pada ketinggian 25 000 km, maka

d2 = R + 25 000 km = 3,14 x 109 cm

DND-2006

Jadi,d 1

d 2

g2 = g1

2

3,14 x 109

6,37 x 108

= (980)

2

= 40,41 cm/s2

2. Pesawat ruang angkasa Galileo berada pada jarak 100 000 km dari pusat planet Jupiter, sedangkan pesawat pengorbitnya berada pada ketinggian 300 000 km. Tentukanlah besarnya percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo dinyatakan dalam percepatan gravitasi pengorbitnya.

DND-2006

Jawab :

Misalkan :

g1 = percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo

d1 = ketinggian pesawat ruang angkasa Galileo = 100 000 km

g2 = percepatan gravitasi pesawat pengorbit

d2 = ketinggian pesawat pengorbit = 300 000 km

d 1

d 2g1 = g2

2

100 000

300 000= g2

2

= 9 g2 maka

DND-2006

Satuan GayaSatuan Gaya

F = mg

Jika massa (m) dinyatakan dalam kg dan percepatan (g) dinyatakan dalam m/s2, maka gaya (F) dinyatakan dalam,

F = (kg)(m/s2) = kg m/s2 = Newton (N)

Jika massa (m) dinyatakan dalam gr dan percepatan (g) dinyatakan dalam cm/s2, maka gaya (F) dinyatakan dalam,

F = (gr)(cm/s2) = gr cm/s2 = dyne

1 Newton = 105 dyne

Dari pers. (1-2) :

DND-2006

Massa sebuah benda adalah 75 kg, berapakah gaya yang dirasakan oleh benda tersebut (berat benda) di permukaan Bumi, Bulan dan Planet Jupiter ?

Jawab : F = mgg di Bumi = 9,8 m/s2

g di Bulan = 0,17 x g di Bumi = 0,17 x 9,8 = 1,67 m/s2

g di Jupiter = 2,54 x g di Bumi = 2,54 x 9,8 = 24,89 m/s2

Jadi :

F di Bumi = (75)(9,8) = 735 kg m/s2 = 735 N

Contoh :

F di Bulan = (75)(1,67) = 125,25 kg m/s2 = 125,25 N

F di Jupiter = (75)(24,89) = 1 866,75 kg m/s2 = 1 866,75 N

DND-2006

m2(x2, y2, z2)

m1(x1, y1, z1)

Tinjau dua benda dengan massa benda kesatu adalah m1 dan massa benda kedua adalah m2.

Berdasarkan Hukum Newton, pada benda ke-1 akan bekerja gaya :

m1 = Gd

2r

d t 2

m1

m2r

2

x

y

z

. . (1-13)

r

Koordinat kartesius kedua benda masing-masing adalah (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) dan jarak kedua benda adalah r

Hukum Gerak Dua BendaHukum Gerak Dua BendaHukum Gerak Dua BendaHukum Gerak Dua Benda

DND-2006

d 2x1m1 = G m1

m2

d t 2

x1 x2

r 3

. . . . . (1-14a)

d 2y1m1 = G m1

m2

d t 2

y1 y2

r 3

. . . . . (1-14b)

d 2z1m1 = G m1 m2d t

2

z1 z2

r 3

. . . . . (1-14c)

Gaya ini dapat diuraikan dalam komponen arah sumbu x, y, dan z, yaitu :

DND-2006

dalam arah x, y, z, diperoleh :

d 2x2m2 = G m1

m2

d t 2

x2 x1

r 3

. . . . . . (1-16a)

d 2y3m2 = G m1

m2

d t 2

y2 y1

r 3

. . . . . . (1-16b)

d 2z2m2 = G m1

m2

d t 2

z2 z1

r 3

. . . . . . (1-16c)

Hal yang sama juga berlaku untuk benda kedua, yaitu dengan menguraikan gaya :

m2 = Gd

2r

d t 2

m1

m2r

2. . . . . . . . . . (1-15)

DND-2006

Keenam persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan gerak benda.

kedudukan benda setiap saat dapat ditentukan.

Jika keenam persamaan diferensial tersebut dapat dipecahkan, koordinat kedua benda (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) sebagai fungsi waktu t dapat ditentukan.

