Předmět studia klasické fyziky

mechanika,termodynamika,elektrodynamika,optika

klasickáfyzika

teoretickáfyzika

experimentálnífyzika

teorie relativity

statistickáfyzika

kvantováfyzika

modernífyzika

Předmět studia klasické fyzikyFyzika obecně zkoumá strukturu hmoty a její zákony, a chování „přírody“ se snaží kvantitativně popsatpomocí vhodných fyzikálních modelů.

používá induktivní i deduktivní přístup

teoretická formulacezákonů a poznatků

experiment

matematickýaparát

ověření teoretických modelů

vyvození nových poznatků

empirické zákony

pokus o vytvořeníodpovídajícího teoretického

modelu

Rozdělení fyzikálních přístupů

Makroskopický přístup(nepřihlíží k mikrostruktuře látek ani k interakcím mikročástic – klasická fyzika)

Mikroskopický přístup(zkoumá vnitřní strukturu látek a fyzikální jevy na základě vlastností mikrofyzikálních částic – kvantová, jaderná, atomová fyzika, molekulová fyzika, fyzika pevných látek)

Fyzikální veličiny a poleFyzikální veličina – je určena rozměrem (jednotkami) a velikostí, např.délka L = 13 m.

Skalární veličina – vyjádřena jedním číslem (např. teplota, tlak, objem, hmotnost,energie,…)

Vektorová veličina – vyjádřena velikostí a směrem (např.rychlost, síla, …) – obecně 3 složky

prostorové rozložení určité fyzikální veličiny lze nazvat fyzikálním polem (např. silové, vlhkostní, teplotní, tlakové pole,…)

Mezinárodní SI soustava

délka [m]

hmotnost [kg]

čas [s]

elektrický proud [A]

teplota [K]

látkové množství [mol]

svítivost [cd]

Fyzikální veličiny a pole

Skalární pole – popsáno skalární veličinou v prostoru (např. teplotnípole)

Vektorové pole - popsáno vektorovou veličinou v prostoru (např. pole rychlosti proudění)

Homogenní pole – fyzikální veličina se v prostoru nemění

Stacionární pole – veličina nezávisí na čase

Typy fyzikálních polí:

Typy fyzikálních prostředí:

Homogenní prostředí – prostředí, jehož vlastnosti jsou stejné ve všech místech

Izotropní prostředí – prostředí, jehož fyzikální vlastnosti jsou stejnéve všech směrech, tj. nezávisí na směru

Základy vektorového počtukartézská soustava souřadná (pravoúhlá, pravotočivá)

• vektor je popsán svými třemi průměty ax, ay, az do souřadných osa ortogonálními vektory báze

)0,0,1(=ir

)0,1,0(=jr

)1,0,0(=kr

kajaiaaaaa zyxzyx

rrrr++== ),,(

velikost vektoru: 222zyx aaaa ++=

vektor:vektory báze:

rr

xy

z

α β

γ

ir j

rkr

Polohový vektor:

kzjyixzyxrrrrr

++== ),,(

rz

=γcosry

=βcosrx

=αcos

1coscoscos 222 =γ+β+α

Základy vektorového počtu

v praxi existují i jiné (křivočaré) souřadné soustavy (sférické, válcové, eliptické,…)

kzjyixzyxrrrrr

++== ),,(

sférické souřadnice:

rr

xy

z

ϕ

ϑ

ir j

rkr

rz

=ϑcosϕϑ= cossinrx

ϕϑ= sinsinry

ϑ= cosrz ry

=ϕsin

rx

=ϕcos

Základy vektorového počtuSkalární součin dvou vektorů

abba rrrr⋅=⋅

0=⋅⇒⊥ babarrrr

abbaba =⋅⇒⎥⎥rrrr

- výsledkem je číslo (skalár)

( ) ∑=++=ϕ=⋅=k

kkzzyyxxba babababababaS rr

rr cos

Vektorový součin dvou vektorů

( )zyx

zyxbaba

bbbaaakji

nbababac

rrr

rrrrrrrrrr =ϕ==×= sin],[

abba rrrr×−=×

- výsledkem je vektor, kolmý na oba vektory

bababaS rr

rrϕ=×= sinplocha:

bcacrrrr

⊥∧⊥

0rrrrr

=×⇒⎥⎥ babaar

brcr

barrϕban rr

r

Základy vektorového počtuDvojnásobný vektorový součin:

( ) ( ) ( )baccabcbarrrrrrrrr⋅−⋅=××

Smíšený součin vektorů : -při cyklické permutaci vektorů se nemění

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dacbdbcadcbarrrrrrrrrrrr

⋅⋅−⋅⋅=×⋅× ][][

Dále platí identita

( )zyx

zyx

zyx

cccbbbaaa

cba =×⋅rrr ( ) ( ) ( )bacacbcba

rrrrrrrrr×⋅=×⋅=×⋅

( ) ( )bcacbarrrrrr

×⋅−=×⋅

Dyadický (tenzorový) součin vektorů :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⊗=

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

bababababababababa

bacrrr- výsledkem je matice

Základy vektorového počtuvelikost oblouku

ϕ= dd Rs

Elementární otočení vektoru kolem osy:

