第 2 章

微分 (Differentiation)

目錄

2.1 切線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 微分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 連鎖律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 高階導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 隱函數微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7 三角函數的導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.8 昇降性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.9 平均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.10 反導函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.11 線性估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.12 變化率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

(i) 由切線的概念導入微分。

(ii) 定義導函數及導數。

(iii) 導出微分的四則運算和合成運算的公式。

(iv) 隱函數微分。

(v) 微分應用, 包括變化率及線性估計。

2.1 切線 (Tangents)

註 2.1.1. 圓 C 在 P 點的切線 L, 滿足以下三特性:

(a) L 與過 P 之半徑垂直。

(b) L 與 C 只交於一點。

(c) C 位於 L 的一側。

23

臺灣大學開放式課程 微積分甲－朱樺教授

本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出

第 2 章 微分 2.1 切線

但一般曲線上的切線不見得滿足以上條件, 現以直觀的方式來定義切線, 見下例。

例 2.1.2. 求 y = x2 在點 (2, 4) 的斜率 (slope), 並求其切線方程式。

定義 2.1.3.

(1) f(a+h)−f(a)h

稱為 f(x) 在 x = a 的 Newton 商 (Newton quotient)。

(2) 曲線 y = f(x) 在點 P (a, b), b = f(a), 之斜率 (slope) 為

m = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h。

(假設其極限存在。)

(3) 其 (非垂直) 切線(tangent line) 為通過 P , 且其斜率為 m 的直線, 即

y = f(a) +m(x− a) 。

(4) 其法線 (normal line) 為通過 P 且與切線垂直的直線, 即

y = f(a)− 1

m(x− a) 。

(5) 若

limh→0

f(a+ h)− f(a)

h= ∞ 或 lim

h→0

f(a+ h)− f(a)

h= −∞,

則 x = a 為 (垂直) 切線, y = b 為法線。

例 2.1.4. 證明直線 y = mx+ b 在其上任一點的切線為本身。

例 2.1.5. 討論以下函數在 x = 0 的切線:

(1) f(x) = |x| ,

(2) f(x) = x13 ,

(3) f(x) = x23 。

定義 2.1.6.

(1) 設兩曲線相交於 P 點, 則此兩曲線在 P 點的交角定義為它們過 P 點之切線的交角 (anglebetween two curves) 。

(2) 若兩曲線在 P 點的交角為直角, 則稱它們在 P 點正交 (orthogonal)。

(3) 若兩曲線在 P 點的切線相同, 則稱它們在 P 點相切。

微積分講義, 24

第 2 章 微分 2.2 導函數

2.2 導函數 (Derivatives)

導數與導函數

定義 2.2.1.

(1) 令 f(x) 為一函數, 且 a ∈ Dom f 。 假設極限 limh→0

f(a+h)−f(a)h

存在, 則定義此極限 為

函數 f(x) 在 x = a 的導數 (derivative), 記為 f ′(a), 且稱函數 f(x) 在 x = a 可微

(differentiable)。

(2) 對任一個可微點 a, 其對應一值 f ′(a); 此對應可定義一個函數 f ′(x), 稱為 f(x) 對於 x 的

導函數 (derivative)。 即

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

(= lim

y→x

f(y)− f(x)

y − x

)。

導函數的定義域即為所有可微之點。

註 2.2.2.

(1) 求導函數的過程稱為微分 (differentiation)。

(2) 給定 y = f(x), 其導函數可記為以下形式:

f ′(x) = y′ =dy

dx=

df

dx=

d

dxf(x) = Df(x) = Dxf(x) = f(x) 。

(3) 給定 y = f(x), 其在 x = a 的導數可記為以下形式:

f ′(a) = y′|x=a =dy

dx|x=a =

df

dx|x=a =

d

dxf(a) = Df(a) = Dxf(x)|x=a = f(a) 。

|x=a 稱為取值符號 (evaluation symbol)。

(4) 曲線 y = f(x) 在點 (a, f(a)) 之切線斜率即為導數 f ′(a) 。

例 2.2.3. (圖形微分, Graphical differentiation) 試描繪圖中之函數的導函數圖形。

例 2.2.4. 求 ddxxn, n ∈ N 。

例 2.2.5. 求 ddx

(1xn

), n ∈ N 。

例 2.2.6. 求 ddx

n√x, n ∈ N 。

例 2.2.7. 求 ddx

√x, 及 y =

√x 在 x = 4 的切線, 法線方程式。

例 2.2.8.