Keenam persamaan gerak benda di atas adalah persamaan diferensial orde ke-2, terdapat 12 tetapan integrasi.

DND-2006

Ke-12 tetapan integrasi tersebut, dapat ditentukan dari dari keadaan awal kedua benda tersebut yaitu, 6 koordinat kedudukan awal (3 koordinat x, y, z untuk

masing-masing benda yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2)

6 komponen kecepatan awal (3 komponen untuk masing-masing benda, yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2).

DND-2006

tiga koordinat kedudukan awal tiga komponen kecepatan awal benda yang

bergerak

m1

m2(x, y, z)

xy

z

Sekarang dapat dituliskan :

x = x2 – x1 . . . . . . . . . (1-17a)

y = y2 – y1 . . . . . . . . . (1-17b)

z = z2 – z1 . . . . . . . . . (1-17c)

dan definisikan,

M = m1 + m2. . . . . . . . . (1-18)

Persoalan ini dapat disederhanakan dengan meng-anggap benda pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat Jadi sekarang hanya diperlukan enam tetapan, yaitu

DND-2006

Dengan menggunakan definisi (1-17) dan (1-18) pada pers. (1-14a) dan (1-16a), diperoleh

. . . . . . . . . . (1-19a)

Dengan cara yang sama diperoleh komponen pada arah y dan z, yaitu

. . . . . . . . . . (1-19b)

d 2z

= G Md t

2

z

r 3

. . . . . . . . . . (1-19c)

d 2x

= G Md t

2

x

r 3

d 2y

= G Md t

2

y

r 3

DND-2006

x y = 0d

2y

d t 2

d 2x

d t 2

d 2y

x = G Md t

2

xy

r 3

Selanjutnya, kalikan pers. (1-19a) dengan y dan pers. (1-19b) dengan x dan kurangkan keduanya.

d 2x

= G Md t

2

x

r 3

Pers. (1-19a) :

d 2y

= G Md t

2

y

r 3

Pers. (1-19b) :

x y

x x

d 2x

y = G Md t

2

xy

r 3

. . . . . . (1-20)

DND-2006

Pers. (1-20) dapat dituliskan sebagai,

x y = 0d y

d t

d x

d t

d

d t

. . . . . . . . . . (1-21)

Integrasikan persamaan (1-21), akan diperoleh,

x y = a1

d y

d t

d x

d t

. . . . . . . . . . (1-22a)

tetapan integrasi

Dengan cara yang sama diperoleh,

y z = a2

d z

d t

d y

d t

. . . . . . . . . . (1-22b)

z x = a3

d x

d t

d z

d t

. . . . . . . . . . . (1-22c)

DND-2006

Pers. (1-22a) : x z x y = a1

d y

d t

d x

d t

Pers. (1-22b) : x xy z = a2

d z

d t

d y

d t

Pers. (1-22c) : x yz x = a3

d x

d t

d z

d t

Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian jumlahkan

xz yz = a1zd y

d t

d x

d t

xy xz = a2xd z

d t

d y

d t

yz xy = a3yd x

d t

d z

d t

DND-2006

xz yz = a1zd y

d t

d x

d t

xy xz = a2xd z

d t

d y

d t

yz xy = a3yd x

d t

d z

d t

Ini adalah persamaan sebuah bidang datar

Orbit benda, terletak pada sebuah bidang datar.

a1z + a2x + a3y = 0 . . . . . . . . . . . (1-23)+

DND-2006

Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian jumlahkan hasilnya

d 2y

= G Md t

2

y

r 3

Pers. (1-19b) : xd y

2d t

2d 2x

= G Md t

2

x

r 3

Pers. (1-19a) : xdx

d t

d 2x

= G Md t

2

x

r 3

dx2

d t

dx2

d t

d 2y

= G Md t

2

y

r 3

dy2

d t

dy2

d t

d 2z

= G Md t

2

z

r 3

Pers. (1-19c) : xd t

d z2

d 2z

= G Md t

2

z

r 3

dz2

d t

dz2

d t

DND-2006

d 2x

= G Md t

2

x

r 3

dx2

d t

dx2

d t

d 2y

= G Md t

2

y

r 3

dy2

d t

dy2

d t

d 2z

= G Md t

2

z

r 3

dz2

d t

dz2

d t+

2GMr3

x + y + zdx

d t

dy

d t

dz

d t 2 + + =

d 2x

dt 2

dx

dt

d 2y

dt 2

dy

dt

d 2z

dt 2

dz

dt

DND-2006

2GMr3

x + y + zdx

dt

dy

dt

dz

dt + + =

d

dt

dx

dt

2 dy

dt

2 dx

dt

2

atau

. . . . . (1-24)

