pemrograman metoda elemen hingga pada masalah … · 2019. 11. 26. · banyak permasalahan dalam...

Media Informatika Vol. 4 No. 2 (2005)

56

PEMROGRAMAN METODA ELEMEN HINGGA PADA MASALAH KONDUKSI KALOR

Ekabrata Yudhistyra

Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer LIKMI

Jl. Ir. H. Juanda 96 Bandung 40132

Abstract Banyak permasalahan dalam fisika dan teknik yang dapat dirumuskan dalam bentuk persamaan differensial parsial. Seringkali solusi analitis dari persamaan differensial ini sukar diperoleh, sehingga dicari solusi pendekatan secara numerik dengan bantuan program komputer. Pada masalah konduksi kalor, metoda numerik yang umumnya digunakan adalah metoda beda hingga (finite difference method). Untuk domain solusi yang tidak homogen atau kompleks bentuk geometrinya, penyelesaian dengan metoda ini menjadi sukar. Kesulitan di atas dapat diatasi dengan menggunakan metoda elemen hingga. Salah satu metoda dalam metoda elemen hingga ini adalah metoda variasi. Dalam metoda variasi bentuk persamaan differensial parsial diubah ke dalam formulasi persamaan integral yang disebut fungsional. Dalam metoda elemen hingga ini domain solusi juga dibagi menjadi daerah-daerah yang lebih kecil (subdomain) yang disebut elemen, sehingga fungsional tersebut didefinisikan untuk tiap-tiap elemen. Dengan meminimumkan fungsional tersebut, diperoleh sistim persamaan matriks untuk tiap elemen, yang dapat disusun (assemble) menjadi sistim persamaan matriks global untuk seluruh domain solusi. Sistim persamaan matriks global ini kemudian diselesaikan menggunakan program komputer untuk memperoleh nilai-nilai pendekatan numerik pada semua titik simpul dalam domain solusi. Nilai-nilai pendekatan pada titik-titik lainnya dalam domain dapat diperoleh dari nilai-nilai pendekatan pada titik-titik simpul dengan menggunakan fungsi interpolasi tertentu yang biasanya diambil berupa fungsi polinominal. Key Word : finite, elemen, numerik

1. Perumusan Metoda Elemen Hingga pada Masalah Konduksi Kalor

Distribusi temperatur pada suatu domain dalam keadaan setimbang memenuhi

persamaan differensial berikut :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

x

Txx

x

k + ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

y

Tyy

y

k + ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

z

Tzz

z

k + Q = 0 (1)

dengan syarat batas Dirichlet :

BTT = pada batas domain 1S (2a)

57 Ekabrata Yudhistyra/ Penerapan Metoda Elemen

dan/ atau syarat batas Neumann :

xx

Txxk 1∂∂ + y

y

Tyyk 1∂∂ + z

z

Tzzk 1∂∂ + q + ( )∞−TTh = 0

pada batas domain 2S (2b)

dengan:

zzyyxx kkk ,, = koefisien konduksi kalor dalam arah x, y, z

zyx 1,1,1 = kosinus arah vektor normal keluar permukaan batas domain terhadap

arah x, y, dan z

Q = sumber kalor atau kebocoran kalor dalam domain

1S ∪ 2S = S = batas seluruh domain

∞T = temperatur sekeliling domain

q = fluks kalor pada batas domain

h = koefisien konveksi kalor

Dengan menggunakan teorema Mikhlin, kita dapat memperoleh fungsional

yang berpadanan dengan persamaan differensial (1) beserta syarat batasnya. Nilai-

nilai T yang memenuhi persamaan (1) beserta syarat batasnya dapat diperoleh dengan

cara mencari nilai-nilai T yang meminimumkan fungsional berikut :

I(T) = ∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

V z

Tzz

y

Tyy

x

Txx dVQTkkk 2

222

21

+ ( )( )∫ ∞−+2

221

S

dSTThqT (3)

Dengan definisi-definisi berikut :

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

=z

T

y

T

x

Ttg

t = transpose (4)

dan [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zz

yy

xx

kk

kD

000000

(5)

