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  • PCSO

    COURS DANALYSE

    Chapitre 1: Ingalits

    Orsay 2012 2013

  • Avant-Propos

    Le cours au tableau, le poly et les sances de travaux dirigs

    Tout au long de lanne, un polycopis illustrera chaque chapitre du cours dAnalyse. Le coursau tableau donnera les repres basiques pour introduire un sujet et vous permettre de traiterles exercices correspondants. Nous consacrerons seulement 1 heure en moyenne par semaineau cours.

    Cest donc dans le poly que vous trouverez une prsentation ordonne et exhaustive de chaquechapitre. Sa lecture est un complment indispensable du cours au tableau. Les tudiants quiont plus de difficults peuvent sauter les dmonstrations. Le symbole marque les rsultatsparticulirement importants pour les applications. Enfin, le mot Complments dsigne lesparties hors programme, rserves aux lecteurs plus motivs.

    Vous devez chercher les exercices proposs avant la sance o ils seront corrigs. Chaque foisquun exercice vous pose des problmes, revenez la partie du cours correspondante, vrifiezque les dfinitions, thormes et exemples ont t bien compris. Rien ne remplacera jamais cetravail personnel, mme si vous schez .

    Aprs les sances de cours et td consacres un thme, vous devez tre capable de fournirune rdaction rigoureuse des exercices correspondants sans consulter vos notes. Limpressiondavoir compris la solution dun exercice corrig en td est trompeuse et ne vous permettra pasde russir un exercice analogue pos dans un contrle.

    Cours et exercices sclairent mutuellement. Plusieurs allers-retours entre le cours et les appli-cations seront ncessaires pour une bonne comprhension : il est illusoire de prtendre toutcomprendre immdiatement.

    Prcisons sans plus tarder le

    Programme du Cours dAnalyse

    1. Ingalits.

    2. Gnralits sur les fonctions.

    3. Limites, continuit.

    4. Drives.

    5. Etude de fonctions.

    6. Premiers exemples dquations diffrentielles.

    7. Fonctions continues sur un intervalle.

  • 8. Bijections.

    9. Le logarithme nprien.

    10. Lexponentielle.

    11. Lintgrale.

    Vous trouverez dans les cours dAnalyse et Gomtrie du tronc commun toutes les notionsmathmatiques ncessaires pour la Physique.

    Cependant, ces cours ne sont pas conus comme des formulaires ou des botes a outils pour les autres disciplines scientifiques, mais comme de vritables cours de mathmatiques, cequi est, dailleurs, la meilleure faon de servir les autres sciences.

    Un exemple : il est utile et ncessaire de connatre la formule de drivation(

    x3)

    = 3x2,mais pour trouver toute la richesse de la notion de drive il faut partir de sa dfinitionmathmatique. Sans vous confronter cette dfinition, vous ne comprendrez pas la notionphysique de vitesse instantane, ni pourquoi les quations diffrentielles sont si frquentes ensciences. A ce propos, voquons

    Le but de la PCSO

    La PCSO est une formation encore gnraliste qui, partir de votre niveau actuel, cherche vous donner des bases solides dans toutes les disciplines scientifiques fondamentales, enparticulier en mathmatiques.

    Sur le tronc commun sarticulent deux options ( Sciences de la Vie et Maths - Chimie -Physique ) pour mieux prparer vos projets professionnels. Mais ne confondez pas ces projetsavec ce que vous faites cette anne, ne brulez donc pas les tapes : vous ntes pas dans uneprpa pour la filire mdicale ou autre...

    Vous ntes pas non plus dans un module de remise niveau destin vous donner laformation dun lve de Terminale S : notre Diplme Universitaire ne prpare pas le Bac S.

    Par les contenus et le style denseignement, la PCSO se situe entre le niveau du lyce et celuidun premier cycle universitaire, elle vise vous mettre en mesure de suivre avec succs unenseignement scientifique de type licence.

    Le style des maths en PCSO

    On abandonnera en mathmatiques le style scolaire du lyce, qui privilgie souvent les r-sultats et lapplication de recettes au dtriment de la comprhension et de la qualit desraisonnements. Vous devez aller vers

    La prcision dans le vocabulaire et la manipulation des concepts. La justification de vos affirmations et des tapes dun calcul partir des thormes du cours.

    Une rdaction floue ou approximative vous empche de dvelopper le sens critique et de corrigerles erreurs, elle rend trs vite inexploitables vos calculs.

    Le chemin pour arriver un rsultat est aussi important que le rsultat lui-mme : formuleset calculs ne peuvent pas apparatre sans articulation logique ni justification par le langage.Cest la pertinence et la clart du discours qui valide le rsultat.