(a) 求過 (1, 1), 且與 y = x2 相切的直線。

(b) 求過 (−1,−1), 且與 y = x2 相切的直線。

例 2.2.9. 求 y = 1 + x2 及 y = −1− x2 的公切線。

微積分講義, 25

第 2 章 微分 2.3 微分公式

例 2.2.10. 若 f(x) 在 x = a 可微, 求 limh→0

f(a+h)−f(a−h)2h

。

定義 2.2.11.

(1) 若 f(x) 在一開區間 (a, b) 上每一點均有導數, 則稱它在 (a, b) 上可微。

(2) 若 limh→0+

f(a+h)−f(a)h

存在, 則稱 f(x) 在 x = a 有右導數 f ′+(a);

若 limh→0−

f(a+h)−f(a)h

存在, 則稱 f(x) 在 x = a 有左導數 f ′−(a) 。

(3) 若 f(x) 在 (a, b) 上可微, 且在 x = a 有右導數, 在 x = b 有左導數, 則稱 f(x) 在 [a, b]上 可微。

例 2.2.12. f(x) = |x| 在 x = 0 不可微 (corner), 求其導函數。

例 2.2.13. f(x) =√|x| 在 x = 0 不可微 (cusp)。

可微性與連續性

定理 2.2.14. 若 f(x) 在 x = a 可微, 則 f(x) 在 x = a 連續。

註 2.2.15.

(1) f(x) 在 x = a 不可微的三種可能狀況:

(a) f(x) 在 x = a 不連續。

(b) f(x) 在 x = a 連續, 但 f ′+(a) = f ′

−(a), 稱為拐點 (corner 或 kink)。

(c) f(x) 在 x = a連續, 但 limx→a+

f ′(x) = − limx→a−

f ′(x) = ∞, 或 limx→a+

f ′(x) = − limx→a−

f ′(x) =

−∞, 則稱為臍點 (cusp)。

(2) (a) 一函數連續, 不見得可微 (例如 f(x) = |x| 在 x = 0 處)。

(b) 一函數在 a 可微, 則必有切線。

(c) 一函數在 a 有切線, 則不必可微 (可能為垂直切線)。

定理 2.2.16. (Darboux, 導函數的中間值定理) 若 f(x) 在 I 上可微, 且 a, b ∈ I, 則 f ′(x) 對

f ′(a) 及 f ′(b) 之間每一數均可取值。 即: 對介於 f ′(a) 與 f ′(b) 之間的任意數 k, 皆存在 c ∈ I使得 f ′(c) = k 。

例 2.2.17. 求 f(x) = ⌊x⌋ 之導函數。

例 2.2.18. 是否存在 R 上的可微函數, 使其導函數是 ⌊x⌋?

2.3 微分公式

定理 2.3.1. 假設 f(x), g(x) 均可微。

(1) ddx(c) = 0 。

(2) ddx(c(f(x))) = c d

dxf(x)。

(3) ddx(f ± g) = d

dxf ± d

dxg。

微積分講義, 26

第 2 章 微分 2.4 連鎖律

(4) ddx(fg) = f dg

dx+ g df

dx。

(5) ddx(fgh) = df

dxgh+ f dg

dxh+ fg dh

dx。

(6) ddx(fg) =

dfdx

g−f dgdx

g2。

例 2.3.2. 若 y = uv , 且 u(2) = 3, u′(2) = −4, v(2) = 1, v′(2)− 2, 求 y′(2)。

例 2.3.3. 若 f(x) =√xg(x), 且 g(4) = 2, g′(4) = 3, 求 f ′(4) 。

例 2.3.4. 求 y = x4 − 6x2 + 4 的水平切線方程式。

例 2.3.5. 求函數 y =(x2+ 1

x)(x3+3)

x+1的導函數。

例 2.3.6. 令 fij(x)為可微函數。 求行列式 g(x) =

∣∣∣∣ f11(x) f12(x) f13(x)f21(x) f22(x) f23(x)f31(x) f32(x) f33(x)