Media Informatika Vol. 4 No. 2 (2005) 58

maka persamaan (3) dapat dituliskan sebagai berikut :

I(T) = { } [ ]{ }[ ]∫ ∫ ++−V S

t TqdSdVTQgDg3

221

[ ]∫ ∞+∞−4

2221 2

S

dSTTTTh (6)

Pada persamaan (6) integrasi pada batas domain 2S diuraikan menjadi integrasi pada

batas domain 3S dan 4S . Batas domain 3S adalah batas atau permukaan dimana

terjadi fluks kalor yang bukan disebabkan oleh konveksi, sedangkan batas domain 4S

adalah batas atau permukaan dimana konveksi kalor terjadi.

Pada metoda elemen hingga peninjauan permasalahan dilakukan pada setiap elemen,

sehingga fungsional pada persamaan (6) haruslah dituliskan untuk tiap-tiap elemen

sebagai berikut:

( ) ( ) ( ){ } ( )[ ] ( ){ } ( ) ( )

( )( )∫ ∫−=

e eV V

eeeetee dVQTdVgDgTI 21

+ ( ) ( )

( )∫

eS

ee dSqT3

+ ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )∫ ∞+∞−

eS

eeee dSTTTTTh4

221 2 (7)

Sehingga bentuk fungsional untuk seluruh domain merupakan sumasi dari

fungsional-fungsional untuk tiap-tiap elemen. Persamaan (6) sekarang dapat

dituliskan sebagai berikut :

I(T) = ( ) ( )∑=

E

e

e TI1

= ( ){ }( )

( )[ ] ( ){ }dVgDg eetE

e V

e

e∑ ∫=1

21 - ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )∫ ∫+

e eV S

eeee dSqTdVQT3

+ ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )∫ ∞+∞−

eS

eeee dSTTTTTh4

221 2 (8)

dengan : E = banyak elemen dalam domain

(e) = elemen ke-e

Fungsional I(T) akan mencapai nilai minimum, jika :

{ } { }( ) ( )

( ) ( ){ }∑ ∑

= =

=∂

∂=

∂∂

=∂∂ E

e

E

e

ee

TTITI

TTTI

1 10)( (9)

{ } [ ]tnTTTT ...21=

n = banyak titik simpul pada seluruh domain


Ada 2 cara untuk menjabarkan persamaan (9) ini, yaitu :

1) Dengan menyelesaikan terlebih dahulu bentuk integral dari fungsional masing-

masing elemen. Cara ini tidak dapat ditunjukkan secara umum, sebab untuk setiap

masalah bentuk fungsionalnya berbeda-beda.

2) Dengan meminimumkan fungsional tersebut sebelum bentuk integralnya

diselesaikan terlebih dahulu.

Untuk mengevaluasi bentuk ( ) ( ){ }T

TI e

∂∂ pada persamaan (9) tanpa

menyelesaikan bentuk integral dari fungsionalnya, maka bentuk fungsional tersebut

harus dituliskan dalam suku-suku berupa nilai-nilai temperatur pada titik-titik simpul

{ }T .

Menurut persamaan: ( ) ( )[ ]ee NT =ˆ . { }T

sehingga :

( ){ }eg =

( )

( )

( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

zT

yT

xT

e

e

e

ˆ

ˆ

ˆ

=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zN

zN

zN

yN

yN

yN

xN

xN

xN

em

ee

em

ee

em

ee

...

...

...

21

21

21

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

mT

T

T

2

1

(10)

m = banyak titik simpul pada elemen (e)

Persamaan (10) dapat dituliskan sebagai : ( ){ } ( )[ ]ee Bg = . { }T (11)

dengan :

( )[ ]eB =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zN

zN

zN

yN

yN

yN

xN

xN

xN

em

ee

em

ee

em

ee

.....

.....

.....

