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PC*
Equations locales de l’électromagnétisme
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Equations locales de l’électromagnétisme
I) Equation locale de conservation de la charge :
On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d’étude).
n
j
dS
VVolume
ρρρρm
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3
0),(
=+∂
∂jdiv
t
tMmρ
C’est l’équation locale de conservation de la charge électrique.
* Densité de courant et intensité en régime permanent :
(T)
(S1)
(S2)
(C2) (C1) I1 I2
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II) Equations de Maxwell :
Les équations de Maxwell sont des équations locales qui expriment des relations entre le
champ EM ),( BE
et ses sources ),( j
ρ :
)(
)(
)(
)(0
000
0
MAAmpèreMaxwelldeEquationt
EjBrot
MFFaradayMaxwelldeEquationt
BErot
MGGaussMaxwelldeEquationEdiv
FluxmagnétiquefluxduEquationBdiv
−−∂
∂+=
−−∂
∂−=
−−=
−=
µεµ
ε
ρ
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* Les équations de Maxwell et la conservation de la charge :
Les équations de Maxwell contiennent le principe de conservation de la charge :
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* Les équations de propagation du champ EM :
« Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux
dérivées partielles par rapport au temps tB ∂∂ /
et tE ∂∂ /
est à l’origine du phénomène de propagation du champ EM. »
t
jgrad
t
EE
∂
∂+=
∂
∂−∆
00
2
2
00
1µρ
εµε
jrott
BB
02
2
00 µµε −=∂
∂−∆
Dans une région sans charges ni courants ( 00
== jetρ ) :
002
2
002
2
00
=∂
∂−∆=
∂
∂−∆
t
BBet
t
EE µεµε
Ces équations sont les équations de propagation du champ EM.
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Si l’on note s(t) l’une des six coordonnées des champ EM (Ex,…., Bx,…), alors :
)1
(01
0 0022
2
22
2
00 µεµε ==∂
∂−∆=
∂
∂−∆
vt
s
vssoit
t
ss
C’est l’équation de d’Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore appelée équation des cordes vibrantes) établie au XVIIIème siècle pour modéliser les vibrations d’une corde tendue.
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III) Contenus physiques des équations de Maxwell :
Ce paragraphe permet de montrer que les équations « locales » de Maxwell donnent, par intégration, des lois et théorèmes connus qui peuvent être vérifiés expérimentalement.
• Equation de Maxwell-Gauss et théorème de Gauss :
• Equation de Maxwell-Ampère et théorème d’Ampère « généralisé » :
• Equation du flux magnétique et champ magnétique à flux conservatif :
• Equation de Maxwell-Faraday et loi de Faraday :
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IV) Existence de potentiels ( A
,V), jauge de Lorentz, cas de l’ARQS :
1 – Rappels mathématiques :
Un champ égal à un gradient a un rotationnel nul et un champ égal à un rotationnel a une divergence nulle :
0
=⇒= erotgrade ϕ
0
=⇒= bdivarotb
Réciproquement, on peut montrer que :
• Si un champ vectoriel a un rotationnel nul, il existe au moins un champ scalaire dont il est le gradient.
• Si un champ vectoriel a une divergence nulle, il existe au moins un champ vectoriel dont il est le rotationnel.
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2 – Définition des potentiels ( A
,V) :
3 - Potentiels permanents :
En régime permanent, les équations de Poisson se réécrivent sous la forme :
jA
0µ−=∆ et 0ε
ρ−=∆V
Cette dernière équation a pour solution la solution bien connue (loi de Coulomb pour le potentiel électrostatique) :
τρ
πεd
SM
SMV
D
)(
4
1)(
)(0∫∫∫=
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Chaque composante Ax, Ay et Az vérifient la même équation que V ; par conséquent :
τπ
µd
SM
SjMA
D
)(
4)(
)(
0
∫∫∫=
On peut montrer que la condition de jauge de Lorentz est bien vérifiée, c’est-à-dire que :
0=Adiv
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• Etude d’un exemple à symétrie cylindrique ; Détermination d’un potentiel vecteur :
Un fil rectiligne infini est modélisé par un tube de courant d’axe (Oz) et de rayon a,
parcouru par le courant volumique uniforme zujj
= .
On souhaite déterminer un potentiel vecteur associé au champ magnétique créé par le fil.
• Détermination d’un potentiel vecteur pour un solénoïde infini :
On considère un solénoïde infini de section circulaire de rayon R, constitué de n spires jointives par unité de longueur et parcouru par un courant d’intensité I.
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5 - Potentiels retardés :
En régime dépendant du temps et pour une distribution de charges et de courants d’extension finie, on peut montrer que les solutions des équations de Poisson sont :
τρ
πεd
SM
c
SMtS
tMVVD
),(
4
1),(
)(0
−== ∫∫∫
τπ
µd
SM
c
SMtSj
tMAAD
),(
4),(
)(
0−
== ∫∫∫
à partir desquelles on peut calculer le champ EM par :
t
AVgradtMEE
∂
∂−−==
),( et ArottMBB
== ),(
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6 – Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) :
• Nature de l’approximation :
τρ
πετ
ρ
πεd
SM
tSd
SM
c
SMtS
tMVVDD
),(
4
1),(
4
1),(
)(0)(0∫∫∫∫∫∫ ≈
−==
τπ
µτ
π
µd
SM
tSjd
SM
c
SMtSj
tMAADD
),(
4
),(
4),(
)(
0
)(
0
∫∫∫∫∫∫ =−
==
L’ARQS néglige les phénomènes de propagation.
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Quelques ordres de grandeur :
Pour le courant industriel fourni par le secteur ( Hz50=ν ), alors kmc
0006==ν
λ .
L’ARQS est donc valable lors de l’étude du champ magnétique d’un solénoïde parcouru par un courant alternatif.