∣∣∣∣ 的導函數。

2.4 連鎖律 (Chain Rule)

定理 2.4.1. (連鎖律) 若 f(u) 在 u = g(x) 處可微, g(x) 在 x 處可微, 則合成函數 f ◦ g 在 x處可微, (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x) 或 dy

dx= dy

du· dudx

。

註 2.4.2. 以放大率解釋連鎖律。

例 2.4.3. 微分以下函數:

(1) f(x) = (3x2 + 1)2,

(2) f(x) = (x3 − 1)100,

(3) f(x) = ( x−22x+1

)9,

(4) f(x) = 13√x2+x+1

,

(5) f(x) = (2x+ 1)5(x3 − 2x+ 1)4,

(6) f(x) =3√

x2 +√x3 + 1 ,

(7) f(x) = |x2 − 1| 。

例 2.4.4. 證明 y = 1(1−2x)3

的每一條切線都是正斜率。

例 2.4.5. 假設 f(x) 在實數上可微, 試以 f ′(x) 表出以下各函數的導函數 :

(1) f(3x),

(2) f(x2),

(3) f(πf(x)),

(4) [f(3− 2f(x))]4 。

微積分講義, 27

第 2 章 微分 2.5 高階導函數

2.5 高階導函數 (Higer-Order Derivatves)

定義 2.5.1. 給定 y = f(x), 假設 f ′(x)也可微。 定義 f ′′(x) = (f ′(x))′, 稱為 f(x) 的二階導函

數。 同樣, 可定義 f ′′′(x) = (f ′′(x))′, . . . , f (n)(x) = (f (n−1)(x))′ 。 f (n) 稱為 f的 n 階導函數。

註 2.5.2. 符號: y = f(x) = f (0)(x) , y′ = f ′(x) = f (1)(x) ,· · · ; 一般 y(n) = dnydxn = Dny 。

定理 2.5.3. (Leibniz)(fg)(n) =

∑ni=0

(ni

)f (i)g(n−i), 其中 f (0) = f ,

(ni

)= n!

i!(n−i)!為二項係數。

例 2.5.4. 求以下各例的f (n):

(1) f(x) = x3 − 3x2 + 2,

(2) f(x) = xn,

(3) f(x) = 12x+3

,

(4) f(x) = 1x2−1

。

例 2.5.5. y = 1x2−4x+3

, 求 y(n) 。

例 2.5.6. 證明 dn

dxn

(ax+bcx+d

)= (−1)n−1n!cn−1(ad−bc)

(cx+d)n+1 。

例 2.5.7. 求 ( x3

x2−1)(96) 。

註 2.5.8.

(f ◦ g)(n)(x) = Σn!

m1!m2!m3! · · ·mn!f (m1+m2+m3+···+mn)(g(x))Πn

j=1

(g(j)(x)

j!

)(mj)

,

其中求和符號 Σ 是對所有滿足 1m1+2m2+3m3+· · ·+nmn = n 之非負整數 (m1,m2,m3, · · ·mn)求和。 這公式稱為 faa di Bruno(1825-1888) 公式。

例 2.5.9. 令 Legendre 多項式為 χn(x) =1

2nn![(x2 − 1)n]

(n)。

(a) 證明 (x2 − 1)χ′′n + 2xχ′

n − n(n+ 1)χn = 0 。

(b) 求 χn(1) 及 χn(−1)。

2.6 隱函數微分 (Implicit Differentiation)

例 2.6.1.

(a) 若x2 + y2 = 25, 求 dydx

。

(b) 過圓 x2 + y2 = 25 上一點 (3,−4) 的切線方程式為何?