21

21

21


Maka fungsional ( ) ( )TI e untuk tiap-tiap elemen dapat dituliskan sebagai

berikut :

( ) ( )TI e = { } ( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ]{ }dVTBDBT ee

V

tet

e

.....21∫ -

( )[ ]{ } ( )[ ]( )( )

{ }dSTNqdVTNQe eV S

ee ....3

∫ ∫+ + { } ( )[ ] ( )[ ]{ }( )

dSTNNTheS

etet ....4

21∫

- ( )[ ]{ }( )( )

∫ ∫ ∞+∞e eS S

e dShTdSTNhT4 4

221 (12)

Diferensiasi tiap-tiap suku pada persamaan (12) di atas dengan aturan diferensiasi,

akan memberikan hasil :

{ } { } ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }( )∫∂

∂eV

eetet dVTBDBTT 2

1 = ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }( )∫

eV

eete dVTBDB

{ }( )[ ]{ }

( )∫∂

∂eV

e dVTNQT

= ( )[ ]( )∫

eV

te dVNQ

{ }( )[ ]{ }

( )∫∂

∂eS

e dSTNqT

3

= ( )[ ]( )∫

eS

te dSNq3

{ } { } ( )[ ]( )

( )[ ]{ }dSTNNThT

et

S

et

e∫∂

∂

4

21 = ( )[ ] ( )[ ]{ }

( )∫

eS

ete dSTNNh4

{ }( )[ ]{ }

( )∫ ∞

∂∂

eS

e dSTNhTT

4

= ( )[ ]( )∫ ∞

eS

te dSNhT4

{ } ( )∫ ∞

∂∂

eS

dShTT

4

221 = 0

Sehingga : ( ) ( ){ } =∂

∂T

TI e

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )( )

{ }TdSNNhdVBDBe eV S

eteeete

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∫ ∫

4

- ( )[ ]( )( )

( )[ ] dSNqdVNQ te

V S

te

e e∫ ∫+

3

- ( )[ ]( )∫ ∞

eS

te dSNhT4

(13)


Persamaan (13) di atas dapat dituliskan : ( ) ( ){ }T

TI e

∂∂ = ( )[ ]{ } ( ){ }ee fTk + (14)

dengan :

( )[ ]ek = ( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ]dSNNhdVBDB et

S

eeet

V

e

ee∫∫ +4

(15)

( ){ }ef = ( )[ ]( ) ( )

( )[ ] dSNqdVNQ te

S

t

V

e

ee∫∫ +−3

( )[ ]( )∫ ∞−

eS

te dSNhT4

(16)

Sekarang persamaan (9) dapat dituliskan :

( ){ }T

TI∂∂ =

( ) ( ){ }∑

= ∂∂E

e

e

TTI

1

= ( )[ ]{ } ( ){ }( )∑=

=+E

e

ee fTk1

0

atau : [ ]K { }T = { }F (17)

dengan : [ ]K = ( )[ ]∑=

E

e

ek1

(18a)

{ }T = [ ]tnTTT ...21 ; t = transpose (18b)

{ }F = ( ){ }∑=

−E

e

ef1

(18c)

n = banyak titik simpul pada seluruh domain

Jadi kita lihat bahwa persyaratan bagi peminimuman nilai fungsional I, yaitu

{ } 0=∂∂TI , menghasilkan suatu sistem persamaan linier seperti yang ditunjukkan oleh

persamaan (17). Dengan menggunakan metoda eliminasi Gauss untuk penyelesaian

sistim persamaan linier, dapatlah nilai-nilai temperatur di setiap titik simpul { }T

diperoleh.

2. Konduksi Kalor Satu Dimensi

Untuk memahami penerapan metoda elemen hingga pada masalah konduksi

kalo ini, pada pasal ini akan dibahas konduksi kalor pada suatu batang sederhana.

Permasalahan :

Suatu batang sederhana dengan panjang 7,5 cm, berpenampang lingkaran

berjari-jari 1 cm, salah satu ujungnya bertemperatur C°150 , sedangkan temperatur


udara di sekelilingnya C°40 . Konveksi kalor terjadi pada seluruh permukaan batang

dengan koefisien konveksi kalor Ccmwatth °= ./10 2 . Koefisien konduksi kalor

batang Ccmwattkxx °= ./72 2 . Hendak diketahui distribusi temperatur pada batang

dalam keadaan setimbang.