1=cr-jednotkový vektor ve směru osy otáčení:

-otočení o elementární úhel dϕ

-pootočený vektor:

-vektor pootočení:

-změna vektoru:

ϕ==α⋅=×

dd

dd

ddsin)( a

saR

aaaac

rr

r

rrr

)d(d)(d aaacaaaa rrrrrrrrr×ϕ+=ϕ×+=+=′

ϕ⋅=ϕ dd crr

aa rrr×ϕ= dd

o

cr

ara′r

ardϕd

R

α

Základy vektorového počtuOrtogonální transformace souřadnic (rotace):

aa rr T=′zyx TTTT =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ψψψ−ψ=

cossin0sincos0001

xT rotace kolem osy x o úhel ψ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ϑϑ−

ϑϑ=

cos0sin010

sin0cos

yT rotace kolem osy y o úhel ϑ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ϕϕϕ−ϕ

=1000cossin0sincos

zT rotace kolem osy z o úhel ϕ

Užitečné matematické vztahy...

!2)(

!1)()()( 200

00 xxfxxfxfxxf ∆′′

+∆′

+=∆+Taylorův rozvoj:

ε±=ε± nn 1)1(počítání s malými čísly: 1<<ε

...53

sin53

−α

+α

−α=α

...42

1cos42

−α

+α

−=α

...21

12

+++=xxex

ϕ+ϕ=ϕ sincos ieiEulerův vztah:

Re

Im

1

ϕie

ϕ1−

i

i−

1−=i

Základy vektorového počtuzměna nějaké veličiny Y = f(Xi), která je funkcí N proměnných Xi lze vyjádřit pomocí totálního diferenciálu

ve fyzice často veličiny závisí na jiných veličinách (např.na čase, atd.) a pro změnu vektorové funkce skalárního argumentu platí:

∑= ∂

∂=

N

ii

i

XXfY

1dd

kt

ajt

ai

ta

ta

ta

ta

tta zyxzyx

rrrr

dd

dd

dd)

dd,

dd

,d

d(d

)(d++==

totální diferenciál:

xfxf

dd)( ≡′

derivace

Vyjadřuje lineárnípřírůstek funkce f

zyx akajaita ddd)(drrrr

++=diferenciál vektoru:

Základy vektorového počtuPříklad: (výpočet změny objemu a povrchu válce)

h

r2

VVV ∆+

pokud budou změny rozměrů∆D a ∆h dostatečně malé:

hrV 2π= 222 rrhS π+π=

objem: povrch:

hrrrhhhVr

rVV ∆π+∆π=∆

∂∂

+∆∂∂

=∆ 22&Změna objemu:

hrrrhhhSr

rSS ∆π+∆π+π=∆

∂∂

+∆∂∂

=∆ 2)42(&Změna povrchu:

Základy vektorového počtuderivace součinu:

[ ]taSa

tStatS

t dd

dd)()(

dd r

rr+=

[ ]tbab

tatbta

t dd

dd)()(

dd

rrrrrr

+=

[ ]tbab

tatbta

t dd

dd)()(

dd

rrrrrr×+×=×

diferenciál součinu:aata rrr d2])([d 2 ⋅=

babatbtarrrrrr dd])()([d ⋅+⋅=

babatbtarrrrrr dd])()([d ×+×=×

umožňuje určit, jak se nám změnívýsledný součin (skalární, vektorový)

při malé (infinitezimální) změnědílčích veličin

Základy vektorového počtuzaveďme nyní zcela zvláštní “vektor”, tzv. Hamiltonův operátor(nabla)

symbolicky též můžeme místo ∇ psát také

dále si zaveďme další symbolický diferenciální operátor, tzv. Laplaceův operátor ∆

zk

yj

xi

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇rrr

∇≡rrd

d

jedná se o symbolický diferenciální operátor, který umožňuje zjistit změnu dané

veličiny v závislosti na prostorových souřadnicích x,y,z

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⋅∇=∇=∆

Základy vektorového počtuderivace složené vektorové funkce vektorového argumentu:

pokud platí:

potom časová změna veličiny

))(,( tbtarr

),,()d

d,d

d,

dd(

dd

zyxzyx ccc

ta

ta

ta

tac ===r

r

tb

ba

tb

ba

tb

ba

ta

tac z

z

xy

y

xx

x

xxxx ∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

==d

d

))(),(),(()()( tztytxtrtb ==rr

avta

tac rr

rrr

⋅∇⋅+∂∂

== )(dd

),( rta rr

jedná se o častý praktický případ, kdy nám veličina závisí na poloze a čase, např. rychlost, teplota,…t

rvddrr

=

atb

ta

tac r

rrrr

⋅∇⋅+∂∂

== )dd(

dd

Základy vektorového počtugradient skalární funkce:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

==⋅∇=zS

yS

xS

rSSS ,,

ddgrad r

• výsledkem této diferenciální operace je vektor

)( 22

),( yxexyxfz +−⋅==

gradient vyjadřuje vektor směru maximální

prostorové změny skalárníveličiny S,

tj. směr, kterým nám v daném místě prostoru daná

veličina (např.teplota) nejvíce narůstá