例 2.6.2. 若 qp∈ Q, 求 d

dx(x

qp ) 。

例 2.6.3. 求 ddx(1− x2)1/4 。

微積分講義, 28

第 2 章 微分 2.7 三角函數的導函數

例 2.6.4. 曲線 x3 + y3 − 2xy = 0 上有一點斜率為 −1, 求該點。

例 2.6.5. 星芒線為 x23 + y

23 = a

23 , a > 0 。 證明過其上任一點的切線, 被座標軸截出線段長度

為一常數 。

例 2.6.6. 若 x4 + y4 = 16, 求 y′′ 。

例 2.6.7. 證明: 對任意的 a, b, 曲線 x2 − y2 = a 與曲線 xy = b 均為正交。

例 2.6.8. (a) 若 x3 + y3 = 9xy, 求 y′ 。

(b) 過 the folium of Descartes x3 + y3 = 9xy 上一點 (2, 4) 的切線及法線方程式為何?

(c) 曲線上哪一點的切線為水平?

(d) 討論過原點的切線方程式。

2.7 三角函數的導函數

定理 2.7.1. (1) ddx

sinx = cosx 。

(2) ddx

cosx = − sin x 。

(3) ddx

tanx = sec2 x 。

(4) ddx

cotx = − csc2 x 。

(5) ddx

secx = tanx secx 。

(6) ddx

cscx = − cotx cscx 。

例 2.7.2. 求以下函數的導函數:

(1) f(x) = tan(5− sin 2x),

(2) f(x) = sin(cos(tan x)),

(3) f(x) = sin(x◦),

(4) f(x) = sinx cosx 。

例 2.7.3.

(a) 證明 12+ cos x+ cos 2x+ · · ·+ cosnx =

sin(n+ 12x)

2 sin x2

。

(b) 導出和 sin x+ 2 sin 2x+ · · ·+ n sinnx 之公式。

例 2.7.4. 求 y = sin5 x 在 x = π/3 的切線方程式。

例 2.7.5. 求 f(x) = secx1+tanx

的水平切線方程式。

例 2.7.6. 若 sin(x+ y) = y2 cos x, 求 dydx

。

例 2.7.7. 令 y = sec x, 求 y′′ 。

微積分講義, 29

第 2 章 微分 2.8 昇降性

例 2.7.8. 令 y = sin x, 求 y(n) 。

例 2.7.9. 令 y = sin(ax+ b), 求 y(n) 。

例 2.7.10. 令 y = x3 sin 2x, 求 y(95) 。

例 2.7.11. 令 fn(x) =

{xn sin 1

xif x = 0

0 if x = 0,求滿足下列各條件之 n 值並嘗試推廣:

(a) 使其連續,

(b) 使其可微,

(c) 使其導函數連續,

(d) 使其二階可微 。

2.8 昇降性

定義 2.8.1. 令 f(x) 定義在區間 I 上。

(a) 若對 I 上任兩點 x1 < x2, 均有 f(x1) < f(x2), 則稱 f(x) 在 I 上為遞增 (或上昇,increasing)。

(b) 若對 I 上任兩點 x1 < x2, 均有 f(x1) > f(x2), 則稱 f(x) 在 I 上為遞減 (或下降,decreasing)。

(c) 若對 I 上任兩點 x1 < x2, 均有 f(x1) ≤ f(x2), 則稱 f(x) 在 I 上為 非遞減 (或上昇,nondecreasing)。

(d) 若對 I 上任兩點 x1 < x2, 均有 f(x1) ≥ f(x2), 則稱 f(x) 在 I 上為非遞增 (或下降,nonincreasing)。

(e) 一個函數為遞增或遞減, 統稱為在 I 上單調 (monotonic)。

定理 2.8.2. 假設 f(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微。

(1) 若 f ′(x) > 0, ∀x ∈ (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上遞增。

(2) 若 f ′(x) < 0, ∀x ∈ (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上遞減。

(3) 若 f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上非遞減。

(4) 若 f ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上非遞增。

例 2.8.3. 證明: sinx < x, ∀x > 0 。

例 2.8.4. 證明:√1 + x < 1 + x

2, 其中 x > 0 或 −1 ≤ x < 0 。

微積分講義, 30

第 2 章 微分 2.9 平均值定理

2.9 平均值定理 (Mean Value Theorem)

極值

定義 2.9.1.