  • Il semble ncessaire maintenant de prendre un peu de hauteur et dvoquer rapidementquelques qualits que vous devez dvelopper si vous voulez russir la PCSO et des tudesuniversitaires :

    Les traits de la maturit

    1. Lautonomie, la capacit dinitiative.

    Lassimilation des connaissances demande une participation active de ltudiant. Vous devez investir le terrain : jouer avec les objets mathmatiques, explorer les thormes, exempleset exercices, vous perdre et scher... apprendre partir de vos erreurs, raliser que parfoison est loin davoir compris, faire lexprience des impasses et des chemins multiples vers lasolution dun problme.

    Vous devez vous dfaire de toute mentalit d tudiant-client ou d tudiant-assist : nepas attendre que tout soit explicit, rsolu... Lenseignant nest pas l pour vous donner lasolution dun exercice, mais pour vous aider la trouver par vous-mme.

    Nous ne serons pas en mesure de vous aider avec efficacit si vous ne dpassez pas le tropglobal je nai rien compris : il faut cibler les difficults partir dun travail personnel etne pas hsiter alors poser des questions prcises, mme si elles vous paraissent basiques.

    2. La capacit de remise en question.

    Il ne sagit pas de se dmolir , mais dexercer une autocritique bienveillante et constructivesans laquelle vous navancerez pas.

    Prenez trs au srieux les remarques et conseils que les enseignants ne manqueront pas de vousadresser titre individuel : il est essentiel de draciner trs vite toutes sortes de mauvaiseshabitudes (de comportement, raisonnement ou travail...) qui peuvent gner votre progression.

    Passez en revue rgulirement les fondamentaux : assiduit, participation en cours et td,quantit et qualit du travail personnel...

    Attention enfin aux arguments faciles qui vacuent toute responsabilit individuelle : le courstait trs difficile, le groupe a lch ou de toutes faons, personne ne comprend rien cecours ... Vous remarquerez que, dans ce groupe qui a lch , il y a des tudiants qui ontparfaitement russi : prenez-les comme rfrence.

    3. La souplesse, la capacit dadaptation lenvironnement acadmique.

    Louverture intellectuelle.

    Vous intgrez un Diplme Universitaire : le programme, le calendrier, le style denseignement,le niveau des preuves de chaque matire sont conus dans un but prcis (nous lavons djvoqu) : ils ne sont pas ngociables .

    Cherchez donc vous adapter au cursus propos, jouez le jeu et restez ouverts et positifs : cesera plus enrichissant (et amusant) que la fermeture et vous procurera un rel plaisir dans lapratique de chaque discipline.

    Louverture intellectuelle est un tat desprit essentiel si vous voulez faire des tudes sup-rieures. Soyez rceptifs aux contenus de chaque matire et souples pour intgrer des clairagesnouveaux, des faons de faire trs diffrentes de ce qui vous avez connu au lyce.

  • 4. La capacit dengagement.

    Vous travaillez votre cours ou un exercice, la maison ou la facult : tes-vous concentr ?tes-vous prsent ce que vous faites ? impliqu ? tes-vous l 100%, sans rserves ?mobilisez-vous toutes vos rssources ?

    Ces questions vous aideront valuer votre capacit dengagement, mais on pourrait voqueraussi ce propos : la gnrosit dans leffort, loubli de soi... et, dans un autre plan : la gestiondu long terme , lendurance, la capacit de travail.

    Il ny aura pas de russite en PCSO, ni plus tard, sans un engagement trs fort de votre part.

    Bien que diffrent, lengagement est trs li la motivation, mais aussi louverture inte-llectuelle, lenvie de comprendre et de connatre. Il est clair que si vous avez un projetprofessionnel dfini (mieux encore : une vocation affirme) alors vous serez plus motiv, plusfort face aux difficults dun cursus, plus engag...

    5. Le travail sur les motions.

    Beaucoup dtudiants sont victimes dune grande fragilit motionnelle : on panique lappro-che dun examen, on manifeste des phobies ou des angoisses lgard dune matire o dunpoint prcis du programme, on ne peut pas sextraire des polarits affectives fortes jadore/je dteste , on vit les difficults sous le mode de lagacement... et, en fin de compte, on perdses moyens.

    Les mathmatiques focalisent beaucoup de ractions pidermiques de crispation et ferme-ture, sans doute lies des tapes dlicates de la scolarit.

    Face une situation perue comme difficile, on peut snerver ou se mettre en colre, maisaussi rester paralys, ou encore tomber dans un abattement profond... Sinstaller durablementdans ces tats motionnels ne vas pas rsoudre un conflit : il faudra reprendre ses espritset valuer le problme avec calme et distance.

    Les motions font partie de ltre humain, mais il existe dautres niveaux dans la personne eton ne peut que vous encourager monter quelques tages pour atteindre des rgions plusstables de votre esprit, labri des alas de lexistence, o la raison puisse se dployer dans lasrnit.

    Il y a beaucoup de techniques pour matriser les motions : travail urgent pour certains, carun cursus acadmique est riche en situations de stress et dextrme difficult.

    Cette numration des facettes de la maturit nest pas exhaustive (par exemple, il est indis-pensable dentreprendre une rflex

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