Avec mMHz 30,10 == λν , de telle sorte que l’ARQS reste valable lors de l’étude de circuits réalisés en TP sur une table de dimensions de l’ordre du mètre.
Dans le domaine des hyperfréquences ( cmsoitGHz 30,1 ≤≥ λν ), l’ARQS n’est plus valable et les phénomènes de propagation tiennent alors un rôle important.
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Détermination du champ électromagnétique ),( BE
dans le cadre de l’ARQS :
Dans le cadre de l’ARQS, on peut donc calculer les potentiels à l’aide des mêmes formules qu’en régime stationnaire, valables à chaque instant :
τρ
πετ
ρ
πεd
SM
tSd
SM
c
SMtS
tMVVDD
),(
4
1),(
4
1),(
)(0)(0∫∫∫∫∫∫ ≈
−==
et :
τπ
µτ
π
µd
SM
tSjd
SM
c
SMtSj
tMAADD
),(
4
),(
4),(
)(
0
)(
0
∫∫∫∫∫∫ =−
==
L’expression du champ EM ),( BE
se déduit de ces deux expressions grâce aux relations :
t
AVgradEetArotB
∂
∂−−==
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Loi d’Ohm dans les conducteurs ohmique dans le cadre de l’ARQS :
Pour un conducteur comme le cuivre par exemple, le temps de relaxation (« durée » de
collision des porteurs de charges) est de l’ordre de s1410−≈τ .
Or on sait que, dans un conducteur, la loi d’Ohm est satisfaite si le temps caractéristique
d’évolution du système T vérifie τ>>T . Dans le cadre de l’ARQS, cette condition sera bien vérifiée.
Ainsi, dans le cadre de l’ARQS, la loi d’Ohm locale sera valable :
∂
∂+−==
t
AVgradEj
σσ
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Courant de déplacement dans un conducteur ohmique :
L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit, compte tenu de la loi d’Ohm locale :
∂
∂+=
t
EEBrot
00 εσµ
On note T le temps d’évolution caractéristique de la distribution (D) (sa période d’évolution).
L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit alors :
EjBrot
σµµ 00 ==
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Neutralité électrique :
On suppose qu’à l’instant t = t0, il existe en un point M intérieur au conducteur une charge
volumique ),( 0tMρ .
Comment varie dans le temps cette charge volumique ?
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Equations de Maxwell dans un conducteur :
Finalement, dans le cadre de l’ARQS, le champ EM vérifie les équations de Maxwell « simplifiées » suivantes :
EjBrot
t
BErot
Ediv
Bdiv
σµµ 00
0
0
==
∂
∂−=
=
=
Ainsi, dans un conducteur, l’ARQS ne diffère des régimes stationnaires que par la prise en compte des phénomènes d’induction (équation de Maxwell-Faraday).
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V) Continuités ou discontinuités spatiales du champ EM :
Pour le champ électrique :
210
12 →=−=∆ nEEE
ε
σ
(Continuité de la composante tangentielle et discontinuité de la composante normale)
Pour le champ magnétique :
21012 →∧=−=∆ njBBB S
µ
(Continuité de la composante normale et discontinuité de la composante tangentielle)
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VI) Densité volumique d’énergie électromagnétique, vecteur de Poynting, équation
locale de conservation de l’énergie :
1 – Puissance volumique cédée par le champ EM à la matière :
Un champ EM ),( BE
va interagir avec des particules chargées et leur fournir de l énergie.
2 - Equation locale de conservation de l’énergie :
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3 – Bilan énergétique pour un fil conducteur ohmique :
On considère un fil conducteur ohmique de conductivité γ, assimilé à un cylindre d’axe (Oz) et de rayon a, soumis au champ électrique uniforme et permanent (à l’intérieur et à l’extérieur du fil) :
zuEE
0=
Le fil est alors parcouru par des courants de densité zz uEujj
0γ== uniforme.
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VIII) Effet de peau dans un conducteur ohmique :
1 – Longueur de pénétration dans un métal :
Un champ EM pénètre dans un métal bon conducteur de conductivité σ. Par action du champ électrique, les électrons du métal sont accélérés et fournissent une partie de leur énergie cinétique par chocs avec les ions positifs du réseau métallique. L’énergie de l’onde est dissipée par effet Joule ce qui cause l’amortissement de l’onde.
On cherche à calculer la distance caractéristique d’amortissement ou profondeur de
pénétration. Pour cela, on considère un métal de conductivité σ pour lequel on cherche une solution des équations de Maxwell correspondant à des champs sinusoïdaux de
pulsation ω.
De façon plus précise, on cherche pour le champ électrique une expression de la forme :
zutkxixfEE→→
−= )(exp)(0 ω
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σωµδ
σωµ
0
0 21
2===
ksoit
kk
δ est la longueur de pénétration dans le métal.
Pour le cuivre (σ = 5,8.10 7 Ω - 1.m – 1), on calcule δ pour différentes fréquences :
Fréquence Longueur de pénétration
50 Hz 3 mm
50 MHz 3 µm
50 THz 3 nm
Lorsque la pulsation augmente, la profondeur de pénétration diminue comme l’inverse de la racine carrée de la pulsation.
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Pour un métal parfait, la conductivité est infinie et la profondeur de pénétration devient nulle : une onde EM ne peut pénétrer dans un métal parfait (elle s’y réfléchit).
Les résultats obtenus restent valables pour une géométrie cylindrique ; ainsi, un câble cylindrique homogène de section droite circulaire ne peut être parcouru par des courants
que dans un zone cylindrique superficielle d’épaisseur quelques δ. Il ne sert à rien pour transporter un courant électrique sinusoïdal d’utiliser un câble en
cuivre de rayon nettement supérieur à δ.