(1) 若存在 c ∈ Dom f 滿足: 存在一個包含 c 的開區間 (a, b), 使得 ∀x ∈ (a, b), f(x) ≤f(c), 則稱 f(x) 在 x = c 有相對極大值 ( 或局部極大值, relative maximum or localmaximum)。

(2) 若存在 c ∈ Dom f 滿足: 存在一個包含 c 的開區間 (a, b), 使得 ∀x ∈ (a, b), f(x) ≥ f(c),則稱 f(x) 在 x = c 有相對極小值 ( 或局部極小值, relative minimum or local minimum)。

(3) 令 c 為定義域區間的左端點, 若存在一個區間 [c, b), 使得 f(x) ≤ f(c), ∀x ∈ [c, b), 則稱

f(x) 在 x = c 有相對極大值。 反之, 若使得 f(x) ≥ f(c), 則稱為相對極小值。

(4) 令 c 為定義域區間的右端點, 若存在一個區間 (a, c], 使得 f(x) ≤ f(c),∀x ∈ (a, c], 則稱

f(x) 在 x = c 有相對極大值。 反之, 若使得 f(x) ≥ f(c), 則稱為相對極小值。

(5) 相對極大與相對極小值統稱相對極值。

定義 2.9.2.

(1) 令 f(x) 定義在 D 上。 若存在 c ∈ D 使得 f(x) ≤ f(c), ∀x ∈ D, 則稱 f 在 D 上有絕對

極大值 f(c) ( 或全域極大值, absolute maximum or global maximum)。

(2) 若存在 c ∈ D 使得 f(x) ≥ f(c), ∀x ∈ D, 則稱 f 在 D 上有絕對極小值 f(c) ( 或全域極

小值, absolute minimum or global minimum)。

(3) 絕對極大值與絕對極小值統稱絕對極值 (extreme values)。

定理 2.9.3. (極值定理 Extreme Value Theorem, Weierstrass 定理) 若 f(x) 在 [a, b] 上連

續, 則

(a) f(x) 必有界。

(b) f(x) 必存在極大及極小值。

定理 2.9.4. (Fermat)若f(x)在 D 之內點 c 有相對極值, 且f(x)在 x = c 可微, 則f ′(c) = 0 。

定義 2.9.5. 在 f(x)之定義域 D 的內點 c, 若 f ′(c) = 0 或 f ′(c) 不存在, 則 c 稱為 f(x) 的

臨界點 (critical point)。 故 f(x) 的相對極值必發生在臨界點或邊界點。

例 2.9.6. 討論 f(x) = x3 及 f(x) = |x| 在 x = 0 的行為。

例 2.9.7. 求 f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 的所有臨界點和升降區間, 並求其極值。

例 2.9.8. 令 f(x) = x3 − 12x+ 5 。 求所有臨界點, 並指出其遞增及遞減區間。

例 2.9.9. 求 f(x) = x35 (4− x)2 的臨界點。

平均值定理

微積分講義, 31

第 2 章 微分 2.10 反導函數

定理 2.9.10. (Rolle) 假設 y = f(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微。 若 f(a) = f(b), 則存

在 c ∈ (a, b), 使得 f ′(c) = 0 。

[註] 若 f 在 (a, b) 上不完全可微, 則此定理不一定成立。 例:f(x) = |x| 在 [−1, 1] 上。

定理 2.9.11. (平均值定理) 假設 y = f(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微, 則存在 c ∈ (a, b),

使得 f ′(c) = f(b)−f(a)b−a

。

定理 2.9.12 (Cauchy 平均值定理, 廣義平均值定理). 設 f 及 g 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上

可微, 且 g′(x) = 0,∀x ∈ (a, b)。 則存在 c ∈ (a, b), 使得f ′(c)g′(c)

= f(b)−f(a)g(b)−g(a)

。

例 2.9.13. 令 0 ≤ a < b, 對 f(x) =√x 在區間 [a, b] 上驗證平均值定理。

例 2.9.14. 假設高速公路限速 90 公里/時, 高雄、 台北距離 300 公里。 一輛車上午 8:00 從台

北出發, 11:00 到達高雄, 則該車輛必有超速的時刻。

例 2.9.15. 若 f (0) = −3 , f ′ (x) ≤ 5 ∀x 。 則 f (2) 最大可能多少?