Jarak antara kedua benda dinyatakan oleh,

r2 = x2 + y2 + z2

. . . . . . . . . . (1-26)r = x + y + zdx

d t

dy

d t

dz

d t

dr

d t

. . . . . . . . . . . . . (1-25)

Apabila pers. (1-25) diturunkan, akan diperoleh,

DND-2006

v2 = + +

dx

d t

2 dy

d t

2 dx

d t

2. . . . . . . . . (1-27)

Kecepatan benda dinyatakan oleh,

Subtitusikan pers. (1-26) :

dan (1-27) ke pers. (1-24) :

r = x + y + zdx

d t

dy

d t

dz

d t

dr

d t

2GMr3

x + y + zdx

dt

dy

dt

dz

dt + + =

d

dt

dx

dt

2 dy

dt

2 dx

dt

2

diperoleh, 2GM

r2

dr

d t =

dv2

d t . . . . . . . . . . . (1-28)

DND-2006

Integrasikan pers. (1-28),

v 2 = + h

2GMr

. . . . . . . . . . . . (1-29)

tetapan integrasi

= dv2

d t

2GMr2

dr

d t 0

v

0

r

diperoleh,

Misalkan energi potensial gravitasi benda kedua adalah

G m2 Mr

V = . . . . . . . . . . . . (1-30)

DND-2006

dan energi kinetiknya adalah,

. . . . . . . . . . . . (1-31)T = m2 v21

2

Subtitusikan pers. (1-29) :

T = m2 + h = + m2h1

2

2GMr

1

2

G m2 Mr

. . (1-32)

ke pers. (1-31), diperoleh

v2 = + h 2GM

r

DND-2006

Pers. (1-30) :

Pers. (1-32) :

G m2 Mr

V =

T = + m2h1

2

G m2 Mr

T + V = + m2 h 1

2

G m2 Mr

G m2 Mr

1

2

= m2 h

= h’ . . . . . . . . . . . . . . . . (1-33)

Persamaan ini mengatakan bahwa energi total benda kedua selalu tetap selama mengorbit benda pertama.

+

Jumlahkan pers. (1-30) dengan pers. (1-32),

DND-2006

Hukum KeplerHukum KeplerHukum KeplerHukum Kepler

I. Orbit planet mengelilingi matahari tidak berbentuk lingkaran tetapi berbentuk elips dengan matahari di titik fokusnya

aphelion perihelion

Matahari

PlanetJohannes Kepler

(1571 – 1630)

DND-2006

II. Vektor radius (garis hubung matahari – planet) dalam selang waktu yang sama akan menyapu luas daerah yang sama.

MatahariPlanet

d

dt

dt

r

ddt

r2 = c (konstan)

Hukum Luas

DND-2006

III. Kuadrat periode planet mengitari matahari sebanding dengan pangkat tiga setengah sumbu besar elips

1 Periode = peredaran planet mulai dari titik A sampai kembali lagi ke titik A

P2 a3Setengah sumbu panjang

Matahari

Planet a

b

A

DND-2006

Sebagai penyederhanaan, ambil bidang gerak (bidang orbit) dalam bidang (x, y).

Hukum Kepler adalah hukum empiris, tapi bisa dibuktikan dengan hukum Gravitasi Newton.

