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  • PCNA - Matemtica

    AULA 1

  • PCNA - Matemtica Aritmtica: Operaes bsicas com fraes Potenciao Radiciao Mdulo

  • Necessrio para o Clculo 1:

    Polinmios

    Operaes com expresses algbricas

    Intervalos, inequaes e mdulo

    Funes

    Geometria

    Trigonometria

  • 1. Aritmtica e Expresses Algbricas

  • 1.1 Ordem e precedncia dos

    clculos Exemplos:

    1) 2 + 1 2 6

    2 5 + 3

    2) 2 + 1 . 2 6

    2 . 5 + 3

    3) 2 + 1 . 2 6

    2 . 5 + 3

  • 1.2 Operaes com Nmeros

    Fracionrios

    1.2.1 Soma e Subtrao

    1 Caso:

    2 Caso:

  • Exemplos

    Ex 1: 2

    5+

    4

    5

    Ex 2: 23

    10+

    3

    10

    Ex 3: 9

    8+

    2

    8

    1

    8

  • Ex 4: 2

    3+

    9

    4

    Ex 5: 2

    5+

    8

    9 -

    7

    12

  • 1.2.2 Multiplicao de

    Nmeros Fracionrios

  • Exemplos

    Ex 1: 3

    14

    21

    15

    Ex 2: 1

    10

    2

    5

    Ex 3: 10 5

    3+

    2

    4

  • 1.2.3 Diviso de Nmeros

    Fracionrios

    Conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda

  • Exemplos

    Ex 1:

    1

    72

    5

    Ex 2:

    11

    52

    10

    Ex 3: 35

    1428

    12

  • Resolva

    1) Encontre o valor de A

    =

    1 14

    +1

    1 +14

    1 +14

    1

    1 +14

  • 1.3 Expresses Algbricas Recebe o nome de expresso algbrica a

    expresso matemtica na qual se faz uso de letras,

    nmeros e operaes aritmticas.

    Exemplos:

    1)2 x

    3

    7

    x

    2) 2 x:y

    x

    4 x

    y

  • Exemplos: Utilize as tcnicas de agrupamento e evidncia dos fatores comuns para simplificar as expresses algbricas abaixo:

    1) + 2 3 +

    2) + 2 3 +

    3) 2 3 +

    4) + 2 3 +

  • A fatorao consiste em representar um nmero ou

    uma expresso algbrica como produto,

    respetivamente, de outros nmeros ou de outras

    expresses algbricas.

    Exemplos:

    1) 6 12

    2) 9 3

    3) + + +

  • 1.3.1 Simplificao de Fraes

    Algbricas Exemplos:

    1)2x;4y

    2x

    2) +

    +

  • Resolva

    2) Calcule a expresso 2

    3+

    2

    2 3.

    2

    3) Resolva a expresso

    ( + 1 2 +

    3 + 2)

    22 2 + 8 2

  • 1.4 Potenciao

    Potenciao

    - Forma:

    m

    Exemplos:

    1) 24 2) 2 2 3) 33 4) 3 3

  • PROPRIEDADES

    Considere e nmeros reais no nulos, e inteiros:

    1) Potncia de expoente nulo e igual a 1:

    0 = 1 1 =

    2) Potncia de base igual a 1:

    1 = 1

    3) Potencia de expoente negativo:

    ; =1

    4) Multiplicao de potncias de mesma base:

    . = :

  • 5) Diviso de potncias de mesma base:

    = ;

    6)Multiplicao de potncias de expoentes iguais:

    . = (. )

    7) Diviso de potncias de expoentes iguais:

    =

    8) Potncia de uma potncia:

    () = .

  • Exemplos

    Ex 1: 44 41 Ex 2: 24 21

    Ex 3: 103 2

    Ex 4: 2

    7

    ;3

    Ex 5: 2 11 5

  • Exemplos Ex. 6:

    24

    2+

    42

    22+ 3 ;3

    Ex. 7: 3 ;2 ;3

    7

    ;3

    Ex. 8: 3 ;2

  • Nos exemplos abaixo,

    determine o valor de . Ex. 9: 3 = 9

    Ex. 10: 2 + 2:1 = 24

    Ex. 11: 6;2 + 5 6;1 = 6 5

  • Resolva 4) A expresso igual a:

    2 2 . 3(23)

    5) Simplifique, sendo . 0

    a) (4..2)

    (.2)

    b) 4.. 3 3. (2. )

  • Resolva 6)Calcule o valor das expresses:

    a)21; ;2 2:(;2)1

    22+22

    b) 32;32

    32:32

    c)

    1

    2

    2.

    1

    2

    3

    1

    2

    2 3

  • Resolva * Encontre o valor de x que satisfaz a equao:

    22:1 3. 2:2 = 32

  • 1.5 Radiciao A radiciao uma operao matemtica inversa

    da potenciao, ou seja,

    = =

    =

    ndice

    radicando raiz

  • Propriedades:

    Sejam 0 e 0

    1) Raiz de radicando nulo:

    0

    = 0

    2) Raiz de ndice unitrio nulo:

    1 =

    3) Produto de radicais de mesmo ndice:

    .

    . = . .

    4) Diviso de radicais com mesmo ndice:

    =

    Ex: (

    4

    5)

    3=

    43

    53

    1.5 Radiciao

  • 5) Potncia de uma raiz:

    ( )=

    Ex: 42 3

    = 432

    6) Raiz elevada a expoente igual ao seu ndice:

    ( )=

    7) Raiz de uma raiz:

    = .