Langkah pertama untuk memecahkan masalah tersebut adalah pembagian

batang atas elemen-elemen sebagai berikut :

Tinjau satu elemen saja :

Fungsi interpolasi untuk elemen linier satu dimensi ini adalah :

( ) ( ) ( )j

eji

ei

e TNTNT +=ˆ (19)

dengan : ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

LxN e

i 1 , ( )

LxN e

j =

iN dan jN masing-masing disebut fungsi bentuk (shape function) dan dalam hal ini

didefinisikan relatif terhadap sistim koordinat lokal.


Persamaan (19) di atas dapat dituliskan :

( )eT̂ = ( )[ ]{ }TN e = ( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

j

iej

ei T

TNN

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Lx

Lx1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

j

i

TT

Dari persamaan (10) diperoleh :

( ){ }eg = ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

dxdT e

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

LL11

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

j

i

TT

sehingga diperoleh : ( )[ ]eB = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

LL11

Untuk konduksi kalor satu dimensi jelaslah bahwa :

[ ]D = [ ]xxk

sekarang akan kita evaluasi matriks kekakuan elemen ( )[ ]ek yang pada masalah

konduksi kalor ini disebut juga sebagai matriks konduksi elemen dan vektor gaya

elemen ( ){ }ef untuk masalah ini.

Bentuk ( )[ ]ek dan ( ){ }ef untuk elemen 1, 2, 3 dan 4 adalah identik, sedangkan

untuk elemen ke-5 ada suku tambahan karena konveksi kalor juga terjadi melalui

penampang ujung batang.

Perhitungan ( )[ ]ek dan ( ){ }ef untuk elemen 1, 2, 3 dan 4 :

( )[ ]ek = ( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ]dSNNhdVBDB et

S

eeet

V

e

ee∫∫ +4

( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ]dVBDB eet

V

e

e∫ = [ ] Adx

LLk

L

Lxx

L

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−∫

111

1

0

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1111

LAkxx

( )[ ]( )

( )[ ]dSNNh et

S

e

e∫4

= PdxLx

Lx

Lx

Lx

hL

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∫ 11

0

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2112

6hPL


dengan : P = keliling penampang batang (dianggap konstan)

A = luas penampang batang (dianggap konstan)

Jadi : ( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

2112

61111 hPL

LAk

k xxe (20)

Untuk e = 1, 2, 3, 4.

Dari persamaan (16) :

( ){ }ef = ( )[ ]( )

( )[ ]( )

qdSNQdVNt

S

et

V

e

ee∫∫ +−3

( )[ ]( )∫ ∞−

eS

te hdSTN4

( )[ ]( )∫

eV

te QdVN = ∫⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −L

dx

Lx

Lx

QA0

1 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧11

2QAL

( )[ ]( )∫

eS

te qdSN3

= ∫⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −L

dx

Lx

Lx

qP0

1 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧11

2qPL

( )[ ]( )∫ ∞

eS

te hdSTN4

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∞11

2PLhT

Jadi : ( ){ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞+−−=

11

2PLhTqPLQALf e (21)

untuk e = 1, 2, 3, 4.

Perhitungan ( )[ ]ek dan ( ){ }ef untuk elemen 5 :

Untuk elemen 5 bentuk ( )[ ]ek nya sama seperti pada persamaan (20), tetapi

ada suku tambahan yaitu :

( )[ ] ( )[ ]∫AS

ete dSNNh , sedangkan bentuk nya sama seperti pada persamaan (21) tetapi

ada suku tambahan :

( )[ ]∫ ∞AS

te dShTN ; AS = permukaan penampang ujung batang.


Pada ujung j elemen 5 :

( ) ( ) 0115 =−=−==LL

LxNN i

ei

( ) 15 ====LL

LxNN j

ej

Maka :

( )[ ] ( )[ ]∫AS

ete dSNNh = [ ]dShAS∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡10

10

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

hA

dan :

( )[ ]∫ ∞AS

te dShTN = ∫ ∞⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

AS

dShT10

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∞10

AhT

Dengan demikian :

( )[ ]5k = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1111

LAkxx + ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡2112

6hPL + ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

hA

dan :

( ){ }5f = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∞+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞+−

