pd-eksak_na.doc_0
DESCRIPTION
pd eksakTRANSCRIPT
-
xN
yM
Nyu
=
= ,
,
,
,
2
2
yxu
xN
xyu
yM
Mxu
=
=
=
xN
yM
=
PD Eksak
Jika kita mempunyai fungsi u(x,y) yang mempunyai turunan parsial kontinyu, maka turunanya dapat ditulis sebagai berikut:
dyxudx
xudu
+
=
Jika u(x,y) = c = constant, maka du = 0;
Contoh: u= 5y + 2xy2
Sehingga du = 0;du=(2 y 2 )dx+ 4xy dy= 0
y'= dydx=2 y
2
4xy
Sebuah persamaan differensial orde 1 dapat ditulis sebagai:M(x,y)dx+ N (x,y)dy=0
Dan dikatakan persamaan diferensial eksak jika dapat ditulis dalam bentuk:
0=+
= dy
xudx
xudu
*persamaan dyxudx
xudu
+
=
(a) (b)
* Penyelesaian untuk
+= );(ykMdxu += );(xlNdyu
Universitas M
uhamm
adiyah Malang
-
1
1
=
=
xNy
M
Contohsin( x+y )dx+(5y2+3y+sin( x+y )dy=0 . Apakah persamaan tersebut diatas eksak?
M=sin ( x + y),N=(5y2+3y+sin( x+y ) ,M y
=cos( x+y ) ,
N x
=cos ( x+y ),
++=+= )()cos()( ykdxyxykMdxu = cos (x+y) + k (y),
Mencari nilai k(y)
u y
=sin( x+y )+ k y
= N = 5y2+3y+sin( x+y ) ,
dk /dy = 5y23y
k(y) = 53
y3+ 32
y2+c
Didapatkan hasil akhir
u( x,y )= sin( x+y )+ 53
y3+ 32
y2 +c
Persamaan untuk PD tidak eksak
Contoh : - ydx + xdy = 0
M = -y
N = xPersamaan bukan PD eksak
Penyelesaian :
ykx
yu
ykxyykMdxu
+=
+=+= ),()( ........ tidak dapat diselesaikan
Penyelesaian yang mungkin-ydx+xdy = 0
0122 =
=+=+
xyddy
xdx
xy
xxdyydx
Universitas M
uhamm
adiyah Malang
-
contoh diatas memberikan ide tentang penyelesaian PD tidak eksak P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0FP dx+FQdy=0
Fungsi F(x,y) disebut sebagai factor integrasi
Menghitung Faktor Integrasi Untuk persamaan: Mdx+Ndy = 0
Dikatakan Eksak jika dxNdyM // =Dan untuk persamaan: FP dx+FQdy=0
Eksak jika: )()( FQxFP
y =
Dengan hukum perkalian turunan didapatkan XXYY FQQFFPPF +=+
Anggap bahwa F hanya tergantung dari variable x saja, sehingga:F= F(x)F X =0F x = F '
XY FQQFFP +='
XXYY FQQFFPPF +=+Dan jika dianggap bahwa F hanya tergantung dari variable y saja, sehingga:
F*=F*(y)
=
=
yP
xQ
PR
Rdy
dFF
1
,1
*
**
*
Contoh :Selesaikan persamaan berikut
1)0(,0)1()( ==+++ ydyxedxyee yyyx
Penyelesaian:Pengujian eksak
yyyxyyx yeeeyeeyy
P ++=+=
++ )(
yy exexx
Q ==
)1(
Faktor integrasi pertama
),(1
11 yyyyxy eyeeexex
QyP
QR ++
=
= +
=
=
=
dxxRxF
xQ
yP
QR
RdxdF
F
)(exp)(
)(1
,1
= dyyRyF )(exp)( **
Universitas M
uhamm
adiyah Malang
-
Faktor integrasi kedua
1)(11* =+
=
= ++
yyyxyyyx yeeeeyexy
PxQ
PR
Kita dapatkan faktor integrasi yeyF =)(*
yeyF =)(*0)1()( =+++ dyxedxyee yyyx
0)()( =++ dyexdxye yx
)()( ykxyedxyeu xx ++=+= ,yexN
dydkx
yu ==+=
,yedydk =
cexyeyxu yx =++= ),(
Masukan nilai initial conditiony (0) = -1 gives u(0, -1) = 1 + 0 + e = 3.72
Latihan
xyxyxy
dxdy
++= 2
23
Penyelesaian:
cyxyxyxu =+= 22
3
2),(
Soal : Tentukan du dari persamaan-persamaan berikut ini.1. u=2x2+2x/y2. u=2x2+5xy3. u=0.5x2y3+6x2y4. u=6x3/y2-2xy2
Uji du dari persamaan diatas apakah PD Eksak?
Universitas M
uhamm
adiyah Malang
-
Universitas M
uhamm
adiyah Malang