Gerak benda hanya ditentukan oleh dua persama-an yang mengandung variabel x dan y, yaitu,

d 2x

= G Md t

2

x

r 3Pers. (1-19a) :

d 2y

= G Md t

2

y

r 3

Pers. (1-19b) :

dan

Bukti :

Bukti Hukum Kepler

DND-2006

Sama seperti di bagian yang lalu, persamaan (1.19a) dikalikan dengan y dan persamaan (1.19b) dengan x, kemudian kurangkan, Hasilnya adalah,

Selanjutnya integrasikan pers. (1-21), maka diperoleh :

x y = 0d y

d t

d x

d t

d

d t

Pers. (1-21) :

x y = cd y

d t

d x

d t

Per. (1-22a) :

tetapan integrasi

Langkah selanjutnya adalah, lakukan perkalian berikut,

DND-2006

d 2y

= G Md t

2

y

r 3

Pers. (1-19b) : d y2

d t

2d 2x

= G Md t

2

x

r 3

Pers. (1-19a) : dx

d t

d 2x

= G Md t

2

x

r 3

dx2

d t

dx2

d t

d 2y

= G Md t

2

y

r 3

dy2

d t

dy2

d t

2GMr3

x + y

dx

d t

dy

d t 2 + =

d 2x

dt 2

dx

dt

d 2y

dt 2

dy

dt

DND-2006

atau . . (1-34)d

dt

2GMr3

x + y

dx

dt

dy

dt + =

dx

dt

2 dy

dt

2

Jarak antara kedua benda adalah,

r2 = x2 + y2 . . . . . . . . . . . . (1-35)

Turunkan persamaan (1.35) diperoleh,

r = x + y

dx

d t

dy

d t

dr

d t . . . . . . . . . . . (1-

36)

Selanjutnya integrasikan persamaan (1.34),

rdr

d t

d

dt2 x + y

dx

dt

dy

dt + =

dx

dt

2 dy

dt

2

r3

GM

DND-2006

diperoleh, + 2 = hdx

dt

2 dy

dt

2

r

GM . . . . . . . . . . (1-37)

tetapan integrasi

Sekarang ubah sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar dengan mendefinisikan

x = r cos θ = cos θ r sin θ dxdt

drdt

dθdt

y = r sin θ = sin θ + r cos θ dydt

drdt

dθdt

Masukkan definisi ini ke persamaan (1-22a),

DND-2006

x y = cd y

d t

d x

d t

Per. (1-22a) :

r cos θ

= cos θ - r sin θ drdt

dθdt

r sin θ

sin θ + r cos θ = drdt

dθdt

diperoleh r 2 = cdθdt

atau =1dt

1d

cr 2

. . . . . . . . . . . (1-39)

. . . . . . . . . . . . . (1-38)

DND-2006

Dengan cara yang sama kita lakukan ke pers. (1.37), dan hasilnya,

. . . . . . . (1-40)

dengan, = G M . . . . . . . . . . . . (1-41)

+ r 2 = + h2r

drdt

2 ddt

2

ke pers. (1-40), diperoleh

Masukan pers. (1-39) : =1dt

1d

cr 2

drd

1r

4

1r

2

2c

2 r

2+ = 0

hc2

. . . . . (1-42)

DND-2006

Jika kita definisikan :

Kemudian dimasukkan ke

u = c2

1r

+ = 0drd

1r

4

1r

2

2c

2 r

2 hc2

Pers. (1-42) :

maka diperoleh, + u 2= H

2

drd

2 . . . . . . . . . . . (1-

43)

dengan H 2 = +

=tetapan

hc2

2

c 4

. . . . . . . (1-44)

Pemecahan persamaan (1-43) adalah :

u = H cos ( - ) .. . . . . . . . . . . (1-45)tetapan

integrasi

DND-2006

Masukkan harga u (pers. 1-45) dan H (pers. 1-44) ke pers. (1-43),

= 1 + 1 + cos ( ) c2

1r

hc2

2

+ u 2= H

2

drd

2Pers. (1-43) :

H 2 = + =

tetapan

hc2

2

c 4

Pers. (1-44) :

u = H cos ( - )Pers. (1-45) :

diperoleh,

c 2

/ r =

1 + 1 + cos ( ) hc2

2

atau . . . . . (1-47)

. . (1-46)

DND-2006

Kita didefinisikan :

1/2

e = 1 +hc

c

2

p = . . . . . . . . . . . . . (1-48)

. . . . . . . . . . . (1-49)

= ( ) . . . . . . . . . . . . . (1-50)

Jika ketiga pers. ini kita subtitusikan ke

Pers. (1-47) :

akan diperoleh,

c 2

/ r =

1 + 1 + cos ( ) hc2

2

1 + e cos p

r = . . . . . . . (1-51)

Persamaan irisan kerucut

DND-2006

Suatu irisan kerucut dapat berupa lingkaran, elips, parabola atau hiperbola.