例 2.9.16. 證明: | tanx− tan y| ≥ |x− y|, ∀x, y ∈(−π

2, π2

)。

例 2.9.17. 證明: y = x3

3− 3x 至少有一水平切線。

例 2.9.18. 證明: x3 + 3x− 1 = 0 恰有一實根。

例 2.9.19. 設 F 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微。 若 F 在 [a, b] 上有 r 個相異根, 則 F ′ 在

(a, b) 上至少有 r − 1 個相異根。

例 2.9.20. 多項式 f(x) 在 x = c 有 r 重根, 則 f ′(x) 在 x = c 恰為 r − 1 重根。

例 2.9.21. 設 n 次多項式 p(x) 有 n 個實根 (包括重根在內), 則 p′(x) 恰有 n− 1 個實根。

2.10 反導函數 (Antiderivatives)

定理 2.10.1.

(1) 若 f(x) 在區間 I 上連續, 且在 I 的每一內點 x, f ′(x) = 0, 則 f(x) 為一常數函數。

(2) f(x), g(x) 在區間 I 上連續, 且在 I 的每一內點 x, f ′(x) = g′(x), 則存在一常數 C, 使得

f(x) = g(x) + C, ∀x ∈ (a, b) 。

[註] f(x) = ⌊x⌋ 不是常數函數, 但 f ′(x) = 0 在所有非整數上。

例 2.10.2. 試找一些函數 f(x), 使 f ′(x) = tan x sec2 x 。

定義 2.10.3.

(1) 一個函數 F (x)若滿足 F ′(x) = f(x),∀x ∈ I, 則稱 F (x) 為 f(x) 的反導函數 (antideriva-tive)。

(2) 若 F (x) 為 f(x) 的反導函數, 則所有 f(x) 的反導函數為 F (x) + C 。 定義 f(x) 的不定

積分 (indefinite integral) 為∫f(x)dx = F (x) + C 。

例 2.10.4. 求 f(x) = sinx 之反導函數 F , 且滿足 F (0) = 3 。

微積分講義, 32

第 2 章 微分 2.11 線性估計

例 2.10.5. 求一函數 g(t), 使其導函數為 t+5

t32, 且圖形通過 (4, 1) 。

例 2.10.6. 求一曲線, 使其在任一點 (x, y) 處的斜率為 3x2, 且通過 (1,−1) 。

例 2.10.7. 求下列各不定積分:

(1)∫x5dx,

(2)∫

1√xdx,

(3)∫(cos x

2+ 3

√x)dx 。

定義 2.10.8.

(1) 求一函數 y, 使其滿足 dydx

= f(x), 則此式稱為微分方程 (differential equation), y =F (x) + C 稱為通解 (general solution)。

(2) 若取定 y(x0) = y0, 則稱其為起始值問題 (initial value problem); 滿足該條件的解稱為特

解 (particular solution)。

例 2.10.9. 求 y = g(x), 使得 dydx

= 4 sin x+ 2x5−√x

x。

例 2.10.10. 求 y = f(x), 使得 d2ydx2 = 12x2 − 6x− 4, 且 y(0) = 4, y(1) = 1 。

2.11 線性估計 (Linearizations)

定義 2.11.1. 令 y = f(x) 為可微函數, x, dx 為兩獨立變數。 微分(differential) dy 定義為

dy = f ′(x)dx 。

定理 2.11.2. [線性逼近定理 (linear approximation theorem)] 若 y = f(x) 在 x = a 可微,且 x 從 a 變化到 a+∆x, 令 ∆y = f(a+∆x)− f(a), 則當 ∆x 很小時, ∆y ≈ dy 。

例 2.11.3. 若 y = f(x) = x3 + x2 − 2x+ 1, 比較 ∆y 和 dy, 其中:

(a) x 從 2 到 2.05;

(b) x 從 2 到 2.01 。

例 2.11.4. 求√3.98,

√4.05 的估計值。

例 2.11.5. 球半徑測量值為 21 cm, 可能產生 0.05 cm 的誤差。 則其計算球體積時會產生多少

誤差?