−10

11

2AhTPLhTqPLQAL

Dengan memasukkan nilai-nilai A, xxk , L, P, h, T, dan nilai Q=q=0 (sebab

tidak ada sumber atau kebocoran kalor dalam batang dan juga tidak ada fluka kalor

pada permukaan batang selain yang terjadi oleh konveksi), diperoleh hasil sebagai

berikut :

( )[ ]1k = ( )[ ]2k = ( )[ ]3k = ( )[ ]4k = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−58434358

π

( )[ ]5k = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−68434358

π

( ){ }1f = ( ){ }2f = ( ){ }3f = ( ){ }4f = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−600600

π

( ){ }5f = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−1000600

π


Dari matriks-matriks kekakuan elemen ( )[ ]ek dan vektor-vektor gaya elemen ( ){ }ef dapat kita susun matriks kekakuan global [K] dan vektor gaya global {F}.

Untuk keperluan penyusunan matriks kekakuan global [K] dan vektor gaya global {F}

ini, maka matriks-matriks ( )[ ]ek dan vektor-vektor ( ){ }ef untuk keseluruhan elemen

haruslah disusun sebagai berikut :

( )[ ]1k =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

0000000000000000000000000000584300004358

π ( ){ }1f =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

0000

600600

π

( )[ ]2k =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

0000000000000000000005843000043580000000

π ( ){ }2f =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

000

6006000

π

( )[ ]3k =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

0000000000000058430000435800000000000000

π ( ){ }3f =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

00

60060000

π

( )[ ]4k =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

0000000584300004358000000000000000000000

π ( ){ }4f =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

0600600000

π


( )[ ]5k =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−6843000043580000000000000000000000000000

π ( ){ }5f =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

10006000000

π

[ ]K = ( )[ ]1k + ( )[ ]2k + … + ( )[ ]5k

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−

−−−

68430000431164300004311643000043116430000431164300004358

π

{ }F = ( ){ }1f + ( ){ }2f + … + ( ){ }5f

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

10001200120012001200600

π

Persamaan matriks global untuk seluruh domain :

[ ]K { }T = { }F

menjadi :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−

−−−

68430000431164300004311643000043116430000431164300004358

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

TTTTTT

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

10001200120012001200600


Oleh karena 1T diketahui sama dengan C°150 , maka sistim persamaan linier

di atas perlu dimodifikasi dengan aturan Dirichlet untuk simpul menjadi sistim

persamaan linier baru sebagai berikut :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−

−−

684300004311643000043116430000431164300004311643000001

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

TTTTTT

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

10001200120012001200150

Penyelesaian persamaan (22) dengan metoda eliminasi Gauss memberikan hasil

sebagai berikut :

1T = 150 C°

2T = 88,8364 C°

3T = 61,7447 C°

4T = 49,8237 C°

5T = 44,7565 C°

6T = 43,0078 C°

Perhitungan analitis (Kreith, Principles of Heat Transfer) memberikan hasil :

1T = 150 C°

2T = 89,9 C°

3T = 62,8 C°

4T = 50,6 C°

5T = 45,2 C°

6T = 43,3 C°

Dengan membandingkan kedua hasil di atas tampaklah bahwa penyimpangan

terbesar yang terjadi hanya sekitar 1,6%, jadi hasil yang diperoleh dengan metoda

elemen hingga di atas masih cukup baik. Hasil ini masih dapat diperbaiki dengan

memperbanyak jumlah elemen atau dengan memilih fungsi interpolasi yang lebih

sesuai. Namun pada jumlah elemen yang cukup besar dibutuhkan program komputer

untuk melakukan perhitungan (iterasi).


3. Daftar Program


4. Daftar Pustaka

1. Huebner, Kenneth H., Thornton, Earl A., “The Finite Element Method For

Engineers”, second edition, Wiley Interscience, New York, 1982.

2. Segerlind, L.J., “Applied Finite Element Analysis”, John Wiley, New York, 1976.

3. Norrie, D.H., De Vries, G., “An Introduction To Finite Element Analysis”,

Academic Press, Inc., New York, 1978.

pemrograman metoda elemen hingga pada masalah … · 2019. 11. 26. · banyak permasalahan dalam...

Documents