Karena elips adalah suatu irisan kerucut, maka hasil ini merupakan pembuktian Hukum Kepler I

Dengan demikian, pembuktian Hukum Kepler I berdasarkan pada persamaan (1-51), yaitu persamaan irisan kerucut.

Parameter p disebut parameter kerucut Parameter e disebut eksentrisitas Parameter disebut anomali benar

1 + e cos p

r =

DND-2006

Arti geometri dari parameter ini diperlihatkan pada gambar berikut

ω

p

A

B

m1

m2

a

a e

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

Setengah jarak AB disebut setengah sumbu besar, dituliskan a yang harganya diberikan oleh :

p = a (1 – e 2) . . . . . . . . . . . (1-52)

(Apfokus)

(Perifokus)

DND-2006

Perhatikan : Benda pusat terletak pada titik fokus orbit Sudut menunjukkan kedudukan titik perifokus

terhadap suatu garis acuan tertentu (dalam hal ini garis potong bidang orbit dengan bidang langit)

ω

p

A

B

m1

m2

a

a e

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

(Apfokus)

(Perifokus)

DND-2006

jika e < 1 orbit berupa elips

1 + e cos p

r =Dari pers. (1-51) :

jika e = 1 orbit berupa parabola

jika e > 1 orbit berupa hiperbola

p = a (1 – e 2) karena (pers. 1-52) :

Titik perifokus dicapai apabila = 0o r = a (1 – e)

Titik apfokus dicapai apabila = 180o r = a (I + e)

maka,

DND-2006

Aphelion

Perihelion

Apabila m1 adalah Matahari dan m2 adalah planet, maka

titik terjauh dari Matahari disebut Aphelion titik terdekat disebut Perihelion

ω

p

A

B

m1

m2

a

a e

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

DND-2006

Apastron

Periastron

Apabila sistem ini adalah sistem bintang ganda dengan m1 adalah bintang ke-1 dan m2 adalah bintang ke-2, maka titik terjauh dari bintang ke-1 disebut Apastron titik terdekat disebut Periastron

ω

p

A

B

m1

m2

a

a e

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

DND-2006

Dari persamaan (1-38) :

Jika kedua ruas dikalikan dengan ½, maka diperoleh :

r 2 = cdθdt

r 2 = cdθdt

12

12

. . . . . . . . . . . . (1-53)

luas segitiga yg disapu oleh vektor radius r dlm waktu dt

Bukti Hukum Kepler II

DND-2006

Integrasikan persamaan (1-53) : r 2 = cdθdt

12

12

A = a2 (1 – e2)1/2 r 2 d = c dt12

12

0

P Periode Orbit

Luas elips

Dengan demikian :

c P = a2 (1 – e2)1/2

a2 (1 – e2)1/2 = c P12

= 2 a3/2 a1/2(1 – e2)1/2

atau

. . . . . . . (1-54)

DND-2006

Masukkan p = a (1 – e2) ke

c P = 2 a3/2 a1/2(1 – e2)1/2pers. (1-54) :

c P = 2 a3/2 p1/2diperoleh, . . . . . . . . . . (1-55)

Selanjutnya masukan pers. p = c2/ ke pers. (1-55), diperoleh,

c P = 2 a3/2c1/2

P = 2 a3/211/2

P2 = 4 2

a3

Kuadratkan pers. di atas akan diperoleh,

=a3

P2

4

2 . . . (1-56)

DND-2006

M = m1 + m2

= G Mdan pers. (1-41) :

Masukkan pers. (1-18) :

ke pers. (1-56) : =a3

P2

4

2

diperoleh,= (m1 + m2)

a3

P2

G4

2 . . . . . . . . (1-

57)Dalam kasus planet mengelilingi Matahari, m1 adalah massa matahari (M) m2 adalah massa planetKarena m2 << m1 (massa planet terbesar, yaitu Jupiter, hanya 0,001 M), maka persamaan (1-57) menjadi :

DND-2006

= Ma3

P2

G4

2

Bukti Hukum Kepler III

. . . . . . . . . . . . . . (1-58)

Bumi dengan satelit-satelit buatan Planet dengan satelit-satelitnya Sistem bintang ganda

Hukum Kepler bukan hanya berlaku untuk planet dalam mengedari matahari saja tetapi juga berlaku untuk :

dan lainnya

DND-2006

1. Sebuah satelit buatan mengorbit Bumi dalam orbit yang hampir berupa lingkaran. Apabila radius orbitnya adalah 96 000 km, tentukanlah periode orbit satelit tersebut.