    8) Multiplicao de raiz por uma constante

    =

    Ex: 3 42

    = 4.3^22

    = 362

    = 6

  • A raiz apenas uma forma de representar a

    potenciao com expoente fracionrio. Assim,

    toda raiz pode ser escrita em forma de potncia

    como:

    =

  • Exemplos

    Ex 1: 5

    Ex 2: 16

    Ex 3: 20

    Ex 4: 83

    Ex 5: 723

  • Exemplos

    Nos exemplos abaixo calcule as razes indicadas:

    Ex. 6: 273

    . 108

    Ex. 7: 356

    3

    33

    Simplifique as expresses abaixo, considerando > 0

    EX.. 8: .

    Ex. 9: 3 . 3

  • 1.6. Racionalizao de

    denominadores 1 Caso:

    Exemplos:

    30

    2

    3

    4 6

    2 + 5

    7

  • 2 Caso:

    Exemplo:

    23

    4 : 7

  • 3 Caso

    Exemplo:

    21

    725

    3

    673

  • Resolva 1) Reduza expresso mais simples

    ( .

    )/ .

    2) Encontre o Valor de y

    =3;2 + 2;1

    1 7. 2;33

  • AULA 2

  • PCNA - Matemtica Aritmtica: Logaritmos Mdulo

  • 1.7. Logaritmos

    log = c =

    onde > 0, > 0 1

  • Exemplos: 1) log 100 =

    2) log 0,1 =

    3) 2 4 =

    4) 21

    32=

    5) 3 1 =

  • 6) 14

    (2 2) =

    7) ln1

    =

    8) ln =

  • 1.7.1. Propriedades dos

    logaritmos 1) Logaritmo de 1 em qualquer base b 0.

    1 = 0 = 0

    2) Logaritmo da base 1.

    = 1 = 1

    3) Logaritmo de um produto

    . = +

    4) Logaritmo de um quociente

    =

  • 5) Logaritmo de uma potncia

    =

    6) Mudana da base b para a base c

    =

    7) Igualdade de logaritmos de mesma base

    = =

    8) Potncia de base b e expoente log igual a a. =

  • Exemplos

    1) 0,1 10

    2) 21

    16

    3) 22 4

    4) 42 4

    5) ;3

    6) 3 ln + ln ln()

  • Exemplos: 7) log 2 = 3

    8) 3 ln = 2

    9) 2 2 = 2 4

    10)3 4:8 = 1

  • 1.3.2. Tipos particulares de logaritmos

    log e ln

  • Exemplos

    Ex 1: log 100

    Ex 2: log 1000

    Ex 3: log1

    10

    Ex 4: log1

    10000

  • Exemplos

    Ex 1: ln

    Ex 2: ln 3

    Ex 3: ln1

    4

  • 1) Encontre o valor de:

    =3 9 + 2

    12

    100+

    ;3 + 1000 4 1/16

    2 + 10 + 100

    2) Obtenha o valor da expresso:

    log3 1 : log 0,01

    log21

    64 log4 8

    Resolva

  • Questes da Apostila

    12) As indicaes R1 e R2, na escala Richter, de dois

    terremotos esto relacionadas pela frmula

    1 2 = log101

    2

    Em que M1 e M2 medem a energia liberada pelos

    terremotos sob a forma de ondas que se propagam

    pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um

    correspondente a R1=8 e outro correspondente a

    R2=6. Calcule a razo 1

    2

    Resolva

  • Resolva Questes da apostila:

    13) Calcule o valor de S: = log4 (log3 9) + log2( log81 3) + log0,8( log16 32)

  • Resolva Questes da Apostila

    14) Determine o valor de x na equao = 2log3(:4) para que y seja igual a 8.

  • AULA 3

  • PCNA - Matemtica Mdulo

  • 1.8. Mdulo ou Valor Absoluto A todo nmero real associa-se um valor absoluto,

    tambm chamado de mdulo, representado por definido por :

    = , 0

    , < 0

    Interpretao Geomtrica

  • Propriedades

    1) 0

    2) = | |

    3) . = . ||

    4) / = /|| com 0

    5) = =

    6)

    =

    ;

    Observao: ||

  • Exemplos: 1) De acordo com a definio e as propriedades do mdulo, calcule:

    ) 3 + 5

    ) 3 5 3

    ) 2 . 3

    ) 3 2

    ) 3 33

    ) 2 + 1

    = 3

  • Exemplos: 2) Considerando = 10, = 2 e = 5, calcule as expresses:

    ) 2.

    )

    ) 22

    ) 33

    )

  • Exemplos: 3) Resolva as equaes abaixo:

    ) + 2 = 8

    ) 2 + 1 = 3

    ) 4 + 1 = |5 2|

    ) 2 = 8

  • Resolva Questes da apostila

    22) Resolva as equaes:

    a) 5 3 = 12

    c) 3 + 1 = | 3|

    f) 2 + 6 = 0

  • Resolva 23) Elimine o mdulo:

    a) + 1 + ||

    b) | + 2| | + 1|

  • 1.9. Polinmios Define-se um polinmio () de grau da seguinte forma:

    =

    + ;1;1 + ;2

    ;2 + +1 + 00

    Exemplos:

    = 44 22 + 5

    = 3 5

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