2.12 變化率 (Rate of Changes)

定義 2.12.1.

(1) 給定函數 y = f(x), 在 x1 處, x 的變化為 △x = x2 − x1, 所對應 y 的變化為 △y =

f (x2)− f (x1) 。 △y△x

= f(x2)−f(x1)x2−x1

稱為 y 在 [x1, x2] 上對 x 的平均變化率。

(2) dydx

= lim△x→0

△y△x稱為 y 對 x 的瞬時變化率(若此極限存在)。

微積分講義, 33

第 2 章 微分 2.12 變化率

(3) dxx稱為 f(x) 對 x 的相對變化 (relative change)。

(4) 100dxx稱為 f(x) 對 x 的百分變化 (percentage change)。

例 2.12.2. 求在半徑為 5 時, 圓的面積 A 對半徑的變化率 。

例 2.12.3. 若圓半徑增加 2% 時, 求圓的面積 A 的百分增加率 。

例 2.12.4. 午後溫度為 T = 13t3 − 3t2 + 8t+ 10, 0 ≤ t ≤ 12 。 則在午後 1 時, 溫度升降速度

如何? 何時溫度變化穩定?

例 2.12.5. (敏感度, sensitivity of change) 投以藥物劑量 x mg, 則血壓平均降低量為 R =24, 2(1 + x−13√

x2−26x+529) 。 現分別以藥物 5 mg, 15 mg, 35 mg, 則在那一個劑量下, 增加藥量效

果反應最大?

物理

定義 2.12.6. 若一物體直線運動, 在時間 t 的位置為 s = f(t), 則在時間 t, 物體的運動速度

(velocity) 為 v(t) = dsdt

= lim∆t→0f(t+∆t)−f(t)

∆t。

速率 (speed) 為 |v(t)| = |dsdt| 。

加速度 (acceleration) 為 a(t) = dvdt

= d2sdt2

。

急跳度 (Jerk) 為 j(t) = dadt

= d3sdt3

。

例 2.12.7. 一物體的位置函數為 s = f (t) = t3 − 6t2 + 9t (t 單位為秒,s 單位為公尺)

(a) 求時間 t 的速度。

(b) 求 t = 2 及 t = 4的速度。

(c) 何時粒子靜止?

(d) 何時粒子向前 (即正向)?

(e) 作圖表現粒子的運動。

(f) 求時間 t 的加速度 。

(g) 何時粒子加速? 何時減速?

(h) 作 0 ≤ t ≤ 5 時, 位置、 速度和加速度的函數圖形。

例 2.12.8. 一車速度為 72 km/h 。 現突然煞車, 減加速度 (dceleration) 為 0.8 m/s2, 則在煞

車到停車時共走了多遠?

經濟

例 2.12.9. 一工廠生產布料, 生產 x 公尺的成本是 C = f(x)。

(a) f ′(x) 的意義為何? 單位為何?

(b) f ′(1000) = 9 的意義為何?

(c) f ′(500) 及 f ′(50), 你認為哪一個比較大? f ′(5000) 呢?

微積分講義, 34

第 2 章 微分 2.12 變化率

定義 2.12.10. 若 C(x) 為生產量 x 時的成本函數 (cost function), 則生產的邊際成本 (marginalcost) 為 dc

dx。

(C ′ (n) ≈ C (n+ 1)− C (n). 其意義為每多生產一件產品時所增加 的成本)

例 2.12.11. 若 C (x) = 10000 + 5x + 0.001x2, 則 C ′ (500) = 15,C (501) − C (500) =15.01。C ′ (500) ≈ C (501)− C (500) 。

例 2.12.12. 需求量 y 是價格 p 的函數, 則需求彈性 (Elasticity of demand) 為 − pydydp

。

微積分講義, 35