Contoh :

Jawab :Karena massa bumi jauh lebih besar daripada massa satelit maka menurut Hk Kepler III

a 3

P 2 4 2

G M=4 2 a

3

G M

P =

0,5

Diketahui, M = 5,98 x 1027 gr, a = 9,6 x 109 cm dan G = 6,67 x 10-8 dyne cm2/gr2

DND-2006

Jadi

(6,67 x 10-8) (5,98 x 1027)

4 2 (9,6 x109)3

P =

0,5

= 295 919,24 det = 3,42 hari

DND-2006

Jawab :

2. Tentukanlah periode orbit Bumi jika massa matahari 8 kali lebih besar dari massa sekarang dan radius orbit Bumi dua kali daripada radius sekarang (andaikan orbit Bumi berupa lingkaran)

Misalkan : M1 = massa matahari sekarangM2 = 8 M1

a1 = radius orbit bumi sekaranga2 = 2 a1

Karena M>> M maka4 2

G M=a

3

P 2

DND-2006

Jadi periodenya sama dengan periode sekarang

P12

a13

4 2

G M1=

a23

P22 4 2

G M2=

M1

8M1

0,5

8P2 =P1 a1

2a1

1,5

= 21,5

P1

10,5

M2

M1P2 = P1 a1

a2

0,5 1,5

= (2,83)(0,3535) P1 = P1

DND-2006

1. Statsiun ruang angkasa Rusia Mir mengorbit bumi setiap 90 menit sekali pada ketinggian 250 km. Statsiun ruang angkasa ini diluncurkan pada tanggal 20 Februari 1986. Setelah beberapa tahun di ruang angkasa, statsiun ruang angkasa ini ditinggalkan dan secara perlahan-lahan jatuh ke Bumi pada tanggal 10 Maret 2001.a. Berapakalikah statsiun ruang angkasa ini

mengelilingi Bumi sebelum jatuh ke Bumi?b. Berapakah jarak yang ditempuh statsiun ruang

angkasa ini ? (Ketinggian Mir diabaikan relatif terhadap radius Bumi)

Soal Latihan :

DND-2006

2. Berapakalikah gaya gravitasi yang disebabkan oleh Matahari terhadap pesawat ruang angkasa Ulysses yang berjarak 2,3 AU dari Matahari dibandingkan dengan percepatan gravitasi yang disebabkan oleh Matahari terhadap planet Jupiter yang berjarak 5,2 AU dari Matahari?

3. Teleskop ruang angkasa Hubble mengorbit Bumi setiap 1,5 jam sekali pada ketinggian 220 km, Jika kamu akan menempatkan satelit komunikasi di ruang angkasa, pada ketinggian berapakah satelit tersebut harus ditempatkan supaya satelit bisa mengedari Bumi setiap 24 jam sekali? (Satelit semacam ini disebut satelit Geosyncronous karena satelit selalu berada di suatu titik yang tetap di atas Bumi)

DND-2006

5. Jika Io yang berjarak 422 000 km dari Jupiter memerlukan waktu 1,8 hari untuk melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter, berapakah waktu yang diperlukan oleh Europa (satelit Jupiter yang lain) yang berjarak 671 000 km dari Jupiter untuk melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter?

4. Salah satu satelit Jupiter yaitu Io mempunyai massa yang sama dengan Bulan (satelit Bumi), dan juga Io mengorbit Jupiter pada jarak yang sama dengan Bulan mengorbit Bumi. Akan tetapi Io mengelilingi Jupiter dalam satu putaran lamanya 1,8 hari, sedangkan Bulan mengelilingi Bumi dalam waktu 27,3 hari. Dapatkah kamu menjelaskan mengapa terjadi perbedaan ini?

DND-2006

Lanjut ke Bab II

Kembali ke Daftar Materi